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9.1: Sequências


objetivos de aprendizado

Ao final desta seção, você será capaz de:

  • Escreva os primeiros termos de uma sequência
  • Encontre uma fórmula para o termo geral (enésimo termo) de uma sequência
  • Use notação fatorial
  • Encontre a soma parcial
  • Use a notação de soma para escrever uma soma

Antes de começar, faça este teste de prontidão.

  1. Avalie (2n + 3 ) para os inteiros (1, 2, 3 ) e (4 ).
    Se você não percebeu esse problema, revise o Exemplo 1.6.
  2. Avalie ((- 1) ^ {n} ) para os inteiros (1, 2, 3 ) e (4 ).
    Se você não percebeu esse problema, analise o Exemplo 1.19.
  3. Se (f (n) = n ^ {2} +2 ), encontre (f (1) + f (2) + f (3) ).
    Se você não percebeu esse problema, analise o Exemplo 3.49.

Escreva os primeiros termos de uma sequência

Vamos olhar para a função (f (x) = 2x ) e avaliá-la apenas para os números de contagem.

(f (x) = 2x )
(x ) (2x )
(1)(2)
(2)(4)
(3)(6)
(4)(8)
(5)(10)
(...)(...)
Tabela 12.1.1

Se listarmos os valores da função na ordem (2, 4, 6, 8 ) e (10 ​​), ... temos uma sequência. UMA seqüência é uma função cujo domínio é a contagem de números.

Definição ( PageIndex {1} )

UMA seqüência é uma função cujo domínio é a contagem de números.

Uma sequência também pode ser vista como uma lista ordenada de números e cada número na lista é um prazo. Uma sequência pode ter um número infinito de termos ou um número finito de termos. Nossa sequência tem três pontos (reticências) no final, o que indica que a lista nunca termina. Se o domínio é o conjunto de todos os números de contagem, a sequência é um seqüência infinita. Seu domínio é todo contagem de números e há um número infinito de contagem de números.

(2,4,6,8,10, dots )

Se limitarmos o domínio a um número finito de números de contagem, então a sequência é um sequência finita. Se usarmos apenas os quatro primeiros números de contagem, (1, 2, 3, 4 ) nossa sequência seria a sequência finita,

(2,4,6,8)

Freqüentemente, ao trabalhar com sequências, não queremos escrever todos os termos. Queremos uma forma mais compacta de mostrar como cada termo é definido. Quando trabalhamos com funções, escrevemos (f (x) = 2x ) e dissemos que a expressão (2x ) era a regra que definia os valores no intervalo. Embora uma sequência seja uma função, não usamos a notação de função usual. Em vez de escrever a função como (f (x) = 2x ), escreveríamos como (a_ {n} = 2n ). O (a_ {n} ) é o (n ) ésimo termo da sequência, o termo na (n ) ésima posição onde (n ) é um valor no domínio. A fórmula para escrever o (n ) ésimo termo da sequência é chamada de termo geral ou fórmula da sequência.

Definição ( PageIndex {2} )

O termo geral da sequência é encontrada na fórmula para escrever o (n ) ésimo termo da sequência. O (n ) ésimo termo da sequência, (a_ {n} ), é o termo na (n ) ésima posição onde (n ) é um valor no domínio.

Quando recebemos o termo geral da sequência, podemos encontrar os termos substituindo (n ) pelos números de contagem em ordem. Para (a_ {n} = 2 n ),

(n )(1)(2)(3)(4)(5)(6)
(um})2 ( cdot 1 )2 ( cdot 2 )2 ( cdot 3 )2 ( cdot 4 )2 ( cdot 5 )2 ( cdot 6 )
(2)(4)(6)(8)(10)
Tabela 12.1.2

(a_ {1}, quad a_ {2}, quad a_ {3}, quad a_ {4}, quad a_ {5}, ldots, quad a_ {n}, pontos )

(2, quad 4, quad 6, quad 8, quad10, dots )

Para encontrar os valores de uma sequência, substituímos os números de contagem na ordem pelo termo geral da sequência.

Exemplo ( PageIndex {1} )

Escreva os primeiros cinco termos da sequência cujo termo geral é (a_ {n} = 4 n-3 ).

Solução:

Substituímos os valores (1, 2, 3, 4 ) e (5 ) na fórmula, (a_ {n} = 4n − 3 ), na ordem.

Responder:

Os primeiros cinco termos da sequência são (1, 5, 9, 13 ) e (17 ).

Exercício ( PageIndex {1} )

Escreva os primeiros cinco termos da sequência cujo termo geral é (a_ {n} = 3n-4 ).

Responder

(-1,2,5,8,11)

Exercício ( PageIndex {2} )

Escreva os primeiros cinco termos da sequência cujo termo geral é (a_ {n} = 2n-5 ).

Responder

(-3,-1,1,3,5)

Para algumas sequências, a variável é um expoente.

Exemplo ( PageIndex {2} )

Escreva os primeiros cinco termos da sequência cujo termo geral é (a_ {n} = 2 ^ {n} +1 ).

Solução:

Substituímos os valores (1, 2, 3, 4 ) e (5 ) na fórmula, (a_ {n} = 2 ^ {n} +1 ), na ordem.

Responder:

Os primeiros cinco termos da sequência são (3, 5, 9, 17 ) e (33 ).

Exercício ( PageIndex {3} )

Escreva os primeiros cinco termos da sequência cujo termo geral é (a_ {n} = 3 ^ {n} +4 ).

Responder

(7,13,31,85,247)

Exercício ( PageIndex {4} )

Escreva os primeiros cinco termos da sequência cujo termo geral é (a_ {n} = 2 ^ {n} -5 ).

Responder

(-3,-1,3,11,27)

Não é incomum ver as expressões ((- 1) ^ {n} ) ou ((- 1) ^ {n + 1} ) no termo geral para uma sequência. Se avaliarmos cada uma dessas expressões para alguns valores, vemos que essa expressão alterna o sinal dos termos.

