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14.8: Mudança de Variáveis ​​em Integrais Múltiplos (Jacobianos)


objetivos de aprendizado

  • Determine a imagem de uma região sob uma dada transformação de variáveis.
  • Calcule o Jacobiano de uma dada transformação.
  • Avalie uma integral dupla usando uma mudança de variáveis.
  • Avalie uma integral tripla usando uma mudança de variáveis.

Lembre-se da Regra de Substituição, o método de integração por substituição. Ao avaliar uma integral, como

[ int_2 ^ 3 x (x ^ 2 - 4) ^ 5 dx, ]

substituímos (u = g (x) = x ^ 2 - 4 ). Então (du = 2x , dx ) ou (x , dx = frac {1} {2} du ) e os limites mudam para (u = g (2) = 2 ^ 2 - 4 = 0 ) e (u = g (3) = 9 - 4 = 5 ). Assim, a integral se torna

[ int_0 ^ 5 frac {1} {2} u ^ 5 du ]

e essa integral é muito mais simples de avaliar. Em outras palavras, ao resolver problemas de integração, fazemos substituições apropriadas para obter uma integral que se torna muito mais simples do que a integral original.

Também usamos essa ideia quando transformamos integrais duplas em coordenadas retangulares em coordenadas polares e integrais triplas em coordenadas retangulares em coordenadas cilíndricas ou esféricas para tornar os cálculos mais simples. De forma geral,

[ int_a ^ b f (x) dx = int_c ^ d f (g (u)) g '(u) du, ]

Onde (x = g (u), , dx = g '(u) du ), e (u = c ) e (u = d ) satisfazer (c = g (a) ) e (d = g (b) ).

Um resultado semelhante ocorre em integrais duplos quando substituímos

  • (x = f (r, theta) = r , cos , theta )
  • (y = g (r, theta) = r , sin , theta ), e
  • (dA = dx , dy = r , dr , d theta ).

Então nós temos

[ iint_R f (x, y) dA = iint_S (r , cos , theta, , r , sin , theta) r , dr , d theta ]

onde o domínio (R ) é substituído pelo domínio (S ) em coordenadas polares. Geralmente, a função que usamos para alterar as variáveis ​​para tornar a integração mais simples é chamada de transformação ou mapeamento.

Transformações Planares

Uma transformação plana (T ) é uma função que transforma uma região (G ) em um plano em uma região (R ) em outro plano por uma mudança de variáveis. Ambos (G ) e (R ) são subconjuntos de (R ^ 2 ). Por exemplo, a Figura ( PageIndex {1} ) mostra uma região (G ) no (uv ) - plano transformado em uma região (R ) no (xy ) - plano pelo mudança de variáveis ​​ (x = g (u, v) ) e (y = h (u, v) ), ou às vezes escrevemos (x = x (u, v) ) e (y = y (u, v) ). Devemos supor que cada uma dessas funções tem primeiras derivadas parciais contínuas, o que significa que (g_u, , g_v, , h_u, ) e (h_v ) existem e também são contínuas. A necessidade desse requisito ficará clara em breve.

Definição: transformação um para um

Uma transformação (T: , G rightarrow R ), definida como (T (u, v) = (x, y) ), é considerada uma transformação um-para-um se nenhum mapa de dois pontos para o mesmo ponto da imagem.

Para mostrar que (T ) uma transformação um-para-um, assumimos (T (u_1, v_1) = T (u_2, v_2) ) e mostramos que, como consequência, obtemos ((u_1, v_1) = (u_2, v_2) ). Se a transformação (T ) é um-para-um no domínio (G ), então o inverso (T ^ {- 1} ) existe com o domínio (R ) tal que (T ^ {- 1} circ T ) e (T circ T ^ {- 1} ) são funções de identidade.

A Figura ( PageIndex {2} ) mostra o mapeamento (T (u, v) = (x, y) ) onde (x ) e (y ) estão relacionados a (u ) e (v ) pelas equações (x = g (u, v) ) e (y = h (u, v) ). A região (G ) é o domínio de (T ) e a região (R ) é o intervalo de (T ), também conhecido como o imagem de (G ) sob a transformação (T ).

Exemplo ( PageIndex {1A} ): Determinando como a transformação funciona

Suponha que uma transformação (T ) seja definida como (T (r, theta) = (x, y) ) onde (x = r , cos , theta, , y = r , sin , theta ). Encontre a imagem do retângulo polar (G = {(r, theta) | 0 leq r leq 1, , 0 leq theta leq pi / 2 } ) no (r theta ) - plano para uma região (R ) no plano (xy ). Mostre que (T ) é uma transformação um-para-um em (G ) e encontre (T ^ {- 1} (x, y) ).

Solução

Como (r ) varia de 0 a 1 no plano (r theta ), temos um disco circular de raio 0 a 1 no plano (xy ). Como ( theta ) varia de 0 a ( pi / 2 ) no plano (r theta ), acabamos obtendo um quarto de círculo de raio (1 ) no primeiro quadrante de o plano (xy ) - (Figura ( PageIndex {2} )). Portanto, (R ) é um quarto de círculo limitado por (x ^ 2 + y ^ 2 = 1 ) no primeiro quadrante.

A fim de mostrar que (T ) é uma transformação um-para-um, assuma (T (r_1, theta_1) = T (r_2, theta_2) ) e mostre como consequência que ((r_1, theta_1) = (r_2, theta_2) ). Neste caso, temos

[T (r_1, theta_1) = T (r_2, theta_2), ]

[(x_1, y_1) = (x_1, y_1), ]

[(r_1 cos , theta_1, r_1 sin , theta_1) = (r_2 cos , theta_2, r_2 sin , theta_2), ]

[r_1 cos , theta_1 = r_2 cos , theta_2, , r_1 sin , theta_1 = r_2 sin , theta_2. ]

Dividindo, obtemos

[ frac {r_1 cos , theta_1} {r_1 sin , theta_1} = frac {r_2 cos , theta_2} {r_2 sin , theta_2} ]

[ frac { cos , theta_1} { sin , theta_1} = frac { cos , theta_2} { sin , theta_2} ]

[ tan , theta_1 = tan , theta_2 ]

[ theta_1 = theta_2 ]

uma vez que a função tangente é uma função um-um no intervalo (0 leq theta leq pi / 2 ). Além disso, como (0 leq r leq 1 ), temos (r_1 = r_2, , theta_1 = theta_2 ). Portanto, ((r_1, theta_1) = (r_2, theta_2) ) e (T ) é uma transformação um-para-um de (G ) para (R ).

Para encontrar (T ^ {- 1} (x, y) ) resolva para (r, theta ) em termos de (x, y ). Já sabemos que (r ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 ) e ( tan , theta = frac {y} {x} ). Assim, (T ^ {- 1} (x, y) = (r, theta) ) é definido como (r = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} ) e ( tan ^ { -1} left ( frac {y} {x} right) ).

Exemplo ( PageIndex {1B} ): Encontrando a imagem em (T )

Deixe a transformação (T ) ser definida por (T (u, v) = (x, y) ) onde (x = u ^ 2 - v ^ 2 ) e (y = uv ). Encontre a imagem do triângulo no plano (uv ) - com vértices ((0,0), , (0,1) ) e ((1,1) ).

