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6.3: Fator de Produtos Especiais


objetivos de aprendizado

Ao final desta seção, você será capaz de:

  • Fatore trinômios quadrados perfeitos
  • Fator diferenças de quadrados
  • Fatorar somas e diferenças de cubos

Antes de começar, faça este teste de prontidão.

  1. Simplifique: ((3x ^ 2) ^ 3 ).
  2. Multiplique: ((m + 4) ^ 2 ).
  3. Multiplique: ((x − 3) (x + 3) ).

Vimos que alguns binômios e trinômios resultam de produtos especiais - binômios em quadratura e conjugados de multiplicação. Se você aprender a reconhecer esses tipos de polinômios, poderá usar os padrões de produtos especiais para fatorá-los com muito mais rapidez.

Factor Perfect Square Trinomials

Alguns trinômios são quadrados perfeitos. Eles resultam da multiplicação de um binômio pelo próprio tempo. Quadratamos um binomial usando o padrão dos quadrados binomiais em um capítulo anterior.

O trinômio (9x ^ 2 + 24x + 16 ) é chamado de trinômio quadrado perfeito. É o quadrado do binômio (3x + 4 ).

Neste capítulo, você começará com um trinômio quadrado perfeito e o fatorará em seu melhor fatores. Você poderia fatorar isso trinômio usando os métodos descritos na última seção, pois é da forma (ax ^ 2 + bx + c ). Mas se você reconhecer que o primeiro e o último termos são quadrados e o trinômio se ajusta ao padrão de trinômios quadrados perfeitos, você economizará muito trabalho. Aqui está o padrão - o reverso do padrão de quadrados binomiais.

PADRÃO TRINOMIAL QUADRADO PERFEITO

Se (a ) e (b ) forem números reais

[a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 = (a + b) ^ 2 não numérico ]

[a ^ 2−2ab + b ^ 2 = (a − b) ^ 2 nonumber ]

Para fazer uso desse padrão, você deve reconhecer que um determinado trinômio se ajusta a ele. Verifique primeiro se o coeficiente líder é um quadrado perfeito, (a ^ 2 ). Em seguida, verifique se o último termo é um quadrado perfeito, (b ^ 2 ). Em seguida, verifique o termo do meio - é o produto, (2ab )? Se tudo estiver certo, você pode escrever facilmente os fatores.

Exemplo ( PageIndex {1} ): Como fatorar trinômios quadrados perfeitos

Fator: (9x ^ 2 + 12x + 4 ).

Responder

Exemplo ( PageIndex {2} )

Fator: (4x ^ 2 + 12x + 9 ).

Responder

((2x + 3) ^ 2 )

Exemplo ( PageIndex {3} )

Fator: (9y ^ 2 + 24y + 16 ).

Responder

((3y + 4) ^ 2 )

O sinal do meio termo determina qual padrão usaremos. Quando o termo do meio é negativo, usamos o padrão (a ^ 2−2ab + b ^ 2 ), que fatora para ((a − b) ^ 2 ).

As etapas são resumidas aqui.

FACTOR PERFECT SQUARE TRINOMIALS

( begin {array} {lllll} textbf {Etapa 1.} & text {O trinômio se ajusta ao padrão?} & quad & hspace {7mm} a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 & hspace {7mm} a ^ 2−2ab + b ^ 2 & text {O primeiro e o último termos são quadrados perfeitos?} & Quad & & & text {Escreva-os como quadrados.} & Quad & hspace {5mm} (a) ^ 2 hspace {16mm} (b) ^ 2 & hspace {6mm} (a) ^ 2 hspace {16mm} (b) ^ 2 & text {Verifique o termo do meio . É} 2ab? & Quad & hspace {12mm} {,} ^ { searrow} {,} _ {2 · a · b} {,} ^ { swarrow} & hspace {12mm } {,} ^ { searrow} {,} _ {2 · a · b} {,} ^ { swarrow} textbf {Etapa 2.} & text {Escreva o quadrado do binômio .} & quad & hspace {13mm} (a + b) ^ 2 & hspace {13mm} (a − b) ^ 2 textbf {Etapa 3.} & text {Verifique por multiplicação.} & & & end {array} )

Vamos trabalhar um agora onde o meio termo é negativo.

Exemplo ( PageIndex {4} )

Fator: (81y ^ 2−72y + 16 ).

Responder

O primeiro e o último termos são quadrados. Veja se o meio termo se encaixa no padrão de um quadrado perfeito trinômio. O termo do meio é negativo, então o quadrado binomial seria ((a − b) ^ 2 ).

O primeiro e o último termos são quadrados perfeitos?
Verifique o meio termo.
Corresponde a ((a − b) ^ 2 )? sim.
Escreva como o quadrado de um binômio. ((9 y-4) ^ {2} )
Verifique multiplicando:

[(9y − 4) ^ 2 nonumber ] [(9y) ^ 2−2 · 9y · 4 + 4 ^ 2 nonumber ] [81y ^ 2−72y + 16 checkmark nonumber ]

Exemplo ( PageIndex {5} )

Fator: (64y ^ 2−80y + 25 ).

Responder

((8y − 5) ^ 2 )

Exemplo ( PageIndex {6} )

Fator: (16z ^ 2−72z + 81 ).

Responder

((4z − 9) ^ 2 )

O próximo exemplo será um trinômio quadrado perfeito com duas variáveis.

Exemplo ( PageIndex {7} )

Fator: (36x ^ 2 + 84xy + 49y ^ 2 ).

Responder
(36 x ^ {2} +84 x y + 49 y ^ {2} )
Teste cada termo para verificar o padrão.
Fator. ((6 x + 7 y) ^ {2} )
Verifique multiplicando.

[(6x + 7y) ^ 2 nonumber ] [(6x) ^ 2 + 2 · 6x · 7y + (7y) ^ 2 nonumber ] [36x ^ 2 + 84xy + 49y ^ 2 checkmark nonumber ]

Exemplo ( PageIndex {8} )

Fator: (49x ^ 2 + 84xy + 36y ^ 2 ).

Responder

((7x + 6y) ^ 2 )

Exemplo ( PageIndex {9} )

Fator: (64m ^ 2 + 112mn + 49n ^ 2 ).

Responder

((8m + 7n) ^ 2 )

Lembre-se de que o primeiro passo na fatoração é procurar o maior fator comum. Trinômios quadrados perfeitos podem ter um GCF em todos os três termos e deve ser considerado primeiro. E, às vezes, uma vez que o GCF foi fatorado, você reconhecerá um trinômio quadrado perfeito.

Exemplo ( PageIndex {10} )

Fator: (100x ^ 2y − 80xy + 16y ).

Responder
Existe um GCF? Sim, (4y ), então calcule.
Este é um trinômio quadrado perfeito?
Verifique o padrão.
Fator. (4 y (5 x-2) ^ {2} )
Lembre-se: mantenha o fator 4y no produto final.

Verificar:

[4y (5x − 2) ^ 2 não numérico ] [4y [(5x) 2−2 · 5x · 2 + 22] não numérico ]

[4y (25x2−20x + 4) nonumber ] 100x2y − 80xy + 16y checkmark ]

Exemplo ( PageIndex {11} )

Fator: (8x ^ 2y − 24xy + 18y ).

Responder

(2y (2x − 3) ^ 2 )

Exemplo ( PageIndex {12} )

Fator: (27p ^ 2q + 90pq + 75q ).

Responder

(3q (3p + 5) ^ 2 )

Diferenças de fator de quadrados

O outro produto especial que você viu no capítulo anterior foi o padrão Produto de Conjugados. Você usou isso para multiplicar dois binômios que eram conjugados. Aqui está um exemplo:

Uma diferença de fatores de quadrados para um produto de conjugados.

DIFERENÇA DE PADRÃO DE QUADRADOS

Se (a ) e (b ) forem números reais,

Lembre-se, “diferença” se refere à subtração. Portanto, para usar esse padrão, você deve ter certeza de que tem um binômio no qual dois quadrados estão sendo subtraídos.

Exemplo ( PageIndex {13} ): Como fatorar um trinômio usando a diferença de quadrados

Fator: (64y ^ 2−1 ).

Responder




Exemplo ( PageIndex {14} )

Fator: (121m ^ 2−1 ).

Responder

((11m − 1) (11m + 1) )

Exemplo ( PageIndex {15} )

Fator: (81y ^ 2−1 ).

