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5.2: Simplifique Expressões Radicais - Matemática


objetivos de aprendizado

Ao final desta seção, você será capaz de:

  • Use a propriedade do produto para simplificar as expressões radicais
  • Use a propriedade do quociente para simplificar as expressões radicais

Antes de começar, faça este teste de prontidão.

  1. Simplifique: ( dfrac {x ^ {9}} {x ^ {4}} ).
    Se você não percebeu esse problema, analise o Exemplo 5.13.
  2. Simplifique: ( dfrac {y ^ {3}} {y ^ {11}} ).
    Se você não percebeu esse problema, analise o Exemplo 5.13.
  3. Simplifique: ( left (n ^ {2} right) ^ {6} ).
    Se você não percebeu esse problema, analise o Exemplo 5.17.

Use a propriedade do produto para simplificar expressões radicais

Simplificaremos as expressões radicais de maneira semelhante à maneira como simplificamos as frações. Para simplificar uma fração, procuramos quaisquer fatores comuns no numerador e denominador.

UMA expressão radical, ( sqrt [n] {a} ), é considerado simplificado se não tiver fatores de (m ^ {n} ). Portanto, para simplificar uma expressão radical, procuramos quaisquer fatores no radicand que sejam potências do índice.

Definição ( PageIndex {1} ): Expressão Radical Simplificada

Para números reais (a ) e (m ), e (n geq 2 ),

( sqrt [n] {a} ) é considerado simplificado se (a ) não tem fatores de (m ^ {n} )

Por exemplo, ( sqrt {5} ) é considerado simplificado porque não há fatores de quadrados perfeitos em (5 ). Mas ( sqrt {12} ) não é simplificado porque (12 ) tem um fator de quadrado perfeito de (4 ).

Da mesma forma, ( sqrt [3] {4} ) é simplificado porque não há fatores de cubo perfeito em (4 ). Mas ( sqrt [3] {24} ) não é simplificado porque (24 ) tem um fator de cubo perfeito de (8 ).

Para simplificar as expressões radicais, também usaremos algumas propriedades das raízes. As propriedades que usaremos para simplificar as expressões radicais são semelhantes às propriedades dos expoentes. Nós sabemos isso

[(a b) ^ {n} = a ^ {n} b ^ {n}. ]

O correspondente de Propriedade do produto de raízes diz que

[ sqrt [n] {a b} = sqrt [n] {a} cdot sqrt [n] {b}. ]

Definição ( PageIndex {2} ): Propriedade do produto de (N ^ {th} ) Roots

Se ( sqrt [n] {a} ) e ( sqrt [n] {b} ) forem números reais, e (n geq 2 ) for um inteiro, então

( sqrt [n] {ab} = sqrt [n] {a} cdot sqrt [n] {b} quad text {e} quad sqrt [n] {a} cdot sqrt [n] {b} = sqrt [n] {ab} )

Usamos a propriedade do produto das raízes para remover todos os fatores do quadrado perfeito de uma raiz quadrada.

Exemplo ( PageIndex {1} ): Simplifique as raízes quadradas usando a propriedade de produto das raízes

Simplifique: ( sqrt {98} ).

Solução:

Passo 1: Encontre o maior fator no radical e que seja uma potência perfeita do índice.

Vemos que (49 ) é o maior fator de (98 ) que tem uma potência de (2 ).

( sqrt {98} )

Reescreva o radicando como um produto de dois fatores, usando esse fator.

Em outras palavras, (49 ) é o maior fator de quadrado perfeito de (98 ).

(98 = 49 cdot 2 )

Sempre escreva o fator do quadrado perfeito primeiro.

( sqrt {49 cdot 2} )
Passo 2: Use a regra do produto para reescrever o radical como o produto de dois radicais. ( sqrt {49} cdot sqrt {2} )
etapa 3: Simplifique a raiz do poder perfeito. (7 sqrt {2} )

Experimente ( PageIndex {1} )

Simplifique: ( sqrt {48} )

Responder

(4 sqrt {3} )

Experimente ( PageIndex {2} )

Simplifique: ( sqrt {45} ).

Responder

(3 sqrt {5} )

Observe no exemplo anterior que a forma simplificada de ( sqrt {98} ) é (7 sqrt {2} ), que é o produto de um inteiro e uma raiz quadrada. Sempre escrevemos o número inteiro antes da raiz quadrada.

Tenha o cuidado de escrever seu inteiro para que não seja confundido com o índice. A expressão (7 sqrt {2} ) é muito diferente de ( sqrt [7] {2} ).

Simplifique uma expressão radical usando a propriedade do produto

  1. Encontre o maior fator no radical e que seja uma potência perfeita do índice. Reescreva o radicando como um produto de dois fatores, usando esse fator.
  2. Use a regra do produto para reescrever o radical como o produto de dois radicais.
  3. Simplifique a raiz do poder perfeito.

Aplicaremos esse método no próximo exemplo. Pode ser útil ter uma mesa com quadrados perfeitos, cubos e quartas potências.

Exemplo ( PageIndex {2} )

Simplificar:

  1. ( sqrt {500} )
  2. ( sqrt [3] {16} )
  3. ( sqrt [4] {243} )

Solução:

uma.

( sqrt {500} )

Reescreva o radicandinho como um produto usando o maior fator de quadrado perfeito.

( sqrt {100 cdot 5} )

Reescreva o radical como o produto de dois radicais.

( sqrt {100} cdot sqrt {5} )

Simplificar.

(10 ​​ sqrt {5} )

b.

( sqrt [3] {16} )

Reescreva o radicand como um produto usando o maior fator de cubo perfeito. (2 ^ {3} = 8 )

( sqrt [3] {8 cdot 2} )

Reescreva o radical como o produto de dois radicais.

( sqrt [3] {8} cdot sqrt [3] {2} )

Simplificar.

(2 sqrt [3] {2} )

c.

( sqrt [4] {243} )

Reescreva o radicand como um produto usando o maior quarto fator de potência perfeito. (3 ^ {4} = 81 )

( sqrt [4] {81 cdot 3} )

Reescreva o radical como o produto de dois radicais.

( sqrt [4] {81} cdot sqrt [4] {3} )

Simplificar.

(3 sqrt [4] {3} )

Experimente ( PageIndex {3} )

Simplifique: a. ( sqrt {288} ) b. ( sqrt [3] {81} ) c. ( sqrt [4] {64} )

Responder

uma. (12 sqrt {2} ) b. (3 sqrt [3] {3} ) c. (2 sqrt [4] {4} )

Experimente ( PageIndex {4} )

Simplifique: a. ( sqrt {432} ) b. ( sqrt [3] {625} ) c. ( sqrt [4] {729} )

Responder

uma. (12 sqrt {3} ) b. (5 sqrt [3] {5} ) c. (3 sqrt [4] {9} )

O próximo exemplo é muito parecido com os exemplos anteriores, mas com variáveis. Não se esqueça de usar os sinais de valor absoluto ao obter uma raiz par de uma expressão com uma variável no radical.

Exemplo ( PageIndex {3} )

Simplificar:

  1. ( sqrt {x ^ {3}} )
  2. ( sqrt [3] {x ^ {4}} )
  3. ( sqrt [4] {x ^ {7}} )

Solução:

uma.

( sqrt {x ^ {3}} )

Reescreva o radicand como um produto usando o maior fator de quadrado perfeito.

( sqrt {x ^ {2} cdot x} )

Reescreva o radical como o produto de dois radicais.

( sqrt {x ^ {2}} cdot sqrt {x} )

Simplificar.

(| x | sqrt {x} )

b.

( sqrt [3] {x ^ {4}} )

Reescreva o radicand como um produto usando o maior fator de cubo perfeito.

( sqrt [3] {x ^ {3} cdot x} )

Reescreva o radical como o produto de dois radicais.

( sqrt [3] {x ^ {3}} cdot sqrt [3] {x} )

Simplificar.

(x sqrt [3] {x} )

c.

( sqrt [4] {x ^ {7}} )

Reescreva o radicand como um produto usando o maior quarto fator de potência perfeito.

