Artigos

4.1: Prelúdio para Aplicações de Derivados


Resumo: O lançamento de um foguete envolve duas quantidades relacionadas que mudam com o tempo. Além disso, examinamos como os derivados são usados ​​para avaliar limites complicados, para aproximar as raízes de f

Um foguete está sendo lançado do solo e câmeras estão gravando o evento. Uma câmera de vídeo está localizada no solo a uma certa distância da plataforma de lançamento. Com que taxa o ângulo de inclinação (o ângulo que a câmera faz com o solo) deve mudar para permitir que a câmera registre o vôo do foguete conforme ele se dirige para cima? (Veja [link].)

Figura ( PageIndex {1} ): Enquanto um foguete está sendo lançado, a que taxa o ângulo de uma câmera de vídeo deve mudar para continuar a visualizá-lo? (crédito: modificação do trabalho de Steve Jurvetson, Wikimedia Commons)

Um lançamento de foguete envolve duas quantidades relacionadas que mudam com o tempo. Além disso, examinamos como as derivadas são usadas para avaliar limites complicados, para aproximar raízes de funções e para fornecer gráficos de funções precisos.

Contribuidores

  • Gilbert Strang (MIT) e Edwin “Jed” Herman (Harvey Mudd) com muitos autores contribuintes. Este conteúdo da OpenStax é licenciado com uma licença CC-BY-SA-NC 4.0. Baixe gratuitamente em http://cnx.org.


4.1: Prelúdio para Aplicações de Derivados

Na seção final deste capítulo, vamos dar uma olhada em algumas aplicações de derivados no mundo dos negócios. Em sua maioria, esses são aplicativos que já vimos, mas agora serão abordados com um olhar voltado para o mundo dos negócios.

Vamos começar com alguns problemas de otimização. Já vimos mais do que alguns deles nas seções anteriores, então realmente não há nada de novo aqui, exceto pelo fato de que eles estão saindo do mundo dos negócios.

Quantos apartamentos devem alugar para maximizar o lucro?

Tudo o que realmente estamos sendo solicitados a fazer aqui é maximizar o lucro sujeito à restrição de que (x ) deve estar no intervalo (0 le x le 250 ).

Primeiro, precisaremos da derivada e do (s) ponto (s) crítico (s) que caem no intervalo (0 le x le 250 ).

[P ' left (x right) = - 16x + 3200 hspace <0.5in> Rightarrow hspace <0.25in> 3200 - 16x = 0 hspace <0.25in>, Rightarrow hspace <0.25in> x = frac <<3200>> <<16>> = 200 ]

Uma vez que a função de lucro é contínua e temos um intervalo com limites finitos, podemos encontrar o valor máximo simplesmente inserindo o único ponto crítico que temos (que muito bem na faixa de respostas aceitáveis) e os pontos finais da faixa.

[P left (0 right) = - 80.000 hspace <0.5in> P left (<200> right) = 240.000 hspace <0.5in> P left (<250> right) = 220.000 ]

Portanto, parece que eles vão gerar mais lucro se alugarem apenas 200 dos apartamentos em vez de todos os 250.

Observe que, com esses problemas, você não deve apenas presumir que alugar todos os apartamentos gerará mais lucro. Não se esqueça que existem todos os tipos de custos de manutenção e que quanto mais inquilinos alugarem apartamentos, maiores serão os custos de manutenção. Com esta análise, podemos ver que, pelo menos para este complexo, algo provavelmente precisa ser feito para obter o lucro máximo mais para a capacidade total. Esse tipo de análise pode ajudá-los a determinar exatamente o que precisam fazer para atingir esse objetivo, seja aumentar o aluguel ou encontrar uma maneira de reduzir os custos de manutenção.

Observe também que, como a maioria dos complexos de apartamentos tem pelo menos algumas unidades vazias depois que um inquilino se muda, é possível que eles realmente gostariam que o lucro máximo caísse ligeiramente abaixo da capacidade total para levar isso em consideração. Mais uma vez, outra razão para não presumir que o lucro máximo sempre estará no limite superior da faixa.

