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1.5: Função Aritmética


Na seção anterior, usamos a notação de função recém-definida para dar sentido a expressões como ' (f (x) + 2 )' e ' (2f (x) )' para uma determinada função (f ) . Parece natural, então, que as funções tenham sua própria aritmética, que é consistente com a aritmética dos números reais. As seguintes definições nos permitem adicionar, subtrair, multiplicar e dividir funções usando a aritmética que já conhecemos para números reais.

Função Aritmética

Suponha que (f ) e (g ) sejam funções e (x ) esteja tanto no domínio de (f ) quanto no domínio de (g ). Nota de rodapé {Assim, (x ) é um elemento da interseção dos dois domínios.}

  • O soma de (f ) e (g ), denotado (f + g ), é a função definida pela fórmula [(f + g) (x) = f (x) + g (x) ]
  • O diferença de (f ) e (g ), denotado (f-g ), é a função definida pela fórmula [(f-g) (x) = f (x) - g (x) ]
  • O produtos de (f ) e (g ), denotado (fg ), é a função definida pela fórmula [(fg) (x) = f (x) g (x) ]
  • O quociente de (f ) e (g ), denotado ( dfrac {f} {g} ), é a função definida pela fórmula [ left ( dfrac {f} {g} right) (x) = dfrac {f (x)} {g (x)}, ] fornecido (g (x) neq 0 ).

Em outras palavras, para adicionar duas funções, adicionamos suas saídas; para subtrair duas funções, subtraímos suas saídas e assim por diante. Observe que, embora a fórmula ((f + g) (x) = f (x) + g (x) ) pareça suspeitamente com algum tipo de propriedade distributiva, não é nada disso; a adição no lado esquerdo da equação é função adição, e estamos usando esta equação para definir a saída da nova função (f + g ) como a soma das saídas de número real de (f ) e (g ).

Exemplo ( PageIndex {1} ):

Seja (f (x) = 6x ^ 2 - 2x ) e (g (x) = 3- dfrac {1} {x} ).

  1. Encontre ((f + g) (- 1) )
  2. Encontre ((fg) (2) )
  3. Encontre o domínio de (g-f ) e então encontre e simplifique uma fórmula para ((g-f) (x) ).
  4. label {quotdomainex} Encontre o domínio de ( left ( frac {g} {f} right) ) então encontre e simplifique uma fórmula para ( left ( frac {g} {f} right) (x) ).

Solução

  1. Para encontrar ((f + g) (- 1) ), primeiro encontramos (f (-1) = 8 ) e (g (-1) = 4 ). Por definição, temos que ((f + g) (- 1) = f (-1) + g (-1) = 8 + 4 = 12 ).
  2. Para encontrar ((fg) (2) ), primeiro precisamos (f (2) ) e (g (2) ). Como (f (2) = 20 ) e (g (2) = frac {5} {2} ), nossa fórmula produz ((fg) (2) = f (2) g (2) = (20) left ( frac {5} {2} right) = 50 ).
  3. Um método para encontrar o domínio de (g-f ) é encontrar o domínio de (g ) e de (f ) separadamente e, em seguida, encontrar a interseção desses dois conjuntos. Devido ao denominador na expressão (g (x) = 3 - frac {1} {x} ), obtemos que o domínio de (g ) é ((- infty, 0) cup (0, infty) ). Como (f (x) = 6x ^ 2-2x ) é válido para todos os números reais, não temos outras restrições. Assim, o domínio de (g-f ) corresponde ao domínio de (g ), a saber, ((- infty, 0) cup (0, infty) ).

Um segundo método é analisar a fórmula para ((g-f) (x) ) textit {antes de simplificar} e procurar os problemas de domínio usuais. Nesse caso,

[(g-f) (x) = g (x) - f (x) = left (3- dfrac {1} {x} right) - left (6x ^ 2 - 2x right), ]

então encontramos, como antes, o domínio é ((- infty, 0) cup (0, infty) ).

Seguindo em frente, precisamos simplificar uma fórmula para ((g-f) (x) ). Nesse caso, obtemos denominadores comuns e tentamos reduzir a fração resultante. Fazendo isso, obtemos

[ begin {array} {rclr} (gf) (x) & = & g (x) - f (x) & [5pt] & = & left (3- dfrac {1} {x} right) - left (6x ^ 2 - 2x right) & & = & 3 - dfrac {1} {x} - 6x ^ 2 + 2x & [10pt] & = & dfrac {3x } {x} - dfrac {1} {x} - dfrac {6x ^ 3} {x} + dfrac {2x ^ 2} {x} & text {obter denominadores comuns} & = & dfrac {3x - 1 - 6x ^ 3 - 2x ^ 2} {x} & & = & dfrac {-6x ^ 3-2x ^ 2 + 3x-1} {x} & end {array} ]

