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8.6.E: Problemas de Teoremas de Integrabilidade e Convergência


Exercício ( PageIndex {1} )

Preencha os detalhes que faltam nas provas desta seção.

Exercício ( PageIndex {2} )

(i) Mostre que se (f: S rightarrow E ^ {*} ) é limitado e (m ) - mensurável em (A, ) com (m A < infty, ) então (f ) é (m ) -integrável em (A ( text {Teorema} 2) ) e
[
int_ {A} f = c cdot m A,
]
onde inf (f [A] leq c leq sup f [A] ).
(ii) Prove que se (f ) também tem a propriedade Darboux em (A, ) então
[
left ( existe x_ {0} in A right) quad c = f left (x_ {0} right).
]
[Dica: Pegue (g = 1 text {no Teorema} 3.] )
(iii) Quais são os resultados se (A = [a, b] ) e (m = ) medida de Lebesgue?

Exercício ( PageIndex {3} )

Prove o Teorema 4 assumindo que os (f_ {n} ) são mensuráveis ​​em (A ) e que
[
( existe k) quad int_ {A} f_ {k}> - infty
]
em vez de (f_ {n} geq 0 ).
[Dica: Como ( left {f_ {n} right } uparrow ), mostre que
[
( forall n geq k) quad int_ {A} f_ {n}> - infty.
]
Se
[
( existe n) quad int_ {A} f_ {n} = infty,
]
então
[
int_ {A} f = lim int_ {A} f_ {n} = infty.
]
De outra forma,
[
( forall n geq k) quad left | int_ {A} f_ {n} right | < infty;
]
então (f_ {n} ) é integrável. (Por quê?) Pelo Corolário 1 em §5, assuma ( left | f_ {n} right | < infty. ) (Por quê?) Aplique o Teorema 4 a (h_ {n} = f_ {n} - f_ {k} (n geq k), ) considerando dois casos:
[
left. int_ {A} h < infty text {e} int_ {A} h = infty. right]
]

Exercício ( PageIndex {4} )

Mostre que se (f_ {n} nearrow f ) (pontualmente) em (A in mathcal {M}, ) existem ( mathcal {M} ) - mapas mensuráveis ​​ (F_ {n } geq f_ {n} ) e (F geq f ) em (A, ) com (F_ {n} nearrow F ) (ponto a ponto) em (A, ) de modo que
[
int_ {A} F = overline { int} _ {A} f text {e} int_ {A} F_ {n} = overline { int} _ {A} f_ {n}.
]
[Dica: Pelo Lema 2 de §5, fixe mapas mensuráveis ​​ (h geq f ) e (h_ {n} geq f_ {n} ) com as mesmas integrais. Deixar
[
F_ {n} = inf _ {k geq n} left (h wedge h_ {k} right), quad n = 1,2, ldots,
]
e (F = sup _ {n} F_ {n} leq h. ) (Por quê?) Prossiga.]

Exercício ( PageIndex {5} )

Para (A in mathcal {M} ) e quaisquer funções (mesmo não mensuráveis) (f, f_ {n}: S rightarrow E ^ {*}, ) prove o seguinte.
(i) Se (f_ {n} nearrow f ( text {a.e.}) ) em (A, ) então
[
overline { int} _ {A} f_ {n} nearrow overline { int} _ {A} f,
]
forneceu
[
( existe n) quad overline { int} _ {A} f_ {n}> - infty.
]
(ii) Se (f_ {n} searrow f ( text {a.e.}) ) em (A, ) então
[
underline { int} _ {A} f_ {n} searrow underline { int} _ {A} f,
]
forneceu
[
( existe n) quad underline { int} _ {A} f_ {n} < infty.
]
[Dica: Substitua (f, f_ {n} ) por (F, F_ {n} ) como no Problema (4. ) Em seguida, aplique o Problema 3 a (F_ {n}; ) para obter (eu). Para (ii), use (i) e o Teorema (1 left ( mathrm {e} ^ { prime} right) ) em §5. (Tudo é ortodoxo; por quê?)]

