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1.4.4E: Exercícios para a Seção 12.4 - Matemática


Determinando o Comprimento do Arco

Nas questões 1 - 6, encontre o comprimento do arco da curva no intervalo dado.

1) ( vecs r (t) = t ^ 2 , hat { mathbf {i}} + (2t ^ 2 + 1) , hat { mathbf {j}}, quad 1≤t ≤3 )

Responder:
(8 sqrt {5} ) unidades

2) ( vecs r (t) = t ^ 2 , hat { mathbf {i}} + 14t , hat { mathbf {j}}, quad 0≤t≤7 ). Esta parte do gráfico é mostrada aqui:

3) ( vecs r (t) = ⟨t ^ 2 + 1,4t ^ 3 + 3⟩, quad −1≤t≤0 )

Responder:
( frac {1} {54} (37 ^ {3/2} −1) ) unidades

4) ( vecs r (t) = ⟨2 sin t, 5t, 2 cos t⟩, quad 0≤t≤π ). Esta parte do gráfico é mostrada aqui:

5) ( vecs r (t) = ⟨e ^ {- t cos t}, e ^ {- t sin t}⟩ ) no intervalo ([0, frac {π} {2} ] ). Aqui está a parte do gráfico no intervalo indicado:

6)

7) Encontre o comprimento de uma volta da hélice dada por ( vecs r (t) = frac {1} {2} cos t , hat { mathbf {i}} + frac {1} {2} sin t , hat { mathbf {j}} + sqrt { frac {3} {4}} t , hat { mathbf {k}} ).

Responder:
Comprimento (= 2π ) unidades

8) Encontre o comprimento do arco da função de valor vetorial ( vecs r (t) = - t , hat { mathbf {i}} + 4t , hat { mathbf {j}} + 3t , hat { mathbf {k}} ) sobre ([0,1] ).

9) Uma partícula viaja em um círculo com a equação do movimento ( vecs r (t) = 3 cos t , hat { mathbf {i}} + 3 sin t , hat { mathbf { j}} +0 , hat { mathbf {k}} ). Encontre a distância percorrida ao redor do círculo pela partícula.

Responder:
(6π ) unidades

10) Configure uma integral para encontrar a circunferência da elipse com a equação ( vecs r (t) = cos t , hat { mathbf {i}} + 2 sin t , hat { mathbf {j}} + 0 , hat { mathbf {k}} ).

11) Encontre o comprimento da curva ( vecs r (t) = ⟨ sqrt {2} t, e ^ t, e ^ {- t}⟩ ) no intervalo (0≤t≤1 ) . O gráfico é mostrado aqui:

Responder:
( left (e− frac {1} {e} right) ) unidades

12) Encontre o comprimento da curva ( vecs r (t) = ⟨2 sin t, 5t, 2 cos t⟩ ) para (t∈ [−10,10] ).

Vetores Tangentes Unitários e Vetores Normais Unitários

13) A função de posição para uma partícula é ( vecs r (t) = a cos (ωt) , hat { mathbf {i}} + b sin (ωt) , hat { mathbf { j}} ). Encontre o vetor tangente unitário e o vetor normal unitário em (t = 0 ).

Solução:
( vecs r '(t) = -aω sin (ωt) , hat { mathbf {i}} + bω cos (ωt) , hat { mathbf {j}} )
( | vecs r '(t) | = sqrt {a ^ 2 ω ^ 2 sin ^ 2 (ωt) + b ^ 2ω ^ 2 cos ^ 2 (ωt)} )
( vecs T (t) = dfrac { vecs r '(t)} { | vecs r' (t) |} = dfrac {-aω sin (ωt) , hat { mathbf {i}} + bω cos (ωt) , hat { mathbf {j}}} { sqrt {a ^ 2 ω ^ 2 sin ^ 2 (ωt) + b ^ 2ω ^ 2 cos ^ 2 (ωt)}} )
( vecs T (0) = dfrac {bω , hat { mathbf {j}}} { sqrt {(bω) ^ 2}} = dfrac {bω , hat { mathbf {j }}} {| bω |} )
If (bω> 0, ; vecs T (0) = hat { mathbf {j}}, ) e if (bω <0, ; T (0) = - hat { mathbf { j}} )
Responder:
If (bω> 0, ; vecs T (0) = hat { mathbf {j}}, ) e if (bω <0, ; vecs T (0) = - hat { mathbf {j}} )
If (a> 0, ; vecs N (0) = - hat { mathbf {i}}, ) e if (a <0, ; vecs N (0) = hat { mathbf {i}} )

14) Dado ( vecs r (t) = a cos (ωt) , hat { mathbf {i}} + b sin (ωt) , hat { mathbf {j}} ), encontre o vetor binormal ( vecs B (0) ).

15) Dado ( vecs r (t) = ⟨2e ^ t, e ^ t cos t, e ^ t sin t⟩ ), determine o vetor tangente unitário ( vecs T (t) ).

Responder:
( begin {align *} vecs T (t) & = ⟨ frac {2} { sqrt {6}}, , frac { cos t− sin t} { sqrt {6}} , , frac { cos t + sin t} { sqrt {6}}⟩ [4pt]
& = ⟨ Frac { sqrt {6}} {3}, , frac { sqrt {6}} {6} ( cos t− sin t), , frac { sqrt {6} } {6} ( cos t + sin t)⟩ end {alinhar *} )

16) Dado ( vecs r (t) = ⟨2e ^ t, e ^ t cos t, e ^ t sin t⟩ ), encontre o vetor tangente unitário ( vecs T (t) ) avaliado em (t = 0 ), ( vecs T (0) ).

17) Dado ( vecs r (t) = ⟨2e ^ t, e ^ t cos t, e ^ t sin t⟩ ), determine o vetor normal unitário ( vecs N (t) ).

Responder:
( vecs N (t) = ⟨0, , - frac { sqrt {2}} {2} ( sin t + cos t), , frac { sqrt {2}} {2 } ( cos t- sin t)⟩ )

18) Dado ( vecs r (t) = ⟨2e ^ t, e ^ t cos t, e ^ t sin t⟩ ), encontre o vetor normal unitário ( vecs N (t) ) avaliado em (t = 0 ), ( vecs N (0) ).

Responder:
( vecs N (0) = ⟨0, ; - frac { sqrt {2}} {2}, ; frac { sqrt {2}} {2}⟩ )

19) Dado ( vecs r (t) = t , hat { mathbf {i}} + t ^ 2 , hat { mathbf {j}} + t , hat { mathbf {k }} ), encontre o vetor tangente unitário ( vecs T (t) ). O gráfico é mostrado aqui:

Responder:
( vecs T (t) = frac {1} { sqrt {4t ^ 2 + 2}} <1,2t, 1> )

20) Encontre o vetor tangente unitário ( vecs T (t) ) e o vetor normal unitário ( vecs N (t) ) em (t = 0 ) para a curva plana ( vecs r (t ) = ⟨T ^ 3−4t, 5t ^ 2−2⟩ ). O gráfico é mostrado aqui:

21) Encontre o vetor tangente unitário ( vecs T (t) ) para ( vecs r (t) = 3t , hat { mathbf {i}} + 5t ^ 2 , hat { mathbf {j}} + 2t , hat { mathbf {k}} ).

