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10: Integral multivariável - Matemática


10: Integral multivariável - Matemática

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Notas da aula - Resumo da semana 13 (PDF)

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E assim obtivemos dois bits de informação, um proveniente da física que dizia que o fluxo vai de uma concentração alta para uma concentração menor. E isso nos disse que o fluxo é proporcional a um gradiente negativo de uma concentração. E a segunda informação que obtivemos foi do teorema da divergência, e foi isso que passei um tempo tentando explicar. E aquele nos disse que a divergência de F é, na verdade, u parcial negativo sobre t parcial. Quando você combina essas duas relações, é assim que você obtém a equação de difusão. Desculpe, devo dizer que esta não é a declaração de um teorema da divergência. Isso é algo que derivaria disso com algumas etapas envolvidas. E então o que obtivemos com isso é uma equação de difusão porque acabamos obtendo que u parcial sobre t parcial é menos div F, que é, portanto, k vezes divergência positiva de grad u, que é o que denotamos por del quadrado u, o Laplaciano. Então, foi assim que obtivemos a equação de difusão. De qualquer forma, vou deixar você dar uma olhada nas notas que foram distribuídas, caso você realmente queira ver mais. Eu só queria dar a parte que faltou na última palestra. Deixe-me mudar completamente e mudar para o tópico de hoje, que são integrais de linha e trabalhar em 3D. Isso vai se parecer muito com o que fizemos no avião, exceto, é claro, que há uma coordenada z. Você verá que isso não muda muito quando se trata de calcular uma integral de linha. Isso muda um pouco as coisas, no entanto, quando se trata de testar se um campo é um campo gradiente. É por isso que devemos ser mais cuidadosos. Vamos começar imediatamente com as integrais de linha no espaço. Digamos que tenhamos um campo vetorial F com as componentes P, Q e R. Devemos pensar nele como representando uma força. E digamos que temos uma curva C no espaço. Então, o trabalho feito pelo campo será a integral de linha ao longo de C de F ponto dr. Essa é uma fórmula familiar. E o que fazemos com essa fórmula também é familiar, exceto agora, é claro, que temos uma coordenada z. Vamos pensar no vetor dr como um vetor espacial com componentes dx, dy e dz. Quando fazemos o produto escalar de F com dr, isso nos dirá que temos que integrar Pdx Qdy Rdz. Mas ainda é uma integral de linha, então ainda vai se transformar em uma única integral quando você inserir os valores corretos. Portanto, o método será exatamente o mesmo que no plano, ou seja, encontraremos uma maneira de parametrizar nossa curva, x mais x, y z em termos de uma única variável, e então iremos integrar em relação a essa variável. A forma como avaliamos é parametrizando C e expressando x, y, z, dx, dy, dz em termos do parâmetro. Vamos dar um exemplo apenas para te convencer de que você realmente sabe fazer isso, ou pelo menos deveria saber fazer isso. Digamos que eu forneça o campo vetorial com componentes yz, xz e xy. E digamos que temos uma curva dada por x igual a t ^ 3, y igual a t ^ 2, z igual a t para t indo de zero a um. A forma como configuraremos a integral de linha para o trabalho realizado será - Bem, desculpe. Antes de realmente configurarmos a integral de linha, precisamos saber como expressaremos tudo em termos de t e dt. x, y e z, em termos de t, são dados aqui. Precisamos apenas fazer também dx, dy e dz. Ao diferenciar, você obtém dx é 3t ^ 2 dt. Essa é a derivada de t ^ 3, dy será 2t dt e dz será apenas dt. E avaliaremos a integral de linha para o trabalho. Essa será a integral de yz dx xz dy xy dz, que se tornará - yz é t ^ 3 vezes dx é 3t ^ 2 dt mais xz é t ^ 4 vezes dy é 2t dt mais xy é t ^ 5 dt. Isso só se torna a integral de, bem, acho que t vai de zero a um, na verdade. E estamos integrando três mais dois mais um. Isso é 6t ^ 5 dt que, tenho certeza que você sabe, se integra a t ^ 6, então vamos pegar apenas um. É o mesmo método de costume. E se você está recebendo uma descrição geométrica de uma curva, então, é claro, você terá que decidir por si mesmo qual será o melhor parâmetro. Pode ser algum parâmetro de tempo como aqui. Pode ser uma das coordenadas. Aqui, poderíamos ter usado z como nosso parâmetro porque, na verdade, essa curva é x igual a x3 ey igual a z2. E também poderíamos ter usado talvez algum ângulo. Bem, não aqui, mas se estivéssemos nos movendo em um círculo ou algo assim. Alguma dúvida até agora? Não. OK. Bem, porque podemos praticar um pouco mais, vamos fazer outro em que fazemos o mesmo campo vetorial F, mas nossa curva C vai da origem ao ponto (1,0, 0) ao longo do eixo x. Vamos chamá-lo de C1. Em seguida, para (1,1, 0). Vamos chamar isso de C2 movendo-se paralelamente ao eixo y. E então até (1,1, 1) paralelo ao eixo z, vamos chamá-lo de C3. Tenho certeza de que pelo menos alguns de vocês