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3.15: Exercícios de Derivados de Trig Inverso


Exercício:

Para os exercícios a seguir, use o gráfico de (y = f (x) ) para

uma. esboce o gráfico de (y = f ^ {- 1} (x) ), e

b. use a parte a. para estimar ((f ^ {- 1}) ′ (1) ).

261)

Responder:

uma.

b. ((f ^ {- 1}) ′ (1) ~ 2 )

262)

263)

Responder:

uma.

b. ((f ^ {- 1}) ′ (1) ~ −1 / sqrt {3} )

Para os exercícios a seguir, use as funções (y = f (x) ) para encontrar

uma. ( frac {df} {dx} ) em (x = a ) e

b. (x = f ^ {- 1} (y). )

c. Em seguida, use a parte b. para encontrar ( frac {df ^ {- 1}} {dy} ) em (y = f (a). )

264) (f (x) = 6x − 1, x = −2 )

265) (f (x) = 2x ^ 3−3, x = 1 )

Responder:

(a. 6
b. x = f ^ {- 1} (y) = ( frac {y + 3} {2}) ^ {1/3}
c. frac {1} {6} )

266) (f (x) = 9 − x ^ 2,0≤x≤3, x = 2 )

267) (f (x) = sin x, x = 0 )

Responder:

(a. 1, b. x = f ^ {- 1} (y) = sin ^ {- 1} y, c. 1 )

Para cada uma das seguintes funções, encontre ((f ^ {- 1}) ′ (a) ).

268) (f (x) = x ^ 2 + 3x + 2, x≥ − 1, a = 2 )

269) (f (x) = x ^ 3 + 2x + 3, a = 0 )

Responder:

( frac {1} {5} )

270) (f (x) = x + sqrt {x}, a = 2 )

271) (f (x) = x− frac {2} {x}, x <0, a = 1 )

Responder:

frac {1} {3} )

272) (f (x) = x + sin x, a = 0 )

273) (f (x) = tan x + 3x ^ 2, a = 0 )

Responder:

(1)

Para cada uma das funções fornecidas (y = f (x), )

uma. encontre a inclinação da reta tangente à sua função inversa (f ^ {- 1} ) no ponto indicado (P ), e

b. encontre a equação da reta tangente ao gráfico de (f ^ {- 1} ) no ponto indicado.

274) (f (x) = frac {4} {1 + x ^ 2}, P (2,1) )

275) (f (x) = sqrt {x − 4}, P (2,8) )

Responder:

(a. 4, b. y = 4x )

276) (f (x) = (x ^ 3 + 1) ^ 4, P (16,1) )

277) (f (x) = - x ^ 3 − x + 2, P (−8,2) )

Responder:

(a. - frac {1} {96}, b. y = - frac {1} {13} x + frac {18} {13} )

278) (f (x) = x ^ 5 + 3x ^ 3−4x − 8, P (−8,1) )

Para os exercícios a seguir, encontre ( frac {dy} {dx} ) para a função dada.

279) (y = sin ^ {- 1} (x ^ 2) )

Responder:

( frac {2x} { sqrt {1 − x ^ 4}} )

280) (y = cos ^ {- 1} ( sqrt {x}) )

281) (y = sec ^ {- 1} ( frac {1} {x}) )

Responder:

( frac {−1} { sqrt {1 − x ^ 2}} )

282) (y = sqrt {csc ^ {- 1} x} )

283) (y = (1+ tan ^ {- 1} x) ^ 3 )

Responder:

( frac {3 (1+ tan ^ {- 1} x) ^ 2} {1 + x ^ 2} )

284) (y = cos ^ {- 1} (2x) ⋅ sin ^ {- 1} (2x) )

285) (y = frac {1} { tan ^ {- 1} (x)} )

Responder:

( frac {−1} {(1 + x ^ 2) ( tan ^ {- 1} x) ^ 2} )

286) (y = sec ^ {- 1} (- x) )

287) (y = cot ^ {- 1} sqrt {4 − x ^ 2} )

Responder:

( frac {x} {(5 − x ^ 2) sqrt {4 − x ^ 2}} )

288) (y = x⋅ csc ^ {- 1} x )

Para os exercícios a seguir, use os valores dados para encontrar ((f ^ {- 1}) ′ (a) ).

