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5.1: Decimais


Em 29 de janeiro de 2001, a Bolsa de Valores de Nova York encerrou sua tradição de 200 anos de cotar os preços das ações em frações e mudou para decimais.

Foi dito que precificar as ações da mesma forma que outros itens de consumo eram precificados tornaria mais fácil para os investidores entender e comparar os preços das ações. As bolsas estrangeiras eram negociadas em decimais há décadas. Os defensores da mudança alegaram que o volume de negócios, o número de ações negociadas, aumentaria e melhoraria a eficiência.

Mas mudar para decimais teria outro efeito de estreitando a propagação. O espalhar é a diferença entre o melhor preço oferecido pelos compradores, chamado de oferta, e o preço solicitado pelos vendedores chamado de perguntar. Os corretores da bolsa fazem comissões como uma porcentagem do spread que, usando frações, pode ser qualquer coisa acima de 12 centavos por ação.

Quando a Bolsa de Valores de Nova York começou em 1792, o dólar era baseado na moeda espanhola real, (pronuncia-se ray-al), também chamado pedaços de oito já que essas moedas de prata eram freqüentemente cortadas em quartos ou oitavos para fazer troco. Isso é o que levou os preços das ações inicialmente denominados em oitavos. Assim, o menor spread que poderia ocorrer seria de 1/8 de um dólar, ou 12,5 centavos. Isso pode parecer uma pequena mudança, mas comprar 1000 ações por $ 1 por ação com um spread de $ 0,125 é uma comissão de $ 125,00. Nada mal para uma troca rápida!

A decimalização do preço das ações permitiu spreads tão pequenos quanto 1 centavo. Como o número de ações negociadas nas bolsas de valores disparou, com trilhões de ações negociadas diariamente, as comissões dos corretores da bolsa não sofreram. E a facilidade com que os investidores podem captar rapidamente o preço das ações tem contribuído para a abertura de mercados para todas as classes de pessoas.

Neste capítulo, aprenderemos como calcular e resolver problemas com decimais e ver como eles se relacionam com frações.


O que é 1/5 como decimal?

Converter 1/5 em decimal é provavelmente um dos cálculos mais fáceis que você pode fazer. Neste guia (muito curto), mostraremos como transformar qualquer fração em decimal em 3 segundos ou menos! Aqui vamos nós!

Quer aprender rapidamente ou mostrar aos alunos como converter 1/5 em decimal? Jogue este vídeo muito rápido e divertido agora!

Em primeiro lugar, se você não sabe o que é um numerador e um denominador em uma fração, precisamos recapitular:

Aqui está o pequeno segredo que você pode usar para transformar instantaneamente qualquer fração em decimal: Basta dividir o numerador pelo denominador:

Isso é literalmente tudo o que há para fazer! 1/5 como decimal é 0,2.

Eu gostaria de ter mais a dizer sobre como converter uma fração em decimal, mas é realmente simples e não há mais nada a dizer sobre isso.

Se quiser praticar, pegue uma caneta e um bloco e tente calcular você mesmo algumas frações para o formato decimal. Se vocês são realmente sentindo preguiça você pode usar nossa calculadora abaixo!


5.1: Decimais

ENTENDENDO O PADRÃO

COMPREENSÕES ESSENCIAIS

CONHECIMENTOS E HABILIDADES ESSENCIAIS

· A estrutura do sistema numérico de Base-10 é baseada em um padrão simples de dezenas em que cada lugar é dez vezes o valor do lugar à sua direita. Isso é conhecido como relação de valor de posição dez para um.

· Um ponto decimal separa as casas do número inteiro das casas menores que uma. Os valores de lugar se estendem infinitamente em duas direções a partir de um ponto decimal. Um número contendo um ponto decimal é chamado de número decimal ou simplesmente um decimal.

· Ler o número inteiro à esquerda da vírgula decimal, se houver

· Ler o ponto decimal como "e"

· Leia os dígitos à direita da vírgula decimal da mesma forma que você leria um número inteiro e

· Diga o nome da posição do dígito na menor casa.

· Os decimais podem ser escritos em uma variedade de formas:

· Escrito: vinte e três e quatrocentos e cinquenta e seis milésimos

· Expandido: (2 ´ 10) + (3 ´ 1) + (4 ´ 0,1) +

· Para ajudar os alunos a identificar a relação de valor posicional de dez para um de decimais até milésimos, use manipuladores de Base-10, como esteiras / gráficos de valor posicional, quadrados decimais, blocos de Base-10 e dinheiro.

· Os decimais podem ser arredondados para o número inteiro mais próximo, décimo ou centésimo em situações em que os números exatos não são necessários.

· As estratégias para arredondar os números decimais para o número inteiro mais próximo, décimo e centésimo, são as seguintes:

· Olhe um lugar à direita do dígito para o qual deseja arredondar.

· Se o dígito for menor que 5, deixe o dígito na casa de arredondamento como está e altere os dígitos à direita da casa de arredondamento para zero.

· Se o dígito for 5 ou maior, adicione 1 ao dígito na casa de arredondamento e altere os dígitos à direita da casa de arredondamento para zero.

· Crie uma linha numérica que mostra o decimal que deve ser arredondado.

· A posição do decimal ajudará as crianças a conceituar a colocação do número em relação ao arredondamento. Um exemplo é arredondar 5.747 para o centésimo mais próximo:

· Compreenda que os decimais são arredondados de maneira semelhante à forma como os números inteiros são arredondados.

· Compreenda que os números decimais podem ser arredondados para estimar quando os números exatos não são necessários para a situação em questão.

O aluno usará resolução de problemas, comunicação matemática, raciocínio matemático, conexões e representações para


5.1: Decimais

Para começar, observe que 5 1/9 é um número misto, também conhecido como fração mista. Tem um número inteiro e um número fracionário. Rotulamos as partes do número misto abaixo para que seja mais fácil acompanhar.

5 = número inteiro
1 = Numerador
9 = Denominador

Para obter 5 1/9 na forma decimal, basicamente convertemos o número misto em uma fração e dividimos o numerador da fração pelo denominador da fração.


Aqui estão as etapas matemáticas detalhadas que usamos para converter números mistos de 5 1/9 para a forma decimal:

Passo 1: Multiplique o número inteiro pelo denominador:

Passo 2: Adicione o produto obtido na Etapa 1 ao numerador:

Etapa 3: Divida a soma da Etapa 2 pelo denominador:

É isso pessoal! A resposta para 5 1/9 na forma decimal é exibida abaixo:


Número misto na forma decimal
5 1/9 na forma decimal não é tudo o que podemos fazer! Aqui você pode converter outro número misto para a forma decimal.


O que é 5 2/1 na forma decimal?
Aqui está o próximo número misto de nossa lista que convertemos para a forma decimal.


Frações em problemas de palavras:


    Cyka preparou 6 xícaras de 19/20 de ponche com dois tipos diferentes de suco. Se o ponche tivesse 4 1/5 xícaras de um tipo de suco, quantas xícaras do outro tipo de suco ele tinha?
    O fazendeiro Peter pinta 12 galinheiros. Ele começou a pintar hoje de manhã. Agora ele só tem 1/4 do galinheiro para pintar esta tarde. Quantos galinheiros o fazendeiro Peter pintou esta manhã?
    O pai tem madeira de 12 1/5 metros de comprimento. Então cortei a madeira em dois pedaços. Uma parte tem 7 3/5 metros de comprimento. Calcular o comprimento da outra madeira?
    3 libras subtraem 1/3 de libra.
    Existem 40 alunos em uma determinada classe. 3/5 da classe são meninos. Quantas são meninas?
    Expresso em mm: 5 3/10 cm - 2/5 mm
    A Sra. Lazo comprou tecido para cortinas de 9 1/8 m. Ela usou 3 5/6 m para fazer uma cortina para seu quarto. Quantos metros de tecido não foram usados?
    Martin está fazendo um modelo de uma canoa nativa americana. Ele tem 1,50 m de madeira. Ele usa 2 3/4 pés para o casco e 1 1/4 pés para um remo. Quanta madeira ele deixou? Martin ainda tem pés de madeira.
    O pediatra neste mês de 20 dias úteis tira 8 dias de férias. Qual é a probabilidade de que na segunda-feira esteja no trabalho?
    Qual é a diferença entre 4 2/3 e 3 1/6?
    Ananya tem um coelho. Ela comprou 4 7/8 libras de cenouras. Ela alimentou seu coelhinho com meio quilo de cenouras na primeira semana. Ela alimentou seu coelhinho com 5/6 libras de cenouras na segunda semana. Juntos, quantos quilos de cenouras ela deu para o coelhinho? 1. Desenhe uma fita diagnóstica
    A lei federal exige que todos os banheiros residenciais vendidos nos Estados Unidos não usem mais do que 1 3/5 galões de água por descarga. Antes desta legislação, os vasos sanitários convencionais usavam 3 2/5 galões de água por descarga. Encontre a quantidade de água economizada em um ano
    Heather tem 2 xícaras de açúcar de confeiteiro. Ela polvilha 3/5 do açúcar em um prato de brownies e o restante em um prato de biscoitos de limão. Quanto açúcar Heather espalha nos brownies? Quanto açúcar Heather polvilha no coo de limão