Solução

O triângulo e sua imagem são mostrados na Figura ( PageIndex {3} ). Para entender como os lados do triângulo se transformam, chame o lado que une ((0,0) ) e ((0,1) ) lado (A ), o lado que une ((0, 0) ) e ((1,1) ) lado (B ), e o lado que une ((1,1) ) e ((0,1) ) lado (C )

  • Para o lado (A: , u = 0, , 0 leq v leq 1 ) se transforma em (x = -v ^ 2, , y = 0 ) então este é o lado (A ') que une ((- 1,0) ) e ((0,0) ).
  • Para o lado (B: , u = v, , 0 leq u leq 1 ) transforma-se em (x = 0, , y = u ^ 2 ) então este é o lado (B ' ) que une ((0,0) ) e ((0,1) ).
  • Para o lado (C: , 0 leq u leq 1, , v = 1 ) transforma-se em (x = u ^ 2 - 1, , y = u ) (portanto (x = y ^ 2 - 1 ) então este é o lado (C ') que faz a metade superior do arco parabólico unindo ((- 1,0) ) e ((0,1) ).

Todos os pontos em toda a região do triângulo no plano (uv ) - são mapeados dentro da região parabólica no plano (xy ).

Exercício ( PageIndex {1} )

Seja uma transformação (T ) definida como (T (u, v) = (x, y) ) onde (x = u + v, , y = 3v ). Encontre a imagem do retângulo (G = {(u, v): , 0 leq u leq 1, , 0 leq v leq 2 } ) do plano (uv ) após a transformação em uma região (R ) no plano (xy ). Mostre que (T ) é uma transformação um-para-um e encontre (T ^ {- 1} (x, y) ).

Dica

Siga as etapas de Exemplo ( PageIndex {1B} ).

Responder

(T ^ {- 1} (x, y) = (u, v) ) onde (u = frac {3x-y} {3} ) e (v = frac {y} {3 } )

Usando a definição, temos

[ Delta A approx J (u, v) Delta u Delta v = left | frac { partial (x, y)} { partial (u, v)} right | Delta u Delta v. ]

Observe que o Jacobiano é frequentemente denotado simplesmente por

[J (u, v) = frac { partial (x, y)} { partial (u, v)}. ]

Observe também que

[ begin {vmatrix} dfrac { partial x} { parcial u} & dfrac { parcial y} { parcial u} não numérico dfrac { parcial x} { parcial v} & dfrac { parcial y} { parcial v} end {vmatrix} = esquerda ( frac { parcial x} { parcial u} frac { parcial y} { parcial v} - frac { parcial x} { parcial v} frac { parcial y} { parcial u} direita) = begin {vmatriz} dfrac { parcial x} { parcial u} & dfrac { parcial x} { parcial v} nonumber dfrac { parcial y} { parcial u} & dfrac { parcial y} { parcial v} end {vmatriz}. ]

Portanto, a notação (J (u, v) = frac { partial (x, y)} { partial (u, v)} ) sugere que podemos escrever o determinante Jacobiano com parciais de (x ) na primeira linha e parciais de (y ) na segunda linha.

Exemplo ( PageIndex {2A} ): Encontrando o Jacobiano

Encontre o Jacobiano da transformação dada em Exemplo ( PageIndex {1A} ).

Solução

A transformação no exemplo é (T (r, theta) = (r , cos , theta, , r , sin , theta) ) onde (x = r , cos , theta ) e (y = r , sin , theta ). Assim, o Jacobiano é

[J (r, theta) = frac { partial (x, y)} { partial (r, theta)} = begin {vmatrix} dfrac { partial x} { partial r} & dfrac { partial x} { partial theta} dfrac { partial y} { partial r} & dfrac { partial y} { partial theta} end {vmatrix} = begin { vmatrix} cos theta & -r sin theta sin theta & r cos theta end {vmatrix} = r , cos ^ 2 theta + r , sin ^ 2 theta = r ( cos ^ 2 theta + sin ^ 2 theta) = r. enhum número]

Exemplo ( PageIndex {2B} ): Encontrando o Jacobiano

Encontre o Jacobiano da transformação dada em Exemplo ( PageIndex {1B} ).

Solução

A transformação no exemplo é (T (u, v) = (u ^ 2 - v ^ 2, uv) ) onde (x = u ^ 2 - v ^ 2 ) e (y = uv ) . Assim, o Jacobiano é

[J (u, v) = frac { partial (x, y)} { partial (u, v)} = begin {vmatrix} dfrac { partial x} { partial u} & dfrac { parcial x} { parcial v} dfrac { parcial y} { parcial u} & dfrac { parcial y} { parcial v} end {vmatrix} = begin {vmatrix} 2u & -2v v & u end {vmatrix} = 2u ^ 2 + 2v ^ 2. enhum número]

Exercício ( PageIndex {2} )

Encontre o Jacobiano da transformação dada no ponto de verificação anterior: (T (u, v) = (u + v, 2v) ).

Dica

Siga as etapas nos dois exemplos anteriores.

Responder

[J (u, v) = frac { partial (x, y)} { partial (u, v)} = begin {vmatrix} dfrac { partial x} { partial u} & dfrac { partial x} { partial v} nonumber dfrac { partial y} { partial u} & dfrac { partial y} { partial v} end {vmatrix} = begin {vmatrix} 1 e 1 não numérico 0 & 2 end {vmatrix} = 2 ]

Exercício ( PageIndex {3} )

Considerando a integral ( int_0 ^ 1 int_0 ^ { sqrt {1-x ^ 2}} (x ^ 2 + y ^ 2) dy , dx, ) use a mudança de variáveis ​​ (x = r , cos , theta ) e (y = r , sin , theta ) e encontre a integral resultante.

Dica

Siga as etapas do exemplo anterior.

Responder

[ int_0 ^ { pi / 2} int_0 ^ 1 r ^ 3 dr , d theta ]

Observe no próximo exemplo que a região sobre a qual devemos integrar pode sugerir uma transformação adequada para a integração. Esta é uma situação comum e importante.

Exemplo ( PageIndex {4} ): Alterando Variáveis

Considere a integral [ iint_R (x - y) dy , dx, ] onde (R ) é o paralelogramo que une os pontos ((1,2), , (3,4), , ( 4,3) ), e ((6,5) ) (Figura ( PageIndex {7} )). Faça as alterações apropriadas nas variáveis ​​e escreva a integral resultante.

Solução

Primeiro, precisamos entender a região na qual devemos nos integrar. Os lados do paralelogramo são (x - y + 1, , x - y - 1 = 0, , x - 3y + 5 = 0 ) e (x - 3y + 9 = 0 ) (Figura ( PageIndex {8} )). Outra maneira de observá-los é (x - y = -1, , x - y = 1, , x - 3y = -5 ) e (x - 3y = 9 ).

Claramente, o paralelogramo é limitado pelas retas (y = x + 1, , y = x - 1, , y = frac {1} {3} (x + 5) ) e (y = frac {1} {3} (x + 9) ).

Observe que se fôssemos fazer (u = x - y ) e (v = x - 3y ), então os limites da integral seriam (- 1 leq u leq 1 ) e ( -9 leq v leq -5 ).

