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2.3: EDOs lineares de ordem superior - Matemática


As equações que aparecem nas aplicações tendem a ser de segunda ordem, embora as equações de ordem superior apareçam de vez em quando. Conseqüentemente, é geralmente assumido que o mundo é de “segunda ordem” de uma perspectiva da física moderna. Os resultados básicos sobre EDOs lineares de ordem superior são essencialmente os mesmos que para equações de segunda ordem, com 2 substituído por (n ). O importante conceito de independência linear é um pouco mais complicado quando mais de duas funções estão envolvidas.

Para EDOs de coeficiente constante de ordem superior, os métodos também são um pouco mais difíceis de aplicar, mas não iremos nos alongar sobre essas complicações. Sempre podemos usar os métodos de sistemas de equações lineares para resolver equações de coeficientes constantes de ordem superior. Então, vamos começar com uma equação linear homogênea geral:

[y ^ {(n)} + p_ {n-1} (x) y ^ {(n-1)} + , ... + p_1 (x) y '+ p_o (x) y = f ( x) label {2.3.1} ]

Teorema 2.3.1: Superposição

Suponha que (y_1, y_2, dots, y_n ) sejam soluções da equação homogênea (Equação ref {2.3.1}). Então

[y (x) = C_1 y_1 (x) + C_2 y_2 (x) + ... + C_n y_n (x) ]

também resolve a Equação ref {2.3.1} para constantes arbitrárias (C_1, .... C_n ).

Em outras palavras, uma combinação linear de soluções para a Equação ref {2.3.1} também é uma solução para a Equação ref {2.3.1}. Também temos o teorema da existência e da unicidade para equações lineares não homogêneas.

Teorema 2.3.2: Existência e singularidade

Suponha que (p_o ) a (p_ {n-1} ), e (f ) sejam funções contínuas em algum intervalo (I, a ) é um número em (I ), e ( b_0, b_1, dots, b_ {n-1} ) são constantes. A equação

[y ^ {(n)} + p_ {n-1} (x) y ^ {(n-1)} + , ... + p_1 (x) y '+ p_o (x) y = f ( x) ]

tem exatamente uma solução (y (x) ) definida no mesmo intervalo (I ) satisfazendo as condições iniciais

[y (a) = b_0, ~~ y '(a) = b_1, ~~ dots, ~~ y ^ {(n -1)} (a) = b_ {n - 1} ]

2.3.1 Independência Linear

Quando tínhamos duas funções (y_1 ) e (y_2 ), dizíamos que eram linearmente independentes se uma não fosse múltipla da outra. A mesma ideia vale para funções (n ). Neste caso, é mais fácil afirmar o seguinte. As funções (y_1, y_2, dots, y_n ) são linearmente independentes se

[c_1y_1 + c_2y_2 + dots + c_ny_n = 0 ]

tem apenas a solução trivial (c_1 = c_2 = dots = c_n = 0 ), onde a equação deve ser válida para todos (x ). Se pudermos resolver a equação com algumas constantes onde, por exemplo, (c_1 ne 0 ), então podemos resolver para (y_1 ) como uma combinação linear das outras. Se as funções não forem linearmente independentes, elas serão linearmente dependentes.

Exemplo ( PageIndex {1} )

Mostre que (e ^ x ), (e ^ {2x} ) e (e ^ {3x} ) são funções linearmente independentes.

Solução

Vamos dar várias maneiras de mostrar esse fato. Muitos livros introduzem os Wronskians, mas isso não é realmente necessário para resolver este exemplo. Vamos escrever

[c_1e ^ x + c_2e ^ {2x} + c_3e ^ {3x} = 0 ]

Usamos regras de exponenciais e escrevemos (z = e ^ x ). Então nós temos

[c_1z + c_2z ^ 2 + c_3z ^ 3 = 0 ]

O lado esquerdo é um polinômio de terceiro grau em (z ). Pode ser igual a zero ou pode ter no máximo 3 zeros. Portanto, é identicamente zero, (c_1 = c_2 = c_3 = 0 ), e as funções são linearmente independentes.

Vamos tentar outra maneira. Como antes de escrevermos

[c_1e ^ x + c_2e ^ {2x} + c_3e ^ {3x} = 0 ]

Esta equação deve ser válida para todos os (x ). O que poderíamos fazer é dividir por (e ^ {3x} ) para obter

[c_1e ^ {- 2x} + c_2e ^ {- x} + c_3 = 0 ]

Como a equação é verdadeira para todos os (x ), deixe (x rightarrow infty ). Depois de tirar o limite, vemos que (c_3 = 0 ). Portanto, nossa equação se torna

[c_1e ^ x + c_2e ^ {2x} = 0 ]

Enxágüe, repita!

Que tal ainda outra maneira. Nós escrevemos novamente

[c_1e ^ x + c_2e ^ {2x} + c_3e ^ {3x} = 0 ]

Podemos avaliar a equação e suas derivadas em diferentes valores de (x ) para obter as equações para (c_1 ), (c_2 ) e (c_3 ). Vamos primeiro dividir por (e ^ x ) para simplificar.

[c_1 + c_2e ^ x + c_3e ^ {2x} = 0 ]

Definimos (x = 0 ) para obter a equação (c_1 + c_2 + c_3 = 0 ). Agora diferencie os dois lados

[c_2 e ^ x + 2c_3e ^ {2x} = 0 ]

Definimos (x = 0 ) para obter (c_2 + 2c_3 = 0 ). Dividimos por (e ^ x ) novamente e diferenciamos para obter (2c_3e ^ x = 0 ). É claro que (c_3 ) é zero. Então (c_2 ) deve ser zero como (c_2 = -2c_3 ), e (c_1 ) deve ser zero porque (c_1 + c_2 + c_3 = 0 ).

Não existe uma maneira melhor de fazer isso. Todos esses métodos são perfeitamente válidos.

Exemplo ( PageIndex {2} )

Por outro lado, as funções (e ^ x, e ^ {- x} ) e ( cosh x ) são linearmente dependentes. Basta aplicar a definição do cosseno hiperbólico:

[ cosh x = frac {e ^ x + e ^ {- x}} {2} ~~~~ { it {ou}} ~~~~ 2 cosh x - e ^ x - e ^ { -x} = 0 ]

2.3.2 ODEs de ordem superior de coeficiente constante

Quando temos uma equação linear homogênea de coeficiente constante de ordem superior, a música e a dança são exatamente as mesmas da segunda ordem. Precisamos apenas encontrar mais soluções. Se a equação for (n ^ {th} ) ordem, precisamos encontrar (n ) soluções linearmente independentes. É melhor visto por exemplo.