estão suspeitando do que estou chegando aqui, mas não vamos estragar isso para aqueles que ainda não viram. OK. Se quisermos calcular a integral de linha ao longo desse cara, temos que dividi-la em uma soma de três termos. Bem, talvez eu deva chamar isso de C ', não C, porque esse não é mais o mesmo C. Eu quero fazer a soma das integrais de linha ao longo de C1, C2 e C3. E, bem, se eu olhar para C1 e C2, eles ocorrem dentro do plano x, y. Na verdade, você sabe que z será zero e dz também será zero em ambos. E se você apenas olhar para a fórmula da integral de linha no papel de yz dx mais xz dy mais xy dz, bem, parece que se você inserir z igual a zero e dz igual a zero, você obterá apenas zero. Na verdade, são muito rápidos. Deixe-me escrever. Isso vai ser zero, isso vai ser zero, isso vai ser zero, e teremos zero. Agora, se fizermos C3, bem, talvez tenhamos que fazer alguns cálculos, mas não será tão ruim. C3, bem, x e y são ambos iguais a um. E, é claro, como eles são constantes, isso significa que dx é zero e dy é zero. Por outro lado, z varia de zero a um. Se eu olhar para a integral de linha em C3 - os primeiros dois termos, yz, dx e xz dy desaparecem porque dx e dy são zero, então, fico apenas com xy dz. Mas, como x e y são um, é apenas a integral de dz de zero a um, e isso acabará sendo um. Se somar esses números, zero mais zero mais um, obtenho um novamente. E, claro, não é uma coincidência porque este campo vetorial é um campo gradiente. Tenho certeza de que alguns de vocês já descobriram do que é o gradiente. Caso contrário, vamos descobrir isso juntos. E é por isso que obtemos a mesma resposta para esses dois caminhos que vão desde a origem até (1,1, 1). Talvez eu deva apontar, para deixar claro, que se você inserir t igual a zero lá em cima você obterá (0,0, 0). Se você plugar t é igual a um, você obterá (1,1, 1). Na verdade - F que temos aqui é conservador. E, se você conectar as duas curvas - Bem, eu não tenho certeza se sei como plotar isso corretamente. Não é exatamente o que parece. Qualquer que seja. A primeira curva C vai da origem a este ponto, e C 'também, apenas de uma forma um pouco mais indireta. Ambos vão da origem a (1,1, 1). Não é uma surpresa que você obtenha a mesma resposta para ambas as integrais de linha. E como vemos isso? Bem, na verdade aqui não é muito difícil encontrar uma função cujo gradiente seja este campo vetorial. Ou seja, o gradiente de x, y, z parece que deve ser exatamente o que queremos. Se você tirar parte disso em relação a x, obterá yz, a seguir em relação a y, xz e em relação a z, xy. E então, de fato, a maneira mais fácil de calcular essas integrais de linha era usar o teorema fundamental do cálculo. Assim que tivermos essa observação, não precisamos mais calcular essas integrais de linha. Podemos apenas usar o teorema fundamental. Se conhecermos este teorema fundamental - - para integrais de linha, isso nos diz que a integral de linha de um campo gradiente é igual ao valor do potencial no ponto final menos o valor do potencial no ponto inicial. E isso, é claro, só se aplica se você tiver um potencial. Então, em particular, apenas se você tiver um campo conservador, um campo gradiente. Aqui, em nosso exemplo, temos que olhar, vamos chamar o pequeno f de x, y, z de xyz potencial, então tomamos f (1,1, 1) - f (0,0, 0). E isso de fato é um menos zero, que é um. Tudo é consistente. Tudo isso até agora funciona exatamente como no avião. Alguma pergunta? Não. OK. Vamos tentar ver onde as coisas ficam um pouco diferentes. E o primeiro desses lugares é quando tentamos testar se um campo vetorial é um campo gradiente. Lembre-se de quando tínhamos um campo vetorial no plano, para saber se era um gradiente de uma função de duas variáveis, bastava verificar uma condição, N sub x é igual a M sub y. Agora, na verdade, temos três condições diferentes para verificar e isso significa, é claro, mais trabalho. OK. Então, qual é o nosso teste para campos de gradiente? Queremos saber se um determinado campo vetorial com componentes P, Q e R pode ser escrito como f sub x, f sub y e f sub z para uma mesma função F. E para que isso possa acontecer, bem, certamente precisamos de alguns relações entre P, Q e R. E, como antes, isso vem do fato de que as segundas derivadas misturadas são as mesmas, não importa em que ordem você as tome. Se for esse o caso, posso calcular f sub xy, que é o mesmo que f sub yx de duas maneiras diferentes. F sub xy deve ser P sub y. F sub yx, bem, uma vez que f sub y é Q, isso deveria ser Q sub x. Isso faz parte de um critério que já tínhamos quando tínhamos apenas duas variáveis. Mas agora, é claro, precisamos fazer a mesma coisa quando olhamos para x e z ou y e z. Isso nos dá mais duas condições. P sub z é f sub xz, que é o mesmo que f sub zx, então deve ser igual a R sub x. Finalmente, Q sub z, que é f sub yz, é igual a f sub zy é igual a R sub y. Temos três condições, portanto, nosso critério - campo vetorial F é igual a