Converter dados decimais e numéricos

Para decimal e numérico tipos de dados, o SQL Server considera cada combinação de precisão e escala como um tipo de dados diferente. Por exemplo, decimal (5,5) e decimal (5,0) são considerados diferentes tipos de dados.

Em instruções Transact-SQL, uma constante com um ponto decimal é automaticamente convertida em um numérico valor dos dados, usando a precisão e escala mínimas necessárias. Por exemplo, a constante 12.345 é convertida em um numérico valor com uma precisão de 5 e uma escala de 3.

Convertendo de decimal ou numérico para flutuador ou real pode causar alguma perda de precisão. Convertendo de int, smallint, tinyint, flutuador, real, dinheiro, ou dinheirinho para qualquer um decimal ou numérico pode causar transbordamento.

Por padrão, o SQL Server usa arredondamento ao converter um número em um decimal ou numérico valor com menor precisão e escala. Por outro lado, se a opção SET ARITHABORT estiver ON, o SQL Server gerará um erro quando ocorrer estouro. A perda apenas da precisão e da escala não é suficiente para gerar um erro.

Antes do SQL Server 2016 (13.x), conversão de flutuador valores para decimal ou numérico está restrito a valores de precisão de 17 dígitos apenas. Algum flutuador valor menor que 5E-18 (quando definido usando a notação científica de 5E-18 ou a notação decimal de 0,0000000000000000050000000000000005) arredondado para 0. Isso não é mais uma restrição no SQL Server 2016 (13.x).


5.1.2 Decimais e Frações de amp

Leia e escreva decimais usando valores de posição para descrever decimais em termos de grupos de milionésimos a milhões.

Por exemplo: Os nomes possíveis para o número 0,0037 são:

3 milésimos + 7 dez milésimos

um possível nome para o número 1.5 é 15 décimos.

Encontre 0,1 a mais do que um número e 0,1 a menos que um número. Encontre 0,01 a mais do que um número e 0,01 a menos do que um número. Encontre 0,001 a mais do que um número e 0,001 a menos do que um número.

Peça frações e decimais, incluindo números mistos e frações impróprias, e localize em uma linha numérica.

Por exemplo: Qual é maior 1,25 ou $ frac <6> <5> $?

Outro exemplo: Para funcionar corretamente, uma peça deve passar por um espaço de 0,24 pol. De largura. Se uma peça tiver $ frac <1> <4> $ polegadas de largura, ela caberá?

Reconhecer e gerar decimais equivalentes, frações, números mistos e frações impróprias em vários contextos.

Por exemplo: Ao comparar 1,5 e $ frac <19> <12> $, observe que 1,5 $ = 1 frac <1> <2> = 1 frac <6> <12> = frac <18> <12> $ , então 1,5 lt frac <19> <12> $.

Arredonde os números para o 0,1, 0,01 e 0,001 mais próximo.

Por exemplo: Alunos do quinto ano usaram uma calculadora para encontrar a média do subsídio mensal em sua classe. O visor da calculadora mostra 25.80645161. Arredonde esse número para o cent mais próximo.

Visão geral

Padrão 5.1.2 Entendimentos Essenciais

O estudo de números racionais agora inclui representações decimais em milionésimos, bem como frações. Os alunos da quinta série estendem sua compreensão do sistema de numeração de base dez e dos conceitos de valor posicional para incluir milionésimos. Por exemplo: Os nomes possíveis para o número 0,0037 são: 37 dez milésimos 3 milésimos + 7 dez milésimos e um possível nome para o número 1,5 é 15 décimos.

Os alunos determinam .1 mais / menos, .01 mais / menos e .001 mais / menos do que um determinado número. Eles são capazes de comparar e ordenar frações e decimais e localizá-los em uma linha numérica.

Os alunos desenvolvem uma compreensão da conversão entre frações e decimais. O trabalho com frações equivalentes continua à medida que os alunos encontram frações com denominadores de 15, 16, 20, 25, 50 e 100. Esses entendimentos são usados ​​para resolver situações matemáticas e do mundo real.

Todos os benchmarks padrão

Leia e escreva decimais usando valores de posição para descrever decimais em termos de grupos de milionésimos a milhões.

Encontre 0,1 a mais do que um número e 0,1 a menos que um número. Encontre 0,01 a mais do que um número e 0,01 a menos do que um número. Encontre 0,001 a mais do que um número e 0,001 a menos do que um número.

Peça frações e decimais, incluindo números mistos e frações impróprias, e localize em uma linha numérica.

Reconhecer e gerar decimais equivalentes, frações, números mistos e frações impróprias em vários contextos.

Arredonde os números para o 0,1, 0,01 e 0,001 mais próximo.

Leia e escreva decimais usando valores de posição para descrever decimais em termos de grupos de milionésimos a milhões.

Por exemplo: Os nomes possíveis para o número 0,0037 são: 37 dez milésimos 3 milésimos + 7 dez milésimos um nome possível para o número 1,5 é 15 décimos.

Encontre 0,1 a mais do que um número e 0,1 a menos que um número. Encontre 0,01 a mais do que um número e 0,01 a menos do que um número. Encontre 0,001 a mais do que um número e 0,001 a menos do que um número.

5.1.2.3

Peça frações e decimais, incluindo números mistos e frações impróprias, e localize em uma linha numérica.

Reconhecer e gerar decimais equivalentes, frações, números mistos e frações impróprias em vários contextos.

Arredonde os números para o 0,1, 0,01 e 0,001 mais próximo.

Por exemplo: Os alunos da quinta série usaram uma calculadora para encontrar a média do subsídio mensal em sua classe. O visor da calculadora mostra 25.80645161. Arredonde esse número para o cent mais próximo.

