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3.2: Domínio e Alcance


objetivos de aprendizado

  • Encontre o domínio de uma função definida por uma equação.
  • Funções definidas por partes do gráfico.

Se você está com vontade de assistir a um filme de terror, você pode querer dar uma olhada em um dos cinco filmes de terror mais populares de todos os tempos - Eu sou a lenda, Hannibal, O Anel, O Rancor e O Feitiço. A figura ( PageIndex {1} ) mostra a quantia, em dólares, que cada um desses filmes arrecadou quando foram lançados, bem como as vendas de ingressos para filmes de terror em geral por ano. Observe que podemos usar os dados para criar uma função do valor que cada filme ganhou ou das vendas totais de ingressos para todos os filmes de terror por ano. Ao criar várias funções usando os dados, podemos identificar diferentes variáveis ​​independentes e dependentes e podemos analisar os dados e as funções para determinar o domínio e o intervalo. Nesta seção, investigaremos métodos para determinar o domínio e a gama de funções como essas.

Encontrando o Domínio de uma Função Definida por uma Equação

Em Funções e Notação de Função, fomos apresentados aos conceitos de Domínio e alcance. Nesta seção, praticaremos a determinação de domínios e intervalos para funções específicas. Lembre-se de que, ao determinar domínios e intervalos, precisamos considerar o que é fisicamente possível ou significativo em exemplos do mundo real, como vendas de ingressos e ano no exemplo do filme de terror acima. Também precisamos considerar o que é matematicamente permitido. Por exemplo, não podemos incluir nenhum valor de entrada que nos leve a obter uma raiz par de um número negativo se o domínio e o intervalo consistirem em números reais. Ou em uma função expressa como uma fórmula, não podemos incluir nenhum valor de entrada no domínio que nos levaria a dividir por 0.

Podemos visualizar o domínio como uma "área de retenção" que contém "matérias-primas" para uma "máquina de função" e o intervalo como outra "área de retenção" para os produtos da máquina (Figura ( PageIndex {2} )).

Podemos escrever o Domínio e alcance em notação de intervalo, que usa valores entre colchetes para descrever um conjunto de números. Na notação de intervalo, usamos um colchete [quando o conjunto inclui o ponto final e um parêntese (para indicar que o ponto final não está incluído ou o intervalo é ilimitado. Por exemplo, se uma pessoa tem $ 100 para gastar, ele ou ela precisa expressar o intervalo que é maior que 0 e menor ou igual a 100 e escrever ( left (0, 100 right] ). Discutiremos a notação de intervalo em maiores detalhes posteriormente.

Vamos voltar nossa atenção para encontrar o domínio de uma função cuja equação é fornecida. Freqüentemente, encontrar o domínio de tais funções envolve lembrar três formas diferentes. Em primeiro lugar, se a função não tiver denominador ou raiz par, considere se o domínio pode ser composto apenas por números reais. Em segundo lugar, se houver um denominador na equação da função, exclua os valores no domínio que forçam o denominador a ser zero. Terceiro, se houver uma raiz par, considere a exclusão de valores que tornariam o radical negativo.

Antes de começar, vamos revisar as convenções de notação de intervalo:

  • O menor termo do intervalo é escrito primeiro.
  • O maior termo no intervalo é escrito em segundo lugar, após uma vírgula.
  • Os parênteses, (() ou () ), são usados ​​para significar que um ponto de extremidade não está incluído, denominado exclusivo.
  • Os colchetes, ([) ou (] ), são usados ​​para indicar que um ponto de extremidade está incluído, denominado inclusivo.

Consulte a Figura ( PageIndex {3} ) para um resumo da notação de intervalo.

Exemplo ( PageIndex {1} ): Encontrando o domínio de uma função como um conjunto de pares ordenados

Encontre o domínio da seguinte função: ( {(2, 10), (3, 10), (4, 20), (5, 30), (6, 40) } ).

Solução

Primeiro identifique os valores de entrada. O valor de entrada é a primeira coordenada em um par ordenado. Não há restrições, pois os pares ordenados são simplesmente listados. O domínio é o conjunto das primeiras coordenadas dos pares ordenados.

[ {2,3,4,5,6 } não numérico ]

Exercse ( PageIndex {1} )

Encontre o domínio da função:

[ {(- 5,4), (0,0), (5, −4), (10, −8), (15, −12) } nonumber ]

Responder

({−5, 0, 5, 10, 15})

Como: Dada uma função escrita na forma de equação, encontre o domínio.

  1. Identifique os valores de entrada.
  2. Identifique quaisquer restrições na entrada e exclua esses valores do domínio.
  3. Escreva o domínio na forma de intervalo, se possível.

Exemplo ( PageIndex {2} ): Encontrando o domínio de uma função

Encontre o domínio da função (f (x) = x ^ 2−1 ).

Solução

O valor de entrada, mostrado pela variável x na equação, é elevado ao quadrado e, em seguida, o resultado é reduzido em um. Qualquer número real pode ser elevado ao quadrado e depois ser reduzido em um, portanto, não há restrições no domínio desta função. O domínio é o conjunto de números reais.

Na forma de intervalo, o domínio de f é ((- infty, infty) ).

Exercse ( PageIndex {2} )

Encontre o domínio da função:

[f (x) = 5 − x + x ^ 3 nonumber ]

Responder

((- infty, infty) )

Howto: dada uma função escrita em uma forma de equação que inclui uma fração, encontre o domínio

  1. Identifique os valores de entrada.
  2. Identifique quaisquer restrições à entrada. Se houver um denominador na fórmula da função, defina o denominador igual a zero e resolva para x. Se a fórmula da função contém uma raiz par, defina o radical maior ou igual a 0 e, em seguida, resolva.
  3. Escreva o domínio na forma de intervalo, certificando-se de excluir quaisquer valores restritos do domínio.

Exemplo ( PageIndex {3} ): Encontrando o domínio de uma função que envolve um denominador

Encontre o domínio da função (f (x) = dfrac {x + 1} {2 − x} ).

Solução

Quando há um denominador, queremos incluir apenas os valores da entrada que não forcem o denominador a ser zero. Portanto, definiremos o denominador igual a 0 e resolveremos para x.

