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9.2: Notação de Soma - Matemática


Na seção anterior, introduzimos as sequências e agora apresentaremos notações e teoremas relativos à soma dos termos de uma sequência. Começamos com uma definição que, embora intimidadora, visa tornar nossas vidas mais fáceis.

Notação de Soma

Dada uma sequência ( left {a_ {n} right } _ {n = k} ^ { infty} ) e números (m ) e (p ) satisfazendo (k leq m leq p ), a soma de (m ) a (p ) da sequência ( left {a_ {n} right } ) é escrita

[ sum_ {n = m} ^ {p} a_ {n} = a_ {m} + a_ {m + 1} + ldots + a_ {p} label {sigmanotation} ]

A variável (n ) é chamada de índice de soma. O número (m ) é chamado de index {notação de soma! limite inferior da soma} textbf {limite inferior da soma} enquanto o número (p ) é chamado de limite superior de somatório.

Em inglês, Definição ref {sigmanotation} é simplesmente definir uma notação abreviada para somar os termos da sequência ( left {a_ {n} right } _ {n = k} ^ { infty} ) de (a_ {m} ) a (a_ {p} ). O símbolo ( Sigma ) é a letra grega maiúscula sigma e é a abreviação de `soma '. Os limites inferior e superior do somatório indicam com qual termo começar e com qual terminar, respectivamente. Por exemplo, usando a sequência (a_ {n} = 2n-1 ) para (n geq 1 ), podemos escrever a soma (a _ { mbox { tiny ) 3 )}} + a _ { mbox { tiny ) 4 )}} + a _ { mbox { tiny ) 5 )}} + a _ { mbox { tiny ) 6 )}} ) como

[ begin {array} {rcl} displaystyle { sum_ {n = 3} ^ {6} (2n-1)} & = & (2 (3) -1) + (2 (4) -1) + (2 (5) -1) + (2 (6) -1) & = & 5 + 7 + 9 + 11 & = & 32 end {array} ]

A variável de índice é considerada uma `variável dummy 'no sentido de que pode ser alterada para qualquer letra sem afetar o valor da soma. Por exemplo,

[ displaystyle { sum_ {n = 3} ^ {6} (2n-1)} = displaystyle { sum_ {k = 3} ^ {6} (2k-1)} = displaystyle { sum_ { j = 3} ^ {6} (2j-1)} ]

Um lugar onde você pode encontrar a notação de soma é nas definições matemáticas. Por exemplo, a notação de soma nos permite definir polinômios como funções da forma

[f (x) = displaystyle { sum_ {k = 0} ^ {n} a_ {k} x ^ {k}} ]

para números reais (a_ {k} ), (k = 0, 1, ldots n ). O leitor é convidado a comparar isso com o que é dado na Definição ref {função polinomial}. A notação de soma é particularmente útil ao falar sobre operações de matriz. Por exemplo, podemos escrever o produto da (i ) ésima linha (R_ {i} ) de uma matriz (A = [a_ {ij}] _ {m vezes n} ) e o (j ^ { mbox { scriptsize th}} ) coluna (C_ {j} ) de uma matriz (B = [b_ {ij}] _ {n vezes r} ) como

[Ri cdot Cj = displaystyle { sum_ {k = 1} ^ {n} a_ {ik} b_ {kj}} ]

Novamente, o leitor é encorajado a escrever a soma e compará-la com a Definição ref {rowcolumnproduct}. Nosso próximo exemplo nos dá prática com essa nova notação.

Exemplo ( PageIndex {1} ):

  1. Encontre as seguintes somas.
  • ( displaystyle { sum_ {k = 1} ^ {4} dfrac {13} {100 ^ k}} )
  • ( displaystyle { sum_ {n = 0} ^ {4} dfrac {n!} {2}} )
  • ( displaystyle { sum_ {n = 1} ^ {5} dfrac {(- 1) ^ {n + 1}} {n} (x-1) ^ n} )
  1. item Escreva as seguintes somas usando a notação de soma.
  • (1 + 3 + 5 + ldots + 117 )
  • (1 - dfrac {1} {2} + dfrac {1} {3} - dfrac {1} {4} + - ldots + dfrac {1} {117} )
  • (0,9 + 0,09 + 0,009 + ldots 0. ! ! ! ! Underbrace {0 cdots 0} _ { text {) n-1 ) zeros}} ! ! ! ! 9 )

Solução

  1. Substituímos (k = 1 ) na fórmula ( frac {13} {100 ^ k} ) e adicionamos termos sucessivos até chegarmos a (k = 4. ) [ Begin {array} {rcl } displaystyle { sum_ {k = 1} ^ {4} dfrac {13} {100 ^ k}} & = & dfrac {13} {100 ^ 1} + dfrac {13} {100 ^ 2} + dfrac {13} {100 ^ 3} + dfrac {13} {100 ^ 4} & = & 0,13 + 0,0013 + 0,000013 + 0,00000013 & = & 0,13131313 end {array} ]
  2. Procedendo como em (a), substituímos todas as ocorrências de (n ) pelos valores (0 ) a (4 ). Lembramos os fatoriais, (n! ) Conforme definido no número Exemplo ref {seqex1}, número ref {factorialintroex} e obtemos: [ begin {array} {rcl} displaystyle { displaystyle { sum_ { n = 0} ^ {4} dfrac {n!} {2}}} & = & dfrac {0!} {2} + dfrac {1!} {2} + dfrac {2!} {2 } + dfrac {3!} {2} = dfrac {4!} {2} & = & dfrac {1} {2} + dfrac {1} {2} + dfrac {2 cdot 1} {2} + dfrac {3 cdot 2 cdot 1} {2} + dfrac {4 cdot 3 cdot 2 cdot 1} {2} & = & dfrac {1} {2 } + dfrac {1} {2} + 1 + 3 + 12 & = & 17 end {array} ]
  3. Procedemos como antes, substituindo o índice (n ), mas emph {não} a variável (x ), com os valores (1 ) a (5 ) e adicionando os termos resultantes. [ begin {array} {rcl} displaystyle { sum_ {n = 1} ^ {5} dfrac {(- 1) ^ {n + 1}} {n} (x-1) ^ n} & = & dfrac {(- 1) ^ {1 + 1}} {1} (x-1) ^ 1 + dfrac {(- 1) ^ {2 + 1}} {2} (x-1) ^ 2 + dfrac {(- 1) ^ {3 + 1}} {3} (x-1) ^ 3 && + dfrac {(- 1) ^ {1 + 4}} {4} (x- 1) ^ 4 + dfrac {(- 1) ^ {1 + 5}} {5} (x-1) ^ 5 [10pt] & = & (x-1) - dfrac {(x-1 ) ^ 2} {2} + dfrac {(x-1) ^ 3} {3} - dfrac {(x-1) ^ 4} {4} + dfrac {(x-1) ^ 5} { 5} end {array} ]
  4. A chave para escrever essas somas com notação de soma é encontrar o padrão dos termos. Para tanto, fazemos bom uso das técnicas apresentadas na Seção ref {Sequências}.

