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14.6: Integrais triplos em coordenadas cilíndricas e esféricas - Matemática


objetivos de aprendizado

  • Avalie uma integral tripla mudando para coordenadas cilíndricas.
  • Avalie uma integral tripla mudando para coordenadas esféricas.

No início deste capítulo, mostramos como converter uma integral dupla em coordenadas retangulares em uma integral dupla em coordenadas polares para lidar mais convenientemente com problemas envolvendo simetria circular. Uma situação semelhante ocorre com integrais triplos, mas aqui precisamos distinguir entre simetria cilíndrica e simetria esférica. Nesta seção, convertemos integrais triplas em coordenadas retangulares em uma integral tripla em coordenadas cilíndricas ou esféricas.

Lembre-se também do prelúdio do capítulo, que mostrou a casa de ópera l’Hemisphèric em Valência, Espanha. Possui quatro seções, sendo uma delas um teatro em uma esfera (bola) de cinco andares de altura sob um teto oval do tamanho de um campo de futebol. Dentro há uma tela IMAX que transforma a esfera em um planetário com um céu cheio de (9000 ) estrelas cintilantes. Usando integrais triplas em coordenadas esféricas, podemos encontrar os volumes de diferentes formas geométricas como essas.

Revisão de coordenadas cilíndricas

Como vimos anteriormente, no espaço bidimensional ( mathbb {R} ^ 2 ) um ponto com coordenadas retangulares ((x, y) ) pode ser identificado com ((r, theta) ) em coordenadas polares e vice-versa, onde (x = r , cos theta ), (y = r , sin , theta, , r ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 ) e ( tan , theta = left ( frac {y} {x} right) ) são as relações entre as variáveis.

No espaço tridimensional ( mathbb {R} ^ 3 ) um ponto com coordenadas retangulares ((x, y, z) ) pode ser identificado com coordenadas cilíndricas ((r, theta, z) ) e vice versa. Podemos usar essas mesmas relações de conversão, adicionando (z ) como a distância vertical ao ponto do plano ((xy ) - conforme mostrado em ( PageIndex {1} ).

Para converter de coordenadas retangulares em cilíndricas, usamos o método de conversão

  • (x = r , cos theta )
  • (y = r , sin , theta )
  • (z = z )

Para converter de coordenadas cilíndricas em retangulares, usamos

  • (r ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 ) e
  • ( theta = tan ^ {- 1} left ( frac {y} {x} right) )
  • (z = z )

Observe que a coordenada (z ) - permanece a mesma em ambos os casos.

No plano bidimensional com um sistema de coordenadas retangular, quando dizemos (x = k ) (constante), queremos dizer uma linha vertical ilimitada paralela ao eixo (y ) e quando (y = l ) (constante) significa uma linha horizontal ilimitada paralela ao eixo (x ). Com o sistema de coordenadas polares, quando dizemos (r = c ) (constante), queremos dizer um círculo de raios (c ) unidades e quando ( theta = alpha ) (constante) queremos dizer um infinito raio formando um ângulo ( alpha ) com o eixo (x ) positivo.

Da mesma forma, no espaço tridimensional com coordenadas retangulares ((x, y, z) ) as equações (x = k, , y = l ) e (z = m ) onde (k, , l ) e (m ) são constantes, representam planos ilimitados paralelos ao plano (yz ), plano (xz ) e plano (xy ), respectivamente. Com coordenadas cilíndricas ((r, theta, z) ), por (r = c, , theta = alpha ) e (z = m ), onde (c, alpha ), e (m ) são constantes, queremos dizer um cilindro vertical ilimitado com o eixo z como seu eixo radial; um plano fazendo um ângulo constante ( alpha ) com o plano (xy ) -; e um plano horizontal ilimitado paralelo ao plano (xy ) -, respectivamente. Isso significa que o cilindro circular (x ^ 2 + y ^ 2 = c ^ 2 ) em coordenadas retangulares pode ser representado simplesmente como (r = c ) em coordenadas cilíndricas. (Consulte Coordenadas cilíndricas e esféricas para mais revisão.)

Integração em coordenadas cilíndricas

Integrais triplos geralmente podem ser avaliados mais prontamente usando coordenadas cilíndricas em vez de coordenadas retangulares. Algumas equações comuns de superfícies em coordenadas retangulares junto com equações correspondentes em coordenadas cilíndricas estão listadas na Tabela ( PageIndex {1} ). Essas equações serão úteis à medida que prosseguirmos com a solução de problemas usando integrais triplos.

Tabela ( PageIndex {1} ): Equações de algumas formas comuns
Cilindro circularCone circularEsferaParabolóide
Retangular (x ^ 2 + y ^ 2 = c ^ 2 ) (z ^ 2 = c ^ 2 (x ^ 2 + y ^ 2) ) (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = c ^ 2 ) (z = c (x ^ 2 + y ^ 2) )
Cilíndrico (r = c ) (z = cr ) (r ^ 2 + z ^ 2 = c ^ 2 ) (z = cr ^ 2 )

Como antes, começamos com a região limitada mais simples (B ) em ( mathbb {R} ^ 3 ) para descrever em coordenadas cilíndricas, na forma de uma caixa cilíndrica, (B = {(r, theta, z) | a leq r leq b, , alpha leq theta leq beta, , c leq z leq d } ) (Figura ( PageIndex {2} )). Suponha que dividamos cada intervalo em (l, , m ) e (n ) subdivisões de modo que ( Delta r = frac {b cdot a} {l}, , Delta theta = frac { beta cdot alpha} {m} ), e ( Delta z = frac {d cdot c} {n} ). Então, podemos afirmar a seguinte definição para uma integral tripla em coordenadas cilíndricas.

DEFINIÇÃO: integral triplo em coordenadas cilíndricas

Considere a caixa cilíndrica (expressa em coordenadas cilíndricas)

[B = {(r, theta, z) | a leq r leq b, , alpha leq theta leq beta, , c leq z leq d }. ]

Se a função (f (r, theta, z) ) é contínua em (B ) e se ((r_ {ijk} ^ *, theta_ {ijk} ^ *, z_ {ijk} ^ * ) ) é qualquer ponto de amostra na subcaixa cilíndrica (B_ {ijk} = | r_ {i-1}, r_i | times | theta_ {j-1}, theta_j | times | z_ {k-1 }, k_i | ) (Figura ( PageIndex {2} )), então podemos definir o integral triplo em coordenadas cilíndricas como o limite de uma soma de Riemann tripla, desde que exista o seguinte limite:

[ lim_ {l, m, n rightarrow infty} sum_ {i = 1} ^ l sum_ {j = 1} ^ m sum_ {k = 1} ^ nf (r_ {ijk} ^ *, theta_ {ijk} ^ *, z_ {ijk} ^ *) Delta r Delta theta Delta z. ]

Observe que se (g (x, y, z) ) é a função em coordenadas retangulares e a caixa (B ) é expressa em coordenadas retangulares, então o integral triplo

[ iiint_B g (x, y, z) dV ]

é igual ao integral triplo

[ iiint_B g (r , cos theta, , r , sin , theta, , z) r , dr , d theta , dz ]

e nós temos

[ iiint_B g (x, y, z) dV = iiint_B g (r , cos theta, , r , sin , theta, , z) r , dr , d theta , dz = iiint_B f (r, theta , z) r , dr , d theta , dz. ]

Como mencionado na seção anterior, todas as propriedades de um integral duplo funcionam bem em integrais triplos, seja em coordenadas retangulares ou cilíndricas. Eles também são válidos para integrais iteradas. Para reiterar, em coordenadas cilíndricas, o teorema de Fubini assume a seguinte forma:

Teorema: Teorema de Fubini em Coordenadas Cilíndricas

Suponha que (g (x, y, z) ) seja contínuo em uma caixa retangular (B ) que, quando descrita em coordenadas cilíndricas, se parece com (B = {(r, theta, z) | a leq r leq b, , alpha leq theta leq beta, , c leq z leq d } ).

Então (g (x, y, z) = g (r , cos theta, r , sin , theta, z) = f (r, theta, z) ) e

[ iiint_B g (x, y, z) dV = int_c ^ d int _ { beta} ^ { alpha} int_a ^ bf (r, theta, z) r , dr , d theta , dz. ]

A integral iterada pode ser substituída de forma equivalente por qualquer uma das outras cinco integrais iteradas obtidas pela integração em relação às três variáveis ​​em outras ordens.

Os sistemas de coordenadas cilíndricas funcionam bem para sólidos que são simétricos em torno de um eixo, como cilindros e cones. Vejamos alguns exemplos antes de definirmos a integral tripla em coordenadas cilíndricas em regiões cilíndricas gerais.

Exemplo ( PageIndex {1} ): Avaliando um Triplo Integral em uma Caixa Cilíndrica

Avalie o integral triplo

[ iiint_B (zr , sin , theta) r , dr , d theta , dz ]

onde a caixa cilíndrica (B ) é (B = {(r, theta, z) | 0 leq r leq 2, , 0 leq theta leq pi / 2, , 0 , leq z leq 4 }. )

Solução

Conforme afirmado no teorema de Fubini, podemos escrever a integral tripla como a integral iterada

[ iiint_B (zr , sin , theta) r , dr , d theta , dz = int _ { theta = 0} ^ { theta = pi / 2} int_ {r = 0} ^ {r = 2} int_ {z = 0} ^ {z = 4} (zr , sin , theta) r , dz , dr , d theta. ]

A avaliação da integral iterada é direta. Cada variável na integral é independente das outras, portanto, podemos integrar cada variável separadamente e multiplicar os resultados juntos. Isso torna o cálculo muito mais fácil:

[ int _ { theta = 0} ^ { theta = pi / 2} int_ {r = 0} ^ {r = 2} int_ {z = 0} ^ {z = 4} (zr , sin , theta) r , dz , dr , d theta = left ( int_0 ^ { pi / 2} sin , theta , d theta right) left ( int_0 ^ 2 r ^ 2 dr right) left ( int_0 ^ 4 z , dz right) = left ( left. - cos theta right | _0 ^ { pi / 2} right) left ( left. frac {r ^ 3} {3} right | _0 ^ 2 right) left ( left. frac {z ^ 2} {2} right | _0 ^ 4 right) = frac {64} {3}. ]

Exercício ( PageIndex {1} ):

Avalie a integral tripla [ int _ { theta = 0} ^ { theta = pi} int_ {r = 0} ^ {r = 1} int_ {z = 0} ^ {z = 4} rz , sin , theta r , dz , dr , d theta. ]

Dica

Siga as mesmas etapas do exemplo anterior.

Responder

(8)

Se a região cilíndrica sobre a qual devemos integrar é um sólido geral, observamos as projeções nos planos de coordenadas. Portanto, a integral tripla de uma função contínua (f (r, theta, z) ) sobre uma região sólida geral (E = {(r, theta, z) | (r, theta) in D , u_1 (r, theta) leq z leq u_2 (r, theta) } ) em ( mathbb {R} ^ 3 ) onde (D ) é a projeção de (E ) no plano (r theta ) -, é

[ iiint_E f (r, theta, z) r , dr , d theta , dz = iint_D left [ int_ {u_1 (r, theta)} ^ {u_2 (r, theta) )} f (r, theta, z) dz right] r , dr , d theta. ]

Em particular, se (D = {(r, theta) | G_1 ( theta) leq r leq g_2 ( theta), alpha leq theta leq beta } ), então nós tenho

[ iiint_E f (r, theta, z) r , dr , d theta = int _ { theta = alpha} ^ { theta = beta} int_ {r = g_1 ( theta) } ^ {r = g_2 ( theta)} int_ {z = u_1 (r, theta)} ^ {z = u_2 (r, theta)} f (r, theta, z) r , dz , dr , d theta. ]

Existem fórmulas semelhantes para projeções nos outros planos de coordenadas. Podemos usar coordenadas polares nesses planos, se necessário.

Exemplo ( PageIndex {2} ): Configurando um Triplo Integral em Coordenadas Cilíndricas em uma Região Geral

Considere a região (E ) dentro do cilindro circular direito com a equação (r = 2 , sin , theta ), limitada abaixo pelo plano (r theta ) e limitada acima pela esfera com raio (4 ) centrado na origem (Figura 15.5.3). Configure uma integral tripla sobre esta região com uma função (f (r, theta, z) ) em coordenadas cilíndricas.

