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3.6: Gráficos de funções


objetivos de aprendizado

Ao final desta seção, você será capaz de:

  • Use o teste de linha vertical
  • Identifique gráficos de funções básicas
  • Leia as informações de um gráfico de uma função

Antes de começar, faça este teste de prontidão.

  1. Avalie: ⓐ (2 ^ 3 ) ⓑ (3 ^ 2 ).
    Se você perdeu este problema, revise [link].
  2. Avalie: ⓐ (| 7 | ) ⓑ (| −3 | ).
    Se você perdeu este problema, revise [link].
  3. Avalie: ⓐ ( sqrt {4} ) ⓑ ( sqrt {16} ).
    Se você perdeu este problema, revise [link].

Use o teste de linha vertical

Na última seção, aprendemos como determinar se uma relação é uma função. As relações que examinamos foram expressas como um conjunto de pares ordenados, um mapeamento ou uma equação. Veremos agora como saber se um gráfico é o de uma função.

Um par ordenado ((x, y) ) é uma solução de uma equação linear, se a equação for uma afirmação verdadeira quando o x- e y-valores do par ordenado são substituídos na equação.

O gráfico de uma equação linear é uma linha reta onde cada ponto da linha é uma solução da equação e cada solução dessa equação é um ponto dessa linha.

Em Figura, podemos ver que, no gráfico da equação (y = 2x − 3 ), para cada x-valor existe apenas um y-valor, conforme mostrado na tabela a seguir.

Uma relação é uma função se cada elemento do domínio tiver exatamente um valor no intervalo. Portanto, a relação definida pela equação (y = 2x − 3 ) é uma função.

Se olharmos para o gráfico, cada linha tracejada vertical somente cruza a linha em um ponto. Isso faz sentido como uma função, para cada x-valor existe apenas um y-valor.

Se a linha vertical atingir o gráfico duas vezes, o x-valor seria mapeado para dois y-valores e, portanto, o gráfico não representaria uma função.

Isso nos leva ao teste da linha vertical. Um conjunto de pontos em um sistema de coordenadas retangular é o gráfico de uma função se cada linha vertical cruzar o gráfico em no máximo um ponto. Se qualquer linha vertical cruzar o gráfico em mais de um ponto, o gráfico não representa uma função.

TESTE DE LINHA VERTICAL

Um conjunto de pontos em um sistema de coordenadas retangular é o gráfico de uma função se cada linha vertical cruzar o gráfico em no máximo um ponto.

Se qualquer linha vertical cruzar o gráfico em mais de um ponto, o gráfico não representa uma função.

Exemplo ( PageIndex {1} )

Determine se cada gráfico é o gráfico de uma função.

Responder

Ⓐ Como qualquer linha vertical intercepta o gráfico em no máximo um ponto, o gráfico é o gráfico de uma função.

Ⓑ Uma das linhas verticais mostradas no gráfico a cruza em dois pontos. Este gráfico não representa uma função.

Exemplo ( PageIndex {2} )

Determine se cada gráfico é o gráfico de uma função.

Responder

Ⓐ sim ⓑ não

Exemplo ( PageIndex {3} )

Determine se cada gráfico é o gráfico de uma função.

Responder

Ⓐ não ⓑ sim

Identificar gráficos de funções básicas

Usamos a equação (y = 2x − 3 ) e seu gráfico ao desenvolver o teste da linha vertical. Dissemos que a relação definida pela equação (y = 2x − 3 ) é uma função.

Podemos escrever isso em notação de função como (f (x) = 2x − 3 ). Ainda significa a mesma coisa. O gráfico da função é o gráfico de todos os pares ordenados ((x, y) ) onde (y = f (x) ). Portanto, podemos escrever os pares ordenados como ((x, f (x)) ). Parece diferente, mas o gráfico será o mesmo.

Compare o gráfico de (y = 2x − 3 ) mostrado anteriormente em Figura com o gráfico de (f (x) = 2x − 3 ) mostrado em Figura. Nada mudou, exceto a notação.

GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO

O gráfico de uma função é o gráfico de todos os seus pares ordenados, (x, y) (x, y) ou usando a notação de função, (x, f (x)) (x, f (x)) onde y = f ( x) .y = f (x).

