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15.1E: Campos Vetoriais (Exercícios)


1. O domínio do campo vetorial ( vecs {F} = vecs {F} (x, y) ) é um conjunto de pontos ((x, y) ) em um plano, e o intervalo de ( vecs F ) é um conjunto de que no avião?

Responder:
Vetores

Para os exercícios 2 - 4, determine se a afirmação é verdadeiro ou falso.

2. O campo vetorial ( vecs {F} = ⟨3x ^ 2,1⟩ ) é um campo gradiente para (ϕ_1 (x, y) = x ^ 3 + y ) e (ϕ_2 (x, y) = y + x ^ 3 + 100. )

3. O campo vetorial ( vecs {F} = dfrac {⟨y, x⟩} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} ) é constante na direção e magnitude em um círculo unitário.

Responder:
Falso

4. O campo vetorial ( vecs {F} = dfrac {⟨y, x⟩} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} ) não é um campo radial nem um campo de rotação.

Para os exercícios 5 - 13, descreva cada campo vetorial desenhando alguns de seus vetores.

5. [T] ( vecs {F} (x, y) = x , hat { mathbf i} + y , hat { mathbf j} )

Responder:

6. [T] ( vecs {F} (x, y) = - y , hat { mathbf i} + x , hat { mathbf j} )

7. [T] ( vecs {F} (x, y) = x , hat { mathbf i} −y , hat { mathbf j} )

Responder:

8. [T] ( vecs {F} (x, y) = , hat { mathbf i} + , hat { mathbf j} )

9. [T] ( vecs {F} (x, y) = 2x , hat { mathbf i} + 3y , hat { mathbf j} )

Responder:

10. [T] ( vecs {F} (x, y) = 3 , hat { mathbf i} + x , hat { mathbf j} )

11. [T] ( vecs {F} (x, y) = y , hat { mathbf i} + sin x , hat { mathbf j} )

Responder:

12. [T] ( vecs F (x, y, z) = x , hat { mathbf i} + y , hat { mathbf j} + z , hat { mathbf k} )

13. [T] ( vecs F (x, y, z) = 2x , hat { mathbf i} −2y , hat { mathbf j} −2z , hat { mathbf k} )

Responder:

14. [T] ( vecs F (x, y, z) = yz , hat { mathbf i} −xz , hat { mathbf j} )

Para os exercícios 15-20, encontre o campo vetorial gradiente de cada função (f ).

15. (f (x, y) = x sin y + cos y )

Responder:
( vecs {F} (x, y) = sin (y) , hat { mathbf i} + (x cos y− sin y) , hat { mathbf j} )

16. (f (x, y, z) = ze ^ {- xy} )

17. (f (x, y, z) = x ^ 2y + xy + y ^ 2z )

Responder:
( vecs F (x, y, z) = (2xy + y) , hat { mathbf i} + (x ^ 2 + x + 2yz) , hat { mathbf j} + y ^ 2 , hat { mathbf k} )

18. (f (x, y) = x ^ 2 sin (5y) )

19. (f (x, y) = ln (1 + x ^ 2 + 2y ^ 2) )

Responder:
( vecs {F} (x, y) = dfrac {2x} {1 + x ^ 2 + 2y ^ 2} , hat { mathbf i} + dfrac {4y} {1 + x ^ 2 + 2y ^ 2} , hat { mathbf j} )

20. (f (x, y, z) = x cos left ( frac {y} {z} right) )

21. O que é um campo vetorial ( vecs {F} (x, y) ) com um valor em ((x, y) ) que tem comprimento unitário e aponta para ((1,0) )?

Responder:
( vecs {F} (x, y) = dfrac {(1 − x) , hat { mathbf i} −y , hat { mathbf j}} { sqrt {(1 − x ) ^ 2 + y ^ 2}} )

Para os exercícios 22 a 24, escreva fórmulas para os campos de vetor com as propriedades fornecidas.

22. Todos os vetores são paralelos ao eixo (x ) e todos os vetores em uma linha vertical têm a mesma magnitude.

23. Todos os vetores apontam para a origem e têm comprimento constante.

Responder:
( vecs {F} (x, y) = dfrac {(y , hat { mathbf i} −x , hat { mathbf j})} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} )

24. Todos os vetores têm comprimento unitário e são perpendiculares ao vetor posição naquele ponto.

25. Dê uma fórmula ( vecs {F} (x, y) = M (x, y) , hat { mathbf i} + N (x, y) , hat { mathbf j} ) para o campo vetorial em um plano que tem as propriedades que ( vecs {F} = vecs 0 ) em ((0,0) ) e que em qualquer outro ponto ((a, b), vecs F ) é tangente ao círculo (x ^ 2 + y ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 ) e aponta no sentido horário com magnitude ( | vecs F | = sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} ).

