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4.2: Eventos Independentes e Mutuamente Exclusivos - Matemática


Independente e Mutualmente exclusivo não significam a mesma coisa.

Eventos Independentes

Dois eventos são independentes se o seguinte for verdadeiro:

  • (P ( text {A | B}) = P ( text {A}) )
  • (P ( text {B | A}) = P ( text {B}) )
  • (P ( text {A AND B}) = P ( text {A}) P ( text {B}) )

Dois eventos ( text {A} ) e ( text {B} ) são independentes se o conhecimento de que um ocorreu não afeta a chance do outro ocorrer. Por exemplo, os resultados de duas funções de um dado justo são eventos independentes. O resultado do primeiro lançamento não muda a probabilidade do resultado do segundo lançamento. Para mostrar que dois eventos são independentes, você deve mostrar apenas uma das condições acima. Se dois eventos NÃO são independentes, dizemos que eles são dependentes.

Amostragem de uma população

A amostragem pode ser feita com substituição ou sem substituição (Figura ( PageIndex {1} )):

  • Com substituição: Se cada membro de uma população for substituído após ser escolhido, esse membro tem a possibilidade de ser escolhido mais de uma vez. Quando a amostragem é feita com substituição, os eventos são considerados independente, significando que o resultado da primeira escolha não mudará as probabilidades da segunda escolha.
  • Sem substituição: Quando a amostragem é feita sem reposição, cada membro de uma população pode ser escolhido apenas uma vez. Nesse caso, as probabilidades da segunda escolha são afetadas pelo resultado da primeira escolha. Os eventos são considerados dependente ou não independente.

Figura ( PageIndex {1} ): Uma representação visual do processo de amostragem. Se os itens de amostra forem substituídos após cada evento de amostragem, isso é "amostragem com substituição"; caso contrário, é "amostragem sem substituição". Imagem usada com permissão (CC BY-SA 4.0; Dan Kernler).

Se não for conhecido se ( text {A} ) e ( text {B} ) são independentes ou dependentes, assuma que são dependentes até que você possa mostrar o contrário.

Exemplo ( PageIndex {1} ): Amostragem com e sem substituição

Você tem um baralho justo e bem embaralhado de 52 cartas. Consiste em quatro naipes. Os naipes são paus, ouros, copas e espadas. Existem 13 cartas em cada naipe consistindo em 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ( text {J} ) (valete), ( text {Q} ) (rainha), ( text {K} ) (rei) desse naipe.

uma. Amostragem com substituição:

Suponha que você escolha três cartas com substituição. A primeira carta que você escolhe das 52 cartas é o ( text {Q} ) de espadas. Você coloca esta carta de volta, embaralha as cartas e pega uma segunda carta do baralho de 52 cartas. É o dez dos clubes. Você coloca esta carta de volta, embaralha as cartas e pega uma terceira carta do baralho de 52 cartas. Desta vez, a carta é o ( text {Q} ) de espadas novamente. Suas escolhas são { ( text {Q} ) de espadas, dez de paus, ( text {Q} ) de espadas}. Você escolheu o ( text {Q} ) de espadas duas vezes. Você escolhe cada carta do baralho de 52 cartas.

b. Amostragem sem substituição:

Suponha que você escolha três cartas sem reposição. A primeira carta que você escolhe das 52 cartas é o ( text {K} ) de copas. Você coloca esta carta de lado e pega a segunda carta das 51 cartas restantes no baralho. É o três de diamantes. Você coloca esta carta de lado e pega a terceira carta das 50 cartas restantes no baralho. A terceira carta é o ( text {J} ) de espadas. Suas escolhas são { ( text {K} ) de copas, três de ouros, ( text {J} ) de espadas}. Como você escolheu os cartões sem substituí-los, não pode escolher o mesmo cartão duas vezes.

Exercício ( PageIndex {1} )

Você tem um baralho justo e bem embaralhado de 52 cartas. Existem 13 cartas em cada naipe consistindo em 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ( text {J} ) (valete), ( text {Q} ) (rainha), ( text {K} ) (rei) desse naipe. Três cartas são escolhidas aleatoriamente.

  1. Suponha que você saiba que as cartas escolhidas são ( text {Q} ) de espadas, ( text {K} ) de copas e ( text {Q} ) de espadas. Você pode decidir se a amostragem foi com ou sem reposição?
  2. Suponha que você saiba que as cartas escolhidas são ( text {Q} ) de espadas, ( text {K} ) de copas e ( text {J} ) de espadas. Você pode decidir se a amostragem foi com ou sem reposição?

Responder

  1. Com substituição
  2. Não

Exemplo ( PageIndex {2} )

Você tem um baralho justo e bem embaralhado de 52 cartas. Os naipes são paus, ouros, copas e espadas. Existem 13 cartas em cada naipe consistindo em 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ( text {J} ) (valete), ( text {Q} ) (rainha) e ( text {K} ) (rei) desse naipe. ( text {S} = ) espadas, ( text {H} = ) Copas, ( text {D} = ) Ouros, ( text {C} = ) Paus.

  1. Suponha que você escolha quatro cartas, mas não coloque nenhuma carta de volta no baralho. Seus cartões são ( text {QS}, 1 text {D}, 1 text {C}, text {QD} ).
  2. Suponha que você escolha quatro cartas e coloque cada uma de volta antes de escolher a próxima. Suas cartas são ( text {KH}, 7 text {D}, 6 text {D}, text {KH} ).

Qual de a. ou b. você fez a amostra com substituição e qual foi a amostra sem substituição?

Solução

  1. Sem substituição
  2. Com substituição

Exercício ( PageIndex {2} )

Você tem um baralho justo e bem embaralhado de 52 cartas. ( text {S} = ) espadas, ( text {H} = ) Copas, ( text {D} = ) Ouros, ( text {C} = ) Paus. Suponha que você teste quatro cartões sem substituição. Quais dos seguintes resultados são possíveis? Responda à mesma pergunta para amostragem com reposição.

  1. ( text {QS}, 1 text {D}, 1 text {C}, text {QD} )
  2. ( text {KH}, 7 text {D}, 6 text {D}, text {KH} )
  3. ( text {QS}, 7 text {D}, 6 text {D}, text {KS} )

Responder

sem substituição: a. Possível; b. Impossível, c. Possível

com substituição: a. Possível; c. Possível, c. Possível

Eventos mutuamente exclusivos

( text {A} ) e ( text {B} ) são eventos mutuamente exclusivos se eles não pode ocorrer ao mesmo tempo. Isso significa que ( text {A} ) e ( text {B} ) não compartilham nenhum resultado e (P ( text {A AND B}) = 0 ).

Por exemplo, suponha que o espaço amostral

[S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }. ]

Seja ( text {A} = {1, 2, 3, 4, 5 }, text {B} = {4, 5, 6, 7, 8 } ), e ( text {C} = {7, 9 } ). ( text {A AND B} = {4, 5 } ).

[P ( text {A AND B}) = dfrac {2} {10} ]

e não é igual a zero. Portanto, ( text {A} ) e ( text {B} ) não são mutuamente exclusivos. ( text {A} ) e ( text {C} ) não têm nenhum número em comum, então (P ( text {A AND C}) = 0 ). Portanto, ( text {A} ) e ( text {C} ) são mutuamente exclusivos.

Se não se sabe se ( text {A} ) e ( text {B} ) são mutuamente exclusivos, presuma que não são até que você possa mostrar o contrário. Os exemplos a seguir ilustram essas definições e termos.

Exemplo ( PageIndex {3} )

Vire duas moedas justas.

O espaço amostral é ( {HH, HT, TH, TT } ) onde (T = ) coroa e (H = ) cara. Os resultados são (HH, HT, TH ) e (TT ). Os resultados (HT ) e (TH ) são diferentes. O (HT ) significa que a primeira moeda mostrou cara e a segunda moeda mostrou coroa. O (TH ) significa que a primeira moeda mostrou coroa e a segunda moeda mostrou cara.

  • Seja ( text {A} = ) o evento de obtenção no máximo uma cauda. (No máximo uma cauda significa zero ou uma cauda.) Então ( text {A} ) pode ser escrito como ( {HH, HT, TH } ). O resultado (HH ) mostra zero caudas. (HT ) e (TH ) cada um mostra uma cauda.
  • Seja ( text {B} = ) o evento de obter todas as caudas. ( text {B} ) pode ser escrito como ( {TT } ). ( text {B} ) é o complemento de ( text {A} ), então ( text {B} = text {A ′} ). Além disso, (P ( text {A}) + P ( text {B}) = P ( text {A}) + P ( text {A ′}) = 1 ).
  • As probabilidades para ( text {A} ) e para ( text {B} ) são (P ( text {A}) = dfrac {3} {4} ) e (P ( text {B}) = dfrac {1} {4} ).
  • Seja ( text {C} = ) o evento de obter todas as caras. ( text {C} = {HH } ). Uma vez que ( text {B} = {TT } ), (P ( text {B AND C}) = 0 ). ( text {B} ) e Care mutuamente exclusivos. ( text {B} ) e ( text {C} ) não têm membros em comum porque você não pode ter todas coroa e cara ao mesmo tempo.)
  • Seja ( text {D} = ) evento de obtenção mais de um cauda. ( text {D} = {TT } ). (P ( text {D}) = dfrac {1} {4} )
  • Seja ( text {E} = ) o evento de obter uma cabeça no primeiro lançamento. (Isso significa que você pode obter uma cabeça ou uma cauda no segundo lançamento.) ( Text {E} = {HT, HH } ). (P ( text {E}) = dfrac {2} {4} )
  • Encontre a probabilidade de obter pelo menos um (uma ou duas) cauda em duas voltas. Seja ( text {F} = ) o evento de obter pelo menos uma cauda em duas voltas. ( text {F} = {HT, TH, TT } ). (P ( text {F}) = dfrac {3} {4} )

Exercício ( PageIndex {3} )

Compre duas cartas de um baralho padrão de 52 cartas com substituição. Encontre a probabilidade de obter pelo menos um cartão preto.

Responder

O espaço de amostra para tirar duas cartas com substituição de um baralho padrão de 52 cartas com respeito à cor é ( {BB, BR, RB, RR } ).

Evento (A = ) Obtendo pelo menos um cartão preto (= {BB, BR, RB } )

(P ( text {A}) = dfrac {3} {4} = 0,75 )

Exemplo ( PageIndex {4} )

Vire duas moedas justas. Encontre as probabilidades dos eventos.

  1. Seja ( text {F} = ) o evento de obter no máximo uma cauda (zero ou uma cauda).
  2. Seja ( text {G} = ) o evento de obter duas faces iguais.
  3. Seja ( text {H} = ) o evento de obter uma cabeça no primeiro lance seguido por uma cabeça ou cauda no segundo lance.
  4. ( Text {F} ) e ( text {G} ) são mutuamente exclusivos?
  5. Seja ( text {J} = ) o evento de obter todas as caudas. ( Text {J} ) e ( text {H} ) são mutuamente exclusivos?

