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10.9: Expoentes inteiros e notação científica (Parte 2)


Converter de notação decimal em notação científica

Lembra de trabalhar com valor de posição para números inteiros e decimais? Nosso sistema numérico é baseado em potências de 10. Usamos dezenas, centenas, milhares e assim por diante. Nossos números decimais também são baseados em potências de dezenas - décimos, centésimos, milésimos e assim por diante.

Considere os números 4000 e 0,004. Sabemos que 4000 significa 4 × 1000 e 0,004 significa 4 × ( dfrac {1} {1000} ). Se escrevermos 1000 como uma potência de dez na forma exponencial, podemos reescrever esses números desta maneira:

[ begin {split} & 4000 qquad qquad 0,004 & 4 times 1000 qquad 4 times dfrac {1} {1000} & 4 times 10 ^ {3} qquad ; ; 4 times dfrac {1} {10 ^ {3}} & qquad qquad quad ; ; ; 4 vezes 10 ^ {- 3} end {split} ]

Quando um número é escrito como um produto de dois números, onde o primeiro fator é um número maior ou igual a um, mas menor que 10, e o segundo fator é uma potência de 10 escrita na forma exponencial, é dito que está em notação científica.

Definição: Notação Científica

Um número é expresso em notação científica quando está na forma de x 10n onde a ≥ 1 e a <10 e n é um número inteiro.

É comum na notação científica usar × como o sinal de multiplicação, embora evitemos usar esse sinal em outras partes da álgebra.

A notação científica é uma forma útil de escrever números muito grandes ou muito pequenos. É freqüentemente usado nas ciências para tornar os cálculos mais fáceis.

Se observarmos o que aconteceu com a vírgula decimal, podemos ver um método para converter facilmente de notação decimal em notação científica.

Em ambos os casos, o decimal foi movido 3 casas para obter o primeiro fator, 4, sozinho.

  • A potência de 10 é positiva quando o número é maior que 1: 4000 = 4 × 103.
  • A potência de 10 é negativa quando o número está entre 0 e 1: 0,004 = 4 × 10−3.

Exemplo ( PageIndex {12} ):

Escreva 37.000 em notação científica.

Solução

Passo 1: Mova a vírgula decimal para que o primeiro fator seja maior ou igual a 1, mas menor que 10.
Passo 2: Conta o número de casas decimais, n, que a vírgula foi movida.

3.70000

4 lugares

Etapa 3: escreva o número como um produto com potência de 10.3.7×104

Se o número original for:

  • maior que 1, a potência de 10 será 10n
  • entre 0 e 1, a potência de 10 será 10−n
Passo 4: Verifique.104 é 10.000 e 10.000 vezes 3,7 será 37.000.37,000 = 3.7×104

Exercício ( PageIndex {23} ):

Escreva em notação científica: 96.000.

Responder

9.6 × 104

Exercício ( PageIndex {24} ):

Escreva em notação científica: 48.300.

Responder

4.83 × 104

COMO: CONVERTER DE NOTAÇÃO DECIMAL PARA NOTAÇÃO CIENTÍFICA

Etapa 1. Mova a vírgula decimal para que o primeiro fator seja maior ou igual a 1, mas menor que 10.

Etapa 2. Conte o número de casas decimais, n, que a vírgula foi movida.

Etapa 3. Escreva o número como um produto com potência de 10.

Se o número original for:

  • maior que 1, a potência de 10 será 10n.
  • entre 0 e 1, a potência de 10 será 10−n.

Etapa 4. Verifique.

Exemplo ( PageIndex {13} ):

Escreva em notação científica: 0,0052.

Solução

Mova o ponto decimal para obter 5,2, um número entre 1 e 10.
Conte o número de casas decimais em que o ponto foi movido.3 lugares
Escreva como um produto com uma potência de 10.5.2 × 10−3
Verifique sua resposta:$$ begin {split} 5,2 & times 10 ^ {- 3} 5,2 & times dfrac {1} {10 ^ {3}} 5,2 & times dfrac {1} {1000} 5,2 & vezes 0,001 0. & 0052 final {divisão} $$
0.0052 = 5.2 × 10−3

Exercício ( PageIndex {25} ):

Escreva em notação científica: 0,0078.

Responder

7.8 × 10-3

Exercício ( PageIndex {26} ):

Escreva em notação científica: 0,0129.

Responder

1.29 × 10-2

Converter notação científica para a forma decimal

Como podemos converter a notação científica para a forma decimal? Vamos olhar para dois números escritos em notação científica e ver.

[ begin {split} & 9,12 times 10 ^ {4} qquad qquad 9,12 times 10 ^ {- 4} & 9,12 times 10.000 qquad 9,12 times 0,0001 & 91,200 qquad qquad quad 0.000912 end {split} ]

Se olharmos para a localização do ponto decimal, podemos ver um método fácil de converter um número da notação científica para a forma decimal.

Em ambos os casos, a vírgula decimal mudou 4 casas. Quando o expoente era positivo, o decimal movia-se para a direita. Quando o expoente era negativo, a vírgula decimal movia-se para a esquerda.

Exemplo ( PageIndex {14} ):

Converter para a forma decimal: 6,2 × 103.

Solução

Passo 1: Determine o expoente, n, no fator 10.6.2 × 103
Passo 2: Mova o ponto decimal n casas, adicionando zeros se necessário.
  • Se o expoente for positivo, mova a vírgula n casas para a direita.
  • Se o expoente for negativo, mova a vírgula decimal | n | lugares à esquerda.
6,200
etapa 3: Verifique se sua resposta faz sentido.
103 é 1000 e 1000 vezes 6,2 será 6.200.6.2 × 103 = 6,200

Exercício ( PageIndex {27} ):

Converter para a forma decimal: 1,3 × 103.

