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6.5: Use a Propriedade do Produto Zero - Matemática


https://www.applestemhomeschool.com/module/topic/258

Álgebra (preciso de ajuda rápida)

19. Um modelo de foguete é lançado de um telhado para um grande campo. O caminho do foguete pode ser modelado pela equação y = 0,006x ^ 2 + 10,1x + 5, onde x é a distância horizontal, em metros, do ponto de partida no telhado ey é a altura, em metros, de o foguete acima do solo. A que distância horizontal de seu ponto de partida o foguete vai pousar?
A.168.83 m
B.5,00 m
C.84,17 m
D.168.34 m

20. Quantas soluções de números reais a equação tem? -7x ^ 2 + 6x + 3 = 0
A. uma solução
B. duas soluções
C. sem soluções
D. infinitas soluções
Se você tiver o restante do exame da Unidade 8, lição 2, Semestre B para Álgebra em connexus, por favor me avise

17.
bem, se x = 0, isso funciona
e se 3x +1 = 0, isso funciona

18. bem, eu já sei que x = 0 e x = -1/3 funciona, mas
18 x ^ 2 + 6 x + 0 = 0
x = [-6 +/- sqrt (36 - 0)] / 36
x = [-6 +/- 6] / 36
x = 0/36 ou x = -12/36
mas nós sabíamos disso

19. acabei de aprender a resolver quadrática. Então, o que é x quando y = 0? (o grande, não o de antes do lançamento.)

se 0, uma solução (vértice da parábola apenas toca o eixo x)
se negativo, soluções complexas, nenhuma real
se positivo, dois reais

Obrigado Damon pela ajuda! Você pode listar todas as respostas em uma mensagem para não ficar confuso e colocar a resposta errada?


Recursos matemáticos do PCC SLC

Quando o produto de dois números é zero, pelo menos um dos números do produto deve ser zero. Esta é uma propriedade única de zero, por exemplo, quando dois números se multiplicam por, digamos, dez, não apenas não é o caso de um dos dois números precisar ser dez, a única restrição sobre os dois números é que nenhum seja zero .

Ao resolver uma equação de forma:

a próxima etapa do processo é declarar:

Em seguida, resolvemos as duas novas equações separadamente e declaramos nossas soluções, ou conjunto de soluções. Por exemplo:

As soluções são (- frac <7> <4> ) e ( frac <9> <2> text <.> ) O conjunto de soluções é ( <- frac <7> <4 >, frac <9> <2> > text <.> )

Freqüentemente, temos que executar algumas etapas preliminares antes de invocar a propriedade de produto zero. Especificamente:

  1. Expanda completamente ambos os lados da equação.
  2. Adicione e / ou subtraia de / para ambos os lados da equação para que um lado da equação seja zero. A próxima etapa será mais fácil se certificar-se de que o termo de segundo grau ( (ax ^ 2 )) tem um coeficiente positivo.
  3. Fatore o lado diferente de zero da equação.
  4. Agora estamos configurados para invocar a propriedade zero-product.
Exemplo 12.3.1.

Use a propriedade zero-product para resolver (4x ^ 2 = 4x + 15 text <.> )

As soluções são ( frac <5> <2> ) e (- frac <3> <2> text <.> ) O conjunto de soluções é ( left < frac <5> < 2>, - frac <3> <2> right > text <.> )

Exemplo 12.3.2.

Use a propriedade de produto zero para resolver ((x + 6) (x-2) = - 16 text <.> )

A solução é (- 2 text <.> ) O conjunto da solução é ( <- 2 > text <.> )

Exemplo 12.3.3.

Use a propriedade de produto zero para resolver ((x + 4) (4x-5) = (7x + 10) (3x-2) text <.> )

As soluções são (0 ) e (- frac <5> <17> text <.> ) O conjunto de soluções é ( left <0, - frac <5> <17> right > text <.> )

Exemplo 12.3.4.

Use a propriedade zero-product para resolver (2-x ^ 2 = (2-x) ^ 2 text <.> )

A solução é (1 text <.> ) O conjunto de soluções é ( <1 > text <.> )

Exercícios Exercícios

Use a propriedade de produto zero para resolver cada equação quadrática. Enuncie as soluções para cada equação, bem como o conjunto de soluções para cada equação.

Começamos definindo cada um dos fatores do lado esquerdo da equação igual a zero.

As soluções são (- frac <8> <3> ) e ( frac <7> <5> text <.> )

O conjunto de soluções é ( left <- frac <8> <3>, frac <7> <5> right > text <.> )

Começamos definindo cada um dos fatores do lado esquerdo da equação igual a zero.

As soluções são (0 ) e (6 text <.> )

Começamos tornando o lado direito da equação zero e, em seguida, fatorando o lado esquerdo da equação.

As soluções são (5 ) e (- 2 text <.> )

Começamos tornando o lado direito da equação zero e, em seguida, fatorando o lado esquerdo da equação.

Começamos expandindo o lado esquerdo da equação, tornando o lado direito da equação zero e, em seguida, fatorando o lado esquerdo da equação.

