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4.8: Exercícios de Otimização


4.5: Problemas de otimização aplicada

Para os exercícios a seguir, responda com uma prova, contra-exemplo ou explicação.

311) Quando você encontra o máximo para um problema de otimização, por que você precisa verificar o sinal da derivada em torno dos pontos críticos?

Responder:
Os pontos críticos podem ser mínimos, máximos ou nenhum, então você precisa verificar.

312) Por que você precisa verificar os pontos de extremidade para problemas de otimização?

313) Verdadeiro ou falso. Para cada função não linear contínua, você pode encontrar o valor (x ) que maximiza a função.

Responder:
Falso; (y = −x ^ 2 ) tem apenas um mínimo

314) Verdadeiro ou falso. Para cada função não constante contínua em um domínio finito fechado, existe pelo menos um (x ) que minimiza ou maximiza a função.

Para os exercícios a seguir, configure e avalie cada problema de otimização.

315) Para carregar uma mala em um avião, o comprimento (+ largura + ) altura da caixa deve ser menor ou igual a (62in ). (a) Supondo que a altura seja fixa, mostre que o volume máximo é (V = h (31 - ( frac {1} {2}) h) ^ 2. ) (b) Qual altura permite que você tenha o maior volume?

Responder:
(a) substituir comprimento = 62 - largura - altura em Volume para obter (V (w) ); considere a altura uma constante e defina (V '(w) = 0. ) Resolva para (w ) e mostre que é um máximo. Em seguida, reescreva a função Volume com este valor para (w ) (b) (h = frac {62} {3} ) em.

316) Você está construindo uma caixa de papelão de um pedaço plano de papelão com dimensões (2 m ) por (4 m ). Você então corta quadrados de tamanhos iguais de cada canto para poder dobrar as bordas. Quais são as dimensões da caixa com o maior volume?

317) Encontre o inteiro positivo que minimiza a soma do número e seu recíproco.

Responder:
Quando (1 )

318) Encontre dois inteiros positivos de modo que sua soma seja (10 ​​), e minimize e maximize a soma de seus quadrados.

Para os exercícios a seguir, considere a construção de uma caneta para delimitar uma área.

319) Você tem (400 pés ) de cerca para construir um curral retangular para o gado. Quais são as dimensões da caneta que maximizam a área?

Responder:
(100 pés por 100 pés )

320) Você tem (800 pés ) de cerca para fazer um curral para porcos. Se você tem um rio em um dos lados de sua propriedade, qual é a dimensão da caneta retangular que maximiza a área?

321) Você precisa construir uma cerca em torno de uma área de (1600 pés ). Quais são as dimensões da caneta retangular para minimizar a quantidade de material necessária?

Responder:
(40 pés por 40 pés )

322) Dois pólos são conectados por um fio que também é conectado ao aterramento. O primeiro poste tem (20 pés ) de altura e o segundo poste tem (10 ​​pés ) de altura. Há uma distância de (30 pés ) entre os dois pólos. Onde o fio deve ser ancorado ao solo para minimizar a quantidade de fio necessária?

323) [T] Você está se mudando para um novo apartamento e observe que há um canto onde o corredor se estreita de (8 pés para 6 pés ). Qual é o comprimento do item mais longo que pode ser carregado horizontalmente na esquina?

Responder:
19,73 pés

324) O pulso de um paciente mede (70 bpm, 80 bpm ), então (120 bpm. ) Para determinar uma medição precisa do pulso, o médico quer saber qual valor minimiza a expressão ((x − 70) ^ 2+ (x − 80) ^ 2 + (x − 120) ^ 2 )? Qual valor o minimiza?

325) No problema anterior, suponha que o paciente estava nervoso durante a terceira medição, então pesamos apenas a metade desse valor dos outros. Qual é o valor que minimiza ((x − 70) ^ 2 + (x − 80) ^ 2 + frac {1} {2} (x − 120) ^ 2? )

Responder:
(84 bpm )

326) Você pode correr a uma velocidade de (6 ) mph e nadar a uma velocidade de (3 ) mph e está localizado na costa, (4 ) milhas a leste de uma ilha que está a (1 ) milhas ao norte da linha costeira. Quão longe você deve correr para o oeste para minimizar o tempo necessário para chegar à ilha?

