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5.3: Integrais de Linha - Matemática


objetivos de aprendizado

  • Calcule uma integral de linha escalar ao longo de uma curva.
  • Calcule uma integral de linha vetorial ao longo de uma curva orientada no espaço.
  • Use uma integral de linha para calcular o trabalho feito ao mover um objeto ao longo de uma curva em um campo vetorial.
  • Descreva o fluxo e a circulação de um campo vetorial.

Estamos familiarizados com integrais de variável única da forma ( displaystyle int_ {a} ^ {b} f (x) , dx ), onde o domínio de integração é um intervalo ([a, b] ) Esse intervalo pode ser considerado como uma curva no plano (xy ), uma vez que o intervalo define um segmento de linha com pontos finais ((a, 0) ) e ((b, 0) ) - em outras palavras, um segmento de linha localizado no eixo (x ). Suponha que queremos integrar mais algum curva no plano, não apenas sobre um segmento de linha no eixo (x ). Tal tarefa requer um novo tipo de integral, chamado de integral de linha.

Integrais de linha têm muitas aplicações em engenharia e física. Eles também nos permitem fazer várias generalizações úteis do Teorema Fundamental do Cálculo. E, eles estão intimamente ligados às propriedades dos campos vetoriais, como veremos.

Integrais de linha escalar

Uma integral de linha nos dá a capacidade de integrar funções multivariáveis ​​e campos de vetores em curvas arbitrárias em um plano ou no espaço. Existem dois tipos de integrais de linha: integrais de linha escalares e integrais de linha vetoriais. Integrais de linha escalar são integrais de uma função escalar sobre uma curva em um plano ou no espaço. Integrais de linha de vetor são integrais de um campo vetorial sobre uma curva em um plano ou no espaço. Vejamos primeiro as integrais de linha escalar.

Uma integral de linha escalar é definida apenas como uma integral de variável única é definida, exceto que para uma integral de linha escalar, o integrando é uma função de mais de uma variável e o domínio de integração é uma curva em um plano ou no espaço, como oposto a uma curva no eixo (x ).

Para uma integral de linha escalar, consideramos (C ) uma curva suave em um plano ou no espaço e ff uma função com um domínio que inclui (C ). Cortamos a curva em pequenos pedaços. Para cada peça, escolhemos o ponto (P ) naquela peça e avaliamos (f ) em (P ). (Podemos fazer isso porque todos os pontos na curva estão no domínio de (f ).) Multiplicamos (f (P) ) pelo comprimento do arco da peça ( Delta s ), adicione o produto (f (P) Delta s ) sobre todas as peças, e então deixe o comprimento do arco das peças encolher a zero tomando um limite. O resultado é a integral de linha escalar da função sobre a curva.

Para uma descrição formal de uma integral de linha escalar, seja (C ) uma curva suave no espaço dada pela parametrização ( vecs r (t) = ⟨x (t), y (t), z (t) ⟩ ), (A≤t≤b ). Seja (f (x, y, z) ) uma função com um domínio que inclui a curva (C ). Para definir a integral de linha da função (f ) sobre (C ), começamos como a maioria das definições de uma integral começa: dividimos a curva em pequenos pedaços. Particionar o intervalo de parâmetro ([a, b] ) em (n ) subintervalos ([t_ {i − l}, t_i] ) de largura igual para (1≤i≤n ), onde (t_0 = a ) e (t_n = b ) (Figura ( PageIndex {1} )). Seja (t_ {i} ^ * ) um valor no intervalo (i ^ {th} ) ([t_ {i − l}, t_i] ). Denote os pontos finais de ( vecs r (t_0) ), ( vecs r (t_1) ),…, ( vecs r (t_n) ) por (P_0 ),…, (P_n ). Pontos Peu divida a curva (C ) em (n ) pedaços (C_1 ), (C_2 ),…, (C_n ), com comprimentos ( Delta s_1 ), ( Delta s_2 ),…, ( Delta s_n ), respectivamente. Seja (P_ {i} ^ * ) o ponto final de ( vecs r (t_ {i} ^ *) ) para (1≤i≤n ). Agora, avaliamos a função (f ) no ponto (P_ {i} ^ * ) para (1≤i≤n ). Observe que (P_ {i} ^ * ) está em paz (C_1 ) e, portanto, (P_ {i} ^ * ) está no domínio de (f ). Multiplique (f (P_ {i} ^ *) ) pelo comprimento ( Delta s_1 ) de (C_1 ), o que dá a área da "folha" com base (C_1 ) e altura (f (P_ {i} ^ {*}) ). Isso é análogo a usar retângulos para aproximar a área em uma integral de variável única. Agora, formamos a soma ( displaystyle sum_ {i = 1} ^ {n} f (P_ {i} ^ {*}) , Delta s_i ).

Observe a semelhança dessa soma em relação a uma soma de Riemann; na verdade, essa definição é uma generalização de uma soma de Riemann para curvas arbitrárias no espaço. Assim como com somas e integrais de Riemann da forma ( displaystyle int_ {a} ^ {b} g (x) , dx ), definimos uma integral deixando a largura das peças da curva encolher a zero em tomando um limite. O resultado é a integral de linha escalar de (f ) ao longo de (C ).

Você deve ter notado uma diferença entre esta definição de integral de linha escalar e integral de variável única. Nesta definição, os comprimentos de arco ( Delta s_1 ), ( Delta s_2 ),…, ( Delta s_n ) não são necessariamente os mesmos; na definição de uma integral de variável única, a curva no eixo (x ) é particionada em partes de igual comprimento. Essa diferença não tem efeito no limite. À medida que reduzimos o comprimento do arco a zero, seus valores se tornam próximos o suficiente para que qualquer pequena diferença se torne irrelevante.

Se (f ) é uma função contínua em uma curva suave (C ), então ( displaystyle int_C f , ds ) sempre existe. Como ( displaystyle int_C f , ds ) é definido como um limite das somas de Riemann, a continuidade de (f ) é suficiente para garantir a existência do limite, assim como o integral ( displaystyle int_ {a} ^ {b} g (x) , dx ) existe se (g ) é contínuo sobre ([a, b] ).

Antes de ver como calcular uma integral de linha, precisamos examinar a geometria capturada por essas integrais. Suponha que (f (x, y) ≥0 ) para todos os pontos ((x, y) ) em uma curva plana lisa (C ). Imagine pegar a curva (C ) e projetá-la "para cima" na superfície definida por (f (x, y) ), criando assim uma nova curva (C ′ ) que se encontra no gráfico de (f (x, y) ) (Figura ( PageIndex {2} )). Agora, soltamos uma “folha” de (C ′ ) para baixo no plano (xy ). A área desta folha é ( displaystyle int_C f (x, y) ds ). Se (f (x, y) ≤0 ) para alguns pontos em (C ), então o valor de ( displaystyle int_C f (x, y) , ds ) é a área acima de (xy ) - plano menos a área abaixo do plano (xy ). (Observe a semelhança com os integrais da forma ( displaystyle int_ {a} ^ {b} g (x) , dx ).)

A partir desta geometria, podemos ver que a integral de linha ( displaystyle int_C f (x, y) , ds ) não depende da parametrização ( vecs r (t) ) de (C ). Desde que a curva seja percorrida exatamente uma vez pela parametrização, a área da folha formada pela função e pela curva é a mesma. Esse mesmo tipo de argumento geométrico pode ser estendido para mostrar que a integral de linha de uma função de três variáveis ​​sobre uma curva no espaço não depende da parametrização da curva.

Exemplo ( PageIndex {1} ): Encontrando o valor de uma linha integral

Encontre o valor de integral ( displaystyle int_C 2 , ds ), onde (C ) é a metade superior do círculo unitário.

Solução

O integrando é (f (x, y) = 2 ). Figura ( PageIndex {3} ) mostra o gráfico de (f (x, y) = 2 ), curva C, e a folha formada por eles. Observe que esta folha tem a mesma área de um retângulo com largura ( pi ) e comprimento (2 ). Portanto, ( displaystyle int_C 2 , ds = 2 pi , text {unidades} ^ 2 ).

Para ver que ( displaystyle int_C 2 , ds = 2 pi ) usando a definição de integral de linha, deixamos ( vecs r (t) ) ser uma parametrização de (C ). Então, (f ( vecs r (t_i)) = 2 ) para qualquer número (t_i ) no domínio de ( vecs r ). Portanto,

[ begin {align *} int_C f , ds & = lim_ {n to infty} sum_ {i = 1} ^ {n} f ( vecs r (t_ {i} ^ {*} )) , Delta s_i [4pt] & = lim_ {n a infty} sum_ {i = 1} ^ {n} 2 , Delta s_i [4pt] & = 2 lim_ {n to infty} sum_ {i = 1} ^ {n} , Delta s_i [4pt] & = 2 ( text {length} space text {of} space C) [4pt] & = 2 pi , text {unidades} ^ 2. end {align *} ]

Exercício ( PageIndex {1} )

Encontre o valor de ( displaystyle int_C (x + y) , ds ), onde (C ) é a curva parametrizada por (x = t ), (y = t ), ( 0≤t≤1 ).

Dica

Encontre a forma formada por (C ) e o gráfico da função (f (x, y) = x + y ).

Responder

( sqrt {2} )

Observe que em uma integral de linha escalar, a integração é feita em relação ao comprimento do arco (s ), o que pode tornar difícil o cálculo de uma integral de linha escalar. Para tornar os cálculos mais fáceis, podemos traduzir ( displaystyle int_C f , ds ) para uma integral com uma variável de integração que é (t ).

Seja ( vecs r (t) = ⟨x (t), y (t), z (t)⟩ ) para (a≤t≤b ) uma parametrização de (C ). Uma vez que estamos assumindo que (C ) é suave, ( vecs r ′ (t) = ⟨x ′ (t), y ′ (t), z ′ (t)⟩ ) é contínuo para todos ( t ) em ([a, b] ). Em particular, (x ′ (t) ), (y ′ (t) ) e (z ′ (t) ) existem para todos (t ) em ([a, b] ) De acordo com a fórmula do comprimento do arco, temos

[ text {length} (C_i) = Delta s_i = int_ {t_ {i − 1}} ^ {t_i} ‖ vecs r ′ (t) ‖ , dt. ]

Se a largura ( Delta t_i = t_i − t_ {i − 1} ) for pequena, então a função ( displaystyle int_ {t_ {i − 1}} ^ {t_i} ‖ vecs r ′ (t) ‖ , dt , ≈ , ‖ vecs r ′ (t_i ^ *) ‖ , Delta t_i ), (‖ vecs r ′ (t) ‖ ) é quase constante ao longo do intervalo ([t_ {i − 1}, t_i] ). Portanto,

[ int_ {t_ {i − 1}} ^ {t_i} ‖ vecs r ′ (t) ‖ , dt , ≈ , ‖ vecs r ′ (t_ {i} ^ {*}) ‖ , Delta t_i, label {approxLineIntEq1} ]

e nós temos

[ sum_ {i = 1} ^ {n} f ( vecs r (t_i ^ *)) , Delta s_i approx sum_ {i = 1} ^ {n} f ( vecs r (t_ { i} ^ {*})) ‖ vecs r ′ (t_ {i} ^ {*}) ‖ , Delta t_i. ]

Veja a Figura ( PageIndex {4} ).

Observe que

[ lim_ {n to infty} sum_ {i = 1} ^ {n} f ( vecs r (t_i ^ *)) ‖ vecs r ′ (t_ {i} ^ {*}) ‖ , Delta t_i = int_a ^ bf ( vecs r (t)) ‖ vecs r ′ (t) ‖ , dt. ]

Em outras palavras, conforme as larguras dos intervalos ([t_ {i − 1}, t_i] ) diminuem para zero, a soma ( displaystyle sum_ {i = 1} ^ {n} f ( vecs r ( t_i ^ {*})) ‖ vecs r ′ (t_ {i} ^ {*}) ‖ , Delta t_i ) converge para a integral ( displaystyle int_ {a} ^ {b} f ( vecs r (t)) ‖ vecs r ′ (t) ‖ , dt ). Portanto, temos o seguinte teorema.

Embora tenhamos rotulado a Equação ref {approxLineIntEq1} como uma equação, ela é considerada mais precisamente uma aproximação porque podemos mostrar que o lado esquerdo da Equação ref {approxLineIntEq1} se aproxima do lado direito conforme (n para infty ). Em outras palavras, deixar as larguras das peças encolherem a zero torna a soma do lado direito arbitrariamente próxima da soma do lado esquerdo. Desde

[‖ Vecs r ′ (t) ‖ = sqrt {{(x ′ (t))} ^ 2 + {(y ′ (t))} ^ 2 + {(z ′ (t))} ^ 2 }, ]

obtemos o seguinte teorema, que usamos para calcular integrais de linha escalar.

