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7.5.1: Equações de Euler de pontos singulares regulares (exercícios) - Matemática


Q7.4.1

Em Exercícios 7.4.1-7.4.18 encontre a solução geral da equação de Euler dada em ((0, infty) ).

1. (x ^ 2y '' + 7xy '+ 8y = 0 )

2. (x ^ 2y '' - 7xy '+ 7y = 0 )

3. (x ^ 2y '' - xy '+ y = 0 )

4. (x ^ 2y '' + 5xy '+ 4y = 0 )

5. (x ^ 2y '' + xy '+ y = 0 )

6. (x ^ 2y '' - 3xy '+ 13y = 0 )

7. (x ^ 2y '' + 3xy'-3y = 0 )

8. (12x ^ 2y '' - 5xy '' + 6y = 0 )

9. (4x ^ 2y '' + 8xy '+ y = 0 )

10. (3x ^ 2y '' - xy '+ y = 0 )

11. (2x ^ 2y '' - 3xy '+ 2y = 0 )

12. (x ^ 2y '' + 3xy '+ 5y = 0 )

13. (9x ^ 2y '' + 15xy '+ y = 0 )

14. (x ^ 2y '' - xy '+ 10y = 0 )

15. (x ^ 2y '' - 6y = 0 )

16. (2x ^ 2y '' + 3xy'-y = 0 )

17. (x ^ 2y '' - 3xy '+ 4y = 0 )

18. (2x ^ 2y '' + 10xy '+ 9y = 0 )

Q7.4.2

19.

  1. Adapte a prova do Teorema 7.4.3 para mostrar que (y = y (x) ) satisfaz a equação de Euler [ax ^ 2y '' + bxy '+ cy = 0 tag {A} ] em (( - infty, 0) ) se e somente se (Y (t) = y (-e ^ t) ) [a {d ^ 2Y over dt ^ 2} + (ba) {dY over dt } + cY = 0. nonumber ] on ((- infty, infty) ).
  2. Use (a) para mostrar que a solução geral da Equação A em ((- infty, 0) ) é [ begin {alinhados} y & = c_1 | x | ^ {r_1} + c_2 | x | ^ { r_2} mbox {se $ r_1 $ e $ r_2 $ são números reais distintos; } y & = | x | ^ {r_1} (c_1 + c_2 ln | x |) mbox {if $ r_1 = r_2 $; } y & = | x | ^ { lambda} left [c_1 cos left ( omega ln | x | right) + c_2 sin left ( omega ln | x | right) direita] mbox {if $ r_1, r_2 = lambda pm i omega $ com $ omega> 0 $}. end {alinhado} nonumber ]

20. Use a redução da ordem para mostrar que se

[ar (r-1) + br + c = 0 não numérico ]

tem uma raiz repetida (r_1 ) então (y = x ^ {r_1} (c_1 + c_2 ln x) ) é a solução geral de

[ax ^ 2y '' + bxy '+ cy = 0 nonumber ]

em ((0, infty) ).

21. Uma solução não trivial de

[P_0 (x) y '' + P_1 (x) y '+ P_2 (x) y = 0 não numérico ]

é dito ser oscilatório em um intervalo ((a, b) ) se houver infinitos zeros em ((a, b) ). Caso contrário, (y ) é considerado não oscilatório em ((a, b) ). Mostre que a equação

[x ^ 2y '' + ky = 0 quad (k = ; mbox {constante}) nonumber ]

tem soluções oscilatórias em ((0, infty) ) se e somente se (k> 1/4 ).

22. No Exemplo 7.4.2, vimos que (x_0 = 1 ) e (x_0 = -1 ) são pontos singulares regulares da equação de Legendre

[(1-x ^ 2) y '' - 2xy '+ alpha ( alpha + 1) y = 0. tag {A} ]

  1. Apresente as novas variáveis ​​ (t = x-1 ) e (Y (t) = y (t + 1) ), e mostre que (y ) é uma solução de (A) se e somente se (Y ) é uma solução de [t (2 + t) {d ^ 2Y over dt ^ 2} +2 (1 + t) {dY over dt} - alpha ( alpha + 1) Y = 0, nonumber ] que tem um ponto singular regular em (t_0 = 0 ).
  2. Apresente as novas variáveis ​​ (t = x + 1 ) e (Y (t) = y (t-1) ), e mostre que (y ) é uma solução de (A) se e somente se (Y ) é uma solução de [t (2-t) {d ^ 2Y over dt ^ 2} +2 (1-t) {dY over dt} + alpha ( alpha + 1) Y = 0, nonumber ] que tem um ponto singular regular em (t_0 = 0 ).

23. Sejam (P_0, P_1 ), e (P_2 ) polinômios sem fator comum, e suponha que (x_0 ne0 ) seja um ponto singular de

[P_0 (x) y '' + P_1 (x) y '+ P_2 (x) y = 0. tag {A} ]

Seja (t = x-x_0 ) e (Y (t) = y (t + x_0) ).

  1. Mostre que (y ) é uma solução de (A) se e somente se (Y ) é uma solução de [R_0 (t) {d ^ 2Y over dt ^ 2} + R_1 (t) {dY over dt} + R_2 (t) Y = 0. tag {B} ] onde [R_i (t) = P_i (t + x_0), quad i = 0,1,2. nonumber ]
  2. Mostre que (R_0 ), (R_1 ) e (R_2 ) são polinômios em (t ) sem fatores comuns, e (R_0 (0) = 0 ); assim, (t_0 = 0 ) é um ponto singular de (B).

7.5.1: Equações de Euler (exercícios) de pontos singulares regulares - Matemática

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Concluímos nosso estudo do método de Frobenius para encontrar soluções em série de equações diferenciais lineares de segunda ordem, considerando o caso em que a equação indicial tem raízes reais distintas que diferem por um inteiro.

O Método de Frobenius III

Nas Trincheiras 7.5 e 7.6 discutimos métodos para encontrar soluções de Frobenius de uma equação linear homogênea de segunda ordem perto de um ponto singular regular no caso em que a equação indicial tem uma raiz repetida ou raízes reais distintas que não diferem por um número inteiro. Nesta seção, consideramos o caso em que a equação indicial tem raízes reais distintas que diferem por um número inteiro. Limitaremos nossa discussão a equações que podem ser escritas como

ou onde as raízes da equação indicial diferem por um número inteiro positivo.

