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7.4: A Parábola - Matemática


objetivos de aprendizado

  • Grafico de parábolas com vértices na origem.
  • Escreva equações de parábolas na forma padrão.
  • Faça o gráfico de parábolas com vértices fora da origem.
  • Resolver problemas aplicados envolvendo parábolas.

Você sabia que a tocha olímpica é acesa vários meses antes do início dos jogos? O método cerimonial para acender a chama é o mesmo dos tempos antigos. A cerimônia acontece no Templo de Hera em Olímpia, Grécia, e tem suas raízes na mitologia grega, em homenagem a Prometeu, que roubou o fogo de Zeus para dar a todos os humanos. Uma das onze sacerdotisas atuantes coloca a tocha no foco de um espelho parabólico (Figura ( PageIndex {1} )), que concentra os raios de luz do sol para acender a chama.

Espelhos parabólicos (ou refletores) são capazes de capturar energia e focalizá-la em um único ponto. As vantagens desta propriedade são evidenciadas pela vasta lista de objetos parabólicos que usamos todos os dias: antenas parabólicas, pontes suspensas, telescópios, microfones, holofotes e faróis de carro, para citar alguns. Refletores parabólicos também são usados ​​em dispositivos de energia alternativa, como fogões solares e aquecedores de água, porque são baratos de fabricar e precisam de pouca manutenção. Nesta seção, exploraremos a parábola e seus usos, incluindo projetos solares de baixo custo e eficiência energética.

Representando graficamente parábolas com vértices na origem

Anteriormente, vimos que uma elipse é formada quando um avião corta um cone circular reto. Se o plano for paralelo à borda do cone, uma curva ilimitada é formada. Esta curva é uma parábola (Figura ( PageIndex {2} )).

Como a elipse e a hipérbole, a parábola também pode ser definida por um conjunto de pontos no plano de coordenadas. Uma parábola é o conjunto de todos os pontos ((x, y) ) em um plano que estão à mesma distância de uma linha fixa, chamada de diretriz, e um ponto fixo (o foco) não na diretriz.

Anteriormente, aprendemos sobre o vértice de uma parábola e o eixo de simetria. Agora estendemos a discussão para incluir outros recursos-chave da parábola (Figura ( PageIndex {3} )). Observe que o eixo de simetria passa pelo foco e vértice e é perpendicular à diretriz. O vértice é o ponto médio entre a diretriz e o foco. O segmento de linha que passa pelo foco e é paralelo à diretriz é chamado de latus reto. Os pontos finais do reto latus situam-se na curva. Por definição, o d distanciado do foco a qualquer ponto (P ) na parábola é igual à distância de (P ) à diretriz.

Para trabalhar com parábolas no plano de coordenadas, consideramos dois casos: aqueles com um vértice na origem e aqueles com um vértice em um ponto diferente da origem. Começamos com o primeiro.

Seja ((x, y) ) um ponto na parábola com vértice ((0,0) ), foco ((0, p) ) e diretriz (y = −p ) como mostrado na Figura ( PageIndex {4} ). O d distanciado do ponto ((x, y) ) ao ponto ((x, −p) ) na diretriz é a diferença do y-valores: (d = y + p ). A distância do foco ((0, p) ) ao ponto ((x, y) ) também é igual a (d ) e pode ser expressa usando a fórmula da distância.

[ begin {align *} d & = sqrt {{(x − 0)} ^ 2 + {(y − p)} ^ 2} [4pt] & = sqrt {x ^ 2 + {( y − p)} ^ 2} end {align *} ]

Defina as duas expressões para (d ) iguais uma à outra e resolva para (y ) para derivar a equação da parábola. Fazemos isso porque a distância de ((x, y) ) a ((0, p) ) é igual à distância de ((x, y) ) a ((x, −p) ) .

[ sqrt {x ^ 2 + {(y − p)} ^ 2} = y + p ]

Em seguida, elevamos ao quadrado ambos os lados da equação, expandimos os termos ao quadrado e simplificamos combinando termos semelhantes.

[ begin {align *} x ^ 2 + {(y − p)} ^ 2 & = {(y + p)} ^ 2 [4pt] x ^ 2 + y ^ 2−2py + p ^ 2 & = y ^ 2 + 2py + p ^ 2 [4pt] x ^ 2−2py & = 2py [4pt] x ^ 2 & = 4py end {align *} ]

As equações das parábolas com vértice ((0,0) ) são (y ^ 2 = 4px ) quando o x-axis é o eixo de simetria e (x ^ 2 = 4py ) quando o y-axis é o eixo de simetria. Esses formulários padrão são fornecidos a seguir, junto com seus gráficos gerais e recursos principais.

FORMAS PADRÃO DE PARABOLAS COM VERTEX ((0,0) )

Tabela ( PageIndex {1} ) e Figura ( PageIndex {5} ) resumem as características padrão das parábolas com um vértice na origem.

Tabela ( PageIndex {1} )
Eixo de simetriaEquaçãoFocoDiretrizPontos finais de Latus Rectum
x-eixo (y ^ 2 = 4px ) ((p, 0) ) (x = −p ) ((p, pm 2p) )
y-eixo (x ^ 2 = 4py ) ((0, p) ) (y = −p ) (( pm 2p, p) )

As principais características de uma parábola são seu vértice, eixo de simetria, foco, diretriz e latus reto (Figura ( PageIndex {5} )). Quando dada uma equação padrão para uma parábola centrada na origem, podemos identificar facilmente as principais características para representar graficamente a parábola. Diz-se que uma linha é tangente a uma curva se ela cruzar a curva em exatamente um ponto. Se esboçarmos linhas tangentes à parábola nas extremidades do latus reto, essas linhas se cruzam no eixo de simetria, como mostrado na Figura ( PageIndex {6} ).