Responder

1,300

Exercício ( PageIndex {28} ):

Converter para a forma decimal: 9,25 × 104.

Responder

92,500

COMO: CONVERTER NOTAÇÃO CIENTÍFICA PARA A FORMA DECIMAL

Etapa 1. Determine o expoente, n, no fator 10.

Etapa 2. Mova as n casas decimais, adicionando zeros se necessário.

  • Se o expoente for positivo, mova a vírgula n casas para a direita.
  • Se o expoente for negativo, mova a vírgula decimal | n | lugares à esquerda.

Etapa 3. Verifique.

Exemplo ( PageIndex {15} ):

Converter para a forma decimal: 8,9 × 10−2.

Solução

Determine o expoente n, no fator 10.O expoente é -2.
Mova o ponto decimal 2 casas para a esquerda.
Adicione zeros conforme necessário para marcadores de posição.0.089
8.9 × 10−2 = 0.089
O cheque é deixado para você.

Exercício ( PageIndex {29} ):

Converter para a forma decimal: 1,2 × 10−4.

Responder

0.00012

Exercício ( PageIndex {30} ):

Converter para a forma decimal: 7,5 × 10−2.

Responder

0.075

Multiplique e divida usando notação científica

Usamos as propriedades dos expoentes para multiplicar e dividir os números em notação científica.

Exemplo ( PageIndex {16} ):

Multiplicar. Escreva as respostas na forma decimal: (4 × 105)(2 × 10−7).

Solução

Use a propriedade comutativa para reorganizar os fatores.4 • 2 • 105 • 10−7
Multiplique 4 por 2 e use a propriedade do produto para multiplicar 105 por 10−7.8 × 10−2
Mude para a forma decimal movendo a casa decimal duas casas para a esquerda.0.08

Exercício ( PageIndex {31} ):

Multiplicar. Escreva as respostas na forma decimal: (3 × 106)(2 × 10−8).

Responder

0.06

Exercício ( PageIndex {32} ):

Multiplicar. Escreva as respostas na forma decimal: (3 × 10−2)(3 × 10−1).

Responder

0.009

Exemplo ( PageIndex {17} ):

Dividir. Escreva as respostas na forma decimal: ( dfrac {9 times 10 ^ {3}} {3 times 10 ^ {- 2}} ).

Solução

Separe os fatores.$$ dfrac {9} {3} times dfrac {10 ^ {3}} {10 ^ {- 2}} $$
Divida 9 por 3 e use a Propriedade do Quociente para dividir 103 por 10−2.3 × 105
Mude para a forma decimal movendo as cinco casas decimais para a direita.300,000

Exercício ( PageIndex {33} ):

Dividir. Escreva as respostas na forma decimal: dfrac {8 times 10 ^ {4}} {2 times 10 ^ {- 1}}.

Responder

400,000

Exercício ( PageIndex {34} ):

Dividir. Escreva as respostas na forma decimal: dfrac {8 times 10 ^ {2}} {4 times 10 ^ {- 2}}.

Responder

20,000

A prática leva à perfeição

Use a definição de um expoente negativo

Nos exercícios a seguir, simplifique.

  1. 5−3
  2. 8−2
  3. 3−4
  4. 2−5
  5. 7−1
  6. 10−1
  7. 2−3 + 2−2
  8. 3−2 + 3−1
  9. 3−1 + 4−1
  10. 10−1 + 2−1
  11. 100 − 10−1 + 10−2
  12. 20 − 2−1 + 2−2
  13. (a) (-6)−2 (b) -6−2
  14. (a) (−8)−2 (b) -8−2
  15. (a) (−10)−4 (b) -10−4
  16. (a) (−4)−6 (b) −4−6
  17. (a) 5 • 2−1 (b) (5 • 2)−1
  18. (a) 10 • 3−1 (b) (10 • 3)−1
  19. (a) 4 • 10−3 (b) (4 • 10)−3
  20. (a) 3 • 5−2 (b) (3 • 5)−2
  21. n−4
  22. p−3
  23. c−10
  24. m−5
  25. (a) 4x−1 (b) (4x)−1 (c) (−4x)−1
  26. (a) 3q−1 (b) (3q)−1 (c) (−3q)−1
  27. (a) 6m−1 (b) (6m)−1 (c) (-6m)−1
  28. (a) 10k−1 (b) (10k)−1 (c) (−10k)−1

Simplifique as expressões com expoentes inteiros

Nos exercícios a seguir, simplifique.

  1. p−4 • p8
  2. r−2 • r5
  3. n−10 • n2
  4. q−8 • q3
  5. k−3 • k−2
  6. z−6 • z −2
  7. a • a−4
  8. milímetros−2
  9. p5 • p−2 • p−4
  10. x4 • x−2 • x−3
  11. uma3b−3
  12. você2 v−2
  13. (x5y−1) (x−10 y−3)
  14. (uma3b−3)(uma−5b−1)
  15. (uv−2)(você−5v−4)
  16. (pq−4) (p−6q−3)
  17. (-2r−3s9) (6r4s−5)
  18. (-3p−5q8) (7p2q−3)
  19. (-6m−8n−5) (- 9m4n2)
  20. (−8a−5b−4) (- 4a2b3)
  21. (uma3)−3
  22. (q10)−10
  23. (n2)−1
  24. (x4)−1
  25. (y−5)4
  26. (p−3)2
  27. (q−5)−2
  28. (m−2)−3
  29. (4 anos−3)2
  30. (3q−5)2
  31. (10p−2)−5
  32. (2n−3)−6
  33. você9você−2
  34. b5b−3
  35. x−6x4
  36. m5m−2
  37. q3q12
  38. r6r9
  39. n−4n−10
  40. p−3p−6

Converter de notação decimal em notação científica

Nos exercícios a seguir, escreva cada número em notação científica.

