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8.5: Determinantes e Regra de Cramer


Nesta seção, atribuímos a cada matriz quadrada (A ) um número real, chamado de determinante de (A ), que eventualmente nos levará a outra técnica para resolver sistemas independentes consistentes de equações lineares. O determinante é definido recursivamente, isto é, nós o definimos para matrizes (1 vezes 1 ) e damos uma regra pela qual podemos reduzir os determinantes das matrizes (n vezes n ) a uma soma dos determinantes de ( (n-1) times (n-1) ) matrizes (Falaremos mais sobre o termo 'recursivamente' na Seção 9.1). Isso significa que seremos capazes de avaliar o determinante de uma matriz (2 vezes 2 ) como a soma dos determinantes de matrizes (1 vezes 1 ); o determinante de uma matriz (3 vezes 3 ) como uma soma dos determinantes de matrizes (2 vezes 2 ), e assim por diante. Para explicar como vamos pegar uma matriz (n vezes n ) e destilar dela ((n-1) vezes (n-1) ), usamos a seguinte notação.

Nota ( PageIndex {1} )

Dada uma matriz (n times n ) (A ) onde (n> 1 ), a matriz (A_ {ij} ) é o ((n-1) times (n-1 ) ) matriz formada pela exclusão da (i ) ésima linha de (A ) e da (j ) ésima coluna de (A ).

Por exemplo, usando a matriz (A ) abaixo, encontramos a matriz (A_ {23} ) excluindo a segunda linha e a terceira coluna de (A ).

[ begin {array} {ccc} A = left [ begin {array} {rr> { columncolor [cinza] {0.7}} r} 3 & 1 & 2 0 & -1 & 5 2 & 1 & 4 end {array} right] & xrightarrow { text {Delete (R2 ) and (C3 )}} & A_ {23} = left [ begin {array} {rr} 3 & 1 2 & 1 end {array} right] end {array} ]

Agora estamos em condições de definir o determinante de uma matriz.

Definição ( PageIndex {1} ): Determinante

Dada uma matriz (n vezes n ) (A ) o determinante de (A ), denotado ( det (A) ), é definido como segue

  • Se (n = 1 ), então (A = left [a_ {11} right] ) e ( det (A) = det left ( left [a_ {11} right] direita) = a_ {11} ).
  • Se (n> 1 ), então (A = left [a_ {ij} right] _ {n times n} ) e

[ det (A) = det left ( left [a_ {ij} right] _ {n times n} right) = a_ {11} det left (A_ {11} right) - a_ {12} det left (A_ {12} right) + - ldots + (-1) ^ {1 + n} a_ {1n} det left (A_1n right) ]

Existem duas notações comumente usadas para o determinante de uma matriz (A ): ' ( det (A) )' e ' (| A | )'

Escolhemos usar a notação ( det (A) ) em oposição a (| A | ) porque descobrimos que o último é frequentemente confundido com valor absoluto, especialmente no contexto de a (1 vezes 1 ) matriz. Na expansão (a_ {11} det left (A_ {11} right) - a_ {12} det left (A_ {12} right) + - ldots + (-1) ^ {1 + n} a_ {1n} det left (A_1n right) ), a notação ' (+ - ldots + (-1) ^ {1 + n} a_ {1n} )' significa que os sinais alterne e o sinal final é ditado pelo sinal da quantidade ((- 1) ^ {1 + n} ). Visto que as entradas (a_ {11} ), (a_ {12} ) e assim por diante até (a_ {1n} ) compreendem a primeira linha de (A ), dizemos que estamos encontrando o determinante de (A ) por 'expandindo ao longo da primeira linha'. Posteriormente nesta seção, desenvolveremos uma fórmula para ( det (A) ) que nos permite encontrá-la expandindo ao longo de qualquer linha.

