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4.4: Teorema da Função Inversa


4.4: Teorema da Função Inversa

Diferenciação feita corretamente: 4. Funções inversas e implícitas

Agora vamos provar os teoremas da função inversa e da função implícita para espaços de Banach.

Teorema 32 (Princípio de contração). Seja ((X, d) ) um espaço métrico completo e seja ( varphi: X a X ) um mapa que satisfaça $
d ( varphi (x), varphi (y)) le cd (x, y)
$ para todos (x, y in X ) e alguma constante (c n ), begin
d (x_n, x_m) & # 038 le d (x_n, x_) + cdots + d (x_, x_m)
& # 038 le (c ^ n + cdots + c ^) d (x_1, x_0)
& # 038 le c ^ n (1-c) ^ <-1> d (x_1, x_0),
fim o que mostra que () é uma sequência de Cauchy. Como (X ) está completo, (x_n a x ) para algum (x em X ). Além disso, $
x = lim_x_= lim_ varphi (x_n) = varphi (x)
$ visto que ( varphi ) é contínuo. A singularidade é óbvia. (quadrado)

Teorema 33 (Teorema da função inversa). Seja (A subseteq E ) um conjunto aberto e seja (f: A a F ) da classe (C ^ p ) (com (p ge 1 )). Suponha que (f '(p) ) seja invertível para algum (p em A ). Então, há uma vizinhança (U subseteq A ) de (p ) tal que (f (U) ) é aberto e (f | _U: U para f (U) ) é a (C ^ p ) difeomorfismo.

Prova. Seja ( iota: E to E ) o mapa de identidade. Substituindo (f ) por (f '(p) ^ <-1> circ f ), podemos assumir que (E = F ) e (f' (p) = iota ) . Como (f & # 8217 ) é contínuo em (p ), existe uma bola aberta (U subseteq A ) em torno de (p ) tal que (| f '(x) - iota |


Para cada um dos seguintes, encontre o valor em radianos

Certifique-se de que sua calculadora e MODO rsquos seja RAD (radianos)

Figura ( PageIndex <1> )

Figura ( PageIndex <2> )

Figura ( PageIndex <3> )

Anteriormente, você foi solicitado a avaliar ( sec ^ <& minus1> dfrac <2> < sqrt <3>> )


Funções Inversas

Visão geral
Invertibilidade & bull.
& bull Definição de uma função inversa.
& Bull Expressions and Inverses.
& bull Exemplos básicos de inversões.
Gráficos e inversos de touro.
& bull O Teste da Linha Horizontal.
& bull Graphin an Inverse.
& bull Machines and Inverses.

Invertibilidade
Na seção 2.1, determinamos se uma relação era uma função procurando por valores x duplicados.
A invertabilidade é o oposto. Uma função é invertível se e somente se ela não contém duas
pares com os mesmos valores y, mas com valores x diferentes. Assim, para determinar se um
função é invertível, procuramos valores de y duplicados. As funções invertíveis também são chamadas de um para um.

Exemplo
Quais funções são invertíveis?

Solução
f não é invertível, pois contém (3, 3) e (6, 3).
g é invertível.
h é invertível.

Definição de uma função inversa
Se f é uma função invertível, seu inverso, denotado por f & # 82111
, é o conjunto de pares ordenados (y, x), tais
que (x, y) está em f. Ou seja, f & # 82111 é f com seus valores xey trocados. f & # 82111 (x) não é
1 / f (x).

Exemplo
Encontre as inversas das funções invertíveis do último exemplo.
Solução
g & # 82111 = <(2, 1), (3, 2), (5, 4)>
h & # 82111 =

Observação
1. A capacidade de inversão garante que o inverso da função a & # 8217s seja uma função.
2. Uma função pode ser seu próprio inverso. Observe como a função h no último exemplo tem isso
propriedade .
3. Sempre que g for f & # 8217s inverso, então f é g & # 8217s inverso também.
4. Inversão troca domínio com intervalo. Isso é
dom f = correu f -1
correu f = dom

Expressões e Inversos
Exemplo
Descreva em palavras o que a função f (x) = x faz com sua entrada.
Solução
Nada.