begin {enumerate}

item Os termos da soma (1 ), (3 ), (5 ), etc., formam uma sequência aritmética com o primeiro termo (a = 1 ) e diferença comum (d = 2 ). Obtemos uma fórmula para o (n ) º termo da sequência usando a Equação ref {arithgeoformula} para obter (a_ {n} = 1 + (n-1) 2 = 2n-1 ), (n geq 1 ). Neste estágio, temos a fórmula para os termos, a saber (2n-1 ), e o limite inferior da soma, (n = 1 ). Para terminar o problema, precisamos determinar o limite superior da soma. Em outras palavras, precisamos determinar qual valor de (n ) produz o termo (117 ). Definindo (a_ {n} = 117 ), obtemos (2n-1 = 117 ) ou (n = 59 ). Nossa resposta final é

[ begin {array} {rcl} 1 + 3 + 5 + ldots + 117 & = & displaystyle { sum_ {n = 1} ^ {59} (2n-1)} end {array} ]

item Reescrevemos todos os termos como frações, a subtração como adição, e associamos os negativos `) - ) 'com os numeradores para obter

[ dfrac {1} {1} + dfrac {-1} {2} + dfrac {1} {3} + dfrac {-1} {4} + ldots + dfrac {1} {117 } ]

Os numeradores, (1 ), (- 1 ), etc. podem ser descritos pela seqüência geométrica nota de rodapé {Esta é de fato uma seqüência geométrica com primeiro termo (a = 1 ) e razão comum (r = -1 ).} (C_ {n} = (-1) ^ {n-1} ) para (n geq 1 ), enquanto os denominadores são dados pela seqüência aritmética nota de rodapé {É uma sequência aritmética com o primeiro termo (a = 1 ) e diferença comum (d = 1 ).} (d_ {n} = n ) para (n geq 1 ). Portanto, obtemos a fórmula (a_ {n} = frac {(- 1) ^ {n-1}} {n} ) para os nossos termos, e descobrimos que os limites inferior e superior da soma são ( n = 1 ) e (n = 117 ), respectivamente. Desse modo

[ begin {array} {rcl} 1 - dfrac {1} {2} + dfrac {1} {3} - dfrac {1} {4} + - ldots + dfrac {1} {117 } & = & displaystyle { sum_ {n = 1} ^ {117} dfrac {(- 1) ^ {n-1}} {n}} end {array} ]

item Graças ao Exemplo ref {seqex2}, sabemos que uma fórmula para o termo (n ^ { mbox { scriptsize th}} ) é (a_ {n} = frac {9} {10 ^ {n}} ) para (n geq 1 ). Isso nos dá uma fórmula para o somatório, bem como um limite inferior do somatório. Para determinar o limite superior da soma, notamos que para produzir os (n-1 ) zeros à direita da vírgula decimal antes do (9 ), precisamos de um denominador de (10 ​​^ {n} ) Portanto, (n ) é o limite superior da soma. Uma vez que (n ) é usado nos limites do somatório, precisamos escolher uma letra diferente para o índice de somatório. Footnote {Para ver por que, tente escrever o somatório usando `) n ) 'como o índice .} Escolhemos (k ) e obtemos

[ begin {array} {rcl} 0,9 + 0,09 + 0,009 + ldots 0. ! ! ! ! underbrace {0 cdots 0} _ { text {) n-1 ) zeros}} ! ! ! ! 9 & = & displaystyle { sum_ {k = 1} ^ {n} dfrac {9} {10 ^ {k}}} end {array} ]

O teorema a seguir apresenta algumas propriedades gerais da notação de soma. Embora não tenhamos muita necessidade dessas propriedades em Álgebra, elas desempenham um grande papel no Cálculo. Além disso, há muito a aprender pensando sobre por que as propriedades são mantidas. Convidamos o leitor a comprovar esses resultados. Para começar, lembre-se: `` Em caso de dúvida, escreva! ''

Propriedades da Notação de Soma

Suponha que ( left {a_ {n} right } ) e ( left {b_ {n} right } ) sejam sequências para que as seguintes somas sejam definidas. index {notação de soma! propriedades de}

  • ( displaystyle { sum_ {n = m} ^ {p} left (a_ {n} pm b_ {n} right) = sum_ {n = m} ^ {p} a_ {n} pm sum_ {n = m} ^ {p} b_ {n}} )
  • ( displaystyle { sum_ {n = m} ^ {p} c , a_ {n} = c sum_ {n = m} ^ {p} a_ {n}} ), para qualquer número real ( c ).
  • ( displaystyle { sum_ {n = m} ^ {p} a_ {n} = sum_ {n = m} ^ {j} a_ {n} + sum_ {n = j + 1} ^ {p} a_ {n}} ), para qualquer número natural (m leq j
  • ( displaystyle { sum_ {n = m} ^ {p} a_ {n} = sum_ {n = m + r} ^ {p + r} a_ {nr}} ), para qualquer número inteiro ( r ).

Agora voltamos nossa atenção para as somas que envolvem sequências aritméticas e geométricas. Dada uma sequência aritmética (a_ {k} = a + (k-1) d ) para (k geq 1 ), deixamos (S ) denotar a soma dos primeiros (n ) termos . Para derivar uma fórmula para (S ), nós a escrevemos de duas maneiras diferentes

[ begin {array} {ccccccccccc} S & = & a & + & (a + d) & + & ldots & + & (a + (n-2) d) & + & (a + (n- 1) d) S & = & (a + (n-1) d) & + & (a + (n-2) d) & + & ldots & + & (a + d) & + & a end {array} ]

Se adicionarmos essas duas equações e combinarmos os termos que estão alinhados verticalmente, obtemos

[2S = (2a + (n-1) d) + (2a + (n-1) d) + ldots + (2a + (n-1) d) + (2a + (n-1) d) ]

O lado direito desta equação contém (n ) termos, todos os quais são iguais a ((2a + (n-1) d) ) então obtemos (2S = n (2a + (n-1) ) d) ). Dividindo ambos os lados desta equação por (2 ), obtemos a fórmula

[S = dfrac {n} {2} (2a + (n-1) d) ]

Se reescrevermos a quantidade (2a + (n-1) d ) como (a + (a + (n-1) d) = a _ { mbox { tiny ) 1 )}} + a_ { n} ), obtemos a fórmula

[S = n left ( dfrac {a _ { mbox { tiny ) 1 )}} + a_ {n}} {2} right) ]

Uma maneira útil de lembrar esta última fórmula é reconhecer que expressamos a soma como o produto do número de termos (n ) e a textit {média} do primeiro e (n ^ { mbox { scriptsize th}} ) termos.