As soluções são (- frac <5> <4> ) e ( frac <1> <8> text <.> )

O conjunto de soluções é ( left <- frac <5> <4>, frac <1> <8> right > text <.> )

Começamos tornando o lado direito da equação zero e, em seguida, fatorando o lado esquerdo da equação.

As soluções são (0 ) e ( frac <1> <2> text <.> )

O conjunto de soluções é ( left <0, frac <1> <2> right > text <.> )

Começamos expandindo o lado esquerdo da equação, tornando o lado direito da equação zero e, em seguida, fatorando o lado esquerdo da equação.


5.3: Voltar e Avançar (15 minutos)

Atividade

Esta atividade visa completar o quadrado. Os alunos reescrevem uma equação da forma ((xh) ^ 2 + (yk) ^ 2 = r ^ 2 ), colocando-a na forma (x ^ 2 + y ^ 2 + ax + by + c = 0 ) Em seguida, eles são apresentados a uma equação para um círculo em que os binômios quadrados foram expandidos. Os alunos reescrevem 2 trinômios quadrados perfeitos de forma fatorada e, em seguida, identificam o centro e o raio do círculo.

  1. Aqui está a equação de um círculo: ((x-2) ^ 2 + (y + 7) ^ 2 = 10 ^ 2 )
    1. Quais são o centro e o raio do círculo?
    2. Aplique a propriedade distributiva aos binômios quadrados e reorganize a equação para que um lado seja 0. Esta é a forma em que muitas equações circulares são escritas.
    1. Como você pode reescrever esta equação para encontrar o centro e o raio do círculo?
    2. Quais são o centro e o raio do círculo?

    Resposta do Aluno

    Os professores com um endereço de e-mail comercial válido podem clicar aqui para se registrar ou entrar para ter acesso gratuito à resposta do aluno.

    Você esta pronto para mais?

    No espaço tridimensional, existem 3 eixos de coordenadas, chamados eixo (x ), eixo (y ) e eixo (z ). Escreva uma equação para uma esfera com centro ((a, b, c) ) e raio (r ).

    Resposta do Aluno

    Os professores com um endereço de e-mail comercial válido podem clicar aqui para se registrar ou entrar para obter acesso gratuito à Resposta do aluno à extensão.

    Equívocos antecipados

    Os alunos podem ter dificuldade em decidir se as coordenadas dos centros dos círculos são positivas ou negativas. Incentive-os a reescrever a equação na forma ((x-h) ^ 2 + (y-k) ^ 2 = r ^ 2 ). Lembre-os de que nós subtrair as coordenadas do centro do ponto dado ((x, y) ) para obter a distância entre o centro e o ponto.

    Síntese de Atividades

    Peça aos alunos que reorganizem a equação do círculo do segundo problema para que haja um 0 em um lado da equação: (x ^ 2 + 6x + y ^ 2-10y-30 = 0 ). Exiba essas 3 formas desta equação para que todos vejam, enfatizando que todas são equações equivalentes e, portanto, representam o mesmo círculo:

    O objetivo da discussão é fazer conexões entre as diferentes formas da equação na preparação para completar o quadrado. Pergunte aos alunos:

    • “De que forma é mais fácil encontrar o centro e o raio do círculo?” (O primeiro.)
    • “Compare e contraste a segunda e a terceira formas.” (Cada formulário contém os termos (x ^ 2 ), (6x ), (y ^ 2 ) e ( text-10y ), mas os termos constantes são diferentes.)
    • “Como você pode ir da primeira forma para a segunda?” (Distribua os dois conjuntos de binômios quadrados.)
    • “Como você pode ir da segunda forma para a terceira?” (Combine os termos semelhantes.)
    • “Como você pode ir da segunda forma para a primeira?” (Reescreva os trinômios quadrados perfeitos como binômios quadrados e reescreva 64 como 8 2).

    A importância do zero em matemática

    O conceito de zero parece ter se originado por volta de 520 DC com o Aryabhata indiano que usou um símbolo que ele chamou de & # 8220kha & # 8221 como um marcador de posição. Brahmagupta, outro matemático indiano que viveu no século 5, é creditado por desenvolver o sistema numérico hindu-arábico que incluía zero como um número real no sistema. Outros matemáticos como al-Khwarizmi e Leonardo Fibonacci expandiram o uso do zero. Na Idade Média, por volta do início dos anos 1200 e # 8217, esse conceito havia chegado à sociedade ocidental.

    Quão importante é zero? É o número em torno do qual os números negativos à esquerda se estendem até o infinito e os números positivos à direita fazem o mesmo. Não é positivo nem negativo. Por esse motivo, o zero é um ponto central em termômetros e é o ponto de origem para balanças de banheiro e o eixo de coordenadas.

    Zero também é importante quando você pensa em conjuntos. Um conjunto vazio ou nulo é aquele que não contém itens.

    Zero é tão importante que cada uma das operações matemáticas tem regras especiais chamadas propriedades que governam seu uso com outros números inteiros.

    A propriedade de adição de zero afirma que sempre que zero for adicionado a um número inteiro ou vice-versa, a soma será o número inteiro. Exemplo: Ben tinha 3 maçãs e Sara nenhuma. Se eles combinassem suas maçãs, quantas seriam ao todo?