O Teorema do Cancelamento
As funções f são g são inversas uma da outra se e somente se ambas as seguintes leis de cancelamento
espera:
() (x) = x para todo x em dom g
() (x) = x para todo x em dom f

Em outras palavras, as máquinas e nada fazem com suas entradas. Isso significa que f reverte
todas as alterações feitas por ge vice-versa. Em essência, feg cancelam-se mutuamente.

Exemplo
Verifique se os seguintes pares são inversos um do outro.
a)
b)
c)

Exemplo
Se f (& # 82117) = 8 e f for invertível, resolva 1/2 f (x & # 8211 9) = 4.
Solução
1/2 f (x & # 8211 9) = 4
f (x & # 8211 9) = 8
f -1 (f (x & # 8211 9)) = f -1 (8)
x & # 8211 9 = & # 82117
x = 2

Sejam feg inversos um do outro, e sejam f (x) = y. Em seguida, pelo cancelamento
Teorema
g (y) = g (f (x)) = x

Isso prova parcialmente o próximo teorema.
Teorema da Mudança de Forma
As funções f e g são inversas uma da outra se e somente se ambas as seguintes mudanças de forma
as leis detêm:
f (x) = y implica g (y) = x
g (x) = y implica f (y) = x

Mudança do Teorema da Forma (versão alternativa)
Se f é invertível, então
f (x) = y se e somente se f & # 82111 (y) = x

Exemplo
Se f (4) = 3, f (3) = 2 e f é invertível, encontre f & # 82111 (3) e (f (3)) & # 82111.
Solução
f & # 82111 (3) = 4
(f (3)) & # 82111 = 2 & # 82111 = 1/2

Para encontrar o inverso de uma função, f, algebricamente
1. Defina y = f (x).
2. Troque x por y.
3. Resolva para y.
4. Substitua y por f -1 (x).

Exemplo
Encontre os inversos de

Solução
a)
y = 5 & # 8211 x
x = 5 & # 8211 y
x + y = 5
y = 5 & # 8211 x
f & # 82111 (x) = 5 & # 8211 x
Observe que f é seu próprio inverso.

Exemplos básicos de Inversos

f (x)
f & # 82111 (x)
Aplica-se quando

Gráficos e Inversos
Para encontrar f & # 82111 (a) a partir do gráfico de f, comece encontrando a no eixo y e mova horizontalmente até
você acertou o gráfico. A resposta é o valor x do ponto que você atingiu.

Exemplo
Use o gráfico de f para encontrar f & # 82111 (2) e f & # 82111 (3).
Solução
f & # 82111 (2) = 3
f & # 82111 (3) = 3,6

O Teste da Linha Horizontal
O gráfico de uma função é o de uma função invertível se e somente se cada linha horizontal
passa por nenhum ou exatamente um ponto.

Exemplo
Qual gráfico é o de uma função invertível?

Representando um gráfico inverso
Para representar graficamente f & # 82111 dado o gráfico de f, colocamos um ponto (b, a) no gráfico de f & # 82111 para
cada ponto (a, b) no gráfico de f. Isso tem o efeito de refletir o
gráfico de f através da linha y = x.

Exemplo
a) Qual par de funções no último exemplo são inversas uma da outra?
b) Qual função é sua própria inversa?
c) Qual função é invertível, mas sua inversa não é uma das mostradas?
Solução
B e Dare inversos um do outro.
Eis seu próprio inverso.
C é invertível, mas seu inverso não é mostrado

Para representar graficamente f & # 82111 dado o gráfico de f, faça o seguinte
1. Rotule vários pontos (a, b) em f que
definir sua forma geral.
2. Para cada um, plote (b, a).
3. Desenhe a reta y = x.
4. Ligue os pontos prestando atenção ao caminho
o gráfico está sendo refletido em y = x.

Exemplo
Represente graficamente o inverso da função, k representado graficamente para
o certo.

Máquinas e Inversos
Do ponto de vista da máquina, uma função f é invertível se e somente se for uma composição de
operações invertíveis (CIO). Neste caso, f -1 é a máquina que realiza o oposto
operações na ordem oposta (4O). Quando uma função é um CIO, a metáfora da máquina
é uma maneira rápida e fácil de encontrar seu inverso. Vou te ensinar como fazer isso usando uma mesa de maquina, e
Posso exigir que você mostre uma mesa de máquina, caso contrário, não há trabalho para mostrar. No entanto, esse é o
apontar. Com alguma prática, você pode usar esse método para encontrar inversos em sua cabeça.