Responder

((9y − 1) (9y + 1) )

DIFERENÇAS DE FATOR DE QUADRADOS.

( begin {array} {llll} textbf {Etapa 1.} & text {O binômio se ajusta ao padrão?} & qquad & hspace {5mm} a ^ 2 − b ^ 2 & text {Isso é uma diferença?} & Qquad & hspace {2mm} text {____ − ____} & text {Os termos primeiro e último são quadrados perfeitos?} & & textbf {Etapa 2.} & text {Escreva-os como quadrados.} & qquad & hspace {3mm} (a) ^ 2− (b) ^ 2 textbf {Etapa 3.} & text {Escreva o produto dos conjugados.} & qquad & (a − b) (a + b) textbf {Etapa 4.} & text {Verifique por multiplicação.} & & end {array} )

É importante lembrar que somas de quadrados não são fatoradas em um produto de binômios. Não há fatores binomiais que se multiplicam para obter a soma dos quadrados. Depois de remover qualquer GCF, a expressão (a ^ 2 + b ^ 2 ) é primo!

O próximo exemplo mostra variáveis ​​em ambos os termos.

Exemplo ( PageIndex {16} )

Fator: (144x ^ 2−49y ^ 2 ).

Responder

( begin {array} {lll} & quad & 144x ^ 2−49y ^ 2 text {Esta é uma diferença de quadrados? Sim.} & quad & (12x) ^ 2− (7y) ^ 2 text {Fatore como o produto dos conjugados.} & quad & (12x − 7y) (12x + 7y) text {Verifique multiplicando.} & quad & (12x − 7y) (12x + 7y) ) text {Verifique multiplicando.} & quad & & quad & & quad & hspace {14mm} (12x − 7y) (12x + 7y) & quad & hspace {21mm} 144x ^ 2−49y ^ 2 checkmark & ​​ quad & end {array} )

Exemplo ( PageIndex {17} )

Fator: (196m ^ 2−25n ^ 2 ).

Responder

((16m − 5n) (16m + 5n) )

Exemplo ( PageIndex {18} )

Fator: (121p ^ 2−9q ^ 2 ).

Responder

((11p − 3q) (11p + 3q) )

Como sempre, você deve procurar um fator comum primeiro, sempre que tiver uma expressão para fatorar. Às vezes, um fator comum pode "disfarçar" a diferença de quadrados e você não reconhecerá os quadrados perfeitos até fatorar o GCF.

Além disso, para fatorar completamente o binômio no próximo exemplo, vamos fatorar uma diferença de quadrados duas vezes!

Exemplo ( PageIndex {19} )

Fator: (48x ^ 4y ^ 2−243y ^ 2 ).

Responder

( begin {array} {ll} & 48x ^ 4y ^ 2−243y ^ 2 text {Existe um GCF? Sim,} 3y ^ 2 text {—fatorar!} & 3y ^ 2 (16x ^ 4−81) text {O binômio é uma diferença de quadrados? Sim.} & 3y ^ 2 left ((4x ^ 2) ^ 2− (9) ^ 2 right) text {Fator como um produto dos conjugados.} & 3y ^ 2 (4x ^ 2−9) (4x ^ 2 + 9) text {Observe que o primeiro binômio também é uma diferença de quadrados!} & 3y ^ 2 ((2x) ^ 2− ( 3) ^ 2) (4x ^ 2 + 9) text {Fatore como o produto dos conjugados.} & 3y ^ 2 (2x − 3) (2x + 3) (4x ^ 2 + 9) end {array } )

O último fator, a soma dos quadrados, não pode ser fatorado.

( begin {array} {l} text {Verifique multiplicando:} hspace {10mm} 3y ^ 2 (2x − 3) (2x + 3) (4x ^ 2 + 9) hspace {15mm} 3y ^ 2 (4x ^ 2−9) (4x ^ 2 + 9) hspace {20mm} 3y ^ 2 (16x ^ 4−81) hspace {19mm} 48x ^ 4y ^ 2−243y ^ 2 checkmark end {array} )

Exemplo ( PageIndex {20} )

Fator: (2x ^ 4y ^ 2−32y ^ 2 ).

Responder

(2y ^ 2 (x − 2) (x + 2) (x ^ 2 + 4) )

Exemplo ( PageIndex {21} )

Fator: (7a ^ 4c ^ 2−7b ^ 4c ^ 2 ).

Responder

(7c ^ 2 (a − b) (a + b) (a ^ 2 + b ^ 2) )

O próximo exemplo possui um polinômio com 4 termos. Até agora, quando isso ocorreu, agrupamos os termos em dois e fatorados a partir daí. Aqui, notaremos que os três primeiros termos formam um trinômio quadrado perfeito.

Exemplo ( PageIndex {22} )

Fator: (x ^ 2−6x + 9 − y ^ 2 ).

Responder

Observe que os primeiros três termos formam um trinômio quadrado perfeito.

Fatore agrupando os três primeiros termos.
Use o padrão trinomial quadrado perfeito. ((x-3) ^ {2} -y ^ {2} )
Isso é uma diferença de quadrados? sim.
Sim - escreva-os como quadrados.
Fator como o produto de conjugados.
((x-3-y) (x-3 + y) )

Você pode querer reescrever a solução como ((x − y − 3) (x + y − 3) ).

Exemplo ( PageIndex {23} )

Fator: (x ^ 2−10x + 25 − y ^ 2 ).

Responder

((x − 5 − y) (x − 5 + y) )

Exemplo ( PageIndex {24} )

Fator: (x ^ 2 + 6x + 9−4y ^ 2 ).

Responder

((x + 3−2y) (x + 3 + 2y) )

Soma de fatores e diferenças de cubos

Existe outro padrão especial para fatoração, que não usamos quando multiplicamos polinômios. Este é o padrão de soma e diferença de cubos. Vamos escrever essas fórmulas primeiro e depois verificá-las por multiplicação.

[a ^ 3 + b ^ 3 = (a + b) (a ^ 2 − ab + b ^ 2 não numérico ]

[a ^ 3 − b ^ 3 = (a − b) (a ^ 2 + ab + b ^ 2) nonumber ]

Vamos verificar o primeiro padrão e deixar o segundo para você.

( color {red} (a + b) color {black} left (a ^ {2} -a b + b ^ {2} right) )
Distribuir. ( color {red} a color {black} left (a ^ {2} -a b + b ^ {2} right) + color {red} b color {black} left (a ^ {2} -a b + b ^ {2} right) )
Multiplicar. (a ^ {3} -a ^ {2} b + a b ^ {2} + a ^ {2} b-a b ^ {2} + b ^ {3} )
Combine termos semelhantes. (a ^ {3} + b ^ {3} )

SOMA E DIFERENÇA DE PADRÃO DE CUBOS

[a ^ 3 + b ^ 3 = (a + b) (a ^ 2 − ab + b ^ 2 não numérico ] [a ^ 3 − b ^ 3 = (a − b) (a ^ 2 + ab + b ^ 2) nonumber ]

Os dois padrões são muito semelhantes, não é? Mas observe os sinais nos fatores. O sinal do fator binomial corresponde ao sinal do binomial original. E o sinal do meio termo do fator trinomial é o oposto do sinal no binômio original. Se você reconhecer o padrão dos sinais, isso pode ajudá-lo a memorizar os padrões.

O fator trinomial na soma e diferença do padrão de cubos não pode ser fatorado.

Será muito útil se você aprender a reconhecer os cubos dos inteiros de 1 a 10, assim como você aprendeu a reconhecer os quadrados. Listamos os cubos dos inteiros de 1 a 10 em Tabela.

n12345678910
(n ^ 3 )1827641252163435127291000

Exemplo ( PageIndex {25} ): Como fatorar a soma ou diferença dos cubos

Fator: (x ^ 3 + 64 ).

Responder

Exemplo ( PageIndex {26} )

Fator: (x ^ 3 + 27 ).

Responder

((x + 3) (x ^ 2−3x + 9) )

Exemplo ( PageIndex {27} )

Fator: (y ^ 3 + 8 ).

Responder

((y + 2) (y ^ 2−2y + 4) )

FATOR A SOMA OU DIFERENÇA DOS CUBOS.