Observe que uma consequência desse teorema é a equação (ds = ‖ vecs r ′ (t) ‖ , dt ). Em outras palavras, a mudança no comprimento do arco pode ser vista como uma mudança no domínio (t ), escalada pela magnitude do vetor ( vecs r ′ (t) ).

Exemplo ( PageIndex {2} ): Avaliando uma linha integral

Encontre o valor de integral ( displaystyle int_C (x ^ 2 + y ^ 2 + z) , ds ), onde (C ) é parte da hélice parametrizada por ( vecs r (t) = ⟨ Cos t, sin t, t⟩ ), (0≤t≤2 pi ).

Solução

Para calcular uma integral de linha escalar, começamos convertendo a variável de integração do comprimento do arco (s ) para (t ). Então, podemos usar a Equação ref {eq12a} para calcular a integral em relação a (t ). Observe que

[f ( vecs r (t)) = { cos} ^ 2 t + { sin} ^ 2 t + t = 1 + t nonumber ]

e

[ sqrt {{(x ′ (t))} ^ 2 + {(y ′ (t))} ^ 2 + {(z ′ (t))} ^ 2} = sqrt {{(- sin (t))} ^ 2 + { cos} ^ 2 (t) +1} = sqrt {2}. nonumber ]

Portanto,

[ int_C (x ^ 2 + y ^ 2 + z) , ds = int_ {0} ^ {2 pi} (1 + t) sqrt {2} , dt. enhum número]

Observe que a Equação ref {eq12a} traduziu a integral de linha difícil original em uma integral de variável única gerenciável. Desde

[ begin {align *} int_ {0} ^ {2 pi} (1 + t) sqrt {2} , dt & = { left [ sqrt {2} t + dfrac { sqrt { 2} t ^ 2} {2} right]} _ {0} ^ {2 pi} [4pt]
& = 2 sqrt {2} pi + 2 sqrt {2} { pi} ^ 2, end {alinhar *} ]

temos

[ int_C (x ^ 2 + y ^ 2 + z) , ds = 2 sqrt {2} pi + 2 sqrt {2} { pi} ^ 2. enhum número]

Exercício ( PageIndex {2} )

Avalie ( displaystyle int_C (x ^ 2 + y ^ 2 + z) ds ), onde C é a curva com parametrização ( vecs r (t) = ⟨ sin (3t), cos (3t)⟩ ), (0≤t≤ dfrac { pi} {4} ).

Dica

Use a versão de duas variáveis ​​da definição de integral de linha escalar (Equação ref {eq13}).

Responder

[ dfrac {1} {3} + dfrac { sqrt {2}} {6} + dfrac {3 pi} {4} ]

Exemplo ( PageIndex {3} ): Independência de Parametrização

Encontre o valor de integral ( displaystyle int_C (x ^ 2 + y ^ 2 + z) , ds ), onde (C ) é parte da hélice parametrizada por ( vecs r (t) = ⟨ Cos (2t), sin (2t), 2t⟩ ), (0≤t≤π ). Observe que esta função e curva são as mesmas do exemplo anterior; a única diferença é que a curva foi reparametrizada de modo que o tempo corre duas vezes mais rápido.

Solução

Como no exemplo anterior, usamos a Equação ref {eq12a} para calcular a integral em relação a (t ). Observe que (f ( vecs r (t)) = { cos} ^ 2 (2t) + { sin} ^ 2 (2t) + 2t = 2t + 1 ) e

[ begin {align *} sqrt {{(x ′ (t))} ^ 2 + {(y ′ (t))} ^ 2 + {(z ′ (t))} ^ 2} & = sqrt {(- sin t + cos t + 4)} [4pt] & = 22
end {align *} ]

então nós temos

[ begin {align *} int_C (x ^ 2 + y ^ 2 + z) ds & = 2 sqrt {2} int_ {0} ^ { pi} (1 + 2t) dt [4pt ] & = 2 sqrt {2} Big [t + t ^ 2 Big] _0 ^ { pi} [4pt] & = 2 sqrt {2} ( pi + { pi} ^ 2). end {align *} ]

Observe que isso está de acordo com a resposta do exemplo anterior. Alterar a parametrização não alterou o valor da integral de linha. Integrais de linha escalar são independentes da parametrização, desde que a curva seja percorrida exatamente uma vez pela parametrização.

Exercício ( PageIndex {3} )

Avalie integral de linha ( displaystyle int_C (x ^ 2 + yz) , ds ), onde (C ) é a linha com parametrização ( vecs r (t) = ⟨2t, 5t, −t⟩ ), (0≤t≤10 ). Reparameterizar C com parametrização (s (t) = ⟨4t, 10t, −2t⟩ ), (0≤t≤5 ), recalcular integral de linha ( displaystyle int_C (x ^ 2 + yz) , ds ), e observe que a alteração da parametrização não afetou o valor da integral.

Dica

Use a Equação ref {eq12a}.

Responder

Ambas as integrais de linha são iguais a (- dfrac {1000 sqrt {30}} {3} ).

Agora que podemos avaliar integrais de linha, podemos usá-los para calcular o comprimento do arco. Se (f (x, y, z) = 1 ), então

[ begin {align *} int_C f (x, y, z) , ds & = lim_ {n to infty} sum_ {i = 1} ^ {n} f (t_ {i} ^ {*}) , Delta s_i [4pt] & = lim_ {n to infty} sum_ {i = 1} ^ {n} , Delta s_i [4pt] & = lim_ {n to infty} text {length} (C) [4pt] & = text {length} (C). end {align *} ]

Portanto, ( displaystyle int_C 1 , ds ) é o comprimento do arco de (C ).

Exemplo ( PageIndex {4} ): Calculando o comprimento do arco

Um fio tem uma forma que pode ser modelada com a parametrização ( vecs r (t) = ⟨ cos t, sin t, t⟩ ), (0≤t≤4 pi ). Encontre o comprimento do fio.

Solução

O comprimento do fio é dado por ( displaystyle int_C 1 , ds ), onde (C ) é a curva com parametrização ( vecs r ). Portanto,

[ begin {align *} text {O comprimento do fio} & = int_C 1 , ds [4pt] & = int_ {0} ^ {4 pi} || vecs r ′ ( t) || , dt [4pt] & = int_ {0} ^ {4 pi} sqrt {(- sin t) ^ 2 + cos ^ 2 t + t} dt [4pt ] & = int_ {0} ^ {4 pi} sqrt {1 + t} dt [4pt] & = left. dfrac {2 {(1 + t)} ^ { frac {3} {2}}} {3} right | _ {0} ^ {4 pi} [4pt] & = frac {2} {3} left ((1 + 4 pi) ^ {3 / 2} -1 direita). end {align *} ]

Exercício ( PageIndex {4} )

Encontre o comprimento de um fio com parametrização ( vecs r (t) = ⟨3t + 1,4−2t, 5 + 2t⟩ ), (0≤t≤4 ).

Dica

Encontre a integral de linha de um sobre a curva correspondente.

Responder

(4 sqrt {17} )

Integrais de linha vetorial

O segundo tipo de integrais de linha são integrais de linha vetoriais, nos quais integramos ao longo de uma curva por meio de um campo vetorial. Por exemplo, deixe

[ vecs F (x, y, z) = P (x, y, z) , hat { mathbf i} + Q (x, y, z) , hat { mathbf j} + R (x, y, z) , hat { mathbf k} ]

seja um campo vetorial contínuo em (ℝ ^ 3 ) que representa uma força em uma partícula, e seja (C ) uma curva suave em (ℝ ^ 3 ) contida no domínio de ( vecs F ). Como calcularíamos o trabalho realizado por ( vecs F ) ao mover uma partícula ao longo de (C )?

Para responder a essa pergunta, primeiro observe que uma partícula pode viajar em duas direções ao longo de uma curva: uma direção para frente e uma direção para trás. O trabalho realizado pelo campo vetorial depende da direção em que a partícula está se movendo.Portanto, devemos especificar uma direção ao longo da curva (C ); essa direção especificada é chamada de orientação de uma curva. A direção especificada é a direção positiva ao longo de (C ); a direção oposta é a direção negativa ao longo de (C ). Quando (C ) recebe uma orientação, (C ) é chamada de curva orientada (Figura ( PageIndex {5} )). O trabalho feito na partícula depende da direção ao longo da curva em que a partícula está se movendo.

Uma curva fechada é aquela para a qual existe uma parametrização ( vecs r (t) ), (a≤t≤b ), tal que ( vecs r (a) = vecs r (b) ), e a curva é percorrida exatamente uma vez. Em outras palavras, a parametrização é um a um no domínio ((a, b) ).

Seja ( vecs r (t) ) uma parametrização de (C ) para (a≤t≤b ) de modo que a curva seja percorrida exatamente uma vez pela partícula e a partícula se mova na direção positiva ao longo (C ). Divida o intervalo do parâmetro ([a, b] ) em n subintervalos ([t_ {i − 1}, t_i] ), (0≤i≤n ), de igual largura. Denote os pontos finais de (r (t_0) ), (r (t_1) ),…, (r (t_n) ) por (P_0 ),…, (P_n ). Os pontos (P_i ) dividem (C ) em n partes. Denote o comprimento da peça de (P_ {i − 1} ) a (P_i ) por ( Delta s_i ). Para cada (i ), escolha um valor (t_i ^ * ) no subintervalo ([t_ {i − 1}, t_i] ). Então, o ponto final de ( vecs r (t_i ^ *) ) é um ponto no pedaço de (C ) entre (P_ {i − 1} ) e (P_i ) (Figura ( PageIndex {6} )). Se ( Delta s_i ) for pequeno, então conforme a partícula se move de (P_ {i − 1} ) para (P_i ) ao longo de (C ), ela se move aproximadamente na direção de ( vecs T (P_i) ), o vetor tangente unitário no ponto final de ( vecs r (t_i ^ *) ). Seja (P_i ^ * ) o ponto final de ( vecs r (t_i ^ *) ). Então, o trabalho realizado pelo campo de vetores de força ao mover a partícula de (P_ {i − 1} ) para (P_i ) é ( vecs F (P_i ^ *) · ( Delta s_i vecs T (P_i ^ *)) ), então o trabalho total feito ao longo de (C ) é

[ sum_ {i = 1} ^ n vecs F (P_i ^ *) · ( Delta s_i vecs T (P_i ^ *)) = sum_ {i = 1} ^ n vecs F (P_i ^ * ) · Vecs T (P_i ^ *) , Delta s_i. ]

Deixar o comprimento do arco das peças de (C ) ficar arbitrariamente pequeno tomando um limite como (n rightarrow infty ) nos dá o trabalho feito pelo campo ao mover a partícula ao longo de (C ). Portanto, o trabalho realizado por ( vecs {F} ) em mover a partícula na direção positiva ao longo de (C ) é definido como

[W = int_C vecs {F} cdot vecs {T} , ds, ]

o que nos dá o conceito de integral de linha vetorial.

Com integrais de linha escalar, nem a orientação nem a parametrização da curva importa. Desde que a curva seja percorrida exatamente uma vez pela parametrização, o valor da integral de linha permanece inalterado. Com integrais de linha de vetor, a orientação da curva importa. Se pensarmos na integral de linha como um trabalho de computação, isso faz sentido: se você subir uma montanha, a força gravitacional da Terra fará um trabalho negativo em você. Se você descer a montanha exatamente pelo mesmo caminho, a força gravitacional da Terra fará um trabalho positivo em você. Em outras palavras, inverter o caminho altera o valor do trabalho de negativo para positivo neste caso. Observe que se (C ) é uma curva orientada, então deixamos (- C ) representar a mesma curva, mas com orientação oposta.

Tal como acontece com os integrais de linha escalar, é mais fácil calcular uma integral de linha vetorial se a expressarmos em termos da função de parametrização ( vecs {r} ) e da variável (t ). Para traduzir o integral ( displaystyle int_C vecs {F} cdot vecs {T} ds ) em termos de (t ), observe que o vetor tangente unitário ( vecs {T} ) ao longo de (C ) é dado por ( vecs {T} = dfrac { vecs {r} ′ (t)} {‖ vecs {r} ′ (t) ‖} ) (assumindo (‖ vecs {r} ′ (t) ‖ ≠ 0 )). Como (ds = ‖ vecs r ′ (t) ‖ , dt ), como vimos ao discutir as integrais de linha escalar, temos

[ vecs F · vecs T , ds = vecs F ( vecs r (t)) · dfrac { vecs r ′ (t)} {‖ vecs r ′ (t) ‖} ‖ vecs r ′ (t) ‖dt = vecs F ( vecs r (t)) · vecs r ′ (t) , dt. ]

Assim, temos a seguinte fórmula para calcular integrais de linha de vetor:

[ int_C vecs F · vecs T , ds = int_a ^ b vecs F ( vecs r (t)) · vecs r ′ (t) , dt. label {lineintformula} ]

Por causa da Equação ref {lineintformula}, costumamos usar a notação ( displaystyle int_C vecs {F} cdot d vecs {r} ) para a linha integral ( displaystyle int_C vecs F · vecs T , ds ).