Exercício ( PageIndex {6} )

Mostre por exemplos que
(i) as condições
[
overline { int} _ {A} f_ {n}> - infty text {e} underline { int} _ {A} f_ {n} < infty
]
no Problema 5 são essenciais; e
(ii) O problema (5 ( mathrm {i}) ) falha para integrais inferiores. E quanto a (5 ( mathrm {ii})? )
[Dicas: (i) Let (A = (0,1) subconjunto E ^ {1}, m = ) Medida Lebesgue, (f_ {n} = - infty ) on ( left (0 , frac {1} {n} right), f_ {n} = 1 ) em outro lugar.
(ii) Seja ( mathcal {M} = left {E ^ {1}, emptyset right }, m E ^ {1} = 1, m emptyset = 0, f_ {n} = 1 ) em ((- n, n), f_ {n} = 0 ) em outro lugar. Se (f = 1 ) em (A = E ^ {1}, ) então (f_ {n} rightarrow f, ) mas não
[
underline { int} _ {A} f_ {n} rightarrow underline { int} _ {A} f.
]
Explique!]

Exercício ( PageIndex {7} )

Dado (f_ {n}: S rightarrow E ^ {*} ) e (A in mathcal {M}, ) let
[
g_ {n} = inf _ {k geq n} f_ {k} text {e} h_ {n} = sup _ {k geq n} f_ {k} quad (n = 1,2, ldots).
]
Provar que
(i) ( overline { int} _ {A} underline { lim} f_ {n} leq underline { lim} underline { int} _ {A} f_ {n} ) fornecido (( existe n) overline { int} _ {A} g_ {n}> - infty; ) e
(ii) ( underline { int} _ {A} overline { lim} f_ {n} leq overline { lim} underline { int} _ {A} f_ {n} text { fornecido} ( existe n) underline { int} _ {A} h_ {n} < infty ).
[Dica: aplique o Problema 5 a ( left.g_ {n} text {e} h_ {n}. Right] )
(Iii) Dê exemplos para os quais
[
overline { int} _ {A} underline { lim} f_ {n} neq overline { lim} _ {A} overline { int} _ {A} f_ {n} text {e } underline { int} _ {A} overline { lim} f_ {n} neq underline { lim} underline { int} _ {A} f_ {n}.
]
(Ver Nota 2).

Exercício ( PageIndex {8} )

Seja (f_ {n} geq 0 ) on (A in mathcal {M} ) e (f_ {n} rightarrow f ( text {ae}) ) on (A. ) Let (A supseteq X, X in mathcal {M}. )
Prove o seguinte.
(i) Se
[
overline { int} _ {A} f_ {n} rightarrow overline { int} _ {A} f < infty,
]
então
[
overline { int} _ {X} f_ {n} rightarrow overline { int} _ {X} f.
]
(ii) Isso falha para mudança de sinal (f_ {n} ).
[Dicas: Se (i) falhar, então
[
underline { lim} _ {X} overline { int} _ {X} f_ {n} < overline { int} _ {X} f text {ou} underline { lim} _ {X } overline { int} _ {X} f_ {n}> overline { int} _ {X} f.
]
Encontre uma subsequência de
[
left { overline { int} _ {X} f_ {n} right } text {ou} left { overline { int} _ {A-X} f_ {n} right }
]
contradizendo o Lema 2.
(ii) Seja (m = ) medida de Lebesgue; (A = (0,1), X = left (0, frac {1} {2} right) ),
[
f_ {n} = left { begin {array} {ll} {n} & { text {on} left (0, frac {1} {2 n} right],} {- n} & { text {on} left (1- frac {1} {2 n}, 1 right [.} end {array} right.
]

Exercício ( PageIndex {9} )

( Rightarrow 9 ). (i) Mostre que se (f ) e (g ) são (m ) - mensuráveis ​​e não negativos em (A, ) então
[
( forall a, b geq 0) quad int_ {A} (a f + b g) = a int_ {A} f + b int_ {A} g.
]
(ii) Se, além disso, ( int_ {A} f < infty ) ou ( int_ {A} g < infty, ) esta fórmula for válida para qualquer (a, b in E ^ {1}. )
[Dica: proceda como no Teorema 1.]

Exercício ( PageIndex {10} )

( Rightarrow 10 ). Se
[
f = sum_ {n = 1} ^ { infty} f_ {n},
]
com todos os (f_ {n} ) mensuráveis ​​e não negativos em (A, ) então
[
int_ {A} f = sum_ {n = 1} ^ { infty} int_ {A} f_ {n}.
]
[Dica: aplique o Teorema 4 aos mapas
[
g_ {n} = sum_ {k = 1} ^ {n} f_ {k} nearrow f.
]
Problema de uso 9.]