. E aqui, para ser totalmente verdadeiro, devo dizer que está definido em uma região simplesmente conectada. Caso contrário, podemos ter o mesmo tipo de coisas estranhas acontecendo como antes. Não vamos nos preocupar muito com isso. Para precisão, precisamos que nosso campo vetorial seja definido em uma região simplesmente conectada. E o exemplo é apenas se for definido em todos os lugares. Se você não tem eliminadores do mal, pode simplesmente seguir em frente e não há problema. É um campo gradiente. Precisamos de três condições. Vamos fazer isso em ordem. P sub y é igual a Q sub x. E temos P sub z igual a R sub x e Q sub z igual a R sub y. Como você se lembra dessas três condições? Bem, é muito fácil. Você escolhe quaisquer dois componentes, digamos o componente xeo z, e obtém a parcial do componente x em relação a z, a parcial do componente z em relação a x e deve torná-los iguais. E o mesmo com cada par de variáveis. Na verdade, se você tivesse uma função de muito mais variáveis, o critério ainda seria exatamente assim. Para cada par de componentes, os parciais mistos devem ser os mesmos. Mas não iremos além de três variáveis, então você não precisa saber disso. Isso você precisa saber, então deixe-me encaixotar. Isso é muito simples. Vamos fazer um exemplo apenas para ver como funciona. Aliás, também podemos pensar nisso em termos de diferenciais. Antes de fazer o exemplo, deixe-me dizer em um idioma diferente. Se temos um diferencial dado a nós de uma forma Pdx Qdy Rdz vai ser um diferencial exato, o que significa que é igual a df para alguma função F exatamente e nas mesmas condições. Isso é a mesma coisa. Só na linguagem dos diferenciais. O exemplo que prometi. Claro, eu poderia fazer novamente o mesmo ali e verificar se satisfaz a condição, mas então não seria muito divertido. Então, vamos fazer um melhor. Na verdade, vamos fazer de uma forma que pareça um problema de exame. Digamos que aeb seja a xy dx plus - Oh, não vai caber aqui. Mas vai caber aqui. a xy dx (x ^ 2 z ^ 3) dy (byz ^ 2 - 4z ^ 3) dz, um diferencial exato. Ou, se você não gosta de diferenciais exatos, para os quais aeb é o campo vetorial correspondente com i, j e k em vez disso, um campo gradiente. Vamos apenas aplicar o critério. E, é claro, você pode adivinhar que o que se segue é descobrir como encontrar o potencial, quando houver um. Vamos fazer um por um. Queremos comparar P sub y com Q sub x, queremos comparar P sub z com R sub x e queremos comparar Q sub z com R sub y, onde chamamos P, Q e R desses caras. Vamos ver. O que é P sub y? Isso parece ser machado. O que é Q sub x? 2x. Q é este. Na verdade, deixe-me anotá-los. Porque senão vou ficar confuso também. Esse cara aqui, isso é P, esse cara aqui, isso é Q e aquele cara aqui, isso é R. Este aqui nos diz que a deve ser igual a dois do primeiro produto que você segura. OK. Vejamos P sub z. Isso é apenas zero. R sub x? Bem, R não tem nenhum x, então isso é zero. Este não é um problema. Q sub z? Bem, isso parece ser 3z2. R sub y parece ser bz2, então b deve ser igual a três. Precisamos ter a igual a dois e, este é um e, não ou, b igual a três para que isso seja exato. Para os valores de aeb, podemos procurar um potencial usando o método que veremos agora. Para quaisquer outros valores de aeb, não podemos. Se tivermos que calcular uma integral de linha, temos que fazer isso encontrando um parâmetro e configurando tudo. Alguma dúvida neste momento? Sim? Eu vejo. Bem, se eu recebi a mesma resposta, oh, disse bz ^ 2 ou 3bz ^ 2? Bem, 3bz ^ 2, por exemplo, eu precisaria que b fosse zero porque a única vez que 3bz2 é igual a bz2 não apenas em um ponto, mas em todos os lugares, eu preciso que eles tenham a mesma função de x, y, z. Bem, se um coeficiente de z2 é o mesmo que seria b igual a 3b, isso me daria b igual a zero. Se você obtiver bz2 em ambos os lados, isso significaria que para qualquer valor de b ele funciona, e você não precisa se preocupar com o valor de b. Alguma outra pergunta? Não. OK. Agora, como encontramos o potencial? Bem, existem dois métodos como antes. Um deles, não lembro se foi o primeiro ou o segundo da última vez, mas não importa mesmo. Um deles era apenas para dizer que o valor de F no ponto, deixe-me chamá-lo de x1, y1, z1, é igual à integral de linha do meu campo ao longo de uma curva bem escolhida mais, é claro, uma constante, que vai ser a constante de integração. E o tipo de curva que usarei para fazer esse cálculo será apenas minha curva favorita, indo da origem ao ponto x1, y1, z1. E então, normalmente a escolha mais comum seria ir primeiro ao longo do eixo x, depois paralelo ao eixo y e, em seguida, paralelo ao eixo z até meu ponto x1, y1, z1. Eu apenas calcularia três integrais de linha fáceis. Some-os e isso me daria o valor da minha função. Esse método funciona exatamente da mesma maneira que funcionou em duas variáveis. Agora, parece que me lembro que vocês preferiam principalmente o outro método. Vou falar sobre o outro método também, mas só quero salientar que este, na verdade, não se torna mais complicado. O outro tem, na verdade, mais etapas. Quero dizer, é claro, aqui também há mais algumas etapas, porque você tem três partes em seu caminho, em vez de duas. Você tem três integrais de linha para calcular em vez de duas, mas conceitualmente permanece exatamente a mesma ideia. Devo dizer que funciona da mesma forma que em 2D. Não há muitas mudanças. Vejamos o outro método que usa anti-derivados. Lembre-se de que queremos encontrar uma função pequena f cujas parciais são exatamente as coisas que nos foram fornecidas. Queremos resolver, bem, deixe-me inserir os valores de aeb que funcionarão. Dissemos que a deveria ser dois, então f sub x deveria ser 2xy, f sub y deveria ser x2 mais z3 e f sub z deveria ser 3yz ^ 2 menos 4z ^ 3. Vamos examiná-los um de cada vez e obter informações parciais sobre a função. E então iremos comparar com os outros para obter mais informações até que estejamos completamente prontos. A primeira coisa que faremos, sabemos que f sub x é 2xy. Isso deve nos dizer algo sobre f. Bem, vamos apenas integrar isso em relação a x. Deixe-me escrever dx integral próximo a isso. Isso nos diz que f deve ser, bem, se integrarmos isso em relação a x, 2x se integra a