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12.1: Funções com valor vetorial e curvas de espaço - Matemática


Nosso estudo de funções com valor vetorial combina idéias de nosso exame anterior do cálculo de variável única com nossa descrição de vetores em três dimensões no capítulo anterior. Nesta seção, estendemos conceitos de capítulos anteriores e também examinamos novas idéias sobre curvas no espaço tridimensional. Essas definições e teoremas apóiam a apresentação do material no restante deste capítulo e também nos capítulos restantes do texto.

Definição de uma função com valor vetorial

Nosso primeiro passo no estudo do cálculo de funções com valor vetorial é definir o que é exatamente uma função com valor vetorial. Podemos então olhar para os gráficos de funções com valor vetorial e ver como eles definem curvas em duas e três dimensões.

Definição: Funções com valor vetorial

Uma função com valor vetorial é uma função da forma

[ vecs r (t) = f (t) , hat { mathbf {i}} + g (t) , hat { mathbf {j}} quad text {ou} quad vecs r (t) = f (t) , hat { mathbf {i}} + g (t) , hat { mathbf {j}} + h (t) , hat { mathbf { k}}, ]

onde as funções do componente (f ), (g ) e (h ), são funções com valor real do parâmetro (t ).

Funções com valor vetorial também podem ser escritas na forma

[ vecs r (t) = ⟨f (t), , g (t)⟩ ; ; text {ou} ; ; vecs r (t) = ⟨f (t), , g (t), , h (t)⟩. ]

Em ambos os casos, a primeira forma da função define uma função de valor vetorial bidimensional no plano; a segunda forma descreve uma função de valor vetorial tridimensional no espaço.

Freqüentemente usamos (t ) como parâmetro porque (t ) pode representar o tempo.

O parâmetro (t ) pode estar entre dois números reais: (a≤t≤b ), ou seu valor pode variar em todo o conjunto de números reais.

Cada uma das funções de componente que compõem uma função com valor vetorial pode ter restrições de domínio que impõem restrições ao valor de (t ).

O domínio de uma função com valor vetorial ( vecs r ) é a interseção dos domínios de suas funções componentes, ou seja, é o conjunto de todos os valores de (t ) para os quais a função com valor vetorial é definida .

Exemplo ( PageIndex {1} ): Encontrando o domínio de uma função com valor vetorial

Indique o domínio da função com valor vetorial ( vecs r (t) = sqrt {2-t} , hat { mathbf {i}} + ln (t + 3) , hat { mathbf {j}} + e ^ t , hat { mathbf {k}} ).

Solução

Primeiro consideramos o domínio natural de cada função componente. Observe que listamos os domínios em ambos notação set-builder e notação de intervalo.

Função: Domínio:
( begin {array} {ll} sqrt {2-t} & & big {, t , | , t le 2 big } quad text {ou} quad (- infty, 2 big]
ln (t + 3) & & big {, t , | , t gt -3 big } quad text {ou} quad (-3, infty)
e ^ t & & (- infty, infty) end {array} )

O domínio de ( vecs r ) é a interseção desses domínios, então ele deve conter todos os valores de (t ) que funcionam em todos os três, mas nenhum valor de (t ) que não funciona em nenhum uma dessas funções.

Portanto, o domínio de ( vecs r ) é: ( text {D} _ { vecs r}: big {, t , | , -3 lt t le 2 big } ) ou ((-3, 2 big] ).

Observe que apenas uma forma do domínio de ( vecs r ) precisa ser fornecida. O primeiro, ( big {, t , | , -3 lt t le 2 big } ), está em notação set-builder, enquanto o segundo, ((-3, 2 big] ), está em notação de intervalo.

Exemplo ( PageIndex {2} ): Avaliando funções com valor vetorial e determinando domínios

Para cada uma das seguintes funções com valor vetorial, avalie ( vecs r (0) ), ( vecs r ( frac { pi} {2}) ) e ( vecs r ( frac {2 pi} {3}) ). Alguma dessas funções tem restrições de domínio?

  1. ( vecs r (t) = 4 cos t , hat { mathbf {i}} + 3 sin t , hat { mathbf {j}} )
  2. ( vecs r (t) = 3 tan t , hat { mathbf {i}} + 4 sec t , hat { mathbf {j}} + 5t , hat { mathbf { k}} )

Solução

  1. Para calcular cada um dos valores da função, substitua o valor apropriado de (t ) na função:

    begin {align *} vecs r (0) ; & = 4 cos (0) hat { mathbf {i}} + 3 sin (0) hat { mathbf {j}} [4pt] & = 4 hat { mathbf {i}} +0 hat { mathbf {j}} = 4 hat { mathbf {i}} [4pt] vecs r left ( frac { pi} {2} right) ; & = 4 cos left ( frac {π} {2} right) hat { mathbf {i}} + 3 sin left ( frac {π} {2} right) hat { mathbf {j}} [4pt] & = 0 hat { mathbf {i}} + 3 hat { mathbf {j}} = 3 hat { mathbf {j}} [4pt] vecs r left ( frac {2 pi} {3} right) ; & = 4 cos left ( frac {2π} {3} right) hat { mathbf {i}} + 3 sin left ( frac {2π} {3} right) hat { mathbf {j}} [4pt] & = 4 left (- tfrac {1} {2} right) hat { mathbf {i}} + 3 left ( tfrac { sqrt {3} } {2} right) hat { mathbf {j}} = - 2 hat { mathbf {i}} + tfrac {3 sqrt {3}} {2} hat { mathbf {j} } end {align *}

    Para determinar se esta função tem alguma restrição de domínio, considere as funções do componente separadamente. A primeira função de componente é (f (t) = 4 cos t ) e a segunda função de componente é (g (t) = 3 sin t ). Nenhuma dessas funções tem uma restrição de domínio, então o domínio de ( vecs r (t) = 4 cos t , hat { mathbf {i}} + 3 sin t , hat { mathbf { j}} ) são todos números reais.
  2. Para calcular cada um dos valores da função, substitua o valor apropriado de t na função: [ begin {align *} vecs r (0) ; & = 3 tan (0) hat { mathbf {i}} + 4 sec (0) hat { mathbf {j}} + 5 (0) hat { mathbf {k}} [ 4pt] & = 0 hat { mathbf {i}} + 4j + 0 hat { mathbf {k}} = 4 hat { mathbf {j}} [4pt] vecs r left ( frac { pi} {2} right) ; & = 3 tan left ( frac { pi} {2} right) hat { mathbf {i}} + 4 sec left ( frac { pi} {2} right) hat { mathbf {j}} + 5 left ( frac { pi} {2} right) hat { mathbf {k}}, , text {que não existe} [4pt] vecs r left ( frac {2 pi} {3} right) ; & = 3 tan left ( frac {2 pi} {3} right) hat { mathbf {i}} + 4 sec left ( frac {2 pi} {3} right) hat { mathbf {j}} + 5 left ( frac {2 pi} {3} right) hat { mathbf {k}} [4pt] & = 3 (- sqrt {3 }) hat { mathbf {i}} + 4 (−2) hat { mathbf {j}} + frac {10π} {3} hat { mathbf {k}} [4pt] & = (- 3 sqrt {3}) hat { mathbf {i}} - 8 hat { mathbf {j}} + frac {10π} {3} hat { mathbf {k}} end {align *} ] Para determinar se esta função tem alguma restrição de domínio, considere as funções do componente separadamente. A primeira função de componente é (f (t) = 3 tan t ), a segunda função de componente é (g (t) = 4 sec t ), e a terceira função de componente é (h (t) = 5t ). As duas primeiras funções não são definidas para múltiplos ímpares de ( frac { pi} {2} ), então a função não é definida para múltiplos ímpares de ( frac { pi} {2} ). Portanto, [ text {D} _ { vecs r} = Big {t , | , t ≠ frac {(2n + 1) pi} {2} Big }, nonumber ] onde (n ) é qualquer número inteiro.

Exercício ( PageIndex {1} )

Para a função de valor vetorial ( vecs r (t) = (t ^ 2−3t) , hat { mathbf {i}} + (4t + 1) , hat { mathbf {j}} ), avalie ( vecs r (0), , vecs r (1) ) e ( vecs r (−4) ). Esta função tem alguma restrição de domínio?

Dica

Substitua os valores apropriados de (t ) na função.

Responder:

( vecs r (0) = hat { mathbf {j}}, , vecs r (1) = - 2 hat { mathbf {i}} + 5 hat { mathbf {j}} , , vecs r (−4) = 28 hat { mathbf {i}} - 15 hat { mathbf {j}} )

O domínio de ( vecs r (t) = (t ^ 2−3t) hat { mathbf {i}} + (4t + 1) hat { mathbf {j}} ) são todos números reais.

