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13.5: A regra da cadeia para funções de variáveis ​​múltiplas


objetivos de aprendizado

  • Declare as regras da cadeia para uma ou duas variáveis ​​independentes.
  • Use diagramas de árvore como uma ajuda para entender a regra da cadeia para várias variáveis ​​independentes e intermediárias.
  • Realize a diferenciação implícita de uma função de duas ou mais variáveis.

No cálculo de uma variável, descobrimos que uma das regras de diferenciação mais úteis é a regra da cadeia, que nos permite encontrar a derivada da composição de duas funções. A mesma coisa é verdadeira para o cálculo multivariável, mas desta vez temos que lidar com mais de uma forma da regra da cadeia. Nesta seção, estudamos as extensões da regra da cadeia e aprendemos como obter derivados de composições de funções de mais de uma variável.

Regras da cadeia para uma ou duas variáveis ​​independentes

Lembre-se de que a regra da cadeia para a derivada de um composto de duas funções pode ser escrita na forma

[ dfrac {d} {dx} (f (g (x))) = f ′ (g (x)) g ′ (x). ]

Nesta equação, tanto ( displaystyle f (x) ) e ( displaystyle g (x) ) são funções de uma variável. Agora suponha que ( displaystyle f ) é uma função de duas variáveis ​​e ( displaystyle g ) é uma função de uma variável. Ou talvez sejam ambas funções de duas variáveis, ou até mais. Como calcularíamos a derivada nesses casos? O teorema a seguir nos dá a resposta para o caso de uma variável independente.

Regra da cadeia para uma variável independente

Suponha que ( displaystyle x = g (t) ) e ( displaystyle y = h (t) ) são funções diferenciáveis ​​de ( displaystyle t ) e ( displaystyle z = f (x, y ) ) é uma função diferenciável de ( displaystyle x ) e ( displaystyle y ). Então ( displaystyle z = f (x (t), y (t)) ) é uma função diferenciável de ( displaystyle t ) e

[ dfrac {dz} {dt} = dfrac {∂z} {∂x} ⋅ dfrac {dx} {dt} + dfrac {∂z} {∂y} ⋅ dfrac {dy} {dt} , label {cadeia1} ]

onde as derivadas ordinárias são avaliadas em ( displaystyle t ) e as derivadas parciais são avaliadas em ( displaystyle (x, y) ).

Prova

A prova deste teorema usa a definição de diferenciabilidade de uma função de duas variáveis. Suponha que f é diferenciável no ponto ( displaystyle P (x_0, y_0), ) onde ( displaystyle x_0 = g (t_0) ) e ( displaystyle y_0 = h (t_0) ) para um valor fixo de ( displaystyle t_0 ). Queremos provar que ( displaystyle z = f (x (t), y (t)) ) é diferenciável em ( displaystyle t = t_0 ) e que a Equação ref {cadeia1} se mantém nesse ponto como Nós vamos.

Como ( displaystyle f ) é diferenciável em ( displaystyle P ), sabemos que

[z (t) = f (x, y) = f (x_0, y_0) + f_x (x_0, y_0) (x − x_0) + f_y (x_0, y_0) (y − y_0) + E (x, y ), enhum número]

Onde

[ lim _ {(x, y) → (x_0, y_0)} dfrac {E (x, y)} { sqrt {(x − x_0) ^ 2 + (y − y_0) ^ 2}} = 0 . enhum número]

Em seguida, subtraímos ( displaystyle z_0 = f (x_0, y_0) ) de ambos os lados desta equação:

[ begin {align *} z (t) −z (t_0) = f (x (t), y (t)) - f (x (t_0), y (t_0)) [4pt] = f_x (x_0, y_0) (x (t) −x (t_0)) + f_y (x_0, y_0) (y (t) −y (t_0)) + E (x (t), y (t)). end {align *} ]

A seguir, dividimos ambos os lados por ( displaystyle t − t_0 ):

[z (t) −z (t_0) t − t_0 = fx (x_0, y_0) (x (t) −x (t_0) t − t_0) + f_y (x_0, y_0) (y (t) −y ( t_0) t − t_0) + E (x (t), y (t)) t − t_0. enhum número]

Então, tomamos o limite conforme ( displaystyle t ) se aproxima de ( displaystyle t_0 ):

[ begin {align *} lim_ {t → t_0} dfrac {z (t) −z (t_0)} {t − t_0} = f_x (x_0, y_0) lim_ {t → t_0} left ( dfrac {x (t) −x (t_0)} {t − t_0} right) [4pt] + f_y (x_0, y_0) lim_ {t → t_0} left ( dfrac {y (t) −y (t_0)} {t − t_0} right) [4pt] + lim_ {t → t_0} dfrac {E (x (t), y (t))} {t − t_0}. end {align *} ]

O lado esquerdo desta equação é igual a ( displaystyle dz / dt ), o que leva a

[ dfrac {dz} {dt} = f_x (x_0, y_0) dfrac {dx} {dt} + f_y (x_0, y_0) dfrac {dy} {dt} + lim_ {t → t_0} dfrac {E (x (t), y (t))} {t − t_0}. enhum número]

O último termo pode ser reescrito como

[ begin {align *} lim_ {t → t_0} dfrac {E (x (t), y (t))} {t − t_0} = lim_ {t → t_0} dfrac {(E ( x, y)} { sqrt {(x − x_0) ^ 2 + (y − y_0) ^ 2}} dfrac { sqrt {(x − x_0) ^ 2 + (y − y_0) ^ 2}} { t − t_0}) [4pt] = lim_ {t → t_0} left ( dfrac {E (x, y)} { sqrt {(x − x_0) ^ 2 + (y − y_0) ^ 2 }} right) lim_ {t → t_0} left ( dfrac { sqrt {(x − x_0) ^ 2 + (y − y_0) ^ 2}} {t − t_0} right). end {align *} ]

Conforme ( displaystyle t ) se aproxima de ( displaystyle t_0, (x (t), y (t)) ) se aproxima de ( displaystyle (x (t_0), y (t_0)), ) então podemos reescrever o último produto como

[ displaystyle lim _ {(x, y) → (x_0, y_0)} dfrac {(E (x, y)} { sqrt {(x − x_0) ^ 2 + (y − y_0) ^ 2} } lim _ {(x, y) → (x_0, y_0)} ( dfrac { sqrt {(x − x_0) ^ 2 + (y − y_0) ^ 2}} {t − t_0}). nonumber ]

Como o primeiro limite é igual a zero, precisamos apenas mostrar que o segundo limite é finito:

[ begin {align *} lim _ {(x, y) → (x_0, y_0)} dfrac { sqrt {(x − x_0) ^ 2 + (y − y_0) ^ 2}} {t − t +0} = lim _ {(x, y) → (x_0, y_0)} sqrt { dfrac {(x − x_0) ^ 2 + (y − y_0) ^ 2} {(t − t_0) ^ 2} } [4pt] = lim _ {(x, y) → (x_0, y_0)} sqrt { left ( dfrac {x − x_0} {t − t_0} right) ^ 2 + left ( dfrac {y − y_0} {t − t_0} right) ^ 2} [4pt] = sqrt { left [ lim _ {(x, y) → (x_0, y_0)} left ( dfrac { x − x_0} {t − t_0} right) right] ^ 2 + left [ lim _ {(x, y) → (x_0, y_0)} left ( dfrac {y − y_0} {t − t_0 } right) right] ^ 2}. end {align *} ]

Como ( displaystyle x (t) ) e ( displaystyle y (t) ) são funções diferenciáveis ​​de ( displaystyle t ), existem ambos os limites dentro do último radical. Portanto, esse valor é finito. Isso prova a regra da cadeia em ( displaystyle t = t_0 ); o resto do teorema segue da suposição de que todas as funções são diferenciáveis ​​em seus domínios inteiros.

Um exame mais detalhado da Equação ref {cadeia1} revela um padrão interessante. O primeiro termo na equação é ( displaystyle dfrac {∂f} {∂x} cdot dfrac {dx} {dt} ) e o segundo termo é ( displaystyle dfrac {∂f} {∂ y} ⋅ dfrac {dy} {dt} ). Lembre-se de que, ao multiplicar frações, o cancelamento pode ser usado. Se tratarmos essas derivadas como frações, então cada produto “simplifica” para algo semelhante a ( displaystyle ∂f / dt ). As variáveis ​​ ( displaystyle x ) e ( displaystyle y ) que desaparecem nesta simplificação são frequentemente chamadas variáveis ​​intermediárias: são variáveis ​​independentes para a função ( displaystyle f ), mas são variáveis ​​dependentes para a variável ( displaystyle t ). Dois termos aparecem no lado direito da fórmula, e ( displaystyle f ) é uma função de duas variáveis. Esse padrão também funciona com funções de mais de duas variáveis, como veremos mais adiante nesta seção.

Exemplo ( PageIndex {1} ): Usando a regra da cadeia

Calcule ( displaystyle dz / dt ) para cada uma das seguintes funções:

  1. ( displaystyle z = f (x, y) = 4x ^ 2 + 3y ^ 2, x = x (t) = sin t, y = y (t) = cos t )
  2. ( displaystyle z = f (x, y) = sqrt {x ^ 2 − y ^ 2}, x = x (t) = e ^ {2t}, y = y (t) = e ^ {- t } )

Solução

uma. Para usar a regra da cadeia, precisamos de quatro quantidades - ( displaystyle ∂z / ∂x, ∂z / ∂y, dx / dt ) e ( displaystyle dy / dt ):

  • ( displaystyle dfrac {∂z} {∂x} = 8x )
  • ( displaystyle dfrac {dx} {dt} = cos t )
  • ( displaystyle dfrac {∂z} {∂y} = 6y )
  • ( displaystyle dfrac {dy} {dt} = - sin t )

Agora, substituímos cada um deles na Equação ref {cadeia1}:

[ dfrac {dz} {dt} = dfrac { parcial z} { parcial x} cdot dfrac {dx} {dt} + dfrac { parcial z} { parcial y} cdot dfrac {dy} {dt} = (8x) ( cos t) + (6y) (- sin t) = 8x cos t − 6y sin t. enhum número]

Esta resposta contém três variáveis. Para reduzi-lo a uma variável, use o fato de que ( displaystyle x (t) = sin t ) e (y (t) = cos t. ) Obtemos

[ displaystyle dfrac {dz} {dt} = 8x cos t − 6y sin t = 8 ( sin t) cos t − 6 ( cos t) sin t = 2 sin t cos t . enhum número]

Esta derivada também pode ser calculada substituindo primeiro ( displaystyle x (t) ) e ( displaystyle y (t) ) em ( displaystyle f (x, y), ) e diferenciando em relação a ( displaystyle t ):

[ displaystyle z = f (x, y) = f (x (t), y (t)) = 4 (x (t)) ^ 2 + 3 (y (t)) ^ 2 = 4 sin ^ 2 t + 3 cos ^ 2 t. enhum número]

Então

[ displaystyle dfrac {dz} {dt} = 2 (4 sin t) ( cos t) +2 (3 cos t) (- sin t) = 8 sin t cos t − 6 sen t cos t = 2 sin t cos t, nonumber ]

que é a mesma solução. No entanto, nem sempre é tão fácil diferenciar dessa forma.

b. Para usar a regra da cadeia, precisamos novamente de quatro quantidades - ( displaystyle ∂z / ∂x, ∂z / dy, dx / dt, ) e ( displaystyle dy / dt: )

  • ( displaystyle dfrac {∂z} {∂x} = dfrac {x} { sqrt {x ^ 2 − y ^ 2}} )
  • ( displaystyle dfrac {dx} {dt} = 2e ^ {2t} )
  • ( displaystyle dfrac {∂z} {∂y} = dfrac {−y} { sqrt {x ^ 2 − y ^ 2}} )
  • ( displaystyle dfrac {dx} {dt} = - e ^ {- t}. )

Substituímos cada um deles na Equação ref {cadeia1}:

[ begin {align *} dfrac {dz} {dt} = dfrac { partial z} { partial x} cdot dfrac {dx} {dt} + dfrac { partial z} { partial y} cdot dfrac {dy} {dt} [4pt] = left ( dfrac {x} { sqrt {x ^ 2 − y ^ 2}} right) (2e ^ {2t}) + left ( dfrac {−y} { sqrt {x ^ 2 − y ^ 2}} right) (−e ^ {- t}) [4pt] = dfrac {2xe ^ {2t} −ye ^ {- t}} { sqrt {x ^ 2 − y ^ 2}}. end {align *} ]