  1. 45,000
  2. 280,000
  3. 8,750,000
  4. 1,290,000
  5. 0.036
  6. 0.041
  7. 0.00000924
  8. 0.0000103
  9. A população dos Estados Unidos em 4 de julho de 2010 era de quase 310 milhões.
  10. A população mundial em 4 de julho de 2010 era de mais de 6.850.000.000.
  11. A largura média de um cabelo humano é 0,0018 centímetros.
  12. A probabilidade de ganhar na loteria Megamilhões de 2010 é de cerca de 0,0000000057.

Converter notação científica para a forma decimal

Nos exercícios a seguir, converta cada número para a forma decimal.

  1. 4.1 × 102
  2. 8.3 × 102
  3. 5.5 × 108
  4. 1.6 × 1010
  5. 3.5 × 10−2
  6. 2.8 × 10−2
  7. 1.93 × 10−5
  8. 6.15 × 10−8
  9. Em 2010, o número de usuários do Facebook a cada dia que mudaram seu status para 'engajado' era 2 × 104.
  10. No início de 2012, o orçamento federal dos EUA tinha um déficit de mais de US $ 1,5 × 1013.
  11. A concentração de dióxido de carbono na atmosfera é 3,9 × 10−4.
  12. A largura de um próton é 1 × 10−5 da largura de um átomo.

Multiplique e divida usando notação científica

Nos exercícios a seguir, multiplique ou divida e escreva sua resposta na forma decimal.

  1. (2 × 105)(2 × 10−9)
  2. (3 × 102)(1 × 10−5)
  3. (1.6 × 10−2)(5.2 × 10−6)
  4. (2.1 × 10−4)(3.5 × 10−2)
  5. ( dfrac {6 vezes 10 ^ {4}} {3 vezes 10 ^ {- 2}} )
  6. ( dfrac {8 vezes 10 ^ {6}} {4 vezes 10 ^ {- 1}} )
  7. ( dfrac {7 vezes 10 ^ {- 2}} {1 vezes 10 ^ {- 8}} )
  8. ( dfrac {5 vezes 10 ^ {- 3}} {1 vezes 10 ^ {- 10}} )

Matemática cotidiana

  1. Calorias Em maio de 2010, os fabricantes de alimentos e bebidas se comprometeram a reduzir seus produtos em 1,5 trilhão de calorias até o final de 2015.
    1. Escreva 1,5 trilhão em notação decimal.
    2. Escreva 1,5 trilhão em notação científica.
  2. Duração de um ano A diferença entre o ano civil e o ano astronômico é de 0,000125 dia.
    1. Escreva este número em notação científica.
    2. Quantos anos leva para que a diferença se torne 1 dia?
  3. Tela da calculadora Muitas calculadoras mostram automaticamente as respostas em notação científica se houver mais dígitos do que cabem no visor da calculadora. Para calcular a probabilidade de obter uma determinada mão de 5 cartas de um baralho de cartas, Mario dividiu 1 por 2.598.960 e viu a resposta 3.848 × 10−7. Escreva o número em notação decimal.
  4. Tela da calculadora Muitas calculadoras mostram automaticamente as respostas em notação científica se houver mais dígitos do que cabem no visor da calculadora. Para descobrir o número de maneiras pelas quais Bárbara poderia fazer uma colagem com 6 de suas 50 fotos favoritas, ela multiplicou 50 • 49 • 48 • 47 • 46 • 45. Sua calculadora deu a resposta 1,1441304 × 1010. Escreva o número em notação decimal.

Exercícios de escrita

  1. (a) Explique o significado do expoente na expressão 23. (b) Explique o significado do expoente na expressão 2−3.
  2. Quando você converte um número de notação decimal em notação científica, como saber se o expoente será positivo ou negativo?

Auto-verificação

(a) Depois de completar os exercícios, use esta lista de verificação para avaliar seu domínio dos objetivos desta seção.

(b) Depois de examinar a lista de verificação, você acha que está bem preparado para a próxima seção? Por que ou por que não?


10.9: Expoentes inteiros e notação científica (Parte 2)

Números como 2,25x10 5, 3,6x10 -3 e 7,478x10 2

Em notação científica, todos os números são expressos na forma

M é a "parte do número", deve ser maior que (ou igual a) 1 e menor que 10

Vejamos alguns números

UMA. 2,25x10 5

2,25 é a "parte do número", que fica entre 1 e 10

10 5 é a “parte expoente”, porque o expoente (5) é positivo, sabemos que o número é maior que 10

Na verdade, se usarmos matemática, podemos reescrever esse número como 2,25x10x10x10x10x10 ou 225.000

A notação científica foi inventada para que os cientistas pudessem escrever números em um formato menor e mais conveniente

3,6 é a "parte do número", situa-se entre 1 e 10

10 -3 é a “parte expoente”, porque o expoente (-3) é negativo, sabemos que o número é menor que 1

Este número pode ser reescrito como 3,6x (1/10) x (1/10) x (1/10) ou 3,6 / (10 3) ou 0,0036

Como expressar quantidades em notação científica

- Mova a vírgula decimal até que haja apenas um dígito diferente de zero à esquerda da vírgula

- Cada vez que você move o decimal para o esquerda, você adiciona um para o seu expoente

- Cada vez que você move o decimal para o certo, você subtrai um do seu expoente

Primeiro, movemos o decimal para que haja apenas um número à esquerda 2.27800000000

Podemos escrever o número completo com os zeros primeiro, depois contar o número de casas que movemos o decimal.

Nós o movemos 11 lugares para a esquerda.

Como o movemos para a esquerda, adicionamos 11 ao nosso expoente.

Nosso número original não tinha uma parte expoente, então simplesmente escrevemos x10 11 no final.