Se ( vecs r (t) = ⟨x (t), y (t), z (t)⟩ ), então ( dfrac {d vecs {r}} {dt} ) denota vetor (⟨X ′ (t), y ′ (t), z ′ (t)⟩ ), e (d vecs {r} = vecs r '(t) , dt ).

Exemplo ( PageIndex {5} ): Avaliando uma integral de linha de vetor

Encontre o valor de integral ( displaystyle int_C vecs {F} cdot d vecs {r} ), onde (C ) é o semicírculo parametrizado por ( vecs {r} (t) = ⟨ cos t, sin t⟩ ), (0≤t≤ pi ) e ( vecs F = ⟨− y, x⟩ ).

Solução

Podemos usar a Equação ref {lineintformula} para converter a variável de integração de (s ) para (t ). Então temos

[ vecs F ( vecs r (t)) = ⟨− sin t, cos t⟩ ; text {e} ; vecs r ′ (t) = ⟨− sin t, cos t⟩. ]

Portanto,

[ begin {align *} int_C vecs {F} cdot d vecs {r} & = int_0 ^ { pi} ⟨− sin t, cos t⟩ · ⟨− sin t, cos t⟩ , dt [4pt] & = int_0 ^ { pi} { sin} ^ 2 t + { cos} ^ 2 t , dt [4pt] & = int_0 ^ { pi } 1 , dt = pi. End {alinhar *} ]

Veja a Figura ( PageIndex {7} ).

Exemplo ( PageIndex {6} ): Invertendo a orientação

Encontre o valor de integral ( displaystyle int_C vecs {F} cdot d vecs {r} ), onde (C ) é o semicírculo parametrizado por ( vecs r (t) = ⟨ cos (t + π), sin t⟩ ), (0≤t≤ pi ) e ( vecs F = ⟨− y, x⟩ ).

Solução

Observe que este é o mesmo problema que Example ( PageIndex {5} ), exceto que a orientação da curva foi percorrida. Neste exemplo, a parametrização começa em ( vecs r (0) = ⟨-1,0⟩ ) e termina em ( vecs r ( pi) = ⟨1,0⟩ ). Pela Equação ref {lineintformula},

[ begin {align *} int_C vecs {F} cdot d vecs {r} & = int_0 ^ { pi} ⟨− sin t, cos (t + pi)⟩ · ⟨− sin (t + pi), cos t⟩dt [4pt] & = int_0 ^ { pi} ⟨− sin t, - cos t⟩ · ⟨ sin t, cos t⟩dt [4pt] & = int_ {0} ^ {π} (- { sin} ^ 2 t - { cos} ^ 2 t) dt [4pt] & = int_ {0} ^ { pi} −1dt [4pt] & = - pi. end {align *} ]

Observe que esta é a negativa da resposta em Exemplo ( PageIndex {5} ). Faz sentido que essa resposta seja negativa porque a orientação da curva vai contra o “fluxo” do campo vetorial.

Seja (C ) uma curva orientada e seja (- C ) a mesma curva, mas com a orientação invertida. Então, os dois exemplos anteriores ilustram o seguinte fato:

[ int _ {- C} vecs {F} cdot d vecs {r} = - int_C vecs {F} cdot d vecs {r}. ]

Ou seja, inverter a orientação de uma curva muda o sinal de uma integral de linha.

Exercício ( PageIndex {6} )

Seja ( vecs F = x , hat { mathbf i} + y , hat { mathbf j} ) um campo vetorial e seja (C ) a curva com parametrização (⟨t , t ^ 2⟩ ) para (0≤t≤2 ). Qual é maior: ( displaystyle int_C vecs F · vecs T , ds ) ou ( displaystyle int _ {- C} vecs F · vecs T , ds )?

Dica

Imagine mover-se ao longo do caminho e calcular o produto escalar ( vecs F · vecs T ) conforme você avança.

Responder

[ int_C vecs F · vecs T , ds ]

Outra notação padrão para integral ( displaystyle int_C vecs {F} cdot d vecs {r} ) é ( displaystyle int_C P , dx + Q , dy + R , dz ). Nesta notação, P, Q, e R são funções, e pensamos em (d vecs {r} ) como um vetor (⟨dx, dy, dz⟩ ). Para justificar esta convenção, lembre-se de que (d vecs {r} = vecs T , ds = vecs r ′ (t) , dt = ⟨ dfrac {dx} {dt}, dfrac {dy} { dt}, dfrac {dz} {dt} ⟩dt ). Portanto,

[ vecs {F} cdot d vecs {r} = ⟨P, Q, R⟩ · ⟨dx, dy, dz⟩ = P , dx + Q , dy + R , dz. ]

Se (d vecs {r} = ⟨dx, dy, dz⟩ ), então ( dfrac {dr} {dt} = ⟨ dfrac {dx} {dt}, dfrac {dy} {dt} , dfrac {dz} {dt}⟩ ), o que implica que (d vecs {r} = ⟨ dfrac {dx} {dt}, dfrac {dy} {dt}, dfrac {dz} { dt} ⟩dt ). Portanto

[ begin {align} int_C vecs {F} cdot d vecs {r} & = int_C P , dx + Q , dy + R , dz [4pt] & = int_a ^ b left (P ( vecs r (t)) dfrac {dx} {dt} + Q ( vecs r (t)) dfrac {dy} {dt} + R ( vecs r (t)) dfrac {dz} {dt} right) , dt. label {eq14} end {align} ]

Exemplo ( PageIndex {7} ): Encontrando o valor de um integral da forma ( displaystyle int_C P , dx + Q , dy + R , dz )

Encontre o valor de integral ( displaystyle int_C z , dx + x , dy + y , dz ), onde (C ) é a curva parametrizada por ( vecs r (t) = ⟨t ^ 2, sqrt {t}, t⟩ ), (1≤t≤4 ).

Solução:

Como em nossos exemplos anteriores, para calcular essa integral de linha, devemos realizar uma mudança de variáveis ​​para escrever tudo em termos de (t ). Nesse caso, a Equação ref {eq14} nos permite fazer esta alteração:

[ begin {align *} int_C z , dx + x , dy + y , dz & = int_1 ^ 4 left (t (2t) + t ^ 2 left ( frac {1} { 2 sqrt {t}} right) + sqrt {t} right) , dt [4pt] & = int_1 ^ 4 left (2t ^ 2 + frac {t ^ {3/2} } {2} + sqrt {t} right) , dt [4pt] & = { left [ dfrac {2t ^ 3} {3} + dfrac {t ^ {5/2}} { 5} + dfrac {2t ^ {3/2}} {3} direita]} _ {t = 1} ^ {t = 4} [4pt] & = dfrac {793} {15}. fim {alinhar *} ]

Exercício ( PageIndex {7} )

Encontre o valor de ( displaystyle int_C 4x , dx + z , dy + 4y ^ 2 , dz ), onde (C ) é a curva parametrizada por ( vecs r (t) = ⟨ 4 cos (2t), 2 sin (2t), 3⟩ ), (0≤t≤ dfrac { pi} {4} ).

Dica

Escreva a integral em termos de (t ) usando a Equação ref {eq14}.

Responder

(−26)

Aprendemos como integrar curvas orientadas suaves. Agora, suponha que (C ) seja uma curva orientada que não é suave, mas pode ser escrita como a união de um número finito de curvas suaves. Nesse caso, dizemos que (C ) é uma curva suave por partes. Para ser preciso, a curva (C ) é suave por partes se (C ) pode ser escrita como uma união de n curvas suaves (C_1 ), (C_2 ),…, (C_n ) de modo que o ponto final de (C_i ) é o ponto inicial de (C_ {i + 1} ) (Figura ( PageIndex {8} )). Quando as curvas (C_i ) satisfazem a condição de que o ponto final de (C_i ) é o ponto inicial de (C_ {i + 1} ), escrevemos sua união como (C_1 + C_2 + ⋯ + C_n ) .

O próximo teorema resume várias propriedades-chave de integrais de linha vetoriais.

Observe as semelhanças entre esses itens e as propriedades de integrais de variável única. Propriedades i. e ii. digamos que as integrais de linha são lineares, o que também é verdadeiro para integrais de variável única. Propriedade iii. diz que inverter a orientação de uma curva muda o sinal da integral. Se pensarmos na integral como o cálculo do trabalho feito em uma partícula viajando ao longo de (C ), então isso faz sentido. Se a partícula se move para trás em vez de para a frente, o valor do trabalho realizado tem o sinal oposto. Isso é análogo à equação ( displaystyle int_a ^ b f (x) , dx = - int_b ^ af (x) , dx ). Finalmente, se ([a_1, a_2] ), ([a_2, a_3] ),…, ([a_ {n − 1}, a_n] ) são intervalos, então

[ int_ {a_1} ^ {a_n} f (x) , dx = int_ {a_1} ^ {a_2} f (x) , dx + int_ {a_1} ^ {a_3} f (x) , dx + ⋯ + int_ {a_ {n − 1}} ^ {a_n} f (x) , dx, ]

que é análogo à propriedade iv.

Exemplo ( PageIndex {8} ): Usando Propriedades para Calcular uma Integral de Linha de Vetor

Encontre o valor de integral ( displaystyle int_C vecs F · vecs T , ds ), onde (C ) é o retângulo (orientado no sentido anti-horário) em um plano com vértices ((0,0) ), ((2,0) ), ((2,1) ) e ((0,1) ), e onde ( vecs F = ⟨x − 2y, y − x⟩ ) (Figura ( PageIndex {9} )).

Solução

Observe que a curva (C ) é a união de seus quatro lados e cada lado é suave. Portanto, (C ) é suave por partes. Deixe (C_1 ) representar o lado de ((0,0) ) a ((2,0) ), deixe (C_2 ) representar o lado de ((2,0) ) a ((2,1) ), deixe (C_3 ) representar o lado de ((2,1) ) a ((0,1) ), e deixe (C_4 ) representar o lado de ((0,1) ) a ((0,0) ) (Figura ( PageIndex {9} )). Então,

[ int_C vecs F · vecs T , dr = int_ {C_1} vecs F · vecs T , dr + int_ {C_2} vecs F · vecs T , dr + int_ {C_3} vecs F · vecs T , dr + int_ {C_4} vecs F · vecs T , dr. ]

Queremos calcular cada uma das quatro integrais do lado direito usando a Equação ref {eq12a}. Antes de fazer isso, precisamos de uma parametrização de cada lado do retângulo. Aqui estão quatro parametrizações (observe que eles percorrem (C ) no sentido anti-horário):

[ begin {align *} C_1 &: ⟨t, 0⟩, 0≤t≤2 [4pt] C_2 &: ⟨2, t⟩, 0≤t≤1 [4pt] C_3 &: ⟨2 − t , 1⟩, 0≤t≤2 [4pt] C_4 &: ⟨0,1 − t⟩, 0≤t≤1. end {align *} ]

Portanto,

[ begin {align *} int_ {C_1} vecs F · vecs T , dr & = int_0 ^ 2 vecs F ( vecs r (t)) · vecs r ′ (t) , dt [4pt] & = int_0 ^ 2 ⟨t − 2 (0), 0 − t⟩ · ⟨1,0⟩ , dt = int_0 ^ 2 t , dt [4pt] & = Grande [ tfrac {t ^ 2} {2} Grande] _0 ^ 2 = 2. end {align *} ]

Observe que o valor dessa integral é positivo, o que não deve ser surpreendente. Conforme nos movemos ao longo da curva (C_1 ) da esquerda para a direita, nosso movimento flui na direção geral do próprio campo vetorial. Em qualquer ponto ao longo de (C_1 ), o vetor tangente à curva e o vetor correspondente no campo formam um ângulo menor que 90 °. Portanto, o vetor tangente e o vetor força têm um produto escalar positivo ao longo de (C_1 ), e a integral de linha terá um valor positivo.