Aplicando a definição ref {determinantdefn} à matriz (A = left [ begin {array} {rr} 4 & -3 2 & 1 end {array} right] ), obtemos

[ begin {array} {rcl} det (A) & = & det left ( left [ begin {array} {rr} 4 & -3 2 & 1 end {array} direita] direita) & = & 4 det esquerda (A_ {11} direita) - (-3) det esquerda (A_ {12} direita) & = & 4 det ( [1]) +3 det ([2]) & = & 4 (1) + 3 (2) & = & 10 end {array} ]

Para uma matriz (2 vezes 2 ) genérica (A = left [ begin {array} {cc} a & b c & d end {array} right] ), obtemos

[ begin {array} {rcl} det (A) & = & det left ( left [ begin {array} {cc} a & b c & d end {array} direita] direita) & = & a det esquerda (A_ {11} direita) - b det esquerda (A_ {12} direita) & = & a det esquerda ( esquerda [d right] right) - b det left ( left [c right] right) & = & ad-bc end {array} ]

Vale a pena lembrar esta fórmula

Nota ( PageIndex {1} )

Para uma matriz (2 vezes 2 ),

[ det left ( left [ begin {array} {cc} a & b c & d end {array} right] right) = ad-bc ]

Aplicando a definição ref {determinantdefn} à matriz (3 times 3 ) (A = left [ begin {array} {rrr} 3 & 1 & hphantom {-} 2 0 & -1 & 5 2 & 1 & 4 end {array} right] ) obtemos

[ begin {array} {rcl} det (A) & = & det left ( left [ begin {array} {rrr} 3 & 1 & hphantom {-} 2 0 & -1 & 5 2 & 1 & 4 end {array} right] right) & = & 3 det left (A_ {11} right) - 1 det left (A_ {12 } right) + 2 det left (A_ {13} right) & = & 3 det left ( left [ begin {array} {rr} -1 & 5 1 & 4 end {array} right] right) - det left ( left [ begin {array} {rr} 0 & 5 2 & 4 end {array} right] right) + 2 det left ( left [ begin {array} {rr} 0 & -1 2 & 1 end {array} right] right) & = & 3 ((- 1 ) (4) - (5) (1)) - ((0) (4) - (5) (2)) + 2 ((0) (1) - (- 1) (2)) & = & 3 (-9) - (- 10) +2 (2) & = & -13 end {array} ]

Para avaliar o determinante de uma matriz (4 vezes 4 ), teríamos que avaliar os determinantes de quatro Matrizes (3 vezes 3 ), cada uma das quais envolve a descoberta dos determinantes de três Matrizes (2 vezes 2 ). Como você pode ver, nosso método de avaliação dos determinantes sai rapidamente do controle e muitos de vocês podem estar pegando a calculadora. Existe algum mecanismo matemático que pode nos auxiliar no cálculo dos determinantes e o apresentamos aqui. Antes de declarar o teorema, precisamos de mais terminologia.

Nota ( PageIndex {1} )

Seja (A ) uma matriz (n vezes n ) e (A_ {ij} ) ser definido como na Definição ref {Aijdefn}. O (ij ) de (A ), denotado (M_ {ij} ) é definido por (M_ {ij} = det left (A_ {ij} right) ). O cofator (ij ) de (A ), denotado (C_ {ij} ) é definido por (C_ {ij} = (-1) ^ {i + j} M_ {ij} = (- 1) ^ {i + j} det left (A_ {ij} right) ).

Notamos que na Definição ref {determinantdefn}, a soma

[a_ {11} det left (A_ {11} right) - a_ {12} det left (A_ {12} right) + - ldots + (-1) ^ {1 + n} a_ {1n} det left (A_ {1n} right) ]

pode ser reescrito como

[a_ {11} (-1) ^ {1 + 1} det left (A_ {11} right) + a_ {12} (-1) ^ {1 + 2} det left (A_ { 12} right) + ldots + a_ {1n} (-1) ^ {1 + n} det left (A_ {1n} right) ]

que, na linguagem dos cofatores é

[a_ {11} C_ {11} + a_ {12} C_ {12} + ldots + a_ {1n} C_ {1n} ]

Agora estamos prontos para apresentar nosso teorema principal sobre os determinantes.