Nossa resposta será 2,278x10 11

Primeiro mova o decimal 0000007,89

Em seguida, conte o número de lugares que você moveu, 7 para a direita

Como o movemos para a direita, subtraímos 7 de nosso expoente.

Nosso número original não tinha uma parte expoente, então simplesmente escrevemos x10 -7 no final.

Portanto, nossa resposta será 7,89x10 -7

Operações em notação científica

Somando e subtraindo em notação científica

Identifique o número com o expoente inferior

Ajuste o expoente inferior para que corresponda ao superior

Não podemos somar ou subtrair em notação científica até que ambos os nossos números tenham o mesmo expoente.

Adicione ou subtraia as partes do número

Mantenha o expoente comum

Depois de concluir a operação, certifique-se sempre de que sua resposta esteja escrita em notação científica! Isso significa que a “parte do número” deve estar entre um e dez. Se não estiver, veja "Como expressar quantidades em notação científica" para que você possa corrigi-lo.

Se os números já tiverem o mesmo expoente (n), basta adicionar ou subtrair a parte do número e manter a mesma parte do expoente

4x10 8 + 3x10 8 = (4 + 3) x10 8 = 7x10 8

Se os números tiverem expoentes diferentes, mudamos o número com o expoente mais baixo para que corresponda ao expoente mais alto.

Primeiro, identificamos o número com o expoente mais alto. Neste caso, é 4,1x10 -6 (cuidado com os expoentes negativos!).

Isso significa que temos que corresponder a 3,0x10 -8. Para combinar o número, moveremos o decimal uma casa para a esquerda e adicionaremos um ao expoente. Vamos repetir este processo até que nosso expoente inferior corresponda ao superior

3,0x10 -8 move o decimal para a esquerda e adiciona um ao nosso expoente

Ainda não corresponde ao nosso expoente superior, então devemos repetir o processo

.30x10 -7 move o decimal para a esquerda e adiciona um ao nosso expoente

Nosso expoente agora corresponde ao superior

Agora podemos subtrair as "partes numéricas"

Finalmente, acrescentamos o expoente comum no final. Nossa resposta final é

Multiplicando em notação científica

Multiplique as “partes numéricas”

Primeiro, multiplique as "partes numéricas" 4x5 = 20

Em seguida, adicione os expoentes 10 3 + 11 = 10 14

Junte as duas partes e fixe sua resposta de forma que seja expressa em notação científica.

20x10 14 não é expresso em notação científica, portanto, devemos ajustá-lo movendo a casa decimal uma casa para a esquerda e adicionando um ao nosso expoente.

Divisão em notação científica

Divida as “partes numéricas”

Subtraia o expoente do denominador do expoente do numerador

Junte as duas partes e fixe sua resposta de forma que seja expressa em notação científica.

Primeiro, divida as “partes numéricas” 8/2 = 4

Em seguida, subtraia os expoentes 10 6-3 = 10 3

Junte as duas partes e fixe sua resposta de forma que seja expressa em notação científica.

4x10 3 já está expresso em notação científica, então podemos deixar nossa resposta assim. Você também pode expressar sua resposta como 4,0 x 10 3 se se sentir mais confortável dessa forma.

Ao mudar de uma unidade para outra,

Expresse ambos os prefixos em notação científica (consulte as tabelas abaixo)

Configure o problema como um problema de divisão, onde o numerador é a unidade que você recebeu e o denominador é a unidade para a qual você deseja converter

Continue com o processo de divisão. Não se esqueça de colocar a unidade no final.

Expresse ambos os prefixos em notação científica

13,8 nm = 13,8x10 -9 km = 1x10 3

Configure o problema como um problema de divisão,

Continue com o processo de divisão.

UMA. Primeiro, divida as "partes numéricas" 13,8 / 1 = 13,8

B. Em seguida, subtraia os expoentes 10 -9 (-3) = 10 -12

C. Junte as duas partes e fixe sua resposta de forma que seja expressa em notação científica.

13,8x10 -12 não é expresso em notação científica, portanto, devemos ajustá-lo movendo o decimal uma casa para a esquerda e adicionando um ao nosso expoente.


Encontrando Representações Equivalentes

Com base no aprendizado do dia anterior, lembro aos alunos sobre a conversa do dia anterior e nossa descoberta de uma estratégia que era muito mais eficiente na resolução de problemas com notação científica. Pedi a um aluno que explicasse o que havíamos descoberto, que se os números tivessem os mesmos expoentes, seria muito mais fácil realizar operações com eles.

Expliquei que hoje íamos praticar a escrita de números equivalentes. Salientei que metade dos números que usaríamos não estaria em notação científica adequada porque estaríamos alterando intencionalmente a representação de um dos dois números em cada problema para que os expoentes correspondessem.

A seguir, mostrei três exemplos e pedi que alguém explicasse como mudaríamos o primeiro para um número equivalente com o novo expoente. Um aluno se ofereceu para que eu movesse apenas três casas decimais para a direita, de modo que minha nova representação seria 34.000 x 10 ^ 5. Para verificar, escrevi o primeiro número na forma expandida como 340.000.000. Em seguida, escrevi 34.000 e mostrei o decimal movendo-se cinco casas para a direita. Eu perguntei: "Então, temos provas de que essas duas representações são equivalentes?"

Seguindo em frente, pedi aos alunos que dissessem a seus parceiros de ombro o que eu precisaria fazer para criar números equivalentes no segundo exemplo. Em seguida, puxei um graveto (do copo de gravetos com nomes nele) e pedi à aluna que fosse até o smartboard e escrevesse o número que ela achava que deveria ser preenchido.