Responder:
( vecs T (t) = frac {1} { sqrt {100t ^ 2 + 13}} (3 , hat { mathbf {i}} + 10t , hat { mathbf {j} } +2 , hat { mathbf {k}}) )

22) Encontre o vetor normal principal para a curva ( vecs r (t) = ⟨6 cos t, 6 sin t⟩ ) no ponto determinado por (t = frac {π} {3} )

23) Encontre ( vecs T (t) ) para a curva ( vecs r (t) = (t ^ 3−4t) , hat { mathbf {i}} + (5t ^ 2−2 ) , hat { mathbf {j}} ).

Responder:
( vecs T (t) = frac {1} { sqrt {9t ^ 4 + 76t ^ 2 + 16}} ([3t ^ 2−4] , hat { mathbf {i}} + 10t , hat { mathbf {j}}) )

24) Encontre ( vecs N (t) ) para a curva ( vecs r (t) = (t ^ 3−4t) , hat { mathbf {i}} + (5t ^ 2−2 ) , hat { mathbf {j}} ).

25) Encontre o vetor tangente unitário ( vecs T (t) ) para ( vecs r (t) = ⟨2 sin t, , 5t, , 2 cos t⟩ ).

Responder:
( vecs T (t) = ⟨ frac {2 sqrt {29}} {29} cos t, , frac {5 sqrt {29}} {29}, , - frac {2 sqrt {29}} {29} sin t⟩ )

26) Encontre o vetor normal unitário ( vecs N (t) ) para ( vecs r (t) = ⟨2 sin t, , 5t, , 2 cos t⟩ ).

Responder:
( vecs N (t) = ⟨− sin t, 0, - cos t⟩ )

Parametrizações de comprimento de arco

27) Encontre a função de comprimento de arco ( vecs s (t) ) para o segmento de linha dado por ( vecs r (t) = ⟨3−3t, , 4t⟩ ). Em seguida, escreva a parametrização do comprimento do arco de (r ) com (s ) como o parâmetro.

Responder:
Função de comprimento de arco: (s (t) = 5t ); A parametrização do comprimento do arco de ( vecs r (t) ): ( vecs r (s) = (3− frac {3s} {5}) , hat { mathbf {i}} + frac {4s} {5} , hat { mathbf {j}} )

28) Parametrize a hélice ( vecs r (t) = cos t , hat { mathbf {i}} + sin t , hat { mathbf {j}} + t , hat { mathbf {k}} ) usando o parâmetro de comprimento de arco (s ), de (t = 0 ).

29) Parametrize a curva usando o parâmetro de comprimento de arco (s ), no ponto em que (t = 0 ) para ( vecs r (t) = e ^ t sin t , hat { mathbf {i}} + e ^ t cos t , hat { mathbf {j}} )

Responder:
( vecs r (s) = (1+ frac {s} { sqrt {2}}) sin ( ln (1+ frac {s} { sqrt {2}})) , hat { mathbf {i}} + (1+ frac {s} { sqrt {2}}) cos [ ln (1+ frac {s} { sqrt {2}})] , chapéu { mathbf {j}} )

Curvatura e o Círculo Osculante

30) Encontre a curvatura da curva ( vecs r (t) = 5 cos t , hat { mathbf {i}} + 4 sin t , hat { mathbf {j}} ) em (t = π / 3 ). (Observação: O gráfico é uma elipse.)

31) Encontre a coordenada (x ) na qual a curvatura da curva (y = 1 / x ) é um valor máximo.

Responder:
O valor máximo da curvatura ocorre em (x = 1 ).

32) Encontre a curvatura da curva ( vecs r (t) = 5 cos t , hat { mathbf {i}} + 5 sin t , hat { mathbf {j}} ) . A curvatura depende do parâmetro (t )?

33) Encontre a curvatura (κ ) para a curva (y = x− frac {1} {4} x ^ 2 ) no ponto (x = 2 ).

Responder:
( frac {1} {2} )

34) Encontre a curvatura (κ ) para a curva (y = frac {1} {3} x ^ 3 ) no ponto (x = 1 ).

35) Encontre a curvatura (κ ) da curva ( vecs r (t) = t , hat { mathbf {i}} + 6t ^ 2 , hat { mathbf {j}} + 4t , hat { mathbf {k}} ). O gráfico é mostrado aqui:

Responder:
(κ≈ dfrac {49,477} {(17 + 144t ^ 2) ^ {3/2}} )

36) Encontre a curvatura de ( vecs r (t) = ⟨2 sin t, 5t, 2 cos t⟩ ).

37) Encontre a curvatura de ( vecs r (t) = sqrt {2} t , hat { mathbf {i}} + e ^ t , hat { mathbf {j}} + e ^ {−t} , hat { mathbf {k}} ) no ponto (P (0,1,1) ).

Responder:
( frac {1} {2 sqrt {2}} )

38) Em que ponto a curva (y = e ^ x ) tem curvatura máxima?

39) O que acontece com a curvatura como (x → ∞ ) para a curva (y = e ^ x )?

Responder:
A curvatura se aproxima de zero.

40) Encontre o ponto de curvatura máxima na curva (y = ln x ).

41) Encontre as equações do plano normal e do plano osculante da curva ( vecs r (t) = ⟨2 sin (3t), t, 2 cos (3t)⟩ ) no ponto ((0 , π, −2) ).

Responder:
(y = 6x + π ) e (x + 6y = 6π )

42) Encontre as equações dos círculos osculantes da elipse (4y ^ 2 + 9x ^ 2 = 36 ) nos pontos ((2,0) ) e ((0,3) ).

43) Encontre a equação para o plano osculante no ponto (t = π / 4 ) na curva ( vecs r (t) = cos (2t) , hat { mathbf {i}} + sin (2t) , hat { mathbf {j}} + t , hat { mathbf {k}} ).

Responder:
(x + 2z = frac {π} {2} )

44) Encontre o raio de curvatura de (6y = x ^ 3 ) no ponto ((2, frac {4} {3}). )

45) Encontre a curvatura em cada ponto ((x, y) ) na hipérbole ( vecs r (t) = ⟨a cosh (t), b sinh (t)⟩ ).

Responder:
( dfrac {a ^ 4b ^ 4} {(b ^ 4x ^ 2 + a ^ 4y ^ 2) ^ {3/2}} )

46) Calcule a curvatura da hélice circular ( vecs r (t) = r sin (t) , hat { mathbf {i}} + r cos (t) , hat { mathbf { j}} + t , hat { mathbf {k}} ).

47) Encontre o raio de curvatura de (y = ln (x + 1) ) no ponto ((2, ln 3) ).

Responder:
( frac {10 sqrt {10}} {3} )

48) Encontre o raio de curvatura da hipérbole (xy = 1 ) no ponto ((1,1) ).

Uma partícula se move ao longo da curva plana (C ) descrita por ( vecs r (t) = t , hat { mathbf {i}} + t ^ 2 , hat { mathbf {j}} ). Use esta parametrização para responder às perguntas 49 - 51.

49) Encontre o comprimento da curva no intervalo ([0,2] ).