Como: Dada uma equação de forma padrão para uma parábola centrada em ((0,0) ), esboce o gráfico

  1. Determine qual das formas padrão se aplica à equação fornecida: (y ^ 2 = 4px ) ou (x ^ 2 = 4py ).
  2. Use a forma padrão identificada na Etapa 1 para determinar o eixo de simetria, o foco, a equação da diretriz e os pontos finais do latus reto.
    • Se a equação estiver na forma (y ^ 2 = 4px ), então
      • o eixo de simetria é o eixo (x ), (y = 0 )
      • defina (4p ) igual ao coeficiente de (x ) na equação dada para resolver para (p ). Se (p> 0 ), a parábola abre à direita. Se (p <0 ), a parábola abre à esquerda.
      • use (p ) para encontrar as coordenadas do foco, ((p, 0) )
      • use (p ) para encontrar a equação da diretriz, (x = −p )
      • use (p ) para encontrar os pontos finais do latus reto, ((p, pm 2p) ). Alternativamente, substitua (x = p ) na equação original.
    • Se a equação estiver na forma (x ^ 2 = 4py ), então
      • o eixo de simetria é o eixo (y ), (x = 0 )
      • defina (4p ) igual ao coeficiente de (y ) na equação dada para resolver para (p ). Se (p> 0 ), a parábola se abre. Se (p <0 ), a parábola se abre.
      • use (p ) para encontrar as coordenadas do foco, ((0, p) )
      • use (p ) para encontrar a equação da diretriz, (y = −p )
      • use (p ) para encontrar os pontos finais do latus reto, (( pm 2p, p) )
  3. Trace o foco, a diretriz e o latus reto e desenhe uma curva suave para formar a parábola.

-eixo como o eixo de simetria

Gráfico (y ^ 2 = 24x ). Identifique e rotule o foco, a diretriz e os pontos finais do latus reto.

Solução

A forma padrão que se aplica à equação fornecida é (y ^ 2 = 4px ). Assim, o eixo de simetria é o x-eixo. Segue que:

  • (24 = 4p ), então (p = 6 ). Uma vez que (p> 0 ), a parábola abre à direita
  • as coordenadas do foco são ((p, 0) = (6,0) )
  • a equação da diretriz é (x = −p = −6 )
  • os pontos finais do latus reto têm o mesmo x-coordenar no foco. Para encontrar os pontos finais, substitua (x = 6 ) na equação original: ((6, pm 12) )

Em seguida, plotamos o foco, a diretriz e o latus reto e desenhamos uma curva suave para formar a parábola (Figura ( PageIndex {7} )).

Exercício ( PageIndex {1} )

Gráfico (y ^ 2 = −16x ). Identifique e rotule o foco, a diretriz e os pontos finais do latus reto.

Responder
  • Foco: ((- 4,0) )
  • Directrix: (x = 4 )
  • Pontos finais do latus reto: ((- 4, pm 8) )

-eixo como o eixo de simetria

Gráfico (x ^ 2 = −6y ). Identifique e rotule o foco, a diretriz e os pontos finais do latus reto.

Solução

A forma padrão que se aplica à equação fornecida é (x ^ 2 = 4py ). Assim, o eixo de simetria é o eixo (y ). Segue que:

  • (- 6 = 4p ), então (p = - dfrac {3} {2} ). Desde (p <0 ), a parábola se abre.
  • as coordenadas do foco são ((0, p) = (0, - dfrac {3} {2}) )
  • a equação da diretriz é (y = −p = dfrac {3} {2} )
  • os pontos finais do latus reto podem ser encontrados substituindo (y = dfrac {3} {2} ) na equação original, (( pm 3, - dfrac {3} {2}) )

Em seguida, plotamos o foco, diretriz e latus retoe desenhe uma curva suave para formar a parábola.

Exercício ( PageIndex {2} )

Gráfico (x ^ 2 = 8y ). Identifique e rotule o foco, a diretriz e os pontos finais do latus reto.

Responder
  • Foco: ((0,2) )
  • Directrix: (y = −2 )
  • Pontos finais do reto latus: (( pm 4,2) ).

Escrevendo Equações de Parábolas na Forma Padrão

Nos exemplos anteriores, usamos a equação de forma padrão de uma parábola para calcular as localizações de seus principais recursos. Também podemos usar os cálculos ao contrário para escrever uma equação para uma parábola, quando dadas suas características principais.

Como: Dado seu foco e diretriz, escreva a equação para uma parábola na forma padrão

  1. Determine se o eixo de simetria é o eixo (x ) - ou (y ).
    1. Se as coordenadas do foco fornecidas têm a forma ((p, 0) ), então o eixo de simetria é o eixo (x ). Use a forma padrão (y ^ 2 = 4px ).
    2. Se as coordenadas do foco fornecidas tiverem a forma ((0, p) ), então o eixo de simetria é o eixo (y ). Use a forma padrão (x ^ 2 = 4py ).
  2. Multiplique (4p ).
  3. Substitua o valor da Etapa 2 na equação determinada na Etapa 1.

Exemplo ( PageIndex {3} ): Escrevendo a equação de uma parábola na forma padrão com base no foco e na diretriz

Qual é a equação para a parábola com foco ((- dfrac {1} {2}, 0) ) e diretriz (x = dfrac {1} {2} )?

Solução

O foco tem a forma ((p, 0) ), então a equação terá a forma (y ^ 2 = 4px ).

  • Multiplicando (4p ), temos (4p = 4 (- dfrac {1} {2}) = - 2 ).
  • Substituindo (4p ), temos (y ^ 2 = 4px = −2x ). =

Portanto, a equação da parábola é (y ^ 2 = −2x ).

Exercício ( PageIndex {3} )

Qual é a equação para a parábola com foco ( left (0, dfrac {7} {2} right) ) e diretriz (y = - dfrac {7} {2} )?

Responder

(x ^ 2 = 14y ).

Representando graficamente parábolas com vértices fora da origem

Como outros gráficos com os quais trabalhamos, o gráfico de uma parábola pode ser traduzido. Se uma parábola é traduzida (h ) unidades horizontalmente e (k ) unidades verticalmente, o vértice será ((h, k) ). Esta tradução resulta na forma padrão da equação que vimos anteriormente com (x ) substituído por ((x − h) ) e (y ) substituído por ((y − k) ).