Começamos com um teorema que fornece um conjunto fundamental de soluções de equações da forma (eq: 7.7.1).

Teorema de prova thmtype: 7.5.3 implica isso. Vamos agora mostrar isso. Como é um operador linear, isso equivale a mostrar que Para verificar isso, mostraremos que e Isso implicará que, uma vez que substituindo (eq: 7.7.7) e (eq: 7.7.8) em (eq: 7.7. 6) e usando (eq: 7.7.4) rendimentos

Vamos provar (eq: 7.7.8) primeiro. Do teorema thmtype: 7.6.1, Definindo e recordando isso e produz

Visto que e são as raízes da equação indicial, o polinômio indicial pode ser escrito como Diferenciando isso resulta. Portanto, então (eq: 7.7.9) implica (eq: 7.7.8).

Antes de provar (eq: 7.7.7), primeiro notamos que é bem definido por (eq: 7.7.3) para, pois para esses valores de. No entanto, não podemos definir para com (eq: 7.7.3), uma vez que. Por conveniência, definimos por. Então, a partir do teorema thmtype: 7.5.1,

onde e Se, então (eq: 7.7.3) implica isso. Se, então porque. Portanto (eq: 7.7.10) se reduz a Desde e, isso implica (eq: 7.7.7).

Deixamos como exercício a prova de que é um conjunto fundamental.

Para calcular os coeficientes e em, definimos em (eq: 7.7.13) e aplicamos a fórmula de recorrência resultante para, assim,

Usamos diferenciação logarítmica para obter obter. De (eq: 7.7.14), Portanto, Diferenciando com relação aos rendimentos Portanto, Definir aqui e recuperar (eq: 7.7.15) rendimentos

Substituir isso em (eq: 7.7.16) produz

Se em (eq: 7.7.4), não há necessidade de calcular na fórmula (eq: 7.7.5) para. Portanto, é melhor calcular antes de computar. Isso é ilustrado no próximo exemplo.

Para calcular os coeficientes em, definimos em (eq: 7.7.20) e aplicamos a fórmula de recorrência resultante para,,, assim,

Agora consideramos as equações da forma em que as raízes da equação indicial são reais e diferem por um número inteiro par. A prova do próximo teorema é semelhante à prova do teorema thmtype: 7.7.1

Para calcular os coeficientes, e em, definimos em (eq: 7.7.26) e aplicamos a fórmula de recorrência resultante para, portanto,

Isso resulta em Substituting,, e into (eq: 7.7.23) produz. Portanto, de (eq: 7.7.24),

Para obter usamos a diferenciação logarítmica. De (eq: 7.7.27), Portanto, Diferenciando em relação aos rendimentos Portanto, Definir aqui e recuperar (eq: 7.7.28) rendimentos

Uma vez que podemos reescrever (eq: 7.7.30) substituindo isso em (eq: 7.7.29), resulta

Para calcular os coeficientes, e em, definimos em (eq: 7.7.33) e aplicamos a fórmula de recorrência resultante para, assim,

Fonte do Texto

Trench, William F., ”Elementary Differential Equations” (2013). Livros e CDs de autoria e edição do corpo docente. 8. (CC-BY-NC-SA)


Mais funções especiais

Representações Hipergeométricas

Várias funções especiais apresentadas neste livro podem ser expressas em termos de funções hipergeométricas. A identificação geralmente pode ser feita observando que essas funções são soluções de EDOs que são casos especiais de ODE hipergeométrica. Também é necessário determinar os fatores necessários para expressar as funções na escala acordada. Citamos vários exemplos.

As funções ultrasféricas C n (α) (x) satisfazem a ODE dada como Eq. (18.99), e como essa equação é um caso especial da equação hipergeométrica, a Eq. (18.120), vemos que as funções ultra-esféricas (e as funções de Legendre e Chebyshev) podem ser expressas como funções hipergeométricas. Para a função ultra-esférica, obtemos

Para Legendre e funções associadas de Legendre, encontramos

As funções Chebyshev têm representações

A série hipergeométrica pode ser usada para definir funções com índices não integrais. As aplicações físicas são mínimas.

Para c, um inteiro e uma e b não integral, mostre que

O que acontece se uma é um número inteiro, digamos, uma = -1, e c = −2?

Encontre as relações de recorrência de Legendre, Chebyshev I e Chebyshev II correspondentes à relação de função contígua hipergeométrica dada como Eq. (18.126).

Transforme os seguintes polinômios em funções hipergeométricas de argumento x 2: (a)

T2 n (x) = (- 1) n 2 F 1 (- n, n 1 2 x 2).

x - 1 T2 n + 1 (x) = (- 1) n (2 n + 1) 2 F 1 (- n, n + 1 3 2 x 2).

U 2 n (x) = (- 1) n 2 F 1 (- n, n + 1 1 2 x 2).

x - 1 U 2 n + 1 (x) = (- 1) n (2 n + 2) 2 F 1 (- n, n + 2 3 2 x 2).

Derive ou verifique o fator principal nas representações hipergeométricas das funções de Chebyshev.

Verifique se a função de Legendre do segundo tipo,Qν(z), É dado por

A função beta incompleta foi definida na Eq. (13,78) como

Verifique a representação integral

Observação. Embora a série de potências usada para estabelecer esta representação integral seja válida apenas para |z| & lt 1, a representação é válida para geral z, como pode ser estabelecido pela continuação analítica. Para não integral uma o eixo real no z-plano de 1 a ∞ é uma linha de corte.

Dica. A integral é suspeitamente como uma função beta e pode ser expandida em uma série de funções beta.

Dica. Aqui está uma chance de usar a representação integral no Exercício 18.5.7.

Dica. Experimente uma representação integral.

Observação. Esta relação é útil no desenvolvimento de uma representação de Rodrigues de Tn(x) (consulte o Exercício 18.5.10).