Responder:
( frac {1} {4} big [4 sqrt {17} + ln left (4+ sqrt {17} right) big] text {unidades} aprox. 4,64678 text {unidades } )

50) Encontre a curvatura da curva plana em (t = 0,1,2 ).

51) Descreva a curvatura como t aumenta de (t = 0 ) para (t = 2 ).

Responder:
A curvatura está diminuindo neste intervalo.

A superfície de uma xícara grande é formada girando o gráfico da função (y = 0,25x ^ {1,6} ) de (x = 0 ) a (x = 5 ) sobre o (y ) -eixo (medido em centímetros).

52) [T] Use a tecnologia para representar graficamente a superfície.

53) Encontre a curvatura (κ ) da curva de geração em função de (x ).

Responder:
(κ = dfrac {30} {x ^ {2/5} left (25 + 4x ^ {6/5} right) ^ {3/2}} )

Observe que inicialmente sua resposta pode ser:
( dfrac {6} {25x ^ {2/5} left (1+ frac {4} {25} x ^ {6/5} right) ^ {3/2}} )

Podemos simplificá-lo da seguinte maneira:
( begin {align *} dfrac {6} {25x ^ {2/5} left (1+ frac {4} {25} x ^ {6/5} right) ^ {3/2} } & = dfrac {6} {25x ^ {2/5} big [ frac {1} {25} left (25 + 4x ^ {6/5} right) big] ^ {3/2 }} [4pt]
& = dfrac {6} {25x ^ {2/5} left ( frac {1} {25} right) ^ {3/2} big [25 + 4x ^ {6/5} big] ^ {3/2}} [4pt]
& = dfrac {6} { frac {25} {125} x ^ {2/5} big [25 + 4x ^ {6/5} big] ^ {3/2}} [4pt]
& = dfrac {30} {x ^ {2/5} left (25 + 4x ^ {6/5} right) ^ {3/2}} end {align *} )

54) [T] Use a tecnologia para representar graficamente a função de curvatura.


1.4.4E: Exercícios para a Seção 12.4 - Matemática

L.H.S. =

C1→ C1+ C2

=

De acordo com as propriedades do determinante


Questão 2.

L.H.S. =

= 0 [∵ Cada elemento de C1 são 0]

Agora, L.H.S. = R.H.S.


Questão 3.

L.H.S. =

C3→ C3-C1

=

=

= 9 × 0 = 0 [∵C2 & C3 são idênticos]

Agora, L.H.S. = R.H.S.

Provado Conseqüentemente

Questão 4.

L.H.S. =

=

Agora, L.H.S. = R.H.S.

Provado Conseqüentemente

Questão 5.

L.H.S. =

Agora, L.H.S. = R.H.S.


Questão 6.

Seja Δ =

Tomando (-1) comum de cada linha

Δ = (- 1) 3

Trocar linhas e colunas

Δ = -

Agora, Δ = -Δ

Δ + Δ = 0

2Δ = 0


Questão 7.

L.H.S. =

Pegando um comum da linha 1,

b da linha 2,

c da linha 3, temos

Agora, L.H.S. = R.H.S.


Usando propriedades de determinantes, nos Exercícios 8 a 14, mostre que:

Questão 8 (i).

(ii)

(eu) L.H.S. =

Agora, L.H.S. = R.H.S.

Provado Conseqüentemente

(ii) L.H.S. =

Agora, L.H.S. = R.H.S.


Questão 9.

L.H.S. =

Agora, L.H.S. = R.H.S.


Questão 10. (i)

(ii)

(eu) L.H.S. =

Agora, L.H.S. = R.H.S.

Provado Conseqüentemente

(ii) L.H.S. =

Agora, L.H.S. = R.H.S.