Para representar graficamente parábolas com um vértice ((h, k) ) diferente da origem, usamos a forma padrão ({(y − k)} ^ 2 = 4p (x − h) ) para parábolas que têm um eixo de simetria paralelo ao eixo (x ) - e ({(x − h)} ^ 2 = 4p (y − k) ) para parábolas que têm um eixo de simetria paralelo ao (y )-eixo. Esses formulários padrão são fornecidos a seguir, junto com seus gráficos gerais e recursos principais.

FORMAS PADRÃO DE PARABOLAS COM VERTEX ((H, K) )

Tabela ( PageIndex {2} ) e Figura ( PageIndex {11} ) resumem as características padrão das parábolas com um vértice em um ponto ((h, k) ).

Tabela ( PageIndex {2} )
Eixo de simetriaEquaçãoFocoDiretrizPontos finais de Latus Rectum
(y = k ) ({(y − k)} ^ 2 = 4p (x − h) ) ((h + p, k) ) (x = h − p ) ((h + p, k pm 2p) )
(x = h ) ({(x − h)} ^ 2 = 4p (y − k) ) ((h, k + p) ) (y = k − p ) ((h pm 2p, k + p) )

Como: Dada uma equação de forma padrão para uma parábola centrada em ((h, k) ), esboce o gráfico

  1. Determine qual das formas padrão se aplica à equação dada: ({(y − k)} ^ 2 = 4p (x − h) ) or ({(x − h)} ^ 2 = 4p (y − k) ) ).
  2. Use a forma padrão identificada na Etapa 1 para determinar o vértice, o eixo de simetria, o foco, a equação da diretriz e os pontos finais do latus reto.
    • Se a equação estiver na forma ({(y − k)} ^ 2 = 4p (x − h) ), então:
      • use a equação dada para identificar (h ) e (k ) para o vértice, ((h, k) )
      • use o valor de (k ) para determinar o eixo de simetria, (y = k )
      • defina (4p ) igual ao coeficiente de ((x − h) ) na equação dada para resolver para (p ). Se (p> 0 ), a parábola abre à direita. Se (p <0 ), a parábola abre à esquerda.
      • use (h ), (k ) e (p ) para encontrar as coordenadas do foco, ((h + p, k) )
      • use (h ) ep p para encontrar a equação da diretriz, (x = h − p )
      • use (h ), (k ) e (p ) para encontrar os pontos finais do latus reto, ((h + p, k pm 2p) )
    • Se a equação estiver na forma ({(x − h)} ^ 2 = 4p (y − k) ), então:
      • use a equação dada para identificar (h ) e (k ) para o vértice, ((h, k) )
      • use o valor de (h ) para determinar o eixo de simetria, (x = h )
      • defina (4p ) igual ao coeficiente de ((y − k) ) na equação dada para resolver para (p ). Se (p> 0 ), a parábola se abre. Se (p <0 ), a parábola se abre.
      • use (h ), (k ) e (p ) para encontrar as coordenadas do foco, ((h, k + p) )
      • use (k ) e (p ) para encontrar a equação da diretriz, (y = k − p )
      • use (h ), (k ) e (p ) para encontrar os pontos finais do latus reto, ((h pm 2p, k + p) )
  3. Trace o vértice, o eixo de simetria, o foco, a diretriz e o latus reto e desenhe uma curva suave para formar a parábola.

Exemplo ( PageIndex {4} ): Representando graficamente uma parábola com vértice ((h, k) ) e eixo de simetria paralelo ao eixo (x )

Gráfico ({(y − 1)} ^ 2 = −16 (x + 3) ). Identifique e rotule o vértice, o eixo de simetria, o foco, a diretriz e os pontos finais do latus reto.

Solução

A forma padrão que se aplica à equação fornecida é ({(y − k)} ^ 2 = 4p (x − h) ). Assim, o eixo de simetria é paralelo ao eixo (x ). Segue que:

  • o vértice é ((h, k) = (- 3,1) )
  • o eixo de simetria é (y = k = 1 )
  • (- 16 = 4p ), então (p = −4 ). Desde (p <0 ), a parábola abre à esquerda.
  • as coordenadas do foco são ((h + p, k) = (- 3 + (- 4), 1) = (- 7,1) )
  • a equação da diretriz é (x = h − p = −3 - (- 4) = 1 )
  • os pontos finais do latus reto são ((h + p, k pm 2p) = (- 3 + (- 4), 1 pm 2 (−4)) ), ou ((- 7, −7 ) ) e ((- 7,9) )

Em seguida, plotamos o vértice, o eixo de simetria, o foco, a diretriz e o latus reto, e desenhamos uma curva suave para formar a parábola (Figura ( PageIndex {10} )).

Exercício ( PageIndex {4} )

Gráfico ({(y + 1)} ^ 2 = 4 (x − 8) ). Identifique e rotule o vértice, eixo de simetria, foco, diretriz e pontos finais do latus reto.

Responder
  • Vértice: ((8, -1) )
  • Eixo de simetria: (y = −1 )
  • Foco: ((9, -1) )
  • Directrix: (x = 7 )
  • Pontos finais do latus reto: ((9, −3) ) e ((9,1) ).

Exemplo ( PageIndex {5} ): Representando graficamente uma parábola a partir de uma equação fornecida na forma geral

Gráfico (x ^ 2−8x − 28y − 208 = 0 ). Identifique e rotule o vértice, eixo de simetria, foco, diretriz e pontos finais do latus reto.

Solução

Comece escrevendo a equação da parábola na forma padrão. A forma padrão que se aplica à equação fornecida é ({(x − h)} ^ 2 = 4p (y − k) ). Assim, o eixo de simetria é paralelo ao eixo (y ). Para expressar a equação da parábola desta forma, começamos isolando os termos que contêm a variável (x ) para completar o quadrado.

