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1.3: Classes básicas de funções


Estudamos as características gerais das funções, então agora vamos examinar algumas classes específicas de funções. Concluímos a seção com exemplos de funções definidas por partes e examinamos como esboçar o gráfico de uma função que foi deslocada, esticada ou refletida de sua forma inicial.

Funções Lineares e Inclinação

O tipo de função mais fácil a considerar é um Função linear. As funções lineares têm a forma (f (x) = ax + b ), onde (a ) e (b ) são constantes. Na Figura ( PageIndex {1} ), vemos exemplos de funções lineares quando a é positivo, negativo e zero. Observe que se (a> 0 ), o gráfico da linha aumenta à medida que (x ) aumenta. Em outras palavras, (f (x) = ax + b ) está aumentando em ((- ∞, ∞) ). Se (a <0 ), o gráfico da linha cai à medida que (x ) aumenta. Neste caso, (f (x) = ax + b ) está diminuindo em ((- ∞, ∞) ). Se (a = 0 ), a linha é horizontal.

Figura ( PageIndex {1} ): Essas funções lineares estão aumentando ou diminuindo em ((∞, ∞) ) e uma função é uma linha horizontal.

Conforme sugerido pela Figura, o gráfico de qualquer função linear é uma linha. Uma das características distintivas de uma linha é sua inclinação. O declive é a mudança em (y ) para cada mudança de unidade em (x ). A inclinação mede a inclinação e a direção de uma linha. Se a inclinação for positiva, a linha aponta para cima ao se mover da esquerda para a direita. Se a inclinação for negativa, a linha aponta para baixo ao se mover da esquerda para a direita. Se a inclinação for zero, a linha é horizontal. Para calcular a inclinação de uma linha, precisamos determinar a razão da mudança em (y ) versus a mudança em (x ). Para fazer isso, escolhemos quaisquer dois pontos ((x_1, y_1) ) e ((x_2, y_2) ) na linha e calculamos ( dfrac {y_2 − y_1} {x_2 − x_1} ). Na Figura ( PageIndex {2} ), vemos que essa proporção é independente dos pontos escolhidos.

Figura ( PageIndex {2} ): Para qualquer função linear, a inclinação ((y_2 − y_1) / (x_2 − x_1) ) é independente da escolha dos pontos ((x_1, y_1) ) e ((x_2, y_2) ) em a linha.

Definição: Funções Lineares

Considere a linha (L ) passando pelos pontos ((x_1, y_1) ) e ((x_2, y_2) ). Seja (Δy = y_2 − y_1 ) e (Δx = x_2 − x_1 ) as mudanças em (y ) e (x ), respectivamente. A inclinação da linha é

[m = dfrac {y_2 − y_1} {x_2 − x_1} = dfrac {Δy} {Δx} ]

Agora examinamos a relação entre a inclinação e a fórmula de uma função linear. Considere a função linear dada pela fórmula (f (x) = ax + b ). Conforme discutido anteriormente, sabemos que o gráfico de uma função linear é dado por uma linha. Podemos usar nossa definição de inclinação para calcular a inclinação desta linha. Como mostrado, podemos determinar a inclinação calculando ((y_2 − y_1) / (x_2 − x_1) ) para quaisquer pontos ((x_1, y_1) ) e ((x_2, y_2) ) na linha . Avaliando a função (f ) em (x = 0 ), vemos que ((0, b) ) é um ponto nesta linha. Avaliando esta função em (x = 1 ), vemos que ((1, a + b) ) também é um ponto nesta linha. Portanto, a inclinação desta linha é

[ dfrac {(a + b) −b} {1−0} = a. ]

Mostramos que o coeficiente (a ) é a inclinação da reta. Podemos concluir que a fórmula (f (x) = ax + b ) descreve uma reta com inclinação (a ). Além disso, como essa linha intercepta o eixo (y ) - no ponto ((0, b) ), vemos que a interceptação em y para essa função linear é ((0, b) ). Concluímos que a fórmula (f (x) = ax + b ) nos diz a inclinação, a, e a interceptação (y ), ((0, b) ), para esta reta. Como costumamos usar o símbolo (m ) para denotar a inclinação de uma linha, podemos escrever

[f (x) = mx + b ]

para denotar o forma de declive-interceptação de uma função linear.

Às vezes, é conveniente expressar uma função linear de maneiras diferentes. Por exemplo, suponha que o gráfico de uma função linear passe pelo ponto ((x_1, y_1) ) e a inclinação da linha seja (m ). Uma vez que qualquer outro ponto ((x, f (x)) ) no gráfico de (f ) deve satisfazer a equação

[m = dfrac {f (x) −y_1} {x − x_1}, ]

esta função linear pode ser expressa por escrito

[f (x) −y_1 = m (x − x_1). ]

Chamamos esta equação de equação ponto-declive para essa função linear.

Uma vez que cada linha não vertical é o gráfico de uma função linear, os pontos em uma linha não vertical podem ser descritos usando as equações declive-interceptação ou ponto-declive. No entanto, uma linha vertical não representa o gráfico de uma função e não pode ser expressa em nenhuma dessas formas. Em vez disso, uma linha vertical é descrita pela equação (x = k ) para alguma constante (k ). Uma vez que nem a forma inclinação-interceptação nem a forma ponto-inclinação permitem linhas verticais, usamos a notação

[ax + by = c, ]

onde (a, b ) são diferentes de zero, para denotar o forma padrão de uma linha.

Definição: equação ponto-declive, equação ponto-declive e a forma padrão de uma linha

Considere uma linha passando pelo ponto ((x_1, y_1) ) com inclinação (m ). A equação

[y − y_1 = m (x − x_1) ]

é o equação ponto-declive para essa linha.

Considere uma linha com inclinação (m ) e (y ) - interceptar ((0, b). ) A equação

[y = mx + b ]

é uma equação para essa linha em equação ponto-declive.

O forma padrão de uma linha é dado pela equação

[ax + by = c, ]

onde (a ) e (b ) são ambos diferentes de zero. Esta forma é mais geral porque permite uma linha vertical, (x = k ).

Exemplo ( PageIndex {1} ): Encontrando a inclinação e as equações das linhas

Considere a linha passando pelos pontos ((11, −4) ) e ((- 4,5) ), como mostrado na Figura.

Figura ( PageIndex {3} ): Encontrar a equação de uma função linear com um gráfico que é uma linha entre dois pontos dados.

  1. Encontre a inclinação da linha.
  2. Encontre uma equação para esta função linear na forma de inclinação de ponto.
  3. Encontre uma equação para esta função linear na forma de declive-interceptação.

Solução

1. A inclinação da linha é

[m = dfrac {y_2 − y_1} {x_2 − x_1} = dfrac {5 - (- 4)} {- 4−11} = - dfrac {9} {15} = - dfrac {3} {5}. ]

2. Para encontrar uma equação para a função linear na forma de inclinação de ponto, use a inclinação (m = −3 / 5 ) e escolha qualquer ponto na linha. Se escolhermos o ponto ((11, −4) ), obtemos a equação

[f (x) +4 = - dfrac {3} {5} (x − 11). ]

3. Para encontrar uma equação para a função linear na forma de declive-interceptação, resolva a equação na parte b. para (f (x) ). Quando fazemos isso, obtemos a equação

[f (x) = - dfrac {3} {5} x + dfrac {13} {5}. ]

Exercício ( PageIndex {1} )

Considere a linha passando pelos pontos ((- 3,2) ) e ((1,4) ).

  1. Encontre a inclinação da linha.
  2. Encontre uma equação dessa linha na forma de ponto-inclinação.
  3. Encontre uma equação dessa linha na forma de declive-interceptação.
Dica

A inclinação (m = Δy / Δx ).

Responder a

(m = 1/2 ).

Resposta b

A forma de inclinação do ponto é (y − 4 = dfrac {1} {2} (x − 1) ).

Resposta c

A forma de declive-interceptação é (y = dfrac {1} {2} x + dfrac {7} {2} ).

Exemplo ( PageIndex {2} ):

Jessica sai de casa às 5:50 da manhã e sai para uma corrida de 14 quilômetros. Ela retorna para sua casa às 7h08. Responda às seguintes perguntas, presumindo que Jéssica corra em um ritmo constante.

  1. Descreva a distância (D ) (em milhas) que Jessica corre como uma função linear de seu tempo de corrida (t ) (em minutos).
  2. Esboce um gráfico de (D ).
  3. Interprete o significado da inclinação.

Solução:

uma. No momento (t = 0 ), Jéssica está em sua casa, então (D (0) = 0 ). No tempo (t = 78 ) minutos, Jessica terminou de correr (9 ) mi, então (D (78) = 9 ). A inclinação da função linear é

(m = dfrac {9−0} {78−0} = dfrac {3} {26}. )

A interceptação (y ) - é ((0,0) ), então a equação para esta função linear é

(D (t) = dfrac {3} {26} t. )

b. Para representar graficamente (D ), use o fato de que o gráfico passa pela origem e tem inclinação (m = 3/26. )

c. A inclinação (m = 3 / 26≈0,115 ) descreve a distância (em milhas) que Jessica corre por minuto, ou sua velocidade média.

Polinômios

Uma função linear é um tipo especial de uma classe mais geral de funções: polinômios. Uma função polinomial é qualquer função que pode ser escrita na forma

[f (x) = a_nx ^ n + a_ {n − 1} x ^ {n − 1} +… + a_1x + a_0 ]

para algum inteiro (n≥0 ) e constantes (a_n, a + {n − 1},…, a_0 ), onde (a_n ≠ 0 ). No caso em que (n = 0 ), permitimos (a_0 = 0 ); se (a_0 = 0 ), a função (f (x) = 0 ) é chamada de função zero. O valor (n ) é chamado de grau do polinômio; a constante é chamada de coeficiente de liderança. Uma função linear da forma (f (x) = mx + b ) é um polinômio de grau 1 se (m ≠ 0 ) e grau 0 se (m = 0 ). Um polinômio de grau 0 também é chamado de função constante. Uma função polinomial de grau 2 é chamada de função quadrática. Em particular, uma função quadrática tem a forma (f (x) = ax ^ 2 + bx + c ), onde (a ≠ 0 ). Uma função polinomial de grau (3 ) é chamada de função cúbica.

Funções de energia

Algumas funções polinomiais são funções de potência. UMA Função liga-desliga é qualquer função da forma (f (x) = ax ^ b ), onde (a ) e (b ) são quaisquer números reais. O expoente em uma função de potência pode ser qualquer número real, mas aqui consideramos o caso em que o expoente é um inteiro positivo. (Consideraremos outros casos posteriormente.) Se o expoente for um inteiro positivo, então (f (x) = ax ^ n ) é um polinômio. Se (n ) for par, então (f (x) = ax ^ n ) é uma função par porque (f (−x) = a (−x) ^ n = ax ^ n ) if (n ) é par. Se (n ) for ímpar, então (f (x) = ax ^ n ) é uma função ímpar porque (f (−x) = a (−x) ^ n = −ax ^ n ) se (n ) é ímpar (Figura ( PageIndex {3} )).

Figura ( PageIndex {4} ): (a) Para qualquer número inteiro par (n ), (f (x) = ax ^ n ) é uma função par. (b) Para qualquer número inteiro ímpar (n ), (f (x) = ax ^ n ) é uma função ímpar.

Comportamento no Infinito

Para determinar o comportamento de uma função (f ) conforme as entradas se aproximam do infinito, observamos os valores (f (x) ) conforme as entradas, (x ), tornam-se maiores. Para algumas funções, os valores de (f (x) ) se aproximam de um número finito. Por exemplo, para a função (f (x) = 2 + 1 / x ), os valores (1 / x ) tornam-se cada vez mais próximos de zero para todos os valores de (x ) à medida que ficam maiores e maior. Para esta função, dizemos “ (f (x) ) se aproxima de dois conforme x vai para o infinito” e escrevemos f (x) → 2 como x → ∞. A linha y = 2 é uma assíntota horizontal para a função (f (x) = 2 + 1 / x ) porque o gráfico da função se aproxima da linha conforme (x ) fica maior.

Para outras funções, os valores (f (x) ) podem não se aproximar de um número finito, mas, em vez disso, podem se tornar maiores para todos os valores de x conforme eles aumentam. Nesse caso, dizemos “ (f (x) ) se aproxima do infinito quando (x ) se aproxima do infinito”, e escrevemos (f (x) → ∞ ) como (x → ∞ ). Por exemplo, para a função (f (x) = 3x ^ 2 ), as saídas (f (x) ) tornam-se maiores à medida que as entradas (x ) ficam maiores. Podemos concluir que a função (f (x) = 3x ^ 2 ) se aproxima do infinito conforme (x ) se aproxima do infinito, e escrevemos (3x ^ 2 → ∞ ) como (x → ∞ ). O comportamento como (x → −∞ ) e o significado de (f (x) → −∞ ) como (x → ∞ ) ou (x → −∞ ) podem ser definidos de forma semelhante. Podemos descrever o que acontece com os valores de (f (x) ) como (x → ∞ ) e como (x → −∞ ) como o comportamento final da função.

Para entender o comportamento final das funções polinomiais, podemos nos concentrar nas funções quadráticas e cúbicas. O comportamento para polinômios de alto grau pode ser analisado de forma semelhante. Considere uma função quadrática (f (x) = ax ^ 2 + bx + c ). Se (a> 0 ), os valores (f (x) → ∞ ) como (x → ± ∞ ). Se (a <0 ), os valores (f (x) → −∞ ) como (x → ± ∞ ). Como o gráfico de uma função quadrática é uma parábola, a parábola abre para cima se (a> 0 ) .; a parábola abre para baixo se (a <0 ) (Figura ( PageIndex {4a} )).

Agora considere uma função cúbica (f (x) = ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx + d ). Se (a> 0 ), então (f (x) → ∞ ) como (x → ∞ ) e (f (x) → −∞ ) como (x → −∞ ). Se (a <0 ), então (f (x) → −∞ ) como (x → ∞ ) e (f (x) → ∞ ) como (x → −∞ ). Como podemos ver em ambos os gráficos, o termo líder do polinômio determina o final comportamento (Figura ( PageIndex {4b} )).

Figura ( PageIndex {5} ): (a) Para uma função quadrática, se o coeficiente líder (a> 0 ), a parábola abre para cima. Se (a <0 ), a parábola abre para baixo. (b) Para uma função cúbica (f ), se o coeficiente líder (a> 0 ), os valores (f (x) → ∞ ) como (x → ∞ ) e os valores ( f (x) → −∞ ) como (x → −∞ ). Se o coeficiente principal (a <0 ), o oposto é verdadeiro.