Removido # 327, 328

329) Um caminhão usa gás como (g (v) = av + frac {b} {v} ), onde (v ) representa a velocidade do caminhão e (g ) representa os galões de combustível por milha. A que velocidade o consumo de combustível é minimizado?

Responder:
(v = sqrt { frac {b} {a}} )

Para os exercícios a seguir, considere uma limusine que obtém (m (v) = frac {(120−2v)} {5} mi / gal ) na velocidade (v ), o motorista custa ($ 15 / h ), e o gás é ($ 3,5 / gal. )

330) Encontre o custo por milha na velocidade (v. )

331) Encontre a velocidade de condução mais barata.

Responder:
aproximadamente (34,02 mph )

Para os exercícios a seguir, considere uma pizzaria que vende pizzas por uma receita de (R (x) = ax ) e custos (C (x) = b + cx + dx ^ 2 ), onde (x ) representa o número de pizzas.

332) Encontre a função de lucro para o número de pizzas. Quantas pizzas dão o maior lucro por pizza?

333) Suponha que (R (x) = 10x ) e (C (x) = 2x + x ^ 2 ). Quantas pizzas vendidas maximizam o lucro?

Responder:
(4)

334) Suponha que (R (x) = 15x, ) e (C (x) = 60 + 3x + frac {1} {2} x ^ 2 ). Quantas pizzas vendidas maximizam o lucro?


Para os exercícios a seguir, considere um fio longo cortado em duas partes. Uma peça forma um círculo com raio re a outra forma um quadrado de lado (x ).

335) Escolha (x ) para maximizar a soma de suas áreas.

Responder:
(0 ); se você obtiver um bom valor crítico, ele NÃO testa para ser o máximo. Use-o para o problema nº 336.

336) Escolha (x ) para minimizar a soma de suas áreas.


Para os exercícios a seguir, considere dois números não negativos (x ) e (y ) tais que (x + y = 10 ). Maximize e minimize as quantidades.

337) (xy )

Responder:
Máximo: (x = 5, y = 5; ) mínimo: (x = 0, y = 10 ) e (y = 0, x = 10 )

338 (x ^ 2y ^ 2 )

339) (y− frac {1} {x} )

Responder:
Máximo: (x = 1, y = 9; ) mínimo: nenhum

340) (x ^ 2 − y )


Para os exercícios a seguir, desenhe o problema de otimização fornecido e resolva.

341) Encontre o volume do maior cilindro circular direito que se encaixa em uma esfera de raio (1 ).

Responder:
( frac {4π} {3 sqrt {3}} )

342) Encontre o volume do maior cone direito que se encaixa em uma esfera de raio (1 ).

343) Encontre a área do maior retângulo que se encaixa no triângulo com os lados (x = 0, y = 0 ) e ( frac {x} {4} + frac {y} {6} = 1. )

Responder:
(6)

344) Encontre o maior volume de um cilindro que se encaixa em um cone que tem raio de base (R ) e altura (h ).

345) Encontre as dimensões do volume do cilindro fechado (V = 16π ) que tem a menor área de superfície.

Responder:
(r = 2, h = 4 )

346) Encontre as dimensões de um cone direito com área de superfície (S = 4π ) que possui o maior volume.


Para os exercícios a seguir, considere os pontos nos gráficos fornecidos. Use uma calculadora para representar graficamente as funções.

347) [T] Onde está a linha (y = 5−2x ) mais próxima da origem?

Responder:
((2,1))

348) [T] Onde está a linha (y = 5−2x ) mais próxima do ponto ((1,1) )?

349) [T] Onde está a parábola (y = x ^ 2 ) mais próxima do ponto ((2,0) )?

Responder:
((0.8351,0.6974))

350) [T] Onde está a parábola (y = x ^ 2 ) mais próxima do ponto ((0,3) )?


351) Uma janela é composta por um semicírculo colocado no topo de um retângulo. Se você tiver (20 pés ) de materiais de moldura de janela para a moldura externa, qual é o tamanho máximo da janela que você pode criar (com a área máxima)? Use r para representar o raio do semicírculo.

Responder:
A área máxima da janela é ( frac {200} {4 + π} ) (sq ) (ft ). Aqui está a função de área a ser maximizada: (A = 20r − 2r ^ 2− frac {1} {2} πr ^ 2 )

Para os exercícios a seguir, configure, mas não avalie, cada problema de otimização.