Exemplo
Faça uma mesa de máquina para cada função. Se for invertível, encontre o inverso usando a tabela da máquina.
a) f (x) =
b) g (x) =
c) h (x) = onde k é a função representada graficamente à direita.

Solução
a)


Math Insight

Uma função inversa é uma função que desfaz a ação da outra função. Usando a metáfora da máquina de funções, formar uma função inversa significa rodar a máquina de funções para trás. A máquina com função reversa funcionará apenas se a máquina com função original produzir uma saída exclusiva para cada entrada exclusiva.

Nos exemplos a seguir, demonstramos alguns casos simples onde se pode calcular a função inversa. Na maioria dos casos, porém, não podemos escrever uma boa fórmula para a função inversa.

Exemplo 1

Seja $ f: R to R $ (confuso?) Definido por $ f (x) = 3x + 1 $. Encontre a função inversa $ f ^ <-1> $.

Solução: Para qualquer entrada $ x $, a máquina de função correspondente a $ f $ cospe o valor $ y = f (x) = 3x + 1 $. Queremos encontrar a função $ f ^ <-1> $ que pega o valor $ y $ como entrada e expele $ x $ como saída. Em outras palavras, $ y = f (x) $ dá $ y $ como uma função de $ x $, e queremos encontrar $ x = f ^ <-1> (y) $ que nos dará $ x $ como uma função de $ y $.

Para calcular $ x $ como uma função de $ y $, apenas pegamos a expressão $ y = 3x + 1 $ para $ y $ como uma função de $ x $ e resolvemos para $ x $. começar y & = 3x + 1 y-1 & = 3x frac <3> & = x fim Portanto, descobrimos que $ x = y / 3 - 1/3 $, então podemos escrever a função inversa como $ f ^ <-1> (y) = frac <3> - frac <1> <3>. $

Na definição da função $ f ^ <-1> $, não há nada de especial em usar a variável $ y $. Poderíamos usar qualquer outra variável e escrever a resposta como $ f ^ <-1> (x) = x / 3-1 / 3 $ ou $ f ^ <-1> ( bigstar) = bigstar / 3 -1 / 3 $. A variável de espaço reservado usada na fórmula para uma função não importa.

Para verificar se $ f ^ <-1> $ é realmente o inverso de $ f $, devemos mostrar que a composição de $ f $ e $ f ^ <-1> $ não faz nada para a entrada. Nesse caso, a ordem não deve importar, e as funções $ f circ f ^ <-1> $ e $ f ^ <-1> circ $ f $ não devem fazer nada. Vamos verificar isso.

Primeiro, aplicamos $ f $ seguido por $ f ^ <-1> $. começar (f ^ <-1> circ f) (x) & = f ^ <-1> (f (x)) & = f ^ <-1> (3x + 1) & = (3x + 1) / 3 - 1/3 & = x +1/3 -1/3 = x fim Em segundo lugar, aplicamos $ f ^ <-1> $ seguido por $ f $. começar (f circ f ^ <-1>) (x) & = f (f ^ <-1> (x)) & = f (x / 3-1 / 3) & = 3 (x / 3-1 / 3) +1 & = x - 1 + 1 = x fim Em ambos os casos, a aplicação de $ f $ e $ f ^ <-1> $ a $ x $ nos deu de volta $ x $. De fato, $ f ^ <-1> (x) = x / 3-1 / 3 $.

Exemplo 2

Seja $ f: R to R $ definido por $ f (x) = x ^ 2 $. Esta função possui uma função inversa?

Solução: Para qualquer número real $ x $, tanto $ f (x) $ quanto $ f (-x) $ geram o mesmo número, a saber $ f (x) = f (-x) = x ^ 2 $. Se $ x ne 0 $, então $ x $ e $ -x $ são números diferentes, e $ f $ mapeia esses dois números distintos para o mesmo número de saída. Por exemplo, dado que a saída de $ f (x) $ era $ y = 4 $, não há como saber se $ x = 2 $ ou $ x = -2 $ foi a entrada para a função. Não há como executar a máquina de funções ao contrário, e $ f $ não possui uma função inversa.