Exemplo ( PageIndex {3} ): ODE de terceira ordem com coeficientes constantes

Encontre a solução geral para

[y '' '- 3' '- y' + 3y = 0 ]

Solução

Experimente: (y = e ^ {rx} ). Nós conectamos e obtemos

[r ^ 3e ^ {rx} - 3r ^ 2e ^ {rx} - re ^ {rx} + 3e ^ {rx} = 0 ]

Dividimos por (e ^ {rx} ). Então

[r ^ 3 - 3r ^ 2 - r +3 = 0 ]

O truque agora é encontrar as raízes. Existe uma fórmula para as raízes dos polinômios de grau 3 e 4, mas é muito complicada. Não há fórmula para polinômios de grau superior. Isso não significa que as raízes não existam. Sempre há (n ) raízes para um polinômio de (n ^ {th} ) grau. Eles podem ser repetidos e podem ser complexos. Os computadores são muito bons em encontrar raízes aproximadamente para polinômios de tamanho razoável.

Um bom lugar para começar é plotar o polinômio e verificar onde ele é zero. Também podemos simplesmente tentar conectar. Basta começarmos a inserir os números (r = -2, -1, 0, 1, 2, pontos ) e ver se acertamos (também podemos tentar números complexos). Mesmo se não obtivermos um resultado, podemos obter uma indicação de onde está a raiz. Por exemplo, conectamos (r = -2 ) em nosso polinômio e obtemos -15; plugamos (r = 0 ) e obtemos 3. Isso significa que há uma raiz entre (r = -2 ) e (r = 0 ), porque o sinal mudou. Se encontrarmos uma raiz, digamos (r_1 ), então sabemos que ((r - r_1) ) é um fator do nosso polinômio. A divisão longa polinomial pode então ser usada.

Uma boa estratégia é começar com (r = -1 ), 1 ou 0. Eles são fáceis de calcular. Acontece que nosso polinômio tem duas raízes, (r_1 = -1 ) e (r_2 = 1 ) e. Deve haver três raízes e a última é razoavelmente fácil de encontrar. O termo constante em um polinômio mônico como este é o múltiplo das negações de todas as raízes porque (r ^ 3 - 3r ^ 2 - r + 3 = (r - r_1) (r - r_2) (r - r_3) ). Então

[3 = (-r_1) (- r_2) (- r_3) = (1) (- 1) (- r_3) = r_3 ]

Você deve verificar se (r_3 = 3 ) realmente é uma raiz. Conseqüentemente, sabemos que (e ^ {- x} ), (e ^ {x} ), e (e ^ {3x} ) são soluções para (2.3.15). Eles são linearmente independentes, o que pode ser facilmente verificado, e há três deles, que é exatamente o número de que precisamos. Portanto, a solução geral é

[y = C_1e ^ {- x} + C_2e ^ {x} + C_3e ^ {3x} ]

Suponha que recebamos algumas condições iniciais (y (0) = 1, y '(0) = 2 ) e (y' '(0) = 3 ). Então

[1 = y (0) = C_1 + C_2 + C_3 ]

[2 = y '(0) = -C_1 + C_2 + 3C_3 ]

[3 = y '' (0) = C_1 + C_2 + 9C_3 ]

É possível encontrar a solução pela álgebra do ensino médio, mas seria uma dor. A maneira sensata de resolver um sistema de equações como esse é usar álgebra matricial. Por enquanto, notamos que a solução é (C_1 = - frac {1} {4} ), (C_2 = 1 ) e (C_3 = frac {1} {4} ). A solução específica para o ODE é

[y = - frac {1} {4} e ^ {- x} + e ^ {x} + frac {1} {4} e ^ {3x} ]

Em seguida, suponha que temos raízes reais, mas elas se repetem. Digamos que temos uma raiz (r ) repetida (k ) vezes. No espírito da solução de segunda ordem, e pelas mesmas razões, temos as soluções

[e ^ {rx}, xe ^ {rx}, x ^ 2e ^ {rx}, dots, x ^ {k-1} e ^ {rx} ]

Tomamos uma combinação linear dessas soluções para encontrar a solução geral.

Exemplo ( PageIndex {4} )

Resolver

[y ^ {(4)} - 3y '' '+ 3y' '- y' = 0 ]

Solução

Notamos que a equação característica é

[r ^ 4 - 3r ^ 3 + 3r ^ 2 - r = 0 ]

Por inspeção, notamos que (r ^ 4 - 3r ^ 3 + 3r ^ 2 - r = r {(r - 1)} ^ 3 ). Portanto, as raízes dadas com multiplicidade são (r = 0, 1, 1, 1 ). Assim, a solução geral é

[y = underbrace {(C_1 + C_2 + C_3x ^ 2) e ^ x} _ { text {termos vindos de r = 1}} + underbrace {C_4} _ { text {from r = 0}} ]

O caso de raízes complexas é semelhante às equações de segunda ordem. Raízes complexas sempre vêm em pares (r = alpha pm i beta ). Suponha que temos duas raízes complexas, cada uma repetida (k ) vezes. A solução correspondente é

((C_0 + C_1x + dots + C_ {k-1} x ^ {k-1}) e ^ {ax} cos ( beta x) + (D_0 + D_1x + dots + D_ {k - 1 } x ^ {k - 1}) e ^ {ax} sin ( beta x) )

onde (C_0, dots, C_ {k-1}, D_0, dots, D_ {k-1} ) são constantes arbitrárias.

Exemplo ( PageIndex {5} )

Resolver

[y ^ {(4)} - 4y '' '+ 8y' '- 8y' + 4y = 0 ]

Solução

A equação característica é

[r ^ 4 - 4r ^ 3 + 8r ^ 2 - 8r + 4 = 0 ]

[{(r ^ 2 - 2r + 2)} ^ 2 = 0 ]

[{({(r - 1)} ^ 2 + 1)} ^ 2 = 0 ]

Portanto, as raízes são (1 pm i ), ambas com multiplicidade 2. Portanto, a solução geral para o ODE é

[y = (C_1 + C_2x) e ^ x cos x + (C_3 + C_4 x) e ^ x sin x ]

A maneira como resolvemos a equação característica acima é, na verdade, adivinhando ou por inspeção. Em geral, não é tão fácil. Também poderíamos ter pedido as raízes a um computador ou a uma calculadora avançada.

Links externos

  • Depois de ler esta palestra, pode ser bom experimentar o Projeto III do site do IODE: www.math.uiuc.edu/iode/.

Equações Diferenciais MAT 311

Este é apenas um exemplo de programa. Peça ao seu instrutor o plano de estudos oficial do seu curso.

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Descrição do Curso

Os tópicos abordados incluem equações lineares de primeira e segunda ordem, incluindo teoremas de existência e unicidade, soluções de séries de sistemas de equações não lineares de equações lineares. Outros tópicos podem incluir a transformação de Laplace, teoria qualitativa.

Pré-requisitos

MAT 211 e MAT 271 com grau C ou melhor.

Os textos são escolhidos pelo instrutor. Por exemplo:

Notas sobre Diffy Qs por Ji & # 345 & # 237 Lebl. Texto eletrônico disponível gratuitamente em http://www.jirka.org/diffyqs/ ou solicite uma cópia em brochura.