Para resolver para (x ) e (y ), multiplicamos a primeira equação por (3 ) e subtraímos a segunda equação, (3u - v = (3x - 3y) - (x - 3y) = 2x ). Então temos (x = frac {3u-v} {2} ). Além disso, se simplesmente subtrairmos a segunda equação da primeira, obteremos (u - v = (x - y) - (x - 3y) = 2y ) e (y = frac {uv} {2} )

Assim, podemos escolher a transformação

[T (u, v) = left ( frac {3u - v} {2}, , frac {u - v} {2} right) ] e calcule o Jacobiano (J (u, v) ). Nós temos

[J (u, v) = frac { partial (x, y)} { partial (u, v)} = begin {vmatrix} dfrac { partial x} { partial u} & dfrac { parcial x} { parcial v} dfrac { parcial y} { parcial u} & dfrac { parcial y} { parcial v} end {vmatrix} = begin {vmatrix} 3 / 2 & -1/2 nonumber 1/2 & -1/2 end {vmatrix} = - frac {3} {4} + frac {1} {4} = - frac {1} { 2} nonumber ]

Portanto, (| J (u, v) | = frac {1} {2} ). Além disso, o integrando original torna-se

[x - y = frac {1} {2} [3u - v - u + v] = frac {1} {2} [3u - u] = frac {1} {2} [2u] = você. enhum número]

Portanto, pelo uso da transformação (T ), a integral muda para

[ iint_R (x - y) dy , dx = int _ {- 9} ^ {- 5} int _ {- 1} ^ 1 J (u, v) u , du , dv = int_ { -9} ^ {- 5} int _ {- 1} ^ 1 left ( frac {1} {2} right) u , du , dv, nonumber ] que é muito mais simples de calcular.

Exercício ( PageIndex {4} )

Faça as mudanças apropriadas nas variáveis ​​na integral [ iint_R frac {4} {(x - y) ^ 2} dy , dx, nonumber ] onde (R ) é o trapézio delimitado pelas linhas ( x - y = 2, , x - y = 4, , x = 0 ) e (y = 0 ). Escreva a integral resultante.

Dica

Siga as etapas do exemplo anterior.

Responder

(x = frac {1} {2} (v + u) ) e (y = frac {1} {2} (v - u) )

e

[ int_ {2} ^ 4 int _ {- u} ^ u left ( frac {1} {2} right) cdot frac {4} {u ^ 2} , dv , du. enhum número]

Estamos prontos para dar uma estratégia de resolução de problemas para a mudança de variáveis.

No próximo exemplo, encontramos uma substituição que torna o integrando muito mais simples de calcular.

Exemplo ( PageIndex {5} ): Avaliando um Integral

Usando a mudança de variáveis ​​ (u = x - y ) e (v = x + y ), avalie a integral [ iint_R (x - y) e ^ {x ^ 2-y ^ 2} dA, ] onde (R ) é a região limitada pelas linhas (x + y = 1 ) e (x + y = 3 ) e as curvas (x ^ 2 - y ^ 2 = -1 ) e (x ^ 2 - y ^ 2 = 1 ) (veja a primeira região na Figura ( PageIndex {9} )).

Solução

Como antes, primeiro encontre a região (R ) e imagine a transformação para que seja mais fácil obter os limites de integração após as transformações serem feitas (Figura ( PageIndex {9} )).

Dados (u = x - y ) e (v = x + y ), temos (x = frac {u + v} {2} ) e (y = frac {vu} { 2} ) e, portanto, a transformação a ser usada é (T (u, v) = left ( frac {u + v} {2}, , frac {vu} {2} right) ). As linhas (x + y = 1 ) e (x + y = 3 ) tornam-se (v = 1 ) e (v = 3 ), respectivamente. As curvas (x ^ 2 - y ^ 2 = 1 ) e (x ^ 2 - y ^ 2 = -1 ) tornam-se (uv = 1 ) e (uv = -1 ), respectivamente.

Assim, podemos descrever a região (S ) (ver a segunda região Figura ( PageIndex {9} )) como

[S = left {(u, v) | 1 leq v leq 3, , frac {-1} {v} leq u leq frac {1} {v} right }. enhum número]

O Jacobiano para esta transformação é

[J (u, v) = frac { partial (x, y)} { partial (u, v)} = begin {vmatrix} dfrac { partial x} { partial u} & dfrac { partial x} { partial v} dfrac { partial y} { partial u} & dfrac { partial y} { partial v} end {vmatrix} = begin {vmatrix} 1 / 2 e 1/2 -1/2 & 1/2 end {vmatrix} = frac {1} {2}. enhum número]

Portanto, ao usar a transformação (T ), a integral muda para

[ iint_R (x - y) e ^ {x ^ 2-y ^ 2} dA = frac {1} {2} int_1 ^ 3 int _ {- 1 / v} ^ {1 / v} ue ^ {uv} du , dv. enhum número]

Fazendo a avaliação, temos

[ frac {1} {2} int_1 ^ 3 int _ {- 1 / v} ^ {1 / v} ue ^ {uv} du , dv = frac {2} {3e} aproximadamente 0,245. enhum número]

Exercício ( PageIndex {5} )

Usando as substituições (x = v ) e (y = sqrt {u + v} ), avalie a integral ( displaystyle iint_R y , sin (y ^ 2 - x) , dA, ) onde (R ) é a região limitada pelas linhas (y = sqrt {x}, , x = 2 ) e (y = 0 ).

Dica

Esboce uma imagem e encontre os limites da integração.

Responder

( frac {1} {2} ( sin 2 - 2) )

Vamos tentar outro exemplo com uma substituição diferente.

Exemplo ( PageIndex {6B} ): Avaliando um Triplo Integral com uma Mudança de Variáveis

Avalie o integral triplo

[ int_0 ^ 3 int_0 ^ 4 int_ {y / 2} ^ {(y / 2) +1} left (x + frac {z} {3} right) dx , dy , dz ]

Em (xyz ) - espaço usando a transformação

(u = (2x - y) / 2, , v = y / 2 ) e (w = z / 3 ).

Em seguida, integre sobre uma região apropriada no (uvw ) - espaço.

Solução

Como antes, algum tipo de esboço da região (G ) em (xyz ) - espaço sobre o qual devemos realizar a integração pode ajudar a identificar a região (D ) em (uvw ) - espaço ( Figura ( PageIndex {13} )). Claramente (G ) in (xyz ) - o espaço é limitado pelos planos (x = y / 2, , x = (y / 2) + 1, , y = 0, , y = 4 , , z = 0 ) e (z = 4 ). Também sabemos que temos que usar (u = (2x - y) / 2, , v = y / 2 ) e (w = z / 3 ) para as transformações. Precisamos resolver para (x, y ) e (z ). Aqui encontramos que (x = u + v, , y = 2v ) e (z = 3w ).

Usando álgebra elementar, podemos encontrar as superfícies correspondentes para a região (G ) e os limites de integração no (uvw ) - espaço. É conveniente listar essas equações em uma tabela.

Equações em (xyz ) para a região (D )Equações correspondentes em (uvw ) para a região (G )Limites para a integração em (uvw )
(x = y / 2 ) (u + v = 2v / 2 = v ) (u = 0 )
(x = y / 2 ) (u + v = (2v / 2) + 1 = v + 1 ) (u = 1 )
(y = 0 ) (2v = 0 ) (v = 0 )
(y = 4 ) (2v = 4 ) (v = 2 )
(z = 0 ) (3w = 0 ) (w = 0 )
(z = 3 ) (3w = 3 ) (w = 1 )

Agora podemos calcular o Jacobiano para a transformação:

[J (u, v, w) = begin {vmatrix} dfrac { partial x} { partial u} & dfrac { partial x} { partial v} & dfrac { partial x} { parcial w} dfrac { parcial y} { parcial u} & dfrac { parcial y} { parcial v} & dfrac { parcial y} { parcial w} dfrac { parcial z} { parcial u} & dfrac { parcial z} { parcial v} & dfrac { parcial z} { parcial w} end {vmatrix} = begin {vmatrix} 1 & 1 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 3 end {vmatrix} = 6. nonumber ]

A função a ser integrada torna-se

[f (x, y, z) = x + frac {z} {3} = u + v + frac {3w} {3} = u + v + w. ]

Agora estamos prontos para colocar tudo junto e resolver o problema.