Solução

Observe o espaço de amostra em Exemplo ( PageIndex {3} ).

  1. Zero (0) ou uma (1) cauda ocorre quando os resultados (HH, TH, HT ) aparecem. (P ( text {F}) = dfrac {3} {4} )
  2. Duas faces são iguais se (HH ) ou (TT ) aparecem. (P ( text {G}) = dfrac {2} {4} )
  3. Uma cabeça no primeiro lance seguida por uma cabeça ou cauda no segundo lance ocorre quando (HH ) ou (HT ) aparecem. (P ( text {H}) = dfrac {2} {4} )
  4. ( text {F} ) e ( text {G} ) share (HH ) então (P ( text {F AND G}) ) não é igual a zero (0). ( text {F} ) e ( text {G} ) não são mutuamente exclusivos.
  5. A obtenção de todas as caudas ocorre quando as caudas aparecem em ambas as moedas ( (TT )). Os resultados de ( text {H} ) são (HH ) e (HT ).

( text {J} ) e ( text {H} ) não têm nada em comum, então (P ( text {J AND H}) = 0 ). ( text {J} ) e ( text {H} ) são mutuamente exclusivos.

Exercício ( PageIndex {4} )

Uma caixa possui duas bolas, uma branca e uma vermelha. Selecionamos uma bola, colocamos de volta na caixa e selecionamos uma segunda bola (amostragem com substituição). Encontre a probabilidade dos seguintes eventos:

  1. Seja ( text {F} = ) o evento de pegar a bola branca duas vezes.
  2. Seja ( text {G} = ) o evento de obter duas bolas de cores diferentes.
  3. Seja ( text {H} = ) o evento de ficar branco na primeira escolha.
  4. ( Text {F} ) e ( text {G} ) são mutuamente exclusivos?
  5. ( Text {G} ) e ( text {H} ) são mutuamente exclusivos?

Responder

  1. (P ( text {F}) = dfrac {1} {4} )
  2. (P ( text {G}) = dfrac {1} {2} )
  3. (P ( text {H}) = dfrac {1} {2} )
  4. sim
  5. Não

Exemplo ( PageIndex {5} )

Jogue um dado justo de seis lados. O espaço da amostra é {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Seja o evento ( text {A} = ) um rosto estranho. Então ( text {A} = {1, 3, 5 } ). Seja o evento ( text {B} = ) um rosto par. Então ( text {B} = {2, 4, 6 } ).

  • Encontre o complemento de ( text {A} ), ( text {A ′} ). O complemento de ( text {A} ), ( text {A ′} ), é ( text {B} ) porque ( text {A} ) e ( text { B} ) juntos constituem o espaço amostral. (P ( text {A}) + P ( text {B}) = P ( text {A}) + P ( text {A ′}) = 1 ). Além disso, (P ( text {A}) = dfrac {3} {6} ) e (P ( text {B}) = dfrac {3} {6} ).
  • Deixe o evento ( text {C} = ) faces ímpares maiores que dois. Então ( text {C} = {3, 5 } ). Seja o evento ( text {D} = ) todas as faces pares menores que cinco. Então ( text {D} = {2, 4 } ). (P ( text {C AND D}) = 0 ) porque você não pode ter uma face ímpar e par ao mesmo tempo. Portanto, ( text {C} ) e ( text {D} ) são eventos mutuamente exclusivos.
  • Seja o evento ( text {E} = ) todas as faces com menos de cinco. ( text {E} = {1, 2, 3, 4 } ).

Os eventos ( text {C} ) e ( text {E} ) são mutuamente exclusivos? (Responda sim ou não.) Por que ou por que não?

Responder

Não. ( Text {C} = {3, 5 } ) e ( text {E} = {1, 2, 3, 4 } ). (P ( text {C AND E}) = dfrac {1} {6} ). Para ser mutuamente exclusivo, (P ( text {C AND E}) ) deve ser zero.

  • Encontre (P ( text {C | A}) ). Esta é uma probabilidade condicional. Lembre-se de que o evento ( text {C} ) é {3, 5} e o evento ( text {A} ) é {1, 3, 5}. Para encontrar (P ( text {C | A}) ), encontre a probabilidade de ( text {C} ) usando o espaço amostral ( text {A} ). Você reduziu o espaço de amostra do espaço de amostra original {1, 2, 3, 4, 5, 6} para {1, 3, 5}. Portanto, (P ( text {C | A}) = dfrac {2} {3} ).

Exercício ( PageIndex {5} )

Deixe o evento ( text {A} = ) aprender espanhol. Let event ( text {B} ) = aprender alemão. Então ( text {A AND B} ) = aprender espanhol e alemão. Suponha que (P ( text {A}) = 0,4 ) e (P ( text {B}) = 0,2 ). (P ( text {A AND B}) = 0,08 ). Os eventos ( text {A} ) e ( text {B} ) são independentes? Dica: você deve mostrar UM dos seguintes:

  • (P ( text {A | B}) = P ( text {A}) )
  • (P ( text {B | A}) )
  • (P ( text {A AND B}) = P ( text {A}) P ( text {B}) )

Responder

[P ( text {A | B}) = dfrac { text {P (A AND B)}} {P ( text {B})} = dfrac {0,08} {0,2} = 0,4 = P ( text {A}) ]

Os eventos são independentes porque (P ( text {A | B}) = P ( text {A}) ).

Exemplo ( PageIndex {6} )

Deixe o evento ( text {G} = ) fazer uma aula de matemática. Deixe o evento ( text {H} = ) fazer uma aula de ciências. Então, ( text {G AND H} = ) tendo uma aula de matemática e uma aula de ciências. Suponha que (P ( text {G}) = 0,6 ), (P ( text {H}) = 0,5 ) e (P ( text {G AND H}) = 0,3 ). ( Text {G} ) e ( text {H} ) são independentes?

Se ( text {G} ) e ( text {H} ) são independentes, então você deve mostrar 1 da seguinte:

  • (P ( text {G | H}) = P ( text {G}) )
  • (P ( text {H | G}) = P ( text {H}) )
  • (P ( text {G AND H}) = P ( text {G}) P ( text {H}) )

A escolha que você faz depende das informações que você possui. Você pode escolher qualquer um dos métodos aqui porque possui as informações necessárias.

  1. uma. Mostre que (P ( text {G | H}) = P ( text {G}) ).
  2. b. Mostre (P ( text {G AND H}) = P ( text {G}) P ( text {H}) ).

Solução

  1. (P ( text {G | H}) = dfrac {P ( text {G AND H})} {P ( text {H})} = dfrac {0,3} {0,5} = 0,6 = P( exto{G}))
  2. (P ( text {G}) P ( text {H}) = (0,6) (0,5) = 0,3 = P ( text {G AND H}) )

Uma vez que ( text {G} e text {H} ) são independentes, saber que uma pessoa está tendo uma aula de ciências não muda a chance de ela estar fazendo uma aula de matemática. Se os dois eventos não fossem independentes (ou seja, eles são dependentes), saber que uma pessoa está tendo uma aula de ciências mudaria a chance de ela estar fazendo matemática. Para praticar, mostre que (P ( text {H | G}) = P ( text {H}) ) para mostrar que ( text {G} ) e ( text {H} ) são eventos independentes.

Exercício ( PageIndex {6} )

Em uma bolsa, há seis bolinhas vermelhas e quatro bolinhas verdes. As bolinhas vermelhas são marcadas com os números 1, 2, 3, 4, 5 e 6. As bolinhas verdes são marcadas com os números 1, 2, 3 e 4.

  • ( text {R} = ) uma bola de gude vermelha
  • ( text {G} = ) uma bola de gude verde
  • ( text {O} = ) uma bola de gude de numeração ímpar
  • O espaço amostral é ( text {S} = {R1, R2, R3, R4, R5, R6, G1, G2, G3, G4 } ).

( text {S} ) tem dez resultados. O que é (P ( text {G AND O}) )?

Responder

Evento ( text {G} ) e ( text {O} = {G1, G3 } )

(P ( text {G e O}) = dfrac {2} {10} = 0,2 )

Exemplo ( PageIndex {7} )

Deixe o evento ( text {C} = ) fazer uma aula de inglês. Deixe o evento ( text {D} = ) fazer uma aula de fala.

Suponha que (P ( text {C}) = 0,75 ), (P ( text {D}) = 0,3 ), (P ( text {C | D}) = 0,75 ( P ( text {C AND D}) = 0,225 ).

Justifique numericamente suas respostas às seguintes perguntas.

  1. ( Text {C} ) e text {D} ) são independentes?
  2. ( Text {C} ) e ( text {D} ) são mutuamente exclusivos?
  3. O que é (P ( text {D | C}) )?

Solução

  1. Sim, porque (P ( text {C | D}) = P ( text {C}) ).
  2. Não, porque (P ( text {C AND D}) ) não é igual a zero.
  3. (P ( text {D | C}) = dfrac {P ( text {C AND D})} {P ( text {C})} = dfrac {0,225} {0,75} = 0,3 )

Exercício ( PageIndex {7} )

Um aluno vai à biblioteca. Deixe eventos ( text {B} = ) o aluno verificar um livro e ( text {D} = ) o aluno verificar um DVD.Suponha que (P ( text {B}) = 0,40 ), (P ( text {D}) = 0,30 ) e (P ( text {B AND D}) = 0,20 ).

  1. Encontre (P ( text {B | D}) ).
  2. Encontre (P ( text {D | B}) ).
  3. ( Text {B} ) e ( text {D} ) são independentes?
  4. ( Text {B} ) e ( text {D} ) são mutuamente exclusivos?

Responder

  1. (P ( text {B | D}) = 0,6667 )
  2. (P ( text {D | B}) = 0,5 )
  3. Não
  4. Não

Exemplo ( PageIndex {8} )

Em uma caixa, há três cartas vermelhas e cinco cartas azuis. As cartas vermelhas são marcadas com os números 1, 2 e 3, e as cartas azuis são marcadas com os números 1, 2, 3, 4 e 5. As cartas são bem embaralhadas. Você enfia a mão na caixa (você não pode ver dentro dela) e tira uma carta.

Deixar

  • ( text {R =} ) cartão vermelho é sorteado,
  • ( text {B} = ) o cartão azul é sorteado,
  • ( text {E} = ) cartão de numeração par é sorteado.

O espaço amostral (S = R1, R2, R3, B1, B2, B3, B4, B5 ).

(S ) tem oito resultados.