Requisitos do curso, cronograma provisório de reuniões e tópicos de classe, leituras, tarefas e datas de vencimento, exames

Um cronograma de reuniões de classe, tópicos, tarefas, datas de vencimento, datas de exames, etc. será fornecido pelo instrutor. Veja o programa de sua aula.

Aqui está um exemplo de curso, com base no texto acima.

  • 1ª semana
    • Capítulo 0. Introdução. 0.2 Introdução às equações diferenciais. Tipos: ordinário, parcial. Quais são as soluções. Soluções gerais e particulares. Exemplos. Introdução ao software para resolver ODEs, plotagem de campos de declive, etc.
    • Capítulo 1. ODEs de primeira ordem. 1.1 Integrais como soluções.
    • 1.2 Campos de inclinação.
    • 1.3 Equações separáveis.
    • 1.4 Equações lineares de primeira ordem. Fator de integração, ou variação de parâmetros.
    • 1.5 Substituição.
    • 1.7 Métodos numéricos: Euler, Runge Kutta.
    • 1.6 Equações autônomas.
    • Alguma filosofia sobre sistemas determinísticos, lei de Newton (f = ma ) e EDOs de 2ª ordem com condições iniciais.
    • Teste
    • Exemplo de Iteração de Picard
    • Mais sobre o Teorema da Existência e da Unicidade. Iteração de Picard. Existência e exclusividade para sistemas de ODEs (alias ODEs com valor vetorial) e sua relação com ODEs de segunda ordem e superior. Exemplo onde o teorema da existência e da unicidade não se aplica: balde de água com um buraco.
    • Capítulo 2 ODEs lineares de ordem superior. 2.1 EDOs lineares de segunda ordem. Superposição, existência e singularidade.
    • 2.2 Coeficiente constante odes lineares de 2ª ordem.
    • 2.3 EDOs lineares de ordem superior.
    • 2.4 Vibrações mecânicas.
    • 2.5 Equações lineares não homogêneas de 2ª ordem.
    • 2.4 Vibrações mecânicas (cont.)
    • Resolvendo a equação do pêndulo numericamente com software
    • 2.6 Oscilações forçadas e ressonância. Como resolver (y '' + ay '+ por = f (x) ) quando (f (x) neq 0 ).
    • Batidas auditivas (usando software e canal de áudio).
    • Capítulo 3 Sistemas de EDOs lineares. 3.1 Introdução.
    • Retrato de fase e trajetória
    • 3.2 Matrizes e sistemas lineares.
    • 3.3 Sistemas lineares de EDOs.
    • 3.4 Método dos valores próprios.
    • Álgebra de matriz e autovalores em um computador
    • 3.5 Sistemas bidimensionais e campos vetoriais.
    • Teste
    • Capítulo 4 Série de Fourier e PDEs. 4.1 Problemas de valor limite.
    • 4.1 Problemas de valor limite (cont.).
    • 4.2 Séries trigonométricas.
    • (pule 4.3-4.5).
    • Série Fourier para função dente de serra (exemplo, com software).
    • 4.6 PDEs, separação de variáveis ​​e a Equação de Calor.
    • Derivação da equação do calor.
    • Derivação de uma equação de onda dimensional.
    • 4.8 Solução de D'Alembert da equação de onda unidimensional
    • Solução animada de equação de onda (usando software).
    • Derivação da equação de calor bidimensional (u_+ u_= u_t ).
    • 4.9 Temperatura de estado estacionário e o Laplaciano (u_+ u_=0)
    • Exemplo: equação de Laplace em um retângulo.

    O exame final é realizado na data e hora anunciadas no Programa de Aulas.

    Objetivos de aprendizado

    Depois de completar o MAT 311, o aluno irá

    • encontre a solução para equações diferenciais lineares e não lineares de primeira ordem usando as técnicas de equações separáveis, equações exatas e fatores de integração
    • encontre a solução para equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes
    • encontrar soluções particulares para equações não homogêneas de segunda ordem usando os métodos de coeficientes indeterminados e variação de parâmetros
    • encontre soluções de série para equações lineares de segunda ordem com coeficientes polinomiais perto de um ponto comum e perto de um ponto singular regular
    • resolver sistemas lineares de primeira ordem homogêneos e não homogêneos com coeficientes constantes
    • determinar a existência e unicidade de soluções de equações diferenciais e sistemas de equações
    • use as técnicas acima para analisar e resolver problemas aplicados.

    Computadores e calculadoras, conhecimentos de informática

    A maioria dos instrutores incentiva o uso de máquinas, calculadoras, computadores, telefones, etc., para a análise de dados. O uso de máquinas pode ser restrito durante os exames ou em outros momentos. Pergunte ao seu instrutor sobre a política de sua classe.

    Não se espera que os alunos sejam programadores ou conheçam qualquer linguagem de computador específica antes de iniciar esta aula. Alguns instrutores podem esperar que os alunos sejam capazes de acessar informações na Internet, ou usar calculadoras, ou aprender a usar um software específico com instrução. Habilidade básica em álgebra e o uso de símbolos matemáticos, ordem de operações, etc., e a vontade de ler e seguir manuais de instruções e arquivos de ajuda serão suficientes.

    Política de classificação, escala de classificação, valor ponderado de atribuições e testes

    As notas dos alunos são baseadas em tarefas de casa, participação em classe, testes curtos e exames programados que abrangem a compreensão dos alunos sobre os tópicos abordados neste curso. O instrutor determina os pesos relativos desses fatores e a escala de notas. Veja o plano de estudos de sua classe em particular.

    Local das reuniões de classe

    As aulas acontecem nas datas e salas anunciadas no Programa oficial de Aulas. Esta é uma aula tradicional presencial.

    Requisitos de Presença

    A política de atendimento é definida pelo instrutor.

    Política de datas de vencimento, trabalho de reposição, exames perdidos e atribuições de crédito extra

    As datas de vencimento e a política em relação ao trabalho de reposição e aos exames perdidos são definidas pelo instrutor. Os instrutores podem, ou não, optar por oferecer atribuições de crédito extra. Se atribuições de crédito extra forem oferecidas, eles estarão disponíveis para todos os alunos.

    Integridade acadêmica

    O departamento de matemática não tolera trapaça. Os alunos que tiverem dúvidas ou preocupações sobre a integridade acadêmica devem perguntar a seus professores ou orientadores no Escritório de Desenvolvimento do Aluno ou consultar o Catálogo da Universidade para obter mais informações. (Procure no índice em "integridade acadêmica".)