Ela escreveu 179, que eu verifiquei escrevendo ambas as representações na forma padrão. Continuamos com os próximos quatro exemplos. No final desses exemplos, fiz uma pesquisa sobre os níveis de aprendizagem da classe. Pedi que me mostrassem onde estavam na escala de aprendizagem (5 dedos = eu poderia ensinar isso a alguém 4 = Eu entendo 3 = Estou começando a entender 2 = Eu entendo um pouco 1 = Eu não entendo nada ) As respostas dos alunos variam de 3 a 5, portanto, sinto-me confiante para passar para a próxima parte da lição.


Notação científica

A física lida com números muito pequenos e números muito grandes. Por exemplo, falamos sobre distâncias na escala atômica de menos de um bilionésimo de polegada, e quando falamos sobre estrelas e galáxias, as distâncias são trilhões de milhas. A notação científica é um método que nos permite escrever esses números muito grandes e muito pequenos de uma forma compacta. Isso é feito escrevendo o número como um número entre um e dez, multiplicado por uma potência de dez. Por exemplo, o número 2 bilhões é um 2 seguido por nove zeros, ou 2.000.000.000. Em notação científica, veríamos isso como 2 vezes um bilhão, onde um bilhão pode ser expresso como 10 9. Desse modo

e um número como 2345 torna-se

Para números muito pequenos, usamos potências negativas de dez. Lembre-se disso

então, por exemplo, um milésimo torna-se 10 & # 8211 3 porque

Calculadora Nota

As calculadoras científicas funcionam em notação científica, mas a maioria delas não exibe a parte & # 8221 ´ 10 & # 8243. Para inserir um número como 2,3 ´ 10 5, você deve


Exibir números em notação científica (exponencial)

O Científico formato exibe um número em notação exponencial, substituindo parte do número por E +n, em que E (expoente) multiplica o número anterior por 10 para o no poder. Por exemplo, um formato científico de 2 casas decimais exibe 12345678901 como 1,23E + 10, que é 1,23 vezes 10 elevado à décima potência.

Siga estas etapas para aplicar o formato científico a um número.

Selecione as células que deseja formatar. Para obter mais informações, consulte Selecionar células, intervalos, linhas ou colunas em uma planilha.

Dica: Para cancelar uma seleção de células, clique em qualquer célula da planilha.

No Casa guia, clique no pequeno Mais botão próximo a Número.

No Categoria lista, clique Científico.

Usando as setas pequenas, especifique o Casas decimais que você deseja exibir.

Dica: O número que está na célula ativa da seleção na planilha aparece no Amostra caixa para que você possa visualizar as opções de formatação de número que você selecionar.

Para formatar rapidamente um número em notação científica, clique em Científico no Formato numérico caixa (Casa aba, Número grupo). O padrão para notação científica é de duas casas decimais.

Um formato de número não afeta o valor real da célula que o Excel usa para realizar cálculos. O valor real pode ser visto na barra de fórmulas.

O limite máximo para a precisão do número é de 15 dígitos, portanto, o valor real mostrado na barra de fórmulas pode mudar para números grandes (mais de 15 dígitos).

Para redefinir o formato do número, clique Em geral no Formato numérico caixa (Casa aba, Número grupo). Células que são formatadas com o Em geral formato não usa um formato de número específico. No entanto, o Em geral formato usa notação exponencial para números grandes (12 ou mais dígitos). Para remover a notação exponencial de números grandes, você pode aplicar um formato de número diferente, como Número.


Multiplicando e dividindo números expressos em notação científica

Os números que são escritos em notação científica podem ser multiplicados e divididos simplesmente tirando proveito das propriedades dos números e das regras dos expoentes que você pode lembrar. Para multiplicar números em notação científica, primeiro multiplique os números que não são potências de 10 (o uma em [latex] a times10 ^[/látex]). Em seguida, multiplique as potências de dez adicionando os expoentes.

Isso produzirá um novo número vezes uma potência diferente de 10. Tudo o que você precisa fazer é verificar se esse novo valor está em notação científica. Se não for, você o converte.

Vejamos alguns exemplos.

Exemplo

Multiplique os coeficientes.

Multiplique as potências de 10 usando a regra do produto. Adicione os expoentes.

Converta 20,4 em notação científica movendo a vírgula decimal uma casa para a esquerda e multiplicando por [latex] 10 ^ <1> [/ latex].

Agrupe as potências de 10 usando a propriedade associativa de multiplicação.

Multiplique usando a regra do produto - adicione os expoentes.

Responder

Exemplo

Multiplique as potências de 10 usando a regra do produto - adicione os expoentes.

Converta 23,37 em notação científica movendo a vírgula decimal uma casa para a esquerda e multiplicando por [latex] 10 ^ <1> [/ latex].

Agrupe as potências de 10 usando a propriedade associativa de multiplicação.

Multiplique usando a regra do produto e adicione os expoentes.

Responder

No vídeo a seguir, você verá um exemplo de como multiplicar dois números escritos em notação científica.

Para dividir os números em notação científica, você mais uma vez aplica as propriedades dos números e as regras dos expoentes. Você começa dividindo os números que não são potências de 10 (o uma em [latex] a times10 ^[/látex]. Então você divide as potências de dez subtraindo os expoentes.

Isso produzirá um novo número vezes uma potência diferente de 10. Se ainda não estiver em notação científica, você o converte e está feito.

Vejamos alguns exemplos.

Exemplo

[latex] displaystyle left (0.82 right) left ( frac << <10> ^ <-9> >> << <10> ^ <-3> >> right) [/ latex]

Divida as potências de 10 usando a Regra do Quociente. Subtraia os expoentes.

Converta 0,82 em notação científica movendo o ponto decimal uma casa para a direita e multiplicando por [latex] 10 ^ <-1> [/ latex].

Agrupe as potências de 10 usando a propriedade associativa.

Multiplique as potências de 10 usando a regra do produto - adicione os expoentes.

Responder

Exemplo

Reagrupe usando a propriedade associativa.