( PageIndex {1} ): Propriedades do Determinante

Let (A = left [a_ {ij} right] _ {n times n} ). index {determinante de uma matriz! propriedades da matriz} index {! determinante! propriedades de}

  • Podemos encontrar o determinante expandindo ao longo de qualquer linha. Ou seja, para qualquer (1 leq k leq n ), [ det (A) = a_ {k_1} C_ {k_1} + a_ {k_2} C_ {k_2} + ldots + a_ {kn} C_ {kn} ]
  • Se (A ') é a matriz obtida de (A ) por:
    • trocando quaisquer duas linhas, então ( det (A ') = - det (A) ).
    • substituindo uma linha por um múltiplo diferente de zero (digamos (c )) de si mesmo, então ( det (A ') = c det (A) )
    • substituindo uma linha por ela mesma mais um múltiplo de outra linha, então ( det (A ') = det (A) )
  • Se (A ) tiver duas linhas idênticas, ou uma linha consistindo de todos os (0 ) 's, então ( det (A) = 0 ).
  • Se (A ) é triangular superior ou inferior, footnote {Veja o Exercício ref {matrizes triangulares} em ref {MatAritmética}.} Então ( det (A) ) é o produto das entradas na diagonal principal . footnote {Ver página pageref {maindiagonal} na seção ref {MatAritmética}.}
  • Se (B ) é uma matriz (n vezes n ), então ( det (AB) = det (A) det (B) ).
  • ( det left (A ^ {n} right) = det (A) ^ {n} ) para todos os números naturais (n ).
  • (A ) é invertível se e somente se ( det (A) neq 0 ). Neste caso, ( det left (A ^ {- 1} right) = dfrac {1} { det (A)} ).

Infelizmente, embora possamos facilmente textit {demonstrar} os resultados no Teorema ref {determinantprops}, as provas da maioria dessas propriedades estão além do escopo deste texto. Poderíamos provar essas propriedades para matrizes genéricas (2 vezes 2 ) ou mesmo (3 vezes 3 ) por cálculo de força bruta, mas esta forma de prova desmente a elegância e simetria do determinante. Provaremos as poucas propriedades que pudermos depois de desenvolvermos mais algumas ferramentas, como o Princípio de Indução Matemática na Seção ref {Indução} (para um tratamento muito elegante, faça um curso de Álgebra Linear. Lá, você provavelmente verá o tratamento dos determinantes logicamente invertido do que o que é apresentado aqui). Especificamente, o determinante é definido como uma função que leva uma matriz quadrada a um número real e satisfaz algumas das propriedades no Teorema ref {determinantprops}. A partir dessa função, uma fórmula para o determinante é desenvolvida.} Por enquanto, vamos demonstrar algumas das propriedades listadas no Teorema ref {determinantprops} na matriz (A ) abaixo. (Outros serão discutidos nos exercícios.)

[A = left [ begin {array} {rrr} 3 & 1 & hphantom {-} 2 0 & -1 & 5 2 & 1 & 4 end {array} right] ]

Encontramos ( det (A) = -13 ) expandindo ao longo da primeira linha. Para tirar vantagem do (0 ) na segunda linha, usamos o Teorema ref {determinantprops} para encontrar ( det (A) = -13 ) expandindo ao longo dessa linha.

[ begin {array} {rcl} det left ( left [ begin {array} {rrr} 3 & 1 & hphantom {-} 2 0 & -1 & 5 2 & 1 & 4 end {array} right] right) & = & 0C_ {21} + (-1) C_ {22} + 5C_ {23} & = & (-1) (-1) ^ { 2 + 2} det left (A_ {22} right) + 5 (-1) ^ {2 + 3} det left (A_ {23} right) & = & - det left ( left [ begin {array} {rr} 3 & 2 2 & 4 end {array} right] right) -5 det left ( left [ begin {array} {rr } 3 & 1 2 & 1 end {array} right] right) & = & - ((3) (4) - (2) (2)) - 5 ((3) ( 1) - (2) (1)) & = & -8-5 & = & -13 , , checkmark end {array} ]

Em geral, o sinal de ((- 1) ^ {i + j} ) na frente do menor na expansão do determinante segue um padrão alternado. Abaixo está o padrão para matrizes (2 vezes 2 ), (3 vezes 3 ) e (4 vezes 4 ), e se estende naturalmente para dimensões superiores.