    Acomodações para alunos com deficiência

    Cal State Dominguez Hills adere a todas as leis, regulamentos e diretrizes federais, estaduais e locais aplicáveis ​​com relação ao fornecimento de acomodações razoáveis ​​para alunos com deficiências temporárias e permanentes. Se você tem uma deficiência que pode afetar adversamente seu trabalho nesta aula, encorajo você a se registrar no Disabled Student Services (DSS) e a conversar comigo sobre como podemos ajudá-lo da melhor maneira. Todas as divulgações de deficiências serão mantidas estritamente confidenciais. Observação: você deve se registrar no DSS para organizar uma não acomodação. Para obter informações, ligue (310) 243-3660 ou envie uma mensagem de e-mail para [email protected] ou visite o site do DSS http://www4.csudh.edu/dss/contact-us/index ou visite o escritório WH D-180

    Expectativas Comportamentais

    Todos nós somos adultos, então o comportamento raramente é um problema. Basta seguir a Regra de Ouro: "faça aos outros o que você gostaria que fizessem a você", então tudo ficará bem.

    A universidade deve manter um ambiente de sala de aula adequado para o aprendizado, de forma que qualquer pessoa que insista em atrapalhar esse ambiente será expulso da aula.

    Preparado por J. Barab 2/4/00. Revisado em 28/04/01, 25/07/06, 10/01/15 (G. Jennings).


    Descrição do livro

    Este livro examina a ampla paisagem de equações diferenciais, incluindo elementos de equações diferenciais parciais (PDEs) e apresenta de forma concisa os tópicos de maior uso para engenheiros. Ele apresenta cada tópico com um aplicativo motivador retirado da engenharia elétrica, mecânica e aeroespacial. O texto tem revisões de fundamentos, explicações passo a passo e conjuntos de problemas resolvidos. Ele estimula as habilidades dos alunos na arte da aproximação e autoverificação. O livro aborda PDEs com e sem condições de fronteira, o que demonstra fortes semelhanças com equações diferenciais ordinárias e ilustrações claras da natureza das soluções. Além disso, cada capítulo inclui problemas de palavras e problemas de desafio. Vários projetos de computação estendidos são executados ao longo do texto.


    Índice

    Parte A Equações diferenciais ordinárias (EDOs) 1

    Capítulo 1 ODEs de primeira ordem 2

    1.1 Conceitos básicos. Modelagem 2

    1.2 Significado Geométrico de y& rsquo = & fnof (x, y) Campos de direção, método de Euler e rsquos 9

    1.3 ODEs separáveis. Modelagem 12

    1.4 ODEs exatos. Fatores Integrantes 20

    1.5 ODEs lineares. Equação de Bernoulli. Dinâmica da População 27

    1.6 Trajetórias ortogonais. Opcional 36

    1.7 Existência e singularidade de soluções para problemas de valor inicial 38

    Capítulo 1 Perguntas e problemas de revisão 43

    Capítulo 2 ODEs lineares de segunda ordem 46

    2.1 ODEs Lineares Homogêneos de Segunda Ordem 46

    2.2 ODEs lineares homogêneos com coeficientes constantes 53

    2.3 Operadores diferenciais. Opcional 60

    2.4 Modelagem de Oscilações Livres de um Sistema Mass & ndashSpring 62

    2.5 Equações de Euler e ndashCauchy 71

    2.6 Existência e exclusividade das soluções. Wronskian 74

    2.7 ODEs não homogêneos 79

    2.8 Modelagem: Oscilações forçadas. Ressonância 85

    2.9 Modelagem: Circuitos Elétricos 93

    2.10 Solução por variação dos parâmetros 99

    Capítulo 2 Perguntas e problemas de revisão 102

    Capítulo 3 ODEs Lineares de Ordem Superior 105

    3.1 ODEs Lineares Homogêneos 105

    3.2 ODEs lineares homogêneos com coeficientes constantes 111

    3.3 ODEs lineares não homogêneos 116

    Capítulo 3 Perguntas e problemas de revisão 122

    Capítulo 4 Sistemas de EDOs. Plano de fase. Métodos Qualitativos 124

    4.0 Para referência: Noções básicas de matrizes e vetores 124

    4.1 Sistemas de EDOs como modelos em aplicações de engenharia 130

    4.2 Teoria Básica de Sistemas de EDOs. Wronskian 137

    4.3 Sistemas de coeficiente constante. Método de plano de fase 140

    4.4 Critérios para pontos críticos. Estabilidade 148

    4.5 Métodos qualitativos para sistemas não lineares 152

    4.6 Sistemas lineares não homogêneos de ODEs 160

    Capítulo 4 Perguntas e problemas de revisão 164

    Capítulo 5 Soluções da série de ODEs. Funções Especiais 167

    5.1 Método da Série de Potência 167

    5.2 Equação de Legendre & rsquos. Polinômios de Legendre Pn(x) 175

    5.3 Método Extended Power Series: Método Frobenius 180

    5.4 Equação de Bessel & rsquos. Funções de Bessel Jv(x) 187

    5.5 Funções de Bessel do Yv(x) Solução Geral 196

    Capítulo 5 Perguntas e problemas de revisão 200

    Capítulo 6 Transformações de Laplace 203

    6.1 Transformada de Laplace. Linearidade. Teorema da Primeira Mudança (s-Shifting) 204

    6.2 Transformadas de Derivados e Integrais. ODEs 211

    6.3 Função de Etapa da Unidade (Função de Heaviside). Segundo Teorema da Mudança (t-Shifting) 217

    6.4 Impulsos curtos. Função Delta de Dirac & rsquos. Frações Parciais 225

    6.5 Convolução. Equações integrais 232

    6.6 Diferenciação e integração de transformadas. ODEs com coeficientes variáveis ​​238

    6.8 Transformada de Laplace: Fórmulas Gerais 248

    6,9 Tabela de Transformadas de Laplace 249

    Capítulo 6 Perguntas e problemas de revisão 251

    Parte B Álgebra Linear. Cálculo Vectorial 255

    Capítulo 7 Álgebra Linear: Matrizes, Vetores, Determinantes. Sistemas Lineares 256