    A propriedade de subtração de zero diz que sempre que zero for subtraído de um número inteiro, a diferença será o número inteiro, e sempre que um número inteiro for subtraído de si mesmo, a diferença será zero.

    A propriedade de multiplicação de zero é um pouco como a propriedade de adição no sentido de que não importa em que ordem você faz a operação para o número inteiro. Assim, um número inteiro multiplicado por zero é igual a zero e vice-versa.

    A propriedade de divisão de zero é interessante. Se zero for dividido por um número inteiro, o quociente será zero. Isso é o mesmo que dizer & # 8220dividir zero em x número de grupos e quantos itens haverá em cada grupo? & # 8221 A resposta, claro, é zero. Você não pode, entretanto, dividir um número inteiro por zero, porque você não pode chegar a uma afirmação inversa que faça sentido. Você pode dividir x número de moedas em grupos de zero? Impossível! É por isso que os matemáticos têm um termo especial para x / 0 que eles chamam de infinito.

    Zero é muito importante por seu valor de posição. Se você tem um número como duzentos e quatro, como o escreve para entender que não há dezenas no número? Você não pode escrever 24 porque é um número totalmente diferente.

    Uma coisa interessante ao lidar com potências de dez: 10 ao quadrado = 100. Observe que o expoente 2 mostra quantos zeros estarão na forma escrita do número. Quando você multiplica dois números que são potências de dez, o número de zeros na resposta é igual à soma dos zeros nos fatores. Por exemplo, 2.000 multiplicado por 300 é igual a 600.000 ou 6 com 5 zeros depois.

    Ao arredondar números como 6934 para o dez mais próximo, você coloca um zero na casa das unidades. 6934 arredondado para os dez mais próximos é igual a 6930.

    Se você estiver escrevendo um número com um decimal, não precisa continuar colocando zeros à direita do decimal. O decimal 0,033 (trinta e três milésimos) ainda é trinta e três milésimos se você escrevê-lo .03300000. Por que escrever todos esses zeros extras? Mas o zero na décima casa é extremamente importante, uma vez que mantém & # 8217 a décima casa, mostrando que não há décimos na casa decimal.

    Quer você o chame de zero, nada ou nada, o zero tem um lugar importante no campo da matemática.


    6.5 Equações Polinomiais

    Gastamos um tempo considerável aprendendo como fatorar polinômios. Vamos agora olhar para as equações polinomiais e resolvê-las usando fatoração, se possível.

    Uma equação polinomial é uma equação que contém uma expressão polinomial. O grau da equação polinomial é o grau do polinômio.

    Equação Polinomial

    UMA equação polinomial é uma equação que contém uma expressão polinomial.

    O grau da equação polinomial é o grau do polinômio.

    Já resolvemos equações polinomiais de grau um. As equações polinomiais de grau um são equações lineares na forma a x + b = c. a x + b = c.

    Agora vamos resolver equações polinomiais de grau dois. Uma equação polinomial de grau dois é chamada de equação quadrática. Listados abaixo estão alguns exemplos de equações quadráticas:

    A última equação não parece ter a variável ao quadrado, mas quando simplificamos a expressão à esquerda, obteremos n 2 + n. n 2 + n.

    Equação quadrática

    Uma equação da forma a x 2 + b x + c = 0 a x 2 + b x + c = 0 é chamada de equação quadrática.

    Para resolver equações quadráticas, precisamos de métodos diferentes daqueles que usamos para resolver equações lineares. Veremos um método aqui e depois vários outros em um capítulo posterior.

    Use a propriedade de produto zero

    Iremos primeiro resolver algumas equações quadráticas usando a propriedade de produto zero. A Propriedade de Produto Zero diz que se o produto de duas quantidades é zero, então pelo menos uma das quantidades é zero. A única maneira de obter um produto igual a zero é multiplicar pelo próprio zero.

    Propriedade de Produto Zero

    Agora usaremos a propriedade do produto zero para resolver uma equação quadrática.

    Exemplo 6.44

    Como resolver uma equação quadrática usando a propriedade de produto zero

    Resolva: (5 n - 2) (6 n - 1) = 0. (5 n - 2) (6 n - 1) = 0.

    Solução

    Resolva: (3 m - 2) (2 m + 1) = 0. (3 m - 2) (2 m + 1) = 0.

    Resolva: (4 p + 3) (4 p - 3) = 0. (4 p + 3) (4 p - 3) = 0.

    Como

    Use a propriedade Zero Product.

    1. Etapa 1. Defina cada fator igual a zero.
    2. Etapa 2. Resolva as equações lineares.
    3. Etapa 3. Verifique.

    Resolva equações quadráticas por fatoração

    A propriedade Zero Product funciona muito bem para resolver equações quadráticas. A equação quadrática deve ser fatorada, com zero isolado em um lado. Portanto, devemos ter certeza de começar com a equação quadrática na forma padrão, a x 2 + b x + c = 0. a x 2 + b x + c = 0. Então, devemos fatorar a expressão à esquerda.