( sqrt [4] {x ^ {4} cdot x ^ {3}} )

Reescreva o radical como o produto de dois radicais.

( sqrt [4] {x ^ {4}} cdot sqrt [4] {x ^ {3}} )

Simplificar.

(| x | sqrt [4] {x ^ {3}} )

Experimente ( PageIndex {5} )

Simplifique: a. ( sqrt {b ^ {5}} ) b. ( sqrt [4] {y ^ {6}} ) c. ( sqrt [3] {z ^ {5}} )

Responder

uma. (b ^ {2} sqrt {b} ) b. (| y | sqrt [4] {y ^ {2}} ) c. (z sqrt [3] {z ^ {2}} )

Experimente ( PageIndex {6} )

Simplifique: a. ( sqrt {p ^ {9}} ) b. ( sqrt [5] {y ^ {8}} ) c. ( sqrt [6] {q ^ {13}} )

Responder

uma. (p ^ {4} sqrt {p} ) b. (p sqrt [5] {p ^ {3}} ) c. (q ^ {2} sqrt [6] {q} )

Seguimos o mesmo procedimento quando há um coeficiente no radicando. No próximo exemplo, tanto a constante quanto a variável têm fatores quadrados perfeitos.

Exemplo ( PageIndex {4} )

Simplificar:

  1. ( sqrt {72 n ^ {7}} )
  2. ( sqrt [3] {24 x ^ {7}} )
  3. ( sqrt [4] {80 y ^ {14}} )

Solução:

uma.

( sqrt {72 n ^ {7}} )

Reescreva o radicandinho como um produto usando o maior fator de quadrado perfeito.

( sqrt {36 n ^ {6} cdot 2 n} )

Reescreva o radical como o produto de dois radicais.

( sqrt {36 n ^ {6}} cdot sqrt {2 n} )

Simplificar.

(6 esquerda | n ^ {3} direita | sqrt {2 n} )

b.

( sqrt [3] {24 x ^ {7}} )

Reescreva o radicand como um produto usando fatores de cubo perfeitos.

( sqrt [3] {8 x ^ {6} cdot 3 x} )

Reescreva o radical como o produto de dois radicais.

( sqrt [3] {8 x ^ {6}} cdot sqrt [3] {3 x} )

Reescreva o primeiro radical como ( left (2 x ^ {2} right) ^ {3} ).

( sqrt [3] { left (2 x ^ {2} right) ^ {3}} cdot sqrt [3] {3 x} )

Simplificar.

(2 x ^ {2} sqrt [3] {3 x} )

c.

( sqrt [4] {80 y ^ {14}} )

Reescreva o radicand como um produto usando quatro fatores de potência perfeitos.

( sqrt [4] {16 y ^ {12} cdot 5 y ^ {2}} )

Reescreva o radical como o produto de dois radicais.

( sqrt [4] {16 y ^ {12}} cdot sqrt [4] {5 y ^ {2}} )

Reescreva o primeiro radical como ( left (2 y ^ {3} right) ^ {4} ).

( sqrt [4] { left (2 y ^ {3} right) ^ {4}} cdot sqrt [4] {5 y ^ {2}} )

Simplificar.

(2 left | y ^ {3} right | sqrt [4] {5 y ^ {2}} )

Experimente ( PageIndex {7} )

Simplifique: a. ( sqrt {32 y ^ {5}} ) b. ( sqrt [3] {54 p ^ {10}} ) c. ( sqrt [4] {64 q ^ {10}} )

Responder

uma. (4 y ^ {2} sqrt {2 y} ) b. (3 p ^ {3} sqrt [3] {2 p} ) c. (2 q ^ {2} sqrt [4] {4 q ^ {2}} )

Experimente ( PageIndex {8} )

Simplifique: a. ( sqrt {75 a ^ {9}} ) b. ( sqrt [3] {128 m ^ {11}} ) c. ( sqrt [4] {162 n ^ {7}} )

Responder

uma. (5 a ^ {4} sqrt {3 a} ) b. (4 m ^ {3} sqrt [3] {2 m ^ {2}} ) c. (3 | n | sqrt [4] {2 n ^ {3}} )

No próximo exemplo, continuamos a usar os mesmos métodos, embora haja mais de uma variável no radical.

Exemplo ( PageIndex {5} )

Simplificar:

  1. ( sqrt {63 u ^ {3} v ^ {5}} )
  2. ( sqrt [3] {40 x ^ {4} y ^ {5}} )
  3. ( sqrt [4] {48 x ^ {4} y ^ {7}} )

Solução:

uma.

( sqrt {63 u ^ {3} v ^ {5}} )

Reescreva o radicandinho como um produto usando o maior fator de quadrado perfeito.

( sqrt {9 u ^ {2} v ^ {4} cdot 7 u v} )

Reescreva o radical como o produto de dois radicais.

( sqrt {9 u ^ {2} v ^ {4}} cdot sqrt {7 u v} )

Reescreva o primeiro radical como ( left (3 u v ^ {2} right) ^ {2} ).

( sqrt { left (3 u v ^ {2} right) ^ {2}} cdot sqrt {7 u v} )

Simplificar.

(3 | u | v ^ {2} sqrt {7 u v} )

b.

( sqrt [3] {40 x ^ {4} y ^ {5}} )

Reescreva o radicand como um produto usando o maior fator de cubo perfeito.

( sqrt [3] {8 x ^ {3} y ^ {3} cdot 5 x y ^ {2}} )

Reescreva o radical como o produto de dois radicais.

( sqrt [3] {8 x ^ {3} y ^ {3}} cdot sqrt [3] {5 x y ^ {2}} )

Reescreva o primeiro radical como ((2xy) ^ {3} ).

( sqrt [3] {(2 x y) ^ {3}} cdot sqrt [3] {5 x y ^ {2}} )

Simplificar.

(2 x y sqrt [3] {5 x y ^ {2}} )

c.

( sqrt [4] {48 x ^ {4} y ^ {7}} )

Reescreva o radicand como um produto usando o maior quarto fator de potência perfeito.

( sqrt [4] {16 x ^ {4} y ^ {4} cdot 3 y ^ {3}} )

Reescreva o radical como o produto de dois radicais.

( sqrt [4] {16 x ^ {4} y ^ {4}} cdot sqrt [4] {3 y ^ {3}} )

Reescreva o primeiro radical como ((2xy) ^ {4} ).

( sqrt [4] {(2 x y) ^ {4}} cdot sqrt [4] {3 y ^ {3}} )

Simplificar.

(2 | x y | sqrt [4] {3 y ^ {3}} )

Experimente ( PageIndex {9} )

Simplificar:

  1. ( sqrt {98 a ^ {7} b ^ {5}} )
  2. ( sqrt [3] {56 x ^ {5} y ^ {4}} )
  3. ( sqrt [4] {32 x ^ {5} y ^ {8}} )
Responder
  1. (7 left | a ^ {3} right | b ^ {2} sqrt {2 a b} )
  2. (2 x y sqrt [3] {7 x ^ {2} y} )
  3. (2 | x | y ^ {2} sqrt [4] {2 x} )

Experimente ( PageIndex {10} )

Simplificar:

  1. ( sqrt {180 m ^ {9} n ^ {11}} )
  2. ( sqrt [3] {72 x ^ {6} y ^ {5}} )
  3. ( sqrt [4] {80 x ^ {7} y ​​^ {4}} )
Responder
  1. (6 m ^ {4} left | n ^ {5} right | sqrt {5 m n} )
  2. (2 x ^ {2} y sqrt [3] {9 y ^ {2}} )
  3. (2 | x y | sqrt [4] {5 x ^ {3}} )

Exemplo ( PageIndex {6} )

Simplificar:

  1. ( sqrt [3] {- 27} )
  2. ( sqrt [4] {- 16} )

Solução:

uma.

( sqrt [3] {- 27} )

Reescreva o radicand como um produto usando fatores de cubo perfeitos.

( sqrt [3] {(- 3) ^ {3}} )

Pegue a raiz cúbica.

(-3)

b.

( sqrt [4] {- 16} )

Não há número real (n ) onde (n ^ {4} = - 16 ).