Solução

Primeiro, identifique que a equação da esfera é (r ^ 2 + z ^ 2 = 16 ). Podemos ver que os limites para (z ) são de (0 ) a (z = sqrt {16 - r ^ 2} ). Então os limites para (r ) são de (0 ) a (r = 2 , sin , theta ). Finalmente, os limites para ( theta ) são de (0 ) a ( pi ). Portanto, a região é (E = {(r, theta, z) | 0 leq theta leq pi, , 0 leq r leq 2 , sin , theta, , 0 leq z leq sqrt {16 - r ^ 2} }. ) Portanto, a integral tripla é

[ iiint_E f (r, theta, z) r , dz , dr , d theta = int _ { theta = 0} ^ { theta = pi} int_ {r = 0} ^ {r = 2 , sin , theta} int_ {z = 0} ^ {z = sqrt {16-r ^ 2}} f (r, theta, z) r , dz , dr , d theta. ]

Exercício ( PageIndex {2} ):

Considere a região dentro do cilindro circular direito com a equação (r = 2 , sin , theta ) limitada abaixo pelo plano (r theta ) - e limitada acima por (z = 4 - y ) Configure uma integral tripla com uma função (f (r, theta, z) ) em coordenadas cilíndricas.

Dica

Analise a região e desenhe um esboço.

Responder

[ iiint_E f (r, theta, z) r , dz , dr , d theta = int _ { theta = 0} ^ { theta = pi} int_ {r = 0} ^ {r = 2 , sin , theta} int_ {z = 0} ^ {z = 4-r , sin , theta} f (r, theta, z) r , dz , dr , d theta. ]

Exemplo ( PageIndex {3} ): Configurando um Triplo Integral de Duas Maneiras

Seja (E ) a região limitada abaixo pelo cone (z = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} ) e acima pelo parabolóide (z = 2 - x ^ 2 - y ^ 2 ) (Figura 15.5.4). Configure uma integral tripla em coordenadas cilíndricas para encontrar o volume da região, usando as seguintes ordens de integração:

uma. (dz , dr , d theta )

b. (dr , dz , d theta )

Solução

uma. O cone é de raio 1 onde encontra o parabolóide. Uma vez que (z = 2 - x ^ 2 - y ^ 2 = 2 - r ^ 2 ) e (z = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} = r ^ 2 ) (assumindo (r ) é não negativo), temos (2 - r ^ 2 = r ). Resolvendo, temos (r ^ 2 + r - 2 = (r + 2) (r - 1) = 0 ). Como (r geq 0 ), temos (r = 1 ). Portanto (z = 1 ). Portanto, a interseção dessas duas superfícies é um círculo de raio (1 ) no plano (z = 1 ). O cone é o limite inferior para (z ) e o parabolóide é o limite superior. A projeção da região no plano (xy ) é o círculo de raio (1 ) centrado na origem.

Assim, podemos descrever a região como (E = {(r, theta, z) | 0 leq theta leq 2 pi, , 0 leq r leq 1, , r leq z leq 2 - r ^ 2 } ).

Portanto, a integral para o volume é

[V = int _ { theta = 0} ^ { theta = 2 pi} int_ {r = 0} ^ {r = 1} int_ {z = r} ^ {z = 2-r ^ 2 } r , dz , dr , d theta. ]

b. Também podemos escrever a superfície do cone como (r = z ) e o parabolóide como (r ^ 2 = 2 - z ). O limite inferior para (r ) é zero, mas o limite superior às vezes é o cone e outras vezes é o parabolóide. O plano (z = 1 ) divide a região em duas regiões. Então, a região pode ser descrita como [E = {(r, theta, z) | 0 leq theta leq 2 pi, , 0 leq z leq 1, , 0 leq r leq z } cup {(r, theta, z) | 0 leq theta leq 2 pi, , 1 leq z leq 2, , 0 leq r leq sqrt {2 - z} }. ]

Agora a integral para o volume torna-se

[V = int _ { theta = 0} ^ { theta = 2 pi} int_ {z = 0} ^ {z = 1} int_ {r = 0} ^ {r = z} r , dr , dz , d theta + int _ { theta = 0} ^ { theta = 2 pi} int_ {z = 1} ^ {z = 2} int_ {r = 0} ^ {r = sqrt {2-z}} r , dr , dz , d theta. ]

Exercício ( PageIndex {3} ):

Refaça o exemplo anterior com a ordem de integração (d theta , dz , dr ).

Dica

Observe que ( theta ) é independente de (r ) e (z ).

Responder

(E = {(r, theta, z) | 0 leq theta leq 2 pi, , 0 leq z leq 1, , 0 leq r leq 2 - z ^ 2 } ) e [V = int_ {r = 0} ^ {r = 1} int_ {z = 0} ^ {z = 2 - r ^ 2} int _ { theta = 0} ^ { theta = 2 pi} r , d theta , dz , dr. ]

Exemplo ( PageIndex {4} ): Encontrando um volume com integrais triplos de duas maneiras

Solução

uma. Observe que a equação para a esfera é

[x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 4 , text {ou} , r ^ 2 + z ^ 2 = 4 ]

e a equação para o cilindro é

[x ^ 2 + y ^ 2 = 1 , text {ou} , r ^ 2 = 1. ]

Assim, temos para a região (E )

[E = {(r, theta, z) | 0 leq z leq sqrt {4 - r ^ 2}, , 0 leq r leq 1, , 0 leq theta leq 2 pi } ]

Portanto, a integral para o volume é

[ begin {align} V (E) = int _ { theta = 0} ^ { theta = 2 pi} int_ {r = 0} ^ {r = 1} int_ {z = 0} ^ {z = sqrt {4-r ^ 2}} r , dz , dr , d theta = int _ { theta = 0} ^ { theta = 2 pi} int_ {r = 0} ^ {r = 1} left [ left> rz right | _ {z = 0} ^ {z = sqrt {4-r ^ 2}} right] dr , d theta = int_ { theta = 0} ^ { theta = 2 pi} int_ {r = 0} ^ {r = 1} left (r sqrt {4 - r ^ 2} right) dr , d theta = int_0 ^ {2 pi} left ( frac {8} {3} - sqrt {3} right) d theta = 2 pi left ( frac {8} {3} - sqrt {3} right) , text {unidades cúbicas.} end {alinhar} ]

b. Uma vez que a esfera é (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 4 ), que é (r ^ 2 + z ^ 2 = 4 ), e o cilindro é (x ^ 2 + y ^ 2 = 1 ), que é (r ^ 2 = 1 ), temos (1 + z ^ 2 = 4 ), ou seja, (z ^ 2 = 3 ). Assim, temos duas regiões, uma vez que a esfera e o cilindro se cruzam em ((1, sqrt {3}) ) no plano (rz ) -

[E_1 = {(r, theta, z) | 0 leq r leq sqrt {4 - r ^ 2}, , sqrt {3} leq z leq 2, , 0 leq theta leq 2 pi } ] e

[E_2 = {(r, theta, z) | 0 leq r leq 1, , 0 leq z leq sqrt {3}, , 0 leq theta leq 2 pi }. ]

Portanto, a integral para o volume é

[ begin {align} V (E) = int _ { theta = 0} ^ { theta = 2 pi} int_ {z = sqrt {3}} ^ {z = 2} int_ {r = 0} ^ {r = sqrt {4-r ^ 2}} r , dr , dz , d theta + int _ { theta = 0} ^ { theta = 2 pi} int_ { z = 0} ^ {z = sqrt {3}} int_ {r = 0} ^ {r = 1} r , dr , dz , d theta = sqrt {3} pi + left ( dfrac {16} {3} - 3 sqrt {3} right) pi = 2 pi left ( frac {8} {3} - sqrt {3} right) , texto {unidades cúbicas.} end {alinhar} ]

Exercício ( PageIndex {4} )

Refaça o exemplo anterior com a ordem de integração (d theta , dz , dr ).

Dica

Uma figura pode ser útil. Observe que ( theta ) é independente de (r ) e (z ).

Responder

(E_2 = {(r, theta, z) | 0 leq theta leq 2 pi, , 0 leq r leq 1, , r leq z leq sqrt {4 - r ^ 2} } ) e

[V = int_ {r = 0} ^ {r = 1} int_ {z = r} ^ {z = sqrt {4-r ^ 2}} int _ { theta = 0} ^ { theta = 2 pi} r , d theta , dz , dr. ]

Revisão de coordenadas esféricas

No espaço tridimensional ( mathbb {R} ^ 3 ) no sistema de coordenadas esféricas, especificamos um ponto (P ) por sua distância ( rho ) da origem, o ângulo polar ( theta ) do eixo (x ) - positivo (o mesmo que no sistema de coordenadas cilíndricas), e o ângulo ( varphi ) do eixo (z ) - positivo e da linha (OP ) (Figura ( PageIndex {6} )). Observe que ( rho> 0 ) e (0 leq varphi leq pi ). (Consulte Coordenadas cilíndricas e esféricas para uma revisão.) As coordenadas esféricas são úteis para integrais triplas em regiões que são simétricas em relação à origem.

Lembre-se das relações que conectam coordenadas retangulares com coordenadas esféricas.

De coordenadas esféricas a coordenadas retangulares:

[x = rho , sin , varphi , cos theta, , y = rho , sin , varphi , sin , theta, , e , z = rho , cos , varphi. ]

De coordenadas retangulares a coordenadas esféricas:

[ rho ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2, , tan , theta = frac {y} {x}, , varphi = arccos left ( frac { z} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2}} right). ]

Outros relacionamentos que são importantes saber para conversões são

  • (r = rho , sin , varphi )
  • ( theta = theta ) Essas equações são usadas para converter de coordenadas esféricas em coordenadas cilíndricas.
  • (z = rho , cos , varphi )

e

  • ( rho = sqrt {r ^ 2 + z ^ 2} )
  • ( theta = theta ) Essas equações são usadas para converter de coordenadas cilíndricas em coordenadas esféricas.
  • ( varphi = arccos left ( frac {z} { sqrt {r ^ 2 + z ^ 2}} right) )

( PageIndex {7} ) mostra algumas regiões sólidas que são convenientes para expressar em coordenadas esféricas.

Integração em coordenadas esféricas

Agora estabelecemos uma integral tripla no sistema de coordenadas esféricas, como fizemos antes no sistema de coordenadas cilíndricas. Deixe a função (f ( rho, theta, varphi) ) ser contínua em uma caixa esférica limitada, (B = {( rho, theta, varphi) | a leq rho leq b, , alpha leq theta leq beta, , gamma leq varphi leq psi } ). Em seguida, dividimos cada intervalo em (l, m, n ) e (n ) subdivisões de modo que ( Delta rho = frac {b - a} {l}, , Delta theta = frac { beta - alpha} {m}. , Delta varphi = frac { psi - gamma} {n} ). Agora podemos ilustrar o seguinte teorema para integrais triplos em coordenadas esféricas com (( rho_ {ijk} ^ *, theta_ {ijk} ^ *, varphi_ {ijk} ^ *) ) sendo qualquer ponto de amostra no esférico subcaixa (B_ {ijk} ). Para o elemento de volume da subcaixa ( Delta V ) em coordenadas esféricas, temos ( Delta V = ( Delta rho) , ( rho Delta varphi) , ( rho , sin , varphi , Delta theta) ), conforme mostrado na figura a seguir.

Definição: integral triplo em coordenadas esféricas

O integral triplo em coordenadas esféricas é o limite de uma soma tripla de Riemann,

[ lim_ {l, m, n rightarrow infty} sum_ {i = 1} ^ l sum_ {j = 1} ^ m sum_ {k = 1} ^ nf ( rho_ {ijk} ^ * , theta_ {ijk} ^ *, varphi_ {ijk} ^ *) ( rho_ {ijk} ^ *) ^ 2 sin , varphi Delta rho Delta theta Delta varphi ]

desde que o limite exista.

Tal como acontece com os outros integrais múltiplos que examinamos, todas as propriedades funcionam de forma semelhante para uma integral tripla no sistema de coordenadas esféricas, e o mesmo acontece com as integrais iteradas. O teorema de Fubini assume a seguinte forma.

Teorema: Teorema de Fubini para Coordenadas Esféricas

Se (f ( rho, theta, varphi) ) é contínuo em uma caixa sólida esférica (B = [a, b] times [ alpha, beta] times [ gamma, psi] ), então

[ iiint_B f ( rho, theta, varphi) , rho ^ 2 sin , varphi d rho , d varphi , d theta = int _ { varphi = gamma} ^ { varphi = psi} int _ { theta = alpha} ^ { theta = beta} int _ { rho = a} ^ { rho = b} f ( rho, theta, varphi ) , rho ^ 2 sin , varphi , d rho , d varphi , d theta. ]

Essa integral iterada pode ser substituída por outras integrais iteradas integrando-se com relação às três variáveis ​​em outras ordens.

Como afirmado antes, os sistemas de coordenadas esféricas funcionam bem para sólidos que são simétricos em torno de um ponto, como esferas e cones. Vejamos alguns exemplos antes de considerarmos as integrais triplas em coordenadas esféricas em regiões esféricas gerais.