    Exemplo 6.45

    Como resolver uma equação quadrática por fatoração

    Solução

    Como

    Resolva uma equação quadrática por fatoração.

    Antes de fatorar, devemos ter certeza de que a equação quadrática está na forma padrão.

    Resolver equações quadráticas por fatoração fará uso de todas as técnicas de fatoração que você aprendeu neste capítulo! Você reconhece o padrão especial do produto no próximo exemplo?

    Exemplo 6.46

    Solução

    Deixamos o cheque com você.

    No próximo exemplo, o lado esquerdo da equação é fatorado, mas o lado direito não é zero. Para usar a Propriedade do Produto Zero, um lado da equação deve ser zero. Vamos multiplicar os fatores e, em seguida, escrever a equação no formato padrão.

    Exemplo 6.47

    Resolva: (3 x - 8) (x - 1) = 3 x. (3 x - 8) (x - 1) = 3 x.

    Solução

    Resolva: (2 m + 1) (m + 3) = 1 2 m. (2 m + 1) (m + 3) = 1 2 m.

    No próximo exemplo, quando fatoramos a equação quadrática, obteremos três fatores. No entanto, o primeiro fator é uma constante. Sabemos que o fator não pode ser igual a 0.

    Exemplo 6.48

    Solução

    A Propriedade de Produto Zero também se aplica ao produto de três ou mais fatores. Se o produto for zero, pelo menos um dos fatores deve ser zero. Podemos resolver algumas equações de grau maior que dois usando a Propriedade do Produto Zero, assim como resolvemos equações quadráticas.

    Exemplo 6.49

    Resolva: 9 m 3 + 100 m = 60 m 2. 9 m 3 + 100 m = 60 m 2.

    Solução

    Resolva: 8 x 3 = 24 x 2 - 18 x. 8 x 3 = 24 x 2 - 18 x.

    Resolva: 16 y 2 = 32 y 3 + 2 y. 16 y 2 = 32 y 3 + 2 y.

    Resolva Equações com Funções Polinomiais

    Conforme nosso estudo de funções polinomiais continua, muitas vezes será importante saber quando a função terá um determinado valor ou quais pontos estão no gráfico da função. Nosso trabalho com a Propriedade do Produto Zero nos ajudará a encontrar essas respostas.

    Exemplo 6.50

    Para a função f (x) = x 2 + 2 x - 2, f (x) = x 2 + 2 x - 2,

    Solução

    Para a função f (x) = x 2 - 2 x - 8, f (x) = x 2 - 2 x - 8,

    Para a função f (x) = x 2 - 8 x + 3, f (x) = x 2 - 8 x + 3,

    A propriedade Zero Product também nos ajuda a determinar onde a função é zero. Um valor de x onde a função é 0, é chamado de zero da função.

    Zero de uma função

    Exemplo 6.51

    Para a função f (x) = 3 x 2 + 10 x - 8, f (x) = 3 x 2 + 10 x - 8, encontre

    Ⓐ os zeros da função, ⓑ qualquer x-interceptos do gráfico da função, ⓒ qualquer y-interceptos do gráfico da função

    Solução

    Ⓐ Para encontrar os zeros da função, precisamos encontrar quando o valor da função é 0.

    Para a função f (x) = 2 x 2 - 7 x + 5, f (x) = 2 x 2 - 7 x + 5, encontre

    Ⓐ os zeros da função, ⓑ qualquer x-interceptos do gráfico da função, ⓒ qualquer y-interceptações do gráfico da função.

    Para a função f (x) = 6 x 2 + 13 x - 15, f (x) = 6 x 2 + 13 x - 15, encontre

    Ⓐ os zeros da função, ⓑ qualquer x-interceptos do gráfico da função, ⓒ qualquer y-interceptações do gráfico da função.

    Resolva aplicativos modelados por equações polinomiais

    A estratégia de solução de problemas que usamos anteriormente para aplicativos que se traduzem em equações lineares funcionará tão bem para aplicativos que se traduzem em equações polinomiais. Copiaremos a estratégia de solução de problemas aqui para que possamos usá-la como referência.

    Como

    Use uma estratégia de resolução de problemas para resolver problemas com palavras.

    1. Passo 1. Ler o problema. Certifique-se de que todas as palavras e ideias sejam compreendidas.
    2. Passo 2. Identificar o que nós estamos procurando.
    3. Etapa 3. Nome o que nós estamos procurando. Escolha uma variável para representar essa quantidade.
    4. Passo 4. Traduzir em uma equação. Pode ser útil reafirmar o problema em uma frase com todas as informações importantes. Em seguida, traduza a frase em inglês em uma equação algébrica.
    5. Etapa 5. Resolver a equação usando técnicas de álgebra apropriadas.
    6. Etapa 6. Verificar a resposta do problema e certifique-se de que faz sentido.
    7. Etapa 7. Responder a pergunta com uma frase completa.

    Começaremos com um problema de número para praticar a tradução de palavras em uma equação polinomial.

    Exemplo 6.52

    O produto de dois inteiros ímpares consecutivos é 323. Encontre os inteiros.