Para reduzir isso a uma variável, usamos o fato de que ( displaystyle x (t) = e ^ {2t} ) e ( displaystyle y (t) = e ^ {- t} ). Portanto,

[ begin {align *} dfrac {dz} {dt} = dfrac {2xe ^ 2t + ye ^ {- t}} { sqrt {x ^ 2 − y ^ 2}} [4pt] = dfrac {2 (e ^ {2t}) e ^ {2t} + (e ^ {- t}) e ^ {- t}} { sqrt {e ^ {4t} −e ^ {- 2t}}} [4pt] = dfrac {2e ^ {4t} + e ^ {- 2t}} { sqrt {e ^ {4t} −e ^ {- 2t}}}. end {align *} ]

Para eliminar expoentes negativos, multiplicamos o topo por ( displaystyle e ^ {2t} ) e o fundo por ( displaystyle sqrt {e ^ {4t}} ):

[ begin {align *} dfrac {dz} {dt} = dfrac {2e ^ {4t} + e ^ {- 2t}} { sqrt {e ^ {4t} −e ^ {- 2t}} } ⋅ dfrac {e ^ {2t}} { sqrt {e ^ {4t}}} [4pt] = dfrac {2e ^ {6t} +1} { sqrt {e ^ {8t} −e ^ {2t}}} [4pt] = dfrac {2e ^ {6t} +1} { sqrt {e ^ {2t} (e ^ {6t} −1)}} [4pt] = dfrac {2e ^ {6t} +1} {e ^ t sqrt {e ^ {6t} -1}}. end {align *} ]

Novamente, esta derivada também pode ser calculada substituindo primeiro ( displaystyle x (t) ) e ( displaystyle y (t) ) em ( displaystyle f (x, y), ) e, em seguida, diferenciando com respeito para ( displaystyle t ):

[ begin {align *} z = f (x, y) [4pt] = f (x (t), y (t)) [4pt] = sqrt {(x (t)) ^ 2− (y (t)) ^ 2} [4pt] = sqrt {e ^ {4t} −e ^ {- 2t}} [4pt] = (e ^ {4t} −e ^ {- 2t}) ^ {1/2}. end {align *} ]

Então

[ begin {align *} dfrac {dz} {dt} = dfrac {1} {2} (e ^ {4t} −e ^ {- 2t}) ^ {- 1/2} left (4e ^ {4t} + 2e ^ {- 2t} right) [4pt] = dfrac {2e ^ {4t} + e ^ {- 2t}} { sqrt {e ^ {4t} −e ^ {- 2t}}}. end {align *} ]

Esta é a mesma solução.

Exercício ( PageIndex {1} )

Calcule (dz / dt ) dadas as seguintes funções. Expresse a resposta final em termos de ( displaystyle t ).

[ begin {align *} z = f (x, y) = x ^ 2−3xy + 2y ^ 2 [4pt] x = x (t) = 3 sin2t, y = y (t) = 4 cos 2t end {alinhar *} ]

Dica

Calcule ( displaystyle ∂z / ∂x, ∂z / dy, dx / dt, ) e ( displaystyle dy / dt ), então use a Equação ref {chain1}.

Responder

( displaystyle dfrac {dz} {dt} = dfrac {∂f} {∂x} dfrac {dx} {dt} + dfrac {∂f} {∂y} dfrac {dy} {dt} )

( displaystyle = (2x − 3y) (6 cos2t) + (- 3x + 4y) (- 8 sin2t) )

( displaystyle = −92 sin 2t cos 2t − 72 ( cos ^ 22t− sin ^ 22t) )

( displaystyle = −46 sin 4t − 72 cos 4t. )

Muitas vezes é útil criar uma representação visual da Equação para a regra da cadeia. Isso é chamado de diagrama de árvore para a regra da cadeia para funções de uma variável e fornece uma maneira de lembrar a fórmula (Figura ( PageIndex {1} )). Este diagrama pode ser expandido para funções de mais de uma variável, como veremos em breve.

Neste diagrama, o canto esquerdo corresponde a ( displaystyle z = f (x, y) ). Uma vez que ( displaystyle f ) tem dois variáveis ​​independentes, há duas linhas saindo deste canto. O ramo superior corresponde à variável ( displaystyle x ) e o ramo inferior corresponde à variável ( displaystyle y ). Uma vez que cada uma dessas variáveis ​​é dependente de uma variável ( displaystyle t ), uma ramificação então vem de ( displaystyle x ) e uma ramificação vem de ( displaystyle y ). Por último, cada uma das ramificações à direita possui um rótulo que representa o caminho percorrido para chegar a essa ramificação. A ramificação superior é alcançada seguindo a ramificação ( displaystyle x ) e, em seguida, a ramificação t; portanto, é rotulado como ( displaystyle (∂z / ∂x) × (dx / dt). ) O ramo inferior é semelhante: primeiro o ramo ( displaystyle y ), depois o ( displaystyle t ) galho. Este ramo é rotulado como ( displaystyle (∂z / ∂y) × (dy / dt) ). Para obter a fórmula para ( displaystyle dz / dt, ) adicione todos os termos que aparecem no lado direito do diagrama. Isso nos dá Equação.

Na Nota, ( displaystyle z = f (x, y) ) é uma função de ( displaystyle x ) e ( displaystyle y ), e ambos ( displaystyle x = g (u, v ) ) e ( displaystyle y = h (u, v) ) são funções das variáveis ​​independentes ( displaystyle u ) e ( displaystyle v ).

Regra da cadeia para duas variáveis ​​independentes

Suponha que ( displaystyle x = g (u, v) ) e ( displaystyle y = h (u, v) ) são funções diferenciáveis ​​de ( displaystyle u ) e ( displaystyle v ), e ( displaystyle z = f (x, y) ) é uma função diferenciável de ( displaystyle x ) e ( displaystyle y ). Então, ( displaystyle z = f (g (u, v), h (u, v)) ) é uma função diferenciável de ( displaystyle u ) e ( displaystyle v ), e

[ dfrac {∂z} {∂u} = dfrac {∂z} {∂x} dfrac {∂x} {∂u} + dfrac {∂z} {∂y} dfrac {∂y} {∂u} label {chain2a} ]

e

[ dfrac {∂z} {∂v} = dfrac {∂z} {∂x} dfrac {∂x} {∂v} + dfrac {∂z} {∂y} dfrac {∂y} {∂v}. label {chian2b} ]

Podemos desenhar um diagrama de árvore para cada uma dessas fórmulas, assim como a seguir.

Para derivar a fórmula para ( displaystyle ∂z / ∂u ), comece do lado esquerdo do diagrama, siga apenas os ramos que terminam com ( displaystyle u ) e adicione os termos que aparecem no final desses ramos. Para a fórmula para ( displaystyle ∂z / ∂v ), siga apenas as ramificações que terminam com ( displaystyle v ) e adicione os termos que aparecem no final dessas ramificações.

Há uma diferença importante entre esses dois teoremas da regra da cadeia. Na Nota, o lado esquerdo da fórmula para a derivada não é uma derivada parcial, mas na Nota é. A razão é que, em Nota, ( displaystyle z ) é basicamente uma função de ( displaystyle t ) sozinho, enquanto em Nota, ( displaystyle z ) é uma função de ambos ( displaystyle u ) e ( displaystyle v ).

Exemplo ( PageIndex {2} ): Usando a regra da cadeia para duas variáveis

Calcule ( displaystyle ∂z / ∂u ) e ( displaystyle ∂z / ∂v ) usando as seguintes funções:

[ displaystyle z = f (x, y) = 3x ^ 2−2xy + y ^ 2, ; x = x (u, v) = 3u + 2v, ; y = y (u, v) = 4u − v. enhum número]

Solução

Para implementar a regra da cadeia para duas variáveis, precisamos de seis derivadas parciais - ( displaystyle ∂z / ∂x, ; ∂z / ∂y, ; ∂x / ∂u, ; ∂x / ∂v, ; ∂y / ∂u, ) e ( displaystyle ∂y / ∂v ):

[ begin {align *} dfrac {∂z} {∂x} = 6x − 2y dfrac {∂z} {∂y} = - 2x + 2y [4pt] displaystyle dfrac {∂x} {∂u} = 3 dfrac {∂x} {∂v} = 2 [4pt] dfrac {∂y} {∂u} = 4 dfrac {∂y} {∂v} = - 1. end {align *} ]

Para encontrar ( displaystyle ∂z / ∂u, ) usamos a Equação ref {chain2a}:

[ begin {align *} dfrac {∂z} {∂u} = dfrac {∂z} {∂x} ⋅ dfrac {∂x} {∂u} + dfrac {∂z} {∂y } ⋅ dfrac {∂y} {∂u} [4pt] = 3 (6x − 2y) +4 (−2x + 2y) [4pt] = 10x + 2y. end {align *} ]

Em seguida, substituímos ( displaystyle x (u, v) = 3u + 2v ) e ( displaystyle y (u, v) = 4u − v: )

[ begin {align *} dfrac {∂z} {∂u} = 10x + 2y [4pt] = 10 (3u + 2v) +2 (4u − v) [4pt] = 38u + 18v . end {align *} ]

Para encontrar ( displaystyle ∂z / ∂v, ) usamos a Equação ref {chain2b}:

[ begin {align *} dfrac {∂z} {∂v} = dfrac {∂z} {∂x} dfrac {∂x} {∂v} + dfrac {∂z} {∂y} dfrac {∂y} {∂v} [4pt] = 2 (6x − 2y) + (- 1) (- 2x + 2y) [4pt] = 14x − 6y. end {align *} ]

Em seguida, substituímos ( displaystyle x (u, v) = 3u + 2v ) e ( displaystyle y (u, v) = 4u − v: )

[ begin {align *} dfrac {∂z} {∂v} = 14x − 6y [4pt] = 14 (3u + 2v) −6 (4u − v) [4pt] = 18u + 34v end {align *} ]

Exercício ( PageIndex {2} )

Calcule ( displaystyle ∂z / ∂u ) e ( displaystyle ∂z / ∂v ) dadas as seguintes funções:

[z = f (x, y) = dfrac {2x − y} {x + 3y}, ; x (u, v) = e ^ {2u} cos 3v, ; y (u, v) = e ^ {2u} sin 3v. enhum número]

Dica

Calcule ( displaystyle ∂z / ∂x, ; ∂z / ∂y, ; ∂x / ∂u, ; ∂x / ∂v, ; ∂y / ∂u, ) e ( displaystyle ∂y / ∂v ), então use a Equação ref {cadeia2a} e a Equação ref {cadeia2b}.

Responder

( displaystyle dfrac {∂z} {∂u} = 0, dfrac {∂z} {∂v} = dfrac {−21} {(3 sin 3v + cos 3v) ^ 2} )

A regra da cadeia generalizada

Agora que vimos como estender a regra da cadeia original para funções de duas variáveis, é natural perguntar: Podemos estender a regra para mais de duas variáveis? A resposta é sim, pois o regra de cadeia generalizada estados.

Regra da Cadeia Generalizada

Seja ( displaystyle w = f (x_1, x_2,…, x_m) ) uma função diferenciável de ( displaystyle m ) variáveis ​​independentes, e para cada ( displaystyle i∈ {1,…, m} , ) seja ( displaystyle x_i = x_i (t_1, t_2,…, t_n) ) uma função diferenciável de ( displaystyle n ) variáveis ​​independentes. Então

[ dfrac {∂w} {∂t_j} = dfrac {∂w} {∂x_1} dfrac {∂x_1} {∂t_j} + dfrac {∂w} {∂x_2} dfrac {∂x_2} {∂t_j} + ⋯ + dfrac {∂w} {∂x_m} dfrac {∂x_m} {∂t_j} ]

para qualquer ( displaystyle j∈ {1,2,…, n}. )

No próximo exemplo, calculamos a derivada de uma função de três variáveis ​​independentes em que cada uma das três variáveis ​​é dependente de duas outras variáveis.