Os cálculos para as outras três integrais de linha são feitos de forma semelhante:

[ begin {align *} int_ {C_2} vecs {F} cdot d vecs {r} & = int_ {0} ^ {1} ⟨2−2t, t − 2⟩ · ⟨0, 1⟩ , dt [4pt] & = int_ {0} ^ {1} (t − 2) , dt [4pt] & = Big [ tfrac {t ^ 2} {2} - 2t Big] _0 ^ 1 = - dfrac {3} {2}, end {align *} ]

[ begin {align *} int_ {C_3} vecs F · vecs T , ds & = int_0 ^ 2⟨ (2 − t) −2,1− (2 − t)⟩ · ⟨− 1 , 0⟩ , dt [4pt] & = int_0 ^ 2t , dt = 2, end {align *} ]

e

[ begin {align *} int_ {C_4} vecs {F} cdot d vecs {r} & = int_0 ^ 1⟨ − 2 (1 − t), 1 − t⟩ · ⟨0, - 1⟩ , dt [4pt] & = int_0 ^ 1 (t − 1) , dt [4pt] & = Grande [ tfrac {t ^ 2} {2} −t Grande] _0 ^ 1 = - dfrac {1} {2}. end {align *} ]

Assim, temos ( displaystyle int_C vecs {F} cdot d vecs {r} = 2 ).

Exercício ( PageIndex {8} )

Calcule a integral de linha ( displaystyle int_C vecs {F} cdot d vecs {r} ), onde ( vecs F ) é o campo vetorial (⟨y ^ 2,2xy + 1⟩ ) e (C ) é um triângulo com vértices ((0,0) ), ((4,0) ) e ((0,5) ), orientados no sentido anti-horário.

Dica

Escreva o triângulo como uma união de seus três lados e, em seguida, calcule três integrais de linha separadas.

Responder

0

Aplicações de Integrais de Linha

Integrais de linha escalar têm muitas aplicações. Eles podem ser usados ​​para calcular o comprimento ou massa de um fio, a área de superfície de uma folha de uma determinada altura ou o potencial elétrico de um fio carregado com uma densidade de carga linear. Integrais de linha vetorial são extremamente úteis em física. Eles podem ser usados ​​para calcular o trabalho realizado em uma partícula conforme ela se move através de um campo de força ou a taxa de fluxo de um fluido em uma curva. Aqui, calculamos a massa de um fio usando uma integral de linha escalar e o trabalho feito por uma força usando uma integral de linha vetorial.

Suponha que um pedaço de arame seja modelado por uma curva C no espaço.A massa por unidade de comprimento (a densidade linear) do fio é uma função contínua ( rho (x, y, z) ). Podemos calcular a massa total do fio usando a integral de linha escalar ( displaystyle int_C rho (x, y, z) , ds ). A razão é que a massa é densidade multiplicada pelo comprimento e, portanto, a densidade de um pequeno pedaço do fio pode ser aproximada por ( rho (x ^ *, y ^ *, z ^ *) , Delta s ) para algum ponto ((x ^ *, y ^ *, z ^ *) ) na peça. Deixar o comprimento das peças encolher a zero com um limite resulta na integral de linha ( displaystyle int_C rho (x, y, z) , ds ).

Exemplo ( PageIndex {9} ): Calculando a massa de um fio

Calcule a massa de uma mola em forma de curva parametrizada por (⟨t, 2 cos t, 2 sin t⟩ ), (0≤t≤ dfrac { pi} {2} ), com uma função de densidade dada por ( rho (x, y, z) = e ^ x + yz ) kg / m (Figura ( PageIndex {10} )).

Solução

Para calcular a massa da mola, devemos encontrar o valor da integral de linha escalar ( displaystyle int_C (e ^ x + yz) , ds ), onde (C ) é a hélice fornecida. Para calcular essa integral, nós a escrevemos em termos de (t ) usando a Equação ref {eq12a}:

[ begin {align *} int_C left (e ^ x + yz right) , ds & = int_0 ^ { tfrac { pi} {2}} left ((e ^ t + 4 cos t sin t) sqrt {1 + (- 2 cos t) ^ 2 + (2 sin t) ^ 2} right) , dt [4pt] & = int_0 ^ { tfrac { pi} {2}} left ((e ^ t + 4 cos t sin t) sqrt {5} right) , dt [4pt] & = sqrt {5} Big [e ^ t + 2 sin ^ 2 t Big] _ {t = 0} ^ {t = pi / 2} [4pt] & = sqrt {5} (e ^ { pi / 2} +1 ) end {align *} ]

Portanto, a massa é ( sqrt {5} (e ^ { pi / 2} +1) ) kg.

Exercício ( PageIndex {9} )

Calcule a massa de uma mola em forma de hélice parametrizada por ( vecs r (t) = ⟨ cos t, sin t, t⟩ ), (0≤t≤6 pi ), com uma função de densidade dada por ( rho (x, y, z) = x + y + z ) kg / m.

Dica

Calcule a integral de linha de ( rho ) sobre a curva com parametrização ( vecs r ).

Responder

(18 sqrt {2} { pi} ^ 2 ) kg

Quando definimos pela primeira vez as integrais de linha do vetor, usamos o conceito de trabalho para motivar a definição. Portanto, não é surpreendente que calcular o trabalho feito por um campo vetorial representar uma força é um uso padrão de integrais de linha de vetor. Lembre-se de que se um objeto se move ao longo da curva (C ) no campo de força ( vecs F ), então o trabalho necessário para mover o objeto é dado por ( displaystyle int_C vecs {F} cdot d vecs {r} ).

Exemplo ( PageIndex {10} ): Calculando Trabalho

Quanto trabalho é necessário para mover um objeto no campo de força vetorial ( vecs F = ⟨yz, xy, xz⟩ ) ao longo do caminho ( vecs r (t) = ⟨t ^ 2, t, t ^ 4⟩ , , 0≤t≤1? ) Veja a Figura ( PageIndex {11} ).

Solução

Seja (C ) o caminho fornecido. Precisamos encontrar o valor de ( displaystyle int_C vecs {F} cdot d vecs {r} ). Para fazer isso, usamos a Equação ref {lineintformula}:

[ begin {align *} int_C vecs {F} cdot d vecs {r} & = int_0 ^ 1 (⟨t ^ 5, t ^ 3, t ^ 6⟩ · ⟨2t, 1,4t ^ 3⟩) , dt [4pt] & = int_0 ^ 1 (2t ^ 6 + t ^ 3 + 4t ^ 9) , dt [4pt] & = { Grande [ dfrac {2t ^ 7} {7} + dfrac {t ^ 4} {4} + dfrac {2t ^ {10}} {5} Grande]} _ {t = 0} ^ {t = 1} = dfrac {131 } {140} ; text {unidades de trabalho}. end {align *} ]

Fluxo

Encerramos esta seção discutindo dois conceitos-chave relacionados às integrais de linha: fluxo em uma curva plana e circulação ao longo de uma curva plana. O fluxo é usado em aplicativos para calcular o fluxo de fluido em uma curva, e o conceito de circulação é importante para caracterizar campos de gradiente conservadores em termos de integrais de linha. Ambos os conceitos são usados ​​intensamente no restante deste capítulo. A ideia de fluxo é especialmente importante para o teorema de Green e em dimensões superiores para o teorema de Stokes e o teorema da divergência.

Seja (C ) uma curva plana e seja ( vecs F ) um campo vetorial no plano. Imagine (C ) é uma membrana através da qual o fluido flui, mas (C ) não impede o fluxo do fluido. Em outras palavras, (C ) é uma membrana idealizada invisível para o fluido. Suponha que ( vecs F ) represente o campo de velocidade do fluido. Como poderíamos quantificar a taxa na qual o fluido está cruzando (C )?

Lembre-se de que a integral de linha de ( vecs F ) ao longo de (C ) é ( displaystyle int_C vecs F · vecs T , ds ) - em outras palavras, a integral de linha é o produto escalar do campo vetorial com o vetor tangencial unitário em relação ao comprimento do arco. Se substituirmos o vetor tangencial unitário pelo vetor normal unitário ( vecs N (t) ) e, em vez disso, calcularmos integral (int_C vecs F · vecs N , ds ), determinamos o fluxo através de (C ) Para ser mais preciso, a definição de integral ( displaystyle int_C vecs F · vecs N , ds ) é a mesma que integral ( displaystyle int_C vecs F · vecs T , ds ), exceto o ( vecs T ) na soma de Riemann é substituído por ( vecs N ). Portanto, o fluxo através de (C ) é definido como

[ int_C vecs F · vecs N , ds = lim_ {n a infty} sum_ {i = 1} ^ {n} vecs F (P_i ^ *) · vecs N (P_i ^ *) , Delta s_i, ]

onde (P_i ^ * ) e ( Delta s_i ) são definidos como eram para integral ( displaystyle int_C vecs F · vecs T , ds ). Portanto, uma integral de fluxo é uma integral que é perpendicular a uma integral de linha vetorial, porque ( vecs N ) e ( vecs T ) são vetores perpendiculares.

Se ( vecs F ) é um campo de velocidade de um fluido e (C ) é uma curva que representa uma membrana, então o fluxo de ( vecs F ) através de (C ) é a quantidade de fluido fluindo através de (C ) por unidade de tempo, ou a taxa de fluxo.

Mais formalmente, seja (C ) uma curva plana parametrizada por ( vecs r (t) = ⟨x (t), , y (t)⟩ ), (a≤t≤b ). Seja ( vecs n (t) = ⟨y ′ (t), , - x ′ (t)⟩ ) o vetor que é normal para (C ) no ponto final de ( vecs r ( t) ) e aponta para a direita conforme atravessamos (C ) na direção positiva (Figura ( PageIndex {12} )). Então, ( vecs N (t) = dfrac { vecs n (t)} {‖ vecs n (t) ‖} ) é o vetor normal da unidade para (C ) no ponto final de ( vecs r (t) ) que aponta para a direita conforme atravessamos (C ).

Agora fornecemos uma fórmula para calcular o fluxo em uma curva. Esta fórmula é análoga à fórmula usada para calcular uma integral de linha de vetor (veja Equação ref {lineintformula}).

Prova

Antes de derivar a fórmula, observe que

[‖ Vecs n (t) ‖ = ‖⟨y ′ (t), - x ′ (t) ⟩‖ = sqrt {{(y ′ (t))} ^ 2 + {(x ′ (t) )} ^ 2} = ‖ vecs r ′ (t) ‖. ]

Portanto,

[ begin {align *} int_C vecs F · vecs N , ds & = int_C vecs F · dfrac { vecs n (t)} {‖ vecs n (t) ‖} , ds [4pt] & = int_a ^ b vecs F · dfrac { vecs n (t)} {‖ vecs n (t) ‖} ‖ vecs r ′ (t) ‖ , dt [4pt] & = int_a ^ b vecs F ( vecs r (t)) · vecs n (t) , dt. end {align *} ]

(quadrado)

Exemplo ( PageIndex {11} ): Fluxo através de uma curva

Calcule o fluxo de ( vecs F = ⟨2x, 2y⟩ ) através de um círculo unitário orientado no sentido anti-horário (Figura ( PageIndex {13} )).

Solução

Para calcular o fluxo, primeiro precisamos de uma parametrização do círculo unitário. Podemos usar a parametrização padrão ( vecs r (t) = ⟨ cos t, sin t⟩ ), (0≤t≤2 pi ). O vetor normal para um círculo unitário é (⟨ cos t, sin t⟩ ). Portanto, o fluxo é

[ begin {align *} int_C vecs F · vecs N , ds & = int_0 ^ {2 pi} ⟨2 cos t, 2 sin t⟩ · ⟨ cos t, sin t ⟩ , Dt [4pt] & = int_0 ^ {2 pi} (2 { cos} ^ 2t + 2 { sin} ^ 2t) , dt [4pt] & = 2 int_0 ^ {2 pi} ({ cos} ^ 2t + { sin} ^ 2t) , dt [4pt] & = 2 int_0 ^ {2 pi} , dt = 4 pi. End {alinhar *} ]

Exercício ( PageIndex {11} )

Calcule o fluxo de ( vecs F = ⟨x + y, 2y⟩ ) através do segmento de linha de ((0,0) ) a ((2,3) ), onde a curva é orientada a partir de da esquerda para direita.

Dica

Use a Equação ref {eq84}.

Responder

(3/2)

Seja ( vecs F (x, y) = ⟨P (x, y), Q (x, y)⟩ ) um campo vetorial bidimensional. Lembre-se de que integral ( displaystyle int_C vecs F · vecs T , ds ) às vezes é escrito como ( displaystyle int_C P , dx + Q , dy ). Analogamente, flux ( displaystyle int_C vecs F · vecs N , ds ) às vezes é escrito na notação ( displaystyle int_C −Q , dx + P , dy ), porque a unidade normal vetor ( vecs N ) é perpendicular à unidade tangente ( vecs T ). Girar o vetor (d vecs {r} = ⟨dx, dy⟩ ) por 90 ° resulta no vetor (⟨dy, −dx⟩ ). Portanto, a integral de linha em Exemplo ( PageIndex {8} ) pode ser escrita como ( displaystyle int_C −2y , dx + 2x , dy ).