O que os alunos devem saber e ser capazes de fazer [em um nível de domínio] relacionado a estes benchmarks:
  • converter entre representações fracionárias e decimais de um número.
  • conheça nomes decimais para frações comuns como ¼ como 0,25, ⅓ como 0,33 (repetindo), ½ como 0,5 e ⅕ como 0,2 etc. para facilitar a ordenação, comparar frações e decimais e converter em porcentagens.
  • encontre 0,1, 0,01 e 0,001 mais ou menos que um número.
  • localize e ordene frações e decimais em uma linha numérica.
  • peça um conjunto de números que inclua frações, decimais e números mistos.
  • localize frações e decimais, incluindo números mistos e frações impróprias, em uma linha numérica.
  • estender sua compreensão do sistema de numeração de base dez e conceitos de valor de posição para incluir milionésimos. Por exemplo: Os nomes possíveis para o número 0,0037 são: 37 dez milésimos 3 milésimos + 7 dez milésimos um nome possível para o número 1,5 é 15 décimos.
  • arredondar um número para o 0,1, 0,01, 0,001 mais próximo.
  • reconhecer e gerar decimais equivalentes, frações, números mistos e frações impróprias.
  • traduzir facilmente entre frações adequadas e impróprias e números mistos.
Trabalhos de séries anteriores que apóiam esse novo aprendizado incluem:
  • represente frações equivalentes usando modelos de fração, como partes de um conjunto, círculos de fração, faixas de fração, linhas numéricas e outros manipulativos.
  • usar modelos para determinar frações equivalentes.
  • localize frações em uma linha numérica.
  • use modelos para ordenar e comparar números inteiros e frações, incluindo números mistos e frações impróprias.
  • use modelos de fração para adicionar e subtrair frações com denominadores semelhantes em situações do mundo real e matemáticas.
  • desenvolver uma regra para adição e subtração de frações com denominadores semelhantes.
  • ler e escrever decimais com palavras e símbolos.
  • use o valor posicional para descrever decimais em termos de milhares, centenas, dezenas, unidades, décimos, centésimos e milésimos.
  • compare e peça decimais e números inteiros usando o valor posicional, uma reta numérica e modelos como grades e blocos de base 10. Por exemplo, eles podem determinar uma fração entre ⅓ e ¼ ou um decimal entre 0,9 e 0,91.
  • ler e escrever décimos e centésimos em notações decimais e de fração usando palavras e símbolos.
  • conheça a fração e os equivalentes decimais para metades e quartas.
  • arredondar decimais para o décimo mais próximo.
  • desenvolver a compreensão da equivalência de frações. Eles reconhecem que duas frações diferentes podem ser iguais (por exemplo, 15/9 = 5/3) e desenvolvem métodos para gerar e reconhecer frações equivalentes.
  • estender entendimentos anteriores sobre como as frações são construídas a partir de frações unitárias, compondo frações a partir de frações unitárias, decompondo frações em frações unitárias.
  • estimar o tamanho relativo das frações e decimais usando referências como 0, ½ e 1 e além.

Padrões NCTM

Compreenda os números, as formas de representar os números, as relações entre os números e os sistemas numéricos
  • compreender a estrutura de valor posicional do sistema numérico de base dez e ser capaz de representar e comparar números inteiros e decimais
  • reconhecer representações equivalentes para o mesmo número e gerá-las decompondo e compondo números
  • desenvolver a compreensão das frações como partes de conjuntos unitários, como partes de uma coleção, como localizações em linhas numéricas e como divisões de números inteiros
  • usar modelos, benchmarks e formas equivalentes para julgar o tamanho das frações
  • reconhecer e gerar formas equivalentes de frações, decimais e porcentagens comumente usadas
  • explore números menores que 0 estendendo a reta numérica e por meio de aplicativos familiares
  • descrever classes de números de acordo com características como a natureza de seus fatores.

Padrões Estaduais de Núcleo Comum

Compreenda o sistema de valor local.

5.NBT.1. Reconheça que, em um número com vários dígitos, um dígito em um lugar representa 10 vezes mais do que representa no lugar à sua direita e 1/10 do que representa no lugar à sua esquerda.

5.NBT.2. Explique os padrões no número de zeros do produto ao multiplicar um número por potências de 10 e explique os padrões na colocação do ponto decimal quando um decimal é multiplicado ou dividido por uma potência de 10. Use expoentes de número inteiro para denotar as potências de 10.

5.NBT.3. Leia, escreva e compare decimais com milésimos.

5.NBT.3a.Leia e escreva decimais em milésimos usando numerais de base dez, nomes de números e forma expandida, por exemplo, 347,392 = 3 × 100 + 4 × 10 + 7 × 1 + 3 × (1/10) + 9 × (1/100 ) + 2 × (1/1000).

5.NBT.3b. Compare dois decimais com milésimos com base nos significados dos dígitos em cada lugar, usando os símbolos & gt, = e & lt para registrar os resultados das comparações.

5.NBT.4. Use a compreensão do valor posicional para arredondar decimais para qualquer lugar.

Equívocos

Equívocos e erros comuns dos alunos
  • o numerador e o denominador são números inteiros separados.
  • relacionamentos de números inteiros podem ser aplicados a frações ou decimais. Por exemplo, acreditar que 0,26 é maior que 0,8 porque 26 é maior que 8.
  • números inteiros são sempre maiores do que frações, incluindo números mistos.
  • menor é maior com frações - 1/7 é maior que 2 / 7- o menor numerador é a maior peça ou ½ é menor que ⅓ porque 2 é menor que 3
  • a diferença entre o denominador e o numerador indica quão próxima a fração está de um. Por exemplo, ¾ e ⅔ são ambos distantes do todo, então eles têm o mesmo tamanho. Ou ½ e 5/7 - ½ deve ser maior, pois está a 1 de distância do todo e 5/7 está a 2 peças de distância do todo.
  • decimais são como números inteiros tudo que você faz com números inteiros que você faz com decimais.
  • quanto mais dígitos à direita da vírgula decimal, maior será o número.
  • decimais são completamente diferentes de frações.

Recursos

Anotações do professor
  • Os alunos podem precisar de apoio no desenvolvimento de conceitos e habilidades previamente estudados.
  • As frações equivalentes são criadas multiplicando por 1 (2/2, 3/3, 4/4), etc.
  • Simplificar as frações requer a divisão por 1 (2/2, 3/3, 4/4), etc.
  • Ao comparar frações, apenas ensinar os alunos a encontrar denominadores comuns em vez de construir o entendimento usando a fração de referência de 0, 1/2 e 1 para estimar o tamanho reduz a oportunidade para os alunos desenvolverem o senso numérico.
  • Anexar ou colocar zeros para fazer com que os decimais sejam comparados com o mesmo número de dígitos é equivocado e não permite que os alunos se concentrem no valor posicional.
  • Ler decimais corretamente, como 0,26 como "vinte e seis centésimos" em vez de "ponto dois seis", dá suporte à compreensão do valor posicional.
  • Use linhas numéricas para determinar a colocação adequada de decimais, como .9, .09, .19 etc.
  • O uso cuidadoso da linguagem ao modelar frações equivalentes é importante. Por exemplo, usando tiras de frações para modelar a mudança ¾ para a fração equivalente 6/8, concentre a discussão na mudança que ocorre no numerador e denominador ao multiplicar por 1 inteiro (2/2) vs. dividir cada um dos quartos em metades para obter oitavos. Isso cria confusão para os alunos acreditarem que a operação é divisão em vez de multiplicação.
  • O equilíbrio simétrico para números inteiros e decimais é a casa da unidade, não a casa decimal.
  • De acordo com as especificações de teste MCA III, os denominadores são limitados a 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16 e 20. Ao reconhecer e gerar frações equivalentes, decimais, números mistos e denominadores de frações impróprios são limitados a 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 20, 25, 50 e 100.
  • O Projeto Rational Number (Idéias de Fração Inicial) fornece estratégias baseadas em pesquisas e lições que suportam a compreensão conceitual de frações, incluindo conexões para operações com frações.
  • O Projeto de Número Racional (Operações de Fração e Idéias Decimais Iniciais) fornece estratégias baseadas em pesquisas e lições de suporte à compreensão conceitual de frações e decimais, incluindo conexões para operações com frações e decimais
  • Bom questões, e bom ouvindo, ajudará as crianças a entender a matemática, a aumentar a autoconfiança e a estimular o pensamento e a comunicação matemáticos. Uma boa pergunta abre um problema e apóia diferentes maneiras de pensar sobre ele. As melhores perguntas são aquelas que não podem ser respondidas com "sim" ou "não".

Começando
O que você precisa descobrir?
O que você sabe agora? Como você pode obter as informações? Por onde você pode começar?
Que termos você entende / não entende?
Que problemas semelhantes você resolveu que ajudariam?
Enquanto trabalho
Como você pode organizar as informações?
Você pode fazer um desenho (modelo) para explicar seu pensamento? Quais são as outras possibilidades?
O que aconteceria se.
Você pode descrever uma abordagem (estratégia) que pode usar para resolver isso?
O que você precisa fazer a seguir?
Você vê algum padrão ou relacionamento que o ajudará a resolver isso?
Como isso se relaciona.
Por que você.
Que suposições você está fazendo?
Refletindo sobre a solução
Como você sabe que sua solução (conclusão) é razoável? Como você chegou a sua resposta?
Como você pode me convencer de que sua resposta faz sentido?
O que você tentou que não funcionou? A pergunta foi respondida?
A explicação pode ser mais clara?
Respondendo (ajuda a esclarecer e ampliar seu pensamento)
Me diga mais.
Você pode explicar de uma maneira diferente?
Existe outra possibilidade ou estratégia que funcionaria?
Existe uma estratégia mais eficiente?
Ajude-me a entender essa parte.