Exemplo ( PageIndex {3} ): Usando a regra da cadeia generalizada

Calcule ( displaystyle ∂w / ∂u ) e ( displaystyle ∂w / ∂v ) usando as seguintes funções:

[ begin {align *} w = f (x, y, z) = 3x ^ 2−2xy + 4z ^ 2 [4pt] x = x (u, v) = e ^ u sin v [4pt] y = y (u, v) = e ^ u cos v [4pt] z = z (u, v) = e ^ u. end {align *} ]

Solução

As fórmulas para ( displaystyle ∂w / ∂u ) e ( displaystyle ∂w / ∂v ) são

[ begin {align *} dfrac {∂w} {∂u} = dfrac {∂w} {∂x} ⋅ dfrac {∂x} {∂u} + dfrac {∂w} {∂y } ⋅ dfrac {∂y} {∂u} + dfrac {∂w} {∂z} ⋅ dfrac {∂z} {∂u} [4pt] dfrac {∂w} {∂v} = dfrac {∂w} {∂x} ⋅ dfrac {∂x} {∂v} + dfrac {∂w} {∂y} ⋅ dfrac {∂y} {∂v} + dfrac {∂w} {∂z} ⋅ dfrac {∂z} {∂v}. end {align *} ]

Portanto, existem nove derivadas parciais diferentes que precisam ser calculadas e substituídas. Precisamos calcular cada um deles:

[ begin {align *} dfrac {∂w} {∂x} = 6x − 2y dfrac {∂w} {∂y} = - 2x dfrac {∂w} {∂z} = 8z [ 4pt] dfrac {∂x} {∂u} = e ^ u sin v dfrac {∂y} {∂u} = e ^ u cos v dfrac {∂z} {∂u} = e ^ u [4pt] dfrac {∂x} {∂v} = e ^ u cos v dfrac {∂y} {∂v} = - e ^ u sin v dfrac {∂z} {∂v} = 0 end {align *} ]

Agora, substituímos cada um deles na primeira fórmula para calcular ( displaystyle ∂w / ∂u ):

[ begin {align *} dfrac {∂w} {∂u} = dfrac {∂w} {∂x} ⋅ dfrac {∂x} {∂u} + dfrac {∂w} {∂y } ⋅ dfrac {∂y} {∂u} + dfrac {∂w} {∂z} ⋅ dfrac {∂z} {∂u} [4pt] = (6x − 2y) e ^ u sin v − 2xe ^ u cos v + 8ze ^ u, end {align *} ]

em seguida, substitua ( displaystyle x (u, v) = e ^ u sin v, y (u, v) = e ^ u cos v, ) e ( displaystyle z (u, v) = e ^ u ) nesta equação:

[ begin {align *} dfrac {∂w} {∂u} = (6x − 2y) e ^ u sin v − 2xe ^ u cos v + 8ze ^ u [4pt] = (6e ^ u sin v − 2eu cos v) e ^ u sin v − 2 (e ^ u sin v) e ^ u cos v + 8e ^ {2u} [4pt] = 6e ^ {2u} sin ^ 2 v − 4e ^ {2u} sin v cos v + 8e ^ {2u} [4pt] = 2e ^ {2u} (3 sin ^ 2 v − 2 sin v cos v + 4 ) end {align *} ]

Em seguida, calculamos ( displaystyle ∂w / ∂v ):

[ begin {align *} dfrac {∂w} {∂v} = dfrac {∂w} {∂x} ⋅ dfrac {∂x} {∂v} + dfrac {∂w} {∂y } ⋅ dfrac {∂y} {∂v} + dfrac {∂w} {∂z} ⋅ dfrac {∂z} {∂v} [4pt] = (6x − 2y) e ^ u cos v − 2x (−e ^ u sin v) + 8z (0), end {align *} ]

então substituímos ( displaystyle x (u, v) = e ^ u sin v, y (u, v) = e ^ u cos v, ) e ( displaystyle z (u, v) = e ^ u ) nesta equação:

[ begin {align *} dfrac {∂w} {∂v} = (6x − 2y) e ^ u cos v − 2x (−e ^ u sin v) [4pt] = (6e ^ u sin v − 2e ^ u cos v) e ^ u cos v + 2 (e ^ u sin v) (e ^ u sin v) [4pt] = 2e ^ {2u} sin ^ 2 v + 6e ^ {2u} sin v cos v − 2e ^ {2u} cos ^ 2 v [4pt] = 2e ^ {2u} ( sin ^ 2 v + sin v cos v− cos ^ 2 v). end {align *} ]

Exercício ( PageIndex {3} )

Calcule ( displaystyle ∂w / ∂u ) e ( displaystyle ∂w / ∂v ) dadas as seguintes funções:

[ begin {align *} w = f (x, y, z) = dfrac {x + 2y − 4z} {2x − y + 3z} [4pt] x = x (u, v) = e ^ {2u} cos3v [4pt] y = y (u, v) = e ^ {2u} sin 3v [4pt] z = z (u, v) = e ^ {2u}. end {align *} ]

Dica

Calcule nove derivadas parciais e, em seguida, use as mesmas fórmulas de Exemplo ( PageIndex {3} ).

Responder

( displaystyle dfrac {∂w} {∂u} = 0 )

( displaystyle dfrac {∂w} {∂v} = dfrac {15−33 sin 3v + 6 cos 3v} {(3 + 2 cos 3v− sin 3v) ^ 2} )

Exemplo ( PageIndex {4} ): Desenhando um Diagrama de Árvore

Crie um diagrama de árvore para o caso quando

[w = f (x, y, z), x = x (t, u, v), y = y (t, u, v), z = z (t, u, v) não numérico ]

e escreva as fórmulas para as três derivadas parciais de ( displaystyle w ).

Solução

Começando da esquerda, a função ( displaystyle f ) tem três variáveis ​​independentes: ( displaystyle x, y ) e ( displaystyle z ). Portanto, três ramos devem emanar do primeiro nó. Cada um desses três ramos também tem três ramos, para cada uma das variáveis ​​ ( displaystyle t, u, ) e ( displaystyle v ).

As três fórmulas são

[ begin {align *} dfrac {∂w} {∂t} = dfrac {∂w} {∂x} dfrac {∂x} {∂t} + dfrac {∂w} {∂y} dfrac {∂y} {∂t} + dfrac {∂w} {∂z} dfrac {∂z} {∂t} [4pt] dfrac {∂w} {∂u} = dfrac { ∂w} {∂x} dfrac {∂x} {∂u} + dfrac {∂w} {∂y} dfrac {∂y} {∂u} + dfrac {∂w} {∂z} dfrac {∂z} {∂u} [4pt] dfrac {∂w} {∂v} = dfrac {∂w} {∂x} dfrac {∂x} {∂v} + dfrac {∂ w} {∂y} dfrac {∂y} {∂v} + dfrac {∂w} {∂z} dfrac {∂z} {∂v}. end {align *} ]

Exercício ( PageIndex {4} )

Crie um diagrama de árvore para o caso quando

[ displaystyle w = f (x, y), x = x (t, u, v), y = y (t, u, v) nonumber ]

e escreva as fórmulas para as três derivadas parciais de ( displaystyle w. )

Dica

Determine o número de ramos que emanam de cada nó da árvore.

Responder

[ begin {align *} dfrac {∂w} {∂t} = dfrac {∂w} {∂x} dfrac {∂x} {∂t} + dfrac {∂w} {∂y} dfrac {∂y} {∂t} [4pt] dfrac {∂w} {∂u} = dfrac {∂w} {∂x} dfrac {∂x} {∂u} + dfrac { ∂w} {∂y} dfrac {∂y} {∂u} [4pt] dfrac {∂w} {∂v} = dfrac {∂w} {∂x} dfrac {∂x} { ∂v} + dfrac {∂w} {∂y} dfrac {∂y} {∂v} end {align *} ]

Diferenciação implícita

A recuperação da diferenciação implícita fornece um método para localizar ( displaystyle dy / dx ) quando ( displaystyle y ) é definido implicitamente como uma função de ( displaystyle x ). O método envolve a diferenciação de ambos os lados da equação, definindo a função em relação a ( displaystyle x ) e, em seguida, resolvendo ( displaystyle dy / dx. ) Derivadas parciais fornecem uma alternativa a esse método.

Considere a elipse definida pela equação ( displaystyle x ^ 2 + 3y ^ 2 + 4y − 4 = 0 ) como segue.

Esta equação define implicitamente ( displaystyle y ) como uma função de ( displaystyle x ). Como tal, podemos encontrar a derivada ( displaystyle dy / dx ) usando o método de diferenciação implícita:

[ begin {align *} dfrac {d} {dx} (x ^ 2 + 3y ^ 2 + 4y − 4) = dfrac {d} {dx} (0) [4pt] 2x + 6y dfrac {dy} {dx} +4 dfrac {dy} {dx} = 0 [4pt] (6y + 4) dfrac {dy} {dx} = −2x [4pt] dfrac {dy} {dx} = - dfrac {x} {3y + 2} end {align *} ]

Também podemos definir uma função ( displaystyle z = f (x, y) ) usando o lado esquerdo da equação que define a elipse. Então ( displaystyle f (x, y) = x ^ 2 + 3y ^ 2 + 4y − 4. ) A elipse ( displaystyle x ^ 2 + 3y ^ 2 + 4y − 4 = 0 ) pode então ser descrito pela equação ( displaystyle f (x, y) = 0 ). Usando esta função e o seguinte teorema nos dá uma abordagem alternativa para calcular ( displaystyle dy / dx. )

Teorema: Diferenciação implícita de uma função de duas ou mais variáveis

Suponha que a função ( displaystyle z = f (x, y) ) define ( displaystyle y ) implicitamente como uma função ( displaystyle y = g (x) ) de ( displaystyle x ) via a equação ( displaystyle f (x, y) = 0. ) Então

[ dfrac {dy} {dx} = - dfrac {∂f / ∂x} {∂f / ∂y} label {implicitdiff1} ]

fornecido ( displaystyle f_y (x, y) ≠ 0. )

Se a equação ( displaystyle f (x, y, z) = 0 ) define ( displaystyle z ) implicitamente como uma função diferenciável de ( displaystyle x ) e ( displaystyle y ), então

[ dfrac {dz} {dx} = - dfrac {∂f / ∂x} {∂f / ∂z} ; text {e} ; dfrac {dz} {dy} = - dfrac {∂f / ∂y} {∂f / ∂z} label {implicitdiff2} ]

contanto que ( displaystyle f_z (x, y, z) ≠ 0. )

A equação ref {implicitdiff1} é uma consequência direta da Equação ref {chain2a}. Em particular, se assumirmos que ( displaystyle y ) é definido implicitamente como uma função de ( displaystyle x ) por meio da equação ( displaystyle f (x, y) = 0 ), podemos aplicar o regra de cadeia para encontrar ( displaystyle dy / dx: )

[ begin {align *} dfrac {d} {dx} f (x, y) = dfrac {d} {dx} (0) [4pt] dfrac {∂f} {∂x} ⋅ dfrac {dx} {dx} + dfrac {∂f} {∂y} ⋅ dfrac {dy} {dx} = 0 [4pt] dfrac {∂f} {∂x} + dfrac {∂ f} {∂y} ⋅ dfrac {dy} {dx} = 0. end {align *} ]

Resolver esta equação para ( displaystyle dy / dx ) nos dá a Equação ref {implicitdiff1}. A equação ref {implicitdiff1} pode ser derivada de uma maneira semelhante.

Vamos agora voltar ao problema que começamos antes do teorema anterior. Usando Nota e a função ( displaystyle f (x, y) = x ^ 2 + 3y ^ 2 + 4y − 4, ) obtemos

[ begin {align *} dfrac {∂f} {∂x} = 2x [4pt] dfrac {∂f} {∂y} = 6y + 4. end {align *} ]

Então a Equação ref {implicitdiff1} dá

[ dfrac {dy} {dx} = - dfrac {∂f / ∂x} {∂f / ∂y} = - dfrac {2x} {6y + 4} = - dfrac {x} {3y + 2}, ]

que é o mesmo resultado obtido pelo uso anterior da diferenciação implícita.