289) (f (π) = 0, f '(π) = - 1, a = 0 )

Responder:

(−1)

290) (f (6) = 2, f ′ (6) = frac {1} {3}, a = 2 )

291) (f ( frac {1} {3}) = - 8, f '( frac {1} {3}) = 2, a = −8 )

Responder:

( frac {1} {2} )

292) (f ( sqrt {3}) = frac {1} {2}, f '( sqrt {3}) = frac {2} {3}, a = frac {1} {2 } )

293) (f (1) = - 3, f '(1) = 10, a = −3 )

Responder:

( frac {1} {10} )

294) (f (1) = 0, f '(1) = - 2, a = 0 )

295) [T] A posição de um disco de hóquei em movimento após (t ) segundos é (s (t) = tan ^ {- 1} t ) onde (s ) está em metros.

uma. Encontre a velocidade do disco de hóquei a qualquer momento (t ).

b. Encontre a aceleração do disco a qualquer momento (t ).

c. Avalie a. e B. para (t = 2,4 ) e (6 ) segundos.

d. Que conclusão pode ser tirada dos resultados em c.?

Responder:

uma. (v (t) = frac {1} {1 + t ^ 2} )
b. (a (t) = frac {−2t} {(1 + t ^ 2) ^ 2} )
c. ((a) v (2) = 0,2, v (4) = frac {1} {17}, v (6) = frac {1} {37}; (b) a (2) = - 0,16 , a (4) = - frac {8} {289}, a (6) = - frac {12} {1369} )
d. O disco de hóquei está desacelerando / diminuindo em 2, 4 e 6 segundos.

296) [T] Um edifício com 225 pés de altura projeta uma sombra de vários comprimentos (x ) com o passar do dia. Um ângulo de elevação (θ ) é formado por linhas da parte superior e inferior do edifício até a ponta da sombra, como pode ser visto na figura a seguir. Encontre a taxa de variação do ângulo de elevação ( frac {dθ} {dx} ) quando (x = 272 ) pés.

297) [T] Um poste tem 75 pés de altura. Um ângulo (θ ) é formado quando fios de vários comprimentos de (x ) pés são presos do solo ao topo do poste, conforme mostrado na figura a seguir. Encontre a taxa de variação do ângulo ( frac {dθ} {dx} ) quando um fio de comprimento de 90 pés é conectado.

Responder:

(- 0,0168 ) radianos por pé

298) [T] Uma câmera de televisão ao nível do solo está a 2000 pés de distância da plataforma de lançamento de um foguete espacial que está configurado para decolar verticalmente, como pode ser visto na figura a seguir. O ângulo de elevação da câmera pode ser encontrado por (θ = tan ^ {- 1} ( frac {x} {2000}) ), onde x é a altura do foguete. Encontre a taxa de variação do ângulo de elevação após o lançamento, quando a câmera e o foguete estão separados por 5000 pés.

299) [T] Um cinema local com uma tela de 9 metros de altura e 10 metros acima do nível dos olhos de uma pessoa sentada tem um ângulo de visão (θ ) (em radianos) dado por (θ = cot ^ { −1} frac {x} {40} −cot ^ {- 1} frac {x} {10} ),

onde (x ) é a distância em pés de distância da tela do cinema que a pessoa está sentada, conforme mostrado na figura a seguir.

uma. Encontre ( frac {dθ} {dx} ).

b. Avalie ( frac {dθ} {dx} ) para (x = 5,10,15, ) e 20.

c. Interprete os resultados em b ..

d. Avalie ( frac {dθ} {dx} ) para (x = 25,30,35 ), e 40

e. Interprete os resultados em d. A que distância (x ) a pessoa deve ficar para maximizar seu ângulo de visão?