[latex] displaystyle left (2.6989 right) left ( frac <10 ^ <10>> <10 ^ <12>> right) [/ latex]

Divida as potências de 10 usando a Regra do Quociente - subtraia os expoentes.

[latex] displaystyle begin left (2.6989 right) left (<<10> ^ <10-12>> right) 2.6989 times <<10> ^ <-2>> end[/látex]

Responder

Observe que, ao dividir os termos exponenciais, você subtrai o expoente no denominador do expoente no numerador. Você verá outro exemplo de divisão de números escritos em notação científica no vídeo a seguir.


10.9: Expoentes inteiros e notação científica (Parte 2)

Criação de um sobrescrito ou expoente
Use o seguinte toque de tecla para digitar expoentes no documento, para computadores Macintosh: SHIFT + COMANDO + SINAL DE MAIS = sobrescrito
Você também pode usar as seguintes instruções:
Destaque o número que precisa se tornar um expoente.
Selecione a barra de ferramentas "Formatar".
Selecione "Fonte" (ou Caractere )
Clique na caixa para criar um "Sobrescrito". Clique OK."

Se você criar todos os expoentes ao mesmo tempo, siga as instruções acima para criar o primeiro expoente. Em seguida, destaque o próximo número que precisa se tornar um expoente e use "Apple + Y" para repetir a formatação.

Assista ao breve videoclipe mostrado em aula para revisar os fundamentos da notação científica. Você também pode recuperar este vídeo da pasta do meu servidor.

Para outro clipe interessante sobre Notação Científica e Poderes de 10, consulte o site Secret Worlds: The Universe Within http://micro.magnet.fsu.edu/primer/java/scienceopticsu/powersof10/index.html

Revisão de Notação Científica
Insira uma tabela com três colunas e 6 linhas em seu documento do Word. Dê um título a cada coluna de acordo com as informações abaixo. Em seguida, digite suas respostas para as seguintes perguntas de revisão do site "Pratique com Notação Científica". Em seguida, verifique suas respostas usando o site. Faça as correções necessárias e revise as páginas de instrução apropriadas no site "Regents Math A: Scientific Notation".

Parte 1:
Expresso em notação científica correta. Use estes cabeçalhos de coluna para sua tabela:
Problema
Minha resposta original
Resposta correta
1. 61,500
2. 0.0000568
3. 321
4. 64,960,000
5. 0.07085

Parte 2:
Expresso em formato padrão. Use estes cabeçalhos de coluna para sua tabela:
Problema
Minha resposta original
Resposta correta
1. 1,09 x 10 3
2. 4,22715 x 10 8
3. 3,078 x 10 -4
4. 9,004 x 10 -2
5. 5,1874 x 10 2

Parte 3:
Multiplique ou divida conforme indicado e expresse em notação científica correta. Use estes cabeçalhos de coluna para sua tabela:
Problema
Minha resposta original
Resposta correta
1.
2.
3.
4.
5.

Parte 4: Aplicações da Notação Científica
Digite seu trabalho, justificativas e respostas abaixo em notação científica.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.

Parte 5: Enviando Pessoas para Marte
Digite seu trabalho, justificativas e respostas abaixo em notação científica.
1.
2.
3.
4.
5.

Questões de discussão:
Digite suas respostas a essas perguntas abaixo em forma de parágrafo. Lembre-se de usar gramática e ortografia adequadas. Inclua o (s) site (s) usado (s) para justificar suas respostas.
Número de pessoas e especialidades de trabalho
1.
2.
Consumo
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.


A notação científica foi desenvolvida para representar facilmente números muito grandes ou muito pequenos. Como você pode ver, pode ser tedioso escrever esses números repetidamente. Assim, foi desenvolvido um sistema para ajudar a representar esses números de uma forma que fosse de fácil leitura e compreensão: Notação Científica.

A notação científica é uma forma de escrever números muito grandes ou muito pequenos que usa expoentes. Os números são escritos no formato a × 10b. Alterar os números de ou para notação científica é fácil de fazer seguindo três etapas simples.


10.9: Expoentes inteiros e notação científica (Parte 2)

Nas ciências, muitas vezes lidamos com números que podem diferir em muitos ordens de magnitude, isto é, por potências de dez. Por exemplo, o Sol está a 148.986.000.000 de metros (em média) da Terra, mas a distância através de um dos prótons que existem no plasma do Sol é de cerca de 0,000000000000001 metros. São muitos zeros para controlar e a diferença entre esses números é imensa. Notação científica nos permite expressar esses números como 1,489 x 10 11 me 1 x 10 -15 m, respectivamente. Isso torna as coisas muito mais fáceis.

A conveniência de potências de dez

O gráfico à esquerda mostra várias potências de dez, de 10 9 para 10 -9 , e suas traduções em inteiros padrão ou notação decimal.

Você pode pensar na potência de dez como um instrução sobre onde mover o decimal. Se você começar com o dígito 1, que é o número real 1.0, então 10 9 significa & quotmover a vírgula decimal nove dígitos para o direito e preencha os espaços com zeros. & quot

10 9 = 1,000,000,000

Da mesma forma, começando com 1.0, E se -9 é o poder de 10 (10 -9 ), que significa & quotmover a vírgula decimal nove espaços para o deixou e preencha com (oito) zeros. & quot

10 -9 = 0.000000001

O comum sistema métrico os prefixos são listados em magenta para certas potências de dez.

Essas potências de dez formam a espinha dorsal da notação científica. Agora, vamos examinar a anatomia de um número escrito em notação científica.

Ordens de magnitude

Em ciências e matemática, uma diferença de potência de dez é chamada de ordem de grandeza. Por exemplo, 100 (10 2 ) e 1,000,000 (10 6 ) diferem em quatro ordens de magnitude.

