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14.E: Integração Múltipla (Exercícios) - Matemática


13.1: Integrais Iterados e Área

Termos e Conceitos

1. Ao integrar (f_x (x, y) ) em relação a x, a constante de integração C é realmente qual: (C (x) text {ou} C (y) )? O que isto significa?

2. A integração de uma integral é chamada de _________ __________.

3. Ao avaliar uma integral iterada, integramos de _______ a ________, depois de _________ a __________.

4. Uma compreensão de uma integral iterada é que ( displaystyle int_a ^ b int_ {g_1 (x)} ^ {g_2 (x)} , dy , dx ) dá _______ de uma região plana.

Problemas

Nos Exercícios 5-10, avalie a integral e a integral iterada subsequente.

5.
(a) ( displaystyle int_2 ^ 5 (6x ^ 2 + 4xy-3y ^ 2) , dy )
(b) ( displaystyle int _ {- 3} ^ 2 int_2 ^ 5 (6x ^ 2 + 4xy-3y ^ 2) , dy , dx )

6.
(a) ( displaystyle int_0 ^ pi (2x cos y + sin x) , dx )
(b) ( displaystyle int_ {0} ^ { pi / 2} int_0 ^ pi (2x cos y + sin x) , dx , dy )

7.
(a) ( displaystyle int_1 ^ x (x ^ 2y-y + 2) , dy )
(b) ( displaystyle int_0 ^ 2 int_1 ^ x (x ^ 2y-y + 2) , dy , dx )

8.
(a) ( displaystyle int_y ^ {y ^ 2} (x-y) , dx )
(b) ( displaystyle int _ {- 1} ^ 1 int_y ^ {y ^ 2} (x-y) , dx , dy )

9.
(a) ( displaystyle int_0 ^ {y} ( cos x sin y) , dx )
(b) ( displaystyle int_0 ^ pi int_0 ^ {y} ( cos x sin y) , dx , dy )

10.
(a) ( displaystyle int_0 ^ {x} left ( frac {1} {1 + x ^ 2} right) , dy )
(b) ( displaystyle int_1 ^ 2 int_0 ^ {x} left ( frac {1} {1 + x ^ 2} right) , dy , dx )

Nos Exercícios 11-16, um gráfico de uma região planar (R ) é dado. Forneça as integrais iteradas, com ambas as ordens de integração (dy , dx ) e (dx , dy ), que fornecem a área de (R ). Avalie uma das integrais iteradas para encontrar a área.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

Nos Exercícios 17-22, integrais iteradas são dadas para calcular a área de uma região R no plano (xy ). Desenhe a região R, e dar a (s) integral (is) iterada (s) que dão a área de R com a ordem oposta de integração.

17. ( displaystyle int _ {- 2} ^ 2 int_0 ^ {4-x ^ 2} , dy , dx )

18. ( displaystyle int_ {0} ^ 1 int_ {5-5x} ^ {5-5x ^ 2} , dy , dx )

19. ( displaystyle int _ {- 2} ^ 2 int_0 ^ {2 sqrt {4-y ^ 2}} , dx , dy )

20. ( displaystyle int _ {- 3} ^ 3 int _ {- sqrt {9-x ^ 2}} ^ { sqrt {9-x ^ 2}} , dy , dx )

21. ( displaystyle int_ {0} ^ 1 int _ {- sqrt {y}} ^ { sqrt {y}} , dx , dy + int_1 ^ 4 int_ {y-2} ^ { sqrt {y}} , dx , dy )

22. ( displaystyle int _ {- 1} ^ 1 int _ {(x-1) / 2} ^ {(1-x) / 2} , dy , dx )

13.2: Integração dupla e volume

Termos e Conceitos

1. Uma integral pode ser interpretada como fornecendo a área sinalizada em um intervalo; uma integral dupla pode ser interpretada como dando ________ com sinal sobre uma região.

2. Explique porque a seguinte afirmação é falsa: "O Teorema de Fubini afirma que ( int_a ^ b int_ {g_1 (x)} ^ {g_2 (x)} f (x, y) , dy , dx = int_a ^ b int_ {g_1 (y)} ^ {g_2 (y)} f (x, y) , dx , dy ). "

3. Explique por que se (f (x, y)> 0 ) sobre uma região R, então ( int int_R f (x, y) , dA> 0 ).

4. Se ( int int_R f (x, y) dA = int int_R g (x, y) , dA ), isso implica (f (x, y) = g (x, y ) )?

Problemas

Nos Exercícios 5-10,
(a) Avalie a integral iterada dada, e
(b) reescrever a integral usando a outra ordem de integração.

5. ( int_1 ^ 2 int _ {- 1} ^ 1 left ( frac {x} {y} +3 right) , dx , dy )

6. ( int _ {- pi / 2} ^ { pi / 2} int_ {0} ^ pi ( sin x cos y ) , dy , dx )

7. ( int_0 ^ 4 int_ {0} ^ {- x / 2 + 2} left (3x ^ 2-y + 2 right) , dy , dx )

8. ( int_1 ^ 3 int_ {y} ^ 3 left (x ^ 2y-xy ^ 2 right) , dx , dy )

9. ( int_0 ^ 21 int _ {- sqrt {1-y}} ^ { sqrt {1-y}} (x + y + 2) , dx , dy )

10. ( int_0 ^ 9 int_ {y / 3} ^ { sqrt {3}} left (xy ^ 2 right) , dx , dy )

Nos Exercícios 11-18:
(a) Esboce a região R dado pelo problema.
(b) Configure as integrais iteradas, em ambas as ordens, que avaliam a integral dupla dada para a região descrita R.
(c) Avalie uma das integrais iteradas para encontrar o volume sinalizado sob a superfície
(z = f (x, y) ) sobre a região R.

11. ( int int_R x ^ 2y , dA ), onde R é limitado por (y = sqrt {x} text {e} y = x ^ 2 ).

12. ( int int_R x ^ 2y , dA ), onde R é limitado por (y = sqrt [3] {x} text {e} y = x ^ 3 ).

13. ( int int_R x ^ 2-y ^ 2 , dA ), onde R é o retângulo com cantos ((- 1, -1), (1, -1), (1,1) text {e} (- 1,1) ).

14. ( int int_R ye ^ x , dA ), onde R é limitado por (x = 0, , x = y ^ 2 text {e} y = 1 ).

15. ( int int_R (6-3x-2y) , dA ), onde R é limitado por (x = 0, y = 0 text {e} 3x + 2y = 6 ).

16. ( int int_R e ^ y , dA ), onde R é limitado por (y = ln x text {e} y = frac {1} {e-1} (x-1) ).

17. ( int int_R (x ^ 3y-x) , dA ), onde R é a metade do círculo (x ^ 2 + y ^ 2 = 9 ) no primeiro e segundo quadrantes.

18. ( int int_R (4-sy) , dA ), onde R é limitado por (y = 0, y = x / e text {e} y = ln x ).

Nos Exercícios 19-22, declare porque é difícil / impossível integrar a integral iterada na ordem de integração dada. Altere a ordem de integração e avalie a nova integral iterada.

19. ( int_0 ^ 4 int_ {y / 2} ^ 2 e ^ {x ^ 2} , dx , dy )

20. ( int_0 ^ { sqrt { pi / 2}} int_ {x} ^ { sqrt { pi / 2}} cos (y ^ 2) , dy , dx )

21. ( int_0 ^ 1 int_ {y} ^ 1 frac {2y} {x ^ 2 + y ^ 2} , dx , dy )

22. ( int _ {- 1} ^ 1 int_ {1} ^ 2 frac {x tan ^ 2 y} {1+ ln y} , dy , dx )

Nos Exercícios 23-26, encontre o valor médio de f sobre a região R. Observe como essas funções e regiões estão relacionadas às integrais iteradas fornecidas nos Exercícios 5-8.

23. (f (x, y) = frac {x} {y} +3 ); R é o retângulo com cantos opostos ((- 1,1) text {e} (1,2) ).

24. (f (x, y) = sin x cos y ); R é limitado por (x = 0, x = pi, y = - pi / 2 text {e} y = pi / 2 ).

25. (f (x, y) = 3x ^ 2-y + 2 ); R é limitado pelas linhas (y = 0, y = 2-x / 2 text {e} x = 0 ).

26. (f (x, y) = x ^ 2y-xy ^ 2 ); R é limitado por (y = x, y = 1 text {e} x = 3 ).

13.3: Integração Dupla com Coordenadas Polares

Termos e Conceitos

1. Ao avaliar ( int int_R f (x, y) , dA ) usando coordenadas polares, (f (x, y) ) é substituído por _______ e (dA ) é substituído por _______.

2. Por que alguém estaria interessado em avaliar uma integral dupla com coordenadas polares?

Problemas

Nos Exercícios 3-10, uma função (f (x, y) ) é dado e uma região R do x-y plano é descrito. Configurar e avaliar ( int int_R f (x, y) , dA ).

3. (f (x, y) = 3x-y + 4 ); R é a região delimitada pelo círculo (x ^ 2 + y ^ 2 = 1 ).

4. (f (x, y) = 4x + 4y ); R é a região delimitada pelo círculo (x ^ 2 + y ^ 2 = 4 ).

5. (f (x, y) = 8-y ); R é a região delimitada pelos círculos com equações polares (r = cos theta text {e} r = 3 cos theta ).

6. (f (x, y) = 4 ); R é a região delimitada pela pétala da curva da rosa (r = sin (2 theta) ) no primeiro quadrante.

7. (f (x, y) = ln (x ^ 2 + y ^ 2) ); R é o anel delimitado pelos círculos (x ^ 2 + y ^ 2 = 1 text {e} x ^ 2 + y ^ 2 = 4.

8. (f (x, y) = 1-x ^ 2-y ^ 2 ); R é a região delimitada pelo círculo (x ^ 2 + y ^ 2 = 1 ).

9. (f (x, y) = x ^ 2-y ^ 2 ); R é a região delimitada pelo círculo (x ^ 2 + y ^ 2 = 36 ) no primeiro e quarto quadrantes.

10. (f (x, y) = (x-y) / (x + y) ); R é a região delimitada pelas linhas (y = x, y = 0 ) e o círculo (x ^ 2 + y ^ 2 = 1 ) no primeiro quadrante.

Nos Exercícios 11-14, uma integral iterada em coordenadas retangulares é fornecida. Reescreva a integral usando coordenadas polares e avalie a nova integral dupla.

11. ( int_0 ^ 5 int _ {- sqrt {25-x ^ 2}} ^ { sqrt {25-x ^ 2}} sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} dy , dx )

12. ( int _ {- 4} ^ 4 int _ {- sqrt {16-y ^ 2}} ^ {0} (2y-x) dx , dy )

13. ( int_0 ^ 2 int_ {y} ^ { sqrt {8-y ^ 2}} (x + y) , dx , dy )

14. ( int _ {- 2} ^ {- 1} int_ {0} ^ { sqrt {4-x ^ 2}} (x + 5) dy , dx + int _ {- 1} ^ 1 int _ { sqrt {1-x ^ 2}} ^ { sqrt {4-x ^ 2}} (x + 5) , dy , dx + int_1 ^ 2 int_0 ^ { sqrt {4-x ^ 2}} (x + 5) , dy , dx )

Nos Exercícios 15-16, integrais duplos especiais são apresentados e são especialmente adequados para avaliação em coordenadas polares.