Provado Conseqüentemente


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  • Capítulo 1: Solução de problemas
    • 1.1: Raciocínio Indutivo e Dedutivo (28)
    • 1.2: Resolução de problemas com padrões (17)
    • 1.3: Estratégias de resolução de problemas (21)
    • 1: Exercícios de revisão
    • 1: Teste
    • 1.IR1: Adicionar números inteiros (54)
    • 1.IR2: Resolva Problemas de Aplicação (6)
    • 1.IR3: Subtrair os números inteiros sem pedir emprestado (31)
    • 1.IR4: Subtrair números inteiros com empréstimo (56)
    • 1.IR5: Avalie uma Expressão Variável (48)
    • 1.IR6: Encontre a raiz quadrada de um quadrado perfeito (44)
    • 1.IR7: Leia um gráfico circular (11)
    • 1.IR8: Leia um gráfico de barras (6)
    • 1.IR9: Leia um gráfico de linha quebrada (6)
    • 1.IR10: Escreva os termos de uma sequência (22)
    • 2.1: Propriedades básicas dos conjuntos (40)
    • 2.2: Complementos, subconjuntos e diagramas de Venn (28)
    • 2.3: Operações de Conjunto (27)
    • 2.4: Aplicações de Conjuntos (24)
    • 2.5: Conjuntos infinitos (17)
    • 2: Exercícios de revisão
    • 2: Teste
    • 2: Laboratório responsivo: Diagramas de Venn (1)
    • 2.IR1: Conjuntos de gravação e gráficos (45)
    • 2.IR2: Encontre a União e a Intersecção de Conjuntos (30)
    • 3.1: Declarações Lógicas e Quantificadores (27)
    • 3.2: Tabelas da verdade, declarações equivalentes e tautologias (22)
    • 3.3: O Condicional e o Bicondicional (21)
    • 3.4: As declarações condicionais e relacionadas (17)
    • 3.5: Argumentos Simbólicos (19)
    • 3.6: Argumentos e Diagramas de Euler (18)
    • 3: Exercícios de revisão
    • 3: Teste
    • 3.IR1: Avalie Expressões Exponenciais e Use o Acordo de Ordem de Operações (3)
    • 3.IR2: Use e identifique as propriedades dos números reais (18)
    • 4.1: Introdução ao rateio (18)
    • 4.2: Introdução à votação (22)
    • 4.3: Sistemas de votação ponderada (24)
    • 4: Exercícios de revisão
    • 4: Teste
    • 4: Laboratório Responsivo: Teorema da Impossibilidade de Arrow (1)
    • 4.IR1: Multiplique um número por um único dígito (39)
    • 4.IR2: Divida por um único dígito sem nenhum resto no quociente (16)
    • 4.IR3: Divida por um único dígito com um resto no quociente (25)
    • 4.IR4: Simplifique as expressões que contêm expoentes (40)
    • 4.IR5: Use o Acordo de Ordem de Operações para Simplificar Expressões (40)
    • 4.IR6: Arredonde um decimal para um determinado valor de lugar (14)
    • 4.IR7: Converter Frações em Decimais (10)
    • 4.IR8: Escreva um decimal ou uma fração como um percentual (37)
    • 4.IR9: Escreva um conjunto usando o método Roster (18)
    • 4.IR10: Resolva uma desigualdade usando a propriedade de adição de desigualdades (35)
    • 4.IR11: Avalie as expressões que contêm o símbolo de valor absoluto (50)
    • 4.IR12: Avaliar Expressões Variáveis ​​(26)
    • 5.1: Gráficos e circuitos de Euler (17)
    • 5.2: Gráficos Ponderados (22)
    • 5.3: Planaridade e Fórmula de Euler (16)
    • 5.4: Coloração do Gráfico (13)
    • 5: Exercícios de revisão
    • 5: Teste
    • 5: Laboratório responsivo: algoritmos de gráfico completos (1)
    • 5.IR1: Identificar a relação de pedido entre dois números (11)
    • 5.IR2: Avaliar Expressões Variáveis ​​(26)
    • 5.IR3: Resolva uma equação da forma x + uma = b (30)
    • 6.1: Sistemas de Numeração Antecipada (35)
    • 6.2: Sistemas de valor local (33)
    • 6.3: Diferentes Sistemas de Base (35)
    • 6.4: Aritmética em Bases Diferentes (26)
    • 6.5: Números Primos (21)
    • 6.6: Tópicos da Teoria dos Números (24)
    • 6: Exercícios de revisão
    • 6: Teste
    • 6.IR1: Identificar a relação de pedido entre dois números (11)
    • 6.IR2: Escreva Números Inteiros em Palavras e na Forma Padrão (8)
    • 6.IR3: Divida por um único dígito sem nenhum resto no quociente (16)
    • 7.1: Medição (13)
    • 7.2: Conceitos Básicos de Geometria Euclidiana (24)
    • 7.3: Perímetro e área de figuras planas (32)
    • 7.4: Propriedades dos Triângulos (27)
    • 7.5: Volume e Área de Superfície (32)
    • 7.6: Trigonometria do Triângulo Direito (24)
    • 7.7: Geometria Não Euclidiana (22)
    • 7,8: Fractais (20)
    • 7: Exercícios de revisão
    • 7: Teste
    • 7: Laboratório responsivo: polígonos regulares (1)
    • 7.IR1: Encontre o comprimento e o ponto médio de um segmento de linha (13)
    • 7.IR2: Resolver problemas envolvendo ângulos formados por linhas que se cruzam (8)
    • 7.IR3: Encontre o perímetro das figuras geométricas planas (10)
    • 7.IR4: Encontre a área das figuras geométricas (11)
    • 7.IR5: Encontre o Volume de Sólidos Geométricos (11)
    • 7.IR6: Resolva Triângulos Similares e Congruentes (9)
    • 8.1: Aritmética Modular (25)
    • 8.2: Aplicações da Aritmética Modular (23)
    • 8.3: Introdução à Teoria de Grupo (27)
    • 8: Exercícios de revisão
    • 8: Teste
    • 8.IR1: Divida por um único dígito sem nenhum resto no quociente (16)
    • 8.IR2: Divida por um único dígito com um resto no quociente (25)
    • 8.IR3: Dividir por números inteiros maiores (32)
    • 8.IR4: Simplifique uma expressão variável usando as propriedades de adição (37)
    • 8.IR5: Determine se um determinado número é uma solução de uma equação (17)
    • 8.IR6: Avaliar Expressões Variáveis ​​(26)
    • 9.1: Equações e Fórmulas de Primeiro Grau (26)
    • 9.2: Taxa, Razão e Proporção (26)
    • 9.3: Porcentagem (27)
    • 9.4: Equações de Segundo Grau (26)
    • 9: Exercícios de revisão
    • 9: Teste
    • 9: Laboratório responsivo: Escalonando uma receita (1)
    • 9.IR1: Use e identifique as propriedades dos números reais (19)
    • 9.IR2: Avalie uma Expressão Variável (17)
    • 9.IR3: Simplifique uma Expressão Variável (34)
    • 9.IR4: Resolva uma equação usando a propriedade de adição ou multiplicação de equações (35)
    • 9.IR5: Gravar Razões e Taxas (4)
    • 9.IR6: Use unidades de medida no sistema habitual dos EUA (10)
    • 9.IR7: Escreva como uma fração e como um decimal (41)
    • 9.IR8: Escreva Frações e Decimais como Porcentagens (43)
    • 10.1: Coordenadas retangulares e funções (26)
    • 10.2: Propriedades de funções lineares (21)
    • 10.3: Encontrando Modelos Lineares (30)
    • 10.4: Funções quadráticas (24)
    • 10.5: Funções exponenciais (25)
    • 10.6: Funções logarítmicas (27)
    • 10: Exercícios de revisão
    • 10: Teste
    • 10: Laboratório responsivo: crescimento populacional (1)
    • 10.IR1: Encontre o comprimento e o ponto médio de um segmento de linha (13)
    • 10.IR2: Represente graficamente uma função linear (15)
    • 10.IR3: Encontre a inclinação de uma linha com dois pontos (28)
    • 10.IR4: Avalie funções polinomiais (9)
    • 10.IR5: Encontre as interceptações x de uma parábola (47)
    • 10.IR6: Encontre o mínimo ou máximo de uma função quadrática (14)
    • 10.IR7: Avalie uma função exponencial (13)
    • 10.IR8: Represente graficamente uma função exponencial (13)
    • 10.IR9: Encontre o logaritmo de um número (27)
    • 10.IR10: Use as propriedades dos logaritmos para simplificar expressões contendo logaritmos (52)
    • 10.IR11: Use a Fórmula de Mudança de Base (16)
    • 10.IR12: Representar graficamente uma função logarítmica (12)
    • 10.IR13: Resolva uma Equação Exponencial (18)
    • 10.IR14: Resolva uma Equação Logarítmica (10)
    • 11.1: Juros Simples (36)
    • 11.2: Juros Compostos (34)
    • 11.3: Cartões de crédito e empréstimos ao consumidor (28)
    • 11.4: Ações, títulos e fundos mútuos (21)
    • 11.5: Propriedade de casa (26)
    • 11: Exercícios de revisão
    • 11: Teste
    • 11: Laboratório responsivo: Cartões de crédito (1)
    • 11.IR1: Resolva Problemas de Investimento (6)
    • 11.IR2: Resolva Problemas de Aplicação (27)
    • 12.1: O Princípio de Contagem (21)
    • 12.2: Permutações e combinações (33)
    • 12.3: Probabilidade e Probabilidades (28)
    • 12.4: Regras de Adição e Complemento (29)
    • 12.5: Probabilidade Condicional (28)
    • 12.6: Expectativa (25)
    • 12: Exercícios de revisão
    • 12: Teste
    • 12: Laboratório responsivo: Placas de licença (1)
    • 12.IR1: Escreva uma Fração na Forma Mais Simples (39)
    • 12.IR2: Adicionar frações com o mesmo denominador (18)
    • 12.IR3: Adicionar Frações com Denominadores Diferentes (26)
    • 12.IR4: Adicionar números inteiros, números mistos e frações (30)
    • 12.IR5: Divide Frações (34)
    • 12.IR6: Determine a probabilidade de eventos simples (15)
    • 12.IR7: Determinar as probabilidades de um evento (7)
    • 12.IR8: Avaliar Expressões Variáveis ​​(26)
    • 12.IR9: Expandir (uma + b) n (21)
    • 13.1: Medidas de tendência central (23)
    • 13.2: Medidas de dispersão (22)
    • 13.3: Medidas de posição relativa (26)
    • 13,4: Distribuição normal (23)
    • 13.5: Regressão Linear e Correlação (18)
    • 13: Exercícios de revisão
    • 13: Teste
    • 13: Laboratório responsivo: Distribuições aproximadamente normais (1)
    • 13.IR1: Determinar Soluções de Equações Lineares em Duas Variáveis ​​(21)
    • 13.IR2: Gráfico de equações do formulário y = mx + b (35)
    • 13.IR3: Determine a média, a mediana e o modo de uma distribuição (12)
    • 13.IR4: Desenhe um gráfico de caixa e bigodes (7)
    • 13.IR5: Calcule o desvio padrão de uma distribuição (5)