Exercício ( PageIndex {11} )

Se
[
q = sum_ {n = 1} ^ { infty} int_ {A} left | f_ {n} right | < infty
]
e os (f_ {n} ) são (m ) - mensuráveis ​​em (A, ) então
[
sum_ {n = 1} ^ { infty} left | f_ {n} right | < infty (a. e.) text {on} A
]
e (f = sum_ {n = 1} ^ { infty} f_ {n} ) é (m ) - integrável em (A, ) com
[
int_ {A} f = sum_ {n = 1} ^ { infty} int_ {A} f_ {n}.
]
[Dica: Deixe (g = sum_ {n = 1} ^ { infty} left | f_ {n} right |. ) Pelo Problema 10,
[
int_ {A} g = sum_ {n = 1} ^ { infty} int_ {A} left | f_ {n} right | = q < infty;
]
então (g < infty (a. e.) ) on (A. ) (Por quê?) Aplique o Teorema 5 e a Nota 1 aos mapas
[
g_ {n} = sum_ {k = 1} ^ {n} f_ {k};
]
observe que ( left. left | g_ {n} right | leq g. right] )

Exercício ( PageIndex {12} )

(Convergência em medida; ver Problema 11 (ii) de §3).
(i) Prove o teorema de Riesz: Se (f_ {n} rightarrow f ) em medida em (A subseteq S ), há uma subsequência ( left {f_ {n_ {k}} direita } ) de modo que (f_ {n_ {k}} rightarrow f ) (quase uniformemente), portanto (ae), em (A ).
[Esboço: Tomando
[
sigma_ {k} = delta_ {k} = 2 ^ {- k},
]
escolha, passo a passo, naturais
[
n_ {1} ]
e define (D_ {k} in mathcal {M} ) de modo que (( forall k) )
[
m D_ {k} <2 ^ {- k}
]
e
[
rho ^ { prime} left (f_ {n_ {k}}, f right) <2 ^ {- k}
]
em (A-D_ {k}. ) (Explique!) Deixe
[
E_ {n} = bigcup_ {k = n} ^ { infty} D_ {k},
]
(m E_ {n} <2 ^ {1-n}. () Por quê?) Mostre que
[
( forall n) ( forall k> n) quad rho ^ { prime} left (f_ {n_ {k}}, f right) <2 ^ {1-n}
]
em ( left.A-E_ {n}. text {Problema de uso} 11 text {in} §3. right] )
(ii) Para mapas (f_ {n}: S rightarrow E ) e (g: S rightarrow E ^ {1} ) deduza que se
[
f_ {n} rightarrow f
]
em medida em (A ) e
[
( forall n) quad left | f_ {n} right | leq g ( text {a.e.}) text {on} A,
]
então
[
| f | leq g ( text {a.e.}) text {on} A.
]
( left [ text {Dica:} f_ {n_ {k}} rightarrow f (a. e.) text {on} A. right] )

Exercício ( PageIndex {13} )

Continuando o problema (12 ( text {ii}), ) let
[
f_ {n} rightarrow f
]
em medida em (A in mathcal {M} left (f_ {n}: S rightarrow E right) ) e
[
( forall n) quad left | f_ {n} right | leq g ( mathrm {a.e.}) text {on} A,
]
com
[
overline { int_ {A}} g < infty.
]
Provar que
[
lim _ {n rightarrow infty} overline { int} _ {A} left | f_ {n} -f right | = 0.
]
Faz
[
overline { int} _ {A} f_ {n} rightarrow overline { int} _ {A} f?
]
[Esboço: Do ​​Corolário 1 de §5, inferir que (g = 0 ) em (A-C, ) onde
[
C = bigcup_ {k = 1} ^ { infty} C_ {k} ( text {disjoint}),
]
(m C_ {k} < infty. ) (Podemos assumir (g mathcal {M} ) - mensurável em (A. ) Por quê?) Além disso,
[
infty> int_ {A} g = int_ {A-C} g + int_ {C} g = 0 + sum_ {k = 1} ^ { infty} int_ {C_ {k}} g;
]
então a série converge. Por isso
[
( forall varepsilon> 0) ( exists p) quad int_ {A} g- varejpsilon < sum_ {k = 1} ^ {p} int_ {C_ {k}} g = int_ {H } g,
]
Onde
[
H = bigcup_ {k = 1} ^ {p} C_ {k} in mathcal {M}
]
e (m H < infty. ) Como ( left | f_ {n} -f right | leq 2 g ( text {a.e.}), ) obtemos
[
text {(1)} underline { int} _ {A} left | f_ {n} -f right | leq overline { int} _ {A} left | f_ {n} -f right | leq overline { int} _ {H} left | f_ {n} -f right | + int_ {AH} 2 g < overline { int_ {H}} left | f_ {n} - f right | +2 varepsilon.
]
(Explique!)
Como (m H < infty, ) podemos consertar ( sigma> 0 ) com
[
sigma cdot m H < varejpsilon.
]
Além disso, pelo Teorema (6, ) fixe ( delta ) de modo que
[
2 int_ {X} g < varepsilon
]
sempre que (A supseteq X, X in mathcal {M} ) e (m X < delta ).
Como (f_ {n} rightarrow f ) em medida em (H, ) encontramos ( mathcal {M} ) - conjuntos (D_ {n} subseteq H ) de modo que
[
left ( forall n> n_ {0} right) quad m D_ {n} < delta
]
e
[
left | f_ {n} -f right | < sigma text {on} A_ {n} = H-D_ {n}.
]
(Podemos usar a métrica padrão, pois (| f | ) e ( left | f_ {n} right | < infty ) a.e. Por quê?) Assim, de ((1), ) obtemos
[
begin {alinhado} overline { int} _ {A} left | f_ {n} -f right | & leq overline { int_ {H}} left | f_ {n} -f right | +2 varepsilon & = overline { int} _ {A_ {n}} left | f_ { n} -f right | + overline { int} _ {D_ {n}} left | f_ {n} -f right | +2 varepsilon & < overline { int} _ {A_ {n}} left | f_ {n} -f right | +3 varepsilon & leq sigma cdot m H + 3 varejpsilon <4 varejpsilon end {alinhado}
]
para (n> n_ {0}. ) (Explique!) Portanto
[
lim overline { int_ {A}} left | f_ {n} -f right | = 0.
]
Veja também o Problema 7 no §5 e a Nota 1 do §6 (para funções mensuráveis) no que diz respeito
[
left. lim overline { int_ {A}} f_ {n} cdot right]
]