(n )(1)(2)(3)(4)(5)
((- 1) ^ {n} )((-1)^{1})
(-1)
((-1)^{2})
1
((-1)^{3})
(-1)
((-1)^{4})
(1)
((-1)^{5})
(-1)
((- 1) ^ {n + 1} )((-1)^{1+1})
1
((-1)^{2+1})
(-1)
((-1)^{3+1})
1
((-1)^{4+1})
(-1)
((-1)^{5+1})
1
Tabela 12.1.3

(a_ {1}, quad a_ {2}, quad a_ {3}, quad a_ {4}, quad a_ {5}, dots, quad a_ {n}, dots )

Exemplo ( PageIndex {3} )

Escreva os primeiros cinco termos da sequência cujo termo geral é (a_ {n} = (- 1) ^ {n} n ^ {3} ).

Solução:

Substituímos os valores (1, 2, 3, 4 ) e (5 ) na fórmula, (a_ {n} = (- 1) ^ {n} n ^ {3} ), em pedido.

Responder:

Os primeiros cinco termos da sequência são (- 1, 8, −27, 64, −1, 8, −27, 64 ) e (- 125 ).

Exercício ( PageIndex {5} )

Escreva os primeiros cinco termos da sequência cujo termo geral é (a_ {n} = (- 1) ^ {n} n ^ {2} ).

Responder

(-1,4,-9,16,-25)

Exercício ( PageIndex {6} )

Escreva os primeiros cinco termos da sequência cujo termo geral é (a_ {n} = (- 1) ^ {n + 1} n ^ {3} ).

Responder

(1,-8,27,-64,125)

Encontre uma Fórmula para o Termo Geral ( (n ) º Termo) de uma Sequência

Às vezes, temos alguns termos de uma sequência e seria útil conhecer o termo geral ou (n ) o termo. Para encontrar o termo geral, procuramos padrões nos termos. Freqüentemente, os padrões envolvem múltiplos ou poderes. Também procuramos um padrão nos sinais dos termos.

Exemplo ( PageIndex {4} )

Encontre um termo geral para a sequência cujos primeiros cinco termos são mostrados. (4,8,12,16,20, pontos )

Solução:


Procuramos um padrão nos termos.
Os números são todos múltiplos de (4 ).
O termo geral da sequência é (a_ {n} = 4n ).
Tabela 12.1.4

Responder:

O termo geral da sequência é (a_ {n} = 4n ).

Exercício ( PageIndex {7} )

Encontre um termo geral para a sequência cujos primeiros cinco termos são mostrados.

(3,6,9,12,15, dots )

Responder

(a_ {n} = 3 n )

Exercício ( PageIndex {8} )

Encontre um termo geral para a sequência cujos primeiros cinco termos são mostrados.

(5,10,15,20,25, pontos )

Responder

(a_ {n} = 5 n )

Exemplo ( PageIndex {5} )

Encontre um termo geral para a sequência cujos primeiros cinco termos são mostrados. (2, -4,8, -16,32, pontos )

Solução:

Procuramos um padrão nos termos.
Os números são potências de (2 ). Os sinais estão alternando, com mesmo (n ) negativo.
O termo geral da sequência é (a_ {n} = (- 1) ^ {n + 1} 2 ^ {n} )
Tabela 12.1.5

Responder:

O termo geral da sequência é (a_ {n} = (- 1) ^ {n + 1} 2 ^ {n} ).

Exercício ( PageIndex {9} )

Encontre um termo geral para a sequência cujos primeiros cinco termos são mostrados.

(- 3,9, -27,81, -243, pontos )

Responder

(a_ {n} = (- 1) ^ {n} 3 ^ {n} )

Exercício ( PageIndex {10} )

Encontre um termo geral para a sequência cujos primeiros cinco termos são mostrados

(1, -4,9, -16,25, pontos )

Responder

(a_ {n} = (- 1) ^ {n + 1} n ^ {2} )

Exemplo ( PageIndex {6} )

Encontre um termo geral para a sequência cujos primeiros cinco termos são mostrados. ( frac {1} {3}, frac {1} {9}, frac {1} {27}, frac {1} {81}, frac {1} {243}, dots )

Solução:

Procuramos um padrão nos termos.
Os numeradores são todos (1 ).
Os denominadores são potências de (3 ).O termo geral da sequência é (a_ {n} = frac {1} {3 ^ {n}} ).
Tabela 12.1.6

Responder:

O termo geral da sequência é (a_ {n} = frac {1} {3 ^ {n}} ).

Exercício ( PageIndex {11} )

Encontre um termo geral para a sequência cujos primeiros cinco termos são mostrados.

( frac {1} {2}, frac {1} {4}, frac {1} {8}, frac {1} {16}, frac {1} {32}, dots )

Responder

(a_ {n} = frac {1} {2 ^ {n}} )

Exercício ( PageIndex {12} )

Encontre um termo geral para a sequência cujos primeiros cinco termos são mostrados.

( frac {1} {1}, frac {1} {4}, frac {1} {9}, frac {1} {16}, frac {1} {25}, dots )

Responder

(a_ {n} = frac {1} {n ^ {2}} )

Use Notação Fatorial

As sequências geralmente têm termos que são produtos de inteiros consecutivos. Indicamos esses produtos com uma notação especial chamada notação fatorial. Por exemplo, (5! ), Leia (5 ) fatorial, significa (5⋅4⋅3⋅2⋅1 ). O ponto de exclamação não é pontuação aqui; indica o notação fatorial.

Definição ( PageIndex {3} )

Se (n ) é um número inteiro positivo, então (n! ) É

(n! = n (n-1) (n-2) pontos )

Definimos (0! ) Como (1 ), então (0! = 1 ).

Os valores de (n! ) Para os primeiros (5 ) inteiros positivos são mostrados.

( begin {array} {ccccc} {1!} & {2!} & {3!} & {4!} & {5!} {1} & quad {2 cdot 1} & quad {3 cdot 2 cdot 1} & quad {4 cdot 3 cdot 2 cdot 1} & quad {5 cdot 4 cdot 3 cdot 2 cdot 1} {1} & { 2} & {6} & {24} & {120} end {array} )

Exemplo ( PageIndex {7} )

Escreva os primeiros cinco termos da sequência cujo termo geral é (a_ {n} = frac {1} {n!} ).