[ begin {array} {ccc} left [ begin {array} {cc} + & - - & + end {array} right] & qquad left [ begin {array} {ccc} + & - & + - & + & - + & - & + end {array} right] & qquad left [ begin {array} {cccc} + & - & + & - - & + & - & + + & - & + & - - & + & - & + end {array} right] end {array} ]

O leitor é advertido, entretanto, contra ler muito nesses padrões de sinais. No exemplo acima, expandimos a matriz (3 times 3 ) (A ) por sua segunda linha e o termo que corresponde à segunda entrada acabou sendo negativo, embora o sinal anexado ao menor seja ( (+) ). Esses sinais representam apenas os sinais de ((- 1) ^ {i + j} ) na fórmula; o sinal da entrada correspondente, bem como o próprio menor, determinam o sinal último do termo na expansão do determinante.

Para ilustrar algumas das outras propriedades no Teorema ref {determinantprops}, usamos operações de linha para transformar nossa matriz (3 times 3 ) (A ) em uma matriz triangular superior, mantendo o controle das operações de linha, e rotulando cada matriz sucessiva. footnote {Essencialmente, seguimos a Algoritmo Gauss Jordan mas não nos importamos em obter (1 ) 's principais.}

[ begin {array} {ccccc} left [ begin {array} {rrr} 3 & 1 & hphantom {-} 2 0 & -1 & 5 2 & 1 & 4 end {array} right] & xrightarrow [ text {with (- frac {2} {3} R1 + R3 )}] { text {Substituir (R3 )}} & left [ begin {array} {rrr} 3 & 1 & hphantom {-} 2 0 & -1 & 5 0 & frac {1} {3} & frac {8} {3} end { array} right] & xrightarrow [ text {) frac {1} {3} R2 + R3 )}] { text {Substitua (R3 ) por}} & left [ begin {array } {rrr} 3 & 1 & 2 0 & -1 & 5 0 & 0 & frac {13} {3} end {array} right] A & & B & & C end {array} ]

O teorema ref {determinantprops} nos garante que ( det (A) = det (B) = det (C) ) uma vez que estamos substituindo uma linha por ela mesma mais um múltiplo de outra linha movendo-se de uma matriz para a Próximo. Além disso, como (C ) é triangular superior, ( det (C) ) é o produto das entradas na diagonal principal, neste caso ( det (C) = (3) (- 1) left ( frac {13} {3} right) = -13 ). Isso demonstra a utilidade de usar operações de linha para auxiliar no cálculo de determinantes. Isso também lança alguma luz sobre a conexão entre um determinante e invertibilidade. Lembre-se da Seção ref {MatMethods} que, a fim de encontrar (A ^ {- 1} ), tentamos transformar (A ) em (I_ {n} ) usando operações de linha

[ begin {array} {ccc} left [ begin {array} {c | c} A & I_ {n} end {array} right] & xrightarrow { text {Eliminação de Gauss Jordan} } & left [ begin {array} {c | c} I_ {n} & A ^ {- 1} end {array} right] end {array} ]