    7.1 Matrizes, Vetores: Adição e Multiplicação Escalar 257

    7.2 Multiplicação de Matriz 263

    7.3 Sistemas Lineares de Equações. Eliminação de Gauss 272

    7.4 Independência Linear. Classificação de uma matriz. Espaço Vetorial 282

    7.5 Soluções de Sistemas Lineares: Existência, Singularidade 288

    7.6 Para Referência: Determinantes de Segunda e Terceira Ordem 291

    7.7 Determinantes. Regra 293 de Cramer e rsquos

    7.8 Inverso de uma matriz. Gauss e ndashJordan Elimination 301

    7.9 Espaços vetoriais, espaços internos de produto. Transformações lineares. Opcional 309

    Capítulo 7 Revisão de Perguntas e Problemas 318

    Capítulo 8 Álgebra Linear: Problemas de valores próprios da matriz 322

    8.1 O problema do valor próprio da matriz. Determinando Valores Próprios e Vectores Próprios 323

    8.2 Algumas aplicações de problemas de valor próprio 329

    8.3 Matrizes simétricas, assimétricas e ortogonais 334

    8.4 Eigenbases. Diagonalização. Formas Quadráticas 339

    8.5 Matrizes e formulários complexos. Opcional 346

    Capítulo 8 Perguntas e problemas de revisão 352

    Capítulo 9 Cálculo diferencial vetorial. Grad, Div, Curl 354

    9.1 Vetores em 2-Espaço e 3-Espaço 354

    9.2 Produto Interno (Produto Interno) 361

    9.3 Produto vetorial (produto cruzado) 368

    9.4 Funções vetoriais e escalares e seus campos. Cálculo vetorial: derivados 375

    9.5 Curvas. Comprimento do arco. Curvatura. Torção 381

    9.6 Revisão do cálculo: funções de várias variáveis. Opcional 392

    9.7 Gradiente de um campo escalar. Derivada direcional 395

    9.8 Divergência de um campo vetorial 403

    9.9 Ondulação de um campo vetorial 406

    Capítulo 9 Revisar Perguntas e Problemas 409

    Capítulo 10 Cálculo Vector Integral. Teoremas Integrais 413

    10.2 Independência de Caminho de Integrais de Linha 419

    10.3 Revisão do cálculo: Integrais duplos. Opcional 426

    10.4 Teorema de Green & rsquos no Plano 433

    10.5 Superfícies para Integrais de Superfície 439

    10.6 Integrais de superfície 443

    10.7 Integrais triplos. Teorema da Divergência de Gauss 452

    10.8 Outras aplicações do Teorema da Divergência 458

    Capítulo 10 Perguntas e problemas de revisão 469

    Resumo do Capítulo 10 470

    Parte C Análise de Fourier. Equações diferenciais parciais (PDEs) 473

    Capítulo 11 Análise de Fourier 474

    11.2 Período Arbitrário. Funções pares e ímpares. Expansões de meio intervalo 483

    11.3 Oscilações Forçadas 492

    11.4 Aproximação por polinômios trigonométricos 495

    11.5 Problemas de Sturm e ndashLiouville. Funções Ortogonais 498

    11.6 Série ortogonal. Generalizada Fourier Series 504

    11,8 Fourier Cosine e Sine Transforms 518

    11.9 Transformada de Fourier. Transformadas discretas e rápidas de Fourier 522

    11,10 Tabelas de transformações 534

    Capítulo 11 Perguntas e problemas de revisão 537

    Resumo do Capítulo 11 538

    Capítulo 12 Equações Diferenciais Parciais (PDEs) 540

    12.1 Conceitos Básicos de PDEs 540

    12.2 Modelagem: Corda Vibrante, Equação Onda 543

    12.3 Solução por separação de variáveis. Uso da Série Fourier 545

    12.4 Solução D & rsquoAlembert & rsquos da Equação de Onda. Características 553

    12.5 Modelagem: Fluxo de calor de um corpo no espaço. Equação de Calor 557

    12.6 Equação de Calor: Solução por Série de Fourier. Problemas constantes de calor bidimensional. Problema de Dirichlet 558

