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15.2: Integrais de linha


objetivos de aprendizado

  • Calcule uma integral de linha escalar ao longo de uma curva.
  • Calcule uma integral de linha vetorial ao longo de uma curva orientada no espaço.
  • Use uma integral de linha para calcular o trabalho feito ao mover um objeto ao longo de uma curva em um campo vetorial.
  • Descreva o fluxo e a circulação de um campo vetorial.

Estamos familiarizados com integrais de variável única da forma ( displaystyle int_ {a} ^ {b} f (x) , dx ), onde o domínio de integração é um intervalo ([a, b] ) Esse intervalo pode ser pensado como uma curva no plano (xy ), uma vez que o intervalo define um segmento de linha com pontos finais ((a, 0) ) e ((b, 0) ) - em outras palavras, um segmento de linha localizado no eixo (x ). Suponha que queremos integrar mais algum curva no plano, não apenas sobre um segmento de linha no eixo (x ). Tal tarefa requer um novo tipo de integral, chamado de integral de linha.

Integrais de linha têm muitas aplicações em engenharia e física. E, eles estão intimamente ligados às propriedades dos campos vetoriais, como veremos.

Integrais de linha escalar

Uma integral de linha nos dá a capacidade de integrar funções multivariáveis ​​e campos de vetores em curvas arbitrárias em um plano ou no espaço. Existem dois tipos de integrais de linha: integrais de linha escalares e integrais de linha vetoriais. Integrais de linha escalar são integrais de uma função escalar sobre uma curva em um plano ou no espaço. Integrais de linha de vetor são integrais de um campo vetorial sobre uma curva em um plano ou no espaço. Vejamos primeiro as integrais de linha escalar.

Uma integral de linha escalar é definida apenas como uma integral de variável única é definida, exceto que para uma integral de linha escalar, o integrando é uma função de mais de uma variável e o domínio de integração é uma curva em um plano ou no espaço, como oposta a uma curva no eixo (x ).

Para uma integral de linha escalar, vamos (C ) ser uma curva suave em um plano ou no espaço e deixar ff ser uma função com um domínio que inclui (C ). Cortamos a curva em pequenos pedaços. Para cada peça, escolhemos o ponto (P ) naquela peça e avaliamos (f ) em (P ). (Podemos fazer isso porque todos os pontos da curva estão no domínio de (f ).) Multiplicamos (f (P) ) pelo comprimento do arco da peça ( Delta s ), adicione o produto (f (P) Delta s ) sobre todas as peças, e então deixe o comprimento do arco das peças encolher a zero tomando um limite. O resultado é a integral de linha escalar da função sobre a curva.

Para uma descrição formal de uma integral de linha escalar, seja (C ) uma curva suave no espaço dada pela parametrização ( vecs r (t) = ⟨x (t), y (t), z (t) ⟩ ), (A≤t≤b ). Seja (f (x, y, z) ) uma função com um domínio que inclui a curva (C ). Para definir a integral de linha da função (f ) sobre (C ), começamos como a maioria das definições de uma integral começa: dividimos a curva em pequenos pedaços. Particionar o intervalo de parâmetro ([a, b] ) em (n ) subintervalos ([t_ {i − l}, t_i] ) de largura igual para (1≤i≤n ), onde (t_0 = a ) e (t_n = b ) (Figura ( PageIndex {1} )). Seja (t_ {i} ^ * ) um valor no intervalo (i ^ {th} ) ([t_ {i − l}, t_i] ). Denote os pontos finais de ( vecs r (t_0) ), ( vecs r (t_1) ),…, ( vecs r (t_n) ) por (P_0 ),…, (P_n ). Pontos Peu divida a curva (C ) em (n ) pedaços (C_1 ), (C_2 ),…, (C_n ), com comprimentos ( Delta s_1 ), ( Delta s_2 ),…, ( Delta s_n ), respectivamente. Seja (P_ {i} ^ * ) o ponto final de ( vecs r (t_ {i} ^ *) ) para (1≤i≤n ). Agora, avaliamos a função (f ) no ponto (P_ {i} ^ * ) para (1≤i≤n ). Observe que (P_ {i} ^ * ) está em paz (C_1 ) e, portanto, (P_ {i} ^ * ) está no domínio de (f ). Multiplique (f (P_ {i} ^ *) ) pelo comprimento ( Delta s_1 ) de (C_1 ), o que dá a área da "folha" com base (C_1 ) e altura (f (P_ {i} ^ {*}) ). Isso é análogo a usar retângulos para aproximar a área em uma integral de variável única. Agora, formamos a soma ( displaystyle sum_ {i = 1} ^ {n} f (P_ {i} ^ {*}) , Delta s_i ).

Observe a semelhança dessa soma em relação a uma soma de Riemann; na verdade, essa definição é uma generalização de uma soma de Riemann para curvas arbitrárias no espaço. Assim como com somas e integrais de Riemann da forma ( displaystyle int_ {a} ^ {b} g (x) , dx ), definimos uma integral deixando a largura das peças da curva encolher a zero em tomando um limite. O resultado é a integral de linha escalar de (f ) ao longo de (C ).

Você deve ter notado uma diferença entre esta definição de integral de linha escalar e integral de variável única. Nesta definição, os comprimentos de arco ( Delta s_1 ), ( Delta s_2 ),…, ( Delta s_n ) não são necessariamente os mesmos; na definição de uma integral de variável única, a curva no eixo (x ) é particionada em partes de igual comprimento. Essa diferença não tem efeito no limite. À medida que reduzimos o comprimento do arco a zero, seus valores se tornam próximos o suficiente para que qualquer pequena diferença se torne irrelevante.

DEFINIÇÃO: integral de linha escalar

Seja (f ) uma função com um domínio que inclui a curva suave (C ) que é parametrizada por ( vecs r (t) = ⟨x (t), y (t), z (t) ⟩ ), (A≤t≤b ). O integral de linha escalar de (f ) ao longo de (C ) é

[ int_C f (x, y, z) , ds = lim_ {n a infty} sum_ {i = 1} ^ {n} f (P_ {i} ^ {*}) , Delta s_i label {eq12a} ]

se este limite existe (t_ {i} ^ {*} ) e ( Delta s_i ) são definidos como nos parágrafos anteriores). Se (C ) é uma curva plana, então (C ) pode ser representado pelas equações paramétricas (x = x (t) ), (y = y (t) ) e (a ≤t≤b ). Se (C ) é suave e (f (x, y) ) é uma função de duas variáveis, então a integral de linha escalar de (f ) ao longo de (C ) é definida da mesma forma que

[ int_C f (x, y) , ds = lim_ {n a infty} sum_ {i = 1} ^ {n} f (P_ {i} ^ {*}) , Delta s_i , label {eq13} ]

se este limite existe.

Se (f ) é uma função contínua em uma curva suave (C ), então ( displaystyle int_C f , ds ) sempre existe. Como ( displaystyle int_C f , ds ) é definido como um limite das somas de Riemann, a continuidade de (f ) é suficiente para garantir a existência do limite, assim como o integral ( displaystyle int_ {a} ^ {b} g (x) , dx ) existe se (g ) é contínuo sobre ([a, b] ).