    Excursões Matemáticas, 4ª edição, de Aufmann, Lockwood, Nation e Clegg, explora vários tópicos que exemplificam o poder e a diversidade da matemática. O texto ensina aos alunos que a matemática é um sistema de compreensão do nosso entorno, conectando conceitos a aplicações contemporâneas. O componente WebAssign para este título envolve os alunos com muitos recursos e links para um eBook completo.

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    Permutação e Combinação

    Um homem pode entrar no estádio de 4 maneiras. Novamente, o homem pode deixar o estádio de 9 maneiras.

    Portanto, nenhum número de maneiras pelas quais um homem entra e depois sai do estádio = 4 * 9 = 36 maneiras.

    Existem 6 opções para um estudante entrar no albergue. Existem 5 opções para um aluno deixar o albergue, já que uma porta diferente será usada.

    Portanto, número total de maneiras = 6 * 5 = 30.

    Existem 7 opções para o 1º filho, 6 opções para o 2º filho e 5 opções para o 3º filho.

    Agora, pelo princípio básico de contagem, o número total de maneiras de escolha = 7 * 6 * 5 = 210.

    Um homem pode ir da cidade A para a cidade B de 5 maneiras. Como ele tem que voltar por uma estrada diferente, ele pode voltar da cidade B para a cidade A de 4 maneiras.

    Portanto, nenhum número total de caminhos pelos quais um homem pode ir da cidade A para a cidade B e retornar por uma estrada diferente = 5 * 4 = 20 caminhos.

    Uma pessoa pode ir da cidade A para a cidade B de 5 maneiras. Novamente, ele pode ir da cidade B para a cidade C de 4 maneiras. Portanto, uma pessoa pode ir da cidade A para a cidade C em 5 * 4 = 20 maneiras. A pessoa tem que retornar de C para A sem dirigir na mesma estrada duas vezes. Assim, ela pode retornar da cidade C para a cidade B de 3 maneiras e da cidade B para a cidade A de 4 maneiras.

    Portanto, ele pode retornar da cidade C para a cidade A de 3 * 4 = 12 maneiras.

    Portanto, Número total de maneiras pelas quais uma pessoa pode ir da cidade A para a cidade C e retornar da cidade C para a cidade A = 20 * 12 = 240 maneiras.

    Os números formados devem ter pelo menos 3 dígitos significa que eles podem ter 3 dígitos, 4 dígitos, 5 dígitos ou 6 dígitos.

    Existem 6 opções de dígitos na posição das unidades. Existem 5 e 4 opções para dígitos em casas de dez e cem & rsquos, respectivamente.

    Portanto, número total de maneiras pelas quais números de 3 dígitos podem ser formados = 6,5,4 = 120

    Da mesma forma, o número total de maneiras pelas quais os números de 4 dígitos podem ser formados = 6.5.4.3 = 360.

    o total não. de maneiras pelas quais os números de 5 dígitos podem ser formados = 6.5.4.3.2 = 720.

    O número total de maneiras pelas quais os números de 4 dígitos podem ser formados = 6.5.4.3.2.1 = 720.

    Portanto, o número total de maneiras pelas quais os números de pelo menos 3 dígitos podem ser formados = 120 + 360 + 720 + 720 = 1920.

    Os números formados devem ser de três dígitos e menos de 500, então o dígito na casa dos cem & rsquos deve ser 1,2,3 ou 4. Portanto, existem 4 opções para o dígito na casa dos cem & rsquos. Existem 5 opções para o dígito na posição dez & rsquos. Existem 4 opções para o dígito no local da unidade.

    Portanto, nenhuma das maneiras pelas quais números de 3 dígitos menores que 500 podem ser formados = 4.5.4 = 80.

    Os números formados devem ser pares. Assim, o dígito na casa da unidade & rsquos deve ser 2 ou 4. Portanto, o dígito na casa da unidade & rsquos deve ser 2 ou 4. Portanto, para o dígito na casa da unidade & rsquos, existem 2 opções. Assim, depois de fixar o dígito no lugar da unidade, os 4 algarismos restantes podem ser organizados de P (4,4) maneiras.

    Portanto, número total de maneiras pelas quais 5 números pares podem ser formados = 2 * 24 = 48.

    Os números formados devem ser de 4 dígitos. O dígito na casa dos mil e rsquos deve ser sempre 4. Para isso, há apenas uma escolha. Depois disso, n = 6 & ndash 1 = 5, r = 4 & ndash 1 = 3. Em seguida, as 5 figuras restantes podem ser colocadas nos 3 lugares restantes em:

    Portanto, Número total de maneiras pelas quais números de 4 dígitos entre 4.000 e 5.000 podem ser formados = 1 * 60 = 60.

    Para os números de três dígitos, existem 5 formas de preencher o 1º lugar, existem 4 formas de preencher o 2º lugar e existem 3 formas de preencher o 3º lugar. Pelo princípio básico de contagem, número de números de três dígitos = 5 * 4 * 3 = 60.


    1.4.4E: Exercícios para a Seção 12.4 - Matemática

    Instrutor: Peijun Li

    Em formação

    • Seção 111: TR 10h30 - 11h45, WTHR 104
    • Livro didático: Álgebra Linear: Idéias e Aplicações, de Richard C. Penny, 4ª Edição, Wiley

    Links

    Notas de aula

    Exames

    • Exame 1, quinta-feira, 25 de fevereiro
    • Exame 2, quinta-feira, 8 de abril
    • Exame final, sexta-feira, 7 de maio

    Trabalho de casa

    Nota: "TF" é para as questões verdadeiro-falso "E" é para os exercícios.