Vamos dar uma olhada rápida em outro problema nesse sentido.

Quantos widgets por dia eles devem produzir para minimizar os custos de produção?

Aqui, precisamos minimizar o custo sujeito à restrição de que (x ) deve estar no intervalo (0 le x le 60.000 ). Observe que, neste caso, a função de custo não é contínua no endpoint esquerdo e, portanto, não seremos capazes de apenas conectar pontos críticos e endpoints na função de custo para encontrar o valor mínimo.

Vamos obter o primeiro par de derivados da função de custo.

Os pontos críticos da função de custo são,

Agora, claramente o valor negativo não faz nenhum sentido neste cenário e, portanto, temos um único ponto crítico na gama de soluções possíveis: 50.000.

Agora, enquanto (x & gt 0 ) a segunda derivada é positiva e, portanto, no intervalo de soluções possíveis, a função é sempre côncava para cima e, portanto, produzir 50.000 widgets renderá o custo de produção mínimo absoluto.

Lembre-se da seção Otimização que discutimos como podemos usar a segunda derivada para identificar os extremos absolutos, embora tudo o que realmente obtivemos dela sejam extremos relativos.

Agora, não devemos sair dos dois exemplos anteriores com a ideia de que os únicos aplicativos para negócios são apenas aplicativos que já vimos, mas com um "toque" de negócios para eles.

Existem algumas aplicações de cálculo muito reais no mundo dos negócios e, em algum nível, esse é o ponto desta seção. Observe que para realmente aprender esses aplicativos e todas as suas complexidades, você precisará fazer um curso de negócios, dois ou três. Nesta seção, vamos apenas arranhar a superfície e ter uma ideia de algumas das aplicações reais do cálculo no mundo dos negócios e algumas das principais palavras "da moda" nos aplicativos.

Vamos começar examinando o exemplo a seguir.

Responda a cada uma das seguintes perguntas.

  1. Qual é o custo para produzir o 301º widget?
  2. Qual é a taxa de variação do custo em (x = 300 )?

Não podemos apenas calcular (C left (<301> right) ), pois esse é o custo de produção de 301 widgets enquanto procuramos o custo real de produção do 301º widget. Em outras palavras, o que estamos procurando aqui é,

[C left (<301> right) - C left (<300> right) = 97.695,91 - 97.400,00 = 295,91 ]

Portanto, o custo de produção do 301º widget é de $ 295,91.

Nesta parte, tudo o que precisamos fazer é obter a derivada e depois calcular (C ' left (<300> right) ).

[C ' left (x right) = 350 - 0,18x hspace <0,5in> Rightarrow hspace <0,5in> C' left (<300> right) = 296,00 ]

Ok, então o que aprendemos neste exemplo? O custo para produzir um item adicional é chamado de custo marginal e como vimos no exemplo acima, o custo marginal é aproximado pela taxa de variação do função de custo, (C left (x right) ). Então, nós definimos o função de custo marginal para ser a derivada da função de custo ou, (C ' left (x right) ). Vamos trabalhar um exemplo rápido disso.

Qual é o custo marginal quando (x = 200 ), (x = 300 ) e (x = 400 )?

Então, precisamos da derivada e, em seguida, precisamos calcular alguns valores da derivada.

[começarC ' left (x right) & = - 10 - 0,02x + 0,0006 C ' left (<200> right) & = 10 hspace <0.5in> C' left (<300> right) = 38 hspace <0.5in> C ' left (<400> direita) = 78 fim]

Portanto, para produzir o 201º widget, ele custará aproximadamente $ 10. Para produzir o 301º widget custará cerca de US $ 38. Finalmente, para produzir o 401º widget, custará aproximadamente $ 78.

Observe que é importante notar que (C ' left (n right) ) é o custo aproximado de produção do (< left ( direita) ^ << mbox>>> ) item e NÃO o enésimo item, como pode parecer implicar!