Exemplo ( PageIndex {5} ): Avaliando um Triplo Integral em Coordenadas Esféricas

Avalie o integral triplo iterado

[ int _ { theta = 0} ^ { theta = 2 pi} int _ { varphi = 0} ^ { varphi = pi / 2} int _ { rho = 0} ^ { rho = 1} rho ^ 2 sin , varphi , d rho , d varphi , d theta. ]

Solução

Como antes, neste caso, as variáveis ​​na integral iterada são realmente independentes umas das outras e, portanto, podemos integrar cada parte e multiplicar:

[ int_0 ^ {2 pi} int_0 ^ { pi / 2} int_0 ^ 1 rho ^ 2 sin , varphi , d rho , d varphi , d theta = int_0 ^ {2 pi} d theta int_0 ^ { pi / 2} sin , varphi , d varphi int_0 ^ 1 rho ^ 2 d rho = (2 pi) , ( 1) , left ( frac {1} {3} right) = frac {2 pi} {3} ]

O conceito de integração tripla em coordenadas esféricas pode ser estendido para integração sobre um sólido geral, usando as projeções nos planos de coordenadas. Observe que (dV ) e (dA ) significam os incrementos no volume e na área, respectivamente. As variáveis ​​ (V ) e (A ) são usadas como variáveis ​​de integração para expressar os integrais.

A integral tripla de uma função contínua (f ( rho, theta, varphi) ) sobre uma região sólida geral

[E = {( rho, theta, varphi) | ( rho, theta) in D, u_1 ( rho, theta) leq varphi leq u_2 ( rho, theta) } ]

em ( mathbb {R} ^ 3 ), onde (D ) é a projeção de (E ) no plano ( rho theta ), é

[ iiint_E f ( rho, theta, varphi) dV = iint_D left [ int_ {u_1 ( rho, theta)} ^ {u_2 ( rho, theta)} f ( rho, theta, varphi) , d varphi right] , dA. ]

Em particular, if (D = {( rho, theta) | g_1 ( theta) leq rho leq g_2 ( theta), , alpha leq theta leq beta } ), o que temos

[ iiint_E f ( rho, theta, varphi) dV = int _ { alpha} ^ { beta} int_ {g_1 ( theta)} ^ {g_2 ( theta)} int_ {u_1 ( rho, theta)} ^ {u_2 ( rho, theta)} f ( rho, theta, varphi) rho ^ 2 sin , varphi , d varphi , d rho , d theta. ]

Fórmulas semelhantes ocorrem para projeções nos outros planos de coordenadas.

Exemplo ( PageIndex {6} ): Configurando um Triplo Integral em Coordenadas Esféricas

Configure uma integral para o volume da região limitada pelo cone (z = sqrt {3 (x ^ 2 + y ^ 2)} ) e o hemisfério (z = sqrt {4 - x ^ 2 - y ^ 2} ) (veja a figura abaixo).

Solução

Usando as fórmulas de conversão de coordenadas retangulares em coordenadas esféricas, temos:

Para o cone: (z = sqrt {3 (x ^ 2 + y ^ 2)} ) ou ( rho , cos , varphi = sqrt {3} rho , sin , varphi ) ou ( tan , varphi = frac {1} { sqrt {3}} ) ou ( varphi = frac { pi} {6} ).

Para a esfera: (z = sqrt {4 - x ^ 2 - y ^ 2} ) ou (z ^ 2 + x ^ 2 + y ^ 2 = 4 ) ou ( rho ^ 2 = 4 ) ou ( rho = 2 ).

Assim, a integral tripla para o volume é

[V (E) = int _ { theta = 0} ^ { theta = 2 pi} int _ { varphi = 0} ^ { varphi + pi / 6} int _ { rho = 0} ^ { rho = 2} rho ^ 2 sin , varphi , d rho , d varphi , d theta. ]

Exercício ( PageIndex {5} )

Configure uma integral tripla para o volume da região sólida limitada acima pela esfera ( rho = 2 ) e limitada abaixo pelo cone ( varphi = pi / 3 ).

Dica

Siga as etapas do exemplo anterior.

Responder

[V (E) = int _ { theta = 0} ^ { theta = 2 pi} int _ { varphi = 0} ^ { varphi = pi / 3} int _ { rho = 0} ^ { rho = 2} rho ^ 2 sin , varphi , d rho , d varphi , d theta ]

Exemplo ( PageIndex {7} ): Ordem de Intercâmbio de Integração em Coordenadas Esféricas

Seja (E ) a região limitada abaixo pelo cone (z = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} ) e acima pela esfera (z = x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 ) (Figura 15.5.10). Configure uma integral tripla em coordenadas esféricas e encontre o volume da região usando as seguintes ordens de integração:

  1. (d rho , d phi , d theta )
  2. (d varphi , d rho , d theta )

Solução

uma. Use as fórmulas de conversão para escrever as equações da esfera e do cone em coordenadas esféricas.

Para a esfera:

[ begin {align} x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = z rho ^ 2 = rho , cos , varphi rho = cos , varphi. end {align} ]

Para o cone:

[ begin {align} z = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} rho , cos , varphi = sqrt { rho ^ 2 sin ^ 2 , varphi , cos ^ 2 phi} rho , cos , varphi = sqrt { rho ^ 2 sin ^ 2 varphi , ( cos ^ 2 phi + sin ^ 2 phi) } rho , cos , varphi = rho , sin , varphi cos , varphi = sin , varphi varphi = pi / 4. end {align} ]

Portanto, a integral para o volume da região sólida (E ) torna-se

[V (E) = int _ { theta = 0} ^ { theta = 2 pi} int _ { varphi = 0} ^ { varphi = pi / 4} int _ { rho = 0} ^ { rho = cos , varphi} rho ^ 2 sin , varphi , d rho , d varphi , d theta. ]

b. Considere o plano ( varphi rho ) -. Observe que os intervalos para ( varphi ) e ( rho ) (da parte a.) São

[ begin {align} 0 leq rho sqrt {2} / 2 text {e} , sqrt {2} leq rho 1 0 leq varphi leq pi / 4 0 leq rho leq cos , varphi end {align} ]

A curva ( rho = cos , varphi ) encontra a linha ( varphi = pi / 4 ) no ponto (( pi / 4, sqrt {2} / 2) ) . Assim, para alterar a ordem de integração, precisamos usar duas peças:

[0 leq rho leq sqrt {2} / 2, , 0 leq varphi leq pi / 4 ] e

[ sqrt {2} / 2 leq rho leq 1, , 0 leq varphi leq cos ^ {- 1} rho. ]

Portanto, a integral para o volume da região sólida (E ) torna-se

[V (E) = int _ { theta = 0} ^ { theta = 2 pi} int _ { rho = 0} ^ { rho = sqrt {2} / 2} int _ { varphi = 0} ^ { varphi = pi / 4} rho ^ 2 sin , varphi , d varphi , d rho , d theta + int _ { theta = 0} ^ { theta = 2 pi} int _ { rho = sqrt {2} / 2} ^ { rho = 1} int _ { varphi = 0} ^ { varphi = cos ^ {- 1} rho} rho ^ 2 sin , varphi , d varphi , d rho , d theta ]

Em cada caso, a integração resulta em (V (E) = frac { pi} {8} ).

Antes de terminarmos esta seção, apresentamos alguns exemplos que podem ilustrar a conversão de coordenadas retangulares em coordenadas cilíndricas e de coordenadas retangulares em coordenadas esféricas.

Exemplo ( PageIndex {8} ): Convertendo de coordenadas retangulares em coordenadas cilíndricas

Converta a seguinte integral em coordenadas cilíndricas:

[ int_ {y = -1} ^ {y = 1} int_ {x = 0} ^ {x = sqrt {1-y ^ 2}} int_ {z = x ^ 2 + y ^ 2} ^ {z = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} xyz , dz , dx , dy. ]

Solução

Os intervalos das variáveis ​​são

[ begin {align} -1 leq y leq y 0 leq x leq sqrt {1 - y ^ 2} x ^ 2 + y ^ 2 leq z leq sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}. end {align} ]

As duas primeiras desigualdades descrevem a metade direita de um círculo de raio (1 ). Portanto, os intervalos para ( theta ) e (r ) são

[- frac { pi} {2} leq theta leq frac { pi} {2} , text {e} , 0 leq r leq 1. ]

Os limites de (z ) são (r ^ 2 leq z leq r ), portanto

[ int_ {y = -1} ^ {y = 1} int_ {x = 0} ^ {x = sqrt {1-y ^ 2}} int_ {z = x ^ 2 + y ^ 2} ^ {z = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} xyz , dz , dx , dy = int _ { theta = - pi / 2} ^ { theta = pi / 2} int_ {r = 0} ^ {r = 1} int_ {z = r ^ 2} ^ {z = r} r (r , cos theta) , (r , sin , theta) , z , dz , dr , d theta. ]

Exemplo ( PageIndex {9} ): Convertendo de coordenadas retangulares em coordenadas esféricas

Converta a seguinte integral em coordenadas esféricas:

[ int_ {y = 0} ^ {y = 3} int_ {x = 0} ^ {x = sqrt {9-y ^ 2}} int_ {z = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} ^ {z = sqrt {18-x ^ 2-y ^ 2}} (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2) dz , dx , dy. ]

Solução

Os intervalos das variáveis ​​são

[ begin {align} 0 leq y leq 3 0 leq x leq sqrt {9 - y ^ 2} sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} leq z leq sqrt {18 - x ^ 2 - y ^ 2}. end {align} ]

Os primeiros dois intervalos de variáveis ​​descrevem um quarto de disco no primeiro quadrante do plano (xy ). Portanto, o intervalo para ( theta ) é (0 leq theta leq frac { pi} {2} ).

O limite inferior (z = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} ) é a metade superior de um cone e o limite superior (z = sqrt {18 - x ^ 2 - y ^ 2} ) é a metade superior de uma esfera. Portanto, temos (0 leq rho leq sqrt {18} ), que é (0 leq rho leq 3 sqrt {2} ).

Para os intervalos de ( varphi ), precisamos encontrar onde o cone e a esfera se cruzam, então resolva a equação

[ begin {align} r ^ 2 + z ^ 2 = 18 ( sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}) ^ 2 + z ^ 2 = 18 z ^ 2 + z ^ 2 = 18 2z ^ 2 = 18 z ^ 2 = 9 z = 3. end {alinhar} ]

Isto dá

[ begin {align} 3 sqrt {2} , cos , varphi = 3 cos , varphi = frac {1} { sqrt {2}} varphi = frac { pi} {4}. end {align} ]

Juntando isso, obtemos

[ int_ {y = 0} ^ {y = 3} int_ {x = 0} ^ {x = sqrt {9-y ^ 2}} int_ {z = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} ^ {z = sqrt {18-x ^ 2-y ^ 2}} (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2) dz , dx , dy = int _ { varphi = 0} ^ { varphi = pi / 4} int _ { theta = 0} ^ { theta = pi / 2} int _ { rho = 0} ^ { rho = 3 sqrt {2}} rho ^ 4 sin , varphi , d rho , d theta , d varphi. ]

Exercício ( PageIndex {6} ):

Use coordenadas retangulares, cilíndricas e esféricas para configurar integrais triplas para encontrar o volume da região dentro da esfera (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 4 ), mas fora do cilindro (x ^ 2 + y ^ 2 = 1 ).

Resposta: Retangular

[ int_ {x = -2} ^ {x = 2} int_ {y = - sqrt {4-x ^ 2}} ^ {y = sqrt {4-x ^ 2}} int_ {z = - sqrt {4-x ^ 2-y ^ 2}} ^ {z = sqrt {4-x ^ 2-y ^ 2}} dz , dy , dx - int_ {x = -1} ^ {x = 1} int_ {y = - sqrt {1-x ^ 2}} ^ {y = sqrt {1-x ^ 2}} int_ {z = - sqrt {4-x ^ 2 -y ^ 2}} ^ {z = sqrt {4-x ^ 2-y ^ 2}} dz , dy , dx. ]

Resposta: Cilíndrico

[ int _ { theta = 0} ^ { theta = 2 pi} int_ {r = 1} ^ {r = 2} int_ {z = - sqrt {4-r ^ 2}} ^ { z = sqrt {4-r ^ 2}} r , dz , dr , d theta. ]

Resposta: Esférica

[ int _ { varphi = pi / 6} ^ { varphi = 5 pi / 6} int _ { theta = 0} ^ { theta = 2 pi} int _ { rho = csc , varphi} ^ { rho = 2} rho ^ 2 sin , varphi , d rho , d theta , d varphi. ]

Agora que estamos familiarizados com o sistema de coordenadas esféricas, vamos encontrar o volume de algumas figuras geométricas conhecidas, como esferas e elipsóides.

Exemplo ( PageIndex {10} ): Abridor de Capítulo: Encontrando o Volume de l’Hemisférico

Encontre o volume do planetário esférico em l'Hemisphèric em Valência, Espanha, que tem cinco andares de altura e um raio de aproximadamente (50 ) pés, usando a equação (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = r ^ 2 ).