  1. O binômio se ajusta à soma ou diferença do padrão de cubos?
    É uma soma ou diferença?
    O primeiro e o último termos são cubos perfeitos?
  2. Escreva-os como cubos.
  3. Use a soma ou diferença do padrão de cubos.
  4. Simplifique dentro dos parênteses.
  5. Verifique multiplicando os fatores.

Exemplo ( PageIndex {28} )

Fator: (27u ^ 3−125v ^ 3 ).

Responder
Esse binômio é uma diferença. O primeiro e último
termos são cubos perfeitos.
Escreva os termos como cubos.
Use a diferença do padrão de cubos.
Simplificar.
Verifique multiplicando.Vamos deixar o cheque para você.

Exemplo ( PageIndex {29} )

Fator: (8x ^ 3−27y ^ 3 ).

Responder

((2x − 3y) (4x ^ 2−6xy + 9y ^ 2) )

Exemplo ( PageIndex {30} )

Fator: (1000m ^ 3−125n ^ 3 ).

Responder

((10m − 5n) (100m ^ 2−50mn + 25n ^ 2) )

No próximo exemplo, primeiro fatoramos o GCF. Então podemos reconhecer a soma dos cubos.

Exemplo ( PageIndex {31} )

Fator: (6x ^ 3y + 48y ^ 4 ).

Responder
(6 x ^ {3} y + 48 y ^ {4} )
Fatore o fator comum. (6 y left (x ^ {3} +8 y ^ {3} right) )
Este binômio é uma soma O primeiro e o último
termos são cubos perfeitos.
Escreva os termos como cubos.
Use o padrão de soma de cubos.
Simplificar.

Verificar:

Para verificar, você pode achar mais fácil multiplicar a soma dos fatores de cubos primeiro e, em seguida, multiplicar esse produto por 6y.6y. Vamos deixar a multiplicação para você.

Exemplo ( PageIndex {32} )

Fator: (500p ^ 3 + 4q ^ 3 ).

Responder

(4 (5p + q) (25p ^ 2−5pq + q ^ 2) )

Exemplo ( PageIndex {33} )

Fator: (432c ^ 3 + 686d ^ 3 ).

Responder

(2 (6c + 7d) (36c ^ 2−42cd + 49d ^ 2) )

O primeiro termo no próximo exemplo é um binômio ao cubo.

Exemplo ( PageIndex {34} )

Fator: ((x + 5) ^ 3−64x ^ 3 ).

Responder
Esse binômio é uma diferença. O primeiro e
os últimos termos são cubos perfeitos.
Escreva os termos como cubos.
Use a diferença do padrão de cubos.
Simplificar.
Verifique multiplicando.Vamos deixar o cheque para você.

Exemplo ( PageIndex {35} )

Fator: ((y + 1) ^ 3−27y ^ 3 ).

Responder

((- 2y + 1) (13y ^ 2 + 5y + 1) )

Exemplo ( PageIndex {36} )

Fator: ((n + 3) ^ 3−125n ^ 3 ).

Responder

((- 4n + 3) (31n ^ 2 + 21n + 9) )

Acesse este recurso online para obter instruções adicionais e prática com produtos especiais de factoring.

  • Binômios de fatoração-cubos # 2

Conceitos chave

  • Padrão de trinômios quadrados perfeitos: Se uma e b são números reais,

    [ begin {array} {l} a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 = (a + b) ^ 2 a ^ 2−2ab + b ^ 2 = (a − b) ^ 2 end {array } enhum número]

  • Como fatorar trinômios quadrados perfeitos.
    ( begin {array} {lllll} textbf {Etapa 1.} & text {O trinômio se ajusta ao padrão?} & quad & hspace {7mm} a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 & hspace {7mm} a ^ 2−2ab + b ^ 2 & text {O primeiro e o último termos são quadrados perfeitos?} & Quad & & & text {Escreva-os como quadrados.} & Quad & hspace {5mm} (a) ^ 2 hspace {16mm} (b) ^ 2 & hspace {6mm} (a) ^ 2 hspace {16mm} (b) ^ 2 & text {Verifique o termo do meio . É} 2ab? & Quad & hspace {12mm} {,} ^ { searrow} {,} _ {2 · a · b} {,} ^ { swarrow} & hspace {12mm } {,} ^ { searrow} {,} _ {2 · a · b} {,} ^ { swarrow} textbf {Etapa 2.} & text {Escreva o quadrado do binômio .} & quad & hspace {13mm} (a + b) ^ 2 & hspace {13mm} (a − b) ^ 2 textbf {Etapa 3.} & text {Verifique por multiplicação.} & & & end {array} )
  • Diferença de padrões de quadrados: Se a, ba, b forem números reais,
  • Como fatorar diferenças de quadrados.
    ( begin {array} {llll} textbf {Etapa 1.} & text {O binômio se ajusta ao padrão?} & qquad & hspace {5mm} a ^ 2 − b ^ 2 & text {Isso é uma diferença?} & Qquad & hspace {2mm} text {____ − ____} & text {Os termos primeiro e último são quadrados perfeitos?} & & textbf {Etapa 2.} & text {Escreva-os como quadrados.} & qquad & hspace {3mm} (a) ^ 2− (b) ^ 2 textbf {Etapa 3.} & text {Escreva o produto dos conjugados.} & qquad & (a − b) (a + b) textbf {Etapa 4.} & text {Verifique por multiplicação.} & & end {array} )
  • Soma e diferença do padrão de cubos
    ( begin {array} {l} a ^ 3 + b3 = (a + b) (a ^ 2 − ab + b ^ 2) a ^ 3 − b ^ 3 = (a − b) (a ^ 2 + ab + b ^ 2) end {array} )
  • Como fatorar a soma ou diferença de cubos.
    1. O binômio se ajusta à soma ou diferença do padrão de cubos?
      É uma soma ou diferença?
      O primeiro e o último termos são cubos perfeitos?
    2. Escreva-os como cubos.
    3. Use a soma ou diferença do padrão de cubos.
    4. Simplifique dentro dos parênteses
    5. Verifique multiplicando os fatores.

6.3: Fator de Produtos Especiais

Um trinômio quadrado perfeito é um trinômio que pode ser escrito como o quadrado de um binômio. Lembre-se de que quando um binômio é elevado ao quadrado, o resultado é o quadrado do primeiro termo adicionado ao dobro do produto dos dois termos e o quadrado do último termo.

Podemos usar esta equação para fatorar qualquer trinômio quadrado perfeito.

Uma nota geral: trinômios quadrados perfeitos

Um trinômio quadrado perfeito pode ser escrito como o quadrado de um binômio:

Como: Dado um trinômio quadrado perfeito, fatore-o no quadrado de um binômio.

  1. Confirme se o primeiro e o último termo são quadrados perfeitos.
  2. Confirme se o termo do meio é duas vezes o produto de [latex] ab [/ latex].
  3. Escreva a forma fatorada como [latex] < left (a + b right)> ^ <2> [/ latex].

Exemplo 4: Fatorando um Trinomial de Quadrado Perfeito

Solução

Observe que [latex] 25^ <2> [/ latex] e [latex] 4 [/ latex] são quadrados perfeitos porque [latex] 25^ <2> = < left (5x right)> ^ <2> [/ latex] e [latex] 4 = <2> ^ <2> [/ latex]. Em seguida, verifique se o termo do meio é duas vezes o produto de [latex] 5x [/ latex] e [latex] 2 [/ latex]. O termo do meio é, de fato, o dobro do produto: [latex] 2 left (5x right) left (2 right) = 20x [/ latex]. Portanto, o trinômio é um trinômio quadrado perfeito e pode ser escrito como [latex] < left (5x + 2 right)> ^ <2> [/ latex].

Experimente 4


Fator Produtos Especiais

Vimos que alguns binômios e trinômios resultam de produtos especiais - binômios em quadratura e conjugados de multiplicação. Se você aprender a reconhecer esses tipos de polinômios, poderá usar os padrões de produtos especiais para fatorá-los com muito mais rapidez.

Factor Perfect Square Trinomials

Alguns trinômios são quadrados perfeitos. Eles resultam da multiplicação de um binômio pelo próprio tempo. Quadratamos um binomial usando o padrão dos quadrados binomiais em um capítulo anterior.

O trinômio 9 x 2 + 24 x + 16

é chamado de trinômio quadrado perfeito. É o quadrado do binômio 3 x + 4.