Vamos agora voltar nossa atenção para o custo médio função. Se (C left (x right) ) é a função de custo para algum item, então a função de custo médio é,

Aqui está o esboço da função de custo médio do Exemplo 4 acima.

Podemos ver a partir disso que a função de custo médio tem um mínimo absoluto. Também podemos ver que este mínimo absoluto ocorrerá em um ponto crítico quando ( overline C ' left (x right) = 0 ) uma vez que claramente terá uma tangente horizontal lá.

Agora, poderíamos obter a função de custo médio, diferenciá-la e, então, encontrar o ponto crítico. No entanto, esta função de custo médio é bastante típica para funções de custo médio, então vamos diferenciar a fórmula geral acima usando a regra de quociente e ver o que temos.

Agora, como observamos acima, o mínimo absoluto ocorrerá quando ( overline C ' left (x right) = 0 ) e isso, por sua vez, ocorrerá quando,

[x , C ' left (x right) - C left (x right) = 0 hspace <0.5in> Rightarrow hspace <0.5in> C' left (x right) = frac <> = overline C left (x right) ]

Assim, podemos ver que parece que para uma função de custo médio típica obteremos o custo médio mínimo quando o custo marginal for igual ao custo médio.

Devemos observar, no entanto, que nem todas as funções de custo médio serão assim e, portanto, você não deve presumir que esse será sempre o caso.

Agora vamos passar para as funções de receita e lucro. Primeiro, vamos supor que o preço pelo qual algum item pode ser vendido se houver uma demanda por (x ) unidades seja dado por (p left (x right) ). Esta função é normalmente chamada de função de demanda ou o função de preço.

O função de receita é quanto dinheiro é ganho com a venda de (x ) itens e é,

[R left (x right) = x , p left (x right) ]

O função de lucro é então,

[P left (x right) = R left (x right) - C left (x right) = x , p left (x right) - C left (x right) ]

Tenha cuidado para não confundir a função de demanda, (p left (x right) ) - minúscula (p ), e a função de lucro, (P left (x right) ) - maiúscula (P ). Notação ruim talvez, mas aí está.

finalmente, o função de receita marginal é (R ' left (x right) ) e o função de lucro marginal é (P ' left (x right) ) e representam a receita e o lucro, respectivamente, se mais uma unidade for vendida.

Vamos dar uma rápida olhada em um exemplo de como usá-los.

e a função de demanda para os widgets é dada por,

[p esquerda (x direita) = 200 - 0,005x hspace <0,5in> 0 le x le 10000 ]

Determine o custo marginal, receita marginal e lucro marginal quando 2500 widgets são vendidos e quando 7500 widgets são vendidos. Suponha que a empresa venda exatamente o que produz.

Ok, a primeira coisa que precisamos fazer é obter todas as várias funções de que precisamos. Aqui estão as funções de receita e lucro.

Agora, todas as funções marginais são,

[começarC ' left (x right) & = 100 - 0,06x + 0,000012 R ' left (x right) & = 200 - 0,01x P' left (x right) & = 100 + 0,05x - 0,000012fim]

As funções marginais quando 2500 widgets são vendidos são,

[C ' left (<2500> right) = 25 hspace <0.5in> R' left (<2500> right) = 175 hspace <0.5in> P ' left (<2500> right) ) = 150 ]

As funções marginais quando 7500 são vendidos são,

[C ' left (<7500> right) = 325 hspace <0.5in> R' left (<7500> right) = 125 hspace <0.5in> P ' left (<7500> right) ) = - 200 ]

Assim, ao produzir e vender o 2501º widget, custará à empresa aproximadamente $ 25 para produzir o widget e eles verão $ 175 adicionais em receita e $ 150 em lucro.

Por outro lado, quando eles produzirem e venderem o 7501º widget, ele custará US $ 325 adicionais e eles receberão US $ 125 extras em receita, mas perderão US $ 200 em lucro.