15. Considere ( int int_R e ^ {- (x ^ 2 + y ^ 2)} dA. )
(a) Por que esta integral é difícil de avaliar em coordenadas retangulares, independentemente da região R?
(b) Deixe R seja a região delimitada pelo círculo do raio uma centrado na origem. Avalie a integral dupla usando coordenadas polares.
(c) Tire o limite de sua resposta de (b), como (a a infty ). O que isso implica sobre o volume sob a superfície de (e ^ {- (x ^ 2 + y ^ 2)} ) em todo o x-y avião?

16. A superfície de um cone circular direito com altura h e raio de base uma pode ser descrito pela equação (f (x, y) = hh sqrt { frac {x ^ 2} {a ^ 2} + frac {y ^ 2} {a ^ 2}} ), onde o a ponta do cone encontra-se em ((0,0, h) ) e a base circular encontra-se no x-y plano, centrado na origem.
Confirme se o volume de um cone circular direito com altura h e raio de base uma é (V = frac {1} {3} pi a ^ 2h ) avaliando ( int int_R f (x, y) , dA ) em coordenadas polares.

13.4: Centro de Massa

Termos e Conceitos

1. Por que é fácil usar "massa" e "peso" alternadamente, embora sejam medidas diferentes?

2. Dado um ponto ((x, y) ), o valor de x é uma medida de distância do eixo _________.

3. Podemos pensar em ( int int_R dm ) como significando "somar muitos ________."

4. O que é um "sistema planar discreto?"

5. Por que (M_x ) usa ( int int_R y delta (x, y) , dA ) em vez de ( int int_R x delta (x, y) , dA ) ; isto é, por que usamos "y" e não "x"?

6. Descreva uma situação em que o centro de massa de uma lâmina não se encontra na região da própria lâmina.

Problemas

Nos Exercícios 7-10, as massas dos pontos são dadas ao longo de uma linha ou no plano. Encontre o centro de massa ( overline {x} ) ou (( overline {x}, overline {y}) ), como apropriado. (Todas as massas estão em gramas e as distâncias estão em cm.)

7. (m_1 = 4 text {at} x = 1; quad m_2 = 3 text {at} x = 3; quad m_3 = 5 text {at} x = 10 )

8. (m_1 = 2 text {at} x = -3; quad m_2 = 2 text {at} x = -1; quad m_3 = 3 text {at} x = 0; quad m_4 = 3 text {at} x = 7 )

9. (m_1 = 2 text {at} (- 2,2); quad m_2 = 2 text {at} (2, -2); quad m_3 = 20 text {at} (0,4 ) )

10. (m_1 = 1 text {at} (- 1,1); quad m_2 = 2 text {at} (- 1,1); quad m_3 = 2 text {at} (1,1 ); quad m_4 = 1 text {at} (1, -1) )

Nos Exercícios 11-18, encontre a massa / peso da lâmina descrita pela região R no plano e sua função de densidade ( delta (x, y) ).

11. R é o retângulo com cantos ((1, -3), (1,2), (7,2) text {e} (7, -3); delta (x, y) = 5 ) gm / cm (^ 2 )

12. R é o retângulo com cantos ((1, -3), (1,2), (7,2) text {e} (7, -3); delta (x, y) = (x + y ^ 2) ) gm / cm (^ 2 )

13. R é o triângulo com vértices ((- 1,0), (1,0), text {e} (0,1); delta (x, y) = 2 ) lb / in (^ 2 )

14. R é o triângulo com vértices ((0,0), (1,0), text {e} (0,1); delta (x, y) = (x ^ 2 + y ^ 2 + 1) ) lb / pol (^ 2 )

15. R é o círculo centrado na origem com raio 2; ( delta (x, y) = (x + y + 4) ) kg / m (^ 2 )

16. R é o setor do círculo limitado por (x ^ 2 + y ^ 2 = 25 ) no primeiro quadrante; ( delta (x, y) = ( sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} +1) ) kg / m (^ 2 )

17. R é o anel no primeiro e segundo quadrantes delimitado por (x ^ 2 + y ^ 2 = 9 text {e} x ^ 2 + y ^ 2 = 36; delta (x, y) = 4 ) lb / ft (^ 2 )

18. R é o anel no primeiro e segundo quadrantes delimitado por (x ^ 2 + y ^ 2 = 9 text {e} x ^ + y ^ 2 = 36; delta (x, y) = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} ) lb / ft (^ 2 )

Nos Exercícios 19-26, encontre o centro de massa da lâmina descrito pela região R no plano e sua função de densidade ( delta (x, y) ).

Nota: são as mesmas lâminas dos Exercícios 11-18.

19. R é o retângulo com cantos ((1, -3), (1,2), (7,2) text {e} (7, -3); delta (x, y) = 5 ) gm / cm (^ 2 )

20. R é o retângulo com cantos ((1, -3), (1,2), (7,2) text {e} (7, -3); delta (x, y) = (x + y ^ 2) ) gm / cm (^ 2 )

21. R é o triângulo com vértices ((- 1,0), (1,0), text {e} (0,1); delta (x, y) = 2 ) lb / in (^ 2 )

22. R é o triângulo com vértices ((0,0), (1,0), text {e} (0,1); delta (x, y) = (x ^ 2 + y ^ 2 + 1) ) lb / pol (^ 2 )

23. R é o círculo centrado na origem com raio 2; ( delta (x, y) = (x + y + 4) ) kg / m (^ 2 )

24. R é o setor do círculo limitado por (x ^ 2 + y ^ 2 = 25 ) no primeiro quadrante; ( delta (x, y) = ( sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} +1) ) kg / m (^ 2 )

25. R é o anel no primeiro e segundo quadrantes delimitado por (x ^ 2 + y ^ 2 = 9 text {e} x ^ 2 + y ^ 2 = 36; delta (x, y) = 4 ) lb / ft (^ 2 )

26. R é o anel no primeiro e segundo quadrantes delimitado por (x ^ 2 + y ^ 2 = 9 text {e} x ^ + y ^ 2 = 36; delta (x, y) = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} ) lb / ft (^ 2 )

O momento de inércia (eu) é uma medida da tendência da lâmina em resistir à rotação em torno de um eixo ou continuar a girar em torno de um eixo. (i_x ) é o momento de inércia sobre o eixo x, (i_x ) é o momento de inércia sobre o eixo x, e (i_o ) é o momento de inércia sobre a origem. Estes são calculados da seguinte forma:

  • (i_x = int int_R y ^ 2 , dm )
  • (i_y = int int_R x ^ 2 , dm )
  • (i_o = int int_R (x ^ 2 + y ^ 2) , dm )

Nos Exercícios 27-30, uma lâmina correspondendo a uma região plana R é dado com uma massa de 16 unidades. Para cada um, calcule (i_x ), (i_y ) e (i_o ).

27. R é o quadrado 4 x 4 com cantos ((- 2, -2) text {e} (2,2) ) com densidade ( delta (x, y) = 1 ).

28. R é o retângulo 8 x 2 com cantos ((- 4, -1) text {e} (4,1) ) com densidade ( delta (x, y) = 1 ).

29. R é o retângulo 4 x 2 com cantos ((- 2, -1) text {e} (2,1) ) com densidade ( delta (x, y) = 2 ).

30. R é o círculo com raio 2 centrado na origem com densidade ( delta (x, y) = 4 / pi ).

13.5: Área de Superfície

Termos e Conceitos

1. "Área de superfície" é análoga ao conceito previamente estudado?

2. Para aproximar a área de uma pequena porção de uma superfície, calculamos a área de seu plano ______.

3. Interpretamos ( int int_R , dS ) como "soma muito pouco _______ ________."

4. Por que é importante saber como configurar uma integral dupla para calcular a área de superfície, mesmo se a integral resultante for difícil de avaliar?

5. Por que (z = f (x, y) ) e (z = g (x, y) = f (x, y) + h ), para algum número real h, tem a mesma área de superfície em uma região R?

6. Seja (z = f (x, y) ) e (z = g (x, y) = 2f (x, y) ). Por que a área de superfície de g sobre uma região R não duas vezes a área de superfície de (f ) sobre (R )?

Problemas

Nos Exercícios 7-10, configure a integral iterada que calcula a área das superfícies da superfície dada sobre a região R.

7. (f (x, y) = sin x cos y; quad R ) é o retângulo com limites (0 le x le 2 pi ), (0 le y le 2 pi ).

8. (f (x, y) = frac {1} {x ^ 2 + y ^ 2 + 1}; quad R ) é o círculo (x ^ 2 + y ^ 2 = 9 ).

9. (f (x, y) = x ^ 2-y ^ 2; quad R ) é o retângulo com cantos opostos ((- 1, -1) ) e (1,1) ) .

10. (f (x, y) = frac {1} {e ^ {x ^ 2} +1}; quad R ) é o retângulo delimitado por (- 5 le x le 5 ) e (0 le y le 1 ).

Nos Exercícios 11-19, encontre a área da superfície dada sobre a região R.

11. (f (x, y) = 3x-7y + 2; quad R ) é o retângulo com cantos opostos ((- 1,0) text {e} (1,3) ).

12. (f (x, y) = 2x + 2y + 2; quad R ) é o triângulo com vértices ((0,0), (1,0) text {e} (0,1) ).

13. (f (x, y) = x ^ 2 + y ^ 2 + 10; quad R ) é o círculo (x ^ 2 + y ^ 2 = 16 ).

14. (f (x, y) = - 2x + 4y ^ 2 + 7 text {over} R ), o triângulo delimitado por (y = -x, y = x, 0 le y le 1 ).

15. (f (x, y) = x ^ 2 + y ) sobre R, o triângulo delimitado por (y = 2x, y = 0 text {e} x = 2 ).

16. (f (x, y) = frac {2} {3} x ^ {3/2} ) sobre R, o retângulo com cantos opostos ((0,0) text {e} (1,1) ).

17. (f (x, y) = 10-2 sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} ) sobre R, o círculo (x ^ 2 + y ^ 2 = 25 ). (Este é o cone com altura 10 e raio de base 5; certifique-se de comparar seu resultado com a fórmula conhecida.)

18. Encontre a área da superfície da esfera com raio 5 dobrando a área da superfície de (f (x, y) = sqrt {25-x ^ 2-y ^ 2} ) sobre R, o círculo (x ^ 2 + y ^ 2 = 25 ). (Certifique-se de comparar seu resultado com a fórmula conhecida.)

19. Encontre a área da superfície da elipse formada restringindo o plano (f (x, y) = cx + dy + h ) à região R, o círculo (x ^ 2 + y ^ 2 = 1 ), onde CD e h são algumas constantes. Sua resposta deve ser dada em termos de c e d; por que o valor de h não importa?