Um filme incrível: & quotPoderes dos dez & quot

Reserve alguns minutos para assistir a este curta-metragem, & quotPowers of Ten & quot, produzido em 1977 por designers e educadores extraordinários, Charles e Ray Eames. Enquanto você o assiste, lembre-se de que foi filmado (sim, FILMADO) antes que tivéssemos muitos recursos gráficos digitais. Visto sob essa luz, é um trabalho verdadeiramente incrível e realmente ajudará a ilustrar o significado de ordens de magnitude.

Uma versão mais recente

Aqui está uma versão modernizada desse filme narrado por Morgan Freeman. Vale a pena assistir!

Anatomia de um número em notação científica

Agora podemos fazer uma extensão muito simples das potências de dez acima para criar o que chamamos de notação científica. À direita, há alguns exemplos de números em notação científica.

2,5 x 10 12 significa pegar 2.5, mova as 12 casas decimais para a direita e preencha as lacunas abertas com zeros para fazer 2,500,000,000,000 ou 2,5 trilhões. Em notação científica, o número à esquerda é sempre um único dígito seguido por um ponto decimal e o número correto (ver algarismos significativos) de dígitos após o decimal.

-3,2 x 10 -5 significa pegar o número negativo -3.2, e mova as 5 casas decimais para a esquerda, preenchendo as lacunas abertas com zeros para fazer -0.000032. Observe que o sinal de menos à esquerda de 3.2 não tem nada a ver com o expoente e simplesmente indica um número negativo.

Nós escreveríamos -2,5 trilhões como -2,5 x 10 12 .

Notação científica: formulário

Dentro notação científica, o número à esquerda é sempre um único dígito seguido por um ponto decimal e o número correto (ver algarismos significativos) de dígitos após o decimal.

Convertendo números em notação científica

Aqui estão alguns exemplos de como converter números, grandes e pequenos, em notação científica. Esta é uma das tarefas que você mais precisa realizar, portanto, é uma boa tarefa para aprender.

Exemplo 1: 12.000.000

Primeiro, há um implícito (não mostrado, mas lá) decimal após 12.000.000, e nosso objetivo é colocá-lo após o 1 e antes do 2:

Agora, simplesmente contamos quantos espaços da direita (o decimal original) que é:

Agora é uma questão simples formar o número em notação científica. É 1,2 com 6 zeros (a 7ª posição é ocupada pelo 2):

Observe que o número em notação científica é realmente uma espécie de receita para recuperar nosso número original: & quotPegue 1,2 e mova as 7 casas decimais para a direita. & quot Quando estivermos formando a notação científica, o movimento é na direção oposta, mas isso é apenas para Formato 1,2 x 10 7 em primeiro lugar.

Exemplo 2: 232.124,5

Este exemplo é semelhante ao primeiro, exceto que, na verdade, há uma casa decimal no número original.

Para mover o decimal entre 2 e 3, precisaremos movê-lo cinco casas para a esquerda:

Agora, nosso número em notação científica é

Neste caso, carregamos muitos dígitos do número original. Eles devem ser carregados desde que sejam significativos de acordo com as regras dos dígitos significativos.

Exemplo 3: 0,000323

Aqui está nosso primeiro exemplo de um número menor que um. Queremos mover o decimal entre o 3 e o 2:

Isso significa mover a casa decimal quatro casas para a direita:

para obter nosso número em notação científica:

Lembre-se de que este número é uma receita para recuperar nosso número original. Ele diz, & quotmova as quatro casas decimais para a direita, preenchendo os espaços com zeros, para obter o número original 0,000323. & Quot

Exemplo 4: - 0,0000044

Nosso último exemplo é um número negativo. A versão da notação científica será, portanto, -4,4 x 10 ?, Vamos determinar o expoente:

Isso significa mover as cinco casas decimais para a direita:

para obter nossa notação científica,

Problemas de prática

Converta esses números para a forma de notação científica.

Solução do problema 1

Um número em notação científica é uma "receita" para reconstruir o número em sua forma "nativa". Este, 1,54 & # 215 10 -3, significa: mova as três casas decimais para a esquerda (expoente negativo), preenchendo com zeros, para recuperar a forma nativa.

Solução do problema 2

Solução do problema 3

Solução do problema 4

Solução do problema 5

Problem 6 solution

Problem 7 solution

Problem 8 solution

Problem 9 solution

Multiplication of numbers in scientific notation

Multiplication of numbers in scientific notation is easy. That's in large part why we even use it. We make use of the commutative property of multiplication, that is a·b = b·a, e a·b·c = a·c·b, and so on.

Exemplo 5

(2.1 x 10 11 )(3.2 x 10 3 )

There are two keys to doing this kind of multiplication. The first is that the only operation there is multiplication, so we can easily rearrange this expression to

Now the first multiplication is just 2.1(3.2) = 6.7 (I'm being careful not to use more digits after the decimal than I should). The second key is that when we multiply powers of the same base, we just add exponents. It's pretty easy to see why with a simple example like (10 3 )(10 2 ):

$ egin (10^3)(10^2) &= (10 cdot 10cdot 10)(10cdot 10) &= 10 cdot 10 cdot 10 cdot 10 cdot 10 &= 10^5 &= 10^ <3 + 2>end$

Example 6

(3.21 x 10 -12 )(9.09 x 10 4 )

Neste exemplo, 3.21 x 9.09 = 29.2 We don't like to have two digits before the decimal in scientific notation, so we're going to have to adjust the exponent of our result at the end to put it back to the proper place. First we rearrange to

Then multiplying the numbers and powers of ten separately we have

$= 29.2 imes 10^ <-12 + 4>= 29.2 imes 10^<-8>$

Now we've got to move the decimal one place to the left to get this number into proper form. Notice that the "instruction" 10 -8 says to move the decimal 8 places to the left. If we do one of these moves ahead of time, we'll have to change that "instruction" to 10 -7 , so our result is

Take a minute to convince yourself that 29.2 x 10 -8 and 2.92 x 10 -7 are the same number.