Encerraremos esta seção com uma breve discussão sobre como maximizar o lucro. Se assumirmos que o lucro máximo ocorrerá em um ponto crítico tal que (P ' left (x right) = 0 ), podemos dizer o seguinte,

[P ' left (x right) = R' left (x right) - C ' left (x right) = 0 hspace <0.5in> Rightarrow hspace <0.5in> R' esquerda (x direita) = C ' esquerda (x direita) ]

Saberemos então que este será um máximo também deveríamos saber que o lucro sempre foi côncavo para baixo ou,

[P '' left (x right) = R '' left (x right) - C '' left (x right) & lt 0 hspace <0.5in> Rightarrow hspace <0.5in> R '' esquerda (x direita) & lt C '' esquerda (x direita) ]

Portanto, se sabemos que (R '' left (x right) & lt C '' left (x right) ), então maximizaremos o lucro se (R ' left (x right) = C ' left (x right) ) ou se o custo marginal é igual à receita marginal.

Nesta seção, demos uma breve olhada em algumas das ideias do mundo dos negócios que envolvem cálculo. Novamente, é preciso enfatizar, entretanto, que há muito mais coisas acontecendo aqui e para realmente ver como essas aplicações são feitas, você realmente deve fazer alguns cursos de negócios. O objetivo desta seção era apenas dar algumas idéias sobre como o cálculo é usado em um campo diferente das ciências.


2.1: Prelúdio para Aplicações de Derivados

Um foguete está sendo lançado do solo e câmeras estão gravando o evento. Uma câmera de vídeo está localizada no solo a uma certa distância da plataforma de lançamento. Com que taxa o ângulo de inclinação (o ângulo que a câmera faz com o solo) deve mudar para permitir que a câmera registre o vôo do foguete conforme ele se dirige para cima?

Figura ( PageIndex <1> ): Conforme um foguete está sendo lançado, a que taxa o ângulo de uma câmera de vídeo deve mudar para continuar visualizando o foguete? (crédito: modificação do trabalho de Steve Jurvetson, Wikimedia Commons)

Um lançamento de foguete envolve duas quantidades relacionadas que mudam com o tempo. Ser capaz de resolver esse tipo de problema é apenas uma das aplicações das derivadas apresentadas neste capítulo. Também examinamos como as derivadas são usadas para encontrar os valores máximos e mínimos das funções. Como resultado, seremos capazes de resolver problemas de otimização aplicada, como maximizar a receita e minimizar a área de superfície. Além disso, examinamos como as derivadas são usadas para avaliar limites complicados, para aproximar raízes de funções e para fornecer gráficos de funções precisos.


2.1: Prelúdio para Aplicações de Derivados

Um foguete está sendo lançado do solo e câmeras estão gravando o evento. Uma câmera de vídeo está localizada no solo a uma certa distância da plataforma de lançamento. Com que taxa o ângulo de inclinação (o ângulo que a câmera faz com o solo) deve mudar para permitir que a câmera registre o vôo do foguete conforme ele se dirige para cima?

Figura ( PageIndex <1> ): Conforme um foguete está sendo lançado, a que taxa o ângulo de uma câmera de vídeo deve mudar para continuar visualizando o foguete? (crédito: modificação do trabalho de Steve Jurvetson, Wikimedia Commons)

Um lançamento de foguete envolve duas quantidades relacionadas que mudam com o tempo. Ser capaz de resolver esse tipo de problema é apenas uma das aplicações das derivadas apresentadas neste capítulo. Também examinamos como as derivadas são usadas para encontrar os valores máximos e mínimos das funções. Como resultado, seremos capazes de resolver problemas de otimização aplicada, como maximizar a receita e minimizar a área de superfície. Além disso, examinamos como as derivadas são usadas para avaliar limites complicados, para aproximar raízes de funções e para fornecer gráficos de funções precisos.