[ begin {align *} x ^ 2−8x − 28y − 208 & = 0 [4pt] x ^ 2−8x & = 28y + 208 [4pt] x ^ 2−8x + 16 & = 28y + 208 + 16 [4pt] (x − 4) ^ 2 & = 28y + 224 [4pt] (x − 4) ^ 2 & = 28 (y + 8) [4pt] (x − 4) ^ 2 & = 4⋅7⋅ (y + 8) end {align *} ]

Segue que:

  • o vértice é ((h, k) = (4, −8) )
  • o eixo de simetria é (x = h = 4 )
  • uma vez que (p = 7 ), (p> 0 ) e assim a parábola se abre
  • as coordenadas do foco são ((h, k + p) = (4, −8 + 7) = (4, −1) )
  • a equação da diretriz é (y = k − p = −8−7 = −15 )
  • os pontos finais do latus reto são ((h pm 2p, k + p) = (4 pm 2 (7), - 8 + 7) ), ou ((- 10, −1) ) e ((18, -1) )

Em seguida, plotamos o vértice, o eixo de simetria, o foco, a diretriz e o latus reto e desenhamos uma curva suave para formar a parábola (Figura ( PageIndex {14} )).

Exercício ( PageIndex {5} )

Gráfico ({(x + 2)} ^ 2 = −20 (y − 3) ). Identifique e rotule o vértice, eixo de simetria, foco, diretriz e pontos finais do latus reto.

Responder
  • Vértice: ((- 2,3) )
  • Eixo de simetria: (x = −2 )
  • Foco: ((- 2, −2) )
  • Directrix: (y = 8 )
  • Pontos finais do latus reto: ((- 12, −2) ) e ((8, −2) ).

Resolvendo problemas aplicados envolvendo parábolas

Como mencionamos no início desta seção, as parábolas são usadas para projetar muitos objetos que usamos todos os dias, como telescópios, pontes suspensas, microfones e equipamentos de radar. Os espelhos parabólicos, como o usado para iluminar a tocha olímpica, têm uma propriedade refletora muito especial. Quando os raios de luz paralelos ao eixo de simetria da parábola são direcionados para qualquer superfície do espelho, a luz é refletida diretamente para o foco (Figura ( PageIndex {16} )). É por isso que a tocha olímpica é acesa quando é segurada no foco do espelho parabólico.

Os espelhos parabólicos têm a capacidade de concentrar a energia do sol em um único ponto, aumentando a temperatura em centenas de graus em questão de segundos. Assim, os espelhos parabólicos são apresentados em muitos produtos solares de baixo custo e eficientes em termos de energia, como fogões solares, aquecedores solares e até mesmo iniciadores de incêndio do tamanho de uma viagem.

Exemplo ( PageIndex {6} ): Resolvendo problemas aplicados envolvendo parábolas

Uma seção transversal de um projeto para um iniciador solar de incêndio do tamanho de uma viagem é mostrada na Figura ( PageIndex {17} ). Os raios do sol são refletidos no espelho parabólico em direção a um objeto conectado ao dispositivo de ignição. Como o dispositivo de ignição está localizado no foco da parábola, os raios refletidos fazem com que o objeto queime em apenas alguns segundos.

  1. Encontre a equação da parábola que modela o acionador de partida. Suponha que o vértice do espelho parabólico seja a origem do plano de coordenadas.
  2. Use a equação encontrada na parte (a) para encontrar a profundidade do iniciador de incêndio.

Solução

  1. O vértice do prato é a origem do plano de coordenadas, então a parábola assumirá a forma padrão (x ^ 2 = 4py ), onde (p> 0 ). O dispositivo de ignição, que é o foco, está (1,7 ) polegadas acima do vértice do prato. Assim, temos (p = 1,7 ).

[ begin {align *} x ^ 2 & = 4py qquad text {Forma padrão da parábola voltada para cima com vértice} (0,0) x ^ 2 & = 4 (1,7) y qquad text {Substituto } 1.7 text {for} p x ^ 2 & = 6.8y qquad text {Multiplicar.} End {alinhar *} ]

  1. O prato se estende ( dfrac {4,5} {2} = 2,25 ) polegadas em cada lado da origem. Podemos substituir (2.25 ) por (x ) na equação da parte (a) para encontrar a profundidade do prato.

[ begin {align *} x ^ 2 & = 6.8y qquad text {Equação encontrada na parte} (a) {(2.25)} ^ 2 & = 6.8y qquad text {Substituto} 2.25 text { para} x y & approx 0,74 qquad text {Resolva para} y end {alinhar *} ]

O prato tem cerca de (0.74 ) polegadas de profundidade.

Exercício ( PageIndex {6} )

Os fogões solares do tamanho de uma varanda foram projetados para famílias que vivem na Índia. A parte superior de um prato tem um diâmetro de (1600 ) mm. Os raios do sol refletem no espelho parabólico em direção ao "fogão", que é colocado a (320 ) mm da base.

  1. Encontre uma equação que modele uma seção transversal do fogão solar. Suponha que o vértice do espelho parabólico é a origem do plano de coordenadas, e que a parábola abre para a direita (ou seja, tem o x-eixo como seu eixo de simetria).
  2. Use a equação encontrada na parte (a) para encontrar a profundidade do fogão.
Responder a

(y ^ 2 = 1280x )

Resposta b

A profundidade do fogão é (500 ) mm

Equações Chave

Parábola, vértice na origem, eixo de simetria em x-eixo (y ^ 2 = 4px )
Parábola, vértice na origem, eixo de simetria em y-eixo (x ^ 2 = 4py )
Parábola, vértice em ((h, k) ), eixo de simetria em x-eixo ({(y − k)} ^ 2 = 4p (x − h) )
Parábola, vértice em ((h, k) ), eixo de simetria em y-eixo ({(x − h)} ^ 2 = 4p (y − k) )