[ begin {align *} int_0 ^ 3 int_0 ^ 4 int_ {y / 2} ^ {(y / 2) +1} left (x + frac {z} {3} right) dx , dy , dz & = int_0 ^ 1 int_0 ^ 2 int_0 ^ 1 (u + v + w) | J (u, v, w) | du , dv , dw [4pt]
& = int_0 ^ 1 int_0 ^ 2 int_0 ^ 1 (u + v + w) | 6 | du , dv , dw [4pt]
& = 6 int_0 ^ 1 int_0 ^ 2 int_0 ^ 1 (u + v + w) , du , dv , dw [4pt]
& = 6 int_0 ^ 1 int_0 ^ 2 left [ frac {u ^ 2} {2} + vu + wu right] _0 ^ 1 , dv , dw [4pt]
& = 6 int_0 ^ 1 int_0 ^ 2 left ( frac {1} {2} + v + u right) dv , dw [4pt]
& = 6 int_0 ^ 1 left [ frac {1} {2} v + frac {v ^ 2} {2} + wv right] _0 ^ 2 dw [4pt]
& = 6 int_0 ^ 1 (3 + 2w) , dw = 6 Grande [3w + w ^ 2 Grande] _0 ^ 1 = 24. end {alinhar *} ]

Exercício ( PageIndex {6} )

Seja (D ) a região em (xyz ) - espaço definido por (1 leq x leq 2, , 0 leq xy leq 2 ) e (0 leq z leq 1 ).

Avalie ( iiint_D (x ^ 2 y + 3xyz) , dx , dy , dz ) usando a transformação (u = x, , v = xy ) e (w = 3z ) .

Dica

Faça uma tabela para cada superfície das regiões e decida os limites, conforme mostrado no exemplo.

Responder

[ int_0 ^ 3 int_0 ^ 2 int_1 ^ 2 left ( frac {v} {3} + frac {vw} {3u} right) du , dv , dw = 2 + ln 8 ]

Conceitos chave

  • Uma transformação (T ) é uma função que transforma uma região (G ) em um plano (espaço) em uma região (R ). em outro plano (espaço) por uma mudança de variáveis.
  • Uma transformação (T: G rightarrow R ) definida como (T (u, v) = (x, y) ) (ou (T (u, v, w) = (x, y, z) ) ) é considerada uma transformação um para um se não houver dois pontos mapeados para o mesmo ponto da imagem.
  • Se (f ) é contínuo em (R ), então [ iint_R f (x, y) dA = iint_S f (g (u, v), , h (u, v)) left | frac { partial (x, y)} { partial (u, v)} right | du , dv. ]
  • Se (F ) é contínuo em (R ), então [ begin {alinhar *} iiint_R F (x, y, z) , dV & = iiint_G F (g (u, v, w ), , h (u, v, w), , k (u, v, w) left | frac { partial (x, y, z)} { partial (u, v, w)} right | , du , dv , dw. [4pt] & = iint_G H (u, v, w) | J (u, v, w) | , du , dv , dw. end {align *} ]

[T] Ovais lamé (ou superelipses) são curvas planas de equações ( left ( frac {x} {a} right) ^ n + left ( frac {y} {b} right) ^ n = 1 ), onde uma, b, e n são números reais positivos.

uma. Use um CAS para representar graficamente as regiões (R ) delimitadas por ovais de Lamé para (a = 1, , b = 2, , n = 4 ) e (n = 6 ) respectivamente.

b. Encontre as transformações que mapeiam a região (R ) delimitada pelo oval de Lamé (x ^ 4 + y ^ 4 = 1 ) também chamada de esquilo e representada graficamente na figura a seguir, no disco unitário.

c. Use um CAS para encontrar uma aproximação da área (A (R) ) da região (R ) limitada por (x ^ 4 + y ^ 4 = 1 ). Arredonde sua resposta para duas casas decimais.

Ovais [T] Lamé têm sido usados ​​de forma consistente por designers e arquitetos. Por exemplo, Gerald Robinson, um arquiteto canadense, projetou um estacionamento em um shopping center em Peterborough, Ontário, no formato de um superelipse da equação ( left ( frac {x} {a} right) ^ n + left ( frac {y} {b} right) ^ n = 1 ) com ( frac {a} {b} = frac {9} {7} ) e (n = e ). Use um CAS para encontrar uma aproximação da área da garagem no caso (a = 900 ) jardas, (b = 700 ) jardas e (n = 2,72 ) jardas.

[Ocultar solução]

(A (R) simeq 83.999,2 )

Exercícios de revisão de capítulo

Verdadeiro ou falso? Justifique sua resposta com uma prova ou contra-exemplo.

[ int_a ^ b int_c ^ d f (x, y) , dy , dx = int_c ^ d int_a ^ b f (x, y) , dy , dx ]

O teorema de Fubini pode ser estendido para três dimensões, desde que (f ) seja contínuo em todas as variáveis.

[Ocultar solução]

Verdadeiro.

O integral [ int_0 ^ {2 pi} int_0 ^ 1 int_0 ^ 1 dz , dr , d theta ] representa o volume de um cone direito.

O Jacobiano da transformação para (x = u ^ 2 - 2v, , y = 3v - 2uv ) é dado por (- 4u ^ 2 + 6u + 4v ).

[Ocultar solução]

Falso.

Avalie os seguintes integrais.

[ iint_R (5x ^ 3y ^ 2 - y ^ 2) , dA, , R = {(x, y) | 0 leq x leq 2, , 1 leq y leq 4 } ]

[ iint_D frac {y} {3x ^ 2 + 1} dA, , D = {(x, y) | 0 leq x leq 1, , -x leq y leq x } ]

[Ocultar solução]

(0)

[ iint_D sin (x ^ 2 + y ^ 2) dA ] onde (D ) é um disco de raio (2 ) centrado na origem [ int_0 ^ 1 int_0 ^ 1 xye ^ {x ^ 2} dx , dy ]

[Ocultar solução]

( frac {1} {4} )

[ int _ {- 1} ^ 1 int_0 ^ z int_0 ^ {x-z} 6dy , dx , dz ]

[ iiint_R 3y , dV, ] onde (R = {(x, y, z) | 0 leq x leq 1, , 0 leq y leq x, , 0 leq z leq sqrt {9 - y ^ 2} } )

[Ocultar solução]

(1.475)

[ int_0 ^ 2 int_0 ^ {2 pi} int_r ^ 1 r , dz , d theta , dr ]

[ int_0 ^ {2 pi} int_0 ^ { pi / 2} int_1 ^ 3 rho ^ 2 , sin ( varphi) d rho , d varphi, , d theta ]

[Ocultar solução]

( frac {52} {3} pi )

[ int_0 ^ 1 int _ {- sqrt {1-x ^ 2}} ^ { sqrt {1-x ^ 2}} int _ {- sqrt {1-x ^ 2-y ^ 2}} ^ { sqrt {1-x ^ 2-y ^ 2}} dz , dy , sx ]

Para os problemas a seguir, encontre a área ou volume especificado.

A área da região delimitada por uma pétala de (r = cos (4 theta) ).