Zeros de funções polinomiais

Outra característica do gráfico de uma função polinomial é onde ela intercepta o eixo (x ). Para determinar onde uma função f intercepta o eixo (x ), precisamos resolver a equação (f (x) = 0 ) para (n ) o caso da função linear (f (x) = mx + b ), a interceptação (x ) - é dada pela resolução da equação (mx + b = 0 ). Neste caso, vemos que a interceptação (x ) - é dada por ((- b / m, 0) ). No caso de uma função quadrática, encontrar a (s) interceptação (ões) (x ) requer encontrar os zeros de uma equação quadrática: (ax ^ 2 + bx + c = 0 ). Em alguns casos, é fácil fatorar o polinômio (ax ^ 2 + bx + c ) para encontrar os zeros. Caso contrário, usamos a fórmula quadrática.

Regra: A Fórmula Quadrática

Considere a equação quadrática

[ax ^ 2 + bx + c = 0, ]

onde (a ≠ 0 ). As soluções desta equação são dadas pela fórmula quadrática

[x = dfrac {−b ± sqrt {b ^ 2−4ac}} {2a}. label {quad} ]

Se o discriminante (b ^ 2−4ac> 0 ), a Equação ref {quad} nos diz que há dois números reais que satisfazem a equação quadrática. Se (b ^ 2−4ac = 0 ), esta fórmula nos diz que há apenas uma solução, e é um número real. Se (b ^ 2−4ac <0 ), nenhum número real satisfaz a equação quadrática.

No caso de polinômios de grau superior, pode ser mais complicado determinar onde o gráfico intercepta o eixo x. Em alguns casos, é possível encontrar as interceptações (x ) - fatorando o polinômio para encontrar seus zeros. Em outros casos, é impossível calcular os valores exatos das interceptações (x ). No entanto, como veremos mais adiante no texto, em casos como este, podemos usar ferramentas analíticas para aproximar (em um grau muito alto) onde os (x ) - interceptos estão localizados. Aqui nos concentramos nos gráficos de polinômios para os quais podemos calcular seus zeros explicitamente.

Exemplo ( PageIndex {3} ): Representação gráfica de funções polinomiais

Para as seguintes funções,

  1. (f (x) = - 2x ^ 2 + 4x − 1 )
  2. (f (x) = x ^ 3−3x ^ 2−4x )
  1. descreva o comportamento de (f (x) ) como (x → ± ∞ ),
  2. encontre todos os zeros de (f ), e
  3. esboce um gráfico de (f ).

Solução

1. A função (f (x) = - 2x ^ 2 + 4x − 1 ) é uma função quadrática.

1. Porque (a = −2 <0 ), como (x → ± ∞, f (x) → −∞. )

2. Para encontrar os zeros de (f ), use a fórmula quadrática. Os zeros são

(x = −4 ± dfrac { sqrt {4 ^ 2−4 (−2) (- 1)}} {2 (−2)} = dfrac {−4 ± sqrt {8}} {- 4} = dfrac {−4 ± 2 sqrt {2}} {- 4} = dfrac {2 ± 2 sqrt {2}} {2}. )

3.Para esboçar o gráfico de (f ), use as informações de suas respostas anteriores e combine-as com o fato de que o gráfico é uma parábola se abrindo para baixo.

2. A função (f (x) = x ^ 3−3x ^ 2−4x ) é uma função cúbica.

1. Porque (a = 1> 0 ), como (x → ∞ ), (f (x) → ∞ ). Como (x → −∞ ), (f (x) → −∞ ).

2.Para encontrar os zeros de (f ), precisamos fatorar o polinômio. Primeiro, quando fatoramos (x |) de todos os termos, encontramos

(f (x) = x (x ^ 2−3x − 4). )

Então, quando fatoramos a função quadrática (x ^ 2−3x − 4 ), encontramos

(f (x) = x (x − 4) (x + 1). )

Portanto, os zeros de f são (x = 0,4, −1 ).

3. Combinar os resultados das partes i. e ii., desenhe um esboço de (f ).

Exercício ( PageIndex {2} )

Considere a função quadrática (f (x) = 3x ^ 2−6x + 2. ) Encontre os zeros de (f ). A parábola abre para cima ou para baixo?

Dica

Use a fórmula quádrica

Responder

Os zeros são (x = 1 ± sqrt {3} / 3 ). A parábola se abre para cima.

Modelos Matemáticos

Uma grande variedade de situações do mundo real pode ser descrita usando modelos matemáticos. Um modelo matemático é um método de simulação de situações da vida real com equações matemáticas. Físicos, engenheiros, economistas e outros pesquisadores desenvolvem modelos combinando a observação com dados quantitativos para desenvolver equações, funções, gráficos e outras ferramentas matemáticas para descrever o comportamento de vários sistemas com precisão. Os modelos são úteis porque ajudam a prever resultados futuros. Exemplos de modelos matemáticos incluem o estudo da dinâmica populacional, investigações de padrões climáticos e previsões de vendas de produtos.

Como exemplo, vamos considerar um modelo matemático que uma empresa poderia usar para descrever sua receita com a venda de um determinado item. O valor da receita (R ) que uma empresa recebe pela venda de n itens vendidos a um preço de (p ) dólares por item é descrito pela equação (R = p⋅n ). A empresa está interessada em como as vendas mudam conforme o preço do item muda. Suponha que os dados da Tabela mostrem o número de unidades que uma empresa vende em função do preço por item.

Número de unidades vendidas (n ) (em milhares) em função do preço por unidade (p ) (em dólares)
(p )68101214
(n )19.418.516.213.812.2

Na Figura, vemos no gráfico a quantidade de unidades vendidas (em milhares) em função do preço (em dólares). Observamos na forma do gráfico que o número de unidades vendidas é provavelmente uma função linear do preço por item, e os dados podem ser aproximados pela função linear (n = −1,04p + 26 ) para (0 ≤p≤25 ), onde (n ) prevê o número de unidades vendidas em milhares. Usando esta função linear, a receita (em milhares de dólares) pode ser estimada pela função quadrática

[R (p) = p⋅ (−1,04p + 26) = - 1,04p ^ 2 + 26p ]

para (0≤p≤25 ) No Exemplo ( PageIndex {1} ), usamos esta função quadrática para prever o valor da receita que a empresa recebe dependendo do preço que a empresa cobra por item. Observe que não podemos concluir definitivamente o número real de unidades vendidas para valores de (p ), para os quais nenhum dado foi coletado. No entanto, dados os outros valores de dados e o gráfico mostrado, parece razoável que o número de unidades vendidas (em milhares) se o preço cobrado for (p ) dólares possa estar próximo dos valores previstos pela função linear (n = -1,04p + 26. )

Figura ( PageIndex {6} ): Os dados coletados para o número de itens vendidos em função do preço são aproximadamente lineares. Usamos a função linear (n = −1,04p + 26 ) para estimar esta função.

Exemplo ( PageIndex {4} ): Maximizando a receita

Uma empresa está interessada em prever o valor da receita que receberá, dependendo do preço que cobra por um determinado item. Usando os dados da Tabela, a empresa chega à seguinte função quadrática para modelar a receita (R ) como uma função do preço por item (p: )

[R (p) = p⋅ (−1,04p + 26) = - 1,04p ^ 2 + 26p ]

para 0≤p≤25.

  1. Preveja a receita se a empresa vender o item a um preço de (p = $ 5 ) e (p = $ 17 ).
  2. Encontre os zeros desta função e interprete o significado dos zeros.
  3. Esboce um gráfico de (R ).
  4. Use o gráfico para determinar o valor de (p ) que maximiza a receita. Encontre a receita máxima.

Solução

uma. Avaliando a função de receita em (p = 5 ) e (p = 17 ), podemos concluir que

(R (5) = - 1,04 (5) ^ 2 + 26 (5) = 104, então receita = $ 104.000; )

(R (17) = - 1,04 (17) ^ 2 + 26 (17) = 141,44, então receita = $ 144.440. )

b. Os zeros desta função podem ser encontrados resolvendo a equação (- 1.04p ^ 2 + 26p = 0 ). Quando fatoramos a expressão quadrática, obtemos (p (−1,04p + 26) = 0 ). As soluções para esta equação são dadas por (p = 0,25 ). Para esses valores de (p ), a receita é zero. Quando (p = $ 0 ), a receita é zero porque a empresa está dando suas mercadorias de graça. Quando (p = $ 25 ), a receita é zero porque o preço é muito alto e ninguém vai comprar nenhum item.

c. Sabendo que a função é quadrática, também sabemos que o gráfico é uma parábola. Como o coeficiente líder é negativo, a parábola se abre para baixo. Uma propriedade das parábolas é que elas são simétricas em relação ao eixo, portanto, uma vez que os zeros estão em (p = 0 ) e (p = 25 ), a parábola deve ser simétrica em relação à linha a meio caminho entre eles, ou ( p = 12,5 ).

d. A função é uma parábola com zeros em (p = 0 ) e (p = 25 ), e é simétrica em relação à linha (p = 12,5 ), então a receita máxima ocorre a um preço de ( p = $ 12,50 ) por item. Com esse preço, a receita é (R (p) = - 1,04 (12,5) ^ 2 + 26 (12,5) = $ 162.500. )

Funções Algébricas

Ao permitir quocientes e potências fracionárias em funções polinomiais, criamos uma classe maior de funções. Um função algébrica é aquele que envolve adição, subtração, multiplicação, divisão, poderes racionais e raízes. Dois tipos de funções algébricas são funções racionais e funções raiz.

Assim como os números racionais são quocientes de inteiros, as funções racionais são quocientes de polinômios. Em particular, um função racional é qualquer função da forma (f (x) = p (x) / q (x) ), onde (p (x) ) e (q (x) ) são polinômios. Por exemplo,

(f (x) = dfrac {3x − 1} {5x + 2} ) e (g (x) = dfrac {4} {x ^ 2 + 1} )

são funções racionais. UMA função raiz é uma função de potência da forma (f (x) = x ^ {1 / n} ), onde n é um número inteiro positivo maior que um. Por exemplo, f (x) = x1 / 2 = x√ é a função de raiz quadrada e (g (x) = x ^ {1/3} = sqrt [3] {x}) ) é o cubo -função raiz. Ao permitir composições de funções raiz e funções racionais, podemos criar outras funções algébricas. Por exemplo, (f (x) = sqrt {4 − x ^ 2} ) é uma função algébrica.

Exemplo ( PageIndex {5} ): Encontrando Domínio e Intervalo para Funções Algébricas

Para cada uma das funções a seguir, encontre o domínio e o intervalo.

  1. (f (x) = dfrac {3x − 1} {5x + 2} )
  2. (f (x) = sqrt {4 − x ^ 2} )

Solução

1.Não é possível dividir por zero, então o domínio é o conjunto de números reais (x ) tais que (x ≠ −2 / 5 ). Para encontrar o intervalo, precisamos encontrar os valores (y ) para os quais existe um número real (x ) tal que

(y = dfrac {3x − 1} {5x + 2} )

Quando multiplicamos ambos os lados desta equação por (5x + 2 ), vemos que (x ) deve satisfazer a equação

(5xy + 2y = 3x − 1. )

A partir desta equação, podemos ver que (x ) deve satisfazer

(2y + 1 = x (3−5y). )

Se y = (3/5 ), esta equação não tem solução. Por outro lado, contanto que (y ≠ 3/5 ),

(x = dfrac {2y + 1} {3−5y} )

satisfaz esta equação. Podemos concluir que o intervalo de (f ) é ({y | y ≠ 3/5} ).

2. Para encontrar o domínio de (f ), precisamos de (4 − x ^ 2≥0 ). Quando fatoramos, escrevemos (4 − x ^ 2 = (2 − x) (2 + x) ≥0 ). Essa desigualdade se mantém se e somente se ambos os termos forem positivos ou ambos os termos forem negativos. Para que ambos os termos sejam positivos, precisamos encontrar (x ) de modo que

(2 − x≥0 ) e (2 + x≥0. )

Essas duas desigualdades reduzem a (2≥x ) e (x≥ − 2 ). Portanto, o conjunto ({x | −2≤x≤2} ) deve fazer parte do domínio. Para que ambos os termos sejam negativos, precisamos

(2 − x≤0 ) e (2 + x≥0. )

Essas duas desigualdades também se reduzem a (2≤x ) e (x≥ − 2 ). Não há valores de (x ) que satisfaçam essas duas desigualdades. Assim, podemos concluir que o domínio desta função é ({x | −2≤x≤2}. )

Se (- 2≤x≤2 ), então (0≤4 − x ^ 2≤4 ). Portanto, (0≤ sqrt {4 − x2} ≤2 ), e o intervalo de (f ) é ({y | 0≤y≤2}. )

Exercício ( PageIndex {3} )

Encontre o domínio e o intervalo para a função (f (x) = (5x + 2) / (2x − 1). )

Dica

O denominador não pode ser zero. Resolva a equação (y = (5x + 2) / (2x − 1) ) para (x ) para encontrar o intervalo.

Responder

O domínio é o conjunto de números reais (x ) tais que (x ≠ 1/2 ). O intervalo é o conjunto ( {y | y ≠ 5/2 } ).

As funções raiz (f (x) = x ^ {1 / n} ) têm características definidoras dependendo se (n ) é ímpar ou par. Para todos os inteiros pares (n≥2 ), o domínio de (f (x) = x ^ {1 / n} ) é o intervalo ([0, ∞) ). Para todos os inteiros ímpares (n≥1 ), o domínio de (f (x) = x ^ {1 / n} ) é o conjunto de todos os números reais. Uma vez que (x ^ {1 / n} = (- x) ^ {1 / n} ) para inteiros ímpares (n ), (f (x) = x ^ {1 / n} ) é um função ímpar se (n ) for ímpar. Veja os gráficos das funções raiz para diferentes valores de (n ) na Figura.

Figura ( PageIndex {7} ): (a) Se (n ) for par, o domínio de (f (x) = sqrt [n] {x} ) é ([0, ∞) ). (b) Se (n ) for ímpar, o domínio de (f (x) = dfrac [n] {x} ) é ((- ∞, ∞) ) e a função (f ( x) = dfrac [n] {x} ) é uma função ímpar.