Exemplo ( displaystyle PageIndex {5} ): Diferenciação implícita por derivados parciais

  1. Calcule ( displaystyle dy / dx ) se y for definido implicitamente como uma função de ( displaystyle x ) através da equação ( displaystyle 3x ^ 2−2xy + y ^ 2 + 4x − 6y − 11 = 0 ). Qual é a equação da reta tangente ao gráfico desta curva no ponto ( displaystyle (2,1) )?
  2. Calcule ( displaystyle ∂z / ∂x ) e ( displaystyle ∂z / ∂y, ) dados ( displaystyle x ^ 2e ^ y − yze ^ x = 0. )

Solução

uma. Defina ( displaystyle f (x, y) = 3x ^ 2−2xy + y ^ 2 + 4x − 6y − 11 = 0, ) então calcule ( displaystyle f_x ) e ( displaystyle f_y: f_x = 6x − 2y + 4 ) ( displaystyle f_y = −2x + 2y − 6. )

A derivada é dada por

[ displaystyle dfrac {dy} {dx} = - dfrac {∂f / ∂x} {∂f / ∂y} = dfrac {6x − 2y + 4} {- 2x + 2y − 6} = dfrac {3x − y + 2} {x − y + 3}. enhum número]

A inclinação da linha tangente no ponto ( displaystyle (2,1) ) é dada por

[ displaystyle dfrac {dy} {dx} ∣ _ {(x, y) = (2,1)} = dfrac {3 (2) −1 + 2} {2−1 + 3} = dfrac {7} {4} não numérico ]

Para encontrar a equação da reta tangente, usamos a forma ponto-inclinação (Figura ( PageIndex {5} )):

[ begin {align *} y − y_0 = m (x − x_0) [4pt] y − 1 = dfrac {7} {4} (x − 2) [4pt] y = dfrac { 7} {4} x− dfrac {7} {2} +1 [4pt] y = dfrac {7} {4} x− dfrac {5} {2}. End {align *} ]

b. Temos ( displaystyle f (x, y, z) = x ^ 2e ^ y − yze ^ x. ) Portanto,

[ begin {align *} dfrac {∂f} {∂x} = 2xe ^ y − yze ^ x [4pt] dfrac {∂f} {∂y} = x ^ 2e ^ y − ze ^ x [4pt] dfrac {∂f} {∂z} = −ye ^ x end {alinhar *} ]

Usando a Equação ref {implicitdiff2},

[ begin {align *} dfrac {∂z} {∂x} = - dfrac {∂f / ∂x} {∂f / ∂y} dfrac {∂z} {∂y} = - dfrac {∂f / ∂y} {∂f / ∂z} [4pt] = - dfrac {2xe ^ y − yze ^ x} {- ye ^ x} text {e} = - dfrac {x ^ 2e ^ y − ze ^ x} {- ye ^ x} [4pt] = dfrac {2xe ^ y − yze ^ x} {ye ^ x} = dfrac {x ^ 2e ^ y − ze ^ x} {ye ^ x} end {align *} ]

Exercício ( PageIndex {5} )

Encontre ( displaystyle dy / dx ) se ( displaystyle y ) é definido implicitamente como uma função de ( displaystyle x ) pela equação ( displaystyle x ^ 2 + xy − y ^ 2 + 7x −3y − 26 = 0 ). Qual é a equação da reta tangente ao gráfico desta curva no ponto ( displaystyle (3, −2) )?

Dica

Calcule ( displaystyle ∂f / dx ) e ( displaystyle ∂f / dy ), então use a Equação ref {implicitdiff1}.

Solução

[ dfrac {d y} {d x} = left. frac {2 x + y + 7} {2 y - x + 3} right | _ {(3, - 2)} = dfrac {2 (3) + (- 2) + 7} {2 (- 2) - (3) + 3} = - dfrac {11} {4} nonumber ]

Equação da linha tangente: ( displaystyle y = - dfrac {11} {4} x + dfrac {25} {4} )

Conceitos chave

  • A regra da cadeia para funções de mais de uma variável envolve as derivadas parciais com respeito a todas as variáveis ​​independentes.
  • Os diagramas de árvore são úteis para derivar fórmulas para a regra da cadeia para funções de mais de uma variável, onde cada variável independente também depende de outras variáveis.

Equações Chave

  • Regra da cadeia, uma variável independente

( displaystyle dfrac {dz} {dt} = dfrac {∂z} {∂x} ⋅ dfrac {dx} {dt} + dfrac {∂z} {∂y} ⋅ dfrac {dy} { dt} )

  • Regra da cadeia, duas variáveis ​​independentes

( displaystyle dfrac {dz} {du} = dfrac {∂z} {∂x} ⋅ dfrac {∂x} {∂u} + dfrac {∂z} {∂y} ⋅ dfrac {∂ y} {∂u} dfrac {dz} {dv} = dfrac {∂z} {∂x} ⋅ dfrac {∂x} {∂v} + dfrac {∂z} {∂y} ⋅ dfrac {∂y} {∂v} )

  • Regra de cadeia generalizada

( displaystyle dfrac {∂w} {∂t_j} = dfrac {∂w} {∂x_1} dfrac {∂x_1} {∂t_j} + dfrac {∂w} {∂x_2} dfrac {∂ x_1} {∂t_j} + ⋯ + dfrac {∂w} {∂x_m} dfrac {∂x_m} {∂t_j} )

Glossário

regra de cadeia generalizada
a regra da cadeia estendida para funções de mais de uma variável independente, em que cada variável independente pode depender de uma ou mais outras variáveis
variável intermediária
dada uma composição de funções (por exemplo, ( displaystyle f (x (t), y (t))) ), as variáveis ​​intermediárias são as variáveis ​​que são independentes na função externa, mas também dependentes de outras variáveis; na função ( displaystyle f (x (t), y (t)), ) as variáveis ​​ ( displaystyle x ) e ( displaystyle y ) são exemplos de variáveis ​​intermediárias
diagrama de árvore
ilustra e deriva fórmulas para a regra da cadeia generalizada, em que cada variável independente é contabilizada

Math Insight

A declaração geral da regra da cadeia multivariável é a seguinte.

Regra da Cadeia: Para funções diferenciáveis ​​$ vc: R ^ m rightarrow R ^ k $ e $ vc: R ^ k rightarrow R ^ n $ (confuso?), A matriz derivada da composição $ vc= vc circ vc$ (ou seja, $ vc( vc) = vc( vc( vc)) $) no ponto $ vc $ é o produto das matrizes derivadas de $ vc$ e $ vc$: begin D vc( vc) = D ( vc circ vc) ( vc) = D < vc> bigl ( vc( vc) bigr) D < vc> ( vc). etiqueta fim

Nesta forma, a regra da cadeia multivariável é semelhante à regra da cadeia de uma variável: $ diff <>(f circ g) (x) = diff <>f (g (x)) = f '(g (x)) g' (x). $ A maior diferença no caso multivariável é que a derivada ordinária foi substituída pela matriz derivada. Um fato importante a lembrar é que a matriz de derivadas parciais para $ vc$ é avaliado em $ vc( vc) $, não em $ vc $.

Usar a forma geral acima pode ser a maneira mais fácil de aprender a regra da corrente. Se você se sente confortável formando matrizes derivadas, multiplicando matrizes e usando a regra da cadeia de uma variável, então usando a regra da cadeia eqref não requer a memorização de uma série de fórmulas e a determinação de qual fórmula se aplica a um determinado problema.

Por outro lado, ter algumas fórmulas de casos especiais disponíveis pode economizar algum trabalho. Para um determinado tipo de problema, você pode formar as matrizes e calcular seu produto uma vez para obter uma fórmula válida para aquele tipo específico de problema. Em seguida, para cada exemplo desse tipo de problema, você pode inserir as funções específicas na fórmula de caso especial e obter o resultado final mais rapidamente.

A seguir, derivamos fórmulas para alguns casos especiais. Em cada caso, a função externa $ f $ é uma função com valor escalar. Vemos dois grupos de casos especiais: quando $ vc$ é uma função de uma variável e quando $ vc$ é uma função de duas variáveis.

$ vc$ é uma função de uma variável

Quando a função interna $ vc$ é uma função de uma variável, $ vc: R to R ^ n $, e $ f $ é uma função com valor escalar, $ f: R ^ n to R $, então a composição $ h (t) = f ( vc(t)) $ é apenas uma função de valor escalar de uma única variável $ h: R to R $. Sua derivada é apenas um único número $ h '(t) $. Mostramos como expressar esse único número como um produto escalar de dois vetores.

Desde $ vc$ é uma função para uma única variável, podemos ver $ vc$ como parametrizar uma curva. Podemos escrever a derivada da curva parametrizada como um vetor begin D vc(t) = left [ begin diff(t) diff(t) vdots diff(tratar right] = (g_1 '(t), g_2' (t), ldots, g_n '(t)) = vc'(t). fim.

Como estamos considerando o caso em que $ f $ é uma função com valor escalar, sua matriz derivada pode ser vista como o vetor gradiente: $ nabla f ( vc) = left ( pdiff( vc), pdiff( vc), cdots, pdiff( vc) right). $ O produto da matriz da regra geral da cadeia $ Df ( vc(t)) Dg (t) $ pode então ser visto como um produto escalar entre o vetor gradiente $ nabla f ( vc) $ e o vetor $ vc'(t) $. Podemos escrever a regra da cadeia como begin h '(t) = nabla f ( vc(t)) cdot vc'(t). etiqueta fim

Se $ vc(t) $ é uma função unidimensional $ x = g (t) $ e $ f (x) $ é uma função de uma única variável, então estamos de volta à regra da cadeia de variável única e equação eqref torna-se $ h '(t) = f' (g (t)) g '(t). $ Se escrevermos $ g (t) = x (t) $, também poderíamos escrever esta regra da cadeia como $ diff = diff diff$, onde deixamos de escrever os argumentos de cada função.

Se, por outro lado, $ vc(t) $ é uma função bidimensional $ (x, y) = vc(t) = (g_1 (t), g_2 (t)) $ e $ f ( vc) $ é uma função de duas variáveis, $ f (x, y) $, então podemos multiplicar o produto escalar da equação eqref para escrever como começo h '(t) = pdiff( vc(t)) g_1 '(t) + pdiff( vc(t)) g_2 '(t). tag <2a> end Este caso especial é exatamente a introdução da regra da cadeia da equação (4).

Se escrevermos $ vc(t) = (g_1 (t), g_2 (t)) = (x (t), y (t)) $ e sua derivada como $ vc'(t) = left ( diff, diff right) $, então podemos escrever esta fórmula de uma forma que algumas pessoas fiquem bem mais fácil de memorizar: begin diff = pdiff diff + pdiff diff. tag <2a '> end Essa fórmula parece especialmente simples, pois não escrevemos os argumentos de cada função.

Podemos escrever uma expressão semelhante para $ vc tridimensional(t) = (g_1 (t), g_2 (t), g_3 (t)) = (x (t), y (t), z (t)) $ e $ f (x, y, z) $: começar h '(t) = pdiff( vc(t)) g_1 '(t) + pdiff( vc(t)) g_2 '(t) + pdiff( vc(t)) g_3 '(t). tag <2b> end A verificação simplificada da fórmula 3D é begin diff = pdiff diff + pdiff diff + pdiff diff. tag <2b '> end (Algumas pessoas até escrevem uma fórmula como $ diff = pdiff diff + pdiff diff + pdiff diff$ onde $ f $ é visto como uma função de $ t $ e como uma função de $ vc= (x, y, z) $.)

$ vc$ é uma função de duas variáveis

Se $ vc(s, t) $ é uma função com valor vetorial de duas variáveis, $ vc: R ^ 2 to R ^ n $, então não podemos mais escrever sua derivada como um vetor. Em vez disso, o derivado $ D vc(s, t) $ será uma matriz de derivadas parciais com duas colunas, ou seja, uma matriz $ n vezes 2 $. Como a derivada de $ f: R ^ n to R $ é uma matriz $ 1 vezes n $, a derivada da composição $ h (s, t) = g ( vc(s, t)) $ será uma matriz $ 1 vezes 2 $: begin Dh (s, t) = left [ pdiff(s, t) quad pdiff(s, t) right]. fim De maneira semelhante ao procedimento acima, podemos escrever fórmulas de componentes para ambos $ pdiff$ e $ pdiff$, dependendo da dimensão $ n $.