    Data de vencimento Trabalho de casa
    1/26
    (HW # 1) Seção 1.1: TF # 1.1, 1.4, 1.5, 1.6, 1.7, 1.8 E # 1.5, 1.10, 1.12, 1.18, 1.19, 1.20
    2/2
    (HW # 2) Seção 1.2: TF # 1.16, 1.17 E # 1.49, 1.50, 1.51, 1.55 (e) (f)
    2/9
    (HW # 3) Seção 1.3: TF # 1.20, 1.21, 1.23 E # 1.63, 1.65 (a) (b) (d) (f), 1.69, 1.78, 1.79, 1.80
    (HW # 3) Seção 1.4: TF # 1.33, 1.34, 1.35 E # 1.104, 1.119, 1.120
    2/16
    (HW # 4) Seção 2.1: TF # 2.3, 2.4 E # 2.1, 2.3, 2.7
    2/23
    (HW # 5) Seção 2.2: TF # 2.10, 2.11, 2.13, 2.17 E # 2.28, 2.32, 2.34, 2.35, 2.39
    (HW # 5) Seção 2.3: Seção 2.3: TF # 2.21, 2,22, 2.23 E # 2.65, 2.72, 2.80
    3/9
    (HW # 6) Seção 3.1: TF # 3.1, 3.6 E # 3.11, 3.12
    (HW # 6) Seção 3.2: TF # 3.16, 3.18 E # 3.26, 3.45, 3.48
    3/16
    (HW # 7) Seção 3.3: TF # 3.26, 3.27, 3.28 E # 3.64 (a) (b) (c) (d) (h), 3,71, 3,84
    (HW # 7) Seção 3.4: E # 3.101 (a) (b)
    3/23
    (HW # 8) Seção 3.5: TF # 3.31, 3.33, 3.35, 3.37, 3.39 E # 3.117 (a) (c), 3.122, 3.124, 3.127
    3/30
    (HW # 9) Seção 4.1: TF # 4.1, 4.2, 4.3 E # 4.1, 4.8
    4/6
    (HW # 10) Seção 4.2: TF # 4.8, 4.9, 4.10 E # 4.15, 4.24, 4.25
    (HW # 10) Seção 4.3: TF # 4.12, 4.13 E # 4.34, 4.36, 4.41, 4.43
    4/20
    (HW # 11) Seção 5.1: TF # 5.1, 5.3, 5.5, 5.6, 5.8, 5.10 E # 5.1, 5.5 (a) (b) (c), 5.11, 5.12
    4/27
    (HW # 12) Seção 5.2: TF # 5.12, 5.13, 5.14 E # 5.29 (a) (b), 5.33, 5.34, 5.35

    Horário do curso

    Nota: O cronograma do curso é provisório e qualquer alteração será anunciada em sala de aula.


    Capítulo 1

    Não, porque não passa no teste da linha horizontal.

    1.2 Domínio e intervalo

    1. Ⓐ valores que são menores ou iguais a –2, ou valores que são maiores ou iguais a –1 e menores que 3
    2. ⓒ ( − ∞ , − 2 ] ∪ [ − 1 , 3 ) ( − ∞ , − 2 ] ∪ [ − 1 , 3 )

    domínio = [1950,2002] intervalo = [47.000.000,89.000.000]

    1.3 Taxas de mudança e comportamento dos gráficos

    1.4 Composição de Funções

    (fg) (x) = f (x) g (x) = (x - 1) (x 2 - 1) = x 3 - x 2 - x + 1 (f - g) (x) = f (x) - g (x) = (x - 1) - (x 2 - 1) = x - x 2 (fg) (x) = f (x) g (x) = (x - 1) (x 2 - 1) = x 3 - x 2 - x + 1 (f - g) (x) = f (x) - g (x) = (x - 1) - (x 2 - 1) = x - x 2

    Não, as funções não são as mesmas.

    1.5 Transformação de Funções

    1.6 Funções de valor absoluto

    1.7 Funções Inversas

    f - 1 (x) = (2 - x) 2 domínio de f: [0, ∞) domínio de f - 1: (- ∞, 2] f - 1 (x) = (2 - x) 2 domínio de f : [0, ∞) domínio de f - 1: (- ∞, 2]

    1.1 Exercícios de Seção

    Uma relação é um conjunto de pares ordenados. Uma função é um tipo especial de relação em que dois pares ordenados não têm a mesma primeira coordenada.

    Quando uma linha vertical cruza o gráfico de uma relação mais de uma vez, isso indica que para aquela entrada há mais de uma saída. Em qualquer valor de entrada específico, pode haver apenas uma saída se a relação for uma função.

    Quando uma linha horizontal cruza o gráfico de uma função mais de uma vez, isso indica que para aquela saída há mais de uma entrada. Uma função é um para um se cada saída corresponder a apenas uma entrada.

    g (x) - g (a) x - a = x + a + 2, x ≠ a g (x) - g (a) x - a = x + a + 2, x ≠ a

    não é uma função, portanto também não é uma função um-para-um

    função, mas não um-para-um

    f (- 2) = 14 f (- 1) = 11 f (0) = 8 f ​​(1) = 5 f (2) = 2 f (- 2) = 14 f (- 1) = 11 f (0) = 8 f ​​(1) = 5 f (2) = 2

    f (- 2) = 4 f (- 1) = 4,414 f (0) = 4,732 f (1) = 5 f (2) = 5,236 f (- 2) = 4 f (- 1) = 4,414 f (0) = 4,732 f (1) = 5 f (2) = 5,236

    f (- 2) = 1 9 f (- 1) = 1 3 f (0) = 1 f (1) = 3 f (2) = 9 f (- 2) = 1 9 f (- 1) = 1 3 f (0) = 1 f (1) = 3 f (2) = 9

    1. Ⓐ A altura de um foguete acima do solo após 1 segundo é de 200 pés.
    2. Ⓑ a altura de um foguete acima do solo após 2 segundos é de 350 pés.

    1.2 Exercícios de Seção

    O domínio de uma função depende de quais valores da variável independente tornam a função indefinida ou imaginária.

    f (- 3) = 1 f (- 2) = 0 f (- 1) = 0 f (0) = 0 f (- 3) = 1 f (- 2) = 0 f (- 1) = 0 f ( 0) = 0

    f (- 1) = - 4 f (0) = 6 f (2) = 20 f (4) = 34 f (- 1) = - 4 f (0) = 6 f (2) = 20 f (4) = 34

    f (- 1) = - 5 f (0) = 3 f (2) = 3 f (4) = 16 f (- 1) = - 5 f (0) = 3 f (2) = 3 f (4) = 16

    Muitas respostas. Uma função é f (x) = 1 x - 2. f (x) = 1 x - 2.

    1.3 Exercícios de Seção

    Sim, a taxa média de mudança de todas as funções lineares é constante.

    O máximo e mínimo absolutos se relacionam ao gráfico inteiro, enquanto os extremos locais se relacionam apenas a uma região específica em torno de um intervalo aberto.

    aproximadamente –0,6 miligramas por dia

    1.4 Exercícios de Seção

    f (g (x)) = x 2 + 3 + 2, g (f (x)) = x + 4 x + 7 f (g (x)) = x 2 + 3 + 2, g (f (x) ) = x + 4 x + 7

    f (g (x)) = x + 1 x 3 3 = x + 1 3 x, g (f (x)) = x 3 + 1 xf (g (x)) = x + 1 x 3 3 = x + 1 3 x, g (f (x)) = x 3 + 1 x

    (f ∘ g) (x) = 1 2 x + 4 - 4 = x 2, (g ∘ f) (x) = 2 x - 4 (f ∘ g) (x) = 1 2 x + 4 - 4 = x 2, (g ∘ f) (x) = 2 x - 4

    f (g (h (x))) = (1 x + 3) 2 + 1 f (g (h (x))) = (1 x + 3) 2 + 1

    amostra: f (x) = x 3 g (x) = x - 5 f (x) = x 3 g (x) = x - 5

    amostra: f (x) = 4 x g (x) = (x + 2) 2 f (x) = 4 x g (x) = (x + 2) 2

    amostra: f (x) = x 3 g (x) = 1 2 x - 3 f (x) = x 3 g (x) = 1 2 x - 3

    amostra: f (x) = x 4 g (x) = 3 x - 2 x + 5 f (x) = x 4 g (x) = 3 x - 2 x + 5

    f (g (0)) = 27, g (f (0)) = - 94 f (g (0)) = 27, g (f (0)) = - 94

    f (g (0)) = 1 5, g (f (0)) = 5 f (g (0)) = 1 5, g (f (0)) = 5

    (f ∘ g) (11) = 11, (g ∘ f) (11) = 11 (f ∘ g) (11) = 11, (g ∘ f) (11) = 11

    1.5 Exercícios de Seção

    Um deslocamento horizontal ocorre quando uma constante é adicionada ou subtraída da entrada. Um deslocamento vertical ocorre quando uma constante é adicionada ou subtraída da saída.