[Ocultar solução]

( frac { pi} {16} )

O volume do sólido que fica entre o parabolóide (z = 2x ^ 2 + 2y ^ 2 ) e o plano (z = 8 ).

O volume do sólido delimitado pelo cilindro (x ^ 2 + y ^ 2 = 16 ) e de (z = 1 ) a (z + x = 2 ).

[Ocultar solução]

(93.291)

O volume da intersecção entre duas esferas de raio 1, a parte superior cujo centro é ((0,0,0.25) ) e a parte inferior, que está centrada em ((0,0,0) ).

Para os problemas a seguir, encontre o centro de massa da região.

( rho (x, y) = xy ) no círculo com raio (1 ) apenas no primeiro quadrante.

[Ocultar solução]

( left ( frac {8} {15}, frac {8} {15} right) )

( rho (x, y) = (y + 1) sqrt {x} ) na região delimitada por (y = e ^ x, , y = 0 ) e (x = 1 )

( rho (x, y, z) = z ) no cone invertido com raio (2 ) e altura (2 ).

( left (0,0, frac {8} {5} right) )

O volume de uma casquinha de sorvete que é dado pelo sólido acima (z = sqrt {(x ^ 2 + y ^ 2)} ) e abaixo (z ^ 2 + x ^ 2 + y ^ 2 = z )

Os problemas a seguir examinam o Monte Holly, no estado de Michigan. Mount Holly é um aterro que foi convertido em uma estação de esqui. A forma do Monte Holly pode ser aproximada por um cone circular direito de altura (1100 ) pés e raio (6000 ) pés.

Se o lixo compactado usado para construir o Monte Holly em média tiver uma densidade (400 , lb / ft ^ 3 ), encontre a quantidade de trabalho necessária para construir a montanha.

[Ocultar solução]

(1.452 pi times 10 ^ {15} ) ft-lb

Na realidade, é muito provável que o lixo no fundo do Monte Holly tenha ficado mais compactado com todo o peso do lixo acima. Considere uma função de densidade com respeito à altura: a densidade no topo da montanha ainda é densidade (400 , lb / ft ^ 3 ) e a densidade aumenta. A cada (100 ) pés de profundidade, a densidade dobra. Qual é o peso total do Monte Holly?

Os problemas a seguir consideram a temperatura e a densidade das camadas da Terra.

[T] A temperatura das camadas da Terra é exibida na tabela abaixo. Use sua calculadora para ajustar um polinômio de grau (3 ) à temperatura ao longo do raio da Terra. Em seguida, encontre a temperatura média da Terra. (Dica: começa em (0 ) no núcleo interno e aumenta para fora em direção à superfície)

CamadaProfundidade do centro (km)Temperatura (^ oC )
Rocky Crust0 a 400
Manto superior40 a 150870
Manto400 a 650870
Mantel Interior650 a 2700870
Núcleo Externo Derretido2890 a 51504300
Núcleo Interno5150 a 63787200

Fonte: http://www.enchantedlearning.com/sub...h/Inside.shtml

[Ocultar solução]

(y = -1,238 vezes 10 ^ {- 7} x ^ 3 + 0,001196 x ^ 2 - 3,666x + 7208 ); temperatura média de aproximadamente (2800 ^ oC )

[T] A densidade das camadas da Terra é exibida na tabela abaixo. Usando sua calculadora ou um programa de computador, encontre a equação quadrática que melhor se ajusta à densidade. Usando esta equação, encontre a massa total da Terra.

CamadaProfundidade do centro (km)Densidade ((g / cm ^ 3) )
Núcleo Interno012.95
Núcleo externo122811.05
Manto34885.00
Manto superior63383.90
crosta63782.55

Fonte: http: //hyperphysics.phy-astr.gsu.edu...rthstruct.html

Os problemas a seguir dizem respeito ao Teorema de Pappus (veja Momentos e Centros de Massa para uma atualização), um método para calcular o volume usando centróides. Assumindo uma região (R ), quando você gira em torno do eixo (x ), o volume é dado por (V_x = 2 pi A bar {y} ), e quando você gira em torno do ( y ) - eixo o volume é dado por (V_y = 2 pi A bar {x} ), onde (A ) é a área de (R ). Considere a região limitada por (x ^ 2 + y ^ 2 = 1 ) e acima de (y = x + 1 ).

Encontre o volume ao girar a região em torno do eixo (x ).

[Ocultar solução]

( frac { pi} {3} )

Encontre o volume ao girar a região em torno do eixo (y ).

Glossário

Jacobiano

o Jacobiano (J (u, v) ) em duas variáveis ​​é um determinante (2 vezes 2 ):

[J (u, v) = begin {vmatrix} frac { partial x} { partial u} frac { partial y} { partial u} nonumber frac { partial x} { partial v} frac { partial y} { partial v} end {vmatrix}; ]

o Jacobiano (J (u, v, w) ) em três variáveis ​​é um determinante (3 vezes 3 ):

[J (u, v, w) = begin {vmatrix} frac { parcial x} { parcial u} frac { parcial y} { parcial u} frac { parcial z} { parcial u} nonumber frac { partial x} { partial v} frac { partial y} { partial v} frac { partial z} { partial v} nonumber frac { parcial x} { parcial w} frac { parcial y} { parcial w} frac { parcial z} { parcial w} end {vmatriz} ]

transformação um para um
uma transformação (T: G rightarrow R ) definida como (T (u, v) = (x, y) ) é considerada um-para-um se não houver dois pontos mapeados para o mesmo ponto da imagem
transformação planar
uma função (T ) que transforma uma região (G ) em um plano em uma região (R ) em outro plano por uma mudança de variáveis
transformação
uma função que transforma uma região GG em um plano em uma região RR em outro plano por uma mudança de variáveis

Calculus early transcendentals 11ª edição manual da solução pdf

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14.8: Mudança de Variáveis ​​em Integrais Múltiplos (Jacobianos)

x M u x_ú x Pѭn5M ( y $ a % ( ( ( ( ( / ProcSet [/ PDF / Text / ImageC] >> endobj 18 0 obj> stream x ZMs 6 W (M * ⳝ δ 6 =% 90 b cK C CA > o! : = y Z L 浖 '@ =, g L: zTf + ﻻ: : W n O b ) j z 4 M

q . , 鍃>, d c q E #Z = 3 E > endobj 22 0 obj> / ProcSet [/ PDF / Text] >> endobj 28 0 obj> stream x Y n F ​​ + r: 3w ) A E M d! t, @ R = b _ 3 | I G4 娉 W > = ˋ