Cálculo de ensino

A Unidade 4 cobre taxas de mudança em problemas de movimento e outros contextos, problemas de taxa relacionados, aproximação linear e regra de L & # 8217Hospital & # 8217s. (CED - 2019 p. 82 e # 8211 90). Esses tópicos respondem por cerca de 10 & # 8211 15% das questões do exame AB e 6 & # 8211 9% das questões BC.

Você pode querer considerar o ensino da Unidade 5 (Aplicações Analíticas de Diferenciação) antes da Unidade 4. As notas sobre a Unidade 5 serão publicadas na próxima terça-feira, 29 de setembro de 2020

Tópicos 4.1 e # 8211 4.6

Tópico 4.1 Interpretando o significado da derivada no contexto Os alunos aprendem o significado da derivada em situações que envolvem taxas de mudança.

Tópico 4.2 Movimento Linear As conexões entre posição, velocidade, velocidade e aceleração. Este tópico pode funcionar melhor após os problemas de gráficos na Unidade 5, uma vez que muitas das idéias são as mesmas. Veja os problemas de movimento: mesma coisa, contexto diferente

Tópico 4.3 Taxas de mudança em contextos diferentes de movimento Outras aplicações

Tópico 4.4 Introdução às taxas relacionadas Usando a regra da cadeia

Tópico 4.5 Resolvendo problemas de taxas relacionadas

Tópico 4.6 Valores aproximados de uma função usando linearidade local e linearização A aproximação da linha tangente

Tópico 4.7 Usando a regra L & # 8217Hospital & # 8217s para determinar limites de formas indeterminadas. Formas indeterminadas do tipo e. (Outros formulários podem ser incluídos, mas apenas esses dois são testados nos exames AP.)

Os tópicos 4.1 e 4.3 estão incluídos nos outros tópicos, o tópico 4.2 pode levar alguns dias, os tópicos 4.4 e # 8211 4.5 são desafiadores para muitos alunos e podem levar 4 e # 8211 5 aulas, 4.6 e 4.7 duas aulas cada. O tempo sugerido é de 10 -11 classes para AB e 6 -7 para BC. de 40 e # 8211 períodos de aula de 50 minutos, isso inclui tempo para testes etc.

Esta é uma nova postagem e atualização da terceira de uma série de postagens do ano passado. Ele contém links para postagens neste blog sobre a diferenciação de funções compostas, implícitas e inversas para sua referência no planejamento. Outra postagem atualizada sobre o CED 2019 virá ao longo do ano, esperançosamente, algumas semanas antes de você entrar no assunto.


Exercícios 4.1

Termos e Conceitos

T / F: A diferenciação implícita é freqüentemente usada ao resolver problemas do tipo “taxas relacionadas”.

T / F: Um estudo das taxas relacionadas faz parte do treinamento padrão do policial.

Problemas

A área de um quadrado está aumentando a uma taxa de 42 pés 2 / min. Com que rapidez o comprimento lateral está aumentando quando o comprimento é de 7 pés?

Considere a situação do tráfego apresentada no Exemplo 4.1.3. Quão rápido o "outro carro" está viajando se o oficial e o outro carro estão a cada 1/2 milha da interseção, o outro carro está viajando para oeste, o oficial está viajando para o norte a 50 mph e a leitura do radar é - 80 mph ?

Uma aeronave F-22 está voando a 500 mph com uma elevação de 10.000 pés em uma trajetória em linha reta que o levará diretamente sobre um canhão antiaéreo.


Movimento ao longo de uma linha

Outro uso da derivada é analisar o movimento ao longo de uma linha. Descrevemos a velocidade como a taxa de mudança de posição. Se tomarmos a derivada da velocidade, podemos encontrar o aceleração, ou a taxa de variação da velocidade. Também é importante introduzir a ideia de Rapidez, que é a magnitude da velocidade. Assim, podemos apresentar as seguintes definições matemáticas.

Definição

Deixar ser uma função que dá a posição de um objeto no momento .

A velocidade do objeto no tempo É dado por .

O Rapidez do objeto no tempo É dado por .

O aceleração do objeto em É dado por .