Solução:

Substituímos os valores (1, 2, 3, 4, 5 ) na fórmula, (a_ {n} = frac {1} {n!} ), Na ordem.

Responder:

Os primeiros cinco termos da sequência são (1, frac {1} {2}, frac {1} {6}, frac {1} {24}, frac {1} {120} ).

Exercício ( PageIndex {13} )

Escreva os primeiros cinco termos da sequência cujo termo geral é (a_ {n} = frac {2} {n!} ).

Responder

(2,1, frac {1} {3}, frac {1} {12}, frac {1} {60} )

Exercício ( PageIndex {14} )

Escreva os primeiros cinco termos da sequência cujo termo geral é (a_ {n} = frac {3} {n!} ).

Responder

(3, frac {3} {2}, frac {1} {2}, frac {1} {8}, frac {1} {40} )

Quando há uma fração com fatoriais no numerador e denominador, alinhamos os fatores verticalmente para tornar nossos cálculos mais fáceis.

Exemplo ( PageIndex {8} )

Escreva os primeiros cinco termos da sequência cujo termo geral é (a_ {n} = frac {(n + 1)!} {(N-1)!} ).

Solução:

Substituímos os valores (1, 2, 3, 4, 5 ) na fórmula, (a_ {n} = frac {(n + 1)!} {(N-1)!} ), Em pedido.

Responder:

Os primeiros cinco termos da sequência são (2, 6, 12, 20 ) e (30 ).

Exercício ( PageIndex {15} )

Escreva os primeiros cinco termos da sequência cujo termo geral é (a_ {n} = frac {(n-1)!} {(N + 1)!} )

Responder

( frac {1} {2}, frac {1} {6}, frac {1} {12}, frac {1} {20}, frac {1} {30} )

Exercício ( PageIndex {16} )

Escreva os primeiros cinco termos da sequência cujo termo geral é (a_ {n} = frac {n!} {(N + 1)!} ).

Responder

( frac {1} {2}, frac {1} {3}, frac {1} {4}, frac {1} {5}, frac {1} {6} )

Encontre a soma parcial

Às vezes, em aplicativos, em vez de apenas listar os termos, é importante adicionarmos os termos de uma sequência. Em vez de apenas conectar os termos com sinais de mais, podemos usar notação de soma.

Por exemplo, (a_ {1} + a_ {2} + a_ {3} + a_ {4} + a_ {5} ) pode ser escrito como ( sum_ {i = 1} ^ {5} a_ { eu}). Lemos isso como "a soma de (a ) sub (i ) de (i ) é igual a um a cinco." O símbolo (∑ ) significa adicionar e o (i ) é o índice de soma. O (1 ) nos diz onde começar (valor inicial) e o (5 ) nos diz onde terminar (valor terminal).

Definição ( PageIndex {4} )

A soma dos primeiros (n ) termos de uma sequência cujo (n ) º termo é (a_ {n} ) é escrita em notação de soma como:

( sum_ {i = 1} ^ {n} a_ {i} = a_ {1} + a_ {2} + a_ {3} + a_ {4} + a_ {5} + ldots + a_ {n} )

O (i ) é o índice de soma e o (1 ) nos diz onde começar e o (n ) nos diz onde terminar.

Quando adicionamos um número finito de termos, chamamos a soma de soma parcial.

Exemplo ( PageIndex {9} )

Expanda a soma parcial e encontre seu valor: ( sum_ {i = 1} ^ {5} 2 i ).

Solução:

( sum_ {i = 1} ^ {5} 2 i )
Substituímos os valores (1, 2, 3, 4, 5 ) na ordem. (2 cdot 1 + 2 cdot 2 + 2 cdot 3 + 2 cdot 4 + 2 cdot 5 )
Simplificar.(2+4+6+8+10)
Adicionar. ( begin {array} {c} 30 sum_ {i = 1} ^ {5} 2 i = 30 end {array} )
Tabela 12.1.7

Responder:

( begin {array} {c} 30 sum_ {i = 1} ^ {5} 2 i = 30 end {array} )

Exercício ( PageIndex {17} )

Expanda a soma parcial e encontre seu valor: ( sum_ {i = 1} ^ {5} 3 i ).

Responder

(45)

Exercício ( PageIndex {18} )

Expanda a soma parcial e encontre seu valor: ( sum_ {i = 1} ^ {5} 4 i ).

Responder

(60)

O índice nem sempre tem que ser (i ) podemos usar qualquer letra, mas (i ) e (k ) são comumente usados. O índice também não precisa começar com (1 ) - ele pode começar e terminar com qualquer número inteiro positivo.

Exemplo ( PageIndex {10} )

Expanda a soma parcial e encontre seu valor: ( sum_ {k = 0} ^ {3} frac {1} {k!} ).

Solução:

( begin {array} {cc} {} & { sum_ {k = 0} ^ {3} frac {1} {k!}} {Nós : substituímos : os : valores : 0,1,2,3 : in : order.} & { Frac {1} {1} + frac {1} {1!} + Frac {1} {2!} + Frac {1 } {3!}} {Avalie : os : fatoriais.} & { Frac {1} {1} + frac {1} {1} + frac {1} {2!} + Frac {1} {6}} {Simplifique.} & {1 + 1 + frac {3} {6} + frac {1} {6}} {Simplifique.} & { Frac {16} {6}} {Simplifique.} & { Frac {8} {3}} {} & { sum_ {k = 0} ^ {3} frac {1} {k!} = Frac {8} {3}} end {array} )

Exercício ( PageIndex {19} )

Expanda a soma parcial e encontre seu valor: ( sum_ {k = 0} ^ {3} frac {2} {k!} ).

Responder

( frac {16} {3} )

Exercício ( PageIndex {20} )

Expanda a soma parcial e encontre seu valor: ( sum_ {k = 0} ^ {3} frac {3} {k!} ).

Responder

(8)

Use a notação de soma para escrever uma soma

Nos dois últimos exemplos, passamos da notação de soma para escrever a soma. Agora vamos começar com uma soma e alterá-la para a notação de soma. Isso é muito semelhante a encontrar o termo geral de uma sequência. Precisamos examinar os termos e encontrar um padrão. Freqüentemente, os padrões envolvem múltiplos ou poderes.