13.6: Volume entre as superfícies e integração tripla

Termos e Conceitos

1A estratégia para estabelecer limites para integrais triplos é "________ para ________, _________ e __________ para _______."

2. Dê uma interpretação informal do que (" int int int_D , dV )" significa.

3. Dê dois usos para a integração tripla.

4. Se um objeto tem uma densidade constante ( delta ) e um volume V, qual é a sua massa?

Problemas

Nos Exercícios 5-8, duas superfícies (f_1 (x, y) ) e (f_2 (x, y) ) e uma região R no x, y avião são dados. Configure e avalie a integral dupla que encontra o volume entre essas superfícies sobre R.

5. (f_x (x, y) = 8-x ^ 2-y ^ 2, , f_2 (x, y) = 2x + y; )
R é o quadrado com cantos ((- 1, -1) text {e} (1,1) ).

6. (f_x (x, y) = x ^ 2 + y ^ 2, , f_2 (x, y) = -x ^ 2-y ^ 2; )
R é o quadrado com cantos ((0,0) text {e} (2,3) ).

7. (f_x (x, y) = sin x cos y, , f_2 (x, y) = cos x sin y +2; )
R é o triângulo com vértices ((0,0), ( pi, 0) text {e} ( pi, pi) ).

8. (f_x (x, y) = 2x ^ 2 + 2y ^ 2 + 3, , f_2 (x, y) = 6-x ^ 2-y ^ 2; )
R é o círculo (x ^ 2 + y ^ 2 = 1 ).

Nos Exercícios 9-16, um domínio D é descrito por suas superfícies delimitadoras, junto com um gráfico. Configure os integrais triplos que fornecem o volume de D em todas as 6 ordens de integração e encontre o volume de D avaliando o integral triplo indicado.

9. D é limitado pelos planos de coordenadas e (z = 2-2x / 3-2y ).
Avalie a integral tripla com ordem dz dy dz.

10. D é limitado pelos planos (y = 0, y = 2, x = 1, z = 0 text {e} z = (2-x) / 2 ).
Avalie a integral tripla com ordem dx dy dz​​​​​​​.

11. D é limitado pelos planos (x = 0, x = 2, z = -y text {e por} z = y ^ 2/2 ).
Avalie a integral tripla com ordem dy dz dx​​​​​​​.

12. D é limitado pelos planos (z = 0, y = 9, x = 0 text {e por ) z = sqrt {y ^ 2-9x ^ 2} ).
Não avalie nenhuma integral tripla.

13. D é limitado pelos planos (x = 2, y = 1, z = 0 text {e} z = 2x + 4y-4 ).
Avalie a integral tripla com ordem dx dy dz​​​​​​​.

14. D é limitado pelo plano (z = 2y text {e por} y = 4-x ^ 2 ).
Avalie a integral tripla com ordem dz dy dz​​​​​​​.

15. D é limitado pelos planos de coordenadas e (y = 1-x ^ 2 text {e} y = 1-z ^ 2 ).
Não avalie nenhuma integral tripla. Qual pedido é mais fácil de avaliar: dz dy dx ou dy dz dx? Explique por quê.

16. D é limitado pelos planos de coordenadas e por (z = 1-y / 3 text {e} z = 1-x ).
Avalie a integral tripla com ordem dx dy dz​​​​​​​.

Nos Exercícios 17-20, avalie a integral tripla.

17. ( int _ {- pi / 2} ^ { pi / 2} int_ {0} ^ { pi} int_ {0} ^ { pi} ( cos x sin y sin z ) dz , dy , dx )

18. ( int_ {0} ^ {1} int_ {0} ^ {x} int_ {0} ^ {x + y} (x + y + z) dz , dy , dx )

19. ( int_ {0} ^ { pi} int_ {0} ^ {1} int_ {0} ^ {z} ( sin (yz)) dx , dy , dz )

20. ( int _ { pi} ^ { pi ^ 2} int_ {x} ^ {x ^ 3} int _ {- y ^ 2} ^ {y ^ 2} ( cos x sin y sin z) dz , dy , dx )

Nos Exercícios 21-24, encontre o centro de massa do sólido representado pela região espacial indicada D com função de densidade ( delta (x, y, z) ).

21. D é limitado pelos planos de coordenadas e (z = 2-2x / 3-2y ); ( delta (x, y, z) = 10 ) g / cm (^ 3 ).
(Observação: esta é a mesma região usada no Exercício 9.)

22. D é limitado pelos planos (y = 0, y = 2, x = 1, z = 0 text {e} z = (3-x) / 2 ); ( delta (x, y, z) = 2 ) g / cm (^ 3 ).
(Observação: esta é a mesma região usada no Exercício 10.)

23. D é limitado pelos planos (x = 2, y = 1, z = 0 text {e} z = 2x + 4y-4 ); ( delta (x, y, z) = x ^ 2 ) lb / in (^ 3 ).
(Observação: esta é a mesma região usada no Exercício 13.)

24. D é limitado pelos planos (z = 2y text {e por} y = 4-x ^ 2 ). ( delta (x, y, z) = y ^ 2 ) lb / in (^ 3 ).
(Observação: esta é a mesma região usada no Exercício 14.)


12 - Integrais Múltiplos - Matemática de Engenharia, Volume I, Segunda Edição

O objetivo deste capítulo é estudar integrais duplos e triplos junto com suas aplicações. Assim, devemos considerar aqui as integrais das funções de duas e três variáveis.

12.1 DUPLO INTEGRALS

A noção de integral dupla é uma extensão do conceito de integral definida na linha real para o caso do espaço bidimensional. Deixar f (x, y) ser uma função contínua de duas variáveis ​​independentes x e y dentro e na fronteira de uma região R. Divida a região R em subdomínios R1, R2,…, Rn de áreas δR1, δR2,… ΔRn, respectivamente. Deixar (xeu, yeu) ser um ponto arbitrário dentro do euª área elementar, △Reu. Considere a soma

Quando n → ∞, o número de sub-regiões aumenta indefinidamente de forma que a maior das áreas △Reu se aproxima de zero. O lim Sn, se existe, é chamado de integral duplo da função f(x, y) sobre a região (domínio) R e é denotado por

Se a região R é dividida em malhas retangulares por uma rede de linhas paralelas aos eixos coordenados e se dx e tingir ser o comprimento e a largura de uma bagunça retangular, então dxdy é um elemento de área em coordenadas cartesianas. Nesse caso, temos

Declaramos agora, sem prova, dois teoremas que fornecem condições suficientes para a existência de uma integral dupla sobre uma região fechada R.

Teorema 12.1. Deixar ɸ e ψ ser duas funções contínuas definidas em um intervalo fechado [a, b] de tal modo que ɸ (x) ≤ ψ (x) para todos x ∊ [a, b] Deixar f ser uma função contínua definida sobre R = <(x, y): umaEntão e existem e são iguais.

Teorema 12.2. Deixar ɸ e ψ ser duas funções contínuas definidas em um intervalo fechado [CD] de tal modo que ɸ (y) ≤ ψ para y ∊ [CD] Deixar f ser uma função contínua definida sobre R = <(x, y) : cyd ɸ (y) ≤ x ≤ ψ (y)>. Então, e existem e são iguais.


Recursos

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MyLab ™ Math é um programa de lição de casa, tutorial e avaliação online projetado para trabalhar com este texto para envolver os alunos e melhorar os resultados. Em seu ambiente estruturado, os alunos praticam o que aprendem, testam sua compreensão e buscam um plano de estudo personalizado que os ajuda a absorver o material do curso e entender conceitos difíceis. Um conjunto completo de Figuras interativas foram adicionados ao curso MyLab Math que o acompanha para apoiar ainda mais o ensino e a aprendizagem. Tarefas de amostra aprimoradas inclua a revisão de pré-requisitos na hora certa, ajude a manter as habilidades atualizadas com a prática distribuída de conceitos-chave e forneça oportunidades para exercícios de trabalho sem recursos de aprendizagem para ajudar os alunos a desenvolver confiança em sua capacidade de resolver problemas de forma independente.

NOTA: Este texto requer um kit de acesso MyLab Math específico do título. O kit de acesso específico do título fornece acesso ao Hass / Heil / Weir, Cálculo de Thomas 14 / eacompanhando o curso MyLab SOMENTE.

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  • ATUALIZADA! Vídeos instrutivos: Centenas de vídeos estão disponíveis como auxiliares de aprendizagem em exercícios e para auto-estudo. O Guide to Video-Based Assignments facilita a atribuição de vídeos para tarefas de casa, mostrando quais exercícios do MyLab Math correspondem a cada vídeo.
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  • NOVO!Questões Conceituais Adicionais aumentar os exercícios de texto para se concentrar em uma compreensão mais profunda e teórica dos conceitos-chave em cálculo. Essas perguntas foram escritas por professores da Cornell University sob uma bolsa da NSF e também podem ser atribuídas por meio do Learning Catalytics.
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  • NOVO!Cursos de matemática do MyLab de revisão integrada fornecer um conjunto completo de recursos de apoio para o conteúdo do curso principal, além de atribuições adicionais e auxílios de estudo para os alunos que se beneficiarão com a correção. As atribuições para o conteúdo da Revisão Integrada são pré-atribuídas no MyLab Math, tornando mais fácil do que nunca criar seu curso.
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    • O novo co-autor Chris Heil (Instituto de Tecnologia da Geórgia) e o co-autor Joel Hass continuam a tradição de Thomas de desenvolver a maturidade matemática e a proficiência dos alunos, indo além de memorizar fórmulas e procedimentos de rotina e mostrando aos alunos como generalizar conceitos-chave, uma vez que são apresentados.
    • Os autores têm o cuidado de apresentar tópicos-chave, como a definição da derivada, tanto informal quanto formalmente. A distinção entre os dois é claramente estabelecida à medida que cada um é desenvolvido, incluindo uma explicação de por que uma definição formal é necessária. As ideias são apresentadas com exemplos e explicações intuitivas que são generalizadas para que os alunos não sejam oprimidos pela abstração.
    • Os resultados são cuidadosamente declarados e comprovados ao longo do livro, e as provas são claramente explicadas e motivadas. Os alunos e instrutores que examinam o material formal irão considerá-lo tão cuidadosamente apresentado e explicado quanto o desenvolvimento informal. Se o instrutor decidir minimizar a formalidade em qualquer estágio, isso não causará problemas com desenvolvimentos posteriores no texto.
    • Um índice flexível divide os tópicos em seções gerenciáveis, permitindo que os instrutores adaptem seu curso para atender às necessidades específicas de seus alunos.
    • Cobertura multivariável completa e precisa aprimora as conexões de idéias multivariadas com seus análogos de variável única estudados anteriormente neste livro.