Exemplo 2 '

Seja $ f: R_ < ge 0> to R $ definido por $ f (x) = x ^ 2 $, onde o domínio $ R _ < ge 0> $ é o conjunto de reais não negativos números. Esta função possui uma função inversa? Nesse caso, encontre $ f ^ <-1> $.

Solução: Neste caso, uma vez que restringimos o domínio aos números reais não negativos, cada valor de entrada distinto $ x ge 0 $ produzirá um valor de saída distinto $ x ^ 2 $. Para esta função $ f $, podemos encontrar seu inverso.

Defina $ y = f (x) = x ^ 2 $. Para resolver $ x $ em termos de $ y $, apenas obtemos a raiz quadrada de ambos os lados, e $ x = sqrt$. A função inversa é $ f ^ <-1> (y) = sqrt$.

Exemplo 3

Seja $ f: R to R $ definido por $ f (x) = 1 + 2x + 3x ^ 3 + 4x ^ 5 + 5x ^ 7 + 6x ^ 9 $. Encontre $ f ^ <-1> $.

Solução: A função $ f $ sempre aumenta à medida que você aumenta o valor de sua entrada $ x $, portanto, dois valores de $ x $ não podem produzir o mesmo valor de saída $ f (x) $. A função de fato tem uma função inversa, podemos rodar sua máquina de funções para trás sem problemas.

No entanto, estamos sem sorte quando se trata de encontrar uma fórmula para $ f ^ <-1> $. Embora saibamos que, dado um determinado valor de $ y $, deve haver exatamente um valor real de $ x $ que satisfaça $ y = 1 + 2x + 3x ^ 3 + 4x ^ 5 + 5x ^ 7 + 6x ^ 9 $ , não podemos resolver analiticamente essa equação para $ x $ em termos de $ y $.

O fato de não podermos encontrar uma fórmula para $ f ^ <-1> (y) $ não torna a função menos válida do que as outras funções inversas. É uma função perfeitamente bem comportada. Simplesmente não temos uma maneira legal de escrever a aparência da função em termos de expressões de aparência familiar.


4.4: Teorema da Função Inversa

Provando que duas funções são
Inversos um do outro
(página 7 de 7)

Eu mostrei como desenhar um inverso se você tiver o gráfico e como encontrar um inverso se você receber a fórmula. Mas suponha que você receba duas funções e diga para verificar (verificar) se elas são inversas uma da outra. Como você faria isso? Primeiro, você precisa observar que desenhar os gráficos não é uma & quot prova de & quot. Para enfatizar que uma imagem não é prova, as instruções geralmente dirão para você & quotverificar algebricamente & quot se as funções são inversas. Como você faz isso?

Se você pensar na definição de um inverso, o ponto do inverso é que ele está ao contrário do que você começou e o leva de volta para onde você começou. Por exemplo, se o ponto (1, 3) está no gráfico da função, então o ponto (3, 1) está no gráfico do inverso. Ou seja, se você começar com x = 1, você irá para y = 3 então você conecta isso no inverso, e você vai voltar para x = 1, de onde você começou.

  • Determine algebricamente se f (x) = 3x 2 e g(x) = (x + 2) /3 são inversos um do outro. Copyright Elizabeth Stapel 2000-2011 Todos os direitos reservados

Vou colocar a fórmula para g(x) em cada instância de & quot x & quot na fórmula para f (x) :

Agora vou inserir a fórmula para f (x) em cada instância de & quot x & quot na fórmula para g(x) :

De qualquer forma, acabei com apenas & quot x & quot, então f (x) e g(x) são inversos entre si.

  • Determine algebricamente se f (x) = 3x 2 e g(x) = ( 1 /3)x + 2 são inversos um do outro.

Vou colocar a fórmula para g(x) em cada instância de & quot x & quot na fórmula para f (x) :

Eu não terminei apenas com & quot x & quot, então f (x) e g(x) não são inversos entre si.

Depois de encontrar uma composição que não funciona, pronto. Você não precisa mostrar que a composição também não funciona ao contrário.