Dica. Uma possibilidade é usar a relação de função hipergeométrica

Mostre que o somatório na Eq. (18,43),

Dica. Aqui está uma chance de usar a relação de função contígua Eq. (18.127) e indução matemática (Seção 1.4). Como alternativa, use a representação integral e a função beta.


Índice

Prefácio para o instrutor xv Prefácio para o aluno xvii 1 O que é uma equação diferencial? 1 1.1 Observações introdutórias 1 1.2 Uma amostra de equações diferenciais ordinárias 5 1.3 A natureza das soluções 7 1.4 Equações separáveis ​​15 1.5 Equações lineares de primeira ordem 18 1.6 Equações exatas 24 1.7 Trajetórias e curvas ortogonais 30 1.8 Equações homogêneas 36 1.9 Fatores integradores 41 1.10 Redução da ordem 46 1.10.1 Variável dependente ausente 46 1.10.2 Variável independente ausente 48 1.11 A corrente suspensa e as curvas de perseguição 52 1.11.1 A corrente suspensa 52 1.11.2 Curvas de perseguição 57 1.12 Circuitos elétricos 62 1.13 O projeto de uma máquina de diálise 67 Problemas para revisão e descoberta 72 2 Equações lineares de segunda ordem 77 2.1 Equações lineares de segunda ordem com coeficientes constantes 77 2.2 O método dos coeficientes indeterminados 85 ix 2.3 O método de variação dos parâmetros 90 2.4 O uso de uma solução conhecida para encontrar outra 95 2.5 Vibrações e oscilações 100 2.5.1 Movimento harmônico simples não amortecido 100 2.5.2 Vibrações amortecidas 102 2.5.3 Vibrações forçadas 106 2.5.4 Algumas observações A cerca de eletricidade 109 2.6 Lei da Gravitação de Newton e Leis de Kepler 112 2.6.1 Segunda Lei de Kepler 116 2.6.2 Primeira Lei de Kepler 118 2.6.3 Terceira Lei de Kepler 121 2.7 Equações de Ordem Superior 128 Nota histórica 135 2.8 Funções de Bessel e a membrana vibratória 136 Problemas para revisão e descoberta 142 3 Soluções da série de potência e funções especiais 145 3.1 Introdução e revisão da série de potência 145 3.1.1 Revisão da série de potência 146 3.2 Soluções da série de equações de primeira ordem 157 3.3 Pontos ordinários 163 3.4 Pontos singulares regulares 173 3.5 Mais em pontos singulares regulares 180 Nota histórica 190 Nota histórica 192 3.6 Temperatura de estado estacionário em uma bola 193 Problemas para revisão e descoberta 196 4 Problemas de Sturm-Liouville e problemas de valor limite 199 4.1 O que é um problema de Sturm-Liouville? 199 4.2 Analisando um Problema de Sturm-Liouville 206 4.3 Aplicações da Teoria de Sturm-Liouville 213 4.4 Sturm-Liouville Singular 220 4.5 Algumas Idéias da Mecânica Quântica 227 Problemas para Revisão e Descoberta 231 5 Métodos Numéricos 235 5.1 Observações Introdutórias 236 5.2 O Método de Euler 238 5.3 O termo de erro 242 5.4 Um método de Euler aprimorado 246 5.5 O método de Runge-Kutta 252 5.6 Um método de perturbação constante 256 Problemas para revisão e descoberta 260 6 Série de Fourier: conceitos básicos 265 6.1 Coeficientes de Fourier 265 6.2 Algumas observações sobre a convergência 275 6.3 Even e funções ímpares: série cosseno e senoidal 282 6.4 Série de Fourier em intervalos arbitrários 289 6.5 Funções ortogonais 293 Nota histórica 299 6.6 Introdução à transformada de Fourier 300 6.6.1 Convolução e inversão de Fourier 309 6.6.2 A transformada inversa de Fourier 309 Problemas para revisão e Discovery 312 7 Laplace Transforms 317 7.0 Introdução 317 7.1 Aplicações a Equações Diferenciais 321 7.2 Derivatives and Integra ls 327 7.3 Convoluções 334 7.3.1 Problema de mecânica de Abel 337 7.4 As funções de passo e impulso da unidade 342 Nota histórica 352 7.5 Fluxo em uma placa plana iniciada impulsivamente 353 Problemas para revisão e descoberta 356 8 Distribuições 363 8.1 Distribuições de Schwartz 363 Problemas para revisão e descoberta 371 9 Wavelets 373 9.1 Localização nas Variáveis ​​de Tempo e Espaço 373 9.2 Construindo uma Análise de Fourier Customizada 376 9.3 A Base Haar 379 9.4 Alguns Exemplos Ilustrativos 384 9.5 Construção de uma Base Wavelet 394 9.5.1 Uma Construção Combinatória das Wavelets Daubechies398 9.5.2 As Wavelets Daubechies do Ponto de Vista da Análise de Fourier 399 9.5.3 Wavelets como uma Base Incondicional 402 9.5.4 Wavelets e Quase Diagonalizabilidade 403 9.6 A Transformada Wavelet 406 9,7 Mais sobre a Transformada Wavelet 423 9,8 Decomposição e seu Anverso 429 9,9 Algumas Aplicações 435 9.10 Energia Cumulativa e Entropia 445 Problemas para Revisão e Descoberta 451 10 Equações Diferenciais Parciais e Limite Problemas de valor de fronteira 455 10.1 Introdução e observações históricas 455 10.2 Valores próprios e a corda vibrante 460 10.2.1 Problemas de valor limite 460 10.2.2 Derivação da Equação de Onda 461 10.2.3 Solução da Equação de Onda 463 10.3 A Equação de Calor 469 10.4 O Problema de Dirichlet para um disco 478 10.4.1 O Integral de Poisson 481 Nota histórica 488 Nota histórica 489 Problemas para revisão e descoberta 491 Tabela de notação 495 Glossário 501 Soluções para exercícios selecionados 527 Bibliografia 527 Índice 530


7. Simplificação da equação de Euler.

Suponha que o Lagrangiano L = L (x, y, y & # 8216) depende apenas de duas das três variáveis x, y e y & # 8216. Então, podemos simplificar um pouco a equação de Euler & # 8217s. Temos os três casos especiais a seguir:

Caso 1: L = L (x, y). Então a equação de Euler & # 8217s é

Caso 2: L = L (x, y & # 8216 ). Então a equação de Euler & # 8217s é

Onde C é uma constante arbitrária.
Caso 3: L = L (y, y & # 8216 ). Então a equação de Euler & # 8217s

Onde C é uma constante arbitrária.