Solução

Calculamos o volume da bola no primeiro octante, onde (x leq 0, , y leq 0 ) e (z leq 0 ), usando coordenadas esféricas, e depois multiplicamos o resultado por (8 ) para simetria. Uma vez que consideramos a região (D ) como o primeiro octante na integral, os intervalos das variáveis ​​são

[0 leq varphi leq frac { pi} {2}, , 0 leq rho leq r, , 0 leq theta leq frac { pi} {2}. ]

Portanto,

[ begin {align} V = iiint_D dx , dy , dz = 8 int _ { theta = 0} ^ { theta = pi / 2} int _ { rho = 0} ^ { rho = pi} int _ { varphi = 0} ^ { varphi = pi / 2} rho ^ 2 sin , theta , d varphi , d rho , d varphi = 8 int _ { varphi = 0} ^ { varphi = pi / 2} d varphi int _ { rho = 0} ^ { rho = r} rho ^ 2 d rho int _ { theta = 0} ^ { theta = pi / 2} sin , theta , d theta = 8 , left ( frac { pi} {2} right) , left ( frac {r ^ 3} {3} right) , (1) = dfrac {4} {3} pi r ^ 3. end {align} ]

Isso corresponde exatamente ao que sabíamos. Portanto, para uma esfera com um raio de aproximadamente (50 ) ft, o volume é ( frac {4} {3} pi (50) ^ 3 approx 523.600 , ft ^ 3 ).

Para o próximo exemplo, encontramos o volume de um elipsóide.

Exemplo ( PageIndex {11} ): Encontrando o volume de um elipsóide

Encontre o volume do elipsóide ( frac {x ^ 2} {a ^ 2} + frac {y ^ 2} {b ^ 2} + frac {z ^ 2} {c ^ 2} = 1 ) .

Solução

Novamente usamos a simetria e avaliamos o volume do elipsóide usando coordenadas esféricas. Como antes, usamos o primeiro octante (x leq 0, , y leq 0 ) e (z leq 0 ) e, em seguida, multiplicamos o resultado por (8 ).

Neste caso, os intervalos das variáveis ​​são

[0 leq varphi leq frac { pi} {2} , 0 leq rho leq 1, , text {e} , 0 leq theta leq frac { pi } {2}. ]

Além disso, precisamos alterar as coordenadas retangulares para esféricas desta forma:

[x = a rho , cos , varphi , sin , theta, , y = b rho , sin , varphi , sin , theta, , text {e} , z = cp , cos theta. ]

Então, o volume do elipsóide torna-se

[ begin {align} V = iiint_D dx , dy , dz = 8 int _ { theta = 0} ^ { theta = pi / 2} int _ { rho = 0} ^ { rho = 1} int _ { varphi = 0} ^ { varphi = pi / 2} abc , rho ^ 2 sin , theta , d varphi , d rho , d theta = 8abc int _ { varphi = 0} ^ { varphi = pi / 2} d varphi int _ { rho = 0} ^ { rho = 1} rho ^ 2 d rho int _ { theta = 0} ^ { theta = pi / 2} sin , theta , d theta = 8abc left ( frac { pi} {2} right) left ( frac {1} {3} right) (1) = frac {4} {3} pi abc. end {align} ]

Exemplo ( PageIndex {12} ): Encontrando o volume do espaço dentro de um elipsóide e fora de uma esfera

Encontre o volume do espaço dentro do elipsóide ( frac {x ^ 2} {75 ^ 2} + frac {y ^ 2} {80 ^ 2} + frac {z ^ 2} {90 ^ 2} = 1 ) e fora da esfera (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 50 ^ 2 ).

Solução

Este problema está diretamente relacionado à estrutura l’Hemisférica. O volume de espaço dentro do elipsóide e fora da esfera pode ser útil para calcular as despesas de aquecimento ou resfriamento desse espaço. Podemos usar os dois exemplos anteriores para o volume da esfera e elipsóide e, em seguida, substrato.

Primeiro encontramos o volume do elipsóide usando (a = 75 ) ft, (b = 80 ) ft e (c = 90 ) ft no resultado do Exemplo. Portanto, o volume do elipsóide é

[V_ {elipsóide} = frac {4} {3} pi (75) (80) (90) aproximadamente 2.262.000 , ft ^ 3. ]

Por exemplo, o volume da esfera é

[V_ {esfera} aproximadamente 523.600 , ft ^ 3. ]

Portanto, o volume do espaço dentro do elipsóide ( frac {x ^ 2} {75 ^ 2} + frac {y ^ 2} {80 ^ 2} + frac {z ^ 2} {90 ^ 2} = 1 ) e fora da esfera (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 50 ^ 2 ) é aproximadamente

[V_ {Hemisférico} = V_ {elipsóide} - V_ {esfera} = 1.738.400 , ft ^ 3. ]

Projeto do Aluno: Balões de ar quente

Balonismo é um passatempo relaxante e tranquilo que muitas pessoas gostam. Muitos encontros de balonistas acontecem em todo o mundo, como o Albuquerque International Balloon Fiesta. O evento de Albuquerque é o maior festival de balões de ar quente do mundo, com mais de (500 ) balões participando a cada ano.

Como o nome indica, os balões de ar quente usam ar quente para gerar sustentação. (O ar quente é menos denso que o ar mais frio, então o balão flutua desde que o ar quente permaneça quente.) O calor é gerado por um queimador de propano suspenso abaixo da abertura da cesta. Assim que o balão decola, o piloto controla a altitude do balão, seja usando o queimador para aquecer o ar e subir ou usando um respiradouro próximo ao topo do balão para liberar o ar aquecido e descer. O piloto tem muito pouco controle sobre para onde o balão vai, entretanto - os balões estão à mercê dos ventos. A incerteza sobre onde iremos parar é uma das razões pelas quais os balonistas se sentem atraídos pelo esporte.

Neste projeto, usamos integrais triplos para aprender mais sobre balões de ar quente. Modelamos o balão em duas peças. O topo do balão é modelado por uma meia esfera de raio 28

pés. A parte inferior do balão é modelada por um tronco de cone (pense em uma casquinha de sorvete com a extremidade pontiaguda cortada). O raio da extremidade grande do tronco é de (28 ) pés e o raio da extremidade menor do tronco é de (28 ) pés. Um gráfico de nosso modelo de balão e um diagrama transversal mostrando as dimensões são mostrados na figura a seguir.

Primeiro, queremos encontrar o volume do balão. Se olharmos para a parte superior e a parte inferior do balão separadamente, vemos que são sólidos geométricos com fórmulas de volume conhecidas. No entanto, ainda vale a pena configurar e avaliar as integrais de que precisaríamos para encontrar o volume. Se calcularmos o volume usando integração, podemos usar as fórmulas de volume conhecidas para verificar nossas respostas. Isso ajudará a garantir que tenhamos as integrais configuradas corretamente para as fases posteriores e mais complicadas do projeto.

1. Encontre o volume do balão de duas maneiras.

uma. Use integrais triplos para calcular o volume. Considere cada parte do balão separadamente. (Considere o uso de coordenadas esféricas para a parte superior e coordenadas cilíndricas para a parte inferior.)

b. Verifique a resposta usando as fórmulas para o volume de uma esfera, (V = frac {4} {3} pi r ^ 3 ), e para o volume de um cone, (V = frac {1} {3} pi r ^ 2 h ).

Na realidade, calcular a temperatura em um ponto dentro do balão é uma tarefa extremamente complicada. Na verdade, todo um ramo da física (termodinâmica) é dedicado ao estudo do calor e da temperatura. Para os fins deste projeto, entretanto, faremos algumas suposições simplificadoras sobre como a temperatura varia de ponto a ponto dentro do balão. Suponha que logo antes da decolagem, a temperatura (em graus Fahrenheit) do ar dentro do balão varia de acordo com a função [T_0 (r, theta, z) = frac {z - r} {10} + 210. ]

2. Qual é a temperatura média do ar no balão imediatamente antes da decolagem? (Novamente, olhe para cada parte do balão separadamente e não se esqueça de converter a função em coordenadas esféricas ao olhar para a parte superior do balão.)

Agora o piloto ativa o queimador por (10 ​​) segundos. Esta ação afeta a temperatura em uma coluna de 30 metros de largura e 20 metros de altura, diretamente acima do queimador. Uma seção transversal do balão representando esta coluna é mostrada na figura a seguir

Suponha que após o piloto ativar o queimador por (10 ​​) segundos, a temperatura do ar na coluna descrita acima aumenta de acordo com a fórmula

[H (r, theta, z) = -2z - 48. ]

Então, a temperatura do ar na coluna é dada por [T_1 (r, theta, z) = frac {z - r} {10} + 210 + (-2z - 48), ]

enquanto a temperatura no restante do balão ainda é dada por [T_0 (r, theta, z) = frac {z - r} {10} + 210. ]

3. Encontre a temperatura média do ar no balão após o piloto ter ativado o queimador por (10 ​​) segundos.

Conceitos chave

  • Para avaliar uma integral tripla em coordenadas cilíndricas, use a integral iterada [ int _ { theta = alpha} ^ { theta = beta} int_ {r = g_1 ( theta)} ^ {r = g_2 ( theta)} int_ {z = u_1 (r, theta)} ^ {u_2 (r, theta)} f (r, theta, z) r , dz , dr , d theta. nonumber nonumber ]
  • Para avaliar uma integral tripla em coordenadas esféricas, use a integral iterada [ int _ { theta = alpha} ^ { theta = beta} int _ { rho = g_1 ( theta)} ^ { rho = g_2 ( theta)} int _ { varphi = u_1 (r, theta)} ^ {u_2 (r, theta)} f ( rho, theta, varphi) , rho ^ 2 sin varphi , d varphi , d rho , d theta. nonumber nonumber ]

Equações-chave

  • Integral triplo em coordenadas cilíndricas [ iiint_B g (s, y, z) dV = iiint_B g (r , cos theta, , r , sin , theta, , z) r , dr , d theta , dz = iiint_B f (r, theta, z) r , dr , d theta , dz nonumber ]
  • Integral triplo em coordenadas esféricas [ iiint_B f ( rho, theta, varphi) rho ^ 2 sin varphi , d rho , d varphi , d theta = int _ { varphi = gamma} ^ { varphi = psi} int _ { theta = alpha} ^ { theta = beta} int _ { rho = a} ^ { rho = b} f ( rho, theta, varphi) rho ^ 2 sin , varphi , d rho , d varphi , d theta nonumber ]

Glossário

integral triplo em coordenadas cilíndricas

o limite de uma soma de Riemann tripla, desde que exista o seguinte limite:

[lim_ {l, m, n rightarrow infty} sum_ {i = 1} ^ l sum_ {j = 1} ^ m sum_ {k = 1} ^ nf (r_ {ijk} ^ *, theta_ {ijk} ^ *, s_ {ijk} ^ *) r_ {ijk} ^ * Delta r Delta theta Delta z nonumber ]

integral triplo em coordenadas esféricas

o limite de uma soma de Riemann tripla, desde que exista o seguinte limite:

[lim_ {l, m, n rightarrow infty} sum_ {i = 1} ^ l sum_ {j = 1} ^ m sum_ {k = 1} ^ nf ( rho_ {ijk} ^ *, theta_ {ijk} ^ *, varphi_ {ijk} ^ *) ( rho_ {ijk} ^ *) ^ 2 sin , varphi Delta rho Delta theta Delta varphi nonumber ]


Integrais triplos em coordenadas cilíndricas e esféricas

Ok, então você sabe as integrais duplas e como trabalhar com elas em coordenadas polares agora, é hora de aprender integrais triplas em coordenadas cilíndricas e esféricas. Você encontrará muitos exemplos que detalho aqui.


Quer saber mais sobre Cálculo 3? Tenho um curso passo a passo para isso. :)

Avalie a integral tripla em coordenadas cilíndricas.

Vamos começar convertendo os limites de integração de coordenadas retangulares em coordenadas cilíndricas, começando com a integral mais interna. Esses serão os limites da integração para. z. o que significa que eles precisam ser resolvidos. z. uma vez que os colocamos em coordenadas cilíndricas. O limite superior. 3. pode permanecer o mesmo desde então. z = z. quando vamos de coordenadas retangulares para cilíndricas, mas o limite inferior precisa ser convertido usando as fórmulas de conversão.

Usando a identidade trigonométrica. sin ^ 2+ cos ^ 2= 1. podemos simplificar para

Isso significa que os limites da integração com relação a. z. em coordenadas cilíndricas são. [r, 3].

Em seguida, faremos os limites de integração para a integral do meio. Esses serão os limites da integração para. x. o que significa que eles precisam ser resolvidos. r. uma vez que os colocamos em coordenadas cilíndricas.