Conceitos chave

  • Uma parábola é o conjunto de todos os pontos ((x, y) ) em um plano que estão à mesma distância de uma linha fixa, chamada de diretriz, e um ponto fixo (o foco) que não está na diretriz.
  • A forma padrão de uma parábola com vértice ((0,0) ) e o x-eixo como seu eixo de simetria pode ser usado para representar graficamente a parábola. Se (p> 0 ), a parábola abre à direita. Se (p <0 ), a parábola abre à esquerda. Veja Exemplo ( PageIndex {1} ).
  • A forma padrão de uma parábola com vértice ((0,0) ) e o y-eixo como seu eixo de simetria pode ser usado para representar graficamente a parábola. Se (p> 0 ), a parábola se abre. Se (p <0 ), a parábola se abre. Veja Exemplo ( PageIndex {2} ).
  • Quando dados o foco e a diretriz de uma parábola, podemos escrever sua equação na forma padrão. Veja Exemplo ( PageIndex {3} ).
  • A forma padrão de uma parábola com vértice ((h, k) ) e eixo de simetria paralelo ao eixo (x ) pode ser usada para representar graficamente a parábola. Se (p <0 ), a parábola abre à esquerda. Veja Exemplo ( PageIndex {4} ).
  • A forma padrão de uma parábola com vértice ((h, k) ) e eixo de simetria paralelo ao eixo (y ) pode ser usada para representar graficamente a parábola. Veja Exemplo ( PageIndex {5} ).
  • Situações do mundo real podem ser modeladas usando as equações padrão de parábolas. Por exemplo, dados o diâmetro e o foco de uma seção transversal de um refletor parabólico, podemos encontrar uma equação que modela seus lados. Veja Exemplo ( PageIndex {6} ).

Compreendendo as parábolas

Observe que a parábola é uma linha de simetria, o que significa que os dois lados se espelham.

Existem dois padrões para uma parábola, pois ela pode ser vertical (abre para cima ou para baixo) ou horizontal (abre para a esquerda ou direita).

Padrões:

Vejamos alguns pontos-chave sobre esses padrões:

  • Se x for elevado ao quadrado, a parábola é vertical (abre para cima ou para baixo). Se y for quadrado, é horizontal (abre para a esquerda ou para a direita).
  • Se a for positivo, a parábola abre para cima ou para a direita. Se for negativo, ele abre para baixo ou para a esquerda.
  • O vértice está em (h, k). Você tem que ser muito cuidadoso. Observe como a localização de hek muda com base em se a parábola é vertical ou horizontal. Além disso, a coordenada dentro do parêntese é negativa, mas a do lado de fora não é.

Vamos dar uma olhada em algumas parábolas e ver o que podemos determinar sobre elas.

1.

Primeiro, sabemos que essa parábola é vertical (abre para cima ou para baixo) porque x é ao quadrado. Podemos determinar que ele abre porque a (-2) é negativo.

Em seguida, podemos encontrar o vértice (h, k). Para uma parábola vertical, h está entre parênteses e, como há um negativo no padrão, devemos considerar o oposto. Portanto, h = -3. k está fora e o sinal no padrão é positivo, portanto, manteremos esse número como está. k = 4. Assim, nosso vértice é (-3, 4).

Resumo: Esta é uma parábola vertical que se abre para baixo. Seu vértice é (-3, 4).

2.

Primeiro, sabemos que essa parábola é horizontal (abre para a esquerda ou para a direita) porque y é ao quadrado. Podemos determinar que ele abre para a direita porque a (1/2) é positivo.

Em seguida, podemos encontrar o vértice (h, k). Para uma parábola horizontal, h está fora do parêntese e, como há um positivo no padrão, deixaremos como está. Portanto, h = -1. k está dentro e o sinal no padrão é negativo, então consideraremos o oposto. k = 4. Assim, nosso vértice é (-1, 4).

Resumo: Esta é uma parábola horizontal que se abre para a direita. Seu vértice é (-1, 4).

Prática: Determine se a parábola abre para cima, para baixo, para a esquerda ou para a direita. Em seguida, encontre seu vértice.

1.

2.

3.

4.

5.

Respostas: 1) Abre para cima, vértice: (-5, -2) 2) Abre para a esquerda, vértice: (-5, 4) 3) Abre para a direita, vértice: (6, -3) 4) Abre para cima, vértice : (0, -3) 5) Abre para baixo, vértice: (4, 1)


Calculando o foco e diretriz

Abaixo está um exemplo de como calcular o foco e diretriz que pode fornecer uma melhor compreensão da definição matemática de uma parábola fornecida acima:

O foco é um ponto localizado na mesma linha do eixo de simetria, enquanto a diretriz é uma linha perpendicular ao eixo de simetria. Para parábolas, o foco está sempre no interior da parábola, e a diretriz nunca toca a parábola. Como o vértice está à mesma distância do foco e da diretriz, a diretriz tem uma localização diretamente oposta ao foco.

Para uma parábola na forma de vértice y = a (x - h) 2 + k, o foco está localizado em (h, k +) e a diretriz está localizada em y = k -.

Para parábolas horizontais, o vértice é x = a (y - k) 2 + h, onde (h, k) é o vértice. O foco das parábolas nesta forma tem um foco localizado em (h +, k) e uma diretriz em x = h -. O eixo de simetria está localizado em y = k.


Palestra: Parábola

Trabalho muito bom com as edições. Sua apresentação geral é excepcionalmente clara.

Se for possível criar um gráfico para a seção "Finding the Focus and Directrix", ótimo, mas se não funcionar, não tem problema. Uma coisa que você poderia fazer para simplificar isso seria representar graficamente uma parábola e, em seguida, adicionar um ponto e uma linha tracejada usando o Microsoft Word (Brendan pode mostrar como fazer isso). Então, em vez de realmente colocar expressões matemáticas no próprio desenho, simplesmente consulte os desenhos em seu texto.