Neste capítulo, você começará com um trinômio quadrado perfeito e o fatorará em seu melhor fatores.

Você poderia fatorar isso trinômio usando os métodos descritos na última seção, pois é da forma a x 2 + b x + c.

Mas se você reconhecer que o primeiro e o último termos são quadrados e o trinômio se ajusta ao padrão perfeito de trinômios quadrados, você economizará muito trabalho.

Aqui está o padrão - o reverso do padrão de quadrados binomiais.

Se uma e b são números reais

Para fazer uso desse padrão, você deve reconhecer que um determinado trinômio se ajusta a ele. Verifique primeiro se o coeficiente líder é um quadrado perfeito, a 2.

Em seguida, verifique se o último termo é um quadrado perfeito, b 2.

Em seguida, verifique o termo do meio - é o produto, 2 a b?

Se tudo estiver certo, você pode escrever facilmente os fatores.

O sinal do meio termo determina qual padrão usaremos. Quando o termo do meio é negativo, usamos o padrão a 2 - 2 a b + b 2,

quais fatores para (a - b) 2.

As etapas são resumidas aqui.

Vamos trabalhar um agora onde o meio termo é negativo.

O primeiro e o último termos são quadrados. Veja se o meio termo se encaixa no padrão de um quadrado perfeito trinômio. O termo do meio é negativo, então o quadrado binomial seria (a - b) 2.

O primeiro e o último termos são quadrados perfeitos?
Verifique o meio termo.
Corresponde a (a - b) 2? sim.
Escreva como o quadrado de um binômio.
Verifique multiplicando: (9 y - 4) 2 (9 y) 2 - 2 · 9 y · 4 + 4 2 81 y 2 - 72 y + 16 ✓

O próximo exemplo será um trinômio quadrado perfeito com duas variáveis.

Fator: 36 x 2 + 84 x y + 49 y 2.

Teste cada termo para verificar o padrão.
Fator.
Verifique multiplicando. (6 x + 7 y) 2 (6 x) 2 + 2 · 6 x · 7 y + (7 y) 2 36 x 2 + 84 x y + 49 y 2 ✓

Fator: 49 x 2 + 84 x y + 36 y 2.

Fator: 64 m 2 + 112 m n + 49 n 2.

Lembre-se de que o primeiro passo na fatoração é procurar o maior fator comum. Trinômios quadrados perfeitos podem ter um GCF em todos os três termos e deve ser considerado primeiro. E, às vezes, uma vez que o GCF foi fatorado, você reconhecerá um trinômio quadrado perfeito.

Fator: 100 x 2 y - 80 x y + 16 y.

Existe um GCF? Sim, 4 anos,

então considere isso. | | <: valign = ”top”> | Este é um trinômio quadrado perfeito? | | <: valign = ”top”> | Verifique o padrão. | | <: valign = ”top”> | Fator. | | <: valign = ”top”>

Lembre-se: mantenha o fator 4y no produto final.

4 y (5 x - 2) 2 4 y [(5 x) 2 - 2 · 5 x · 2 + 2 2] 4 y (25 x 2 - 20 x + 4) 100 x 2 y - 80 xy + 16 y ✓

Fator: 8 x 2 y - 24 x y + 18 y.

Fator: 27 p 2 q + 90 p q + 75 q.

Diferenças de fator de quadrados

O outro produto especial que você viu no capítulo anterior foi o padrão Produto de Conjugados. Você usou isso para multiplicar dois binômios que eram conjugados. Aqui está um exemplo:

Uma diferença de fatores de quadrados para um produto de conjugados.

Se uma e b são números reais,

Lembre-se de que “diferença” se refere à subtração. Portanto, para usar esse padrão, você deve ter certeza de que tem um binômio no qual dois quadrados estão sendo subtraídos.

É importante lembrar que somas de quadrados não são fatoradas em um produto de binômios. Não há fatores binomiais que se multiplicam para obter a soma dos quadrados. Depois de remover qualquer GCF, a expressão a 2 + b 2

O próximo exemplo mostra variáveis ​​em ambos os termos.

Como sempre, você deve procurar um fator comum primeiro, sempre que tiver uma expressão para fatorar. Às vezes, um fator comum pode "disfarçar" a diferença de quadrados e você não reconhecerá os quadrados perfeitos até fatorar o GCF.

Além disso, para fatorar completamente o binômio no próximo exemplo, vamos fatorar uma diferença de quadrados duas vezes!

Fator: 48 x 4 y 2 - 243 y 2.

O último fator, a soma dos quadrados, não pode ser fatorado.

Verifique multiplicando: 3 y 2 (2 x - 3) (2 x + 3) (4 x 2 + 9) 3 y 2 (4 x 2 - 9) (4 x 2 + 9) 3 y 2 (16 x 4 - 81) 48 x 4 y 2 - 243 y 2 ✓

Fator: 7 a 4 c 2 - 7 b 4 c 2.

O próximo exemplo possui um polinômio com 4 termos. Até agora, quando isso ocorreu, agrupamos os termos em dois e fatorados a partir daí. Aqui, notaremos que os três primeiros termos formam um trinômio quadrado perfeito.

Observe que os primeiros três termos formam um trinômio quadrado perfeito.

| | | <: valign = ”top”> | Fatore agrupando os três primeiros termos. | | <: valign = ”top”> | Use o padrão trinomial quadrado perfeito. | | <: valign = ”top”> | Isso é uma diferença de quadrados? sim. | | <: valign = ”top”> | Sim - escreva-os como quadrados. | | <: valign = ”top”> | Fator como o produto de conjugados. | | <: valign = ”top”> | | | <: valign = ”top”>

Você pode reescrever a solução como (x - y - 3) (x + y - 3).

Fator: x 2 - 10 x + 25 - y 2.

Fator: x 2 + 6 x + 9 - 4 y 2.

Soma de fatores e diferenças de cubos

Existe outro padrão especial para fatoração, que não usamos quando multiplicamos polinômios. Este é o padrão de soma e diferença de cubos. Vamos escrever essas fórmulas primeiro e depois verificá-las por multiplicação.

Vamos verificar o primeiro padrão e deixar o segundo para você.

| | | <: valign = ”top”> | Distribuir. | | <: valign = ”top”> | Multiplicar. | | <: valign = ”top”> | Combine termos semelhantes. | | <: valign = ”top”>

Os dois padrões são muito semelhantes, não é? Mas observe os sinais nos fatores. O sinal do fator binomial corresponde ao sinal do binomial original. E o sinal do meio termo do fator trinomial é o oposto do sinal no binômio original. Se você reconhecer o padrão dos sinais, isso pode ajudá-lo a memorizar os padrões.

O fator trinomial na soma e diferença do padrão de cubos não pode ser fatorado.

Será muito útil se você aprender a reconhecer os cubos dos inteiros de 1 a 10, assim como você aprendeu a reconhecer os quadrados. Listamos os cubos dos inteiros de 1 a 10 em [link].

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
———-
n 3

| 1 8 27 64 125 216 343 512 | 729 1000 <: valign = ”top”>


Fator polinômios usando produtos especiais

Você identifica produtos especiais por seus valores se for um quadrado ou cubos perfeitos.

Explicação:

A diferença de dois quadrados é: # x ^ 2 - y ^ 2 = (x + y) (x - y) #

Existe uma única fórmula que se refere à "diferença de quadrados":

Se usarmos FOIL, podemos provar isso. O método de diferença de quadrados se refere a fazer algo como o seguinte:

# x ^ 2 -1 = (x - 1) (x + 1) #
# x ^ 2 - 4 = (x-2) (x + 2) #

Ou mesmo a dupla aplicação aqui
# x ^ 4 - 16 = (x ^ 2) ^ 2 - 4 ^ 2 = (x ^ 2 - 4) (x ^ 2 + 4) = (x-2) (x + 2) (x ^ 2 + 4 ) #

Procure números que sejam quadrados perfeitos ou cubos perfeitos.
Existem muitos produtos especiais em factoring. Três dos mais conhecidos são
# (x + y) ^ 2 = x ^ 2 + 2xy + y ^ 2 #
e
# (x − y) ^ 2 = x-2xy + y ^ 2 #
e
# (x + y) (x − y) = x ^ 2 − y ^ 2 #

Dois menos conhecidos são
# x ^ 3 + y ^ 3 = (x + y) (x ^ 2 − xy + y ^ 2) #
e
# x ^ 3 − y ^ 3 = (x − y) (x ^ 2 + xy − y ^ 2) #
Observe que, em um problema real, x e y podem ser qualquer número ou variável. Espero que tenha ajudado!