Para derivar a fórmula para a soma geométrica, começamos com uma sequência geométrica (a_ {k} = ar ^ {k-1} ), (k geq 1 ), e vamos (S ) mais uma vez denotam a soma dos primeiros (n ) termos. Comparando (S ) e (rS ), obtemos

[ begin {array} {ccccccccccccccc} S & = & a & + & ar & + & ar ^ 2 & + & ldots & + & ar ^ {n-2} & + & ar ^ {n-1} & & r S & = & & & ar & + & ar ^ 2 & + & ldots & + & ar ^ {n-2} & + & ar ^ {n-1} & + & ar ^ {n } end {array} ]

Subtrair a segunda equação da primeira força todos os termos, exceto (a ) e (ar ^ {n} ) a se cancelar e obtemos (S - rS = a - ar ^ {n} ). Fatorando, obtemos (S (1-r) = a left (1-r ^ {n} right) ). Assumindo (r neq 1 ), podemos dividir ambos os lados pela quantidade ((1-r) ) para obter

[S = a esquerda ( dfrac {1-r ^ n} {1-r} direita) ]

Se distribuirmos (a ) através do numerador, obtemos (a - ar ^ {n} = a _ { mbox { tiny ) 1 )}} - a_ {n mbox { tiny ) + 1 )}} ) que produz a fórmula

[S = dfrac {a _ { mbox { tiny ) 1 )}} - a_ {n mbox { tiny ) + 1 )}}} {1-r} ]

No caso em que (r = 1 ), obtemos a fórmula

[S = underbrace {a + a + ldots + a} _ { text {) n ) vezes}} = n , a ]

Nossos resultados estão resumidos a seguir.

Soma das sequências aritméticas e geométricas

item A soma (S ) dos primeiros (n ) termos de uma sequência aritmética (a_ {k} = a + (k-1) d ) para (k geq 1 ) é

[S = displaystyle { sum_ {k = 1} ^ {n} a_ {k}} = n left ( dfrac {a _ { mbox { tiny ) 1 )}} + a_ {n} } {2} right) = dfrac {n} {2} (2a + (n-1) d) label {arithgeosum} ]

item A soma (S ) dos primeiros (n ) termos de uma sequência geométrica (a_ {k} = ar ^ {k-1} ) para (k geq 1 ) é

  1. item (S = displaystyle { sum_ {k = 1} ^ {n} a_ {k}} = dfrac {a _ { mbox { tiny ) 1 )}} - a_ {n mbox { tiny ) + 1 )}}} {1-r} = a esquerda ( dfrac {1-r ^ n} {1-r} direita) ), se (r neq 1 ) . index {seqüência! aritmética! soma dos primeiros (n ) termos}
  2. item (S = displaystyle { sum_ {k = 1} ^ {n} a_ {k} = sum_ {k = 1} ^ {n} a = na} ), se (r = 1 ) index {sequência! geométrico! soma dos primeiros (n ) termos}

Embora tenhamos feito um esforço honesto para derivar as fórmulas na Equação ref {arithgeosum}, as provas formais requerem o maquinário na Seção ref {Indução}. Uma aplicação da fórmula da soma aritmética que se mostra útil em Cálculo resulta na fórmula para a soma dos primeiros (n ) números naturais. Os próprios números naturais são uma sequência nota de rodapé {Esta é a função de identidade nos números naturais!} (1 ), (2 ), (3 ), ldots que é aritmética com (a = d = 1 ). Aplicando a Equação ref {arithgeosum},

[ begin {array} {rcl} 1 + 2 + 3 + ldots + n & = & dfrac {n (n + 1)} {2} end {array} ]

Então, por exemplo, a soma dos primeiros (100 ) números naturais footnote {Há uma anedota interessante que diz que o famoso matemático href {en.Wikipedia.org/wiki/Carl_Fr ... underline {Carl Friedrich Gauss}} teve esse problema na escola primária e concebeu uma solução muito inteligente.} Is ( frac {100 (101)} {2} = 5050 ).

Uma aplicação importante da fórmula da soma geométrica é o plano de investimento denominado index {annuity! comum ! definição de} textbf {anuidade}. As anuidades diferem do tipo de investimento que estudamos na Seção ref {ExpLogApplications} em que os pagamentos são depositados na conta em uma base contínua, e isso complica um pouco a matemática. Footnote {O leitor pode desejar reler a discussão sobre juros compostos na Seção ref {ExpLogApplications} antes de prosseguir.} Suponha que você tenha uma conta com taxa de juros anual (r ) que é composta (n ) vezes por ano. Deixamos (i = frac {r} {n} ) denotar a taxa de juros por período. Suponha que desejamos fazer depósitos contínuos de (P ) dólares no textit {final} de cada período de capitalização. Seja (A_ {k} ) o valor na conta após (k ) períodos de capitalização. Então (A _ { mbox { tiny ) 1 )}} = P ), porque fizemos nosso primeiro depósito no textit {final} do primeiro período de capitalização e nenhum juro foi ganho. Durante o segundo período de composição, ganhamos juros em (A _ { mbox { tiny ) 1 )}} ) de modo que nosso investimento inicial cresceu para (A _ { mbox { tiny ) 1 ) }} (1 + i) = P (1 + i) ) de acordo com a Equação ref {juros simples}. Quando adicionamos nosso segundo pagamento no final do segundo período, obtemos

[A _ { mbox { tiny ) 2 )}} = A _ { mbox { tiny ) 1 )}} (1 + i) + P = P (1 + i) + P = P ( 1 + i) esquerda (1 + dfrac {1} {1 + i} direita) ]

A razão para fatorar o (P (1 + i) ) se tornará aparente em breve. Durante o terceiro período de composição, ganhamos juros sobre (A _ { mbox { tiny ) 2 )}} ) que então cresce para (A _ { mbox { tiny ) 2 )}} (1 + i) ). Adicionamos nosso terceiro pagamento no final do terceiro período de composição para obter

[A _ { mbox { tiny ) 3 )}} = A _ { mbox { tiny ) 2 )}} (1 + i) + P = P (1 + i) left (1 + dfrac {1} {1 + i} right) (1 + i) + P = P (1 + i) ^ 2 left (1 + dfrac {1} {1 + i} + dfrac {1} {(1 + i) ^ 2} direita) ]

Durante o quarto período de composição, (A _ { mbox { tiny ) 3 )}} ) cresce para (A _ { mbox { tiny ) 3 )}} (1 + i) ), e quando adicionamos o quarto pagamento, fatoramos (P (1 + i) ^ 3 ) para obter

[A _ { mbox { tiny ) 4 )}} = P (1 + i) ^ 3 left (1 + dfrac {1} {1 + i} + dfrac {1} {(1+ i) ^ 2} + dfrac {1} {(1 + i) ^ 3} direita) ]

Este padrão continua de forma que no final da (k ) ésima composição, obtemos

[A_ {k} = P (1 + i) ^ {k-1} left (1 + dfrac {1} {1 + i} + dfrac {1} {(1 + i) ^ 2} + ldots + dfrac {1} {(1 + i) ^ {k-1}} direita) ]