Exercício ( PageIndex {14} )

Faça o Problema 12 em §3 (teoremas de Lebesgue-Egorov) para (T = E, ) assumindo
[
( forall n) quad left | f_ {n} right | leq g (a. e.) text {on} A,
]
com
[
int_ {A} g < infty
]
(em vez de (m A < infty) ).
[Dica: Com (H_ {i} (k) ) como antes, basta que
[
lim _ {i rightarrow infty} m left (A-H_ {i} (k) right) = 0.
]
(Por quê?) Verifique isso
[
( forall n) quad rho ^ { prime} left (f_ {n}, f right) = left | f_ {n} -f right | leq 2 g (a. e.) text {on} A,
]
e
[
( forall i, k) quad A-H_ {i} (k) subseteq A left (2 g geq frac {1} {k} right) cup Q (m Q = 0).
]
Inferir que
[
( forall i, k) quad m left (A-H_ {i} (k) right) < infty.
]
Agora, como (( forall k) H_ {i} (k) searrow emptyset ) (por quê?), A continuidade à direita se aplica.]


Integrabilidade e estanqueidade uniformes.

Definição: Seja $ (X, M, mu) $ um espaço de medida e $ $ uma sequência de funções mensuráveis ​​em $ x $ que são integráveis.
Então $ $ é uniformemente integrável se para cada $ epsilon & gt0 $, existe um $ delta & gt0 $ tal que se $ E $ é um subconjunto mensurável de $ X $ tal que $ mu (E) & lt delta $, então $ int_E | f_n |

$$ é dito ser justa se para cada $ epsilon & gt0 $, existe um subconjunto $ X_0 $ de $ X $ tal que $ mu (X_0) & lt infty $ e $ int_ | f_n |

Teorema: (Convergência Vitali) Seja $ (X, M, mu) $ um espaço de medida. Vamos $ $ ser uma sequência de funções uniformemente integráveis ​​que também formam uma sequência compacta. Suponha que $ f_n (x) a f (x) $ a.e. em $ X $. Então, $ f $ é integrável e, $ lim_ int_X f_n

Desejo provar o seguinte:

Vamos $ $ seja uma sequência de funções integráveis ​​não negativas em $ X $. Suponha que $ a 0 $ para quase todos os $ x em X. $. Então $ lim_ int f_n

$ ( Leftarrow) $ Suponha $ f_n a 0 $. Se $ $ é uniformemente integrável e firme, então pelo teorema de convergência de Vitali, $ lim_ int f_n

$ ( Rightarrow) $ Let $ lim_ int f_n

d mu = 0 $. Seja $ epsilon & gt0 $. Então $ existe $ um $ N $ tal que $ int_X f_n

d mu & lt epsilon $ sempre que $ n geq N. $ Além disso, como $ f_n geq 0 $, se $ E $ é um subconjunto mensurável de $ X $ e $ n geq N $, então $ int _E f_n

Eu sei que se eu tiver uma sequência finita $ _^ N $ de funções integráveis ​​não negativas sobre $ X $, então $ _^ N $ é uniformemente integrável, pois se $ E subset X $ e $ mu (E) & lt delta_k & gt0 $ então $ int_E f_k

d mu & lt epsilon $. Posso pegar $ delta = min ( delta_1, ldots, delta_k) $ para que $ mu (E) & lt delta $ e $ int_E f_k

Receio que seja aqui que estou preso e não sei como proceder. Qualquer forma de ajuda será muito apreciada. Obrigado.