Observação: A relação no caso 3 acima é chamada de identidade de Beltrami.

onde a igualdade na última etapa segue da equação de Euler & # 8217s.
Exemplo 12 (Compare o exemplo 5): Encontre o extremo ao funcional

e podemos, assim, simplificar o problema usando a identidade Beltrami & # 8217s acima. Nós temos

que pode ser simplificado para

Escolhemos o sinal mínimo acima, pois dy / dx & lt0 (veja a figura). Agora faça a mudança de variáveis


& lt & gt com o qual a equação se torna

As constantes C 1 e C 2 são escolhidos de forma que as condições de contorno sejam atendidas. Esta é a forma de parâmetro de um ciclóide, a curva que descreve como um ponto da circunferência de uma roda quando a roda rola ao longo de uma linha reta. Veja a figura abaixo:

Nas animações abaixo, examinamos uma bola de raio uma rolando entre dois pontos sob a gravidade. Comparamos os casos em que ele está rolando pelo caminho mais curto e quando está rolando ao longo do ciclóide que passa por ambos os pontos. É óbvio que o ciclóide fornece um tempo de descida mais curto do que a linha reta, mas também existem diferenças dependendo da inclinação média entre os pontos inicial e final.

Observe que o problema que resolvemos acima, na verdade, lida com uma partícula deslizando ao longo de uma curva, mas a correção que temos que fazer para uma bola em movimento é que a energia cinética C ao invés é dado por

Onde eu é o momento de inércia da bola e sua velocidade angular. Se usarmos esta expressão em vez de

no exemplo 5, facilmente percebemos que ele leva à mesma equação diferencial e, portanto, à mesma solução.

Observação: O ciclóide também tem a propriedade interessante de ser tautocrônico. Isso significa que uma partícula colocada em qualquer lugar do ciclóide deslizará ao longo da curva sob a gravidade até o ponto mais baixo na mesma quantidade de tempo, independentemente de onde tenha começado. Esta propriedade é ilustrada na figura abaixo:


Geometria de potência em equações algébricas e diferenciais

8 Solução assintótica de um sistema de equações

Nós consideramos o problema fundamental. Deixe o sistema de equações

onde o feu(X) são polinômios de Laurent, e o cone convexo K em ℝ * n seja fornecido. É necessário encontrar todas essas soluções multiparâmetros para o sistema (8.1), que se encontram no conjunto U (K *, ε), onde K* é o cone dual com o cone K, e ε & gt 0 é suficientemente pequeno, e através do qual se pode desenhar uma curva da forma (2.1) com PK (P ≠ 0).

Um problema fundamental é chamado de reduzido um se estivermos procurando ramos em que nenhuma das coordenadas seja igual a zero (ou infinito). Obviamente, um problema fundamental se divide em um problema n-dimensional reduzido e um número finito de problemas reduzidos em que algumas coordenadas xeu são definidos como zeros (ou infinitos), ou seja, constantes, e o cone do problema é a interseção do cone do problema fundamental K com o conjunto

Para resolver o problema reduzido com o cone do problema K, para cada feu nós formamos o poliedro de Newton Γeu, e separamos suas faces Γ i k (d) com cones normais U i k (d) Aqui é suficiente separar todas as faces Γ i k (d) para as quais a interseção U i k (d) ∩ K é não vazia. Introduzimos K i k (d) = K ∩ U i k (d) e consideramos todas as possíveis interseções não vazias

Deixar ΠΛ ser uma dessas interseções, e deixar o sistema truncado

Se houver um deu = 0, então f ^ i = a X Q. As soluções para a equação aX Q = 0 têm uma das coordenadas identicamente igual a zero (ou infinito), não podem ser soluções para o problema reduzido. Assim, é necessário considerar apenas sistemas truncados (8.3) em que todos deu & gt 0. De acordo com o sistema truncado (8.3), fazemos uma transformação de potência e as reduções mencionadas no Teorema 7.1. Então o sistema (8.1) se transforma no sistema

e o sistema truncado (8.3) se transforma no sistema

Onde d é a dimensão do sistema truncado (8.3). Assumimos que os g ^ i são polinômios comuns em y1,…, yd, e isso no geu as coordenadas yd +1,…, yn aparecem com poderes não negativos. Sempre é possível conseguir isso de acordo com a observação 7.1. Aqui, o cone do truncamento (8.5) é

Agora temos que encontrar essas soluções

para o sistema completo (8.4) que tem a ordem vetorial P ∈ Π ˜ λ. De acordo com o Teorema 6.1, em tais soluções os valores yeu = ceu eu = 1,…,d, satisfaça o sistema (8.5). Aqui tudo c1,…, cd são diferentes de zero e infinito. O cone tangente T ˜ do sistema truncado (8.5) contém restrições apenas sobre qd +1,…, qn, e fica no cone qd +1,…, qn ≥ 0.

Se d & lt m, então, no caso genérico, o sistema truncado (8.5) não tem soluções. Se ele tem uma variedade linear isolada de soluções, então no sistema (8.4) temos que fazer uma mudança linear de coordenadas, que transfere essa variedade para um subespaço de coordenadas, e então resolvê-la nas proximidades desse subespaço, usando o Poliedros de Newton, se necessário. Se o sistema (8.5) tem um conjunto contínuo de soluções, que não é uma variedade linear, então tal caso é chamado de degenerar um que consideraremos mais tarde.

