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2.A: Provando a congruência do triângulo


Visão geral

O objetivo desta lição é identificar quando podemos afirmar que dois triângulos são congruentes.

Esta lição abordará os seguintes padrões CCRS para geometria:

  • 8.G.2: Entenda que uma figura bidimensional é congruente com outra se a segunda pode ser obtida da primeira por uma sequência de rotações, reflexos e translações; dadas duas figuras congruentes, descreva uma sequência que exibe a congruência entre elas
  • G.SRT.5: Use critérios de congruência e similaridade para triângulos para resolver problemas e para provar relações em figuras geométricas

Instruções

  1. Faça anotações enquanto assiste aos vídeos abaixo
  2. Vá para http://wamap.org e faça login em nosso curso para concluir a tarefa 2.A com 80% ou melhor.

Fazer

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Resumo

Nesta lição, aprendemos:

  • Para identificar triângulos congruentes, precisamos saber que três partes são congruentes: SSS, SAS, ASA ou AAS
  • As seguintes combinações não indicam necessariamente congruência: ASS e AAA

Teoremas de congruência de triângulos Hl

Se uma perna e um ângulo agudo de um triângulo retângulo forem congruentes com. Existem cinco maneiras de testar se dois triângulos são congruentes.

Triângulos congruentes Caderno interativo de matemática que prova os teoremas congruentes

Hipotenusa de triângulos congruentes e perna de um triângulo retângulo.

Teoremas de congruência do triângulo hl. Para obter uma lista, consulte os triângulos congruentes. Se dois lados e o ângulo incluído de um triângulo forem iguais aos lados e ângulo correspondentes de outro triângulo, os triângulos serão congruentes. Se a hipotenusa e uma perna de um triângulo retângulo são congruentes com a hipotenusa e uma perna de outro triângulo retângulo, então os triângulos são congruentes.

Dois triângulos retângulos são congruentes se a hipotenusa e uma perna correspondente forem iguais em ambos os triângulos. E então há o teorema da perna da hipotenusa ou teorema hl. O teorema hl afirma.

Este teorema afirma que se a hipotenusa e uma perna de um triângulo retângulo são congruentes com a hipotenusa e uma perna de outro direito. Este é um deles hl. Aha, você se esqueceu do nosso ângulo reto dado.

O postulado hl afirma que se a hipotenusa e a perna de um triângulo retângulo são congruentes com a hipotenusa e a perna de outro triângulo retângulo, então os dois triângulos são congruentes. Este princípio é conhecido como teorema da perna hipotenusa. Espere aí, você diz que o assim chamado teorema falava apenas de duas pernas e nem mesmo mencionava um ângulo.

Se a hipotenusa e uma perna de um triângulo retângulo forem iguais à hipotenusa e uma perna de outro triângulo retângulo, então os dois triângulos retângulos são congruentes. Asa ângulo lateral ângulo asa significa ângulo lateral angular e significa que temos dois triângulos onde sabemos que dois ângulos e o lado incluído são iguais. Teorema do ângulo da perna aguda.

Se em dois triângulos retângulos a hipotenusa e uma perna forem iguais, então os triângulos.

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O “Caso Ambíguo” (SSA) ocorre quando temos dois lados e o ângulo oposto a um desses lados dados. Os triângulos resultantes dessa condição precisam ser explorados muito mais de perto do que os casos SSS, ASA e AAS, pois SSA pode resultar em um triângulo, dois triângulos ou mesmo nenhum triângulo!

& # 8220AAA & # 8221 é quando conhecemos todos os três ângulos de um triângulo, mas nenhum lado. Os triângulos AAA são impossíveis de resolver mais, pois não há nada que nos mostre o tamanho; sabemos a forma, mas não o quão grande ela é.


Aplique restrições a dois triângulos. Em seguida, arraste os vértices dos triângulos e determine quais restrições garantem a congruência.

MATERIAIS DA LIÇÃO:

DA NOSSA COMUNIDADE

Materiais da lição enviados pelo usuário (1):

Provando Triângulos Congruentes

Esta é uma lição atualizada com algumas perguntas adicionais e espaços em branco de resposta fornecidos.

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Transcrição da aula de vídeo

Nesta lição, examinaremos os métodos de provar que os triângulos são congruentes.

Congruente significa que todos os três ângulos de um triângulo são iguais aos três ângulos do outro triângulo.

Mas não apenas os mesmos ângulos, porque são semelhantes, eles também devem ter os mesmos lados.

Todos os ângulos e todos os lados devem ser congruentes.

Como podemos provar que esses dois triângulos são congruentes um com o outro?

Bem, não precisamos provar cada um dos ângulos e lados.

Existem apenas algumas coisas que precisamos provar congruentes. Se isso for verdade, então sabemos com certeza que todo o resto também é congruente.

Os métodos de provar triângulos são congruentes:

1. Lado-Lado-Lado (SSS) & # 8211, temos que provar que todos os três lados são congruentes.

2. Side-Angle-Side (SAS) & # 8211 o que é muito importante aqui é que o & # 8220Angle & # 8221 está escrito entre os dois lados. Porque no diagrama, o ângulo também está entre os dois lados.