Practice problems

Multiply these numbers and express the results in proper scientific notation:

1. (1.0 × 10 7 )(2.1 × 10 3 ) Solução
2. (9.2 × 10 6 )(4.3 × 10 2 ) Solução
3. (6.26 × 10 -3 )(3.21 × 10 14 ) Solução
4. (6.022 × 10 23 )(1.981 × 10 -19 ) Solução
5. (6.022 × 10 23 )(2 × 10 2 ) Solução
6. (3.11 × 10 18 )(3.11 × 10 -19 ) Solução
7. (4.2822 × 10 3 )(4.2822 × 10 -5 ) Solução
8. (2.22 × 10 -4 )(2.22 × 10 -11 ) Solução
9. (0.334)(7.1 × 10 -10 ) Solução
10. (101,325)(1.981 × 10 -19 ) Solução

Problem 1 solution

Problem 2 solution

Problem 3 solution

Problem 4 solution

Problem 5 solution

Problem 6 solution

Problem 7 solution

Problem 8 solution

Problem 9 solution

Problem 10 solution

Division of numbers in scientific notation

Division of one number in scientific notation by another is as straightforward as multiplication. Divide the numbers, then divide the powers of 10 and multiply the two. Remember that when we divide powers of the same base, we subtract the exponent of the denominator from the exponent of the numerator. Aqui está um exemplo:

Here's an example of a division problem in scientific notation. We can regroup the decimal numbers and powers of ten:

Then it's just a matter of dividing 4.22 by 2.31 and subtracting the exponents of the powers of ten to get the result.

Here are some practice exercises .

Practice problems

Divide these numbers and express the results in proper scientific notation:

Problem 1 solution

Problem 2 solution

Problem 3 solution

Problem 4 solution

Problem 5 solution

Problem 6 solution

Scientific notation on a calculator or computer: EE

On most calculators, we enter scientific notation using a button labeled EXP ou EE. Both are a shorthand for " times ten to the power of ."

For example, if I want to enter 2.48 x 10 19 , on the calculator on the left, I enter the sequence "2.48 [2nd] EE 19". On the calculator shown here, EE is the 2nd function of the comma ( , ) key.

Four calculations – two multiplications and two divisions – have been entered and performed on this calculator. The first multiplication is

(2.48 x 10 19 )(5.81 x 10 -6 )

1.44 x 10 14 .

See if you can follow the rest of those calculations.

You can set your calculator to display results in scientific notation if you'd like. On this calculator it's done using the [MODE] botão.

Notice that the 3 rd result was displayed as 4613.333. This calculator was not set up to use scientific notation for numbers in the 1000 range.

Some calculators have a mode such that when you press something like EE 4, it will print 10 4 . That's nice, but not completely necessary. Use it if you have it and you like it.

Historical note: EE stands for Engineering Exponent. It was a calculator shortcut developed at a time when most calculator users were engineers.


Teacher Lesson Plan

After completing the Part I (of 2) scientific notation online lab exercises, students will be able to manipulate and interpret large numbers expressed in the "exponent" format of scientific notation.

  1. Basic math skills.
  2. Basic familiarity with web--browser navigation.
  1. Computer Lab with Internet connection or a single machine and suitable projection equipment. We recommend a Pentium class or Mac OS 8.6 G3 (or later) computer (166 MHz, with at least 32 MB RAM).
  2. Java-capable and enabled browser with the Java Run-Time Environment plug-in installed. For questions/assistance write [email protected] .
  3. Student Lab Packet - This is a printable version of the lab materials (instructions, frequent questions, graph formats, and questions/problems) where students can record their lab data.
  1. Have students mathematically manipulate some large numbers, for example of the sort that appear in population graphs. Multiply 6 billion (the number of people in the world) by the number of eyes/fingers/teeth/cells in the human body. Have them do these calculations using conventional notation.
  2. Ask the students to identify the difficulties in these manipulations, and to suggest alternative ways to perform these operations beyond the standard techniques for multiplication, division, et cetera that they are familiar with. Can they arrive at a scheme similar to the standard scientific notation?

Pre-Assessment: To quickly gauge your students' present (if any) understanding of "scientific notation", you may have them connnect scientific and conventional notation by filling out "blanks" in a table such as that below.

English Conventional Notation Notação científica
Um 1 1 x 10 0
Ten 10 1 x 10 1
Hundred 100 1 x 10 2
Thousand 1,000 1 x 10 3
Million 1,000,000 1 x 10 6
Billion 1,000,000,000 1 x 10 9
et cetera et cetera et cetera

DIRECTIONS FOR TEACHING THE LAB

This symbol appears when lab partners are expected to discuss ideas with each other.

  1. An "Introducing Exponents" applet allows students to relate scientific and conventional notations. Note: this applet uses the nubers 0 through 23. Negative exponents are too complicated to teach at this stage, and 23 is the largest commonly used exponent in science.
  2. An "Do you know it?" applet will randomly generate problems relating scientific and conventional notations. Students can record their answers to these questions in logs included in the student lab packets.
  3. An "step-through" applet guides students through the basics of multiplication and division of numbers expressed in scientific notation.

SUMMARY: This lesson introduces students to the formalism of "scientific notation" and to its arithmetical manipulation.

  1. Convert a conventional number into scientific notation, and vice-versa.
  2. Perform the operations of multiplication and division on numbers expressed in scientific notation.

POST-ASSESSMENT: Teachers may return to the pre-assessment questions and use these same questions or compose their own post-assessment instrument. Hopefully, teachers can also include more difficult, higher-level questions in their post-assessment.


Assista o vídeo: Notação Científica (Outubro 2021).