Exemplo ( PageIndex {6} ): Encontrando Domínios para Funções Algébricas

Para cada uma das funções a seguir, determine o domínio da função.

  1. (f (x) = dfrac {3} {x ^ 2−1} )
  2. (f (x) = dfrac {2x + 5} {3x ^ 2 + 4} )
  3. (f (x) = sqrt {4−3x} )
  4. (f (x) = sqrt [3] {2x − 1} )

Solução

  1. Você não pode dividir por zero, então o domínio é o conjunto de valores (x ) tal que (x ^ 2−1 ≠ 0 ). Portanto, o domínio é ({x | x ≠ ± 1} ).
  2. Você precisa determinar os valores de (x ) para os quais o denominador é zero. Como (3x ^ 2 + 4≥4 ) para todos os números reais (x ), o denominador nunca é zero. Portanto, o domínio é ((- ∞, ∞). )
  3. Visto que a raiz quadrada de um número negativo não é um número real, o domínio é o conjunto de valores (x ) para os quais (4−3x≥0 ). Portanto, o domínio é ({x | x≤4 / 3}. )
  4. A raiz cúbica é definida para todos os números reais, então o domínio é o intervalo ((- ∞, ∞). )

Exercício ( PageIndex {4} )

Encontre o domínio para cada uma das seguintes funções: (f (x) = (5−2x) / (x ^ 2 + 2) ) e (g (x) = sqrt {5x − 1} ).

Dica

Determine os valores de (x ) quando a expressão no denominador de (f ) for diferente de zero e encontre os valores de (x ) quando a expressão dentro do radical de (g ) for não negativa.

Responder

O domínio de (f ) é ((- ∞, ∞) ). O domínio de (g ) é ({x | x≥1 / 5}. )

Funções Transcendentais

Até agora, discutimos funções algébricas. Algumas funções, entretanto, não podem ser descritas por operações algébricas básicas. Essas funções são conhecidas como funções transcendentais porque se diz que eles “transcendem” ou vão além da álgebra. As funções transcendentais mais comuns são funções trigonométricas, exponenciais e logarítmicas. Uma função trigonométrica relaciona as proporções dos dois lados de um triângulo retângulo. Eles são (sinx, cosx, tanx, cotx, secx e cscx. ) (Discutiremos as funções trigonométricas posteriormente neste capítulo.) Uma função exponencial é uma função da forma (f (x) = b ^ x ), onde a base (b> 0, b ≠ 1 ). Uma função logarítmica é uma função da forma (f (x) = log_b (x) ) para alguma constante (b> 0, b ≠ 1, ) onde (log_b (x) = y ) se e somente se (b ^ y = x ). (Também discutimos funções exponenciais e logarítmicas posteriormente neste capítulo.)

Exemplo ( PageIndex {7} ): Classificando funções algébricas e transcendentais

Classifique cada uma das seguintes funções, a. até c., como algébrico ou transcendental.

  1. (f (x) = dfrac { sqrt {x ^ 3 + 1}} {4x + 2} )
  2. (f (x) = 2 ^ {x ^ 2} )
  3. (f (x) = sin (2x) )

Solução

  1. Uma vez que esta função envolve apenas operações algébricas básicas, é uma função algébrica.
  2. Esta função não pode ser escrita como uma fórmula que envolve apenas operações algébricas básicas, por isso é transcendental. (Observe que as funções algébricas só podem ter potências que são números racionais.)
  3. Como na parte b, esta função não pode ser escrita usando uma fórmula envolvendo apenas operações algébricas básicas; portanto, essa função é transcendental.

Exercício ( PageIndex {5} ):

É (f (x) = x / 2 ) uma função algébrica ou transcendental?

Responder

Algébrico

Funções definidas por partes

Às vezes, uma função é definida por diferentes fórmulas em diferentes partes de seu domínio. Uma função com essa propriedade é conhecida como função definida por partes. A função de valor absoluto é um exemplo de função definida por partes porque a fórmula muda com o sinal de (x ):

[f (x) = begin {cases} −x & x <0 x & x≥0 end {cases}. ]

Outras funções definidas por partes podem ser representadas por fórmulas completamente diferentes, dependendo da parte do domínio em que um ponto cai. Para representar graficamente uma função definida por partes, representamos graficamente cada parte da função em seu respectivo domínio, no mesmo sistema de coordenadas. Se a fórmula para uma função for diferente para (x a ), precisamos prestar atenção especial ao que acontece em (x = a ) quando representamos graficamente a função. Às vezes, o gráfico precisa incluir um círculo aberto ou fechado para indicar o valor da função em (x = a ). Examinaremos isso no próximo exemplo.

Exemplo ( PageIndex {8} ): Representando graficamente uma função definida por partes

Esboce um gráfico da seguinte função definida por partes:

[f (x) = begin {cases} x + 3, & x <1 (x − 2) ^ 2, & x≥1 end {cases}. ]

Solução

Represente graficamente a função linear (y = x + 3 ) no intervalo ((- ∞, 1) ) e represente graficamente a função quadrática (y = (x − 2) ^ 2 ) no intervalo ([ 1, ∞) ). Como o valor da função em (x = 1 ) é dado pela fórmula (f (x) = (x − 2) ^ 2 ), vemos que (f (1) = 1 ). Para indicar isso no gráfico, desenhamos um círculo fechado no ponto ((1,1) ). O valor da função é dado por (f (x) = x + 2 ) para todos (x <1 ), mas não em (x = 1 ). Para indicar isso no gráfico, desenhamos um círculo aberto em ((1,4) ).

Figura ( PageIndex {8} ): Esta função definida por partes é linear para (x <1 ) e quadrática para (x≥1. )

2) Esboce um gráfico da função

(f (x) = begin {cases} 2 − x, & x≤2 x + 2, & x> 2 end {cases}. )

Solução:

Exemplo ( PageIndex {9} ): Taxas de estacionamento descritas por uma função definida por partes

Em uma cidade grande, os motoristas pagam taxas variáveis ​​para estacionar em uma garagem. Eles são cobrados $ 10 para a primeira hora ou qualquer parte da primeira hora e um adicional de $ 2 para cada hora ou parte dela, até um máximo de $ 30 para o dia. A garagem está aberta das 6h à meia-noite.

  1. Escreva uma função definida por partes que descreva o custo (C ) para estacionar na garagem como uma função de horas estacionadas (x ).
  2. Esboce um gráfico desta função (C (x). )

Solução

1. Visto que o estacionamento está aberto 18 horas por dia, o domínio para esta função é ({x | 0

[C (x) = begin {cases} 10, & 0

2. O gráfico da função consiste em vários segmentos de linha horizontal.

Exercício ( PageIndex {6} )

O custo de envio de uma carta depende do peso da carta. Suponha que o custo de enviar uma carta seja de (49 ¢ ) para a primeira onça e (21 ¢ ) para cada onça adicional. Escreva uma função definida por partes descrevendo o custo (C ) como uma função do peso (x ) para (0

Dica

A função definida por partes é constante nos intervalos (0,1], (1,2],….

Responder

[C (x) = begin {cases} 49, & 0

Transformações de funções

Vimos vários casos em que adicionamos, subtraímos ou multiplicamos constantes para formar variações de funções simples. No exemplo anterior, por exemplo, subtraímos 2 do argumento da função (y = x ^ 2 ) para obter a função (f (x) = (x − 2) ^ 2). Esta subtração representa um deslocamento da função (y = x ^ 2 ) duas unidades para a direita. Uma mudança, horizontal ou verticalmente, é um tipo de transformação de uma função. Outras transformações incluem escalas horizontais e verticais e reflexos sobre os eixos.

Um deslocamento vertical de uma função ocorre se adicionarmos ou subtrairmos a mesma constante para cada saída (y ). Para (c> 0 ), o gráfico de (f (x) + c ) é um deslocamento do gráfico de (f (x) ) até c unidades, enquanto o gráfico de (f (x ) −c ) é um deslocamento do gráfico de unidades (f (x) ) para baixo (c ). Por exemplo, o gráfico da função (f (x) = x ^ 3 + 4 ) é o gráfico de (y = x ^ 3 ) deslocado para cima (4 ) unidades; o gráfico da função (f (x) = x ^ 3−4 ) é o gráfico de (y = x ^ 3 ) desviado para baixo (4 ) unidades (Figura ( PageIndex {6} )).

Figura ( PageIndex {9} ): (a) Para (c> 0 ), o gráfico de (y = f (x) + c ) é um deslocamento vertical para cima (c ) unidades do gráfico de (y = f (x) ).(b) Para (c> 0 ), o gráfico de (y = f (x) −c ) é um deslocamento vertical para baixo c unidades do gráfico de (y = f (x) ).

Um deslocamento horizontal de uma função ocorre se adicionarmos ou subtrairmos a mesma constante para cada entrada (x ). Para (c> 0 ), o gráfico de (f (x + c) ) é um deslocamento do gráfico de (f (x) ) para as unidades (c ) à esquerda; o gráfico de (f (x − c) ) é um deslocamento do gráfico de (f (x) ) para as unidades (c ) à direita. Por que o gráfico muda para a esquerda ao adicionar uma constante e muda para a direita ao subtrair uma constante? Para responder a essa pergunta, vejamos um exemplo.

Considere a função (f (x) = | x + 3 | ) e avalie esta função em (x − 3 ). Como (f (x − 3) = | x | ) e (x − 3

Figura ( PageIndex {10} ): (a) Para (c> 0 ), o gráfico de (y = f (x + c) ) é um deslocamento horizontal para a esquerda (c ) unidades do gráfico de (y = f (x) ). (b) Para (c> 0 ), o gráfico de (y = f (x − c) ) é um deslocamento horizontal para a direita (c ) unidades do gráfico de (y = f (x) . )

Uma escala vertical de um gráfico ocorre se multiplicarmos todas as saídas (y ) de uma função pela mesma constante positiva. Para (c> 0 ), o gráfico da função (cf (x) ) é o gráfico de (f (x) ) dimensionado verticalmente por um fator de (c ). Se (c> 1 ), os valores das saídas para a função (cf (x) ) são maiores do que os valores das saídas para a função (f (x) ); portanto, o gráfico foi alongado verticalmente. Se (0

Figura ( PageIndex {11} ): (a) Se (c> 1 ), o gráfico de (y = cf (x) ) é uma extensão vertical do gráfico de (y = f (x) ). (b) Se (0

A escala horizontal de uma função ocorre se multiplicarmos as entradas (x ) pela mesma constante positiva. Para (c> 0 ), o gráfico da função (f (cx) ) é o gráfico de (f (x) ) dimensionado horizontalmente por um fator de (c ). Se (c> 1 ), o gráfico de (f (cx) ) é o gráfico de (f (x) ) comprimido horizontalmente. Se (0

Figura ( PageIndex {12} ): (a) Se (c> 1 ), o gráfico de (y = f (cx) ) é uma compressão horizontal do gráfico de (y = f (x) ). (b) Se (0

Exploramos o que acontece com o gráfico de uma função (f ) quando multiplicamos (f ) por uma constante (c> 0 ) para obter uma nova função (cf (x) ). Também discutimos o que acontece com o gráfico de uma função (f ) quando multiplicamos a variável independente (x ) por (c> 0 ) para obter uma nova função (f (cx) ). No entanto, não abordamos o que acontece com o gráfico da função se a constante (c ) for negativa. Se tivermos uma constante (c <0), podemos escrever (c ) como um número positivo multiplicado por (- 1 ); mas, que tipo de transformação obtemos quando multiplicamos a função ou seu argumento por (- 1? ) Quando multiplicamos todas as saídas por (- 1 ), obtemos uma reflexão sobre o (x ) -eixo. Quando multiplicamos todas as entradas por (- 1 ), obtemos uma reflexão sobre o eixo (y ). Por exemplo, o gráfico de (f (x) = - (x ^ 3 + 1) ) é o gráfico de (y = (x ^ 3 + 1) ) refletido sobre o eixo (x ) . O gráfico de (f (x) = (- x) ^ 3 + 1 ) é o gráfico de (y = x ^ 3 + 1 ) refletido sobre o eixo (y ) - (Figura ( PageIndex {10} )).

Figura ( PageIndex {13} ): (a) O gráfico de (y = −f (x) ) é o gráfico de (y = f (x) ) refletido sobre o eixo (x ). (b) O gráfico de (y = f (−x) ) é o gráfico de (y = f (x) ) refletido sobre o eixo (y ).

Se o gráfico de uma função consiste em mais de uma transformação de outro gráfico, é importante transformar o gráfico na ordem correta. Dada uma função (f (x) ), o gráfico da função relacionada (y = cf (a (x + b)) + d ) pode ser obtido a partir do gráfico de (y = f (x) ) realizando as transformações na seguinte ordem.

  • Deslocamento horizontal do gráfico de (y = f (x) ). Se (b> 0 ), desloque para a esquerda. Se (b <0 ) deslocar para a direita.
  • Escala horizontal do gráfico de (y = f (x + b) ) por um fator de (| a | ). Se (a <0 ), reflete o gráfico sobre o eixo (y ).
  • Escala vertical do gráfico de (y = f (a (x + b)) ) por um fator de (| c | ). Se (c <0 ), reflita o gráfico sobre o eixo (x ).
  • Deslocamento vertical do gráfico de (y = cf (a (x + b)) ). Se (d> 0 ), mude para cima. Se (d <0 ), desloque para baixo.

Podemos resumir as diferentes transformações e seus efeitos relacionados no gráfico de uma função na tabela a seguir.

Transformação de (f (c> 0) )Efeito do gráfico de (f )
(f (x) + c )Deslocamento vertical para cima (c ) unidades
(f (x) -c )Deslocamento vertical para baixo (c ) unidades
(f (x + c) )Deslocar para a esquerda em (c ) unidades
(f (x-c) )Deslocar para a direita em (c ) unidades
(cf (x) )

Alongamento vertical se (c> 1 );

compressão vertical se (0

(f (cx) )

Alongamento horizontal se (0

compressão horizontal se (c> 1 )

(- f (x) )Reflexão sobre o eixo (x )
(- f (x) )Reflexão sobre o eixo (y )

Exemplo ( PageIndex {10} ): Transformando uma função

Para cada uma das funções a seguir, a. e b., esboce um gráfico usando uma sequência de transformações de uma função bem conhecida.