    12.7 Equação de calor: modelagem de barras muito longas. Solução de Fourier Integrals and Transforms 568

    12.8 Modelagem: Membrana, Equação de Onda Bidimensional 575

    12.9 Membrana retangular. Double Fourier Series 577

    12.10 Laplaciano em coordenadas polares. Membrana Circular. Fourier & ndashBessel Series 585

    12.11 Equação de Laplace & rsquos em coordenadas cilíndricas e esféricas. Potencial 593

    12.12 Solução de PDEs por Laplace Transforms 600

    Capítulo 12 Perguntas e problemas de revisão 603

    Resumo do Capítulo 12 604

    Análise Complexa Parte D 607

    Capítulo 13 Números complexos e funções. Diferenciação Complexa 608

    13.1 Números Complexos e Sua Representação Geométrica 608

    13.2 Forma polar de números complexos. Poderes e raízes 613

    13.3 Derivado. Função Analítica 619

    13.4 Equações de Cauchy e NdashRiemann. Laplace e rsquos Equação 625

    13.5 Função Exponencial 630

    13.6 Funções trigonométricas e hiperbólicas. Euler & rsquos Fórmula 633

    13.7 Logaritmo. Potência geral. Valor Principal 636

    Capítulo 13 Perguntas e problemas de revisão 641

    Resumo do Capítulo 13 641

    Capítulo 14 Integração Complexa 643

    14.1 Integral de Linha no Plano Complexo 643

    14.2 Teorema Integral de Cauchy & rsquos 652

    14.3 Fórmula Integral 660 de Cauchy & rsquos

    14,4 Derivados de funções analíticas 664

    Capítulo 14 Perguntas e problemas de revisão 668

    Resumo do Capítulo 14 669

    Capítulo 15 Power Series, Taylor Series 671

    15.1 Sequências, Séries, Testes de Convergência 671

    15.3 Funções fornecidas pelo Power Series 685

    15.4 Taylor e Maclaurin Série 690

    15.5 Convergência uniforme. Opcional 698

    Capítulo 15 Revisar Perguntas e Problemas 706

    Resumo do Capítulo 15 706

    Capítulo 16 Laurent Series. Integração de Resíduos 708

    16.2 Singularidades e zeros. Infinity 715

    16.3 Método de Integração de Resíduos 719

    16.4 Integração de Resíduos de Integrais Reais 725

    Capítulo 16 Revisão de Perguntas e Problemas 733

    Resumo do Capítulo 16 734

    Capítulo 17 Mapeamento Conformal 736

    17.1 Geometria de Funções Analíticas: Mapeamento Conforme 737

    17.2 Transformações Fracionárias Lineares (Transformações M & oumlbius) 742

    17.3 Transformações Fracionárias Lineares Especiais 746

    17.4 Mapeamento Conformal por Outras Funções 750

    17.5 Superfícies de Riemann. Opcional 754

    Capítulo 17 Revisar questões e problemas 756

    Resumo do Capítulo 17 757

    Capítulo 18 Análise Complexa e Teoria do Potencial 758

    18.1 Campos eletrostáticos 759

    18.2 Uso de mapeamento conformal. Modelagem 763

    18.5 Poisson & rsquos Fórmula Integral para Potenciais 777

    18.6 Propriedades gerais das funções harmônicas. Teorema da Unicidade para o Problema de Dirichlet 781

    Capítulo 18 Revisar Perguntas e Problemas 785

    Resumo do Capítulo 18 786

    Parte E Análise Numérica 787

    Capítulo 19 Numéricos em Geral 790

    19.2 Solução de Equações por Iteração 798

    19.4 Interpolação Spline 820

    19.5 Integração Numérica e Diferenciação 827

    Capítulo 19 Perguntas e problemas de revisão 841

    Resumo do Capítulo 19 842

    Capítulo 20 Álgebra Linear Numérica 844

    20.1 Sistemas Lineares: Eliminação de Gauss 844

    20.2 Sistemas Lineares: Fatoração LU, Inversão de Matriz 852

    20.3 Sistemas Lineares: Solução por Iteração 858

    20.4 Sistemas Lineares: Mal-Condicionamento, Normas 864

    20.5 Método dos Mínimos Quadrados 872

    20.6 Problemas de valor próprio da matriz: Introdução 876

    20.7 Inclusão de valores próprios da matriz 879

    20.8 Método de potência para valores próprios 885

    20.9 Tridiagonalização e Fatoração QR 888

    Capítulo 20 Perguntas e problemas de revisão 896

    Resumo do Capítulo 20 898

    Capítulo 21 Numéricos para ODEs e PDEs 900

    21.1 Métodos para ODEs 901 de primeira ordem

    21.2 Métodos de várias etapas 911

    21.3 Métodos para sistemas e ODEs de ordem superior 915

    21.4 Métodos para PDEs elípticos 922

    21.5 Neumann e problemas mistos. Limite Irregular 931

    21.6 Métodos para PDEs parabólicos 936

    21.7 Método para PDEs hiperbólicas 942

    Capítulo 21 Revisar Perguntas e Problemas 945

    Resumo do Capítulo 21 946

    Parte F Otimização, Gráficos 949

    Capítulo 22 Otimização irrestrita. Programação Linear 950

    22.1 Conceitos básicos. Otimização irrestrita: Método de descida mais íngreme 951


    Notas sobre Diffy Qs: Equações Diferenciais para Engenheiros

    Notas sobre Diffy Qs é um livro introdutório sobre equações diferenciais para estudantes de engenharia. Na abordagem, está perto de (e internamente com referência cruzada) livros de Edwards e Penney (Equações diferenciais e problemas de valor limite) e Boyce e DiPrima (Equações diferenciais elementares e problemas de valor limite). A intenção de Lebl & rsquos é fornecer um livro comparável em cópia impressa a um custo baixo (ou disponível gratuitamente aqui para download). A cópia impressa é inteiramente em preto e branco, enquanto a versão para download tem várias ilustrações coloridas.

    O texto destina-se a apoiar um curso de um semestre ou dois trimestres, e pode ser estendido para dois semestres com algum material suplementar. Os conteúdos são bastante padronizados para um curso que visa introduzir equações diferenciais ordinárias e parciais. Os principais tópicos são equações diferenciais ordinárias de primeira ordem (EDOs), sistemas de EDOs, séries de Fourier e equações diferenciais parciais (PDEs), problemas de autovalor (incluindo problemas de Sturm-Liouville), a transformada de Laplace e métodos de séries de potência. A álgebra linear é introduzida conforme necessário, mas é reduzida ao mínimo.

    Se considerarmos quais conhecimentos e habilidades um estudante de engenharia deve tirar de um curso introdutório em equações diferenciais, pode-se incluir:

    • Reconhecer equações diferenciais comuns (por exemplo, variações da equação do oscilador harmônico, equação do calor, equação da onda)
    • Compreender as técnicas básicas para resolver ODEs e PDEs
    • Criar consciência de questões que envolvem existência e singularidade
    • Aprendizagem de rudimentos de comportamento qualitativo de soluções.
    • Obtendo alguma experiência com soluções numéricas.

    O texto atual se sai razoavelmente bem por esses critérios. Pode-se desejar um pouco mais de profundidade nos métodos qualitativos e uma mensagem mais clara de que a maioria das equações diferenciais não tem soluções de forma fechada.

    A escrita é simples, mas clara e o estilo é descontraído e coloquial. Os exercícios são abundantes, mas não particularmente distintos. Existem muitos exemplos, todos cuidadosamente elaborados. Onde os exemplos envolvem aplicações, eles são todos (sem surpresa) em física ou engenharia. No entanto, pode não ser uma má ideia para os engenheiros ver pelo menos algumas aplicações fora de seu campo.

    No geral, esta é uma introdução muito competente & mdash, mas não especialmente inspirada & ndash às equações diferenciais, que é sensível às necessidades dos alunos de engenharia em cursos futuros.

    Bill Satzer ([email protected]) é um cientista sênior de propriedade intelectual na 3M Company, tendo sido anteriormente gerente de laboratório na 3M para compósitos e materiais eletromagnéticos. Sua formação é em sistemas dinâmicos e particularmente em mecânica celeste, seus interesses atuais são amplamente em matemática aplicada e no ensino de matemática.

    Introdução
    0.1 Notas sobre essas notas
    0.2 Introdução às equações diferenciais

    1 ODEs de primeira ordem
    1.1 Integrais como soluções
    1.2 Campos de inclinação
    1.3 Equações separáveis
    1.4 Equações lineares e o fator de integração
    1.5 Substituição
    1.6 Equações autônomas
    1.7 Métodos numéricos: método de Euler & rsquos

    2 ODEs lineares de ordem superior
    2.1 ODEs lineares de segunda ordem
    2.2 ODEs lineares de segunda ordem do coeficiente constante
    2.3 ODEs lineares de ordem superior
    2.4 Vibrações mecânicas
    2.5 Equações não homogêneas
    2.6 Oscilações forçadas e ressonância

    3 Sistemas de EDOs
    3.1 Introdução aos sistemas de ODEs
    3.2 Matrizes e sistemas lineares
    3.3 Sistemas lineares de ODEs
    3.4 Método de autovalor
    3.5 Sistemas bidimensionais e seus campos vetoriais
    3.6 Sistemas e aplicativos de segunda ordem
    3.7 Múltiplos valores próprios
    3.8 exponenciais de matriz
    3.9 Sistemas não homogêneos

    4 séries de Fourier e PDEs
    4.1 Problemas de valor limite
    4.2 A série trigonométrica
    4.3 Mais sobre a série Fourier
    4.4 Série seno e cosseno
    4.5 Aplicações da série Fourier
    4.6 PDEs, separação de variáveis ​​e a equação do calor
    4.7 Equação de onda unidimensional
    4.8 Solução D & rsquoAlembert da equação de onda
    4.9 Temperatura de estado estacionário e o Laplaciano
    4.10 Problema de Dirichlet no círculo e o kernel de Poisson

    5 problemas de autovalor
    5.1 Sturm-Liouville problems
    5.2 Application of eigenfunction series
    5.3 Steady periodic solutions

    6 The Laplace transform
    6.1 The Laplace transform
    6.2 Transforms of derivatives and ODEs
    6.3 Convolution
    6.4 Dirac delta and impulse response

    7 Power series methods
    7.1 Power series
    7.2 Series solutions of linear second order ODEs
    7.3 Singular points and the method of Frobenius