  • (P ( text {R}) = dfrac {3} {8} ). (P ( text {B}) = dfrac {5} {8} ). (P ( text {R AND B}) = 0 ). (Você não pode comprar uma carta que seja vermelha e azul.)
  • (P ( text {E}) = dfrac {3} {8} ). (Existem três cartas de números pares, (R2, B2 ) e (B4 ).)
  • (P ( text {E | B}) = dfrac {2} {5} ). (Existem cinco cartas azuis: (B1, B2, B3, B4 ) e (B5 ). Das cartas azuis, há duas cartas pares; (B2 ) e (B4 ). )
  • (P ( text {B | E}) = dfrac {2} {3} ). (Existem três cartões pares: (R2, B2 ) e (B4 ). Dos cartões pares, to são azuis; (B2 ) e (B4 ).)
  • Os eventos ( text {R} ) e ( text {B} ) são mutuamente exclusivos porque (P ( text {R AND B}) = 0 ).
  • Seja ( text {G} = ) cartão com um número maior que 3. ( text {G} = {B4, B5 } ). (P ( text {G}) = dfrac {2} {8} ). Seja ( text {H} = ) cartão azul numerado entre um e quatro, inclusive. ( text {H} = {B1, B2, B3, B4 } ). (P ( text {G | H}) = frac {1} {4} ). (O único cartão em ( text {H} ) que tem um número maior que três é B4.) Visto que ( dfrac {2} {8} = dfrac {1} {4} ), ( P ( text {G}) = P ( text {G | H}) ), o que significa que ( text {G} ) e ( text {H} ) são independentes.

Exercício ( PageIndex {8} )

Em uma arena de basquete,

  • 70% dos torcedores estão torcendo pelo time da casa.
  • 25% dos fãs estão vestindo azul.
  • 20% dos torcedores vestem-se de azul e torcem pelo time visitante.
  • Dos torcedores que torcem pelo time visitante, 67% vestem azul.

Seja ( text {A} ) o evento em que um torcedor está torcendo pelo time visitante.

Seja ( text {B} ) o evento em que um fã está vestindo azul.

As hipóteses de torcer pela equipe visitante e usar o azul são independentes? Eles são mutuamente exclusivos?

Responder

  • (P ( text {B | A}) = 0,67 )
  • (P ( text {B}) = 0,25 )

Portanto (P ( text {B}) ) não é igual a (P ( text {B | A}) ) o que significa que ( text {B} e text {A} ) não são independente (vestir azul e torcer para o time visitante não é independente). Eles também não são mutuamente exclusivos, porque (P ( text {B AND A}) = 0,20 ), não (0 ).

Exemplo ( PageIndex {9} )

Em uma determinada turma da faculdade, 60% dos alunos são mulheres. Cinquenta por cento de todos os alunos da classe têm cabelos compridos. Quarenta e cinco por cento dos alunos são mulheres e têm cabelos longos. Das alunas, 75% têm cabelos compridos. Seja ( text {F} ) o evento em que um aluno é do sexo feminino. Seja ( text {L} ) o evento em que um aluno tem cabelo comprido. Um aluno é escolhido aleatoriamente. Os eventos de ser mulher e ter cabelo comprido são independentes?

  • As seguintes probabilidades são fornecidas neste exemplo:
  • (P ( text {F}) = 0,60 ); (P ( text {L}) = 0,50 )
  • (P ( text {F AND L}) = 0,45 )
  • (P ( text {L | F}) = 0,75 )

A escolha que você faz depende das informações que você possui. Você pode usar a primeira ou a última condição da lista para este exemplo. Você não sabe (P ( text {F | L}) ) ainda, então você não pode usar a segunda condição.

Solução 1

Verifique se (P ( text {F AND L}) = P ( text {F}) P ( text {L}) ). Temos que (P ( text {F AND L}) = 0,45 ), mas (P ( text {F}) P ( text {L}) = (0,60) (0,50) = 0,30 ) Os eventos de ser mulher e ter cabelo comprido não são independentes porque (P ( text {F AND L}) ) não é igual a (P ( text {F}) P ( text {L}) ) .

Solução 2

Verifique se (P ( text {L | F}) ) é igual a (P ( text {L}) ). Temos que (P ( text {L | F}) = 0,75 ), mas (P ( text {L}) = 0,50 ); eles não são iguais. Os eventos de ser mulher e ter cabelo comprido não são independentes.

Interpretação de resultados

Os eventos de ser mulher e ter cabelo comprido não são independentes; saber que um aluno é do sexo feminino muda a probabilidade de um aluno ter cabelo comprido.

Exercício ( PageIndex {9} )

Mark está decidindo qual caminho seguir para o trabalho. Suas escolhas são ( text {EU} = ) a Interestadual e ( text {F} = ) Fifth Street.

  • (P ( text {I}) = 0,44 ) e (P ( text {F}) = 0,55 )
  • (P ( text {I AND F}) = 0 ) porque Mark tomará apenas uma rota para o trabalho.

Qual é a probabilidade de (P ( text {I OR F}) )?

Responder

Porque (P ( text {I AND F}) = 0 ),

(P ( text {I OR F}) = P ( text {I}) + P ( text {F}) - P ( text {I AND F}) = 0,44 + 0,56 - 0 = 1 )

Exemplo ( PageIndex {10} )

  1. Jogue uma moeda justa (a moeda tem dois lados, ( text {H} ) e ( text {T} )). Os resultados são ________. Conte os resultados. Existem ____ resultados.
  2. Jogue um dado justo de seis lados (o dado tem 1, 2, 3, 4, 5 ou 6 pontos em um lado). Os resultados são ________________. Existem ___ resultados.
  3. Multiplique os dois números de resultados. A resposta é _______.
  4. Se você lançar uma moeda justa e seguir com o lançamento de um dado justo de seis lados, a resposta em três é o número de resultados (tamanho do espaço amostral). Quais são os resultados? (Dica: dois dos resultados são (H1 ) e (T6 ).)
  5. Evento ( text {A} = ) cara ( ( text {H} )) na moeda seguida por um número par (2, 4, 6) no dado.
    ( text {A} ) = {_________________}. Encontre (P ( text {A}) ).
  6. Evento ( text {B} = ) cara na moeda seguida por um três no dado. ( text {B} = ) {________}. Encontre (P ( text {B}) ).
  7. ( Text {A} ) e ( text {B} ) são mutuamente exclusivos? (Dica: O que é (P ( text {A AND B}) )? Se (P ( text {A AND B}) = 0 ), então ( text {A} ) e ( text {B} ) são mutuamente exclusivos.)
  8. ( Text {A} ) e ( text {B} ) são independentes? (Dica: É (P ( text {A AND B}) = P ( text {A}) P ( text {B}) )? Se (P ( text {A AND B}) = P ( text {A}) P ( text {B}) ), então ( text {A} ) e ( text {B} ) são independentes. Caso contrário, são dependentes )

Solução

  1. ( text {H} ) e ( text {T} ); 2
  2. 1, 2, 3, 4, 5, 6; 6
  3. 2(6) = 12
  4. (T1, T2, T3, T4, T5, T6, H1, H2, H3, H4, H5, H6 )
  5. ( text {A} = {H2, H4, H6 } ); (P ( text {A}) = dfrac {3} {12} )
  6. ( text {B} = {H3 } ); (P ( text {B}) = dfrac {1} {12} )
  7. Sim, porque (P ( text {A AND B}) = 0 )
  8. (P ( text {A AND B}) = 0 ). (P ( text {A}) P ( text {B}) = left ( dfrac {3} {12} right) left ( dfrac {1} {12} right) ). (P ( text {A AND B}) ) não é igual a (P ( text {A}) P ( text {B}) ), então ( text {A} ) e ( text {B} ) são dependentes.

Exercício ( PageIndex {10} )

Uma caixa possui duas bolas, uma branca e uma vermelha. Seja (text {T} ) o evento de pegar a bola branca duas vezes, ( text {F} ) o evento de pegar a bola branca primeiro, ( text {S} ) o evento de pegar a bola branca no segundo desenho.

  1. Calcule (P ( text {T}) ).
  2. Calcule (P ( text {T | F}) ).
  3. (Text {T} ) e ( text {F} ) são independentes ?.
  4. ( Text {F} ) e ( text {S} ) são mutuamente exclusivos?
  5. ( Text {F} ) e ( text {S} ) são independentes?

Responder

  1. (P ( text {T}) = dfrac {1} {4} )
  2. (P ( text {T | F}) = dfrac {1} {2} )
  3. Não
  4. Não
  5. sim

Referências

  1. Lopez, Shane, Preety Sidhu. "NÓS. Os professores amam suas vidas, mas lutam no local de trabalho. ” Gallup Wellbeing, 2013. http://www.gallup.com/poll/161516/te...workplace.aspx (acessado em 2 de maio de 2013).
  2. Dados da Gallup. Disponível online em www.gallup.com/ (acessado em 2 de maio de 2013).

Revisão do Capítulo

Dois eventos ( text {A} ) e ( text {B} ) são independentes se o conhecimento de que um ocorreu não afeta a chance do outro ocorrer. Se dois eventos não são independentes, dizemos que eles são dependentes.

Na amostragem com reposição, cada membro de uma população é substituído após ser escolhido, de forma que esse membro tenha a possibilidade de ser escolhido mais de uma vez, e os eventos sejam considerados independentes. Na amostragem sem reposição, cada membro de uma população pode ser escolhido apenas uma vez, e os eventos são considerados não independentes. Quando os eventos não compartilham resultados, eles são mutuamente exclusivos um do outro.

Revisão de fórmula

  • Se ( text {A} ) e ( text {B} ) forem independentes, (P ( text {A AND B}) = P ( text {A}) P ( text {B }), P ( text {A | B}) = P ( text {A}) ) e (P ( text {B | A}) = P ( text {B}) ).
  • Se ( text {A} ) e ( text {B} ) são mutuamente exclusivos, (P ( text {A OR B}) = P (texto {A}) + P ( text { B}) e P ( text {A AND B}) = 0 ).

Contribuidores

Exercício 3.3.11

( text {E} ) e ( text {F} ) são eventos mutuamente exclusivos. (P ( text {E}) = 0,4 ); (P ( text {F}) = 0,5 ). Encontre (P ( text {E∣F}) ).

Exercício 3.3.12

( text {J} ) e ( text {K} ) são eventos independentes. (P ( text {J | K}) = 0,3 ). Encontre (P ( text {J}) ).

Responder

(P ( text {J}) = 0,3 )

Exercício 3.3.13

( text {U} ) e ( text {V} ) são eventos mutuamente exclusivos. (P ( text {U}) = 0,26 ); (P ( text {V}) = 0,37 ). Encontrar:

  1. (P ( text {U AND V}) = )
  2. (P ( text {U | V}) = )
  3. (P ( text {U OU V}) = )

Exercício 3.3.14

( text {Q} ) e ( text {R} ) são eventos independentes. (P ( text {Q}) = 0,4 ) e (P ( text {Q AND R}) = 0,1 ). Encontre (P ( text {R}) ).