    Uma compressão horizontal ocorre quando uma constante maior que 1 é multiplicada pela entrada. A vertical compression results when a constant between 0 and 1 is multiplied by the output.

    g ( x ) = f ( x - 1 ) , h ( x ) = f ( x ) + 1 g ( x ) = f ( x - 1 ) , h ( x ) = f ( x ) + 1

    The graph of the function is stretched horizontally by a factor of 3 and then shifted vertically downward by 3 units.

    1.6 Section Exercises

    First determine the boundary points by finding the solution(s) of the equation. Use the boundary points to form possible solution intervals. Choose a test value in each interval to determine which values satisfy the inequality.

    1.7 Section Exercises

    Each output of a function must have exactly one output for the function to be one-to-one. If any horizontal line crosses the graph of a function more than once, that means that y y -values repeat and the function is not one-to-one. If no horizontal line crosses the graph of the function more than once, then no y y -values repeat and the function is one-to-one.

    sim. For example, f ( x ) = 1 x f ( x ) = 1 x is its own inverse.

    domain of f ( x ) : [ − 7 , ∞ ) f − 1 ( x ) = x − 7 f ( x ) : [ − 7 , ∞ ) f − 1 ( x ) = x − 7

    domain of f ( x ) : [ 0 , ∞ ) f − 1 ( x ) = x + 5 f ( x ) : [ 0 , ∞ ) f − 1 ( x ) = x + 5

    f ( g ( x ) ) = x , g ( f ( x ) ) = x f ( g ( x ) ) = x , g ( f ( x ) ) = x

    Review Exercises

    − 64 + 80 a − 16 a 2 − 1 + a = − 16 a + 64 − 64 + 80 a − 16 a 2 − 1 + a = − 16 a + 64

    ( f ∘ g ) ( x ) = 17 − 18 x ( g ∘ f ) ( x ) = − 7 − 18 x ( f ∘ g ) ( x ) = 17 − 18 x ( g ∘ f ) ( x ) = − 7 − 18 x

    ( f ∘ g ) ( x ) = 1 + x 1 + 4 x , x ≠ 0 , x ≠ − 1 4 ( f ∘ g ) ( x ) = 1 + x 1 + 4 x , x ≠ 0 , x ≠ − 1 4

    sample: g ( x ) = 2 x − 1 3 x + 4 f ( x ) = x g ( x ) = 2 x − 1 3 x + 4 f ( x ) = x

    The function is not one-to-one.

    Practice Test

    The relation is a function.

    The graph is a parabola and the graph fails the horizontal line test.

    f ( x ) = < | x | if x ≤ 2 3 if x > 2 f ( x ) = < | x | if x ≤ 2 3 if x > 2

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      • Autores: Jay Abramson
      • Editor / site: OpenStax
      • Título do livro: Pré-cálculo
      • Data de publicação: 23 de outubro de 2014
      • Local: Houston, Texas
      • URL do livro: https://openstax.org/books/precalculus/pages/1-introduction-to-functions
      • Section URL: https://openstax.org/books/precalculus/pages/chapter-1

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      Discrete Mathematics and Functional Programming

      This site provides information about and supplemental material for Thomas VanDrunen, Discrete Mathematics and Functional Programming August 2012 by Franklin, Beedle and Associates. (See Franklin Beedle's catalogue entry.)

      I have written a new version of Section 6.12 on the Huffman encoding. Here is a PDF of the new section, and you can also get the revised SML code.

      1. Videos

      I am producing a series of videos to accompany the text, both to help those who are studying the book independently and to be an aid to classroom use (for example, assigning these videos to support a "flipped classroom" model). If there are any sections for which you would find a video particularly useful, let me know. See also the YouTube channel.

      • Introduction to the book (and course). [MP4 ] [YouTube]
      • Sets and elements, Sections 1.(1-3). [MP4] [YouTube]
      • Set operations and verifying facts, Sections 1.(4 & 5), Part 1. [MP4] [YouTube]
      • Set operations and verifying facts, Sections 1.(4 & 5), Part 2. [MP4] [YouTube]
      • Introduction to ML, Section 1.6. [MP4] [YouTube]
      • Cardinality, Cartesian product, and other miscelaneous set concepts, Sections 1.(8 & 9). [MP4] [YouTube]
      • Writing one's own types and operations, Sections 1.(10-12), Part 1. [MP4] [YouTube]
      • Writing one's own types and operations, Sections 1.(10-12), Part 2 (introduction to recursion). [MP4] [YouTube]
      • Introduction to lists in ML, Section 2.1. [MP4 ] [YouTube] NEW
      • Functions on lists in ML, Section 2.2. [MP4 ] [YouTube] NEW
      • Powersets, Section 2.4. [MP4 ] [YouTube] NEW
      • Properties of relations, Section 5.4. [MP4] [YouTube]

      2. Excerpts

      3. Related document

      The Case for Teaching Functional Programming in Discrete Math, a paper at the Educators' and Trainers' Symposium at SPLASH (formerly OOPSLA) 2011 describing the approach found in this book.

      4. Resources for students

      I am preparing a collection of solutions to exercises to aid students in studying the text on their own. This will be in lieu of a "back-of-the-book" section. It will be fairly limited, since the exercises also need to serve as homework problems for assessment. I'm posting the work-in-progress here:

      5. Resources for instructors

      For information on reviewing this book or related matters, contact Tom Sumner at Franklin, Beedle. For feedback on the text, errata reporting, etc, contact Thomas VanDrunen.


      12.4 Free Energy

      One of the challenges of using the second law of thermodynamics to determine if a process is spontaneous is that it requires measurements of the entropy change for the system e the entropy change for the surroundings. An alternative approach involving a new thermodynamic property defined in terms of system properties only was introduced in the late nineteenth century by American mathematician Josiah Willard Gibbs . This new property is called the Gibbs free energy (G) (or simply the free energy), and it is defined in terms of a system’s enthalpy and entropy as the following:

      Free energy is a state function, and at constant temperature and pressure, the free energy change (ΔG) may be expressed as the following:

      (For simplicity’s sake, the subscript “sys” will be omitted henceforth.)