Responder:

uma. ( frac {dθ} {dx} = frac {10} {100 + x ^ 2} - frac {40} {1600 + x ^ 2} b. frac {18} {325}, frac { 9} {340}, frac {42} {4745}, 0 ) c. À medida que uma pessoa se afasta da tela, o ângulo de visão aumenta, o que implica que, conforme ela se afasta, sua visão na tela aumenta. d. (- frac {54} {12905}, - frac {3} {500}, - frac {198} {29945}, - frac {9} {1360} e. Conforme a pessoa se move além de 20 pés da tela, o ângulo de visão está diminuindo. A distância ideal que a pessoa deve ficar para maximizar o ângulo de visão é de 20 pés.


Math Insight

O novo material aqui é apenas uma lista de fórmulas para obter derivados de funções exponenciais, logaritmos, trigonométricas e trigonométricas inversas. Então, qualquer função feita pela composição deles com polinômios ou entre si pode ser diferenciada usando a regra da cadeia, regra do produto, etc. (Essas novas fórmulas não são fáceis de derivar, mas não precisamos nos preocupar com isso).

Os dois primeiros são os essenciais para exponencial e logaritmos: begin e ^ x & amp = e ^ x ln , x & amp = <1 over x> end

Os próximos três são essenciais para funções trigonométricas: begin sin , x & amp = cos , x cos , x & amp = - sin , x tan , x & amp = sec ^ 2 , x end

As fórmulas anteriores são as indispensáveis ​​na prática e são as únicas de que me lembro pessoalmente (se tiver sorte). Outras fórmulas um poderia gostaria de ter visto são (com $ a> 0 $ nos dois primeiros): begin a ^ x & amp = ln , a cdot a ^ x log_a , x & amp = <1 over ln , a cdot x> sec , x & amp = tan , x , sec , x csc , x & amp = - cot , x , csc , x cot , x & amp = - csc ^ 2 , x arccos , x & amp = <-1 over sqrt <1-x ^ 2 >> hbox, x & amp = <-1 over 1 + x ^ 2> hbox, x & amp = <-1 over x , sqrt> end

(Sempre há algumas dificuldades em descobrir qual das infinitas possibilidades de tomar para os valores das funções trigonométricas inversas, e isso é especialmente ruim com arccsc, por exemplo. Mas não teremos tempo para nos preocupar com essas coisas).

Para ser capaz de usar as fórmulas acima, é não necessário saber muitos outro propriedades dessas funções. Por exemplo, não é necessário ser capaz de representar graficamente essas funções para obter suas derivadas!


Derivados de funções trigonométricas inversas

No tópico anterior, aprendemos as derivadas de seis funções trigonométricas básicas:

Nesta seção, veremos as derivadas das funções trigonométricas inversas, que são respectivamente denotadas como

As funções inversas existem quando restrições apropriadas são colocadas no domínio das funções originais.

Por exemplo, o domínio para ( arcsin x ) é de (- 1 ) a (1. ) O intervalo ou a saída para ( arcsin x ) é todos os ângulos de (& # 8211 large < frac < pi> <2>> normalsize ) a ( large < frac < pi> <2>> normalsize ) radianos.

Os domínios das outras funções trigonométricas são restritos apropriadamente, de modo que se tornam funções um-para-um e seu inverso pode ser determinado.