Fatores monomiais comuns, produtos especiais de fatoração e polinômios de fatoração

& emsp & emsp 9 ^ 5/9 ^ 2 == 9 ^ 3 & emsp & emsp x ^ 7 / x ^ 2 == x ^ 5 & emsp & emsp y ^ 3 / y ^ 3 == 1/1=1

& emsp & emsp Se a for um número inteiro diferente de zero en são números inteiros com n & gt = m, então

& emsp & emsp Discutiremos essa fórmula com mais detalhes no Capítulo 6.

& emsp & emspEncontre os quocientes a seguir.

& emsp & emspPor pensar em ab + ac como um produto, podemos encontrar fatores de ab + ac usando a propriedade distributiva no sentido inverso, como

& emsp & emspUm fator é aeo outro fator é b + c.
& emsp & emspAplicando este mesmo raciocínio para 2x ^ 2 + 6x dá

& emsp & emspNote que 2x se dividirá em cada termo do polinômio 2x ^ 2 + 6x Ou seja,

& emsp & emsp Encontrar o fator monoinial comum em um polinômio significa escolher o monômio com o grau mais alto e o maior coeficiente inteiro que se dividirá em cada termo do polinômio. Este monômio será um fator e a soma dos vários quocientes será o outro fator. Por exemplo, fator

& emsp & emspOn inspeção, 6x ^ 3 será dividido em cada termo e

& emsp & emspCom a prática, todo esse trabalho pode ser feito mentalmente.

& emsp & emspFactor o maior monômio comum em cada polinômio.

& emsp & emspSe todos os termos forem negativos ou se o termo principal (o termo de grau mais alto) for negativo, geralmente fatoraremos um monômio comum negativo, como no Exemplo 3. Isso deixará um coeficiente positivo para o primeiro termo entre parênteses.

& emsp & emspAll fatoração pode ser verificada multiplicando desde que o produto dos fatores deve ser o polinômio original.

O polinômio & emsp & emspA pode estar em mais de uma variável. Por exemplo, 5x ^ 2y + 10xy ^ 2 está nas duas variáveis ​​x e y. Assim, um fator monomial comum pode ter mais de uma variável.

Vamos ver como nosso solucionador matemático simplifica este e outros problemas semelhantes. Clique no botão "Solve Similar" para ver mais exemplos.

5.2 & emsp & emspFactoring Produtos Especiais

& emsp & emspNa Seção 4.4, discutimos os seguintes produtos especiais de binômios

& emsp & emspII. (x + a) (x-a) = x ^ 2-a ^ 2 & emsp & emspdiferença de dois quadrados
& emsp & emspIII. (x + a) ^ 2 = x ^ 2 + 2ax + a ^ 2 & emsp & emspperfect quadrado trinômio

& emsp & emspIV. (x-a) ^ 2 = x ^ 2-2ax + a ^ 2 & emsp & emspperfect quadrado trinômio

& emsp & emspSe conhecermos o polinômio do produto, digamos x ^ 2 + 9x + 20, podemos encontrar os fatores invertendo o procedimento. Por ter memorizado todas as quatro formas, reconhecemos x ^ 2 + 9x + 20 como na forma I. Precisamos saber os fatores de 20 que somados são 9. Eles são 5 e 4 porque 5 * 4 = 20 e 5 + 4 = 9. Então, usando o formulário I,

& emsp & emspSe o polinômio é a diferença de dois quadrados, sabemos pela forma II que os fatores são a soma e a diferença dos termos que foram ao quadrado.

& emsp & emspSe o polinômio é um trinômio quadrado perfeito, o último termo deve ser um quadrado perfeito e o coeficiente do meio deve ser duas vezes o termo que foi ao quadrado. (Observação: estamos assumindo aqui que o coeficiente de x ^ 2 é 1. O caso em que o coeficiente não é 1 será abordado na Seção 5.3.) Usando a forma III e a forma IV,

& emsp & emspReconhecer a forma do polinômio é a chave para a fatoração. Às vezes, a forma pode ser disfarçada por um fator monomial comum ou por uma reorganização dos termos. Sempre procure um fator monomial comum primeiro. Por exemplo,

& emsp & emsp 5x ^ 2y-20y = 5y (x ^ 2-4) & emsp & emspfactoring o monômio comum 5y

& emsp & emspFatore cada um dos polinômios a seguir completamente.

& emsp & emsp Relacionado especificamente com a comercialização de produtos especiais está o procedimento de preenchimento do quadrado. Este procedimento envolve adicionar um termo quadrado a um binômio de modo que o trinômio resultante seja um trinômio quadrado perfeito, portanto, & ldquocompletar o quadrado. & Rdquo Por exemplo,

& emsp & emspO coeficiente do meio, 10, é o dobro do número que deve ser elevado ao quadrado. Então, pegando metade desse coeficiente e elevando o resultado ao quadrado, teremos a constante ausente.

5.3 & emsp & emspMore sobre polinômios de fatoração

& emsp & emsp Usando o método FOIL de multiplicação discutido na Seção 4.4, podemos encontrar o produto

& emsp & emsp

& emsp & emspF: o produto dos primeiros dois termos é 6x ^ 2.

& emsp & emsp a soma dos produtos internos e externos é 17x.

& emsp & emspL: o produto dos dois últimos termos é 5.

& emsp & emspPara fatorar o trinômio 6x ^ 2 + 31x + 5 como um produto de dois binômios, sabemos que o produto dos primeiros dois termos deve ser 6x ^ 2. Por tentativa e erro, tentamos todas as combinações de fatores de 6x ^ 2, ou seja, 6x e x ou 3x e 2x, junto com os fatores de 5. Isso garantirá que o primeiro produto, F, e o último produto, L, estejam corretos.

& emsp & emspNow, para essas possibilidades, precisamos verificar as somas dos produtos internos e externos para encontrar 31x.

& emsp & emspa. & emsp & emsp 15 + 2x = 17x

& emsp & emspb. & emsp & emsp 3x + 10x = 13x

& emsp & emspc. & emsp & emsp 30x + x = 31x

& emsp & emsp Encontramos a combinação correta de fatores, portanto, não precisamos tentar (6x + 5) (x + 1). Então,

& emsp & emspCom a prática, as somas internas e externas podem ser encontradas mentalmente e muito tempo pode ser economizado, mas o método ainda é basicamente tentativa e erro.

& emsp & emsp & emspComo o termo do meio é -31x e a constante é +5, sabemos que os dois fatores de 5 devem ser -5 e -1.

& emsp & emsp 6x ^ 2-31x + 5 =& emsp & emsp -30x-x = -31x

& emsp & emsp2. Fatore 2x ^ 2 + 12x + 10 completamente.

& emsp & emsp & emsp 2x ^ 3 + 12x + 10 = 2 (x ^ 2 + 6x + 5) & emsp & emspFirst encontre qualquer fator monomial comum.

& emsp & emsp & emsp =& emsp & emsp x + 5x = 6x

& emsp & emspSpecial Nota: Fatorar completamente significa encontrar fatores do polinômio, nenhum dos quais é fatorável. Assim, 2x ^ 2 + 12x + 10 = (2x + 10) (x + 1) não é fatorado completamente, pois 2x + 10 = 2 (x + 5). Poderíamos escrever

& emsp & emspEncontrar primeiro o maior fator monomial comum geralmente torna o problema mais fácil. O método de tentativa e erro pode parecer difícil no início, mas com a prática você aprenderá a & ldquoguar & rdquo melhor e a eliminar certas combinações rapidamente. Por exemplo, para fatorar 10x ^ 2 + x-2, usamos 10x e x ou 5x e 2x e para -2, usamos -2 e +1 ou +2 e -1? Os termos 5x e 2x são candidatos mais prováveis, pois estão mais próximos do que 10x e xe o termo do meio é pequeno, 1x. Então,

& emsp & emsp (5x-1) (2x + 2) & emsp & emsp + 10x-2x = 8x & emsp & emsprejeitar

& emsp & emspNem todos os polinômios são fatoráveis. Por exemplo, não importa quais combinações tentemos, 3x ^ 2 - 3x + 4 não terá dois fatores binomiais com coeficientes inteiros. Este polinômio é irredutível e não pode ser fatorado como um produto de polinômios com coeficientes inteiros.
Um polinômio irredutível importante é a soma de dois quadrados, a ^ 2 + b ^ 2. Por exemplo, x ^ 2 + 4 é irredutível. Não há fatores com coeficientes inteiros cujo produto é x ^ 2 + 4.