x ^ 2, então devemos obter x2y. Além disso, é claro, uma constante de integração. Agora, o que queremos dizer com constante de integração. Isso significa que, para determinados valores de y e z, obteremos um termo que não depende de x. Ainda depende de y e z. Na verdade, o que obtemos é uma função de y e z. Veja, se você tirou a derivada disso em relação ax você obterá 2xy e esse cara irá embora porque não há x nele. Esse é o primeiro passo. Agora precisamos obter algumas informações sobre g. Como fazemos isso? Bem, nós olhamos para as outras parciais. F sub y, queremos que seja x ^ 2 z ^ 3. Mas a gente tem uma outra forma de encontrá-lo, que é partindo dessa e diferenciando. Deixe-me tentar usar cores para isso. Agora, se eu tirar a parte parcial disso em relação a y, vou obter uma fórmula diferente para f sub y. Isso será x ^ 2 mais g sub y. Bem, se eu comparar essas duas expressões, isso me diz que g sub y deve ser z3. Agora, se eu tiver isso, posso integrar em relação a y. Isso me dirá que g é, na verdade, yz ^ 3 mais uma constante de integração. Essa constante, novamente, não depende de y, mas ainda pode depender de z porque ainda não dissemos nada sobre parcial em relação a z. Na verdade, essa constante escreverei como uma função h de z. Se eu tiver essa função de z e tirar sua parcial em relação ay, ainda terei z ^ 3, não importa qual seja h. Agora, como faço para encontrar h? Bem, obviamente, eu tenho que olhar para f sub z. F sub z. Sabemos, a partir do campo vetorial fornecido, que queremos 3yz ^ 2 menos 4z ^ 3. Caso você esteja se perguntando de onde veio isso, era R. Mas isso também é obtido diferenciando com respeito a z o que tínhamos até agora. Desculpa. O que temos até agora? Bem, tínhamos f igual a x ^ 2y mais g. E dissemos que g é, na verdade, yz ^ 3 mais h de z. Isso é o que temos até agora. Se tomarmos a derivada disso em relação a z, obteremos zero mais 3yz ^ 2 mais h linha de z, ou dh dz como você quiser. Agora, se compararmos esses dois, obteremos a derivada de h. Isso nos dirá que h linha é negativo para z3. Isso significa que h é negativo z ^ 4 mais uma constante. E isso é, finalmente, uma constante real. Porque não depende de z e não há mais nada de que depender. Agora, conectamos isso ao que tínhamos antes, e isso nos dará nossa função f. Obtemos que f = x ^ 2y yz ^ 3 - z ^ 4 mais constante. Se você queria apenas encontrar um potencial, pode simplesmente esquecer a constante. Esse cara era um potencial. Se você quiser todos os potenciais, eles diferem por essa constante. OK. Só para recapitular o método, o que fizemos? Começamos com - E, claro, você pode fazer na ordem que preferir, mas ainda assim terá que seguir o método sistemático. Você começa com f sub x e integra isso em relação a x. Isso dá a você f até uma função de y e z apenas. Agora você compara f sub y conforme dado a você pelo campo vetorial com a fórmula que obtém dessa expressão para f. E, é claro, este envolverá g sub y. Fora disso, você obterá o valor de g sub y. Quando você tem g sub y, isso dá a você g até uma função de z apenas. E agora você tem f até uma função de z apenas. E o que você vai fazer é olhar para a derivada em relação a z, aquela que você quer vindo do campo vetorial e aquela que você tem vindo desta fórmula para f, combine-as e isso lhe dirá h linha. Você obterá he, em seguida, obterá f. Alguma pergunta? Quem ainda prefere esse método? OK, ainda a maioria de vocês. Quem está pensando que talvez o outro método não fosse tão ruim assim? OK. Isso ainda é uma minoria. Você pode escolher o que preferir. Eu o encorajaria a praticar um pouco, tentando ambos, pelo menos, alguns exemplos apenas para ter certeza de que você sabe como fazer os dois e, então, seguir o que preferir. Alguma dúvida sobre isso? Não. Acho que já perguntei. Ainda sem perguntas? OK. A próxima coisa lógica será curl. E o teorema que vai substituir o teorema de Green para trabalhar neste cenário será chamado de teorema de Stokes. Deixe-me começar falando sobre curl em 3D. Aqui está a declaração. O curl vai apenas medir o quanto seu campo vetorial deixa de ser conservador. E, se você quiser pensar sobre isso em termos de movimentos, isso também medirá a parte de rotação do movimento. Bem, deixe-me primeiro dar uma definição. Digamos que meu campo vetorial tenha os componentes P, Q e R. Então definimos o enrolamento de F como R sub y menos Q sub z vezes i mais P sub z menos R sub x vezes j mais Q sub x menos P sub y vezes k. E é claro que ninguém consegue se lembrar dessa fórmula, então qual é a estrutura dessa fórmula? Bem, você vê, cada um desses caras é uma das coisas que tem que ser zero para o nosso campo ser conservador. Se F é definido em uma região simplesmente conectada, então temos que F é conservador e é equivalente a se e somente se curl F for zero. Agora, uma diferença importante entre ondulação aqui e ondulação no plano é que agora a ondulação de um campo vetorial é novamente um campo vetorial. Essas expressões são funções de x, y, z e, juntas, você forma um vetor a partir delas. A curvatura de um campo vetorial no espaço é, na verdade, um campo vetorial, não uma função escalar. Eu adiei o inevitável. Eu realmente tenho que dizer a você como se lembrar dessa fórmula maligna. O segredo é que, na verdade, você pode pensar nisso como del cross f. Talvez você tenha visto isso na física. É aqui que essa notação del se torna extremamente útil, porque essa é basicamente a única maneira de lembrar a fórmula do curl. Lembre-se de que apresentamos o operador dell. Era esse operador vetorial simbólico em que os componentes são os operadores derivativos parciais. Vimos que, se você aplicar isso a uma função escalar, obterá o gradiente. E vimos que se você fizer o produto escalar entre dell e um campo vetorial, talvez eu deva dar a ele os componentes P, Q e R, você obterá P parcial sobre x parcial mais Q parcial sobre y parcial mais R parcial sobre z parcial , que é a divergência. E agora a novidade é que se eu tentar fazer dell cross F, bem, o que é dell cross F? Tenho que configurar um produto cruzado entre essa coisa estranha que não é realmente um vetor. Quer dizer, eu realmente não consigo pensar em parcial sobre parcial x como um número. E meu campo vetorial