A soma entre parênteses acima é a soma dos primeiros (k ) termos de uma sequência geométrica com (a = 1 ) e (r = frac {1} {1 + i} ). Usando a Equação ref {arithgeosum}, obtemos

[1 + dfrac {1} {1 + i} + dfrac {1} {(1 + i) ^ 2} + ldots + dfrac {1} {(1 + i) ^ {k-1} } = 1 esquerda ( dfrac {1 - dfrac {1} {(1 + i) ^ k}} {1 - dfrac {1} {1 + i}} direita) =

dfrac {(1 + i) left (1 - (1 + i) ^ {- k} right)} {i} ]

Portanto, temos

[A_ {k} = P (1 + i) ^ {k-1} left ( dfrac {(1 + i) left (1 - (1 + i) ^ {- k} right)} { i} direita) = dfrac {P esquerda ((1 + i) ^ k - 1 direita)} {i} ]

Se deixarmos (t ) ser o número de anos em que essa estratégia de investimento é seguida, então (k = nt ), e obteremos a fórmula para o valor futuro de uma index {anuidade! comum ! valor futuro} textbf {anuidade normal}.

Valor futuro de uma anuidade ordinária

Suponha que uma anuidade ofereça uma taxa de juros anual (r ) composta (n ) vezes por ano. Seja (i = frac {r} {n} ) a taxa de juros por período de capitalização. Se um depósito (P ) for feito no final de cada período de composição, o valor (A ) na conta após (t ) anos é dado por

[A = dfrac {P left ((1 + i) ^ {nt} - 1 right)} {i} label {fvannuity} ]

O leitor é encorajado a substituir (i = frac {r} {n} ) na Equação ref {fvannuity} e simplificar. Surgem algumas equações familiares que são causa de pausa e meditação. Uma última nota: se o depósito (P ) for feito no textit {início} do período de composição em vez de no final, a anuidade é chamada de index {anuidade! vencimento da anuidade} textbf {vencimento da anuidade}. Deixamos a derivação da fórmula para o valor futuro de uma anuidade a vencer como um exercício para o leitor.

Exemplo ( PageIndex {1} )

Uma anuidade normal oferece uma taxa de juros anual de (6 \% ), composta mensalmente.

  1. Se forem feitos pagamentos mensais de () 50 ), encontre o valor da anuidade em (30 ) anos.
  2. Quantos anos a anuidade levará para chegar a () 100, ! 000 )?

Solução

  1. Temos (r = 0,06 ) e (n = 12 ) de modo que (i = frac {r} {n} = frac {0,06} {12} = 0,005 ). Com (P = 50 ) e (t = 30 ), [A = dfrac {50 left ((1 + 0,005) ^ {(12) (30)} - 1 right)} {0,005 } approx 50225,75 ] Nossa resposta final é () 50, ! 225,75 ).
  2. Para descobrir quanto tempo levará para a anuidade crescer até () 100, ! 000 ), definimos (A = 100000 ) e resolvemos para (t ). Isolamos o exponencial e obtemos os logs naturais de ambos os lados da equação.

[ begin {array} {rcl} 100000 & = & dfrac {50 left ((1 + 0,005) ^ {12t} - 1 right)} {0,005} 10 & = & (1,005) ^ { 12t} - 1 (1.005) ^ {12t} & = & 11 ln left ((1.005) ^ {12t} right) & = & ln (11) 12t ln (1.005) & = & ln (11) t & = & frac { ln (11)} {12 ln (1.005)} approx 40.06 end {array} ]

Isso significa que leva pouco mais de (40 ) anos para que o investimento cresça até () 100, ! 000 ). Comparando isso com nossa resposta à parte 1, vemos que em apenas (10 ​​) anos adicionais, o valor da anuidade quase dobra. Esta é uma lição que vale a pena lembrar.

Fechamos esta seção com uma espiada no Cálculo, considerando somas textit {infinitas}, chamadas index {series} textbf {series}. Considere o número (0. overline {9} ). Podemos escrever este número como

[0. overline {9} = 0,9999 ... = 0,9 + 0,09 + 0,009 + 0,0009 + ldots ]

Do Exemplo ref {seriesex1}, sabemos que podemos escrever a soma do primeiro (n ) desses termos como

[0. underbrace {9 cdots 9} _ { text {) n ) noves}} = 0,9 + 0,09 + 0,009 + ldots 0. ! ! ! ! underbrace {0 cdots 0} _ { text {) n-1 ) zeros}} ! ! ! ! 9 = displaystyle { sum_ {k = 1} ^ {n} dfrac {9} {10 ^ {k}}} ]

Usando a Equação ref {arithgeosum}, temos

[ displaystyle { sum_ {k = 1} ^ {n} dfrac {9} {10 ^ {k}}} = dfrac {9} {10} left ( dfrac {1 - dfrac {1 } {10 ^ {n + 1}}} {1 - dfrac {1} {10}} direita) = 1 - dfrac {1} {10 ^ {n + 1}} ]

É lógico que (0. overline {9} ) é o mesmo valor de (1 - frac {1} {10 ^ {n + 1}} ) que (n rightarrow infty ) Nosso conhecimento de expressões exponenciais da Seção ref {IntroExpLogs} nos diz que ( frac {1} {10 ^ {n + 1}} rightarrow 0 ) como (n rightarrow infty ), então ( 1 - frac {1} {10 ^ {n + 1}} rightarrow 1 ). Acabamos de argumentar que (0. overline {9} = 1 ), o que pode causar algum desconforto para alguns leitores. (Para tornar isso mais palatável, geralmente é aceito que (0. overline {3} = frac {1} {3} ) de modo que (0. overline {9} = 3 left (0. overline {3} right) = 3 left ( frac {1} {3} direita) = 1 )). Qualquer decimal não finalizado pode ser pensado como uma soma infinita cujos denominadores são as potências de (10 ​​), então o fenômeno de somar infinitamente muitos termos e chegar a um número finito não é tão estranho a um conceito como pode aparecer. Terminamos esta seção com um teorema relativo às séries geométricas.

Definição: Série Geométrica

Dada a sequência (a_ {k} = ar ^ {k-1} ) para (k geq 1 ), onde (| r | <1 ),

[a + ar + ar ^ 2 + ldots = displaystyle { sum_ {k = 1} ^ { infty} ar ^ {k-1}} = dfrac {a} {1-r} label { geosséries} ]

Se (| r | geq 1 ), a soma (a + ar + ar ^ 2 + ldots ) ​​não é definida.

A justificativa do resultado no Teorema ref {geoseries} vem de tomar a fórmula na Equação ref {arithgeosum} para a soma dos primeiros (n ) termos de uma sequência geométrica e examinar a fórmula como (n rightarrow infty ). Assumindo que (| r | <1 ) significa (- 1

[ displaystyle { sum_ {k = 1} ^ {n} ar ^ {k-1}} = a left ( dfrac {1-r ^ n} {1-r} right) rightarrow dfrac {a} {1-r} ]

Quanto ao que dá errado quando (| r | geq 1 ), deixamos isso para Cálculo também, mas exploraremos alguns casos nos exercícios.