[ begin {array} {ll} {f} & { text {nome da função}} {x} & { text {coordenada x do par ordenado}} {f (x)} & { text {coordenada y do par ordenado}} nonumber end {array} ]

À medida que avançamos em nosso estudo, é útil estar familiarizado com os gráficos de várias funções básicas e ser capaz de identificá-los.

Por meio de nosso trabalho anterior, estamos familiarizados com os gráficos de equações lineares. O processo que usamos para decidir se (y = 2x − 3 ) é uma função se aplicaria a todas as equações lineares. Todas as equações lineares não verticais são funções. Linhas verticais não funcionam como o x-valor tem infinitamente muitos y-valores.

Escrevemos equações lineares em várias formas, mas será mais útil para nós aqui usar a forma declive-interceptação da equação linear. A forma de declive-interceptação de uma equação linear é (y = mx + b ). Na notação de função, esta função linear torna-se (f (x) = mx + b ) onde m é a inclinação da linha e b é o y-interceptar.

O domínio é o conjunto de todos os números reais e o intervalo também é o conjunto de todos os números reais.

FUNÇÃO LINEAR

Usaremos as técnicas de representação gráfica que usamos anteriormente para representar graficamente as funções básicas.

Exemplo ( PageIndex {4} )

Gráfico: (f (x) = - 2x − 4 ).

Responder
(f (x) = - 2x − 4 )
Reconhecemos isso como uma função linear.
Encontre a inclinação e y-interceptar. (m = -2 )
(b = −4 )
Gráfico usando a interceptação do declive.

Exemplo ( PageIndex {5} )

Gráfico: (f (x) = - 3x − 1 )

Responder

Exemplo ( PageIndex {6} )

Gráfico: (f (x) = - 4x − 5 )

Responder

A próxima função cujo gráfico veremos é chamada de função constante e sua equação tem a forma (f (x) = b ), onde b é qualquer número real. Se substituirmos (f (x) ) por y, obtemos (y = b ). Nós reconhecemos isso como a linha horizontal cujo y-intercept é b. O gráfico da função (f (x) = b ), é também a linha horizontal cujo y-intercept é b.

Observe que para qualquer número real que colocarmos na função, o valor da função será b. Isso nos diz que o intervalo tem apenas um valor, b.

FUNÇÃO CONSTANTE

Exemplo ( PageIndex {7} )

Gráfico: (f (x) = 4 ).

Responder
(f (x) = 4 )
Reconhecemos isso como uma função constante.
O gráfico será uma linha horizontal através de ((0,4) ).

Exemplo ( PageIndex {8} )

Gráfico: (f (x) = - 2 ).

Responder

Exemplo ( PageIndex {9} )

Gráfico: (f (x) = 3 ).

Responder

A função de identidade, (f (x) = x ) é um caso especial da função linear. Se escrevermos na forma de função linear, (f (x) = 1x + 0 ), vemos que a inclinação é 1 e o y-intercept é 0.

FUNÇÃO DE IDENTIDADE

A próxima função que veremos não é uma função linear. Portanto, o gráfico não será uma linha. O único método que temos para representar graficamente esta função é a plotagem de pontos. Como essa é uma função desconhecida, nos certificamos de escolher vários valores positivos e negativos, bem como 0 para nossos valores x.

Gráfico: (f (x) = x ^ 2 ).

Responder

Nós escolhemos x-valores. Nós os substituímos e, em seguida, criamos um gráfico conforme mostrado.

Exemplo ( PageIndex {11} )

Gráfico: (f (x) = x ^ 2 ).

Responder

Exemplo ( PageIndex {12} )

(f (x) = - x ^ 2 )

Responder

Olhando para o resultado em Exemplo, podemos resumir os recursos da função quadrada. Chamamos esse gráfico de parábola. Ao considerarmos o domínio, observe que qualquer número real pode ser usado como um x-valor. O domínio é composto por números reais.

O intervalo não inclui todos os números reais. Observe que o gráfico consiste em valores de y nunca vá abaixo de zero. Isso faz sentido, pois o quadrado de qualquer número não pode ser negativo. Portanto, o intervalo da função quadrada são todos os números reais não negativos.

FUNÇÃO QUADRADA

A próxima função que veremos também não é uma função linear, portanto o gráfico não será uma linha. Mais uma vez, usaremos a plotagem de pontos e certifique-se de escolher vários valores positivos e negativos, bem como 0 para o nosso x-valores.

Gráfico: (f (x) = x ^ 3 ).

Responder

Nós escolhemos x-valores. Nós os substituímos e então criamos um gráfico.