Consideramos agora o sistema (8,5) com

No despaço dimensional com coordenadas y1,…, yd, o sistema truncado de equações (8.5) determina uma variedade algébrica G ^ Temos que encontrar agora toda a variedade G ^ Extraímos primeiro o subconjunto G ^ c de todos os pontos críticos y1,…yd, em que as igualdades (8.5) são válidas, e a matriz

de dimensão d × m tem uma classificação menor que m. O conjunto G ^ G ^ c pode ser dividido em um número finito de partes G ^ 1, ..., G ^ l em cada uma das quais há pelo menos um menor diferente de zero de ordem m

da matriz (8.7), e as coordenadas correspondentes y i 1, ..., y i m podem ser expressas como funções das coordenadas restantes entre y1,…, yd. Seja G ^ 1 a parte do conjunto G ^ G ^ c em que

e obtemos as funções

que escrevemos como polinômios em Z ^ = (z 1,…, z m, y d + 1,…, y n):

e os expoentes Q ^ das expansões (8.9) encontram-se no cone tangente Ť, igual à projeção do cone T ˜ no subespaço das coordenadas q1,…, qm, qd+1,…, qn. Agora, para o sistema de equações

pode-se aplicar o Teorema da Função Implícita 5.2 e obter sua solução na forma de uma série

Onde Y″ = (yd+1,…, yn), R″ = (rd+1,…, rn), e os coeficientes φiR ″ são polinômios em Ψ1,…, Ψm, ym+1,…, yd, dividido por poderes de α de (8.10). Lembrando a mudança (8.8) e voltando de Y para X com a ajuda da transformação de potência, obtemos uma representação paramétrica X = X(ym +1,…, yn) para algumas soluções para o sistema inicial de equações (8.1). De forma semelhante, obtemos as soluções relacionadas às outras partes G ^ j do conjunto G ^ G ^ c.

O conjunto dos pontos críticos G ^ c da variedade G ^ é ela própria uma variedade algébrica. Consiste em alguns componentes conectados G ^ c 1,…, G ^ c k. Se G ^ c j é uma variedade linear isolada, então no sistema completo (8.4) fazemos uma mudança linear de coordenadas, transformando essa variedade em um subespaço de coordenadas, e estudamos o sistema obtido na vizinhança desse subespaço. Este é novamente um problema fundamental, mas com um conjunto mais restrito de soluções. Se G ^ c j não é uma variedade linear, então este caso também é chamado de degenerar 1.

No momento, a estratégia unificada para o estudo de casos degenerados ainda não foi elaborada. Em [Bruno e Soleev 1991a, § 4], duas dessas estratégias são apresentadas. A primeira consiste na obtenção por meio de manipulações dos polinômios g1,…, gm um novo polinômio gm+1, que é uma função de g1,…, gm, e que tem um truncamento g ^ m + 1, e esse truncamento não é uma função dos truncamentos g ^ 1,…, g ^ m. Se tal polinômio não puder ser obtido, então os polinômios g1,…, gm são funcionalmente dependentes, e pode-se encontrar essa dependência. A segunda estratégia consiste na introdução de novas coordenadas yn+eu = αeu, eu = 1,…, s, Onde α1,…, αs formar uma base polinomial do ideal da variedade G ^ c j, e na escrita das funções g1,…, gm como polinômios em yn + i,…, yn + s.

Assim, descrevemos aqui uma etapa do procedimento para a solução do problema proposto nesta seção. Como resultado dessa etapa, o problema fundamental primário se divide em um número finito de problemas fundamentais secundários, cada um dos quais, em certo sentido, é mais simples do que o problema inicial. Alguns deles têm um único ramo de solução ou não têm tal solução. Para tais problemas, o procedimento de extração dos ramos pode ser considerado concluído.

Para os problemas fundamentais secundários restantes, o procedimento deve ser continuado. Depois de um número finito de tais etapas, pode-se separar todos os ramos com multiplicidade um, no entanto, o número de etapas não é conhecido a priori (ver [Kukles e Grus 1958]).

O caso mais estudado é m = n - 1, quando todos os polinômios f1,…, fn−1 são funcionalmente independentes. O sistema (8.1) define uma curva algébrica e temos que encontrar seus ramos [Bruno e Soleev 1991a]. Se d = m = n - 1, então o teorema clássico de Bezout afirma que o número de soluções complexas para o sistema de equações truncadas (8.5) pode ser estimado por meio de seus graus (é igual ao produto desses graus). Um número mais exato de soluções para o sistema de equações foi obtido por Bernshtein [1975] (compare [Kushnirenko 1975a, 1976 Khovanskii 1978b]). É igual ao volume Minkovski misto V(Γ1,…, Γm) do poliedro de Newton Γ1,…, Γm dos polinômios correspondentes (ver [Khovanskii 1988]).

Nós chamamos o complexidade do sistema truncado (8.3) o (n - 1) volume de Minkovski misto dimensional das faces traduzidas correspondentes Γ i k (d i) + T i, eu = l, ...,m, onde - T i ∈ Γ i k (d i), e chamamos o complexidade do problema reduzido a soma das complexidades de todos os sistemas truncados cujos cones normais cruzam o cone do problema. Então, no caso genérico, o número de ramos complexos do problema reduzido é igual à sua complexidade.

Existem fórmulas para o número de ramos de soluções para o sistema (8.1) em uma pequena vizinhança do ponto crítico isolado X = 0 (ver [Grin ′ 1971 Sather 1973 Fucuda et al. 1986 Szafraniec 1992]). Vamos mostrar um deles. Designamos como 6 o número de ramos das soluções para o sistema (8.1) em uma pequena vizinhança do ponto crítico isolado X = 0, e colocamos

onde F = def (f 1, ..., f n - 1) Obviamente, φ(0) = 0. Seja H = def (F, δ).

[Szafraniec 1992] Se a origem das coordenadas é um ponto crítico isolado do sistema (8.1) com M = n − 1, então para o sistema H(X) = 0 também é um ponto singular isolado e b = 2 graus H.

Szafraniec [1992] afirma que esta fórmula foi programada em um computador, e que o programa utiliza um diagrama dos expoentes iniciais do sistema (8.1).