Exemplo ( PageIndex {1} ) ilustra um conceito importante. O domínio de uma função com valor vetorial consiste em números reais. O domínio pode ser composto por todos os números reais ou um subconjunto dos números reais. O intervalo de uma função com valor vetorial consiste em vetores. Cada número real no domínio de uma função com valor vetorial é mapeado para um vetor bidimensional ou tridimensional.

Representação gráfica de funções com valor vetorial

Lembre-se de que um vetor plano consiste em duas grandezas: direção e magnitude. Dado qualquer ponto do plano (o ponto inicial), se nos movermos em uma direção específica para uma distância específica, chegamos a um segundo ponto. Isso representa o ponto final do vetor. Calculamos os componentes do vetor subtraindo as coordenadas do ponto inicial das coordenadas do ponto terminal.

Um vetor é considerado como em posição padrão se o ponto inicial está localizado na origem. Ao representar graficamente uma função com valor vetorial, normalmente representamos graficamente os vetores no domínio da função na posição padrão, pois isso garante a exclusividade do gráfico. Essa convenção também se aplica aos gráficos de funções com valor vetorial tridimensional. O gráfico de uma função com valor vetorial da forma

[ vecs r (t) = f (t) , hat { mathbf {i}} + g (t) , hat { mathbf {j}} nonumber ]

consiste no conjunto de todos os pontos ((f (t), , g (t)) ), e o caminho que ele traça é chamado de curva plana. O gráfico de uma função com valor vetorial da forma

[ vecs r (t) = f (t) , hat { mathbf {i}} + g (t) , hat { mathbf {j}} + h (t) , hat { mathbf {k}} nonumber ]

consiste no conjunto de todos os pontos ((f (t), , g (t), , h (t)) ), e o caminho que ele traça é chamado de curva do espaço. Qualquer representação de uma curva plana ou curva de espaço usando uma função de valor vetorial é chamada de parametrização vetorial da curva.

Cada curva plana e curva de espaço tem um orientação, indicado por setas desenhadas na curva, que mostra a direção do movimento ao longo da curva conforme o valor do parâmetro (t ) aumenta.

Exemplo ( PageIndex {3} ): Representando graficamente uma função com valor vetorial

Crie um gráfico de cada uma das seguintes funções com valor vetorial:

  1. A curva plana representada por ( vecs r (t) = 4 cos t , hat { mathbf {i}} + 3 sin t , hat { mathbf {j}} ), ( 0≤t≤2 pi )
  2. A curva plana representada por ( vecs r (t) = 4 cos (t ^ 3) , hat { mathbf {i}} + 3 sin (t ^ 3) , hat { mathbf { j}} ), (0≤t≤ sqrt [3] {2 pi} )
  3. A curva de espaço representada por ( vecs r (t) = 4 cos t , hat { mathbf {i}} + 4 sin t , hat { mathbf {j}} + t , hat { mathbf {k}} ), (0≤t≤4 pi )

Solução

1. Como em qualquer gráfico, começamos com uma tabela de valores. Em seguida, representamos graficamente cada um dos vetores na segunda coluna da tabela na posição padrão e conectamos os pontos terminais de cada vetor para formar uma curva (Figura ( PageIndex {1} )). Essa curva acaba sendo uma elipse centrada na origem.

Tabela ( PageIndex {1} ): Tabela de Valores para ( vecs r (t) = 4 cos t , hat { mathbf {i}} + 3 sin t , hat { mathbf {j}} ), (0≤t≤2 pi )
(t ) ( vecs r (t) ) (t ) ( vecs r (t) )
(0) (4 hat { mathbf {i}} ) ( pi ) (- 4 hat { mathbf {i}} )
( dfrac { pi} {4} ) (2 sqrt {2} hat { mathbf {i}} + frac {3 sqrt {2}} {2} hat { mathbf {j}} ) ( dfrac {5 pi} {4} ) (- 2 sqrt {2} hat { mathbf {i}} - frac {3 sqrt {2}} {2} hat { mathbf {j}} )
( dfrac { pi} {2} ) ( mathrm {3 hat { mathbf {j}}} ) ( dfrac {3 pi} {2} ) ( mathrm {-3 hat { mathbf {j}}} )
( dfrac {3 pi} {4} ) (-2 sqrt {2} hat { mathbf {i}} + frac {3 sqrt {2}} {2} hat { mathbf {j}} ) ( dfrac {7 pi} {4} ) (2 sqrt {2} hat { mathbf {i}} - frac {3 sqrt {2}} {2} hat { mathbf {j}} )
(2 pi ) (4 hat { mathbf {i}} )

2. A tabela de valores para ( vecs r (t) = 4 cos (t ^ 3) , hat { mathbf {i}} + 3 sin (t ^ 3) , hat { mathbf {j}} ), (0≤t≤ sqrt [3] {2 pi} ) é o seguinte:

Tabela de Valores para ( vecs r (t) = 4 cos (t ^ 3) , hat { mathbf {i}} + 3 sin (t ^ 3) , hat { mathbf {j}} ) , (0≤t≤ sqrt [3] {2 pi} )
(t ) ( vecs r (t) ) (t ) ( vecs r (t) )
(0) ( mathrm {4 hat { mathbf {i}}} ) ( displaystyle sqrt [3] { pi} ) ( mathrm {-4 hat { mathbf {i}}} )
( displaystyle sqrt [3] { dfrac { pi} {4}} ) ( mathrm {2 sqrt {2} hat { mathbf {i}} + frac {3 sqrt {2}} {2} hat { mathbf {j}}} ) ( displaystyle sqrt [3] { dfrac {5 pi} {4}} ) ( mathrm {-2 sqrt {2} hat { mathbf {i}} - frac {3 sqrt {2}} {2} hat { mathbf {j}}} )
( displaystyle sqrt [3] { dfrac { pi} {2}} ) ( mathrm {3 hat { mathbf {j}}} ) ( displaystyle sqrt [3] { dfrac {3 pi} {2}} ) ( mathrm {-3 hat { mathbf {j}}} )
( displaystyle sqrt [3] { dfrac {3 pi} {4}} ) ( mathrm {-2 sqrt {2} hat { mathbf {i}} + frac {3 sqrt {2}} {2} hat { mathbf {j}}} ) ( displaystyle sqrt [3] { dfrac {7 pi} {4}} ) ( mathrm {2 sqrt {2} hat { mathbf {i}} - frac {3 sqrt {2}} {2} hat { mathbf {j}}} )
( displaystyle sqrt [3] {2 pi} ) ( mathrm {4 hat { mathbf {i}}} )

O gráfico desta curva também é uma elipse centrada na origem.

3. Passamos pelo mesmo procedimento para uma função vetorial tridimensional.

Tabela de valores para ( mathrm {r (t) = 4 cos t hat { mathbf {i}} + 4 sin t hat { mathbf {j}} + t hat { mathbf {k }}} ), ( mathrm {0≤t≤4 pi} )
(t ) ( vecs r (t) ) (t ) ( vecs r (t) )
( mathrm {0} ) ( mathrm {4 hat { mathbf {i}}} ) ( mathrm { pi} ) ( mathrm {-4 hat { mathbf {i}}} + pi hat { mathbf {k}} )
( dfrac { pi} {4} ) ( mathrm {2 sqrt {2} hat { mathbf {i}} + 2 sqrt {2} hat { mathbf {j}} + frac { pi} {4} hat { mathbf {k}}} ) ( dfrac {5 pi} {4} ) ( mathrm {-2 sqrt {2} hat { mathbf {i}} - 2 sqrt {2} hat { mathbf {j}} + frac {5 pi} {4} hat { mathbf {k}}} )
( dfrac { pi} {2} ) ( mathrm {4 hat { mathbf {j}} + frac { pi} {2} hat { mathbf {k}}} ) ( dfrac {3 pi} {2} ) ( mathrm {-4 hat { mathbf {j}} + frac {3 pi} {2} hat { mathbf {k}}} )
( dfrac {3 pi} {4} ) ( mathrm {-2 sqrt {2} hat { mathbf {i}} + 2 sqrt {2} hat { mathbf {j}} + frac {3 pi} {4} hat { mathbf {k}}} ) ( dfrac {7 pi} {4} ) ( mathrm {2 sqrt {2} hat { mathbf {i}} - 2 sqrt {2} hat { mathbf {j}} + frac {7 pi} {4} hat { mathbf {k}}} )
( mathrm {2 pi} ) ( mathrm {4 hat { mathbf {j}} + 2 pi hat { mathbf {k}}} )

Os valores então se repetem, exceto pelo fato de que o coeficiente de ( hat { mathbf {k}} ) está sempre aumentando ( ( PageIndex {3} )). Esta curva é chamada de hélice. Observe que se o componente ( hat { mathbf {k}} ) for eliminado, a função se tornará ( vecs r (t) = 4 cos t hat { mathbf {i}} + 4 sen t hat { mathbf {j}} ), que é um círculo de raio 4 centrado na origem.