Responder:
( vecs {F} (x, y) = y , hat { mathbf i} −x , hat { mathbf j} )

26. É o campo vetorial ( vecs {F} (x, y) = (P (x, y), Q (x, y)) = ( sin x + y) , hat { mathbf i} + ( cos y + x) , hat { mathbf j} ) um campo gradiente?

27. Encontre uma fórmula para o campo vetorial ( vecs {F} (x, y) = M (x, y) , hat { mathbf i} + N (x, y) , hat { mathbf j} ) dado o fato de que para todos os pontos ((x, y) ), ( vecs F ) aponta para a origem e ( | vecs F | = dfrac {10} {x ^ 2 + y ^ 2} ).

Responder:
( vecs {F} (x, y) = dfrac {−10} {(x ^ 2 + y ^ 2) ^ {3/2}} (x , hat { mathbf i} + y , hat { mathbf j}) )

Para os exercícios 28-29, suponha que um campo elétrico no plano (xy ) causado por uma linha infinita de carga ao longo do eixo (x ) é um campo gradiente com função potencial (V (x, y) = c ln left ( frac {r_0} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} right) ), onde (c> 0 ) é uma constante e (r_0 ) é uma distância de referência na qual o potencial é considerado zero.

28. Encontre os componentes do campo elétrico nas direções (x ) - e (y ) -, onde ( vecs E (x, y) = - vecs ∇V (x, y). )

29. Mostre que o campo elétrico em um ponto no plano (xy ) - é direcionado para fora da origem e tem magnitude ( | vecs E | = dfrac {c} {r} ), onde ( r = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} ).

Responder:
( | vecs E | = dfrac {c} {| r | ^ 2} r = dfrac {c} {| r |} dfrac {r} {| r |} )

UMA linha de fluxo (ou linha de fluxo) de um campo vetorial ( vecs F ) é uma curva ( vecs r (t) ) tal que (d vecs {r} / dt = vecs F ( vecs r (t)) ) Se ( vecs F ) representa o campo de velocidade de uma partícula em movimento, então as linhas de fluxo são caminhos percorridos pela partícula. Portanto, as linhas de fluxo são tangentes ao campo vetorial.

Para os exercícios 30 e 31, mostre que a curva fornecida ( vecs c (t) ) é uma linha de fluxo do campo vetorial de velocidade ( vecs F (x, y, z) ).

30. ( vecs c (t) = ⟨e ^ {2t}, ln | t |, frac {1} {t}⟩, , t ≠ 0; quad vecs F (x, y, z) = ⟨2x, z, −z ^ 2⟩ )

31. ( vecs c (t) = ⟨ sin t, cos t, e ^ t⟩; quad vecs F (x, y, z) = 〈y, −x, z〉 )

Responder:
( vecs c ′ (t) = ⟨ cos t, - sin t, e ^ {- t}⟩ = vecs F ( vecs c (t)) )

Para os exercícios 32 - 34, deixe ( vecs {F} = x , hat { mathbf i} + y , hat { mathbf j} ), ( vecs G = −y , hat { mathbf i} + x , hat { mathbf j} ), e ( vecs H = x , hat { mathbf i} −y , hat { mathbf j} ) . Combine ( vecs F ), ( vecs G ) e ( vecs H ) com seus gráficos.

32.

33.

Responder:
( vecs H )

34.

Para os exercícios 35 - 38, deixe ( vecs {F} = x , hat { mathbf i} + y , hat { mathbf j} ), ( vecs G = −y , hat { mathbf i} + x , hat { mathbf j} ), e ( vecs H = −x , hat { mathbf i} + y , hat { mathbf j} ) Combine os campos vetoriais com seus gráficos em (I) - (IV).

  1. ( vecs F + vecs G )
  2. ( vecs F + vecs H )
  3. ( vecs G + vecs H )
  4. (- vecs F + vecs G )

35.

Responder:
d. (- vecs F + vecs G )

36.

37.

Responder:
uma. ( vecs F + vecs G )

38.

Gilbert Strang (MIT) e Edwin “Jed” Herman (Harvey Mudd) com muitos autores contribuintes. Este conteúdo da OpenStax é licenciado com uma licença CC-BY-SA-NC 4.0. Baixe gratuitamente em http://cnx.org.