Circulação

Agora que definimos o fluxo, podemos voltar nossa atenção para a circulação. A integral de linha do campo vetorial ( vecs F ) ao longo de uma curva fechada orientada é chamada de circulação de ( vecs F ) ao longo de (C ). Integrais de linha de circulação têm sua própria notação: ( oint_C vecs F · vecs T , ds ). O círculo no símbolo integral denota que (C ) é “circular” por não ter pontos finais. O exemplo ( PageIndex {5} ) mostra um cálculo de circulação.

Para ver onde o termo circulação vem de e o que mede, seja ( vecs v ) o campo de velocidade de um fluido e seja (C ) uma curva fechada orientada. Em um ponto específico (P ), quanto mais próxima a direção de ( vecs v (P) ) da direção de ( vecs T (P) ), maior será o valor do produto escalar ( vecs v (P) · vecs T (P) ). O valor máximo de ( vecs v (P) · vecs T (P) ) ocorre quando os dois vetores estão apontando na mesma direção exata; o valor mínimo de ( vecs v (P) · vecs T (P) ) ocorre quando os dois vetores estão apontando em direções opostas. Assim, o valor da circulação ( oint_C vecs v · vecs T , ds ) mede a tendência do fluido de se mover na direção de (C ).

Exemplo ( PageIndex {12} ): Calculando a Circulação

Seja ( vecs F = ⟨− y, , x⟩ ) o campo vetorial de Exemplo ( PageIndex {3} ) e deixe (C ) representar o círculo unitário orientado no sentido anti-horário. Calcule a circulação de ( vecs F ) ao longo de (C ).

Solução

Usamos a parametrização padrão do círculo unitário: ( vecs r (t) = ⟨ cos t, sin t⟩ ), (0≤t≤2 pi ). Então, ( vecs F ( vecs r (t)) = ⟨− sin t, cos t⟩ ) e ( vecs r ′ (t) = ⟨− sin t, cos t⟩ ) Portanto, a circulação de ( vecs F ) ao longo de (C ) é

[ begin {align *} oint_C vecs F · vecs T , ds & = int_0 ^ {2 pi} ⟨− sin t, cos t⟩ · ⟨− sin t, cos t ⟩ , Dt [4pt] & = int_0 ^ {2 pi} ({ sin} ^ 2 t + { cos} ^ 2 t) , dt [4pt] & = int_0 ^ {2 pi} , dt = 2 pi ; text {unidades de trabalho}. end {align *} ]

Observe que a circulação é positiva. A razão para isso é que a orientação de (C ) “flui” com a direção de ( vecs F ). Em qualquer ponto ao longo do círculo, o vetor tangente e o vetor de ( vecs F ) formam um ângulo inferior a 90 ° e, portanto, o produto escalar correspondente é positivo.

Em Exemplo ( PageIndex {12} ), e se tivéssemos orientado o círculo unitário no sentido horário? Denotamos o círculo unitário orientado no sentido horário por (- C ). Então

[ oint _ {- C} vecs F · vecs T , ds = - oint_C vecs F · vecs T , ds = −2 pi ; text {unidades de trabalho}. ]

Observe que a circulação é negativa neste caso. A razão para isso é que a orientação da curva flui contra a direção de ( vecs F ).

Exercício ( PageIndex {12} )

Calcule a circulação de ( vecs F (x, y) = ⟨− dfrac {y} {x ^ 2 + y ^ 2}, , dfrac {x} {x ^ 2 + y ^ 2}⟩ ) ao longo de um círculo unitário orientado no sentido anti-horário.

Dica

Use a Equação ref {eq84}.

Responder

(2 pi ) unidades de trabalho

Exemplo ( PageIndex {13} ): Calculando Trabalho

Calcule o trabalho realizado em uma partícula que atravessa o círculo (C ) de raio 2 centrado na origem, orientado no sentido anti-horário, por campo ( vecs F (x, y) = ⟨− 2, , y⟩ ). Suponha que a partícula comece seu movimento em ((1, , 0) ).

Solução

O trabalho feito por ( vecs F ) na partícula é a circulação de ( vecs F ) ao longo de (C ): ( oint_C vecs F · vecs T , ds ). Usamos a parametrização ( vecs r (t) = ⟨2 cos t, , 2 sin t⟩ ), (0≤t≤2 pi ) para (C ). Então, ( vecs r ′ (t) = ⟨− 2 sin t, , 2 cos t⟩ ) e ( vecs F ( vecs r (t)) = ⟨− 2, , 2 sin t⟩ ). Portanto, a circulação de ( vecs F ) ao longo de (C ) é

[ begin {align *} oint_C vecs F · vecs T , ds & = int_0 ^ {2 pi} ⟨− 2,2 sin t⟩ · ⟨− 2 sin t, 2 cos t⟩ , dt [4pt] & = int_0 ^ {2 pi} (4 sin t + 4 sin t cos t) , dt [4pt] & = { Grande [−4 cos t + 4 { sin} ^ 2 t Big]} _ 0 ^ {2 pi} [4pt] & = left (−4 cos (2 pi) +2 { sin} ^ 2 (2 pi) right) - left (−4 cos (0) +4 { sin} ^ 2 (0) right) [4pt] & = - 4 + 4 = 0 ; text {unidades de trabalho}. end {align *} ]

O campo de força não funciona na partícula.

Observe que a circulação de ( vecs F ) ao longo de (C ) é zero. Além disso, observe que como ( vecs F ) é o gradiente de (f (x, y) = - 2x + dfrac {y ^ 2} {2} ), ( vecs F ) é conservador. Provamos em uma seção posterior que, sob certas condições gerais, a circulação de um campo vetorial conservador ao longo de uma curva fechada é zero.

Exercício ( PageIndex {14} )

Calcule o trabalho realizado pelo campo ( vecs F (x, y) = ⟨2x, , 3y⟩ ) em uma partícula que atravessa o círculo unitário. Suponha que a partícula comece seu movimento em ((- 1, , 0) ).

Dica

Use a Equação ref {eq84}.

Responder

(0 ) unidades de trabalho

Conceitos chave

  • Integrais de linha generalizam a noção de uma integral de variável única para dimensões mais altas. O domínio de integração em uma integral de variável única é um segmento de linha ao longo do eixo (x ), mas o domínio de integração em uma integral de linha é uma curva em um plano ou no espaço.
  • Se (C ) é uma curva, então o comprimento de (C ) é ( displaystyle int_C , ds ).
  • Existem dois tipos de integrais de linha: integrais de linha escalares e integrais de linha vetoriais. Integrais de linha escalar podem ser usados ​​para calcular a massa de um fio; Integrais de linha de vetor podem ser usados ​​para calcular o trabalho feito em uma partícula viajando através de um campo.
  • Integrais de linha escalar podem ser calculados usando a Equação ref {eq12a}; as integrais de linha do vetor podem ser calculadas usando a Equação ref {lineintformula}.
  • Dois conceitos-chave expressos em termos de integrais de linha são fluxo e circulação. O fluxo mede a taxa com que um campo cruza uma determinada linha; a circulação mede a tendência de um campo se mover na mesma direção de uma dada curva fechada.

Equações Chave

  • Calculando uma integral de linha escalar
    ( displaystyle int_C f (x, y, z) , ds = int_a ^ bf ( vecs r (t)) sqrt {{(x ′ (t))} ^ 2 + {(y ′ ( t))} ^ 2 + {(z ′ (t))} ^ 2} , dt )
  • Calculando uma integral de linha vetorial
    ( displaystyle int_C vecs F · d vecs {r} = int_C vecs F · vecs T , ds = int_a ^ b vecs F ( vecs r (t)) · vecs r ′ (t) , dt )
    ou
    ( displaystyle int_C P , dx + Q , dy + R , dz = int_a ^ b (P ( vecs r (t)) dfrac {dx} {dt} + Q ( vecs r ( t)) dfrac {dy} {dt} + R ( vecs r (t)) dfrac {dz} {dt}) , dt )
  • Calculando o fluxo
    ( displaystyle int_C vecs F · dfrac { vecs n (t)} {‖ vecs n (t) ‖} , ds = int_a ^ b vecs F ( vecs r (t)) · vecs n (t) , dt )

Glossário

circulação
a tendência de um fluido se mover na direção da curva (C ). Se (C ) é uma curva fechada, então a circulação de ( vecs F ) ao longo de (C ) é integral de linha (∫_C vecs F · vecs T , ds ), que nós também denotam (∮_C vecs F · vecs T , ds ).
curva fechada
uma curva para a qual existe uma parametrização ( vecs r (t), a≤t≤b ), tal que ( vecs r (a) = vecs r (b) ), e a curva é percorrida exatamente uma vez
fluxo
a taxa de um fluido fluindo através de uma curva em um campo vetorial; o fluxo do campo vetorial ( vecs F ) através da curva plana (C ) é integral de linha (∫_C vecs F · frac { vecs n (t)} {‖ vecs n (t) ‖ } , ds )
integral de linha
a integral de uma função ao longo de uma curva em um plano ou no espaço
orientação de uma curva
a orientação de uma curva (C ) é uma direção especificada de (C )
curva suave por partes
uma curva orientada que não é suave, mas pode ser escrita como a união de um número finito de curvas suaves
integral de linha escalar
a integral de linha escalar de uma função (f ) ao longo de uma curva (C ) em relação ao comprimento do arco é a integral ( displaystyle int_C f , ds ), é a integral de uma função escalar (f ) ao longo de uma curva em um plano ou no espaço; tal integral é definida em termos de uma soma de Riemann, assim como uma integral de variável única
integral da linha do vetor
a integral da linha do vetor do campo vetorial ( vecs F ) ao longo da curva (C ) é a integral do produto escalar de ( vecs F ) com o vetor tangente unitário ( vecs T ) de ( C ) com respeito ao comprimento do arco, (∫_C vecs F · vecs T , ds ); tal integral é definida em termos de uma soma de Riemann, semelhante a uma integral de variável única

Contribuidores

  • Gilbert Strang (MIT) e Edwin “Jed” Herman (Harvey Mudd) com muitos autores contribuintes. Este conteúdo da OpenStax é licenciado com uma licença CC-BY-SA-NC 4.0. Baixe gratuitamente em http://cnx.org.


Como avaliar uma integral de linha em uma curva?

Como faço para calcular essa integral de linha? A resposta para este problema é 61/6 aqui, mas não estou muito confiante na integração de linha. Minha tentativa está abaixo do problema.

Tentar: $ int_CB cdot dl = int_C (-x ^ 2, y, 3) cdot (dx, dy, dz) = $ $ = int_C -x ^ 2 dx + int_C y dy + int_C 3 dz = int_0 ^ 1 -x ^ 2 dx + int_2 ^ 5 y dy + int_5 ^ 5 3 dz $

Portanto, o último termo (envolvendo z) é 0. Mas qual é a estratégia para os dois primeiros termos? Estou tentando reescrever as funções usando $ y = 3x ^ 2 + 2 $.

Para o primeiro termo: $ y = 3x ^ 2 + 2 longrightarrow x ^ 2 = (y-2) / 3 longrightarrow dx =? $ $ X $ de 0 a 1 em C dado por: $ int_0 ^ 1 - x ^ 2 dx = int_0 ^ 1 - frac <(y-2)> <3> dx $

Para o segundo termo: y de 2 a 5 em C dado por: $ y = 3x ^ 2 + 2 longrightarrow dy = dx 6x $ $ int_2 ^ 5 y dy = int_2 ^ 5 6x dx $

O que não tenho certeza é sobre os limites de integração (se deveria ser de 0 a 1 quando eu tenho dx no 2º termo e como obter o elemento de linha diferencial dx (como se você pudesse obtê-lo da mesma função $ y = 3x ^ 2 + 2 $ ou precisa derivar $ x ^ 2 = (y-2) / 3 longrightarrow dx =? $.


5.3: Integrais de Linha - Matemática

Nesta seção, vamos apresentar um novo tipo de integral. No entanto, antes de fazermos isso, é importante notar que você precisará se lembrar de como parametrizar as equações ou, dito de outra forma, você precisará ser capaz de escrever um conjunto de equações paramétricas para uma determinada curva. Você deveria ter visto um pouco disso em seu curso de Cálculo II. Se precisar de alguma revisão, você deve voltar e revisar alguns dos fundamentos das equações e curvas paramétricas.

Aqui estão algumas das curvas mais básicas que precisamos saber fazer, bem como os limites do parâmetro, se eles forem necessários.