(Adaptado de Eles estão contando conosco, California Mathematics Council, 1995)

Iluminações NCTM
  • As lições incluem: "Desenvolvimento de frações - o modelo de comprimento" e Desenvolvimento de frações - o modelo de conjunto. "As atividades incluem: Modelos de frações equivalentes e o jogo de frações
    Este jogo pode ser usado ao trabalhar com a equivalência de decimais, frações e porcentagens. -
Recursos adicionais de instrução

Duncan, N., Geer, C., Huinker, D., Leutzinger, L., Rathmell, E., & amp Thompson, C. (2007). Navegando pelo número e operações nas séries 3-5. Reston, VA: Conselho Nacional de Professores de Matemática.

Small, M. (2009). Boas perguntas: ótimas maneiras de diferenciar o ensino de matemática. New York, NY: Teachers College Press.

Van de Walle, J., Karp, K., Bay-Williams, J. (2010). Matemática do ensino fundamental e médio: ensino de desenvolvimento. (7ª ed.) Boston, MA: Allyn & amp Bacon.

Van de Walle, J. & amp Lovin, L. (2006). Ensino de matemática centrado no aluno nas séries 3-5. Boston, MA: Pearson Education.

número racional: Um número expressável no formulário uma/b ou - uma/b por alguma fração uma/b. Os números racionais incluem os inteiros.

numerador: O número que está escrito acima da linha em uma fração. Diz quantos do todo você tem ou como todas as partes estão sendo consideradas.

denominador: O número abaixo da linha em uma fração. Mostra em quantas peças iguais o todo foi dividido.

número misto: Um número que possui uma parte de número inteiro e uma parte fracionária, como 2 ⅓. Números mistos representam valores maiores que 1.

Fração imprópria: Uma fração em que o numerador é maior que o denominador, como 11/3. Frações impróprias representam valores maiores que um.

"O vocabulário é literalmente o

ferramenta-chave para pensar. "

Palavras do vocabulário matemático descrevem relações e conceitos matemáticos e não podem ser compreendidas simplesmente pela prática de definições. Os alunos precisam ter experiências de comunicação de idéias usando essas palavras para explicar, apoiar e justificar seu pensamento.

O vocabulário de aprendizagem na sala de aula de matemática depende do seguinte:

Integração: Conectando novo vocabulário com conhecimento prévio e vocabulário previamente aprendido. O cérebro busca conexões e maneiras de criar significado que ocorre ao acessar o conhecimento anterior.

Repetição: Usar a palavra ou conceito várias vezes durante o processo de aprendizagem e conectar a palavra ou conceito com seu significado. O papel do professor é fornecer experiências que garantam que as conexões sejam feitas entre os conceitos matemáticos, as relações e as palavras do vocabulário correspondentes.

Significativo Usar: Oportunidades múltiplas e variadas para usar as palavras em contexto. Essas oportunidades ocorrem quando os alunos explicam seu pensamento, fazem perguntas esclarecedoras, escrevem sobre matemática e pensam em voz alta ao resolver problemas. Os professores devem estar constantemente sondando o pensamento dos alunos para determinar se os alunos estão conectando conceitos e relações matemáticas com o vocabulário matemático apropriado.

Estratégias para desenvolvimento de vocabulário

Os alunos não aprendem palavras do vocabulário memorizando e praticando as definições. As estratégias a seguir mantêm o vocabulário visível e acessível durante a instrução.

Banco de palavras de matemática: Cada unidade de estudo deve ter bancos de palavras visíveis durante a instrução. Palavras e definições correspondentes são adicionadas ao banco de palavras conforme a necessidade surge. Os alunos referem-se a bancos de palavras ao comunicar ideias matemáticas que levam a uma maior compreensão e aplicação de palavras no contexto.

Imagens e gráficos rotulados: Os diagramas rotulados fornecem oportunidades para os alunos ancorarem seus pensamentos à medida que desenvolvem a compreensão conceitual e aumentam as oportunidades de aprendizagem dos alunos.

Frayer Model: O modelo Frayer conecta palavras, definições, exemplos e não exemplos.

Gráficos de exemplo / não-exemplo: Este organizador gráfico permite que os alunos raciocinem sobre as relações matemáticas à medida que desenvolvem a compreensão conceitual das palavras do vocabulário matemático. Os professores devem usá-los durante o processo de ensino para envolver o aluno no pensamento sobre o significado das palavras.

Tiras de vocabulário: As tiras de vocabulário fornecem aos alunos uma maneira de organizar informações críticas sobre palavras do vocabulário matemático.

Incentivar os alunos a verbalizar o pensamento desenhando, falando e escrevendo aumenta as oportunidades de usar as palavras do vocabulário matemático no contexto.

Recursos adicionais para desenvolvimento de vocabulário

Murray, M. (2004). Ensino de vocabulário matemático em contexto. Portsmouth, NH: Heinemann.

Sammons, L. (2011). Construindo a compreensão matemática: usando estratégias de alfabetização para construir sentido. Huntington Beach, CA: Shell Education.

Comunidades de aprendizagem profissional

Reflexão - Questões críticas em relação ao ensino e aprendizagem desses benchmarks

Quais são as idéias-chave relacionadas à compreensão decimal no nível da quinta série? Como os equívocos dos alunos interferem no domínio dessas idéias?

Como você saberia que um aluno entende o sistema decimal ao usar números de 0,0001 a 0,1?

Que representações um aluno deve ser capaz de fazer para o número 365,4729 se entender o valor posicional?

De que experiências os alunos precisam para desenvolver uma compreensão dos arredondamentos decimais para o décimo, centésimo e milésimo mais próximo?

Ao verificar a compreensão dos alunos sobre decimais, o que os professores devem

  • ouvir nas conversas dos alunos?
  • procurar no trabalho do aluno?
  • perguntar durante as discussões em sala de aula?

Examine o trabalho do aluno relacionado a uma tarefa de valor nominal envolvendo decimais. Que evidência você precisa para dizer que um aluno é proficiente? Usando três partes do trabalho do aluno, determine qual compreensão do aluno é observada durante o trabalho.

Quais são as idéias-chave relacionadas à compreensão da fração no nível da quinta série? Como os equívocos dos alunos interferem no domínio dessas idéias?

Que representações um aluno deve ser capaz de fazer para a fração ______?

Ao verificar a compreensão dos alunos sobre as frações no nível da quinta série, o que os professores devem

  • ouvir nas conversas dos alunos?
  • procurar no trabalho do aluno?
  • perguntar durante as discussões em sala de aula?

Examine o trabalho do aluno relacionado a uma tarefa envolvendo frações. Que evidência você precisa para dizer que um aluno é proficiente? Usando três partes do trabalho do aluno, determine qual compreensão do aluno é observada durante o trabalho.

O que se entende por representações equivalentes? Como os professores podem ajudar os alunos a entender representações equivalentes?

Como os professores podem avaliar a aprendizagem dos alunos em relação a esses benchmarks?

Como esses benchmarks estão relacionados a outros benchmarks no nível do quinto ano?

Recursos comunitários de aprendizagem profissional

Bamberger, H., Oberdorf, C., & amp Schultz-Ferrell, K. (2010). Equívocos de matemática antes do 5º ano: Do ​​mal-entendido ao entendimento profundo. Portsmouth, NH: Heinemann.

Chapin, S. e Johnson, A. (2006). Matemática é importante: compreender a matemática que você ensina, séries K-8. (2ª ed.). Sausalito, CA: Math Solutions Press.

Chapin, S., O'Connor, C., & amp Canavan Anderson, N. (2009). Discussões em sala de aula: usando a palestra de matemática para ajudar os alunos a aprender (K-6). Sausalito, CA: Math Solutions.