Exemplo ( PageIndex {11} )

Escreva a soma usando a notação de soma: (1+ frac {1} {2} + frac {1} {3} + frac {1} {4} + frac {1} {5} ).

Solução:

( begin {array} {} & {1+ frac {1} {2} + frac {1} {3} + frac {1} {4} + frac {1} {5}} {} & {n: 1,2,3,4,5} { text {Procuramos um padrão nos termos.}} & { text {Termos:} 1, frac {1} { 2}, frac {1} {3}, frac {1} {4}, frac {1} {5}} { text {Os numeradores são todos um.}} & { Text {Padrão :} frac {1} {1}, frac {1} {2}, frac {1} {3}, frac {1} {4}, frac {1} {5}, ldots frac {1} {n}} { text {Os denominadores são os números de contagem de um a cinco.}} & { text {A soma escrita em notação de soma}} {} & {1 + frac {1} {2} + frac {1} {3} + frac {1} {4} + frac {1} {5} = sum ^ {5} _ {n = 1} frac {1 } {n}.} end {array} )

Exercício ( PageIndex {21} )

Escreva a soma usando a notação de soma: ( frac {1} {2} + frac {1} {4} + frac {1} {8} + frac {1} {16} + frac {1} {32} ).

Responder

( sum_ {n = 1} ^ {5} frac {1} {2 ^ {n}} )

Exercício ( PageIndex {22} )

Escreva a soma usando a notação de soma: (1+ frac {1} {4} + frac {1} {9} + frac {1} {16} + frac {1} {25} )

Responder

( sum_ {n = 1} ^ {5} frac {1} {n ^ {2}} )

Quando os termos de uma soma têm coeficientes negativos, devemos analisar cuidadosamente o padrão dos sinais.

Exemplo ( PageIndex {12} )

Escreva a soma usando a notação de soma: (- 1 + 8-27 + 64-125 ).

Solução:


Procuramos um padrão nos termos.
Os sinais dos termos se alternam,
e os termos ímpares são negativos.
Os números são os cubos do
contando números de um a cinco.
A soma escrita em notação de soma é
(- 1 + 8-27 + 64-125 = sum_ {n = 1} ^ {5} (- 1) ^ {n} cdot n ^ {3} )
Tabela 12.1.8

Exercício ( PageIndex {23} )

Escreva cada soma usando a notação de soma: (1-4 + 9-16 + 25 ).

Responder

( sum_ {n = 1} ^ {5} (- 1) ^ {n + 1} n ^ {2} )

Exercício ( PageIndex {24} )

Escreva cada soma usando a notação de soma: (- 2 + 4-6 + 8-10 ).

Responder

( sum_ {n = 1} ^ {5} (- 1) ^ {n} 2 n )

Acesse este recurso online para instruções adicionais e prática com sequências.

Conceitos chave

  • Notação Fatorial

Se (n ) é um número inteiro positivo, então (n! ) É

(n! = n (n-1) (n-2) ldots (3) (2) (1) )

Definimos (0! ) Como (1 ), então (0! = 1 )

  • Notação de Soma

A soma dos primeiros (n ) termos de uma sequência cujo (n ) º termo (a_ {n} ) é escrito em notação de soma como:

( sum_ {i = 1} ^ {n} a_ {i} = a_ {1} + a_ {2} + a_ {3} + a_ {4} + a_ {5} + ldots + a_ {n} )

O (i ) é o índice de soma e o (1 ) nos diz onde começar e o (n ) nos diz onde terminar.

Glossário

sequência finita
Uma sequência com um domínio limitado a um número finito de números de contagem.
termo geral de uma sequência
O termo geral da sequência é a fórmula para escrever o (n ) ésimo termo da sequência. O (n ) ésimo termo da sequência, (a_ {n} ), é o termo na (n ) ésima posição onde (n ) é um valor no domínio.
seqüência infinita
Uma sequência cujo domínio é todo contagem de números e há um número infinito de contagem de números.
soma parcial
Quando adicionamos um número finito de termos de uma sequência, chamamos a soma de soma parcial.
seqüência
Uma sequência é uma função cujo domínio são os números de contagem.

9.1: Sequências

Muitas das funções de sequência usam argumentos de palavra-chave, consulte Listas de Argumentos Todos os argumentos de palavra-chave são opcionais e, se especificados, podem aparecer em qualquer ordem.

O argumento: key deve ser passado nulo ou como função de um argumento. Esta função de tecla é usada como um filtro através do qual os elementos da sequência são vistos, por exemplo, (cl-find x y: key 'car) é semelhante a (cl-assoc x y). Ele procura um elemento da lista cujo CARRO é igual a x, em vez de para um elemento que é igual ao próprio x. Se: key for omitido ou nulo, o filtro é efetivamente a função de identidade.

Os argumentos: test e: test-not devem ser nulos ou funções de dois argumentos. A função de teste é usada para comparar dois elementos de sequência ou para comparar um valor de pesquisa com elementos de sequência. (Os dois valores são passados ​​para a função de teste na mesma ordem dos argumentos da função de sequência original dos quais são derivados ou, se ambos vierem da mesma sequência, na mesma ordem em que aparecem nessa sequência.) O argumento: test especifica uma função que deve retornar verdadeiro (não nulo) para indicar uma correspondência, em vez disso, você pode usar: test-not para fornecer uma função que retorna falso para indicar uma correspondência. A função de teste padrão é eql.

Muitas funções que recebem os argumentos item e: test ou: test-not também vêm em variedades -if e -if-not, onde uma função de predicado é passada em vez de item, e os elementos de sequência correspondem se o predicado retornar verdadeiro para eles (ou falso no caso de -if-não). Por exemplo:

para remover todos os zeros da sequência seq.

Algumas operações podem funcionar em uma subsequência da sequência de argumentos que essas funções usam: argumentos start e: end, cujo padrão é zero e o comprimento da sequência, respectivamente. Apenas os elementos entre o início (inclusivo) e o final (exclusivo) são afetados pela operação. O argumento final pode ser passado nulo para significar o comprimento da sequência, caso contrário, o início e o fim devem ser inteiros, com 0 & lt = início & lt = fim & lt = (comprimento seq). Se a função receber dois argumentos de sequência, os limites são definidos por palavras-chave: início1 e: fim1 para o primeiro e: início2 e: fim2 para o segundo.