Você pode notar que os gráficos nas partes a. e B. são idênticos. Isso ocorre porque a função que descreve a curva b é uma chamada reparametrização da função que descreve a curva a. Na verdade, qualquer curva tem um número infinito de reparametrizações; por exemplo, podemos substituir (t ) por (2t ) em qualquer uma das três curvas anteriores sem alterar a forma da curva. O intervalo sobre o qual (t ) é definido pode mudar, mas isso é tudo. Voltaremos a essa ideia mais adiante neste capítulo, quando estudarmos a parametrização do comprimento do arco. Como mencionado, o nome da forma da curva do gráfico em ( PageIndex {3} ) é um hélice. A curva se assemelha a uma mola, com uma seção transversal circular olhando para baixo ao longo do eixo (z ). É possível que uma hélice tenha uma seção transversal elíptica também. Por exemplo, a função com valor vetorial ( vecs r (t) = 4 cos t , hat { mathbf {i}} + 3 sin t , hat { mathbf {j}} + t , hat { mathbf {k}} ) descreve uma hélice elíptica. A projeção desta hélice no plano (xy ) é uma elipse. Por último, as setas no gráfico desta hélice indicam a orientação da curva conforme (t ) progride de (0 ) para (4π ).

Exercício ( PageIndex {2} )

Crie um gráfico da função com valor vetorial ( vecs r (t) = t , hat { mathbf {i}} + t ^ 3 , hat { mathbf {j}} ).

Dica

Comece fazendo uma tabela de valores, a seguir represente graficamente os pontos indicados pelos vetores para cada valor de (t ).

Responder

Neste ponto, você pode notar uma semelhança entre funções com valor vetorial e curvas parametrizadas. De fato, dada uma função com valor vetorial ( vecs r (t) = f (t) , hat { mathbf {i}} + g (t) , hat { mathbf {j}} ) podemos definir (x = f (t) ) e (y = g (t) ). O gráfico da função parametrizada então concordaria com o gráfico da função de valor vetorial, exceto que o gráfico da função de valor vetorial seria traçado por vetores em vez de ser apenas uma coleção de pontos. Uma vez que podemos parametrizar uma curva definida por uma função (y = f (x) ), também é possível representar uma curva plana arbitrária por uma função de valor vetorial.

Encontrando uma função com valor vetorial para traçar o gráfico de uma função (y = f (x) )

Como você pode ver nos exemplos acima, uma função com valor vetorial traça uma curva no plano ou no espaço. E se quisermos escrever uma função com valor vetorial que trace o gráfico de uma curva particular no plano (xy )?

O gráfico da função é traçado pela função com valor vetorial no Exercício ( PageIndex {2} ) acima: ( vecs r (t) = t , hat { mathbf {i}} + t ^ 3 , hat { mathbf {j}} )? Parece o gráfico de (y = x ^ 3 ), não é?

Lembrando o que acabamos de dizer sobre os componentes da função de valor vetorial correspondente às equações paraméticas de uma curva parametrizada, vemos que aqui temos:

[ begin {align *} x & = t y & = t ^ 3 end {align *} nonumber ]

Como (x = t ), podemos substituir (t ) na equação (y = t ^ 3 ) por (x ), dando-nos a função: (y = x ^ 3 ) .

Portanto, estávamos corretos em nosso palpite.

Como poderíamos escrever uma função com valor vetorial para traçar o gráfico de uma função, (y = f (x) )?

Bem, existem duas orientações a considerar: da esquerda para direita e direita para esquerda.

Rastreando uma função da esquerda para a direita:

Para traçar o gráfico de (y = f (x) ) da esquerda para a direita, use: ( vecs r (t) = t , hat { mathbf {i}} + f (t ) , hat { mathbf {j}} )

Observe que o que é importante aqui é que o componente (x ) seja uma função crescente. Qualquer função crescente funcionará. Poderíamos usar (x = t ^ 3 ), por exemplo. Mas então precisaríamos nos lembrar de substituir (x ) na função (f (x) ) por esta expressão (t ^ 3 ), nos dando (y = f (t ^ 3) ) . Isso significa que a função (y = f (x) ) também pode ser parametrizada da esquerda para a direita pela função de valor vetorial: ( vecs r (t) = t ^ 3 , hat { mathbf {i}} + f (t ^ 3) , hat { mathbf {j}} )

Rastreando uma função da direita para a esquerda:

Para traçar o gráfico de (y = f (x) ) da direita para a esquerda, use: ( vecs r (t) = -t , hat { mathbf {i}} + f ( -t) , hat { mathbf {j}} )

Novamente, observe que poderíamos usar qualquer função decrescente de (t ) para o componente (x ) e obter uma função com valor vetorial que traça o gráfico de (y = f (x) ) da direita para -deixou. Usar (x = -t ) é apenas a função decrescente mais simples que podemos escolher.

Exemplo ( PageIndex {4} ): Encontrando uma função com valor vetorial para traçar o gráfico de (y = f (x) )

Determine uma função com valor vetorial que traçará o gráfico de (y = cos x ) da esquerda para a direita e outra para traçá-lo da direita para a esquerda.

Solução

Da esquerda para a direita: ( vecs r (t) = t , hat { mathbf {i}} + cos t , hat { mathbf {j}} )

Da direita para a esquerda: ( vecs r (t) = -t , hat { mathbf {i}} + cos (-t) , hat { mathbf {j}} )

Encontrando uma função com valor vetorial para traçar o gráfico de uma equação em (x ) e (y ) e vice-versa

E se quisermos encontrar uma função com valor vetorial para traçar o gráfico de um círculo, uma elipse ou uma hipérbole, dada sua equação implícita?

Bem, observe que no Exemplo ( PageIndex {3} ), a função com valor vetorial ( vecs r (t) = 4 cos t , hat { mathbf {i}} + 3 sin t , hat { mathbf {j}} ) traçou o gráfico da elipse ( frac {x ^ 2} {16} + frac {y ^ 2} {9} = 1 ).

Nesta função com valor vetorial, vemos que: [x = 4 cos t quad text {e} quad y = 3 sin t ]

O que precisamos agora é uma maneira de converter isso em uma equação implícita envolvendo (x ) e (y ). Para fazer isso, lembre-se da identidade pitagórica, [ cos ^ 2 t + sin ^ 2 t = 1 ].

Agora tudo o que precisamos fazer é resolver as equações acima para ( cos t ) e ( sin t ) e podemos substituí-las por essa identidade para obter uma equação em (x ) e (y ) .

Então: [ cos t = frac {x} {4} quad text {e} quad sin t = frac {y} {3} ]

Substituir na identidade nos dá: [ left ( frac {x} {4} right) ^ 2 + left ( frac {y} {3} right) ^ 2 = 1 ]

Simplificar esta equação implícita nos dá a equação implícita da elipse no Exemplo ( PageIndex {3} ) que escrevemos acima:

[ frac {x ^ 2} {16} + frac {y ^ 2} {9} = 1 ]

Seguir o outro caminho e encontrar uma função com valor vetorial que traça uma elipse requer que simplesmente tomemos essas etapas na direção oposta!

Exemplo ( PageIndex {5} ): Escrevendo uma função com valor vetorial para um determinado círculo, elipse ou hipérbole

Escreva uma função com valor vetorial que trace cada uma das seguintes curvas implícitas:

uma. A elipse: ( frac {x ^ 2} {16} + frac {y ^ 2} {9} = 1 )

b. O círculo: (x ^ 2 + y ^ 2 = 4 )

c. A hipérbole: ( frac {x ^ 2} {25} - frac {y ^ 2} {16} = 1 )

Solução

uma. Vamos apenas usar o processo mostrado acima ao contrário. Primeiro, vamos reescrever a equação implícita de forma que mostre uma soma das quantidades ao quadrado igual a um.

[ left ( frac {x} {4} right) ^ 2 + left ( frac {y} {3} right) ^ 2 = 1 nonumber ]

Agora precisamos da identidade que usamos acima, ( cos ^ 2 t + sin ^ 2 t = 1 ).

Equacionando as partes sendo ao quadrado (observe que na verdade temos uma escolha aqui sobre qual fazer ( cos t ) e qual fazer ( sin t )), obtemos:

[ frac {x} {4} = cos t quad text {e} quad frac {y} {3} = sin t nonumber ]

Agora só precisamos resolver para (x ) e (y ).

[x = 4 cos t quad text {e} quad y = 3 sin t nonumber ]

Agora podemos escrever uma função com valor vetorial que traça esta elipse: ( vecs r (t) = 4 cos t , hat { mathbf {i}} + 3 sin t , hat { mathbf {j}} )

Observe que também poderíamos ter escrito ( vecs r (t) = 4 sin t , hat { mathbf {i}} + 3 cos t , hat { mathbf {j}} ), já que poderíamos ter escolhido mudar o ( sin t ) e ( cos t ) acima. Ele traçará a mesma elipse, mas com a orientação oposta.

b. Traçar um círculo é bastante simples, não exigindo realmente o processo que mostramos acima, embora ainda possa ser útil no início. Lembre-se de que todos os vetores no círculo unitário podem ser representados na forma: ( vecs v = cos theta , hat { mathbf {i}} + sin theta , hat { mathbf { j}} ).