[ begin {align *} 2 − x = 0 [4pt] −x & = - 2 [4pt] x & = 2 end {align *} ]

Agora, vamos excluir 2 do domínio. As respostas são todos números reais onde (x <2 ) ou (x> 2 ). Podemos usar um símbolo conhecido como união, ( cup ), para combinar os dois conjuntos. Na notação de intervalo, escrevemos a solução: ((- infty, 2) ∪ (2, infty) ).

Na forma de intervalo, o domínio de f é ((- infty, 2) cup (2, infty) ).

Exercse ( PageIndex {3} )

Encontre o domínio da função:

[f (x) = dfrac {1 + 4x} {2x − 1} nonumber ]

Responder

[(- infty, dfrac {1} {2}) cup ( dfrac {1} {2}, infty) nonumber ]

Como: Dada uma função escrita na forma de equação incluindo uma raiz par, encontre o domínio.

  1. Identifique os valores de entrada.
  2. Como existe uma raiz par, exclua quaisquer números reais que resultem em um número negativo no radical. Defina o radicand maior ou igual a zero e resolva para x.
  3. A (s) solução (ões) são o domínio da função. Se possível, escreva a resposta na forma de intervalo.

Exemplo ( PageIndex {4} ): Encontrando o domínio de uma função com uma raiz par

Encontre o domínio da função:

[f (x) = sqrt {7-x} nonumber. ]

Solução

Quando há uma raiz par na fórmula, excluímos quaisquer números reais que resultem em um número negativo no radicand.

Defina o radicand maior ou igual a zero e resolva para x.

[ begin {align *} 7 − x & ≥0 [4pt] −x & ≥ − 7 [4pt] x & ≤7 end {align *} ]

Agora, vamos excluir qualquer número maior que 7 do domínio. As respostas são todos números reais menores ou iguais a 7, ou ( left (- infty, 7 right] ).

Exercse ( PageIndex {4} )

Encontre o domínio da função

[f (x) = sqrt {5 + 2x}. enhum número]

Responder

[ left [-2,5, infty right) nonumber ]

P&R: Pode haver funções nas quais o domínio e o intervalo não se cruzem?

sim. Por exemplo, a função (f (x) = - dfrac {1} { sqrt {x}} ) tem o conjunto de todos os números reais positivos como seu domínio, mas o conjunto de todos os números reais negativos como seu intervalo. Como um exemplo mais extremo, as entradas e saídas de uma função podem ser categorias completamente diferentes (por exemplo, nomes de dias da semana como entradas e números como saídas, como em um gráfico de presença), em tais casos, o domínio e o intervalo não têm elementos em comum.

Usando notações para especificar domínio e intervalo

Nos exemplos anteriores, usamos desigualdades e listas para descrever o domínio das funções. Também podemos usar desigualdades, ou outras instruções que podem definir conjuntos de valores ou dados, para descrever o comportamento da variável na notação set-builder. Por exemplo, ( {x | 10≤x <30 } ) descreve o comportamento de x na notação set-builder. As chaves ( {} ) são lidas como “o conjunto de” e a barra vertical (| ) é lida como “tal que”, então leríamos ( {x | 10≤x < 30 } ) como “o conjunto de valores x tais que 10 é menor ou igual a x, e x é menor que 30”.

Figure ( PageIndex {4} ) compara notação de desigualdade, notação de construtor de conjunto e notação de intervalo.


Para combinar dois intervalos usando notação de desigualdade ou notação de construtor de conjunto, usamos a palavra "ou". Como vimos nos exemplos anteriores, usamos o símbolo de união, ( cup ), para combinar dois intervalos não conectados. Por exemplo, a união dos conjuntos ( {2,3,5 } ) e ( {4,6 } ) é o conjunto ( {2,3,4,5,6 } ). É o conjunto de todos os elementos que pertencem a um ou outro (ou ambos) dos dois conjuntos originais. Para conjuntos com um número finito de elementos como esses, os elementos não precisam ser listados em ordem crescente de valor numérico. Se os dois conjuntos originais tiverem alguns elementos em comum, esses elementos devem ser listados apenas uma vez no conjunto de união. Para conjuntos de números reais em intervalos, outro exemplo de união é

[ {x | | x | ≥3 } = left (- infty, −3 right] cup left [3, infty right) ]

Notação Set-Builder e Notação de intervalo

Notação set-builder é um método de especificar um conjunto de elementos que satisfazem uma determinada condição. Ele assume a forma ( {x | text {declaração sobre x} } ) que é lida como, "o conjunto de todos os x de modo que a declaração sobre x é verdadeira." Por exemplo,

[ {x | 4

Notação de intervalo é uma forma de descrever conjuntos que incluem todos os números reais entre um limite inferior que pode ou não ser incluído e um limite superior que pode ou não ser incluído. Os valores do ponto final são listados entre colchetes ou parênteses. Um colchete indica inclusão no conjunto e um parêntese indica exclusão do conjunto. Por exemplo,

[ left (4,12 right] nonumber ]

Dado um gráfico de linha, descreva o conjunto de valores usando a notação de intervalo.

  1. Identifique os intervalos a serem incluídos no conjunto, determinando onde a linha pesada se sobrepõe à linha real.
  2. Na extremidade esquerda de cada intervalo, use [com cada valor final a ser incluído no conjunto (ponto sólido) ou (para cada valor final excluído (ponto aberto).
  3. Na extremidade direita de cada intervalo, use] com cada valor final a ser incluído no conjunto (ponto preenchido) ou) para cada valor final excluído (ponto aberto).
  4. Use o símbolo de união ( cup ) para combinar todos os intervalos em um conjunto.

Exemplo ( PageIndex {5} ): Descrevendo conjuntos na linha de número real

Descreva os intervalos de valores mostrados na Figura ( PageIndex {5} ) usando notação de desigualdade, notação de construtor de conjunto e notação de intervalo.