Derivados de funções trigonométricas inversas

As derivadas das funções trigonométricas inversas podem ser obtidas usando o teorema da função inversa. Por exemplo, a função seno (x = varphi left (y right) ) (= sin y ) é a função inversa para (y = f left (x right) ) ( = arcsin x. ) Então a derivada de (y = arcsin x ) é dada por

Usando esta técnica, podemos encontrar as derivadas das outras funções trigonométricas inversas:

Na última fórmula, o valor absoluto ( left | x right | ) no denominador aparece devido ao fato de que o produto (< tan y sec y> ) deve ser sempre positivo no intervalo de valores admissíveis de (y ), onde (y in left (<0, < large frac < pi> <2> tamanho normal >> right) cup left (<< large frac < pi> <2> normalsize>, pi> right), ) que é a derivada da secante inversa é sempre positiva.

Da mesma forma, podemos obter uma expressão para a derivada da função cossecante inversa:

Tabela de derivados de funções trigonométricas inversas

As derivadas de (6 ) funções trigonométricas inversas consideradas acima estão consolidadas na seguinte tabela:


3.15: Exercícios de Derivados de Trig Inverso

1. Use o gráfico da função, (f left (x right) ), estime o valor de (f & # 39 left (a right) ) para

Mostrar todas as soluções Ocultar todas as soluções

a (a = - 2 ) Mostrar todas as etapas Ocultar todas as etapas
Iniciar solução

Dado que uma das interpretações da derivada é que ela é a inclinação da linha tangente à função em um ponto particular, vamos primeiro esboçar em uma linha tangente no ponto do gráfico.

A função está claramente diminuindo aqui e, portanto, sabemos que a derivada neste ponto será negativa. Agora, a partir deste esboço da linha tangente, parece que se corrermos sobre 1, desceremos 4 e assim podemos estimar isso,

[ require bbox [2pt, border: 1px sólido preto] < direita) = - 4 >> ]

b (a = 3 ) Mostrar todas as etapas Ocultar todas as etapas
Iniciar solução

Dado que uma das interpretações da derivada é que ela é a inclinação da reta tangente à função em um determinado ponto. Vamos primeiro esboçar em uma linha tangente no ponto.

A função está claramente aumentando aqui e, portanto, sabemos que a derivada neste ponto será positiva. Agora, a partir deste esboço da linha tangente, parece que se corrermos sobre 1, subiremos 2 e assim podemos estimar isso,


3.15: Exercícios de Derivados de Trig Inverso

Para os problemas 1 - 3, execute cada um dos seguintes.

  1. Encontre (y ') resolvendo a equação para y e diferenciando diretamente.
  2. Encontre (y ') por diferenciação implícita.
  3. Verifique se as derivadas em (a) e (b) são as mesmas.

Para os problemas 4 - 9, encontre (y ') por diferenciação implícita.

  1. (2 + 4 - y = ) Solução
  2. (7 + sin left (<3x> right) = 12 - ) Solução
  3. (<< bf> ^ x> - sin left (y right) = x ) Solução
  4. (4- 2x = + 4) Solução
  5. ( cos left (<+ 2y> right) + x , << bf>^<>>> = 1 ) Solução
  6. ( tan left (<> direita) = 3x + ) Solução

Para os problemas 10 e 11, encontre a equação da reta tangente no ponto dado.

Para os problemas 12 e 13, suponha que (x = x left (t right) ), (y = y left (t right) ) e (z = z left (t right) ) e diferencie a equação dada em relação a t.


Quando integramos para obter as Funções Trigonométricas Inversas de volta, usamos truques para fazer com que as funções se pareçam com uma das formas trigonométricas inversas e geralmente usamos Integração de substituição U para realizar a integral.

Aqui estão as fórmulas de integração envolvendo as Funções de Trig Inverso, observe que só temos fórmulas para três das funções trigonométricas inversas confie em mim, funciona assim!

À direita de cada fórmula, incluí uma fórmula de atalho que você pode querer aprender, no entanto, se você apenas souber as primeiras fórmulas à esquerda (que se assemelham às fórmulas de diferenciação), você será capaz de usar U- substituição para resolver os problemas.