Assim, a função de valor vetorial, ( vecs r (t) = cos t , hat { mathbf {i}} + sin t , hat { mathbf {j}} ), traçará fora do círculo unitário com a equação, (x ^ 2 + y ^ 2 = 1 ).

Para obter um círculo de raio (2 ) centrado na origem (que é o gráfico de (x ^ 2 + y ^ 2 = 4 )), só precisamos multiplicar por esta função de valor vetorial por um escalar fator de (2 ).

Assim, uma função com valor vetorial que traçará este círculo é: ( vecs r (t) = 2 cos t , hat { mathbf {i}} + 2 sin t , hat { mathbf {j}} ).

Observe novamente que outra possibilidade é: ( vecs r (t) = 2 sin t , hat { mathbf {i}} + 2 cos t , hat { mathbf {j}} ). Ele traçará o mesmo círculo, mas com a orientação oposta.

Para usar a técnica acima, você começa dividindo cada termo na equação pelo quadrado do raio, aqui 4, colocando assim a equação do círculo na "forma de elipse". O restante das etapas segue o padrão mostrado na parte a.

c. Para traçar uma hipérbole da forma ( frac {x ^ 2} {a ^ 2} - frac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1 ) ou ( frac {y ^ 2} { a ^ 2} - frac {x ^ 2} {b ^ 2} = 1 ), precisamos localizar uma identidade trigonométrica mostrando a diferença de dois quadrados iguais a 1. Se você ainda não memorizou essa identidade, podemos obter um da identidade pitagórica usada acima. Isso é,

[ cos ^ 2 t + sin ^ 2 t = 1 nonumber ]

Dividindo em cada termo por ( cos ^ 2 t )

[ frac { cos ^ 2 t} { cos ^ 2 t} + frac { sin ^ 2 t} { cos ^ 2 t} = frac {1} { cos ^ 2 t} nonumber ]

rendimentos,

[1+ tan ^ 2 t = sec ^ 2 t nonumber ]

Reescrever esta equação nos dá a identidade de que precisamos:

[ sec ^ 2 t - tan ^ 2 t = 1 nonumber ]

Agora, a equação desta hipérbole é:

[ frac {x ^ 2} {25} - frac {y ^ 2} {16} = 1 não numérico ]

Reescrevendo o lado esquerdo para mostrar as quantidades ao quadrado:

[ left ( frac {x} {5} right) ^ 2 - left ( frac {y} {4} right) ^ 2 = 1 nonumber ]

Podemos então igualar as expressões quadradas dos termos correspondentes:

[ frac {x} {5} = sec t quad text {e} quad frac {y} {4} = tan t nonumber ]

Resolvendo para (x ) e (y ), temos:

[x = 5 sec t quad text {e} quad y = 4 tan t nonumber ]

Portanto, uma função com valor vetorial que traçará a hipérbole [ frac {x ^ 2} {25} - frac {y ^ 2} {16} = 1 ] é [ vecs r (t) = 5 sec t , hat { mathbf {i}} + 4 tan t , hat { mathbf {j}}. enhum número]

Parametrizando um caminho por partes

Há momentos em que é necessário parametrizar um caminho feito de pedaços de curvas diferentes. Este caminho por partes pode ser aberto ou formar o limite de uma região fechada, como faz o exemplo mostrado na Figura ( PageIndex {4} ). Além de determinar uma função com valor vetorial para traçar cada peça separadamente, com a orientação indicada, também precisamos determinar um intervalo adequado de valores para o parâmetro (t ).

Observe que há muitas maneiras de parametrizar qualquer peça, portanto, há muitas maneiras corretas de parametrizar um caminho dessa maneira.

Exemplo ( PageIndex {6} ): Parametrizando um caminho por partes

Determine uma parametrização por partes do caminho mostrado na Figura ( PageIndex {4} ), começando com (t = 0 ) e continuando através de cada peça.

Solução

Nossa primeira tarefa é identificar as três peças neste caminho por partes.

Observe como os rotulamos sequencialmente como ( vecs r_1 ), ( vecs r_2 ) e ( vecs r_3 ). Agora precisamos identificar a função para cada um e escrever a função com valor vetorial correspondente com a orientação correta (da esquerda para a direita ou da direita para a esquerda).

Determinando ( vecs r_1 ): A equação da função linear nesta peça é (y = x ).

Uma vez que é orientado da esquerda para a direita entre (t = 1 ) e (t = 4 ), podemos escrever:

[ vecs r_ {1a} (t) = t , hat { mathbf {i}} + t , hat { mathbf {j}} quad text {para} quad 1 le t le 4 nonumber ]

Se quisermos começar esta peça em (t = 0 ), só precisamos deslocar o valor de (t ) uma unidade para a esquerda. Uma maneira de fazer isso é escrever ( vecs r_ {1a} ) em termos de (t_1 ) em vez de (t ) para tornar a tradução mais fácil de ver.

Assim, temos ( vecs r_ {1a} (t_1) = t_1 , hat { mathbf {i}} + t_1 , hat { mathbf {j}} ) para (1 le t_1 le 4 ).

Figura ( PageIndex {4} ): Um caminho fechado por partes

Subtraindo (1 ) de cada parte deste intervalo de valores de parâmetro, temos: (0 le t_1 - 1 le 3 ).

Agora vamos (t = t_1 - 1 ). Resolvendo para (t_1 ), obtemos: (t_1 = t + 1 ).

Substituir (t_1 ) pela expressão (t + 1 ) irá efetivamente deslocar o intervalo de valores de parâmetro uma unidade para a esquerda.

Então, começando com (t = 0 ), temos: [ vecs r_1 (t) = (t + 1) , hat { mathbf {i}} + (t + 1) , hat { mathbf {j}} quad text {para} quad 0 le t le 3 nonumber ]

Verifique novamente se esta função com valor vetorial traçará este segmento na direção correta antes de prosseguir para (r_2 ).

Determinando ( vecs r_2 ): Esta peça tem uma etiqueta que mostra a função cujo gráfico ela traça. Se fosse orientado da esquerda para a direita, teríamos:

[ text {Da esquerda para a direita:} quad vecs r_ {2a} (t) = t , hat { mathbf {i}} + left (2 sqrt { frac {4-t } {3}} + 4 right) , hat { mathbf {j}} quad text {para} quad 1 le t le 4 nonumber ]

Mas, uma vez que precisamos que seja orientado da direita para a esquerda, precisamos substituir (t ) por (- t ) na função e precisamos dividir a desigualdade de intervalo por -1 para obter o correspondente alcance. Assim, obtemos:

[ vecs r_ {2b} (t) = -t , hat { mathbf {i}} + left (2 sqrt { frac {4 - (- t)} {3}} + 4 direita) , hat { mathbf {j}} quad text {para} quad -4 le t le -1 nonumber ]

Verifique se funciona!

Agora queremos que esta peça comece em (t = 3 ) logo após o término da primeira. Novamente, vamos tornar isso mais fácil de ver escrevendo (r_ {2b} ) em termos de (t_2 ).

[ vecs r_ {2b} (t_2) = -t_2 , hat { mathbf {i}} + left (2 sqrt { frac {4 - (- t_2)} {3}} + 4 direita) , hat { mathbf {j}} quad text {para} quad -4 le t_2 le -1 nonumber ]

Para forçar (r_2 ) a começar com (t = 3 ) em vez de (t = -4 ), precisamos adicionar (7 ) a cada parte da desigualdade. Isso resulta em: (3 le t_2 + 7 le 6 ).

Seja (t = t_2 + 7 ). Então, resolvendo para (- t_2 ) (já que é isso que precisamos substituir em (r_ {2b} )), temos: (t_2 = 7-t ).

Substituindo (- t_2 ) por ( left (7-t right) ) em ( vecs r_ {2b} ), obtemos:

[ vecs r_ {2} (t) = (7-t) , hat { mathbf {i}} + left (2 sqrt { frac {4- (7-t)} {3} } +4 direita) , hat { mathbf {j}} quad text {para} quad 3 le t le 6 nonumber ]

Isso pode ser combinado com nosso resultado anterior para (r_1 ) para escrever uma função de valor vetorial definida por partes que traça as duas primeiras partes, começando em (t = 0 ):

[ vecs r (t) = begin {casos}
(t + 1) , hat { mathbf {i}} + (t + 1) , hat { mathbf {j}}, & 0 le t le 3
(7-t) , hat { mathbf {i}} + left (2 sqrt { frac {t - 3} {3}} + 4 right) , hat { mathbf {j} }, & 3 lt t le 6
end {cases} nonumber ]

Observe que uma pequena modificação foi feita no segundo intervalo para que quando (t = 3 ), não haja confusão sobre qual peça avaliar.