Solução

Para descrever os valores, (x ), incluídos nos intervalos mostrados, diríamos: “ (x ) é um número real maior ou igual a 1 e menor ou igual a 3, ou um número real maior que 5. ”

Desigualdade

[1≤x≤3 text {ou} x> 5 nonumber ]

Notação Set-builder

[ {x | 1≤x≤3 text {ou} x> 5 } nonumber ]

Notação de intervalo

[[1,3] cup (5, infty) nonumber ]

Lembre-se de que, ao escrever ou ler a notação de intervalo, usar um colchete significa que o limite está incluído no conjunto. Usar parênteses significa que o limite não está incluído no conjunto.

Exercse ( PageIndex {5} )

Figura dada ( PageIndex {6} ), especifique o conjunto gráfico em

  1. palavras
  2. notação set-builder
  3. notação de intervalo
Responder a

Valores que são menores ou iguais a –2, ou valores que são maiores ou iguais a –1 e menores que 3;

Resposta b

( {x | x≤ − 2 ou −1≤x <3 } )

Resposta c

( left (−∞, −2 right] cup left [−1,3 right) )

Encontrando Domínio e Intervalo de Gráficos

Outra forma de identificar o domínio e a gama de funções é por meio de gráficos. Como o domínio se refere ao conjunto de valores de entrada possíveis, o domínio de um gráfico consiste em todos os valores de entrada mostrados no eixo x. O intervalo é o conjunto de valores de saída possíveis, que são mostrados no eixo y. Lembre-se de que, se o gráfico continuar além da parte do gráfico que podemos ver, o domínio e o intervalo podem ser maiores do que os valores visíveis. Veja a Figura ( PageIndex {7} ).

Podemos observar que o gráfico se estende horizontalmente de −5 para a direita sem limite, então o domínio é ( left [−5, ∞ right) ). A extensão vertical do gráfico tem todos os valores de intervalo 5 e abaixo, então o intervalo é ( left (−∞, 5 right] ). Observe que o domínio e o intervalo são sempre escritos de valores menores para maiores, ou de da esquerda para a direita para domínio e da parte inferior do gráfico para o topo do gráfico para intervalo.

Exemplo ( PageIndex {6A} ): Encontrando Domínio e Intervalo em um Gráfico

Encontre o domínio e o intervalo da função f cujo gráfico é mostrado na Figura 1.2.8.

Solução

Podemos observar que a extensão horizontal do gráfico é –3 a 1, então o domínio de f é ( left (−3,1 right] ).

A extensão vertical do gráfico é de 0 a –4, então o intervalo é ( left [−4,0 right) ). Veja a Figura ( PageIndex {9} ).

Exemplo ( PageIndex {6B} ): Encontrando Domínio e Intervalo em um Gráfico de Produção de Petróleo

Encontre o domínio e o intervalo da função f cujo gráfico é mostrado na Figura ( PageIndex {10} ).

Solução

A quantidade de entrada ao longo do eixo horizontal é “anos”, que representamos com a variável t para o tempo. A quantidade de saída é “milhares de barris de petróleo por dia”, que representamos com a variável b para barris. O gráfico pode continuar à esquerda e à direita além do que é visualizado, mas com base na parte do gráfico que é visível, podemos determinar o domínio como (1973≤t≤2008 ) e o intervalo como aproximadamente (180≤ b≤2010 ).

Na notação de intervalo, o domínio é ([1973, 2008] ) e o intervalo é cerca de ([180, 2010] ). Para o domínio e o intervalo, aproximamos os menores e maiores valores, uma vez que eles não caem exatamente nas linhas da grade.

Exercse ( PageIndex {6} )

Dada a Figura ( PageIndex {11} ), identifique o domínio e o intervalo usando a notação de intervalo.

Responder

domínio = ([1950,2002] )

intervalo = ([47.000.000,89.000.000] )

O domínio e o intervalo de uma função podem ser os mesmos?

sim. Por exemplo, o domínio e o intervalo da função raiz cúbica são ambos o conjunto de todos os números reais.

Encontrando Domínios e Intervalos das Funções do Toolkit

Voltaremos agora ao nosso conjunto de funções do kit de ferramentas para determinar o domínio e o intervalo de cada uma.

Para o função constante (f (x) = c ), o domínio consiste em todos os números reais; não há restrições na entrada. O único valor de saída é a constante (c ), então o intervalo é o conjunto ( {c } ) que contém este único elemento. Na notação de intervalo, isso é escrito como ([c, c] ), o intervalo que começa e termina com (c ).


Figura ( PageIndex {13} ): Função de identidade f (x) = x.

Para o função de identidade (f (x) = x ), não há restrição para (x ). Tanto o domínio quanto o intervalo são o conjunto de todos os números reais.

Para o função de valor absoluto (f (x) = | x | ), não há restrição para (x ). No entanto, como o valor absoluto é definido como uma distância de 0, a saída só pode ser maior ou igual a 0.

Para o função quadrática (f (x) = x ^ 2 ), o domínio são todos os números reais, uma vez que a extensão horizontal do gráfico é toda a reta do número real. Como o gráfico não inclui nenhum valor negativo para o intervalo, o intervalo consiste apenas em números reais não negativos.

Para o função cúbica (f (x) = x ^ 3 ), o domínio são todos os números reais porque a extensão horizontal do gráfico é toda a reta do número real. O mesmo se aplica à extensão vertical do gráfico, portanto, o domínio e o intervalo incluem todos os números reais.

Para o função recíproca (f (x) = dfrac {1} {x} ), não podemos dividir por 0, então devemos excluir 0 do domínio. Além disso, 1 dividido por qualquer valor nunca pode ser 0, então o intervalo também não incluirá 0. Na notação de construtor de conjuntos, também poderíamos escrever ( {x | x ≠ 0 } ), o conjunto de todos os reais números que não são zero.

Para o função quadrada recíproca (f (x) = dfrac {1} {x ^ 2} ), não podemos dividir por 0, então devemos excluir 0 do domínio. Também não há x que possa fornecer uma saída de 0, portanto, 0 também é excluído do intervalo. Observe que a saída dessa função é sempre positiva devido ao quadrado no denominador, portanto, o intervalo inclui apenas números positivos.


Figura ( PageIndex {19} ): Função raiz quadrada (f (x) = sqrt {(x)} ).