    Avalie a compreensão dos alunos sobre os principais conceitos e habilidades por meio de uma ampla gama de exercícios testados pelo tempo

    • Conjuntos de exercícios fortes apresentam uma grande variedade de problemas - progredindo de problemas de habilidades para problemas aplicados e teóricos - para encorajar os alunos a pensar e praticar os conceitos até que alcancem o domínio. Na 14ª edição, os autores adicionaram novos exercícios, muitos de natureza geométrica.
    • Exercícios de escrita colocados ao longo do texto pedem aos alunos para explorar e explicar uma variedade de conceitos e aplicações de cálculo. Além disso, o final de cada capítulo contém uma lista de perguntas para os alunos revisarem e resumirem o que aprenderam. Muitos desses exercícios são bons trabalhos de redação.
    • Exercícios de tecnologia (marcados com um T) estão incluídos em cada seção, pedindo aos alunos que usem a calculadora ou o computador ao resolver os problemas. Além disso, Explorações de computador dá a opção de atribuir exercícios que requerem um sistema de álgebra computacional (CAS, como Maple ou Mathematica).

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    • Cada tópico principal é desenvolvido com exemplos simples e mais avançados para dar as idéias básicas e ilustrar conceitos mais profundos.
    • ATUALIZADA! Figuras são concebidos e processados ​​para fornecer informações aos alunos e apoiar o raciocínio conceitual. Na 14ª edição, novas figuras são adicionadas para melhorar a compreensão e os gráficos são revisados ​​para enfatizar a visualização clara.
    • MELHORADA! Anotações dentro de exemplos (mostrado em azul) guie os alunos através da solução do problema e enfatize que cada passo em um argumento matemático é rigorosamente justificado. Para a 14ª edição, muitas outras anotações foram adicionadas.
    • Materiais de fim de capítulo incluem perguntas de revisão, exercícios práticos que abrangem todo o capítulo e uma série de exercícios adicionais e avançados com problemas mais desafiadores ou de síntese.

    Novo nesta edição

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    NOTA: Este texto requer um kit de acesso MyLab Math específico do título. O kit de acesso específico do título fornece acesso ao Hass / Heil / Weir, Cálculo de Thomas 14 / eacompanhando o curso MyLab SOMENTE.

    • A nova edição continua a expandir as opções abrangentes de exercícios graduados automaticamente. Os exercícios pré-existentes foram cuidadosamente revisados, testados e aprimorados usando dados agregados de uso e desempenho do aluno ao longo do tempo.
    • Um conjunto completo de figuras interativas foi adicionado para apoiar o ensino e a aprendizagem. As figuras ilustram conceitos-chave e permitem manipulação. Eles foram projetados para serem usados ​​em palestras, bem como por alunos de forma independente. Vídeos que usam as figuras interativas para explicar os principais conceitos estão incluídos. As figuras são editáveis ​​usando o software GeoGebra disponível gratuitamente. As figuras foram criadas por Marc Renault (Universidade Shippensburg), Steve Phelps (Universidade de Cincinnati), Kevin Hopkins (Universidade Batista Sudoeste) e Tim Brzezinski (Escola Secundária de Berlim, CT).
    • Exercícios de configuração e solução exige que os alunos primeiro configurem e, em seguida, resolvam um problema. Isso corresponde melhor ao que eles são solicitados a fazer nos testes e promove a retenção da habilidade a longo prazo.
    • Questões Conceituais Adicionais aumentar os exercícios de texto para se concentrar em uma compreensão mais profunda e teórica dos conceitos-chave em cálculo. Essas perguntas foram escritas por professores da Cornell University sob uma bolsa da NSF e também podem ser atribuídas por meio do Learning Catalytics.
    • Tarefas de amostra aprimoradas são elaborados para maximizar o desempenho do aluno no curso. Essas atribuições de nível de seção incluem: (a) exercícios de revisão de pré-requisitos personalizados e na hora certa (b) prática distribuída sistemática de conceitos-chave (como a regra da cadeia) a fim de ajudar a manter as habilidades atualizadas e (c) remoção periódica de auxiliares de aprendizagem para ajudar os alunos a desenvolver confiança em sua capacidade de resolver problemas de forma independente. fornecer um conjunto completo de recursos de apoio para o conteúdo do curso principal, além de atribuições adicionais e auxílios de estudo para os alunos que se beneficiarão com a correção. As atribuições para o conteúdo da Revisão Integrada são pré-atribuídas no MyLab Math, tornando mais fácil do que nunca criar seu curso.
    • Mais exercícios atribuíveis - Os instrutores agora têm mais exercícios do que nunca para escolher ao atribuir os deveres de casa. Existem aproximadamente 8080 exercícios atribuíveis no MyLab Math.
    • Mais vídeos instrutivos - Mais de 200 novos vídeos instrucionais, apresentando Greg Wisloski e Dan Radelet (ambos da Indiana University of PA), aumentam a coleção já robusta dentro do curso. Esses vídeos apoiam a abordagem geral do texto - especificamente, eles vão além dos procedimentos de rotina para mostrar aos alunos como generalizar e conectar conceitos-chave.

    Os co-autores Joel Hass e Chris Heil reconsideraram cada palavra, símbolo e peça de arte, motivando os alunos a considerar o conteúdo de diferentes perspectivas e levando a uma compreensão geométrica mais profunda.

    • Gráficos atualizados enfatize a visualização clara e a correção matemática.
    • Novos exemplos e figuras foram adicionados em todos os capítulos, muitos com base no feedback do usuário. Veja, por exemplo, o Exemplo 3 na Seção 9.1, que ajuda os alunos a superar um obstáculo conceitual.
    • Novos tipos de exercícios de lição de casa, incluindo muitos de natureza geométrica, foram adicionados. Os novos exercícios fornecem diferentes perspectivas e abordagens para cada tópico.
    • URLs curtos foram adicionados às notas de margem históricas, permitindo aos alunos navegar diretamente para as informações online.
    • Novas anotações em exemplos (em azul) guie o aluno pela solução do problema e enfatize que cada passo em um argumento matemático é rigorosamente justificado.
    • Todos os capítulos foram revisados para clareza, consistência, concisão e compreensão.

    Problemas em análise matemática

    Agora chegamos a Problemas em Análise Matemática editado por B. P. Demidovich. A lista de autores é G. Baranenkov, B. Demidovich, V. Efimenko, S. Kogan, G. Lunts, E. Porshneva, E. Sychera, S. Frolov, R. Shostak e A. Yanpolsky.

    Esta coleção de problemas e exercícios de análise matemática cobre os requisitos máximos dos cursos gerais de matemática superior para escolas técnicas superiores. Ele contém mais de 3.000 problemas organizados sequencialmente nos Capítulos I a X, cobrindo ramos da matemática superior (com exceção da geometria analítica) dados em cursos universitários. É dada atenção especial às seções mais importantes do curso que requerem habilidades estabelecidas
    (a descoberta de limites, técnicas de diferenciação, a representação gráfica de funções, técnicas de integração, as aplicações todas de integrais definidas, séries, a solução de equações diferenciais).

    Uma vez que alguns institutos estenderam cursos de matemática, os autores incluíram problemas na teoria de campo, método e cálculos aproximados de Fourier. A experiência mostra que os problemas apresentados neste livro não apenas satisfazem totalmente o número de requisitos do aluno, no que diz respeito ao domínio prático das várias seções do curso, mas também permite que o instrutor forneça uma escolha variada de problemas em cada seção selecionar
    problemas para testes e exames.

    Cada capítulo começa com uma breve introdução teórica que
    cobre as definições e fórmulas básicas dessa seção do curso. Aqui, os problemas típicos mais importantes são resolvidos por completo. Acreditamos que isso irá simplificar muito o trabalho do aluno. As respostas são dadas para todos os problemas computacionais um asterisco indica que dicas para a solução são dadas nas respostas, dois asteriscos, que a solução é dada. Freqüentemente, são ilustrados por desenhos.

    Essa coleção de problemas é o resultado de muitos anos de ensino de matemática superior nas escolas técnicas da União Soviética. Inclui, além de problemas originais e exemplos, um grande número de problemas comumente usados.

    Este livro foi traduzido do russo por George Yankovsky. O livro foi publicado pela primeira Editora Mir em 1970.

    Todos os créditos para o uploader original.

    Obrigado Siddharth por fornecer o link.

    PDF | OCR | 15,2 MB | Páginas: 497 |

    Capítulo I
    INTRODUÇÃO À ANÁLISE

    Sec. 1. Funções 11
    Sec. 2. Gráficos de funções elementares 16
    Sec. 3 Limites 22
    Sec. 4 Quantidades infinitamente pequenas e grandes 33
    Sec. 5. Continuidade das Funções 36

    Capítulo II
    DIFERENCIAÇÃO DE FUNÇÕES

    Sec. 1. Calculando Derivados Diretamente 42
    Sec. 2. Diferenciação tabular 46
    Sec. 3 Derivadas de funções não representadas explicitamente 56
    Sec. 4. Aplicações geométricas e mecânicas do derivado 60
    Sec. 5. Derivados de ordens superiores 66
    Sec. 6. Diferenciais de primeira ordem e ordens superiores 71
    Sec. 7. Teoremas do valor médio 75
    Sec. 8. Fórmula 77 de Taylor
    Sec. 9. A regra L'Hospital-Bernoulli para avaliação indeterminada
    Formulários 78

    Capítulo III
    O EXTREMA DE UMA FUNÇÃO E A GEOMÉTRICA
    APLICAÇÕES DE UM DERIVADO

    Sec. 1. O Extrema de uma Função de Um Argumento 83
    Sec. 2. A direção da concavidade. Pontos de Inflexão 91
    Sec. 3. Assíntotas 93
    Sec. 4. Funções Gráficas por Pontos Característicos 96
    Sec. 5. Diferencial de uma Curvatura de Arco 101

    Capítulo IV
    INTEGRAIS INDEFINIDOS
    Sec. 1. Integração direta 107
    Sec. 2. Integração por Substituição 113
    Sec. 3. Integração por Partes 116
    Sec. 4. Integrais padrão contendo um trinômio quadrático 118
    Sec. 5. Integração de Funções Racionais 121
    Sec. 6. Integrando certas funções irracionais 125
    Sec. 7. Integrando funções trigonométricas 128
    Sec. 8. Integração de funções hiperbólicas 133
    Sec. 9. Usando substituições Ingonométricas e Hiperbólicas para
    Encontrando integrais da Forma $ int R (x, sqrt) dx $ R Onde R
    é uma função racional
    Sec. 10. Integração de várias funções transcendentais 135
    Sec. 11. Usando Fórmulas de Redução 135
    Sec. 12. Exemplos diversos de integração 136

    Capítulo V
    INTEGRAIS DEFINIDOS

    Sec. 1. O integral definido como o limite de uma soma 138
    Sec. 2. Avaliação de integrais definidos por meio de integrais indefinidos 140
    Sec. 3 integrais impróprios 143
    Sec. 4. Mudança de variável em um integral definido 146
    Sec. 5. Integração por Partes 149
    Sec. 6. Teorema do Valor Médio 150
    Sec. 7. As áreas das figuras planas 153
    Seção 8. O comprimento do arco de uma curva 158
    Seção 9 Volumes de sólidos 161
    Seção 10 A área de uma superfície de revolução 166
    Sec. 11. Momentos. Centros de gravidade. Teoremas de Guldin 168
    Sec. 12. Aplicando Integrais Definidos à Solução Física
    Problemas 173