Não é um número real

Experimente ( PageIndex {11} )

Simplificar:

  1. ( sqrt [3] {- 64} )
  2. ( sqrt [4] {- 81} )
Responder
  1. (-4)
  2. nenhum número real

Experimente ( PageIndex {12} )

Simplificar:

  1. ( sqrt [3] {- 625} )
  2. ( sqrt [4] {- 324} )
Responder
  1. (- 5 sqrt [3] {5} )
  2. nenhum número real

Vimos como usar o ordem de operações para simplificar algumas expressões com radicais. No próximo exemplo, temos a soma de um inteiro e uma raiz quadrada. Simplificamos a raiz quadrada, mas não podemos adicionar a expressão resultante ao inteiro, pois um termo contém um radical e o outro não. O próximo exemplo também inclui uma fração com um radical no numerador. Lembre-se de que, para simplificar uma fração, você precisa de um fator comum no numerador e denominador.

Exemplo ( PageIndex {7} )

Simplificar:

  1. (3+ sqrt {32} )
  2. ( dfrac {4- sqrt {48}} {2} )

Solução:

uma.

(3+ sqrt {32} )

Reescreva o radicandinho como um produto usando o maior fator de quadrado perfeito.

(3+ sqrt {16 cdot 2} )

Reescreva o radical como o produto de dois radicais.

(3+ sqrt {16} cdot sqrt {2} )

Simplificar.

(3 + 4 sqrt {2} )

Os termos não podem ser adicionados porque um tem um radical e o outro não. Tentar adicionar um inteiro e um radical é como tentar adicionar um inteiro e uma variável. Eles não são como termos!

b.

( dfrac {4- sqrt {48}} {2} )

Reescreva o radicandinho como um produto usando o maior fator de quadrado perfeito.

( dfrac {4- sqrt {16 cdot 3}} {2} )

Reescreva o radical como o produto de dois radicais.

( dfrac {4- sqrt {16} cdot sqrt {3}} {2} )

Simplificar.

Fatore o fator comum do numerador.

( dfrac {4 (1- sqrt {3})} {2} )

Remova o fator comum, 2, do numerador e denominador.

( dfrac { cancel {2} cdot 2 (1- sqrt {3})} { cancel {2}} )

Simplificar.

(2 (1- sqrt {3}) )

Experimente ( PageIndex {13} )

Simplificar:

  1. (5+ sqrt {75} )
  2. ( dfrac {10- sqrt {75}} {5} )
Responder
  1. (5 + 5 sqrt {3} )
  2. (2- sqrt {3} )

Experimente ( PageIndex {14} )

Simplificar:

  1. (2+ sqrt {98} )
  2. ( dfrac {6- sqrt {45}} {3} )
Responder
  1. (2 + 7 sqrt {2} )
  2. (2- sqrt {5} )

Use a propriedade quociente para simplificar expressões radicais

Sempre que você tiver que simplificar uma expressão radical, o primeiro passo que você deve dar é determinar se o radicand é uma potência perfeita do índice. Caso contrário, verifique o numerador e denominador para quaisquer fatores comuns e remova-os. Você pode encontrar uma fração na qual o numerador e o denominador são potências perfeitas do índice.

Exemplo ( PageIndex {8} )

Simplificar:

  1. ( sqrt { dfrac {45} {80}} )
  2. ( sqrt [3] { dfrac {16} {54}} )
  3. ( sqrt [4] { dfrac {5} {80}} )

Solução:

uma.

( sqrt { dfrac {45} {80}} )

Simplifique dentro do radical primeiro. Reescreva mostrando os fatores comuns do numerador e denominador.

( sqrt { dfrac {5 cdot 9} {5 cdot 16}} )

Simplifique a fração removendo fatores comuns.

( sqrt { dfrac {9} {16}} )

Simplificar. Nota ( left ( dfrac {3} {4} right) ^ {2} = dfrac {9} {16} ).

( dfrac {3} {4} )

b.

( sqrt [3] { dfrac {16} {54}} )

Simplifique dentro do radical primeiro. Reescreva mostrando os fatores comuns do numerador e denominador.

( sqrt [3] { dfrac {2 cdot 8} {2 cdot 27}} )

Simplifique a fração removendo fatores comuns.

( sqrt [3] { dfrac {8} {27}} )

Simplificar. Nota ( left ( dfrac {2} {3} right) ^ {3} = dfrac {8} {27} ).

( dfrac {2} {3} )

c.

( sqrt [4] { dfrac {5} {80}} )

Simplifique dentro do radical primeiro. Reescreva mostrando os fatores comuns do numerador e denominador.

( sqrt [4] { dfrac {5 cdot 1} {5 cdot 16}} )

Simplifique a fração removendo fatores comuns.

( sqrt [4] { dfrac {1} {16}} )

Simplificar. Nota ( left ( dfrac {1} {2} right) ^ {4} = dfrac {1} {16} ).

( dfrac {1} {2} )

Experimente ( PageIndex {15} )

Simplificar:

  1. ( sqrt { dfrac {75} {48}} )
  2. ( sqrt [3] { dfrac {54} {250}} )
  3. ( sqrt [4] { dfrac {32} {162}} )
Responder
  1. ( dfrac {5} {4} )
  2. ( dfrac {3} {5} )
  3. ( dfrac {2} {3} )

Experimente ( PageIndex {16} )

Simplificar:

  1. ( sqrt { dfrac {98} {162}} )
  2. ( sqrt [3] { dfrac {24} {375}} )
  3. ( sqrt [4] { dfrac {4} {324}} )
Responder
  1. ( dfrac {7} {9} )
  2. ( dfrac {2} {5} )
  3. ( dfrac {1} {3} )

No último exemplo, nosso primeiro passo foi simplificar a fração sob o radical removendo fatores comuns. No próximo exemplo, usaremos o Propriedade Quociente para simplificar sob o radical. Dividimos as bases semelhantes subtraindo seus expoentes,

( dfrac {a ^ {m}} {a ^ {n}} = a ^ {m-n}, quad a neq 0 )

Exemplo ( PageIndex {9} )

Simplificar:

  1. ( sqrt { dfrac {m ^ {6}} {m ^ {4}}} )
  2. ( sqrt [3] { dfrac {a ^ {8}} {a ^ {5}}} )
  3. ( sqrt [4] { dfrac {a ^ {10}} {a ^ {2}}} )

Solução:

uma.

( sqrt { dfrac {m ^ {6}} {m ^ {4}}} )

Simplifique a fração dentro do radical primeiro. Divida as bases semelhantes subtraindo os expoentes.

( sqrt {m ^ {2}} )

Simplificar.

(| m | )

b.

( sqrt [3] { dfrac {a ^ {8}} {a ^ {5}}} )

Use a propriedade quociente dos expoentes para simplificar a fração sob o radical primeiro.

( sqrt [3] {a ^ {3}} )

Simplificar.

(uma)

c.

( sqrt [4] { dfrac {a ^ {10}} {a ^ {2}}} )

Use a propriedade quociente dos expoentes para simplificar a fração sob o radical primeiro.

( sqrt [4] {a ^ {8}} )

Reescreva o radicand usando fator de quarta potência perfeito.

( sqrt [4] { left (a ^ {2} right) ^ {4}} )

Simplificar.

(a ^ {2} )

Experimente ( PageIndex {17} )

Simplificar:

  1. ( sqrt { dfrac {a ^ {8}} {a ^ {6}}} )
  2. ( sqrt [4] { dfrac {x ^ {7}} {x ^ {3}}} )
  3. ( sqrt [4] { dfrac {y ^ {17}} {y ^ {5}}} )
Responder
  1. (| a | )
  2. (| x | )
  3. (y ^ {3} )

Experimente ( PageIndex {18} )

Simplificar:

  1. ( sqrt { dfrac {x ^ {14}} {x ^ {10}}} )
  2. ( sqrt [3] { dfrac {m ^ {13}} {m ^ {7}}} )
  3. ( sqrt [5] { dfrac {n ^ {12}} {n ^ {2}}} )
Responder
  1. (x ^ {2} )
  2. (m ^ {2} )
  3. (n ^ {2} )

Lembre o Quociente para uma propriedade de poder? Ele disse que poderíamos elevar uma fração a uma potência elevando o numerador e o denominador à potência separadamente.