Para o função de raiz quadrada (f (x) = sqrt {x} ), não podemos tirar a raiz quadrada de um número real negativo, então o domínio deve ser 0 ou maior. O intervalo também exclui números negativos porque a raiz quadrada de um número positivo (x ) é definida como positiva, embora o quadrado do número negativo (- sqrt {x} ) também nos forneça (x )

Para o função de raiz cúbica (f (x) = sqrt [3] {x} ), o domínio e o intervalo incluem todos os números reais. Observe que não há problema em obter uma raiz cúbica, ou qualquer raiz inteira ímpar, de um número negativo, e a saída resultante é negativa (é uma função ímpar).

Dada a fórmula para uma função, determine o domínio e o intervalo.

  1. Exclua do domínio quaisquer valores de entrada que resultem na divisão por zero.
  2. Exclua do domínio quaisquer valores de entrada que tenham saídas de número não reais (ou indefinidas).
  3. Use os valores de entrada válidos para determinar a faixa dos valores de saída.
  4. Observe o gráfico da função e os valores da tabela para confirmar o comportamento real da função.

Encontrando o domínio e o intervalo usando as funções do kit de ferramentas

Encontre o domínio e o intervalo de (f (x) = 2x ^ 3 − x ).

Solução

Não há restrições no domínio, pois qualquer número real pode ser reduzido ao cubo e, em seguida, subtraído do resultado.

O domínio é ((- infty, infty) ) e o intervalo também é ((- infty, infty) ).

Exemplo ( PageIndex {7B} ): Encontrando o domínio e intervalo

Encontre o domínio e o intervalo de (f (x) = frac {2} {x + 1} ).

Solução

Não podemos avaliar a função em -1 porque a divisão por zero é indefinida. O domínio é ((- infty, −1) cup (−1, infty) ). Como a função nunca é zero, excluímos 0 do intervalo. O intervalo é ((- infty, 0) cup (0, infty) ).

Exemplo ( PageIndex {7C} ): Encontrando o domínio e intervalo

Encontre o domínio e o intervalo de (f (x) = 2 sqrt {x + 4} ).

Solução

Não podemos obter a raiz quadrada de um número negativo, portanto, o valor dentro do radical deve ser não negativo.

(x + 4≥0 ) quando (x≥ − 4 )

O domínio de (f (x) ) é ([- 4, infty) ).

Em seguida, encontramos o intervalo. Sabemos que (f (−4) = 0 ), e o valor da função aumenta à medida que (x ) aumenta sem qualquer limite superior. Concluímos que o intervalo de f é ( left [0, infty right) ).

Análise

Figura ( PageIndex {19} ) representa a função (f ).

Exercício ( PageIndex {7} )

Encontre o domínio e o intervalo de

(f (x) = sqrt {−2 − x} ).

Responder

domínio: ( left (- infty, -2 right] )

intervalo: ( left [0, infty right) )

Representando Gráficos de Funções Definidas por Partes

Às vezes, encontramos uma função que requer mais de uma fórmula para obter a saída fornecida. Por exemplo, nas funções do kit de ferramentas, introduzimos a função de valor absoluto (f (x) = | x | ). Com um domínio de todos os números reais e uma gama de valores maior ou igual a 0, valor absoluto pode ser definido como o magnitude, ou módulo, de um valor de número real, independentemente do sinal. É a distância de 0 na reta numérica. Todas essas definições exigem que a saída seja maior ou igual a 0.

Se inserirmos 0 ou um valor positivo, a saída será igual à entrada.

[f (x) = x ; text {if} ; x≥0 nonumber ]

Se inserirmos um valor negativo, a saída será o oposto da entrada.

[f (x) = -x ; text {if} ; x <0 não numérico ]

Porque isso requer dois processos ou peças diferentes, a função de valor absoluto é um exemplo de um função por partes. Uma função por partes é uma função na qual mais de uma fórmula é usada para definir a saída em diferentes partes do domínio.

Usamos funções por partes para descrever situações em que uma regra ou relacionamento muda conforme o valor de entrada cruza certos "limites". Por exemplo, frequentemente encontramos situações nos negócios para as quais o custo por peça de um determinado item é descontado quando o número pedido excede um determinado valor. Os colchetes de impostos são outro exemplo do mundo real de funções por partes. Por exemplo, considere um sistema tributário simples no qual rendas de até $ 10.000 são tributadas a 10% e qualquer renda adicional é tributada a 20%. O imposto sobre uma renda total S seria (0,1S ) se (S≤ $ 10.000 ) e ($ 1000 + 0,2 (S− $ 10.000) ) se (S> $ 10.000 ).

Função por partes

Uma função por partes é uma função na qual mais de uma fórmula é usada para definir a saída. Cada fórmula tem seu próprio domínio, e o domínio da função é a união de todos esses domínios menores. Notamos essa ideia assim:

[f (x) = begin {cases} text {formula 1} & text {se x estiver no domínio 1} text {formula 2} & text {se x estiver no domínio 2} text {formula 3} & text {se x estiver no domínio 3} end {cases} nonumber ]

Na notação por partes, a função de valor absoluto é

[| x | = begin {cases} x & text {if $ x geq 0 $} -x & text {if $ x <0 $} end {cases} nonumber ]

Dada uma função por partes, escreva a fórmula e identifique o domínio para cada intervalo.

  1. Identifique os intervalos aos quais se aplicam regras diferentes.
  2. Determine fórmulas que descrevam como calcular uma saída de uma entrada em cada intervalo.
  3. Use chaves e instruções if para escrever a função.

Exemplo ( PageIndex {8A} ): Escrevendo uma função por partes

Um museu cobra $ 5 por pessoa para uma visita guiada com um grupo de 1 a 9 pessoas ou uma taxa fixa de $ 50 para um grupo de 10 ou mais pessoas. Escreva um função relacionando o número de pessoas, (n ), ao custo, (C ).

Solução

Duas fórmulas diferentes serão necessárias. Para (n ) - valores abaixo de 10, (C = 5n ). Para valores de n que são 10 ou mais, (C = 50 ).