    Capítulo VI.
    FUNÇÕES DE DIVERSAS VARIÁVEIS
    Sec. 1. Noções básicas 180
    Sec. 2. Continuidade 184
    Sec. 3. Derivados Parciais 185
    Sec. 4. Diferencial total de uma função 187
    Sec. 5. Diferenciação de funções compostas 190
    Sec. 6. Derivada em uma determinada direção e o gradiente de uma função 193
    Sec. 7. Derivativos e diferenciais de ordem superior 197
    Sec. 8. Integração de Diferenciais Totais 202
    Sec. 9. Diferenciação de funções implícitas 205
    Sec. 10. Mudança de Variáveis ​​211
    Sec. 11. O plano tangente e o normal a uma superfície 217
    Sec. 12. Fórmula de Taylor para uma função de várias variáveis ​​220
    Sec. 13. O Extremo de uma Função de Várias Variáveis ​​222
    Sec. 14. Encontrando os Menores e Maiores Valores das Funções 227
    Sec. 15. Pontos Singulares de Curvas Planos 230
    Sec. 16. Envelope 232
    Sec. 17. Comprimento do Arco de uma Curva Espacial 234
    Sec. 18. A função vetorial de um argumento escalar 235
    Sec. 19. O Triedro Natural de uma Curva Espacial 238
    Sec. 20. Curvatura e torção de uma curva de espaço 242

    Capítulo VII.
    MÚLTIPLOS E INTEGRAIS DE LINHA

    Sec. 1. O Integral Duplo em Coordenadas Retangulares 246
    Sec. 2. Mudança de variáveis ​​em um duplo integral 252
    Sec. 3. Áreas de computação 256
    Sec. 4. Volumes de computação 258
    Sec. 5. Calculando as áreas das superfícies 259
    Sec. 6 Aplicações da Integral Dupla em Mecânica 260
    Sec. 7. Integrais triplos 262
    Sec. 8. Integrais impróprios dependentes de um parâmetro. Integrais Múltiplos Impróprios 269
    Sec. 9. Integrais de linha 273
    Sec. 10. Integrais de superfície 284
    Sec. 11. A Fórmula Ostrogradsky-Gauss 286
    Sec. 12. Fundamentos da Teoria de Campo 288

    Capítulo VIII.
    SERIES
    Sec. 1. Número da série 293
    Sec. 2. Série Funcional 304
    Sec. 3. Taylor's Series 318
    Sec. 4. Série 311 de Fourier

    Capítulo IX
    EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

    Sec. 1. Verificação de soluções. Formando Equações Diferenciais de Famílias de
    Curvas. Condições Iniciais 322
    Sec. 2. Equações diferenciais de primeira ordem 324
    Sec. 3. Equações diferenciais de primeira ordem com variáveis
    Separável. Trajetórias ortogonais 327
    Sec. 4. Equações diferenciais homogêneas de primeira ordem 330
    Sec. 5. Equações diferenciais lineares de primeira ordem. Bernoulli's
    Equação 332
    Sec. 6 Equações diferenciais exatas. Fator de integração 335
    Seção 7 Equações diferenciais de primeira ordem não resolvidas para o derivado 337
    Sec. 8. As Equações de Lagrange e Clairaut 339
    Sec. 9. Exercícios diversos sobre equações diferenciais de primeira ordem 340
    Sec. 10. Equações diferenciais de ordem superior 345
    Sec. 11. Equações Diferenciais Lineares 349
    Sec. 12. Equações diferenciais lineares de segunda ordem com constante
    Coeficientes 351
    Sec. 13. Equações diferenciais lineares de ordem superior a dois com
    Coeficientes constantes 356
    Sec. 14. Equações de Euler 357
    Sec. 15. Sistemas de Equações Diferenciais 359
    Sec. 16. Integração de Equações Diferenciais por Meio de Potência Série 361
    Sec. 17. Problemas no Método de Fourier 363

    Capítulo X.
    CÁLCULOS APROXIMADOS

    Sec. 1. Operações em números aproximados 367
    Sec. 2. Interpolação de funções 372
    Sec. 3. Calculando as raízes reais das equações 376
    Sec. 4. Integração Numérica de Funções 382
    Sec. 5. Integração Numérica de Equações Diferenciais Ordinárias 384
    Sec. 6. Coeficientes de Fourier aproximados 393

    RESPOSTAS 396
    APÊNDICE 475
    I. Alfabeto Grego 475
    II. Algumas constantes 475
    III. Quantidades inversas, poderes, raízes, logaritmos 476
    4. Funções trigonométricas 478
    V. Funções exponenciais, hiperbólicas e trigonométricas 479
    VI. Algumas curvas 480


    Exercícios

    Integre cada uma das funções fornecidas:

    Esta questão está na forma da primeira sugestão de substituição nesta seção, ou seja,

    Portanto, temos `a = 4`,` x = 4 sin & theta`, e `dx = 4 cos & theta d & theta`.

    Substituindo e simplificando a parte da raiz quadrada primeiro:

    `sqrt (16-x ^ 2) = sqrt (16-16 sin ^ 2 theta)`

    Substituir no integral dá:

    `intsqrt (16-x ^ 2) dx = int4 cos teta (4 cos teta d teta)`

    `= 16int1 / 2 (cos 2 teta + 1) d teta`

    `= 8 (sen theta cos theta + theta) + K`

    A penúltima etapa vem de desenhar um triângulo, usando `sin theta = x / 4` neste caso, da seguinte maneira:

    Triângulo para encontrar `theta`,` sin theta` e `cos theta` em termos de` x`.

    Muitas vezes podemos obter diferentes formas da mesma resposta final! Ou seja, o software matemático (ou outro ser humano) pode produzir uma resposta que é realmente correta, mas de uma forma diferente daquela dada aqui desde então. Se isso acontecer, não entre em pânico! Apenas verifique sua solução substituindo vários valores por `x`, ou (melhor), desenhando o gráfico usando o software.

    Ele contém um termo `sqrt (a ^ 2-x ^ 2)`, então usaremos uma substituição de `x = a sin theta`.

    Então, `a = 2`, e deixamos` x = 2 sin & theta`, então `dx = 2 cos & theta d & theta`.

    Substituir e simplificar a raiz quadrada dá:

    Desta vez, nosso triângulo usará `sin theta = x / 2`, da seguinte forma:

    Triângulo para encontrar `csc theta` e` cot theta` em termos de `x`.

    Substituir tudo na integral dá:

    `int (3 dx) / (xsqrt (4-x ^ 2)) = int (3 (2 cos teta d teta)) / ((2 sen teta) (2 cos teta))`

    `= 3 / 2int (d theta) / (sen theta)`

    `= 3 / 2intcsc theta d theta`

    `= 3 / 2ln | csc teta-cot teta | + K`

    `= 3 / 2ln | 2 / x- (sqrt (4-x ^ 2)) / x | + K`

    `= 3 / 2ln | (2-sqrt (4-x ^ 2)) / x | + K`

    Se colocarmos `u = x + 1`, então` du = dx` e nossa integral se torna:

    Agora, usamos `u = sec & theta` e então` du = sec & theta tan & theta d & theta`

    O triângulo, neste caso, começa com `x + 1 = sec theta` (ou seja,` cos theta = 1 / (x + 1) `) e é o seguinte:

    Triângulo para encontrar `sec theta` e` tan theta` em termos de `x`.

    Voltando ao nosso integral, temos:

    `int (dx) / (sqrt (x ^ 2 + 2x)) = int (du) / (sqrt (u ^ 2-1))`

    `= int (sec theta tan theta d theta) / (tan theta)`

    `= int sec theta d theta`

    `= ln | sec theta + tan theta | + K`

    `= ln | x + 1 + sqrt (x ^ 2 + 2x) | + K`


    Exercícios

    Integre cada uma das funções fornecidas.

    Exercício 1

    Exercício 2

    Como `1 / (sec x) = cos x`, podemos reescrever a pergunta como:

    Coloque `u = sin x` e depois` du = cos x dx`

    Exercício 3

    Como `& menos (2 & menos 3x) = 3x & menos 2`, podemos trazer o denominador para o topo e escrever a pergunta como:

    Coloque `u = 3x & menos 2` e então` du = 3 dx`.

    A região sombreada representa a integral que acabamos de encontrar.

    Exercício 4

    Encontre a equação da curva para a qual `(dy) / (dx) = sqrt (e ^ (x + 3))` se a curva passa por `(1, 0)`.

    e substituir nossas condições dadas para encontrar a equação da curva.

    Coloque `u = x + 3` e então` du = dx`. Execute a integral.

    Agora, a curva passa por `(1, 0)`.

    Isso significa que quando `x = 1`,` y = 0`.

    Portanto, a equação necessária da curva é:

    O gráfico da curva de solução que acabamos de encontrar, mostrando que ela passa por (1, 0).

    Aplicação - Volume de Sólido de Revolução

    A área delimitada pela curva `y = e ^ x`, o eixo` x` e os limites de `x = 0` e` x = 3` é girada em torno do eixo `x`. Encontre o volume do sólido formado. (Você pode querer lembrar-se do volume do sólido da fórmula de revolução.)

    O gráfico de `y = e ^ x`, com a área sob a curva entre` x = 0` a `x = 3` sombreada.

    Quando a área sombreada é girada 360 e graus sobre o x-eixo, temos:

    Área sob a curva `y = e ^ x` de` x = 0` a `x = 3` girada em torno do eixo` x`.


    Introdução à Integração Estocástica

    A teoria da integração estocástica, também chamada de cálculo Ito, tem um amplo espectro de aplicações em virtualmente todas as áreas científicas envolvendo funções aleatórias, mas pode ser um assunto muito difícil para pessoas sem muita formação matemática. O cálculo Ito foi originalmente motivado pela construção de processos de difusão de Markov a partir de geradores infinitesimais. Anteriormente, a construção de tais processos requeria várias etapas, enquanto Ito construía esses processos de difusão diretamente em uma única etapa como as soluções de equações integrais estocásticas associadas aos geradores infinitesimais. Além disso, as propriedades desses processos de difusão podem ser derivadas das equações integrais estocásticas e da fórmula Ito. Este livro introdutório à integração estocástica fornece uma introdução concisa ao cálculo Ito e cobre os seguintes tópicos:

    * Construções do movimento browniano

    * Integrais estocásticos para movimento browniano e martingales

    * Múltiplos integrais de Wiener-Ito

    * Equações diferenciais estocásticas

    * Aplicações para finanças, teoria de filtragem e circuitos elétricos.

    O leitor deve ter experiência em cálculo avançado e teoria elementar de probabilidade, bem como um conhecimento básico da teoria da medida e dos espaços de Hilbert. Cada capítulo termina com uma variedade de exercícios destinados a ajudar o leitor a compreender melhor o material.

    Hui-Hsiung Kuo é o Professor Nicholson de Matemática na Louisiana State University. Ele proferiu palestras sobre integração estocástica na Louisiana State University, na Cheng Kung University, na Meijo University e na University of Rome "Tor Vergata", entre outras. Ele também é o autor de Gaussian Measures in Banach Spaces (Springer 1975) e White Noise Distribution Theory (CRC Press 1996), e um livro de memórias de sua infância crescendo em Taiwan, An Arrow Shot into the Sun (Abridge Books 2004).