Antes de ver como calcular uma integral de linha, precisamos examinar a geometria capturada por essas integrais. Suponha que (f (x, y) ≥0 ) para todos os pontos ((x, y) ) em uma curva plana lisa (C ). Imagine pegar a curva (C ) e projetá-la "para cima" na superfície definida por (f (x, y) ), criando assim uma nova curva (C ′ ) que se encontra no gráfico de (f (x, y) ) (Figura ( PageIndex {2} )). Agora, soltamos uma “folha” de (C ′ ) para baixo no plano (xy ). A área desta folha é ( displaystyle int_C f (x, y) ds ). Se (f (x, y) ≤0 ) para alguns pontos em (C ), então o valor de ( displaystyle int_C f (x, y) , ds ) é a área acima de (xy ) - plano menos a área abaixo do plano (xy ). (Observe a semelhança com os integrais da forma ( displaystyle int_ {a} ^ {b} g (x) , dx ).)

A partir desta geometria, podemos ver que a integral de linha ( displaystyle int_C f (x, y) , ds ) não depende da parametrização ( vecs r (t) ) de (C ). Desde que a curva seja percorrida exatamente uma vez pela parametrização, a área da folha formada pela função e pela curva é a mesma. Esse mesmo tipo de argumento geométrico pode ser estendido para mostrar que a integral de linha de uma função de três variáveis ​​sobre uma curva no espaço não depende da parametrização da curva.

Exemplo ( PageIndex {1} ): Encontrando o valor de uma linha integral

Encontre o valor de integral ( displaystyle int_C 2 , ds ), onde (C ) é a metade superior do círculo unitário.

Solução

O integrando é (f (x, y) = 2 ). Figura ( PageIndex {3} ) mostra o gráfico de (f (x, y) = 2 ), curva C, e a folha formada por eles. Observe que esta folha tem a mesma área de um retângulo com largura ( pi ) e comprimento (2 ). Portanto, ( displaystyle int_C 2 , ds = 2 pi , text {unidades} ^ 2 ).

Para ver que ( displaystyle int_C 2 , ds = 2 pi ) usando a definição de integral de linha, deixamos ( vecs r (t) ) ser uma parametrização de (C ). Então, (f ( vecs r (t_i)) = 2 ) para qualquer número (t_i ) no domínio de ( vecs r ). Portanto,

[ begin {align *} int_C f , ds & = lim_ {n to infty} sum_ {i = 1} ^ {n} f ( vecs r (t_ {i} ^ {*} )) , Delta s_i [4pt] & = lim_ {n a infty} sum_ {i = 1} ^ {n} 2 , Delta s_i [4pt] & = 2 lim_ {n to infty} sum_ {i = 1} ^ {n} , Delta s_i [4pt] & = 2 ( text {length} space text {of} space C) [4pt] & = 2 pi , text {unidades} ^ 2. end {align *} ]

Exercício ( PageIndex {1} )

Encontre o valor de ( displaystyle int_C (x + y) , ds ), onde (C ) é a curva parametrizada por (x = t ), (y = t ), ( 0≤t≤1 ).

Dica

Encontre a forma formada por (C ) e o gráfico da função (f (x, y) = x + y ).

Responder

( sqrt {2} )

Observe que em uma integral de linha escalar, a integração é feita em relação ao comprimento do arco (s ), o que pode tornar difícil o cálculo de uma integral de linha escalar. Para tornar os cálculos mais fáceis, podemos traduzir ( displaystyle int_C f , ds ) para uma integral com uma variável de integração que é (t ).

Seja ( vecs r (t) = ⟨x (t), y (t), z (t)⟩ ) para (a≤t≤b ) uma parametrização de (C ). Uma vez que estamos assumindo que (C ) é suave, ( vecs r ′ (t) = ⟨x ′ (t), y ′ (t), z ′ (t)⟩ ) é contínuo para todos ( t ) em ([a, b] ). Em particular, (x ′ (t) ), (y ′ (t) ) e (z ′ (t) ) existem para todos (t ) em ([a, b] ) De acordo com a fórmula do comprimento do arco, temos

[ text {length} (C_i) = Delta s_i = int_ {t_ {i − 1}} ^ {t_i} ‖ vecs r ′ (t) ‖ , dt. ]

Se a largura ( Delta t_i = t_i − t_ {i − 1} ) for pequena, então a função ( displaystyle int_ {t_ {i − 1}} ^ {t_i} ‖ vecs r ′ (t) ‖ , dt , ≈ , ‖ vecs r ′ (t_i ^ *) ‖ , Delta t_i ), (‖ vecs r ′ (t) ‖ ) é quase constante ao longo do intervalo ([t_ {i − 1}, t_i] ). Portanto,

[ int_ {t_ {i − 1}} ^ {t_i} ‖ vecs r ′ (t) ‖ , dt , ≈ , ‖ vecs r ′ (t_ {i} ^ {*}) ‖ , Delta t_i, label {approxLineIntEq1} ]

e nós temos

[ sum_ {i = 1} ^ {n} f ( vecs r (t_i ^ *)) , Delta s_i approx sum_ {i = 1} ^ {n} f ( vecs r (t_ { i} ^ {*})) ‖ vecs r ′ (t_ {i} ^ {*}) ‖ , Delta t_i. ]

Veja a Figura ( PageIndex {4} ).

Observe que

[ lim_ {n to infty} sum_ {i = 1} ^ {n} f ( vecs r (t_i ^ *)) ‖ vecs r ′ (t_ {i} ^ {*}) ‖ , Delta t_i = int_a ^ bf ( vecs r (t)) ‖ vecs r ′ (t) ‖ , dt. ]

Em outras palavras, conforme as larguras dos intervalos ([t_ {i − 1}, t_i] ) diminuem para zero, a soma ( displaystyle sum_ {i = 1} ^ {n} f ( vecs r ( t_i ^ {*})) ‖ vecs r ′ (t_ {i} ^ {*}) ‖ , Delta t_i ) converge para a integral ( displaystyle int_ {a} ^ {b} f ( vecs r (t)) ‖ vecs r ′ (t) ‖ , dt ). Portanto, temos o seguinte teorema.

Teorema: AVALIAÇÃO DE UMA LINHA ESCALAR INTEGRAL

Seja (f ) uma função contínua com um domínio que inclui a curva suave (C ) com parametrização ( vecs r (t) ), (a≤t≤b ). Então

[ int_C f , ds = int_ {a} ^ {b} f ( vecs r (t)) ‖ vecs r ′ (t) ‖ , dt. label {scalerLineInt1} ]

Embora tenhamos rotulado a Equação ref {approxLineIntEq1} como uma equação, ela é considerada mais precisamente uma aproximação porque podemos mostrar que o lado esquerdo da Equação ref {approxLineIntEq1} se aproxima do lado direito conforme (n para infty ). Em outras palavras, deixar as larguras das peças encolherem a zero torna a soma do lado direito arbitrariamente próxima da soma do lado esquerdo. Desde

[‖ Vecs r ′ (t) ‖ = sqrt {{(x ′ (t))} ^ 2 + {(y ′ (t))} ^ 2 + {(z ′ (t))} ^ 2 }, ]

obtemos o seguinte teorema, que usamos para calcular integrais de linha escalar.

Teorema: Cálculo Integral de Linha Escalar

Seja (f ) uma função contínua com um domínio que inclui a curva suave (C ) com parametrização ( vecs r (t) = ⟨x (t), y (t), z (t)⟩ ), (a≤t≤b ). Então

[ int_C f (x, y, z) , ds = int_ {a} ^ {b} f ( vecs r (t)) sqrt {({x ′ (t))} ^ 2+ { (y ′ (t))} ^ 2 + {(z ′ (t))} ^ 2} , dt. ]

De forma similar,

[ int_C f (x, y) , ds = int_ {a} ^ {b} f ( vecs r (t)) sqrt {{(x ′ (t))} ^ 2 + {(y ′ (T))} ^ 2} , dt ]

se (C ) é uma curva plana e (f ) é uma função de duas variáveis.