      The relationship between this system property and the spontaneity of a process may be understood by recalling the previously derived second law expression:

      The first law requires that qsurr = −qsys, and at constant pressure qsys = ΔH, so this expression may be rewritten as:

      Multiplying both sides of this equation by −T, and rearranging yields the following:

      Comparing this equation to the previous one for free energy change shows the following relation:

      The free energy change is therefore a reliable indicator of the spontaneity of a process, being directly related to the previously identified spontaneity indicator, ΔSuniv. Table 12.3 summarizes the relation between the spontaneity of a process and the arithmetic signs of these indicators.

      What’s “Free” about ΔG?

      In addition to indicating spontaneity, the free energy change also provides information regarding the amount of useful work (C) that may be accomplished by a spontaneous process. Although a rigorous treatment of this subject is beyond the scope of an introductory chemistry text, a brief discussion is helpful for gaining a better perspective on this important thermodynamic property.

      For this purpose, consider a spontaneous, exothermic process that involves a decrease in entropy. The free energy, as defined by

      may be interpreted as representing the difference between the energy produced by the process, ΔH, and the energy lost to the surroundings, TΔS. The difference between the energy produced and the energy lost is the energy available (or “free”) to do useful work by the process, ΔG. If the process somehow could be made to take place under conditions of thermodynamic reversibility, the amount of work that could be done would be maximal:

      However, as noted previously in this chapter, such conditions are not realistic. In addition, the technologies used to extract work from a spontaneous process (e.g., automobile engine, steam turbine) are never 100% efficient, and so the work done by these processes is always less than the theoretical maximum. Similar reasoning may be applied to a nonspontaneous process, for which the free energy change represents the mínimo amount of work that must be done on the system to carry out the process.

      Calculating Free Energy Change

      Free energy is a state function, so its value depends only on the conditions of the initial and final states of the system. A convenient and common approach to the calculation of free energy changes for physical and chemical reactions is by use of widely available compilations of standard state thermodynamic data. One method involves the use of standard enthalpies and entropies to compute standard free energy changes, ΔG° , according to the following relation:

      Example 12.7

      Using Standard Enthalpy and Entropy Changes to Calculate ΔG°

      Solução

      The standard change in free energy may be calculated using the following equation:

      Using the appendix data to calculate the standard enthalpy and entropy changes yields:

      Substitution into the standard free energy equation yields:

      Check Your Learning

      Responder:

      The standard free energy change for a reaction may also be calculated from standard free energy of formation ΔG°f values of the reactants and products involved in the reaction. The standard free energy of formation is the free energy change that accompanies the formation of one mole of a substance from its elements in their standard states. Similar to the standard enthalpy of formation, Δ G f ° Δ G f ° is by definition zero for elemental substances in their standard states. The approach used to calculate Δ G ° Δ G ° for a reaction from Δ G f ° Δ G f ° values is the same as that demonstrated previously for enthalpy and entropy changes. For the reaction

      the standard free energy change at room temperature may be calculated as

      Example 12.8

      Using Standard Free Energies of Formation to Calculate ΔG°

      Solução

      (a) Using free energies of formation:

      (b) Using enthalpies and entropies of formation:

      Both ways to calculate the standard free energy change at 25 °C give the same numerical value (to three significant figures), and both predict that the process is nonspontaneous (não spontaneous) at room temperature.

      Check Your Learning

      Responder:

      (a) 140.8 kJ/mol, nonspontaneous
      (b) 141.5 kJ/mol, nonspontaneous

      Free Energy Changes for Coupled Reactions

      The use of free energies of formation to compute free energy changes for reactions as described above is possible because ΔG is a state function, and the approach is analogous to the use of Hess’ Law in computing enthalpy changes (see the chapter on thermochemistry). Consider the vaporization of water as an example:

      An equation representing this process may be derived by adding the formation reactions for the two phases of water (necessarily reversing the reaction for the liquid phase). The free energy change for the sum reaction is the sum of free energy changes for the two added reactions:

      This approach may also be used in cases where a nonspontaneous reaction is enabled by coupling it to a spontaneous reaction. For example, the production of elemental zinc from zinc sulfide is thermodynamically unfavorable, as indicated by a positive value for ΔG°:

      The industrial process for production of zinc from sulfidic ores involves coupling this decomposition reaction to the thermodynamically favorable oxidation of sulfur:

      The coupled reaction exhibits a negative free energy change and is spontaneous:

      This process is typically carried out at elevated temperatures, so this result obtained using standard free energy values is just an estimate. The gist of the calculation, however, holds true.

      Example 12.9

      Calculating Free Energy Change for a Coupled Reaction

      Solução

      The coupled reaction exhibits a positive free energy change and is thus nonspontaneous.


      [PDF] RD Sharma Mathematics for Class 11 (set of 2 volumes) Examination | Baixar

      About The R D Sharma Class 11 Maths Book
      This textbook is based on the latest syllabus prescribed by the CBSE. The text has been divided into two volumes. Volume 1 Consists of chapters 1-21 and Volume 2 Consists of chapters 22-23 for ease of handling. Illustrative examples and exercises are given at the end of every section in each chapter at the end of each chapter exercises consisting of MCQs, Fill in the blanks, Very Short Answer Type questions, and activities have been given. Summary for quick revision concepts and formulae have also been given. Ncert problems in the exercises have been solved in the section "hints to NCERT & selected problems".

      The Mathematics for Class 11 by R D Sharma (Set of 2 Volume) closely follows the CBSE syllabus for Mathematics and is suitable for the students to develop their Mathematical skills. It contains detailed solutions to Mathematical equations and problems which are further simplified by the representation of elaborate yet simple to understand steps. It covers all the genres or branches of Mathematics which will further act as building blocks for the Mathematical knowledge based on the students of class 11. This book will be of great help if one is looking to crack entrance examinations that are offered by prestigious academies for courses in which one can enroll themselves after their class 11 board examinations.


      12.4 Derivatives

      The average teen in the United States opens a refrigerator door an estimated 25 times per day. Supposedly, this average is up from 10 years ago when the average teenager opened a refrigerator door 20 times per day 37 .

      It is estimated that a television is on in a home 6.75 hours per day, whereas parents spend an estimated 5.5 minutes per day having a meaningful conversation with their children. These averages, too, are not the same as they were 10 years ago, when the television was on an estimated 6 hours per day in the typical household, and parents spent 12 minutes per day in meaningful conversation with their kids.

      What do these scenarios have in common? The functions representing them have changed over time. In this section, we will consider methods of computing such changes over time.

      Finding the Average Rate of Change of a Function

      The functions describing the examples above involve a change over time. Change divided by time is one example of a rate. The rates of change in the previous examples are each different. In other words, some changed faster than others. If we were to graph the functions, we could compare the rates by determining the slopes of the graphs.

      A tangent line to a curve is a line that intersects the curve at only a single point but does not cross it there. (The tangent line may intersect the curve at another point away from the point of interest.) If we zoom in on a curve at that point, the curve appears linear, and the slope of the curve at that point is close to the slope of the tangent line at that point.


      Assista o vídeo: Matemática Básica - Exercícios da Atividades para Avaliação da Semana 3 Resolvidos - UNIVESP (Outubro 2021).