Determinando ( vecs r_3 ): Para determinar esta última peça, precisamos pensar um pouco diferente. Isso ocorre porque é um segmento vertical, que não pode ser representado com uma função da forma, (y = f (x) ). Observe que ele pode ser representado por uma função da forma (x = f (y) ). Deixando (y = t ), podemos escrever (x = f (t) ) e escrever uma parametrização em valores crescentes de (y ) (de baixo para cima), obteríamos: ( vecs r (t) = f (t) , hat { mathbf {i}} + t , hat { mathbf {j}} ).

A equação desta linha é (x = 1 ). Assim, se desejamos parametrizar este segmento com orientação para cima (valores crescentes de (y )), temos:

[ vecs r_ {3a} (t) = 1 , hat { mathbf {i}} + t , hat { mathbf {j}} quad text {para} quad 1 le t le 6 nonumber ]

Mas, uma vez que desejamos usar uma orientação para baixo (valores decrescentes de (y )), precisamos usar uma função decrescente de (t ) para (y ). Como antes, o caso mais simples é usar (y = -t ). Então, no caso geral, traçaríamos uma função (x = f (y) ) em uma orientação para baixo com ( vecs r (t) = f (-t) , hat { mathbf { i}} - t , hat { mathbf {j}} ).

No caso de (r_3 ), isso nos dá:

[ vecs r_ {3b} (t) = 1 , hat { mathbf {i}} - t , hat { mathbf {j}} quad text {para} quad -6 le t le -1 nonumber ]

Observe que como (x = 1, , f (-t) = 1 ), ou seja, não alterou o primeiro componente, pois era uma função constante e não variável do parâmetro (t ).

Observe também que, como negamos (t ), também tivemos que negar o intervalo, dividindo-o por (- 1 ).

Como acima, para facilitar a tradução, substituiremos (t ) por (t_3 ), nos dando:

[ vecs r_ {3b} (t) = 1 , hat { mathbf {i}} - t_3 , hat { mathbf {j}} quad text {para} quad -6 le t_3 le -1 nonumber ]

Agora, desejamos que esta peça final comece em (t = 6 ), onde a segunda peça que formamos acima termina. Vemos que precisamos adicionar (12 ) ao intervalo do parâmetro (t ) para fazer isso, nos dando um novo intervalo de (6 le t_3 + 12 le 11 ).

Seja (t = t_3 + 12 ). Então, resolvendo para (- t_3 ) (já que é isso que precisamos substituir em (r_ {3b} )), temos: (t_3 = 12-t ).

Substituindo (- t_3 ) por ( left (12-t right) ) em ( vecs r_ {3b} ), obtemos:

[ vecs r_ {3} (t) = 1 , hat { mathbf {i}} + (12 - t) , hat { mathbf {j}} quad text {para} quad 6 le t_3 le 11 nonumber ]

Verifique se isso ainda traça este segmento vertical de cima para baixo.

Podemos agora declarar a resposta final como uma única função com valor de vetor definida por partes que traça todo o caminho, começando quando (t = 0 ).

[ vecs r (t) = begin {casos}
(t + 1) , hat { mathbf {i}} + (t + 1) , hat { mathbf {j}}, & 0 le t le 3
(7-t) , hat { mathbf {i}} + left (2 sqrt { frac {t - 3} {3}} + 4 right) , hat { mathbf {j} }, & 3 lt t le 6
1 , hat { mathbf {i}} + (12 - t) , hat { mathbf {j}} & 6 lt t_3 le 11
end {cases} nonumber ]

Certifique-se de verificar se essa função única com valor de vetor realmente rastreia todo o caminho!

Limites e continuidade de uma função com valor vetorial

Vamos agora dar uma olhada no limite de uma função com valor vetorial. É importante entender isso para estudar o cálculo de funções com valores vetoriais.

Definição: limite de uma função com valor vetorial

Uma função com valor vetorial ( vecs r ) se aproxima do limite ( vecs L ) conforme (t ) se aproxima de (a ), escrito

[ lim limits_ {t a a} vecs r (t) = vecs L, ]

forneceu

[ lim limits_ {t to a} big | vecs r (t) - vecs L big | = 0. ]

No exemplo a seguir, mostramos como calcular o limite de uma função com valor vetorial.

Exemplo ( PageIndex {7} ): Avaliando o limite de uma função com valor vetorial

Para cada uma das seguintes funções com valor vetorial, calcule ( lim limits_ {t to 3} vecs r (t) ) para

  1. ( vecs r (t) = (t ^ 2−3t + 4) hat { mathbf {i}} + (4t + 3) hat { mathbf {j}} )
  2. ( vecs r (t) = frac {2t − 4} {t + 1} hat { mathbf {i}} + frac {t} {t ^ 2 + 1} hat { mathbf {j }} + (4t − 3) hat { mathbf {k}} )

Solução

  1. Use Equation ef{Th1} and substitute the value (t=3) into the two component expressions:

[ egin{align*} lim limits_{t o 3} vecs r(t) ; & = lim limits_{t o 3} left[(t^2−3t+4) hat{mathbf{i}} + (4t+3) hat{mathbf{j}} ight] [5pt] & = left[lim limits_{t o 3} (t^2−3t+4) ight]hat{mathbf{i}}+left[lim limits_{t o 3} (4t+3) ight] hat{mathbf{j}} [5pt] & = 4 hat{mathbf{i}}+15 hat{mathbf{j}} end{align*}]

  1. Use Equation ef{Th2} and substitute the value (t=3) into the three component expressions:

[ egin{align*} lim limits_{t o 3} vecs r(t) ; & = lim limits_{t o 3}left(dfrac{2t−4}{t+1}hat{mathbf{i}}+dfrac{t}{t^2+1}hat{mathbf{j}}+(4t−3) hat{mathbf{k}} ight) [5pt] & = left[lim limits_{t o 3} left(dfrac{2t−4}{t+1} ight) ight]hat{mathbf{i}}+left[lim limits_{t o 3} left(dfrac{t}{t^2+1} ight) ight] hat{mathbf{j}} +left[lim limits_{t o 3} (4t−3) ight] hat{mathbf{k}} [5pt] & = frac{1}{2} hat{mathbf{i}}+ frac{3}{10}hat{mathbf{j}}+9 hat{mathbf{k}} end{align*}]

Exercício ( PageIndex {3} )

Calculate (lim limits_{t o 2} vecs r(t)) for the function (vecs r(t) = sqrt{t^2 + 3t - 1},hat{mathbf{i}}−(4t-3),hat{mathbf{j}}− sin frac{(t+1)pi}{2},hat{mathbf{k}})

Dica

Use Equation ef{Th2} from the preceding theorem.

Responder

[lim limits_{t o 2} vecs r(t) = 3hat{mathbf{i}}−5hat{mathbf{j}}+hat{mathbf{k}}]

Now that we know how to calculate the limit of a vector-valued function, we can define continuity at a point for such a function.

Definitions

Let (f), (g), and (h) be functions of (t). Then, the vector-valued function (vecs r(t)=f(t) hat{mathbf{i}}+g(t)hat{mathbf{j}}) is continuous at point (t=a) if the following three conditions hold:

  1. (vecs r(a)) exists
  2. (lim limits_{t o a} vecs r(t)) exists
  3. (lim limits_{t o a} vecs r(t) = vecs r(a))

Similarly, the vector-valued function (vecs r(t)=f(t) hat{mathbf{i}}+g(t)hat{mathbf{j}}+h(t)hat{mathbf{k}}) is continuous at point (t=a) if the following three conditions hold:

  1. (vecs r(a)) exists
  2. (lim limits_{t o a} vecs r(t)) exists
  3. (lim limits_{t o a} vecs r(t) = vecs r(a))

Resumo

  • A vector-valued function is a function of the form (vecs r(t)=f(t) hat{mathbf{i}}+ g(t) hat{mathbf{j}}) or (vecs r(t)=f(t) hat{mathbf{i}}+g(t) hat{mathbf{j}}+h(t) hat{mathbf{k}}), where the component functions (f), (g), and (h) are real-valued functions of the parameter (t).
  • The graph of a vector-valued function of the form (vecs r(t)=f(t) hat{mathbf{i}}+g(t) hat{mathbf{j}}) is called a plane curve. The graph of a vector-valued function of the form (vecs r(t)=f(t)hat{mathbf{i}}+g(t)hat{mathbf{j}}+h(t) hat{mathbf{k}}) is called a space curve.
  • It is possible to represent an arbitrary plane curve by a vector-valued function.
  • To calculate the limit of a vector-valued function, calculate the limits of the component functions separately.