Teoremas de convergência para algumas medidas de layout em rede aleatória e gráficos geométricos aleatórios

Este trabalho trata de teoremas de convergência e limites sobre o custo de várias medidas de layout para gráficos de rede, gráficos de rede aleatórios e gráficos geométricos aleatórios esparsos. Especificamente, consideramos os seguintes problemas: Disposição Linear Mínima, Largura de Corte, Corte de Soma, Separação de Vértices, Bissecção de Borda e Bissecção de Vértice. Para redes quadradas completas, fornecemos layouts ideais para os problemas ainda em aberto. Para gráficos de rede arbitrários, apresentamos os melhores limites possíveis, desconsiderando um fator constante. Aplicamos a teoria da percolação ao estudo de gráficos de rede em um cenário probabilístico. Em particular, lidamos com o regime subcrítico que esta classe de gráficos exibe e caracterizamos o comportamento de várias medidas de layout neste espaço de probabilidade. Estendemos os resultados em grafos de rede aleatórios para grafos geométricos aleatórios, que são grafos cujos nós são espalhados aleatoriamente no quadrado da unidade e cujas arestas conectam pares de pontos que estão dentro de uma determinada distância. Também caracterizamos o comportamento de várias medidas de layout em gráficos geométricos aleatórios em seu regime subcrítico. Nossos principais resultados são teoremas de convergência que podem ser vistos como um análogo do teorema de Beardwood, Halton e Hammersley para o TSP euclidiano em pontos aleatórios no quadrado da unidade.


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8.6.E: Problemas de Teoremas de Integrabilidade e Convergência

O problema de convergência de momentos de uma seqüência de variáveis ​​aleatórias aos momentos de sua distribuição assintótica é importante em muitas aplicações. Isso inclui a determinação do tamanho ideal da amostra de treinamento na estimativa de validação cruzada do erro de generalização de algoritmos de computador e na construção de métodos gráficos para estudar padrões de dependência entre dois biomarcadores. Neste artigo, provamos a integrabilidade uniforme dos estimadores de mínimos quadrados ordinários de um modelo de regressão linear, sob suposições adequadas sobre a matriz de projeto e os momentos dos erros. Além disso, provamos a convergência dos momentos dos estimadores aos momentos correspondentes de sua distribuição assintótica, e estudamos a taxa de convergência dos momentos. O teorema do limite central canônico corresponde ao modelo de regressão linear mais simples. Investigamos a taxa de convergência do momento no teorema do limite central canônico, provando uma melhoria acentuada do teorema de von Bahr (1965).


J. Bourgain, "Spherical summation and uniqueness of multiple trigonometric series," Internat. Matemática. Res. Notices, No. 3, 93-107 (1996).

J. M. Ash e G. Wang, "Alguns teoremas de unicidade esférica para várias séries trigonométricas", Ann. da matemática. (2) 151(1), 1–33 (2000).

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S. Saks, Teoria do Integral (Nova York, 1939 Inostr. Lit., Moscou, 1949) [em russo].


Introdução

Para uma sequência de variáveis ​​aleatórias independentes e identicamente distribuídas (i.i.d.) (<>, n geq 1 > ) com ( mathbbX_ <1> = 0 ), Pyke e Root [12] estabeleceram a lei de convergência média degenerada

Uma prova consideravelmente mais simples da lei do limite (1.1) foi obtida por Dharmadhikari [4] que não se referiu ao artigo de Pyke e Root [12]. Chandra [3] estabeleceu o seguinte resultado mais geral para convergência média das médias ponderadas. Sua prova é mais natural, direta e poderosa do que a de Dharmadhikari [4]. O método de Chandra [3] é novo no sentido de que o nível de truncamento não depende de n (o tamanho da amostra), enquanto Dharmadhikari [4] usou o nível de truncamento ( sqrt). A lei do limite (1.1) é obtida imediatamente a partir do resultado do Chandra [3] tomando (a_ = n ^ <-1> ), (1 leq j leq n ), (n geq 1 ).