Algumas funções aceitam um argumento: from-end, que, se não for nulo, faz com que a operação vá da direita para a esquerda através da sequência em vez de da esquerda para a direita, e um argumento: count, que especifica um inteiro número máximo de elementos a serem removidos ou processados ​​de outra forma.

As funções de sequência não oferecem nenhuma garantia sobre a ordem em que as funções: test,: test-not e: key são chamadas em vários elementos. Portanto, é uma má ideia depender dos efeitos colaterais dessas funções. Por exemplo,: from-end pode fazer com que a sequência seja digitalizada realmente ao contrário, ou pode ser digitalizada para a frente, mas computando um resultado & ldquoas se & rdquo for digitalizado para trás. (Algumas funções, como cl-mapcar e cl-every, Faz especifique exatamente a ordem em que a função é chamada para que os efeitos colaterais sejam perfeitamente aceitáveis ​​nesses casos.)

Strings podem conter & ldquotext properties & rdquo, bem como dados de caractere. Exceto conforme observado, é indefinido se as propriedades de texto são ou não preservadas por funções de sequência. Por exemplo, (cl-remove? A str) pode ou não preservar as propriedades dos caracteres copiados de str para o resultado.


Soluções NCERT para Matemática da Classe 11, Capítulo 9, Sequências e Séries

Tópicos e subtópicos da Aula 11 Matemática, Capítulo 9, Seqüências e séries:

Nome da Seção Nome do tópico
9 Seqüências e séries
9.1 Introdução
9.2 Seqüências
9.3 Series
9.4 Progressão Aritmética (A.P.)
9.5 Progressão geométrica (G.P.)
9.6 Relacionamento entre A.M. e G.M.
9.7 Soma para n termos da Série Especial

Soluções NCERT para Matemática da Classe 11, Capítulo 9, Exercício 9.1

Ex 9.1 Classe 11 Matemática Questão 1:

Resp:

Ex 9.1 Classe 11 Matemática Questão 2:

Resp:

Mais recursos para CBSE Classe 11

Ex 9.1 Classe 11 Matemática Questão 3:

Resp:

Ex 9.1 Classe 11 Matemática Questão 4:

Resp:

Ex 9.1 Classe 11 Matemática Questão 5:

Resp:

Ex 9.1 Classe 11 Matemática Questão 6:

Resp:

Ex 9.1 Classe 11 Matemática Questão 7:

Resp:

Ex 9.1 Classe 11 Matemática Questão 8:

Resp:

Ex 9.1 Classe 11 Matemática Questão 9:

Resp:

Ex 9.1 Classe 11 Matemática Questão 10:

Resp:

Ex 9.1 Classe 11 Matemática Questão 11:

Resp:

Ex 9.1 Classe 11 Matemática Questão 12:

Resp:

Ex 9.1 Classe 11 Matemática Questão 13:

Resp:

Ex 9.1 Classe 11 Matemática Questão 14:

Resp:

Soluções NCERT para Matemática da Classe 11 Capítulo 9 Sequências e Séries (अनुक्रम तथा श्रेणी) Hindi Médio Ex 9.1






Soluções NCERT para Matemática da Classe 11, Capítulo 9, Exercício 9.2

Ex 9.2 Classe 11 Matemática Questão 1:

Resp:

Ex 9.2 Classe 11 Matemática Questão 2:

Resp:

Ex 9.2 Classe 11 Matemática Pergunta 3:

Resp:

Ex 9.2 Classe 11 Matemática Questão 4:

Resp:

Ex 9.2 Classe 11 Matemática Questão 5:

Resp:


Ex 9.2 Classe 11 Matemática Questão 6:

Resp:

Ex 9.2 Classe 11 Matemática Questão 7:

Resp:

Ex 9.2 Classe 11 Matemática Questão 8:

Resp:

Ex 9.2 Classe 11 Matemática Questão 9:

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Ex 9.2 Classe 11 Matemática Questão 10:

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Ex 9.2 Classe 11 Matemática Questão 11:

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Ex 9.2 Classe 11 Matemática Questão 12:

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Ex 9.2 Classe 11 Matemática Questão 13:

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Ex 9.2 Classe 11 Matemática Questão 14:

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Ex 9.2 Classe 11 Matemática Questão 15:

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Ex 9.2 Classe 11 Matemática Questão 16:

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Ex 9.2 Classe 11 Matemática Questão 17:

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Ex 9.2 Classe 11 Matemática Questão 18:

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Soluções NCERT para a aula 11 Matemática Capítulo 9 Exercício 9.3

Ex 9.3 Classe 11 Matemática Questão 1:

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Ex 9.3 Classe 11 Matemática Questão 2:

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Ex 9.3 Classe 11 Matemática Questão 3:

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Ex 9.3 Classe 11 Matemática Questão 4:

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Ex 9.3 Class 11 Matemática Questão 5:

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Ex 9.3 Classe 11 Matemática Questão 6:

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Ex 9.3 Classe 11 Matemática Questão 7:

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Ex 9.3 Classe 11 Matemática Questão 8:

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Ex 9.3 Classe 11 Matemática Questão 9:

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Ex 9.3 Classe 11 Matemática Questão 10:

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Ex 9.3 Classe 11 Matemática Questão 11:

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Ex 9.3 Class 11 Matemática Questão 12:

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Ex 9.3 Classe 11 Matemática Questão 14:

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Ex 9.3 Classe 11 Matemática Questão 15:

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Ex 9.3 Classe 11 Matemática Questão 16:

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Ex 9.3 Classe 11 Matemática Questão 18:

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Ex 9.3 Classe 11 Matemática Questão 19:

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Ex 9.3 Class 11 Matemática Questão 20:

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Ex 9.3 Classe 11 Matemática Questão 21:

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Ex 9.3 Classe 11 Matemática Questão 22:

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Ex 9.3 Classe 11 Matemática Questão 23:

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Ex 9.3 Classe 11 Matemática Questão 24:

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Ex 9.3 Classe 11 Matemática Questão 25:

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Ex 9.3 Classe 11 Matemática Questão 26:

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Ex 9.3 Classe 11 Matemática Questão 27:

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Ex 9.3 Classe 11 Matemática Questão 28:

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Ex 9.3 Classe 11 Matemática Questão 29:

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Ex 9.3 Class 11 Matemática Questão 30:

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Ex 9.3 Classe 11 Matemática Questão 31:

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Ex 9.3 Classe 11 Matemática Questão 32:

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Soluções NCERT para Matemática da Classe 11, Capítulo 9, Exercício 9.4

Ex 9.4 Classe 11 Matemática Questão 1:

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Ex 9.4 Class 11 Matemática Questão 2:

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Ex 9.4 Class 11 Matemática Questão 3:

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Ex 9.4 Class 11 Matemática Questão 4:

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Ex 9.4 Pergunta 5 de Matemática da Classe 11:

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Ex 9.4 Class 11 Matemática Questão 6:

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Ex 9.4 Classe 11 Matemática Questão 7:

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Ex 9.4 Class 11 Matemática Questão 8:

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Ex 9.4 Classe 11 Matemática Questão 9:

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Ex 9.4 Classe 11 Matemática Questão 10:

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Class 11 Maths NCERT Miscellaneous Solutions

Exercício Diverso - Classe 11 - Matemática, Questão 1:

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Exercício Diverso - Classe 11 - Matemática, Questão 2:

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Exercício Diverso - Classe 11 - Matemática, Questão 3:

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Exercício Diverso - Classe 11 - Matemática, Questão 4:

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Exercício Diverso - Classe 11 - Matemática Questão 5:

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Exercício Diverso - Classe 11 - Matemática - Questão 6:

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Exercício Diverso - Classe 11 - Matemática - Questão 7:

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Exercício Diverso - Classe 11 - Matemática, Questão 8:

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Exercício Diverso - Classe 11 - Matemática, Questão 9:

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Exercício Diverso - Classe 11 - Matemática - Questão 10:

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Exercício Diverso - Classe 11 - Matemática - Questão 11:

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Exercício Diverso - Classe 11, Matemática, Questão 12:

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Exercício Diverso - Classe 11 - Matemática - Questão 13:

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Exercício Diverso - Classe 11 - Matemática Questão 14:

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Exercício Diverso - Classe 11 - Matemática Questão 15:

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Exercício Diverso - Classe 11 - Matemática Questão 16:

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Exercício Diverso - Classe 11 - Matemática - Questão 17:

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Exercício Diverso - Classe 11 - Matemática - Questão 18:

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Exercício Diverso - Classe 11, Matemática, Questão 19:

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Exercício Diverso - Classe 11 - Matemática - Questão 20:

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Exercício Diverso - Classe 11 - Matemática - Questão 21:

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Exercício Diverso - Classe 11 - Matemática Questão 22:

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Exercício Diverso - Classe 11 - Matemática Questão 23:

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Exercício Diverso - Classe 11 - Matemática - Questão 24:

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Exercício Diverso - Classe 11 - Matemática - Questão 25:

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Exercício Diverso - Classe 11 - Matemática - Questão 26:

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Exercício Diverso - Classe 11 - Matemática - Questão 27:

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Exercício Diverso - Classe 11 - Matemática Questão 28:

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Exercício Diverso - Classe 11 - Matemática Questão 29:

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Exercício Diverso - Classe 11 - Matemática - Questão 30:

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Exercício Diverso - Classe 11 - Matemática - Questão 31:

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Exercício Diverso - Classe 11 - Matemática Questão 32:

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Sequência gerada pelo contador de transformação PDI

A tabela a seguir contém opções para gerar uma sequência a partir de um contador de transformação PDI:

Selecione esta caixa de seleção se desejar que a sequência seja gerada pelo PDI. Esta opção é definida por padrão

Usar DB para gerar a sequência? é automaticamente selecionado se esta caixa de seleção estiver desmarcada.

Por exemplo, se você definir Iniciar no valor como 1, Incrementar em 1 e o valor máximo em 3, a sequência resultante será 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2. Se você definir o valor Iniciar no valor 0, Incrementar em -1 e o valor máximo em -2, a sequência resultante será 0, -1, -2, 0, -1, -2, 0.


Sequências e séries do pré-cálculo 9.1

Uma sequência é uma função cujo domínio é o conjunto de inteiros positivos.

Definição de sequência:
Uma sequência infinita é uma função cujo domínio é o conjunto de inteiros positivos. Os valores da função
uma1, uma2, uma3, uma4,. , uman, .
são os termos da sequência. Se o domínio da função consiste apenas nos primeiros n inteiros positivos, a sequência é uma sequência finita.

A. Encontrando os termos de uma sequência:
Exemplo 1: encontre os primeiros cinco termos de umn = 4n - 7
uma1 = 4(1) - 7 = -3
uma2 = 4(2) - 7 = 8 - 7 = 1
uma3,= 4(3) - 7 = 12 - 7 = 5
uma4 = 4(4) - 7 = 16 - 7 = 9
uma5 = 4(5) - 7 = 20 - 7 = 13

Exemplo 2: Encontre o 16º termo da sequência an = (-1) n-1 (n (n-1))
uma16 = (-1) 16-1 (16(16-1)) = (-1) 15 (16(15)) = (-1)(240) = -240

Exemplo 3: Escreva os primeiros cinco termos da sequência definida recursivamente:
uma1 = 15, ak + 1 = ak+ 3
Seja k = 1, então temos:
uma1+1 = a2 = a1 + 3 = 15 + 3 = 18
Seja k = 2, então temos:
uma2+1 = a3 = a2 + 3 = 18 + 3 = 21
uma3+1 = a4 = a3 + 3 = 21 + 3 = 24
uma4+1 = a5 = a4 + 3 = 24 + 3 = 27

B. Encontrar o enésimo termo de uma sequência
Exemplo 4: Escreva uma expressão para o enésimo termo aparente da sequência
(suponha que n comece com 1): 3, 7, 11, 15, 19,.