O limite inferior é dado por

O limite superior é dado por

Parece que os limites da integração para. r. em coordenadas cilíndricas será dado por. [-3,3]. No entanto, lembre-se disso. r. representa o raio ou distância da origem. Não faz sentido dizer que sim. -3. unidades fora da origem. Em vez disso, sempre dizemos que o limite inferior de. r. é . 0. tal que. 0. é o mais próximo que podemos estar da origem (bem na origem) e. 3. é o mais longe que podemos estar da origem. Portanto, os limites da integração para. r. será . [0,3].

Finalmente, faremos os limites de integração para a integral externa. Esses serão os limites da integração para. y. o que significa que eles precisam ser resolvidos. theta. uma vez que os colocamos em coordenadas cilíndricas. Mas já que vamos. theta. podemos apenas assumir que o intervalo é. [0,2 pi]. porque esse intervalo representa o conjunto completo de valores para. theta. que é apenas o ângulo entre qualquer ponto e a direção positiva do. x. -eixo.

A seguir, usaremos as fórmulas de conversão para converter a própria função em coordenadas cilíndricas.

Colocando tudo isso, mais. dV = r dz dr d theta. no integral dá

. int ^ <2 pi> _0 int ^ 3_ <0> int ^ 3_rrz cos < theta> left (r dz dr d theta right).

. int ^ <2 pi> _0 int ^ 3_ <0> int ^ 3_rr ^ 2z cos < theta> dz dr d theta.

precisaremos converter os limites de integração, a própria função e dV de coordenadas retangulares em coordenadas cilíndricas.

Sempre integramos de dentro para fora, o que significa que integraremos primeiro em relação a. z. tratando todas as outras variáveis ​​como constantes.

Agora vamos integrar com relação a. r. tratando todas as outras variáveis ​​como constantes.


14.6: Integrais triplos em coordenadas cilíndricas e esféricas - Matemática

Esta página contém as seguintes seções:

As coordenadas cilíndricas são obtidas a partir das coordenadas cartesianas, substituindo as coordenadas xey pelas coordenadas polares re theta e deixando a coordenada z inalterada.

É mais simples transmitir as ideias com um exemplo. Considere um objeto que é limitado acima pelo parabolóide invertido z = 16-x ^ 2-y ^ 2 e abaixo pelo plano xy. Suponha que a densidade do objeto seja dada por f (x, y, z) = 8 + x + y. Qual é a massa do objeto?

O objeto é mostrado acima. A massa é dada pelo integral triplo:

Uma vez que z satisfaz 0 & lt = z & lt = 16-x ^ 2-y ^ 2, a integral tripla torna-se

onde a região D é a projeção de R no plano xy. Pode-se mostrar que D é o disco de raio 4 centrado na origem. (O círculo x ^ 2 + y ^ 2 = 16 é a interseção do parabolóide e o plano z = 0.)

Por causa da simetria circular do objeto no plano xy, é conveniente converter para coordenadas polares. Nós fazemos as substituições

Com essas substituições, o parabolóide torna-se z = 16-r ^ 2 e a região D é dada por 0 & lt = r & lt = 4 e 0 & lt = theta & lt = 2 * pi. Portanto, a integral tripla é dada por

Observe que podemos alterar a ordem de integração de r e theta para que a integral também possa ser expressa

Avaliando a integral iterada, descobrimos que a massa do objeto é 1024 * pi.

Em coordenadas retangulares, o elemento de volume dV é dado por dV = dxdydz e corresponde ao volume de uma região infinitesimal entre x e x + dx, y e y + dy, ez e z + dz. Em coordenadas cilíndricas, temos dV = rdzdrd (theta), que é o volume de um setor infinitesimal entre z e z + dz, re r + dr, e theta e theta + d (theta). Conforme mostrado na imagem, o setor é quase em forma de cubo. O comprimento nas direções rez é dr e dz, respectivamente. O comprimento na direção teta é r * d (theta), e isso produz o resultado para o volume. Esse resultado também pode ser obtido por meio do Jacobiano.

Para alguns problemas, deve-se primeiro integrar em relação a r ou theta. Por exemplo, se g_1 (theta, z) & lt = r & lt = g_2 (theta, z), então

onde D é a projeção de R no plano teta-z. Se g_1 (r, z) & lt = theta & lt = g_2 (r, z),

onde D é a projeção de R no plano rz.

Lembre-se de que em coordenadas esféricas um ponto no espaço xyz caracterizado pelas três coordenadas rho, theta e phi. Estes estão relacionados ax, y e z pelas equações

ou em palavras: x = rho * sin (phi) * cos (theta), y = rho * sin (phi) * sin (theta), e z = rho * cos (phi), onde

Considere o seguinte exemplo: um sólido fica entre uma esfera ou raio 2 e uma esfera ou raio 3 na região y & gt = 0 e z & gt = 0. Encontre sua massa se a densidade f (x, y, z) é igual à distância até a origem.

onde R é a região no espaço xyz ocupada pelo sólido.

Em coordenadas esféricas, o sólido ocupa a região com

O integrando em coordenadas esféricas torna-se rho. Finalmente, o elemento de volume é dado por

Não derivaremos esse resultado aqui. Pode ser derivado do Jacobiano. Veja um livro para uma derivação geométrica. Juntando tudo, obtemos a integral iterada

Neste exemplo, como os limites de integração são constantes, a ordem de integração pode ser alterada. Integrando com respeito a rho, phi e theta, descobrimos que a integral é igual a 65 * pi / 4.

Em geral, integrais em coordenadas esféricas terão limites que dependem de 1 ou 2 das variáveis. Nestes casos, a ordem de integração é importante. Não iremos repassar os detalhes aqui.

Para converter uma integral de coordenadas cartesianas em coordenadas cilíndricas ou esféricas:

(1) Expresse os limites na forma apropriada (2) Expresse o integrando em termos das variáveis ​​apropriadas (3) Multiplique pelo elemento de volume correto


Exercícios sobre integrais triplos em coordenadas cilíndricas e esféricas

Exercício. Avalie as seguintes integrais iteradas.

$ (1) quad int_0 ^ < pi> int_0 ^ 2 int_0 ^ < sqrt <4-r ^ 2 >> r sin theta , dz , dr , d theta $

$ (2) quad int_0 ^ < pi / 4> int_0 ^ 1 int_0 ^ < sqrt> r ^ 2 sin theta , dz , dr , d theta $

$ (3) quad int_0 ^ <2 pi> int_0 ^ 4 int_0 ^ 1z r , dz , dr , d theta $

$ (5) quad int_0 ^ < pi / 2> int_0 ^ < pi / 4> int_0 ^ < cos phi> rho ^ 2 sin phi , d rho , d theta , d phi $

$ (6) quad int_0 ^ < pi / 2> int_0 ^ <2 pi> int_0 ^ 2 cos phi sin phi , d rho , d theta , d phi $


Integrais triplos em coordenadas cilíndricas e esféricas - Apresentação PPT em PowerPoint

Lembre-se de que as coordenadas cartesianas e cilíndricas são relacionadas pelas fórmulas. Seja E uma região do tipo 1 e suponha que sua projeção D no plano xy possa. & ndash Apresentação PPT do PowerPoint

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Como as coordenadas cartesianas (ou retangulares) e polares, as coordenadas cilíndricas são apenas outra maneira de descrever pontos no espaço tridimensional.

Lembre-se de que as coordenadas cilíndricas são exatamente as mesmas que as coordenadas polares, apenas no espaço tridimensional em vez de no espaço bidimensional. Já que as coordenadas polares em 2D são dadas como. (r, theta). as coordenadas cilíndricas exigem apenas que adicionemos um valor para. z. para dar conta do espaço 3D, o que significa que as coordenadas cilíndricas são fornecidas como. (r, theta, z).

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Retangular as coordenadas são fornecidas como. (x, y, z).

Onde . x. é a distância de. (x, y, z). da origem ao longo do. x. -eixo

Onde . y. é a distância de. (x, y, z). da origem ao longo do. y. -eixo

Onde . z. é a distância de. (x, y, z). da origem ao longo do. z. -eixo

Cilíndrico as coordenadas são fornecidas como. (r, theta, z).

Onde . r. é a distância de. (r, theta, z). da origem

Onde . theta. é o ângulo entre. r. (a linha conectando. (r, theta, z). à origem) e a direção positiva do. x. -eixo

Onde . z. é a distância de. (r, theta, z). da origem ao longo do. z. -eixo

Para converter entre coordenadas cilíndricas e coordenadas retangulares, usamos as fórmulas de conversão


14.6: Integrais triplos em coordenadas cilíndricas e esféricas - Matemática

Descrição da palestra

Este vídeo palestra, parte da série Cálculo Vectorial pelo Prof. Christopher Tisdell, não possui atualmente uma descrição detalhada e o título da aula em vídeo. Se você assistiu a esta palestra e sabe do que se trata, especialmente sobre quais tópicos de matemática são discutidos, por favor, ajude-nos comentando neste vídeo com sua sugestão Descrição e título. Muito obrigado de,

- A Equipe CosmoLearning

Índice de Curso

  1. Aplicações de integrais duplos
  2. Integrais de caminho: como integrar sobre curvas
  3. O que é um campo vetorial?
  4. Qual é a Divergência?
  5. Qual é o Curl?
  6. O que é uma linha integral?
  7. Aplicações de Integrais de Linha
  8. Teorema Fundamental de Integrais de Linha
  9. O que é o teorema de Green?
  10. Teorema de Green
  11. Superfícies Parametrizadas
  12. O que é uma superfície integral? (Parte I)
  13. Mais sobre Integrais de Superfície
  14. Integrais de superfície e campos vetoriais
  15. Teorema da Divergência de Gauss
  16. Como resolver PDEs por meio da separação de variáveis ​​e da série de Fourier
  17. Revisão de vetor
  18. Introdução às curvas e funções vetoriais
  19. Limites de funções vetoriais
  20. Cálculo de funções vetoriais: uma variável
  21. Tutorial de cálculo de funções vetoriais
  22. Tutorial de funções vetoriais
  23. Introdução às funções de duas variáveis
  24. Limites de funções de duas variáveis
  25. Derivados Parciais
  26. Tutorial de Derivados Parciais e PDEs
  27. Funções multivariáveis: gráficos e limites
  28. Regra da cadeia multivariável e diferenciabilidade
  29. Regra da cadeia: derivada parcial de $ arctan (y / x) $ w.r.t. $ x $
  30. Regra da cadeia e derivados parciais
  31. Regra da Cadeia: Identidade Envolvendo Derivados Parciais
  32. Regra da cadeia multivariável
  33. Regra de Leibniz: Integração por meio da diferenciação sob o signo integral
  34. Avaliando integrais desafiadores por meio da diferenciação: Regra de Leibniz
  35. Gradiente e derivado direcional
  36. Gradiente e derivado direcional
  37. Direcional dDerivada de $ f (x, y) $
  38. Aproximação do plano tangente e estimativa de erro
  39. Plano de Gradiente e Tangente
  40. Derivados parciais e estimativa de erro
  41. Polinômios de Taylor multivariáveis
  42. Polinômios de Taylor: funções de duas variáveis
  43. Cálculo multivariável: limites, regra da cadeia e comprimento do arco
  44. Pontos Críticos de Funções
  45. Como Encontrar Pontos Críticos de Funções
  46. Como Encontrar Pontos Críticos de Funções
  47. Segundo teste derivado: duas variáveis
  48. Cálculo multivariável: pontos críticos e teste de segunda derivada
  49. Como Encontrar e Classificar Pontos Críticos de Funções
  50. Multiplicadores de Lagrange
  51. Multiplicadores de Lagrange: duas restrições
  52. Multiplicadores de Lagrange: valores extremos de uma função sujeita a uma restrição
  53. Exemplo de multiplicadores de Lagrange
  54. Multiplicador de Lagrange Exemplo: Minimizando uma função sujeita a uma restrição
  55. Segundo teste derivado, multiplicadores máx. / Mín. E Lagrange
  56. Introdução à Matriz Jacobiana e Diferenciabilidade
  57. Regra da Cadeia Jacobiana e Teorema da Função Inversa
  58. Introdução aos Integrais Duplos
  59. Integrais duplos sobre regiões gerais
  60. Integrais duplos: volume entre duas superfícies
  61. Integrais duplos: Volume de um tetraedro
  62. Integral Duplo
  63. Integrais duplos e área
  64. Integrais duplos em coordenadas polares
  65. Ordem inversa em integrais duplos
  66. Integrais duplos: revertendo a ordem de integração
  67. Aplicações de Integrais Duplos
  68. Integrais duplos e coordenadas polares
  69. Integrais duplos
  70. Centroid e Double Integral
  71. Centro de Massa, Integrais Duplos e Coordenadas Polares
  72. Integral Triplo
  73. Integrais triplos em coordenadas cilíndricas e esféricas
  74. Integrais triplos e centro de massa
  75. Mudança de Variáveis ​​em Integrais Duplos
  76. Integral de caminho (integral de linha escalar) do cálculo vetorial
  77. Exemplo de linha integral no espaço 3D
  78. Integral de linha de cálculo vetorial sobre uma curva fechada
  79. Exemplo de linha integral do cálculo vetorial
  80. Divergência de um campo vetorial
  81. Ondulação de um campo vetorial (ex. Nº 1)
  82. Ondulação de um campo vetorial (ex. Nº 2)
  83. Teorema da Divergência de Gauss
  84. Introdução às séries de Fourier e como calculá-las
  85. Como calcular uma série de Fourier: um exemplo
  86. O que são as séries de Fourier?
  87. Séries de Fourier
  88. Série de Fourier e equações diferenciais

Descrição do Curso

Neste curso, o Prof. Chris Tisdell ministra 88 vídeo-aulas sobre cálculo vetorial. Esta é uma série de palestras para "Cálculo Variável" e "Cálculo Vectorial", que é uma disciplina de matemática do 2º ano ensinada na UNSW, Sydney. Esta lista de reprodução fornece um resumo de algumas palestras apresentadas na Sessão 1, 2009 e Sessão 1, 2011. Essas palestras enfocam a apresentação do cálculo vetorial em um contexto aplicado e de engenharia, mantendo o rigor matemático. Assim, esta lista de reprodução pode ser útil para estudantes de matemática, mas também para os de engenharia, física e ciências aplicadas. Há uma ênfase em exemplos e também em provas. O Dr. Chris Tisdell é professor sênior de matemática aplicada.