Observe que uma consequência desse teorema é a equação (ds = ‖ vecs r ′ (t) ‖ , dt ). Em outras palavras, a mudança no comprimento do arco pode ser vista como uma mudança no domínio (t ), escalada pela magnitude do vetor ( vecs r ′ (t) ).

Exemplo ( PageIndex {2} ): Avaliando uma linha integral

Encontre o valor de integral ( displaystyle int_C (x ^ 2 + y ^ 2 + z) , ds ), onde (C ) é parte da hélice parametrizada por ( vecs r (t) = ⟨ Cos t, sin t, t⟩ ), (0≤t≤2 pi ).

Solução

Para calcular uma integral de linha escalar, começamos convertendo a variável de integração do comprimento do arco (s ) para (t ). Então, podemos usar a Equação ref {eq12a} para calcular a integral em relação a (t ). Observe que

[f ( vecs r (t)) = { cos} ^ 2 t + { sin} ^ 2 t + t = 1 + t nonumber ]

e

[ sqrt {{(x ′ (t))} ^ 2 + {(y ′ (t))} ^ 2 + {(z ′ (t))} ^ 2} = sqrt {{(- sin (t))} ^ 2 + { cos} ^ 2 (t) +1} = sqrt {2}. nonumber ]

Portanto,

[ int_C (x ^ 2 + y ^ 2 + z) , ds = int_ {0} ^ {2 pi} (1 + t) sqrt {2} , dt. enhum número]

Observe que a Equação ref {eq12a} traduziu a integral de linha difícil original em uma integral de variável única gerenciável. Desde

[ begin {align *} int_ {0} ^ {2 pi} (1 + t) sqrt {2} , dt & = { left [ sqrt {2} t + dfrac { sqrt { 2} t ^ 2} {2} right]} _ {0} ^ {2 pi} [4pt]
& = 2 sqrt {2} pi + 2 sqrt {2} { pi} ^ 2, end {alinhar *} ]

temos

[ int_C (x ^ 2 + y ^ 2 + z) , ds = 2 sqrt {2} pi + 2 sqrt {2} { pi} ^ 2. enhum número]

Exercício ( PageIndex {2} )

Avalie ( displaystyle int_C (x ^ 2 + y ^ 2 + z) ds ), onde C é a curva com parametrização ( vecs r (t) = ⟨ sin (3t), cos (3t)⟩ ), (0≤t≤ dfrac { pi} {4} ).

Dica

Use a versão de duas variáveis ​​da definição de integral de linha escalar (Equação ref {eq13}).

Responder

[ dfrac {1} {3} + dfrac { sqrt {2}} {6} + dfrac {3 pi} {4} ]

Exemplo ( PageIndex {3} ): Independência de Parametrização

Encontre o valor de integral ( displaystyle int_C (x ^ 2 + y ^ 2 + z) , ds ), onde (C ) é parte da hélice parametrizada por ( vecs r (t) = ⟨ Cos (2t), sin (2t), 2t⟩ ), (0≤t≤π ). Observe que esta função e curva são as mesmas do exemplo anterior; a única diferença é que a curva foi reparametrizada de modo que o tempo corre duas vezes mais rápido.

Solução

Como no exemplo anterior, usamos a Equação ref {eq12a} para calcular a integral em relação a (t ). Observe que (f ( vecs r (t)) = { cos} ^ 2 (2t) + { sin} ^ 2 (2t) + 2t = 2t + 1 ) e

[ begin {align *} sqrt {{(x ′ (t))} ^ 2 + {(y ′ (t))} ^ 2 + {(z ′ (t))} ^ 2} & = sqrt {(- sin t + cos t + 4)} [4pt] & = 22
end {align *} ]

então nós temos

[ begin {align *} int_C (x ^ 2 + y ^ 2 + z) ds & = 2 sqrt {2} int_ {0} ^ { pi} (1 + 2t) dt [4pt ] & = 2 sqrt {2} Big [t + t ^ 2 Big] _0 ^ { pi} [4pt] & = 2 sqrt {2} ( pi + { pi} ^ 2). end {align *} ]

Observe que isso está de acordo com a resposta do exemplo anterior. Alterar a parametrização não alterou o valor da integral de linha. Integrais de linha escalar são independentes da parametrização, desde que a curva seja percorrida exatamente uma vez pela parametrização.

Exercício ( PageIndex {3} )

Avalie a integral de linha ( displaystyle int_C (x ^ 2 + yz) , ds ), onde (C ) é a linha com parametrização ( vecs r (t) = ⟨2t, 5t, −t⟩ ), (0≤t≤10 ). Reparameterizar C com parametrização (s (t) = ⟨4t, 10t, −2t⟩ ), (0≤t≤5 ), recalcular integral de linha ( displaystyle int_C (x ^ 2 + yz) , ds ), e observe que a alteração da parametrização não afetou o valor da integral.

Dica

Use a Equação ref {eq12a}.

Responder

Ambas as integrais de linha são iguais a (- dfrac {1000 sqrt {30}} {3} ).

Agora que podemos avaliar integrais de linha, podemos usá-los para calcular o comprimento do arco. Se (f (x, y, z) = 1 ), então

[ begin {align *} int_C f (x, y, z) , ds & = lim_ {n to infty} sum_ {i = 1} ^ {n} f (t_ {i} ^ {*}) , Delta s_i [4pt] & = lim_ {n a infty} sum_ {i = 1} ^ {n} , Delta s_i [4pt] & = lim_ {n to infty} text {length} (C) [4pt] & = text {length} (C). end {align *} ]

Portanto, ( displaystyle int_C 1 , ds ) é o comprimento do arco de (C ).

Exemplo ( PageIndex {4} ): Calculando o comprimento do arco

Um fio tem uma forma que pode ser modelada com a parametrização ( vecs r (t) = ⟨ cos t, sin t, t⟩ ), (0≤t≤4 pi ). Encontre o comprimento do fio.

Solução

O comprimento do fio é dado por ( displaystyle int_C 1 , ds ), onde (C ) é a curva com parametrização ( vecs r ). Portanto,

[ begin {align *} text {O comprimento do fio} & = int_C 1 , ds [4pt] & = int_ {0} ^ {4 pi} || vecs r ′ ( t) || , dt [4pt] & = int_ {0} ^ {4 pi} sqrt {(- sin t) ^ 2 + cos ^ 2 t + t} dt [4pt ] & = int_ {0} ^ {4 pi} sqrt {1 + t} dt [4pt] & = left. dfrac {2 {(1 + t)} ^ { frac {3} {2}}} {3} right | _ {0} ^ {4 pi} [4pt] & = frac {2} {3} left ((1 + 4 pi) ^ {3 / 2} -1 direita). end {align *} ]

Exercício ( PageIndex {4} )

Encontre o comprimento de um fio com parametrização ( vecs r (t) = ⟨3t + 1,4−2t, 5 + 2t⟩ ), (0≤t≤4 ).

Dica

Encontre a integral de linha de um sobre a curva correspondente.

Responder

(4 sqrt {17} )


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Demonstrações de matemática 215

Nota: para cada demonstração, o Explicação fornece uma página que explica a demonstração. Galeria é uma página com imagens acessíveis pela web (apenas) da Explicação que pode ser útil mesmo se você não usar a totalidade Mathematica caderno. Finalmente, DemoNotebook é um link para um Mathematica caderno para a demonstração.