(continuação dos Exemplos 6.1 e 7.1). Com os valores uma1 = 40, uma2 = −uma3 = 25, uma4 = −1, uma5 = 16, uma2eu = −1, eu = 1, 2, 3, 4, consideramos o sistema (6.6). Então, cada um dos sistemas truncados (7.4) e (7.6) tem duas soluções reais e duas soluções simples complexas. Assim, o sistema (7.4) possui duas soluções reais:

Uma vez que todas as raízes são simples e d em - 1, então os ramos são isolados, ou seja, a função implícita Teorema 5.2 é aplicável. Substituindo no sistema (7.5) Y ′ = Y ′ 0 + Z′ E calcular os primeiros termos das expansões Z ′(y3), nós obtemos

Voltando às coordenadas iniciais de acordo com (7.3), encontramos dois ramos reais F j:

As raízes complexas (8.12) do sistema (7.4) dão dois ramos complexos F 5, 6:

O sistema truncado (7.6) tem duas soluções simples reais: y 1 1, 2 0 = ± 1, y 2 0 = - 1 e duas soluções simples complexas: y 1 3, 4 0 = ± i, y 2 0 = - 1 essas soluções obtemos, respectivamente, dois ramos reais F 3, 4:

e dois ramos complexos F 7, 8:

A função do parâmetro τ para os ramos descobertos, F 1, 2, 5, 6 e F 3, 4, 7, 8 é reproduzido por y 3 - 1 e x 1 - 1, respectivamente.

Na Fig. 2.1 é mostrada a disposição aproximada dos meios-ramos reais F 1 e F 2 para y3 & gt 0, F 3 e F 4 para x1 & gt 0 em uma pequena vizinhança do ponto X = 0 as linhas tracejadas representam curvas com x2 & lt 0.

Figura 2.1. A disposição dos meios-ramos F 1 - F 4 da curva do Exemplo 8.1 perto do ponto X = 0.

Consideramos agora a situação com um suporte infinito, analisada no Capítulo 1, Seção 8. Se S é o suporte de uma série de Laurent f e K é o cone do problema, então chamamos de casco convexo do conjunto KΓ a poliedro de Newton dominante para f.

Consideramos agora o problema fundamental, onde o suporte Seu= suppfeu são infinitos, com valor inteiro e encontram-se em conjuntos da forma C * + <(Q 1 i, ..., Q l i i)> (diferente para diferente eu), e o cone do problema K encontra-se dentro do cone inteiro C. Para a solução de tal problema fundamental, aplica-se o procedimento descrito anteriormente no caso de suportes finitos.feu. A única diferença é que agora para substituições da forma y i = y j 0 + z j, obtém-se séries em potências não negativas de zj (em vez de polinômios). Em particular, se as funções feu eu = 1,…, m, são analíticos na vizinhança do ponto X = 0, então eles são expandidos na série Maclaurin

O sistema (8.1) determina um conjunto analítico (ver [Hartshorne 1977]). Aqui C = <P: P ≤ 0>, K = <P: P & lt 0> e Q ≥ 0 para todos os Seu

Após a extração do sistema truncado e uma transformação de energia, os cones iniciais C e K são transformados em alguns cones C ˜ e K ˜ de natureza mais geral. É por isso que o problema fundamental no início foi formulado de uma forma invariável no que diz respeito às transformações de poder. Sobre a substituição de equações analíticas por algébricas, veja também [MacMillan 1912a].


Tópicos em aproximação e interpolação multivariada

Elena Berdysheva,. Joachim Stöckier, em Estudos em Matemática Computacional, 2006

8 notas adicionais

Os operadores de Durrmeyer (2) foram introduzidos por Durrmeyer em sua tese [15]. O estudo de suas propriedades de aproximação foi iniciado por Derriennic em vários artigos, e posteriormente estudado por vários autores. As propriedades espectrais do Teorema 1 aparecem em [10], [11] e [12] para o caso não ponderado, em [6] e [7] para o caso univariado ponderado e em [14] para o caso multivariado ponderado. Veja também o Capítulo 5.2 no livro recente de Paltanea [23], e as referências dadas lá.

A afirmação do Teorema 2 é original, assim como sua aplicação na Seção 6. Para as propriedades e fórmulas para funções hipergeométricas, nos referimos ao trabalho de mesa padrão, como [1] e [22]. Para os integrais do tipo Laplace, uma abordagem direta pode ser obtida de Koornwinder [21] e, em particular, de Askey 2] trabalho elegante relacionado a isso. Também vale a pena consultar o capítulo de Szegö [27] sobre polinômios de Jacobi.

O operador diferencial vocêμ = você1,µ em (10) e seus poderes desempenham um papel proeminente no estudo de teoremas diretos e inversos para o operador Durrmeyer veja novamente os artigos de Derriennic, Berens e Xu, e Ditzian, onde também as propriedades espectrais do Lema 6 podem ser encontradas. O caso de ordem superior vocêℓ, μ foi investigado pela primeira vez em [4], com notação diferente. No caso univariado (não ponderado), esses operadores são chamados de operadores diferenciais de Legendre no Habilitationsschrift de Heilmann [16]. No presente artigo, escolhemos a definição recursiva (11) levando a uma representação do produto para vocêℓ, μ que nos foi comunicado por Michael Felten.

Os quase-interpolantes (13) foram introduzidos em [17], para o caso não ponderado. O caso ponderado foi considerado em [18] e [4], onde também as afirmações do Teorema 7 e Lema 8 podem ser encontradas. A expressão dos quase-interpolantes em termos de operadores de Durrmeyer no Teorema 9, entretanto, é nova. Este último resultado incorpora nossos operadores na classe de quase-interpolantes construídos como combinações lineares de operadores de Durrmeyer. No entanto, essa abordagem geralmente é menos direta e menos explícita do que a nossa. Referimo-nos ao trabalho de Derriennic [13] novamente, e a Sablonnière [24], [25] e Heilmann [16]. O artigo recente de Sablonnière [26] apresenta um bom relato sobre essas construções.

A desigualdade de Bernstein, Teorema 11, é novamente original. Isso confirma nossa conjectura colocada em [3], onde uma prova diferente foi dada para o caso especial d = 1 e μ = (0, 0). Esperamos que a representação dos quase-interpolantes como uma combinação linear dos operadores positivos T n - ℓ, μ ℓ, conforme dado no Teorema 14, terá aplicações de longo alcance. Por último, não menos importante, espera-se que o caso M n, μ n leve a uma nova representação de núcleos de reprodução polinomial de ordem completa no simplex S d , com conexões com teoremas de adição para polinômios ortogonais.