Curva Equações Paramétricas
(começar displaystyle frac <<>><<>> + frac <<>><<>> = 1 mbox <(Elipse)> end) (começar começar mbox x = a cos left (t right) y = b sin left (t right) 0 le t le 2 pi end& começar mbox x = a cos left (t right) y = - b sin left (t right) 0 le t le 2 pi end fim)
(começar + = mbox <(Círculo)> end) (começar começar mbox x = r cos left (t right) y = r sin left (t right) 0 le t le 2 pi end & começar mbox x = r cos left (t right) y = - r sin left (t right) 0 le t le 2 pi end fim)
(y = f left (x right) ) (começarx & = t y & = f left (t right) end)
(x = g left (y right) ) (começarx & = g left (t right) y & = t end)
(começar mbox left (<,,> direita) mbox esquerda (<,,> right) end) (começar vec r left (t right) = left (<1 - t> right) left langle <,,> right rangle + t left langle <,,> right rangle , , ,, , , 0 le t le 1 mbox começar começar x & = left (<1 - t> right) + t , y & = left (<1 - t> right) + t , z & = left (<1 - t> right) + t , fim &, , , , , , , 0 le t le 1 end fim)

Com o último, demos tanto a forma vetorial da equação quanto a forma paramétrica e, se precisarmos da versão bidimensional, simplesmente eliminamos os componentes (z ). Na verdade, usaremos a versão bidimensional disso nesta seção.

Para a elipse e o círculo, demos duas parametrizações, uma traçando a curva no sentido horário e a outra no sentido anti-horário. Como veremos, eventualmente, a direção em que a curva é traçada pode, na ocasião, mudar a resposta. Além disso, ambos “começam” no eixo positivo (x ) em (t = 0 ).

Agora vamos passar para as integrais de linha. Em Cálculo I integramos (f left (x right) ), uma função de uma única variável, ao longo de um intervalo ( left [ certo]). Neste caso, pensamos em (x ) como assumindo todos os valores neste intervalo começando em (a ) e terminando em (b ). Com integrais de linha, começaremos integrando a função (f left ( right) ), uma função de duas variáveis, e os valores de (x ) e (y ) que vamos usar serão os pontos, ( left ( right) ), que se encontram em uma curva (C ). Observe que isso é diferente das integrais duplas com as quais trabalhamos no capítulo anterior, onde os pontos saíram de alguma região bidimensional.

Vamos começar com a curva (C ) de onde vêm os pontos. Vamos supor que a curva é suave (definido em breve) e é dado pelas equações paramétricas,

[x = h left (t right) hspace <0.25in> y = g left (t right) hspace <0.25in> , , , , a le t le b ]

Freqüentemente, desejaremos escrever a parametrização da curva como uma função vetorial. Neste caso, a curva é dada por,

[ vec r left (t right) = h left (t right) , vec i + g left (t right) vec j hspace <0.25in> hspace <0.25in> a le t le b ]

A curva é chamada suave if ( vec r ' left (t right) ) é contínuo e ( vec r' left (t right) ne 0 ) para todos (t ).

O integral de linha de (f left ( right) ) junto com (C ) é denotado por,

Usamos um (ds ) aqui para reconhecer o fato de que estamos nos movendo ao longo da curva, (C ), em vez do eixo (x ) (denotado por (dx )) ou o ( y ) - eixo (denotado por (dy )). Por causa do (ds ), isso às vezes é chamado de integral de linha de (f ) em relação ao comprimento do arco.

Já vimos a notação (ds ) antes. Se você se lembra de Cálculo II, quando olhamos para o comprimento do arco de uma curva dada por equações paramétricas, descobrimos que era,

Não é por acaso que usamos (ds ) para ambos os problemas. O (ds ) é o mesmo para a integral do comprimento do arco e a notação para a integral da linha.

Portanto, para calcular uma integral de linha, converteremos tudo para as equações paramétricas. A integral de linha é então,

Não se esqueça de inserir as equações paramétricas na função também.

Se usarmos a forma vetorial da parametrização, podemos simplificar um pouco a notação observando que,

onde ( left | < vec r ' left (t right)> right | ) é a magnitude ou norma de ( vec r' left (t right) ). Usando esta notação, a integral de linha se torna,

Observe que, desde que a parametrização da curva (C ) seja traçada exatamente uma vez conforme (t ) aumenta de (a ) para (b ), o valor da integral de linha será independente do parametrização da curva.

Vamos dar uma olhada em um exemplo de integral de linha.

Precisamos primeiro de uma parametrização do círculo. Isso é dado por,

Agora precisamos de um intervalo de (t ) 's que dará a metade direita do círculo. O seguinte intervalo de (t ) 's fará isso.

Agora, precisamos das derivadas das equações paramétricas e vamos calcular (ds ).

A integral de linha é então,

Em seguida, precisamos falar sobre integrais de linha sobre curvas suaves por partes. Uma curva suave por partes é qualquer curva que pode ser escrita como a união de um número finito de curvas suaves, (),…,() onde o ponto final de () é o ponto de partida de (<>> ). Abaixo está uma ilustração de uma curva suave por partes.

A avaliação de integrais de linha em curvas suaves por partes é uma coisa relativamente simples de fazer. Tudo o que fazemos é avaliar a integral da linha sobre cada uma das peças e, em seguida, somá-las. A integral de linha para alguma função sobre a curva por partes acima seria,

Vamos ver um exemplo disso.

Então, primeiro precisamos parametrizar cada uma das curvas.

Agora vamos fazer a integral de linha sobre cada uma dessas curvas.

Finalmente, a integral de linha que fomos solicitados a calcular é,

Observe que colocamos setas de direção na curva no exemplo acima. A direção do movimento ao longo de uma curva poderia mude o valor da integral de linha como veremos na próxima seção. Observe também que a curva pode ser considerada uma curva que nos leva do ponto ( left (<- 2, - 1> right) ) ao ponto ( left (<1,2> ​​ right) ). Vamos primeiro ver o que acontece com a integral de linha se mudarmos o caminho entre esses dois pontos.

A partir das fórmulas de parametrização no início desta seção, sabemos que o segmento de linha inicia em ( left (<- 2, - 1> right) ) e termina em ( left (<1,2> ​​ right )) É dado por,

para (0 le t le 1 ). Isso significa que as equações paramétricas individuais são,

[x = - 2 + 3t hspace <0,25in> hspace <0,25in> y = - 1 + 3t ]

Usando este caminho, a integral de linha é,

Ao fazer essas integrais, não se esqueça das substituições simples de Calc I para evitar ter que fazer coisas como cubar um termo. Fazer cubos não é tão difícil, mas dá mais trabalho do que uma simples substituição.

Portanto, os dois exemplos anteriores parecem sugerir que, se alterarmos o caminho entre dois pontos, o valor da integral da linha (com relação ao comprimento do arco) mudará. Embora isso aconteça com bastante regularidade, não podemos presumir que sempre acontecerá. Em uma seção posterior, investigaremos essa ideia com mais detalhes.

A seguir, vamos ver o que acontece se mudarmos a direção de um caminho.

Este não é muito diferente, em termos de trabalho, do exemplo anterior. Aqui está a parametrização da curva.

para (0 le t le 1 ). Lembre-se de que estamos mudando a direção da curva e isso também mudará a parametrização para que possamos ter certeza de que iniciamos / terminamos no ponto adequado.

Aqui está a integral de linha.

Portanto, parece que quando mudamos a direção da curva, a integral de linha (com relação ao comprimento do arco) não mudará. Isso sempre será verdadeiro para esses tipos de integrais de linha. No entanto, existem outros tipos de integrais de linha em que este não será o caso. Veremos mais exemplos disso nas próximas seções, então não coloque na sua cabeça que mudar a direção nunca mudará o valor da integral de linha.

Antes de trabalhar em outro exemplo, vamos formalizar esta ideia um pouco. Suponhamos que a curva (C ) tenha a parametrização (x = h left (t right) ), (y = g left (t right) ). Suponhamos também que o ponto inicial da curva seja (A ) e o ponto final da curva seja (B ). A parametrização (x = h left (t right) ), (y = g left (t right) ) determinará então um orientação para a curva em que a direção positiva é a direção que é traçada à medida que (t ) aumenta. Finalmente, seja (- C ) a curva com os mesmos pontos que (C ), porém neste caso a curva tem (B ) como ponto inicial e (A ) como ponto final, novamente (t ) está aumentando à medida que atravessamos esta curva. Em outras palavras, dada uma curva (C ), a curva (- C ) é a mesma curva que (C ), exceto que a direção foi invertida.

Temos então o seguinte fato sobre as integrais de linha em relação ao comprimento do arco.

Portanto, para uma integral de linha em relação ao comprimento do arco, podemos mudar a direção da curva e não mudar o valor da integral. Este é um fato útil a ser lembrado, pois algumas integrais de linha serão mais fáceis em uma direção do que em outra.

Agora, vamos trabalhar outro exemplo

  1. (: y = , , , , - 1 le x le 1 )
  2. (): O segmento de linha de ( left (<- 1,1> right) ) a ( left (<1,1> right) ).
  3. (): O segmento de linha de ( left (<1,1> right) ) a ( left (<- 1,1> right) ).

Antes de trabalhar qualquer uma dessas integrais de linha, vamos notar que todas essas curvas são caminhos que conectam os pontos ( left (<- 1,1> right) ) e ( left (<1,1> right) ). Observe também que ( = - ) e assim pelo fato acima estes dois devem dar a mesma resposta.

Aqui está um esboço das três curvas e observe que as curvas ilustrando () e () foram separados um pouco para mostrar que são curvas separadas de alguma forma, embora sejam a mesma linha.

Aqui está uma parametrização para esta curva.

Aqui está a integral de linha.

Existem duas parametrizações que podemos usar aqui para esta curva. A primeira é usar a fórmula que usamos nos exemplos anteriores. Essa parametrização é,

Às vezes, não temos escolha a não ser usar essa parametrização. Porém, neste caso existe uma segunda (provavelmente) parametrização mais fácil. O segundo usa o fato de que estamos apenas representando graficamente uma parte da reta (y = 1 ). Usando isso, a parametrização é,

Esta será uma parametrização muito mais fácil de usar, então vamos usar isso. Aqui está a integral de linha para esta curva.

Observe que, desta vez, ao contrário da integral de linha com a qual trabalhamos nos Exemplos 2, 3 e 4, obtivemos o mesmo valor para a integral, embora o caminho seja diferente. Isso vai acontecer de vez em quando. Também não devemos esperar que essa integral seja a mesma para todos os caminhos entre esses dois pontos. Neste ponto, tudo o que sabemos é que para esses dois caminhos a integral de linha terá o mesmo valor. É completamente possível que haja outro caminho entre esses dois pontos que forneça um valor diferente para a integral da linha.

Agora, de acordo com nosso fato acima, realmente não precisamos fazer nada aqui, pois sabemos que ( = - ). O fato nos diz que esta integral de linha deve ser igual à segunda parte (ou seja, zero). No entanto, vamos verificar isso, além de haver um ponto que precisamos fazer aqui sobre a parametrização.

Aqui está a parametrização para esta curva.

Observe que, desta vez, não podemos usar a segunda parametrização que usamos na parte (b), pois precisamos nos mover da direita para a esquerda conforme o parâmetro aumenta e a segunda parametrização usada na parte anterior se moverá na direção oposta.

Aqui está a integral de linha para esta curva.

Com certeza obtivemos a mesma resposta da segunda parte.

Até este ponto nesta seção, vimos apenas as integrais de linha em uma curva bidimensional. No entanto, não há razão para nos restringirmos assim. Podemos fazer integrais de linha em curvas tridimensionais também.

Suponhamos que a curva tridimensional (C ) seja dada pela parametrização,

[x = x left (t right), , hspace <0.25in> y = y left (t right) hspace <0.25in> z = z left (t right) hspace < 0,25 pol.> A le t le b ]

então a integral de linha é dada por,

Observe que, frequentemente, ao lidar com espaço tridimensional, a parametrização será dada como uma função vetorial.

Observe que alteramos um pouco a notação para a parametrização. Uma vez que raramente usamos os nomes das funções, simplesmente mantivemos o (x ), (y ) e (z ) e adicionamos na parte ( left (t right) ) para denotar que eles podem ser funções do parâmetro.

Observe também que, como acontece com as curvas bidimensionais, temos,

e a integral de linha pode novamente ser escrita como,

Portanto, fora da adição de uma terceira equação paramétrica, as integrais de linha no espaço tridimensional funcionam da mesma forma que aquelas no espaço bidimensional. Vamos trabalhar um exemplo rápido.

Observe que vimos pela primeira vez a equação vetorial para uma hélice na seção Funções de vetor. Aqui está um esboço rápido da hélice.

Aqui está a integral de linha.

Você foi capaz de fazer essa integral, certo? Requer integração por partes.

Então, como podemos ver, realmente não há muita diferença entre integrais de linha bidimensionais e tridimensionais.