Flow Integrals in SpaceCirculation Encontre a circulação de

Circulação Encontre a circulação de F = 2 x i + 2 z j + 2 y k em torno do caminho fechado que consiste nas três curvas seguintes percorridas na direção de t crescente.

Notas da Semana de Gerenciamento de Hospedagem e Operações O que é Gerenciamento de Recursos Humanos  São todas as atividades para planejar, organizar, dirigir e controlar o trabalho das pessoas Ambiente:  Todos os gerentes trabalham em dois tipos de ambientes 1. Ambiente externo - afeta do exterior tal como leis, costumes, condições econômicas, mercados 2. Ambiente interno - são efeitos internos, como cultura da empresa, relações trabalhistas, imagem da empresa Leis contra a discriminação:  Lei dos Direitos Civis  Assédio Sexual  Lei dos Americanos com Deficiências  Discriminação por Idade  Gravidez Leis e programas de seguro contra discriminação:  Lei de Licença Familiar e Médica (FMLA) - permite que funcionários qualificados tirem licença para estar com familiares doentes ou outros problemas familiares  Lei de Reconciliação do Orçamento Omnibus Consolidado (COBRA) - autoriza e o funcionário a continuar a receber assistência médica cobertura após deixar o emprego por qualquer motivo


9.2 Algoritmos de vetor e para

No Capítulo 6 - Algoritmos Fundamentais, mostramos como criar glifos vetoriais simples e como integrar partículas por meio de um campo vetorial para criar linhas de fluxo. Nesta seção, estendemos esses conceitos para criar fitas de fluxo e polígonos de fluxo. Além disso, apresentamos o conceito de topologia de campo vetorial e mostramos como caracterizar um campo vetorial usando construções topológicas.

Streamribbons e Streamsurfaces & para

As linhas aerodinâmicas representam os caminhos das partículas em um campo vetorial. Colorindo essas linhas ou criando glifos locais (como linhas tracejadas ou cones orientados), podemos representar informações escalares e temporais adicionais. No entanto, essas técnicas podem transmitir apenas informações elementares sobre o campo vetorial. Informações locais (por exemplo, rotação de fluxo ou derivados) e informações globais (por exemplo, estrutura de um campo, como tubos de vórtice) não são representadas. Streamribbons e streamsurfaces são duas técnicas usadas para representar informações locais e globais.

Uma extensão natural da técnica aerodinâmica amplia a linha para criar uma fita. A fita pode ser construída gerando duas linhas de fluxo adjacentes e, em seguida, ligando as linhas com uma malha poligonal. Esta técnica funciona bem, desde que as linhas aerodinâmicas permaneçam relativamente próximas umas das outras. Se ocorrer separação, de forma que as linhas de fluxo divergem, a fita resultante não representará com precisão o fluxo, porque esperamos que a superfície da fita esteja em qualquer lugar tangente ao campo vetorial (ou seja, definição de linha de fluxo). A superfície regulada conectando duas linhas de fluxo amplamente separadas geralmente não satisfaz este requisito.

O streamribbon fornece informações sobre parâmetros de fluxo importantes: a vorticidade do vetor e a divergência de fluxo. Vorticidade Omega é a medida de rotação do campo vetorial, expressa como uma quantidade vetorial: uma direção (eixo de rotação) e magnitude (quantidade de rotação). Vorticidade em fluxo Omega é a projeção de vec < omega> ao longo do vetor de velocidade instantânea, vec . Dito de outra forma, a vorticidade streamwise é a rotação do campo vetorial em torno da linha aerodinâmica definida a seguir.

A quantidade de torção do streamribbon se aproxima da vorticidade streamwise. A divergência de fluxo é uma medida da "propagação" do fluxo. A variação da largura do riacho é proporcional à divergência de fluxo cruzado do fluxo.

Uma superfície de fluxo é uma coleção de um número infinito de linhas de fluxo que passam por uma curva de base. A curva base, ou rake, define os pontos de partida para as linhas de corrente. Se a curva de base for fechada (por exemplo, um círculo), a superfície é fechada e o resultado é um tubo de fluxo. Assim, fitas de fluxo são tipos especializados de superfícies de fluxo com uma largura estreita em comparação com o comprimento.