Key Equations

  • Vector-valued function
    (vecs r(t)=f(t) hat{mathbf{i}}+g(t) hat{mathbf{j}}) or (vecs r(t)=f(t) hat{mathbf{i}}+g(t) hat{mathbf{j}}+h(t) hat{mathbf{k}}),or (vecs r(t)=⟨f(t),g(t)⟩) or (vecs r(t)=⟨f(t),g(t),h(t)⟩)

  • Limit of a vector-valued function
    (lim limits_{t o a} vecs r(t) = [lim limits_{t o a} f(t)] hat{mathbf{i}} + [lim limits_{t o a} g(t)] hat{mathbf{j}}) or (lim limits_{t o a} vecs r(t) = [lim limits_{t o a} f(t)] hat{mathbf{i}} + [lim limits_{t o a} g(t)] hat{mathbf{j}} + [lim limits_{t o a} h(t)] hat{mathbf{k}})

Glossário

component functions
the component functions of the vector-valued function (vecs r(t)=f(t)hat{mathbf{i}}+g(t)hat{mathbf{j}}) are (f(t)) and (g(t)), and the component functions of the vector-valued function (vecs r(t)=f(t)hat{mathbf{i}}+g(t)hat{mathbf{j}}+h(t)hat{mathbf{k}}) are (f(t)), (g(t)) and (h(t))
helix
a three-dimensional curve in the shape of a spiral
limit of a vector-valued function
a vector-valued function (vecs r(t)) has a limit (vecs L) as (t) approaches (a) if (lim limits{t o a} left| vecs r(t) - vecs L ight| = 0)
plane curve
the set of ordered pairs ((f(t),g(t))) together with their defining parametric equations (x=f(t)) and (y=g(t))
reparameterization
an alternative parameterization of a given vector-valued function
space curve
the set of ordered triples ((f(t),g(t),h(t))) together with their defining parametric equations (x=f(t)), (y=g(t)) and (z=h(t))
vector parameterization
any representation of a plane or space curve using a vector-valued function
vector-valued function
a function of the form (vecs r(t)=f(t)hat{mathbf{i}}+g(t)hat{mathbf{j}}) or (vecs r(t)=f(t)hat{mathbf{i}}+g(t)hat{mathbf{j}}+h(t)hat{mathbf{k}}),where the component functions (f), (g), and (h) are real-valued functions of the parameter (t).

Contribuidores

  • Gilbert Strang (MIT) e Edwin “Jed” Herman (Harvey Mudd) com muitos autores contribuintes. Este conteúdo da OpenStax é licenciado com uma licença CC-BY-SA-NC 4.0. Baixe gratuitamente em http://cnx.org.

  • Editado por Paul Seeburger (Monroe Community College)
  • Paul Seeburger created Example (PageIndex{1}), Exercise (PageIndex{1}), and the subsections titled: Finding a Vector-Valued Function to Trace out the Graph of a Function (y = f(x)), Finding a Vector-Valued Function to Trace out the Graph of an Equation in (x) and (y) and Vice Versa, and Parameterizing a Piecewise Path.

12.1: Vector-Valued Functions and Space Curves - Mathematics

Math 211 Calculus IIIA
Instructor:
S. Levkov
Text: Thomas and Finney, Calculus, 9th edition, Addison Wesley
Tempo:
Monday, Wednesday 6:00 9:00 PM.
Office Hours:
Monday, Wednesday 5:00 6:00 PM. Office: 303 ECE.
Phone:
973 596 5621. E-mail: [email protected]

Semana 1
Sec 9.4 Parametrization of Plane Curves - HW p741 #1,7-10,12-15,20,23,26-28
Sec 9.5 Calculus with Parametrized Curves - HW p749 #1-3,5,13,15,17,23,33,38

Sec 10.1 Vectors in the Plane - HW p 794 #1-4,7,9,11,13,15,17-19,21,24,26,30,40,41
Sec 10.2 Vectors in Space - HW p 804 #1,5,7,9,12, 15,19,20,27,33,49

Semana 2
Sec 10.3 Dot Products - HW p8l2 #1,3,5,13,16,20,22,35,39,41,49,51,53,59
Sec 10.4 Cross Products - HW p820 #1,3,9,10,17,29,35,39,42

Sec 10.5 Lines and Planes in Space - HW p827

Semana 3
Sec 11.1 Vector-Valued Functions and Space Curves - HW p865

#1,7,10,13,16,21,22,27,32,35,39,43,45, and read 57

Sec 11.3 Arc Length and the Unit Tangent Vector - HW p880 #1,6,8,15

Sec 12.1 Functions of Several Variables - HW p9l4 #3,6,11,25,31,32,41,45
Sec 12.2 Limits and Continuity - HW p921 #1-4,9,11,15,22,28,35

Semana 4
Sec 12.3 Partial Derivatives - HW p931

#2,4,8,14,16,23,26,30,37,43,45,49,50,53,57,59,65,69
Sec 12.5 The Chain Rule - HW p950 #3,7,15,19,27,32,35,43,47

Sec 12.6 Partial Derivatives with Constrained Variables- HW p956 #3,7,11 and then 9
MIDTERM

Semana 5
Sec 12.7 Directional Derivatives, Gradient Vectors and Tangent Planes - HW p967

#3,7,15,19,25,27,34,39,45,49,51,55,58 AND p942 #1,5,25,27

(Note that HW includes Linearization of Sec 12.4)

Sec 12.8 Extreme Values and Saddle Points - HW p975 #3,15,20,33,37,41,43,50,52

Sec 12.9 Lagrange Multipliers - HW p987 #3,7,10,15,17,25,32,35,37,42

Semana 6
Sec 13.1 Double Integrals - HW p1010 #1,2,6,13,18,22,27,31,36,43,47,51

Sec 14.1 Line Integrals - HW p1065 #5,11,12,18,20,25,26
Sec 14.2 Vector Fields, Work, Circulation and Flux - HW p1074

Semana 7
Sec 14.3 Path Independence, Potential Functions and Conservative Fields

- HW p1O83 #2,4,10,14,16,19,23,27,29,31
Sec 14.4 Green's Theorem in the Plane - HW p1093 #1,6,9,13,16,19,21,31,34
Sec 14.8 The Divergence Theorem and a Unified Theory - HW p1132 #3,5,6,8,13,15,26


2 Answers 2

The difference is that a parametrization has some extra properties. A vector valued function is a map $f:Usubsetmathbb R^m o Vsubsetmathbb R^n$

And parametric equations for a [portion of a] submanifold $M$ in Euclidean space (it's rare to parametrize things other than manifolds) is a map $varphi:Usubsetmathbb R^m o Msubsetmathbb R^n$ Where:

  • $U$ is open
  • $varphi$ is a homeomorphism onto its image
  • $operatornameDvarphi = m$ everywhere

What we could say then, is that a parametrization is always in the form of a vector valued function, but conversely, we use vector valued functions with nice properties to parametrize varieties.


Evaluating and Graphing Vector-Valued Functions

y (b) Figure 12.1.1: Sketching the graph of a vector-valued function.

Evaluating a vector-valued function at a specific value of t is straightforward simply evaluate each component function at that value of t . For instance, if r → ⁢ ( t ) = ⟨ t 2 , t 2 + t - 1 ⟩ , then r → ⁢ ( - 2 ) = ⟨ 4 , 1 ⟩ . We can sketch this vector, as is done in Figure 12.1.1 (a). Plotting lots of vectors is cumbersome, though, so generally we do not sketch the whole vector but just the terminal point. The graph of a vector-valued function is the set of all terminal points of r → ⁢ ( t ) , where the initial point of each vector is always the origin. In Figure 12.1.1 (b) we sketch the graph of r → we can indicate individual points on the graph with their respective vector, as shown.

Vector-valued functions are closely related to parametric equations of graphs. While in both methods we plot points ( x ⁢ ( t ) , y ⁢ ( t ) ) or ( x ⁢ ( t ) , y ⁢ ( t ) , z ⁢ ( t ) ) to produce a graph, in the context of vector-valued functions each such point represents a vector. The implications of this will be more fully realized in the next section as we apply calculus ideas to these functions.

Watch the video:
Domain of a Vector-Valued Function from https://youtu.be/Djtttm0C7zA


12.1: Vector-Valued Functions and Space Curves - Mathematics

The topics on this page are vector functions and space curves.

A function whose domain is a set of real numbers and whose range is a subset of 2-space (or called plane), or 3-space is called a vector-valued function of a real variable. For example, the line through a point P parallel to a nonzero vector U is the range of the vector-valued function r given by

Each t corresponds to a point, which can be thinked as a vector initiating from the origin and tip pointing at the point, in the straight line. See the graph below. Usually a vector-valued function in 2-space (resp. 3-space) has two component functions (resp. three component functions). Such as the staight line vector function in 2-space and 3-space can be written as

where point (a, b) (or (a, b, c)) is a point that the line passes through and (u1, u2) (or (u1, u2, u3)) is a vector parallel to the line. The graph above is of the vector function of the straight line r (t) = t i + (-0.6t + 2) j = 2 j + t( i - 0.6 j ). Second expression shows that r passes through point (0, 2) and is parallel to vector (1,-0.6).