Comparando a velocidade instantânea e a velocidade média

Uma bola é lançada de uma altura de 64 pés. Sua altura acima do solo (em pés) segundos depois é dado por .

  1. Qual é a velocidade instantânea da bola ao atingir o solo?
  2. Qual é a velocidade média durante sua queda?

Solução

A primeira coisa a fazer é determinar quanto tempo a bola leva para chegar ao solo. Para fazer isso, defina . Resolvendo , Nós temos , por isso leva 2 segundos para a bola chegar ao solo.

  1. A velocidade instantânea da bola ao atingir o solo é . Desde eu obtemos ft / s.
  2. A velocidade média da bola durante sua queda é

ft / s.

Interpretando a relação entre e

Uma partícula se move ao longo de um eixo de coordenadas na direção positiva para a direita. Sua posição no momento É dado por . Encontrar e e use esses valores para responder às seguintes perguntas.

  1. A partícula está se movendo da esquerda para a direita ou da direita para a esquerda no momento />?
  2. A partícula está acelerando ou diminuindo no tempo />?

Solução

Comece encontrando e .

e .

Avaliando essas funções em , nós obtemos e .

  1. Porque , a partícula está se movendo da direita para a esquerda.
  2. Porque e , a velocidade e a aceleração estão agindo em direções opostas. Em outras palavras, a partícula está sendo acelerada na direção oposta à direção em que está viajando, causando diminuir. A partícula está diminuindo a velocidade.

Posição e velocidade

A posição de uma partícula se movendo ao longo de um eixo de coordenadas é dada por .

  1. Encontrar .
  2. A que horas a partícula está em repouso?
  3. Em que intervalos de tempo a partícula está se movendo da esquerda para a direita? Da direita para esquerda?
  4. Use as informações obtidas para esboçar o caminho da partícula ao longo de um eixo de coordenadas.

Solução

.

O caminho da partícula pode ser determinado analisando .

Uma partícula se move ao longo de um eixo de coordenadas. Sua posição no momento É dado por . A partícula está se movendo da direita para a esquerda ou da esquerda para a direita no momento ?

Solução

Encontrar e olhe para o sinal.


4.1: Prelúdio para Aplicações de Derivados

O objetivo desta seção é nos lembrar de uma das aplicações mais importantes dos derivados. Esse é o fato de que (f ' left (x right) ) representa a taxa de variação de (f left (x right) ). Este é um aplicativo que vimos repetidamente no capítulo anterior. Quase todas as seções do capítulo anterior continham pelo menos um problema relacionado à aplicação de derivados. Embora esta aplicação surja ocasionalmente neste capítulo, vamos nos concentrar mais em outras aplicações neste capítulo.

Portanto, para ter certeza de que não nos esquecemos desta aplicação, aqui está um breve conjunto de exemplos que se concentram na aplicação da taxa de variação dos derivados. Observe que o objetivo desses exemplos é lembrá-lo do material abordado no capítulo anterior e não ensiná-lo a resolver esses tipos de problemas. Se você não se lembra de como fazer esse tipo de exemplo, você precisará voltar e revisar o capítulo anterior.

Primeiro, precisamos tirar a derivada da função.

[g ' left (x right) = - 6 + 20 sin left (<2x> right) ]

Agora, a função não mudará se a taxa de mudança for zero e, portanto, para responder a essa pergunta, precisamos determinar onde a derivada é zero. Então, vamos definir isso igual a zero e resolver.

[- 6 + 20 sin left (<2x> right) = 0 hspace <0.5in> Rightarrow hspace <0.5in> sin left (<2x> right) = frac <6> <<20>> = 0,3 ]

A solução para isso é então,

[começar<4> 2x = & 0,3047 + 2 pi n & & hspace <0,5in> , , , , < mbox> hspace <0.5in> , , , , & 2x = & 2.8369 + 2 pi n & & hspace <0.25in> n = 0, pm 1, pm 2, ldots x = & 0,1524 + pi n & & hspace <0,5in> , , , , < mbox> hspace <0.5in> , , , & x = & 1.4185 + pi n & & hspace <0.25in> n = 0, pm 1, pm 2, ldots end]

Se você não se lembra de como resolver equações trigonométricas, verifique as seções Resolvendo equações trigonométricas no capítulo de revisão.