Z 3l> endobj 26 0 obj> / ProcSet [/ PDF / Text] >> endobj 29 0 obj [611,1] endobj 30 0 obj [1062,5] endobj 31 0 obj [885,4 826,4 736,8 708,3 795,8 767,4 826,4 767,4 826,4 767,4 619,8 590,3 590,3 885,4 885,4 295,1 324,7 531,3 531,3 531,3 531,3 531,3 795,8 472,2 531,3 767,4 826,4 531,3 958,7 1076,8 826,4 295,1 295,1 531,3 885,4 531,3 885,4 826,4 295,1 413,2 413,2 531,3 826,4 295,1 354,2 295,1 531,3 531,3 531,3 531,3 531,3 531,3 531,3 531,3 531,3 531,3 531,3 295,1 295,1 295,1 826,4 501,7 501,7 826,4 795,8 752,1 767,4 811,1 722,6 693,1 833,5 795,8 382,6 545,5 825,4 663,6 972,9 795,8 826,4 722,6 826,4 781,6 590,3 767,4 795,8 795,8 1091 795,8 795,8 649,3 295,1 531,3 295,1 531,3 295,1 295,1 531,3 590,3 472,2 590,3 472,2 324,7 531,3 590,3 295,1 324,7 ] endobj 32 0 obj [777,8 277,8 777,8 500 777,8 500 777,8 777,8 777,8 777,8 777,8 777,8 777,8 1000 500 500 500 777,8 777,8 777,8 777,8 777,8 777,8 777,8 777,8 777,8 777,8 777,8 777,8 1000 1000 777,8 777,8 777,8 777,8 1000 1000 500 500 1 777,8 777,8 777,8 777,8 777,8 777,8 777,8 777,8 777,8 777,8 777,8 777,8 777,8 1000 1000 1000 500 1 000 1000 611,1 611,1 1000 1000 1000 777,8 275 1000 666,7 666,7 888,9 888,9 0 0 555,6 555,6 666,7 500 722,2 722,2 777,8 777,8 611,1 798,5 656,8 526,5 771,4 527,8 718,7 594,9 844,5 544,5 677,5 677,8 761,9 777,8 611,1 798,5 656,8 526,5 771,4 527,8 724,7 666,7 666,7 666,7 666,7 666,7 611,1 611,1 444,4 444,4 444,4 444,4 500 500 388,9 388,9 277,8] endobj 33 0 obj [456,3 346,1 563,7 571,2 589,1 483,8 427,7 555,4 505 556,5 425,25,2 527,8 579,5 613,4 279,2 527,8 579,5 613,4 279,2 527,8 579,5 613,4 279,2 59,2 527,8 579,5 613,4 613,4 279,2 527,8 579,2 613,4 279,2 59,2 527,8 579,5 613,4 277,2 272 489,6 489,6 489,6 489,6 489,6 489,6 489,6 489,6 489,6 489,6 489,6 489,6 272 272 761,6 489,6 761,6 489,6 516,9 734 743,9 700,5 813 724,8 633,8 772,4 811,3 431,9 541,2 833 666,2 947,3 784,1 748,3 631,1 775,5 745,3 602,2 573,9 665 570,8 924,4 812,6 568,1 670,2 380,8 380,8 380,8 979,2 979,2 410,9 514 416,3 421,4 508,8 453,8 482,6 468,9 563,7 334 405,1 509,3 291,7 856,5 584,5 470,7 491,4 434,1 441,3 461,2 353,6 557,3 473,4 699,9 556,4 477,4 45 4,9 312,5 377,9 623,4 489,6] endobj 34 0 obj [295,1 826,4 531,3 826,4 531,3 559,7 795,8 801,4 757,3 871,7 778,7 672,4 827,9 872,8 460,7 580,4 896 722,6 1020,4 843,3 806,2 673,6 835,7 800,2 646,2 618,6 718,8 618,8 1002,4 873,9 615,8 720 413,2 413,2 413,2 1062,5 1062,5 434 564,4 454,5 460,2 546,7 492,9 510,4 505,6 612,3 361,7 429,7 553,2 317,1 939,8 644,7 513,5 534,8 474,4 479,5 491,3 383,7 615,2 517,4 762,5 598,1 525,2 494,2] endobj 35 0 obj [33327,3 553,6 750,3 747,8 577,8 583,7 615,2 517,4 762,5 598,1 525,2 494,2] endobj 35 0 obj [33327,3 553 750,3 7,37,8 577,8 583,7 615,2 517,4 762,5 598,1 525,2 494,2] 1044,4 791,7 791,7 583,3 583,3 638,9 638,9 638,9 638,9 805,6 805,6 805,6 805,6 1277,8 1277,8 811,1 811,1 875 875 666,7 666,7 666,7 666,7 666,7 666,7 888,9 888,9 888,9 888,9 888,9 888,9 888,9 666,7 875 875 875 875 611,1 611,1 833,3 1111,1 472,2 555,6 1111,1 1511,1 1111,1 1511,1 1111,1 1511,1 1055,6 944,4 472,2 833,3 833,3 833,3 833,3 833,3 1444,4 1277,8 555,6] endobj 36 0 obj [312,5 562,5 562,5 562,5 562,5 562,5 562,5 562,5 562,5 562,5 562,5 56 2.5 312.5 312.5 342.6 875 531.2 531.2 875 849.5 799.8 812.5 862.3 738.4 707.2 884.3 879.6 419 581 880.8 675.9 1067.1 879.6 844.9 768.5 844.9 839.1 625 782.4 864.6 849.5 1162 849.5 849.5 687.5 312.5 581 312.5 562.5 312.5 312.5 546.9 625 500 625 513.3 343.7 562.5 625 312.5 343.7 593.7 312.5 937.5 625 562.5 625 593.7 459.5 443.8 437.5 625 593.7 812.5 593.7] endobj 37 0 obj [816 761.6 679.6 652.8 734 707.2 761.6 707.2 761.6 707.2 571.2 544 544 816 816 272 299.2 489.6 489.6 489.6 489.6 489.6 734 435.2 489.6 707.2 761.6 489.6 883.8 992.6 761.6 272 272 489.6 816 489.6 816 761.6 272 380.8 380.8 489.6 761.6 272 326.4 272 489.6 489.6 489.6 489.6 489.6 489.6 489.6 489.6 489.6 489.6 489.6 272 272 272 761.6 462.4 462.4 761.6 734 693.4 707.2 747.8 666.2 639 768.3 734 353.2 503 761.2 611.8 897.2 734 761.6 666.2 761.6 720.6 544 707.2 734 734 1006 734 734 598.4 272 489.6 272 489.6 272 272 489.6 544 435.2 544 435.2 299.2 489.6 544 272 299.2 516.8 272 816 544 489.6 544 516.8 380.8 386.2 380.8 544 516.8 7 07.2 516.8 516.8] endobj 38 0 obj > stream xڍ P - ! 0 `p $A ! A kp q䞜< z ս ww ջ P b t2 :9 p T$ 98 (44 `7< (4 + Q _ ) l = U . ] ?D' @ A (4RN 9 ` p 1 p A @G | d y W za 77gA66OOOV + Z v h A % @ ߭ m 9 Z Z 5g _d ̀ ` ' $ prp :z V`< @MV ˍ t wuz z @ gŸ s j 4 c q rrp 9 Q 4 x 7 ߗk d v Kwg6 G HA oγ agg / ? v ܃ 3 ? pp , n s 5 w g3 / | Y


Solutions to Midterm 1 are here.

  • 15.1: Double integrals on rectangles. Definition as limits of Riemann sums. Evaluation as iterated integrals.
  • 15.2: Double integrals on general regions. Definition as limits of Riemann sums. Interpretations of double integrals as areas, volumes, mass, charge, population, probability etc. Properties of the integral (linearity, monotonicity and additivity). Evaluation as iterated integrals. Determination of the limits of integration. Exchange in the order of integration.
  • 15.3: Areas and average values by double integration.
  • 15.4: Double integration in polar form. Polar coordinates. Definition of integrals as limits of Riemann sums in polar coordinates. Area element dA = rdrd&theta. Determination of the limits of integration. Transformation of double integrals from Cartesian to polar coordinates. Areas in polar coordinates.
  • 15.5: Triple integrals in Cartesian coordinates. Definition of integrals as limits of Riemann sums. Interpretations and properties of the integral. Evaluation as iterated integrals. Determination of the limits of integration. Exchange in the order of integration for iterated triple integrals.
  • 15.7: Triple integrals in cylindrical and spherical coordinates. Cylindrical and spherical coordinates. Definition of integrals as limits of Riemann sums. Volume elements dV = rdrd&thetadz (cylindrical) and dV = &rho 2 sin &phid&rhod&phid&theta (spherical). Transformation of triple integrals from Cartesian to cylindrical and spherical coordinates. Applications to volume, average value, mass etc.