Os resultados diretos na Seção 7 são consequências mais ou menos imediatas da desigualdade de Bernstein. Referimo-nos ao nosso artigo [4], e novamente ao trabalho anterior de Derriennic [13], Berens et al. [5] - [7] e Ditzian [14]. No entanto, ainda não resolvemos a questão natural de teoremas "inversos" ou mesmo "inversos fortes" para nossos quase interpolantes Concerning this, the paper of Chen, Ditzian and Ivanov [8] , the refined techniques of Knoop and Zhou in [19], [20] and Zhou’s Habilitationsschrift [29] might be helpful.

The initial motivation for our studies came from the article by Chui et al. [9] , in which univariate quasi-interpolants on irregular partitions of a bounded interval I were constructed as linear combinations of B-splines. In their approach, the quasi-interpolants Mn (r) (for the unweighted case) are the starting point for an inductive method of knot insertion. The quasi-interpolants in [9] give rise to the definition of “approximate duals” of B-splines, which are the centerpiece for their construction of nonstationary wavelet frames.


Boundedness of solutions

It is well known that the longtime behaviour of a timedependent nonlineare differential equation

Next, we present some examples demonstrating the topic and utilizing compter software.

  1. Alekseev, V.M., Quasirandom dynamic systems, I, II, III, Math USSR Sb, 1868, Vol. 5, pp. 73--128, Vol. 6, pp. 505--560, 1969, pp. 1--43.
  2. Chen, Y.M. and Liu, J.K., A new method based on the harmonic balance method for nonlinear oscillators, Physics Letters A, 2007, Volume 368, Issue 5, pp. 371-378
  3. Dickerhoff, R. and Zehnder, E., Boundedness for solutions via twist theorem, Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa, 1987, Vol. 14, No. 1, pp. 79--95.
  4. Lakshmikantham, V., Leela, S., and Martynyuk, A., Stability Analysis of Nonlinear Systems, 1989, Marcel DEkker, New York.
  5. Littlewood, J.,
  6. Littlewood, J.,
  7. Markus, L., Differential dynamic systems, 1969, American Mathematical Society, Providence, RI.
  8. Morris, G., A case of the boundedness in Littlewood's problem on oscillatory differential equations, Bulletine Austral Mathematical Society, 1976, Vol. 14, pp. 71--93.
  9. Moser, J., Stable and random motions in dynamic systems, Ann Math Studies, 1973, Vol. 77, Princeton, NJ.
  10. Raffoul, Y., Boundedness in nonlinear differential equations.
  11. Sitnikov, K., Existence of oscillating motions for three-body problemDokladu Akademii Nayk, SSSR, 1960, Vol. 133, No 2, pp. 303--306.
  12. Yoshizawa, T., Stability Theory by Lyapunov Second Method, 1966, The Math Society of Japan, Tokyo.
  13. You, J.-G., Boundedmess for solutions of super-linear duffing equations via the Twist theorem, Science in China, Series A: Mathematics, Physics, Astronamy & Technological Science, 1992, Vol.35No. 4, pp. 399--412.
  14. Yuan, X., Boundedness of solutions for Duffing-type equation, Science in China, SEries A: Mathematics, 1998, Vol. 41, No. 6, pp. 595--605.

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V. Method Comparison

You also may want to compare some of the different methods to see how
they perform for a specific problem.

Implicit Runge--Kutta methods have a number of desirable properties.

The Gauss--Legendre methods, for example, are self-adjoint, meaning
that they provide the same solution when integrating forward or
backward in time.


A generic framework for implicit Runge--Kutta methods has been implemented. The focus so far is on methods with interesting geometric properties and currently covers the following schemes:

"ImplicitRungeKuttaGaussCoefficients"
"ImplicitRungeKuttaLobattoIIIACoefficients"
"ImplicitRungeKuttaLobattoIIIBCoefficients"
"ImplicitRungeKuttaLobattoIIICCoefficients"
"ImplicitRungeKuttaRadauIACoefficients"
"ImplicitRungeKuttaRadauIIACoefficients"

The derivation of the method coefficients can be carried out to arbitrary order and arbitrary precision.

References on Runge--Kutta algorithms

  1. explicit Runge--Kutta
  2. Butcher, J.C., A history of Runge--Kutta methods, Applied Numerical Mathematics, 20 (1996) 247--260

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Voronoi Diagrams*

Franz Aurenhammer , Rolf Klein , in Handbook of Computational Geometry , 2000

4.4.1 Line segment Voronoi diagram and medial axis

Let G be a planar straight line graph on n points in the plane, that is, a set of non-crossing line segments spanned by these points. For instance, G might be a tree, or a collection of disjoint line segments or polygons, or a complete triangulation of the points. The number of segments of G is maximum, 3n − 6, in the last case. We will discuss several types of diagrams for planar straight line graphs in the present and following subsections.

The classical type is the (closest point) Voronoi diagram, V(G), of G. It consists of all points in the plane which have more than one closest segment in G. V(G) is known under different names in different areas, for example, as the line Voronoi diagram or skeleton of G, or as the medial axis when G is a simple polygon. Applications in such diverse areas as biology, geography, pattern recognition, computer graphics, and motion planning exist see, e.g. Kirkpatrick [ 161 ] and Lee [ 180 ] for references.

See Figure 20 . V(G) is formed by straight line edges and parabolically curved edges, both shown as dashed lines. Straight edges are part of either the perpendicular bisector of two segment endpoints, or of the angular bisector of two segments. Curved edges consist of points equidistant from a segment endpoint and a segment’s interior. There are two types of vertices, namely of type 2 having degree two, and of type 3 having degree three (provided G is in general position). Both are equidistant from a triple of objects (segment or segment endpoint), but for type-2 vertices the triple contains a segment along with one of its endpoints.

Fig. 20 . Line segment Voronoi diagram.

Together with G’s segments, the edges of V(G) partition the plane into regions. These can be refined by introducing certain normals through segment endpoints (shown dotted in Figure 20 ), in order to delineate rostos each of which is closest to a particular segment or segment endpoint. Two such normals start at each segment endpoint where G forms a reflex angle, and also at each terminal of G which is an endpoint belonging to only one segment in G. A normal ends either at a type-2 vertex of V(G) or extends to infinity.