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Uma notação de soma (Σ) é usada para somar os números ou quantidades indicadas. Podemos somar todos os tipos de números, como números reais, inteiros, complexos e racionais, usando a notação sigma. A notação de soma também é chamada de notação sigma. Usando a notação de soma, podemos resolver os problemas facilmente. Soma uma maneira concisa e conveniente de escrever somas longas.


Eu gosto de compartilhar isso Notação Fracionária com você durante todo o meu artigo.

Resolvendo Notação de Soma e # 8211 Resolvendo Problemas de Exemplo

Exemplo 1: Encontre a soma para a expressão dada e explique os termos da notação de soma

Limite inferior: & # 8216n & # 8217 é o limite inferior da notação de soma.

Limite superior: & # 82167 & # 8217 é o limite superior da notação de soma.

Fórmula: (n + 1) 3 é a fórmula para descrever cada termo da notação de soma.

Início: n = 1, aqui 1 indica o primeiro número dos termos da notação de soma. Normalmente, o valor de início é zero (0) ou um (1).

Fim: 7 está indicando o último número dos termos da notação de soma.

Variável de índice: a variável de índice & # 8216n & # 8217 é usada para rotular cada termo da notação de soma.

& # 8721 (n + 1) 3 = 8 + 27 + 64 + 125 + 216 + 343 + 512 = 1295

Exemplo 2: Resolva e encontre a soma para a expressão fornecida

Fórmula: 3 (n + n2), termo inicial: 1, termo final: 6 e variável de índice: n

& # 8721 3 (n + n2) / n = 3 (1 + 12) + 3 (2 + 22) + 3 (3 + 32) + 3 (4 + 42) + 3 (5 + 52) + 3 (6 + 62)


= 3(1 + 1) + 3(2 + 4) + 3(3 + 9) + 3(4 + 16) + 3(5 + 25) + 3(6 + 36)

= 3(2) + 3(6) + 3(12) + 3(20) + 3(30) + 3(42)

Estou planejando escrever mais post sobre Definição de número par e Fórmula para o tamanho da amostra. Continue checando meu blog.

Exemplo 3: Resolva e encontre a soma para a expressão fornecida

Fórmula: n (2n + 1) / 2, termo inicial: 1, termo final: 6 e variável de índice: n

& # 8721 n (2n + 1) / 2 = (1 (2 (1) + 1) / 2) + (2 (2 (2) + 1) / 2) + (3 (2 (3) + 1) / 2) + (4 (2 (4) + 1) / 2)


= (1(3) / 2) + (2(5) / 2) + (3(7) / 2) + (4(9) / 2) + (5(11) / 2) + (6(13) / 2)


9.2: Notação de Soma - Matemática

Questões

Notação de Soma Use a fórmula na Equação 9.2 para encontrar a soma.
( sum_ <10> ^) 5n + 3

Notação de Soma Use as fórmulas na Equação 9.2 para encontrar a soma
( sum_ <20> ^) 2n-1

Notação de Soma Use as fórmulas na Equação 9.2 para encontrar a soma.
( sum_ <15> ^) 3-k

Notação de Soma Encontre o valor de cada soma usando a Definição 9.3.
( sum_ <8> ^) ( frac <1>)

Notação de Soma Use as fórmulas na Equação 9.2 para encontrar a soma.
1+4+7+. +295

Notação de Soma Use as fórmulas na Equação 9.2 para encontrar a soma.
4+2+0-2-. -146

Notação de Soma Use as fórmulas na Equação 9.2 para encontrar a soma.
1+3+9+. +2187

Notação de Soma Use o Teorema 9.2 para expressar cada decimal repetido como uma fração de inteiros.
0.7

Notação de Soma Encontre o valor de cada soma usando a Definição 9.3.
( sum_ <5> ^)2(^)

Notação de Soma Use o Teorema 9.2 para expressar cada decimal repetido como uma fração de inteiros.
10.159

Notação de Soma Use o Teorema 9.2 para expressar cada decimal repetido como uma fração de inteiros.
-5.867

Notação de Soma Use a Equação 9.3 para calcular o valor futuro da anuidade com os termos fornecidos. Em todos os casos, suponha que o pagamento seja feito mensalmente, a taxa de juros fornecida seja a taxa anual e os juros compostos mensalmente.
os pagamentos são de $ 300, a taxa de juros é de 2,5% e o prazo é de 17 anos.

Notação de Soma Use a Equação 9.3 para calcular o valor futuro da anuidade com os termos fornecidos. Em todos os casos, suponha que o pagamento seja feito mensalmente, a taxa de juros fornecida seja a taxa anual e os juros compostos mensalmente.
os pagamentos são de $ 50, a taxa de juros é de 1,0% e o prazo é de 30 anos.

Notação de Soma Use a Equação 9.3 para calcular o valor futuro da anuidade com os termos fornecidos. Em todos os casos, suponha que o pagamento seja feito mensalmente, a taxa de juros fornecida seja a taxa anual e os juros compostos mensalmente.
os pagamentos são $ 100, a taxa de juros é de 2,0%, o prazo é de 20 anos

Notação de Soma Use a Equação 9.3 para calcular o valor futuro da anuidade com os termos fornecidos. Em todos os casos, suponha que o pagamento seja feito mensalmente, a taxa de juros fornecida seja a taxa anual e os juros compostos mensalmente.
os pagamentos são de $ 100, a taxa de juros é de 2,0%, o prazo é de 25 anos

Prova de indução matemática Prove cada afirmação usando o Princípio da Indução Matemática.

Prova de indução matemática Prove cada afirmação usando o Princípio da Indução Matemática.

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  • Operadores aritméticos: adicionar "+", subtrair "-", dividir "/", multiplicar "*", expoente "^", fatorial "!"
  • Operadores de comparação: maior que ">", menor que "& lt", maior ou igual "> =", menor ou igual "& lt =", igual "= ()" parênteses agrupam símbolos para indicar a ordem das operações
  • Funções trigonométricas: sin (x), cos (x), tan (x), cot (x), sec (x), csc (x), asin (x), acos (x), atan (x), acot (x), asec (x), acsc (x)
  • Funções trigonométricas hiperbólicas: sinh (x), cosh (x), tanh (x), coth (x), sech (x), csch (x)
  • Funções hiperbólicas inversas: asinh (x), acosh (x), atanh (x), acoth (x), asech (x), acsch (x)
  • Funções mín. / Máx.: min (exp1, exp2.), max (exp1, exp2.)
  • Misc. Funções: log (x), log10, exp (x), sqrt (x), abs (x), ceil (x), round (x), floor (x), fact (x), dfactorial (x), mod (exp1 , exp2), sinal (x)

A notação de soma representa um método preciso e útil de representar somas longas. Por exemplo, você pode desejar somar uma série de termos em que os números envolvidos exibam um padrão claro, como segue:

O primeiro dos exemplos fornecidos acima é a soma de sete números inteiros, enquanto o último é a soma dos primeiros sete números quadrados. Em um nível superior, se avaliarmos uma sucessão de números, x1, x2, x3,. . . , xk, podemos registrar a soma desses números da seguinte maneira:

Um método mais simples de representar isso é usar o termo xn para denotar o termo geral da sequência, como segue:

Nesse caso, o símbolo ∑ é a letra grega maiúscula, Sigma, que corresponde à letra 'S' e denota a primeira letra da palavra 'Soma'. Como tal, a expressão se refere à soma de todos os termos, xn Onde n representa os valores de 1 para k. Também podemos representar isso da seguinte forma:

Esta representação se refere a todos os termos xn, Onde n assume os valores de uma para b. Nesse caso, uma representa o limite inferior, enquanto b representa o limite superior.