    PART A Ordinary Differential Equations (ODEs) 1

    CHAPTER 1 First-Order ODEs 2

    1.1 Basic Concepts. Modeling 2

    1.2 Geometric Meaning of y ƒ(x, y). Direction Fields, Euler’s Method 9

    1.3 Separable ODEs. Modeling 12

    1.4 Exact ODEs. Integrating Factors 20

    1.5 Linear ODEs. Bernoulli Equation. Population Dynamics 27

    1.6 Orthogonal Trajectories. Optional 36

    1.7 Existence and Uniqueness of Solutions for Initial Value Problems 38

    CHAPTER 2 Second-Order Linear ODEs 46

    2.1 Homogeneous Linear ODEs of Second Order 46

    2.2 Homogeneous Linear ODEs with Constant Coefficients 53

    2.3 Differential Operators. Optional 60

    2.4 Modeling of Free Oscillations of a Mass–Spring System 62

    2.5 Euler–Cauchy Equations 71

    2.6 Existence and Uniqueness of Solutions. Wronskian 74

    2.7 Nonhomogeneous ODEs 79

    2.8 Modeling: Forced Oscillations. Resonance 85

    2.9 Modeling: Electric Circuits 93

    2.10 Solution by Variation of Parameters 99

    CHAPTER 3 Higher Order Linear ODEs 105

    3.1 Homogeneous Linear ODEs 105

    3.2 Homogeneous Linear ODEs with Constant Coefficients 111

    3.3 Nonhomogeneous Linear ODEs 116

    CHAPTER 4 Systems of ODEs. Phase Plane. Qualitative Methods 124

    4.0 For Reference: Basics of Matrices and Vectors 124

    4.1 Systems of ODEs as Models in Engineering Applications 130

    4.2 Basic Theory of Systems of ODEs. Wronskian 137

    4.3 Constant-Coefficient Systems. Phase Plane Method 140

    4.4 Criteria for Critical Points. Stability 148

    4.5 Qualitative Methods for Nonlinear Systems 152

    4.6 Nonhomogeneous Linear Systems of ODEs 160

    CHAPTER 5 Series Solutions of ODEs. Special Functions 167

    5.1 Power Series Method 167

    5.2 Legendre's Equation. Legendre Polynomials Pn(x) 175

    5.3 Extended Power Series Method: Frobenius Method 180

    5.4 Bessel’s Equation. Bessel Functions (x) 187

    5.5 Bessel Functions of the Y (x). General Solution 196

    CHAPTER 6 Laplace Transforms 203

    6.1 Laplace Transform. Linearity. First Shifting Theorem (s-Shifting) 204

    6.2 Transforms of Derivatives and Integrals. ODEs 211

    6.3 Unit Step Function (Heaviside Function). Second Shifting Theorem (t-Shifting) 217

    6.4 Short Impulses. Dirac's Delta Function. Partial Fractions 225

    6.5 Convolution. Integral Equations 232

    6.6 Differentiation and Integration of Transforms. ODEs with Variable Coefficients 238

    6.8 Laplace Transform: General Formulas 248

    6.9 Table of Laplace Transforms 249

    PART B Linear Algebra. Vector Calculus 255

    CHAPTER 7 Linear Algebra: Matrices, Vectors, Determinants. Linear Systems 256

    7.1 Matrices, Vectors: Addition and Scalar Multiplication 257

    7.2 Matrix Multiplication 263

    7.3 Linear Systems of Equations. Gauss Elimination 272

    7.4 Linear Independence. Rank of a Matrix. Vector Space 282

    7.5 Solutions of Linear Systems: Existence, Uniqueness 288

    7.6 For Reference: Second- and Third-Order Determinants 291

    7.7 Determinants. Cramer’s Rule 293

    7.8 Inverse of a Matrix. Gauss–Jordan Elimination 301

    7.9 Vector Spaces, Inner Product Spaces. Linear Transformations. Optional 309

    CHAPTER 8 Linear Algebra: Matrix Eigenvalue Problems 322

    8.1 The Matrix Eigenvalue Problem. Determining Eigenvalues and Eigenvectors 323

    8.2 Some Applications of Eigenvalue Problems 329

    8.3 Symmetric, Skew-Symmetric, and Orthogonal Matrices 334

    8.4 Eigenbases. Diagonalization. Quadratic Forms 339

    8.5 Complex Matrices and Forms. Optional 346

    CHAPTER 9 Vector Differential Calculus. Grad, Div, Curl 354

    9.1 Vectors in 2-Space and 3-Space 354

    9.2 Inner Product (Dot Product) 361

    9.3 Vector Product (Cross Product) 368

    9.4 Vector and Scalar Functions and Their Fields. Vector Calculus: Derivatives 375

    9.5 Curves. Arc Length. Curvature. Torsion 381

    9.6 Calculus Review: Functions of Several Variables. Optional 392

    9.7 Gradient of a Scalar Field. Directional Derivative 395

    9.8 Divergence of a Vector Field 403

    9.9 Curl of a Vector Field 406

    CHAPTER 10 Vector Integral Calculus. Integral Theorems 413

    10.2 Path Independence of Line Integrals 419

    10.3 Calculus Review: Double Integrals. Optional 426

    10.4 Green’s Theorem in the Plane 433

    10.5 Surfaces for Surface Integrals 439

    10.6 Surface Integrals 443

    10.7 Triple Integrals. Divergence Theorem of Gauss 452

    10.8 Further Applications of the Divergence Theorem 458

    PART C Fourier Analysis. Partial Differential Equations (PDEs) 473

    CHAPTER 11 Fourier Analysis 474

    11.2 Arbitrary Period. Even and Odd Functions. Half-Range Expansions 483

    11.3 Forced Oscillations 492

    11.4 Approximation by Trigonometric Polynomials 495

    11.5 Sturm–Liouville Problems. Orthogonal Functions 498

    11.6 Orthogonal Series. Generalized Fourier Series 504

    11.8 Fourier Cosine and Sine Transforms 518

    11.9 Fourier Transform. Discrete and Fast Fourier Transforms 522

    11.10 Tables of Transforms 534

    CHAPTER 12 Partial Differential Equations (PDEs) 540

    12.1 Basic Concepts of PDEs 540

    12.2 Modeling: Vibrating String, Wave Equation 543

    12.3 Solution by Separating Variables. Use of Fourier Series 545

    12.4 D’Alembert’s Solution of the Wave Equation. Characteristics 553

    12.5 Modeling: Heat Flow from a Body in Space. Heat Equation 557

    12.6 Heat Equation: Solution by Fourier Series. Steady Two-Dimensional Heat Problems. Dirichlet Problem 558

    12.7 Heat Equation: Modeling Very Long Bars. Solution by Fourier Integrals and Transforms 568

    12.8 Modeling: Membrane, Two-Dimensional Wave Equation 575

    12.9 Rectangular Membrane. Double Fourier Series 577

    12.10 Laplacian in Polar Coordinates. Circular Membrane. Fourier–Bessel Series 585

    12.11 Laplace’s Equation in Cylindrical and Spherical Coordinates. Potential 593

    12.12 Solution of PDEs by Laplace Transforms 600

    PART D Complex Analysis 607

    CHAPTER 13 Complex Numbers and Functions. Complex Differentiation 608

    13.1 Complex Numbers and Their Geometric Representation 608

    13.2 Polar Form of Complex Numbers. Powers and Roots 613

    13.3 Derivative. Analytic Function 619

    13.4 Cauchy–Riemann Equations. Laplace’s Equation 625

    13.5 Exponential Function 630

    13.6 Trigonometric and Hyperbolic Functions. Euler's Formula 633

    13.7 Logarithm. General Power. Principal Value 636

    CHAPTER 14 Complex Integration 643

    14.1 Line Integral in the Complex Plane 643

    14.2 Cauchy's Integral Theorem 652

    14.3 Cauchy's Integral Formula 660