    Solução

    Etapa 1. Leia o problema.
    Etapa 2. Identificar o que nós estamos procurando. Procuramos dois inteiros consecutivos.
    Etapa 3. Nome o que nós estamos procurando. Seja n = o primeiro inteiro. n = o primeiro inteiro.
    n + 2 = próximo inteiro ímpar consecutivo n + 2 = próximo inteiro ímpar consecutivo
    Etapa 4. Traduzir em uma equação. Repita o problema em uma frase. O produto dos dois inteiros ímpares consecutivos é 323.
    n (n + 2) = 323 n (n + 2) = 323
    Etapa 5. Resolva a equação. n 2 + 2 n = 323 n 2 + 2 n = 323
    Traga todos os termos de lado. n 2 + 2 n - 323 = 0 n 2 + 2 n - 323 = 0
    Fatore o trinômio. (n - 17) (n + 19) = 0 (n - 17) (n + 19) = 0
    Use a propriedade Zero Product.
    Resolva as equações.
    n - 17 = 0 n + 19 = 0 n = 17 n = −19 n - 17 = 0 n + 19 = 0 n = 17 n = −19
    Existem dois valores para n que são soluções para este problema. Portanto, há dois conjuntos de inteiros ímpares consecutivos que funcionarão.
    Se o primeiro inteiro for n = 17 n = 17 Se o primeiro inteiro for n = −19 n = −19
    então o próximo inteiro ímpar é então o próximo inteiro ímpar é
    n + 2 n + 2 n + 2 n + 2
    17 + 2 17 + 2 − 19 + 2 − 19 + 2
    19 19 − 17 − 17
    17 , 19 17 , 19 − 17 , −19 − 17 , −19
    Etapa 6. Verifique a resposta.
    Os resultados são inteiros ímpares consecutivos
    17, 19 e - 19, −17. 17, 19 e - 19, −17.
    17 · 19 = 323 ✓ − 19 ( − 17 ) = 323 ✓ 17 · 19 = 323 ✓ − 19 ( − 17 ) = 323 ✓
    Ambos os pares de inteiros consecutivos são soluções.
    Etapa 7. Resposta a questão Os inteiros consecutivos são 17, 19 e - 19, −17. - 19, −17.

    O produto de dois inteiros ímpares consecutivos é 255. Encontre os inteiros.

    O produto de dois inteiros ímpares consecutivos é 483 Encontre os inteiros.

    Você ficou surpreso com o par de inteiros negativos que é uma das soluções do exemplo anterior? O produto dos dois inteiros positivos e o produto dos dois inteiros negativos fornecem resultados positivos.

    Em algumas aplicações, soluções negativas resultarão da álgebra, mas não serão realistas para a situação.

    Exemplo 6.53

    Um quarto retangular tem uma área de 117 pés quadrados. O comprimento do quarto é mais de um metro a mais do que a largura. Encontre o comprimento e a largura do quarto.

    Solução

    Etapa 1. Leia o problema. Em problemas envolvendo
    figuras geométricas, um esboço pode ajudá-lo a visualizar
    a situação.
    Etapa 2. Identificar o que você está procurando. Procuramos o comprimento e a largura.
    Etapa 3. Nome o que você está procurando. Seja w = w = a largura do quarto.
    O comprimento é mais de um metro a mais que a largura. w + 4 = w + 4 = o comprimento do jardim
    Etapa 4. Traduzir em uma equação.
    Repita as informações importantes em uma frase. A área do quarto é de 117 pés quadrados.
    Use a fórmula para a área de um retângulo. A = l · w A = l · w
    Substitua nas variáveis. 117 = (w + 4) w 117 = (w + 4) w
    Etapa 5. Resolva a equação Distribute first. 117 = w 2 + 4 w 117 = w 2 + 4 w
    Obtenha zero de um lado. 117 = w 2 + 4 w 117 = w 2 + 4 w
    Fatore o trinômio. 0 = w 2 + 4 w - 117 0 = w 2 + 4 w - 117
    Use a propriedade Zero Product. 0 = (w 2 + 13) (w - 9) 0 = (w 2 + 13) (w - 9)
    Resolva cada equação. 0 = w + 13 0 = w - 9 0 = w + 13 0 = w - 9
    Desde C é a largura do quarto, não
    faz sentido ser negativo. Eliminamos esse valor para C.
    −13 = w 9 = w −13 = w 9 = w
    w = 9 w = 9 A largura é 9 pés.
    Encontre o valor do comprimento. w + 4 w + 4
    9 + 4 9 + 4
    13 O comprimento é de 13 pés.
    Etapa 6. Verifique a resposta.
    A resposta faz sentido?


    Sim, isso faz sentido.
    Etapa 7. Resposta a questão. A largura do quarto é de 9 pés e
    o comprimento é de 13 pés.

    Um sinal retangular tem uma área de 30 pés quadrados. O comprimento da placa é 30 cm a mais que a largura. Encontre o comprimento e a largura do sinal.