. Veja, esse é realmente um uso completamente pervertido de uma notação determinante. Inicialmente, os determinantes deviam ser apenas que você tinha uma tabela de números de três por três e calculou um número a partir deles. Esses caras são funções, então eles contam como números, mas esses são vetores e essas são derivadas parciais. Realmente não faz muito sentido, exceto esta notação. Se você tentar inserir isso em uma calculadora ou computador, ele irá gritar de volta para você dizendo que você está louco. [RISOS] Nós apenas usamos isso como uma notação para lembrar o que está lá. Vamos tentar ver como isso funciona. O componente de i neste produto vetorial, lembre-se de que é este determinante menor, que o determinante menor é parcial sobre y parcial de R menos parcial sobre z parcial de Q, o coeficiente de i. E isso parece ser o que eu tinha lá. Se não, cometi um erro. Menos o próximo determinante vezes z. Lembre-se de que sempre há um sinal de menos na frente de um componente j quando você faz um produto cruzado. O outro é parcial sobre parcial x R menos parcial sobre parcial z de P mais o componente de z que vai ser parcial sobre parcial x Q menos parcial sobre parcial y P. E essa realmente vai ser a curva de F. Na prática, se você tiver que calcular a curvatura de um campo vetorial, você sabe, não tente se lembrar desta fórmula. Basta configurar este produto cruzado com quaisquer fórmulas que você tenha para os componentes de um campo e, em seguida, calculá-lo. Não se preocupe em tentar se lembrar da fórmula geral, apenas lembre-se disso. Qual é a interpretação geométrica do curl, só para finalizar? De certa forma, direi que apenas curl mede o componente de rotação em um campo de velocidade. Um exercício que você pode fazer, que na verdade é muito fácil de verificar, é dizer que temos um fluido que está apenas girando em torno do eixo x uniformemente. Seu fluido está apenas girando assim sobre o eixo z. Se eu fizer uma rotação em torno do eixo z. Isso é dado por um campo de velocidade com componentes em velocidade angular ômega. Isso será ômega negativo vezes y, então ômega xe zero. E a onda disso você pode calcular, e você encontrará dois ômega vezes k. Concretamente, essa onda dá a velocidade angular da rotação, bom, com um fator dois, mas isso não importa, e o eixo de rotação, a direção do eixo de rotação. Ele informa que está girando em torno de um eixo vertical. E, em geral, se você tem um movimento complicado, parte dele pode ser, você sabe, há uma tradução. E então, dentro dessa tradução, talvez haja expansão, rotação, compartilhamento e tudo mais. E o curl calculará quanta rotação está ocorrendo. Ele vai te dizer, dizer que você tem um sólido muito pequeno, não sei como uma bola de pingue-pongue no seu fluxo, e ele está apenas indo com o fluxo, ele diz a você como vai começar a girar. Isso é o que mede o curl. Na quinta-feira, veremos o teorema de Stokes, que será o último ingrediente antes do próximo exame. E então na sexta nós revisaremos as coisas.