Integrais de linha - conceitos fundamentais

Para um integral simples, a área é calculada sob uma curva definida por y = f (x): y = f (x): y = f (x):

Para avaliar a área sob a curva, basta integrar f (x) f (x) f (x) de a a a b: b: b:

No entanto, para integrais de linha, a área é uma superfície bidimensional que "se curva em três dimensões". É ondulado como uma cortina, em vez de ser completamente plano como no exemplo acima:

Integral de linha

Isso é feito introduzindo o seguinte conjunto de equações paramétricas para definir a curva C C C no plano x y xy x y:

Generalizado em três dimensões, isso se torna

B. A área sob a curva y = x 2 y = x ^ 2 y = x 2 entre x = 2 x = 2 x = 2 e x = 5 x = 5 x = 5

C. A radiação total absorvida por uma pessoa caminhando a uma taxa uniforme em torno de uma elipse com eixo menor de comprimento a a a e eixo maior de comprimento b b b, com uma fonte de radiação na coordenada (b, a) (b, a) (b, a)


5 respostas 5

Seja $ C $ qualquer curva em $ mathbb^ d $. Uma parametrização de $ C $ é um mapa $ gamma: [a, b] to mathbb^ d $ que traçam ao longo dos pontos em $ C $ em uma ordem específica. Para quaisquer duas funções $ f $, $ g $ definidas no conjunto de pontos pertencem a $ C $, definimos a integral de linha sobre $ C $ por

$ int_C f dg stackrel <=> int_ gamma f dg stackrel<=> int_a ^ b f ( gamma (t)) , (g circ gamma) '(t) dt $

isto é, a integral de linha é definida através de uma integral sobre uma parametrização específica da curva. A chave é que o valor da integral à direita independe da escolha da parametrização. Para maior clareza, pode-se retirar o parâmetro explícito $ t $ da expressão.

Para o seu caso, $ int e ^ dx $ realmente significa $ int e ^, (x circ gamma) '(t) dt $ para qualquer parametrização que você escolher para avaliar a integral. O $ s $ que você geralmente vê significa a parametrização do comprimento do arco, é apenas uma escolha possível de parametrização. Você não precisa usá-lo se isso tornar sua vida mais difícil.

Defina $ vec(t) = & ltt ^ 3, t & gt $. Defina $ vec(t) = & lte ^, 0 & gt $. Então você quer $ int_C vec cdot d vec$, que agora pode ser integrado ao longo da linha $ t $ de -1 a 1. Mas isso é visto como um campo vetorial, não um campo escalar. Mas é consistente com a notação.

É bastante normal escrever $ int_C P (x, y) dx + Q (x, y) dy $ para a linha integral $ int_C vec F cdot d vec r $, onde $ vec F (x , y) = (P (x, y), Q (x, y)) $. Portanto, neste caso $ vec F (x, y) = (e ^ x, 0) $.

Aqui pode-se resolver como você fez ou pode-se notar que $ vec F $ é conservador, com função potencial $ f (x, y) = e ^ x $. Assim, $ int_C e ^ x , dx = f (1,1) -f (-1, -1) = e- frac1e. $

É importante notar que tudo isso funciona porque $ P $ depende apenas de $ x $.

Você sabe como encontrar o comprimento de um arco?

Não tenho certeza de como calcular essa integral imediatamente. Eu precisaria fazer uma aproximação numérica.

Este é um exemplo de integral de linha em relação a $ x $. Integrais de linha em relação às funções de coordenadas não são inteiramente intuitivas (para mim). Uma possível motivação para tal seria o trabalho de computação. Se você rolar uma bola de neve colina acima, você trabalha. O trabalho depende da massa da bola de neve, que depende de quanto tempo você está rolando, e do ganho de elevação do morro. Mas qualquer componente horizontal do rolamento não dá trabalho, já que a única força é a gravidade. Assim, se a colina tem um perfil em forma de curva $ C $ e $ f (x, y) $ é a massa da bola de neve na posição $ (x, y) $ na colina, ($ y $ é a coordenada vertical), então o trabalho é proporcional a $ int_C f (x, y) , dy $.

Existe um procedimento simples e formal para calcular integrais como essas. Para o seu, parametrize $ C $ por $ x = t ^ 3 $, $ y = t $ sobre $ -1 leq t leq 1 $. Então o integrando é $ e ^$, e o diferencial é $ dx = 3t ^ 2 , dt $. A integral torna-se $ int_C e ^, dx = int_ <-1> ^ t e ^ 3t ^ 2 , dt = left. e ^ right | ^ <1> _ <-1> = e - e ^ <-1> $

Na verdade, acho que a formalidade é a maior vantagem dessas integrais. Se $ mathbf = P mathbf + Q mathbf + R mathbf$ é um campo vetorial em $ C $, então $ int_C mathbf cdot d mathbf = int_C P , dx + int_C Q , dy + int_C R , dz $


Math Insight

Vamos começar dllp (t) = (3t-2, t + 1), qquad 1 le t le 2 end ser uma parametrização de um fio. Deixe a densidade do fio no ponto $ (x, y) $ ser dada por begin f (x, y) = x + y. fim Calcule a massa do fio.

Solução: Massa é a integral da densidade ao longo do fio. Portanto, devemos calcular $ int_ < dllp> f , ds $. Desde, começo dllp '(t) & amp = (3,1), | dllp '(t) | & amp = sqrt <3 ^ 2 + 1 ^ 2> = sqrt <10>, f ( dllp (t)) & amp = (3t-2) + (t + 1) = 4t-1, end a integral é begin int_ < dllp> f , ds & amp = int_a ^ b f ( dllp (t)) | dllp '(t) | dt & amp = int_ <1> ^ 2 (4t-1) sqrt <10> dt & amp = (2 t ^ 2 - t) left. left. sqrt <10> right | _ <1> ^ 2 right. & amp = left (8-2- (2-1) right) sqrt <10> = 5 sqrt <10> end

Portanto, se $ f $ fosse dado em gramas / cm e $ dllp (t) $ fosse dado em cm, a massa do fio seria $ 5 sqrt <10> $ gramas.

Exemplo 2

Nem o comprimento do fio nem sua massa podem depender da parametrização. Verifique se você obteve a mesma resposta com a parametrização begin adllp (t) = (9t-2,3t + 1), qquad 1/3 le t le 2/3. fim Não que este seja o mesmo fio do Exemplo 1, que é uma linha reta do ponto $ (1,2) $ a $ (4,3) $.

Solução: Repetimos os mesmos cálculos do Exemplo 1. (Lembre-se de que $ f (x, y) = x + y $.) Desde begin adllp '(t) & amp = (9,3), | adllp '(t) | & amp = sqrt <9 ^ 2 + 3 ^ 2> = sqrt <90> = 3 sqrt <10>, f ( adllp (t)) & amp = (9t-2) + (3t + 1) = 12t-1, end a integral é begin int_ < adllp> f , ds & amp = int_ <1/3> ^ <2/3> f ( adllp (t)) | adllp '(t) | dt & amp = int_ <1/3> ^ <2/3> (12t-1) 3 sqrt <10> dt & amp = (6 t ^ 2 - t) left. left.3 sqrt <10> right | _ <1/3> ^ <2/3> right. & amp = left [6 left ( frac <2> <3> right) ^ 2- frac < 2> <3>-left(6left(frac<1> <3> right) ^ 2 - frac <1> <3> right) right] 3 sqrt <10> & amp = left [ frac <24> <9> - frac <2> <3> - frac <6> <9> + frac <1> <3> right] 3 sqrt <10> = frac <5> <3> 3 sqrt <10> = 5 sqrt <10>, end que corresponde ao Exemplo 1.

Observe que a & ldquospeed & rdquo da parametrização $ | adllp '(t) | = 3 sqrt <10> $ era três vezes maior que a velocidade $ | dllp '(t) | = sqrt <10> $ do Exemplo 1. Mas o intervalo de integração $ 1/3 le t le 2/3 $ foi um terço do intervalo de integração do Exemplo 1.

Exemplo 3

Aqui está outra parametrização da mesma linha reta de $ (1,2) $ para $ (4,3) $. Desta vez, a & ldquospeed & rdquo da parametrização não é constante, mas depende de t: begin sadllp (t) = (3t ^ 2-2, t ^ 2 + 1), qquad 1 le t le sqrt <2>. fim Ainda usando a densidade $ f (x, y) = x + y $, calcule a massa do fio.

Solução: Desde começo sadllp '(t) & amp = (6t, 2t), | sadllp '(t) | & amp = sqrt <(6t) ^ 2 + (2t) ^ 2> = sqrt <40t ^ 2> = 2t sqrt <10>, f ( sadllp (t)) & amp = (3t ^ 2- 2) + (t ^ 2 + 1) = 4t ^ 2-1. fim a integral é begin int_ < sadllp> f , ds & amp = int_ <1> ^ < sqrt <2>> f ( sadllp (t)) | sadllp '(t) | dt & amp = int_ <1> ^ < sqrt <2>> (4t ^ 2-1) 2t sqrt <10> dt & amp = int_ <1> ^ < sqrt <2>> ( 8t ^ 3-2t) sqrt <10> dt & amp = (2t ^ 4 - t ^ 2) left. Left. Sqrt <10> right | _ <1> ^ < sqrt <2> > right. & amp = left [2 bigl ( sqrt <2> bigr) ^ 4 - bigl ( sqrt <2> bigr) ^ 2 -2 +1 right] sqrt <10 > = 5 sqrt <10>, end que corresponde aos Exemplos 1 e 2.

Exemplo 4

Para o slinky $ dlc $ parametrizado por $ dllp (t) = ( cos t, sin t, t) $ para le t le 2 pi $, deixe sua densidade no ponto $ (x, y, z) $ seja dado por $ f (x, y, z) = 1 + x + z $. Encontre a massa do furtivo.

Solução: Desde começo f ( dllp (t)) & amp = 1+ cos t + t dllp '(t) & amp = (- sin t, cos t, 1) | dllp' (t) | & amp = sqrt < sin ^ 2 t + cos ^ 2 t + 1> = sqrt <2>, end a integral de linha que dá a massa é begin slint < dlc> & amp = pslint <0> <2 pi>< dllp> & amp = int_0 ^ <2 pi> (1+ cos t + t) sqrt <2> dt & amp = sqrt <2> (t + sin t + t ^ 2 / 2) Big | _0 ^ <2 pi> = 2 sqrt <2> pi + 2 sqrt <2> pi ^ 2. fim


Primeiro teorema fundamental do cálculo

Seja f uma função integrável em [a, x] para cada x em [a, b]. Seja c tal que a & le c & le b e defina uma nova função A da seguinte maneira:
$ A (x) = int_c ^ x f (t) dt, qquad qquad a leq x leq b $
Então, a derivada A '(x) existe em cada ponto x no intervalo aberto (a, b) onde f é contínua, e para tal x temos
(5.1) A '(x) = f (x).
Primeiro, apresentamos um argumento geométrico que sugere por que o teorema deve ser verdadeiro e, em seguida, apresentamos uma prova analítica.

Motivação geométrica. A Figura 5.1 mostra o gráfico de uma função f em um intervalo [a, b]. Na figura, h é positivo e
$ int_x ^ f (t) dt = int_c ^ f (t) dt - int_c ^ x f (t) dt = A (x + h) - A (x) $
O exemplo mostrado é contínuo ao longo do intervalo [x, x + h]. Portanto, pelo teorema do valor médio para integrais, temos
A (x + h) - A (x) = hf (Z), onde x & le z & le x + h.
Por isso temos
(5.2) [A (x + h) - A (x)] / h = f (z),

e, como x & le z & le x + h, descobrimos que f (z) & rarr f (x) como h & rarr 0 por meio de valores positivos. Um argumento semelhante é válido se h & rarr 0 a valores negativos. Portanto, A '(x) existe e é igual af (x).
Este argumento assume que a função f é contínua em alguma vizinhança do ponto x. No entanto, a hipótese do teorema refere-se apenas à continuidade fora de um único ponto x. Portanto, usamos um método diferente para provar o teorema sob esta hipótese mais fraca.