Um exame atento deste último exemplo acima aponta algo que pode causar problemas para alguns alunos. Uma vez que o inverso & quotundoes & quot tudo o que a função original fez para x , o instinto é criar um & quotinverso & quot aplicando operações reversas. Neste caso, desde f (x) multiplicado x por 3 e depois subtraído 2 do resultado, o instinto é pensar que o inverso seria dividir x por 3 e depois para adicionar 2 ao resultado. Mas, como você viu acima, isso não é correto. Comparando este exemplo com o anterior, você pode ver que as operações invertidas estavam corretas, mas também precisam ser aplicadas Em ordem inversa. Ou seja, desde f (x) primeiro multiplicado x por 3 e depois subtraído de 2, o inverso primeiro adiciona o 2 de volta e depois divide o 3 de volta.

  • Determine algebricamente se f (x) = x 2, e são inversos um do outro.

Primeiro, vou ligar g(x) para dentro f (x) :

Desde que comecei conectando x para dentro g(x), então comecei com não negativo x -valores. Como o valor absoluto de zero é zero e o valor absoluto de um número positivo é ele mesmo, então, neste caso, posso simplificar | x | apenas & quot x & quot. Então eu tenho ( f o g)(x) = x .

De onde vêm as barras de valor absoluto? A raiz quadrada de algo ao quadrado é a definição técnica do valor absoluto: o quadrado do valor será sempre positivo, assim como a raiz quadrada, então tirar a raiz quadrada de algo ao quadrado sempre retorna o positivo do número original. Neste caso, o domínio de g(x) foi definido como não negativo, portanto, as barras de valor absoluto poderiam ser descartadas acima. Mas nem sempre é o caso:

Parece bom até agora. Agora vou ligar f (x) para dentro g(x) :

Hmm. Desde que comecei conectando x para dentro f (x), então eu estava começando com qualquer valor de x . Em particular, o valor de x pode ter sido negativo. Pois não sei se x é negativo ou positivo, então não posso remover as barras de valor absoluto na resposta final e estou preso com uma resposta de & quot (g o f )(x) = | x | & quot. Então (g o f )(x) não simplifica para x .

A resposta é: g(x) e f (x) não são inversos entre si.

É por isso que você precisa verificar os dois sentidos: às vezes, há considerações técnicas complicadas, geralmente envolvendo raízes quadradas, que forçam a composição a não funcionar, porque os domínios e intervalos das duas funções não são compatíveis. Neste caso, se f (x) foi restrito a não negativo x , então as funções seriam inversas. Em geral, porém, se uma composição fornecer apenas & quot x & quot, o outro também irá, especialmente se você não estiver lidando com domínios restritos. Mas você deve se lembrar de fazer as duas composições nos testes e coisas assim, para obter o crédito total.


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Encontrando o valor exato das expressões que envolvem as funções seno inverso, cosseno e tangente

Agora que podemos identificar funções inversas, aprenderemos a avaliá-las. Para a maioria dos valores em seus domínios, devemos avaliar as funções trigonométricas inversas usando uma calculadora, interpolando a partir de uma tabela ou usando alguma outra técnica numérica. Assim como fizemos com as funções trigonométricas originais, podemos fornecer valores exatos para as funções inversas quando estamos usando os ângulos especiais, especificamente [latex] frac < pi> <6> (30 ^ circ) text <, > frac < pi> <4> (45 ^ circ), text frac < pi> <3> (60 ^ circ) [/ latex] e seus reflexos em outros quadrantes.

Como: Dado um valor de entrada “especial”, avalie uma função trigonométrica inversa.

  1. Encontre o ângulo x para o qual a função trigonométrica original tem uma saída igual à entrada fornecida para a função trigonométrica inversa.
  2. Se x não está na faixa definida do inverso, encontre outro ângulo y que está no intervalo definido e tem o mesmo seno, cosseno ou tangente que x, dependendo de qual corresponde à função inversa fornecida.

Exemplo 2: Avaliação de funções trigonométricas inversas para valores de entrada especiais

Avalie cada um dos seguintes.

uma. Avaliar [latex] sin ^ <−1> ( frac <1> <2>) [/ latex] é o mesmo que determinar o ângulo que teria um valor seno de [latex] frac <1> <2> [/látex]. Em outras palavras, que ângulo x satisfaria [latex] sin (x) = frac <1> <2> [/ latex]? Existem vários valores que satisfariam essa relação, como [latex] frac < pi> <6> [/ latex] e [latex] frac <5 pi> <6> [/ latex], mas sabemos precisamos do ângulo no intervalo [latex] left [- frac < pi> <2> text <,> frac < pi> <2> right] [/ latex], então a resposta será [latex] sin ^ <−1> ( frac <1> <2>) = frac < pi> <6> [/ latex]. Lembre-se de que o inverso é uma função, portanto, para cada entrada, obteremos exatamente uma saída.