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10: Integral multivariável - Matemática

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No cálculo multivariável (também conhecido como cálculo multivariado), estudamos funções de duas ou mais variáveis ​​independentes, por exemplo, f (x, y) = yx ou f (x, y, z) = xyz + yz enquanto o cálculo de variável única você estuda funções de uma única variável independente. Por exemplo, f (x) = 3x.

O cálculo tem muitas subdivisões, o cálculo de múltiplas variáveis ​​lida com funções de uma variável. Por exemplo, f (x) = 3x tem uma variável x, então o cálculo de variável única é incluído neste tipo de variável, enquanto o cálculo multivariável estuda funções de múltiplas variáveis ​​reais. Por exemplo f (x, y) = xyz ou f (x, y, z) = xy + yz.
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Bruchkov Yu.A., Glaeske H.-J., Prudnikov A.P., Vu K.T.,Transformadas Integrais Multidimensionais, Geest & amp Portig K.G., Leipzig e D. Reidel Publ., Amsterdam, (a aparecer).

Exton H.,Manual de integrais hipergeométricos, teoria, aplicativos, tabelas, programas de computador, Halsted Press (Ellis Horwood), John Wiley and Sons, Chichester-New York-Brisbane-Toronto, 1978.

Lauricella G.,Sulle funzioni ipergeometriche a più variabili, Rend. Circ. Esteira. Palermo7 (1893), 111–158.


Termos

Observe que as informações a seguir estão sujeitas a alterações.