3. Angle-Side-Angle (ASA) & # 8211, assim como o & # 8220angle & # 8221 no SAS está entre os dois lados, o & # 8220Side & # 8221 aqui também deve estar entre dois ângulos.

4. Angle-Angle-Side (AAS) & # 8211 aqui, o & # 8220Side & # 8221 não está entre dois ângulos.

Você não deve usar um método Angle-Side-Side (ASS) ou método Side-Side-Side (SSA).

Quando você usa qualquer um desses métodos, você será um burro.

5. Hypotenuse-Leg (HL) & # 8211 usado apenas em triângulos retângulos.

Apenas uma revisão, dois triângulos são congruentes se tudo sobre eles for o mesmo.

Mas para provar que eles são congruentes, não temos que provar individualmente cada ângulo e lado desses dois triângulos.

Precisamos apenas provar Side-Side-Side (SSS), Side-Angle-Side (SAS), Angle-Side-Angle (ASA), Angle-Angle-Side (AAS) ou Hypotenuse-Leg (HL).

Se pudermos provar que qualquer um desses métodos é verdadeiro, então sabemos que temos dois triângulos congruentes.


O que é um triângulo congruente?

Você deve estar bem ciente de um triângulo agora & # 8212 que é uma figura bidimensional com três lados, três ângulos e três vértices. Dois ou mais triângulos são considerados congruentes se seus lados ou ângulos correspondentes forem os lados. Em outras palavras, Triângulos congruentes têm a mesma forma e dimensões.

Congruência é um termo usado para descrever dois objetos com a mesma forma e tamanho. O símbolo de congruência é . Em triângulos, usamos a abreviatura CPCT para mostrar que o Partes Correspondentes de Triângulos Congruentes são os mesmos.

A congruência não é calculada nem medida, mas determinada por inspeção visual. Os triângulos podem se tornar congruentes em três movimentos diferentes, a saber, rotação, reflexão e translação.


2.A: Provando a Congruência do Triângulo

Dia 2: Provando a congruência dos triângulos

Objetivo: provar dois triângulos congruentes usando os Postulados SSS, SAS e ASA.

Se três lados de um triângulo são congruentes com três lados de outro triângulo, então os triângulos são congruentes.

Pelo Postulado SSS, o triângulo ABC é congruente com o triângulo FGH.

Se dois lados e o ângulo incluído de um triângulo são congruentes com dois lados e o ângulo incluído de outro triângulo, então os triângulos são congruentes.

Pelo postulado SAS, o triângulo ABC é congruente com o triângulo FGH.

Se dois ângulos e o lado incluído de um triângulo são congruentes com dois ângulos e o lado incluído de outro triângulo, então os triângulos são congruentes.

Pelo Postulado ASA, o triângulo ABC é congruente com o triângulo FGH.

Provando a congruência dos triângulos usando o postulado do SAS:

Dado: O segmento OK divide o ângulo MOT e o segmento OM é congruente com OT

Prove: o triângulo MOK é congruente com o triângulo TOK

Declarações Razões
1. O segmento OK divide o ângulo MOT 1. Dado
2. ângulo 1 é congruente ao ângulo 2 2. Definição de bissetriz do ângulo
3. O segmento OK é congruente com o segmento OK 3. Reflexivo
4. O segmento OM é congruente com o segmento OT 4. Dado
5. O triângulo MOK é congruente com o triângulo TOK 5. Postulado SAS

Provando a congruência dos triângulos usando o postulado ASA:

Dado: O segmento BA é perpendicular ao segmento YZ e o segmento BA divide o ângulo YBZ

Prove: o triângulo AYB é congruente com o triângulo AZB

Declarações Razões
1. O segmento BA é perpendicular ao segmento YZ 1. Dado
2. O ângulo 1 é congruente com o ângulo 2 2. Se 2 linhas são perpendiculares, elas formam ângulos adjacentes congruentes
3. O segmento BA divide o ângulo YBZ 3. Dado
4. O ângulo 3 é congruente com o ângulo 4 4. Def. da bissetriz do ângulo
5. O segmento AB é congruente com o segmento AB 5. Reflexivo
6. O triângulo AYB é congruente com o triângulo AZB 6. Postulado ASA

Forneça os motivos que faltam.

1. Dado: Segmento AB é paralelo ao segmento DC Segmento AB é congruente ao segmento DC

Prove: o triângulo ABC é congruente com o triângulo CDA

Declarações Razões
1. O segmento AB é congruente com o segmento DC 1. ?
2. O segmento AC é congruente com o segmento AC 2. ?
3. O segmento AB é paralelo ao segmento DC 3. ?
4. O ângulo BAC é congruente com o ângulo DCA 4. ?
5. O triângulo ABC é congruente com o triângulo CDA 5 ?

2. Dado: O segmento RS é perpendicular ao segmento ST O segmento TU é perpendicular ao segmento ST V é o ponto médio do segmento ST.