Integrais que envolvem as funções de gatilho inverso

Muitas vezes, para obter a integral da forma correta, temos que brincar com a função para obter um “ 1 ”No denominador, seja na raiz quadrada ou sem ele (para bronzeado e berço) Para fazer isso, basta pegar o maior fator comum (GCF) da saída constante, então um “ 1 ”Permanecerá, veremos isso nos problemas abaixo. Às vezes, também teremos que Complete o quadrado, como mostrado abaixo.


3.15: Exercícios de Derivados de Trig Inverso

Neste artigo, vamos explorar a aplicação da diferenciação implícita para encontrar o derivada de funções trigonométricas inversas. Mas antes de seguir em frente, vamos revisar o conceito de diferenciação implícita e trigonometria inversa.

Trigonometria Inversa

As funções trigonométricas inversas são as funções inversas das razões trigonométricas, isto é, sen, cos, tan, cot, sec, cosec. Essas funções são amplamente utilizadas em campos como física, matemática, engenharia e outros campos de pesquisa. Assim como adição e subtração são inversas uma da outra, o mesmo é verdadeiro para o inverso das funções trigonométricas.

pecado θ = x

⇒ θ = sem −1 x

Representação de funções trigonométricas inversas

Eles são representados adicionando arco no prefixo ou adicionando -1 à potência.

O seno inverso pode ser escrito de duas maneiras:


Observação: Não confunda sin -1 x com (sin x) -1. Eles são diferentes. Escrever sin -1 x é uma maneira de escrever seno inverso, enquanto (sin x) -1 significa 1 / sin x.

Diferenciação implícita

A diferenciação implícita é um método que faz uso da regra da cadeia para diferenciar funções definidas implicitamente. Geralmente não é fácil encontrar a função explicitamente e, em seguida, diferenciá-la. Em vez disso, podemos diferenciar totalmente f (x, y) e, em seguida, resolver o resto da equação para encontrar o valor de f '(x). Mesmo quando é possível resolver explicitamente a equação original, a fórmula resultante da diferenciação total é, em geral, muito mais simples e fácil de usar. Vamos diferenciar algumas das funções trigonométricas inversas.

Exemplo 1: Diferencie sin -1 (x)?

Deixar,

y = pecado −1 (x)

Tirar seno em ambos os lados da equação dá,



Pela propriedade da trigonometria inversa, sabemos,

Agora diferenciando os dois lados em relação a x,

Podemos simplificar mais usando a observação abaixo:

Substituindo o valor, obtemos



Exemplo 2: Diferencie cos -1 (x)?

Deixar,

y = cos −1 (x)

Tomando cosseno em ambos os lados da equação dá,

Pela propriedade da trigonometria inversa, sabemos,

Agora diferenciando os dois lados em relação a x,



Podemos simplificar mais usando a observação abaixo:

Substituindo o valor, obtemos

Exemplo 3: Diferencie tan -1 (x)?


y = tan −1 (x)

Pegar bronzeado em ambos os lados da equação dá,

Pela propriedade da trigonometria inversa, sabemos,

Agora diferenciando os dois lados em relação a x,

Podemos simplificar mais usando a observação abaixo:



Substituindo o valor, obtemos

Alguns exemplos avançados de diferenciação de funções de trigonometria inversa

Exemplo 1: y = cos -1 (-2x 2). Encontre dy / dx em x = 1/2?

Método 1 (usando diferenciação implícita)

Dado,

y = cos −1 (−2x 2 )

⇒ cos y = −2x 2

Diferenciando ambos os lados com x

Simplificando

Colocando o valor obtido, obtemos,

Método 2 (usando a regra da cadeia como conhecemos a diferenciação de arccos x)

Dado,

y = cos −1 (−2x 2 )

Diferenciando ambos os lados com x



Exemplo 2: diferenciar ?

Deixar,

Diferenciando ambos os lados com x


3.15: Exercícios de Derivados de Trig Inverso

Vamos tomar x = sinθ, então θ = sin -1 x

Substitua o valor de x na equação presente em R.H.S.