If the point (x, y, z) revolves around z-axis at a distance a from it and simultaneously moves parallel to z-axis in such a way that its z-component is proportional to the angle of revolution, the resulting path is called circular helix . If t denotes the angle of revolution, we have

The uaual operations of vectors can be applied to combined two vector functions or to combine a vector function with a real-valued function. If U and V are vector-valued functions, and if f is a real-valued function, all having a common domain, we define new functions U + V, fU, and U dot V by the equations


Math 215 Examples

UMA vector-valued function is a function that outputs a vector rather than a single number. Often we will be working with functions whose outputs are vectors in three-dimensional space. Such a function can be written as [ vec r(t) = langle x(t), y(t), z(t) angle ] where (f(t)), (g(t)), and (h(t)) are usual functions whose outputs are single numbers (sometimes called scalar functions in contrast with vector-valued functions).

Space Curves

A vector-valued function (vec r(t)) whose values are three-dimensional functions traces out a space curve, a curve in three-dimensional space.

For example, [ vec r(t) = leftlangle t, frac<18>,frac <3> ight angle ] traces out a space curve called a twisted cubic:

Vector-valued functions don't always trace out smooth curves. For example, [ vec r(t) = leftlangle frac<30>, frac<10>, frac <5> ight angle ] has a sharp corner at the point (vec r(0) = langle 0, 0, 0 angle):

Different Parameterizations

Note that two different vector-valued functions may trace out the same curve. We say that two such vector-valued functions corresponding to the same curves are different parameterizations of the same curve.

Given any vector-valued function (vec r(t)), it is easy to construct different parameterizations of the same curve: just use (vec s(t) = vec r(at)) for any non-zero constant (a).

For example, suppose we have [egin vec r(t) &= langle (2+sin<3t>)cos, (2+sin<3t>)sin, cos <3t> angle vec s(t) &= langle (2+sin<6t>)cos<2t>,(2+sin<6t>)sin<2t>, cos <6t> angle. end] Notice that (vec s(t) = vec r(2t)), so as observed above, both these vector-valued functions will trace out the same space curve (a curve called a toroidal spiral):

Illustrated Example

Find a vector-valued function that traces out the curve defined as the intersection of the paraboloid (z=x^2+y^2) with the plane (y=x).

Worked Solution

Since every equation in this problem is a function of (x), we can use (x) itself as our parameter. In other words, in our eventual parameterization [ vec r(t) = langle x(t), y(t), z(t) angle, ] we can set (x(t) = t).

Since our curve lies entirely in the plane (y=x), it follows that (y(t) = x(t)) in our parameterization, or (y(t) = t). Since the curve lies on the paraboloid (z = x^2 + y^2), we similarly have [ z(t) = x(t)^2 + y(t)^2 = 2t^2. ]

Thus our final parameterization of this curve is [ vec r(t) = langle t, t, 2t^2 angle. ]

Visualizing the Example

The animation below shows the paraboloid (z=x^2+y^2) with (vec r(t) = langle t, t, 2t^2) tracing out its intersection with the plane (y=x):

Further Questions

  1. Find a parameterization of the curve in the example that traces out the curve half as fast.
  2. Find a parameterization of the curve in the example that traces out the curve backwards.
  3. What curve does (vec r(t) = langle t, -t, 2t^2 angle) trace out?
  4. In the animation in Key Concepts with two different parameterizations, which of (vec r(t)) and (vec s(t)) is represented by the blue arrows? Which is represented by the red arrows?

Using the Mathematica Demo

All graphics on this page were generated by the Mathematica notebook 13_1SpaceCurves.nb.

This notebook generates images and animations like those on this page for any curve.

As an exercise, use the notebook to provide a visual demonstration illustrating your answers to Questions 1-3.

Investigate other vector-valued funtions (vec r(t)). Can you find one that traces out a circle? A helix? Can you find one with a sharp corner somewhere other than the origin? Experiment with functions that yield sharp corners can you figure out what causes them?


CalcPlot3D¶

A useful tool for graphing vector functions and other kinds of 3D objects. Although this applet was created for use in calculus classes, it is useful to us as well. Use the following procedure to graph a vector function in CalcPlot3D.

  1. Erase the default shape that appears, by unchecking the box next to Function 1 and clicking the Graph button immediately above it.
  2. Add a parametric curve by clicking the Graph menu and choosing Add a Space Curve.
  3. In the three blanks provided, enter the x , y , and z components of the vector function, using t as the parameter. The default bounds for t (from -10 to 10 ) may be sensible for your function, but you can change them.
  4. Click Graph (on the popup window into which you typed the parametric equations).
  5. Click and drag to view from different angles.

A powerful mathematics tool that you can use on your own computer or on the web. Here is a link to a webpage that evaluates Sage code and shows you the result immediately. Type in code like the following to graph a vector function. (Replace the three components of the vector function with any three vector function components.) The 0 and 2pi are the bounds on t .

To see that example plotted, click here.


Conteúdo

Vector fields on subsets of Euclidean space Edit

Given a subset S in R n , uma vector field is represented by a vector-valued function V: SR n in standard Cartesian coordinates (x1, …, xn) If each component of V is continuous, then V is a continuous vector field, and more generally V é um C k vector field if each component of V is k times continuously differentiable.

A vector field can be visualized as assigning a vector to individual points within an n-dimensional space. [1]

Given two C k -vector fields V , C defined on S and a real-valued C k -function f defined on S , the two operations scalar multiplication and vector addition

define the module of C k -vector fields over the ring of C k -functions where the multiplication of the functions is defined pointwise (therefore, it is commutative with the multiplicative identity being fid(p) := 1 ).

Coordinate transformation law Edit

In physics, a vector is additionally distinguished by how its coordinates change when one measures the same vector with respect to a different background coordinate system. The transformation properties of vectors distinguish a vector as a geometrically distinct entity from a simple list of scalars, or from a covector.

Thus, suppose that (x1. xn) is a choice of Cartesian coordinates, in terms of which the components of the vector V are

and suppose that (y1. yn) are n functions of the xeu defining a different coordinate system. Then the components of the vector V in the new coordinates are required to satisfy the transformation law

Such a transformation law is called contravariant. A similar transformation law characterizes vector fields in physics: specifically, a vector field is a specification of n functions in each coordinate system subject to the transformation law (1) relating the different coordinate systems.

Vector fields are thus contrasted with scalar fields, which associate a number or scalar to every point in space, and are also contrasted with simple lists of scalar fields, which do not transform under coordinate changes.

Vector fields on manifolds Edit

If the manifold M is smooth or analytic—that is, the change of coordinates is smooth (analytic)—then one can make sense of the notion of smooth (analytic) vector fields. The collection of all smooth vector fields on a smooth manifold M is often denoted by Γ ( T M ) or C ∞ ( M , T M ) (M,TM)> (especially when thinking of vector fields as sections) the collection of all smooth vector fields is also denoted by X ( M ) >(M)> (a fraktur "X").

  • A vector field for the movement of air on Earth will associate for every point on the surface of the Earth a vector with the wind speed and direction for that point. This can be drawn using arrows to represent the wind the length (magnitude) of the arrow will be an indication of the wind speed. A "high" on the usual barometric pressure map would then act as a source (arrows pointing away), and a "low" would be a sink (arrows pointing towards), since air tends to move from high pressure areas to low pressure areas. field of a moving fluid. In this case, a velocity vector is associated to each point in the fluid. are 3 types of lines that can be made from (time-dependent) vector fields. They are:
    . The fieldlines can be revealed using small iron filings. allow us to use a given set of initial and boundary conditions to deduce, for every point in Euclidean space, a magnitude and direction for the force experienced by a charged test particle at that point the resulting vector field is the electromagnetic field.
  • A gravitational field generated by any massive object is also a vector field. For example, the gravitational field vectors for a spherically symmetric body would all point towards the sphere's center with the magnitude of the vectors reducing as radial distance from the body increases.

Gradient field in euclidean spaces Edit

Vector fields can be constructed out of scalar fields using the gradient operator (denoted by the del: ∇). [4]

A vector field V defined on an open set S is called a gradient field or a conservative field if there exists a real-valued function (a scalar field) f em S such that

The associated flow is called the gradient flow , and is used in the method of gradient descent.

The path integral along any closed curve γ (γ(0) = γ(1)) in a conservative field is zero:

Central field in euclidean spaces Edit

UMA C ∞ -vector field over R n <0>is called a central field if

where O(n, R) is the orthogonal group. We say central fields are invariant under orthogonal transformations around 0.

The point 0 is called the center of the field.

Since orthogonal transformations are actually rotations and reflections, the invariance conditions mean that vectors of a central field are always directed towards, or away from, 0 this is an alternate (and simpler) definition. A central field is always a gradient field, since defining it on one semiaxis and integrating gives an antigradient.