[C (n) = begin {cases} 5n & text {if $ n <10 $} 50 & text {if $ n geq10 $} end {cases} nonumber ]

Análise

A função é representada na Figura ( PageIndex {20} ). O gráfico é uma linha diagonal de (n = 0 ) a (n = 10 ) e uma constante depois disso. Neste exemplo, as duas fórmulas concordam no ponto de encontro onde (n = 10 ), mas nem todas as funções por partes têm essa propriedade.

Exemplo ( PageIndex {8B} ): Trabalhando com uma função por partes

Uma empresa de telefonia celular usa a função abaixo para determinar o custo, C, em dólares por g gigabytes de transferência de dados.

[C (g) = begin {cases} 25 & text {if $ 0

Descubra o custo de uso de 1,5 gigabytes de dados e o custo de 4 gigabytes de dados.

Soltuion

Para encontrar o custo do uso de 1,5 gigabytes de dados, (C (1,5) ), primeiro olhamos para ver em qual parte do domínio nossa entrada se encaixa. Como 1,5 é menor que 2, usamos a primeira fórmula.

[C (1,5) = $ 25 não numérico ]

Para encontrar o custo do uso de 4 gigabytes de dados, C (4), vemos que nossa entrada de 4 é maior que 2, então usamos a segunda fórmula.

[C (4) = 25 + 10 (4−2) = $ 45 não numérico ]

Análise

A função é representada na Figura ( PageIndex {21} ). Podemos ver onde a função muda de uma identidade constante para uma identidade deslocada e esticada em (g = 2 ). Traçamos os gráficos para as diferentes fórmulas em um conjunto comum de eixos, garantindo que cada fórmula seja aplicada em seu domínio apropriado.

Dada uma função por partes, esboce um gráfico.

  1. Indique no eixo x os limites definidos pelos intervalos em cada parte do domínio.
  2. Para cada parte do domínio, faça um gráfico nesse intervalo usando a equação correspondente pertencente a essa parte. Não represente graficamente duas funções em um intervalo, pois isso violaria os critérios de uma função.

Exemplo ( PageIndex {8C} ): Representando graficamente uma função por partes

Esboce um gráfico da função.

[f (x) = begin {cases} x ^ 2 & text {if $ x leq 1 $} 3 & text {if $ 1 2 $} end {cases} nonumber ]

Solução

Cada uma das funções do componente é de nossa biblioteca de funções do kit de ferramentas, portanto, conhecemos suas formas. Podemos imaginar representar graficamente cada função e, em seguida, limitar o gráfico ao domínio indicado. Nos pontos finais do domínio, desenhamos círculos abertos para indicar onde o ponto final não está incluído devido a uma desigualdade menor que ou maior que; desenhamos um círculo fechado onde o ponto final é incluído devido a uma desigualdade menor ou igual ou maior ou igual a.

A Figura ( PageIndex {20} ) mostra os três componentes da função por partes representada graficamente em sistemas de coordenadas separados.


Figura ( PageIndex {20} ): Gráfico de cada parte da função fragmentada f (x)

(a) (f (x) = x ^ 2 ) se (x≤1 ); (b) (f (x) = 3 ) se (1 2 )

Agora que esboçamos cada peça individualmente, nós as combinamos no mesmo plano de coordenadas. Veja a Figura ( PageIndex {21} ).

Análise

Observe que o gráfico passa no teste de linha vertical mesmo em (x = 1 ) e (x = 2 ) porque os pontos ((1,3) ) e ((2,2) ) são não faz parte do gráfico da função, embora ((1,1) ) e ((2, 3) ) sejam.

Exercício ( PageIndex {8} )

Represente graficamente a seguinte função por partes.

[f (x) = begin {cases} x ^ 3 & text {if $ x <-1 $} -2 & text {if $ -1 4 $} end {cases} nonumber ]

Responder

Pode mais de uma fórmula de uma função por partes ser aplicada a um valor no domínio?

Não. Cada valor corresponde a uma equação em uma fórmula por partes.

Conceitos chave

  • O domínio de uma função inclui todos os valores reais de entrada que não nos fariam tentar uma operação matemática indefinida, como dividir por zero ou obter a raiz quadrada de um número negativo.
  • O domínio de uma função pode ser determinado listando os valores de entrada de um conjunto de pares ordenados.
  • O domínio de uma função também pode ser determinado identificando os valores de entrada de uma função escrita como uma equação.
  • Os valores de intervalo representados em uma linha numérica podem ser descritos usando notação de desigualdade, notação de construtor de conjunto e notação de intervalo.
  • Para muitas funções, o domínio e o intervalo podem ser determinados a partir de um gráfico.
  • Uma compreensão das funções do kit de ferramentas pode ser usada para encontrar o domínio e a gama de funções relacionadas.
  • Uma função por partes é descrita por mais de uma fórmula.
  • Uma função por partes pode ser representada graficamente usando cada fórmula algébrica em seu subdomínio atribuído.

Glossário

notação de intervalo

um método para descrever um conjunto que inclui todos os números entre um limite inferior e um limite superior; os valores inferior e superior são listados entre colchetes ou parênteses, um colchete indicando inclusão no conjunto e um parêntese indicando exclusão

função por partes

uma função na qual mais de uma fórmula é usada para definir a saída

notação set-builder

um método de descrever um conjunto por uma regra que todos os seus membros obedecem; ele assume a forma {x | declaração sobre x}


Encontre o intervalo e o domínio de 3 / (2-x ^ 2)?

Sabemos que, em uma função racional, nos # x # -valores onde o denominador se torna # 0 # a função se torna indefinida. Nessas localizações, temos assíntotas verticais.

Portanto, o domínio da função será em três partes:

# (- oo & lt x & lt -sqrt2) e (-sqrt2 & lt x & lt sqrt2) e (sqrt2 & lt x & lt oo) #

Como o grau do denominador é maior do que o grau do numerador, o eixo # x # é a assíntota horizontal. E como o numerador é uma constante, # y # nunca pode ser # 0 #. Isso significa que o alcance da função não é uma peça. Em vez disso, é em duas ou mais peças. Precisamos examinar a função mais de perto.