Teorema 1.1

Deixar (<>, n geq 1 > ) seja uma sequência de pares i.eu.d. variáveis ​​aleatórias com ( mathbbX_ <1> = 0 ), e deixar (<>, 1 leq j leq n, n geq 1 > ) ser uma matriz triangular de constantes de modo que

No presente trabalho, estendemos nos Teoremas 3.1 e 3.2 este teorema de convergência média degenerada de Chandra [3] em duas direções:

Nossos resultados referem-se a médias ponderadas de um variedade de variáveis ​​aleatórias cujo na linha é composta por (k_) variáveis ​​aleatórias dependentes de quadrante negativo par a par, (n geq 1 ) (Teorema 3.1) ou de um variedade de variáveis ​​aleatórias cujo na linha é composta por (k_) variáveis ​​aleatórias independentes de pares, (n geq 1 ) (Teorema 3.2). Nenhuma condição de independência ou dependência é imposta entre as variáveis ​​aleatórias de diferentes linhas das matrizes. O resultado do Chandra [3] considerou médias ponderadas de um seqüência de pares i.i.d. variáveis ​​aleatórias.

As variáveis ​​aleatórias que consideramos são assumidas como estocasticamente dominadas por uma variável aleatória que é uma hipótese mais fraca do que a de Chandra [3] de que as variáveis ​​aleatórias são distribuídas de forma idêntica.

O terceiro resultado principal (Teorema 3.3) estabelece para uma matriz de variáveis ​​aleatórias cujo na linha é composta por (k_) variáveis ​​aleatórias dependentes de quandrant negativo par a par, (n geq 1 ) um resultado de convergência média degenerada para somas de linhas normalizadas e centradas. Em contraste com os Teoremas 3.1 e 3.2, médias ponderadas e dominação estocástica não desempenham nenhum papel no Teorema 3.3. Como nos Teoremas 3.1 e 3.2, nenhuma condição de independência ou dependência é imposta entre as variáveis ​​aleatórias de diferentes linhas da matriz no Teorema 3.3.

Definição 1.1

Um conjunto finito de variáveis ​​aleatórias (, ldots, X_ > ) é dito ser dependente de quadrante negativo pareado (PNQD) se para todos (i, j in <1, ldots, N > ) ( (i neq j )) e todos (x, y in mathbb) ,

É claro que é imediato que se (X_ <1>, ldots, X_ ) são pares independentes (uma fortiori, independentes) variáveis ​​aleatórias, então (, ldots, X_ > ) é PNQD.

Em muitos modelos estocásticos, a suposição clássica de independência entre as variáveis ​​aleatórias no modelo não é razoável - a variável aleatória pode ser "repelente" no sentido de que pequenos valores de qualquer uma das variáveis ​​aleatórias aumentam a probabilidade de que as outras variáveis ​​aleatórias são grandes. Assim, a suposição de algum tipo de dependência negativa costuma ser mais adequada. Pemantle [11] preparou uma excelente pesquisa sobre uma “teoria da dependência negativa” geral.

A escolha do adjetivo “negativo” na definição das variáveis ​​aleatórias do PNQD se deve ao fato de (1.2) ser equivalente a

fornecido ( mathbb

(X_ leq x) & gt 0 ).

Uma coleção de N Variáveis ​​aleatórias PNQD surgem por amostragem sem substituição de um conjunto de (N geq 2 ) números reais (ver, por exemplo, Bozorgnia et al. [2]). Li et al. [7] mostrou que para cada conjunto de (N geq 2 ) funções de distribuição contínua (, ldots, F_ > ), existe um conjunto de variáveis ​​aleatórias PNQD (, ldots, X_ > ) de modo que a função de distribuição de (X_) é (F_), (1 leq j leq N ) e de modo que para todos (j in <1, ldots, N-1 > ), (X_) e (X_) não são independentes.

Uma matriz de variáveis ​​aleatórias (<>, 1 leq j leq k_, n geq 1 > ) é dito ser em linha PNQD se para cada (n geq 1 ), o conjunto de variáveis ​​aleatórias (<>, 1 leq j leq k_ > ) é PNQD. Há uma literatura interessante de investigação sobre o problema da lei forte dos grandes números para somas de linhas de matrizes PNQD de linhas, veja a discussão em Li et al. [7].