A equação se torna sen -1 (3sinθ & # 8211 3sin 3 θ)

Nós sabemos, sin3θ = 3sinθ & # 8211 4sin 3 θ



Então, sen -1 (3sinθ & # 8211 3sin 3 θ) = sin -1 (sin3θ)

Pela propriedade da trigonometria inversa sabemos, sin (sin -1 (θ)) = θ

Então, sen -1 (sen3θ) = 3θ

E sabemos que θ = sin -1 x

Então, 3θ = 3sin -1 x = L.H.S

Pergunta 2. 3cos -1 x = cos -1 (4x 3 & # 8211 3x), x∈ [-1/2, 1]

Vamos tomar x = cosθ, então θ = cos -1 x

Substitua o valor de x na equação presente em R.H.S.



A equação se torna cos -1 (4cos 3 θ & # 8211 3cosθ)

Nós sabemos, cos3θ = 4cos 3 θ & # 8211 3cosθ

Então, cos -1 (4cos 3 θ & # 8211 3cosθ) = cos -1 (cos3θ)

Pela propriedade da trigonometria inversa sabemos, cos (cos -1 (θ)) = θ

Então, cos -1 (cos3θ) = 3θ

E sabemos θ = cos -1 x

Então, 3θ = 3cos -1 x = L.H.S

Questão 3.

Nós sabemos,

Agora coloque x = 2/11 ey = 7/24



Então,

= R.H.S

Questão 4.

Temos que escrever primeiro 2tan -1 x em termos de tan -1 x

Sabemos que 2tan -1 x =



Coloque x = 1/2 na fórmula acima

Então,

Agora podemos substituir com

Assim, a equação em L.H.S torna-se

Nós sabemos ,

Então,



= R.H.S

Escreva as seguintes funções nas formas mais simples:

Questão 5.

Vamos supor que x = tanθ, então θ = tan -1 x

Substitua o valor de x em questão.

Então a equação se torna

Nós sabemos que, 1 + tan 2 θ = sec 2 θ



Substituindo 1 + tan 2 θ com sec 2 θ na equação

Então a equação se torna,

Sabemos, tanθ = sinθ / cosθ e sec = 1 / cosθ

Substituindo o valor de tanθ e secθ em

Nós sabemos, 1 & # 8211 cosθ = 2sin 2 θ / 2 e sinθ = 2sinθ / 2cosθ / 2

Assim, as equações após substituir o valor acima tornam-se



Nós sabemos

= θ / 2 [tan -1 (tanθ) = θ]

= 1/2 tan -1 x [θ = tan -1 x]

Questão 6. , | x | > 1

Vamos supor que x = cosecθ, então θ = cosec -1 x

Substitua o valor de x em questão por

Sabemos que, 1 + cot 2 θ = cosec 2 θ, então cosec 2 θ = 1 & # 8211 cot 2 θ



= tan -1 (tanθ) [1 / cotθ = tanθ]

= θ [tan -1 (tanθ) = θ]

= cosec −1 x [θ = cosec −1 x]

= π / 2 - seg −1 x [cosec −1 x + seg −1 x = π / 2]

Questão 7.

Nós sabemos, 1 & # 8211 cosx = 2sin 2 x / 2 e 1 + cosx = 2cos 2 x / 2

Substituindo a fórmula acima em questão

= tan -1 (tanx / 2)

= x / 2 [tan -1 (tanθ) = θ]

Questão 8.

Divida o numerador e o denominador por

Nós sabemos,



Isso também pode ser escrito como – (1)

Nós sabemos – (2)

Ao comparar as equações (1) e (2), podemos dizer que x = 1 ey = tan -1 x

Então podemos dizer que

= π / 4 & # 8211 tan −1 x [tan −1 1 = π / 4]

Questão 9.