( left ( dfrac {a} {b} right) ^ {m} = dfrac {a ^ {m}} {b ^ {m}}, b neq 0 )

Definição ( PageIndex {3} )

Propriedade Quociente de Expressões Radicais

Se ( sqrt [n] {a} ) e ( sqrt [n] {b} ) forem números reais, (b neq 0 ), e para qualquer inteiro (n geq 2 ) então,

( sqrt [n] { dfrac {a} {b}} = dfrac { sqrt [n] {a}} { sqrt [n] {b}} text {e} dfrac { sqrt [n] {a}} { sqrt [n] {b}} = sqrt [n] { dfrac {a} {b}} )

Exemplo ( PageIndex {10} ) como simplificar o quociente de expressões radicais

Simplifique: ( sqrt { dfrac {27 m ^ {3}} {196}} )

Solução:

Passo 1: Simplifique a fração no radical, se possível.

( dfrac {27 m ^ {3}} {196} ) não pode ser simplificado.

( sqrt { dfrac {27 m ^ {3}} {196}} )

Passo 2: Use a propriedade quociente para reescrever o radical como o quociente de dois radicais.

Reescrevemos ( sqrt { dfrac {27 m ^ {3}} {196}} ) como o quociente de ( sqrt {27 m ^ {3}} ) e ( sqrt {196} )

( dfrac { sqrt {27 m ^ {3}}} { sqrt {196}} )

etapa 3: Simplifique os radicais no numerador e no denominador.

(9m ^ {2} ) e (196 ) são quadrados perfeitos.

( dfrac { sqrt {9 m ^ {2}} cdot sqrt {3 m}} { sqrt {196}} )

( dfrac {3 m sqrt {3 m}} {14} )

Experimente ( PageIndex {19} )

Simplifique: ( sqrt { dfrac {24 p ^ {3}} {49}} ).

Responder

( dfrac {2 | p | sqrt {6 p}} {7} )

Experimente ( PageIndex {20} )

Simplifique: ( sqrt { dfrac {48 x ^ {5}} {100}} ).

Responder

( dfrac {2 x ^ {2} sqrt {3 x}} {5} )

Simplifique uma raiz quadrada usando a propriedade quociente

  1. Simplifique a fração no Radicand, se possível.
  2. Use a propriedade quociente para reescrever o radical como o quociente de dois radicais.
  3. Simplifique os radicais no numerador e no denominador.

Exemplo ( PageIndex {11} )

Simplificar:

  1. ( sqrt { dfrac {45 x ^ {5}} {y ^ {4}}} )
  2. ( sqrt [3] { dfrac {24 x ^ {7}} {y ^ {3}}} )
  3. ( sqrt [4] { dfrac {48 x ^ {10}} {y ^ {8}}} )

Solução:

uma.

( sqrt { dfrac {45 x ^ {5}} {y ^ {4}}} )

Não podemos simplificar a fração no Radicand. Reescreva usando a propriedade do quociente.

( dfrac { sqrt {45 x ^ {5}}} { sqrt {y ^ {4}}} )

Simplifique os radicais no numerador e no denominador.

( dfrac { sqrt {9 x ^ {4}} cdot sqrt {5 x}} {y ^ {2}} )

Simplificar.

( dfrac {3 x ^ {2} sqrt {5 x}} {y ^ {2}} )

b.

( sqrt [3] { dfrac {24 x ^ {7}} {y ^ {3}}} )

A fração no Radicand não pode ser simplificada. Use a propriedade quociente para escrever como dois radicais.

( dfrac { sqrt [3] {24 x ^ {7}}} { sqrt [3] {y ^ {3}}} )

Reescreva cada radicand como um produto usando fatores de cubo perfeitos.

( dfrac { sqrt [3] {8 x ^ {6} cdot 3 x}} { sqrt [3] {y ^ {3}}} )

Reescreva o numerador como o produto de dois radicais.

( dfrac { sqrt [3] { left (2 x ^ {2} right) ^ {3}} cdot sqrt [3] {3 x}} { sqrt [3] {y ^ { 3}}} )

Simplificar.

( dfrac {2 x ^ {2} sqrt [3] {3 x}} {y} )

c.

( sqrt [4] { dfrac {48 x ^ {10}} {y ^ {8}}} )

A fração no Radicand não pode ser simplificada.

( dfrac { sqrt [4] {48 x ^ {10}}} { sqrt [4] {y ^ {8}}} )

Use a propriedade quociente para escrever como dois radicais. Reescreva cada radicand como um produto usando quatro fatores de potência perfeitos.

( dfrac { sqrt [4] {16 x ^ {8} cdot 3 x ^ {2}}} { sqrt [4] {y ^ {8}}} )

Reescreva o numerador como o produto de dois radicais.

( dfrac { sqrt [4] { left (2 x ^ {2} right) ^ {4}} cdot sqrt [4] {3 x ^ {2}}} { sqrt [4] { left (y ^ {2} right) ^ {4}}} )

Simplificar.

( dfrac {2 x ^ {2} sqrt [4] {3 x ^ {2}}} {y ^ {2}} )

Experimente ( PageIndex {21} )

Simplificar:

  1. ( sqrt { dfrac {80 m ^ {3}} {n ^ {6}}} )
  2. ( sqrt [3] { dfrac {108 c ^ {10}} {d ^ {6}}} )
  3. ( sqrt [4] { dfrac {80 x ^ {10}} {y ^ {4}}} )
Responder
  1. ( dfrac {4 | m | sqrt {5 m}} { left | n ^ {3} right |} )
  2. ( dfrac {3 c ^ {3} sqrt [3] {4 c}} {d ^ {2}} )
  3. ( dfrac {2 x ^ {2} sqrt [4] {5 x ^ {2}}} {| y |} )

Experimente ( PageIndex {22} )

Simplificar:

  1. ( sqrt { dfrac {54 u ^ {7}} {v ^ {8}}} )
  2. ( sqrt [3] { dfrac {40 r ^ {3}} {s ^ {6}}} )
  3. ( sqrt [4] { dfrac {162 m ^ {14}} {n ^ {12}}} )
Responder
  1. ( dfrac {3 u ^ {3} sqrt {6 u}} {v ^ {4}} )
  2. ( dfrac {2 r sqrt [3] {5}} {s ^ {2}} )
  3. ( dfrac {3 left | m ^ {3} right | sqrt [4] {2 m ^ {2}}} { left | n ^ {3} right |} )

Certifique-se de simplificar a fração no radical primeiro, se possível.

Exemplo ( PageIndex {12} )

Simplificar:

  1. ( sqrt { dfrac {18 p ^ {5} q ^ {7}} {32 p q ^ {2}}} )
  2. ( sqrt [3] { dfrac {16 x ^ {5} y ^ {7}} {54 x ^ {2} y ^ {2}}} )
  3. ( sqrt [4] { dfrac {5 a ^ {8} b ^ {6}} {80 a ^ {3} b ^ {2}}} )

Solução:

uma.

( sqrt { dfrac {18 p ^ {5} q ^ {7}} {32 p q ^ {2}}} )

Simplifique a fração no Radicand, se possível.

( sqrt { dfrac {9 p ^ {4} q ^ {5}} {16}} )

Reescreva usando a propriedade do quociente.

( dfrac { sqrt {9 p ^ {4} q ^ {5}}} { sqrt {16}} )

Simplifique os radicais no numerador e no denominador.

( dfrac { sqrt {9 p ^ {4} q ^ {4}} cdot sqrt {q}} {4} )

Simplificar.

( dfrac {3 p ^ {2} q ^ {2} sqrt {q}} {4} )

b.

( sqrt [3] { dfrac {16 x ^ {5} y ^ {7}} {54 x ^ {2} y ^ {2}}} )

Simplifique a fração no Radicand, se possível.

( sqrt [3] { dfrac {8 x ^ {3} y ^ {5}} {27}} )

Reescreva usando a propriedade do quociente.