Responder

(P ( text {Q AND R}) = P ( text {Q}) P ( text {R}) )

(0,1 = (0,4) P ( text {R}) )

(P ( text {R}) = 0,25 )

Juntando tudo

Exercício 3.3.16

No ano anterior, os pesos dos membros do São Francisco 49ers e a Dallas Cowboys foram publicados no San Jose Mercury News. Os dados factuais são compilados na Tabela.

Camisa#≤ 210211–250251–290290≤
1–3321500
34–6661874
66–99612225

Para o seguinte, suponha que você selecione aleatoriamente um jogador do 49ers ou Cowboys.

Se ter um número de camisa de um a 33 e pesar no máximo 210 libras fossem eventos independentes, então o que deveria ser verdade sobre (P ( text {Shirt} # 1–33 | leq 210 text {pound}) )?

Exercício 3.3.17

A probabilidade de um homem desenvolver algum tipo de câncer durante a vida é de 0,4567. A probabilidade de um homem ter pelo menos um resultado de teste falso positivo (o que significa que o teste de câncer retorna quando o homem não o tem) é de 0,51. Algumas das perguntas a seguir não contêm informações suficientes para você respondê-las. Escreva “informações insuficientes” para essas respostas. Seja ( text {C} = ) um homem desenvolve câncer em sua vida e ( text {P} = ) o homem tem pelo menos um falso positivo.

  1. (P ( text {C}) = ) ______
  2. (P ( text {P | C}) = ) ______
  3. (P ( text {P | C '}) = ) ______
  4. Se um teste der positivo, com base em valores numéricos, você pode presumir que o homem tem câncer? Justifique numericamente e explique por quê ou por que não.

Responder

  1. (P ( text {C}) = 0,4567 )
  2. não é informação suficiente
  3. não é informação suficiente
  4. Não, porque mais da metade (0,51) dos homens tem pelo menos um texto falso positivo

Exercício 3.3.18

Eventos dados ( text {G} ) e ( text {H}: P ( text {G}) = 0,43 ); (P ( text {H}) = 0,26 ); (P ( text {H AND G}) = 0,14 )

  1. Encontre (P ( text {H OR G}) ).
  2. Encontre a probabilidade do complemento do evento ( ( text {H AND G} )).
  3. Encontre a probabilidade do complemento do evento ( ( text {H OR G} )).

Exercício 3.3.19

Eventos dados ( text {J} ) e ( text {K}: P ( text {J}) = 0,18 ); (P ( text {K}) = 0,37 ); (P ( text {J OR K}) = 0,45 )

  1. Encontre (P ( text {J AND K}) ).
  2. Encontre a probabilidade do complemento do evento ( ( text {J AND K} )).
  3. Encontre a probabilidade do complemento do evento ( ( text {J AND K} )).

Responder

  1. (P ( text {J OR K}) = P ( text {J}) + P ( text {K}) - P ( text {J AND K}); 0,45 = 0,18 + 0,37 - P ( text {J AND K}) ); resolva para encontrar (P ( text {J AND K}) = 0,10 )
  2. (P ( text {NOT (J AND K)}) = 1 - P ( text {J AND K}) = 1 - 0,10 = 0,90 )
  3. (P ( text {NOT (J OR K)}) = 1 - P ( text {J OR K}) = 1 - 0,45 = 0,55 )

Glossário

Eventos Dependentes
Se dois eventos NÃO são independentes, dizemos que eles são dependentes.
Amostragem com Substituição
Se cada membro de uma população for substituído após ser escolhido, esse membro tem a possibilidade de ser escolhido mais de uma vez.
Amostragem sem substituição
Quando a amostragem é feita sem reposição, cada membro de uma população pode ser escolhido apenas uma vez.
A probabilidade condicional de um evento dado outro evento
P(UMA|B) é a probabilidade de que o evento UMA ocorrerá dado que o evento B já ocorreu.
A OR de dois eventos
Um resultado está no evento UMA OU B se o resultado for em UMA, é em B, ou está em ambos UMA e B.

Dois eventos são independentes se o seguinte for verdadeiro:

Dois eventos UMA e B está independente se o conhecimento de que um ocorreu não afeta a chance de o outro ocorrer. Por exemplo, os resultados de duas funções de um dado justo são eventos independentes. O resultado do primeiro lançamento não muda a probabilidade do resultado do segundo lançamento. Para mostrar que dois eventos são independentes, você deve mostrar apenas um das condições acima.

Se dois eventos NÃO são independentes, então dizemos que eles são dependente.

A amostragem pode ser feita com substituição ou Sem substituição.

  • Com substituição: Se cada membro de uma população for substituído após ser escolhido, esse membro tem a possibilidade de ser escolhido mais de uma vez. Quando a amostragem é feita com substituição, os eventos são considerados independentes, o que significa que o resultado da primeira escolha não mudará as probabilidades da segunda escolha.
  • Sem substituição: Quando a amostragem é feita sem reposição, cada membro de uma população pode ser escolhido apenas uma vez. Nesse caso, as probabilidades da segunda escolha são afetadas pelo resultado da primeira escolha. Os eventos são considerados dependentes ou não independentes.

Se não se sabe se UMA e B são independentes ou dependentes, suponha que eles sejam dependentes até que você possa mostrar o contrário.

Você tem um baralho justo e bem embaralhado de 52 cartas. Consiste em quatro naipes. Os naipes são paus, ouros, copas e espadas. Existem 13 cartas em cada naipe consistindo em 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J (Jack), Q (rainha), K (rei) desse naipe.

  1. mpling com substituição:Suponha que você escolha três cartas com substituição. A primeira carta que você escolhe das 52 cartas é a
    Q de espadas. Você coloca esta carta de volta, embaralha as cartas e pega uma segunda carta do baralho de 52 cartas. É o dez dos clubes. Você coloca esta carta de volta, embaralha as cartas e pega uma terceira carta do baralho de 52 cartas. Desta vez, o cartão é o Q de espadas novamente. Suas escolhas são <Q de espadas, dez de paus, Q de espadas>. Você escolheu o Q de espadas duas vezes. Você escolhe cada carta do baralho de 52 cartas.
  2. AmostragemSem substituição:Suponha que você escolha três cartas sem reposição. A primeira carta que você escolhe das 52 cartas é a
    K de corações. Você coloca esta carta de lado e pega a segunda carta das 51 cartas restantes no baralho. É o três de diamantes. Você coloca esta carta de lado e pega a terceira carta das 50 cartas restantes no baralho. A terceira carta é a J de espadas. Suas escolhas são <K de copas, três de ouros, J de espadas>. Como você escolheu as cartas sem reposição, não pode escolher a mesma carta duas vezes.

Eventos mutuamente exclusivos

UMA e B está Mutualmente exclusivo eventos se eles não puderem ocorrer ao mesmo tempo. Isso significa que UMA e B não compartilhe nenhum resultado e P(UMA E B) = 0.

Se não se sabe se UMA e B são mutuamente exclusivos, suponha que não sejam até que você possa mostrar o contrário. Os exemplos a seguir ilustram essas definições e termos.

Exemplo

Vire duas moedas justas. (Este é um experimento.)

O espaço da amostra é <HH, HT, º, TT> onde T = caudas e H = cabeças. Os resultados são HH, HT, º, e TT. Os resultados HT e TH são diferentes. O HT significa que a primeira moeda mostrou cara e a segunda moeda mostrou coroa. O º significa que a primeira moeda mostrou coroa e a segunda moeda mostrou cara.

  • Deixar UMA = o evento de obter nomais uma cauda. (No máximo uma cauda significa zero ou uma cauda.) Então UMA pode ser escrito como <HH, HT,º>. O resultado HH mostra zero caudas. HT e º cada um mostra uma cauda.
  • Deixar B = o evento de obter todas as caudas. B pode ser escrito como <TT>. B é o complemento do UMA, assim B = UMA'. Além disso, P(UMA) + P(B) = P(UMA) + P(UMA') = 1.
  • As probabilidades de UMA e para B está P(UMA) = [latex] displaystyle frac <<3>> <<4>> [/ latex].
  • Deixar C = o evento de obter todas as caras. C = <HH>. Desde B = <TT>, P(B E C) = 0. B e C são mutuamente exclusivos. (B e C não tem membros em comum porque você não pode ter todas as caudas e todas as caras ao mesmo tempo.)
  • Deixar D = evento de obtenção mais de um cauda. D = <TT>. P(D) = [latex] displaystyle frac <<1>> <<4>> [/ latex]
  • Deixar E = evento de obter uma cabeça no primeiro lançamento. (Isso significa que você pode obter uma cabeça ou uma cauda no segundo lançamento.) E = <HT,HH>. P(E) = [latex] displaystyle frac <<2>> <<4>> [/ latex]
  • Encontre a probabilidade de obter pelo menos um (uma ou duas) cauda em duas voltas. Deixar F = evento de obter pelo menos uma cauda em duas voltas.F = <HT, º, TT>. P(F) = [latex] displaystyle frac <<3>> <<4>> [/ latex]

Tente

Compre duas cartas de um baralho padrão de 52 cartas com substituição. Encontre a probabilidade de obter pelo menos um cartão preto.

O espaço de amostra para tirar duas cartas com substituição de um baralho padrão de 52 cartas com relação à cor é <BB, BR, RB, RR>.

Evento UMA = Obtendo pelo menos um cartão preto = <BB, BR, RB>

Exemplo

Vire duas moedas justas. Encontre as probabilidades dos eventos.

  1. Deixar F = o evento de obter no máximo uma cauda (zero ou uma cauda).
  2. Deixar G = o evento de obter duas faces iguais.
  3. Deixar H = o evento de obter uma cabeça no primeiro lance seguido por uma cabeça ou cauda no segundo lance.
  4. Está F e G Mutualmente exclusivo?
  5. Deixar J = o evento de obter todas as caudas. Está J e H Mutualmente exclusivo?

Observe o espaço de amostra no Exemplo 3.

  1. Zero (0) ou uma (1) cauda ocorre quando os resultados HH, º, HT mostrar-se. P(F) = [latex] displaystyle frac <<3>> <<4>> [/ latex]
  2. Duas faces são iguais se HH ou TT mostrar-se. P(G) = [latex] displaystyle frac <<2>> <<4>> [/ latex]
  3. Uma cabeça na primeira jogada seguida por uma cabeça ou cauda na segunda jogada ocorre quando HH ou HT mostrar-se. P(H) = [latex] displaystyle frac <<2>> <<4>> [/ latex]
  4. F e G compartilhado HH assim P(F E G) não é igual a zero (0). F e G não são mutuamente exclusivos.
  5. Obter todas as caudas ocorre quando as caudas aparecem em ambas as moedas (TT). H& # 8216s resultados são HH e HT.