Se $ g $ é uma função com valor escalar, $ x (s, t) = g (s, t) $, então sua derivada é $ 1 vezes 2 $ matriz begin Dg (s, t) = left [ pdiff(s, t) quad pdiff(s, t) right] = left [ pdiff quad pdiff right], end onde, na segunda forma de atalho, negligenciamos os argumentos da função. Nesse caso, $ f (x) $ deve ser função de uma única variável e sua derivada é o escalar $ f '(x) $. Pela regra da cadeia eqref, a derivada de $ h $ é begin left [ pdiff(s, t) quad pdiff(s, t) right] = f '(g (s, t)) left [ pdiff(s, t) quad pdiff(s, t) right]. fim Escrevendo cada componente separadamente, podemos escrever este caso especial da regra da cadeia como begin pdiff(s, t) & amp = f '(g (s, t)) pdiff(s, t) notag pdiff(s, t) & amp = f '(g (s, t)) pdiff(s, t) tag <3a> end ou escrevendo $ g $ como $ x $, podemos escrever a forma simplificada como begin pdiff & amp = diff pdiff notag pdiff & amp = diff pdiff. tag <3a '> end

Se $ vc$ é uma função bidimensional $ (x (s, t), y (s, t)) = vc(s, t) = (g_1 (s, t), g_2 (s, t)) $ e $ f $ é uma função de duas variáveis, $ f (x, y) $, então $ D vc(s, t) $ é uma matriz $ 2 vezes 2 $ e $ Df (x, y) $ é uma matriz $ 1 vezes 2 $.A regra da cadeia eqref pode ser escrito como begin left [ pdiff(s, t) quad pdiff(s, t) right] = left [ pdiff( vc(s, t)) quad pdiff( vc(s, t)) direita] esquerda [ começar pdiff(s, t) & amp pdiff(s, t) pdiff(s, t) & amp pdiff(s, t) fimcerto]. fim Multiplicamos as duas matrizes certas e escrevemos cada componente separadamente para escrever o resultado como begin pdiff(s, t) & amp = pdiff( vc(s, t)) pdiff(s, t) + pdiff( vc(s, t)) pdiff(s, t) notag pdiff(s, t) & amp = pdiff( vc(s, t)) pdiff(s, t) + pdiff( vc(s, t)) pdiff(s, t). etiqueta tag <> end Podemos simplificar escrevendo $ (g_1, g_2) $ como $ (x, y) $: begin pdiff & amp = pdiff pdiff + pdiff pdiff notag pdiff & amp = pdiff pdiff + pdiff pdiff. tag <3b '> end

Por último, em três dimensões, com funções $ vc: R ^ 2 para R ^ 3 $ e $ f: R ^ 3 para R $, podemos escrever a regra da cadeia na forma de matriz como começo left [ pdiff(s, t) quad pdiff(s, t) right] = left [ pdiff( vc(s, t)) quad pdiff( vc(s, t)) quad pdiff( vc(s, t)) direita] esquerda [ começar pdiff(s, t) & amp pdiff(s, t) pdiff(s, t) & amp pdiff(s, t) pdiff(s, t) & amp pdiff(s, t) fim right], end e em forma de componente como begin pdiff(s, t) & amp = pdiff( vc(s, t)) pdiff(s, t) + pdiff( vc(s, t)) pdiff(s, t) + pdiff( vc(s, t)) pdiff(s, t) notag pdiff(s, t) & amp = pdiff( vc(s, t)) pdiff(s, t) + pdiff( vc(s, t)) pdiff(s, t) + pdiff( vc(s, t)) pdiff(s, t). tag <3c> end Escrevendo $ vc(s, t) = (g_1 (s, t), g_2 (s, t), g_3 (s, t)) $ as $ (x (s, t), y (s, t), z (s, t)) $, obtemos a forma simplificada begin pdiff & amp = pdiff pdiff + pdiff pdiff+ pdiff pdiff notag pdiff & amp = pdiff pdiff + pdiff pdiff+ pdiff pdiff. tag <3c '> end


Cálculo ativo - multivariável + vetor

O que é a regra da cadeia e como a usamos para encontrar uma derivada?

Como podemos usar um diagrama de árvore para nos orientar na aplicação da Regra da Cadeia?

No cálculo de variável única, encontramos situações em que alguma quantidade (z ) depende de (y ) e, por sua vez, (y ) depende de (x text <.> ) Uma mudança em (x ) produz uma mudança em (y text <,> ) que consequentemente produz uma mudança em (z text <.> ) Usando a linguagem de diferenciais que vimos na seção anterior, essas mudanças são naturalmente relacionados por

Em termos de taxas instantâneas de mudança, temos então

Chamamos esta equação mais recente de Regra da Cadeia.

No caso de uma função (f ) de duas variáveis ​​onde (z = f (x, y) text <,> ) pode ser que (x ) e (y ) dependam de outra variável (t text <.> ) Uma mudança em (t ) então produz mudanças em (x ) e (y text <,> ) que então causam (z ) a mudança. Nesta seção, veremos como encontrar a mudança em (z ) que é causada por uma mudança em (t text <,> ) nos levando a versões multivariáveis ​​da Regra da Cadeia envolvendo derivadas regulares e parciais.

Atividade de visualização 10.5.1.

Suponha que você esteja dirigindo no plano (xy ) de forma que sua posição ( vr (t) ) no tempo (t ) seja dada pela função

O caminho percorrido é mostrado à esquerda da Figura 10.5.1.

Suponha, além disso, que a temperatura em um ponto do plano seja dada por

e observe que a superfície gerada por (T ) é mostrada à direita da Figura 10.5.1. Portanto, com o passar do tempo, sua posição ((x (t), y (t)) ) muda e, conforme sua posição muda, a temperatura (T (x, y) ) também muda.

A função de posição ( vr ) fornece uma parametrização (x = x (t) ) e (y = y (t) ) da posição no tempo (t text <.> ) Substituindo (x (t) ) para (x ) e (y (t) ) para (y ) na fórmula para (T text <,> ) podemos escrever (T = T (x (t), y (t)) ) como uma função de (t text <.> ) Faça essas substituições para escrever (T ) como uma função de (t ) e, em seguida, use a Regra da Cadeia do cálculo de variável única para encontrar ( frac text <.> ) (Não faça nenhuma álgebra para simplificar a derivada, nem antes, nem depois.)

Agora queremos entender como o resultado da parte (a) pode ser obtido de (T ) como uma função multivariável. Lembre-se da seção anterior que pequenas mudanças em (x ) e (y ) produzem uma mudança em (T ) que é aproximada por

A regra da cadeia nos fala sobre a taxa instantânea de mudança de (T text <,> ) e isso pode ser encontrado como

Use a equação (10.5.1) para explicar por que a taxa instantânea de mudança de (T ) que resulta de uma mudança em (t ) é

Usando as fórmulas originais para (T text <,> ) (x text <,> ) e (y ) na declaração do problema, calcule todas as derivadas na Equação (10.5.2) (com (T_x ) e (T_y ) em termos de (x ) e (y text <,> ) e (x ') e (y' ) em termos de (t )) e, portanto, escreva o lado direito da Equação (10.5.2) em termos de (x text <,> ) (y text <,> ) e (t text <. > )

Compare os resultados das partes (a) e (c). Escreva algumas frases que identifiquem especificamente como cada termo em (c) se relaciona com os termos correspondentes em (a). Esta conexão entre as partes (a) e (c) fornece uma versão multivariável da Regra da Cadeia.

Subseção 10.5.1 A regra da cadeia

Como sugere a Atividade de Visualização 10.3.1, a seguinte versão da Regra da Cadeia é válida em geral.

A regra da cadeia.

Seja (z = f (x, y) texto <,> ) onde (f ) é uma função diferenciável das variáveis ​​independentes (x ) e (y texto <,> ) e deixe (x ) e (y ) são, cada um, funções diferenciáveis ​​de uma variável independente (t text <.> ) Então

É importante observar as diferenças entre as derivadas em (10.5.3). Uma vez que (z ) é uma função das duas variáveis ​​ (x ) e (y text <,> ) as derivadas na Regra da Cadeia para (z ) em relação a (x ) e (y ) são derivadas parciais. No entanto, uma vez que (x = x (t) ) e (y = y (t) ) são funções da variável única (t text <,> ), suas derivadas são as derivadas padrão das funções de um variável. Quando compomos (z ) com (x (t) ) e (y (t) text <,> ), temos (z ) como uma função da variável única (t text <,> ) fazendo a derivada de (z ) em relação a (t ) uma derivada padrão do cálculo de variável única também.

Para entender por que essa regra da cadeia funciona em geral, suponha que alguma quantidade (z ) dependa de (x ) e (y ) de modo que

Em seguida, suponha que (x ) e (y ) dependam cada um de outra quantidade (t text <,> ) para que

Combinando as Equações (10.5.4) e (10.5.5), descobrimos que

que é a Regra da Cadeia neste contexto particular, conforme expresso na Equação (10.5.3).

Atividade 10.5.2.

Nas perguntas a seguir, aplicamos a Regra da Cadeia em vários contextos diferentes.

Suponha que tenhamos uma função (z ) definida por (z (x, y) = x ^ 2 + xy ^ 3 text <.> ) Além disso, suponha que (x ) e (y ) são restritos a pontos que se movem ao redor do plano seguindo um círculo de raio (2 ) centrado na origem que é parametrizado por

Use a Regra da Cadeia para encontrar a taxa instantânea de mudança resultante ( frac

text <.> )

Substitua (x (t) ) por (x ) e (y (t) ) por (y ) na regra por (z ) para escrever (z ) em termos de (t ) e calcular ( frac

) diretamente. Compare com o resultado da parte (i.).

Suponha que a temperatura em uma placa de metal seja dada pela função (T ) com

onde a temperatura é medida em graus Fahrenheit e (x ) e (y ) são medidos cada um em pés.

Find (T_x ) e (T_y text <.> ) Quais são as unidades nessas derivadas parciais?

Suponha que uma formiga esteja caminhando ao longo do eixo (x ) a uma taxa de 2 pés por minuto em direção à origem. Quando a formiga está no ponto ((2,0) text <,> ) qual é a taxa instantânea de mudança na temperatura (dT / dt ) que a formiga experimenta. Inclua unidades em sua resposta.

Suponha, em vez disso, que a formiga caminhe ao longo de uma elipse com (x = 6 cos (t) ) e (y = 3 sin (t) text <,> ) onde (t ) é medido em minutos . Encontrar ( frac) em (t = pi / 6 text <,> ) (t = pi / 4 text <,> ) e (t = pi / 3 text <.> ) O quê isso parece lhe dizer sobre o caminho ao longo do qual a formiga está caminhando?

Suponha que você esteja caminhando ao longo de uma superfície cuja elevação é dada por uma função (f text <.> ) Além disso, suponha que se você considerar como sua localização corresponde a pontos no plano (xy ) -, você sabe que quando você passa o ponto ((2,1) text <,> ) seu vetor de velocidade é ( vv = langle -1,2 rangle text <.> ) Se alguns contornos de ( f ) são mostrados na Figura 10.5.2, estime a taxa de mudança (df / dt ) quando você passar por ((2,1) text <.> )

Subseção 10.5.2 Diagramas de Árvore

Até este ponto, aplicamos a Regra da Cadeia a situações em que temos uma função (z ) de variáveis ​​ (x ) e (y text <,> ) com (x ) e (y ) dependendo de outra quantidade única (t text <.> ) Podemos aplicar a Regra da Cadeia, no entanto, quando (x ) e (y ) cada um depende de mais de uma quantidade, ou quando (z ) é uma função de mais de duas variáveis. Pode ser desafiador manter o controle de todas as dependências entre as variáveis ​​e, portanto, um diagrama de árvore pode ser uma ferramenta útil para organizar nosso trabalho. Por exemplo, suponha que (z ) dependa de (x ) e (y text <,> ) e (x ) e (y ) ambos dependem de (t text <. > ) Podemos representar esses relacionamentos usando o diagrama em árvore mostrado na Figura 10.5.3 à esquerda. Colocamos a variável dependente no topo da árvore e a conectamos às variáveis ​​das quais ela depende um nível abaixo. Em seguida, conectamos cada uma dessas variáveis ​​à variável da qual cada uma depende.

Para representar a Regra da Cadeia, rotulamos cada aresta do diagrama com a derivada ou derivada parcial apropriada, como visto à direita na Figura 10.5.3. Para calcular uma derivada geral de acordo com a Regra da Cadeia, construímos o produto das derivadas ao longo de todos os caminhos que conectam as variáveis ​​e, em seguida, adicionamos todos esses produtos. Por exemplo, o diagrama à direita na Figura 10.5.3 ilustra a Regra da Cadeia

Atividade 10.5.3.

A Figura 10.5.4 mostra o diagrama de árvore que construímos quando (a) (z ) depende de (w text <,> ) (x text <,> ) e (y text <,> ) (b) (w text <,> ) (x text <,> ) e (y ) cada um depende de (u ) e (v text <,> ) e (c) (u ) e (v ) dependem de (t text <.> )

Identifique as arestas com os derivados apropriados.