  1. (f (x) = - | x + 2 | −3 )
  2. (f (x) = sqrt [3] {x} +1 )

Solução:

1. Começando com o gráfico de (y = | x | ), desloque (2 ) unidades para a esquerda, reflita sobre o eixo (x ) - e então desloque para baixo (3 ) unidades.

Figura ( PageIndex {14} ): A função (f (x) = - | x + 2 | −3 ) pode ser vista como uma sequência de três transformações da função (y = | x | ).

2. Começando com o gráfico de y = x√, reflita sobre o eixo y, estique o gráfico verticalmente por um fator de 3 e mova 1 unidade para cima.

Figura ( PageIndex {15} ): A função (f (x) = sqrt [3] {x} +1 ) pode ser vista como uma sequência de três transformações da função (y = sqrt {x} ).

Exercício ( PageIndex {7} )

Descreva como a função (f (x) = - (x + 1) ^ 2−4 ) pode ser representada graficamente usando o gráfico de (y = x ^ 2 ) e uma sequência de transformações

Responder

Desloque o gráfico (y = x ^ 2 ) para a 1 unidade à esquerda, reflita sobre o eixo (x ) e, em seguida, desloque 4 unidades para baixo.

Conceitos chave

  • A função de potência (f (x) = x ^ n ) é uma função par se n for par e (n ≠ 0 ), e é uma função ímpar se (n ) for ímpar.
  • A função raiz (f (x) = x ^ {1 / n} ) tem o domínio ([0, ∞) ) se n for par e o domínio ((- ∞, ∞) ) se (n ) é estranho. Se (n ) for ímpar, então (f (x) = x ^ {1 / n} ) é uma função ímpar.
  • O domínio da função racional (f (x) = p (x) / q (x) ), onde (p (x) ) e (q (x) ) são funções polinomiais, é o conjunto de x tal que (q (x) ≠ 0 ).
  • Funções que envolvem as operações básicas de adição, subtração, multiplicação, divisão e potências são funções algébricas. Todas as outras funções são transcendentais. Funções trigonométricas, exponenciais e logarítmicas são exemplos de funções transcendentais.
  • Uma função polinomial (f ) com grau (n≥1 ) satisfaz (f (x) → ± ∞ ) como (x → ± ∞ ). O sinal da saída como (x → ∞ ) depende do sinal do coeficiente líder apenas e se (n ) é par ou ímpar.
  • Deslocamentos verticais e horizontais, escalas verticais e horizontais e reflexões sobre os eixos (x ) - e (y ) - são exemplos de transformações de funções.

Equações Chave

  • Equação ponto-inclinação de uma linha

(y − y1 = m (x − x_1) )

  • Forma inclinação-interceptação de uma linha

(y = mx + b )

  • Forma padrão de uma linha

(ax + by = c )

  • Função polinomial

(f (x) = a_n ^ {x ^ n} + a_ {n − 1} x ^ {n − 1} + ⋯ + a_1x + a_0 )

Glossário

função algébrica
uma função que envolve qualquer combinação apenas das operações básicas de adição, subtração, multiplicação, divisão, potências e raízes aplicadas a uma variável de entrada (x )
função cúbica
um polinômio de grau 3; ou seja, uma função da forma (f (x) = ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx + d ), onde (a ≠ 0 )
grau
para uma função polinomial, o valor do maior expoente de qualquer termo
Função linear
uma função que pode ser escrita na forma (f (x) = mx + b )
função logarítmica
uma função da forma (f (x) = log_b (x) ) para alguma base (b> 0, b ≠ 1 ) tal que (y = log_b (x) ) se e somente se ( b ^ y = x )
modelo matemático
Um método de simulação de situações da vida real com equações matemáticas
função definida por partes
uma função que é definida de forma diferente em diferentes partes de seu domínio
equação ponto-declive
equação de uma função linear indicando sua inclinação e um ponto no gráfico da função
função polinomial
uma função da forma (f (x) = a_nx ^ n + a_ {n − 1} x ^ {n − 1} +… + a_1x + a_0 )
Função liga-desliga
uma função da forma (f (x) = x ^ n ) para qualquer número inteiro positivo (n≥1 )
função quadrática
um polinômio de grau 2; ou seja, uma função da forma (f (x) = ax ^ 2 + bx + c ) onde (a ≠ 0 )
função racional
uma função da forma (f (x) = p (x) / q (x) ), onde (p (x) ) e (q (x) ) são polinômios
função raiz
uma função da forma (f (x) = x ^ {1 / n} ) para qualquer inteiro (n≥2 )
declive
a mudança em y para cada mudança de unidade em x
forma de declive-interceptação
equação de uma função linear indicando sua inclinação e y-interceptar
função transcendental
uma função que não pode ser expressa por uma combinação de operações aritméticas básicas
transformação de uma função
uma mudança, dimensionamento ou reflexo de uma função

Contribuidores

  • Gilbert Strang (MIT) e Edwin “Jed” Herman (Harvey Mudd) com muitos autores contribuintes. Este conteúdo da OpenStax é licenciado com uma licença CC-BY-SA-NC 4.0. Baixe gratuitamente em http://cnx.org.


Classe de complexidade

Na teoria da complexidade computacional, um classe de complexidade é um conjunto de problemas computacionais de complexidade baseada em recursos relacionados. Os dois recursos mais comumente analisados ​​são tempo e memória.

Em geral, uma classe de complexidade é definida em termos de um tipo de problema computacional, um modelo de computação e um recurso limitado como tempo ou memória. Em particular, a maioria das classes de complexidade consiste em problemas de decisão que podem ser resolvidos com uma máquina de Turing e são diferenciados por seus requisitos de tempo ou espaço (memória). Por exemplo, a classe P é o conjunto de problemas de decisão solucionáveis ​​por uma máquina de Turing determinística em tempo polinomial. Existem, no entanto, muitas classes de complexidade definidas em termos de outros tipos de problemas (por exemplo, problemas de contagem e problemas de função) e usando outros modelos de computação (por exemplo, máquinas de Turing probabilísticas, sistemas de prova interativos, circuitos booleanos e computadores quânticos).

O estudo das relações entre classes de complexidade é uma importante área de pesquisa em ciência da computação teórica. Muitas vezes existem hierarquias gerais de classes de complexidade, por exemplo, sabe-se que uma série de classes de complexidade de tempo e espaço fundamentais se relacionam entre si da seguinte maneira: NL ⊆ < displaystyle subseteq>P ⊆ < displaystyle subseteq>NP ⊆ < displaystyle subseteq>PSPACE ⊆ < displaystyle subseteq>EXPTIME ⊆ < displaystyle subseteq>EXPSPACE (onde ⊆ < displaystyle subseteq> denota a relação de subconjunto). No entanto, muitos relacionamentos ainda não são conhecidos, por exemplo, um dos problemas abertos mais famosos na ciência da computação diz respeito a se P é igual a NP. As relações entre as classes costumam responder a perguntas sobre a natureza fundamental da computação. O P versus NP O problema, por exemplo, está diretamente relacionado a questões de se o não determinismo adiciona algum poder computacional aos computadores e se problemas com uma solução que pode ser rapidamente verificada quanto à correção também podem ser resolvidos rapidamente.


1.3: Classes básicas de funções

dados Bool = False | Derivando verdadeiro
(Ler, Mostrar, Eq, Ord, Enum, Limitado)

O tipo booleano Bool é uma enumeração. As funções booleanas básicas são & amp & amp (e), || (ou e não. O nome de outra forma é definido como Verdadeiro para tornar as expressões cautelosas mais legíveis.

6.1.2 Caracteres e Strings

O tipo de personagem Caracteres é uma enumeração cujos valores representam caracteres Unicode [11]. A sintaxe lexical para caracteres é definida na Seção 2.6. Literais de caracteres são construtores nulos no tipo de dados Caracteres. Modelo Caracteres é uma instância das classes Ler, mostrar, Eq, Ord, Enum, e Delimitado. O toEnum e fromEnum funções, funções padrão da classe Enum, mapeiam caracteres de e para o Int modelo.

Observe que cada um dos caracteres de controle ASCII tem várias representações em literais de caracteres: escapes numéricos, escapes mnemônicos ASCII e o ^ Notação X. Além disso, existem as seguintes equivalências: uma e BEL, b e BS, f e FF, r e CR, t e HT, v e VT, e n e LF.

Uma string é uma lista de caracteres:

Strings podem ser abreviados usando a sintaxe lexical descrita na Seção 2.6. Por exemplo, "Uma linha" abrevia

6.1.3 Listas

dados [a] = [] | a: [a] derivando (Eq, Ord)

Listas são um tipo de dados algébrico de dois construtores, embora com sintaxe especial, conforme descrito na Seção 3.7. O primeiro construtor é a lista nula, escrita `[]'("nil"), e o segundo é `:'("contras"). O módulo PreludeList (consulte a Seção 8.1) define muitas funções de lista padrão. Seqüências aritméticas e compreensões de lista, duas sintaxes convenientes para tipos especiais de listas, são descritas nas Seções 3.10 e 3.11, respectivamente. As listas são uma instância de classes Ler, mostrar, Eq, Ord, Mônada, Functor, e MonadPlus.

6.1.4 Tuplas

Tuplas são tipos de dados algébricos com sintaxe especial, conforme definido na Seção 3.8. Cada tipo de tupla possui um único construtor. Todas as tuplas são instâncias de Eq, Ord, Delimitado, Ler, e mostrar (desde, é claro, que todos os seus tipos de componentes sejam).

Não há limite superior para o tamanho de uma tupla, mas algumas implementações de Haskell podem restringir o tamanho das tuplas e limitar as instâncias associadas a tuplas maiores. No entanto, cada implementação de Haskell deve suportar tuplas até o tamanho 15, juntamente com as instâncias para Eq, Ord, Delimitado, Ler, e mostrar. O Prelúdio e as bibliotecas definem funções de tupla, como fecho eclair para tuplas de até 7.

O construtor de uma tupla é escrito omitindo as expressões ao redor das vírgulas, portanto (x, y) e (,) x y produzem o mesmo valor. O mesmo vale para construtores de tipo tupla, portanto, (Int, Bool, Int) e (,,) Int Bool Int denotam o mesmo tipo.

As seguintes funções são definidas para pares (2 tuplas): primeiro, snd, Curry, e sem pressa. Funções semelhantes não são predefinidas para tuplas maiores.

6.1.5 O tipo de dados da unidade

data () = () derivando (Eq, Ord, Bounded, Enum, Read, Show)

O tipo de dados da unidade () tem um não-membro _ | _, o construtor nulo (). Consulte também a Seção 3.9.

6.1.6 Tipos de Função

6.1.7 Os Tipos IO e IOError

IOError é um tipo abstrato que representa erros levantados por operações de E / S. É uma instância de mostrar e Eq. Valores desse tipo são construídos pelas várias funções de E / S e não são apresentados em mais detalhes neste relatório. O Prelúdio contém algumas funções de E / S (definidas na Seção 8.3) e a Parte II contém muitas mais.

6.1.8 Outros Tipos

dados Talvez a = Nada | Apenas uma derivação (Eq, Ord, Read, Show)
dados Ou a b = à esquerda a | Derivando direito b (Eq, Ord, Ler, Mostrar)
ordenação de dados = LT | EQ | Derivando GT
(Eq, Ord, Bounded, Enum, Read, Show)

O Pode ser tipo é uma instância de classes Functor, Mônada, e MonadPlus. O Encomenda tipo é usado por comparar na aula Ord. As funções pode ser e ou são encontrados no Prelúdio.

6.2 Avaliação Estrita

A função seq é definido pelas equações:

seq _ | _b = _ | _
seq a b = b, se a / = _ | _

seq geralmente é introduzido para melhorar o desempenho, evitando preguiça desnecessária. Tipos de dados estritos (consulte a Seção 4.2.1) são definidos em termos de $! operador. No entanto, o fornecimento de seq tem consequências semânticas importantes, porque está disponível em todos os tipos. Como consequência, _ | _ não é o mesmo que x - & gt _ | _, desde seq pode ser usado para distingui-los. Pelo mesmo motivo, a existência de seq enfraquece as propriedades de parametricidade de Haskell.

O operador $! é um aplicativo estrito (chamada por valor) e é definido em termos de seq. O Prelúdio também define o $ operador para executar a aplicação não estrita.

infixr 0 $, $!
($), ($!) :: (a - & gt b) - & gt a - & gt b
f $ x = f x
f $! x = x `seq` f x

Também é útil em situações de ordem superior, como mapa ($ 0) xs, ou zipWith ($) fs xs.

6.3 Classes Haskell Padrão

Figura 5

Classes Haskell Padrão

As declarações de método de classe padrão (Seção 4.3) são fornecidas para muitos dos métodos em classes padrão. Um comentário com cada aula declaração no Capítulo 8 especifica a menor coleção de definições de método que, junto com as declarações padrão, fornecem uma definição razoável para todos os métodos de classe. Se não houver tal comentário, todos os métodos de classe devem ser fornecidos para especificar completamente uma instância.

6.3.1 A Classe Eq

classe Eq a onde
(==), (/ =) :: a - & gt a - & gt Bool

x / = y = não (x == y)
x == y = não (x / = y)

O Eq classe fornece igualdade (==) e desigualdade (/=) métodos. Todos os tipos de dados básicos, exceto para funções e IO são instâncias desta classe. Instâncias de Eq pode ser derivado para qualquer tipo de dados definido pelo usuário, cujos constituintes também são instâncias de Eq.

Esta declaração fornece declarações de método padrão para ambos /= e ==, cada um sendo definido em termos um do outro. Se uma declaração de instância para Eq não define nenhum == nem /=, então ambos entrarão em loop. Se um for definido, o método padrão para o outro fará uso daquele que está definido. Se ambos forem definidos, nenhum método padrão será usado.

6.3.2 A Classe Ord

classe (Eq a) = & gt Ord a onde
compare :: a - & gt a - & gt Ordenação
(& lt), (& lt =), (& gt =), (& gt) :: a - & gt a - & gt Bool
max, min :: a - & gt a - & gt a

comparar x y | x == y = EQ
| x & lt = y = LT
| caso contrário = GT

x & lt = y = comparar x y / = GT
x & lt y = compare x y == LT
x & gt = y = compare x y / = LT
x & gt y = compare x y == GT

- Observe que (min x y, max x y) = (x, y) ou (y, x)
max x y | x & lt = y = y
| caso contrário = x
min x y | x & lt = y = x
| caso contrário = y

O Ord classe é usada para tipos de dados totalmente ordenados. Todos os tipos de dados básicos, exceto funções, IO, e IOError, são instâncias desta classe. Instâncias de Ord pode ser derivado para qualquer tipo de dados definido pelo usuário cujos tipos constituintes estão em Ord. A ordem declarada dos construtores na declaração de dados determina a ordem nos derivados Ord instâncias. O Encomenda o tipo de dados permite uma única comparação para determinar a ordem precisa de dois objetos.