Vamos supor que x = asinθ, então θ = sin -1 x / a

Substitua o valor de x em questão.

Pegando um 2 comum do denominador

Sabemos que, sen 2 θ + cos 2 θ = 1, então 1 & # 8211 sen 2 θ = cos 2 θ

= tan -1 (tanθ) [sinθ / cosθ = tanθ]

= θ

= sin -1 x / a

Questão 10.

Vamos supor que x = atanθ, então θ = tan -1 x / a

Substitua o valor de x em questão

Pegando um 3 comum do numerador e denominador

Nós sabemos

Então,

= 3θ [tan -1 (tanθ) = θ]

= 3tan -1 x / a


PERGUNTAS DE PRÁTICA DE DIFERENCIAÇÃO COM RESPOSTAS

Temos que usar a regra do produto para encontrar a derivada.

Diferencie y = cos x - 2 tan x

Diferencie g (t) = t 3 cos t

Temos que usar a regra do produto para encontrar a derivada.

f ('x) & # xa0 = & # xa0 t 3 (-sin t) + cos t (3t 2)

f ('x) & # xa0 = & # xa0 -t 3 sen t + 3t 2 custo

= & # xa0 t 2 (3 cos t - t sen t)

Diferencie g (t) = 4 seg t + tan t

g '(t) & # xa0 = & # xa0 4 seg t tan t + seg 2 t

Diferencie y = e x sin x

Diferencie y & # xa0 = & # xa0 tan x / x

dy / dx & # xa0 = & # xa0 (x seg 2 & # xa0x & # xa0 - tan x (1)) / x 2

Diferencie y & # xa0 = & # xa0 sin x / (1 + cos x)

dy / dx & # xa0 = & # xa0 ((1 + cos x) cos x - sen x (-sin x)) / (1 + cos x) 2

dy / dx & # xa0 = & # xa0 (cos x + cos 2 x + sen 2 x) / (1 + cos x) 2

dy / dx & # xa0 = & # xa0 (1 + cos x) / (1 + cos x) 2

Diferencie y & # xa0 = & # xa0 x / (sin x + cos x)

v = (sin x + cos x) === & gt v '& # xa0 = & # xa0 cos x - sen x

dy / dx & # xa0 = & # xa0 [(senx + cosx) (1) -x (cosx-senx)] / (sen x + cosx) 2

dy / dx & # xa0 = & # xa0 [senx + cosx - x cosx + xsinx)] / (sen x + cosx) 2

dy / dx & # xa0 = & # xa0 [(1 + x) senx + (1 - x) cosx] / (sen x + cosx) 2

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3.15: Exercícios de Derivados de Trig Inverso

(i) Sin -1 (- √3 / 2)

(ii) Sin -1 (cos 2π / 3)

(iii) Sin -1 (-√3 & # 8211 1/2)

(iv) Sin -1 (√3 + 1 / 2√2)

(v) Sin -1 (cos 3π / 4)

(vi) Sin -1 (tan 5π / 4)

(eu) Sin -1 (-√3 / 2)

= Sin -1 [sin (- π / 3)]

= & # 8211 π / 3 Resp.

(ii) Sin -1 (cos 2π / 3)

= Sin -1 (- 1/2)

= Sin -1 (- π / 6)

= & # 8211 π / 6 Resp.

(iii) Sin -1 (√3 & # 8211 1/2 2)

= Sin -1 (sin π / 12)

= π / 12 Resp.

(iv) Sin -1 (√3 + 1/2 √2)

= Sin -1 (5π / 12)

= 5π / 12 Resp.

(v) Sin -1 (cos 3π / 4)

= Sin -1 (- √2 / 2)

= [Sin -1 (- π / 4)]



= & # 8211 π / 4 Resp.

(vi) Sin -1 (tan 5π / 4)

= Sin -1 (1)

= Sin -1 [sin (π / 2)]

= π / 2 Resp.

Questão 2.