& emsp & emspFator completamente. Procure primeiro o maior fator monomial comum.

& emsp & emspFatorar polinômios com quatro termos às vezes pode ser realizado usando a lei distributiva, como nos exemplos a seguir.

& emsp & emspExperimente fatorar -5 em vez de +5 dos dois últimos termos.

Vamos ver como nosso solucionador matemático resolve este e outros problemas semelhantes. Clique no botão "Solve Similar" para ver mais exemplos.


Fatorando um Trinomial Quadrado Perfeito

Um trinômio quadrado perfeito é um trinômio que pode ser escrito como o quadrado de um binômio.Lembre-se de que quando um binômio é elevado ao quadrado, o resultado é o quadrado do primeiro termo adicionado ao dobro do produto dos dois termos e o quadrado do último termo.

Uma nota geral: trinômios quadrados perfeitos

Um trinômio quadrado perfeito pode ser escrito como o quadrado de um binômio:

No exemplo a seguir, mostraremos como definir aeb para que você possa usar o atalho.

Exemplo

Primeiro, observe que [látex] 25^ <2> [/ latex] e [latex] 4 [/ latex] são quadrados perfeitos porque [latex] 25^ <2> = < left (5x right)> ^ <2> [/ latex] e [latex] 4 = <2> ^ <2> [/ latex].

Isso significa que [latex] a = 5x text b = 2 [/ latex]

Em seguida, verifique se o termo do meio é igual a [latex] 2ab [/ latex], que é:

Portanto, o trinômio é um trinômio quadrado perfeito e pode ser escrito como [latex] < left (a + b right)> ^ <2> = < left (5x + 2 right)> ^ <2> [/ látex].

No próximo exemplo, mostraremos que podemos usar [latex] 1 = 1 ^ 2 [/ latex] para fatorar um polinômio com um termo igual a [latex] 1 [/ latex].

Exemplo

Primeiro, observe que [látex] 49^ <2> [/ latex] e [latex] 1 [/ latex] são quadrados perfeitos porque [latex] 49^ <2> = < left (7x right)> ^ <2> [/ latex] e [latex] 1 = <1> ^ <2> [/ latex].

Isso significa que [latex] a = 7x [/ latex] e [latex] b = 1 [/ latex].

Em seguida, verifique se o termo do meio é igual a [latex] 2ab [/ latex], que é:

Portanto, o trinômio é um trinômio quadrado perfeito e pode ser escrito como [latex] < left (ab right)> ^ <2> = < left (7x-1 right)> ^ <2> [/ latex] .

No vídeo a seguir, fornecemos outra breve descrição do que é um trinômio quadrado perfeito e mostramos como fatorá-los usando uma fórmula.

Podemos resumir nosso processo da seguinte maneira:

Como: Dado um trinômio quadrado perfeito, fatore-o no quadrado de um binômio

  1. Confirme se o primeiro e o último termo são quadrados perfeitos.
  2. Confirme se o termo do meio é duas vezes o produto de [latex] ab [/ latex].
  3. Escreva a forma fatorada como [latex] < left (a + b right)> ^ <2> [/ latex] ou [latex] < left (a-b right)> ^ <2> [/ latex].

Tabela de fatores e múltiplos

Aqui estão os fatores (não incluindo negativos) e alguns múltiplos de 1 a 100:

Fatores Múltiplos
11 2345678910
1, 22 468101214161820
1, 33 6912151821242730
1, 2, 44 81216202428323640
1, 55 101520253035404550
1, 2, 3, 66 121824303642485460
1, 77 142128354249566370
1, 2, 4, 88 162432404856647280
1, 3, 99 182736455463728190
1, 2, 5, 1010 2030405060708090100
1, 1111 2233445566778899110
1, 2, 3, 4, 6, 1212 24364860728496108120
1, 1313 263952657891104117130
1, 2, 7, 1414 284256708498112126140
1, 3, 5, 1515 3045607590105120135150
1, 2, 4, 8, 1616 3248648096112128144160
1, 1717 34516885102119136153170
1, 2, 3, 6, 9, 1818 36547290108126144162180
1, 1919 38577695114133152171190
1, 2, 4, 5, 10, 2020 406080100120140160180200
1, 3, 7, 2121 426384105126147168189210
1, 2, 11, 2222 446688110132154176198220
1, 2323 466992115138161184207230
1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 2424 487296120144168192216240
1, 5, 2525 5075100125150175200225250
1, 2, 13, 2626 5278104130156182208234260
1, 3, 9, 2727 5481108135162189216243270
1, 2, 4, 7, 14, 2828 5684112140168196224252280
1, 2929 5887116145174203232261290
1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 3030 6090120150180210240270300
1, 3131 6293124155186217248279310
1, 2, 4, 8, 16, 3232 6496128160192224256288320
1, 3, 11, 3333 6699132165198231264297330
1, 2, 17, 3434 68102136170204238272306340
1, 5, 7, 3535 70105140175210245280315350
1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 3636 72108144180216252288324360
1, 3737 74111148185222259296333370
1, 2, 19, 3838 76114152190228266304342380
1, 3, 13, 3939 78117156195234273312351390
1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 4040 80120160200240280320360400
1, 4141 82123164205246287328369410
1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 4242 84126168210252294336378420
1, 4343 86129172215258301344387430
1, 2, 4, 11, 22, 4444 88132176220264308352396440
1, 3, 5, 9, 15, 4545 90135180225270315360405450
1, 2, 23, 4646 92138184230276322368414460
1, 4747 94141188235282329376423470
1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 4848 96144192240288336384432480
1, 7, 4949 98147196245294343392441490
1, 2, 5, 10, 25, 5050 100150200250300350400450500
1, 3, 17, 5151 102153204255306357408459510
1, 2, 4, 13, 26, 5252 104156208260312364416468520
1, 5353 106159212265318371424477530
1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 5454 108162216270324378432486540
1, 5, 11, 5555 110165220275330385440495550
1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 5656 112168224280336392448504560
1, 3, 19, 5757 114171228285342399456513570
1, 2, 29, 5858 116174232290348406464522580
1, 5959 118177236295354413472531590
1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 6060 120180240300360420480540600
1, 6161 122183244305366427488549610
1, 2, 31, 6262 124186248310372434496558620
1, 3, 7, 9, 21, 6363 126189252315378441504567630
1, 2, 4, 8, 16, 32, 6464 128192256320384448512576640
1, 5, 13, 6565 130195260325390455520585650
1, 2, 3, 6, 11, 22, 33, 6666 132198264330396462528594660
1, 6767 134201268335402469536603670
1, 2, 4, 17, 34, 6868 136204272340408476544612680
1, 3, 23, 6969 138207276345414483552621690
1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 7070 140210280350420490560630700
1, 7171 142213284355426497568639710
1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 7272 144216288360432504576648720
1, 7373 146219292365438511584657730
1, 2, 37, 7474 148222296370444518592666740
1, 3, 5, 15, 25, 7575 150225300375450525600675750
1, 2, 4, 19, 38, 7676 152228304380456532608684760
1, 7, 11, 7777 154231308385462539616693770
1, 2, 3, 6, 13, 26, 39, 7878 156234312390468546624702780
1, 7979 158237316395474553632711790
1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 40, 8080 160240320400480560640720800
1, 3, 9, 27, 8181 162243324405486567648729810
1, 2, 41, 8282 164246328410492574656738820
1, 8383 166249332415498581664747830
1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 8484 168252336420504588672756840
1, 5, 17, 8585 170255340425510595680765850
1, 2, 43, 8686 172258344430516602688774860
1, 3, 29, 8787 174261348435522609696783870
1, 2, 4, 8, 11, 22, 44, 8888 176264352440528616704792880
1, 8989 178267356445534623712801890
1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 9090 180270360450540630720810900
1, 7, 13, 9191 182273364455546637728819910
1, 2, 4, 23, 46, 9292 184276368460552644736828920
1, 3, 31, 9393 186279372465558651744837930
1, 2, 47, 9494 188282376470564658752846940
1, 5, 19, 9595 190285380475570665760855950
1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 9696 192288384480576672768864960
1, 9797 194291388485582679776873970
1, 2, 7, 14, 49, 9898 196294392490588686784882980
1, 3, 9, 11, 33, 9999 198297396495594693792891990
1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100100 2003004005006007008009001000

Veja os números com apenas dois fatores, como 97? Eles são números primos.