Para todos os valores # x # na parte do domínio # (- oo & lt x & lt -sqrt2) #, a função é sempre negativa e seu intervalo é:

Para os valores # x # na parte do domínio # (sqrt2 & lt x & lt oo) #, a função é sempre negativa e seu intervalo é:

Para # x # -valores na parte do domínio # (- sqrt2 & lt x & lt sqrt2) #, a função é sempre positiva. Isso significa que essa parte da função deve ter ambas as extremidades indo para # oo #, ou seja, em # -sqrt2 e sqrt2 #.

Então, deve ser em forma de # U # e, portanto, deve ter um ponto mínimo. Sabemos que # y # não pode ser # 0 #. Como tal, o ponto mínimo deve estar em algum lugar acima de # y = 0 #.

A função torna-se mínima quando seu denominador atinge seu valor máximo. O valor máximo de # 2-x ^ 2 # é quando # x ^ 2 = 0 #, o que significa # x = 0 ey = 3/2 #. Portanto, o intervalo da função é:

A seguir está o gráfico da função onde o domínio e o intervalo identificados acima se tornam óbvios:


Como encontrar o domínio

Em geral, nós determinamos o domínio de cada função procurando por esses valores da variável independente (geralmente x) que nós somos permitido usar. (Normalmente, devemos evitar 0 na parte inferior de uma fração ou valores negativos sob o sinal da raiz quadrada).

Alcance

O alcance de uma função é o conjunto completo de todos os possíveis valores resultantes da variável dependente (y, normalmente), depois de termos substituído o domínio.

Em inglês simples, a definição significa:

O intervalo é o resultado y-valores que obtemos depois de substituir todos os possíveis x-valores.


1.2 Domínio e intervalo

Se você está com vontade de assistir a um filme de terror, você pode conferir um dos cinco filmes de terror mais populares de todos os tempos—Eu sou a lenda, canibal, O anel, The Grudge, e The Conjuring. A Figura 1 mostra o valor, em dólares, que cada um desses filmes arrecadou quando foram lançados, bem como as vendas de ingressos para filmes de terror em geral por ano. Observe que podemos usar os dados para criar uma função do valor que cada filme ganhou ou das vendas totais de ingressos para todos os filmes de terror por ano. Ao criar várias funções usando os dados, podemos identificar diferentes variáveis ​​independentes e dependentes e podemos analisar os dados e as funções para determinar o domínio e o intervalo. Nesta seção, investigaremos métodos para determinar o domínio e a gama de funções como essas.

Encontrando o Domínio de uma Função Definida por uma Equação

Em Funções e notação de função, fomos apresentados aos conceitos de domínio e intervalo. Nesta seção, praticaremos a determinação de domínios e intervalos para funções específicas. Lembre-se de que, ao determinar domínios e intervalos, precisamos considerar o que é fisicamente possível ou significativo em exemplos do mundo real, como vendas de ingressos e ano no exemplo do filme de terror acima. Também precisamos considerar o que é matematicamente permitido. Por exemplo, não podemos incluir nenhum valor de entrada que nos leve a obter uma raiz par de um número negativo se o domínio e o intervalo consistirem em números reais. Ou em uma função expressa como uma fórmula, não podemos incluir nenhum valor de entrada no domínio que nos levaria a dividir por 0.

Podemos visualizar o domínio como uma "área de espera" que contém "matérias-primas" para uma "máquina funcional" e o intervalo como outra "área de espera" para os produtos da máquina. Veja a Figura 2.

Podemos escrever o domínio e o intervalo em notação de intervalo, que usa valores entre colchetes para descrever um conjunto de números. Na notação de intervalo, usamos um colchete [quando o conjunto inclui o ponto final e um parêntese (para indicar que o ponto final não está incluído ou o intervalo é ilimitado. Por exemplo, se uma pessoa tem $ 100 para gastar, ele ou ela precisa expressar o intervalo que é maior que 0 e menor ou igual a 100 e escrever (0, 100]. (0, 100]. Discutiremos a notação de intervalo em maiores detalhes posteriormente.

Vamos voltar nossa atenção para encontrar o domínio de uma função cuja equação é fornecida. Freqüentemente, encontrar o domínio de tais funções envolve lembrar três formas diferentes. Primeiro, se a função não tiver denominador ou uma raiz ímpar, considere se o domínio pode ser composto de todos os números reais. Em segundo lugar, se houver um denominador na equação da função, exclua os valores no domínio que forçam o denominador a ser zero. Terceiro, se houver uma raiz par, considere a exclusão de valores que tornariam o radical negativo.


Funções são muito úteis em matemática porque nos permitem modelar problemas da vida real em um formato matemático.

Aqui estão alguns exemplos da aplicação de uma função.

Circunferência de um círculo

A circunferência de um círculo é uma função de seu diâmetro ou raio. Podemos representar matematicamente esta declaração como:

Uma sombra

O comprimento da sombra de um objeto é função de sua altura.

A posição de um objeto em movimento

A localização de um objeto em movimento, como um carro, é uma função do tempo.

Temperatura

A temperatura de um corpo é baseada em vários fatores e entradas.

Dinheiro

Os juros compostos ou simples são função do tempo, principal e taxa de juros.

Altura de um objeto

A altura de um objeto é função de sua idade e peso corporal.

Tendo aprendido sobre uma função, agora você pode prosseguir para calcular o domínio e o intervalo de uma função.


Como Encontrar o Domínio e o Alcance de uma Função Quadrática

Olá, bem-vindo a este vídeo sobre o domínio e a gama de funções quadráticas! Neste vídeo, vamos explorar como a estrutura das funções quadráticas define seus domínios e intervalos e como determinar o domínio e o intervalo de uma função quadrática.

Antes de começar, vamos revisar rapidamente os termos domínio e intervalo.

O domínio de uma função é o conjunto de todas as entradas possíveis, enquanto o alcance de uma função é o conjunto de todas as saídas possíveis.

A estrutura de uma função determina seu domínio e alcance. Algumas funções, como funções lineares (por exemplo, (f (x) = 2x + 1 )), têm domínios e intervalos de todos os números reais porque qualquer número pode ser inserido e uma saída única sempre pode ser produzida. Por outro lado, funções com restrições, como frações ou raízes quadradas, podem ter domínios e intervalos limitados (por exemplo, (f (x) = frac <1> <2x> ) (x neq 0 ) porque o o denominador de uma fração não pode ser 0).