Fosnot, C., & amp Dolk, M. (2002). Jovens matemáticos no trabalho: multiplicação e divisão. Portsmouth, NH: Heinemann.

Hyde, Arthur. (2006). Compreender matemática adaptando estratégias de leitura para ensinar matemática, K-6. Portsmouth, NH: Heinemann.

Lester, F. (2010). Ensino e aprendizagem de matemática: pesquisa transformadora para professores do ensino fundamental. Reston, VA: Conselho Nacional de Professores de Matemática.

Otto, A., Caldwell, J., Wallus Hancock, S., & amp Zbiek, R. (2011). Desenvolver compreensão essencial de multiplicação e divisão para o ensino de matemática da 3ª à 5ª série. Reston, VA .: Conselho Nacional de Professores de Matemática.

Parrish, S. (2010). Palestras numéricas: Ajudando as crianças a construir estratégias de matemática e computação mentais do jardim ao 5º ano. Sausalito. CA: Soluções de matemática.

Sammons, L., (2011). Construindo a compreensão matemática: usando estratégias de alfabetização para construir sentido. Huntington Beach, CA: Shell Education.

Schielack, J. (2009). Foco na 3ª série, ensino com pontos focais do currículo. Reston, VA: Conselho Nacional de Professores de Matemática.

Bamberger, H., Oberdorf, C., & amp Schultz-Ferrell, K. (2010). Equívocos de matemática antes do 5º ano: Do ​​mal-entendido ao entendimento profundo. Portsmouth, NH: Heinemann.

Bender, W. (2009). Diferenciando o ensino de matemática: estratégias que funcionam para salas de aula de jardim de infância! Thousand Oaks, CA: Corwin Press.

Bresser, R., Melanese, K., & amp Sphar, C. (2008). Apoiar os alunos da língua inglesa na aula de matemática, graus k-2. Sausalito, CA: Publicações de Soluções de Matemática.

Queimaduras, Marilyn. (2007). Sobre o ensino de matemática: um recurso de ensino fundamental e médio (3ª ed.). Sausalito, CA: Publicações de Soluções de Matemática.

Burns, M. (Ed). (1998). Liderando o caminho: diretores e superintendentes examinam o ensino de matemática. Sausalito, CA: Math Solutions.

Caldera, C. (2005). Houghton Mifflin matemática e alunos de língua inglesa. Boston, MA: Houghton Mifflin Company.

Carpenter, T., Fennema, E., Franke, M., Levi, L., & Empson, S. (1999). Children's mathematics cognitively guided instruction. Portsmouth, NH: Heinemann.

Cavanagh, M. (2006). Math to learn: A mathematics handbook. Wilmington, MA: Great Source Education Group, Inc.

Chapin, S., & Johnson, A. (2006). Math matters: Understanding the math you teach, grades K-8. (2nd ed.). Sausalito, CA: Math Solutions Press.

Chapin, S., O'Connor, C., & Canavan Anderson, N. (2009). Classroom discussions: Using math talk to help students learn (Grades K-6). Sausalito, CA: Math Solutions.

Dacey, L., & Salemi, R. (2007). Math for all: Differentiating instruction k-2. Sausalito, CA: Math Solutions.

Donovan, S., & Bradford, J. (Eds). (2005). How students learn: Mathematics in the classroom. Washington, DC: National Academies Press.

Dougherty, B., Flores, A., Louis, E., & Sophian, C. (2010). Developing essential understanding of number & numeration pre-k-grade 2. Reston, VA: Conselho Nacional de Professores de Matemática.

Felux, C., & Snowdy, P. (Eds.). ( 2006). The math coach field guide: Charting your course. Sausalito, CA: Math Solutions.

Fuson, K., Clements, D., & Beckmann, S. (2009). Focus in grade 2 teaching with curriculum focal points. Reston, VA: Conselho Nacional de Professores de Matemática.

Hyde, Arthur. (2006). Comprehending math adapting reading strategies to teach mathematics, K-6. Portsmouth, NH: Heinemann.

Kilpatrick, J., & Swafford, J. (Eds). (2001). Adding it up: Helping children learn mathematics. Washington, DC: National Academies Press.

Leinwand, S. (2000). Sensible mathematics: A guide for school leaders. Portsmouth, NH: Heinemann.

Lester, F. (2010). Teaching and learning mathematics: Transforming research for elementary school teachers. Reston, VA: Conselho Nacional de Professores de Matemática.

Murray, M. (2004). Teaching mathematics vocabulary in context. Portsmouth, NH: Heinemann.

Murray, M., & Jorgensen, J. (2007). The differentiated math classroom: A guide for teachers k-8. Portsmouth, NH: Heinemann.

National Council of Teachers of Mathematics. (2000). Principles and standards for school mathematics. Reston, VA: NCTM.

Parrish, S. (2010). Number talks: Helping children build mental math and computation strategies grades K-5. Sausalito. CA: Math Solutions.

Reeves, D. (2007). Ahead of the curve: The power of assessment to transform teaching and learning. Indiana: Solution Tree Press.

Sammons, L. (2011). Building mathematical comprehension: Using literacy strategies to make meaning. Huntington Beach, CA: Shell Education.

Schielack, J., Charles, R., Clements, D., Duckett, P., Fennell, F., Lewandowski, S., . & Zbiek, R. M. (2006). Curriculum focal points for prekindergarten through grade 8 mathematics: A quest for coherence. Reston, VA: NCTM.

Seeley, C. (2009). Faster isn't smarter: Messages about math teaching and learning in the 21st century. Sausalito, CA: Math Solutions.

Small, M. (2009). Good questions: Great ways to differentiate mathematics instruction. New York, NY: Teachers College Press.

Van de Walle, J., Karp, K., Bay-Williams, J. (2010). Elementary and middle school mathematics: Teaching developmentally. (7th ed.). Boston, MA: Allyn & Bacon.

Van de Walle, J. A., & Lovin, L. H. (2006). Teaching student-centered mathematics grades K-3. Boston, MA: Pearson Education.

West, L., & Staub, F. (2003). Content focused coaching: Transforming mathematics lessons. Portsmouth, NH: Heinemann.

Wickett, M., & Burns, M. (2003). Teaching arithmetic: Lessons for extending division, grades 4-5. Sausalito, CA: Math Solutions.

Assessment

A. 0.20815
B. 0.30256
C. 0.40571
D. 0.50098

Solution : B 0.30256
Benchmark 5.1.2.1
MCA III Item Sampler

  • Johan's race time was 45.03 seconds. Kyle's race time was 0.1 second less than Johan's time. What was Kyle's race time?

A. 44.03 seconds
B. 44.93 seconds
C. 45.13 seconds
D. 45.14 seconds

Solution: B 44.93. seconds
Benchmark 5.1.2.2
MCA III Item Sampler

A. 0.45
B. 0.458
C. 0.459
D. 0.4583

Solution: B 0.458
Benchmark 5.1.2.5
MCA III Item Sampler

Solution: B. K and L
Benchmark: 5.1.2.3
MCA III Item Sampler

Solution: A 0.04
Benchmark 5.1.2.4
MCA III Item Sampler

Solution: Will vary.
Benchmark: 5.1.2.3

Solution: 1 2/6, 1 ⅓, 1.333
Benchmark: 5.1.2.4

Solution: 0.33 0.2 0.375 1.5
Benchmark: 5.1.2.4

Solution: 1 3/10 2/3 3/4 1/20 1/2
Benchmark 5.1.2.4

Differentiation

  • Structure consistent computational fluency activities utilizing physical models such as number lines and base ten blocks to help reconstruct multiplication/division facts when needed.
  • Actively engage students in learning situations that focus on both concept and skill development (Place value millions to millionths) Provide explicit systematic instruction that includes opportunities for students to ask and answer questions and think aloud when making decisions while solving problems. Be sure that students understand the place value symmetry for whole numbers and decimals is 1 and not the decimal point.
  • Instructional settings should include direct instruction work before and after the mathematics lesson such as I Do (teacher demonstrates), You do, (student models) or vocabulary instruction whole group (students receive core instruction with classmates in regular classroom and small group situations (such as partner work) that are well structured and have clear expectations. Make use of technology as appropriate.
  • Use vocabulary graphic organizers such as the Frayer model (see below) to emphasize vocabulary words such as rational numbers, numerator, denominator, mixed number, and improper fractions.
  • Carefully connect prior knowledge (place value thousands to thousandths to new learning of large numbers (millions to millionths) to read, write, compare and round decimals.
  • Carefully connect prior knowledge (fractions, fraction benchmarks, and fraction models) to compare fractions with unlike denominators.
  • Pose meaningful problems set in familiar situations.
  • Incorporate visual models such as the number lines, fraction bars, and decimal grids.
Concrete - Representational - Abstract Instructional Approach

(Adapted from The Access Center: Improving Access for All K-8 Students)

The Concrete-Representational-Abstract Instructional Approach (CRA) is a research-based instructional strategy that has proven effective in enhancing the mathematics performance of students who struggle with mathematics.