As declarações padrão permitem que um usuário crie um Ord instância com um tipo específico comparar função ou com tipo específico == e & lt = funções.

6.3.3 As classes Ler e Mostrar

tipo ReadS a = String - & gt [(a, String)]
tipo ShowS = String - & gt String

classe Leia um onde
readPrec :: Int - & gt ReadS a
readList :: ReadS [a]
-. declínio padrão para readList dado em Prelude

classe Mostra um onde
showsPrec :: Int - & gt a - & gt ShowS
show :: a - & gt String
showList :: [a] - & gt ShowS

showsPrec _ x s = show x ++ s
show x = showsPrec 0 x ""
-. declínio padrão para showList dado no Prelude

O Ler e mostrar classes são usadas para converter valores de ou para strings. O Int argumento para showsPrec e lêPrec fornece a precedência do operador do contexto envolvente (consulte a Seção 10.4).

showsPrec e showList devolver um Corda-para-Corda função, para permitir a concatenação em tempo constante de seus resultados usando a composição da função. Uma variante especializada, mostrar, também é fornecido, que usa o contexto de precedência zero e retorna um normal Corda. O método showList é fornecido para permitir que o programador forneça uma maneira especializada de mostrar listas de valores. Isso é particularmente útil para o Caracteres tipo, onde valores de tipo Corda deve ser mostrado entre aspas duplas, em vez de entre colchetes.

Instâncias derivadas de Ler e mostrar replicar o estilo no qual um construtor é declarado: construtores infixos e nomes de campo são usados ​​na entrada e na saída. Strings produzidas por showsPrec geralmente são lidos por lêPrec.

Tudo Prelúdio tipos, exceto tipos de função e IO tipos, são instâncias de mostrar e Ler. (Se desejar, um programador pode facilmente criar funções e IO tipos em instâncias (vazias) de mostrar, fornecendo uma declaração de instância.)

Por conveniência, o Prelúdio fornece as seguintes funções auxiliares:

lê :: (Read a) = & gt ReadS a
lê = lêPrec 0

mostra :: (Mostrar a) = & gt a - & gt MostrarS
shows = showsPrec 0

ler :: (Ler a) = & gt String - & gt a
leia s = caso [x | (x, t) & lt- lê s, ("", "") & lt- lex t] de
[x] - & gt x
[] - & gt erro "PreludeText.read: no parse"
_ - & gt erro "PreludeText.read: ambiguous parse"

shows e use uma precedência padrão de 0. O ler função lê a entrada de uma string, que deve ser totalmente consumida pelo processo de entrada.

A função lex :: ReadS String, usado por ler, também faz parte do Prelúdio. Ele lê um único lexema da entrada, descartando o espaço em branco inicial e retornando os caracteres que constituem o lexema. Se a string de entrada contiver apenas espaços em branco, Lex retorna um único "lexema" bem-sucedido que consiste na string vazia. (Desse modo lex "" = [("","")].) Se não houver lexema legal no início da string de entrada, Lex falha (ou seja, retorna []).

6.3.4 A Classe Enum

classe Enum a onde
succ, pred :: a - & gt a
toEnum :: Int - & gt a
fromEnum :: a - & gt Int
enumFrom :: a - & gt [a] - [n ..]
enumFromThen :: a - & gt a - & gt [a] - [n, n '..]
enumFromTo :: a - & gt a - & gt [a] - [n..m]
enumFromThenTo :: a - & gt a - & gt a - & gt [a] - [n, n '.. m]

- Declarações padrão fornecidas no Prelúdio

Aula Enum define operações em tipos ordenados sequencialmente. As funções succ e pred retorna o sucessor e o predecessor, respectivamente, de um valor. As funções fromEnum e toEnum mapear valores de um tipo em Enum para e de Int. O enumFrom. métodos são usados ​​ao traduzir sequências aritméticas (Seção 3.10).

Instâncias de Enum pode ser derivado para qualquer tipo de enumeração (tipos cujos construtores não têm campos), consulte o Capítulo 10.

    As chamadas succ maxBound e pred minBound deve resultar em um erro de tempo de execução.

enumFrom x = enumFromTo x maxBound
enumFromThen x y = enumFromThenTo x y ligado
Onde
vinculado | fromEnum y & gt = fromEnum x = maxBound
| caso contrário = minBound

    Tipos de enumeração: (), Bool, e Encomenda. A semântica dessas instâncias é dada no Capítulo 10. Por exemplo, [LT ..] é a lista [LT, EQ, GT].

Para todos os quatro tipos numéricos do Prelúdio, todos os enumFrom família de funções são estritas em todos os seus argumentos.

6.3.5 A classe Functor

classe Functor f onde
fmap :: (a - & gt b) - & gt f a - & gt f b

O Functor classe é usada para tipos que podem ser mapeados. Listas, IO, e Pode ser estão nesta classe.

Instâncias de Functor deve satisfazer as seguintes leis:

id fmap=eu ia
fmap (f. g)=fmap f. fmap g

Todas as instâncias de Functor definidas no Prelúdio satisfazem essas leis.

6.3.6 A Classe Mônada

classe Monad m onde
(& gt & gt =) :: m a - & gt (a - & gt m b) - & gt m b
(& gt & gt) :: m a - & gt m b - & gt m b
return :: a - & gt m a
fail :: String - & gt m a

m & gt & gt k = m & gt & gt = _ - & gt k
falha s = erro s

O Mônada classe define as operações básicas sobre uma mônada. Consulte o Capítulo 7 para obter mais informações sobre mônadas.

"Faz"expressões fornecem uma sintaxe conveniente para escrever expressões monádicas (consulte a Seção 3.14). falhar método é invocado em caso de falha de correspondência de padrão em um Faz expressão.

No Prelúdio, listas, Pode ser, e IO são todas as instâncias de Mônada. O falhar método para listas retorna a lista vazia [], para Pode ser retorna Nada, e para IO levanta uma exceção de usuário na mônada IO (consulte a Seção 7.3).

Instâncias de Mônada deve satisfazer as seguintes leis:

retornar a & gt & gt = k=k a
m & gt & gt = return=m
m & gt & gt = ( x - & gt k x & gt & gt = h)=(m & gt & gt = k) & gt & gt = h

Instâncias de ambos Mônada e Functor deve, adicionalmente, cumprir a lei:

Todas as instâncias de Mônada definidas no Prelúdio satisfazem essas leis.

O Prelúdio fornece as seguintes funções auxiliares:

sequência :: Mônada m = & gt [m a] - & gt m [a]
sequência_ :: Mônada m = & gt [m a] - & gt m ()
mapM :: Monad m = & gt (a - & gt m b) - & gt [a] - & gt m [b]
mapM_ :: Monad m = & gt (a - & gt m b) - & gt [a] - & gt m ()
(= & lt & lt) :: Mônada m = & gt (a - & gt m b) - & gt m a - & gt m b

6.3.7 A Classe Limitada

O Delimitado class é usado para nomear os limites superior e inferior de um tipo. Ord não é uma superclasse de Delimitado uma vez que os tipos que não são totalmente ordenados também podem ter limites superior e inferior. Os tipos Int, Caracteres, Bool, (), Encomenda, e todas as tuplas são instâncias de Delimitado. O Delimitado classe pode ser derivada para qualquer tipo de enumeração minBound é o primeiro construtor listado no dados declaração e maxBound é a última. Delimitado também pode ser derivado para tipos de dados de construtor único cujos tipos constituintes estão em Delimitado.

6.4 Números

Haskell fornece vários tipos de números, os tipos numéricos e as operações sobre eles foram fortemente influenciadas pelo Common Lisp e Scheme. Nomes e operadores de funções numéricas são geralmente sobrecarregados, usando várias classes de tipo com uma relação de inclusão mostrada na Figura 6.1. A classe Num de tipos numéricos é uma subclasse de Eq, uma vez que todos os números podem ser comparados por igualdade, sua subclasse Real também é uma subclasse de Ord, uma vez que as outras operações de comparação se aplicam a todos, exceto números complexos (definidos no Complexo biblioteca). A classe Integrante contém inteiros de alcance limitado e ilimitado a classe Fracionário contém todos os tipos não integrais e a classe Flutuando contém todos os tipos de ponto flutuante, reais e complexos.

O Prelúdio define apenas os tipos numéricos mais básicos: inteiros de tamanho fixo (Int), inteiros de precisão arbitrária (Inteiro), flutuação de precisão simples (Flutuador) e flutuante de dupla precisão (Dobro) Outros tipos numéricos, como racionais e números complexos, são definidos em bibliotecas. Em particular, o tipo Racional é uma proporção de dois Inteiro valores, conforme definido no Razão biblioteca.

As operações de ponto flutuante padrão definidas pelo Haskell Prelude não estão em conformidade com os padrões atuais de aritmética independente de linguagem (LIA). Esses padrões requerem consideravelmente mais complexidade na estrutura numérica e, portanto, foram relegados a uma biblioteca. Alguns, mas não todos, aspectos do padrão de ponto flutuante IEEE foram considerados na aula do Prelúdio RealFloat.

Os tipos numéricos padrão estão listados na Tabela 6.1. O tipo inteiro de precisão finita Int cobre pelo menos a faixa [- 2 29, 2 29 - 1]. Como Int é uma instância do Delimitado aula, maxBound e minBound pode ser usado para determinar o exato Int intervalo definido por uma implementação. Flutuador é definido pela implementação, é desejável que esse tipo seja pelo menos igual em intervalo e precisão ao tipo de precisão única IEEE. Similarmente, Dobro deve abranger a precisão dupla IEEE. Os resultados de condições excepcionais (como estouro ou estouro negativo) nos tipos numéricos de precisão fixa são indefinidos; uma implementação pode escolher erro (_ | _, semanticamente), um valor truncado ou um valor especial, como infinito, indefinido, etc.

Modelo Aula Descrição
Inteiro Integrante Inteiros de precisão arbitrária
Int Integrante Inteiros de precisão fixa
(Integral a) = Razão & gt a RealFrac Números racionais
Flutuador RealFloat Ponto flutuante real, precisão única
Dobro RealFloat Ponto flutuante real, precisão dupla
(RealFloat a) = & gt Complexo a Flutuando Ponto flutuante complexo

Mesa 2

Tipos numéricos padrão

As classes numéricas padrão e outras funções numéricas definidas no Prelúdio são mostradas nas Figuras 6.2–6.3. A Figura 6.1 mostra as dependências de classe e tipos internos que são instâncias das classes numéricas.

classe (Num a, Ord a) = & gt Real a onde
toRational :: a - & gt Rational

classe (Real a, Enum a) = & gt Integral a onde
quot, rem, div, mod :: a - & gt a - & gt a
quotRem, divMod :: a - & gt a - & gt (a, a)
toInteger :: a - & gt Integer

classe (Num a) = & gt Fractional a onde
(/) :: a - & gt a - & gt a
receita :: a - & gt a
fromRational :: Rational - & gt a

Figura 6

Classes numéricas padrão e operações relacionadas, parte 1

classe (RealFrac a, flutuante a) = & gt RealFloat a onde
floatRadix :: a - & gt Integer
floatDigits :: a - & gt Int
floatRange :: a - & gt (Int, Int)
decodeFloat :: a - & gt (Inteiro, Int)
encodeFloat :: Integer - & gt Int - & gt a
expoente :: a - & gt Int
significando :: a - & gt a
scaleFloat :: Int - & gt a - & gt a
isNaN, isInfinite, isDenormalized, isNegativeZero, isIEEE
:: a - & gt Bool
atan2 :: a - & gt a - & gt a

gcd, lcm :: (integral a) = & gt a - & gt a- & gt a
(^) :: (Num a, b Integral) = & gt a - & gt b - & gt a
(^^) :: (Fractional a, Integral b) = & gt a - & gt b - & gt a

Figura 7

Classes numéricas padrão e operações relacionadas, parte 2

6.4.1 Literais Numéricos

A sintaxe dos literais numéricos é fornecida na Seção 2.5. Um literal inteiro representa a aplicação da função fromInteger para o valor apropriado de tipo Inteiro. Da mesma forma, um literal flutuante representa uma aplicação de fromRational para um valor do tipo Racional (isso é, Razão Inteira) Dadas as tipificações:

fromInteger :: (Num a) = & gt Inteiro - & gt a
fromRational :: (Fractional a) = & gt Rational - & gt a

literais inteiros e flutuantes têm as tipificações (Num a) = & gt a e (Fracionário a) = & gt a, respectivamente. Literais numéricos são definidos dessa maneira indireta para que possam ser interpretados como valores de qualquer tipo numérico apropriado. Consulte a Seção 4.3.4 para uma discussão sobre a ambigüidade de sobrecarga.

6.4.2 Operações Aritméticas e Teóricas dos Números

Os métodos da classe infix (+), (*), (-), e a função unária negar (que também pode ser escrito como um prefixo sinal de menos, consulte a seção 3.4) se aplicam a todos os números. Os métodos da classe quot, rem, div, e mod aplicam-se apenas a números inteiros, enquanto o método de classe (/) aplica-se apenas a fracionários. O quot, rem, div, e mod métodos de classe satisfazem essas leis se y é diferente de zero:

(x `quot` y) * y + (x `rem` y) == x
(x `div` y) * y + (x `mod` y) == x

`quot` é a divisão inteira truncada em direção a zero, enquanto o resultado de `div` é truncado em direção ao infinito negativo. O quotRem método de classe recebe um dividendo e um divisor como argumentos e retorna um par (quociente, resto) divMod é definido de forma semelhante:

mesmo x = x `rem` 2 == 0
ímpar = não. até

Finalmente, existem o máximo divisor comum e as funções múltiplas menos comuns. gcd x y é o maior número inteiro (positivo) que divide xey, por exemplo gcd (-3) 6 = 3, gcd (-3) (-6) = 3, gcd 0 4 = 4. gcd 0 0 gera um erro de tempo de execução.

lcm x y é o menor inteiro positivo que tanto x quanto y dividem.