Vamos ver como a estrutura das funções quadráticas define e nos ajuda a determinar seus domínios e intervalos.

As funções quadráticas juntas podem ser chamadas de família, e esta função particular o pai, porque esta é a função quadrática mais básica (ou seja, não transformada de nenhuma forma). Podemos usar essa função para começar a generalizar domínios e intervalos de funções quadráticas.

Para determinar o domínio e o intervalo de qualquer função em um gráfico, a ideia geral é presumir que ambos são números reais e, em seguida, procurar lugares onde não existam valores.

Vamos falar sobre domínio primeiro. Uma vez que o domínio é sobre entradas, estamos apenas preocupados com a aparência do gráfico horizontalmente. Para ver o domínio, vamos mover da esquerda para a direita ao longo do x-eixo procurando lugares onde o gráfico não existe.

Como você pode ver, não há lugares onde o gráfico não exista horizontalmente. O domínio desta função são todos os números reais. Na verdade, o domínio de todas as funções quadráticas são todos os números reais!

Agora, para o intervalo. Usaremos uma abordagem semelhante, mas agora estamos apenas preocupados com a aparência do gráfico verticalmente.

Como você pode ver, as saídas existem apenas para (y ) - valores maiores ou iguais a 0. Em outras palavras, não há saídas abaixo do eixo (x ). Diríamos que o intervalo é composto por todos os números reais maiores ou iguais a 0.

Vamos generalizar nossas descobertas com mais alguns gráficos.

O intervalo para este gráfico são todos os números reais maiores ou iguais a 2.

O intervalo aqui são todos os números reais menores ou iguais a 5.

O intervalo para este é todos os números reais menores ou iguais a -2.

E o intervalo para este gráfico é todos os números reais maiores ou iguais a -3.

Como você pode ver, o ponto de viragem, ou vértice, é parte do que determina o intervalo. A outra é a direção em que a parábola se abre. Se uma função quadrática abrir, então o intervalo é todos os números reais maiores ou iguais à coordenada (y ) do intervalo. Se uma função quadrática abre para baixo, então o intervalo é todos os números reais menores ou iguais à coordenada (y ) do intervalo.

Os gráficos podem ser úteis, mas frequentemente precisamos da álgebra para determinar a gama de funções quadráticas. Às vezes, recebemos apenas uma equação e outras vezes o gráfico não é preciso o suficiente para ser capaz de ler com precisão o intervalo.

Então, vamos ver como encontrar o domínio e o intervalo algebricamente. Existem três formas principais de equações quadráticas. Nossos objetivos aqui são determinar de que maneira a função se abre e encontrar a coordenada (y ) - do vértice.

Forma padrão

Quando as funções quadráticas estão em forma padrão, eles geralmente se parecem com isto:

Se (a ) for positivo, a função abre se for negativa, a função abre para baixo. Nesta forma, a coordenada (y ) - do vértice é encontrada avaliando (f ( frac <-b> <2a>) ). Por exemplo, considere esta função: (fx = -2x ^ 2 + 8x-3 )

Em seguida, conectamos: (f (2) = - 2 (2) ^ <2> +8 (2) -3 = -8 + 16-3 = 5 )

(a ) é negativo, então o intervalo é composto por todos os números reais menores ou iguais a 5.

Forma de vértice

Quando as equações quadráticas estão em forma de vértice, eles geralmente se parecem com isto:

Tal como acontece com a forma padrão, se (a ) for positivo, a função abre se for negativa, a função abre para baixo. O vértice é dado pelas coordenadas ((h, k) ), então tudo que precisamos considerar é o (k ). Por exemplo, considere a função (f (x) = 3 (x + 4) ^ 2-6 ). (a ) é positivo e o vértice está em ((- 4, -6) ), então o intervalo é todos os números reais maiores ou iguais a (- 6 ).

Forma Fatorada

Às vezes, as funções quadráticas são definidas usando forma fatorada como uma forma de identificar facilmente suas raízes. Por exemplo:

Tal como acontece com outras formas, se (a ) for positivo, a função abre se for negativo, a função abre para baixo. Uma maneira de usar esse formulário é multiplicar os termos para obter uma equação no formato padrão e, em seguida, aplicar o primeiro método que vimos. Também podemos aplicar o fato de que as funções quadráticas são simétricas para encontrar o vértice. Conhecemos as raízes e, portanto, as localizações das interceptações (x ). Horizontalmente, o vértice está a meio caminho entre eles. Uma vez que sabemos a localização do vértice - a coordenada (x ) - tudo o que precisamos fazer é substituí-la na função para encontrar a coordenada (y ). Por exemplo, considere a função (f (x) = - 2 (x + 4) (x-2) ). As interceptações (x ) - estão em (- 4 ) e (+ 2 ), e o vértice está localizado em ( frac <-4 + 2> <2> = -1 ) (simplesmente tome a “média” de (x ) - interceptações). E vamos inserir isso em nossa equação original, então temos: (f (-1) = - 2 (-1 + 4) (- 1-2) = - 2 (3) (- 3) = 18 ). Como (a ) é negativo, o intervalo de todos os números reais é menor ou igual a 18.


Q: - WCS Bookmarks New Tab Williamson Schools O LINEAR SYSTEMS Identificando soluções para um sistema de lin.

R: Dado: - 3x + 2y = —6 ---- (1) 4x - 7y = —8 ---- (2) Determine se é uma solução para o sy.

P: Luke estava realizando uma titulação para estimar a quantidade em mg de Vitamina C inRibena. Seu experimental.

R: Clique para ver a resposta

Q: responda o seguinte pelas orientações fornecidas.

R: Clique para ver a resposta

Q: Pergunta 2 Use a regra de Cramer & # x27s para resolver a & # x27 ey em termos de xey: x = 2x & # x27 - 3y | y = x & # x27 - y & # x27

R: Clique para ver a resposta

Q: Se G é um grupo abeliano, então Inn (G) contém Um elemento O Dois elementos Três elementos Elemen infinitos.

R: Inn (G), é trivial (ou seja, consiste apenas no elemento de identidade) se G for abeliano.

Q: Em um AP, o T5 = 40 e T9 = 76. Encontre S10.