Inconsistências de notações matemáticas tradicionais

Alguns matemáticos não gostam da notação do Mathematica. Em parte, isso ocorre porque o Mathematica é uma linguagem de programação funcional e a maioria das pessoas não está familiarizada com ela. (as linguagens com as quais a maioria das pessoas cresceu, como C, Pascal, Java, são chamadas de “linguagens imperativas” pelos cientistas da computação.) Acontece que sou um discípulo forte da programação funcional. And, I'm a strong defender of the logic behind the Mathematica notation system, apart from my love functional programing paradigms.

Even before i appreciated Mathematica's notation, i have found traditional math notations to be quite inconsistent. In combination with my development into extreme logical thinking, i have problems using some of the traditional notations, because taken as is they generate contradictions if we regard formulas in them as a notations in a logical system. For example, the parenthesis is used as a grouping construct as in (3+4)*2 but also for enclosing function's arguments such as f(x)=sin(x). The equality sign “=”, had multiple meanings depending on the context. It sometimes is used to define, while other times to signify equivalence relation. When equal sign is used for identities, a example of logical problem that comes to my mind is the “level of equality”. For example, symbol substitution is obviously not the same as stating a theorem, and a definition may not be the same thing as a notational convention.

As one can see, there are lots of things are assumed in written math. As math history shows, many paradoxes or problems often traces back to subconscious implicit assumptions, only after identification and analysis are the issues resolved satisfactorily. (for example, irrational numbers, non-Euclidean geometry, complex numbers, understanding of real numbers (transcendental, algebraic), negative numbers, random numbers.). That is to say, many important thing in math became understood only after a serious understanding of the foundational issues. For example, calculus is fret with doubts until the concept of limits rests on logical understandings. Complex numbers are not developed until the puzzling “imaginary number” mysteries fully understood as a mere a 2-number pair numbering system. Negative numbers, irrational numbers, and the transfinite number concept all went thru similar routes that caused crisis or resistance and stagnation.

Another illogical convention is writing “sin 2 (x)” instead of the more logically consistent sin(x) 2 . The one i hate the most is the dy/dx notation. This notation is the epitome of traditional maths i hate so much. The dy/dx notation is the opposite of formalism. It entails the so-called concept of “differentials” and with a false division symbol. When using dy/dx notation in formulas, one really has to treat formula manipulation as manipulation of concepts at every step. Thinking programmatically creates problems. To me, when i see dy/dx, i think of it as a function of one variable that is the (mathematically defined) derivative of the function with one variable y. However, this mathematically significant interpretation usually doesn't make sense with whatever the text is trying to communicate. And when texts takes the dy and dx apart or discuss differentials, i really have a hard time understanding what is the mathematical content the author tries to convey. (if any).

The “d” in dx is a “meaningless” kludge. It functions as a delimiter more than anything else.

It is true that there are so much math that one cannot aim for one consistent notation to be used for all fields of math. However, certain elements can be improved, and I believe the Mathematica Standard form embodies many examples. Among the thing that is useless, is the italicizing of variables.

Math notation, like natural languages, is in a way very inefficient. One are bought up with it painfully and eventually become comfortable and swear by it. When encountering simpler and logical constructions that are novel, finding it “unnatural” and resistance is the common reaction.

That is, given two function f[t] and g[t], and for any given t we have a pairs of numbers

Here, f[t] is used in one place to represent a function, but in another place used to represent its value.

In the Wikipedia article Golden ratio, quote:

Two quantities a and b are said to be in the golden ratio φ if:

This equation unambiguously defines φ.

This is a example of abuse of math notation.

In (a+b)/a = a/b = φ , we have basically a system of equations of 3 variables. The reason someone wrote this equation to define the golden ratio, is due mostly to the abuse of the equal sign as used in traditional math notation. In fact, the equation does not make sense.

This abuse does not happen just in Wikipedia, but in just about every math textbook from professional mathematicians. (e.g. Visual Complex Analysis , by Tristan Needham. Buy at amazon or my friend's Differential Equations, Mechanics, and Computation Buy at amazon)

Typically, mathematicians will just say it doesn't matter, because by context it makes it clear to humans. Discordo. I think it introduces lots of mis-understanding and garbage into our minds, especially those who have not studied symbolic logic and proof systems (which, is actually majority of mathematicians). The wishy-washy, ill-defined, subconscious, notions and formulas make logical analysis of math subjects difficult. Of course, mathematicians simply grew up with this, got used to it, so don't perceive any problem. They'd rather attribute the problem to the inherent difficulty of math concepts. I think that if we actually force all math notations into something similar of a formal language (in Hilbert's formalism sense), then many un-necessary confusion will go away, and math understanding and research will be easier and grow faster. (one historical example to illustrate this is the history of complex numbers and calculus, which took decades to overcome.)

You will realize much of these problems when you actually try to program math to computers, may it be setting up a computer based proof or writing a simple computer algebra software. For example, let's say you want to write program to draw a rectangle of golden ratio. You read about the golden ratio. You need to define it in your program. You start with the Wikipedia equation given, then immediately, you'd realize, it does not make sense at all. Because when you try to program something to the computer, the computer won't accept your wishy-washy subconscious ill-defined implicit human notions. When you actually try to program it, you'll realize lots of these issues, and in fact come out with a clear understanding of the subject, even if the subject is a basic one such as a definition of a number.

If you do a lot math programing or working in proof systems, you realize that what's said in math textbook and what needs to be written as a program are very incongruous. For example, try translating the descriptions of how to do derivatives in calculus textbooks into a computer program. (note: this issue is not about the deep subject of mathematical definition by “what is” vs algorithmic definition by “how to”.)


Series and Summation Notation - Concept

Carl taught upper-level math in several schools and currently runs his own tutoring company. He bets that no one can beat his love for intensive outdoor activities!

An important part of understanding functions is understanding their domain and range. Domain and range are all the possible x-values and y-values of the function, and can often be described easily by looking at a graph. In order to grasp domain and range, students must understand how to determine if a relation is a function and interpreting graphs.