    Um pátio retangular tem uma área de 180 metros quadrados. A largura do pátio é de um metro a menos que o comprimento. Encontre o comprimento e a largura do pátio.

    Usaremos essa fórmula no próximo exemplo.

    Exemplo 6.54

    A vela de um barco tem a forma de um triângulo retângulo, conforme mostrado. A hipotenusa terá 5 metros de comprimento. O comprimento de um lado será 7 pés menor que o comprimento do outro lado. Encontre os comprimentos dos lados da vela.

    Solução

    Etapa 1. Leia o problema
    Etapa 2. Identificar o que você está procurando. Estamos procurando os comprimentos do
    lados da vela.
    Etapa 3. Nome o que você está procurando.
    Um lado é 7 a menos que o outro.
    Seja x = x = comprimento de um lado da vela.
    x - 7 = x - 7 = comprimento do outro lado
    Etapa 4. Traduzir em uma equação. Uma vez que este é um
    triângulo retângulo, podemos usar o teorema de Pitágoras.
    a 2 + b 2 = c 2 a 2 + b 2 = c 2
    Substitua nas variáveis. x 2 + (x - 7) 2 = 17 2 x 2 + (x - 7) 2 = 17 2
    Etapa 5. Resolva a equação
    Simplificar.
    x 2 + x 2 - 14 x + 49 = 289 x 2 + x 2 - 14 x + 49 = 289
    2 x 2 - 14 x + 49 = 289 2 x 2 - 14 x + 49 = 289
    É uma equação quadrática, então obtenha zero de um lado. 2 x 2 - 14 x - 240 = 0 2 x 2 - 14 x - 240 = 0
    Fatore o maior fator comum. 2 (x 2 - 7 x - 120) = 0 2 (x 2 - 7 x - 120) = 0
    Fatore o trinômio. 2 (x - 15) (x + 8) = 0 2 (x - 15) (x + 8) = 0
    Use a propriedade Zero Product. 2 ≠ 0 x - 15 = 0 x + 8 = 0 2 ≠ 0 x - 15 = 0 x + 8 = 0
    Resolver. 2 ≠ 0 x = 15 x = −8 2 ≠ 0 x = 15 x = −8
    Desde x é um lado do triângulo, x = −8 x = −8 não
    faz sentido.
    2 ≠ 0 x = 15 x = −8 2 ≠ 0 x = 15 x = −8
    Encontre o comprimento do outro lado.
    Se o comprimento de um lado é
    então o comprimento do outro lado é



    8 é o comprimento do outro lado.
    Etapa 6. Verifique a resposta no problema
    Esses números fazem sentido?

    Etapa 7. Resposta a questão Os lados da vela têm 8, 15 e 17 pés.

    Justine quer colocar um deck no canto de seu quintal em forma de triângulo retângulo. O comprimento de um lado do convés é de 7 pés a mais do que o outro lado. A hipotenusa é 13. Encontre os comprimentos dos dois lados do baralho.

    Um jardim de meditação tem a forma de um triângulo retângulo, com uma perna de 2,10 metros. O comprimento da hipotenusa é um a mais que o comprimento da outra perna. Encontre os comprimentos da hipotenusa e da outra perna.

    O próximo exemplo usa a função que fornece a altura de um objeto em função do tempo quando ele é lançado de 80 pés acima do solo.

    Exemplo 6.55

    Dennis vai jogar sua bola de borracha para cima do topo de um prédio do campus. Quando ele joga a bola de elástico de 80 pés acima do solo, a função h (t) = −16 t 2 + 64 t + 80 h (t) = −16 t 2 + 64 t + 80 modela a altura, h, da bola acima do solo em função do tempo, t. Encontrar:

    Ⓐ os zeros desta função que nos dizem quando a bola atinge o solo, ⓑ quando a bola estará a 80 pés acima do solo, ⓒ a altura da bola em t = 2 t = 2 segundos.

    Solução

    Ⓐ Os zeros desta função são encontrados resolvendo h (t) = 0. h (t) = 0. Isso nos dirá quando a bola atingirá o solo.

    Ⓑ A bola estará a 80 pés acima do solo quando h (t) = 80. h (t) = 80.

    Genevieve vai jogar uma pedra do topo de uma trilha com vista para o oceano. Quando ela joga a rocha para cima de 160 pés acima do oceano, a função h (t) = −16 t 2 + 48 t + 160 h (t) = −16 t 2 + 48 t + 160 modela a altura, h, da rocha acima do oceano em função do tempo, t. Encontrar:

    Ⓐ os zeros desta função que nos dizem quando a rocha atingirá o oceano, ⓑ quando a rocha estará 160 pés acima do oceano, ⓒ a altura da rocha em t = 1,5 t = 1,5 segundos.

    Calib vai jogar sua moeda da sorte de sua varanda em um navio de cruzeiro. Quando ele joga a moeda para cima de 128 pés acima do solo, a função h (t) = −16 t 2 + 32 t + 128 h (t) = −16 t 2 + 32 t + 128 modela a altura, h, do centavo acima do oceano em função do tempo, t. Encontrar:

    Ⓐ os zeros desta função que é quando o centavo atingirá o oceano, ⓑ quando o centavo estará 128 pés acima do oceano, ⓒ a altura do centavo estará em t = 1 t = 1 segundo que é quando o centavo estará em seu ponto mais alto.