( dfrac { sqrt [3] {8 x ^ {3} y ^ {5}}} { sqrt [3] {27}} )

Simplifique os radicais no numerador e no denominador.

( dfrac { sqrt [3] {8 x ^ {3} y ^ {3}} cdot sqrt [3] {y ^ {2}}} { sqrt [3] {27}} )

Simplificar.

( dfrac {2 x y sqrt [3] {y ^ {2}}} {3} )

c.

( sqrt [4] { dfrac {5 a ^ {8} b ^ {6}} {80 a ^ {3} b ^ {2}}} )

Simplifique a fração no Radicand, se possível.

( sqrt [4] { dfrac {a ^ {5} b ^ {4}} {16}} )

Reescreva usando a propriedade do quociente.

( dfrac { sqrt [4] {a ^ {5} b ^ {4}}} { sqrt [4] {16}} )

Simplifique os radicais no numerador e no denominador.

( dfrac { sqrt [4] {a ^ {4} b ^ {4}} cdot sqrt [4] {a}} { sqrt [4] {16}} )

Simplificar.

( dfrac {| a b | sqrt [4] {a}} {2} )

Experimente ( PageIndex {23} )

Simplificar:

  1. ( sqrt { dfrac {50 x ^ {5} y ^ {3}} {72 x ^ {4} y}} )
  2. ( sqrt [3] { dfrac {16 x ^ {5} y ^ {7}} {54 x ^ {2} y ^ {2}}} )
  3. ( sqrt [4] { dfrac {5 a ^ {8} b ^ {6}} {80 a ^ {3} b ^ {2}}} )
Responder
  1. ( dfrac {5 | y | sqrt {x}} {6} )
  2. ( dfrac {2 x y sqrt [3] {y ^ {2}}} {3} )
  3. ( dfrac {| a b | sqrt [4] {a}} {2} )

Experimente ( PageIndex {24} )

Simplificar:

  1. ( sqrt { dfrac {48 m ^ {7} n ^ {2}} {100 m ^ {5} n ^ {8}}} )
  2. ( sqrt [3] { dfrac {54 x ^ {7} y ​​^ {5}} {250 x ^ {2} y ^ {2}}} )
  3. ( sqrt [4] { dfrac {32 a ^ {9} b ^ {7}} {162 a ^ {3} b ^ {3}}} )
Responder
  1. ( dfrac {2 | m | sqrt {3}} {5 left | n ^ {3} right |} )
  2. ( dfrac {3 x y sqrt [3] {x ^ {2}}} {5} )
  3. ( dfrac {2 | a b | sqrt [4] {a ^ {2}}} {3} )

No próximo exemplo, não há nada para simplificar nos denominadores. Uma vez que o índice nos radicais é o mesmo, podemos usar o Propriedade Quociente novamente, para combiná-los em um radical. Em seguida, veremos se podemos simplificar a expressão.

Exemplo ( PageIndex {13} )

Simplificar:

  1. ( dfrac { sqrt {48 a ^ {7}}} { sqrt {3 a}} )
  2. ( dfrac { sqrt [3] {- 108}} { sqrt [3] {2}} )
  3. ( dfrac { sqrt [4] {96 x ^ {7}}} { sqrt [4] {3 x ^ {2}}} )

Solução:

uma.

( dfrac { sqrt {48 a ^ {7}}} { sqrt {3 a}} )

O denominador não pode ser simplificado, então use a propriedade Quociente para escrever como um radical.

( sqrt { dfrac {48 a ^ {7}} {3 a}} )

Simplifique a fração sob o radical.

( sqrt {16 a ^ {6}} )

Simplificar.

(4 left | a ^ {3} right | )

b.

( dfrac { sqrt [3] {- 108}} { sqrt [3] {2}} )

O denominador não pode ser simplificado, então use a propriedade Quociente para escrever como um radical.

( sqrt [3] { dfrac {-108} {2}} )

Simplifique a fração sob o radical.

( sqrt [3] {- 54} )

Reescreva o radicand como um produto usando fatores de cubo perfeitos.

( sqrt [3] {(- 3) ^ {3} cdot 2} )

Reescreva o radical como o produto de dois radicais.

( sqrt [3] {(- 3) ^ {3}} cdot sqrt [3] {2} )

Simplificar.

c.

( dfrac { sqrt [4] {96 x ^ {7}}} { sqrt [4] {3 x ^ {2}}} )

O denominador não pode ser simplificado, então use a propriedade Quociente para escrever como um radical.

( sqrt [4] { dfrac {96 x ^ {7}} {3 x ^ {2}}} )

Simplifique a fração sob o radical.

( sqrt [4] {32 x ^ {5}} )

Reescreva o radicand como um produto usando quatro fatores de potência perfeitos.

( sqrt [4] {16 x ^ {4}} cdot sqrt [4] {2 x} )

Reescreva o radical como o produto de dois radicais.

( sqrt [4] {(2 x) ^ {4}} cdot sqrt [4] {2 x} )

Simplificar.

(2 | x | sqrt [4] {2 x} )

Experimente ( PageIndex {25} )

Simplificar:

  1. ( dfrac { sqrt {98 z ^ {5}}} { sqrt {2 z}} )
  2. ( dfrac { sqrt [3] {- 500}} { sqrt [3] {2}} )
  3. ( dfrac { sqrt [4] {486 m ^ {11}}} { sqrt [4] {3 m ^ {5}}} )
Responder
  1. (7z ^ {2} )
  2. (- 5 sqrt [3] {2} )
  3. (3 | m | sqrt [4] {2 m ^ {2}} )

Experimente ( PageIndex {26} )

Simplificar:

  1. ( dfrac { sqrt {128 m ^ {9}}} { sqrt {2 m}} )
  2. ( dfrac { sqrt [3] {- 192}} { sqrt [3] {3}} )
  3. ( dfrac { sqrt [4] {324 n ^ {7}}} { sqrt [4] {2 n ^ {3}}} )
Responder
  1. (8m ^ {4} )
  2. (-4)
  3. (3 | n | sqrt [4] {2} )

Acesse esses recursos online para obter instruções adicionais e praticar simplificando as expressões radicais.

  • Simplificando a raiz quadrada e a raiz do cubo com variáveis
  • Expresse um radical em formas quadradas simplificadas e raízes de cubo com variáveis ​​e expoentes
  • Simplificando as raízes do cubo

Conceitos chave

  • Expressão Radical Simplificada
    • Para números reais (a, m ) e (n≥2 )
      ( sqrt [n] {a} ) é considerado simplificado se (a ) não tem fatores de (m ^ {n} )
  • Propriedade do produto de (n ^ {th} ) Roots
    • Para quaisquer números reais, ( sqrt [n] {a} ) e ( sqrt [n] {b} ), e para qualquer inteiro (n≥2 )
      ( sqrt [n] {ab} = sqrt [n] {a} cdot sqrt [n] {b} ) e ( sqrt [n] {a} cdot sqrt [n] { b} = sqrt [n] {ab} )
  • Como simplificar uma expressão radical usando a propriedade do produto
    1. Encontre o maior fator no radical e que seja uma potência perfeita do índice.
      Reescreva o radicando como um produto de dois fatores, usando esse fator.
    2. Use a regra do produto para reescrever o radical como o produto de dois radicais.
    3. Simplifique a raiz do poder perfeito.
  • Propriedade Quociente de Expressões Radicais
    • Se ( sqrt [n] {a} ) e ( sqrt [n] {b} ) são números reais, (b ≠ 0 ), e para qualquer inteiro (n≥2 ) então , ( sqrt [n] { dfrac {a} {b}} = dfrac { sqrt [n] {a}} { sqrt [n] {b}} ) e ( dfrac { sqrt [n] {a}} { sqrt [n] {b}} = sqrt [n] { dfrac {a} {b}} )
  • Como simplificar uma expressão radical usando a propriedade do quociente.
    1. Simplifique a fração no Radicand, se possível.
    2. Use a propriedade quociente para reescrever o radical como o quociente de dois radicais.
    3. Simplifique os radicais no numerador e no denominador.