Como no primeiro problema, primeiro precisamos obter a derivada da função.

[A ' left (t right) = 135 - 180 - 390 = 15 left (<9- 12t - 26> direita) ]

Em seguida, precisamos determinar onde a função não está mudando. Isso é em,

Portanto, a função não está mudando em três valores de (t ). Finalmente, para determinar onde a função está aumentando ou diminuindo, precisamos determinar onde a derivada é positiva ou negativa. Lembre-se de que, se a derivada for positiva, a função deve ser crescente e, se a derivada for negativa, a função deve ser decrescente. A linha numérica a seguir fornece essas informações.

Portanto, a partir dessa reta numérica, podemos ver que temos as seguintes informações crescentes e decrescentes.

Se você não se lembra de como resolver desigualdades polinomiais e racionais, então você deve verificar as seções apropriadas no Capítulo de Revisão.

Finalmente, não podemos esquecer os problemas de taxas relacionadas.

A primeira coisa a fazer aqui é esboçar uma figura que mostre a situação.

Nesta figura, (y ) representa a distância percorrida pelo carro B e (x ) representa a distância que separa o carro A da posição inicial do carro B e (z ) representa a distância que separa os dois carros. Após 3 horas de condução, tem os seguintes valores de (x ) e (y ).

[x = 500 - 35 left (3 right) = 395 hspace <0.5in> hspace <0.25in> y = 50 left (3 right) = 150 ]

Podemos usar o teorema de Pitágoras para encontrar (z ) neste momento, da seguinte forma,

Agora, para responder a esta pergunta, precisaremos determinar (z ') dado que (x' = - 35 ) e (y '= 50 ). Você concorda com os sinais nas duas taxas fornecidas? Lembre-se de que uma taxa é negativa se a quantidade estiver diminuindo e positiva se a quantidade estiver aumentando.

Podemos usar novamente o teorema de Pitágoras aqui. Primeiro, escreva e lembre-se de que (x ), (y ) e (z ) estão todos mudando com o tempo e, portanto, diferencie a equação usando Diferenciação Implícita.

Finalmente, tudo o que precisamos fazer é cancelar um dois de tudo, conectar as quantidades conhecidas e resolver para (z ').

[z ' left (<422.5222> right) = left (<395> right) left (<- 35> right) + left (<150> right) left (<50> direita) hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.5in> z '= frac << - 6325 >> << 422.5222 >> = - 14.9696 ]

Então, depois de três horas, a distância entre eles está diminuindo a uma taxa de 14,9696 mph.

Portanto, nesta seção cobrimos três problemas “padrão” usando a ideia de que a derivada de uma função fornece a taxa de variação da função. Como mencionado anteriormente, este capítulo se concentrará mais em outras aplicações do que na ideia de taxa de mudança, no entanto, não podemos esquecer esta aplicação, pois é muito importante.


Aplicações de Derivativos - Classe 12 Matemática

Todos os vídeos, notas e atribuições disponíveis neste site são materiais com direitos autorais de Ashish Kumar. De acordo com a assinatura, você está licenciado para usá-los para seu uso pessoal somente até o vencimento de sua assinatura. Para mais informações, leia nossos termos e condições.

Nova plataforma lançada

Os vídeos do Agam Sir & # 8217s agora estão disponíveis na nova plataforma no endereço da web MathYug.com.
Na nova plataforma, você pode comprar cada capítulo separadamente.

Isenção de responsabilidade

Todos os logotipos e nomes de terceiros são propriedade exclusiva de seus respectivos proprietários.
Todos os esforços foram feitos para fornecer um conteúdo educacional perfeito no site, mas às vezes, devido a circunstâncias / situações inevitáveis, você pode encontrar erros no conteúdo fornecido no site. Aconselhamos que seja prudente ao usar o site.