    "Este livro é uma introdução independente e sistemática à integração estocástica de Itô com relação aos martingales. O autor dá ênfase especial ao caso do movimento browniano. ... Os exercícios são dados em cada capítulo." (Jorge A. León, Mathematical Reviews, Issue 2006 e)

    "Introdução à integração estocástica é exatamente o que o título diz. Talvez eu apenas adicionasse uma introdução 'amigável' por causa da apresentação clara e do fluxo do conteúdo. ... Dada sua estrutura e composição claras, o livro pode ser útil para um curso de curta duração sobre integração estocástica. Os conceitos são fáceis de entender ... Os problemas são apresentados em cada capítulo e, naturalmente, são baseados em provas. " (Ita Cirovic Donev, The Mathematical Sciences Digital Library, junho de 2006)

    “Este é um livro muito bom sobre integração estocástica que abrange desde a construção de um movimento browniano até equações diferenciais estocásticas. Ele cresceu a partir de notas de aula que o autor elaborou durante vários anos e pode ser igualmente bem utilizado para ensino e autoeducação. O texto é extremamente claro e conciso tanto em linguagem quanto em notação matemática. Cada tópico é ilustrado por exemplos simples e motivadores. ... é um livro oportuno, bem desenhado e bem escrito. Será útil para leitores despreparados e avançados. " (Ilya Pavlyukevich, Zentralblatt MATH, Vol. 1101 (3), 2007)

    "Este livro cobre a integração estocástica com respeito aos martingales quadrados-integráveis. ... Tenho certeza de que este livro será muito bem-vindo por alunos e palestras desta disciplina ... que encontrarão muitos exercícios ilustrativos fornecidos. O leitor também não deve perder o Prefácio , que inclui algumas anedotas sobre K. Itô. " (Thorsten Rheinländer, Journal of the American Statistical Association, Vol. 103 (483), setembro de 2008)


    Teoria de Integrais

    Integrais são a soma de somadores infinitos, infinitamente pequenos.

    Dada uma função f de uma variável real x e um intervalo [a, b] da reta real, a integral definida

    Bioprofe | Para resolver um integral | 01

    é definido informalmente como a área da região no plano xy limitada pelo gráfico de f, o eixo xe as linhas verticais x = a e x = b, de modo que as áreas acima do eixo somam ao total, e a área abaixo do eixo x subtrai do total.

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    O termo integral também pode se referir à noção de antiderivada, uma função F cuja derivada é a função dada f. Nesse caso, é chamado de integral indefinida e está escrito:

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    INTEGRAIS CONHECIDOS

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    INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO

    Sempre que uma integral pode ser escrita como:

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    se mudarmos t = u (x), a integral se transforma em:

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    INTEGRAÇÃO POR PARTES

    Este método é útil nos casos em que o integrador pode ser colocado como produto de uma função pelo diferencial de outra.

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    INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS

    Uma função racional é qualquer função que pode ser escrita como a razão de duas funções polinomiais.

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    Própria: se o grau do divisor polinomial for maior que o dividendo.

    Impróprio: se o grau do polinômio do dividendo for maior ou igual ao divisor.

    Qualquer função racional imprópria pode ser decomposta na soma de um polinômio mais uma função racional adequada.

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    Portanto, a integral de uma função racional imprópria pode ser escrita:

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    Para resolver a integral de uma função racional é decomposta em uma soma de frações simples:

    1) O denominador é decomposto em um produto de fatores da seguinte forma:

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    e obter a seguinte expressão:

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    3) Os coeficientes A, B, & # 8230, N, são determinados por sucessivamente x = a, x = b, etc.

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    4) Coeficientes obtidos, integramos a expressão.

    Caso em que o polinômio denominador tem múltiplas raízes

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    INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA

    É a substituição de funções trigonométricas por outras expressões. Pode-se usar as identidades trigonométricas para simplificar certas integrais contendo expressões radicais.

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    Recursos

    Personalize o aprendizado com o MyLab Math.

    MyLab ™ Math é um programa de lição de casa, tutorial e avaliação online projetado para trabalhar com este texto para envolver os alunos e melhorar os resultados. Em seu ambiente estruturado, os alunos praticam o que aprendem, testam sua compreensão e buscam um plano de estudo personalizado que os ajuda a absorver o material do curso e entender conceitos difíceis. Um conjunto completo de Figuras interativas foram adicionados ao curso MyLab Math que o acompanha para apoiar ainda mais o ensino e a aprendizagem. Tarefas de amostra aprimoradas inclua a revisão de pré-requisitos na hora certa, ajude a manter as habilidades atualizadas com a prática distribuída de conceitos-chave e forneça oportunidades para exercícios de trabalho sem recursos de aprendizagem para ajudar os alunos a desenvolver confiança em sua capacidade de resolver problemas de forma independente.

    NOTA: Este texto requer um kit de acesso MyLab Math específico do título. O kit de acesso específico do título fornece acesso ao Hass / Heil / Weir, Cálculo de Thomas, multivariável 14 / eacompanhando o curso MyLab SOMENTE.

    Envolva os alunos com o poder do cálculo por meio de uma variedade de recursos multimídia

    • NOVO! Um conjunto completo de figuras interativas foi adicionado para apoiar o ensino e a aprendizagem. As figuras ilustram conceitos-chave e permitem manipulação. Eles foram projetados para serem usados ​​em palestras, bem como por alunos de forma independente. Vídeos que usam as figuras interativas para explicar os principais conceitos estão incluídos. As figuras são editáveis ​​usando o software GeoGebra disponível gratuitamente. As figuras foram criadas por Marc Renault (Universidade Shippensburg), Steve Phelps (Universidade de Cincinnati), Kevin Hopkins (Universidade Batista Sudoeste) e Tim Brzezinski (Escola Secundária de Berlim, CT).
    • ATUALIZADA! Vídeos instrutivos: Centenas de vídeos estão disponíveis como auxiliares de aprendizagem em exercícios e para auto-estudo. O Guide to Video-Based Assignments facilita a atribuição de vídeos para tarefas de casa, mostrando quais exercícios do MyLab Math correspondem a cada vídeo.
    • O eText completo está disponível para os alunos por meio de seus cursos MyLab Math durante toda a edição, dando aos alunos acesso ilimitado ao eText em qualquer curso que use aquela edição do livro didático.

    Avalie a compreensão dos alunos sobre conceitos e habilidades por meio de uma ampla gama de exercícios

    • Exercícios com feedback imediato–Mais de 8080 exercícios atribuíveis para este texto regenerar algoritmicamente para dar aos alunos oportunidade ilimitada de prática e domínio. O MyLab Math fornece feedback útil quando os alunos inserem respostas incorretas e inclui recursos de aprendizagem opcionais, incluindo Ajude-me a resolver isso, Veja um exemplo, vídeos e um eText.
    • NOVO! Exercícios de configuração e solução exige que os alunos descrevam primeiro como irão configurar e abordar o problema. Isso reforça a compreensão conceitual do processo aplicado na abordagem do problema, promove a retenção da habilidade a longo prazo e reflete o que se espera que os alunos façam em um teste.
    • NOVO!Questões Conceituais Adicionais aumentar os exercícios de texto para se concentrar em uma compreensão mais profunda e teórica dos conceitos-chave em cálculo. Essas perguntas foram escritas por professores da Cornell University sob uma bolsa da NSF e também podem ser atribuídas por meio do Learning Catalytics.
    • NOVO! Tarefas de amostra aprimoradas torne a configuração do curso mais fácil, dando aos instrutores um ponto de partida para cada capítulo. Estes incluem: (a) exercícios de revisão de pré-requisitos personalizados e na hora certa (b) prática distribuída sistemática de conceitos-chave (como a Regra da Cadeia) a fim de ajudar a manter as habilidades atualizadas e (c) remoção periódica de recursos de aprendizagem para ajudar os alunos a desenvolver confiança em sua capacidade de resolver problemas de forma independente.
    • NOVO!Cursos de matemática do MyLab de revisão integrada fornecer um conjunto completo de recursos de apoio para o conteúdo do curso principal, além de atribuições adicionais e auxílios de estudo para os alunos que se beneficiarão com a correção. As atribuições para o conteúdo da Revisão Integrada são pré-atribuídas no MyLab Math, tornando mais fácil do que nunca criar seu curso.
    • Aprendizagem Catalítica™ ajuda os instrutores a gerar discussões em classe, personalizar palestras e promover a aprendizagem ponto a ponto com análises em tempo real. Como uma ferramenta de resposta do aluno, o Learning Catalytics usa smartphones, tablets ou laptops dos alunos para envolvê-los em tarefas e pensamentos mais interativos. Aprender catalítica permite que você
      • Ajude seus alunos a desenvolver habilidades de pensamento crítico.
      • Monitore as respostas para descobrir onde seus alunos estão tendo dificuldades.
      • Conte com dados em tempo real para ajustar sua estratégia de ensino.
      • Agrupe alunos automaticamente para discussão, trabalho em equipe e aprendizagem entre pares.

      Ensine cálculo da maneira que você deseja, e em um nível que prepare os alunos para suas especializações em STEM

      • O novo co-autor Chris Heil (Instituto de Tecnologia da Geórgia) e o co-autor Joel Hass continuam a tradição de Thomas de desenvolver a maturidade matemática e a proficiência dos alunos, indo além de memorizar fórmulas e procedimentos de rotina e mostrando aos alunos como generalizar conceitos-chave, uma vez que são apresentados.
      • Os autores têm o cuidado de apresentar tópicos-chave, como a definição da derivada, tanto informal quanto formalmente. A distinção entre os dois é claramente estabelecida à medida que cada um é desenvolvido, incluindo uma explicação de por que uma definição formal é necessária. As ideias são apresentadas com exemplos e explicações intuitivas que são generalizadas para que os alunos não sejam oprimidos pela abstração.
      • Os resultados são cuidadosamente declarados e comprovados ao longo do livro, e as provas são claramente explicadas e motivadas. Os alunos e instrutores que examinam o material formal irão considerá-lo tão cuidadosamente apresentado e explicado quanto o desenvolvimento informal. Se o instrutor decidir minimizar a formalidade em qualquer estágio, isso não causará problemas com desenvolvimentos posteriores no texto.
      • Um índice flexível divide os tópicos em seções gerenciáveis, permitindo que os instrutores adaptem seu curso para atender às necessidades específicas de seus alunos.
      • Cobertura multivariável completa e precisa aprimora as conexões de idéias multivariadas com seus análogos de variável única estudados anteriormente neste livro.