    Meios de comunicação

    Acesse este recurso online para obter instruções adicionais e prática com equações quadráticas.

    Seção 6.5 Exercícios

    A prática leva à perfeição

    Use a propriedade de produto zero

    Nos exercícios a seguir, resolva.

    Resolva equações quadráticas por fatoração

    Nos exercícios a seguir, resolva.

    Resolva Equações com Funções Polinomiais

    Nos exercícios a seguir, resolva.

    Nos exercícios a seguir, para cada função, encontre: ⓐ os zeros da função ⓑ o x-interceptos do gráfico da função ⓒ o y-intercepto do gráfico da função.

    Resolva aplicativos modelados por equações quadráticas

    Nos exercícios a seguir, resolva.

    O produto de dois inteiros ímpares consecutivos é 143. Encontre os inteiros.

    O produto de dois inteiros ímpares consecutivos é 195. Encontre os inteiros.

    O produto de dois inteiros pares consecutivos é 168. Encontre os inteiros.

    O produto de dois inteiros pares consecutivos é 288. Encontre os inteiros.

    A área de um tapete retangular é de 28 pés quadrados. O comprimento é um metro a mais que a largura. Encontre o comprimento e a largura do tapete.

    Um muro de contenção retangular tem área de 15 pés quadrados. A altura da parede é 60 centímetros menor que seu comprimento. Encontre a altura e o comprimento da parede.

    A área de um quadro de avisos é de 55 pés quadrados. O comprimento é quatro pés menos do que três vezes a largura. Encontre o comprimento e a largura de um quadro de avisos.

    Uma garagem retangular tem área de 150 pés quadrados. A largura da garagem é cinco pés menos do que o dobro de seu comprimento. Encontre a largura e o comprimento da garagem.

    Uma flâmula tem a forma de um triângulo retângulo, com hipotenusa de 3 metros. O comprimento de um lado da flâmula é 60 cm a mais do que o comprimento do outro lado. Encontre o comprimento dos dois lados da flâmula.

    Uma janela de vitral tem a forma de um triângulo retângulo. A hipotenusa tem 15 pés. Uma perna é três a mais que a outra. Encontre os comprimentos das pernas.

    Um espelho d'água tem a forma de um triângulo retângulo, com uma perna ao longo da parede de um edifício. A hipotenusa é 9 pés mais comprida do que a lateral ao longo do edifício. O terceiro lado é 7 pés mais longo do que o lado ao longo do edifício. Encontre os comprimentos de todos os três lados do espelho d'água.

    Um recinto de cabra tem a forma de um triângulo retângulo. Uma perna do gabinete é construída contra a lateral do celeiro. A outra perna tem mais 1 metro do que a perna contra o celeiro. A hipotenusa tem 2,5 metros a mais que a perna ao longo do celeiro. Encontre os três lados do recinto das cabras.

    Juli vai lançar um foguete modelo em seu quintal. Quando ela lança o foguete, a função h (t) = −16 t 2 + 32 t h (t) = −16 t 2 + 32 t modela a altura, h, do foguete acima do solo em função do tempo, t. Encontrar:

    Ⓐ os zeros desta função, que nos dizem quando o foguete estará no solo. Ⓑ o tempo em que o foguete estará 16 pés acima do solo.

    Gianna vai jogar uma bola do último andar de sua escola. Quando ela joga a bola de 48 pés acima do solo, a função h (t) = −16 t 2 + 32 t + 48 h (t) = −16 t 2 + 32 t + 48 modela a altura, h, da bola acima do solo em função do tempo, t. Encontrar:

    Ⓐ os zeros desta função que nos dizem quando a bola vai atingir o solo. Ⓑ o (s) tempo (s) em que a bola estará a 48 pés acima do solo. Ⓒ a altura da bola estará em t = 1 t = 1 segundo que é quando a bola estará em seu ponto mais alto.

    Exercícios de escrita

    Explique como você resolve uma equação quadrática. Quantas respostas você espera obter para uma equação quadrática?

    Dê um exemplo de uma equação quadrática que tenha um GCF e nenhuma das soluções para a equação seja zero.

    Auto-verificação

    Ⓐ Depois de concluir os exercícios, use esta lista de verificação para avaliar seu domínio dos objetivos desta seção.

    Ⓑ De modo geral, depois de examinar a lista de verificação, você acha que está bem preparado para a próxima seção? Por que ou por que não?

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      • Autores: Lynn Marecek, Andrea Honeycutt Mathis
      • Editor / site: OpenStax
      • Título do livro: Álgebra intermediária 2e
      • Data de publicação: 6 de maio de 2020
      • Local: Houston, Texas
      • URL do livro: https://openstax.org/books/intermediate-algebra-2e/pages/1-introduction
      • URL da seção: https://openstax.org/books/intermediate-algebra-2e/pages/6-5-polynomial-equations

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      6.5: Use a Propriedade do Produto Zero - Matemática

      Este método de resolução de equações quadráticas pode ser familiar para você. Lembre-se de que antes de tentar resolver qualquer equação quadrática, devemos colocá-la na forma padrão:

      Quando a equação estiver na forma padrão, tente fatorá-la. Se você não tiver certeza sobre a fatoração, revise as Notas de fatoração. Após a fatoração, aplicaremos a propriedade de produto zero.