8.2 Simplifique Expressões Radicais

Simplificaremos as expressões radicais de maneira semelhante à maneira como simplificamos as frações. Uma fração é simplificada se não houver fatores comuns no numerador e denominador. Para simplificar uma fração, procuramos quaisquer fatores comuns no numerador e denominador.

Expressão Radical Simplificada

Para números reais uma e m, e n ≥ 2, n ≥ 2,

Para simplificar as expressões radicais, também usaremos algumas propriedades das raízes. As propriedades que usaremos para simplificar as expressões radicais são semelhantes às propriedades dos expoentes. Sabemos que (a b) n = a n b n. (a b) n = a n b n. O correspondente da Propriedade do Produto das Raízes diz que a b n = a n · b n. a b n = a n · b n.

Propriedade do produto de n th Roots

Usamos a propriedade do produto das raízes para remover todos os fatores do quadrado perfeito de uma raiz quadrada.

Exemplo 8.13

Simplifique o Square Roots usando a propriedade de produto do Roots

Solução

Tenha o cuidado de escrever seu inteiro para que não seja confundido com o índice. A expressão 7 2 7 2 é muito diferente de 2 7. 2 7.

Como

Simplifique uma expressão radical usando a propriedade do produto.

  1. Etapa 1. Encontre o maior fator no radical e que seja uma potência perfeita do índice. Reescreva o radicando como um produto de dois fatores, usando esse fator.
  2. Etapa 2. Use a regra do produto para reescrever o radical como o produto de dois radicais.
  3. Etapa 3. Simplifique a raiz do poder perfeito.

Aplicaremos esse método no próximo exemplo. Pode ser útil ter uma mesa com quadrados perfeitos, cubos e quartas potências.

Exemplo 8.14

Solução

O próximo exemplo é muito parecido com os exemplos anteriores, mas com variáveis. Não se esqueça de usar os sinais de valor absoluto ao obter uma raiz par de uma expressão com uma variável no radical.

Exemplo 8.15

Solução

Seguimos o mesmo procedimento quando há um coeficiente no radicando. No próximo exemplo, tanto a constante quanto a variável têm fatores quadrados perfeitos.

Exemplo 8.16

Solução

No próximo exemplo, continuamos a usar os mesmos métodos, embora haja mais de uma variável no radical.

Exemplo 8.17

Solução

Exemplo 8.18

Solução

Vimos como usar a ordem das operações para simplificar algumas expressões com radicais. No próximo exemplo, temos a soma de um inteiro e uma raiz quadrada. Simplificamos a raiz quadrada, mas não podemos adicionar a expressão resultante ao inteiro, pois um termo contém um radical e o outro não. O próximo exemplo também inclui uma fração com um radical no numerador. Lembre-se de que, para simplificar uma fração, você precisa de um fator comum no numerador e denominador.

Exemplo 8.19

Solução

Os termos não podem ser adicionados porque um tem um radical e o outro não. Tentar adicionar um inteiro e um radical é como tentar adicionar um inteiro e uma variável. Eles não são como termos!

Use a propriedade quociente para simplificar expressões radicais

Sempre que você tiver que simplificar uma expressão radical, o primeiro passo que você deve dar é determinar se o radicand é uma potência perfeita do índice. Caso contrário, verifique o numerador e denominador para quaisquer fatores comuns e remova-os. Você pode encontrar uma fração em que o numerador e o denominador são potências perfeitas do índice.

Exemplo 8.20

Solução

No último exemplo, nosso primeiro passo foi simplificar a fração sob o radical removendo fatores comuns. No próximo exemplo, usaremos a propriedade do quociente para simplificar sob o radical. Dividimos as bases semelhantes subtraindo seus expoentes,

Exemplo 8.21

Solução

Lembra do quociente para uma propriedade de poder? Ele disse que poderíamos elevar uma fração a uma potência elevando o numerador e o denominador à potência separadamente.

Podemos usar uma propriedade semelhante para simplificar a raiz de uma fração. Depois de remover todos os fatores comuns do numerador e denominador, se a fração não for uma potência perfeita do índice, simplificamos o numerador e o denominador separadamente.

Propriedade Quociente de Expressões Radicais

Exemplo 8.22

Como Simplificar o Quociente de Expressões Radicais

Solução

Como

Simplifique uma raiz quadrada usando a propriedade Quociente.

  1. Etapa 1. Simplifique a fração no radical radicular, se possível.
  2. Etapa 2. Use a propriedade do quociente para reescrever o radical como o quociente de dois radicais.
  3. Etapa 3. Simplifique os radicais no numerador e no denominador.

Exemplo 8.23

Solução

Certifique-se de simplificar a fração no radical primeiro, se possível.

Exemplo 8.24

Solução

No próximo exemplo, não há nada para simplificar nos denominadores. Como o índice nos radicais é o mesmo, podemos usar a propriedade do quociente novamente, para combiná-los em um radical. Em seguida, veremos se podemos simplificar a expressão.

Exemplo 8.25

Solução

Meios de comunicação

Acesse esses recursos online para obter instruções adicionais e praticar simplificando as expressões radicais.

Seção 8.2 Exercícios

A prática leva à perfeição

Use a propriedade do produto para simplificar expressões radicais

Nos exercícios a seguir, use a propriedade do produto para simplificar as expressões radicais.

Nos exercícios a seguir, simplifique o uso de sinais de valor absoluto conforme necessário.

Use a propriedade quociente para simplificar expressões radicais

Nos exercícios a seguir, use a propriedade Quociente para simplificar as raízes quadradas.

Exercícios de escrita

Explique como você sabe que x 10 5 = x 2. x 10 5 = x 2.

Auto-verificação

Ⓐ Depois de concluir os exercícios, use esta lista de verificação para avaliar seu domínio dos objetivos desta seção.

Ⓑ Depois de revisar esta lista de verificação, o que você fará para se tornar confiante para todos os objetivos?

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    Se você estiver redistribuindo todo ou parte deste livro em formato impresso, deverá incluir em cada página física a seguinte atribuição:

  • Use as informações abaixo para gerar uma citação. Recomendamos o uso de uma ferramenta de citação como esta.
    • Autores: Lynn Marecek, Andrea Honeycutt Mathis
    • Editor / site: OpenStax
    • Título do livro: Álgebra intermediária 2e
    • Data de publicação: 6 de maio de 2020
    • Local: Houston, Texas
    • URL do livro: https://openstax.org/books/intermediate-algebra-2e/pages/1-introduction
    • URL da seção: https://openstax.org/books/intermediate-algebra-2e/pages/8-2-simplify-radical-expressions

    © 21 de janeiro de 2021 OpenStax. O conteúdo do livro didático produzido pela OpenStax é licenciado sob uma licença Creative Commons Attribution License 4.0. O nome OpenStax, logotipo OpenStax, capas de livro OpenStax, nome OpenStax CNX e logotipo OpenStax CNX não estão sujeitos à licença Creative Commons e não podem ser reproduzidos sem o consentimento prévio e expresso por escrito da Rice University.


    A raiz quadrada de um número inteiro positivo que não é um quadrado perfeito é sempre um número irracional. A representação decimal de tal número perde precisão quando é arredondado e é demorado para calcular sem o auxílio de uma calculadora. Em vez de usar representação decimal, a maneira padrão de escrever tal número é usar a forma radical simplificada, que envolve escrever o radical sem quadrados perfeitos como fatores do número sob o símbolo de raiz.

    O processo para colocar uma raiz quadrada na forma radical simplificada envolve encontrar fatores quadrados perfeitos e, em seguida, aplicar a identidade a b = a × b sqrt= sqrt times sqrt a b

    , O que nos permite obter a raiz dos fatores do quadrado perfeito.

    Da mesma forma, raízes de grau superior (raízes cúbicas, raízes quartas etc.) são simplificadas quando não têm fatores sob o radical que sejam potências perfeitas do mesmo grau que o radical.


    5.2: Simplifique Expressões Radicais - Matemática

    Como você simplifica uma expressão de variável?
    Como você usa a propriedade distributiva para simplificar expressões?