4. item Como no exemplo anterior, temos duas maneiras de encontrar o domínio de ( frac {g} {f} ). Primeiro, podemos encontrar o domínio de (g ) e (f ) separadamente e encontrar a interseção desses dois conjuntos. Além disso, como ( left ( frac {g} {f} right) (x) = frac {g (x)} {f (x)} ), estamos introduzindo um novo denominador, a saber (f (x) ), então precisamos nos proteger contra esse ser (0 ) também. Nosso trabalho anterior nos diz que o domínio de (g ) é ((- infty, 0) cup (0, infty) ) e o domínio de (f ) é ((- infty) , infty) ). Definir (f (x) = 0 ) dá (6x ^ 2 - 2x = 0 ) ou (x = 0, frac {1} {3} ). Como resultado, o domínio de ( frac {g} {f} ) são todos os números reais, exceto (x = 0 ) e (x = frac {1} {3} ), ou ( (- infty, 0) cup left (0, frac {1} {3} right) cup left ( frac {1} {3}, infty right) ).

Alternativamente, podemos proceder como acima e analisar a expressão ( left ( frac {g} {f} right) (x) = frac {g (x)} {f (x)} ) textit { antes} simplificando. Neste caso, [ left ( dfrac {g} {f} right) (x) = dfrac {g (x)} {f (x)} = dfrac {3- dfrac {1} { x} vphantom { left ( dfrac {1} {x} right)}} {6x ^ 2 - 2x} ]

Vemos imediatamente a partir do denominador 'pequeno' que (x neq 0 ). Para manter o denominador 'grande' longe de (0 ), resolvemos (6x ^ 2 - 2x = 0 ) e obtemos (x = 0 ) ou (x = frac {1} {3} ). Portanto, como antes, encontramos o domínio de ( frac {g} {f} ) como sendo ((- infty, 0) cup left (0, frac {1} {3} right ) cup left ( frac {1} {3}, infty right) ).

A seguir, encontramos e simplificamos uma fórmula para ( left ( frac {g} {f} right) (x) ).

Observe a importância de encontrar o domínio de uma função ( textit {before} ) simplificando sua expressão. No número 4 do Exemplo 1.5.1 acima, se tivéssemos esperado para encontrar o domínio de ( frac {g} {f} ) até text {após} simplificar, teríamos apenas a fórmula ( frac { 1} {2x ^ 2} ) para passar, e nós (incorretamente!) Declararíamos o domínio como ((- infty, 0) cup (0, infty) ), uma vez que o outro número problemático, (x = frac {1} {3} ), foi cancelado. footnote {Veremos o que isso significa geometricamente no Capítulo 4.}

A seguir, voltamos nossa atenção para o ( textbf {quociente de diferença} ) de uma função.

Definição 1.8

Dada uma função (f ), o quociente de diferença de (f ) é a expressão [ dfrac {f (x + h) - f (x)} {h} ]

Iremos revisitar esse conceito na Seção 2.1, mas, por enquanto, vamos usá-lo como uma forma de praticar a notação de funções e a aritmética de funções. Por razões que ficarão claras em Cálculo, 'simplificar' um quociente de diferença significa reescrevê-lo em uma forma onde o ' (h )' na definição do quociente de diferença se anula do denominador. Uma vez que isso aconteça, consideramos nosso trabalho concluído.

Exemplo ( PageIndex {2} ): Quociente de diferença

Encontre e simplifique os quocientes de diferença para as seguintes funções

  1. (f (x) = x ^ 2-x-2 )
  2. (g (x) = dfrac {3} {2x + 1} )
  3. (r (x) = sqrt {x} )

Solução

  1. Para encontrar (f (x + h) ), substituímos todas as ocorrências de (x ) na fórmula (f (x) = x ^ 2-x-2 ) pela quantidade ((x + h) ) para obter

[ begin {array} {rclr} f (x + h) & = & (x + h) ^ 2 - (x + h) -2 & & = & x ^ 2 + 2xh + h ^ 2 - x - h - 2. end {array} ]

Portanto, o quociente de diferença é

2. Para encontrar (g (x + h) ), substituímos todas as ocorrências de (x ) na fórmula (g (x) = frac {3} {2x + 1} ) pela quantidade ((x + h) ) para obter

[ begin {array} {rclr} g (x + h) & = & dfrac {3} {2 (x + h) +1} & & = & dfrac {3} {2x + 2h + 1}, end {array} ]

que produz

Como conseguimos cancelar o ' (h )' original do denominador, terminamos.