Conforme aplicamos nossas operações de linha permitidas em (A ) para colocá-lo na forma escalonada de linha reduzida, o determinante das matrizes intermediárias pode variar do determinante de (A ) em no máximo um múltiplo textit {diferente de zero}. Isso significa que se ( det (A) neq 0 ), então o determinante da forma escalonada de linha reduzida de (A ) também deve ser diferente de zero, o que, de acordo com a Definição ref {rowechelonform}, significa que todos as entradas diagonais principais na forma escalonada de linhas reduzidas de (A ) devem ser (1 ). Ou seja, a forma escalonada de linha reduzida de (A ) é (I_ {n} ), e (A ) é invertível. Por outro lado, se (A ) é invertível, então (A ) pode ser transformado em (I_ {n} ) usando operações de linha. Como ( det left (I_ {n} right) = 1 neq 0 ), nossa mesma lógica implica ( det (A) neq 0 ). Basicamente, estabelecemos que o determinante textit {determina} se a matriz (A ) é invertível ou não. Footnote {Na Seção ref {CramersRuleMatrixAdjoints}, aprendemos que determinantes (especificamente cofatores) estão profundamente conectados com o inverso de uma matriz.}

É importante notar que quando introduzimos pela primeira vez a noção de uma matriz inversa, foi no contexto da resolução de uma equação de matriz linear. Na verdade, estávamos tentando 'dividir' ambos os lados da equação da matriz (AX = B ) pela matriz (A ). Assim como não podemos dividir um número real por (0 ), o Teorema ref {determinantprops} nos diz que não podemos 'dividir' por uma matriz cujo textit {determinant} é (0 ). Também sabemos que se a matriz de coeficientes de um sistema de equações lineares é invertível, então o sistema é consistente e independente. Segue-se, então, que se o determinante desse coeficiente não for zero, o sistema é consistente e independente.

Adjuntos de regra e matriz de Cramer

Nesta seção, apresentamos um teorema que nos permite resolver um sistema de equações lineares apenas por meio de determinantes. Como de costume, o teorema é declarado em total generalidade, usando incógnitas numeradas (x_1 ), (x_2 ), etc., em vez das letras mais familiares (x ), (y ), (z ), etc. A prova do caso geral é melhor deixar para um curso de Álgebra Linear.

( PageIndex {1} ): Regra de Cramer

Suponha que (AX = B ) seja a forma de matriz de um sistema de (n ) equações lineares em (n ) incógnitas, onde (A ) é a matriz de coeficiente, (X ) é a matriz de incógnitas , e (B ) é a matriz constante. Se ( det (A) neq 0 ), então o sistema correspondente é consistente e independente e a solução para incógnitas (x_1 ), (x_2 ), ( ldots x_ {n} ) é dado por:

[x_ {j} = dfrac { det left (A_ {j} right)} { det (A)}, ]

onde (A_ {j} ) é a matriz (A ) cuja (j ) ésima coluna foi substituída pelas constantes em (B ).

Em palavras, a Regra de Cramer nos diz que podemos resolver cada incógnita, uma de cada vez, encontrando a razão entre o determinante de (A_ {j} ) e o determinante da matriz de coeficientes. A matriz (A_ {j} ) é encontrada substituindo a coluna na matriz de coeficientes que contém os coeficientes de (x_ {j} ) com as constantes do sistema. O exemplo a seguir detalha esse método.

Exemplo ( PageIndex {1} ): Aplicação da regra de Cramer

Use a regra de Cramer para resolver as incógnitas indicadas.

  1. Resolva ( left { begin {array} {rcr} 2x_1 - 3x_2 & = & 4 5x_1 + x_2 & = & -2 end {array} right. ) Para (x_1 ) e (x_2 )
  2. Resolva ( left { begin {array} {rcr} 2x - 3y + z & = & -1 x-y + z & = & 1 3x-4z & = & 0 end {array} right. ) para (z ).