6.4.3 Exponenciação e Logaritmos

A função exponencial de um argumento exp e a função logaritmo registro agir em números de ponto flutuante e usar a base e. logBase a x retorna o logaritmo de x na base a. sqrt retorna a raiz quadrada principal de um número de ponto flutuante. Existem três operações de exponenciação de dois argumentos: (^) eleva qualquer número a uma potência inteira não negativa, (^^) aumenta um número fracionário para qualquer potência inteira, e (**) aceita dois argumentos de ponto flutuante. O valor de x ^0 ou x ^^0 é 1 para qualquer x, incluindo zero 0** y é indefinido.

6.4.4 Magnitude e Sinal

Um número tem uma magnitude e um sinal. As funções abdômen e signum aplicam-se a qualquer número e cumprem a lei:

signum x | x & gt 0 = 1
| x == 0 = 0
| x & lt 0 = -1

6.4.5 Funções trigonométricas

Aula Flutuando fornece as funções circulares e hiperbólicas de seno, cosseno e tangente e suas inversas. Implementações padrão de bronzeado, tanh, logBase, **, e sqrt são fornecidos, mas os implementadores são livres para fornecer implementações mais precisas.

Aula RealFloat fornece uma versão do arco tangente usando dois argumentos reais de ponto flutuante. Para reais flutuantes x e y, atan2 y x calcula o ângulo (do eixo x positivo) do vetor da origem ao ponto (x, y). atan2 y x retorna um valor no intervalo [-pi, pi]. Ele segue a semântica Common Lisp para a origem quando zeros assinados são suportados. atan2 y 1, com y em um tipo que é RealFloat, deve retornar o mesmo valor que numa y. Uma definição padrão de atan2 é fornecido, mas os implementadores podem fornecer uma implementação mais precisa.

A definição precisa das funções acima é como em Common Lisp, que por sua vez segue a proposta de Penfield para APL [9]. Consulte essas referências para discussões sobre cortes de galhos, descontinuidades e implementação.

6.4.6 Coerções e Extração de Componentes

O teto, piso, truncar, e arredondar cada função recebe um argumento fracionário real e retorna um resultado integral. teto x retorna o menor número inteiro não menor que x, e piso x, o maior número inteiro não maior que x. truncar x produz o número inteiro mais próximo de x entre 0 e x, inclusive. arredondar x retorna o inteiro mais próximo para x, o inteiro par se x for equidistante entre dois inteiros.

A função fração própria pega um número fracionário real x e retorna um par (n, f) tal que x = n + f, e: n é um número inteiro com o mesmo sinal de x e f é uma fração f com o mesmo tipo e sinal de x , e com valor absoluto menor que 1. O teto, piso, truncar, e arredondar funções podem ser definidas em termos de fração própria.

Duas funções convertem números em tipo Racional: toRational retorna o equivalente racional de seu argumento real com precisão total approxRational recebe dois argumentos fracionários reais x e e e retorna o número racional mais simples dentro de e de x, onde um p / q racional em forma reduzida é mais simples do que outro p '/ q' se | p | & lt = | p '| e q & lt = q '. Cada intervalo real contém um racional único mais simples em particular, observe que 0/1 é o racional mais simples de todos.

Os métodos de classe da classe RealFloat permitir acesso eficiente e independente da máquina aos componentes de um número de ponto flutuante. As funções floatRadix, floatDigits, e floatRange forneça os parâmetros de um tipo de ponto flutuante: a raiz da representação, o número de dígitos dessa raiz no significando e os valores mais baixo e mais alto que o expoente pode assumir, respectivamente. A função decodeFloat aplicado a um número de ponto flutuante real retorna o significando expresso como um Inteiro e um expoente adequadamente dimensionado (um Int) Se decodeFloat x rendimentos ( m , n ), então x é igual em valor a mb n, onde b é a raiz de ponto flutuante e, além disso, m e n são ambos zero ou então b d-1 & lt = m & ltb d, onde d é o valor de floatDigits x. encodeFloat realiza o inverso dessa transformação. As funções significando e expoente juntos fornecem as mesmas informações que decodeFloat, mas ao invés de um Inteiro, significando x produz um valor do mesmo tipo que x, dimensionado para ficar no intervalo aberto (-1,1). expoente 0 é zero. scaleFloat multiplica um número de ponto flutuante por uma potência inteira da raiz.

As funções isNaN, isInfinite, isDenormalized, isNegativeZero, e isIEEE todos os números de suporte representados usando o padrão IEEE. Para números de ponto flutuante não IEEE, todos eles podem retornar falso.

Também estão disponíveis as seguintes funções de coerção:

fromIntegral :: (Integral a, Num b) = & gt a - & gt b
realToFrac :: (Real a, Fractional b) = & gt a - & gt b

The Haskell 98 Report
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Dezembro de 2002


Funções

Para tornar a vida mais fácil, o MATLAB inclui muitas funções padrão. Cada função é um bloco de código que realiza uma tarefa específica. MATLAB contém todas as funções padrão, como pecado, cos, registro, exp, sqrt, assim como muitos outros. Constantes comumente usadas, como pi, e eu ou j para a raiz quadrada de -1, também são incorporados ao MATLAB.

Para determinar o uso de qualquer função, digite ajuda [nome da função] na janela de comando do MATLAB.

O MATLAB ainda permite que você escreva suas próprias funções com o função comando siga o link para aprender como escrever suas próprias funções e ver uma lista das funções que criamos para este tutorial.


Quais são os tipos de descontinuidades?

O gráfico de $ f (x) $ abaixo mostra uma função que é descontínua em $ x = a $.

Neste gráfico, você pode ver facilmente que $ < color lim limits_ f (x) = L>% mbox % < color lim limits_ f (x) = M>. $

A função está se aproximando de valores diferentes dependendo da direção de onde $ x $ está vindo. Quando isso acontece, dizemos que a função tem um salto de descontinuidade em $ x = a $.

Descontinuidades infinitas

O gráfico abaixo mostra uma função descontínua em $ x = a $.

As setas na função indicam que ela ficará infinitamente grande à medida que $ x $ se aproximar de $ a $. Uma vez que a função não se aproxima de um determinado valor finito, o limite não existe. Isto é um descontinuidade infinita.

Os dois gráficos a seguir também são exemplos de descontinuidades infinitas em $ x = a $. Observe que em todos os três casos, ambos os limites unilaterais são infinitos.

Descontinuidades removíveis

Nos gráficos abaixo, há uma lacuna na função em $ x = a $. Esses buracos são chamados descontinuidades removíveis

Observe que para ambos os gráficos, embora haja buracos em $ x = a $, o valor limite em $ x = a $ existe.

Descontinuidades removíveis podem ser corrigidas

Descontinuidades removíveis podem ser corrigidas redefinindo a função, conforme mostrado no exemplo a seguir.

Exemplo

A função abaixo tem uma descontinuidade removível em $ x = 2 $. Redefina a função para que torna-se contínuo em $ x = 2 $.

O gráfico da função é mostrado abaixo para referência.

Para corrigir a descontinuidade, precisamos saber o valor $ y $ do buraco no gráfico. Para determinar isso, encontramos o valor de $ lim limits_ f (x) $.

Examinando a forma do limite, vemos

A divisão por zero na forma $ frac 0 0 $ nos diz que há definitivamente uma descontinuidade neste ponto.

Em seguida, usando as técnicas abordadas nas lições anteriores (consulte Limites indeterminados --- Fatoráveis), podemos determinar facilmente

$ displaystyle lim_ f (x) = frac 1 2 $

O valor limite também é o valor $ y $ do buraco no gráfico. Agora podemos redefinir a função original em uma forma por partes:

A primeira peça preserva o comportamento geral da função, enquanto a segunda peça obstrui o orifício.

Descontinuidades de endpoint

Quando uma função é definida em um intervalo com um terminal fechado, o limite não pode existir nesse terminal. Isso ocorre porque o limite deve examinar os valores da função conforme $ x $ se aproxima de ambos os lados.

Por exemplo, considere encontrar $ displaystyle lim limits_ sqrt x $ (veja o gráfico abaixo).

Observe que $ x = 0 $ é o ponto final esquerdo do domínio de funções: $ [0, infty) $, e a função não é tecnicamente contínua lá porque o limite não existe (porque $ x $ não pode se aproximar de ambos os lados).

Devemos notar que a função é contínuo à direita em $ x = 0 $, razão pela qual não vemos saltos ou buracos no ponto final.

Descontinuidades Mistas

Considere o gráfico mostrado abaixo.

A função é obviamente descontínua em $ x = 3 $. Da esquerda, a função tem uma descontinuidade infinita, mas da direita, a descontinuidade é removível. Uma vez que há mais de uma razão pela qual a descontinuidade existe, dizemos que esta é uma misturado descontinuidade


Conteúdo

Os glicosaminoglicanos variam muito em massa molecular, construção de dissacarídeo e sulfatação. Isso ocorre porque a síntese de GAG ​​não é impulsionada por modelos como proteínas ou ácidos nucléicos, mas constantemente alterada por enzimas de processamento. [4]

Os GAGs são classificados em quatro grupos com base nas estruturas principais de dissacarídeos. [5] Heparina/sulfato de heparana (HSGAGs) e sulfato de condroitina/sulfato de dermatan (CSGAGs) são sintetizados no aparelho de Golgi, onde núcleos de proteínas feitos no retículo endoplasmático rugoso são modificados pós-tradução com glicosilações ligadas a O por glicosiltransferases formando proteoglicanos. Sulfato de queratana pode modificar as proteínas do núcleo através da glicosilação ligada a N ou glicosilação ligada a O do proteoglicano. A quarta aula do GAG, ácido hialurônico é sintetizado por sintases de membrana integral que imediatamente segregam a cadeia de dissacarídeo dinamicamente alongada.

Edição de HSGAG e CSGAG

Os proteoglicanos modificados com HSGAG e CSGAG começam primeiro com um motivo de consenso Ser-Gly / Ala-X-Gly na proteína do núcleo. Construção de um ligante de tetrassacarídeo que consiste em -GlcAβ1–3Galβ1–3Galβ1–4Xylβ1-O- (Ser) -, onde xilosiltransferase, β4-galactosil transferase (GalTI), β3-galactosil transferase (GalT-II) e β3-GlcA transferase (GlcAT-I) transfere os quatro monossacarídeos, inicia a síntese da proteína modificada por GAG. A primeira modificação do ligante tetrassacarídeo determina se os HSGAGs ou CSGAGs serão adicionados. A adição de um GlcNAc promove a adição de HSGAGs, enquanto a adição de GalNAc ao ligante tetrassacarídeo promove o desenvolvimento de CSGAG. [5] GlcNAcT-I transfere GlcNAc para o ligante tetrassacarídeo, que é distinto da glicosiltransferase GlcNAcT-II, a enzima que é utilizada para construir HSGAGs. EXTL2 e EXTL3, dois genes da família de supressores de tumor EXT, mostraram ter atividade GlcNAcT-I. Por outro lado, GalNAc é transferido para o ligante pela enzima GalNAcT para iniciar a síntese de CSGAGs, uma enzima que pode ou não ter atividade distinta em comparação com a atividade de transferase de GalNAc da condroitina sintase. [5]

Com relação às HSGAGs, uma enzima multimérica codificada por EXT1 e EXT2 da família de genes EXT, transfere tanto GlcNAc quanto GlcA para o alongamento da cadeia de HSGAG. Enquanto alonga, a HSGAG é dinamicamente modificada, primeiro por N-desacetilase, N-sulfotransferase (NDST1), que é uma enzima bifuncional que cliva o grupo N-acetil de GlcNAc e subsequentemente sulfata a posição N. Em seguida, C-5 uronil epimerase cobre d-GlcA para l-IdoA seguido por 2-O sulfatação do açúcar do ácido urônico por 2-O sulfotransferase (sulfato de heparano 2-O-sulfotransferase). Finalmente, o 6-O e 3-O as posições das porções GlcNAc são sulfatadas por 6-O (Heparan sulfato 6-O-sulfotransferase) e 3-O (3-OST) sulfotransferases.

O sulfato de condroitina e o sulfato de dermatan, que compreendem os CSGAGs, são diferenciados um do outro pela presença de epímeros GlcA e IdoA, respectivamente. Semelhante à produção de HSGAGs, a uronil epimerase C-5 converte d-GlcA em l-IdoA para sintetizar sulfato de dermatan. Três eventos de sulfatação das cadeias CSGAG ocorrem: 4-O e / ou 6-O sulfatação de GalNAc e 2-O sulfatação do ácido urônico. Quatro isoformas do 4-O Sulfotransferases GalNAc (C4ST-1, C4ST-2, C4ST-3 e D4ST-1) e três isoformas do GalNAc 6-O sulfotransferases (C6ST, C6ST-2 e GalNAc4S-6ST) são responsáveis ​​pela sulfatação de GalNAc. [6]

Tipos de Keratan sulfato Editar

Ao contrário de HSGAGs e CSGAGs, a terceira classe de GAGs, aqueles pertencentes aos tipos de sulfato de queratana, são direcionados para a biossíntese por meio de motivos específicos de sequência de proteínas. Por exemplo, na córnea e na cartilagem, o domínio de sulfato de queratana de agrecan consiste em uma série de hexapeptídeos repetidos em tandem com uma sequência de consenso de E (E / L) PFPS. [7] Além disso, para três outros proteoglicanos sulfatados de queratano, lumican, queratocano e mimecano (OGN), a sequência de consenso NX (T / S) junto com a estrutura secundária da proteína foi determinada como estando envolvida em N- extensão de oligossacarídeo ligado com sulfato de queratana. [7] O alongamento do sulfato de queratana começa nas extremidades não redutoras de três oligossacarídeos de ligação, que definem as três classes de sulfato de queratana. O sulfato de ceratan I (KSI) é N -ligado por meio de um oligossacarídeo precursor do tipo de alta manose. O queratan sulfato II (KSII) e o queratan sulfato III (KSIII) são Oligado, com ligações KSII idênticas àquelas da estrutura central da mucina, e KSIII ligado a um 2-O manose. O alongamento do polímero de queratana sulfato ocorre através da adição de glicosiltransferase de Gal e GlcNAc. A adição de galactose ocorre principalmente através da enzima β-1,4-galactosiltransferase (β4Gal-T1), enquanto as enzimas responsáveis ​​pela β-3-Nacetilglucosamina não foram claramente identificadas. Finalmente, a sulfatação do polímero ocorre na posição 6 de ambos os resíduos de açúcar. A enzima KS-Gal6ST (CHST1) transfere grupos sulfato para galactose enquanto N-acetilglucosaminil-6-sulfotransferase (GlcNAc6ST) (CHST2) transfere grupos sulfato para GlcNAc terminal em sulfato de queratana. [8]

Ácido hialurônico Editar

A quarta classe de GAG, ácido hialurônico, não é sulfatada e é sintetizada por três proteínas da sintase transmembrana HAS1, HAS2 e HAS3. HA, um polissacarídeo linear, é composto por unidades de dissacarídeo repetidas de → 4) GlcAβ (1 → 3) GlcNAcβ (1 → e tem uma massa molecular muito alta, variando de 10 5 a 10 7 Da. Cada enzima HAS é capaz de transglicosilação quando fornecido com UDP-GlcA e UDP-GlcNAc. [9] [10] HAS2 é responsável por polímeros de ácido hialurônico muito grandes, enquanto tamanhos menores de HA são sintetizados por HAS1 e HAS3. Enquanto cada isoforma HAS catalisa a mesma reação biossintética, cada A isoforma HAS é ativa de forma independente. As isoformas HAS também mostraram ter diferentes Km valores para UDP-GlcA e UDPGlcNAc. [11] Acredita-se que, por meio de diferenças na atividade e expressão enzimática, o amplo espectro de funções biológicas mediadas por HA pode ser regulado, como seu envolvimento com a regulação de células-tronco neurais na zona subgranular do cérebro.