Prove: O triângulo RSV é congruente com o triângulo UTV.

Declarações Razões
1. O segmento RS está ligado ao ST O segmento TU está ligado ao ST 1. ?
2. Ângulo S = 90 Ângulo? = 90 2. ?
3. O ângulo S é congruente com o ângulo T 3. ?
4. V é o ponto médio de ST 4. ?
5. O segmento SV é congruente com? 5. ?
6. O ângulo RVS é congruente com o ângulo? 6. ?
7. Triângulo? é congruente com o triângulo? 7. ?

Escreva as provas em duas colunas.

3. Dado: Segmento TM é congruente com PR Segmento TM é paralelo a RP

Prove: o triângulo TEM é congruente com o triângulo PER

4. Dado: E é o ponto médio do segmento TP E é o ponto médio do segmento M


Provas de Triângulo congruentes (Parte 3)

Você viu como usar SSS e ASA, mas na verdade existem várias outras maneiras de mostrar que dois triângulos são congruentes. Aqui, mostraremos outros dois métodos e provas que o utilizam.

Método 3: SAS (lado, ângulo, lado)

Semelhante ao Método 2, podemos usar dois pares de lados congruentes e um par de ângulos congruentes localizados entre os lados para mostrar que dois triângulos são congruentes.

Neste diagrama, . Isso mostra que os dois lados e o ângulo incluído são iguais em cada triângulo. Chamamos isso de SAS ou Lado, Ângulo, Lado.

Podemos usar SAS para mostrar que dois triângulos são congruentes ou usá-lo para provar outros fatos possíveis sobre os triângulos.

1. Dado

Provar que

Também podemos mostrar que dois triângulos são congruentes mostrando dois ângulos e um lado não incluído de um triângulo corresponde e é congruente a dois ângulos e um lado não incluído de outro triângulo.

Aqui podemos ver que AC & # 8773 ZX. Isso mostra que, nesses dois triângulos, dois ângulos e um lado não incluído em & # 916ABC são congruentes com dois ângulos e um lado não incluído em & # 916ZYX. Portanto, & # 916ABC & # 8773 & # 916ZYX.

Aqui está uma outra prova usando AAS.

Prove: B é o ponto médio de AC.

Primeiro, vamos dar uma olhada nas informações fornecidas.


Dado: EA & # 8773 EC

Precisamos usar essas informações para mostrar que & # 916ABF & # 8773 & # 916CBF. Então, poderemos dizer que AB & # 8773 CB. Se esses dois segmentos forem congruentes, então B deve ser o ponto médio porque estaria bem no meio. Portanto, a tarefa agora é mostrar que esses dois triângulos são congruentes.

DeclaraçõesRazões
EA & # 8773 EC Dado
& # 916 AEC é isósceles Definição de isósceles
BF & # 8773 BD Se os ângulos são congruentes, os lados são congruentes.

Até agora temos um par de ângulos congruentes correspondentes e um par de lados congruentes correspondentes. A seguir, podemos mostrar que mais um par de ângulos correspondentes é congruente.

DeclaraçõesRazões
EA & # 8773 EC Dado
& # 916 AEC é isósceles Definição de isósceles
BF & # 8773 BD Se os ângulos são congruentes, os lados são congruentes.
EA & # 8773 EC Dado
& # 916 AEC é isósceles Definição de isósceles
BF & # 8773 BD Se os ângulos são congruentes, os lados são congruentes.
AB & # 8773 CB CPCTC
B é o ponto médio de AC Definição de ponto médio

Vamos revisar

Até agora, você viu como usar SSS, ASA, SAS e AAS para mostrar que dois triângulos são congruentes. Esses teoremas podem ser usados ​​para mostrar outros fatos verdadeiros sobre os triângulos dados. Uma vez que você tenha dois triângulos congruentes, certifique-se de usar o CPCTC para mostrar que outras partes correspondentes também são congruentes. Você pode misturar definições de outras coisas como triângulos isósceles, ponto médio, bissetriz do ângulo, etc. para completar suas provas.

Para ligar a este Provas de Triângulo congruentes (Parte 3) página, copie o seguinte código para o seu site:


Triângulos congruentes - Hipotenusa e perna de um triângulo retângulo. (HL)

Definição: Dois triângulos retângulos são congruentes se a hipotenusa e uma perna correspondente forem iguais em ambos os triângulos.

Existem cinco maneiras de testar se dois triângulos são congruentes. Esse é um deles (HL). Para obter uma lista, consulte Triângulos congruentes. Se, em dois triângulos retângulos, a hipotenusa e uma perna são iguais, então os triângulos são congruentes.

Observe que a hipotenusa e a perna estão desenhadas em linhas azuis grossas para indicar que são os elementos usados ​​para testar a congruência.

Observe que, como conhecemos a hipotenusa e um outro lado, o terceiro lado é determinado, devido ao Teorema de Pitágoras. Portanto, esta é realmente uma versão do caso SSS. (lado lado lado).