      Avalie a compreensão dos alunos sobre os principais conceitos e habilidades por meio de uma ampla gama de exercícios testados pelo tempo

      • Conjuntos de exercícios fortes apresentam uma grande variedade de problemas - progredindo de problemas de habilidades para problemas aplicados e teóricos - para encorajar os alunos a pensar e praticar os conceitos até que alcancem o domínio. Na 14ª edição, os autores adicionaram novos exercícios, muitos de natureza geométrica.
      • Exercícios de escrita colocados ao longo do texto pedem aos alunos para explorar e explicar uma variedade de conceitos e aplicações de cálculo. Além disso, o final de cada capítulo contém uma lista de perguntas para os alunos revisarem e resumirem o que aprenderam. Muitos desses exercícios são bons trabalhos de redação.
      • Exercícios de tecnologia (marcados com um T) estão incluídos em cada seção, pedindo aos alunos que usem a calculadora ou o computador ao resolver os problemas. Além disso, Explorações de computador dá a opção de atribuir exercícios que requerem um sistema de álgebra computacional (CAS, como Maple ou Mathematica).

      Apoie uma compreensão completa de cálculo para alunos em vários níveis

      • Cada tópico principal é desenvolvido com exemplos simples e mais avançados para dar as idéias básicas e ilustrar conceitos mais profundos.
      • ATUALIZADA! Figuras são concebidos e processados ​​para fornecer informações aos alunos e apoiar o raciocínio conceitual. Na 14ª edição, novas figuras são adicionadas para melhorar a compreensão e os gráficos são revisados ​​para enfatizar a visualização clara.
      • MELHORADA! Anotações dentro de exemplos (mostrado em azul) guie os alunos através da solução do problema e enfatize que cada passo em um argumento matemático é rigorosamente justificado. Para a 14ª edição, muitas outras anotações foram adicionadas.
      • Materiais de fim de capítulo incluem perguntas de revisão, exercícios práticos que abrangem todo o capítulo e uma série de exercícios adicionais e avançados com problemas mais desafiadores ou de síntese.
      • Um conjunto completo de suplementos para instrutor e estudante economiza tempo de preparação de aula para instrutores e melhora o aprendizado dos alunos.

      Novo nesta edição

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      MyLab ™ Math é um programa de lição de casa, tutorial e avaliação online projetado para trabalhar com este texto para envolver os alunos e melhorar os resultados. Em seu ambiente estruturado, os alunos praticam o que aprendem, testam sua compreensão e buscam um plano de estudo personalizado que os ajuda a absorver o material do curso e entender conceitos difíceis. Um conjunto completo de Figuras interativas foram adicionados ao curso MyLab Math que o acompanha para apoiar ainda mais o ensino e a aprendizagem. Tarefas de amostra aprimoradas inclua a revisão de pré-requisitos na hora certa, ajude a manter as habilidades atualizadas com a prática distribuída de conceitos-chave e forneça oportunidades para exercícios de trabalho sem recursos de aprendizagem para ajudar os alunos a desenvolver confiança em sua capacidade de resolver problemas de forma independente.

      NOTA: Este texto requer um kit de acesso MyLab Math específico do título. O kit de acesso específico do título fornece acesso ao Hass / Heil / Weir, Cálculo de Thomas, multivariável 14 / eacompanhando o curso MyLab SOMENTE.

      • A nova edição continua a expandir as opções abrangentes de exercícios graduados automaticamente. Os exercícios pré-existentes foram cuidadosamente revisados, testados e aprimorados usando dados agregados de uso e desempenho do aluno ao longo do tempo.
      • Um conjunto completo de figuras interativas foi adicionado para apoiar o ensino e a aprendizagem. As figuras ilustram conceitos-chave e permitem manipulação. Eles foram projetados para serem usados ​​em palestras, bem como por alunos de forma independente. Vídeos que usam as figuras interativas para explicar os principais conceitos estão incluídos. As figuras são editáveis ​​usando o software GeoGebra disponível gratuitamente. As figuras foram criadas por Marc Renault (Universidade Shippensburg), Steve Phelps (Universidade de Cincinnati), Kevin Hopkins (Universidade Batista Sudoeste) e Tim Brzezinski (Escola Secundária de Berlim, CT).
      • Exercícios de configuração e solução exige que os alunos primeiro configurem e, em seguida, resolvam um problema. Isso corresponde melhor ao que eles são solicitados a fazer nos testes e promove a retenção da habilidade a longo prazo.
      • Questões Conceituais Adicionais aumentar os exercícios de texto para se concentrar em uma compreensão mais profunda e teórica dos conceitos-chave em cálculo. Essas perguntas foram escritas por professores da Cornell University sob uma bolsa da NSF e também podem ser atribuídas por meio do Learning Catalytics.
      • Tarefas de amostra aprimoradas são elaborados para maximizar o desempenho do aluno no curso. Essas atribuições de nível de seção incluem: (a) exercícios de revisão de pré-requisitos personalizados e na hora certa (b) prática distribuída sistemática de conceitos-chave (como a regra da cadeia) a fim de ajudar a manter as habilidades atualizadas e (c) remoção periódica de auxiliares de aprendizagem para ajudar os alunos a desenvolver confiança em sua capacidade de resolver problemas de forma independente. fornecer um conjunto completo de recursos de apoio para o conteúdo do curso principal, além de atribuições adicionais e auxílios de estudo para os alunos que se beneficiarão com a correção. As atribuições para o conteúdo da revisão integrada são pré-atribuídas no MyLab Math, tornando mais fácil do que nunca criar seu curso.
      • Mais exercícios atribuíveis - Os instrutores agora têm mais exercícios do que nunca para escolher ao atribuir os deveres de casa. Existem aproximadamente 8080 exercícios atribuíveis no MyLab Math.
      • Mais vídeos instrutivos - Mais de 200 novos vídeos instrucionais, apresentando Greg Wisloski e Dan Radelet (ambos da Indiana University of PA), aumentam a coleção já robusta dentro do curso. Esses vídeos apoiam a abordagem geral do texto - especificamente, eles vão além dos procedimentos de rotina para mostrar aos alunos como generalizar e conectar conceitos-chave.

      Os co-autores Joel Hass e Chris Heil reconsideraram cada palavra, símbolo e peça de arte, motivando os alunos a considerar o conteúdo de diferentes perspectivas e levando a uma compreensão geométrica mais profunda.


      Cálculo de Negócios com Excel

      Vimos a integral definida como a área sinalizada sob uma curva. Isso nos permite calcular o lucro total, ou receita, ou custo, a partir das funções marginais relacionadas. Vimos uma série de aplicações em que isso foi interpretado como uma acumulação ao longo do tempo, incluindo a produção total de um poço de petróleo e o valor presente de um fluxo de receita. Para algumas aplicações, queremos observar a área entre duas curvas. Por exemplo, considerando o lucro como a área entre as curvas de custo e receita.

      Nesta seção, veremos mais aplicações de finanças e economia, onde os conceitos podem ser facilmente descritos em termos da área entre as curvas.

      Quando examinamos as curvas de oferta e demanda, encontramos um ponto de equilíbrio em que a quantidade oferecida para venda era igual à quantidade que as pessoas queriam comprar.

      No entanto, naquele modelo, havia pessoas que estavam dispostas a vender por menos do que o preço de equilíbrio e pessoas que estavam dispostas a comprar por mais que o preço de equilíbrio. Essas pessoas conseguiram um negócio excepcionalmente bom na transação. Gostaríamos de medir esse benefício, pois podemos pensar nele como o lucro extra que os fornecedores e compradores obtêm na transação. Notamos que cada lado terá um incentivo para maximizar esse benefício.

      Concentre-se primeiro no lado do consumidor. A área sob a função de demanda, de 0 à quantidade vendida, mede a disposição dos consumidores em gastar. A área do retângulo com a mesma base e altura igual ao preço de venda mede o gasto real do consumidor. A diferença entre os dois é uma quantidade que chamaremos.

      Enquanto o preço permanecer na curva da função de demanda, um preço mais baixo significa uma maior quantidade vendida e um maior excedente do consumidor.

      De maneira semelhante, podemos nos concentrar no lado do produtor. A área sob a função de abastecimento, de 0 à quantidade vendida, mede a necessidade de receita dos produtores. A área no retângulo com a mesma base e altura igual ao preço de venda mede a receita real do produtor. A diferença entre os dois é uma quantidade que chamaremos.

      Enquanto o preço permanecer na curva da função de oferta, um preço mais alto significa uma maior quantidade vendida e um maior excedente do produtor. Considere primeiro um exemplo em que as funções de oferta e demanda são simples o suficiente para que os cálculos possam ser feitos à mão.

      Exemplo 7.8.1. Excedente do produtor com funções lineares.

      Estou tentando vender widgets e determinei que as funções de oferta e demanda sejam:

      Encontre o preço e a quantidade de equilíbrio. Encontre os excedentes do produtor e do consumidor quando as camisas forem vendidas ao preço de equilíbrio. Se os produtores formarem um cartel, encontre o preço que maximiza o excedente do produtor.

      : Ao definir o preço de oferta e o preço de demanda iguais um ao outro, encontramos uma quantidade de equilíbrio de 34 e um preço de equilíbrio de 38. As fórmulas para os excedentes do consumidor e do produtor tornam-se:

      Para avaliar as integrais, podemos notar que cada um é um triângulo de base 34. Um tem altura de 34 e o outro tem uma altura de 68. Usando a geometria, o excedente do consumidor é $ 1.156 e o ​​excedente do produtor é $ 578.

      Para encontrar o excedente máximo do produtor, precisamos transformar o ponto final em uma variável. Se os produtores atuam como cartel

      Podemos encontrar o máximo disso tomando sua derivada e definindo-a igual a 0. O máximo ocorre quando (x = frac <102> <5> = 20,4 text <.> ) Nesse ponto, o excedente do produtor é $ 1.040,40

      Agora tentamos um exemplo em que precisamos de outras técnicas para avaliar as integrais.

      Exemplo 7.8.2. Excedente do produtor com integração numérica.

      Uma loja que tenta vender camisetas no campus determinou que as funções de oferta e demanda sejam:

      Encontre o preço e a quantidade de equilíbrio. Encontre os excedentes do produtor e do consumidor quando as camisas forem vendidas ao preço de equilíbrio.

      : Carregamos as funções de preço de oferta e demanda no Excel e usamos o Goal Seek para encontrar um preço de equilíbrio. Arredondando para a unidade mais próxima para quantidade e centavos para preço, temos um preço de equilíbrio de $ 10,45 para uma quantidade de 222 camisas.

      Em seguida, substituímos esses valores nas equações do excedente do consumidor e do produtor.

      Para avaliar essas integrais, usamos uma aproximação de soma de Riemann, como aquela encontrada na planilha de exemplo, ou usamos Wolfram Alpha. Em ambos os casos, arredondado para o dólar mais próximo, temos um excedente do consumidor de $ 372 e um excedente do produtor de $ 191.

      A soma do excedente do consumidor e do excedente do produtor é referida como. Ao observarmos o excedente dos consumidores, presumimos que as vendas eram determinadas pela oferta e que o ponto preço-quantidade estava na curva de oferta. Da mesma forma, ao observar o excedente dos produtores, presumimos que o preço é definido pela demanda e o ponto preço-quantidade estava na curva de demanda. Se ambos os lados são compostos de muitos indivíduos agindo independentemente, o ponto preço-quantidade é o ponto de equilíbrio, que está em ambas as curvas. Vender nesse ponto também maximiza o ganho social total.