Prova analítica. Seja x um ponto de continuidade fora, mantenha x fixo e forme o quociente
[A (x + h) - A (x)] / h
Para provar o teorema, devemos mostrar que este quociente se aproxima do limite f (x) como h & rarr 0. O numerador é
$ A (x + h) - A (x) = int_c ^ f (t) dt - int_c ^ x f (t) dt = int_x ^ f (t) dt. $
Se escrevermos f (t) = f (x) + [f (t) -f (x)] na última integral, obtemos
de onde encontramos
(5.3) $ frac = f (x) + frac <1> int_x ^ [f (t) - f (x)] dt $
Portanto, para completar a prova de (5.1), tudo o que precisamos fazer é mostrar que
$ lim_ frac <1> int_x ^ [f (t) - f (x)] dt = 0 $
É esta parte da prova que faz uso da continuidade desligada em x.
Denotemos o segundo termo à direita de (5.3) por G (h). Devemos provar que G (h) -f 0 como h --f 0. Usando a definição de limite, devemos mostrar que para cada & epsilon> 0 existe um & delta> 0 tal que
(5,4) | G (h) | n + 2) / (n + 1)
tem a derivada P '(x) = x n se n for qualquer inteiro não negativo. Uma vez que isso é válido para todos os reais x, podemos usar (5.8) para escrever
$ int _a ^ b x ^ n dx = P (b) - P (a) = frac<>-a ^>$
para todos os intervalos [a, b]. Esta fórmula, comprovada para todos os inteiros n & ge 0, também é válida para todos os inteiros negativos, exceto n = -1, que é excluído porque n + 1 aparece no denominador. Para provar (5.9) para n negativo, é suficiente mostrar que (5.10) implica P '(x) = xn quando n é negativo e & ne - 1, um fato que é facilmente verificado diferenciando P como uma função racional. Claro, quando n é negativo, nem P (x) nem P '(x) é definido para x = 0, e quando usamos (5.9) para n negativo, é importante excluir os intervalos [a, b] que contém o ponto x = 0.
Os resultados do Exemplo 3 na Seção 4.5 nos permitem estender (5.9) a todos os expoentes racionais (exceto -l), desde que o integrando seja definido em qualquer lugar no intervalo [a, b] sob consideração. Por exemplo, se 0 c para cada expoente real c. Veremos que esta função tem a derivada f '(x) = cx c - 1 e a primitiva P (x) = xc + 1 / (C + 1) se c & ne - 1. Isso nos permitirá estender (5.9 ) para todos os expoentes reais, exceto - 1.
Observe que não podemos obter P '(x) = 1 / x pela diferenciação de qualquer função da forma P (x) = x n. No entanto, existe uma função P cuja derivada é P '(x) = 1 / x. Para exibir tal função, tudo o que precisamos fazer é escrever uma integral indefinida adequada, por exemplo,
$ P (x) = int _x ^ c frac <1> dt qquad qquad if x> 0 $
Essa integral existe porque o integrando é monotônico. A função SO definida é chamada de Zogaritmo (mais especificamente, o logaritmo naturaf). Suas propriedades são desenvolvidas sistematicamente no Capítulo 6.

EXEMPLO 2. Integração do seno e cosseno. Uma vez que a derivada do seno é o cosseno e a derivada do cosseno é menos o seno, o segundo teorema fundamental também nos dá as seguintes fórmulas:
$ int _a ^ b cos x dx = sin x | _a ^ b = sin b - sin a $
$ int _a ^ b sin x dx = (- cos x) | _a ^ b = cos a - cos b $
Outros exemplos de fórmulas de integração cari podem ser obtidos a partir dos Exemplos 1 e 2 tomando somas finitas de termos da forma Ax '“, B sin x, C COS x, onde A, B, C são constantes.

5.4 Propriedades de uma função deduzida. das propriedades de seu derivado

Se uma função f tem uma derivada contínua f 'em um intervalo aberto Z, o segundo teorema fundamental afirma que
(5.11) $ f (x) = f (c) + int _c ^ x f '(t) dt $
para cada escolha de pontos x e c em Z. Esta fórmula, que expressa f em termos de sua derivada f ', nos permite deduzir prolperties de uma função de propriedades de sua derivada. Embora as propriedades a seguir já tenham sido discutidas no Capítulo 4, pode ser interessante ver como elas também podem ser deduzidas como simples consequências da Equação (5.11).
Suponha que f 'seja contínuo e não negativo em I. Se x> c, então $ int _c ^ x f' (t) dt geq 0 $ e, portanto, f (x) & ge f (c). Em outras palavras, se o Iderivativo é contínuo e não negativo em Z, a função está aumentando em Z.
No Teorema 2.9 provamos que a integral indefinida de uma função crescente é convexa. Portanto, se f 'é contínuo e crescente em 1, a Equação (5.11) mostra que f é convexo em Z. Da mesma forma, f é côncavo nos intervalos em que f' é contínuo e decrescente.


Cálculo III:

Integrar uma função de uma única variável f (x) em um intervalo [a, b], x assume todos os valores neste intervalo começando em a e terminando em b.

A integração dupla de uma função de duas variáveis ​​f (x, y) sobre um domínio [a, b] D, x e y leva todos os valores neste domínio começando em a e terminando em b para x e começando emc e terminando em d para y.

Com integrais de linha integramos a função f (x, y), uma função de duas variáveis, e os valores de x e y serão os pontos, (x, y), que se encontram em uma curva C.

Observe que isso é diferente das integrais duplas onde a integração é feita sobre uma região R ou D. Nas integrais de linha, integramos sobre uma curva feita a partir dos pontos da própria função.

Vamos considerar a curva C de onde vêm os pontos e assumir que a curva é suave. A curva é dada pelas equações paramétricas:

Com a parametrização da curva como função vetorial, a curva é dada por:

(t) = g (t) + h (t) a ≤ t ≤ b

Vamos lembrar que a curva é chamada suave E se(t) é contínuo e(t) ≠ para todos t.

A integral de linha de f (x, y) ao longo de C é denotada por:

O elemento diferencial é ds. Este é o fato de que estamos nos movendo ao longo da curva C, em vez de dx para o eixo x, ou dy para o eixo y.

A fórmula acima é chamada de integral de linha de f em relação ao comprimento do arco.

Vamos lembrar que o comprimento do arco de uma curva é dado pelas equações paramétricas:

L = ∫uma largura b ds ds = √ [(dx / dt) 2 + (dy / dt) 2] dt

Portanto, para calcular uma integral de linha, convertemos tudo para as equações paramétricas. A integral de linha é então:

Exemplo 1

Avalie ∫C 3x 2 ds onde C é o segmento de linha de (-1, 1) a (1,2).

Já vimos, na equação de uma linha na seção do espaço 3D, que a fórmula de parametrização do segmento de linha começando no ponto (xo, yo) e terminando no ponto (x1, y1) é:

(t) = (1 - t) 〈xo, yo〉 + t 〈x1, x2〉

x = xo (1 - t) + x1 t
y = yo (1 - t) + y1 t

Portanto, a fórmula de parametrização do segmento de linha começando em (-1, -1) e terminando em (1,2) é:

(t) = (1 - t) 〈-1, 1〉 + t 〈1,2〉.

x = (1 - t) (- 1) + t (1) = 2t - 1
y = (1 - t) (1) + t (2) = t + 1

Em (-1, 1): x = - 1, y = 1 → t = 0 , e
em (1,2): x = 1, y = 2 → t = 1

Temos: dx / dt = 2 e dy / dt = 1. Portanto:
ds = √ [2 2 + 1 2] dt = √5 dt.

C 3x 2 ds = ∫0 1 3 (2t - 1) 2 √5 dt = 3 √5 ∫0 1 (4t 2 - 4t + 1) dt =
3√5 [(4/3) t 3 - 2t 2 + t] 0 1 = 3√5 [(4/3) - 2 + 1] =
3√5 [1/3] = √5

Exemplo 2

Avalie ∫Cxy 2 ds onde C é a metade direita do círculo x 2 + y 2 = 16, girado no sentido anti-horário.

Parametrizamos a curva que é o círculo, depois o integrando e depois o elemento diferencial:

x = 4 cos t, y = 4 sen t - π / 2 ≤ t ≤ + π / 2.

f (x, y) = xy 2 = 4 cos t (4 sint) 2 = 64 cos t sen 2 t

dx / dt = - 4 sen t, dy / dt = 4 cos t

C xy 2 ds = ∫- π / 2 + π / 2 64 cos t sen 2 t (4 dt) =
256 ∫- π / 2 + π / 2 cos t sen 2 t dt = 256 [(1/3) sen 3 t]- π / 2 + π / 2 =
(256/3) [sen 3 (π / 2) - sen 3 (-π / 2)] = 2 (256/3) sen 3 (+ π / 2) = 2 (256/3) = 512/3.

2. Integrais sobre curvas suaves por partes

Agora, vamos integrar integrais de linha sobre curvas suaves por partes.

Uma curva suave C por partes é qualquer curva que pode ser escrita como a união de um número finito de curvas suaves, C1, C2, C3,,. Cn, onde o ponto final de Ci é o ponto inicial de Ci + 1.

Para avaliar as integrais de linha sobre curvas suaves por partes, avaliamos a integral de linha sobre cada uma das peças e, em seguida, as somamos:

Exemplo 3

Avalie ∫C 2x ds
onde C é a curva mostrada abaixo.

C2: x = 3 cos t, y = 3 sen t π / 2 ≤ t ≤ 0

C1 2x ds = ∫- 4 0 2t dt = (t 2) |- 4 0 = 16

dx / dt = - 3 sint dy / dt = 3 coos t
ds = 3 dt

C2 2x ds = ∫π / 2 0 2 cos t (3 dt) = 6 (sen t) |π / 2 0 = 6 (sen t) |π / 2 0 = - 6

Exemplo 4

No exemplo 1, encontramos:

C 3x 2 ds onde C é o segmento de linha de (-1, 1) a (1,2).

Aqui, mudamos a direção da curva para ver se a integral de linha muda:

Avaliamos então ∫-C 3x 2 ds onde -C é o segmento de linha de (1,2) (-1,1).

A fórmula de parametrização do segmento de linha começando em (1, 2) e terminando em (- 1, 1) é:

(t) = (1 - t) 〈1, 2〉 + t 〈- 1,1〉.

x = (1 - t) (1) + t (- 1) = 1 - 2t
y = (1 - t) (2) + t (1) = 2 - t

Em (1,2): x = 1, y = 2 → t = 0 , e
Em (-1, 1): x = - 1, y = 1 → t = 1

Temos: dx / dt = - 2 e dy / dt = - 1. Portanto:
ds = √ [2 2 + 1 2] dt = √5 dt.

-C 3x 2 ds = ∫0 1 3 (1 - 2t) 2 √5 dt = √5

-C 3x 2 = √5 , como no exemplo 1.

Portanto, para este tipo de integrais de linha, isto é, para as integrais em relação ao comprimento do arco ds, quando mudamos a direção da curva, a integral de linha (com respeito ao comprimento do arco) não mudará. Mas não é válido para todas as integrais de linha. Para integrais de linha em relação ao comprimento do arco, temos:

3. Integrais de linha sobre uma curva tridimensional

As integrais de linha em uma curva tridimensional podem ser estendidas a partir das integrais de linha em uma curva bidimensional.

Suponhamos que a curva tridimensional C seja dada pela parametrização:


Math Insight

No cálculo de uma variável, o teorema fundamental do cálculo era uma ferramenta útil para avaliar integrais. Se você estiver integrando uma função $ g (t) $ e descobrir que a função é a derivada de outra função $ g (t) = G '(t) $, então integrar a função $ g (t) $ é simples . A integral de $ g $ é apenas a diferença nos valores de $ G (t) $ nas extremidades. Poderíamos escrever o resultado como begin int_a ^ b G '(t) dt = G (b) -G (a). label fim

Para integrais de linha de campos vetoriais, existe um teorema fundamental semelhante. Em alguns casos, podemos reduzir a integral de linha de um campo vetorial $ dlvf $ ao longo de uma curva $ dlc $ à diferença nos valores de outra função $ f $ avaliada nas extremidades de $ dlc $, begin dlint = f (Q) -f (P), label fim onde $ dlc $ começa no ponto $ P $ e termina no ponto $ Q $. Se deixarmos $ dlvf: R ^ n to R ^ n $ (confuso?) Ser um campo vetorial $ n $ -dimensional, então deve ser que $ f: R ^ n to R $ é uma função com valor escalar, já que a integral de linha é avaliada como um único número.

Isso parece bom, mas há um problema importante: ele só funcionará para a integração de tipos especiais de campos vetoriais. Claramente, equação eqref poderia ser verdade apenas se a integral de linha ao longo de $ dlc $ depender apenas dos pontos finais de $ dlc $ e não depender do caminho particular que $ dlc $ segue. Em outras palavras, podemos esperar um teorema fundamental semelhante para integrais de linha apenas se o campo vetorial for conservativo (também chamado de independente de caminho). Se o campo vetorial $ dlvf $ for dependente do caminho, será impossível reduzir sua integral de linha aos valores de uma função nos pontos finais do caminho.

Podemos facilmente derivar como um campo vetorial conservativo deve se parecer e, no processo, obter nosso teorema fundamental para integrais de linha. Deixe a curva $ dlc $ do ponto $ P $ a $ Q $ ser parametrizada por $ dllp (t) $ para $ a


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