Seria muito bom adicionar uma seção relacionando o material da seção mais matemática à ideia de uma parábola como representando a trajetória de um objeto lançado, como uma interpretação de a, b e c (forma padrão), e h e k (forma de vértice) para um objeto lançado (não tão difícil). No entanto, isso é totalmente opcional.

As demais mudanças que eu diria que são necessárias são todas muito pequenas:

  • No início da seção do formulário padrão, talvez substitua "O mais comumente usado" por "Qualquer parábola orientada verticalmente pode ser escrita usando a equação [inserir equação]. Além disso, o gráfico de qualquer equação neste formato será uma parábola. " O problema com "mais comumente usado" é que não deixa claro que uma parábola vertical sempre pode ser descrita dessa maneira.
  • Para ir da forma padrão para a forma de vértice, é necessário fatorarmos a equação. Em alguns casos, a equação como está será fatorável. O fatoração em geral é apenas indiretamente útil para escrever um quadrático na forma padrão. Por exemplo, x ^ 2 + 7x + 10 = (x + 5) (x + 2), mas leva um pouco de trabalho para ir de lá para a forma de vértice, então, talvez deletar essas duas sentenças ou substituí-las por algo vago, como "às vezes há atalhos, mas em geral.
  • Dois pequenos problemas com "Os gráficos de parábolas costumam ser orientados verticalmente, de modo que a parábola abre para cima ou para baixo, embora também possam abrir para os lados. Nesse caso, as equações da parábola serão escritas orientadas verticalmente para manter a consistência. parábolas, oxey podem ser trocados. "
    • As parábolas também podem abrir diagonalmente. As equações ficam muito mais desagradáveis.
    • A frase "Neste caso." É uma frase realmente útil, o texto é um pouco confuso. Por "Neste caso", você quer dizer "Nas equações abaixo" e quando diz "as equações. Serão escritas orientadas verticalmente", acho que você quer dizer as equações representadas por parábolas orientadas verticalmente, enquanto o texto implica que as próprias equações são orientadas verticalmente.

    Tanya 7/7

    Acredito que abordei a maioria das mudanças. Vou tentar fazer uma imagem para a seção de foco / diretriz, mas não estou muito confiante em minhas habilidades de desenho / gráfico.

    Abram 7/7

    Esta página é muito legal. Concordo com Anna que ajudaria a ocultar cada uma das etapas de derivação.

    A outra mudança que considero crítica (mas é muito mais fácil!) É tornar todos os ys na descrição mais matemática em letras minúsculas.

    Algumas outras pequenas ideias, com mudanças mais importantes no início (mas nenhuma delas é crítica):

    • No início da seção "Formulário Padrão", qualifique a quais tipos de parábolas essa equação pode ser aplicada. Algo como, "Gráficos de parábolas são freqüentemente orientados verticalmente, de modo que a parábola se abre para cima ou para baixo. Neste caso, a equação da parábola pode ser escrita como."
    • Da mesma forma, na derivação, observe explicitamente que esta derivação está assumindo uma diretriz horizontal, o que não é necessário para parábolas em geral.
    • Uma imagem para a seção "Encontrando o foco e a diretriz" seria extremamente útil, embora eu possa imaginar que seja uma grande dor de se encontrar ou gerar.
    • Na Descrição Básica, elimine a frase que diz: "À esquerda, podemos ver um plano cortando o cone inferior de modo que passe pela base circular." Essa frase não é realmente necessária e eliminá-la elimina a necessidade de falar sobre um cone finito duas frases depois de você afirmar especificamente que os cones são infinitos.

    Anna 6/7

    Sei que seria entediante de fazer, mas acho que ficaria melhor se você ocultasse cada uma das etapas de derivação (acho que uma das páginas de Brendan tem um bom exemplo disso) da derivação em vez de tudo.

    Quando alguém clica nele, meus pensamentos são "oh, vamos ver uma derivação" * clique * "GAHHH, isso é tanta matemática de uma vez! Como posso fazer isso ir embora de novo?" Basicamente, ter tudo isso aparecendo de uma vez é assustador, e até mesmo meus olhos ficam um pouco vidrados nisso. Essa é a única coisa que eu mudaria, no entanto.

    Anna 4/7

    Tirei a palavra "geral" no mouse para "base" para tornar a frase mais clara.

    Você pode ocultar o conteúdo das etapas algébricas, mantendo os resumos acima? Como "agora colocamos os dois lados ao quadrado" [mostrar a equação] & # 160?

    Gene 29/06

    "mas também em MUITOS OUTROS CAMPOS, COMO Física e Engenharia. '

    Anna 29/06

    Não diria que a parábola é "usada" nesses campos, diria que surge neles.

    Eu forçaria todas as suas equações a terem o mesmo tamanho em sua derivação. (você pode fazer isso usando left (e right) para seus parênteses para apenas um conjunto de parênteses.)

    O mouse sobre a palavra "vértice" deve ser reformulado.

    Alterar "igual com o formulário padrão" para "igual ao formulário padrão"

    Você vai terminar essa última seção aqui? Ou você acha que pode transformá-lo em uma ideia para o futuro?

    Além disso, aposto que existem algumas imagens ópticas e miniaplicativos muito legais que ilustram as coisas que você está falando. Você pode querer pesquisar no Google miniaplicativos ou imagens de "espelho parabólico" ou "lente parabólica" para obter mais ideias e ver coisas novas. Isso também o traria de volta à sua ideia inicial de que uma parábola surge em outros campos.


    Questões

    RAÍZES
    Quando você resolve a equação quadrática y = x 2 & ndash 6x + 8 = 0 por fatoração ou por fórmula, x = 2 ou 4. Essas são as 2 raízes da equação. O que você nota sobre essas raízes e os pontos em que a parábola cruza o eixo x?

    PONTO DE INFLEXÃO
    A fórmula para encontrar o valor x do ponto de viragem da parábola é x = & ndashb / 2a. Use esta fórmula para encontrar o valor x onde o gráfico gira. Substitua este valor x na equação y = x 2 & ndash 6x + 8 para encontrar o valor y do ponto de viragem. O que você percebe?