    UMA prazo é uma constante ou variável em uma expressão. Um termo variável é um produto de números e variáveis, como 2x ou 3y. Os termos variáveis ​​têm um coeficiente numérico. A parte do número de um termo variável é o coeficiente .

    Exemplo: No termo variável 2x,
    2 é o coeficiente
    x é a variável
    e 2x significa "2 vezes x"

    Caso especial: no termo variável x, o coeficiente é 1 (porque "x" é o mesmo que "1x")

    O coeficiente de 6x é 6, o coeficiente de -4y 2 é -4 e o coeficiente de x é 1.

    Os termos são separados por adição (+) ou subtração (-).
    Na expressão 12 + 3x + 2x 2, os 3 termos são 12, 3x e 2x 2.
    Na expressão 5x - 12, os 2 termos são 5x e -12.


    Termos semelhantes são termos que têm o mesmo variáveis (e os mesmos expoentes para essas variáveis.)
    O coeficientes não importa, apenas a (s) variável (es).

    Estes são termos semelhantes: 2x e 3x, 5 e 7, -5y e 13y, 5k e -k, -7 e 0, 5x 3 e -19x 3

    Estes são NÃO like terms: 2x and 6, 4x and 5y, 3y and 5k , 4m 3 and 4m 5


    Combining Like Terms
    One part of simplifying an expression is combining like terms. This is done by adding or subtracting the coefficients of like terms. ONLY like terms can be combined.

    Example: 2x + 3x + 7 can be simplified and written as 5x + 7 because 2x+3x = (2+3)x = 5x. 5x and 7 can not be combined because they are NOT like terms.

    Example: 5m + 6p – 7 + 4p – 2m – 8 can be simplified and written as 3m +10p – 15 because
    5m and -2m is 3m
    6p and 4p is 10p
    -7 and -8 is -15


    Some expressions contain parentheses that must be removed before combining like terms.

    The Distributive Property: a(b+c) = ab + ac

    The distributive property allows you to remove parentheses from around an algebraic expression by multiplying every term inside the parentheses by the number outside.

    Exemplos:
    2(3x+5) can be rewritten as 6x+10 because 2•3x=6x and 2•5=10.
    3(4x-6) can be rewritten as 12x-18 because 3•4x=12x and 3•-6=-18.
    -(4m+5) can be rewritten as -4m-5 because -1•4m=-4m and -1•5=-5. -(4m+5) is the same as -1(4m+5)

    Para simplificaran expression means to write the expression with 1) NO parentheses and 2) NO like terms!
    1st: Get rid of any parentheses using the distributive property.
    2nd: Combine any like terms.

    Exemplo: Simplify 4(3x+2)+5x-9


    Questions (with solutions given below)

    DO NOT use the calculator to answer the follwoing questions

    Part 1 - Given the following:
    ( 2^6 = 64 ) , ( 3^5 = 243 ) , ( 5^3 = 125 ), ( 0^7 = 0 ), ( 1^ <20>= 1 ), ( 2^9 = 512 ), ( 5^5 = 3125 ), ( 10^5 = 100000 ) , ( 0.1^3 = 0.001 )
    find the values of the following:
    ( sqrt <512>) , ( sqrt[5] <3125>) , ( sqrt[5] <243>) , ( sqrt[6] <64>) , ( sqrt[3] <0.001>) , ( sqrt[20] <1>) , ( sqrt[5] <100000>) , ( sqrt[7] <0>) , ( sqrt[3] <125>)

    Part 2 - Given the following:
    ( sqrt <64>= 8 ) , ( sqrt[5] <7776>= 6) , ( sqrt[3] <1000>= 10 ) , ( sqrt[7] <128>= 2) , ( sqrt[7] <0.0000001>= 0.1) , ( sqrt <10000>= 100) , ( sqrt[4] <20736>= 12) , ( sqrt[9] <512>= 2)
    find the values of the following:
    ( 2^7 ) , ( 0.1^7 ) , ( 6^5 ) , ( 8^2 ) , ( 2^9 ) , ( 12^4 ) , ( 10^3 ) ( 100^2 )

    Part 3 - Simplify the following:
    ( sqrt <5^2>) , ( (sqrt[5]<3>)^5) , ( sqrt[3] <10^3>) , ( (sqrt[7]<128>)^7 )


    Simplifying Radical Expressions – Example 1:

    Find the square root of (sqrt<144x^2 >).

    Find the factor of the expression (144x^2: 144=12×12) and (x^2=x×x), now use radical rule: (sqrt[n]=a), Then: (sqrt<12^2 >=12) and (sqrt =x) Finally: (sqrt<144x^2>=sqrt<12^2>×sqrt=12×x=12x)

    Simplifying Radical Expressions – Example 2:

    Write this radical in exponential form. (sqrt[3])

    To write a radical in exponential form, use this rule: (sqrt[n]=x^>) Then: (sqrt[3]=x^<3>>)

    Simplifying Radical Expressions – Example 3:

    First factor the expression (8x^3: 8x^3=2^3×x×x ×x), we need to find perfect squares: (8x^3=2^2×2×x^2×x=2^2×x^2×2x), Then: (sqrt <8x^3 >=sqrt<2^2 ×x^2>×sqrt<2x>)
    Now use radical rule: (sqrt[n]=a), Then: (sqrt<2^2 ×x^2 >×sqrt<(2x)>=2x×sqrt<2x>=2xsqrt<2x>)


    Multiplication and Division of Radical Expressions

    Note&emsp&emsp&emsp&emspThe final radical must be in standard form.

    &emsp&emspTo multiply one radical by a radical expression of more than one term, we use the distributive law: a(b+c)=ab+ac .

    EXAMPLE&emsp&emspMultiply 3root(2)(5root(6)-2root(10)) and simplify.

    Solution&emsp&emsp 3root(2)(5root(6)-2root(10))

    EXAMPLE&emsp&emspMultiply 2root(3xy)(4root(x)-3root(y)) and simplify.

    Solution&emsp&emsp 2root(3xy)(4root(x)-3root(y))

    &emsp&emspTo multiply two radical expressions, each with more than one term, follow the same arrangement as in multiplying polynomials.

    EXAMPLE&emsp&emspMultiply (2root(3)-4root(2)) by (3root(3)+root(2)) and simplify.

    &emsp&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp

    EXAMPLE&emsp&emspMultiply root(3x)-root(2y) by 5root(3x)+2root(2y) and simplify.

    &emsp&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp

    EXAMPLE&emsp&emspExpand (root(x+3)+root(x-2))^2 and simplify.

    &emsp&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp

    Let&rsquos see how our math solver simplifies this and similar problems. Click on "Solve Similar" button to see more examples.

    &emsp&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp (root(a)+root(b))^2=(root(a)+root(b))(root(a)+root(b))=a+2root(ab)+b &emsp&emspWhen the radicals have different indices, we apply the rule root(n,a^m)=root(nk,a^mk) to make the indices the same as their LCM and then apply root(n,a)root(n,b)=root(n,ab) .

    EXAMPLES&emsp&emsp1. root(3)root(3,3^2) = root(6,3^3)root(6,3^7)=root(6,3^7)=3root(6,3)

    10.5&emsp&emspDivision of Radical Expressions

    THEOREM&emsp&emspWhen a,b &isin R,a>0,b>0 , and n &isin N , then root(n,a)/root(n,b)=root(n,a/b) .

    &emsp&emspRadical expressions can be divided according to the above theorem only when the radical indices are the same. For different radical indices, the preliminary step to make them the same must be carried out.

    EXAMPLES&emsp&emsp1. root(15)/root(5)=root(15/5)=root(3)

    &emsp&emsp Sometimes the numerator of a fractional radicand is not an exact multiple of the denominator, for example root(3/2) To simplify such a radical, multiply both numerator and denominator of the radicand by the smallest number that will make the denominator a perfect root.

    Note&emsp&emsp&emsp&emspThe denominator is a perfect root if the exponent of each factor is an integral multiple of the radical index.

    &emsp&emspTo simplify root(3/2) multiply the numerator and denominator of the radicand by 2 .

    &emsp&emspIt is easier to manipulate 1/2 root(6) than root(3/2) .