Section 15.6 (on centers of mass and moments of inertia) won't be covered by the exams. Section 15.8 (on change of variables) will be covered in subsequent exams.

Sample midterm problems are here.

Solutions to the sample midterm problems are here.


New To This Edition

&bull WileyPLUSwith ORION:WileyPLUS is equipped with an adaptive learning module called ORION. Based on cognitive science, WileyPLUS with ORION provides students with a personal, adaptive learning experience to build their proficiency on topics and use their study time more effectively. It helps students learn by learning about them.

&bull ORION Refresher Module: An adaptive practice to master algebra, trigonometry, and polynomial equations provides students with a personalized study plan to master concepts prior to the course, allowing for instructors to focus class time on Calculus.

&bull Video Program: Videos of worked examples and problems covering the subject material in the Single Variable chapters of the 11 th edition.

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&bull Answer Specific Feedback Questions: Within WileyPLUS with ORION this edition of Anton will feature this new question type allowing students to have customized feedback on the actual work they&rsquore doing.


18.5.4. A Comment on Sign Conventions¶

Keen-eyed readers will observe something strange about the computations above. Namely, computations like

can produce negative numbers. When thinking about areas, it can be strange to see a negative value, and so it is worth digging into what the convention is.

Mathematicians take the notion of signed areas. This manifests itself in two ways. First, if we consider a function (f(x)) which is sometimes less than zero, then the area will also be negative. So for instance

Similarly, integrals which progress from right to left, rather than left to right are also taken to be negative areas

The standard area (from left to right of a positive function) is always positive. Anything obtained by flipping it (say flipping over the (x) -axis to get the integral of a negative number, or flipping over the (y) -axis to get an integral in the wrong order) will produce a negative area. And indeed, flipping twice will give a pair of negative signs that cancel out to have positive area

If this discussion sounds familiar, it is! In Section 18.1 we discussed how the determinant represented the signed area in much the same way.


Calculus III (Math 2415)

Público: This course is intended basically for students who are pursuing degrees in mathematical sciences and engineering and who are required by the nature of their respective curricula to enroll in the 3-semester calculus series. Students enrolled in other areas not requiring calculus may wish to take this course as an elective to broaden their mathematical background, provided the following necessary prerequisites have been met.

Prerequisites: Math 2414. Pass with a “C” or better.

Course Intent: This course provides a detailed study of:

  • Vectors and the Geometry of Space
  • Vector-Valued Functions
  • Functions of Several variables
  • Multiple Integration
  • Vector Analysis

Course Objectives: Upon completion of this course, a student should be able to:

(1) Apply calculus to vectors and vector-valued functions

(2) Describe and use partial differentiation

(3) Apply Lagrange multipliers to solve problems

(4) Solve multiple integrals

(5) Find the Jacobian using determinant notation

(6) Apply Green’s theorem to evaluate line integrals around a bounded area

(7) Apply the Divergence theorem and Stokes' theorem to specific problems

Text Book:. CALCULUS by Larson & Edwards, 10th edition, Brooks/Cole, Cengage Learning, 2010

Resource Materials: Any student enrolled in Math 2415 at HCCS has access to the Academic Support Center where they may get additional help in understanding the theory or in improving their skills. O Centro is staffed with mathematics faculty and student assistants, and offers tutorial help, video tapes and computer assisted drills. Also available is a Student’s Solutions Manual which may be obtained from the Bookstore.

Suggested Methods: Students are encouraged to work the review exercícios at the end of each chapter. Also, they are encouraged to visit the Academic Support Center at their respective college.

Comparecimento : Regular attendance is extremely important in mathematics classes. You may be dropped for excessive absence (more than 12.5% of the class time, or 2 weeks or the equivalent). Veterans with excessive absence will be dropped with an official drop form by the last drop day. If you should decide to withdraw from the course, initiate a student drop in the office. Should your name remain on the roll at the end of the term, you must receive a grade.

Major Exams: There will be 3 major exams. Each major exam score will count for 25% of the final course average.

Final Exam: The final exam will cover all the course material. The final exam score will count for 25% of the final course average.

Grading Formula: The grading formula is :

Course average = ( T1 + T2 + T3 + F ) ( 0.25 )

where T1, T2, T3 are the 3 major exam scores, and F the final exam score.

Americans With Disabilities Act (ADA): Persons needing accommodations due to a documented disability should contact the ADA counselor for their college as soon as possible.

Departmental Policies:

  1. 1. The final exam is comprehensive and questions on it can deal with any of the course objectives.
  2. 2. Each student should receive a copy of the syllabus for the course on the first day of class.
  3. A comprehensive final examination must be given. The final examination must be taken by all students.
  4. All major exams should be announced clearly in advance in the course syllabus.
  5. The final exam must count for at least 25% and at most 40% of the final grade.
  6. 6. The final course average will be used in the usual manner. Grades will be assigned as follows:

Course average : Grade :

90 - 100 UMA

80 - 89 B

70 - 79 C

60 - 69 D

Below 60 F

7.Either an open book or a take-home major exam may be given at the discretion of the instructor.

  1. 8. Review sheets (if any) should be comprehensive and the student should não feel that classroom notes, homeworks and major exams may be ignored in favor of the review sheets for examinations.