Solução

  1. Escrevendo este sistema em forma de matriz, encontramos [ begin {array} {ccc} A = left [ begin {array} {rr} 2 & -3 5 & 1 end {array} right ] & qquad X = left [ begin {array} {r} x_1 x_2 end {array} right] & qquad B = left [ begin {array} {r} 4 -2 end {array} right] end {array} ] Para encontrar a matriz (A_1 ), removemos a coluna da matriz de coeficientes (A ) que contém os coeficientes de (x_1 ) e substitua-o pelas entradas correspondentes em (B ). Da mesma forma, substituímos a coluna de (A ) que corresponde aos coeficientes de (x_2 ) com as constantes para formar a matriz (A_2 ). Isso resulta em [ begin {array} {cc} A_1 = left [ begin {array} {rr} 4 & -3 -2 & 1 end {array} right] & qquad A_2 = left [ begin {array} {rr} 2 & 4 5 & -2 end {array} right] end {array} ] Calculando determinantes, obtemos ( det (A ) = 17 ), ( det left (A_1 right) = -2 ) e ( det left (A_2 right) = -24 ), de modo que [ begin {array} { cc} x_1 = dfrac { det left (A_1 right)} { det (A)} = - dfrac {2} {17} & qquad x_2} = dfrac { det left (A_2 direita)} { det (A)} = - dfrac {24} {17} end {array} ] O leitor pode verificar se a solução para o sistema é ( left (- frac {2 } {17}, - frac {24} {17} right) ).
  2. Para usar a regra de Cramer para encontrar (z ), identificamos (x_3 ) como (z ). Temos [ begin {array} {cccc} A = left [ begin {array} {rrr} 2 & -3 & 1 1 & -1 & 1 3 & 0 & -4 end { array} right] & X = left [ begin {array} {r} x y z end {array} right] & B = left [ begin {array} {r} -1 1 0 end {array} right] & A_3 = A_ {z} = left [ begin {array} {rrr} 2 & -3 & -1 1 & -1 & 1 3 & 0 & 0 end {array} right] end {array} ] Expandindo tanto ( det (A) ) e ( det left (A_ {z} right) ) ao longo das terceiras linhas (para tirar vantagem dos (0 ) 's) dá [z = dfrac { det left (A_ {z} right)} { det (A)} = dfrac { -12} {- 10} = dfrac {6} {5} ] O leitor é encorajado a resolver este sistema para (x ) e (y ) de forma semelhante e verificar a resposta.

Nossa última aplicação de determinantes é desenvolver um método alternativo para encontrar o inverso de uma matriz. Footnote {Estamos desenvolvendo um textit {método} na próxima discussão. Tal como acontece com a discussão na Seção ref {MatMethods} quando desenvolvemos o primeiro algoritmo para encontrar matrizes inversas, pedimos que você nos conceda.} Vamos considerar a matriz (3 vezes 3 ) (A ) que nós tão extensivamente estudado na Seção ref {determinantdefnandprops}

[A = left [ begin {array} {rrr} 3 & 1 & hphantom {-} 2 0 & -1 & 5 2 & 1 & 4 end {array} right] ]

Descobrimos por meio de uma variedade de métodos que ( det (A) = -13 ). Para nossa surpresa e deleite, seu inverso abaixo tem um número notável de (13 ) 's nos denominadores de suas entradas. Isso não é coincidência.

[A ^ {- 1} = left [ begin {array} {rrr} frac {9} {13} & frac {2} {13} & - frac {7} {13} - frac {10} {13} & - frac {8} {13} & frac {15} {13} - frac {2} {13} & frac {1} {13} & frac {3} {13} end {array} right] ]

Lembre-se de que para encontrar (A ^ {- 1} ), estamos essencialmente resolvendo a equação da matriz (AX = I_3 ), onde (X = left [x_ {ij} right] _ {3 times 3} ) é uma matriz (3 vezes 3 ). Por causa de como a multiplicação da matriz é definida, a primeira coluna de (I_3 ) é o produto de (A ) com a primeira coluna de (X ), a segunda coluna de (I_3 ) é o produto de (A ) com a segunda coluna de (X ) e a terceira coluna de (I_3 ) é o produto de (A ) com a terceira coluna de (X ). Em outras palavras, estamos resolvendo três equações (o leitor é encorajado a parar e refletir sobre isso).