    Usando a definição de uma parábola para encontrar a equação de uma parábola.

    Escreva uma equação para um gráfico que é o conjunto de todos os pontos no plano que estão à mesma distância do ponto (0,4) e da linha y = -4

    De acordo com a definição, FG = GQ. Portanto, vamos encontrar todos os pontos P (x, y) de forma que FG e a distância de G à reta sejam iguais.


    Parábolas do mundo real

    As aparições de formas parabólicas no mundo físico são muito abundantes. Aqui estão alguns exemplos com os quais você pode estar familiarizado. Abaixo você verá cinco estruturas do mundo real, algumas das quais são parábolas: uma montanha-russa, o refletor de uma lanterna, a base da Torre Eiffel, os arcos do McDonald's, e a trajetória de vôo do simulador zero-G da NASA, conhecido como o "cometa do vômito".



    Você já se perguntou por que as melhores montanhas-russas são parabólicas? Quando você está viajando nessas montanhas-russas, parece que está derrotando a força da gravidade, certo? Exatamente! Quando uma montanha-russa cai do pico da parábola, ela está rejeitando a resistência do ar e todos os corpos estão caindo na mesma proporção. A única força aqui é a gravidade.

    As forças G também desempenham um papel importante na sensação de leveza e peso ao cair. Primeiro, é importante distinguir que a gravidade não é uma força G. A força G é medida pelo que você sente enquanto está sentado no campo gravitacional da Terra. Então, por exemplo, quando você está sentado em uma montanha-russa, o assento está exercendo a mesma quantidade de força que a terra, mas é direcionado de forma oposta, é isso que o mantém sentado. Mas, quando você está caindo, não está experimentando nenhum G (força G zero), então, na verdade, o assento não está apoiando você de forma alguma! Mas, uma vez que você está no fundo de uma queda, a força G volta a ser maior que 1:

    • As forças G são maiores no mínimo de uma parábola
    • As forças G são pelo menos no máximo de uma parábola

    Portanto, a forma de uma montanha-russa, bem como a subida e a descida, desempenham um papel vital na diversão do piloto. As montanhas-russas de formato parabólico são muito apreciadas por causa da intensa atração da gravidade e da força G inexistente que ocorre ao cair.


    Equation of Circle and Parabolas

    &emsp&emspA circle C in the XY plane, with center at the point (h, k) and radius r , is the set of all points at distance r from the point (h, k) . Let P : (x,y) be any point on C . Then by the distance formula from Section 7.1 we have

    An equivalent equation is

    Obtain an equation for the circle having its center at (-1,3/2) and a radius of 2 .
    Substituting into (1) we obtain

    This is a convenient form in which to leave the equation, since it readily yields the radius and the coordinates of the center.
    &emsp&emspConsider the equation

    We recall from Section 6.7 that by using the method of completing the square, this equation can be written in the form

    We recognize from the form of (2) that its graph, and hence the graph of (1), is the circle with center (h, k) and radius r .

    Completing the square we have

    From this last equation we recognize that its graph is the circle with center (3/4,-1) and radius 7/4 .

    Let's see how our graph generator solves this problem and similar problems and generate graphs. Click on "Solve Similar" button to see more examples.

    7.6&emsp&emspSome Parabolas and Their Equations

    &emsp&emspIn many situations a certain type of curve, called a parabola, appears. For example, the path traced out by a stone thrown into the air (not vertically) is a part of a parabola. The arc of water from a hose is a part of a parabola. The reflecting mirror in a car headlight is in the shape of a parabolic dish, and so are the mirrors in a good reflecting telescope.
    In a coordinate plane, parabolas are graphs of certain types of second degree equations in the variables x and y . An example of such an equation is
    (1)&emsp&emsp&emsp y=x^2
    Plotting points and graphing we obtain the curve as shown in Figure 8. From the equation we can tell that as x increases positively or negatively y increases positively. The point at which the parabola turns most sharply is its vertex. The vertex of the parabola in Figure 8 is the point (0,0) . This parabola opens upward and the vertical line through its vertex divides it into mirror image halves. This line is called the axis of symmetry of the parabola.
    The parabola y=x^2 is just one of the many parabolas with vertical axis and vertex at the origin. In fact, these parabolas are the graphs of equations of the form
    (2)&emsp&emsp&emsp y=ax^2
    where a is a nonzero real number. If a is positive, then the parabola opens upward. while if a is negative it opens down. To sketch the

    x y
    -3 9
    -2 4
    -1 1
    0 0
    1 1
    2 4
    3 9

    graph of a parabola it is usually sufficient to plot the vertex and two or three points on each side of the axis of symmetry.

    Exemplo 1&emsp&emspGraph y=-(1/2)x^2 .

    This is a parabola with vertex at the origin and the Y axis as its axis of symmetry. Since the coefficient -1/2 is negative, the parabola opens downward.

    x y
    -4 -8
    -3 -9/2
    -2 -2
    -1 -1/2
    0 0
    1 -1/2
    2 -2
    3 -9/2
    4 -8

    also have graphs that are parabolas. In fact, they are parabolas with vertex at the point (h,k) and whose axis of symmetry is the vertical line through (h,k) . They open up or down depending on whether a is positive or negative.

    Example 2.&emsp&emspGraph y-3=1/3(x+1)^2 .

    This is a parabola with vertex at (-1,3) which opens up. Its axis of symmetry is the line x=-1 .

    x y
    -4 6
    -3 13/3
    -2 10/3
    -1 3
    0 10/3
    1 13/3
    2 6
    3 25/3

    Consider an equation of the form

    By completing the square we can transform this equation to one of the form (3) above. Thus the graph of (4) is a parabola. From the resulting equation we can determine the vertex, axis of symmetry, and the direction in which the parabola opens.

    Example 3.&emsp&emspGraph y=2x^2+3x-1 .