      A Propriedade do Produto Zero

      Se AB = 0, então A = 0 ou B = 0. Significando que se multiplicarmos duas coisas juntas e obtivermos 0, uma delas deve ser 0.

      Para aplicar a propriedade de produto zero, definimos cada fator igual a zero e resolvemos para a variável.

      Aqui está um exemplo: x 2 - 2x - 15 = 0

      Uma vez que a equação já está na forma padrão, a primeira etapa é fatorar:

      Agora aplique a propriedade de produto zero. Definir x - 5 = 0 e x + 3 = 0 produz as respostas x = 5 e x = -3.

      Resolva cada um dos seguintes fatores, fatorando e usando a propriedade de produto zero.

      Como a equação já está na forma padrão, o primeiro passo é fatorar. Observe que temos uma diferença de quadrados:

      Agora aplique a propriedade de produto zero e defina cada um dos fatores igual a zero.

      Agora temos duas equações lineares para resolver.

      Uma vez que a equação não está na forma padrão, o primeiro passo é colocá-la na forma padrão. Subtraia 43x e 40 de ambos os lados desta equação. Fazendo isso, obtemos:

      Agora que a equação está na forma padrão, fatorar o trinômio.

      Em seguida, aplique a propriedade do produto zero e defina cada um dos fatores igual a zero.


      Exemplo

      Solução

      Esta imagem mostra as etapas para resolver 3 p (10 p + 7) = 0. A primeira etapa é usar a propriedade de produto zero para definir cada fator igual a 0, 3p = 0 ou 10 p + 7 = 0. A próxima etapa é resolvendo ambas as equações, p = 0 ou p = negativo 7/10. Finalmente, verifique as soluções substituindo as respostas na equação original.

      Pode parecer que há apenas um fator no próximo exemplo. Lembre-se, entretanto, que (< left (y-8 right)> ^ <2> ) significa ( left (y-8 right) left (y-8 right) ).


      Propriedade Comutativa - Definição com Exemplos

      The commutative property states that the numbers on which we operate can be moved or swapped from their position without making any difference to the answer. The property holds for Addition and Multiplication, but not for subtraction and division.

      Adição
      Subtração
      Multiplication
      Division

      The above examples clearly show that we can apply the commutative property on addition and multiplication. However, we cannot apply commutative property on subtraction and division. If you move the position of numbers in subtraction or division, it changes the entire problem.

      Therefore, if a and b are two non-zero numbers, then:

      The commutative property of addition is:

      The commutative property of multiplication is:

      In short, in commutative property, the numbers can be added or multiplied to each other in any order without changing the answer.

      Let us see some examples to understand commutative property.

      Example 1: Commutative property with addition

      Myra has 5 marbles, and Rick has 3 marbles. How many marbles they have in total?

      To find the answer, we need to add 5 and 3.

      Hence, we can see whether we add 5 + 3 or 3 + 5, the answer is always 8.

      Example 2: Commutative property with subtraction.

      Alvin has 12 apples. He gives 8 apples to his sister. How many apples are left with Alvin?

      Here, we subtract 8 from 12 and get the answer as 4 apples. However, we cannot subtract 12 from 8 and get 8 as the answer.

      Example 3: Commutative property with multiplication.

      Sara buys 3 packs of buns. Each pack has 4 buns. How many buns did she buy?

      Here, if we multiply 3 by 4 or 4 by 3, in both cases we get the answer as 12 buns.

      So, the commutative property holds for multiplication.

      So, commutative property holds true for multiplication.

      Example 4: Commutative property with division.

      If you have to divide 25 strawberries to 5 kids, each kid will receive 5 strawberries. However, if you have to divide 5 strawberries amongst 25 children, every kid will get a tiny fraction of the strawberry. Therefore, we cannot apply the commutative property with the division.


      6.5: Use the Zero Product Property - Mathematics

      Here are the steps required for Solving Quadratics by Factoring:

      Step 1: Write the equation in the correct form. To be in the correct form, you must remove all parentheses from each side of the equation by distributing, combine all like terms, and finally set the equation equal to zero with the terms written in descending order.
      Step 2: Use a factoring strategies to factor the problem.
      Step 3: Use the Zero Product Property and set each factor containing a variable equal to zero.
      Step 4: Solve each factor that was set equal to zero by getting the x on one side and the answer on the other side.

      Exemplo 1 &ndash Solve: x 2 + 16 = 10x

      Exemplo 2 &ndash Solve: 18x 2 – 3x = 6

      Exemplo 3 &ndash Solve: 50x 2 = 72

      Exemplo 4 &ndash Solve: x(2x – 1) = 3

      Exemplo 5 &ndash Solve: (x + 3)(x – 5) = 𔃅