Aplicações de derivados

Aplicações de derivadas: taxa de mudança de corpos, funções crescentes / decrescentes, tangentes e normais, uso de derivadas em aproximação, máximos e mínimos (teste de primeira derivada motivado geometricamente e teste de segunda derivada é dado como uma ferramenta comprovável)

Para resolver problemas práticos como a otimização de engenharia, o maior desafio costuma ser converter a palavra problema em um problema de otimização matemática - configurando a função que deve ser maximizada ou minimizada. Da mesma forma, também podemos encontrar a taxa de variação de um corpo usando a diferenciação.

Lembre-se de que dy / dx é positivo se y aumenta à medida que x aumenta e é negativo se y diminui à medida que x aumenta. Além disso, a inclinação da tangente de uma curva f (x) pode ser encontrada derivando a função da curva no determinado ponto. Como a linha normal é perpendicular à curva f (x) em um determinado ponto, o gradiente do normal é -1 / f '(x).

Exemplo: Um navio pode atingir sua velocidade máxima em 5 minutos. Durante esse tempo, sua distância do início pode ser calculada usando a fórmula D = t + 50t 2 onde t é o tempo em segundos e D é medido em metros. Quão rápido está acelerando?

Velocidade, v m / s, é a taxa de variação da distância em relação ao tempo.

Aceleração, uma m / s 2, é a taxa de variação de Rapidez em relação ao tempo ou segunda derivada de distância em relação ao tempo.

Agora considere o gráfico abaixo:

Os sinais indicam onde o gradiente da curva é =, & # 8211 ou 0. Em cada caso:

Uma função está estritamente aumentando em uma região onde f´(x) & gt 0. Uma função está estritamente aumentando em uma região onde f´(x) & lt 0. Uma função é estacionária onde f´(x) = 0

Identifique onde a função está (i) aumentando (ii) diminuindo (iii) papelaria

Solução: f ’(x) = 6x 2 - 6x - 12

Um esboço da derivada nos mostra que

Quando uma função é definida em um intervalo fechado, umaxb, então ele deve ter um valor máximo e mínimo nesse intervalo.

Esses valores podem ser encontrados em

• um ponto estacionário [onde f´(x) = 0]

• um ponto final do intervalo fechado. [f(uma) e f(b)]

Tudo o que você precisa fazer é encontrar esses valores e escolher os maiores e os menores valores.

Exemplo: Um fabricante está fazendo uma lata para 250 ml de suco. O custo da lata depende do seu raio, x cm.Por razões práticas, o raio deve estar entre 2,5 cm e 4,5 cm. O custo pode ser calculado a partir da fórmula

Calcule os valores máximo e mínimo da função de custo.

que é igual a zero em pontos estacionários.

  • (3x– 1)(x – 3) = 0
  • x = 1 /3 ou x = 3
  • Trabalhando a 1 d.p.
  • f( 1 /3) = 15.5
  • f(3) = 6
  • f(2.5) = 6.9
  • f(4·5) = 18.4
  • Por inspeção fmax = 18,4 (quando x = 4,5) e fmin = 6 (quando x = 3).

Seja f: D → R, D ⊂R uma função dada e seja y = f (x). Deixe ∆x denotar um pequeno incremento em x. Lembre-se de que o incremento em y corresponde ao aumento em x, denotado por ∆y, é dado por ∆y = f (x + ∆x) - f (x). Nós definimos o seguinte:

  • O diferencial de x, denotado por dx, é definido por dx = ∆x.
  • O diferencial de y, denotado por dy, é definido por dy = f ′ (x) dx

No caso de dx = ∆x ser relativamente pequeno quando comparado com x, e para y, denotamos dy ≈ ∆y.


Assista o vídeo: Stewart - Cálculo Vol 1 Seção - Ex 35 (Outubro 2021).