Uma nota sobre o uso: o cálculo que alguns dos Mathematica os notebooks estão fazendo é bastante significativo. Para usar os cadernos, você vai querer avaliá-los com antecedência (no menu superior, Caderno de Avaliação & gtEvaliar) e salvar o caderno com os gráficos gerados. Em alguns casos, a avaliação pode demorar um pouco.

Existem também vários Mathematica cadernos do capítulo 12 material (isto é, vetores, etc.) não estão documentados, mas podem fornecer gráficos úteis: A fórmula de distância coordenadas cartesianas as linhas de produtos cruzados e planos e superfícies quadráticas.


Calculadora Integral

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A Calculadora Integral permite calcular integrais e antiderivadas de funções online e mdash gratuitamente!

Nossa calculadora permite que você verifique suas soluções para exercícios de cálculo. Ele ajuda você a praticar, mostrando-lhe todo o trabalho (integração passo a passo). Todas as técnicas de integração comuns e até funções especiais são suportadas.

A Calculadora Integral suporta integrais definidos e indefinidos (antiderivadas), bem como funções integradas com muitas variáveis. Você também pode verificar suas respostas! Gráficos / plotagens interativos ajudam a visualizar e entender melhor as funções.

Para mais informações sobre como usar a Calculadora Integral, vá para "Ajuda"ou dê uma olhada nos exemplos.

E agora: Boa integração!

Insira a função que deseja integrar na Calculadora Integral. Pule o "f (x) ="parte e o diferencial"dx"! A Calculadora Integral mostrará uma versão gráfica de sua entrada enquanto você digita. Certifique-se de que ela mostra exatamente o que você quer. Use parênteses, se necessário, e. g. "a / (b + c)".

Em "Exemplos", você pode ver quais funções são suportadas pela Calculadora Integral e como usá-las.

Quando terminar de inserir sua função, clique em "Vai!", e a Calculadora Integral mostrará o resultado abaixo.

Em "Opções", você pode definir o variável de integração e a limites de integração. Se você não especificar os limites, apenas a antiderivada será calculada.

Clicar em um exemplo o insere na Calculadora Integral. Movendo o mouse sobre ele mostra o texto.

Configure a Calculadora Integral:

Variável de integração:
Limite superior (para): +∞
Limite inferior (de): & ndash∞
Integrar apenas numericamente?
Simplificar expressões?
Simplificar todas as raízes?
(√ x² torna-se x, não |x|)
Usar domínio complexo (ℂ)?
Manter decimais?

O gerador de problemas de prática permite gerar quantos exercícios aleatórios você quiser.

Você encontra algumas opções de configuração e um problema proposto abaixo. Você pode aceitá-lo (então ele é inserido na calculadora) ou gerar um novo.

Integrais definidos Integração por partes
Substituição Completando o quadrado
Polinômios e poderes Funções exponenciais
Trigon./hyperb. funções Funções racionais
Inv. trigon./hyperb. funções Logaritmos
Funções especiais Integrais complicados
Aceitar o problema Próximo problema

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Resultado

Como funciona a Calculadora Integral

Para aqueles com formação técnica, a seção a seguir explica como funciona a Calculadora Integral.

Primeiro, um analisador analisa a função matemática. Ele o transforma em uma forma mais compreensível por um computador, ou seja, uma árvore (veja a figura abaixo). Ao fazer isso, a Calculadora Integral deve respeitar a ordem das operações. Uma especialidade em expressões matemáticas é que o sinal de multiplicação pode ser omitido às vezes, por exemplo, escrevemos "5x" em vez de "5 * x". A Calculadora Integral deve detectar esses casos e inserir o sinal de multiplicação.

O analisador é implementado em JavaScript, com base no algoritmo Shunting-yard, e pode ser executado diretamente no navegador. Isso permite um feedback rápido durante a digitação, transformando a árvore em código LaTeX. MathJax se encarrega de exibi-lo no navegador.

Quando o "Go!" é clicado, a Calculadora Integral envia a função matemática e as configurações (variável de integração e limites de integração) para o servidor, onde é analisada novamente. Desta vez, a função é transformada em uma forma que pode ser entendida pelo sistema de álgebra computacional Maxima.

Maxima cuida de realmente computar a integral da função matemática. A saída do Maxima é transformada em LaTeX novamente e então apresentada ao usuário. A antiderivada é calculada usando o algoritmo de Risch, que é difícil de entender para humanos. É por isso que mostrar as etapas de cálculo é muito desafiador para integrais.

Para mostrar as etapas, a calculadora aplica as mesmas técnicas de integração que um humano aplicaria. O programa que faz isso foi desenvolvido ao longo de vários anos e é escrito na própria linguagem de programação do Maxima. Ele consiste em mais de 17.000 linhas de código. Quando o integrando corresponde a uma forma conhecida, ele aplica regras fixas para resolver o integral (por exemplo, decomposição de fração parcial para funções racionais, substituição trigonométrica para integrandos envolvendo as raízes quadradas de um polinômio quadrático ou integração por partes para produtos de certas funções). Caso contrário, ele tenta substituições e transformações diferentes até que a integral seja resolvida, o tempo acabe ou não haja mais nada para tentar. A calculadora não possui a intuição matemática que é muito útil para encontrar uma antiderivada, mas por outro lado, ela pode tentar um grande número de possibilidades em um curto espaço de tempo. As antiderivadas passo a passo são freqüentemente muito mais curtas e elegantes do que aquelas encontradas por Maxima.

O recurso "Verificar resposta" deve resolver a difícil tarefa de determinar se duas expressões matemáticas são equivalentes. Sua diferença é calculada e simplificada tanto quanto possível usando o Maxima. Por exemplo, isso envolve escrever funções trigonométricas / hiperbólicas em suas formas exponenciais. Se puder ser mostrado que a diferença simplifica para zero, a tarefa está resolvida. Caso contrário, um algoritmo probabilístico é aplicado que avalia e compara ambas as funções em locais escolhidos aleatoriamente. No caso das antiderivadas, todo o procedimento é repetido com cada derivada da função, uma vez que as antiderivadas podem diferir por uma constante.

Os gráficos de função interativa são calculados no navegador e exibidos em um elemento de tela (HTML5). Para cada função a ser representada graficamente, a calculadora cria uma função JavaScript, que é avaliada em pequenos passos para desenhar o gráfico. Durante a representação gráfica, as singularidades (por exemplo, pólos) são detectadas e tratadas de maneira especial. O controle de gestos é implementado usando Hammer.js.

Se você tiver alguma dúvida ou ideia de melhorias para a Calculadora Integral, não hesite em me escrever um e-mail.


Conteúdo

Em termos qualitativos, uma integral de linha no cálculo vetorial pode ser considerada uma medida do efeito total de um determinado campo tensorial ao longo de uma determinada curva. Por exemplo, a integral de linha sobre um campo escalar (tensor de classificação 0) pode ser interpretada como a área sob o campo esculpida por uma curva particular. Isso pode ser visualizado como a superfície criada por z = f(x,y) e uma curva C no xy avião. A integral de linha de f seria a área da "cortina" criada - quando os pontos da superfície que estão diretamente sobre C são esculpidos.

Integral de linha de um campo escalar Editar

Edição de Definição

Geometricamente, quando o campo escalar f é definido sobre um plano (n = 2), seu gráfico é uma superfície z = f(x, y) no espaço, e a integral de linha fornece a área da seção transversal (com sinal) limitada pela curva C < displaystyle < mathcal >> e o gráfico de f. Veja a animação à direita.