It is well known that the number of faces, edges and vertices of V(G) is linear in n, the number of segment endpoints for G. The number of vertices is shown to be at most 4n − 3 in Lee and Drysdale [ 182 ]. An exact bound, that also counts the ‘infinite’ vertices at unbounded edges and segment normals, is given below.

Let G be a planar straight line graph on n points in the plane, and let G realize t terminals and r reflex angles. The number of (finite and infinite) vertices of V(G) is exactly 2n + t + r − 2.

P roof . Suppose first that G consists of e disjoint segments (that do not touch at their endpoints). Then there are e regions, and each type-3 vertex belongs to three of them. By the Euler formula for planar graphs, there are exactly 2 e − 2 such vertices, if we also count those at infinity. To count the number of type-2 vertices, observe that each segment endpoint is a terminal and gives rise to two segment normals each of which, in turn, yields one (finite or infinite) vertex of type 2. Hence there are 4e such vertices, and 6e − 2 vertices in total.

Now let G be a general planar straight line graph with e segments. We simulate G by disjoint segments, by shortening each segment slightly such that the segment endpoints are in general position. Then we subtract from 6e − 2 the number of vertices which have been generated by this simulation.

Consider an endpoint p that is incident to d ≥ 2 segments of G. Obviamente, p gives rise to d copies in the simulation.

The Voronoi diagram of these copies has d − 2 finite vertices, which are new vertices of type 3. As the sum of the degrees d ≥ 2 in G is 2et, we get 2et − 2(nt) new vertices in this way.

Each convex angle at p gives rise to two new normals emanating at the respective copies of p, and thus to two (finite) type-2 vertices. A possible reflex angle at p gives rise to one (finite or infinite) type-3 vertex, on the perpendicular bisector of the corresponding copies of p. Existem r reflex angles in G, and thus 2etr convex angles. This gives r + 2(2etr) new vertices in addition. The lemma follows by simple arithmetic.

Surprisingly, the number of edges of G does not influence the bound in Lemma 4.4 . The maximum number of vertices, 3n − 2, is achieved, for example, if G is a set of disjoint segments (t = n e r = 0), or if G is a simple polygon P (t = 0 and r = n).

In the latter case, the majority of applications concerns the part of V(P) interior to P. This part is commonly called the medial axis of P. The medial axis of an n-gon with r reflex interior angles has a tree-like structure and realizes exactly n + r − 2 vertices and at most 2(n + r) − 3 edges. Lee [ 180 ] first mentioned this bound, and also listed some applications of the medial axis. An interesting application to NC pocket machining is described in Held [ 139 ].

Several algorithms for computing V(G), for general or restricted planar straight line graphs G, have been proposed and tested for practical efficiency. V(G) can be computed in O(n log n) time and O(n) space by divide & conquer (Kirkpatrick [ 161 ], Lee [ 180 ], and Yap [ 261 ]), plane sweep (Fortune [ 125 ]), and randomized incremental insertion (Boissonnat et al. [ 43 ] and Klein et al. [ 170 ]).

Burnikel et al. [ 51 ] give an overview of existing methods, and discuss implementation details of an algorithm in Sugihara et al. [ 243 ] that first inserts all segment endpoints, and then all the segments, of G in random order. An algorithm of comparable simplicity and practical efficiency (though with a worst-case running time of O(n 2 )) is given in Gold et al. [ 130 ]. They first construct a Voronoi diagram for point sites by selecting one endpoint for each segment, and then maintain the diagram while expanding the endpoints, one by one, to their corresponding segments. During an expansion, the resulting topological updates in the diagram can be carried out efficiently. In fact, Voronoi diagrams for moving point sites are well-studied concepts see, e.g. Guibas et al. [ 134 ] and Roos [ 221 ].

An efficient O(n log 2 n) work parallel algorithm for computing V(G) is given in Goodrich et al. [ 132 ]. This is improved to O(log n) parallel (randomized) time using O(n) processors in Rajesekaran and Ramaswami [ 218 ]. (The latter result also implies an optimal parallel construction method for the classical Voronoi diagram.)

Se G is a connected graph then V(G) can be computed in randomized time O(n log* n) see Devillers [ 88 ]. Recently, O(n) time randomized, and deterministic, algorithms for the medial axis of a simple polygon have been designed by Klein and Lingas [ 169 ] and Chin et al. [ 68 ], settling open questions of long standing. The case of a convex polygon is considerably easier see Subsection 4.4.3 .

Some of the algorithms above also work for curved objects. The plane-sweep algorithm in Fortune [ 125 ] elegantly handles arbitrary sets of circles (i.e., the additively weighted Voronoi diagram, or Johnson–Mehl model) without modification from the point site case. Yap [ 261 ] allows sets of disjoint segments of arbitrary degree-two curves. A randomized incremental algorithm for general curved objects is given in Alt and Schwarzkopf [ 12 ]. They show that complicated curved objects can be partitioned into ‘harmless’ ones by introducing new points. All these algorithms achieve an optimal running time, O(n log n).

In dimensions more than two, the known results are sparse. The complexity of the Voronoi diagram for n line segments in d-space may be as large as Ω(n d − 1 ), as was observed by Aronov [ 17 ]. By the relationship of Voronoi diagrams to lower envelopes of hypersurfaces (see Subsection 4.6 ), the results in Sharir [ 234 ] imply an upper bound of roughly O(n d ) No better upper bounds are known even for line segments in 3-space.

The Voronoi diagram for n spheres in d-space has a size of only O(nd/2⌡ + 1 ) by its relationship to power diagrams proved in Aurenhammer and Imai [ 30 ].

A case of particular interest in several applications is the medial axis M(P) of a (generally non-convex) polyhedron P in 3-space. M(P) contains pieces of parabolic and hyperbolic surfaces and thus has a fairly complicated structure. A practical and numerically stable algorithm for computing M(P) is proposed in Milenkovic [ 198 ].


Assista o vídeo: Aula 03. Métodos Aplicados de Matemática II - Método de Frobenius (Outubro 2021).