Definição 1.2

Uma matriz de variáveis ​​aleatórias (<>, 1 leq j leq k_, n geq 1 > ) é dito ser dominado estocasticamente por uma variável aleatória X se existe uma constante D de tal modo que

$ mathbb

bigl ( vert X_ vert & gt x bigr) leq D mathbb

bigl ( vert DX vert & gt x bigr), quad x geq 0, 1 leq j leq k_, n geq 1. $

Observação 1.1

A condição (1.3) é, obviamente, automática com (X = X_ <1,1> ) e (D = 1 ) se a matriz (<>, 1 leq j leq k _, n geq 1 > ) consiste em variáveis ​​aleatórias distribuídas de forma idêntica.


Teoria da probabilidade e suas aplicações

A convergência de processos estocásticos é definida em termos da chamada “convergência fraca” (w. C.) De medidas de probabilidade em espaços funcionais apropriados (c. S. M. S.).

Capítulo 1. Seja $ Re $ o c.s.m.s. e v um conjunto de todas as medidas finitas em $ Re $. A distância $ L ( mu _1, mu _2) $ (que é análoga à distância de Lévy) é introduzida e a equivalência de eu-convergência e w. c. está provado. É mostrado que $ V Re = (v, L) $ é c. s. m. s. Em seguida, são fornecidas as condições necessárias e suficientes para compactação em $ V Re $.

Na seção 1.6, o conceito de “funcionais característicos” é aplicado ao estudo de w. cc de medidas no espaço de Hilbert.

Capítulo 2. Com base nos resultados acima, as condições de compactação necessárias e suficientes para famílias de medidas de probabilidade nos espaços $ C [0,1] $ e $ D [0,1] $ (espaço de funções contínuas em $ [ 0,1] $ exceto para saltos) são formulados.

Capítulo 3. A forma geral do “princípio de invariância” para as somas de variáveis ​​aleatórias independentes é desenvolvida.

Capítulo 4. Uma estimativa do termo restante no conhecido teorema de Kolmogorov é fornecida (cf. [3.1]).


5.2 Demonstração codificada

Este teorema é razoavelmente intuitivo. Suponha que a variável aleatória (X_n ) converge na distribuição para uma distribuição normal padrão (N (0,1) ). Para a parte 1) do Teorema, observe que quando multiplicamos uma normal padrão por uma constante, “esticamos” a distribuição (assumindo (| a | & gt1 ), caso contrário, a “comprimimos”). Lembre-se da discussão sobre o normal padrão no Capítulo 5 que (aN (0,1) = N (0, a ^ 2) ). Como (n ) se aproxima do infinito, portanto, por definição (A_n xrightarrow

a ), e assim o grau em que o normal padrão é alongado irá convergir para essa constante também. Para demonstrar esse recurso visualmente, considere a seguinte simulação:

Aqui definimos duas variáveis ​​aleatórias: X_n é um normal padrão e A_n converge em valor para 2. Variando o valor de n, eu pego (n ) extrai de uma distribuição normal padrão e calculo o valor da constante convergente ( Um) . Em seguida, gero o produto dessas duas variáveis. A figura representa a distribuição resultante aX. Podemos ver que conforme n aumenta, a distribuição torna-se cada vez mais normal, permanece centrada em torno de 0 e a variância se aproxima de 4 (uma vez que 95% da curva é aproximadamente limitada entre (0 pm 2 times sqrt = 0 pm 2 times2 = 0 pm 4 )).

Da mesma forma, se adicionarmos a constante (a ) a uma distribuição padrão, o efeito é deslocar a distribuição em sua totalidade (uma vez que uma constante não tem variância, ela não ‘’ estica ’’ a distribuição). Como (A_n ) converge em probabilidade, portanto, o deslocamento converge na constante (a ). Novamente, podemos demonstrar esse resultado em R:

À medida que n se torna maior, a distribuição resultante se torna aproximadamente normal, com variância de 1 e um valor médio centrado em (0 + a = 2 ).

O teorema de Slutsky é tão útil precisamente porque nos permite combinar múltiplas variáveis ​​aleatórias com assintóticas conhecidas e reter esse conhecimento, ou seja, sabemos para qual distribuição resultante convergirá assumindo (n a infty ).


8.6.E: Problemas de Teoremas de Integrabilidade e Convergência

Instrutor: Dimiter Vassilev Escritório: SMLC 326 Email: [email protected] Número de telefone : 505 277 2136

Horário comercial: M & ampW 9h30-10h30 e 14h30-3h, mas sinta-se à vontade para parar a qualquer momento que tiver uma pergunta rápida.