Edição de Derivação

Para uma integral de linha sobre um campo escalar, a integral pode ser construída a partir de uma soma de Riemann usando as definições acima de f, C e uma parametrização r claro . Isso pode ser feito particionando o intervalo [uma, b] em n subintervalos [teu−1, teu] de comprimento Δt = (buma)/n , então r(teu) denota algum ponto, chame-o de ponto de amostra, na curva C. Podemos usar o conjunto de pontos de amostra <r(teu): 1 ≤ eun> para aproximar a curva C por um caminho poligonal, introduzindo um pedaço de linha reta entre cada um dos pontos de amostra r(teu−1) e r(teu) Em seguida, rotulamos a distância entre cada um dos pontos de amostra na curva como Δseu . O produto de f(r(teu)) e Δseu pode ser associada à área sinalizada de um retângulo com altura e largura de f(r(teu)) e Δseu , respectivamente. Tomando o limite da soma dos termos conforme o comprimento das partições se aproxima de zero nos dá

Pelo teorema do valor médio, a distância entre os pontos subsequentes na curva é

Substituir isso na soma de Riemann acima resulta

que é a soma de Riemann para o integral

Integral de linha de um campo vetorial Editar

Edição de Definição

Para um campo vetorial F: vocêR nR n , a integral de linha ao longo de uma curva suave por partes Cvocê, na direção de r, é definido como [2]

onde · é o produto escalar, e r: [uma, b] → C é uma parametrização bijetiva da curva C de tal modo que r(uma) e r(b) fornecer os pontos finais de C.

Uma integral de linha de um campo escalar é, portanto, uma integral de linha de um campo vetorial, onde os vetores são sempre tangenciais à linha.

Integrais de linha de campos vetoriais são independentes da parametrização r em valor absoluto, mas dependem de sua orientação. Especificamente, uma reversão na orientação da parametrização muda o sinal da integral de linha. [3]

Do ponto de vista da geometria diferencial, a integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva é a integral da forma 1 correspondente sob o isomorfismo musical (que leva o campo vetorial ao campo covetor correspondente), sobre a curva considerada como imersa 1-manifold.

Edição de Derivação

A integral de linha de um campo vetorial pode ser derivada de uma maneira muito semelhante ao caso de um campo escalar, mas desta vez com a inclusão de um produto escalar. Novamente usando as definições acima de F , C e sua parametrização r(t), construímos a integral a partir de uma soma de Riemann. Dividimos o intervalo [uma, b] (que é o intervalo dos valores do parâmetro t) em n intervalos de comprimento Δt = (buma)/n . De locação teu seja o iº ponto em [uma, b] , então r(teu) nos dá a posição do i ésimo ponto na curva. No entanto, em vez de calcular as distâncias entre os pontos subsequentes, precisamos calcular seus vetores de deslocamento, Δreu . Como antes, avaliando F em todos os pontos da curva e tomando o produto escalar com cada vetor de deslocamento nos dá a contribuição infinitesimal de cada partição de F em C. Deixando o tamanho das partições ir para zero nos dá uma soma

Pelo teorema do valor médio, vemos que o vetor de deslocamento entre pontos adjacentes na curva é

Substituir isso na soma de Riemann acima resulta

que é a soma de Riemann para a integral definida acima.

Independência de caminho Editar

Se um campo vetorial F é o gradiente de um campo escalar G (ou seja, se F é conservador), ou seja,

então, pela regra da cadeia multivariável, a derivada da composição de G e r(t) é

que passa a ser o integrando para a integral de linha de F em r(t) Segue-se, dado um caminho C , que

Em outras palavras, a integral de F sobre C depende unicamente dos valores de G nos pontos r(b) e r(uma) e, portanto, é independente do caminho entre eles. Por esta razão, uma integral de linha de um campo vetorial conservador é chamada caminho independente.

Edição de aplicativos

A integral de linha tem muitos usos na física. Por exemplo, o trabalho feito em uma partícula viajando em uma curva C dentro de um campo de força representado como um campo vetorial F é a linha integral de F em C. [4]

O fluxo é calculado em um sentido orientado: a curva C tem uma direção direta especificada de r(uma) para r(b), e o fluxo é contado como positivo quando F(r(t)) está no lado horário do vetor de velocidade de avanço r '(t) .

pode ser definido subdividindo o intervalo [uma, b] para dentro uma = t0 & lt t1 & lt. & lt tn = b e considerando a expressão

A integral é então o limite desta soma de Riemann à medida que os comprimentos dos intervalos de subdivisão se aproximam de zero.

Se a parametrização γ é continuamente diferenciável, a integral de linha pode ser avaliada como uma integral de uma função de uma variável real: [2]

Quando L é uma curva fechada (os pontos inicial e final coincidem), a integral de linha é freqüentemente denotada ∮ L f (z) d z, < textstyle oint _f (z) , dz,> às vezes referido na engenharia como um integral cíclica.

A integral de linha em relação ao diferencial complexo conjugado d z ¯ < displaystyle < overline >> é definido [5] para ser

As integrais de linha de funções complexas podem ser avaliadas usando uma série de técnicas. O mais direto é dividir em partes reais e imaginárias, reduzindo o problema de avaliar duas integrais de linha com valor real. O teorema da integral de Cauchy pode ser usado para igualar a integral de linha de uma função analítica à mesma integral em uma curva mais conveniente. Também implica que sobre uma curva fechada envolvendo uma região onde f(z) é analítico sem singularidades, o valor da integral é simplesmente zero ou, no caso de a região incluir singularidades, o teorema do resíduo calcula a integral em termos das singularidades.

Edição de exemplo

Considere a função f(z) = 1/z, e deixe o contorno eu seja o círculo unitário no sentido anti-horário em torno de 0, parametrizado por z (t) = e isto com t em [0, 2π] usando o exponencial complexo. Substituindo, encontramos:

Relação da integral de linha complexa e integral de linha do campo vetorial Editar

A formulação integral de caminho da mecânica quântica na verdade não se refere a integrais de caminho neste sentido, mas a integrais funcionais, ou seja, integrais sobre um espaço de caminhos, de uma função de um caminho possível. No entanto, integrais de caminho no sentido deste artigo são importantes na mecânica quântica, por exemplo, integração de contorno complexo é freqüentemente usada na avaliação de amplitudes de probabilidade na teoria de espalhamento quântico.


6.2 Integrais de linha

Integrais de linha têm muitas aplicações em engenharia e física. Eles também nos permitem fazer várias generalizações úteis do Teorema Fundamental do Cálculo. E, eles estão intimamente ligados às propriedades dos campos vetoriais, como veremos.

Integrais de linha escalar

Uma integral de linha nos dá a capacidade de integrar funções multivariáveis ​​e campos de vetores em curvas arbitrárias em um plano ou no espaço. Existem dois tipos de integrais de linha: integrais de linha escalares e integrais de linha vetoriais. Integrais de linha escalar são integrais de uma função escalar sobre uma curva em um plano ou no espaço. Vector line integrals are integrals of a vector field over a curve in a plane or in space. Let’s look at scalar line integrals first.

A scalar line integral is defined just as a single-variable integral is defined, except that for a scalar line integral, the integrand is a function of more than one variable and the domain of integration is a curve in a plane or in space, as opposed to a curve on the x-eixo.

Definição

Example 6.14

Finding the Value of a Line Integral

Solução

Note that in a scalar line integral, the integration is done with respect to arc length s, which can make a scalar line integral difficult to calculate. To make the calculations easier, we can translate ∫ C f d s ∫ C f d s to an integral with a variable of integration that is t.