Use a regra da cadeia para escrever ( frac

text <.> )

Suponha que (z = x ^ 2 - 2xy ^ 2 ) e que

Construir um diagrama de árvore representando as dependências de (z ) em (x ) e (y ) e (x ) e (y ) em (r ) e ( theta text <.> )

Use o diagrama de árvore para localizar ( frac < partial z> < partial r> text <.> )

Agora suponha que (r = 3 ) e ( theta = pi / 6 text <.> ) Encontre os valores de (x ) e (y ) que correspondem a esses valores fornecidos de (r ) e ( theta text <,> ) e, em seguida, use a Regra da Cadeia para encontrar o valor da derivada parcial ( frac < partial z> < partial theta> | _ <(3 , frac < pi> <6>)> text <.> )

Subseção 10.5.3 Resumo

A regra da cadeia é uma ferramenta para diferenciar um composto de funções. Em sua forma mais simples, diz que se (f (x, y) ) é uma função de duas variáveis ​​e (x (t) ) e (y (t) ) dependem de (t text <,> ) então

Um diagrama de árvore pode ser usado para representar a dependência das variáveis ​​em outras variáveis. Seguindo os links no diagrama de árvore, podemos formar cadeias de derivadas parciais ou derivadas que podem ser combinadas para dar uma derivada parcial desejada.


13.5: A regra da cadeia para funções de variáveis ​​múltiplas

À medida que começamos a compilar uma lista de séries convergentes e divergentes, novas séries podem às vezes ser analisadas comparando-as com outras que já conhecemos.

Exemplo 13.5.1 Faz $ ds sum_^ infty <1 over n ^ 2 ln n> $ converge?

A primeira abordagem óbvia, com base no que sabemos, é o teste integral. Infelizmente, não podemos calcular a antiderivada necessária. Mas olhando para a série, parece que ela deve convergir, porque os termos que estamos adicionando são menores do que os termos de uma série $ p $, ou seja, $ <1 over n ^ 2 ln n> Exemplo 13.5 .2 Faz $ ds sum_^ infty <| sin n | over n ^ 2> $ converge?

Não podemos aplicar o teste integral aqui, porque os termos desta série não estão diminuindo. Assim como no exemplo anterior, entretanto, $ <| sin n | over n ^ 2> le <1 over n ^ 2>, $ porque $ | sin n | le 1 $. Mais uma vez, as somas parciais são não decrescentes e limitadas acima por $ ds sum 1 / n ^ 2 = L $, de modo que a nova série converge.

Como o teste integral, o teste de comparação pode ser usado para mostrar a convergência e a divergência. No caso do teste integral, um único cálculo irá confirmar o que for o caso. Para usar o teste de comparação, devemos primeiro ter uma boa ideia quanto à convergência ou divergência e escolher a sequência para comparação de acordo.

Exemplo 13.5.3 Faz $ ds sum_^ infty <1 over sqrt> $ converge?

Observamos que $ -3 $ deve ter pouco efeito em comparação com $ ds n ^ 2 $ dentro da raiz quadrada e, portanto, acho que os termos são suficientes como $ ds 1 / sqrt= 1 / n $ que a série deve divergir. Tentamos mostrar isso em comparação com a série harmônica. Observamos que $ <1 over sqrt>> <1 over sqrt> = <1 over n>, $ para que $ s_n = <1 over sqrt <2 ^ 2-3 >> + <1 over sqrt <3 ^ 2-3 >> + cdots + <1 sobre sqrt>> <1 over 2> + <1 over3> + cdots + <1 over n> = t_n, $ onde $ ds t_n $ é 1 menor do que a soma parcial correspondente da série harmônica (porque começamos em $ n = 2 $ em vez de $ n = 1 $). Desde $ ds lim_t_n = infty $, $ ds lim_s_n = infty $ também.

Portanto, a abordagem geral é esta: se você acredita que uma nova série é convergente, tente encontrar uma série convergente cujos termos sejam maiores do que os termos da nova série se você acredita que uma nova série é divergente, tente encontrar uma série divergente cujos termos são menores do que os termos da nova série.

Exemplo 13.5.4 Será que $ ds sum_^ infty <1 over sqrt> $ converge?

Assim como no último exemplo, achamos que é muito parecido com a série harmônica e, portanto, diverge. Infelizmente, $ <1 over sqrt> <1 over sqrt> = <1 over2n>, $ então se $ sum 1 / (2n) $ diverge, então a série dada diverge. Mas como $ sum 1 / (2n) = (1/2) sum 1 / n $, o teorema 13.2.2 implica que ele realmente diverge.

Para referência, resumimos o teste de comparação em um teorema.

Teorema 13.5.5 Suponha que $ ds a_n $ e $ ds b_n $ são não negativos para todos os $ n $ e que $ ds a_n le b_n $ quando $ n ge N $, para algum $ N $.

Se $ ds sum_^ infty b_n $ converge, assim como $ ds sum_^ infty a_n $.

Se $ ds sum_^ infty a_n $ diverge, assim como $ ds sum_^ infty b_n $.


Avaliação de funções com seus derivados

Esta seção é mais fácil do que a seção anterior de gráficos. Recebemos as funções e seus derivados. Agora, basta conectar!

f (2) = 3 f '(0) = 0 f' (2) = 1 g (2) = 0 g '(2) = 3 g' (3) = -2

Avalie h '(2)

  • Fórmula da regra da cadeia: $ dfrac$ [f (g (x))] = f '(g (x)) $ vezes $ g' (x)
  • Equivalentemente, h '(x) = f' (g (x)) $ vezes $ g '(x) aqui
      • h '(2) = f' (g (2)) $ vezes $ g '(2)
      • h '(2) = f' (0) $ vezes $ g '(2)
      • h '(2) = (0) $ vezes $ (3)
      • h '(2) = 0

      Avalie k '(2)

      • Fórmula da regra da cadeia: $ dfrac$ [f (g (x))] = f '(g (x)) $ vezes $ g' (x)
      • Equivalentemente, k '(x) = g & # 8216 (f (x)) $ vezes $ f' (x) aqui
          • k '(2) = g' (f (2)) $ vezes $ f '(2)
          • k '(2) = g' (3) $ vezes $ f '(2)
          • k '(2) = (-2) $ vezes $ (1)
          • k '(2) = -2

          13.5: A regra da cadeia para funções de variáveis ​​múltiplas

          Até agora vimos como calcular a derivada de uma função construída a partir de outras funções por adição, subtração, multiplicação e divisão. Há outra maneira muito importante de combinarmos funções simples para fazer funções mais complicadas: a composição de funções, conforme discutido na seção 2.3. Por exemplo, considere $ ds sqrt <625-x ^ 2> $. Esta função tem muitos componentes mais simples, como 625 e $ ds x ^ 2 $, e há aquele símbolo de raiz quadrada, então a função de raiz quadrada $ ds sqrt= x ^ <1/2> $ está envolvido. A pergunta óbvia é: podemos calcular a derivada usando as derivadas dos constituintes $ ds 625-x ^ 2 $ e $ ds sqrt$? Podemos, de fato. Em geral, se $ f (x) $ e $ g (x) $ são funções, podemos calcular as derivadas de $ f (g (x)) $ e $ g (f (x)) $ em termos de $ f '(x) $ e $ g' (x) $.

          Exemplo 3.5.1 Forme as duas composições possíveis de $ ds f (x) = sqrt$ e $ ds g (x) = 625-x ^ 2 $ e calcule as derivadas. Primeiro, $ ds f (g (x)) = sqrt <625-x ^ 2> $, e a derivada é $ ds -x / sqrt <625-x ^ 2> $ como vimos. Em segundo lugar, $ ds g (f (x)) = 625 - ( sqrt) ^ 2 = 625-x $ com derivado $ -1 $. É claro que esses cálculos não usam nada de novo e, em particular, a derivada de $ f (g (x)) $ era um tanto tediosa de calcular a partir da definição.

          A regra da cadeia tem uma expressão particularmente simples se usarmos a notação de Leibniz para a derivada. A quantidade $ f '(g (x)) $ é a derivada de $ f $ com $ x $ substituído por $ g $, isto pode ser escrito $ df / dg $. Como de costume, $ g '(x) = dg / dx $. Então, a regra da cadeia se torna $ = . $ Isso parece aritmética trivial, mas não é: $ dg / dx $ não é uma fração, ou seja, não é uma divisão literal, mas um único símbolo que significa $ g '(x) $. No entanto, verifica-se que o que parece aritmética trivial e, portanto, fácil de lembrar, é realmente verdade.

          Será necessário um pouco de prática para fazer o uso da regra da cadeia vir naturalmente & mdashit é mais complicado do que as regras de diferenciação anteriores que vimos.

          Exemplo 3.5.2 Calcule a derivada de $ ds sqrt <625-x ^ 2> $. Já sabemos que a resposta é $ ds -x / sqrt <625-x ^ 2> $, calculado diretamente do limite. No contexto da regra da cadeia, temos $ ds f (x) = sqrt$, $ ds g (x) = 625-x ^ 2 $. Sabemos que $ ds f '(x) = (1/2) x ^ <- 1/2> $, então $ ds f' (g (x)) = (1/2) (625-x ^ 2) ^ <- 1/2> $. Observe que este é um cálculo de duas etapas: primeiro calcule $ f '(x) $ e, em seguida, substitua $ x $ por $ g (x) $. Como $ g '(x) = - 2x $, temos $ f' (g (x)) g '(x) = <1 over 2 sqrt <625-x ^ 2 >> (- 2x) = <- x over sqrt <625-x ^ 2 >>. $

          Exemplo 3.5.3 Calcule a derivada de $ ds 1 / sqrt <625-x ^ 2> $. Este é um quociente com um numerador constante, então poderíamos usar a regra do quociente, mas é mais simples usar a regra da cadeia. A função é $ ds (625-x ^ 2) ^ <- 1/2> $, a composição de $ ds f (x) = x ^ <- 1/2> $ e $ ds g (x) = 625-x ^ 2 $. Calculamos $ ds f '(x) = (- 1/2) x ^ <- 3/2> $ usando a regra da potência, e então $ f' (g (x)) g '(x) = <- 1 over 2 (625-x ^ 2) ^ <3/2 >> (- 2x) =>. $

          Na prática, é claro, você precisará usar mais de uma das regras que desenvolvemos para calcular a derivada de uma função complicada.

          Exemplo 3.5.4 Calcule a derivada de $ f (x) =>. $ A "última '' operação aqui é a divisão, portanto, para começar, precisamos usar a regra de quociente primeiro. Isso dá $ eqalign - (x ^ 2-1) (x sqrt) ' over x ^ 2 (x ^ 2 + 1)> cr & = <2x ^ 2 sqrt- (x ^ 2-1) (x sqrt) ' over x ^ 2 (x ^ 2 + 1)>. cr> $ Agora precisamos calcular a derivada de $ ds x sqrt$. Este é um produto, então usamos a regra do produto: $x sqrt= x sqrt+ sqrt. $ Finalmente, usamos a regra da cadeia: $ sqrt=(x ^ 2 + 1) ^ <1/2> = <1 over 2> (x ^ 2 + 1) ^ <- 1/2> (2x) =>. $ E juntando tudo: $ eqalign - (x ^ 2-1) (x sqrt) ' over x ^ 2 (x ^ 2 + 1)>. cr & = <2x ^ 2 sqrt- (x ^ 2-1) left (x < ds>> + sqrt right) over x ^ 2 (x ^ 2 + 1)>. cr> $ Isso pode ser simplificado, é claro, mas fizemos todo o cálculo, de modo que só sobrou álgebra.

          Exemplo 3.5.5 Calcule a derivada de $ ds sqrt <1+ sqrt <1+ sqrt>> $. Aqui temos uma cadeia de composições mais complicada, então usamos a regra da cadeia duas vezes. Na "camada '' mais externa, temos a função $ ds g (x) = 1 + sqrt <1+ sqrt> $ conectado a $ ds f (x) = sqrt$, então aplicar a regra da cadeia uma vez resulta em $ sqrt <1+ sqrt <1+ sqrt>> = <1 over 2> left (1+ sqrt <1+ sqrt> direita) ^ <- 1/2> left (1+ sqrt <1+ sqrt> right). $ Agora precisamos da derivada de $ ds sqrt <1+ sqrt> $. Usando a regra da cadeia novamente: $ sqrt <1+ sqrt> = <1 over 2> left (1+ sqrt right) ^ <- 1/2> <1 over 2> x ^ <- 1/2>. $ Portanto, a derivada original é $ eqalign < sqrt <1+ sqrt <1+ sqrt>> & = <1 over 2> left (1+ sqrt <1+ sqrt> right) ^ <-1/2> <1 over 2> left (1+ sqrt right) ^ <- 1/2> <1 over 2> x ^ <- 1/2>. cr & = <1 over 8 sqrt sqrt <1+ sqrt> sqrt <1+ sqrt <1+ sqrt>>> >$

          Usando a regra da cadeia, a regra da potência e a regra do produto, é possível evitar o uso da regra do quociente inteiramente.