J e H não tem nada em comum então P(J E H) = 0. J e H são mutuamente exclusivos.

Este vídeo fornece mais dois exemplos de como encontrar a probabilidade de eventos que são mutuamente exclusivos.

Tente

Uma caixa tem duas bolas, uma branca e uma vermelha. Selecionamos uma bola, colocamos de volta na caixa e selecionamos uma segunda bola (amostragem com substituição). Encontre a probabilidade dos seguintes eventos:

  1. Deixar F = o evento de pegar a bola branca duas vezes.
  2. Deixar G = o evento de obter duas bolas de cores diferentes.
  3. Deixar H = o evento de ficar branco na primeira escolha.
  4. Está F e G Mutualmente exclusivo?
  5. Está G e H Mutualmente exclusivo?
  1. P(F) = [latex] displaystyle frac <<1>> <<4>> [/ latex]
  2. P(G) = [latex] displaystyle frac <<1>> <<2>> [/ latex]
  3. P(H) = [latex] displaystyle frac <<1>> <<2>> [/ latex]
  4. sim
  5. Não

Exemplo

Jogue um dado justo de seis lados. O espaço da amostra é <1, 2, 3, 4, 5, 6>. Deixe o evento
UMA = um rosto é estranho. Então UMA = <1, 3, 5>. Deixe o evento B = um rosto é uniforme. Então B = <2, 4, 6>.

  • Encontre o complemento de UMA, UMA'. O complemento de UMA, UMA', é B Porque UMA e B juntos constituem o espaço da amostra. P(UMA) +P(B) = P(UMA) + P(UMA') = 1. Além disso, P(UMA) = [latex] displaystyle frac <<3>> <<6>> [/ latex].
  • Deixe o evento C = faces ímpares maiores que dois. Então C = <3, 5>. Deixe o evento D = todas as faces pares menores que cinco. Então D = <2, 4>. P(CE D) = 0 porque você não pode ter uma face ímpar e par ao mesmo tempo. Portanto, C e D são eventos mutuamente exclusivos.
  • Deixe o evento E = todas as faces com menos de cinco. E = <1, 2, 3, 4>.

Está C e E eventos mutuamente exclusivos? (Responda sim ou não.) Por que ou por que não?

  • Encontrar P(C|UMA) Esta é uma probabilidade condicional. Lembre-se de que o evento C é <3, 5> e evento UMA é <1, 3, 5>. Encontrar P(C|UMA), encontre a probabilidade de C usando o espaço da amostra UMA. Você reduziu o espaço da amostra do espaço da amostra original <1, 2, 3, 4, 5, 6> para <1, 3, 5>. Então, P(C|UMA) = [latex] displaystyle frac <<2>> <<3>> [/ latex].

Tente

Deixe o evento UMA = aprender espanhol. Deixe o evento B = aprender alemão. Então UMA E B = aprender espanhol e alemão. Suponha P(UMA) = 0,4 e P(B) = 0.2. P(UMA E B) = 0,08. São eventos UMA eB independente? Dica: você deve mostrar UM dos seguintes:

Exemplo

Deixe o evento G = tendo uma aula de matemática. Deixe o evento H = tendo aulas de ciências. Então, G E H = fazer aulas de matemática e ciências. Suponha P(G) = 0.6, P(H) = 0,5, e P(G E H) = 0,3. Está G e H independente?

Se G e H são independentes, então você deve mostrar 1 da seguinte:

A escolha que você faz depende das informações que você possui. Você pode escolher qualquer um dos métodos aqui porque possui as informações necessárias.

Desde G e H são independentes, saber que uma pessoa está fazendo uma aula de ciências não altera a chance de ela estar fazendo uma aula de matemática. Se os dois eventos não fossem independentes (ou seja, eles são dependentes), saber que uma pessoa está tendo uma aula de ciências mudaria a chance de ela estar fazendo matemática. Para praticar, mostre que P(H|G) = P(H) para mostrar que G e H são eventos independentes.

Tente

Em uma bolsa, há seis bolinhas vermelhas e quatro bolinhas verdes. As bolinhas vermelhas são marcadas com os números 1, 2, 3, 4, 5 e 6. As bolinhas verdes são marcadas com os números 1, 2, 3 e 4.

  • R = uma bola de gude vermelha
  • G = uma bola de gude verde
  • O = uma bola de gude de numeração ímpar
  • O espaço da amostra é S = <R1, R2, R3, R4, R5, R6, G1, G2, G3, G4>.

Exemplo

Deixe o evento C = tendo aulas de inglês. Deixe o evento D = tendo uma aula de discurso.

Justifique numericamente suas respostas às perguntas a seguir.

  1. Sim, porque P(C|D) = P(C).
  2. Não, porque P(C E D) não é igual a zero.
  3. [latex] displaystyle

    <()> = frac <<

    <( text )>>><<

    <() >>> = frac << 0,225 >> << 0,75 >> = <0,3> [/ latex]

Tente

Um aluno vai à biblioteca. Deixe eventos B = o aluno verifica um livro e D = o aluno dá uma olhada em um DVD. Suponha que P(B) = 0.40, P(D) = 0,30 e P(B E D) = 0.20.

  1. Encontrar P(B|D).
  2. Encontrar P(D|B).
  3. Está B e D independente?
  4. Está B e D Mutualmente exclusivo?

Exemplo

Em uma caixa, há três cartas vermelhas e cinco cartas azuis. As cartas vermelhas são marcadas com os números 1, 2 e 3, e as cartas azuis são marcadas com os números 1, 2, 3, 4 e 5. As cartas são bem embaralhadas. Você enfia a mão na caixa (você não pode ver dentro dela) e tira uma carta.

Deixar R = cartão vermelho é sorteado, B = cartão azul é desenhado, E = cartão de numeração par é sorteado.

  • P(R) = [latex] displaystyle frac <<3>> <<8>> [/ latex]. P(R E B) = 0. (Você não pode comprar uma carta que seja vermelha e azul.)
  • P(E) = [latex] displaystyle frac <<3>> <<8>> [/ latex]. (Existem três cartas pares, R2, B2, e B4.)
  • P(E|B) = [latex] displaystyle frac <<2>> <<5>> [/ latex]. (Existem cinco cartões azuis: B1, B2, B3, B4, e B5. Fora das cartas azuis, há duas cartas pares B2 eB4.)
  • P(B|E) = [latex] displaystyle frac <<2>> <<3>> [/ latex]. (Existem três cartas pares: R2, B2, e B4. Das cartas pares, a são azuis B2 eB4.)
  • Os eventos R e B são mutuamente exclusivos porque P(R E B) = 0.
  • Deixar G = cartão com um número maior que 3. G = <B4, B5>. P(G) = [latex] displaystyle frac <<2>> <<8>> [/ latex], P(G) = P(G|H), o que significa que G e H são independentes.

Tente

  • 70% dos torcedores estão torcendo pelo time da casa.
  • 25% dos fãs vestem azul.
  • 20% dos torcedores vestem-se de azul e torcem pelo time visitante.
  • Dos torcedores que torcem pelo time visitante, 67% vestem azul.

Deixar UMA ser o caso de um torcedor torcer pelo time visitante.

Deixar B ser o evento em que um torcedor está vestindo azul. Os eventos de torcer pelo time visitante e usar o azul são independentes? Eles são mutuamente exclusivos?

Então P(B) não é igual P(B|UMA) o que significa que B e UMA não são independentes (vestir azul e torcer pela equipe visitante não são independentes). Eles também não são mutuamente exclusivos, porqueP(BANDA UMA) = 0,20, não 0.

Exemplo

Em uma determinada turma da faculdade, 60% dos alunos são mulheres. Cinqüenta por cento de todos os alunos da classe têm cabelos compridos. Quarenta e cinco por cento dos alunos são mulheres e têm cabelos longos. Das alunas, 75% têm cabelos compridos. Deixar F ser o caso de um aluno ser do sexo feminino. Deixar eu seja o caso de um aluno ter cabelo comprido. Um aluno é escolhido aleatoriamente. Os eventos de ser mulher e ter cabelo comprido são independentes?

  • As seguintes probabilidades são fornecidas neste exemplo:
  • P(F) = 0.60 P(eu) = 0.50
  • P(F E eu) = 0.45
  • P(eu|F) = 0.75

Observação:A escolha que você faz depende das informações que você possui. Você pode usar a primeira ou a última condição da lista para este exemplo. Você não sabe P(F|eu) ainda, então você não pode usar a segunda condição.

Verifique se P(eu|F) é igual a P(eu) Nós recebemos isso P(eu|F) = 0,75, mas P(eu) = 0,50 eles não são iguais. Os eventos de ser mulher e ter cabelo comprido não são independentes.

Interpretação de resultados

Os eventos de ser mulher e ter cabelo comprido não são independentes, sabendo que um aluno é do sexo feminino, altera a probabilidade de um aluno ter cabelo comprido.

Tente

Mark está decidindo qual caminho seguir para o trabalho. Suas escolhas são eu = a Interestadual e F = Fifth Street.

Qual é a probabilidade de P(eu OU F)?

Exemplo

  1. Jogue uma moeda justa (a moeda tem dois lados, H e T) Os resultados são ________. Conte os resultados. Existem ____ resultados.
  2. Jogue um dado justo de seis lados (o dado tem 1, 2, 3, 4, 5 ou 6 pontos em um lado). Os resultados são ________________. Conte os resultados. Existem ___ resultados.
  3. Multiplique os dois números de resultados. A resposta é _______.
  4. Se você lançar uma moeda justa e seguir com o lançamento de um dado justo de seis lados, a resposta em três é o número de resultados (tamanho do espaço amostral). Quais são os resultados? (Dica: dois dos resultados são H1 e T6.)
  5. Evento UMA = cabeças (H) na moeda seguido por um número par (2, 4, 6) no dado.
    UMA = <_________________>. Encontrar P(UMA).
  6. Evento B = cara na moeda seguida de três no dado. B = <________>. Encontrar P(B).
  7. Está UMA e B Mutualmente exclusivo? (Dica: O que é P(UMA E B)? Se P(UMA E B) = 0, então UMA e B são mutuamente exclusivos.)
  8. Está UMA e B independente? (Dica: é P(UMA E B) = P(UMA)P(B)? Se P(UMA E B) = P(UMA)P(B), então UMA e B são independentes. Se não, então eles são dependentes).
  1. H e T 2
  2. 1, 2, 3, 4, 5, 6 6
  3. 2(6) = 12
  4. T1, T2, T3, T4, T5, T6, H1, H2, H3, H4, H5, H6
  5. UMA = <H2, H4, H6> P(UMA) = [latex] displaystyle frac <<3>> <<12>> [/ latex]
  6. B = <H3> P(B) = [latex] displaystyle frac <<1>> <<12>> [/ latex]
  7. Sim, porque P(UMA E B) = 0
  8. P(UMA E B) = 0.P(UMA)P(B) = [latex] displaystyle <( frac <<3>> <<12>>)> <( frac <<1>> <<12>>)> [/ latex]. P(UMA E B) não é igual P(UMA)P(B), assim UMA e B são dependentes.