Line integral Edit

A common technique in physics is to integrate a vector field along a curve, also called determining its line integral. Intuitively this is summing up all vector components in line with the tangents to the curve, expressed as their scalar products. For example, given a particle in a force field (e.g. gravitation), where each vector at some point in space represents the force acting there on the particle, the line integral along a certain path is the work done on the particle, when it travels along this path. Intuitively, it is the sum of the scalar products of the force vector and the small tangent vector in each point along the curve.

The line integral is constructed analogously to the Riemann integral and it exists if the curve is rectifiable (has finite length) and the vector field is continuous.

Given a vector field V and a curve γ , parametrized by t in [uma, b] (where a and b are real numbers), the line integral is defined as

Divergence Edit

The divergence of a vector field on Euclidean space is a function (or scalar field). In three-dimensions, the divergence is defined by

with the obvious generalization to arbitrary dimensions. The divergence at a point represents the degree to which a small volume around the point is a source or a sink for the vector flow, a result which is made precise by the divergence theorem.

The divergence can also be defined on a Riemannian manifold, that is, a manifold with a Riemannian metric that measures the length of vectors.

Curl in three dimensions Edit

The curl is an operation which takes a vector field and produces another vector field. The curl is defined only in three dimensions, but some properties of the curl can be captured in higher dimensions with the exterior derivative. In three dimensions, it is defined by

The curl measures the density of the angular momentum of the vector flow at a point, that is, the amount to which the flow circulates around a fixed axis. This intuitive description is made precise by Stokes' theorem.

Index of a vector field Edit

The index of a vector field is an integer that helps to describe the behaviour of a vector field around an isolated zero (i.e., an isolated singularity of the field). In the plane, the index takes the value -1 at a saddle singularity but +1 at a source or sink singularity.

Let the dimension of the manifold on which the vector field is defined be n. Take a small sphere S around the zero so that no other zeros lie in the interior of S. A map from this sphere to a unit sphere of dimensions n − 1 can be constructed by dividing each vector on this sphere by its length to form a unit length vector, which is a point on the unit sphere S n-1 . This defines a continuous map from S to S n-1 . The index of the vector field at the point is the degree of this map. It can be shown that this integer does not depend on the choice of S, and therefore depends only on the vector field itself.

The index of the vector field as a whole is defined when it has just a finite number of zeroes. In this case, all zeroes are isolated, and the index of the vector field is defined to be the sum of the indices at all zeroes.

The index is not defined at any non-singular point (i.e., a point where the vector is non-zero). it is equal to +1 around a source, and more generally equal to (−1) k around a saddle that has k contracting dimensions and n-k expanding dimensions. For an ordinary (2-dimensional) sphere in three-dimensional space, it can be shown that the index of any vector field on the sphere must be 2. This shows that every such vector field must have a zero. This implies the hairy ball theorem, which states that if a vector in R 3 is assigned to each point of the unit sphere S 2 in a continuous manner, then it is impossible to "comb the hairs flat", i.e., to choose the vectors in a continuous way such that they are all non-zero and tangent to S 2 .

For a vector field on a compact manifold with a finite number of zeroes, the Poincaré-Hopf theorem states that the index of the vector field is equal to the Euler characteristic of the manifold.

Michael Faraday, in his concept of lines of force, emphasized that the field itself should be an object of study, which it has become throughout physics in the form of field theory.

In addition to the magnetic field, other phenomena that were modeled by Faraday include the electrical field and light field.

Consider the flow of a fluid through a region of space. At any given time, any point of the fluid has a particular velocity associated with it thus there is a vector field associated to any flow. The converse is also true: it is possible to associate a flow to a vector field having that vector field as its velocity.

Given a vector field V defined on S, one defines curves γ(t) on S such that for each t in an interval eu

By the Picard–Lindelöf theorem, if V is Lipschitz continuous there is a unique C 1 -curve γx for each point x in S so that, for some ε > 0,

The curves γx are called integral curves ou trajectories (or less commonly, flow lines) of the vector field V and partition S into equivalence classes. It is not always possible to extend the interval (−ε, +ε) to the whole real number line. The flow may for example reach the edge of S in a finite time. In two or three dimensions one can visualize the vector field as giving rise to a flow on S. If we drop a particle into this flow at a point p it will move along the curve γp in the flow depending on the initial point p. Se p is a stationary point of V (i.e., the vector field is equal to the zero vector at the point p), then the particle will remain at p.

Given a smooth function between manifolds, f : MN, the derivative is an induced map on tangent bundles, f* : TMTN. Given vector fields V : MTM e C : NTN, we say that C é f-related to V if the equation Cf = fV holds.

Se Veu é f-related to Ceu, eu = 1, 2, then the Lie bracket [V1, V2] is f-related to [C1, C2].

Replacing vectors by p-vectors (pth exterior power of vectors) yields p-vector fields taking the dual space and exterior powers yields differential k-forms, and combining these yields general tensor fields.

Algebraically, vector fields can be characterized as derivations of the algebra of smooth functions on the manifold, which leads to defining a vector field on a commutative algebra as a derivation on the algebra, which is developed in the theory of differential calculus over commutative algebras.


Syllabus

If at any time during this semester you feel ill, in the interest of your own health and safety as well as the health and safety of your instructors and classmates, you are encouraged not to attend face-to-face class meetings or events. Please review the steps outlined below that you should follow to ensure your absence for illness will be excused. These steps also apply to not participating in synchronous online class meetings if you feel too ill to do so and missing specified assignment due dates in asynchronous online classes because of illness.

1. If you are ill and think the symptoms might be COVID-19-related:
a) Call Student Health Services at 806.743.2848 or your health care provider.
b) Self-report as soon as possible using the Dean of Students COVID-19 webpage. This website has specific directions about how to upload documentation from a medical provider and what will happen if your illness renders you unable to participate in classes for more than one week.
c) If your illness is determined to be COVID-19-related, all remaining documentation and communication will be handled through the Office of the Dean of Students, including notification of your instructors of the period of time you may be absent from and may return to classes.
d) If your illness is determined not to be COVID-19-related, please follow steps 2.a-d below.

2. If you are ill and can attribute your symptoms to something other than COVID-19:
a) If your illness renders you unable to attend face-to-face classes, participate in synchronous online classes, or miss specified assignment due dates in asynchronous online classes, you are encouraged to visit with either Student Health Services at 806.743.2848 or your health care provider. Note that Student Health Services and your own and other health care providers may arrange virtual visits.
b) During the health provider visit, request a "return to school" note.
c) E-mail the instructor a picture of that note.
d) Return to class by the next class period after the date indicated on your note.

Following the steps outlined above helps to keep your instructors informed about your absences and ensures your absence or missing an assignment due date because of illness will be marked excused. You will still be responsible to complete within a week of returning to class any assignments, quizzes, or exams you miss because of illness.

This is a distance class, all the students enrolled in this class should be highly responsible in managing their schedule. This course moves very fast. If you fall behind, even by one section, you may not be able to catch up, since each section generally depends very heavily on the ones before. A student enrolled in this class has to be capable to read and understand the textbook. If in the past you struggled in self-lecturing mathematics, then this is not the class for you and it is highly recommended you switch to a face-to-face class. The instructor expects for the student to read each section of the textbook, watch the videos and read the class-notes before attempting to solve the homework problems. When asking for help you need to show all your work, by typing it on the email (better) or by attaching a scanned copy of your work. When asking for help for a WebWork problem it is recommended you use the button email to the instructor at the bottom of the screen, otherwise you may not get any answer.


3 respostas 3

As you seem to have worked out for yourself, you can just write the Taylor series for each component of $f$ separately so I guess the remaining issue is how to write this down neatly.

Your "something" here is the second derivative of $f$, which is the third-order tensor comprised of the Hessian matrices $H_1,ldots,H_n$ so you need to use a notation that can deal with this kind of object. If you're comfortable with the Einstein summation convention, then you can write $f_i( heta) = f_i( heta_0) + A_ ( theta_0) ( theta - theta_0) _j + frac 1 2 H_( theta ') ( theta - theta_0) _j ( theta- theta_0) _k, $ onde $ H_ = frac < partial ^ 2 f_i> < partial x_k partial x_j>. $

Alternativamente, você poderia ir com algo como $ f ( theta) = f ( theta_0) + A ( theta_0) ( theta - theta_0) + frac 1 2 H ( theta ') ( theta- theta_0 , theta- theta_0) $ onde $ H $ é interpretado como uma forma bilinear em $ mathbb R ^ m $ tomando valores em $ mathbb R ^ n. $ Você poderia escrever isso usando a multiplicação de matrizes como na resposta de Mostafa, mas isto é um pouco fora do padrão e você deve estar claro que seu "vetor" $ A $ e "matriz" $ H $ são realmente $ mathbb R ^ n $ -valorizados.


Assista o vídeo: Introdução às Funções Vetoriais: LIMITE 1 (Outubro 2021).