APEX Calculus

Assim como as coordenadas polares nos deram uma nova maneira de descrever curvas no plano, nesta seção veremos como cilíndrico e esférico As coordenadas nos fornecem novas maneiras de descrever superfícies e regiões no espaço.

Subseção 14.7.1 Coordenadas cilíndricas

Em suma, as coordenadas cilíndricas podem ser pensadas como uma combinação dos sistemas de coordenadas polares e retangulares. Pode-se identificar um ponto ((x_0, y_0, z_0) text <,> ) dado em coordenadas retangulares, com o ponto ((r_0, theta_0, z_0) text <,> ) dado em coordenadas cilíndricas , onde o valor (z ) - em ambos os sistemas é o mesmo, e o ponto ((x_0, y_0) ) no plano (x ) - (y ) é identificado com o ponto polar (P (r_0, theta_0) text <> ) veja a Figura 14.7.1. Para que cada ponto no espaço que não esteja no eixo (z ) seja definido exclusivamente, iremos restringir (r geq 0 ) e (0 leq theta leq 2 pi text < .> )

Usamos a identidade (z = z ) junto com as identidades encontradas na ideia-chave 10.4.6 para converter entre a coordenada retangular ((x, y, z) ) e a coordenada cilíndrica ((r, theta , z) text <,> ) a saber:

Essas identidades, junto com as conversões relacionadas às coordenadas esféricas, são fornecidas posteriormente na Ideia-Chave 14.7.11.

Nossas fórmulas de conversão retangular para polar usaram (r ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 text <,> ) permitindo valores negativos (r ). Como agora restringimos (r geq 0 text <,> ), podemos usar (r = sqrt text <.> )

Exemplo 14.7.2. Conversão entre coordenadas retangulares e cilíndricas.

Converta o ponto retangular ((2, -2,1) ) em coordenadas cilíndricas e converta o ponto cilíndrico ((4,3 pi / 4,5) ) em retangular.

Seguindo as identidades fornecidas acima (e, posteriormente, na Ideia Principal 14.7.11), temos (r = sqrt <2 ^ 2 + (- 2) ^ 2> = 2 sqrt <2> text <.> ) Usando ( tan ( theta) = y / x text <,> ) encontramos ( theta = tan ^ <-1> (-2/2) = - pi / 4 text < .> ) Conforme restringimos ( theta ) para estar entre (0 ) e (2 pi text <,> ), definimos ( theta = 7 pi / 4 text <. > ) Finalmente, (z = 1 text <,> ) dando o ponto cilíndrico ((2 sqrt2,7 pi / 4,1) text <.> )

Ao converter o ponto cilíndrico ((4,3 pi / 4,5) ) em retangular, temos (x = 4 cos big (3 pi / 4 big) = -2 sqrt <2 > text <,> ) (y = 4 sin big (3 pi / 4 big) = 2 sqrt <2> ) e (z = 5 text <,> ) dando o ponto retangular ((- 2 sqrt <2>, 2 sqrt <2>, 5) text <.> )

Definir cada um de (r text <,> ) ( theta ) e (z ) igual a uma constante define uma superfície no espaço, conforme ilustrado no exemplo a seguir.

Exemplo 14.7.3. Superfícies canônicas em coordenadas cilíndricas.

Descreva as superfícies (r = 1 text <,> ) ( theta = pi / 3 ) e (z = 2 text <,> ) fornecidas em coordenadas cilíndricas.

A equação (r = 1 ) descreve todos os pontos no espaço que estão a 1 unidade de distância do eixo (z ). Esta superfície é um "tubo" ou "cilindro" de raio 1, centrado no eixo (z ) -, conforme gráfico na Figura 11.1.12 (que descreve o cilindro (x ^ 2 + y ^ 2 = 1 ) no espaço).

A equação ( theta = pi / 3 ) descreve o plano formado pela extensão da linha ( theta = pi / 3 text <,> ) conforme dado pelas coordenadas polares no (x ) - Plano (y ), paralelo ao eixo (z ).

A equação (z = 2 ) descreve o plano de todos os pontos no espaço que estão 2 unidades acima do plano (x ) - (y ). Este plano é igual ao plano descrito por (z = 2 ) em coordenadas retangulares.

Todas as três superfícies são representadas graficamente na Figura 14.7.4. Observe como sua interseção define exclusivamente o ponto (P = (1, pi / 3,2) text <.> )

As coordenadas cilíndricas são úteis ao descrever certos domínios no espaço, permitindo-nos avaliar integrais triplos sobre esses domínios mais facilmente do que se usássemos coordenadas retangulares.

O teorema 14.6.25 mostra como avaliar ( iiint_Dh (x, y, z) , dV ) usando coordenadas retangulares. Nessa avaliação, usamos (dV = dz , dy , dx ) (ou uma das outras cinco ordens de integração). Lembre-se de como, nesta ordem de integração, os limites em (y ) são "curva a curva" e os limites em (x ) são "ponto a ponto": esses limites descrevem uma região (R ) em o plano (x ) - (y ). Poderíamos descrever (R ) usando coordenadas polares como feito na Seção 14.3. Nessa seção, vimos como usamos (dA = r , dr , d theta ) em vez de (dA = dy , dx text <.> )

Considerando os pensamentos acima, temos (dV = dz big (r , dr , d theta big) = r , dz , dr , d theta text <.> ) Estabelecemos limites em (z ) como "superfície a superfície" como feito na seção anterior e, em seguida, use os limites de "curva a curva" e "ponto a ponto" em (r ) e ( theta text <,> ) respectivamente. Finalmente, usando as identidades fornecidas acima, mudamos o integrando (h (x, y, z) ) para (h (r, theta, z) text <.> )

Este processo deve parecer plausível, o teorema a seguir afirma que é realmente uma maneira de avaliar uma integral tripla.

Teorema 14.7.5. Integração tripla em coordenadas cilíndricas.

Seja (w = h (r, theta, z) ) uma função contínua em uma região fechada e limitada (D ) no espaço, limitada em coordenadas cilíndricas por ( alpha leq theta leq beta text <,> ) (g_1 ( theta) leq r leq g_2 ( theta) ) e (f_1 (r, theta) leq z leq f_2 (r, theta) texto <.> ) Então

Exemplo 14.7.6. Avaliando uma integral tripla com coordenadas cilíndricas.

Encontre a massa do sólido representado pela região no espaço limitada por (z = 0 text <,> ) (z = sqrt <4-x ^ 2-y ^ 2> +3 ) e o cilindro (x ^ 2 + y ^ 2 = 4 ) (como mostrado na Figura 14.7.7), com função de densidade ( delta (x, y, z) = x ^ 2 + y ^ 2 + z + 1 text <,> ) usando uma integral tripla em coordenadas cilíndricas. As distâncias são medidas em centímetros e a densidade é medida em gramas / cm (^ 3 text <.> )

Começamos descrevendo esta região do espaço com coordenadas cilíndricas. O plano (z = 0 ) permanece inalterado com a identidade (r = sqrt text <,> ) convertemos o hemisfério de raio 2 na equação (z = sqrt <4-r ^ 2> text <> ) o cilindro (x ^ 2 + y ^ 2 = 4 ) é convertido em (r ^ 2 = 4 text <,> ) ou, mais simplesmente, (r = 2 text <.> ) Também convertemos a função de densidade: ( delta (r, theta, z) = r ^ 2 + z + 1 text <.> )

Para descrever este sólido com os limites de uma integral tripla, limitamos (z ) com (0 leq z leq sqrt <4-r ^ 2> +3 text <> ) limitamos (r ) com (0 leq r leq 2 text <> ) vinculamos ( theta ) com (0 leq theta leq 2 pi text <.> )

Usando a Definição 14.6.26 e o ​​Teorema 14.7.5, temos a massa do sólido é

onde deixamos os detalhes da integral dupla restante para o leitor.

Exemplo 14.7.8. Encontrar o centro de massa usando coordenadas cilíndricas.

Encontre o centro de massa do sólido com densidade constante cuja base pode ser descrita pela curva polar (r = cos (3 theta) ) e cujo topo é definido pelo plano (z = 1-x + 0,1 y text <,> ) onde as distâncias são medidas em pés, conforme mostrado na Figura 14.7.9. (O volume deste sólido foi encontrado no Exemplo 14.3.10.)

Convertemos a equação do plano para usar coordenadas cilíndricas: (z = 1-r cos ( theta) + 0.1r sin ( theta) text <.> ) Assim, a região é o espaço é limitado por (0 leq z leq 1-r cos ( theta) + 0.1r sin ( theta) text <,> ) (0 leq r leq cos (3 theta) text < ,> ) (0 leq theta leq pi ) (lembre-se de que a curva rosa (r = cos (3 theta) ) é traçada uma vez em ([0, pi] texto <.> )

Como a densidade é constante, definimos ( delta = 1 ) e encontrar a massa é equivalente a encontrar o volume do sólido. Configuramos a integral tripla para calcular isso, mas não a avaliamos, deixamos para o leitor confirmar se ela avalia o mesmo resultado encontrado no Exemplo 14.3.10.

A partir da Definição 14.6.26, configuramos as integrais triplas para calcular os momentos sobre os três planos de coordenadas. O cálculo de cada um é deixado para o leitor (o uso de tecnologia é recomendado):

O centro de massa, em coordenadas retangulares, está localizado em ((- 0.147,0.015,0.467) text <,> ) que fica fora dos limites do sólido.

Subseção 14.7.2 Coordenadas esféricas

Em suma, as coordenadas esféricas podem ser consideradas como uma “aplicação dupla” do sistema de coordenadas polares. Em coordenadas esféricas, um ponto (P ) é identificado com (( rho, theta, varphi) text <,> ) onde ( rho ) é a distância da origem até (P text <,> ) ( theta ) é o mesmo ângulo que seria usado para descrever (P ) no sistema de coordenadas cilíndricas e ( varphi ) é o ângulo entre o positivo (z ) - eixo e o raio da origem até (P text <> ) veja a Figura 14.7.10. Para que cada ponto no espaço que não esteja no eixo (z ) seja definido exclusivamente, iremos restringir ( rho geq 0 text <,> ) (0 leq theta leq 2 pi ) e (0 leq varphi leq pi text <.> )

O símbolo ( rho ) é a letra grega "rho". Tradicionalmente, é usado no sistema de coordenadas esféricas, enquanto (r ) é usado nos sistemas de coordenadas polares e cilíndricas.

A seguinte ideia-chave fornece conversões de / para nossos três sistemas de coordenadas espaciais.

Ideia-chave 14.7.11. Conversão entre coordenadas retangulares, cilíndricas e esféricas.

O papel de ( theta ) e ( varphi ) em coordenadas esféricas difere entre matemáticos e físicos. Ao ler sobre física em coordenadas esféricas, tome cuidado para observar como aquele autor em particular usa essas variáveis ​​e reconheça que essas identidades podem não ser mais válidas.

Exemplo 14.7.12. Conversão entre coordenadas retangulares e esféricas.

Converta o ponto retangular ((2, -2,1) ) em coordenadas esféricas e converta o ponto esférico ((6, pi / 3, pi / 2) ) em coordenadas retangulares e cilíndricas.