  • Check-ins semanais de conceito: 5%, com base na conclusão
  • Autoavaliações da unidade (melhores 10 de 12 cada metade): 7%
  • Testes de domínio (3 x 1% cada): 3%
  • Sessões ao vivo (6 x 1% cada) (melhores 5 de 6): 5%
  • Testes durante o período (melhores 2 de 3 em cada semestre): 20%
  • Exame de meio do curso supervisionado: 30%
  • Exame final supervisionado: 30%
  • Se a nota do exame em um termo for maior do que qualquer escrito term test, the test mark will be replaced with the exam mark (applies to all tests with grades lower than the exam grade, not just the lowest).
  • If a student misses a test without a valid reason, the mark for the test will remain a zero, regardless of exam performance. See Course Policy below.

Course Policy

  • All tests are mandatory, and can only be missed through pre-arrangement, or due to illness/family emergency. Notification by email is required within 7 days of the missed test in the case of illness/family emergency.
  • Missed tests (with appropriate notification) will not be re-taken the 5% for the test will be added to the exam for the current term. Missed tests without a reason/notification will be given a grade of zero.
  • In the tests and exam, no resources can be used, except those provided explicitly in the test.
    • First violation on a test: zero on dois tests, record with the Faculty.
    • Second violation on a test or violation in the exam: zero for the course, communication with the Faculty.

    Final and Midterm Examination

    Midterm exam: The date and time will be scheduled during the Fall term final examination period. You will write your midterm exam at the same exam centre location as the final proctored exam.

    The final exam will be held during the Winter term final examination period. The exam schedule will be determined approximately eight weeks before the start of the exam period.

    Students must write their exam on the day and time scheduled by the University. The start time may vary slightly depending on the off-campus exam centre. Do not schedule vacations, appointments, etc., during the exam period.


    Math Insight

    Changing variables in triple integrals is nearly identical to changing variables in double integrals. You can view this story as a second chance to understand the basics underlying a change of variables. You can also read a more traditional introduction to changing variables in triple integrals.

    Imagine that you are an engineer designing a new electrode tip that will be used to monitor brain activity in people with epilepsy. The end product will be an array of electrodes that will be implanted in the area of a patient's brain where doctors believe the epileptic seizures begin. Once the array of electrodes is implanted in the brain, doctors will be able to monitor the brain's activity before and during a seizure to pinpoint exactly where the seizure begins.

    Currently, for severe cases of epilepsy that don't respond to other treatment, the recommended treatment is removing the small part of brain tissue that starts the seizure. Since doctors want to remove as little of the brain as possible, implanting electrode arrays is necessary to find exactly what part of the brain is causing the trouble.

    You, however, are working with a team of scientists looking for methods to stop the seizure that don't involve removing parts of the brain. The idea is the following. The electrode arrays can detect patterns of brain activity that signal the seizure is about to begin. What if one can use the electrodes to disrupt that pattern of activity so it doesn't develop into a full blown epileptic seizure? If one passes small pulses of current through the electrodes with the right timing, the hope is that a seizure can be avoided.

    With this goal and many other technical requirements in mind, you have developed a prototype electrode tip whose shape is given by the solid $dlv$ diagrammed below. You have optimized the electrical properties of the electrode tip both through developing the shape $dlv$ and through incorporating different metal alloys along different parts of the electrode.

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    A three dimensional domain of an electode trip. The solid $dlv$ represents a tip of an electrode.

    You are quite excited about your new design. You show it to the chief scientist on the project. She likes your design, but has one concern. She wants you to calculate the total charge that may build up on the electrode to make sure it doesn't reach unsafe levels.

    From the metal composition of your electrode tip and the information the chief scientist gives you about the current, you quickly calculate $g(x,y,z)$, the charge density at each point $(x,y,z)$ within the electrode tip. To find the total charge, all you need to do is calculate the triple integral egin exto = iiint_dlv g(x,y,z) , dV, end where $dlv$ is the solid representing the electrode tip.

    You struggle with calculating the integral, but, especially given the complicated shape of the electrode, you find that the integral is too difficult to solve directly. Then, you remember something you learned in your multivariable calculus course: changing variables in triple integrals.

    Step 1: Integrate over new region $dlv^*$

    Instead of trying to directly integrate $g(x,y,z)$ over $dlv$, you realize you could solve your problem by finding a change of variables egin (x,y,z) = cvarf(cvarfv,cvarsv,cvartv) end that maps a simpler solid $dlv^*$ onto the complicated solid $dlv$. Then, rather than integrating over $dlv$, you could integrate over $dlv^*$.

    After a long night's worth of calculations, you come up with a function $cvarf(cvarfv,cvarsv,cvartv)$ that looks promising. The effect of the function $cvarf$ is demonstrated below. The function $cvarf$ maps a simple solid $dlv^*$ (shown in the first panel, below) in $(cvarfv,cvarsv,cvartv)$-space to the electrode tip $dlv$ (shown in the second panel, below) in $(x,y,z)$-space. We often say that $cvarf(cvarfv,cvarsv,cvartv)$ parametrizes $dlv$ for $(cvarfv,cvarsv,cvartv)$ in $dlv^*$.