So a series is just the summation of a sequence. So a sequence is just a bunch of numbers in a row, a series is what happens when we add up all those numbers together. Okay?
So before me I have a general term for a sequence. a sub n is equal to n squared minus 1. And first we're asked to find the first four terms. Okay? So in order to find the first term, we would find a sub 1 which happens when we plug in 1. 1 squared minus 1 that's just 0. So our first term is going to be 0.
To find the second term we plug in 2. a sub 2 is equal to 2 squared. 4-1 which is going to give us 3. Third term [IB] and repeat a sub 3 is 3 squared, 9-1 is 8. And the fourth term a sub 4, plug in 4. 4 squared, 16-1 is 15.
So this right here is a sequence. It's 4 numbers written in order with commons in between. It's just a collection of numbers.
Find the sum of those first 4 terms. So basically we already found the 4 terms, all we have to do is add them together. 0+3 is 3 plus 8 is 11 plus 15 is 26. So 26 is then the series, okay? Series is the way I remember it is, series is a shorter word therefore your answer should be shorter, one number. A sequence is a longer word, it's going to be a collection of data, a collection of numbers, okay?
So basically all the series is is a summation of the sequence.


Conteúdo

The history of mathematical notation commences with the tally marks of prehistoric Africans, and then the investigations of the ancient Mesopotamians, Egyptians and Phoenicians in the ancient Near East. Numerical notation distinctive feature, i.e. symbols having local as well as intrinsic values (arithmetic), implies a state of civilization at the period of its invention. Our knowledge of the mathematical attainments of these early peoples, to which this section is devoted, is imperfect and the following brief notes be regarded as a summary of the conclusions which seem most probable, and the history of mathematics begins with the symbolic sections.

Many areas of mathematics began with the study of real world problems, before the underlying rules and concepts were identified and defined as abstract structures. For example, geometry has its origins in the calculation of distances and areas in the real world algebra started with methods of solving problems in arithmetic.

There can be no doubt that most early peoples which have left records knew something of numeration and mechanics, and that a few were also acquainted with the elements of land-surveying. In particular, the Egyptians paid attention to geometry and numbers, and the Phoenicians to practical arithmetic, book-keeping, navigation, and land-surveying. The results attained by these people seem to have been accessible, under certain conditions, to travelers. It is probable that the knowledge of the Egyptians and Phoenicians was largely the result of observation and measurement, and represented the accumulated experience of many ages.

Beginning of notation

Written mathematics began with numbers expressed as tally marks, with each tally representing a single unit. For example, one notch in a bone represented one animal, or person, or anything else. This originated from prehistoric Africa.

The numerical symbols consisted probably of strokes or notches cut in wood or stone, and intelligible alike to all nations. [note 2] For example, one notch in a bone represented one animal, or person, or anything else. Greek tradition uniformly assigned the special development of geometry to the Egyptians, and that of the science of numbers [note 3] either to the Egyptians or to the Phoenicians.

Mesopotamian notation

The Mesopotamians had symbols for each power of ten. Ζ] Later, they wrote their numbers in almost exactly the same way done in modern times. Instead of having symbols for each power of ten, they would just put the coefficient of that number. Each digit was at separated by only a space, but by the time of Alexander, they had created a symbol that represented zero and was a placeholder. The Mesopotamians also used a sexagesimal system, that is base sixty. It is this system that is used in modern times when measuring time and angles. Babylonian mathematics is derived from more than 400 clay tablets unearthed since the 1850s. Η] Written in Cuneiform script, tablets were inscribed whilst the clay was moist, and baked hard in an oven or by the heat of the sun. Some of these appear to be graded homework. The earliest evidence of written mathematics dates back to the ancient Sumerians and the system of metrology from 3000 BC. From around 2500 BC onwards, the Sumerians wrote multiplication tables on clay tablets and dealt with geometrical exercises and division problems. The earliest traces of the Babylonian numerals also date back to this period. ⎖]

The majority of Mesopotamian clay tablets date from 1800 to 1600 BC, and cover topics which include fractions, algebra, quadratic and cubic equations, and the calculation of regular reciprocal pairs. ⎗] The tablets also include multiplication tables and methods for solving linear and quadratic equations. The Babylonian tablet YBC 7289 gives an approximation of √2 accurate to five decimal places. Babylonian mathematics were written using a sexagesimal (base-60) numeral system. From this derives the modern day usage of 60 seconds in a minute, 60 minutes in an hour, and 360 (60 x 6) degrees in a circle, as well as the use of minutes and seconds of arc to denote fractions of a degree. Babylonian advances in mathematics were facilitated by the fact that 60 has many divisors: the reciprocal of any integer which is a multiple of divisors of 60 has a finite expansion in base 60. (In decimal arithmetic, only reciprocals of multiples of 2 and 5 have finite decimal expansions.) Also, unlike the Egyptians, Greeks, and Romans, the Babylonians had a true place-value system, where digits written in the left column represented larger values, much as in the decimal system. They lacked, however, an equivalent of the decimal point, and so the place value of a symbol often had to be inferred from the context.

Egyptian notation

The ancient Egyptians had a symbolic notation which was the numeration by Hieroglyphics. ⎘] ⎙] Ancient Egyptian mathematics had a symbol for one, ten, one-hundred, one-thousand, ten-thousand, one-hundred-thousand, and one-million. Smaller digits were placed on the left of the number, as they are in Arabic numerals. Later, the Egyptians used hieratic instead of hieroglyphic script to show numbers. Hieratic was more like cursive and replaced several groups of symbols with individual ones. For example, the four vertical lines used to represent four were replaced by a single horizontal line. This is found in the Rhind Mathematical Papyrus (c. 2000–1800 BC) and the Moscow Mathematical Papyrus (c. 1890 BC). The system the Egyptians used was discovered and modified by many other civilizations in the Mediterranean. The Egyptians also had symbols for basic operations: legs going forward represented addition, and legs walking backward to represent subtraction.

Greek notation

The ancient Greeks at first employed Attic numeration, which was based on the system of the Egyptians and was later adapted and used by the Romans. Numbers one through four were vertical lines, like in the hieroglyphics. The symbol for five was the Greek letter pente, which was the first letter of the word for five. Numbers six through nine were pente with vertical lines next to it. Ten was represented by the first letter of the word for ten, deka, one-hundred by the first letter from the word for one-hundred, etc.

The Ionian numeration used the entire alphabet and three archaic letters.