The CRA approach is based on three stages during the learning process:

Concrete - Representational - Abstract

O Concrete Stage is the doing stage. The concrete stage is the most critical in terms of developing conceptual understanding of mathematical skills and concepts. At this stage, teachers use manipulatives to model mathematical concepts. The physical act of touching and moving manipulatives enables students to experience the mathematical concept at a concrete level. Research shows that students who use concrete materials develop more precise and comprehensive mental representations, understand and apply mathematical concepts, and are more motivated and on-task. Manipulatives must be selected based upon connections to the mathematical concept and the students' developmental level.

O Representational Stage is the drawing stage. Mathematical concepts are represented using pictures or drawings of the manipulatives previously used at the Concrete Stage. Students move to this level after they have successfully used concrete materials to demonstrate conceptual understanding and solve problems. They are moving from a concrete level of understanding toward an abstract level of understanding when drawing or using pictures to represent their thinking. Students continue exploring the mathematical concept at this level while teachers are asking questions to elicit student thinking and understanding.

O Abstract Stage is the symbolic stage. Teachers model mathematical concepts using numbers and mathematical symbols. Operation symbols are used to represent addition, subtraction, multiplication and division. Some students may not make a clean transfer to this level. They will work with some symbols and some pictures as they build abstract understanding. Moving to the abstract level too quickly causes many student errors. Practice at the abstract level will not lead to increased understanding unless students have a foundation based upon concrete and pictorial representations.

Recursos adicionais

Bender, W. (2009). Differentiating math instruction: Strategies that work for k-8 classrooms! Thousand Oaks, CA: Corwin Press.

Dacey, L., & Lynch, J. (2007). Math for all: Differentiating instruction grades 3-5. Sausalito, CA: Math Solutions.

Murray, M., & Jorgensen, J. (2007). The differentiated math classroom: A guide for teachers k-8. Portsmouth, NH: Heinemann.

Small, M. (2009). Good questions: Great ways to differentiate mathematics instruction. New York, NY: Teachers College Press.

Van de Walle, J., Karp, K., & Bay-Williams, J. (2010). Elementary and middle school mathematics: Teaching developmentally. (7th ed.). Boston, MA: Allyn & Bacon.

Van de Walle, J. & Lovin, L. (2006). Teaching student-centered mathematics grades 3-5. Boston, MA: Pearson Education.

Teachers need to demonstrate and model the use of manipulatives (place value blocks) or representations such as bar and area models when connecting language and concepts as students work with fractions and decimals.

  • Word banks need to be part of the student learning environment in every mathematics unit of study. Refer to these throughout instruction.
  • Use vocabulary graphic organizers such as the Frayer model (see below) to emphasize vocabulary words count, first, second, third, etc.

Math sentence frames provide support that English Language Learners need in order to fully participate in math discussions. Sentence frames provide appropriate sentence structure models, increase the likelihood of responses using content vocabulary, help students to conceptualize words and build confidence in English Language Learners.

Sample sentence frames related to these benchmarks:

The fraction __________ is the same as the decimal __________________.

The decimal __________ is the same as the fraction _________________.

The decimal _____________ means ___________________________________.

The fraction _____________ means ___________________________________.

  • When assessing the math skills of an ELL student it is important to determine if the student has difficulty with the math concept or with the language used to describe the concept and conceptual understanding.
Additional ELL Resources:

Bresser, R., Melanese, K., & Sphar, C. (2008). Supporting English language learners in math class, grades k-2. Sausalito, CA: Math Solutions Publications.

Bender, W. (2009). Differentiating math instruction: Strategies that work for k-8 classrooms! Thousand Oaks, CA: Corwin Press.

Dacey, L., & Lynch, J. (2007). Math for all: Differentiating instruction grades 3-5. Sausalito, CA: Math Solutions.

Murray, M. & Jorgensen, J. (2007). The differentiated math classroom: A guide for teachers k-8. Portsmouth, NH: Heinemann.

Small, M. (2009). Good questions: Great ways to differentiate mathematics instruction. New York, NY: Teachers College Press.

Parents/Admin

Administrative/Peer Classroom Observation

explaining thinking for ordering fractions and decimals.

asking clarifying questions which illustrate

student thinking. Helping students use benchmark numbers as referents when comparing and ordering fractions and decimals.

finding equivalent representations of fractions and decimals.

providing a variety of models of fractions and decimals as they develop conceptual and procedural understanding of equivalent fractions and decimals.

using appropriate mathematics vocabulary.

developing vocabulary throughout instruction.

finding .001 more/less, .01 more/less and .1 more/less than a number.

providing representations for finding .001 more/less, .01 more/less and .1 more/less than a number.

rounding to the nearest .1 .01, and .001.

providing number lines with appropriate scales as representations for rounding.

What should I look for in the mathematics classroom?

(Adapted from SciMathMN,1997)

What are students doing?

  • Working in groups to make conjectures and solve problems.
  • Solving real-world problems, not just practicing a collection of isolated skills.
  • Representing mathematical ideas using concrete materials, pictures and symbols. Students know how and when to use tools such as blocks, scales, calculators, and computers.
  • Communicating mathematical ideas to one another through examples, demonstrations, models, drawing, and logical arguments.
  • Recognizing and connecting mathematical ideas.
  • Justifying their thinking and explaining different ways to solve a problem.

What are teachers doing?

  • Making student thinking the cornerstone of the learning process. This involves helping students organize, record, represent, and communicate their thinking.
  • Challenging students to think deeply about problems and encouraging a variety of approaches to a solution.
  • Connecting new mathematical concepts to previously learned ideas.
  • Providing a safe classroom environment where ideas are freely shared, discussed and analyzed.
  • Selecting appropriate activities and materials to support the learning of every student.
  • Working with other teachers to make connections between disciplines to show how math is related to other subjects.
  • Using assessments to uncover student thinking in order to guide instruction and assess understanding.

Recursos adicionais

For Mathematics Coaches

Chapin, S. and Johnson, A. (2006). Math matters: Understanding the math you teach: Grades k-8. (2nd ed.). Sausalito, CA: Math Solutions.

Donovan, S., & Bradford, J. (Eds). (2005). How students learn: Mathematics in the classroom. Washington, DC: National Academies Press.

Felux, C., & Snowdy, P. (Eds.). ( 2006). The math coach field guide: Charting your course. Sausalito, CA: Math Solutions.

Sammons, L., (2011). Building mathematical comprehension: Using literacy strategies to make meaning. Huntington Beach, CA: Shell Education.

West, L., & Staub, F. (2003). Content focused coaching: Transforming mathematics lessons. Portsmouth, NH: Heinemann.

For Administrators

Burns, M. (Ed). (1998). Leading the way: Principals and superintendents look at math instruction. Sausalito, CA: Math Solutions.

Kilpatrick, J., & Swafford, J. (Eds). (2001). Adding it up: Helping children learn mathematics. Washington, DC: National Academies Press.

Leinwand, S. (2000). Sensible mathematics: A guide for school leaders. Portsmouth, NH: Heinemann.

Lester, F. (2010). Teaching and learning mathematics: Transforming research for school administrators. Reston, VA: Conselho Nacional de Professores de Matemática.