Exame final: sexta-feira, 12 de maio, das 9h às 11h no SMLC-124 (sala de aula normal)

Os alunos que tenham conflitos com este cronograma de exame devem notificar o instrutor apropriado antes de sexta-feira, 31 de março de 2017. Qualquer aluno com mais de três exames programados em um dia pode notificar o instrutor sobre o último exame listado. Se notificado antes de sexta-feira, 31 de março de 2017, o instrutor deverá providenciar um exame especial. Os conflitos que surgem como resultado de programação fora do padrão de horas normais ou sequências de dias devem ser resolvidos pelo instrutor dos cursos fora do padrão.

Texto:% s: notas de aula baseadas principalmente nos seguintes textos opcionais. Veja UNMLearn para material do curso e lição de casa.

A. Knapp, Análise Real Básica, 2ª Edição Digital

W. Rudin, Princípios de Análise Matemática 3ª ed.

V. Zorich, Análise Matemática I 2ª ed. (2015) e Análise Matemática II 2ª ed. (2016).

Livros padrão adicionais de interesse

J. Munkres, Análise em Manifolds

M. Spivak, Cálculo em manifolds.

Observe as seguintes diretrizes para o curso:

Conteúdo do curso : Continuação de 510. Diferenciação em Rn. Teoremas da função inversa e implícita, integração em Rn, formas diferenciais e teorema de Stokes.
Este também é o curso que prepara os alunos de pós-graduação para a Qualificação em Análise Real.

Notas: A classificação final será determinada por trabalhos de casa (25%), duas provas semestrais (50%) e um exame final (25%). A pontuação do Exame Final substituirá todas as pontuações intermediárias que forem inferiores à pontuação do Exame Final. Todas as notas serão publicadas no UNMLearn.

Dever de casa Haverá um dever de casa semanal. Vocês podem trabalhar juntos na lição de casa, mas precisam escrever suas próprias soluções com suas próprias palavras. Para ajudar o aluno, por favor, escreva suas soluções de forma organizada e clara (nenhum ponto será dado para trabalhos que o leitor não possa acompanhar - isso também é válido para exames), e grampeie as folhas. As duas notas mais baixas do dever de casa serão eliminadas. Por favor, sem lição de casa atrasada! Problemas de exames anteriores de Qualificação de Análise real serão incluídos na lição de casa, com sorte, ao final do curso, você terá criado uma pasta com soluções para a maioria desses problemas para referência futura. YVocê deve me ver o mais cedo e com a freqüência necessária se tiver dificuldades com os problemas do dever de casa.

Linear maps on normed spaces - the operator norm equivalence of boundedness and continuity Banach spaces - normally (or absolute) convergent series.

Compact metric space. Finite dimensional normed spaces - compactness of the unit sphere, equivalent norms.

Differentiation - partial derivatives, differentiability, the chain rule. Exponential of a matrix. Partition of unity (continuous version)

Examples of differentiable functions involving matrices sufficient condition for differentiability (C k functions) equality of mixed derivatives for smooth functions (Clairaut's theorem) proof of thechain rule.

The MVT. The inverse function theorem.

The implict function and rank theorems. Global invertibility (Hadamard, Caccioppoli and metric version theorems) and proper maps, star-shaped and convex spaces. Connectedness in topological spaces.

The open (convex) cone of the positive definite symmetric matrices Sym+(n). The square root as a smooth map on Sym+(n). Smooth covering spaces. Taylor's formula.

Integrals depending on a parameter - continuity and differentition (with absolute or conditional convergence).

Sets of (Lebesgue) measure zero sets of (Jordan) content zero. Oscillation of a function, Riemann-Lebesgue' theorem on Riemann integrability. Non-negative functions with vanishing integrals, functions vanishing a.e. - (non-)integrability, value of the integral when integrable. Images of sets of measure/ content zero under a Lipschitz map. Sard's theorem. Fubini's theorem.

Proof of Fubini's theorem. Integrability over bounded subsets- Jordan measurable sets, Jordan content and the integral, properties. Improper integrals.

Absolute convergence of improper integrals. The bounded and dominated convergence theorems. Fundtions defined by an integral - continuity and differentiation.

The change of coordinates.formula - some key steps and their proofs. Smooth partition of unity .

Smooth partition of unity-smooth bump functions etc.

Multilinear maps, tensor products, alternating forms, the wedge product.

Differential forms - the wedge prduct, pullbacks, the integral of a 1-form. Derivations of the algebra - the exterior derivative,

Lie derivative, interior product, Cartan's formula. Closed and exact forms, proof of Poincare's lemma in a star-shaped domain..


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