352) Você tem uma fileira de jardim de (20 ) melancias que produzem em média (30 ) melancias cada. Para qualquer planta de melancia adicional plantada, a produção por planta de melancia cai em uma melancia. Quantas plantas de melancia a mais você deve plantar?

353) Você está construindo uma caixa para o seu gato dormir. O material de pelúcia para o fundo quadrado da caixa custa ($ 5 / pé ^ 2 ) e o material para as laterais custa ($ 2 / pé ^ 2 ) . Você precisa de uma caixa com volume (4 pés ^ 2 ). Encontre as dimensões da caixa que minimizam o custo. Use (x ) para representar o comprimento da lateral da caixa.

Responder:
(C (x) = 5x ^ 2 + frac {32} {x} )

354) Você está construindo cinco canetas idênticas adjacentes uma à outra com uma área total de (1000m ^ 2 ), conforme mostrado na figura a seguir. Quais dimensões você deve usar para minimizar a quantidade de cercas?

355) Você é o gerente de um complexo de apartamentos com (50 ) unidades. Quando você define o aluguel em ($ 800 / mês, ) todos os apartamentos são alugados. Conforme você aumenta o aluguel em ($ 25 / mês ), um apartamento a menos é alugado. Custos de manutenção executados ($ 50 / mês ) para cada unidade ocupada. Qual é o aluguel que maximiza o valor total do lucro?

Responder:
(P (x) = (50 − x) (800 + 25x − 50) )

Exercícios de revisão de capítulo

Verdadeiro ou falso? Justifique sua resposta com uma prova ou contra-exemplo. Suponha que (f (x) ) seja contínuo e diferenciável, a menos que indicado de outra forma.

1) Se (f (−1) = - 6 ) e (f (1) = 2 ), então existe pelo menos um ponto (x∈ [−1,1] ) tal que ( f ′ (x) = 4. )

Solução: Verdadeiro, pelo Teorema do Valor Médio

2) Se (f ′ (c) = 0, ) há um máximo ou mínimo em (x = c. )

3) Existe uma função tal que (f (x) <0, f ′ (x)> 0, ) e (f '' (x) <0. ) (Uma "prova" gráfica é aceitável para esta resposta.)

Solução: Verdadeiro

4) Existe uma função tal que existe um ponto de inflexão e um ponto crítico para algum valor (x = a. )

5) Dado o gráfico de (f ′ ), determine onde (f ) está aumentando ou diminuindo.

Solução: Aumentando: ((- 2,0) ∪ (4, ∞) ), diminuindo: ((- ∞, −2) ∪ (0,4) )

6) O gráfico de (f ) é dado abaixo. Desenhe (f ′ ).

7) Encontre a aproximação linear (L (x) ) para (y = x ^ 2 + tan (πx) ) próximo a (x = frac {1} {4}. )

Solução: (L (x) = frac {17} {16} + frac {1} {2} (1 + 4π) (x− frac {1} {4}) )

8) Encontre o diferencial de (y = x ^ 2−5x − 6 ) e avalie para (x = 2 ) com (dx = 0,1. )

Encontre os pontos críticos e os extremos locais e absolutos das seguintes funções no intervalo dado.

9) (f (x) = x + sin ^ 2 (x) ) sobre ([0, π] )

Solução: Ponto crítico: (x = frac {3π} {4}, ) mínimo absoluto: (x = 0, ) máximo absoluto: (x = π )

10) (f (x) = 3x ^ 4−4x ^ 3−12x ^ 2 + 6 ) sobre ([- 3,3] )

Determine em quais intervalos as funções a seguir estão aumentando, diminuindo, côncavas para cima e côncavas para baixo.