Exemplo ( PageIndex {14} )

Gráfico: (f (x) = x ^ 3 ).

Responder

Exemplo ( PageIndex {15} )

Gráfico: (f (x) = - x ^ 3 ).

Responder

Olhando para o resultado em Exemplo, podemos resumir os recursos da função de cubo. O domínio é composto por números reais.

O intervalo é composto por números reais. Isso faz sentido, pois o cubo de qualquer número diferente de zero pode ser positivo ou negativo. Portanto, o intervalo da função do cubo são todos os números reais.

FUNÇÃO DE CUBO

A próxima função que examinaremos não quadrada ou molda os valores de entrada, mas sim a raiz quadrada desses valores.

Vamos representar graficamente a função (f (x) = sqrt {x} ) e, em seguida, resumir as características da função. Lembre-se de que só podemos calcular a raiz quadrada de números reais não negativos, portanto, nosso domínio serão os números reais não negativos.

Exemplo ( PageIndex {16} )

(f (x) = sqrt {x} )

Responder

Nós escolhemos x-valores. Uma vez que iremos tirar a raiz quadrada, escolhemos números que são quadrados perfeitos, para tornar o nosso trabalho mais fácil. Nós os substituímos e então criamos um gráfico.

Exemplo ( PageIndex {17} )

Gráfico: (f (x) = x ).

Responder

Exemplo ( PageIndex {18} )

Gráfico: (f (x) = - sqrt {x} ).

Responder

FUNÇÃO RAIZ QUADRADA

Nossa última função básica é a função de valor absoluto, (f (x) = | x | ). Lembre-se de que o valor absoluto de um número é sua distância de zero. Como nunca medimos a distância como um número negativo, nunca obteremos um número negativo no intervalo.

Gráfico: (f (x) = | x | ).

Responder

Nós escolhemos x-valores. Nós os substituímos e então criamos um gráfico.

Exemplo ( PageIndex {20} )

Gráfico: (f (x) = | x | ).

Responder

Exemplo ( PageIndex {21} )

Gráfico: (f (x) = - | x | ).

Responder

FUNÇÃO DE VALOR ABSOLUTO

Leia as informações de um gráfico de uma função

Nas ciências e nos negócios, os dados costumam ser coletados e depois representados graficamente. O gráfico é analisado, as informações são obtidas do gráfico e, então, muitas vezes as previsões são feitas a partir dos dados.

Começaremos lendo o domínio e o intervalo de uma função em seu gráfico.

Lembre-se de que o domínio é o conjunto de todos os x-valores nos pares ordenados na função. Para encontrar o domínio, olhamos o gráfico e encontramos todos os valores de x que têm um valor correspondente no gráfico. Siga o valor x para cima ou para baixo verticalmente. Se você acertar o gráfico da função, então x está no domínio.

Lembre-se de que o intervalo é o conjunto de todos os y-valores nos pares ordenados na função. Para encontrar o intervalo, olhamos o gráfico e encontramos todos os valores de y que têm um valor correspondente no gráfico. Siga o valor y esquerda ou direita horizontalmente. Se você acertar o gráfico da função, então y está no intervalo.

Exemplo ( PageIndex {22} )

Use o gráfico da função para encontrar seu domínio e intervalo. Escreva o domínio e o intervalo em notação de intervalo.

Responder

Para encontrar o domínio, olhamos o gráfico e encontramos todos os valores de x que correspondem a um ponto no gráfico. O domínio é destacado em vermelho no gráfico. O domínio é ([- 3,3] ).

Para encontrar o intervalo, olhamos o gráfico e encontramos todos os valores de y que correspondem a um ponto no gráfico. O intervalo é destacado em azul no gráfico. O intervalo é ([- 1,3] ).

Exemplo ( PageIndex {23} )

Use o gráfico da função para encontrar seu domínio e intervalo. Escreva o domínio e o intervalo em notação de intervalo.

Responder

O domínio é ([- 5,1] ). O intervalo é ([- 4,2] ).

Exemplo ( PageIndex {24} )

Use o gráfico da função para encontrar seu domínio e intervalo. Escreva o domínio e o intervalo em notação de intervalo.

Responder

O domínio é ([- 2,4] ). O intervalo é ([- 5,3] ).

Agora vamos ler as informações do gráfico que você pode ver em futuras aulas de matemática.