Como você pode ver, os termos estão subindo em 4 e o primeiro termo é menos de 4
uman = 4n - 1

Exemplo 5: 1, 1/4, 1/9, 1/16, 1/25,.
Como você pode ver, os termos denominadores são quadrados perfeitos, então
uman = 1 / (n 2) = n -2

C. A sequência de Fibonacci: uma sequência recursiva
A sequência de Fibonacci é definida recursivamente da seguinte maneira.
uma0 = 1, a1 = 1, ak = ak-2 + ak-1 , onde k é maior ou igual a 2

Exemplo 6: Escreva os primeiros cinco termos da sequência definida recursivamente. Use este padrão para escrever o enésimo termo da sequência como uma função de n.
uma1 = 25, ak + 1 = ak - 5
uma2 = a1+1 = a1 -5 = 25 -5 = 20
uma3 = a2+1 = a2 -5 = 20 - 5 = 15
uma4 = a3+1 = a3 -5 = 15 - 5 = 10
uma5 = a4+1 = a4 -5 = 10 - 5 = 5
Portanto, umn = 25 - 5n

C. Definição de fatorial:
Em n é um número inteiro positivo, n fatorial é definido por
n! = 1 x 2 x 3 x 4 x. (n - 1) x n
Como um caso especial, o fatorial zero é definido como 0! = 1

Exemplo 7: Simplifique a proporção de fatoriais.
(4!) / (7!) = (4!) / (7 x 6 x 5 x 4!) = 1 / (7 x 6 x 5) = 1/210

Exemplo 8: Simplifique a proporção de fatoriais.
(n + 2)! / (n!) = (n + 2) (n + 1) (n!) / (n!) = (n + 2) (n + 1) = n 2 + 3n + 2

D. Definição de Notação de Soma:
A soma dos primeiros n termos de uma sequência é representada por

A soma de umeu quando i = 1 a i = n é igual a

Onde eu é chamado de índice de soma, n é o limite superior da soma e 1 é o limite inferior da soma. (verifique http://www.cs.fsu.edu/

Exemplo 9: Encontre a soma de 3i - 1 quando i = 1 a i = 6

3 - 1 + 6 - 1 + 9 - 1 + 12 - 1 + 15 - 1 + 18 - 1 = 57

Para usar sua TI - 83, TI - 83 mais calculadoras:
Vá para o modo - mude da função para o modo sequencial e, em seguida,
2ª seta Stat para matemática # 5 Soma, 2ª seta Stat para ops # 5 seq, em seguida, coloque na sequência, depois n para mostrar à calculadora a variável, o número do limite inferior, o número do limite superior e feche o parêntese duas vezes, em seguida, pressione Enter.
Sua tela deve ser semelhante a esta:
soma (seq (3n-1, n, 1,6)) = 57

Definição de uma série:
Considere a sequência infinita a1, uma2, uma3, uma4,. , umaeu, .
1. A soma de todos os termos da sequência infinita é chamada de série infinita e é denotado por
uma1 + a2 + a3 + a4 +. + aeu +. = A soma de umeu quando i = 1 a i = infinito.

2. A soma dos primeiros n termos da sequência é chamada de série finita ou a enésima soma parcial da sequência e é denotada por
uma1 + a2 + a3 + a4 +. + an = A soma de umeu quando i = 1 a i = n.


Exemplo 10: Encontre a soma da soma parcial da série:

A soma de 8 (-1/2) n quando n = 1 an = infinito, a 4ª soma parcial

= 8(-½ ) 1 + 8(-½ ) 2 + 8(-½ ) 3 + 8(-½ ) 4 = -4 + 2 + -1 + .5 = -5/2

(Verificação da calculadora: você pode verificar suas respostas individuais colocando a calculadora no modo de função, coloque a série em y1 = 8 (-.5) xe olhando em sua tabela para obter seus valores.)

Exemplo 11: Encontre a soma da série infinita:


Capítulo 9 Ex.9.1 Questão 12

Escreva os primeiros cinco termos da seguinte sequência e obtenha a série correspondente: ( = - 1, = frac <<<>>>>) para todos (n ge 2 ).

Solução

Solução de Vídeo

Portanto, os primeiros cinco termos da sequência são (- 1, frac << - 1 >> <2>, frac << - 1 >> <6>, frac << - 1 >> << 24 >> ) e ( frac << - 1 >> <<120>> ).

A série correspondente é ( left (<- 1> right) + left (< frac << - 1 >> <2>> right) + left (< frac << - 1 >> < 6 >> right) + left (< frac << - 1 >> <<24> >> right) + left (< frac << - 1 >> <<120> >> right) + ldots )


9.1: Sequência PN

UMA pseudo-ruído A sequência (PN) é amplamente utilizada no sistema LTE para vários fins, como embaralhamento de sinais de referência, embaralhamento de transmissão de dados de downlink e uplink, bem como na geração de várias sequências de salto.

9.1.1 Sequência de comprimento máximo

Uma sequência PN pode ser gerada usando registradores de deslocamento de feedback linear (LFSR). O shiftregister sequências com o período máximo possível para um eu- registradores de mudança de estágio são chamados sequências de comprimento máximo ou sequências m. Uma condição necessária e suficiente para uma sequência gerada por um LFSR ter o comprimento máximo ( m-sequência) é que seu polinômio correspondente seja primitivo. A função de autocorrelação periódica para um m-seqüência x( n) é definido como:

A função de autocorrelação periódica R ( k) é igual a:

Notamos que a autocorrelação de um m- a sequência é 1 para zero-lag e quase zero (? 1 / M, Onde M é o comprimento da sequência) para todas as outras defasagens. Em outras palavras, a autocorrelação do m- a sequência pode ser considerada como aproximar a função de impulso da unidade como m- o comprimento da sequência aumenta.

9.1.2 Sequência de ouro

As sequências de ouro foram propostas por Gold em 1967 [1]. Estas sequências são construídas por EXOR-ing dois m- sequências do mesmo comprimento mostrado na Figura 9.1. Assim, para uma sequência de ouro de comprimento n = 2 eu ? 1, precisamos usar duas sequências LFSR, cada uma de comprimento n = 2 eu ? 1. Se.