CSGAGs interagem com proteínas de ligação à heparina, especificamente interações de dermatan sulfato com fator de crescimento de fibroblastos FGF-2 e FGF-7 têm sido implicadas na proliferação celular e reparo de feridas [15], enquanto as interações com fator de crescimento hepático / fator de dispersão (HGF / SF) ativam o Via de sinalização de HGF / SF (c-Met) por meio de seu receptor. Os CASGAGs são importantes no fornecimento de suporte e adesividade nos ossos, pele e cartilagem. Outras funções biológicas para as quais os CSGAGs são conhecidos por desempenhar funções críticas incluem a inibição do crescimento axonal e regeneração no desenvolvimento do SNC, papéis no desenvolvimento do cérebro, atividade neuritogênica e infecção por patógenos. [16]

Sulfatos de queratana Uma das principais funções da terceira classe de GAGs, os sulfatos de queratana, é a manutenção da hidratação dos tecidos. [17] Os sulfatos de queratana estão no osso, na cartilagem e na córnea do olho. [18] Na córnea normal, o sulfato de dermatan é totalmente hidratado, enquanto o sulfato de queratana é apenas parcialmente hidratado, sugerindo que o sulfato de queratana pode se comportar como um tampão controlado dinamicamente para hidratação. [17] Em estados de doença, como distrofia macular da córnea, em que os níveis de GAGs, como KS, são alterados, acredita-se que a perda de hidratação dentro do estroma da córnea seja a causa da névoa da córnea, apoiando assim a hipótese de longa data de que a transparência da córnea é um dependente de níveis adequados de sulfato de queratana. Os GAGs de ceratan sulfato são encontrados em muitos outros tecidos além da córnea, onde são conhecidos por regular a adesão de macrófagos, formar barreiras ao crescimento de neurites, regular a implantação de embriões no revestimento endometrial uterino durante os ciclos menstruais e afetar a motilidade das células endoteliais da córnea. [17] Em resumo, o KS desempenha um papel anti-adesivo, o que sugere funções muito importantes do KS na motilidade e fixação celular, bem como outros processos biológicos potenciais.

Os sulfatos de dermatana atuam na pele, tendões, vasos sanguíneos e válvulas cardíacas. [18]

Ácido hialurônico O ácido hialurônico é o principal componente dos tecidos e líquidos sinoviais, bem como a substância básica de outros tecidos conjuntivos. O ácido hialurônico une as células, lubrifica as articulações e ajuda a manter a forma do globo ocular. [18]: A viscoelasticidade do ácido hialurônico o torna ideal para lubrificar as articulações e superfícies que se movem entre si, como a cartilagem. Uma solução de ácido hialurônico sob baixa tensão de cisalhamento tem uma viscosidade muito maior do que quando sob alta tensão de cisalhamento. [19] A hialuronidase, uma enzima produzida pelos leucócitos, espermatozoides e algumas bactérias, quebra o ácido hialurônico, fazendo com que a solução se torne mais líquida. [18] Na Vivo, o ácido hialurônico forma bobinas retorcidas aleatoriamente que se enredam para formar uma rede de hialuronano, retardando a difusão e formando uma barreira de difusão que regula o transporte de substâncias entre as células. Por exemplo, o hialuronano ajuda a particionar as proteínas plasmáticas entre os espaços vasculares e extravasculares, o que afeta a solubilidade das macromoléculas no interstício, altera o equilíbrio químico e estabiliza a estrutura das fibras de colágeno. [19] Outras funções incluem interações de matriz com proteínas de ligação a hialuronano, como hialuronectina, proteína de ligação a hialuronana glial, proteína de ligação a hialuronana enriquecida no cérebro, colágeno VI, TSG-6 e inibidor de inter-alfa-tripsina. As interações da superfície celular envolvendo hialuronano são o seu acoplamento bem conhecido com CD44, que pode estar relacionado à progressão do tumor, e também com RHAMM (receptor de motilidade mediado por hialuronano), que tem sido implicado em processos de desenvolvimento, metástase tumoral e processos reparativos patológicos. Fibroblastos, células mesoteliais e certos tipos de células-tronco se envolvem em uma "capa" pericelular, parte da qual é construída a partir de hialuronano, a fim de se protegerem de bactérias, glóbulos vermelhos ou outras moléculas da matriz. Por exemplo, no que diz respeito às células-tronco, o hialuronano, junto com o sulfato de condroitina, ajuda a formar o nicho de células-tronco.As células-tronco são protegidas dos efeitos dos fatores de crescimento por um escudo de hialuronano e sulfato de condroitina minimamente sulfatado. Durante a divisão progenitora, a célula filha move-se para fora deste escudo pericelular, onde pode então ser influenciada por fatores de crescimento para se diferenciar ainda mais.


A Natureza do Trabalho Administrativo

Os gerentes são responsáveis ​​pelos processos de concluir as atividades de forma eficiente com e por meio de outras pessoas e definir e atingir as metas da empresa por meio da execução de quatro funções básicas de gestão: planejamento, organização, liderança e controle. Ambos os conjuntos de processos utilizam recursos humanos, financeiros e materiais.

É claro que alguns gerentes são melhores do que outros nessa tarefa! Houve uma série de estudos sobre o que os gerentes realmente fazem, o mais famoso daqueles conduzidos pelo professor Henry Mintzberg no início dos anos 1970 (Mintzberg, 1973). Uma explicação para a influência duradoura de Mintzberg é talvez que a natureza do trabalho gerencial mudou muito pouco desde aquela época, além da mudança para um relacionamento fortalecido entre os gerentes de topo e outros gerentes e funcionários, e mudanças óbvias na tecnologia, e o aumento exponencial em sobrecarga de informação.

Depois de acompanhar os gerentes por várias semanas, Mintzberg concluiu que, para atender às muitas demandas do desempenho de suas funções, os gerentes assumem vários papéis. Uma função é um conjunto organizado de comportamentos, e Mintzberg identificou 10 funções comuns ao trabalho de todos os gerentes. Conforme resumido na figura a seguir, os 10 papéis são divididos em três grupos: interpessoal, informativo e decisório. Os papéis informativos unem todos os trabalhos gerenciais. Os papéis interpessoais garantem que as informações sejam fornecidas. Os papéis de decisão fazem uso significativo das informações. O desempenho das funções gerenciais e os requisitos dessas funções podem ser desempenhados em momentos diferentes pelo mesmo gerente e em graus diferentes, dependendo do nível e da função da administração. Os 10 papéis são descritos individualmente, mas eles formam um todo integrado.

Os três papéis interpessoais dizem respeito principalmente aos relacionamentos interpessoais. Na função de figura de proa, o gerente representa a organização em todas as questões de formalidade. O gerente de nível superior representa a empresa legal e socialmente para aqueles de fora da organização. O supervisor representa o grupo de trabalho para a alta gerência e a alta gerência para o grupo de trabalho. Na função de contato, o gerente interage com colegas e pessoas fora da organização. O gerente de nível superior usa a função de contato para obter favores e informações, enquanto o supervisor a usa para manter o fluxo rotineiro de trabalho. A função do líder define as relações entre o gerente e os funcionários.

Os relacionamentos diretos com pessoas nas funções interpessoais colocam o gerente em uma posição única para obter informações. Assim, as três funções informacionais preocupam-se principalmente com os aspectos informativos do trabalho gerencial. Na função de monitor, o gerente recebe e coleta informações. Na função de disseminador, o gestor transmite informações especiais para a organização. O gerente de nível superior recebe e transmite mais informações de pessoas de fora da organização do que o supervisor. Na função de porta-voz, o gestor dissemina as informações da organização em seu ambiente. Assim, o gerente de nível superior é visto como um especialista do setor, enquanto o supervisor é visto como uma unidade ou especialista departamental.

O acesso exclusivo às informações coloca o gerente no centro da tomada de decisão organizacional. Existem quatro papéis decisórios que os gerentes desempenham. No papel de empreendedor, o gerente inicia a mudança. Na função de manipulador de perturbações, o gerente lida com ameaças à organização. Na função de alocador de recursos, o gerente escolhe onde a organização despenderá seus esforços. Na função de negociador, o gerente negocia em nome da organização. O gerente de nível superior toma as decisões sobre a organização como um todo, enquanto o supervisor toma as decisões sobre sua unidade de trabalho específica.

O supervisor desempenha essas funções gerenciais, mas com ênfase diferente dos gerentes superiores. A gestão de supervisão é mais focada e com perspectiva de curto prazo. Assim, o papel de figura de proa torna-se menos significativo e os papéis de manipulador de perturbações e negociador aumentam de importância para o supervisor. Uma vez que a liderança permeia todas as atividades, a função de líder está entre as mais importantes de todas as funções em todos os níveis de gestão.

Então, o que as conclusões de Mintzberg sobre a natureza do trabalho gerencial significam para você? Por um lado, o trabalho gerencial é a força vital da maioria das organizações porque serve para coreografar e motivar os indivíduos a fazer coisas incríveis. O trabalho gerencial é estimulante e é difícil imaginar que algum dia haverá escassez de demanda por gerentes capazes e enérgicos. Por outro lado, o trabalho gerencial é necessariamente acelerado e fragmentado, onde os gerentes em todos os níveis expressam a opinião de que devem processar muito mais informações e tomar mais decisões do que jamais poderiam imaginar. Portanto, assim como as organizações mais bem-sucedidas parecem ter estratégias bem formadas e bem executadas, também há uma forte necessidade de os gerentes terem boas estratégias sobre a forma como abordarão seu trabalho. Isso é exatamente o que você aprenderá por meio dos princípios de gestão.

Principal vantagem

Os gerentes são responsáveis ​​por realizar o trabalho por meio de outras pessoas. Normalmente descrevemos as principais funções gerenciais como planejamento, organização, liderança e controle. As definições de cada um deles evoluíram ao longo do tempo, assim como a natureza do gerenciamento em geral evoluiu ao longo do tempo. Esta evolução é melhor observada na transição gradual da relação hierárquica tradicional entre gerentes e funcionários, para um clima caracterizado melhor como uma pirâmide de cabeça para baixo, onde os altos executivos apóiam os gerentes intermediários e eles, por sua vez, apóiam os funcionários que inovam e realizam as necessidades de clientes e clientes. Por meio de todas as quatro funções gerenciais, o trabalho dos gerentes abrange 10 funções, de figura de proa a negociador. Embora o trabalho gerencial real possa parecer desafiador, as habilidades que você adquire por meio dos princípios de gerenciamento - consistindo nas funções de planejamento, organização, liderança e controle - o ajudarão a enfrentar esses desafios.

Exercícios

  1. Por que as organizações precisam de gerentes?
  2. Quais são alguns tipos diferentes de gerentes e como eles diferem?
  3. Quais são as 10 funções gerenciais de Mintzberg?
  4. Quais são as três áreas que Mintzberg usa para organizar as 10 funções?
  5. Quais são as quatro funções gerenciais gerais que os princípios de administração incluem?

A existência de um limite

Conforme consideramos o limite no próximo exemplo, tenha em mente que para o limite de uma função existir em um ponto, os valores funcionais devem se aproximar de um único valor de número real naquele ponto. Se os valores funcionais não se aproximam de um único valor, o limite não existe.

Avaliando um limite que não existe

Avalie usando uma tabela de valores.

Solução

(Figura) lista os valores para a função para os valores dados de .

Tabela de valores funcionais para
−0.1 0.544021110889 0.1 −0.544021110889
−0.01 0.50636564111 0.01 −0.50636564111
−0.001 −0.8268795405312 0.001 0.826879540532
−0.0001 0.305614388888 0.0001 −0.305614388888
−0.00001 −0.035748797987 0.00001 0.035748797987
−0.000001 0.349993504187 0.000001 −0.349993504187

Depois de examinar a tabela de valores funcionais, podemos ver que o -valores não parecem se aproximar de um único valor. Parece que o limite não existe. Antes de tirar essa conclusão, vamos fazer uma abordagem mais sistemática. Pegue a seguinte sequência de -valores próximos de 0:

O correspondente -valores são

Neste ponto, podemos de fato concluir que não existe. (Os matemáticos frequentemente abreviam "não existe" como DNE. Assim, escreveríamos DNE.) O gráfico de é mostrado na (Figura) e dá uma imagem mais clara do comportamento de Como se aproxima de 0. Você pode ver que oscila cada vez mais descontroladamente entre -1 e 1 conforme aproxima-se de 0.

Figura 6. O gráfico de oscila rapidamente entre -1 e 1 conforme x se aproxima de 0.

Use uma tabela de valores funcionais para avaliar , se possível.

Solução

não existe.

Usar -valores 1.9, 1.99, 1.999, 1.9999, 1.9999 e 2.1, 2.01, 2.001, 2.0001, 2.00001 em sua tabela.


Como o nome sugere, aqui as funções são definidas fora da classe, no entanto, são declaradas dentro da classe.