Evaluating a Scalar Line Integral

Although we have labeled Equation 6.6 as an equation, it is more accurately considered an approximation because we can show that the left-hand side of Equation 6.6 approaches the right-hand side as n → ∞ . n → ∞ . In other words, letting the widths of the pieces shrink to zero makes the right-hand sum arbitrarily close to the left-hand sum. Since

we obtain the following theorem, which we use to compute scalar line integrals.

Scalar Line Integral Calculation

Example 6.15

Evaluating a Line Integral

Solução

To compute a scalar line integral, we start by converting the variable of integration from arc length s para t. Then, we can use Equation 6.8 to compute the integral with respect to t. Note that f ( r ( t ) ) = cos 2 t + sin 2 t + t = 1 + t f ( r ( t ) ) = cos 2 t + sin 2 t + t = 1 + t and

Notice that Equation 6.8 translated the original difficult line integral into a manageable single-variable integral. Since

Example 6.16

Independence of Parameterization

Solução

As with the previous example, we use Equation 6.8 to compute the integral with respect to t. Note that f ( r ( t ) ) = cos 2 ( 2 t ) + sin 2 ( 2 t ) + 2 t = 2 t + 1 f ( r ( t ) ) = cos 2 ( 2 t ) + sin 2 ( 2 t ) + 2 t = 2 t + 1 and

Notice that this agrees with the answer in the previous example. Changing the parameterization did not change the value of the line integral. Scalar line integrals are independent of parameterization, as long as the curve is traversed exactly once by the parameterization.

Now that we can evaluate line integrals, we can use them to calculate arc length. If f ( x , y , z ) = 1 , f ( x , y , z ) = 1 , then

Example 6.17

Calculating Arc Length

A wire has a shape that can be modeled with the parameterization r ( t ) = ⟨ cos t , sin t , t 2 2 ⟩ , 0 ≤ t ≤ 4 π . r ( t ) = ⟨ cos t , sin t , t 2 2 ⟩ , 0 ≤ t ≤ 4 π . Find the length of the wire.

Solução

Find the length of a wire with parameterization r ( t ) = 〈 3 t + 1 , 4 − 2 t , 5 + 2 t 〉 , 0 ≤ t ≤ 4 . r ( t ) = 〈 3 t + 1 , 4 − 2 t , 5 + 2 t 〉 , 0 ≤ t ≤ 4 .

Vector Line Integrals

The second type of line integrals are vector line integrals, in which we integrate along a curve through a vector field. Por exemplo, deixe

To answer this question, first note that a particle could travel in two directions along a curve: a forward direction and a backward direction. The work done by the vector field depends on the direction in which the particle is moving. Therefore, we must specify a direction along curve C such a specified direction is called an orientation of a curve . The specified direction is the positivo direction along C the opposite direction is the negativo direction along C. Quando C has been given an orientation, C é chamado de oriented curve (Figure 6.16). The work done on the particle depends on the direction along the curve in which the particle is moving.

which gives us the concept of a vector line integral.

Definição

The vector line integral of vector field F along oriented smooth curve C é

With scalar line integrals, neither the orientation nor the parameterization of the curve matters. As long as the curve is traversed exactly once by the parameterization, the value of the line integral is unchanged. With vector line integrals, the orientation of the curve does matter. If we think of the line integral as computing work, then this makes sense: if you hike up a mountain, then the gravitational force of Earth does negative work on you. If you walk down the mountain by the exact same path, then Earth’s gravitational force does positive work on you. In other words, reversing the path changes the work value from negative to positive in this case. Note that if C is an oriented curve, then we let −C represent the same curve but with opposite orientation.

Thus, we have the following formula for computing vector line integrals:

Example 6.18

Evaluating a Vector Line Integral

Solução

We can use Equation 6.9 to convert the variable of integration from s para t. We then have

Example 6.19

Reversing Orientation

Solução

Notice that this is the same problem as Example 6.18, except the orientation of the curve has been traversed. In this example, the parameterization starts at r ( 0 ) = 〈 –1 , 0 〉 r ( 0 ) = 〈 –1 , 0 〉 and ends at r ( π ) = 〈 1 , 0 〉 . r ( π ) = 〈 1 , 0 〉 . By Equation 6.9,

Notice that this is the negative of the answer in Example 6.18. It makes sense that this answer is negative because the orientation of the curve goes against the “flow” of the vector field.

Deixar C be an oriented curve and let −C denote the same curve but with the orientation reversed. Then, the previous two examples illustrate the following fact:

That is, reversing the orientation of a curve changes the sign of a line integral.

Example 6.20

Finding the Value of an Integral of the Form ∫ C P d x + Q d y + R d z ∫ C P d x + Q d y + R d z

Solução

As with our previous examples, to compute this line integral we should perform a change of variables to write everything in terms of t. In this case, Equation 6.10 allows us to make this change:

We have learned how to integrate smooth oriented curves. Now, suppose that C is an oriented curve that is not smooth, but can be written as the union of finitely many smooth curves. In this case, we say that C is a piecewise smooth curve . To be precise, curve C is piecewise smooth if C can be written as a union of n smooth curves C 1 , C 2 ,… , C n C 1 , C 2 ,… , C n such that the endpoint of C i C i is the starting point of C i + 1 C i + 1 (Figure 6.19). When curves C i C i satisfy the condition that the endpoint of C i C i is the starting point of C i + 1 , C i + 1 , we write their union as C 1 + C 2 + ⋯ + C n . C 1 + C 2 + ⋯ + C n .

The next theorem summarizes several key properties of vector line integrals.

Properties of Vector Line Integrals

Deixar F e G be continuous vector fields with domains that include the oriented smooth curve C. Então

Notice the similarities between these items and the properties of single-variable integrals. Properties i. e ii. say that line integrals are linear, which is true of single-variable integrals as well. Property iii. says that reversing the orientation of a curve changes the sign of the integral. If we think of the integral as computing the work done on a particle traveling along C, then this makes sense. If the particle moves backward rather than forward, then the value of the work done has the opposite sign. This is analogous to the equation ∫ a b f ( x ) d x = − ∫ b a f ( x ) d x . ∫ a b f ( x ) d x = − ∫ b a f ( x ) d x . Finally, if [ a 1 , a 2 ] , [ a 2 , a 3 ] ,… , [ a n − 1 , a n ] [ a 1 , a 2 ] , [ a 2 , a 3 ] ,… , [ a n − 1 , a n ] are intervals, then

which is analogous to property iv.

Example 6.21

Using Properties to Compute a Vector Line Integral

Solução

We want to compute each of the four integrals on the right-hand side using Equation 6.8. Before doing this, we need a parameterization of each side of the rectangle. Here are four parameterizations (note that they traverse C counterclockwise):

Notice that the value of this integral is positive, which should not be surprising. As we move along curve C1 from left to right, our movement flows in the general direction of the vector field itself. At any point along C1, the tangent vector to the curve and the corresponding vector in the field form an angle that is less than 90°. Therefore, the tangent vector and the force vector have a positive dot product all along C1, and the line integral will have positive value.

The calculations for the three other line integrals are done similarly:

Thus, we have ∫ C F · d r = 2 . ∫ C F · d r = 2 .

Applications of Line Integrals

Scalar line integrals have many applications. They can be used to calculate the length or mass of a wire, the surface area of a sheet of a given height, or the electric potential of a charged wire given a linear charge density. Vector line integrals are extremely useful in physics. They can be used to calculate the work done on a particle as it moves through a force field, or the flow rate of a fluid across a curve. Here, we calculate the mass of a wire using a scalar line integral and the work done by a force using a vector line integral.