[ begin {array} {ccc} A left [ begin {array} {r} x_ {11} x_ {21} x_ {31} end {array} right] = left [ begin {array} {r} 1 0 0 end {array} right] & qquad A left [ begin {array} {r} x_ {12} x_ {22} x_ {32} end {array} right] = left [ begin {array} {r} 0 1 0 end {array} right] & qquad A left [ begin {array } {r} x_ {13} x_ {23} x_ {33} end {array} right] = left [ begin {array} {r} 0 0 1 end { array} right] end {array} ]

Podemos resolver cada um desses sistemas usando a regra de Cramer. Focando no primeiro sistema, temos

[ begin {array} {ccc} A_1 = left [ begin {array} {rrr} 1 & 1 & hphantom {-} 2 0 & -1 & 5 0 & 1 & 4 end {array} right] & A_2 = left [ begin {array} {rrr} 3 & 1 & 2 0 & 0 & 5 2 & 0 & 4 end {array} right ] & A_3 = left [ begin {array} {rrr} 3 & 1 & hphantom {-} 1 0 & -1 & 0 2 & 1 & 0 end {array} right] end {array} ]

Se expandirmos ( det left (A_1 right) ) ao longo da primeira linha, obtemos

[ begin {array} {rcl} det left (A_1 right) & = & det left ( left [ begin {array} {rr} -1 & 5 1 & 4 end {array} right] right) - det left ( left [ begin {array} {rr} 0 & 5 0 & 4 end {array} right] right) + 2 det left ( left [ begin {array} {rr} 0 & -1 0 & 1 end {array} right] right) & = & det left ( left [ begin {array} {rr} -1 & 5 1 & 4 end {array} right] right) end {array} ]

Surpreendentemente, isso não é outro senão o cofator (C_ {11} ) de (A ). O leitor é convidado a verificar isso, bem como as afirmações de que ( det left (A_2 right) = C_ {12} ) e ( det left (A_3 right) = C_ {13} ). footnote {Em um curso sólido de Álgebra Linear você aprenderá que as propriedades no Teorema ref {determinantprops} se mantêm igualmente bem se a palavra 'linha' for substituída pela palavra 'coluna'. Não vamos entrar em operações de coluna neste texto, mas eles tornam o que estamos tentando dizer mais fácil de seguir.} (Para ver isso, embora não pareça natural fazê-lo, expanda ao longo da primeira linha .) A regra de Cramer nos diz

[ begin {array} {ccc} x_ {11} = dfrac { det left (A_1 right)} { det (A)} = dfrac {C_ {11}} { det (A) }, & x_ {21} = dfrac { det left (A_2 right)} { det (A)} = dfrac {C_ {12}} { det (A)}, & x_ {31} = dfrac { det left (A_3 right)} { det (A)} = dfrac {C_ {13}} { det (A)} end {array} ]

Portanto, a primeira coluna da matriz inversa (X ) é:

[ left [ begin {array} {r} x_ {11} x_ {21} x_ {31} end {array} right] = left [ begin {array} {r} dfrac {C_ {11}} { det (A)} dfrac {C_ {12}} { det (A)} dfrac {C_ {13}} { det (A)} end {array} right] = dfrac {1} { det (A)} left [ begin {array} {r} C_ {11} C_ {12} C_ {13} end {array } certo] ]

Observe a reversão dos índices indo do desconhecido para o cofator correspondente de (A ). Essa tendência continua e nós temos

[ begin {array} {cc} left [ begin {array} {r} x_ {12} x_ {22} x_ {32} end {array} right] = dfrac {1 } { det (A)} left [ begin {array} {r} C_ {21} C_ {22} C_ {23} end {array} right] & qquad left [ begin {array} {r} x_ {13} x_ {23} x_ {33} end {array} right] = dfrac {1} { det (A)} left [ begin { matriz} {r} C_ {31} C_ {32} C_ {33} end {matriz} direita] end {matriz} ]

Juntando tudo isso, obtivemos uma fórmula nova e surpreendente para (A ^ {- 1} ), a saber