Seeley, C. (2009). Faster isn't smarter: Messages about math teaching and learning in the 21st century. Sausalito, CA: Math Solutions.

Parent Resources

Mathematics handbooks to be used as home references:

Cavanagh, M. (2004). Math to Know: A mathematics handbook. Wilmington, MA: Great Source Education Group, Inc.

Cavanagh, M. (2006). Math to learn: A mathematics handbook. Wilmington, MA: Great Source Education Group, Inc.

Helping your child learn mathematics

Provides activities for children in preschool through grade 5

Help Your Children Make Sense of Math

Ask the right questions

In helping children learn, one goal is to assist children in becoming critical and independent thinkers. You can help by asking questions that guide, without telling them what to do.

Good questions, and good listening, will help children make sense of the mathematics, build self-confidence and encourage mathematical thinking and communication. A good question opens up a problem and supports different ways of thinking about it. The best questions are those that cannot be answered with a "yes" or a "no."

Getting Started
What do you need to find out?
What do you know now? How can you get the information? Where can you begin?
What terms do you understand/not understand?
What similar problems have you solved that would help?

While Working
How can you organize the information?
Can you make a drawing (model) to explain your thinking? What are other possibilities?
What would happen if . . . ?
Can you describe an approach (strategy) you can use to solve this?
What do you need to do next?
Do you see any patterns or relationships that will help you solve this?
How does this relate to.
Can you make a prediction?
Why did you.
What assumptions are you making?

Reflecting about the Solution
How do you know your solution (conclusion) is reasonable? How did you arrive at your answer?
How can you convince me your answer makes sense?
What did you try that did not work?
Has the question been answered?
Can the explanation be made clearer?

Responding(helps clarify and extend their thinking)
Tell me more.
Can you explain it in a different way?
Is there another possibility or strategy that would work?
Is there a more efficient strategy?
Help me understand this part.

Adapted from They're counting on us, California Mathematics Council, 1995.


Here is a simple way of ordering the given list of numbers in ascending and descending order. In this online ordering decimals calculator, enter a list of random numbers and submit to know the ascending order and descending order of the numbers.

Use of Ordering Decimals from Least to Greatest: Arranging the numbers in ascending and descending orders will be helpful for students and professionals and mathematicians to apply the ordered result in various applications.

Ordering Decimals Calculator from Least to Greatest: Enter the decimal numbers in the input field, the calculator will compare the numbers and update you the numbers in ascending order (arranging numbers from least to greatest) and descending order (arranging numbers from largest to smallest) respectively. Students can solve the ordering decimals related problems easily using this calculator. This ordering decimals calculator helps you to know the ascending order and the descending order of the given numbers list in just fraction of a second and saves your time and make you calculations simple.

Exemplo:

Consider a set of numbers : 3.4,9.3,12.5,7.4,22.2,89.4

Solution,

Total numbers in the set is 6.
Ascending Order (Least to Greatest) is 3.4, 7.4, 9.3, 12.5, 22.2, 89.4
Descending Order (greatest to Least) is 89.4, 22.2, 12.5, 9.3, 7.4, 3.4

Ordering Decimals from least to greatest and vice versa made easier here.


Conteúdo

Many numeral systems of ancient civilizations use ten and its powers for representing numbers, probably because there are ten fingers on two hands and people started counting by using their fingers. Examples are firstly the Egyptian numerals, then the Brahmi numerals, Greek numerals, Hebrew numerals, Roman numerals, and Chinese numerals. Very large numbers were difficult to represent in these old numeral systems, and only the best mathematicians were able to multiply or divide large numbers. These difficulties were completely solved with the introduction of the Hindu–Arabic numeral system for representing integers. This system has been extended to represent some non-integer numbers, called decimal fractions ou decimal numbers, for forming the decimal numeral system.

For writing numbers, the decimal system uses ten decimal digits, a decimal mark, and, for negative numbers, a minus sign "−". The decimal digits are 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 [7] the decimal separator is the dot " . " in many countries, [4] [8] but also a comma " , " in other countries. [5]

For representing a non-negative number, a decimal numeral consists of

  • either a (finite) sequence of digits (such as "2017"), where the entire sequence represents an integer, a m a m − 1 … a 0 a_ldots a_<0>>
  • or a decimal mark separating two sequences of digits (such as "20.70828")

Se m > 0 , that is, if the first sequence contains at least two digits, it is generally assumed that the first digit umam is not zero. In some circumstances it may be useful to have one or more 0's on the left this does not change the value represented by the decimal: for example, 3.14 = 03.14 = 003.14 . Similarly, if the final digit on the right of the decimal mark is zero—that is, if bn = 0 —it may be removed conversely, trailing zeros may be added after the decimal mark without changing the represented number [note 1] for example, 15 = 15.0 = 15.00 and 5.2 = 5.20 = 5.200 .

For representing a negative number, a minus sign is placed before umam .

O integer part ou integral part of a decimal numeral is the integer written to the left of the decimal separator (see also truncation). For a non-negative decimal numeral, it is the largest integer that is not greater than the decimal. The part from the decimal separator to the right is the fractional part, which equals the difference between the numeral and its integer part.

When the integral part of a numeral is zero, it may occur, typically in computing, that the integer part is not written (for example .1234 , instead of 0.1234 ). In normal writing, this is generally avoided, because of the risk of confusion between the decimal mark and other punctuation.

In brief, the contribution of each digit to the value of a number depends on its position in the numeral. That is, the decimal system is a positional numeral system.

More generally, a decimal with n digits after the separator represents the fraction with denominator 10 n , whose numerator is the integer obtained by removing the separator.

It follows that a number is a decimal fraction if and only if it has a finite decimal representation.

Expressed as a fully reduced fraction, the decimal numbers are those whose denominator is a product of a power of 2 and a power of 5. Thus the smallest denominators of decimal numbers are

Decimal numerals do not allow an exact representation for all real numbers, e.g. for the real number π . Nevertheless, they allow approximating every real number with any desired accuracy, e.g., the decimal 3.14159 approximates the real π , being less than 10 −5 off so decimals are widely used in science, engineering and everyday life.

More precisely, for every real number x and every positive integer n , there are two decimals eu e você with at most n digits after the decimal mark such that euxvocê and (vocêeu) = 10 −n .

Numbers are very often obtained as the result of measurement. As measurements are subject to measurement uncertainty with a known upper bound, the result of a measurement is well-represented by a decimal with n digits after the decimal mark, as soon as the absolute measurement error is bounded from above by 10 −n . In practice, measurement results are often given with a certain number of digits after the decimal point, which indicate the error bounds. For example, although 0.080 and 0.08 denote the same number, the decimal numeral 0.080 suggests a measurement with an error less than 0.001, while the numeral 0.08 indicates an absolute error bounded by 0.01. In both cases, the true value of the measured quantity could be, for example, 0.0803 or 0.0796 (see also significant figures).

For a real number x and an integer n ≥ 0 , let [x]n denote the (finite) decimal expansion of the greatest number that is not greater than x that has exactly n digits after the decimal mark. Deixar deu denote the last digit of [x]eu . It is straightforward to see that [x]n may be obtained by appending dn to the right of [x]n−1 . This way one has

and the difference of [x]n−1 and [x]n amounts to

which is either 0, if dn = 0 , or gets arbitrarily small as n tends to infinity. According to the definition of a limit, x is the limit of [x]n when n tends to infinity. This is written as x = lim n → ∞ [ x ] n < extstyle x=lim _[x]_> or

which is called an infinite decimal expansion do x .

Any such decimal fraction, i.e.: dn = 0 for n & gt N , may be converted to its equivalent infinite decimal expansion by replacing dN de dN − 1 and replacing all subsequent 0s by 9s (see 0.999. ).

In summary, every real number that is not a decimal fraction has a unique infinite decimal expansion. Each decimal fraction has exactly two infinite decimal expansions, one containing only 0s after some place, which is obtained by the above definition of [x]n , and the other containing only 9s after some place, which is obtained by defining [x]n as the greatest number that is less than x , having exactly n digits after the decimal mark.

