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7.8.1: O Método de Frobenius III (Exercícios) - Matemática


Q7.7.1

Em Exercícios 7.7.1-7.7.40 encontrar um conjunto fundamental de soluções Frobenius. Dê fórmulas explícitas para os coeficientes.

1. (x ^ 2y '' - 3xy '+ (3 + 4x) y = 0 )

2. (xy '' + y = 0 )

3. (4x ^ 2 (1 + x) y '' + 4x (1 + 2x) y '- (1 + 3x) y = 0 )

4. (xy '' + xy '+ y = 0 )

5. (2x ^ 2 (2 + 3x) y '' + x (4 + 21x) y '- (1-9x) y = 0 )

6. (x ^ 2y '' + x (2 + x) y '- (2-3x) y = 0 )

7. (4x ^ 2y '' + 4xy '- (9-x) y = 0 )

8. (x ^ 2y '' + 10xy '+ (14 + x) y = 0 )

9. (4x ^ 2 (1 + x) y '' + 4x (3 + 8x) y '- (5-49x) y = 0 )

10. (x ^ 2 (1 + x) y '' - x (3 + 10x) y '+ 30xy = 0 )

11. (x ^ 2y '' + x (1 + x) y'-3 (3 + x) y = 0 )

12. (x ^ 2y '' + x (1-2x) y '- (4 + x) y = 0 )

13. (x (1 + x) y '' - 4y'-2y = 0 )

14. (x ^ 2 (1 + 2x) y '' + x (9 + 13x) y '+ (7 + 5x) y = 0 )

15. (4x ^ 2y '' - 2x (4-x) y '- (7 + 5x) y = 0 )

16. (3x ^ 2 (3 + x) y '' - x (15 + x) y'-20y = 0 )

17. (x ^ 2 (1 + x) y '' + x (1-10x) y '- (9-10x) y = 0 )

18. (x ^ 2 (1 + x) y '' + 3x ^ 2y '- (6-x) y = 0 )

19. (x ^ 2 (1 + 2x) y '' - 2x (3 + 14x) y '+ (6 + 100x) y = 0 )

20. (x ^ 2 (1 + x) y '' - x (6 + 11x) y '+ (6 + 32x) y = 0 )

21. (4x ^ 2 (1 + x) y '' + 4x (1 + 4x) y '- (49 + 27x) y = 0 )

22. (x ^ 2 (1 + 2x) y '' - x (9 + 8x) y'-12xy = 0 )

23. (x ^ 2 (1 + x ^ 2) y '' - x (7-2x ^ 2) y '+ 12y = 0 )

24. (x ^ 2y '' - x (7-x ^ 2) y '+ 12y = 0 )

25. (xy '' - 5y '+ xy = 0 )

26. (x ^ 2y '' + x (1 + 2x ^ 2) y '- (1-10x ^ 2) y = 0 )

27. (x ^ 2y '' - xy '- (3-x ^ 2) y = 0 )

28. (4x ^ 2y '' + 2x (8 + x ^ 2) y '+ (5 + 3x ^ 2) y = 0 )

29. (x ^ 2y '' + x (1 + x ^ 2) y '- (1-3x ^ 2) y = 0 )

30. (x ^ 2y '' + x (1-2x ^ 2) y'-4 (1 + 2x ^ 2) y = 0 )

31. (4x ^ 2y '' + 8xy '- (35-x ^ 2) y = 0 )

32. (9x ^ 2y '' - 3x (11 + 2x ^ 2) y '+ (13 + 10x ^ 2) y = 0 )

33. (x ^ 2y '' + x (1-2x ^ 2) y'-4 (1-x ^ 2) y = 0 )

34. (x ^ 2y '' + x (1-3x ^ 2) y'-4 (1-3x ^ 2) y = 0 )

35. (x ^ 2 (1 + x ^ 2) y '' + x (5 + 11x ^ 2) y '+ 24x ^ 2y = 0 )

36. (4x ^ 2 (1 + x ^ 2) y '' + 8xy '- (35-x ^ 2) y = 0 )

37. (x ^ 2 (1 + x ^ 2) y '' - x (5-x ^ 2) y '- (7 + 25x ^ 2) y = 0 )

38. (x ^ 2 (1 + x ^ 2) y '' + x (5 + 2x ^ 2) y'-21y = 0 )

39. (x ^ 2 (1 + 2x ^ 2) y '' - x (3 + x ^ 2) y'-2x ^ 2y = 0 )

40. (4x ^ 2 (1 + x ^ 2) y '' + 4x (2 + x ^ 2) y '- (15 + x ^ 2) y = 0 )

Q7.7.2

41.

  1. Sob as premissas do Teorema 7.7.1, mostre que [y_1 = x ^ {r_1} sum_ {n = 0} ^ infty a_n (r_1) x ^ n não numérico ] e [y_2 = x ^ {r_2 } sum_ {n = 0} ^ {k-1} a_n (r_2) x ^ n + C left (y_1 ln x + x ^ {r_1} sum_ {n = 1} ^ infty a_n '(r_1 ) x ^ n right) nonumber ] são linearmente independentes.
  2. Use o resultado de (a) para completar a prova do Teorema 7.7.1.

42. Encontre um conjunto fundamental de soluções de Frobenius da equação de Bessel [x ^ 2y '' + xy '+ (x ^ 2- nu ^ 2) y = 0 nonumber ] no caso em que ( nu ) é um número inteiro positivo.

43. Prove o Teorema 7.7.2.

44. Sob as premissas do Teorema 7.7.1, mostre que (C = 0 ) se e somente se (p_1 (r_2 +) = 0 ) para algum inteiro ( ell ) em ( {0, 1, pontos, k-1 } ).