(i) Sin -1 1/2 -2 Sin -1 1 / √2

(eu) Sin -1 1/2 -2 Sin -1 1 / √2

= Sin -1 1/2 & # 8211 Sin -1 [2 x 1 / √2 √1-]



= Sin -1 1/2 & # 8211 Sin -1 (1)

= π / 6 & # 8211 π / 2

= π / 3 Resp.

(ii) Sin -1

= Sin -1

= Sin -1 <1/2>

= Sin -1

= π / 6 Resp.

Questão 3. Encontre o domínio de cada uma das seguintes funções:

(i) f (x) = Sin -1 x2

(ii) f (x) = Sin -1 x + sinx

(iii) f (x) = Sin -1 √x 2 & # 8211 1

(iv) f (x) = Sin -1 x + Sin -1 2x

(eu) Domínio de Sin-1 encontra-se entre o intervalo [ -1 , 1 ]

e x 2 ∈ [0, 1] já que x 2 não pode ser negativo.

Então, x ∈ [-1, 1]

Portanto, o domínio da função f (x) = [-1, 1] Resp.

(ii) Seja f (x) = g (x) + h (x), onde g (x) = Sin -1 x eh (x) = sinx respectivamente.

Portanto, o domínio de f (x) é dado pela interseção do domínio g (x) e h (x).

O domínio de g (x) = [-1, 1]



O domínio de h (x) = [& # 8211 ∞, ∞]

Assim, a interação de g (x) eh (x) é [-1, 1]

Portanto, o domínio de f (x) é [-1, 1] Resp.

(iii) Como sabemos, o domínio de Sin -1 x é [-1, 1]

Portanto, o domínio de Sin -1 √x 2 & # 8211 1 também estará no intervalo [-1, 1]

:. x 2 & # 8211 1 ∈ [0, 1] como raiz quadrada não pode ser negativo.

=> x 2 ∈ [1, 2]

=> x ∈ [& # 8211 √2, -1] U [1, √2]

Portanto, o domínio da função f (x) = [& # 8211 √2, -1] U [1, √2] Resp.

(4) Seja f (x) = g (x) + h (x), onde g (x) = Sin -1 x x eh (x) = Sin -1 2x

Portanto, o domínio de f (x) será dado pela interseção de g (x) eh (x).

o domínio de g (x) = [-1, 1]

lly, o domínio de h (x) = [-1/2, 1/2]

g (x) ∩ h (x) = [-1, 1] ∩ [-1/2, 1/2]

Portanto, o domínio da função f (x) = [- 1/2, 1/2] Resp.

Questão 4. Se sin -1 x + sin -1 y + sin -1 z + sin -1 t = 2π, encontre o valor de x 2 + y 2 + z 2 + t 2.

Como já sabemos, Alcance de sen -1 é [& # 8211 π / 2, π / 2]

Dado: (sin -1 x) + (sin -1 y) + (sin -1 y) + (sin -1 t) = 2 π

Então, cada um assume o valor de π / 2

: x = 1, y = 1, z = 1 & t = 1



Portanto, x 2 + y 2 + z 2 + t 2 = 1+ 1 + 1 + 1 = 4 Resp.

Questão 5. Se (sin -1 x) 2 + (sin -1 y) 2 + (sin -1 y) 2 = 3π2 / 4, encontre o valor de x 2 + y 2 + z 2.

Como já sabemos, o intervalo de sin-1 é [& # 8211 π / 2, π / 2]

Dado: (sin -1 x) 2 + (sin -1 y) 2 + (sin -1 y) 2 = 3π2 / 4

:. cada um assume o valor de π / 2

x = 1, y = 1 & z = 1.

Portanto, x 2 + y 2 + z 2 = 1 + 1 + 1 = 3 Resp.


Assista o vídeo: Derivada das Funções Trigonométricas Inversas - Cálculo 1 #23 (Outubro 2021).