6.3: Fator de Produtos Especiais

Casos especiais

Ao fatorar expressões, há alguns casos especiais, ou atalhos, que podem ser muito úteis. O truque é ser capaz de reconhecer quando esses casos surgem!

A diferença dos quadrados perfeitos

Este primeiro caso especial não é tão difícil de reconhecer.

Diferença significa subtração e um quadrado perfeito é um número do qual você pode obter uma raiz quadrada sem obter uma resposta decimal. Por exemplo:

25 é um quadrado perfeito porque ( sqrt <25> = 5 ).
144 é um quadrado perfeito porque ( sqrt <144> = 12 ).
Até () é um quadrado perfeito porque ( sqrt <> = x ).

Então, se tivéssemos (64), isso contaria como um quadrado perfeito também porque ( sqrt <64> = 8x ).

Para compreender totalmente este caso especial, precisamos entender o fato de que se tivéssemos ( = 49 ), x seria igual a 7, mas TAMBÉM seria igual a -7 porque (<(- 7) ^ 2> = 49 ).
Vamos ver como podemos juntar todos esses conceitos para chegar ao nosso atalho.

A forma geral para a diferença de quadrados perfeitos é:

A raiz quadrada de () é x e a raiz quadrada de 9 é 3. Isso se divide e se divide em:

Fatore o seguinte. (25 - 4)

A raiz quadrada de (25) é 5x e a raiz quadrada de 4 é 2. Isso se divide e se divide em:

Fatore o seguinte. ( + 16)

Não se deixe enganar! Este não é o nosso caso especial porque não é subtração. Isso é melhor, o que significa que não pode ser fatorado.

Quadrados Trinomiais

Este atalho de caso especial pode ser útil, mas é um pouco mais difícil de reconhecer. Ainda tem a ver com quadrados perfeitos. O primeiro coeficiente e o último coeficiente serão quadrados perfeitos. O termo do meio será duas vezes o produto das raízes quadradas desses coeficientes. Fará mais sentido com um exemplo.

A forma geral de um quadrado trinomial é:

Fatore o seguinte. ( - 6x + 9 )

A raiz quadrada de () é x e a raiz quadrada de 9 é 3. O termo do meio corresponde ao nosso caso especial porque (2 (x bullet 3) = 6x ). Isso influencia em:

Fatore o seguinte. (4 + 36x + 81 )

A raiz quadrada de (4) é 2x e a raiz quadrada de 18 é 9. O termo do meio corresponde ao nosso caso especial porque (2 (2x bullet 9) = 36x ). Isso influencia em:

Fatore o seguinte. (486 + 864x + 384 )

Este é diferente. O primeiro e o último termos não são quadrados perfeitos! Vamos encontrar um fator que se dividirá igualmente em cada termo. Podemos fatorar um 6.

Bem, assim é melhor. A raiz quadrada de (81) é 9x e a raiz quadrada de 64 é 8. O termo do meio corresponde ao nosso caso especial porque (2 (9x bullet 8) = 144x ). Isso influencia em:

Abaixo você pode baixar algum gratuitamente planilhas de matemática e prática.


6.3: Fator de Produtos Especiais

Antes de começar, faça este teste de prontidão.

Vimos que alguns binômios e trinômios resultam de produtos especiais & # 8212 quadrando binômios e multiplicando conjugados. Se você aprender a reconhecer esses tipos de polinômios, poderá usar os padrões de produtos especiais para fatorá-los com muito mais rapidez.

Factor Perfect Square Trinomials

Alguns trinômios são quadrados perfeitos. Eles resultam da multiplicação de um binômio pelo próprio tempo. Quadratamos um binomial usando o padrão dos quadrados binomiais em um capítulo anterior.

Neste capítulo, você começará com um trinômio quadrado perfeito e o fatorará em seus fatores primos.

Aqui está o padrão & # 8212o reverso do padrão de quadrados binomiais.

Se uma e b são números reais

Para fazer uso desse padrão, você deve reconhecer que um determinado trinômio se ajusta a ele. Verifique primeiro se o coeficiente líder é um quadrado perfeito, a 2. a 2. Em seguida, verifique se o último termo é um quadrado perfeito, b 2. b 2. Em seguida, verifique o termo do meio & # 8212é o produto, 2 a b? 2 a b? Se tudo estiver certo, você pode escrever facilmente os fatores.

O sinal do meio termo determina qual padrão usaremos. Quando o termo do meio é negativo, usamos o padrão a 2 & # 8722 2 a b + b 2, a 2 & # 8722 2 a b + b 2, que fatora para (a & # 8722 b) 2. (a & # 8722 b) 2.

As etapas são resumidas aqui.

Etapa 1. O trinômio se encaixa no padrão? a 2 + 2 a b + b 2 a 2 & # 8722 2 a b + b 2 O primeiro termo é um quadrado perfeito? (a) 2 (a) 2 Escreva como um quadrado. O último termo é um quadrado perfeito? (a) 2 (b) 2 (a) 2 (b) 2 Escreva como um quadrado. Verifique o meio termo. É 2 a b? (a) 2 & # 8600 2 & # 183 a & # 183 b & # 8601 (b) 2 (a) 2 & # 8600 2 & # 183 a & # 183 b & # 8601 (b) 2 Etapa 2. Escreva o quadrado do binômio. (a + b) 2 (a & # 8722 b) 2 Etapa 3. Verifique multiplicando. Etapa 1. O trinômio se encaixa no padrão? a 2 + 2 a b + b 2 a 2 & # 8722 2 a b + b 2 O primeiro termo é um quadrado perfeito? (a) 2 (a) 2 Escreva como um quadrado. O último termo é um quadrado perfeito? (a) 2 (b) 2 (a) 2 (b) 2 Escreva como um quadrado. Verifique o meio termo. É 2 a b? (a) 2 & # 8600 2 & # 183 a & # 183 b & # 8601 (b) 2 (a) 2 & # 8600 2 & # 183 a & # 183 b & # 8601 (b) 2 Etapa 2. Escreva o quadrado do binômio. (a + b) 2 (a & # 8722 b) 2 Etapa 3. Verifique multiplicando.

Trabalharemos um agora em que o termo do meio é negativo.

O primeiro e o último termos são quadrados. Veja se o termo do meio se encaixa no padrão de um trinômio quadrado perfeito. O termo do meio é negativo, então o quadrado binomial seria (a & # 8722 b) 2. (a & # 8722 b) 2.

O primeiro e o último termos são quadrados perfeitos? & # 8195 & # 8195 & # 8195 & # 8195
Verifique o meio termo.
Corresponde a (a & # 8722 b) 2? (a & # 8722 b) 2? sim.
Escreva como o quadrado de um binômio.
Verifique multiplicando:

(9 y & # 8722 4) 2 (9 y) 2 & # 8722 2 & # 183 9 y & # 183 4 + 4 2 81 y 2 & # 8722 72 y + 16 & # 10003 (9 y & # 8722 4 ) 2 (9 a) 2 & # 8722 2 & # 183 9 a & # 183 4 + 4 2 81 a 2 & # 8722 72 a + 16 & # 10003

O próximo exemplo será um trinômio quadrado perfeito com duas variáveis.

Fator: 36 x 2 + 84 x y + 49 y 2. 36 x 2 + 84 x y + 49 y 2.

Teste cada termo para verificar o padrão. & # 8195 & # 8195 & # 8195
Fator.
Verifique multiplicando.

(6 x + 7 y) 2 (6 x) 2 + 2 & # 183 6 x & # 183 7 y + (7 y) 2 36 x 2 + 84 xy + 49 y 2 & # 10003 (6 x + 7 y ) 2 (6 x) 2 + 2 & # 183 6 x & # 183 7 y + (7 y) 2 36 x 2 + 84 xy + 49 y 2 & # 10003

Fator: 49 x 2 + 84 x y + 36 y 2. 49 x 2 + 84 x y + 36 y 2.