3. Para (r (x) = sqrt {x} ), obtemos (r (x + h) = sqrt {x + h} ) então o quociente de diferença é

[ dfrac {r (x + h) - r (x)} {h} = dfrac { sqrt {x + h} - sqrt {x}} {h} ]

Para cancelar o ' (h )' do denominador, racionalizamos o ( textit {numerador} ) multiplicando pelo seu conjugado. Footnote {Racionalizando o ( textit {numerador} ) !? Que torção!}

Uma vez que removemos o ') h )' original do denominador, terminamos. (Caixa)

Como mencionado antes, revisitaremos os quocientes de diferença na Seção 2.1, onde os explicaremos geometricamente. Por enquanto, queremos passar para algumas aplicações clássicas da aritmética de funções da Economia e, para isso, precisamos pensar como um empresário.

Suponha que você seja um fabricante de determinado produto. Footnote {Estátuas de Sasquatch de resina mal projetadas, por exemplo. Sinta-se à vontade para escolher sua própria fantasia empreendedora.} Seja (x ) o textbf {nível de produção}, ou seja, o número de itens produzidos em um determinado período de tempo. É costume deixar (C (x) ) denotar a função que calcula o textbf {custo} total de produção dos itens (x ). A quantidade (C (0) ), que representa o custo de não produzir nenhum item, é chamada de custo ( textbf {fixo} ) e representa a quantidade de dinheiro necessária para iniciar a produção. Associado ao custo total (C (x) ) está o custo por item, ou ( textbf {custo médio} ), denotado ( overline {C} (x) ) e lido ' (C ) -bar 'de (x ). Para calcular ( overline {C} (x) ), pegamos o custo total (C (x) ) e dividimos pelo número de itens produzidos (x ) para obter

[ overline {C} (x) = dfrac {C (x)} {x} ]

No varejo, temos o ( textbf {preço} ) (p ) cobrado por item. Para simplificar o diálogo e os cálculos neste texto, assumimos que ( textit {o número de itens vendidos é igual ao número de itens produzidos} ). Do ponto de vista do varejo, parece natural pensar no número de itens vendidos, (x ), em função do preço cobrado, (p ). Afinal, o varejista pode ajustar facilmente o preço para vender mais produtos. Na linguagem das funções, (x ) seria a variável ( textit {dependente} ) e (p ) seria a variável ( textit {independente} ) ou, usando a notação de função, nós tem uma função (x (p) ). Embora adotaremos essa convenção mais adiante no texto, footnote {Ver Exemplo 5.2.4 na Seção 5.2.} Vamos manter a tradição neste ponto e considerar o preço (p ) como uma função do número de itens vendidos , (x ). Ou seja, consideramos (x ) como a variável independente e (p ) como a variável dependente e falamos da função textbf {preço-demanda}, (p (x) ). Portanto, (p (x) ) retorna o preço cobrado por item quando (x ) itens são produzidos e vendidos. Nossa próxima função a considerar é a função textbf {receita}, (R (x) ). A função (R (x) ) calcula a quantidade de dinheiro arrecadada como resultado da venda de (x ) itens. Como (p (x) ) é o preço cobrado por item, temos (R (x) = x p (x) ). Finalmente, a função textbf {lucro}, (P (x) ) calcula quanto dinheiro é ganho depois que os custos são pagos. Ou seja, (P (x) = (R-C) (x) = R (x) - C (x) ). Resumimos todas essas funções abaixo.

Nota: Resumo das funções econômicas comuns

Suponha que (x ) represente a quantidade de itens produzidos e vendidos.

  1. A função preço-demanda (p (x) ) calcula o preço por item.
  2. A função de receita (R (x) ) calcula o dinheiro total arrecadado com a venda de (x ) itens a um preço (p (x) ), (R (x) = x , p (x) ).
  3. A função de custo (C (x) ) calcula o custo para produzir (x ) itens. O valor (C (0) ) é chamado de custo fixo ou custo inicial.
  4. A função de custo médio ( overline {C} (x) = frac {C (x)} {x} ) calcula o custo por item ao fazer (x ) itens. Aqui, assumimos necessariamente (x> 0 ).
  5. A função de lucro (P (x) ) calcula o dinheiro ganho depois que os custos são pagos quando (x ) itens são produzidos e vendidos, (P (x) = (RC) (x) = R (x) - C (x) ).

É hora de dar um exemplo.

Exemplo ( PageIndex {1} ): Custo Receita Profitex

Deixe (x ) representar o número de dOpi media players ('dOpis' footnote {Pronuncia-se 'dopeys' ldots}) produzidos e vendidos em uma semana típica. Suponha que o custo, em dólares, para produzir (x ) dOpis seja dado por (C (x) = 100x + 2000 ), para (x geq 0 ), e o preço, em dólares por dOpi, é dado por (p (x) = 450-15x ) para (0 leq x leq 30 ).