    Remark&emsp&emspWhen the radical expression is of the form a/(b&radicc) , multiply the numerator and the denominator by root(c) .

    EXAMPLE&emsp&emspDivide root(15) by root(21) and put in standard form.

    Solution&emsp&emsp root(15)/root(21)=root(15/21)=root(5/7)=root((5*7)/(7*7))=1/7root(35)

    EXAMPLE&emsp&emspDivide root(3xy) by root(4a^3b) and put in standard form.

    Solution&emsp&emsp root(3xy)/root(4a^3b)=root((3xy)/(2^2a^3b))=root((3xy)/(2^2a^4b)*(ab)/(ab))

    EXAMPLE&emsp&emspPut root((3a^2b^3)/(20xy^5)) in standard form.

    Solution&emsp&emsp root((3a^2b^3)/(20xy^5)) = root((3a^2b^3)/(2^2*5xy^5)*(5xy)/(5xy)

    EXAMPLE&emsp&emspDivide root(3,3) by root(3,20) and put in standard form.

    Solution&emsp&emsp root(3,3)/root(3,20)=root(3,3/(2^2*5))=root(3,3/(2^2*5)*(2*5^2)/(2*5^2)

    EXAMPLE&emsp&emspPut root(3,(81x^6y^7)/(8a^8b^10) in standard form.

    Solution&emsp&emsp root(3,(81x^6y^7)/(8a^8b^10) = root(3,(3^4x^6y^7)/(2^3a^8b^10))=root(3,(3^4x^6y^7)/(2^3a^8b^10)*(ab^2)/(ab^2))

    &emsp&emspThe definition of addition of fractions, (a+b)/c=a/c+b/c , is used to divide a radical expression with more than one term by a one-term radical.

    EXAMPLE&emsp&emspDivide and simplify (3root(6)-6root(10))/(3root(2)) .

    Solution&emsp&emsp (3root(6)-6root(10))/(3root(2))

    EXAMPLE&emsp&emspDivide and simplify (root(7x)-root(2y))/root(14xy) .

    Solution&emsp&emsp (root(7x)-root(2y))/root(14xy)

    &emsp&emspWhen we multiply the radical expressions (root(a)+root(b)) and (root(a)-root(b)) , we have get the rational expression (a-b) . Each of the expressions (root(a)+root(b)) and (root(a)-root(b)) is called a rationalizing factor of other.

    EXAMPLES&emsp&emsp1. root(2)-root(3) is a rationalizing factor of root(2)+root(3) .

    &emsp&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp 2. 2+3root(2) is a rationalizing factor of 2-3root(2) .

    &emsp&emspTo facilitate the manipulation with a radical expression such as (root(2)+root(3))/(2root(2)+root(3)) , we change the fraction to an equivalent one with a rational denominator. This can be accomplished by multiplying both numerator and denominator by the rationalizing factor of the denominator, 2root(2)-root(3) .

    &emsp&emspThis operation is called rationalizing the denominator

    EXAMPLE&emsp&emspRationalize the denominator of root(2)/(2-root(3)) .

    Solution&emsp&emsp root(2)/(2-root(3))

    EXAMPLE&emsp&emspRationalize the denominator of (root(2)+root(3))/(2root(2)+root(3)) .

    Solution&emsp&emsp (root(2)+root(3))/(2root(2)+root(3))

    Let&rsquos see how our math solver simplifies this and similar problems. Click on "Solve Similar" button to see more examples.


    Add Radicals

    Adding radicals is very simple action. There is only one thing you have to worry about, which is a very standard thing in math. You can’t add radicals that have different index or radicand. The only thing you can do is match the radicals with the same index and radicands and add them together.

    Summation is done in a very natural way so $sqrt[3] <2>+ sqrt[3] <2>= 2sqrt[3]<2>$

    But summations like $sqrt[3] <2>+ sqrt[4]<2725>$ can’t be done, and you simply leave it just the way it is.


    Simplify the following radical expression 

    First we have to split the given numbers inside the radical as much as possible.

    Here we have to keep √30 as it is.

    Simplify the following radical expression 

    First we have to split the given numbers inside the radical as much as possible

    =  √(3 x 3 x 3) + √(5 x 3 x 7) +   √(3 x 3 x 3 x 2 x 2) - √(5 x 5 x 3) 

    Simplify the following radical expression 

    First we have to split the given numbers inside the radical as much as possible.

    =  √(3 x 3 x 5) + √(2 x 2 x 5) +  √(5 x 2 x 2 x 2 x 2) - √(5 x 2 x 2 x 2) 

    Simplify the following radical expression 

    First we have to split the given numbers inside the radical as much as possible

     =  3 √5 + 2 √(5 x 19) + 3 √(3 x 3 x 13) - √(3 x 2 x 13)

    Simplify the following radical expression

    First we have to split the given numbers inside the radical as much as possible.

      =  3 √(2 x 2 x 2 x 2 x 2) - 2 √(2 x 2 x 2) + √(5 x 5 x 2) 

    Simplify the following radical expression

    First we have to split the given numbers inside the radical as much as possible.

      =  2√(2 x 2 x 3) - 3√(3 x 3 x 3) -  √(3 x 3 x 3 x 3 x 3) 

    Simplify the following radical expression

    First we have to split the given numbers inside the radical as much as possible.

    = √(2 x 3 x 3 x 3)-√(5 x 5 x 5 x 5 x 2 x 2)- √(3 x 2 x 2 x 2)

      =  3 √(3 x 2) - (5 x 5 x 2) - (2 x 2) √(2 x 3)

    Simplify the following radical expression

      =  √(5 x 3 x 3) - √(5 x 5) -  √(5 x 2 x 2 x 2 x 2)

    Simplify the following radical expression

    First we have to split the given numbers inside the radical as much as possible.

      =  5 √95  -  2 √(2 x 5 x 5) - 3 √(3 x 3 x 2 x 2 x 5) 

      =  5 √95 - (2 x 5) √2 - (3 x 2 x 3 )√5

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    Simplifying Radicals Expressions with Imperfect Square Radicands

    Imperfect squares are the opposite of perfect squares. As radicands, imperfect squares don’t have an integer as its square root. Instead, the square root would be a number which decimal part would continue on endlessly without end and won’t show any repeating pattern. aqui estão alguns exemplos:

    As you can see, the decimal part of these square roots won’t repeat nor terminate. These numbers can’t even be expressed accurately with fractions of integers. How do we simplify them? To tell you the truth, it’s quite simple.

    How did we do it? Well, in reality, there’s another property of radical expressions, which is the Regra do produto of radical expressions.

    The Product Rule of Radical Expressions

    The Product Rule indicates radical expression behavior. That is, if two or more radical expressions with the same index—let’s say n—are multiplied, the result would be equal to the radical expression of the product between the previous radicands, with the index of n. To understand it better, consider the equation below:

    With this rule, we can more easily simplify radical expressions that are seemingly complicated like before. Let’s deepen our understanding with a few more examples.

    From the equation above, we separate the radicand (72) into three different numbers (4, 9, and 2). Afterward, we put each of the numbers into its own radical expressions, then grouped them again into a more manageable form, which is ​​.

    There are multiple ways of simplifying ​. Can you find the different methods of solving it? Try it!

    Once you’ve done, take a look at this one.

    The problem is similar to the one before. The only difference is that we split apart the 4s into two 2s for each, giving it more explanations as to how the radical expressions with the radicands of 4 are simplified.

    The Quotient Rule of Radical Expressions

    O Regra do quociente denotes the property of radicals differently. That is, the division between two or more radical expressions with the same index—let’s say n—is always equal to the radical expression of the quotient between the previous radicands, with the index of n. Look at the following:

    Well, looking simply at the definition will hardly do any good. Let’s sharpen our calculation skill with a couple of examples:

    Voila! The rather convoluted expression of ​ is easily solved using the rule.

    Let’s take a look at a more difficult problem:

    This time, the road we took is longer but it’s actually not that different. Look at the process and you’ll see that it only takes simple calculations.

    In case you are wondering, we multiply the equation with ​ to rationalize the denominator.​ equals 1, so the figure won’t change the underlying value of the equation if multiplied with it.