          Constantes Multiplicadas

          Constantes multiplicadas adicionar outra camada de complexidade para diferenciar com o regra da cadeia. Funções que contêm constantes multiplicadas (como y = 9 cos & radicx onde & # 82209 & # 8221 é a constante multiplicada) não precisam ser diferenciadas usando a regra do produto. Na verdade, para diferenciar constantes multiplicadas, você pode ignorar a constante enquanto faz a diferenciação.

          Problema de amostra: Diferencie y = 7 tan & radicx usando a regra da cadeia.

          Passo 1
          Diferencie o função externa, ignorando a constante.A função externa neste exemplo é & # 8220tan. & # 8221 (Observação: deixe a função interna na equação (& radicx), mas ignore-a também por enquanto) A derivada de tan x é sec 2 x, então:
          D (tan & radicx) = seg 2 & radicx

          Etapa 2 Diferencie o função interna, qual é
          & radicx.
          D (√x) = (1/2) X - & frac12

          Etapa 3 . Combinar os resultados da Etapa 1 (seção 2 e radicx) e Etapa 2 ((& frac12) X & # 8211 & frac12).
          = (sec 2 & radicx) ((& frac12) X & # 8211 & frac12).

          Passo 4
          Adicione a constante que você colocou de volta na equação.
          7 (sec 2 e radicx) ((1/2) X e # 8211 e frac12).

          Etapa 5 Reescreva a equação e simplifique, se possível.
          7 (sec 2 & radicx) ((& frac12) X & # 8211 & frac12) =
          7 (sec 2 & radicx) ((& frac12) 1 / X & frac12) =
          7 (sec 2 e radicx) / 2 e radicx


          O que você aprenderá em integrais múltiplos

          • Um exemplo introdutório
          • Integrais duplos sobre regiões gerais
          • Volume de um sólido entre uma superfície e um retângulo
          • O duplo integral sobre uma região retangular
          • Propriedades de Integrais Duplos
          • Integrais iterados sobre regiões retangulares
          • Teorema de Fubini para regiões retangulares
          • Integrais iterados em regiões não retangulares
          • Retângulos Polares
          • Integrais duplos sobre retângulos polares
          • Integrais duplos sobre regiões gerais
          • Missa de uma Lamina
          • Momentos e centro da massa de uma lâmina
          • Momentos de inércia
          • Raio de rotação de uma lâmina
          • Área de uma superfície
          • Área das superfícies com equações
          • Integrais triplos sobre uma caixa retangular
          • Integrais triplos sobre regiões limitadas gerais no espaço
          • Avaliando Integrais Triplos em Regiões Gerais
          • Volume, massa, centro de massa e momentos de inércia
          • Integrais triplos em coordenadas cilíndricas
          • Integrais triplos em coordenadas esféricas
          • Transformações
          • Mudança de variáveis ​​em integrais duplos
          • Mudança de variáveis ​​em integrais triplos

          Descrição do Capítulo

          Começamos este curso com uma introdução completa às integrais duplas. Essa abordagem se assemelha muito à integral definida do cálculo 1. Discutimos então as integrais duplas sobre regiões retangulares e trabalhamos com vários exemplos. No final desta primeira lição, examinamos as propriedades da integral dupla.

          Como vimos na primeira lição, avaliar integrais duplos pode ser complicado. Portanto, na próxima lição, estudaremos integrais iteradas. Explicamos o Teorema de Fubini para regiões retangulares e não retangulares e demonstramos quando este teorema falha.

          Integrais duplos em coordenadas polares são então estudados, bem como algumas aplicações de integrais duplos. Examinamos a massa, os momentos e o centro de massa e o raio de giração de uma lâmina. Também aplicamos nosso novo conhecimento de integrais duplas para encontrar a área de superfície, inclusive parametricamente.

          A seguir, começamos a explorar integrais triplos. Motivamos seu significado, formalizamos sua definição e trabalhamos por meio de exemplos. Generalizamos o teorema de Fubini e trabalhamos com algumas das aplicações relativas à lâmina novamente, mas com uma variável adicional. Também discutimos funções de densidade de probabilidade.

          Como estudamos integrais duplos em coordenadas polares, agora aprendemos integrais triplos em coordenadas cilíndricas e esféricas. Para ambos os casos, apresentamos o sistema de coordenadas e, em seguida, trabalhamos com vários exemplos. Na emocionante conclusão deste curso, exploramos a alteração das variáveis ​​de integração em integrais múltiplos. Essa técnica envolve a produção de um sistema de coordenadas. As estratégias e processos envolvidos são detalhados.


          O Facebook

          2 Padronização de unidades de medida
          2.1 Padrões
          3 unidades e sistemas
          3.1 Sistemas imperiais e consuetudinários dos EUA
          3.2 Sistema métrico
          3.2.1 Sistema Internacional de Unidades
          3.2.1.1 Conversão de prefixos
          3,3 Comprimento
          3.4 Alguns nomes especiais
          3.5 Construindo negócios
          3.6 Negociação de topógrafos e # 039s
          3,7 tempo
          3,8 missa
          3.9 Economia
          3.10 Pesquisa de pesquisa
          3.11 Designação de exatidão
          4 dificuldades
          5 Definições e teorias
          5.1 Definição Clássica
          5.2 Teoria da representação
          5.3 Teoria da informação
          5.4 Mecânica Quântica
          5.5 Biologia
          6 Veja também
          7 referências
          8 links externos
          Metodologia
          A medição de uma propriedade pode ser categorizada pelos seguintes critérios: tipo, magnitude, unidade e incerteza. [Citação necessária] Eles permitem comparações inequívocas entre as medições.

          O nível de medição é uma taxonomia para o caráter metodológico de uma comparação. Por exemplo, dois estados de uma propriedade podem ser comparados por proporção, diferença ou preferência ordinal. O tipo geralmente não é expresso explicitamente, mas implícito na definição de um procedimento de medição.
          A magnitude é o valor numérico da caracterização, geralmente obtido com um instrumento de medição adequadamente escolhido.
          Uma unidade atribui um fator de ponderação matemática à magnitude que é derivada como uma razão para a propriedade de um artefato usado como padrão ou uma quantidade física natural.
          Uma incerteza representa os erros aleatórios e sistêmicos do procedimento de medição, indica um nível de confiança na medição. Os erros são avaliados repetindo metodicamente as medições e considerando a exatidão e a precisão do instrumento de medição.
          Padronização de unidades de medida
          As medições mais comumente usam o Sistema Internacional de Unidades (SI) como uma estrutura de comparação. O sistema define sete unidades fundamentais: quilograma, metro, candela, segundo, ampere, Kelvin e mole. Seis dessas unidades são definidas sem referência a um objeto físico específico que serve como um padrão (sem artefato), enquanto o quilograma ainda está incorporado em um artefato que repousa na sede do Bureau Internacional de Pesos e Medidas em Sèvres, perto de Paris . As definições sem artefatos fixam as medições em um valor exato relacionado a uma constante física ou outros fenômenos invariáveis ​​da natureza, em contraste com os artefatos padrão que estão sujeitos a deterioração ou destruição. Em vez disso, a unidade de medida só pode mudar por meio de maior precisão na determinação do valor da constante à qual está vinculada.

          As sete unidades básicas do sistema SI. As setas apontam das unidades para aquelas que dependem delas.
          A primeira proposta para amarrar uma unidade de base do SI a um padrão experimental independente do fiat foi por Charles Sanders Peirce (1839–1914), [4] que propôs definir o medidor em termos do comprimento de onda de uma linha espectral. Isso influenciou diretamente o experimento de Michelson-Morle, Michelson e Morley citaram Peirce e aprimoraram seu método. [6]

          Padrões
          Com exceção de algumas constantes quânticas fundamentais, as unidades de medida são derivadas de acordos históricos. Nada inerente à natureza exige que uma polegada tenha um determinado comprimento, nem que uma milha seja uma medida de distância melhor do que um quilômetro. Ao longo da história humana, no entanto, primeiro por conveniência e depois por necessidade, os padrões de medição evoluíram para que as comunidades tivessem certos pontos de referência comuns. As leis que regulam a medição foram originalmente desenvolvidas para prevenir fraudes no comércio.

          As unidades de medida são geralmente definidas em bases científicas, supervisionadas por agências governamentais ou independentes e estabelecidas em tratados internacionais, preeminente dos quais é a Conferência Geral de Pesos e Medidas (CGPM), estabelecida em 1875 pela Convenção do Medidor, supervisionando o Sistema Internacional de Unidades (SI). Por exemplo, o metro foi redefinido em 1983 pela CGPM em termos da velocidade da luz, o quilograma foi redefinido em 2019 em termos da constante de Planck e o estaleiro internacional foi definido em 1960 pelos governos dos Estados Unidos, Reino Unido , Austrália e África do Sul com exatamente 0,9144 metros.

          Nos Estados Unidos, o Instituto Nacional de Padrões e Tecnologia (NIST), uma divisão do Departamento de Comércio dos Estados Unidos, regulamenta as medições comerciais. No Reino Unido, a função é desempenhada pelo National Physical Laboratory (NPL), na Austrália pelo National Measurement Institute, [7] na África do Sul pelo Council for Scientific and Industrial Research e na Índia pelo National Physical Laboratory of India.

          Unidades e sistemas
          Artigos principais: Unidade de medida e Sistema de medida

          Uma mamadeira que mede em três sistemas de medição - métrico, imperial (Reino Unido) e padrão americano.

          Quatro dispositivos de medição com calibrações métricas
          Sistemas imperiais e consuetudinários dos EUA
          Artigo principal: Sistemas de medição convencionais e imperiais dos EUA
          Antes das unidades SI serem amplamente adotadas em todo o mundo, os sistemas britânicos de unidades inglesas e posteriormente unidades imperiais foram usados ​​na Grã-Bretanha, na Comunidade e nos Estados Unidos. O sistema passou a ser conhecido como unidades habituais dos EUA nos Estados Unidos e ainda está em uso lá e em alguns países do Caribe. Esses vários sistemas de medição às vezes foram chamados de sistema de pés-libra-seco, após as unidades imperiais de comprimento, peso e tempo, embora as toneladas, cem pesos, galões e milhas náuticas, por exemplo, sejam diferentes para as unidades dos EUA. Muitas unidades imperiais permanecem em uso na Grã-Bretanha, que oficialmente mudou para o sistema SI - com algumas exceções, como sinais de trânsito, que ainda estão em milhas. Chope e cidra devem ser vendidos pelo litro imperial, e o leite em garrafas retornáveis ​​pode ser vendido pelo litro imperial. Muitas pessoas medem sua altura em pés e polegadas e seu peso em pedras e libras, para citar apenas alguns exemplos. As unidades imperiais são usadas em muitos outros lugares, por exemplo, em muitos países da Commonwealth considerados metrificados, a área do terreno é medida em acres e a área ocupada em pés quadrados, principalmente para transações comerciais (em vez de estatísticas governamentais). Da mesma forma, a gasolina é vendida por galão em muitos países considerados metrificados.

          Sistema métrico
          O sistema métrico é um sistema decimal de medida baseado em suas unidades de comprimento, o metro, e de massa, o quilograma. Existe em diversas variações, com diferentes escolhas de unidades básicas, embora estas não afetem seu uso no dia a dia. Desde 1960, o Sistema Internacional de Unidades (SI) é o sistema métrico reconhecido internacionalmente. As unidades métricas de massa, comprimento e eletricidade são amplamente utilizadas em todo o mundo para fins diários e científicos.

          Sistema Internacional de Unidades
          O Sistema Internacional de Unidades (abreviado como SI do nome francês Système International d & # 039Unités) é a revisão moderna do sistema métrico. É o sistema de unidades mais amplamente usado no mundo, tanto no comércio cotidiano quanto na ciência. O SI foi desenvolvido em 1960 a partir do sistema metro-quilograma-segundo (MKS), em vez do sistema centímetro-grama-segundo (CGS), que, por sua vez, tinha muitas variantes. As unidades SI para as sete grandezas físicas básicas são: [8]

          Quantidade base Unidade base Símbolo que define a constante
          tempo segundo s divisão hiperfina em césio-133
          comprimento metro m velocidade da luz, c
          massa quilograma kg constante de Planck, h
          Ampere de corrente elétrica Uma carga elementar, e
          temperatura kelvin K Constante de Boltzmann, k
          quantidade de substância mol mol Avogadro constante NA
          intensidade luminosa candela cd eficácia luminosa de uma fonte 540 THz Kcd
          No SI, as unidades básicas são as medidas simples de tempo, comprimento, massa, temperatura, quantidade de substância, corrente elétrica e intensidade de luz. As unidades derivadas são construídas a partir das unidades básicas, por exemplo, o watt, ou seja, a unidade de potência, é definido a partir das unidades básicas como m2 · kg · s-3. Outras propriedades físicas podem ser medidas em unidades compostas, como a densidade do material, medida em kg / m3.