Tente

Uma caixa tem duas bolas, uma branca e uma vermelha. Selecionamos uma bola, colocamos de volta na caixa e selecionamos uma segunda bola (amostragem com substituição). Deixar T seja o caso de pegar a bola branca duas vezes, F o evento de pegar a bola branca primeiro, S o evento de pegar a bola branca no segundo sorteio.

  1. Calcular P(T).
  2. Calcular P(T|F).
  3. Está T e F independente?.
  4. Está F e S Mutualmente exclusivo?
  5. Está F e S independente?
  1. P(T) = [latex] displaystyle frac <<1>> <<4>> [/ latex]
  2. P(T|F) = [latex] displaystyle frac <<1>> <<2>> [/ latex]
  3. Não
  4. Não
  5. sim

Eventos Independentes

Dois eventos são independentes se o seguinte for verdadeiro:

Dois eventos UMA e B está eventos independentes se o conhecimento de que um ocorreu não afeta a chance de o outro ocorrer. Por exemplo, os resultados de duas funções de um dado justo são eventos independentes. O resultado do primeiro lançamento não muda a probabilidade do resultado do segundo lançamento. Para mostrar que dois eventos são independentes, você deve mostrar apenas um das condições acima. Se dois eventos NÃO são independentes, então dizemos que eles são eventos dependentes.

A amostragem pode ser feita com substituição ou Sem substituição.

  • Com substituição: Se cada membro de uma população for substituído após ser escolhido, esse membro tem a possibilidade de ser escolhido mais de uma vez. Quando a amostragem é feita com substituição, os eventos são considerados independentes, o que significa que o resultado da primeira escolha não mudará as probabilidades da segunda escolha.

Uma bolsa contém quatro bolas de gude azuis e três brancas. James tira uma bola de gude da sacola ao acaso, registra a cor e substitui a bola de gude. A probabilidade de tirar o azul é de 4 7 4 7. Quando James tira uma bola de gude da bolsa uma segunda vez, a probabilidade de tirar o azul ainda é de 4 7 4 7. James recolocou a bola de gude após o primeiro sorteio, então ainda há quatro bolas azuis e três brancas.

  • Sem substituição: Quando a amostragem é feita sem reposição, cada membro de uma população pode ser escolhido apenas uma vez. Nesse caso, as probabilidades da segunda escolha são afetadas pelo resultado da primeira escolha. Os eventos são considerados dependentes ou não independentes.

Se não se sabe se UMA e B são independentes ou dependentes, suponha que eles sejam dependentes até que você possa mostrar o contrário.

Exemplo 3.4

Você tem um baralho justo e bem embaralhado de 52 cartas. Consiste em quatro naipes. Os naipes são paus, ouros, copas e espadas. Paus e espadas são pretos, enquanto ouros e copas são cartões vermelhos. Existem 13 cartas em cada naipe, consistindo em UMA (ace), 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J (Jack), Q (rainha), K (rei) desse naipe.

uma. Amostragem com substituição

b. Amostragem sem substituição

Você tem um baralho justo e bem embaralhado de 52 cartas. Consiste em quatro naipes. Os naipes são paus, ouros, copas e espadas. Existem 13 cartas em cada naipe consistindo de 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J (Jack), Q (rainha), K (rei) desse naipe. Três cartas são escolhidas aleatoriamente.

  1. Suponha que você saiba que as cartas escolhidas são Q de espadas, K de corações e Q de espadas.Você pode decidir se a amostragem foi com ou sem reposição?
  2. Suponha que você saiba que as cartas escolhidas são Q de espadas, K de corações, e J de espadas. Você pode decidir se a amostragem foi com ou sem reposição?

Exemplo 3.5

Você tem um baralho justo e bem embaralhado de 52 cartas. Consiste em quatro naipes. Os naipes são paus, ouros, copas e espadas. Existem 13 cartas em cada naipe consistindo em 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J (Jack), Q (rainha), e K (rei) desse naipe. S = espadas, H = Corações, D = Diamantes, C = Clubes.

  1. Suponha que você escolha quatro cartas, mas não coloque nenhuma carta de volta no baralho. Seus cartões são QS, 1D, 1C, QD.
  2. Suponha que você escolha quatro cartas e coloque cada uma de volta antes de escolher a próxima. Seus cartões são KH, 7D, 6D, KH.

Qual de a. ou b. você fez a amostra com substituição e qual foi a amostra sem substituição?

uma. Como você não coloca nenhum card de volta, o baralho muda após cada compra. Esses eventos são dependentes, e isso é amostragem sem substituição b. Como você coloca cada carta de volta antes de escolher a próxima, o baralho nunca muda. Esses eventos são independentes, portanto, trata-se de amostragem com substituição.

Você tem um baralho justo e bem embaralhado de 52 cartas. Consiste em quatro naipes. Os naipes são paus, ouros, copas e espadas. Existem 13 cartas em cada naipe consistindo de 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J (Jack), Q (rainha), e K (rei) desse naipe. S = espadas, H = Corações, D = Diamantes, C = Clubes. Suponha que você teste quatro cartões sem substituição. Quais dos seguintes resultados são possíveis? Responda à mesma pergunta para amostragem com reposição.


Um evento é algo que acontece, especialmente quando é incomum ou importante. Você pode usar eventos para descrever todas as coisas que estão acontecendo em uma determinada situação. Um evento é uma ocasião planejada e organizada, por exemplo, uma reunião social ou uma partida esportiva.

Se A e B são eventos independentes, então os eventos A e B & # 8217 também são independentes. Prova: Os eventos A e B são independentes, portanto, P (A ∩ B) = P (A) P (B). A partir do diagrama de Venn, vemos que os eventos A ∩ B e A ∩ B & # 8217 são mutuamente exclusivos e juntos formam o evento A.


Agora vamos ver o que acontece quando os eventos são não mutuamente exclusivo.

Exemplo: Copas e Reis

Corações e Reis juntos é apenas o Rei de Copas:

Mas corações ou Reis é:

Mas isso conta o Rei de Copas duas vezes!

Portanto, corrigimos nossa resposta, subtraindo a parte "e" extra:

16 cartas = 13 copas + 4 reis e menos o 1 rei de copas extra

Conte-os para ter certeza de que funciona!

P (A ou B) = P (A) + P (B) e menos P (A e B)

"A probabilidade de A ou B é igual à probabilidade de A mais a probabilidade de B
menos a probabilidade de A e B "

Aqui está o mesma fórmula, mas usando &copo e &boné:


Conteúdo: Evento Mutuamente Exclusivo Vs Evento Independente

Gráfico de comparação

Base para comparaçãoEventos mutuamente exclusivosEventos Independentes
SignificadoDois eventos são considerados mutuamente exclusivos, quando sua ocorrência não é simultânea.Dois eventos são considerados independentes, quando a ocorrência de um evento não pode controlar a ocorrência de outro.
InfluênciaA ocorrência de um evento resultará na não ocorrência do outro.A ocorrência de um evento não terá influência na ocorrência do outro.
Fórmula matemáticaP (A e B) = 0P (A e B) = P (A) P (B)
Conjuntos no diagrama de VennNão se sobrepõeSobreposições

Definição de Evento Mutuamente Exclusivo

Eventos mutuamente exclusivos são aqueles que não podem ocorrer simultaneamente, ou seja, onde a ocorrência de um evento resulta na não ocorrência do outro evento. Esses eventos não podem ser verdadeiros ao mesmo tempo. Portanto, o acontecimento de um evento torna impossível o acontecimento de outro. Eles também são conhecidos como eventos disjuntos.

Vamos dar um exemplo de lançamento de uma moeda, onde o resultado seria cara ou cauda. Cabeça e cauda não podem ocorrer simultaneamente. Tomemos outro exemplo, suponha que se uma empresa deseja comprar máquinas, para as quais tem duas opções, Máquina A e B. A máquina que é econômica e a produtividade é melhor, será selecionada. A aceitação da máquina A resultará automaticamente na rejeição da máquina B e vice-versa.

Definição de evento independente

Como o nome sugere, eventos independentes são os eventos em que a probabilidade de um evento não controla a probabilidade de ocorrência do outro evento. O acontecimento ou não acontecimento de tal evento não tem absolutamente nenhum efeito no acontecimento ou não acontecimento de outro evento. O produto de suas probabilidades separadas é igual à probabilidade de que ambos os eventos ocorrerão.

Tomemos um exemplo, suponha que se uma moeda for lançada duas vezes, cauda na primeira chance e cauda na segunda, os eventos são independentes. Outro exemplo para isso, suponha que se um dado for lançado duas vezes, 5 na primeira chance e 2 na segunda, os eventos são independentes.


4.2: Eventos Independentes e Mutuamente Exclusivos - Matemática

para qualquer subconjunto M & subK. Por exemplo, para quatro eventos A, B, C, D serem mutuamente independentes, devemos ter

Assim, pelas definições, a independência mútua implica a independência dos pares. Para dois eventos, as definições realmente coincidem. Por mais de dois eventos, eles não são. Existem eventos independentes de pares que não são mutuamente independentes. Dois exemplos foram produzidos por S. N. Bernstein anos atrás e discutidos mais recentemente (2007) por C. Stepniak.

Considere uma urna contendo quatro bolas, numeradas 110, 101, 011 e 000, das quais uma bola é tirada aleatoriamente. Para deixar Ak ser o caso de desenhar uma bola com 1 na k-ésima posição. Assim, os três eventos são independentes entre pares. No entanto, uma vez que A1&capa2&capa3 = & Oslash, eles não são mutuamente independentes.

Para um segundo exemplo, deixe Bk ser o caso de desenhar uma bola com 0 na posição k. Agora, porque em qualquer uma das três posições, 0 aparece exatamente duas vezes em quatro possibilidades. Para quaisquer dois índices distintos k e m, P (Bk& capBm) = 1/4, pois apenas uma bola em quatro tem zeros nas posições k e m. Portanto, os eventos Bk são (pares) independentes. No entanto, o que é diferente de significar que os eventos não são mutuamente independentes.

Os dois exemplos são essencialmente diferentes porque no primeiro a interseção de A está vazia, enquanto no segundo a interseção de B não está.