Exemplo ( PageIndex {25} )

Use o gráfico da função para encontrar os valores indicados.

Ⓐ Encontre: (f (0) ).
Ⓑ Encontre: (f (32 pi) ).
Ⓒ Encontre: (f (−12 pi) ).
Ⓓ Encontre os valores para x quando (f (x) = 0 ).
Ⓔ Encontre o x-intercepts.
Ⓕ Encontre o y-intercepts.
Ⓖ Encontre o domínio. Escreva em notação de intervalo.
Ⓗ Encontre o intervalo. Escreva em notação de intervalo.

Responder

Ⓐ Quando (x = 0 ), a função cruza o y-eixo em 0. Portanto, (f (0) = 0 ).
Ⓑ Quando (x = 32 pi ), o y-valor da função é (- 1 ). Portanto, (f (32 pi) = - 1 ).
Ⓒ Quando (x = −12 pi ), o y-valor da função é (- 1 ). Portanto, (f (−12 pi) = - 1 ).
Ⓓ A função é 0 nos pontos, ((- 2 pi, 0), (- pi, 0), (0,0), ( pi, 0), (2 pi, 0) ) . O x-valores quando (f (x) = 0 ) são (- 2 pi, - pi, 0, pi, 2 pi ).
Ⓔ o x-interceptações ocorrem quando (y = 0 ). Então o x-interceptações ocorrem quando (f (x) = 0 ). O x-interceptos são ((- 2 pi, 0), (- pi, 0), (0,0), ( pi, 0), (2 pi, 0) ).
Ⓕ o y-interceptações ocorrem quando x = 0.x = 0. Então o y-interceptações ocorrem em (f (0) ). O y-intercept é ((0,0) ).
Ⓖ Esta função tem um valor quando x é de (- 2 pi ) a (2 pi ). Portanto, o domínio na notação de intervalo é ([- 2 pi, 2 pi] ).
Ⓗ Valores desta função, ou y-valores vão de (- 1 ) a 1. Portanto, o intervalo, na notação de intervalo, é ([- 1,1] ).

Exemplo ( PageIndex {26} )

Use o gráfico da função para encontrar os valores indicados.

Ⓐ Encontre: f (0) .f (0).
Ⓑ Encontre: f (12 pi) .f (12 pi).
Ⓒ Encontre: f (−32 pi) .f (−32 pi).
Ⓓ Encontre os valores para x quando f (x) = 0.f (x) = 0.
Ⓔ Encontre o x-intercepts.
Ⓕ Encontre o y-intercepts.
Ⓖ Encontre o domínio. Escreva em notação de intervalo.

Responder

Ⓐ (f (0) = 0 ) ⓑ (f = ( pi2) = 2 ) ⓒ (f = (- 3 pi2) = 2 ) ⓓ (f (x) = 0 ) para (x = −2 pi, - pi, 0, pi, 2 pi ) ⓔ ((- 2 pi, 0), (- pi, 0), (0,0), ( pi, 0), (2 pi, 0) ) ⓕ (0,0) (0,0) ⓖ ([- 2 pi, 2 pi] ) ⓗ ([- 2,2 ] )

Exemplo ( PageIndex {27} )

Use o gráfico da função para encontrar os valores indicados.

Ⓐ Encontre: (f (0) ).
Ⓑ Encontre: (f ( pi) ).
Ⓒ Encontre: (f (- pi) ).
Ⓓ Encontre os valores para x quando (f (x) = 0 ).
Ⓔ Encontre o x-intercepts.
Ⓕ Encontre o y-intercepts.
Ⓖ Encontre o domínio. Escreva em notação de intervalo.

Responder

Ⓐ (f (0) = 1 ) ⓑ (f ( pi) = - 1 ) ⓒ (f (- pi) = - 1 ) ⓓ (f (x) = 0 ) para (x = −3 pi2, - pi2, pi2,3 pi2 ) ⓔ ((- 2pi, 0), (- pi, 0), (0,0), (pi, 0), (2pi, 0) ) ⓕ ((0,1) ) ⓖ ([- 2pi, 2pi] ) ⓗ ([- 1,1] )

Acesse este recurso online para instruções adicionais e prática com gráficos de funções.

  • Encontrar domínio e intervalo


Assista o vídeo: MATURA 2021 MATEMATYKA Odczytywanie własności funkcji z wykresu PEWNIAK funkcje (Outubro 2021).