  1. Encontre e interprete (C (0) ).
  2. Encontre e interprete ( overline {C} (10) ).
  3. Encontre e interprete (p (0) ) e (p (20) ).
  4. Resolva (p (x) = 0 ) e interprete o resultado.
  5. Encontre e simplifique as expressões para a função de receita (R (x) ) e a função de lucro (P (x) ).
  6. Encontre e interprete (R (0) ) e (P (0) ).
  7. Resolva (P (x) = 0 ) e interprete o resultado.

Solução

  1. Substituímos (x = 0 ) na fórmula de (C (x) ) e obtemos (C (0) = 100 (0) + 2000 = 2000 ). Isso significa produzir (0 ) dOpis, custa () 2000 ). Em outras palavras, os custos fixos (ou iniciais) são () 2000 ). O leitor é encorajado a refletir sobre que tipo de despesas essas podem ser.
  2. Dado que ( overline {C} (x) = frac {C (x)} {x} ), ( overline {C} (10) = frac {C (10)} {10} = frac {3000} {10} = 300 ). Isso significa que quando (10 ​​) dOpis são produzidos, o custo para fabricá-los é de () 300 ) por dOpi.
  3. Conectar (x = 0 ) na expressão para (p (x) ) resulta em (p (0) = 450 - 15 (0) = 450 ). Isso significa que nenhum dOpis é vendido se o preço for () 450 ) por dOpi. Por outro lado, (p (20) = 450-15 (20) = 150 ) que significa vender (20 ) dOpis em uma semana típica, o preço deve ser definido em () 150 ) por dOpi.
  4. Definir (p (x) = 0 ) resulta em (450-15x = 0 ). Resolvendo dá (x = 30 ). Isso significa que para vender (30 ) dOpis em uma semana típica, o preço precisa ser definido como () 0 ). Além do mais, isso significa que mesmo se dOpis fosse doado de graça, o varejista só poderia mover (30 ) deles. Footnote {Imagine isso! Dando algo de graça e quase ninguém tirando vantagem disso ldots}
  5. Para encontrar a receita, calculamos (R (x) = x p (x) = x (450 - 15x) = 450x - 15x ^ 2 ). Uma vez que a fórmula para (p (x) ) é válida apenas para (0 leq x leq 30 ), nossa fórmula (R (x) ) também é restrita a (0 leq x leq 30 ). Para o lucro, (P (x) = (R-C) (x) = R (x) - C (x) ). Usando a fórmula fornecida para (C (x) ) e a fórmula derivada para (R (x) ), obtemos (P (x) = left (450x - 15x ^ 2 right) - (100x +2000) = -15x ^ 2 + 350x-2000 ). Como antes, a validade desta fórmula é apenas para (0 leq x leq 30 ).
  6. Encontramos (R (0) = 0 ) o que significa que se nenhum dOpis for vendido, não temos receita, o que faz sentido. Voltando ao lucro, (P (0) = -2000 ) visto que (P (x) = R (x) - C (x) ) e (P (0) = R (0) - C (0 ) = -2000 ). Isso significa que se nenhum dOpis for vendido, mais dinheiro () ) 2000 ) para ser exato!) Foi colocado na produção do dOpis do que foi recuperado nas vendas. No número 1, descobrimos que os custos fixos eram () 2000 ), então faz sentido que, se não vendermos o dOpis, eliminamos esses custos iniciais.
  7. Definir (P (x) = 0 ) resulta em (- 15x ^ 2 + 350x-2000 = 0 ). A fatoração dá (- 5 (x-10) (3x-40) = 0 ) então (x = 10 ) ou (x = frac {40} {3} ). O que esses valores significam no contexto do problema? Como (P (x) = R (x) - C (x) ), resolver (P (x) = 0 ) é o mesmo que resolver (R (x) = C (x) ). Isso significa que as soluções para (P (x) = 0 ) são os números de produção (e vendas) para os quais a receita de vendas equilibra exatamente os custos totais de produção. Estes são os chamados pontos ' textbf {break even}'. A solução (x = 10 ) significa que (10 ​​) dOpis deve ser produzido (e vendido) durante a semana para recuperar o custo de produção. Para (x = frac {40} {3} = 13. overline {3} ), as coisas são um pouco mais complicadas. Mesmo que (x = 13. overline {3} ) satisfaça (0 leq x leq 30 ) e, portanto, esteja no domínio de (P ), não faz sentido no contexto deste problema para produzir uma parte fracionária de um dOpi. footnote {Já vimos esse tipo de coisa antes na Seção 1.4.} Avaliando (P (13) = 15 ) e (P (14) = -40 ), vemos que produzir e vender (13 ) dOpis por semana dá um (pequeno) lucro, ao passo que produzir apenas mais um nos coloca de volta no vermelho. Embora o equilíbrio seja bom, em última análise, gostaríamos de descobrir qual nível de produção (e preço) resultará no maior lucro, e faremos exatamente isso ( ldots ) ​​na Seção 2.3. (Caixa)


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