Observando isso, Stepniak passa a provar que os exemplos de Bernstein são os únicos possíveis em um espaço com quatro resultados. Assim, assuma que três eventos independentes (aos pares) A, B, C são definidos no espaço com quatro resultados, nenhum sendo o todo do espaço. Nenhum pode consistir em um único resultado. Pois suponha que então x pode ou não pertencer a, digamos, B. Se x & está em B, então e. Por outro lado, se x & não em B, A e B são disjuntos e, portanto, não são independentes. Segue-se que cada evento contém pelo menos dois elementos. Como os complementos de dois eventos são independentes apenas dos próprios eventos, vemos que os complementos dos eventos A, B, C também consistem em pelo menos 2 resultados cada. Concluímos que cada um consiste em exatamente dois resultados.

Existem apenas duas possibilidades. Há um resultado comum a todos os três eventos, o que dá a configuração do segundo exemplo. Ou não existe um resultado comum a todos os eventos, o que dá a configuração do primeiro exemplo.


3.2 Eventos Independentes e Mutuamente Exclusivos

Independente e mutuamente exclusivo fazer não significa a mesma coisa.

Eventos Independentes

Dois eventos são independentes se o seguinte for verdadeiro:

Dois eventos UMA e B são independentes se o conhecimento de que um ocorreu não afeta a chance de o outro ocorrer. Por exemplo, os resultados de duas funções de um dado justo são eventos independentes. O resultado do primeiro lançamento não muda a probabilidade do resultado do segundo lançamento. Para mostrar que dois eventos são independentes, você deve mostrar apenas um das condições acima. Se dois eventos NÃO são independentes, então dizemos que eles são dependente.

A amostragem pode ser feita com substituição ou Sem substituição.

  • Com substituição: Se cada membro de uma população for substituído após ser escolhido, esse membro tem a possibilidade de ser escolhido mais de uma vez. Quando a amostragem é feita com substituição, os eventos são considerados independentes, o que significa que o resultado da primeira escolha não mudará as probabilidades da segunda escolha.
  • Sem substituição: Quando a amostragem é feita sem reposição, cada membro de uma população pode ser escolhido apenas uma vez. Nesse caso, as probabilidades da segunda escolha são afetadas pelo resultado da primeira escolha. Os eventos são considerados dependentes ou não independentes.

Se não se sabe se UMA e B são independentes ou dependentes, suponha que eles sejam dependentes até que você possa mostrar o contrário.

Exemplo 3.4

Você tem um baralho justo e bem embaralhado de 52 cartas. Consiste em quatro naipes. Os naipes são paus, ouros, copas e espadas. Existem 13 cartas em cada naipe consistindo de 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J (Jack), Q (rainha), K (rei) desse naipe.

uma. Amostragem com substituição:
Suponha que você escolha três cartas com substituição. A primeira carta que você escolhe das 52 cartas é a Q de espadas. Você coloca esta carta de volta, embaralha as cartas e pega uma segunda carta do baralho de 52 cartas. É o dez dos clubes. Você coloca esta carta de volta, embaralha as cartas e pega uma terceira carta do baralho de 52 cartas. Desta vez, o cartão é o Q de espadas novamente. Suas escolhas são <Q de espadas, dez de paus, Q de espadas>. Você escolheu o Q de espadas duas vezes. Você escolhe cada carta do baralho de 52 cartas.

b. Amostragem sem substituição:
Suponha que você escolha três cartas sem reposição. A primeira carta que você escolhe das 52 cartas é a K de corações. Você coloca esta carta de lado e pega a segunda carta das 51 cartas restantes no baralho. É o três de diamantes. Você coloca esta carta de lado e pega a terceira carta das 50 cartas restantes no baralho. A terceira carta é a J de espadas. Suas escolhas são <K de copas, três de ouros, J de espadas>. Como você escolheu os cartões sem substituí-los, não pode escolher o mesmo cartão duas vezes.

Você tem um baralho justo e bem embaralhado de 52 cartas. Consiste em quatro naipes. Os naipes são paus, ouros, copas e espadas. Existem 13 cartas em cada naipe consistindo em 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J (Jack), Q (rainha), K (rei) desse naipe. Três cartas são escolhidas aleatoriamente.

  1. Suponha que você saiba que as cartas escolhidas são Q de espadas, K de corações e Q de espadas. Você pode decidir se a amostragem foi com ou sem reposição?
  2. Suponha que você saiba que as cartas escolhidas são Q de espadas, K de corações, e J de espadas. Você pode decidir se a amostragem foi com ou sem reposição?

Exemplo 3.5

Você tem um baralho justo e bem embaralhado de 52 cartas. Consiste em quatro naipes. Os naipes são paus, ouros, copas e espadas. Existem 13 cartas em cada naipe consistindo em 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J (Jack), Q (rainha), e K (rei) desse naipe. S = espadas, H = Corações, D = Diamantes, C = Clubes.

  1. Suponha que você escolha quatro cartas, mas não coloque nenhuma carta de volta no baralho. Seus cartões são QS, 1D, 1C, QD.
  2. Suponha que você escolha quatro cartas e coloque cada uma de volta antes de escolher a próxima. Seus cartões são KH, 7D, 6D, KH.

Qual de a. ou b. você fez a amostra com substituição e qual foi a amostra sem substituição?

Solução 1

uma. Sem substituição b. Com substituição

Você tem um baralho justo e bem embaralhado de 52 cartas. Consiste em quatro naipes. Os naipes são paus, ouros, copas e espadas. Existem 13 cartas em cada naipe consistindo em 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J (Jack), Q (rainha), e K (rei) desse naipe. S = espadas, H = Corações, D = Diamantes, C = Clubes. Suponha que você teste quatro cartões sem substituição. Quais dos seguintes resultados são possíveis? Responda à mesma pergunta para amostragem com reposição.

Eventos mutuamente exclusivos

UMA e B são eventos mutuamente exclusivos se não puderem ocorrer ao mesmo tempo. Isso significa que UMA e B não compartilhe nenhum resultado e P(UMA E B) = 0.

Se não se sabe se UMA e B são mutuamente exclusivos, presuma que não são até que você possa mostrar o contrário. Os exemplos a seguir ilustram essas definições e termos.

Exemplo 3.6

Vire duas moedas justas. (Este é um experimento.)

O espaço da amostra é <HH, HT, º, TT> onde T = caudas e H = cabeças. Os resultados são HH, HT, º, e TT. Os resultados HT e TH são diferentes. O HT significa que a primeira moeda mostrou cara e a segunda moeda mostrou coroa. O º significa que a primeira moeda mostrou coroa e a segunda moeda mostrou cara.

  • Deixar UMA = o evento de obter no máximo uma cauda. (No máximo uma cauda significa zero ou uma cauda.) Então UMA pode ser escrito como <HH, HT, º>. O resultado HH mostra zero caudas. HT e º cada um mostra uma cauda.
  • Deixar B = o evento de obter todas as caudas. B pode ser escrito como <TT>. B é o complemento do UMA, assim B = UMA'. Além disso, P(UMA) + P(B) = P(UMA) + P(UMA') = 1.
  • As probabilidades de UMA e para B está P(UMA) = 3 4 3 4 e P(B) = 1 4 1 4 .
  • Deixar C = o evento de obter todas as caras. C = <HH>. Desde B = <TT>, P(B E C) = 0. B e C são mutuamente exclusivos. (B e C não tem membros em comum porque você não pode ter todas as caudas e todas as caras ao mesmo tempo.)
  • Deixar D = evento de obtenção mais de um cauda. D = <TT>. P(D) = 1 4 1 4
  • Deixar E = evento de obter uma cabeça no primeiro lançamento. (Isso significa que você pode obter uma cabeça ou uma cauda no segundo lançamento.) E = <HT, HH>. P(E) = 2 4 2 4
  • Encontre a probabilidade de obter pelo menos um (uma ou duas) cauda em duas voltas. Deixar F = evento de obter pelo menos uma cauda em duas voltas. F = <HT, º, TT>. P(F) = 3 4 3 4

Compre duas cartas de um baralho padrão de 52 cartas com substituição. Encontre a probabilidade de obter pelo menos um cartão preto.

Exemplo 3.7

Vire duas moedas justas. Encontre as probabilidades dos eventos.

  1. Deixar F = o evento de obter no máximo uma cauda (zero ou uma cauda).
  2. Deixar G = o evento de obter duas faces iguais.
  3. Deixar H = o evento de obter uma cabeça no primeiro lance seguido por uma cabeça ou cauda no segundo lance.
  4. Está F e G Mutualmente exclusivo?
  5. Deixar J = o evento de obter todas as caudas. Está J e H Mutualmente exclusivo?

Solução 1

Observe o espaço de amostra no Exemplo 3.6.

J e H não tem nada em comum então P(J E H) = 0. J e H são mutuamente exclusivos.

Uma caixa possui duas bolas, uma branca e uma vermelha. Selecionamos uma bola, colocamos de volta na caixa e selecionamos uma segunda bola (amostragem com substituição). Encontre a probabilidade dos seguintes eventos:

  1. Deixar F = o evento de pegar a bola branca duas vezes.
  2. Deixar G = o evento de obtenção de duas bolas de cores diferentes.
  3. Deixar H = o evento de ficar branco na primeira escolha.
  4. Está F e G Mutualmente exclusivo?
  5. Está G e H Mutualmente exclusivo?

Exemplo 3.8

Jogue um dado justo de seis lados. O espaço da amostra é <1, 2, 3, 4, 5, 6>. Deixe o evento UMA = um rosto é estranho. Então UMA = <1, 3, 5>. Deixe o evento B = um rosto é uniforme. Então B = <2, 4, 6>.

  • Encontre o complemento de UMA, UMA'. O complemento de UMA, UMA', é B Porque UMA e B juntos constituem o espaço da amostra. P(UMA) + P(B) = P(UMA) + P(UMA') = 1. Além disso, P(UMA) = 3 6 3 6 e P(B) = 3 6 3 6 .
  • Deixe o evento C = faces ímpares maiores que dois. Então C = <3, 5>. Deixe o evento D = todas as faces pares menores que cinco. Então D = <2, 4>. P(C E D) = 0 porque você não pode ter uma face ímpar e par ao mesmo tempo. Portanto, C e D são eventos mutuamente exclusivos.
  • Deixe o evento E = todas as faces com menos de cinco. E = <1, 2, 3, 4>.

Está C e E eventos mutuamente exclusivos? (Responda sim ou não.) Por que ou por que não?

Solução 1

  • Encontrar P(C|UMA) Esta é uma probabilidade condicional. Lembre-se de que o evento C é <3, 5> e evento UMA é <1, 3, 5>. Encontrar P(C|UMA), encontre a probabilidade de C usando o espaço da amostra UMA. Você reduziu o espaço de amostra do espaço de amostra original <1, 2, 3, 4, 5, 6> para <1, 3, 5>. Então, P(C|UMA) = 2 3 2 3 .