11) (x (t) = 3t ^ 4−8t ^ 3−18t ^ 2 )

Solução: Aumentando: ((- 1,0) ∪ (3, ∞), ) diminuindo: ((- ∞, −1) ∪ (0,3), ) côncavo para cima: ((- ∞, frac {1} {3} (2− sqrt {13})) ∪ ( frac {1} {3} (2+ sqrt {13}), ∞) ), côncavo para baixo: (( frac {1} {3} (2− sqrt {13}), frac {1} {3} (2+ sqrt {13})) )

12) (y = x + sin (πx) )

13) (g (x) = x− sqrt {x} )

Solução: Aumentando: (( frac {1} {4}, ∞), ) diminuindo: ((0, frac {1} {4}) ), côncavo para cima: ((0, ∞) , ) côncavo para baixo: em lugar nenhum

14) (f (θ) = sin (3θ) )

Avalie os seguintes limites.

15) (lim_ {x → ∞} frac {3x sqrt {x ^ 2 + 1}} { sqrt {x4−1}} )

Solução: (3 )

16) (lim_ {x → ∞} cos ( frac {1} {x}) )

17) (lim_ {x → 1} frac {x − 1} {sin (πx)} )

Solução: (- frac {1} {π} )

18) (lim_ {x → ∞} (3x) ^ {1 / x} )

Use o método de Newton para encontrar as duas primeiras iterações, dado o ponto de partida.

19) (y = x ^ 3 + 1, x_0 = 0,5 )

Solução: (x_1 = −1, x_2 = −1 )

20) ( frac {1} {x + 1} = frac {1} {2}, x_0 = 0 )

Encontre as antiderivadas (F (x) ) das seguintes funções.

21) (g (x) = sqrt {x} - frac {1} {x ^ 2} )

Solução:] (F (x) = frac {2x ^ {3/2}} {3} + frac {1} {x} + C )

22) (f (x) = 2x + 6cosx, F (π) = π ^ 2 + 2 )

Represente graficamente as seguintes funções à mão. Certifique-se de rotular os pontos de inflexão, pontos críticos, zeros e assíntotas.

23) (y = frac {1} {x (x + 1) ^ 2} )

Solução:

Pontos de inflexão: nenhum; pontos críticos: (x = - frac {1} {3} ); zeros: nenhum; assíntotas verticais: (x = −1, x = 0 ); assíntota horizontal: (y = 0 )

24) (y = x− sqrt {4 − x ^ 2} )

25) Um carro está sendo compactado em um sólido retangular. O volume está diminuindo a uma taxa de (2 m ^ 3 / seg ). O comprimento e a largura do compactador são quadrados, mas a altura não é o mesmo comprimento que o comprimento e a largura. Se as paredes de comprimento e largura se moverem uma em direção à outra a uma taxa de (0,25 ) m / s, encontre a taxa na qual a altura está mudando quando o comprimento e a largura são (2 ) me a altura é ( 1,5 ) m.

Solução: a altura está diminuindo a uma taxa de (0,125 ) m / s

26) Um foguete é lançado ao espaço; sua energia cinética é dada por (K (t) = ( frac {1} {2}) m (t) v (t) ^ 2 ), onde (K ) é a energia cinética em joules, (m ) é a massa do foguete em quilogramas e (v ) é a velocidade do foguete em metros / segundo. Suponha que a velocidade está aumentando a uma taxa de (15 m / s ^ 2 ) e a massa está diminuindo a uma taxa de (10 ​​) kg / s porque o combustível está sendo queimado. Com que taxa a energia cinética do foguete está mudando quando a massa é (2000 ) kg e a velocidade é (5000 ) m / s? Dê sua resposta em mega-Joules (MJ), que é equivalente a (10 ​​^ 6 ) J.

27) O famoso Problema de Regiomontanus pois a maximização do ângulo foi proposta durante o século (15 ). Uma pintura está pendurada em uma parede com a parte inferior da pintura a uma distância de (a ) pés acima do nível dos olhos, e a parte superior (b ) pés acima do nível dos olhos. Que distância x (em pés) da parede o observador deve ficar para maximizar o ângulo subtendido pela pintura, (θ )?

Solução: (x = sqrt {ab} ) pés

28) Uma companhia aérea vende passagens de Tóquio a Detroit por ($ 1200. ) Há (500 ) assentos disponíveis e um vôo normal reserva (350 ) assentos. Para cada redução de ($ 10 ) no preço, a companhia aérea observa a venda de cinco assentos adicionais. Qual deve ser a tarifa para maximizar o lucro? Quantos passageiros estariam a bordo?


Assista o vídeo: e - Movimento Relativo em Uma e Duas Dimensões (Outubro 2021).