Fator: 64 m 2 + 112 m n + 49 n 2. 64 m 2 + 112 m n + 49 n 2.

Lembre-se de que o primeiro passo na fatoração é procurar o maior fator comum. Os trinômios quadrados perfeitos podem ter um GCF em todos os três termos e devem ser fatorados primeiro. E, às vezes, uma vez que o GCF foi fatorado, você reconhecerá um trinômio quadrado perfeito.

Fator: 100 x 2 y & # 8722 80 x y + 16 y. 100 x 2 y & # 8722 80 x y + 16 y.

Existe um GCF? Sim, 4 anos, 4 anos, então leve em consideração. & # 8195 & # 8195 & # 8195 & # 8195
Este é um trinômio quadrado perfeito?
Verifique o padrão.
Fator.

Lembre-se: mantenha o fator 4y no produto final.

Fator: 8 x 2 y & # 8722 24 x y + 18 y. 8 x 2 y & # 8722 24 x y + 18 y.

Fator: 27 p 2 q + 90 p q + 75 q. 27 p 2 q + 90 p q + 75 q.

Diferenças de fator de quadrados

O outro produto especial que você viu no capítulo anterior foi o padrão Produto de Conjugados. Você usou isso para multiplicar dois binômios que eram conjugados. Aqui está um exemplo:

Uma diferença de fatores de quadrados para um produto de conjugados.

Se uma e b são números reais,

Lembre-se de que & # 8220diferença & # 8221 se refere à subtração. Portanto, para usar esse padrão, você deve ter certeza de que tem um binômio no qual dois quadrados estão sendo subtraídos.

Etapa 1. O binômio se encaixa no padrão? a 2 e # 8722 b 2 Isso é uma diferença? ____ & # 8722 ____ O primeiro e o último termos são quadrados perfeitos? Etapa 2. Escreva-os como quadrados. (a) 2 & # 8722 (b) 2 Etapa 3. Escreva o produto dos conjugados. (a & # 8722 b) (a + b) Etapa 4. Verifique multiplicando. Etapa 1. O binômio se encaixa no padrão? a 2 e # 8722 b 2 Isso é uma diferença? ____ & # 8722 ____ O primeiro e o último termos são quadrados perfeitos? Etapa 2. Escreva-os como quadrados. (a) 2 & # 8722 (b) 2 Etapa 3. Escreva o produto dos conjugados. (a & # 8722 b) (a + b) Etapa 4. Verifique multiplicando.

É importante lembrar que somas de quadrados não são fatoradas em um produto de binômios. Não há fatores binomiais que se multiplicam para obter a soma dos quadrados. Depois de remover qualquer GCF, a expressão a 2 + b 2 a 2 + b 2 é primo!

O próximo exemplo mostra variáveis ​​em ambos os termos.

144 x 2 & # 8722 49 y 2 Esta é uma diferença de quadrados? sim. (12 x) 2 & # 8722 (7 y) 2 Fator como o produto de conjugados. (12 x & # 8722 7 y) (12 x + 7 y) Verifique multiplicando. (12 x & # 8722 7 y) (12 x + 7 y) 144 x 2 & # 8722 49 y 2 & # 10003 144 x 2 & # 8722 49 y 2 Esta é uma diferença de quadrados? sim. (12 x) 2 & # 8722 (7 y) 2 Fator como o produto de conjugados. (12 x & # 8722 7 y) (12 x + 7 y) Verifique multiplicando. (12 x & # 8722 7 y) (12 x + 7 y) 144 x 2 & # 8722 49 y 2 & # 10003

Como sempre, você deve procurar um fator comum primeiro, sempre que tiver uma expressão para fatorar. Às vezes, um fator comum pode & # 8220 disfarçar & # 8221 a diferença de quadrados e você não reconhecerá os quadrados perfeitos até fatorar o GCF.

Além disso, para fatorar completamente o binômio no próximo exemplo, vamos fatorar uma diferença de quadrados duas vezes!

Fator: 48 x 4 y 2 & # 8722 243 y 2. 48 x 4 y 2 & # 8722 243 y 2.

48 x 4 y 2 & # 8722 243 y 2 Existe um GCF? Sim, 3 y 2 & # 8212fatorar! 3 y 2 (16 x 4 & # 8722 81) O binômio é uma diferença de quadrados? sim. 3 y 2 ((4 x 2) 2 & # 8722 (9) 2) Fator como um produto de conjugados. 3 y 2 (4 x 2 & # 8722 9) (4 x 2 + 9) Observe que o primeiro binômio também é uma diferença de quadrados! 3 y 2 ((2 x) 2 & # 8722 (3) 2) (4 x 2 + 9) Fatore como o produto de conjugados. 3 y 2 (2 x & # 8722 3) (2 x + 3) (4 x 2 + 9) 48 x 4 y 2 & # 8722 243 y 2 Existe um GCF? Sim, 3 y 2 & # 8212fatorar! 3 y 2 (16 x 4 & # 8722 81) O binômio é uma diferença de quadrados? sim. 3 y 2 ((4 x 2) 2 & # 8722 (9) 2) Fator como um produto de conjugados. 3 y 2 (4 x 2 & # 8722 9) (4 x 2 + 9) Observe que o primeiro binômio também é uma diferença de quadrados! 3 y 2 ((2 x) 2 & # 8722 (3) 2) (4 x 2 + 9) Fatore como o produto de conjugados. 3 y 2 (2 x & # 8722 3) (2 x + 3) (4 x 2 + 9)

O último fator, a soma dos quadrados, não pode ser fatorado.

Verifique multiplicando: 3 y 2 (2 x & # 8722 3) (2 x + 3) (4 x 2 + 9) 3 y 2 (4 x 2 & # 8722 9) (4 x 2 + 9) 3 y 2 (16 x 4 & # 8722 81) 48 x 4 y 2 & # 8722 243 y 2 & # 10003 Verifique multiplicando: 3 y 2 (2 x & # 8722 3) (2 x + 3) (4 x 2 + 9 ) 3 y 2 (4 x 2 e # 8722 9) (4 x 2 + 9) 3 y 2 (16 x 4 e # 8722 81) 48 x 4 y 2 e # 8722 243 y 2 e # 10003

Fator: 7 a 4 c 2 & # 8722 7 b 4 c 2. 7 a 4 c 2 & # 8722 7 b 4 c 2.

O próximo exemplo possui um polinômio com 4 termos. Até agora, quando isso ocorreu, agrupamos os termos em dois e fatorados a partir daí. Aqui, notaremos que os três primeiros termos formam um trinômio quadrado perfeito.

Observe que os primeiros três termos formam um trinômio quadrado perfeito.

Fatore agrupando os três primeiros termos.
Use o padrão trinomial quadrado perfeito. & # 8195 & # 8195 & # 8195 & # 8195 & # 8195
Isso é uma diferença de quadrados? sim.
Sim & # 8212escreva-os como quadrados.
Fator como o produto de conjugados.

Você pode reescrever a solução como (x & # 8722 y & # 8722 3) (x + y & # 8722 3). (x & # 8722 y & # 8722 3) (x + y & # 8722 3).

Fator: x 2 + 6 x + 9 & # 8722 4 y 2. x 2 + 6 x + 9 & # 8722 4 y 2.

Soma de fatores e diferenças de cubos

Existe outro padrão especial para fatoração, que não usamos quando multiplicamos polinômios. Este é o padrão de soma e diferença de cubos. Vamos escrever essas fórmulas primeiro e depois verificá-las por multiplicação.

Verificaremos o primeiro padrão e deixaremos o segundo para você.

Distribuir.
Multiplicar.
Combine termos semelhantes.

Os dois padrões parecem muito semelhantes, não é? Mas observe os sinais nos fatores. O sinal do fator binomial corresponde ao sinal do binomial original. E o sinal do meio termo do fator trinomial é o oposto do sinal no binômio original. Se você reconhecer o padrão dos sinais, isso pode ajudá-lo a memorizar os padrões.

O fator trinomial na soma e diferença do padrão de cubos não pode ser fatorado.

Será muito útil se você aprender a reconhecer os cubos dos inteiros de 1 a 10, assim como você aprendeu a reconhecer os quadrados. Listamos os cubos dos inteiros de 1 a 10 em [link].


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