    14.4 Derivatives of Analytic Functions 664

    CHAPTER 15 Power Series, Taylor Series 671

    15.1 Sequences, Series, Convergence Tests 671

    15.3 Functions Given by Power Series 685

    15.4 Taylor and Maclaurin Series 690

    15.5 Uniform Convergence. Optional 698

    CHAPTER 16 Laurent Series. Residue Integration 708

    16.2 Singularities and Zeros. Infinity 714

    16.3 Residue Integration Method 719

    16.4 Residue Integration of Real Integrals 725

    CHAPTER 17 Conformal Mapping 735

    17.1 Geometry of Analytic Functions: Conformal Mapping 736

    17.2 Linear Fractional Transformations (Möbius Transformations) 741

    17.3 Special Linear Fractional Transformations 745

    17.4 Conformal Mapping by Other Functions 749

    17.5 Riemann Surfaces. Optional 753

    CHAPTER 18 Complex Analysis and Potential Theory 756

    18.1 Electrostatic Fields 757

    18.2 Use of Conformal Mapping. Modeling 761

    18.5 Poisson's Integral Formula for Potentials 774

    18.6 General Properties of Harmonic Functions. Uniqueness Theorem for the Dirichlet Problem 778

    PART E Numeric Analysis 785

    CHAPTER 19 Numerics in General 788

    19.2 Solution of Equations by Iteration 795

    19.4 Spline Interpolation 817

    19.5 Numeric Integration and Differentiation 824

    CHAPTER 20 Numeric Linear Algebra 841

    20.1 Linear Systems: Gauss Elimination 841

    20.2 Linear Systems: LU-Factorization, Matrix Inversion 849

    20.3 Linear Systems: Solution by Iteration 855

    20.4 Linear Systems: Ill-Conditioning, Norms 861

    20.5 Least Squares Method 869

    20.6 Matrix Eigenvalue Problems: Introduction 873

    20.7 Inclusion of Matrix Eigenvalues 876

    20.8 Power Method for Eigenvalues 882

    20.9 Tridiagonalization and QR-Factorization 885

    CHAPTER 21 Numerics for ODEs and PDEs 897

    21.1 Methods for First-Order ODEs 898

    21.2 Multistep Methods 908

    21.3 Methods for Systems and Higher Order ODEs 912

    21.4 Methods for Elliptic PDEs 919

    21.5 Neumann and Mixed Problems. Irregular Boundary 928

    21.6 Methods for Parabolic PDEs 933

    21.7 Method for Hyperbolic PDEs 939

    PART F Optimization, Graphs 947

    CHAPTER 22 Unconstrained Optimization. Linear Programming 948

    22.1 Basic Concepts. Unconstrained Optimization: Method of Steepest Descent 949


    2.3: Higher order linear ODEs - Mathematics

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    2 respostas 2

    The stationary / travelling wave / soliton regime of the KdV equation and its cousins give a lot of examples. For the original KdV, under the travelling wave ansatz we have the third order equation $ f''' - c f' + 6f f' = 0 .$

    The Euler-Bernoulli beam theory has an equation of the form $ [ alpha f'']'' = F $ If you somehow have a nonlinear load function $F$, or a nonlinear dependence of the flexural rigidity $alpha$, then you will get a fourth order equation. (I make no claims on the physicality of such assumptions.)

    As an aside, as you mentioned that most physical models start out as second order. The appearance of the higher order derivatives usually comes from the approximation of the original higher dimensional physical model (in the form of a partial differential equation) by a simplified model (in lower dimensions, often now an ODE), with the higher order derivatives arising as a consequence of the constraints under which the approximations are derived. Both examples above are reductions of more primitive systems of partial differential equations: KdV comes from the equations of fluids after a reduction to one dimensions and imposing a shallow-water assumption Euler-Bernoulli theory comes from the equations for elasticity under a one dimension reduction and certain assumptions on how the beam bends.


    Higher-Order Differential Equations - PowerPoint PPT Presentation

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    Extra Credit: Stability region plots (12 points)

    You have seen above that some choices of step size result in unstable solutions (blow up) and some don't. It is important to be able to predict what choices of will result in unstable solutions. One way to accomplish this task is to plot the region of stability in the complex plane. An excellent source of further information about stability regions can be found in Chapter Seven of the book "Finite Difference Methods for Ordinary and Partial Differential Equations" by Randall J. LeVeque at
    http://www.siam.org/books/ot98/sample/OT98Chapter7.pdf .

    When applied to the test ODE , all of the common ODE methods result in linear recurrance relations of the form

    where , is some small integer, and the are constants depending on . For example, the explicit Euler method results in the recurrance relation

    It is a well-known fact that linear recursions of the form (7) have unique solutions in the form

    where for are the distinct roots of the polynomial equation

    If any of the roots is not simple, this expression must be modified slightly. The coefficients are determined by initial conditions. It must be emphasised that the roots are, in general, complex. For the explicit Euler method, for example, and .

    The relationship between (7) and (8) can be seen by assuming that, in the limit of large , .

    Clearly, the sequence is stable (bounded) if and only if . Hence the ODE method associated with the polynomial (8) is stable if and only if all the roots satisfy .

    1. Plug into the formula you are investigating to yield (8).
    2. Write (8) in terms of and
    3. For such that , solve for . This might involve several branches, e.g., when a square root has been taken.
    4. For , set and draw one or more curves. These curves bound the stability region.
    5. To identify the interior of the stability region, set and plot the resulting curve(s).

    In the following exercise, you will implement this algorithm.

    1. For real values of , the exponential , where is the imaginary unit, always satisfies . Using 1000 values of between 0 and , construct 1000 points on the unit circle in the complex plane. Write a Matlab script m-file to plot these points and confirm they lie on the unit circle. (Recall axis equal can be used to get the correct aspect ratio.) Include this plot with the summary of your work.
    2. As remarked above, the explicit Euler method applied to the ODE yields Since occurs together, denote the product as . Also denote by the ratio . Writing these expressions using pencil and paper, solve this expression for in terms of .


    Assista o vídeo: Cálculo III - Aula 16 - Equações diferenciais ordinárias lineares de ordem n - parte I (Outubro 2021).