b. Para avaliar [latex] sin ^ <−1> left (- frac < sqrt <2>> <2> right) [/ latex], sabemos que [latex] frac <5 pi> < 4> [/ latex] e [latex] frac <7 pi> <4> [/ latex] ambos têm um valor de seno de [latex] - frac < sqrt <2>> <2> [/ latex] , mas nenhum está no intervalo [latex] left [- frac < pi> <2> text <,> frac < pi> <2> right] [/ latex]. Para isso, precisamos do ângulo negativo coterminal com [latex] frac <7 pi> <4>: sin ^ <−1> left (- frac < sqrt <2>> <2> right) = - frac < pi> <4> [/ latex].

c. Para avaliar [latex] cos ^ <−1> left (- frac < sqrt <3>> <2> right) [/ latex], procuramos um ângulo no intervalo [0, π] com um valor de cosseno de [latex] - frac < sqrt <3>> <2> [/ latex]. O ângulo que satisfaz isso é [latex] cos ^ <−1> left (- frac < sqrt <3>> <2> right) = frac <5 pi> <6> [/ latex] .

d. Avaliando [latex] tan ^ <−1> (1) [/ latex], procuramos um ângulo no intervalo [latex] (- frac < pi> <2> text <,> frac < pi> <2>) [/ latex] com um valor tangente de 1. O ângulo correto é [latex] tan ^ <−1> (1) = frac < pi> <4> [/ latex].

Tente

Avalie cada um dos seguintes.

Tente


AP Calculus BC - A. Tennyson

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Como & ldquoglobalizar & rdquo o teorema da função inversa?

Seja $ F: V times W rightarrow Z $, onde $ V, W, Z $ são variedades suaves (ou analíticas) de dimensão finita e $ F $ é suave (ou analítica). Suponha que $ dim W = dim Z $ e o teorema da função inversa usual se apliquem quando fixamos o primeiro argumento de $ F $, então localmente temos um inverso (escrito o segundo argumento de $ F $) mapeando $ f: V times Z rightarrow W $ de modo que para qualquer $ v, w, z $ de pequenas vizinhanças adequadamente escolhidas temos $ F (v, f (v, z)) equiv z $ e $ f $ é suave (ou analítico ) Aí vem a pergunta:

Existe alguma maneira sensata de colar esses $ f $ s para que possamos falar deles globalmente, e sob quais condições?

Mais precisamente, há uma maneira de tratar esta situação e cotas se & quot $ f $ fossem definidos globalmente, sem fazer a coisa de & quotrestringir-nos a pequenas vizinhanças adequadamente escolhidas & quot o tempo todo, mesmo se permitirmos o jacobiano de $ F $ w.r.t. $ w $ desaparecer em alguns pontos ou mesmo em algumas subvariedades de $ V times W $ de codimensão diferente de zero?

Não espero que (em condições razoavelmente suaves) se possa construir um $ f $ global definido no todo $ Q = Z times V / Sing $ onde $ Sing = lbrace (v, z) in V times Z | f quad mbox rbrace $ mas talvez alguém possa ter um feixe de $ f $ em $ Q $ ou algo do tipo? Acabei de começar a aprender a teoria do feixe, então não sei bem (ainda) como fazer as coisas funcionarem por conta própria.

Embora em minha aplicação particular eu queira que $ V $ seja um múltiplo, se isso tornar as coisas mais fáceis, posso muito bem me contentar com $ W $ e $ Z $ sendo apenas domínios abertos em $ mathbb^ n $ ou $ mathbb^ n $ (ou $ mathbb inteiro^ n $ ou $ mathbb^ n $ para esse assunto) essa é a principal razão pela qual escrevi o domínio de $ F $ como $ V vezes W $ em vez de apenas algum manifold geral $ M $.

Na verdade, estou bastante convencido de que coisas como essa deveriam ter sido tratadas na literatura, mas não consegui pesquisar nada razoável no Google até agora (talvez eu simplesmente não saiba as palavras-chave corretas), apontando quaisquer referências adequadas é muito bem-vindo.