UMA B Г Δ E F Z H θ eu K Λ M N Ξ O Π (qoppa) P Σ T Υ Ф X Ψ Ω (sampi)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 200 300 400 500 600 700 800 900

This system appeared in the third century B.C., before the letters vau (F), koppa, and sampi became archaic. When lowercase letters appeared, these replaced the uppercase ones as the symbols for notation. Multiples of one-thousand were written as the first nine numbers with a stroke in front of them thus one-thousand was, α, two-thousand was, β, etc. M was used to multiply numbers by ten-thousand. The number 88,888,888 would be written as M,ηωπη*ηωπη ⎚]

Greek mathematical reasoning was almost entirely geometric (albeit often used to reason about nongeometric subjecs such as number theory), and hence the Greeks had no interest in algebraic symbols. The great exception was Diophantus of Alexandria the first great algebraists. Seu Arithmetica was one of the first texts to use symbols in equations. It was not completely symbolic, but was much more than previous books. An unknown number was called s. The square of s was the cube was the fourth power was and the fifth power was . A expressão would be written as SS2 C3 x5 M S4 u6.

Chinese notation

The numbers 0-9 in Chinese huāmǎ (花碼) numerals

The Chinese used numerals that look much like the tally system. Numbers one through four were horizontal lines. Five was an X between two horizontal lines it looked almost exactly the same as the Roman numeral for ten. Nowadays, the huāmǎ system is only used for displaying prices in Chinese markets or on traditional handwritten invoices.


Summation notation help

Hi, please could someone help guide me in the right direction with this equitation? No idea where to start

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Tkhunny

Moderador

Hi, please could someone help guide me in the right direction with this equitation? No idea where to start

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Harry_the_cat

Elite Member

Falksong

New member

Hi, so I get Sigma and I guess I treat Pi as the sum of Pi x in the equation? I'm also confused about the sum of x in the brackets, :-/ please might you be able to break it down for me?

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Elite Member

Hi, please could someone help guide me in the right direction with this equitation? No idea where to start

Falksong

New member

Still way over my head

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Subhotosh Khan

Super Moderator

Still way over my head

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Are you saying that - you could not calculate:

Harry_the_cat

Elite Member

Still way over my head

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The symbol (displaystyle Sigma) (upper case Greek letter sigma) stands for "sum of". Sigma = Sum. To find the sum, you add.

The symbol (displaystyle Pi) (upper case Greek letter pi) stands for "product of". Pi = Product. To find the product, you multiply.

(displaystyle x_1) is the first number in the set X. Here (displaystyle x_1 = 5.2).

(displaystyle x_2) is the second number in the set X, etc.

So here, you simply need to multiply all the numbers from (displaystyle x_1) to (displaystyle x_6). That's what the (displaystyle i=1) and the (displaystyle 6) are telling you.

In your other post, you need to add all the terms.

The maths here (arithmetic) is easy, but you've got to be able to read the notation.

Elite Member

Are you saying that - you could not calculate:

Elite Member
Elite Member

No -- you don't use pi or add numbers, in this exercise.

The Greek alphabet contains upper-case letters and lower-case letters, just like the English alphabet. Note the differences.

The Greek upper-case letter Pi looks like this: (displaystyle Pi)

The lower-case letter pi looks like this: (displaystyle pi)

The upper-case letter Sigma looks like this: (displaystyle Sigma)

The lower-case letter sigma looks like this: (displaystyle sigma)

In mathematics, each of these symbols has a different meaning.

Sigma notation (displaystyle Sigma) is used for summations we add terms (elements in a set).

Pi notation (displaystyle Pi) is used for products we multiply terms.

pi (displaystyle pi) represents the constant 3.14159265… (i.e., the ratio of a circle's circumference to its diameter).

sigma (displaystyle sigma) represents standard deviation (in statistics).

Of course, each of these symbols can be defined to represent other meanings in different contexts, but the definitions above are what you'll see most often (i.e., standard meanings).

The Pi notation in your exercise instructs you to multiply together terms 1 through 6, from the given set called x.

There is no summation, in this exercise, because there is no (displaystyle Sigma) .

You just said you "get" Sigma notation. It seems like you're not quite there, yet.

For more exposure to the various patterns (eg: worked examples and practice exercises), google keywords Sigma notation and also Pi notation . Watch some videos read some lessons write out some worked examples (as you follow along) do extra practice problems.

If you see anything you don't understand, while studying, come back and ask us about it.

Elite Member

That's not a helpful explanation. Instead, please explain specifically what you're confused about.

Is it the subscripted symbols?

Is it the switch to using symbol k for the index, instead of the given symbol i ?

Maybe it's the concept of an index?

Something else (like all of the above, heh)?

If you find yourself unable to articulate your confusion, then you need to back up and review. Google some keywords, and watch some videos. Learn and practice the patterns. :cool:


PS: Please check out the forum's submission guidelines. Saúde.

Falksong

New member

Hi Everyone, thank you for all your replies and apologies if I was unclear.

My confusion is, What to do with X = [5.2,3.4,8.9,9.00,2.2,4.6] .. from your threads, am I correct in understanding that I multiply these all together to get x = 14331.62? Then Multiply X x 1, X x2. X x 6?

If thats right, then is my calculation in the snip below correct? Dado


HallsofIvy

Elite Member

Hi Everyone, thank you for all your replies and apologies if I was unclear.

My confusion is, What to do with X = [5.2,3.4,8.9,9.00,2.2,4.6] .. from your threads, am I correct in understanding that I multiply these all together to get x = 14331.62?

NÃO! Those are just "indices" labeling each number. One could complain that we are not actually told which number is (displaystyle x_1), which is (displaystyle x_2), etc. but since they are all multiplied together, it doesn't matter.

JeffM

Elite Member

Hi Everyone, thank you for all your replies and apologies if I was unclear.

My confusion is, What to do with X = [5.2,3.4,8.9,9.00,2.2,4.6] .. from your threads, am I correct in understanding that I multiply these all together to get x = 14331.62? Then Multiply X x 1, X x2. X x 6?

If thats right, then is my calculation in the snip below correct? Dado

Well you truncated the last 3 decimals. The exact answer is 14331.62016 as you would have found had you used a hand calculator or changed the format of your cells to show five decimals rather than just two. But you were not required to get an exact answer so your answer is good enough.

The next part is totally unnecessary.

Let's go over this notation

(displaystyle displaystyle prod_^6x_i.)

represents a single number, in this case 14331.62016, that is the result of multiplying a number of expressions. As Harry explained, the P em Pi stands for Product.

You must think of i as an ordered set of numbers starting with 1 (because it says i = 1 at the bottom of the capital Pi), increasing each time by 1, and ending with 6 (because it says 6 at the top of the capital Pi). In other words, i starts with 1, follows with 2, then 3, then 4, then 5, and ends with 6. So

(displaystyle displaystyle prod_^6 x_i equiv x_1 * x_2 * x_3 * x_4 * x_5 * x_6.)

In that example, i is used only for an index. But that is not necessarily true. Por exemplo,

(displaystyle displaystyle mathbb X = <2, 4, 6, 8> ext < and >y = left ( prod_^4 (5 - i)x_i ight ) implies)

(displaystyle (4 * 2)(3 * 4)(2 * 6)(1 * 8) = 8 * 12 * 12 * 8 = 2^ <10>* 3^2 = 1024 * 9 = 9216.)


Assista o vídeo: Soma e subtração de notação científica (Outubro 2021).