Muitas regras

Um dos problemas em encontrar "o próximo número" em uma sequência é que a matemática é tão poderosa que podemos encontrar mais de uma regra que funciona.

Qual é o próximo número na sequência 1, 2, 4, 7,?

Aqui estão três soluções (pode haver mais!):

Solução 1: adicione 1 e, em seguida, adicione 2, 3, 4,.

Então, 1+1=2, 2+2=4, 4+3=7, 7+4= 11, etc.

Sequência: 1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, .

(Essa regra parece um pouco complicada, mas funciona)

Solução 2: depois de 1 e 2, adicione os dois números anteriores, mais 1:

Sequência: 1, 2, 4, 7, 12, 20, 33, .

Solução 3: depois de 1, 2 e 4, adicione os três números anteriores

Sequência: 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, .

Portanto, temos três soluções perfeitamente razoáveis ​​e elas criam sequências totalmente diferentes.

Qual é certo? Eles estão bem.

. pode ser uma lista dos números dos vencedores. então o próximo número pode ser. algo!


9.1: Sequências

Uma string é uma sequência de bytes ou caracteres entre aspas simples (') ou aspas duplas ("). Exemplos:

Strings entre aspas colocadas lado a lado são concatenadas em uma única string. As seguintes linhas são equivalentes:

Se o modo ANSI_QUOTES SQL estiver habilitado, literais de string podem ser colocados entre aspas simples porque uma string entre aspas duplas é interpretada como um identificador.

Uma string binária é uma string de bytes. Cada string binária tem um conjunto de caracteres e agrupamento denominado binary. Uma string não binária é uma string de caracteres. Ele tem um conjunto de caracteres diferente do binário e um agrupamento compatível com o conjunto de caracteres.

Para ambos os tipos de strings, as comparações são baseadas nos valores numéricos da unidade da string. Para strings binárias, a unidade é que as comparações de bytes usam valores de bytes numéricos. Para strings não binárias, a unidade é o caractere e alguns conjuntos de caracteres suportam comparações de caracteres multibyte usando valores de código de caracteres numéricos. A ordenação do código de caracteres é uma função do agrupamento da string. (Para obter mais informações, consulte a Seção 10.8.5, “O agrupamento binário comparado aos agrupamentos _bin”.)

Dentro do mysql cliente, strings binárias são exibidas usando notação hexadecimal, dependendo do valor de --binary-as-hex. Para obter mais informações sobre essa opção, consulte a Seção 4.5.1, “mysql - O cliente de linha de comando MySQL”.

A character string literal may have an optional character set introducer and COLLATE clause, to designate it as a string that uses a particular character set and collation:

You can use N' literal ' (or n' literal ' ) to create a string in the national character set. These statements are equivalent:

Within a string, certain sequences have special meaning unless the NO_BACKSLASH_ESCAPES SQL mode is enabled. Each of these sequences begins with a backslash ( ), known as the escape character . MySQL recognizes the escape sequences shown in Table 9.1, “Special Character Escape Sequences”. For all other escape sequences, backslash is ignored. That is, the escaped character is interpreted as if it was not escaped. For example, x is just x . These sequences are case-sensitive. For example,  is interpreted as a backspace, but B is interpreted as B . Escape processing is done according to the character set indicated by the character_set_connection system variable. This is true even for strings that are preceded by an introducer that indicates a different character set, as discussed in Section 10.3.6, “Character String Literal Character Set and Collation”.

Table 9.1 Special Character Escape Sequences

Escape Sequence Character Represented by Sequence
An ASCII NUL ( X'00' ) character
' A single quote ( ' ) character
" A double quote ( " ) character
 A backspace character
n A newline (linefeed) character
A carriage return character
A tab character
 ASCII 26 (Control+Z) see note following the table
\ A backslash ( ) character
\% A % character see note following the table
\_ A _ character see note following the table

The ASCII 26 character can be encoded as  to enable you to work around the problem that ASCII 26 stands for END-OF-FILE on Windows. ASCII 26 within a file causes problems if you try to use mysql db_name & lt file_name .

The \% and \_ sequences are used to search for literal instances of % and _ in pattern-matching contexts where they would otherwise be interpreted as wildcard characters. See the description of the LIKE operator in Section 12.8.1, “String Comparison Functions and Operators”. If you use \% or \_ outside of pattern-matching contexts, they evaluate to the strings \% and \_ , not to % and _ .

There are several ways to include quote characters within a string:

A ' inside a string quoted with ' may be written as '' .

A " inside a string quoted with " may be written as "" .

Precede the quote character by an escape character ( ).

A ' inside a string quoted with " needs no special treatment and need not be doubled or escaped. In the same way, " inside a string quoted with ' needs no special treatment.

The following SELECT statements demonstrate how quoting and escaping work:

To insert binary data into a string column (such as a BLOB column), you should represent certain characters by escape sequences. Backslash ( ) and the quote character used to quote the string must be escaped. In certain client environments, it may also be necessary to escape NUL or Control+Z. O mysql client truncates quoted strings containing NUL characters if they are not escaped, and Control+Z may be taken for END-OF-FILE on Windows if not escaped. For the escape sequences that represent each of these characters, see Table 9.1, “Special Character Escape Sequences”.

When writing application programs, any string that might contain any of these special characters must be properly escaped before the string is used as a data value in an SQL statement that is sent to the MySQL server. You can do this in two ways:

Process the string with a function that escapes the special characters. In a C program, you can use the mysql_real_escape_string_quote() C API function to escape characters. See mysql_real_escape_string_quote(). Within SQL statements that construct other SQL statements, you can use the QUOTE() function. The Perl DBI interface provides a quote method to convert special characters to the proper escape sequences. See Section 29.9, “MySQL Perl API”. Other language interfaces may provide a similar capability.

As an alternative to explicitly escaping special characters, many MySQL APIs provide a placeholder capability that enables you to insert special markers into a statement string, and then bind data values to them when you issue the statement. In this case, the API takes care of escaping special characters in the values for you.


Assista o vídeo: EMAI 5º ANO ATIVIDADE SEQUÊNCIA 9 VOLUME 1 - NUMERAÇÃO DECIMAL, FRAÇÃO, DIVISÃO EM PARTES (Outubro 2021).