          Conversão de prefixos
          O SI permite uma multiplicação fácil ao alternar entre unidades com a mesma base, mas prefixos diferentes. Para converter de metros em centímetros, basta multiplicar o número de metros por 100, já que existem 100 centímetros em um metro. Inversamente, para passar de centímetros para metros, multiplica-se o número de centímetros por 0,01 ou divide-se o número de centímetros por 100.

          Um carpinteiro de 2 metros e régua # 039s
          Veja também: Lista de dispositivos de medição de comprimento, distância ou alcance
          Uma régua ou régua é uma ferramenta usada, por exemplo, em geometria, desenho técnico, engenharia e carpintaria, para medir comprimentos ou distâncias ou para desenhar linhas retas. Estritamente falando, a régua é o instrumento usado para reger linhas retas e o instrumento calibrado usado para determinar o comprimento é chamado de medida, entretanto o uso comum chama ambos os instrumentos de réguas e o nome especial régua é usado para uma regra não marcada. O uso da palavra medida, no sentido de instrumento de medida, sobrevive apenas na frase fita métrica, instrumento que pode ser usado para medir, mas não para traçar linhas retas. Como pode ser visto nas fotos desta página, uma régua de carpinteiro de dois metros pode ser dobrada até um comprimento de apenas 20 centímetros, para caber facilmente no bolso, e uma fita métrica de cinco metros facilmente retrai para caber dentro de uma pequena caixa.

          Alguns nomes especiais
          Alguns nomes não sistemáticos são aplicados a alguns múltiplos de algumas unidades.

          100 quilogramas = 1 quintal 1000 quilograma = 1 tonelada métrica
          10 anos = 1 década 100 anos = 1 século 1000 anos = 1 milênio
          Comércios de construção
          A construção civil australiana adotou o sistema métrico em 1966 e as unidades usadas para medir o comprimento são metros (m) e milímetros (mm). Os centímetros (cm) são evitados, pois podem causar confusão ao ler os planos. Por exemplo, o comprimento de dois metros e meio é geralmente registrado como 2500 mm ou 2,5 m, seria considerado fora do padrão registrar esse comprimento como 250 cm. [9] [10]

          Comércio de topógrafo e # 039s
          Os topógrafos americanos usam um sistema de medição baseado em decimal desenvolvido por Edmund Gunter em 1620. A unidade base é a corrente Gunter # 039 de 66 pés (20 m), que é subdividida em 4 hastes, cada uma com 16,5 pés ou 100 elos de 0,66 pés. Um link é abreviado como & quotlk & quot, e links & quotlks & quot, em escrituras antigas e levantamentos de terras feitos para o governo.

          O Método Padrão de Medição (SMM) publicado pela Royal Institution of Chartered Surveyors (RICS) consistia em tabelas de classificação e regras de medição, permitindo o uso de uma base uniforme para a medição de obras. Foi publicado pela primeira vez em 1922, substituindo um Método Padrão de Medição Escocês que havia sido publicado em 1915. Sua sétima edição (SMM7) foi publicada pela primeira vez em 1988 e revisada em 1998. SMM7 foi substituído pelas Novas Regras de Medição, volume 2 ( NRM2), que foram publicados em abril de 2012 pelo RICS Quantity Surveying and Construction Professional Group e tornaram-se operacionais em 1 de janeiro de 2013. [11] O NRM2 está em uso geral desde julho de 2013.

          SMM7 foi acompanhado pelo Código de Procedimento para a Medição de Obras de Construção (o Código de Medição SMM7). Embora SMM7 pudesse ter um status contratual dentro de um projeto, por exemplo, no formulário padrão JCT de contrato de construção), o Código de Medição não era obrigatório. [12]

          NRM2 é a segunda das três partes componentes do pacote NRM:

          NRM1 - Ordem de estimativa de custos e planejamento de custos para obras de construção de capital
          NRM2 - Medição detalhada para obras de construção
          NRM3 - Ordem de estimativa de custos e planejamento de custos para obras de manutenção predial. [13]
          Tempo
          Artigo principal: Tempo
          O tempo é uma medida abstrata de mudanças elementares em um continuum não espacial. É denotado por números e / ou períodos nomeados, como horas, dias, semanas, meses e anos. É uma série aparentemente irreversível de ocorrências dentro desse continuum não espacial. Também é usado para denotar um intervalo entre dois pontos relativos neste continuum.

          Massa
          Artigo principal: Balança de pesagem
          Massa refere-se à propriedade intrínseca de todos os objetos materiais de resistir às mudanças em seu momento. O peso, por outro lado, refere-se à força descendente produzida quando uma massa está em um campo gravitacional. Em queda livre, (sem forças gravitacionais líquidas) os objetos perdem peso, mas retêm sua massa. As unidades imperiais de massa incluem onça, libra e tonelada. As unidades métricas grama e quilograma são unidades de massa.

          Um dispositivo para medir peso ou massa é chamado de balança de pesagem ou, frequentemente, simplesmente balança. Uma balança de mola mede a força, mas não a massa, uma balança compara o peso, ambas requerem um campo gravitacional para operar. Alguns dos instrumentos mais precisos para medir peso ou massa são baseados em células de carga com leitura digital, mas requerem um campo gravitacional para funcionar e não funcionariam em queda livre.

          Economia
          Artigo principal: Medição em economia
          As medidas usadas em economia são medidas físicas, medidas de valor de preço nominal e medidas de preço real. Essas medidas diferem umas das outras pelas variáveis ​​que medem e pelas variáveis ​​excluídas das medidas.

          Pesquisa de opinião
          Artigo principal: Metodologia de pesquisa
          No campo da pesquisa survey, as medidas são tomadas a partir de atitudes, valores e comportamentos individuais, usando questionários como instrumento de medida. Como todas as outras medições, a medição na pesquisa de levantamento também é vulnerável a erros de medição, ou seja, o desvio do valor real da medição e o valor fornecido usando o instrumento de medição. [14] Em pesquisas substantivas, o erro de medição pode levar a conclusões tendenciosas e efeitos estimados incorretamente. Para obter resultados precisos, quando aparecem erros de medição, os resultados precisam ser corrigidos para erros de medição.

          Designação de exatidão
          As seguintes regras geralmente se aplicam para exibir a exatidão das medidas: [1 5]

          Todos os dígitos diferentes de 0 e quaisquer 0s que apareçam entre eles são significativos para a exatidão de qualquer número. Por exemplo, o número 12000 tem dois dígitos significativos e tem limites implícitos de 11.500 e 12.500.
          0s adicionais podem ser adicionados após um separador decimal para denotar uma maior exatidão, aumentando o número de decimais. Por exemplo, 1 tem limites implícitos de 0,5 e 1,5, enquanto 1,0 tem limites implícitos de 0,95 e 1,05.
          Dificuldades

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          Uma vez que a medição precisa é essencial em muitos campos, e uma vez que todas as medições são necessariamente aproximações, muito esforço deve ser feito para tornar as medições o mais precisas possível. Por exemplo, considere o problema de medir o tempo que um objeto leva para cair a uma distância de um metro (cerca de 39 polegadas). Usando a física, pode-se mostrar que, no campo gravitacional da Terra, qualquer objeto deve levar cerca de 0,45 segundos para cair um metro. No entanto, a seguir estão apenas algumas das fontes de erro que surgem:

          Este cálculo é usado para a aceleração da gravidade de 9,8 metros por segundo ao quadrado (32 pés / s2). Mas essa medida não é exata, mas precisa apenas até dois dígitos significativos.
          O campo gravitacional da Terra varia ligeiramente dependendo da altura acima do nível do mar e outros fatores.
          O cálculo de 0,45 segundos envolveu a extração de uma raiz quadrada, uma operação matemática que exigia arredondamento para algum número de dígitos significativos, neste caso dois dígitos significativos.
          Além disso, outras fontes de erro experimental incluem:

          descuido,
          determinar a hora exata em que o objeto é lançado e a hora exata em que atinge o solo,
          a medição da altura e a medição do tempo envolvem algum erro,
          A resistência do ar.
          postura de participantes humanos [16]
          Os experimentos científicos devem ser realizados com muito cuidado para eliminar o máximo de erros possível e para manter as estimativas de erros realistas.

          Definições e teorias
          Definição clássica
          Na definição clássica, que é padrão em todas as ciências físicas, medição é a determinação ou estimativa de proporções de quantidades. [17] Quantidade e medida são definidas mutuamente: atributos quantitativos são aqueles possíveis de medir, pelo menos em princípio. O conceito clássico de quantidade pode ser rastreado até John Wallis e Isaac Newton, e foi prenunciado em Euclides & # 039s Elements. [17]

          Teoria da representação
          Na teoria da representação, a medição é definida como & quotthe correlação de números com entidades que não são números & quot. [18] A forma de teoria da representação mais elaborada tecnicamente é também conhecida como medição conjunta aditiva. Nessa forma de teoria da representação, os números são atribuídos com base em correspondências ou semelhanças entre a estrutura dos sistemas numéricos e a estrutura dos sistemas qualitativos. Uma propriedade é quantitativa se tais semelhanças estruturais podem ser estabelecidas. Em formas mais fracas de teoria da representação, como a implícita no trabalho de Stanley Smith Stevens, [19] os números precisam apenas ser atribuídos de acordo com uma regra.

          O conceito de medição é frequentemente mal interpretado como meramente a atribuição de um valor, mas é possível atribuir um valor de uma forma que não seja uma medição em termos dos requisitos da medição conjunta aditiva. Pode-se atribuir um valor à altura de uma pessoa, mas a menos que possa ser estabelecido que existe uma correlação entre as medidas de altura e as relações empíricas, não é uma medida de acordo com a teoria de medição conjunta aditiva. Da mesma forma, calcular e atribuir valores arbitrários, como o & quotbook value & quot de um ativo na contabilidade, não é uma medida porque não satisfaz os critérios necessários.

          Três tipos de teoria representativa

          Na ciência, uma relação empírica é uma relação ou correlação baseada unicamente na observação e não na teoria. Uma relação empírica requer apenas dados confirmatórios, independentemente da base teórica

          O mundo real é o domínio do mapeamento e o mundo matemático é o intervalo. quando mapeamos o atributo para o sistema matemático, temos muitas opções para o mapeamento e o intervalo

          3) A representação condição de medição

          Teoria da informação
          A teoria da informação reconhece que todos os dados são inexatos e de natureza estatística. Assim, a definição de medição é: & quot Um conjunto de observações que reduzem a incerteza onde o resultado é expresso como uma quantidade. & Quot [20] Esta definição está implícita no que os cientistas realmente fazem quando medem algo e relatam a média e as estatísticas das medições. . Em termos práticos, começa-se com uma estimativa inicial quanto ao valor esperado de uma quantidade e, em seguida, usando vários métodos e instrumentos, reduz-se a incerteza no valor. Observe que, nesta visão, ao contrário da teoria da representação positivista, todas as medições são incertas, portanto, em vez de atribuir um valor, uma faixa de valores é atribuída a uma medição. Isso também implica que não há uma distinção clara ou nítida entre estimativa e medição.

          Mecânica quântica
          Na mecânica quântica, uma medição é uma ação que determina uma propriedade particular (posição, momento, energia, etc.) de um sistema quântico. Antes de uma medição ser feita, um sistema quântico é simultaneamente descrito por todos os valores em uma faixa de valores possíveis, onde a probabilidade de medir cada valor é determinada pela função de onda do sistema. Quando uma medição é realizada, a função de onda do sistema quântico "desmorona" para um valor único e definido. [21] O significado inequívoco do problema de medição é um problema fundamental não resolvido na mecânica quântica. [Citação necessária]

          Biologia
          Em biologia, não existe uma teoria de medição bem estabelecida. No entanto, a importância do contexto teórico é enfatizada. [22] Além disso, o contexto teórico decorrente da teoria da evolução leva a articular a teoria da medição e da historicidade como uma noção fundamental. [23]


          Assista o vídeo: Pochodna cząstkowa - prosty przykład (Outubro 2021).