As funções devem ser declaradas dentro da classe para vinculá-la à classe e indicá-la como membro, mas podem ser definidas fora da classe.

Para definir uma função fora de uma classe, operador de resolução de escopo :: é usado.

Sintaxe para declarar função fora da classe

Aqui está este programa, as funções showdata () e getdata () são declaradas dentro da classe e definidas fora da classe. Isso é obtido usando o operador de resolução de escopo ::.


Fórmulas básicas do Excel

Dominar as fórmulas básicas do Excel é fundamental para que os iniciantes se tornem altamente proficientes em análise financeira Descrição do trabalho do analista financeiro A descrição do trabalho do analista financeiro abaixo fornece um exemplo típico de todas as habilidades, formação e experiência necessárias para ser contratado para um trabalho de analista em um banco , instituição ou empresa. Realize previsões financeiras, relatórios e acompanhamento de métricas operacionais, analise dados financeiros e crie modelos financeiros. Recursos do Microsoft Excel Excel Aprenda Excel on-line com centenas de tutoriais, recursos, guias e folhas de dicas gratuitas do Excel! Os recursos do CFI são a melhor maneira de aprender Excel em seus próprios termos. é considerado o software padrão da indústria em análise de dados. O programa de planilha Microsoft & rsquos também é um dos softwares preferidos dos banqueiros de investimento. Descrição do trabalho de banco de investimento Esta descrição do trabalho de banco de investimento descreve as principais habilidades, educação e experiência de trabalho necessárias para se tornar um analista IB ou associado e analistas financeiros em processamento de dados, modelagem financeira O que é modelagem financeira A modelagem financeira é executada no Excel para prever o desempenho financeiro de uma empresa. Visão geral do que é modelagem financeira, como e por que construir um modelo. e apresentação. Este guia fornecerá uma visão geral e uma lista das funções básicas do Excel.

Depois de dominar esta lista, vá para o guia de fórmulas avançadas do CFI & rsquos Fórmulas avançadas do Excel que devem ser conhecidas Essas fórmulas avançadas do Excel são essenciais para saber e levarão suas habilidades de análise financeira para o próximo nível. Baixe nosso ebook Excel grátis! !

Termos básicos em Excel

Existem duas maneiras básicas de realizar cálculos no Excel: Fórmulas e Funções Fórmula vs Função Uma Fórmula é uma equação projetada por um usuário no Excel, enquanto uma Função é um cálculo predefinido no aplicativo de planilha. Este guia irá guiá-lo através da Fórmula vs Função no Excel para que você saiba exatamente quais são as semelhanças e diferenças. O Excel permite aos usuários realizar cálculos simples como.

1. Fórmulas

No Excel, uma fórmula é uma expressão que opera em valores em um intervalo de células ou em uma célula. Por exemplo, = A1 + A2 + A3, que encontra a soma do intervalo de valores da célula A1 para a célula A3.

2. Funções

Funções são fórmulas predefinidas no Excel. Eles eliminam a entrada manual trabalhosa de fórmulas, ao mesmo tempo que lhes dão nomes amigáveis. Por exemplo: = SUM (A1: A3). A função soma todos os valores de A1 a A3.

Cinco maneiras que economizam tempo para inserir dados no Excel

Ao analisar dados, existem cinco maneiras comuns de inserir fórmulas básicas do Excel. Cada estratégia vem com suas próprias vantagens. Portanto, antes de mergulhar mais nas fórmulas principais, vamos esclarecer esses métodos, para que você possa criar seu fluxo de trabalho preferido com antecedência.

1. Inserção simples: Digitando uma fórmula dentro da célula

Digitar uma fórmula em uma célula ou barra de fórmulas é o método mais direto de inserir fórmulas básicas do Excel. O processo geralmente começa digitando um sinal de igual, seguido pelo nome de uma função do Excel.

O Excel é bastante inteligente, pois quando você começa a digitar o nome da função, uma dica de função pop-up é exibida. É nesta lista que você & rsquoll seleciona sua preferência. No entanto, não pressione a tecla Enter. Em vez disso, pressione a tecla Tab para continuar a inserir outras opções. Caso contrário, você pode encontrar um erro de nome inválido, geralmente como & lsquo # NAME? & Rsquo. Para corrigir isso, basta selecionar novamente a célula e ir para a barra de fórmulas para concluir sua função.

2. Usando a opção Inserir função na guia Fórmulas

Se você deseja controle total da inserção de suas funções, usar a caixa de diálogo Inserir Função do Excel é tudo o que você precisa. Para fazer isso, vá para a guia Fórmulas e selecione o primeiro menu denominado Inserir Função. A caixa de diálogo conterá todas as funções de que você precisa para concluir sua análise financeira Tipos de análise financeira A análise financeira envolve o uso de dados financeiros para avaliar o desempenho de uma empresa e fazer recomendações sobre como pode melhorar no futuro. Os Analistas Financeiros realizam seu trabalho principalmente no Excel, usando uma planilha para analisar dados históricos e fazer projeções Tipos de Análise Financeira.

3. Selecionando uma fórmula de um dos grupos na guia Fórmula

Essa opção é para aqueles que desejam se aprofundar em suas funções favoritas rapidamente. Para encontrar esse menu, navegue até a guia Fórmulas e selecione o grupo de sua preferência. Clique para mostrar um submenu preenchido com uma lista de funções. A partir daí, você pode selecionar sua preferência. No entanto, se você achar que o seu grupo preferido não está na guia, clique na opção Mais funções & ndash it & rsquos provavelmente apenas oculto lá.

4. Usando a opção AutoSoma

Para tarefas rápidas e cotidianas, a função AutoSum Autosum A fórmula de autosum do Excel é um atalho que pode economizar tempo na modelagem financeira no Excel. Digite "ALT preguiçoso" src = "" srcset = "" tamanhos = "" data-src = "https://cdn.corporatefinanceinstitute.com/assets/Basic-Excel-Function-AutoSum-1-1024x481.png" data- srcset = "// cdn.corporatefinanceinstitute.com/assets/Basic-Excel-Function-AutoSum-1-1024x481.png 1024w, //cdn.corporatefinanceinstitute.com/assets/Basic-Excel-Function-AutoSum-1-300x141. png 300w, //cdn.corporatefinanceinstitute.com/assets/Basic-Excel-Function-AutoSum-1-768x361.png 768w, //cdn.corporatefinanceinstitute.com/assets/Basic-Excel-Function-AutoSum-1-1200x564. png 1200w, //cdn.corporatefinanceinstitute.com/assets/Basic-Excel-Function-AutoSum-1-600x282.png 600w, //cdn.corporatefinanceinstitute.com/assets/Basic-Excel-Function-AutoSum-1.png 1952w "tamanhos de dados =" (largura máxima: 860px) 100vw, 860px ">

5. Inserção rápida: use as guias usadas recentemente

Se você achar que redigitar sua fórmula mais recente é uma tarefa monótona, use o menu Usado Recentemente. Isso & rsquos na guia Fórmulas, uma terceira opção de menu ao lado de AutoSoma.

Tutorial grátis de fórmulas do Excel no YouTube

Assistir CFI e rsquos Vídeo GRATUITO do YouTube tutorial para aprender rapidamente as fórmulas mais importantes do Excel. Assistindo ao vídeo de demonstração, você aprende rapidamente as fórmulas e funções mais importantes.

Sete fórmulas básicas do Excel para o seu fluxo de trabalho

Já que agora você é capaz de inserir suas fórmulas preferidas e funcionar corretamente, deixe-os verificar algumas funções fundamentais do Excel para começar.

1. SUM

A função SUM Função SUM A função SUM é categorizada em funções matemáticas e trigonométricas. A função irá somar células que são fornecidas como argumentos múltiplos. É a função mais popular e amplamente utilizada do Excel. SUM ajuda os usuários a realizar uma soma rápida de células especificadas no MS Excel. Por exemplo, recebemos que o custo de 100 é a primeira fórmula obrigatória no Excel. Geralmente agrega valores de uma seleção de colunas ou linhas do intervalo selecionado.

= SUM (número 1, [número2], & hellip)

= SOMA (B2: G2) & ndash Uma seleção simples que soma os valores de uma linha.

= SOMA (A2: A8) & ndash Uma seleção simples que soma os valores de uma coluna.

= SOMA (A2: A7, A9, A12: A15) & ndash Uma coleção sofisticada que soma valores do intervalo A2 a A7, salta A8, adiciona A9, salta A10 e A11 e, finalmente, adiciona de A12 a A15.

= SOMA (A2: A8) / 20 & ndash Mostra que você também pode transformar sua função em uma fórmula.

2. MÉDIA

A função AVERAGE Função AVERAGE Calculate Average no Excel. A função AVERAGE é categorizada em Funções estatísticas. Ele retornará a média dos argumentos. É usado para calcular a média aritmética de um determinado conjunto de argumentos. Como analista financeiro, a função é útil para descobrir a média dos números. deve lembrá-lo de médias simples de dados, como o número médio de acionistas em um determinado grupo de ações.

= MÉDIA (número 1, [número2], & hellip)

= MÉDIA (B2: B11) & ndash Mostra uma média simples, também semelhante a (SUM (B2: B11) / 10)

3. CONTAGEM

A função COUNT Função COUNT A função COUNT é uma função estatística do Excel. Esta função ajuda a contar o número de células que contêm um número, bem como o número de argumentos que contêm números. Ele também contará números em qualquer matriz fornecida. Foi introduzido no Excel em 2000. Como analista financeiro, é útil na análise de contagens de dados de todas as células em um determinado intervalo que contêm apenas valores numéricos.

= COUNT (valor1, [valor2] e hellip)

CONTAGEM (A:A) & ndash Conta todos os valores numéricos na coluna A. No entanto, você deve ajustar o intervalo dentro da fórmula para contar as linhas.

CONTAGEM (A1: C1) & ndash Agora ele pode contar linhas.

4. CONT.valores

Como a função COUNT, a função COUNTA COUNTA A função COUNTA irá calcular o número de células que não estão em branco dentro de um determinado conjunto de valores. A função = counta () também é comumente chamada de fórmula Contagem do Excel se não em branco. Como analista financeiro, a função é útil para contar células que não estão em branco ou vazias em um determinado intervalo. conta todas as células de uma determinada raiva. No entanto, ele conta todas as células, independentemente do tipo. Ou seja, ao contrário de COUNT que conta apenas numéricos, ele também conta datas, horas, strings, valores lógicos, erros, string vazia ou texto.

= CONT.valores (valor1, [valor2] e hellip)

CONT.valores (C2: C13) & ndash Conta as linhas 2 a 13 na coluna C, independentemente do tipo. No entanto, como COUNT, você pode & rsquot usar a mesma fórmula para contar linhas. Você deve fazer um ajuste à seleção dentro dos colchetes & ndash, por exemplo, CONT.valores (C2: H2) contará as colunas C a H

A função IF Função IF A função de instrução IF do Excel testa uma determinada condição e retorna um valor para um resultado VERDADEIRO e outro para um resultado FALSO. Por exemplo, se as vendas totalizarem mais de $ 5.000, retorne um "Sim" para o Bônus, caso contrário, retorne um "Não". Também podemos criar instruções IF aninhadas, muitas vezes usadas quando você deseja classificar seus dados de acordo com uma determinada lógica. A melhor parte da fórmula IF é que você pode incorporar fórmulas e funções nela.

= SE (teste_lógico, [valor_se_verdadeiro], [valor_se_falso])

= IF (C2 & ltD3, & lsquoTRUE, & rsquo & lsquoFALSE & rsquo) & ndash Verifica se o valor em C3 é menor que o valor em D3. Se a lógica for verdadeira, deixe o valor da célula ser TRUE, caso contrário, FALSE

= SE (SOMA (C1: C10) & SOMA (D1: D10), SOMA (C1: C10), SOMA (D1: D10)) & ndash Um exemplo de uma lógica IF complexa. Primeiro, soma C1 a C10 e D1 a D10, então ele compara a soma. Se a soma de C1 a C10 for maior que a soma de D1 a D10, então torna o valor de uma célula igual à soma de C1 a C10. Caso contrário, torna-se a SOMA de C1 a C10.

6. TRIM

A função TRIM Função TRIM A função TRIM é categorizada em funções de texto do Excel. TRIM ajuda a remover os espaços extras nos dados e, assim, limpar as células na planilha. Na análise financeira, a função TRIM pode ser útil na remoção de irregularidades para garantir que suas funções não retornem erros devido a espaços indisciplinados. Ele garante que todos os espaços vazios sejam eliminados. Ao contrário de outras funções que podem operar em um intervalo de células, TRIM opera apenas em uma única célula. Portanto, isso vem com a desvantagem de adicionar dados duplicados em sua planilha.

TRIM (A2) & ndash Remove os espaços vazios no valor da célula A2.

7. MAX e amp MIN

A função MAX MAX A função MAX é categorizada nas funções estatísticas do Excel. MAX retornará o maior valor em uma determinada lista de argumentos. De um determinado conjunto de valores numéricos, ele retornará o valor mais alto. Ao contrário da função MAXA, a função MAX contará os números, mas ignorará as células vazias e a função MIN MIN A função MIN é categorizada nas funções estatísticas do Excel. MIN retornará o valor mínimo em uma determinada lista de argumentos. De um determinado conjunto de valores numéricos, ele retornará o menor valor. Ao contrário da função MINA, as funções ajudam a encontrar o número máximo e o número mínimo em uma faixa de valores.

= MIN (número 1, [número2], & hellip)

= MIN (B2: C11) & ndash Encontra o número mínimo entre a coluna B de B2 e a coluna C de C2 até a linha 11 em ambas as colunas B e C.

= MAX (número 1, [número2], & hellip)

= MAX (B2: C11) & ndash Da mesma forma, ele encontra o número máximo entre a coluna B de B2 e a coluna C de C2 até a linha 11 em ambas as colunas B e C.

Mais recursos

Obrigado por ler o guia CFI & rsquos para fórmulas básicas do Excel. Para continuar seu desenvolvimento como um analista financeiro de classe mundial, Torne-se um Analista de Modelagem Financeira e Avaliação (FMVA) e a certificação de Analista de Modelagem e Avaliação Financeira (FMVA) da CFI ajudará você a ganhar a confiança necessária em sua carreira financeira. Inscreva-se hoje! , esses recursos CFI adicionais serão úteis:

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