    We complete the square on the right-hand side

    The graph of the resulting equation is seen to be a parabola opening upward with vertex at (-3/4,-17/8) and axis of symmetry the line x=-3/4

    x y
    -2 1
    -3 8
    1 4
    2 13

    Similarly, equations of the form

    have parabolas for graphs. These parabolas have horizontal axes of symmetry and open either to the left or to the right depending on whether a is negative or positive. Again we find the vertex and axis of symmetry by completing the square.

    The graph of this equation is a parabola with vertex at (1,2) , it opens
    to the right, and its axis of symmetry is the line y=2 .

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    Find an equation of the parabola having vertex (3,1) , vertical axis of symmetry, and passing through the point P : (2,3) .


    Examples of Parabolas

    Exemplo 1: Find an equation of the parabola having its focus at $left( <0, – 3> ight)$ and as its directrix on the line $y = 3$.

    Solução: Since the focus is on the Y-axis and is also below the directrix, the parabola opens downward, and $a = – 3$. Hence the equation of the parabola is $ = – 12y$. The length of the latus rectum is $|4left( < – 3> ight)| = 12$.

    Exemplo 2: Given the parabola having the equation $ = 7x$, find the coordinates of the focus, the equation of the directrix, and the length of the latus rectum.

    Solução: Compared with the general equation, here we have $4a = 7 Rightarrow a = frac<7><4>$. Since $a > 0$, the parabola opens to the right. The focus is at the point $Fleft( <4>,0> ight)$.
    The equation of the directrix is $x = – frac<7><4>$. The length of the latus rectum is $7$.

    Exemplo 3: Show that the ordinate at any point $P$ of the parabola is a mean proportional between the length of the latus rectum and the abscissa of $P$.

    Solução: Let $Pleft( ight)$ be any point of the parabola
    $ = 4ax$

    Then the length of the latus rectum is $l = 4a$, therefore from the above parabola equation:
    [começar 4ax = Rightarrow left( direita esquerda( ight) = ight)^2> end ]

    This shows that the ordinate at any point $P$ of the parabola is a mean proportional between the length of the latus rectum and the abscissa of $P$.


    Parabola : Standard equation of Parabola , Latus Rectum

    DEFINITION : CONIC SECTION
    A conic section or conic is the locus of a point, which moves in a plane so that its distance from a fixed point is in a constant ratio to its distance from a fixed straight line, not passing through the fixed point.

    ∎ The fixed point is called the focus.

    ∎ The fixed straight line is called the directrix.

    ∎ The constant ratio is called the eccentricity and is denoted by e.

    ∎ When the eccentricity is unity i.e., e = 1 , the conic is called a parabola

    when e < 1, the conic is called an ellipse .

    and when e > 1, the conic is called a hyperbola.

    ∎ The straight line passing through the focus and perpendicular to the directrix is called the axis of the parabola.

    ∎ A point of intersection of a conic with its axis is called vertex.

    Standard equation of a Parabola:

    Let S be the focus, ZM the directrix and P the moving point. Draw SZ perpendicular from S on the directrix. Then SZ is the axis of the parabola. Now the middle point of SZ , say A , will lie on the locus of P ,

    i.e., AS = AZ
    Take A as the origin, the x-axis along AS, and the y-axis along the perpendicular to AS at A, as in the figure.

    Let AS = a , so that ZA is also a .

    Let (x, y) be the coordinates of the moving point P.

    Then MP = ZN = ZA + AN = a + x .

    So that , (a + x) 2 = (x – a) 2 + y 2

    Hence , the equation of parabola is y 2 = 4ax

    Latus Rectum:

    The chord of a parabola through the focus and perpendicular to the axis is called the latus rectum.

    In the figure LSL’ is the latus rectum.

    Also LSL’ = 4a = double ordinate through the focus S.

    Observação:
    ∎ Any chord of the parabola y 2 = 4ax perpendicular to the axis of the parabola is called double ordinate.
    ∎ Two parabolas are said to be equal when their latus recta are equal.

    Four common forms of a Parabola

    Four common forms of a Parabola:

    ∎ Equation of the Directrix: x = −a

    ∎ Equation of the Directrix : x = a

    ∎ Equation of the Directrix : y = -a

    ∎ Equation of the Directrix : y = a

    Illustration : Find the vertex , axis , directrix, focus, latus rectum and the tangent at vertex for the parabola 9y 2 − 16x − 12y − 57 = 0

    Solution: The given equation can be rewritten as

    which is of the form Y 2 = 4AX.

    Hence the vertex is (− 61/16 , 2/3)

    The directrix is : X + A = 0

    The focus is X = A and Y = 0

    Length of the latus rectum = 4A = 16/9

    The tangent at the vertex is X = 0

    Illustration : The extreme points of the latus rectum of a parabola are (7, 5) and (7, 3). Find the equation of the parabola and the points where it meets the axes.

    Solution: Focus of the parabola is the mid-point of the latus rectum.

    Also axis of the parabola is perpendicular to the latus rectum and passes through the focus. Its equation is

    Length of the latus rectum = (5 − 3) = 2

    Hence the vertex of the parabola is at a distance 2/4 = 0.5 from the focus. We have two parabolas, one concave rightwards and the other concave leftwards.

    The vertex of the first parabola is (6.5, 4)

    and its equation is (y − 4) 2 = 2(x − 6.5)

    and it meets the x-axis at (14.5 , 0).

    The equation of the second parabola is

    It meets the x-axis at (−0.5, 0) and the y-axis at (0, 4 ± √15).

    Exercise :
    (i) Find the equation of parabola whose focus is (1, −1) and whose vertex is (2, 1). Also find its axis and latus rectum.

    (ii) Find vertex, focus, directix and latus rectum of the parabola y 2 + 4x + 4y − 3 = 0.

    (iii) Find the equation of the parabola whose axis is parallel to the y – axis and which passes through the points (0, 4), (1, 9) and (−2, 6) and determine its latus rectum.


    Assista o vídeo: PARÁBOLA: Definición y Demostración de su ecuación matemática. (Outubro 2021).