Este ponto retangular é o mesmo usado no Exemplo 14.7.2. Usando a ideia-chave 14.7.11, encontramos ( rho = sqrt <2 ^ 2 + (- 1) ^ 2 + 1 ^ 2> = 3 text <.> ) Usando a mesma lógica do Exemplo 14.7. 2, encontramos ( theta = 7 pi / 4 text <.> ) Finalmente, ( cos ( varphi) = 1/3 text <,> ) dando ( varphi = cos ^ <-1> (1/3) approx 1,23 text <,> ) ou cerca de (70,53 ^ circ text <.> ) Assim, as coordenadas esféricas são aproximadamente ((3,7 pi / 4,1.23) text <.> )

Convertendo o ponto esférico ((6, pi / 3, pi / 2) ) em retangular, temos (x = 6 sin ( pi / 2) cos ( pi / 3) = 3 text <,> ) (y = 6 sin ( pi / 2) sin ( pi / 3) = 3 sqrt <3> ) e (z = 6 cos ( pi / 2) = 0 text <.> ) Assim, as coordenadas retangulares são ((3,3 sqrt <3>, 0) text <.> )

Para converter este ponto esférico em cilíndrico, temos (r = 6 sin ( pi / 2) = 6 text <,> ) ( theta = pi / 3 ) e (z = 6 cos ( pi / 2) = 0 text <,> ) dando o ponto cilíndrico ((6, pi / 3,0) text <.> )

Exemplo 14.7.13. Superfícies canônicas em coordenadas esféricas.

Descreva as superfícies ( rho = 1 text <,> ) ( theta = pi / 3 ) e ( varphi = pi / 6 text <,> ) fornecidas em coordenadas esféricas.

A equação ( rho = 1 ) descreve todos os pontos no espaço que estão a 1 unidade de distância da origem: esta é a esfera de raio 1, centrada na origem.

A equação ( theta = pi / 3 ) descreve a mesma superfície em coordenadas esféricas como o faz em coordenadas cilíndricas: começando com a linha ( theta = pi / 3 ) no (x ) - Plano (y ) dado pelas coordenadas polares, estende a linha paralela ao eixo (z ), formando um plano.

A equação ( varphi = pi / 6 ) descreve todos os pontos (P ) no espaço onde o raio da origem a (P ) faz um ângulo de ( pi / 6 ) com o positivo (z ) - eixo. Isso descreve um cone, com o eixo positivo (z ) - seu eixo de simetria, com ponto na origem.

Todas as três superfícies são representadas graficamente na Figura 14.7.14. Observe como sua interseção define exclusivamente o ponto (P = (1, pi / 3, pi / 6) text <.> )

As coordenadas esféricas são úteis ao descrever certos domínios no espaço, permitindo-nos avaliar integrais triplos sobre esses domínios mais facilmente do que se usássemos coordenadas retangulares ou cilíndricas. O ponto crucial de configurar uma integral tripla em coordenadas esféricas é descrever apropriadamente a “pequena quantidade de volume,” (dV text <,> ) usada na integral.

Considerando a Figura 14.7.15, podemos fazer uma pequena “cunha esférica” variando ( rho text <,> ) ( theta ) e ( varphi ) cada uma uma pequena quantidade, ( Delta rho text <,> ) ( Delta theta ) e ( Delta varphi text <,> ) respectivamente. Esta cunha é aproximadamente um sólido retangular quando a mudança em cada coordenada é pequena, dando um volume de cerca de

Dada uma região (D ) no espaço, podemos aproximar o volume de (D ) com muitas dessas cunhas. Conforme o tamanho de cada um de ( Delta rho text <,> ) ( Delta theta ) e ( Delta varphi ) vai para zero, o número de cunhas aumenta para o infinito e o volume de (D ) é mais precisamente aproximado, dando

Novamente, este desenvolvimento de (dV ) deve parecer razoável, e o teorema a seguir afirma que é a maneira apropriada pela qual integrais triplas devem ser avaliadas em coordenadas esféricas.

Geralmente é mais intuitivo avaliar a integral tripla no Teorema 14.7.16 integrando em relação a ( rho ) primeiro, muitas vezes não importa se a seguir integramos em relação a ( theta ) ou ( varphi text <.> ) Textos diferentes apresentam ordens padrão diferentes, alguns preferindo (d varphi , d theta ) em vez de (d theta , d varphi text <.> ) como os limites pois essas variáveis ​​são geralmente constantes na prática, geralmente é uma questão de preferência.

Teorema 14.7.16. Integração tripla em coordenadas esféricas.

Seja (w = h ( rho, theta, varphi) ) uma função contínua em uma região fechada e limitada (D ) no espaço, limitada em coordenadas esféricas por ( alpha_1 leq varphi leq alpha_2 text <,> ) ( beta_1 leq theta leq beta_2 ) e (f_1 ( theta, varphi) leq rho leq f_2 ( theta, varphi) texto <.> ) Então

Exemplo 14.7.17. Estabelecendo o volume de uma esfera.

Seja (D ) a região no espaço limitada pela esfera, centrada na origem, de raio (r text <.> ) Use uma integral tripla em coordenadas esféricas para encontrar o volume (V ) de (D text <.> )

A esfera de raio (r text <,> ) centrada na origem, tem a equação ( rho = r text <.> ) Para obter a esfera completa, os limites em ( theta ) e ( varphi ) are (0 leq theta leq 2 pi ) e (0 leq varphi leq pi text <.> ) Isso nos leva a:

a fórmula familiar para o volume de uma esfera. Observe como as etapas de integração foram fáceis, sem usar raízes quadradas nem etapas de integração, como Substituição.

Exemplo 14.7.18. Encontrar o centro de massa usando coordenadas esféricas.

Encontre o centro de massa do sólido com densidade constante delimitado acima por ( rho = 4 ) e abaixo por ( varphi = pi / 6 text <,> ) conforme ilustrado na Figura 14.7.19.

Vamos configurar as quatro integrais triplas necessárias para encontrar o centro de massa (ou seja, para calcular (M text <,> ) (M_ text <,> ) (M_) e (M_)) e deixe para o leitor avaliar cada integral. Por causa da simetria, esperamos que as coordenadas (x ) - e (y ) - do centro de massa sejam 0.

Embora as superfícies que descrevem o sólido sejam fornecidas na declaração do problema, para descrever o sólido completo (D text <,> ) usamos os seguintes limites: (0 leq rho leq 4 text <, > ) (0 leq theta leq 2 pi ) e (0 leq varphi leq pi / 6 text <.> ) Como a densidade ( delta ) é constante, nós assume ( delta = 1 text <.> )

Para calcular (M_ text <,> ) o integrando é (x text <> ) usando a ideia-chave 14.7.11, temos (x = rho sin ( varphi) cos ( theta) text <. > ) Isso dá:

que esperávamos como esperávamos ( overline = 0 texto <.> )

Para calcular (M_ text <,> ) o integrando é (y text <> ) usando a ideia-chave 14.7.11, temos (y = rho sin ( varphi) sin ( theta) text <. > ) Isso dá:

que também esperávamos como esperávamos ( overline = 0 texto <.> )

Para calcular (M_ text <,> ) o integrando é (z text <> ) usando a ideia-chave 14.7.11, temos (z = rho cos ( varphi) text <.> ) Isso dá:

Assim, o centro de massa é ((0,0, M_/ M) aprox (0,0,2.799) text <,> ) conforme indicado na Figura 14.7.19.

Esta seção forneceu uma breve introdução a dois novos sistemas de coordenadas úteis para identificar pontos no espaço. Cada um pode ser usado para definir uma variedade de superfícies no espaço além das superfícies canônicas representadas graficamente à medida que cada sistema foi introduzido.

No entanto, a utilidade desses sistemas de coordenadas não reside na variedade de superfícies que eles podem descrever, nem nas regiões no espaço que essas superfícies podem abranger. Em vez disso, as coordenadas cilíndricas são usadas principalmente para descrever cilindros e as coordenadas esféricas são usadas principalmente para descrever esferas. Essas formas são de interesse especial nas ciências, especialmente na física, e os cálculos sobre / dentro dessas formas são difíceis usando coordenadas retangulares. Por exemplo, no estudo da eletricidade e do magnetismo, costuma-se estudar os efeitos de uma corrente elétrica passando por um fio que é essencialmente um cilindro, bem descrito por coordenadas cilíndricas.

Este capítulo investigou o seguimento natural das derivadas parciais: integração iterada. Aprendemos como usar os limites de uma integral dupla para descrever uma região no plano usando coordenadas retangulares e polares, e depois expandimos para usar os limites de uma integral tripla para descrever uma região no espaço. Usamos integrais duplas para encontrar volumes sob superfícies, área de superfície e o centro de massa da lâmina, usamos integrais triplas como um método alternativo para encontrar volumes de regiões espaciais e também para encontrar o centro de massa de uma região no espaço.

A integração não para por aqui. Poderíamos continuar a iterar nossas integrais, investigando a seguir as “integrais quádruplas” cujos limites descrevem uma região no espaço quadridimensional (que são muito difíceis de visualizar). Também podemos olhar para trás, para a integração “regular”, onde encontramos a área sob uma curva no plano. Um análogo natural a isso é encontrar a “área sob uma curva”, onde a curva está no espaço, não em um plano. Esses são apenas dois dos muitos caminhos a explorar sob o título de "integração".

Exercícios 14.7.3 Exercícios

Explique a diferença entre as funções (r text <,> ) em coordenadas cilíndricas e ( rho text <,> ) em coordenadas esféricas, desempenham na determinação da localização de um ponto.

Em cilíndrico, (r ) determina a que distância da origem se vai no plano (x ) - (y ) antes de considerar o componente (z ) -. Equivalentemente, se em projeta um ponto em coordenadas cilíndricas no plano (x ) - (y ), (r ) será a distância desta projeção da origem.

Em esférico, ( rho ) é a distância da origem ao ponto.

Por que os pontos no eixo (z ) - não são determinados exclusivamente ao usar coordenadas cilíndricas e esféricas?

Se (r = 0 ) ou ( rho = 0 text <,> ) então o ponto em cada sistema de coordenadas encontra-se no eixo (z ) independentemente do valor de ( theta text <.> )

Quais superfícies são definidas naturalmente usando coordenadas cilíndricas?

Cilindros (tubos) centrados na origem, paralelos aos planos do eixo (z ) paralelos ao eixo (z ) que intersectam os planos do eixo (z ) paralelos aos (x ) - (y ) plano.

Quais superfícies são definidas naturalmente usando coordenadas esféricas?

Esferas centralizadas nos planos de origem paralelos ao eixo (z ) que interceptam os cones do eixo (z ) centralizados no eixo (z ) com ponto na origem.

Nos exercícios a seguir, os pontos são dados nos sistemas de coordenadas retangulares, cilíndricas ou esféricas. Encontre as coordenadas dos pontos nos outros sistemas.

Pontos em coordenadas retangulares: ((2,2,1) ) e ((- sqrt <3>, 1,0) )

Pontos em coordenadas cilíndricas: ((2, pi / 4,2) ) e ((3,3 pi / 2, -4) )

Pontos em coordenadas esféricas: ((2, pi / 4, pi / 4) ) e ((1,0,0) )

Cilíndrico: ((2 sqrt 2, pi / 4,1) ) e ((2,5 pi / 6,0) ) Esférico: ((3, pi / 4, cos ^ <-1> (1/3)) ) e ((2,5 pi / 6, pi / 2) )

Retangular: (( sqrt 2, sqrt 2,2) ) e ((0, -3, -4) ) Esférico: ((2 sqrt 2, pi / 4, pi / 4 ) ) e ((5,3 pi / 2, pi- tan ^ <-1> (3/4)) )

Retangular: ((1,1, sqrt <2>) ) e ((0,0,1) ) Cilíndrico: (( sqrt <2>, pi / 4, sqrt <2> ) ) e ((0,0,1) )

Pontos em coordenadas retangulares: ((0,1,1) ) e ((- 1,0,1) )

Pontos em coordenadas cilíndricas: ((0, pi, 1) ) e ((2,4 pi / 3,0) )

Pontos em coordenadas esféricas: ((2, pi / 6, pi / 2) ) e ((3, pi, pi) )

Cilíndrico: ((1, pi / 2,1) ) e ((1, pi, 1) ) Esférico: (( sqrt 2, pi / 2, pi / 4) ) e (( sqrt <2>, pi, pi / 4) )

Retangular: ((0,0,1) ) e ((- 1, - sqrt 3,0) ) Esférico: ((1, pi, 0) ) e ((2,4 pi / 3, pi / 2) )

Retangular: (( sqrt 3,1,0) ) e ((0,0, -3) ) Cilíndrico: ((2, pi / 6,0) ) e ((0, pi, -3) )

Nos exercícios a seguir, descreva a curva, superfície ou região no espaço determinada pelos limites dados.