FALL 2016 - CALCULUS III - COURSE CALENDAR


INTRODUCTION: The Roots of Calculus

1 LIMITS AND CONTINUITY

1.1 Limits (An Intuitive Approach)

1.3 Limits at Infinity End Behavior of a Function

1.4 Limits (Discussed More Rigorously)

1.6 Continuity of Trigonometric Functions

1.7 Inverse Trigonometric Functions

1.8 Exponential and Logarithmic Functions

2 THE DERIVATIVE

2.1 Tangent Lines and Rates of Change

2.2 The Derivative Function

2.3 Introduction to Techniques of Differentiation

2.4 The Product and Quotient Rules

2.5 Derivatives of Trigonometric Functions

3 TOPICS IN DIFFERENTIATION

3.1 Implicit Differentiation

3.2 Derivatives of Logarithmic Functions

3.3 Derivatives of Exponential and Inverse Trigonometric Functions

3.5 Local Linear Approximation Differentials

3.6 L’Hôpital’s Rule Indeterminate Forms

4 THE DERIVATIVE IN GRAPHING AND APPLICATIONS

4.1 Analysis of Functions I: Increase, Decrease, and Concavity

4.2 Analysis of Functions II: Relative Extrema Graphing Polynomials

4.3 Analysis of Functions III: Rational Functions, Cusps, and Vertical Tangents

4.4 Absolute Maxima and Minima

4.5 Applied Maximum and Minimum Problems

4.8 Rolle’s Theorem Mean-Value Theorem

5 INTEGRATION

5.1 An Overview of the Area Problem

5.2 The Indefinite Integral

5.3 Integration by Substitution

5.4 The Definition of Area as a Limit Sigma Notation

5.6 The Fundamental Theorem of Calculus

5.7 Rectilinear Motion Revisited Using Integration

5.8 Average Value of a Function and its Applications

5.9 Evaluating Definite Integrals by Substitution

5.10 Logarithmic and Other Functions Defined by Integrals

6 APPLICATIONS OF THE DEFINITE INTEGRAL IN GEOMETRY, SCIENCE, AND ENGINEERING

6.1 Area Between Two Curves

6.2 Volumes by Slicing Disks and Washers

6.3 Volumes by Cylindrical Shells

6.4 Length of a Plane Curve

6.5 Area of a Surface of Revolution

6.7 Moments, Centers of Gravity, and Centroids

6.8 Fluid Pressure and Force

6.9 Hyperbolic Functions and Hanging Cables

7 PRINCIPLES OF INTEGRAL EVALUATION

7.1 An Overview of Integration Methods

7.3 Integrating Trigonometric Functions

7.4 Trigonometric Substitutions

7.5 Integrating Rational Functions by Partial Fractions

7.6 Using Computer Algebra Systems and Tables of Integrals

7.7 Numerical Integration Simpson’s Rule

8 MATHEMATICAL MODELING WITH DIFFERENTIAL EQUATIONS

8.1 Modeling with Differential Equations

8.2 Separation of Variables

8.3 Slope Fields Euler’s Method

8.4 First-Order Differential Equations and Applications

9 INFINITE SERIES

9.5 The Comparison, Ratio, and Root Tests

9.6 Alternating Series Absolute and Conditional Convergence

9.7 Maclaurin and Taylor Polynomials

9.8 Maclaurin and Taylor Series Power Series

9.9 Convergence of Taylor Series

9.10 Differentiating and Integrating Power Series Modeling with Taylor Series

10 PARAMETRIC AND POLAR CURVES CONIC SECTIONS

10.1 Parametric Equations Tangent Lines and Arc Length for Parametric Curves


Índice

Introduction: The Roots of Calculus

1 LIMITS AND CONTINUITY

1.1 Limits (An Intuitive Approach)

1.3 Limits at Infinity End Behavior of a Function

1.4 Limits (Discussed More Rigorously)

1.6 Continuity of Trigonometric Functions

2.1 Tangent Lines and Rates of Change

2.2 The Derivative Function

2.3 Introduction to Techniques of Differentiation

2.4 The Product and Quotient Rules

2.5 Derivatives of Trigonometric Functions

2.7 Implicit Differentiation

2.9 Local Linear Approximation Differentials

3 THE DERIVATIVE IN GRAPHIN AND APPLICATIONS

3.1 Analysis of Function I: Increase, Decrease, and Concavity

3.2 Analysis of Function II: Relative Extrema Graphing Polynomials

3.3 Analysis of Functions III: Rational Functions, Cups, and Vertical Tangents

3.4 Absolute Maxima and Minima

3.5 Applied Maximum and Minimum Problems

3.8 Rolle's Theorem Mean-Value Theorem

4.1 An Overview of the Area Problem

4.2 The indefinite Integral

4.3 Integration by Substitution

4.4 The Definition of Area as a Limit Sigma Notation

4.6 The Fundamental Theorem of Calculus

4.7 Rectilinear Motion Revisited Using Integration

4.8 Average Value of a Function and its Applications

4.9 Evaluating Definite Integrals by Substitution

5 APPLICATIONS OF THE DEFINITE INTEGRAL IN GEOMETRY, SCIENCE, AND ENGINEERING

5.1 Area Between Two Curves

5.2 Volumes by Slicing Disks and Washers

5.3 Volumes by Cylindrical Shells

5.4 Length of a Plane Curve

5.5 Area of a Surface of Revolution

5.7 Moments, Centers of Gravity, and Centroids

5.8 Fluid Pressure and Force

6 EXPONENTIAL, LOGARITHMIC, AND INVERSE TRIGONOMETRIC FUNCTIONS

6.1 Exponential and Logarithmic Functions

6.2 Derivatives and Integrals Involving Logarithmic Functions

6.3 Derivatives of Inverse Functions Derivatives and Integrals Involving Exponential Functions

6.4 Graphs and Applications Involvig Logarithmic and Exponential Functions

6.5 LHopital's Rule Indeterminate Forms

6.6 Logarithmic and Other Functions Defined by Integrals

6.7 Derivatives and Integrals Involving Inverse Trigonometric Functions

6.8 Hyperbolic Functions and Hanging Cables

7 PRINCIPLES OF INTEGRAL EVALUATION

7.1 An Overview of Integration Methods

7.3 Integrating Trigonometric Functions

7.4 Trigonometric Substitutions

7.5 Integrating Rational Functions by Partial Fractions

7.6 Using Computer Algebra Systems and Tables of Integrals

7.7 Numerical Integration Simpson&rsquos Rule

8 MATHEMATICAL MODELING WITH DIFFERENTIAL EQUATIONS

8.1 Modeling with Differential Equations

8.2 Separation of Variables

8.3 Slope Fields Euler&rsquos Method

8.4 First-Order Differential Equations and Applications

9.5 The Comparison, Ratio, and Root Tests

9.6 Alternating Series Absolute and Conditional Convergence

9.7 Maclaurin and Taylor Polynomials

9.8 Maclaurin and Taylor Series Power Series

9.9 Convergence of Taylor Series

9.10 Differentiating and Integrating Power Series Modeling with Taylor Series

10 PARAMETRIC AND POLAR CURVES CONIC SECTIONS

10.1 Parametric Equations Tangent Lines and Arc Length for Parametric Curves

10.3 Tangent Lines, Arc Length, and Area for Polar Curves

10.5 Rotation of Axes Second-Degree Equations

10.6 Conic Sections in Polar Coordinates

11 THREE-DIMENSIONAL SPACE VECTORS

11.1 Rectangular Coordinates in 3-Space Spheres Cylindrical Surfaces

11.3 Dot Product Projections

11.5 Parametric Equations of Lines

11.8 Cylindrical and Spherical Coordinates

12 VECTOR-VALUED FUNCTIONS

12.1 Introduction to Vector-Valued Functions

12.2 Calculus of Vector-Valued Functions

12.3 Change of Parameter Arc Length

12.4 Unit Tangent, Normal, and Binormal Vectors

12.7 Kepler&rsquos Laws of Planetary Motion

13 PARTIAL DERIVATIVES

13.1 Functions of Two or More Variables

13.2 Limits and Continuity

13.4 Differentiability, Differentials, and Local Linearity

13.6 Directional Derivatives and Gradients

13.7 Tangent Planes and Normal Vectors

13.8 Maxima and Minima of Functions of Two Variables

14 MULTIPLE INTEGRALS

14.2 Double Integrals over Nonrectangular Regions

14.3 Double Integrals in Polar Coordinates

14.4 Surface Area Parametric Surfaces

14.6 Triple Integrals in Cylindrical and Spherical Coordinates

14.7 Change of Variables in Multiple Integrals Jacobians

14.8 Centers of Gravity Using Multiple Integrals

15 TOPICS IN VECTOR CALCULUS

15.3 Independence of Path Conservative Vector Fields

15.6 Applications of Surface Integrals Flux

15.7 The Divergence Theorem

C NEW FUNCTIONS FROM OLD (SUMMARY)

D FAMILIES OF FUNCTIONS (SUMMARY)

ANSWERS TO ODD-NUMBERED EXERCISES


ESSENTIAL CALCULUS CH12 Multiple integrals - PowerPoint PPT Presentation

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Assista o vídeo: Mudança de Variáveis e Jacobiano - Cálculo lll (Outubro 2021).