Deixe o evento UMA = aprender espanhol. Deixe o evento B = aprender alemão. Então UMA E B = aprender espanhol e alemão. Suponha P(UMA) = 0,4 e P(B) = 0.2. P(UMA E B) = 0,08. São eventos UMA e B independente? Dica: você deve mostrar UM dos seguintes:

Exemplo 3.9

Deixe o evento G = tendo uma aula de matemática. Deixe o evento H = tendo aulas de ciências. Então, G E H = fazer aulas de matemática e ciências. Suponha P(G) = 0.6, P(H) = 0,5, e P(G E H) = 0,3. Está G e H independente?

Se G e H são independentes, então você deve mostrar 1 da seguinte:

A escolha que você faz depende das informações que você possui. Você pode escolher qualquer um dos métodos aqui porque possui as informações necessárias.


3.2 Eventos Independentes e Mutuamente Exclusivos

Independente e mutuamente exclusivo fazer não significa a mesma coisa.

Eventos Independentes

Dois eventos são independentes se um dos seguintes for verdadeiro:

Dois eventos UMA e B são independentes se o conhecimento de que um ocorreu não afeta a chance de o outro ocorrer. Por exemplo, os resultados de duas funções de um dado justo são eventos independentes. O resultado do primeiro lançamento não muda a probabilidade do resultado do segundo lançamento. Para mostrar que dois eventos são independentes, você deve mostrar apenas um das condições acima. Se dois eventos NÃO são independentes, então dizemos que eles são dependente.

A amostragem pode ser feita com substituição ou Sem substituição.

  • Com substituição: Se cada membro de uma população for substituído após ser escolhido, esse membro tem a possibilidade de ser escolhido mais de uma vez. Quando a amostragem é feita com substituição, os eventos são considerados independentes, o que significa que o resultado da primeira escolha não mudará as probabilidades da segunda escolha.
  • Sem substituição: Quando a amostragem é feita sem reposição, cada membro de uma população pode ser escolhido apenas uma vez. Nesse caso, as probabilidades da segunda escolha são afetadas pelo resultado da primeira escolha. Os eventos são considerados dependentes ou não independentes.

Se não se sabe se UMA e B são independentes ou dependentes, suponha que eles sejam dependentes até que você possa mostrar o contrário.

Exemplo 3.4

Você tem um baralho justo e bem embaralhado de 52 cartas. Consiste em quatro naipes. Os naipes são paus, ouros, copas e espadas. Existem 13 cartas em cada naipe consistindo em 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J (Jack), Q (rainha), K (rei) desse naipe.

uma. Amostragem com substituição:
Suponha que você escolha três cartas com substituição. A primeira carta que você escolhe das 52 cartas é a Q de espadas. Você coloca esta carta de volta, embaralha as cartas e pega uma segunda carta do baralho de 52 cartas. É o dez dos clubes. Você coloca esta carta de volta, embaralha as cartas e pega uma terceira carta do baralho de 52 cartas. Desta vez, o cartão é o Q de espadas novamente. Suas escolhas são <Q de espadas, dez de paus, Q de espadas>. Você escolheu o Q de espadas duas vezes. Você escolhe cada carta do baralho de 52 cartas.

b. Amostragem sem substituição:
Suponha que você escolha três cartas sem reposição. A primeira carta que você escolhe das 52 cartas é a K de corações. Você coloca esta carta de lado e pega a segunda carta das 51 cartas restantes no baralho. É o três de diamantes. Você coloca esta carta de lado e pega a terceira carta das 50 cartas restantes no baralho. A terceira carta é a J de espadas. Suas escolhas são <K de copas, três de ouros, J de espadas>. Como você escolheu os cartões sem substituí-los, não pode escolher o mesmo cartão duas vezes. A probabilidade de escolher o três de ouros é chamada de probabilidade condicional porque é condicionada ao que foi escolhido primeiro. Isso também se aplica à probabilidade de escolher o J de espadas. A probabilidade de escolher o J de espadas é, na verdade, condicionada à Ambas as escolhas anteriores.

Você tem um baralho justo e bem embaralhado de 52 cartas. Consiste em quatro naipes. Os naipes são paus, ouros, copas e espadas. Existem 13 cartas em cada naipe consistindo em 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J (Jack), Q (rainha), K (rei) desse naipe. Três cartas são escolhidas aleatoriamente.

  1. Suponha que você saiba que as cartas escolhidas são Q de espadas, K de corações e Q de espadas. Você pode decidir se a amostragem foi com ou sem reposição?
  2. Suponha que você saiba que as cartas escolhidas são Q de espadas, K de corações, e J de espadas. Você pode decidir se a amostragem foi com ou sem reposição?

Exemplo 3.5

Você tem um baralho justo e bem embaralhado de 52 cartas. Consiste em quatro naipes. Os naipes são paus, ouros, copas e espadas. Existem 13 cartas em cada naipe consistindo de 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J (Jack), Q (rainha), e K (rei) desse naipe. S = espadas, H = Corações, D = Diamantes, C = Clubes.

  1. Suponha que você escolha quatro cartas, mas não coloque nenhuma carta de volta no baralho. Seus cartões são QS, 1D, 1C, QD.
  2. Suponha que você escolha quatro cartas e coloque cada uma de volta antes de escolher a próxima. Seus cartões são KH, 7D, 6D, KH.

Qual de a. ou b. você fez a amostra com substituição e qual foi a amostra sem substituição?

Solução 1

uma. Sem substituição b. Com substituição

Você tem um baralho justo e bem embaralhado de 52 cartas. Consiste em quatro naipes. Os naipes são paus, ouros, copas e espadas. Existem 13 cartas em cada naipe consistindo em 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J (Jack), Q (rainha), e K (rei) desse naipe. S = espadas, H = Corações, D = Diamantes, C = Clubes. Suponha que você teste quatro cartões sem substituição. Quais dos seguintes resultados são possíveis? Responda à mesma pergunta para amostragem com reposição.

Eventos mutuamente exclusivos

UMA e B são eventos mutuamente exclusivos se não puderem ocorrer ao mesmo tempo. Dito de outra forma, se UMA ocorreu então B não pode ocorrer e vice-versa. Isso significa que UMA e B não compartilham nenhum resultado e P (A ∩ B) = 0 P (A ∩ B) = 0.

Se não se sabe se UMA e B são mutuamente exclusivos, suponha que não são até que você possa mostrar o contrário. Os exemplos a seguir ilustram essas definições e termos.

Exemplo 3.6

Vire duas moedas justas. (Este é um experimento.)

O espaço da amostra é <HH, HT, º, TT> onde T = caudas e H = cabeças. Os resultados são HH, HT, º, e TT. Os resultados HT e TH são diferentes. O HT significa que a primeira moeda mostrou cara e a segunda moeda mostrou coroa. O º significa que a primeira moeda mostrou coroa e a segunda moeda mostrou cara.

  • Deixar UMA = o evento de obter no máximo uma cauda. (No máximo uma cauda significa zero ou uma cauda.) Então UMA pode ser escrito como <HH, HT, º>. O resultado HH mostra zero caudas. HT e º cada um mostra uma cauda.
  • Deixar B = o evento de obter todas as caudas. B pode ser escrito como <TT>. B é o complemento do UMA, assim B = UMA'. Além disso, P(UMA) + P(B) = P(UMA) + P(UMA') = 1.
  • As probabilidades de UMA e para B está P(UMA) = 3 4 3 4 e P(B) = 1 4 1 4 .
  • Deixar C = o evento de obter todas as caras. C = <HH>. Desde B = <TT>, P (B ∩ C) = 0 P (B ∩ C) = 0. B e C são mutuamente exclusivos. (B e C não tem membros em comum porque você não pode ter todas as caudas e todas as caras ao mesmo tempo.)
  • Deixar D = evento de obtenção mais de um cauda. D = <TT>. P(D) = 1 4 1 4
  • Deixar E = evento de obter uma cabeça no primeiro lançamento. (Isso significa que você pode obter uma cabeça ou uma cauda no segundo lançamento.) E = <HT, HH>. P(E) = 2 4 2 4
  • Encontre a probabilidade de obter pelo menos um (uma ou duas) cauda em duas voltas. Deixar F = evento de obter pelo menos uma cauda em duas voltas. F = <HT, º, TT>. P(F) = 3 4 3 4

Compre duas cartas de um baralho padrão de 52 cartas com substituição. Encontre a probabilidade de obter pelo menos um cartão preto.

Exemplo 3.7

Vire duas moedas justas. Encontre as probabilidades dos eventos.

  1. Deixar F = o evento de obter no máximo uma cauda (zero ou uma cauda).
  2. Deixar G = o evento de obter duas faces iguais.
  3. Deixar H = o evento de obter uma cabeça no primeiro lance seguido por uma cabeça ou cauda no segundo lance.
  4. Está F e G Mutualmente exclusivo?
  5. Deixar J = o evento de obter todas as caudas. Está J e H Mutualmente exclusivo?

Solução 1

Observe o espaço de amostra no Exemplo 3.6.

Uma caixa possui duas bolas, uma branca e uma vermelha. Selecionamos uma bola, colocamos de volta na caixa e selecionamos uma segunda bola (amostragem com substituição). Encontre a probabilidade dos seguintes eventos:

  1. Deixar F = o evento de pegar a bola branca duas vezes.
  2. Deixar G = o evento de obtenção de duas bolas de cores diferentes.
  3. Deixar H = o evento de ficar branco na primeira escolha.
  4. Está F e G Mutualmente exclusivo?
  5. Está G e H Mutualmente exclusivo?

Exemplo 3.8

Jogue um dado justo de seis lados. O espaço da amostra é <1, 2, 3, 4, 5, 6>. Deixe o evento UMA = um rosto é estranho. Então UMA = <1, 3, 5>. Deixe o evento B = um rosto é uniforme. Então B = <2, 4, 6>.

  • Encontre o complemento de UMA, UMA'. O complemento de UMA, UMA', é B Porque UMA e B juntos constituem o espaço da amostra. P(UMA) + P(B) = P(UMA) + P(UMA') = 1. Além disso, P(UMA) = 3 6 3 6 e P(B) = 3 6 3 6 .
  • Deixe o evento C = faces ímpares maiores que dois. Então C = <3, 5>. Deixe o evento D = todas as faces pares menores que cinco. Então D = <2, 4>. P (C ∩ D) = 0 P (C ∩ D) = 0 porque você não pode ter uma face ímpar e par ao mesmo tempo. Portanto, C e D são eventos mutuamente exclusivos.
  • Deixe o evento E = todas as faces com menos de cinco. E = <1, 2, 3, 4>.

Está C e E eventos mutuamente exclusivos? (Responda sim ou não.) Por que ou por que não?


Assista o vídeo: PROBABILIDADE DA UNIÃO E EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS. AULA 4 (Outubro 2021).