Limites em coordenadas cilíndricas:

(r = 1 text <,> ) (0 leq theta leq 2 pi text <,> ) (0 leq z leq 1 )

(1 leq r leq 2 text <,> ) (0 leq theta leq pi text <,> ) (0 leq z leq 1 )

Limites em coordenadas esféricas:

( rho = 3 text <,> ) (0 leq theta leq2 pi text <,> ) (0 leq varphi leq pi / 2 )

(2 leq rho leq3 text <,> ) (0 leq theta leq2 pi text <,> ) (0 leq varphi leq pi )

Uma superfície cilíndrica ou tubo, centrado ao longo do eixo (z ) - do raio 1, estendendo-se do plano (x ) - (y ) até o plano (z = 1 ) (ou seja, o o tubo tem um comprimento de 1).

Esta é uma região do espaço, sendo metade de um tubo com paredes “grossas” de raio interno 1 e raio externo 2, centralizado ao longo do eixo (z ) - com comprimento 1, onde a metade “abaixo” do (x ) - (z ) plano é removido.

Esta é a metade superior da esfera do raio 3 centrada na origem (ou seja, o hemisfério superior).

Esta é uma região do espaço, onde a bola de raio 2, centrada na origem, é removida da bola de raio 3, centrada na origem.

Limites em coordenadas cilíndricas:

(1 leq r leq 2 text <,> ) ( theta = pi / 2 text <,> ) (0 leq z leq 1 )

(r = 2 text <,> ) (0 leq theta leq 2 pi text <,> ) (z = 5 )

Limites em coordenadas esféricas:

(0 leq rho leq2 text <,> ) (0 leq theta leq pi text <,> ) ( varphi = pi / 4 )

( rho = 2 text <,> ) (0 leq theta leq2 pi text <,> ) ( varphi = pi / 6 )

Uma parte quadrada do plano (y ) - (z ) com cantos em ((0,1,0) text <,> ) ((0,1,1) text <,> ) ((0,2,1) ) e ((0,2,0) text <.> )

Esta é uma curva, um círculo de raio 2, centralizado em ((0,0,5) text <,> ) paralelamente ao plano (x ) - (y ) (ou seja, no plano (z = 5 )).

Esta é uma região do espaço, a metade de um cone sólido com topo arredondado, onde o topo arredondado é uma porção da bola de raio 2 centrada na origem e os lados do cone formam um ângulo de ( pi / 4 ) com o eixo (z ) positivo. Os limites em ( theta ) significam que apenas a parte “acima” do plano (x ) - (z ) é mantida.

Esta é uma curva, um círculo de raio 1 centrado em ((0,0, sqrt 3) text <,> ) paralelamente ao plano (x ) - (y ).

Nos exercícios a seguir, regiões padrão no espaço, conforme definidas por coordenadas cilíndricas e esféricas, são mostradas. Configure a integral tripla que integra a função fornecida na região representada pelo gráfico.


Cálculo multivariável CLP-3

Muitos problemas possuem simetrias naturais. Podemos tornar nosso trabalho mais fácil usando sistemas de coordenadas, como coordenadas polares, que são ajustados para essas simetrias. Veremos mais dois desses sistemas de coordenadas - coordenadas cilíndricas e esféricas.

Subseção 3.6.1 Coordenadas cilíndricas

No caso de desejarmos calcular, por exemplo, a massa de um objeto que é invariante sob rotações sobre o eixo (z ) - 1, é vantajoso usar uma generalização natural das coordenadas polares para três dimensões. O sistema de coordenadas é chamado coordenadas cilíndricas.

Definição 3.6.1.

As coordenadas cilíndricas são denotadas 2 (r text <,> ) ( theta ) e (z ) e são definidas por

Ou seja, (r ) e ( theta ) são as coordenadas polares usuais e (z ) é o usual (z text <.> )

As coordenadas cartesianas e cilíndricas são relacionadas por 3

Equação 3.6.2.

Aqui estão esboços de superfícies de constante (r text <,> ) constante ( theta text <,> ) e constante (z text <.> )

Subseção 3.6.2 O Elemento de Volume em Coordenadas Cilíndricas

Antes de começarmos a integração usando essas coordenadas, precisamos determinar o elemento de volume. Lembre-se de que antes de integrar em coordenadas polares, tivemos que estabelecer que ( dee = r , dee, dee < theta> text <.> ) Nos argumentos que se seguem, estabelecemos que ( dee = r , dee, dee < theta> , dee text <.> )

primeiro cortando-o em placas horizontais de espessura ( dee) usando planos de constante (z text <,> )

e, em seguida, subdividir as placas em fatias usando superfícies de constante ( theta text <,> ), digamos, com a diferença entre sucessivos ( theta ) sendo ( dee < theta> text <,> )

e então subdividir as cunhas em cubos aproximados usando superfícies de constante (r text <,> ) digamos com a diferença entre sucessivos (r ) sendo ( dee text <,> )

acabamos com cubos aproximados que parecem

  • Quando introduzimos fatias usando superfícies de constante (r text <,> ), a diferença entre os (r ) sucessivos era ( dee text <,> ) para que a aresta indicada do cubo tenha comprimento ( dee text <.> )
  • Quando introduzimos fatias usando superfícies de constante (z text <,> ), a diferença entre os (z ) sucessivos era ( dee text <,> ) para que as arestas verticais do cubo tenham comprimento ( dee text <.> )
  • Quando introduzimos fatias usando superfícies de constante ( theta text <,> ), a diferença entre os sucessivos ( theta ) 's era ( dee < theta> text <,> ) então o as arestas restantes do cubo são arcos circulares de raio essencialmente 4 (r ) que subtendem um ângulo ( theta text <,> ) e, portanto, têm comprimento (r , dee < theta> text < .> ) Veja a derivação da equação 3.2.5.

Portanto, o volume do cubo aproximado em coordenadas cilíndricas é (essencialmente 5)

Equação 3.6.3.

Subseção 3.6.3 Amostra de Integrais em Coordenadas Cilíndricas

Agora podemos usar 3.6.3 para lidar com uma variante do Exemplo 3.5.1 em que a densidade é invariante sob rotações em torno do eixo (z ). As coordenadas cilíndricas são ajustadas para fornecer integrais mais fáceis de avaliar quando o integrando é invariante sob rotações sobre o eixo (z ), ou quando o domínio de integração é cilíndrico.

Exemplo 3.6.4.

Encontre a massa do corpo sólido que consiste no interior da esfera (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 1 ) se a densidade for ( rho (x, y, z) = x ^ 2 + y ^ 2 text <.> )

Antes de começarmos, observe que (x ^ 2 + y ^ 2 ) é o quadrado da distância de ((x, y, z) ) ao eixo (z ). Consequentemente, tanto o integrando, (x ^ 2 + y ^ 2 text <,> ) e o domínio de integração, (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 le 1 text <,> ) e, portanto, nosso sólido, são invariantes sob rotações sobre o eixo (z ) - 6. Isso torna essa integral uma boa candidata para coordenadas cilíndricas.

Novamente, por simetria, a massa total da esfera será oito vezes a massa do primeiro octante. Vamos cortar a primeira parte octante da esfera em pequenos pedaços usando coordenadas cilíndricas. Ou seja, devemos cortá-lo usando planos de constante (z text <,> ) planos de constante ( theta text <,> ) e superfícies de constante (r text <.> )

Primeiro corte a (a primeira parte octante da) esfera em placas horizontais, inserindo muitos planos de constante (z text <,> ) com os vários valores de (z ) diferindo por ( dee text <.> ) A figura à esquerda abaixo mostra a parte de um prato no primeiro octante delineado em vermelho. Cada prato

  • tem espessura ( dee text <,> )
  • tem (z ) essencialmente constante na placa, e
  • tem ((x, y) ) passando por (x ge 0 text <,> ) (y ge 0 text <,> ) (x ^ 2 + y ^ 2 le 1 -z ^ 2 text <.> ) Em coordenadas cilíndricas, (r ) vai de (0 ) a ( sqrt <1-z ^ 2> ) e ( theta ) vai de (0 ) a ( frac < pi> <2> text <.> )
  • A placa inferior possui, essencialmente, (z = 0 ) e a placa superior possui, essencialmente, (z = 1 text <.> ) Veja a figura à direita abaixo.

Até agora, isso se parece exatamente com o que fizemos no Exemplo 3.5.1.

Concentre-se em qualquer prato. Divida-o em fatias inserindo muitos planos de constante ( theta text <,> ) com os vários valores de ( theta ) diferindo por ( dee < theta> text <.> ) O a figura abaixo à esquerda mostra uma dessas cunhas delineada em azul. Cada cunha

  • tem (z ) e ( theta ) essencialmente constantes na cunha, e
  • tem (r ) executando sobre (0 le r le sqrt <1-z ^ 2> text <.> )
  • A cunha mais à esquerda tem, essencialmente, ( theta = 0 ) e a cunha mais à direita tem, essencialmente, ( theta = frac < pi> <2> text <.> ) Veja a figura à direita abaixo de.

Concentre-se em qualquer cunha. Subdivida-o em pequenos cubos aproximados, inserindo muitas superfícies de constante (r text <,> ) com os vários valores de (r ) diferindo por ( dee text <.> ) A figura à esquerda abaixo mostra o topo de um cubo aproximado em preto. Cada cubo

  • tem volume (r , dee, dee < theta> , dee text <,> ) por 3.6.3, e
  • tem (r text <,> ) ( theta ) e (z ) todos essencialmente constantes no cubo.
  • O primeiro cubo tem, essencialmente, (r = 0 ) e o último cubo tem, essencialmente, (r = sqrt <1-z ^ 2> text <.> ) Veja a figura à direita abaixo.

Agora podemos construir a massa.

Concentre-se em um cubo aproximado. Digamos que ele contenha o ponto com coordenadas cilíndricas (r text <,> ) ( theta ) e (z text <.> )

  • O cubo tem volume essencialmente ( dee= r , dee, dee < theta> , dee) e
  • essencialmente tem densidade ( rho (x, y, z) = rho (r cos theta, r sin theta, z) = r ^ 2 ) e assim
  • essencialmente tem massa (r ^ 3 , dee, dee < theta> , dee text <.> ) (Veja como pode ser bom o sistema de coordenadas certo!)

Apenas a título de comparação, aqui está a integral em coordenadas cartesianas que dá a massa no primeiro octante. (Encontramos os limites de integração no Exemplo 3.5.1.)

No próximo exemplo, calculamos o momento de inércia de um cone circular direito. A Definição 3.3.13 do momento de inércia restringiu-se a duas dimensões. No entanto, como foi apontado na ocasião, a mesma análise se estende naturalmente à definição

Equação 3.6.5.

do momento de inércia de um sólido ( cV ) em três dimensões. Aqui

  • ( rho (x, y, z) ) é a densidade de massa do sólido no ponto ((x, y, z) ) e
  • (D (x, y, z) ) é a distância de ((x, y, z) ) ao eixo de rotação.
Exemplo 3.6.6.

Encontre o momento de inércia de um cone circular direito

em torno de um eixo através do vértice (ou seja, a ponta do cone) e paralelo à base.

Aqui está um esboço do cone.

Vamos escolher um sistema de coordenadas com

  • o vértice na origem,
  • o cone simétrico em torno do eixo (z ) e
  • o eixo de rotação sendo o eixo (y ).

Usaremos 3.6.5 para encontrar o momento de inércia. No problema atual, o eixo de rotação é o eixo (y ). O ponto no eixo (y ) - que está mais próximo de ((x, y, z) ) é ((0, y, 0) ) de modo que a distância de ((x, y, z) ) para o eixo é apenas

Nosso sólido tem densidade e massa constantes (M text <,> ) então

para o volume de um cone foi derivado no Exemplo 1.6.1 do texto CLP-2 e no Apêndice B.5.2 do texto CLP-1. No entanto, devido à semelhança entre o integral ( text( cV) = tripInt_ cV dee, dee, dee) e a integral ( tripInt_ cV (x ^ 2 + z ^ 2) dee, dee, dee text <,> ) que precisamos para nosso cálculo de (I_ cA text <,> ) é fácil rederir a fórmula do volume e assim o faremos.

Avaliaremos ambas as integrais acima usando coordenadas cilíndricas.

Comece cortando o cone em placas horizontais inserindo muitos planos de constante (z text <,> ) com os vários valores de (z ) diferindo por ( dee text <.> )

Por triângulos semelhantes, como na figura à direita abaixo, o disco na altura (z ) tem raio (R ) obedecendo

Agora concentre-se em qualquer prato. Divida-o em fatias inserindo muitos planos de constante ( theta text <,> ) com os vários valores de ( theta ) diferindo por ( dee < theta> text <.> )

Concentre-se em qualquer cunha. Subdivida-o em pequenos cubos aproximados 7, inserindo muitas superfícies de constante (r text <,> ) com os vários valores de (r ) diferindo por ( dee text <.> ) Cada cubo


Assista o vídeo: Integrais Triplas em Coordenadas Esféricas (Outubro 2021).