Rational numbers Edit

Long division allows computing the infinite decimal expansion of a rational number. If the rational number is a decimal fraction, the division stops eventually, producing a decimal numeral, which may be prolongated into an infinite expansion by adding infinitely many zeros. If the rational number is not a decimal fraction, the division may continue indefinitely. However, as all successive remainders are less than the divisor, there are only a finite number of possible remainders, and after some place, the same sequence of digits must be repeated indefinitely in the quotient. That is, one has a repeating decimal. Por exemplo,

The converse is also true: if, at some point in the decimal representation of a number, the same string of digits starts repeating indefinitely, the number is rational.

Most modern computer hardware and software systems commonly use a binary representation internally (although many early computers, such as the ENIAC or the IBM 650, used decimal representation internally). [10] For external use by computer specialists, this binary representation is sometimes presented in the related octal or hexadecimal systems.

For most purposes, however, binary values are converted to or from the equivalent decimal values for presentation to or input from humans computer programs express literals in decimal by default. (123.1, for example, is written as such in a computer program, even though many computer languages are unable to encode that number precisely.)

Both computer hardware and software also use internal representations which are effectively decimal for storing decimal values and doing arithmetic. Often this arithmetic is done on data which are encoded using some variant of binary-coded decimal, [11] [12] especially in database implementations, but there are other decimal representations in use (including decimal floating point such as in newer revisions of the IEEE 754 Standard for Floating-Point Arithmetic). [13]

Decimal arithmetic is used in computers so that decimal fractional results of adding (or subtracting) values with a fixed length of their fractional part always are computed to this same length of precision. This is especially important for financial calculations, e.g., requiring in their results integer multiples of the smallest currency unit for book keeping purposes. This is not possible in binary, because the negative powers of 10 have no finite binary fractional representation and is generally impossible for multiplication (or division). [14] [15] See Arbitrary-precision arithmetic for exact calculations.

Many ancient cultures calculated with numerals based on ten, sometimes argued due to human hands typically having ten fingers/digits. [16] Standardized weights used in the Indus Valley Civilization (c. 3300–1300 BCE ) were based on the ratios: 1/20, 1/10, 1/5, 1/2, 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 200, and 500, while their standardized ruler – the Mohenjo-daro ruler – was divided into ten equal parts. [17] [18] [19] Egyptian hieroglyphs, in evidence since around 3000 BCE, used a purely decimal system, [20] as did the Cretan hieroglyphs (c. 1625−1500 BCE ) of the Minoans whose numerals are closely based on the Egyptian model. [21] [22] The decimal system was handed down to the consecutive Bronze Age cultures of Greece, including Linear A (c. 18th century BCE−1450 BCE) and Linear B (c. 1375−1200 BCE) – the number system of classical Greece also used powers of ten, including, Roman numerals, an intermediate base of 5. [23] Notably, the polymath Archimedes (c. 287–212 BCE) invented a decimal positional system in his Sand Reckoner which was based on 10 8 [23] and later led the German mathematician Carl Friedrich Gauss to lament what heights science would have already reached in his days if Archimedes had fully realized the potential of his ingenious discovery. [24] Hittite hieroglyphs (since 15th century BCE) were also strictly decimal. [25]

Some non-mathematical ancient texts such as the Vedas, dating back to 1700–900 BCE make use of decimals and mathematical decimal fractions. [26]

The Egyptian hieratic numerals, the Greek alphabet numerals, the Hebrew alphabet numerals, the Roman numerals, the Chinese numerals and early Indian Brahmi numerals are all non-positional decimal systems, and required large numbers of symbols. For instance, Egyptian numerals used different symbols for 10, 20 to 90, 100, 200 to 900, 1000, 2000, 3000, 4000, to 10,000. [27] The world's earliest positional decimal system was the Chinese rod calculus. [28]

History of decimal fractions Edit

Decimal fractions were first developed and used by the Chinese in the end of 4th century BCE, [29] and then spread to the Middle East and from there to Europe. [28] [30] The written Chinese decimal fractions were non-positional. [30] However, counting rod fractions were positional. [28]

J. Lennart Berggren notes that positional decimal fractions appear for the first time in a book by the Arab mathematician Abu'l-Hasan al-Uqlidisi written in the 10th century. [32] The Jewish mathematician Immanuel Bonfils used decimal fractions around 1350, anticipating Simon Stevin, but did not develop any notation to represent them. [33] The Persian mathematician Jamshīd al-Kāshī claimed to have discovered decimal fractions himself in the 15th century. [32] Al Khwarizmi introduced fraction to Islamic countries in the early 9th century a Chinese author has alleged that his fraction presentation was an exact copy of traditional Chinese mathematical fraction from Sunzi Suanjing. [28] This form of fraction with numerator on top and denominator at bottom without a horizontal bar was also used by al-Uqlidisi and by al-Kāshī in his work "Arithmetic Key". [28] [34]

A forerunner of modern European decimal notation was introduced by Simon Stevin in the 16th century. [35]

Natural languages Edit

A method of expressing every possible natural number using a set of ten symbols emerged in India. Several Indian languages show a straightforward decimal system. Many Indo-Aryan and Dravidian languages have numbers between 10 and 20 expressed in a regular pattern of addition to 10. [36]

The Hungarian language also uses a straightforward decimal system. All numbers between 10 and 20 are formed regularly (e.g. 11 is expressed as "tizenegy" literally "one on ten"), as with those between 20 and 100 (23 as "huszonhárom" = "three on twenty").

A straightforward decimal rank system with a word for each order (10 十 , 100 百 , 1000 千 , 10,000 万 ), and in which 11 is expressed as ten-one and 23 as two-ten-three, and 89,345 is expressed as 8 (ten thousands) 万 9 (thousand) 千 3 (hundred) 百 4 (tens) 十 5 is found in Chinese, and in Vietnamese with a few irregularities. Japanese, Korean, and Thai have imported the Chinese decimal system. Many other languages with a decimal system have special words for the numbers between 10 and 20, and decades. For example, in English 11 is "eleven" not "ten-one" or "one-teen".

Incan languages such as Quechua and Aymara have an almost straightforward decimal system, in which 11 is expressed as ten with one and 23 as two-ten with three.

Some psychologists suggest irregularities of the English names of numerals may hinder children's counting ability. [37]


Enter two or more decimals separated by "commas"

Given numbers are 1.2,1.5,1.8. The highest number of digits after the decimal point in the given case is 1

Thus, in order to get rid of the decimal point we need to multiply them with 10. On doing so, they are as follows

On finding the LCM of 12,15,18 we get the Least Common Multiple as 180

Least Common Multiple (LCM) of 12,15,18 By Common Division

∴ So the LCM of the given numbers is 2 x 3 x 2 x 5 x 3 = 180

Divide the result you got with the number you multiplied to make it as integer in the first step. In this case, we need to divide by 10 as we used it to make the given numbers into integers.

On dividing the LCM 180/10 we get 18

Thus the Least Common Multiple of 1.2,1.5,1.8 is 18

Least Common Multiple of 12,15,18 with GCF Formula

We need to calculate greatest common factor of 12,15,18 and common factors if more than two numbers have common factor, than apply into the LCM equation.

common factors(in case of two or more numbers have common factors) = 6

GCF(12,15,18) x common factors =3 x 6 = 18

LCM(12,15,18) = ( 12 × 15 × 18 ) / 18

LCM of Decimals Calculation Examples

Here are some samples of LCM of Decimals calculations.

Frequently Asked Questions on Decimal LCM of 1.2, 1.5, 1.8

1. What is the LCM of 1.2, 1.5, 1.8?

Answer: LCM of 1.2, 1.5, 1.8 is 18.

2. How to Find the LCM of 1.2, 1.5, 1.8?

Answer: Least Common Factor(LCM) of 1.2, 1.5, 1.8 = 18

Step 1: First calculate the highest decimal number after decimal point.

Step 2: Then multiply all numbers with 10.

Step 3: Then find LCM of 12,15,18. After getting LCM devide the result with 10 the value that is previously multiplied.


Assista o vídeo: 5th Grade Math, Division Patterns with Decimals (Outubro 2021).