Example 6.22

Calculating the Mass of a Wire

Calculate the mass of a spring in the shape of a curve parameterized by 〈 t , 2 cos t , 2 sin t 〉 , 〈 t , 2 cos t , 2 sin t 〉 , 0 ≤ t ≤ π 2 , 0 ≤ t ≤ π 2 , with a density function given by ρ ( x , y , z ) = e x + y z ρ ( x , y , z ) = e x + y z kg/m (Figure 6.21).

Solução

To calculate the mass of the spring, we must find the value of the scalar line integral ∫ C ( e x + y z ) d s , ∫ C ( e x + y z ) d s , where C is the given helix. To calculate this integral, we write it in terms of t using Equation 6.8:

Therefore, the mass is 5 ( e π / 2 + 1 ) 5 ( e π / 2 + 1 ) kg.

Calculate the mass of a spring in the shape of a helix parameterized by r ( t ) = 〈 cos t , sin t , t 〉 , 0 ≤ t ≤ 6 π , r ( t ) = 〈 cos t , sin t , t 〉 , 0 ≤ t ≤ 6 π , with a density function given by ρ ( x , y , z ) = x + y + z ρ ( x , y , z ) = x + y + z kg/m.

When we first defined vector line integrals, we used the concept of work to motivate the definition. Therefore, it is not surprising that calculating the work done by a vector field representing a force is a standard use of vector line integrals. Recall that if an object moves along curve C in force field F, then the work required to move the object is given by ∫ C F · d r . ∫ C F · d r .

Example 6.23

Calculating Work

How much work is required to move an object in vector force field F = 〈 y z , x y , x z 〉 F = 〈 y z , x y , x z 〉 along path r ( t ) = 〈 t 2 , t , t 4 〉 , r ( t ) = 〈 t 2 , t , t 4 〉 , 0 ≤ t ≤ 1 ? 0 ≤ t ≤ 1 ? See Figure 6.22.

Solução

Deixar C denote the given path. We need to find the value of ∫ C F · d r . ∫ C F · d r . To do this, we use Equation 6.9:

Flux and Circulation

We close this section by discussing two key concepts related to line integrals: flux across a plane curve and circulation along a plane curve. Flux is used in applications to calculate fluid flow across a curve, and the concept of circulation is important for characterizing conservative gradient fields in terms of line integrals. Both these concepts are used heavily throughout the rest of this chapter. The idea of flux is especially important for Green’s theorem, and in higher dimensions for Stokes’ theorem and the divergence theorem.

Deixar C be a plane curve and let F be a vector field in the plane. Imagine C is a membrane across which fluid flows, but C does not impede the flow of the fluid. In other words, C is an idealized membrane invisible to the fluid. Suponha F represents the velocity field of the fluid. How could we quantify the rate at which the fluid is crossing C?

Se F is a velocity field of a fluid and C is a curve that represents a membrane, then the flux of F across C is the quantity of fluid flowing across C per unit time, or the rate of flow.

Definição

The flux of F across C is line integral ∫ C F · n ( t ) ‖ n ( t ) ‖ d s . ∫ C F · n ( t ) ‖ n ( t ) ‖ d s .

We now give a formula for calculating the flux across a curve. This formula is analogous to the formula used to calculate a vector line integral (see Equation 6.9).

Calculating Flux across a Curve

Deixar F be a vector field and let C be a smooth curve with parameterization r ( t ) = 〈 x ( t ) , y ( t ) 〉 , a ≤ t ≤ b . r ( t ) = 〈 x ( t ) , y ( t ) 〉 , a ≤ t ≤ b . Let n ( t ) = 〈 y ′ ( t ) , − x ′ ( t ) 〉 . n ( t ) = 〈 y ′ ( t ) , − x ′ ( t ) 〉 . The flux of F across C é

Prova

The proof of Equation 6.11 is similar to the proof of Equation 6.8. Before deriving the formula, note that ‖ n ( t ) ‖ = ‖ 〈 y ′ ( t ) , − x ′ ( t ) 〉 ‖ = ( y ′ ( t ) ) 2 + ( x ′ ( t ) ) 2 = ‖ r ′ ( t ) ‖ . ‖ n ( t ) ‖ = ‖ 〈 y ′ ( t ) , − x ′ ( t ) 〉 ‖ = ( y ′ ( t ) ) 2 + ( x ′ ( t ) ) 2 = ‖ r ′ ( t ) ‖ . Portanto,


Use a Double Integral to find the area between two circles

I am having a difficult time solving this problem. I have tried this several different ways, and I get a different result, none of which is correct, every time. I've derived an answer geometrically and cannot replicate it with a double integral.

Here's the problem: Use a double integral to find the area between two circles $x^2+y^2=4$ and $(x−1)^2+y^2=4.$

Here is how I have tried to go about this problem:

First, I graphed it to get a good idea visually of what I was doing. Here's the graph I scribbled on. The region I'm interested is where these two circles overlap. This region can easily be divided into two separate areas. There are clearly a number of ways to go about solving this. but the one I opted for is to find the shaded region. The bounds for $x$ in this case are between $D$ and $C$. D can be found by setting $C_1=C_2$, and $x$ turns out to be $frac<1><2>$. On the right, $x$ is where $C_1(y)=0$, $x=pm2$, so $x=2$ at point $C$. $y$ is greater than $B_y$ and less than $A_y$, which are also found where $C_1=C_2$, and $y$ turns out to be $pmsqrt<4>>$. So far so good. Now I know my limits of integration. But here's what I don't understand. What am I actually integrating? $x$ has constant bounds, and $y$ does not, and looking at other double integral problems, that would lead me to believe that I should integrate $y$ first as a function of $x$, evaluate it at its bounds, and then integrate $x$ and evaluate it at its bounds giving me half the area I am looking for. However, when I try to do this, I get utter nonsense for an answer, or I get lost trying to set up the problem.

I could really use the help, I've spent entirely too much time trying to puzzle through this. Thank you in advance!


Conteúdo

In complex analysis a contour is a type of curve in the complex plane. In contour integration, contours provide a precise definition of the curves on which an integral may be suitably defined. UMA curva in the complex plane is defined as a continuous function from a closed interval of the real line to the complex plane: z : [uma, b] → C .

This definition of a curve coincides with the intuitive notion of a curve, but includes a parametrization by a continuous function from a closed interval. This more precise definition allows us to consider what properties a curve must have for it to be useful for integration. In the following subsections we narrow down the set of curves that we can integrate to include only those that can be built up out of a finite number of continuous curves that can be given a direction. Moreover, we will restrict the "pieces" from crossing over themselves, and we require that each piece have a finite (non-vanishing) continuous derivative. These requirements correspond to requiring that we consider only curves that can be traced, such as by a pen, in a sequence of even, steady strokes, which stop only to start a new piece of the curve, all without picking up the pen. [6]

Directed smooth curves Edit

Contours are often defined in terms of directed smooth curves. [6] These provide a precise definition of a "piece" of a smooth curve, of which a contour is made.

UMA smooth curve is a curve z : [uma, b] → C with a non-vanishing, continuous derivative such that each point is traversed only once ( z is one-to-one), with the possible exception of a curve such that the endpoints match ( z(uma) = z(b) ). In the case where the endpoints match the curve is called closed, and the function is required to be one-to-one everywhere else and the derivative must be continuous at the identified point ( z′(uma) = z′(b) ). A smooth curve that is not closed is often referred to as a smooth arc. [6]

The parametrization of a curve provides a natural ordering of points on the curve: z(x) comes before z(y) if x & lt y . This leads to the notion of a directed smooth curve. It is most useful to consider curves independent of the specific parametrization. This can be done by considering equivalence classes of smooth curves with the same direction. UMA directed smooth curve can then be defined as an ordered set of points in the complex plane that is the image of some smooth curve in their natural order (according to the parametrization). Note that not all orderings of the points are the natural ordering of a smooth curve. In fact, a given smooth curve has only two such orderings. Also, a single closed curve can have any point as its endpoint, while a smooth arc has only two choices for its endpoints.