45. Sob as premissas do Teorema 7.7.2, mostre que (C = 0 ) se e somente se (p_2 (r_2 + 2) = 0 ) para algum inteiro ( ell ) em ( { 0,1, pontos, k-1 } ).

46. ​​Vamos [Ly = alpha_0x ^ 2y '' + beta_0xy '+ ( gamma_0 + gamma_1x) y nonumber ] e definir [p_0 (r) = alpha_0r (r-1) + beta_0r + gamma_0 . enhum número]

Mostre que se [p_0 (r) = alpha_0 (r-r_1) (r-r_2) nonumber ] onde (r_1-r_2 = k ), um inteiro positivo, então (Ly = 0 ) tem as soluções

[y_1 = x ^ {r_1} sum_ {n = 0} ^ infty {(-1) ^ n over n! prod_ {j = 1} ^ n (j + k)} left ( gamma_1 over alpha_0 right) ^ nx ^ n nonumber ]

e

[ begin {alinhados} y_2 & = x ^ {r_2} sum_ {n = 0} ^ {k-1} {(-1) ^ n over n! prod_ {j = 1} ^ n (jk) } left ( gamma_1 over alpha_0 right) ^ nx ^ n [10pt] & - {1 over k! (k-1)!} left ( gamma_1 over alpha_0 right) ^ k left (y_1 ln x- x ^ {r_1} sum_ {n = 1} ^ infty {(-1) ^ n over n! prod_ {j = 1} ^ n (j + k)} left ( gamma_1 over alpha_0 right) ^ n left ( sum_ {j = 1} ^ n {2j + k over j (j + k)} right) x ^ n right). fim {alinhado} não numérico ]

47. Seja [Ly = alpha_0x ^ 2y '' + beta_0xy '+ ( gamma_0 + gamma_2x ^ 2) y nonumber ] e defina [p_0 (r) = alpha_0r (r-1) + beta_0r + gamma_0. nonumber ]

Mostre que se [p_0 (r) = alpha_0 (r-r_1) (r-r_2) nonumber ] onde (r_1-r_2 = 2k ), um número inteiro positivo par, então (Ly = 0 ) tem as soluções

[y_1 = x ^ {r_1} sum_ {m = 0} ^ infty {(-1) ^ m over 4 ^ mm! prod_ {j = 1} ^ m (j + k)} left ( gamma_2 over alpha_0 right) ^ mx ^ {2m} nonumber ]

e

[ begin {alinhados} y_2 & = x ^ {r_2} sum_ {m = 0} ^ {k-1} {(-1) ^ m over4 ^ mm! prod_ {j = 1} ^ m (jk )} left ( gamma_2 over alpha_0 right) ^ mx ^ {2m} [10pt] & - {2 over 4 ^ kk! (k-1)!} left ( gamma_2 over alpha_0 right) ^ k left (y_1 ln x- {x ^ {r_1} over2} sum_ {m = 1} ^ infty {(-1) ^ m over 4 ^ mm! prod_ {j = 1} ^ m (j + k)} left ( gamma_2 over alpha_0 right) ^ m left ( sum_ {j = 1} ^ m {2j + k over j (j + k)} right) x ^ {2m} right). end {alinhado} nonumber ]

48. Seja (L ) como em Exercícios 7.5.57 e 7.5.58, e suponha que o polinômio indicial de (Ly = 0 ) seja

[p_0 (r) = alpha_0 (r-r_1) (r-r_2), nonumber ]

com (k = r_1-r_2 ), onde (k ) é um número inteiro positivo. Defina (a_0 (r) = 1 ) para todos (r ). Se (r ) é um número real tal que (p_0 (n + r) ) é diferente de zero para todos os inteiros positivos (n ), defina

[a_n (r) = - {1 over p_0 (n + r)} sum_ {j = 1} ^ n p_j (n + rj) a_ {nj} (r), , n ge1, nonumber ]

e deixe [y_1 = x ^ {r_1} sum_ {n = 0} ^ infty a_n (r_1) x ^ n. nonumber ]

Defina [a_n (r_2) = - {1 over p_0 (n + r_2)} sum_ {j = 1} ^ n p_j (n + r_2-j) a_ {nj} (r_2) , text {if } n ge1 , text {e} , n ne k, nonumber ] e deixe (a_k (r_2) ) ser arbitrário.

  1. Concluir de Exercício 7.6.66 que [L left (y_1 ln x + x ^ {r_1} sum_ {n = 1} ^ infty a_n '(r_1) x ^ n right) = k alpha_0x ^ {r_1}. nonumber ]
  2. Concluir de Exercício 7.5.57 que [L left (x ^ {r_2} sum_ {n = 0} ^ infty a_n (r_2) x ^ n right) = Ax ^ {r_1}, nonumber ] onde [A = sum_ {j = 1} ^ k p_j (r_1-j) a_ {kj} (r_2). não numérico ]
  3. Mostre que (y_1 ) e [y_2 = x ^ {r_2} sum_ {n = 0} ^ infty a_n (r_2) x ^ n - {A over k alpha_0} left (y_1 ln x + x ^ {r_1} sum_ {n = 1} ^ infty a_n '(r_1) x ^ n direita) não numérico ] formam um conjunto fundamental de soluções de Frobenius de (Ly = 0 ).
  4. Mostre que escolher a quantidade arbitrária (a_k (r_2) ) para ser diferente de zero meramente adiciona um múltiplo de (y_1 ) a (y_2 ). Conclua que também podemos tomar (a_k (r_2) ~ = ~ 0 ).