[A ^ {- 1} = dfrac {1} { det (A)} left [ begin {array} {ccc} C_ {11} & C_ {21} & C_ {31} C_ { 12} & C_ {22} & C_ {32} C_ {13} & C_ {23} & C_ {33} end {array} right] ]

Para ver que isso realmente produz (A ^ {- 1} ), encontramos todos os cofatores de (A )

[ begin {array} {rcrrcrrcr} C_ {11} & = & -9, & C_ {21} & = & -2, & C_ {31} & = & 7 C_ {12} & = & 10 , & C_ {22} & = & 8, & C_ {32} & = & -15 C_ {13} & = & 2, & C_ {23} & = & -1, & C_ {33} & = & -3 end {array} ]

E, como prometido,

[A ^ {- 1} = dfrac {1} { det (A)} left [ begin {array} {ccc} C_ {11} & C_ {21} & C_ {31} C_ { 12} & C_ {22} & C_ {32} C_ {13} & C_ {23} & C_ {33} end {array} right] = - dfrac {1} {13} left [ begin {array} {rrr} -9 & -2 & 7 10 & 8 & -15 2 & -1 & -3 end {array} right] = left [ begin { matriz} {rrr} frac {9} {13} & frac {2} {13} & - frac {7} {13} - frac {10} {13} & - frac {8} {13} & frac {15} {13} - frac {2} {13} & frac {1} {13} & frac {3} {13} end {array} right ] ]

Para generalizar isso para matrizes invertíveis (n vezes n ), precisamos de outra definição e um teorema. Nossa definição dá um nome especial à matriz de cofator, e o teorema nos diz como usá-la junto com ( det (A) ) para encontrar o inverso de uma matriz.

Definição ( PageIndex {1} ): Matrix Adjoint

Seja (A ) uma matriz (n vezes n ), e (C_ {ij} ) denotar o cofator (ij ) de (A ). O anexo de (A ), denotado ( text {adj} (A) ) é a matriz cuja (ij ) - entrada é o cofator (ji ) de (A ), (C_ { ji} ). Isso é

[ text {adj} (A) = left [ begin {array} {cccc} C_ {11} & C_ {21} & ldots & C_ {n1} C_ {12} & C_ {22} & ldots & C_ {n2} vdots & vdots & & vdots C_ {1n} & C_ {2n} & ldots & C_ {nn} end {array} right] ] end {defn}

Esta nova notação encurta muito a declaração da fórmula para o inverso de uma matriz.

Nota ( PageIndex {1} )

Seja (A ) uma matriz invertível (n vezes n ). Então

[A ^ {- 1} = dfrac {1} { det (A)} text {adj} (A) ]

Para matrizes (2 vezes 2 ), o Teorema ref {adjointinverse} se reduz a uma fórmula bastante simples.

Nota ( PageIndex {1} )

Para uma matriz invertível (2 vezes 2 ),

[ left [ begin {array} {rr} a & b c & d end {array} right] ^ {- 1} = dfrac {1} {ad-bc} left [ begin {array} {rr} d & -b -c & a end {array} right] ]

A prova do Teorema ref {adjointinverse} é, como muitos dos resultados desta seção, melhor deixar para um curso de Álgebra Linear. Nesse curso, você não apenas obtém algumas técnicas de prova mais sofisticadas, mas também uma perspectiva mais ampla. Os autores garantem que a persistência compensa. Se você ficar alguns semestres e fizer um curso de Álgebra Linear, verá como todas as coisas da matriz realmente são - apesar da notação tediosa e do mar de subscritos. No escopo deste texto, iremos provar alguns resultados envolvendo determinantes na Seção ref {Indução}, uma vez que tenhamos o Princípio da Indução Matemática bem em mãos. Até então, certifique-se de ter um controle sobre a textit {mecânica} das matrizes e a teoria virá eventualmente.


Assista o vídeo: REGRA DE CRAMER SISTEMAS 3X3 (Outubro 2021).