Contours Edit

Contours are the class of curves on which we define contour integration. UMA contour is a directed curve which is made up of a finite sequence of directed smooth curves whose endpoints are matched to give a single direction. This requires that the sequence of curves γ1, …, γn be such that the terminal point of γi coincides with the initial point of γi+1 , ∀ i, 1 ≤ i & lt n . This includes all directed smooth curves. Also, a single point in the complex plane is considered a contour. The symbol + is often used to denote the piecing of curves together to form a new curve. Thus we could write a contour Γ that is made up of n curves as

O contour integral of a complex function f : CC is a generalization of the integral for real-valued functions. For continuous functions in the complex plane, the contour integral can be defined in analogy to the line integral by first defining the integral along a directed smooth curve in terms of an integral over a real valued parameter. A more general definition can be given in terms of partitions of the contour in analogy with the partition of an interval and the Riemann integral. In both cases the integral over a contour is defined as the sum of the integrals over the directed smooth curves that make up the contour.

For continuous functions Edit

To define the contour integral in this way one must first consider the integral, over a real variable, of a complex-valued function. Deixar f : RC be a complex-valued function of a real variable, t . The real and imaginary parts of f are often denoted as você(t) e v(t) , respectively, so that

Deixar f : CC be a continuous function on the directed smooth curve γ . Deixar z : RC be any parametrization of γ that is consistent with its order (direction). Then the integral along γ is denoted

This definition is well defined. That is, the result is independent of the parametrization chosen. [6] In the case where the real integral on the right side does not exist the integral along γ is said not to exist.

As a generalization of the Riemann integral Edit

The generalization of the Riemann integral to functions of a complex variable is done in complete analogy to its definition for functions from the real numbers. The partition of a directed smooth curve γ is defined as a finite, ordered set of points on γ . The integral over the curve is the limit of finite sums of function values, taken at the points on the partition, in the limit that the maximum distance between any two successive points on the partition (in the two-dimensional complex plane), also known as the mesh, goes to zero.

Direct methods involve the calculation of the integral by means of methods similar to those in calculating line integrals in multivariate calculus. This means that we use the following method:

  • parametrizing the contour The contour is parametrized by a differentiable complex-valued function of real variables, or the contour is broken up into pieces and parametrized separately.
  • substitution of the parametrization into the integrand Substituting the parametrization into the integrand transforms the integral into an integral of one real variable.
  • direct evaluation The integral is evaluated in a method akin to a real-variable integral.

Example Edit

A fundamental result in complex analysis is that the contour integral of 1 / z is 2πi , where the path of the contour is taken to be the unit circle traversed counterclockwise (or any positively oriented Jordan curve about 0). In the case of the unit circle there is a direct method to evaluate the integral

which is the value of the integral.

Applications of integral theorems are also often used to evaluate the contour integral along a contour, which means that the real-valued integral is calculated simultaneously along with calculating the contour integral.

Integral theorems such as the Cauchy integral formula or residue theorem are generally used in the following method:

  • a specific contour is chosen: The contour is chosen so that the contour follows the part of the complex plane that describes the real-valued integral, and also encloses singularities of the integrand so application of the Cauchy integral formula or residue theorem is possible
  • application of Cauchy's integral theorem The integral is reduced to only an integration around a small circle about each pole.
  • application of the Cauchy integral formula or residue theorem Application of these integral formulae gives us a value for the integral around the whole of the contour.
  • division of the contour into a contour along the real part and imaginary part The whole of the contour can be divided into the contour that follows the part of the complex plane that describes the real-valued integral as chosen before (call it R ), and the integral that crosses the complex plane (call it I ). The integral over the whole of the contour is the sum of the integral over each of these contours.
  • demonstration that the integral that crosses the complex plane plays no part in the sum If the integral I can be shown to be zero, or if the real-valued integral that is sought is improper, then if we demonstrate that the integral I as described above tends to 0, the integral along R will tend to the integral around the contour R + eu .
  • conclusion If we can show the above step, then we can directly calculate R , the real-valued integral.

Example 1 Edit

To evaluate this integral, we look at the complex-valued function

which has singularities at i and −i . We choose a contour that will enclose the real-valued integral, here a semicircle with boundary diameter on the real line (going from, say, −uma to a ) will be convenient. Call this contour C .

There are two ways of proceeding, using the Cauchy integral formula or by the method of residues:


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O termo racional in reference to the set Q refers to the fact that a rational number represents a Razão of two integers. In mathematics, "rational" is often used as a noun abbreviating "rational number". The adjective racional sometimes means that the coefficients are rational numbers. For example, a rational point is a point with rational coordinates (i.e., a point whose coordinates are rational numbers) a rational matrix is a matrix of rational numbers a rational polynomial may be a polynomial with rational coefficients, although the term "polynomial over the rationals" is generally preferred, to avoid confusion between "rational expression" and "rational function" (a polynomial is a rational expression and defines a rational function, even if its coefficients are not rational numbers). However, a rational curve is not a curve defined over the rationals, but a curve which can be parameterized by rational functions.

Etymology Edit

Although nowadays números racionais are defined in terms of ratios, the term racional is not a derivation of Razão. On the opposite, it is Razão that is derived from racional: the first use of Razão with its modern meaning was attested in English about 1660, [9] while the use of racional for qualifying numbers appeared almost a century earlier, in 1570. [10] This meaning of racional came from the mathematical meaning of irrational, which was first used in 1551, and it was used in "translations of Euclid (following his peculiar use of ἄλογος )". [11] [12]

This unusual history originated in the fact that ancient Greeks "avoided heresy by forbidding themselves from thinking of those [irrational] lengths as numbers". [13] So such lengths were irrational, in the sense of illogical, that is "not to be spoken about" ( ἄλογος in Greek). [14]

This etymology is similar to that of imaginário numbers and real numbers.


Concession -Gestion et exploitation du Bassin de Radoub.

I.1) NOM ET ADRESSES
GRAND PORT MARITIME DE LA MARTINIQUE, FORT-DE-FRANCE, F, Courriel : [email protected] , Code NUTS : FRY20
Adresse(s) internet :
Adresse principale : https://www.martinique.port.fr
Adresse du profil acheteur : https://www.martinique.port.fr

II.1) ÉTENDUE DU MARCHÉ
II.1.1) Intitulé : Concession - Gestion et exploitation du Bassin de Radoub
Numéro de référence : 2021GPMLM004
II.1.2) Code CPV principal :
Descripteur principal : 63721200
Descripteur supplémentaire :
II.1.3) Type de marché
Services
II.1.4) Description succincte : Confier à un opérateur la gestion et l'exploitation du Bassin de Radoub, des bâtiments, terrains et terre-pleins attenants au bassin desservis par des quais et accessibles aux navires pour des opérations de carénage et d'aménagement.


Section VI : Renseignements complémentaires

VI.5) DATE D'ENVOI DU PRÉSENT AVIS
22 juin 2021
VI.6) RÉFÉRENCE DE L'AVIS ORIGINAL
Numéro de l'avis au JO série S : 2021/S 119-316530 du 22/06/2021

Section VII : Modifications

VII.1) Informations à rectifier ou à

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