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    A change of variables for an electrode tip domain. A change of variables $cvarf$ maps a rectangular solid $dlv^*$ (first panel) onto the electrode tip $dlv$ (second panel). You can explore the mapping by moving with the mouse the red point in $dlv^*$, which represents the point $(cvarfv,cvarsv,cvartv)$, or the point blue point in $dlv$, which represents the point $(x,y,z)$. When you move one point, the other point moves to reflect the mapping so that $(x,y,z)= cvarf(cvarfv,cvarsv,cvartv)$.

    Step 2: Compose function $g$ with change of variables function $cvarf$.

    Since it is so late after you finished finding $cvarf(cvarfv,cvarsv,cvartv)$ and you are tired, you almost start to integrate $g$ directly over the solid $dlv^*$. Fortunately, you realize that such a procedure doesn't make sense because $g$ is a function of $(x,y,z)$ and hence is defined over the electrode tip $dlv$. Since it is not a function of $(cvarfv,cvarsv,cvartv)$, you can't integrate $g$ over the solid $dlv^*$ in $(cvarfv,cvarsv,cvartv)$-space. At this point, you are too tired to figure out what you were supposed to do, so you go to bed without finishing your calculation of what the total charge on the electrode would be. You sleep fitfully, dreaming of electrodes that were charged to dangerous levels attacking you.

    The next morning, you wake up still groggy, but immediately realize the solution to your problem. Although $g(x,y,z)$ is defined only on your electrode $dlv$, you can simply compose $g(x,y,z)$ with $cvarf(cvarfv,cvarsv,cvartv)$ to obtain the function $g(cvarf(cvarfv,cvarsv,cvartv))$ that is defined in terms of $(cvarfv,cvarsv,cvartv)$. For a given point $(cvarfv,cvarsv,cvartv)$ (shown by the red point, above), the composition $g(cvarf(cvarfv,cvarsv,cvartv))$ gives the density at the point $(x,y,z)=cvarf(cvarfv,cvarsv,cvartv)$ (shown by the blue point, above) on the electrode $dlv$. By integrating $g(cvarf(cvarfv,cvarsv,cvartv))$ over the solid $dlv^*$ in $(cvarfv,cvarsv,cvartv)$-space, you will integrate $g(x,y,z)$ over the solid $dlv$ and compute the total charge. You feel pretty smug that you had this realization even before breakfast and coffee.

    Step 3: Include a factor to account for change in volume

    Unfortunately, you are still too groggy after your fitful sleep to remember everything you learned in multivariable calculus. You completely forget that $(x,y,z)=cvarf(cvarfv,cvarsv,cvartv)$ will change volume in $dlv^*$ compared to volume in $dlv$. Without compensating for this effect of the map $cvarf$, your calculations assume that volume in $dlv$ is the same as volume in $dlv^*$.

    Glancing at the above diagram is enough to guess what the result of this error might be. The volume of $dlv^*$ is larger than the volume of $dlv$. Remember that total charge equals charge density times volume. If one uses the correct charge density $g$ of the electrode but multiplies by volume in $dlv^*$ rather than volume in $dlv$, the calculation for the total charge should be larger than the correct answer. If, for example, $dlv^*$ was uniformly twice as large as $dlv$, then this incorrect calculation for total charge would give an answer that was twice the actual value.

    Not realizing this mistake, you proceed with your incorrect calculation and integrate $g(cvarf(cvarfv,cvarsv,cvartv))$ over $dlv^*$ without compensating for change in volume. Your result makes you so upset that you kick the table in anger, hurting your foot and spilling your coffee all over your calculations. But at that point, you don't care. You rip up your coffee-soaked notes and limp back to bed to cry. Your design is useless. The total charge on your electrode is much too large. Your hard work is more likely to fry people's brains than help them overcome epilepsy. Or so you think.

    Once you stop crying, you discover that your throbbing foot has helped lift your grogginess and your mind is actually becoming clear. Finally, you remember the strict admonition of your calculus professor to never forget to compensate for change in volume when changing variables. You realize that maybe your electrode won't cook people's brains and you might be able to salvage your design.

    You grab a fresh piece of paper, race back to your table, and find a dry spot on your table to work. You first sketch the following diagram to show how dividing $dlv^*$ into little boxes divides $dlv$ into small pieces. The diagram helps you visualize how changing variables changes volume. You see that, especially around the critical tip of the electrode, the volume in $dlv$ is much smaller than the volume in $dlv^*$. This gives you hope that less charge may build up on the electrode than you originally calculated.


    Assista o vídeo: MÁXIMOS E MÍNIMOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS (Outubro 2021).