R: Demos que o 5º termo de um AP é 40 e o 9º termo é 76. Portanto, temos que encontrar a soma do 1º 10 termo.

P: essas perguntas não são avaliadas, obrigado

R: Clique para ver a resposta

P: Encontre a quantia final de dinheiro em uma conta se $ 3. 700 forem depositados com 2,5% de juros compostos qua.

R: Clique para ver a resposta

R: Como você fez várias perguntas, resolveremos a primeira para você. Se você quiser algum sp.


Encontre o domínio da função Y = 5-2x ^ 2

Qual é o domínio e o alcance de uma função. 500 x 75047.

Uma ótima atividade para pequenos grupos para praticar ou revisar a identificação de partes críticas de funções de valor absoluto I Escrevendo equações lineares Equações de valor absoluto

5 3 2 x 2 x 0.

Encontre o domínio da função y = 5-2x ^ 2. Funções de várias variáveis. Vou responder a essas perguntas neste vídeo resolvendo um exemplo. Fxy5 2x23y2 a x y x 3 2 y b x y x y 0 0 c x y x 2 3.

Ao usar este site, você concorda com nossa Política de Cookies. Flor está desenhando uma pipa com duas travessas perpendiculares de 26 polegadas e 24 polegadas de comprimento, conforme mostrado na figura. Descreva um domínio e intervalo razoáveis ​​para a função P x.

Dos fatores numéricos está o GCD. Se eu pegar algo que está fora do domínio, deixe-me fazer em uma cor diferente. Neste caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Uma função pode ser descrita ou definida de várias maneiras. Considere a relação a Se 2 n for um ponto em seu gráfico, determine o valor de n. Dos dois polinômios dados px e q x.

Seu domínio são todos os números reais, já que todos os números reais são racionais ou irracionais. Px 781250 c. O produto de todos esses fatores comuns e do GCD.

Para a função inversa, o domínio e o intervalo são trocados de forma que o domínio seja o intervalo 0 e o intervalo seja 23. Y 5-2x 2. Questão 145432Esta questão é do livro didático Álgebra Intermediária.

Calculadora gratuita mathrmIs a Function - Verifique passo a passo se a entrada é uma função válida. Este site usa cookies para garantir que você obtenha a melhor experiência. Um domínio é o conjunto de todas as entradas sobre as quais a função é definida. Y 5 2x 2 1 7x 1 3 21.

Fx 2x1 over 3x5 Tenho uma folha de respostas, mas isso não ajuda porque não entendo como resolver o problema para encontrar a resposta; qualquer ajuda seria muito apreciada. O gráfico de g é a metade superior de uma abertura de parábola à esquerda. Y 5 x 1 4x 1 5 Exercícios 2528 Distância entre Interceptos Encontre a distância entre os pontos de interceptação x para o gráfico da função.

O solucionador de problemas de matemática grátis responde às suas questões de cálculo de trigonometria de álgebra e estatísticas com explicações passo a passo, como um professor de matemática. Para cada valor no domínio x neste caso, deve haver um e apenas um valor no intervalo y neste caso. Com o domínio restrito, temos 21x.

Para os exercícios a seguir, avalie cada função nos valores indicados. Y 5x2 4. Para qual número de escavadeiras por mês, o lucro é de pelo menos 750000.

Como reconhecer o domínio e o intervalo de uma função considerando as possíveis entradas e saídas de uma função; também podemos representar graficamente uma função para encontrar seu dom. Resolva algebricamente e depois verifique com um gráfico. Então, se este é o domínio aqui, se este é o domínio aqui e eu pego um valor aqui e o coloco em x, então a função irá gerar um fx.

Y 5 x 2 2 4x 1 3 2 24. Y 5 2x 2 4 y 5 6x 2 4 y 5 2x 2 1 y 2 1 3 x 4 2 0 2 4 24 42 6. Calcule as respostas usando a base de conhecimento da tecnologia inovadora Wolframs confiada por milhões de estudantes profissionais.

Encontre o domínio e escreva na notação de intervalo fx 2x13x5, parece uma fração. Por que é útil e como faço para calculá-lo. Calculadora de inclinação gratuita - encontre a inclinação de uma linha dados dois pontos uma função ou a interceptação passo a passo Este site usa cookies para garantir que você obtenha a melhor experiência.

B Se m 20 for um ponto em seu gráfico, determine m correto com duas casas decimais. O gráfico de g21 é a metade direita de uma parábola se abrindo para baixo. Y 5 2x 2 2 2x 2 1 23.

Portanto, é uma função, já que y tem o valor 1 ou zero e nunca os dois. Ao usar este site, você concorda com nossa Política de Cookies. Encontre os fatores de maior grau comuns aos dois polinômios px e qx.

Para matemática, ciências, nutrição, história. Oi A definição de trabalho de uma função é esta. 1A Encontre o domínio da função dada.

Y x2 5 y x 2 5 O domínio da expressão são todos os números reais, exceto onde a expressão é indefinida. Y 2x7 3.

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MATEMÁTICA - rápido e fácil

Neste capítulo e nos capítulos seguintes, mostramos como determinar as propriedades de uma função dada como um gráfico no sistema de coordenadas cartesianas.
As propriedades básicas são:
- domínio e alcance (este capítulo)
- zero de uma função
- pontos de intersecção com os eixos
- monotonicidade (funções monotônicas, não funções monotônicas)
- intervalos máximos de monotonicidade
- valores positivos e negativos
- mínimo e máximo

No capítulo anterior, há apenas um exemplo de função. Seu domínio é um conjunto de poucos números, mas existem muitas outras possibilidades. O domínio pode ser um infinitivo conjunto ou um intervalo, pode até consistir em mais de um intervalo ou conjunto.

De acordo com os diferentes tipos de domínios, os gráficos no sistema de coordenadas cartesianas são diferentes.
Vamos mostrar a você diferentes tipos de funções especificadas por um gráfico no sistema de coordenadas cartesianas. Vamos mostrar a você como determinar um domínio e a proporção de uma função dada como um gráfico.


Assista o vídeo: Gráfico y dominio de una función real de variable vectorial (Outubro 2021).