      Se, no entanto, tanto os produtores quanto os consumidores podem se organizar e atuar como uma unidade, eles podem formar um cartel e limitar a quantidade vendida. Se os produtores formarem um cartel, eles podem diminuir a produção e aumentar o preço.

      Como podemos ver na foto, isso sempre diminui o ganho social total. No entanto, para alguma redução da quantidade, o excedente dos produtores é aumentado. Na equação para o excedente do produtor, o preço (p_s ) é (demanda função (q_s) ) em vez de (oferta função (q_s) texto <.> ) Se a quantidade cair muito, o produtor o excedente também diminuirá.

      Exemplo 7.8.3. Perda de ganho social de computação.

      Uma loja que tenta vender camisetas no campus determinou que as funções de oferta e demanda sejam:

      O dono da loja detém o monopólio do campus e decide limitar a quantidade vendida a 200 camisetas e cobrar o que o mercado arcar com as despesas. Encontre o preço, o excedente do produtor e os excedentes do consumidor. Encontre esses números se o proprietário decidir limitar as vendas a 50. Quantas camisas o proprietário deve vender a que preço para maximizar o excedente do produtor? Se o excedente do produtor for maximizado, quanto o ganho social total será reduzido?

      : As fórmulas envolvidas para oferta e demanda são as mesmas que usamos no exemplo 2. Com uma ligeira modificação se a planilha desse exemplo, podemos configurá-la para calcular as somas de Riemann aproximando os excedentes. Em particular, usamos a função de demanda para encontrar a altura do excedente do produtor. (Veja célula D7.)

      Se quisermos vender apenas 200 camisetas, podemos aumentar o preço de $ 10,45 para $ 10,50. O excedente do produtor sobe de $ 191 para $ 199. No entanto, o excedente do consumidor cai de $ 372 para $ 362.

      Se quisermos vender apenas 50 camisetas, podemos aumentar o preço de $ 10,45 para $ 11,92. O excedente do produtor cai de $ 191 para $ 174. O excedente do consumidor cai de $ 372 para $ 230.

      Podemos usar o solver para maximizar o excedente do produtor, variando a quantidade. Uma quantidade de 140 maximiza o excedente do produtor em $ 210, mas faz com que o ganho social total caia de $ 563 para $ 537.

      Da mesma forma, se os consumidores formarem um cartel, eles podem reduzir artificialmente a demanda. Uma vez que eles pagarão o preço de fornecimento, o ganho social total será reduzido, mas o excedente dos consumidores pode ser aumentado. Nesse caso, o excedente do consumidor é o integrante da diferença entre a função de demanda e o preço de oferta da quantidade que será vendida.

      No exemplo que acabamos de ver, as curvas de oferta e demanda têm uma pequena inclinação, de modo que o mercado é bastante elástico tanto do ponto de vista dos produtores quanto dos consumidores. Nesse caso, há menos incentivos para formar um cartel. Em outros mercados, como gás e petróleo, onde o mercado é mais inelástico, há mais incentivos para se envolver em práticas monopolísticas.

      Uma questão que surge na economia analisa a equidade da renda ou a distribuição da riqueza em um país. Nas teorias econômicas padrão, muito ou pouco patrimônio líquido indica falta de oportunidade e é um obstáculo ao crescimento. No entanto, antes de podermos abordar as vantagens ou desvantagens de um nível de desigualdade, precisamos ser capazes de quantificar o nível de equidade ou desigualdade. O método padrão é usar o e o.

      A curva de Lorenz é definida por uma função (L (x) text <,> ) com (0 le x le 1 text <,> ) que mede a proporção de algo que é mantido pela parte inferior (x ) proporção da população. Portanto, se (L (0,2) =. 1 text <,> ) para a função de Lorenz para a renda em um país, os 20% mais pobres da população recebem 10% da renda do país. Visto que, segundo as definições usuais, uma pessoa não pode ter renda negativa, as funções de Lorenz são não negativas e crescentes. Uma vez que as funções de Lorenz são medidas da parte inferior, também temos (L (x) le x ) para todos (x text <.> )

      Podemos fazer mais algumas observações. A população como um todo tem toda a renda da população. Um conjunto vazio da população não tem nada da renda da população. Qualquer segmento inferior terá uma renda não negativa. Nas fórmulas, essas observações tornam-se (L (1) = 1 text <,> ) (L (0) = 0 text <,> ) e (L (x) ge 0 text <,> ) para todos (x text <,> ) respectivamente.

      Se tivéssemos equidade perfeita, nossa função de Lorenz seria (L (x) = x text <.> ) Qualquer curva de Lorenz que encontrarmos para uma população real estará abaixo desta curva. O índice de Gini (ou coeficiente de Gini) mede a porcentagem em que uma curva de Lorenz real está abaixo da curva ideal.

      Na prática, esse número é muitas vezes multiplicado por 100, relatando a porcentagem (0 a 100) em vez da proporção (0 a 1) da área sob a função ideal e acima da função medida.

      Exemplo 7.8.4. Índice de Gini com fórmula para distribuição de renda.

      A curva de Lorenz para a renda em um determinado país é dada por (L (x) =. 8x ^ 3 + .2x text <.> ) Qual proporção da renda é ganha pela metade inferior da população? Encontre o índice Gini.

      : Para encontrar a proporção ganha pela metade inferior da população, substituímos 0,5 na equação.

      Assim, os 50% mais pobres da população ganham 20% da renda total. Para calcular o índice Gini, calculamos:

      Portanto, o índice de Gini neste país hipotético é 40. Para colocar esse número em contexto, o índice de Gini relatado para os Estados Unidos em 2009 foi de 46,8.

      Na prática, o índice de Gini é uma aplicação em que uma aproximação numérica de uma integral é o método mais provável de ser usado. É improvável que obtenhamos uma fórmula para distribuição de renda. Em vez disso, é provável que encontremos pontos de dados. Uma vez que não existe um bom modelo de como a receita será distribuída, podemos simplesmente conectar os pontos com segmentos de linha e encontrar a área usando a fórmula da área para um trapézio.

      Exemplo 7.8.5. Índice de Gini com gráfico de distribuição de renda.

      Temos os seguintes dados do censo sobre distribuição de renda nos Estados Unidos em 2008. Calcule o índice de Gini.

      : Lembramos que a área de um trapézio é (largura) (altura média). Colocamos os dados em uma planilha.

      Em seguida, avaliamos as fórmulas.

      Em porcentagens, o índice de Gini é aproximado em 45.

      Exercícios Exercícios: Aplicações Empresariais dos Problemas Integrais

      Para os exercícios 1-6, suponha que temos um mercado livre e que os bens são vendidos em equilíbrio de mercado. Encontre o excedente do consumidor, o excedente do produtor e o ganho social total.

      (SupplyPrice (q) = 50 + q / 2 ) e (DemandPrice (q) = 150-q / 5 text <.> )

      As duas curvas se cruzam no ponto de equilíbrio do mercado, ( left (< frac <1000> <7>, frac <850> <7>> right) text <.> )

      (SupplyPrice (q) = ln (q + 10) ) e (DemandPrice (q) = 100-q text <.> )

      (SupplyPrice (q) = 50 (1- (0,99) ^ q) ) e (DemandPrice (q) = 100 (0,99) ^ q text <.> )

      As duas curvas se cruzam no ponto de equilíbrio do mercado, ((109,31, 33,33) text <.> )

      (SupplyPrice (q) = 50 (1- (0,95) ^) e (DemandPrice (q) = 150 (0,95) ^ text <.> )

      As duas curvas se cruzam no ponto de equilíbrio do mercado, ((37.958, 72.042) text <.> )

      A integral precisa ser feita em duas partes com o intervalo em 10.

      Suponha que o Preço da Oferta (q) = 30 + qe o Preço da Demanda (q) = 170-q.

      Encontre o excedente do consumidor, o excedente do produtor e o ganho social total no equilíbrio do mercado.

      Se os produtores podem formar um cartel e restringir a quantidade disponível a 50, vendendo ao preço de oferta por 50, quais são o excedente do consumidor, o excedente do produtor e o ganho social total?

      Encontre o preço em que um cartel de produtores irá maximizar o excedente do produtor. Encontre o excedente do produtor a esse preço.

      As duas curvas se cruzam no ponto de equilíbrio do mercado, ((70, 100) text <.> )

      A fórmula para o excedente do produtor em x é

      Notamos que x é uma constante para nossa integração. Assim, obtemos

      O excedente máximo do produtor é 3266,67, obtido quando q é 46,67

      Assuma o Preço da Oferta (q) = 10 + q / 2 e o Preço da Demanda (q) = 110-q / 3.

      Encontre o excedente do consumidor, o excedente do produtor e o ganho social total no equilíbrio do mercado.

      Se os produtores podem formar um cartel e restringir a quantidade disponível a 400, vendendo ao preço de oferta por 400, quais são o excedente do consumidor, o excedente do produtor e o ganho social total?

      Encontre o preço em que um cartel de produtores irá maximizar o excedente do produtor. Encontre o excedente do produtor a esse preço.

      Suponha que (SupplyPrice (q) = 10 + q ^ 2 ) e (DemandPrice (q) = 210-q ^ 2 text <.> )

      Encontre o excedente do consumidor, o excedente do produtor e o ganho social total no equilíbrio do mercado.

      Se os produtores podem formar um cartel e restringir a quantidade disponível a 5, vendendo ao preço de demanda por 5 (por um preço de 185), quais são o excedente do consumidor, o excedente do produtor e o ganho social total?

      Encontre o preço em que um cartel de produtores irá maximizar o excedente do produtor. Encontre o excedente do produtor a esse preço.

      As duas curvas se cruzam no ponto de equilíbrio do mercado, ((10, 110) text <.> )

      A fórmula para o excedente do produtor em (x ) e é

      Não sabemos que x é uma constante para nossa integração. Assim, obtemos

      Para encontrar o excedente máximo do produtor, pegamos a derivada da função acima e vemos que é zero em ( sqrt <50> text <.> ) O excedente máximo do produtor é 942,81, obtido quando q é ( sqrt <50> )

      Considere a curva de Lorenz (L (x) = 0,2x + 0,8x ^ 2 text <.> ) Encontre o índice de Gini.

      Considere a curva de Lorenz (L (x) =. 03x + 0,7x ^ 4 text <.> ) Encontre o índice de Gini.

      Você pesquisa um país e encontra as seguintes informações sobre participação nos lucros:

      Calcule uma aproximação do índice de Gini.

      Você pesquisa um país e encontra as seguintes informações sobre participação nos lucros:

      Calcule uma aproximação do índice de Gini.

      Aproximamos a área usando linhas retas entre o ponto dado e usando trapézios para a área da seção. Em seguida, precisamos multiplicar por 2, já que queremos a porcentagem abaixo da linha diagonal, e multiplicar por 100 para ir de percentil para porcentagens.


      Assista o vídeo: integracja bilateralna (Outubro 2021).