Em comparação com ícones de vetor ou linhas de fluxo, streamsurfaces fornecem informações adicionais sobre a estrutura do campo de vetor. Qualquer ponto na superfície do fluxo é tangente ao vetor velocidade. Consequentemente, tomando um exemplo de fluxo de fluido, nenhum fluido pode passar pela superfície. Streamtubes são então representações de fluxo de massa constante. Streamsurfaces mostram a estrutura do campo vetorial melhor do que simplificações ou glifos vetoriais porque não requerem interpolação visual entre os ícones.

Streamsurfaces podem ser calculados gerando um conjunto de streamlines de um rake especificado pelo usuário. Uma malha poligonal é então construída conectando linhas de fluxo adjacentes. Uma dificuldade com essa abordagem é que a divergência do campo vetorial local pode fazer com que as linhas de corrente se separem. A separação pode introduzir grandes erros na superfície ou possivelmente causar autointerseção, o que não é fisicamente possível.

Outra abordagem para a computação de superfícies de fluxo foi adotada por Hultquist [Hultquist92]. A superfície do fluxo é uma coleção de fitas de fluxo conectadas ao longo de suas bordas. Nesta abordagem, o cálculo das linhas de fluxo e o tiling da superfície do fluxo são realizados simultaneamente. Isso permite que simplificações sejam adicionadas ou removidas conforme o fluxo se separa ou converge. O ladrilho também pode ser controlado para evitar a geração de triângulos longos e finos. A superfície também pode ser "rasgada", isto é, as fitas separadas, se a divergência do fluxo se tornar muito alta.

Polígono de fluxo e para

As técnicas descritas até agora fornecem medidas aproximadas de grandezas de campo vetorial, como vorticidade e divergência no sentido do fluxo. No entanto, os campos vetoriais contêm mais informações do que essas técnicas podem transmitir. Como resultado, outras técnicas foram desenvolvidas para visualizar essas informações. Uma dessas técnicas é o polígono de fluxo [Schroeder91], que serve como base para uma série de métodos avançados de visualização de vetores e tensores. O polígono de fluxo é usado para visualizar propriedades locais de deformação, deslocamento e rotação. Começamos descrevendo os efeitos de um campo vetorial no estado local da deformação.

Os campos vetoriais não uniformes dão origem à deformação local na região onde ocorrem. Se o campo vetorial é o deslocamento em um meio físico, como um fluido ou sólido, a deformação consiste em deformação local (isto é, distorção local) e movimento de corpo rígido. Para descrever matematicamente a deformação, examinamos um vetor 3D vec = (u, v, w) em um ponto especificado x = (x, y, z). Usando uma expansão em série de Taylor de primeira ordem sobre x, podemos expressar a deformação local eij como

onde epsilon_ é a cepa local e omega_ é a rotação local. Observe que essas variáveis ​​são expressas como 3 vezes 3 tensores. (Compare esta equação com a dada na Figura 6-20. Observe que esta equação e a Equação 9-5 a seguir diferem em seus termos fora da diagonal por um fator de 1/2. Isso ocorre porque a Figura 6-20 expressa a deformação de cisalhamento de engenharia que é usado no estudo da elasticidade. A Equação 9-5 expressa uma quantidade tensorial e é matematicamente consistente.)

A cepa local é expressa como uma combinação das derivadas parciais em x como segue.

Os termos na diagonal de epsilon_ são os componentes normais da tensão. Os termos fora da diagonal são a deformação de cisalhamento. A rotação local do corpo rígido é dada pela Equação 9-6 também pode ser representada usando a notação de tensor como

onde omega é o vetor de vorticidade referido na seção anterior. A vorticidade, ou rotação local do corpo rígido é então

Para o leitor não familiarizado com a notação tensorial, esta apresentação certamente não está completa. No entanto, as matrizes na Equação 9-5 e Equação 9-6 se traduzem diretamente na forma visual, o que ajudará a esclarecer os conceitos apresentados aqui. Referindo-se a Figura 9-11 , a deformação normal, a deformação de cisalhamento e o movimento do corpo rígido criam modos de deformação distintos. Esses modos se combinam para produzir a deformação total. Os modos de deformação normal causam compressão ou extensão na direção perpendicular a uma superfície, enquanto as deformações de cisalhamento causam distorções angulares. Essas tensões combinadas com a rotação do corpo rígido em torno de um eixo produzem a deformação total em um ponto.

Figura 9-11. Componentes de deformação local devido ao campo vetorial. A linha pontilhada mostra o objeto inicialmente indeformado.

A essência da técnica do polígono de fluxo é mostrar esses modos de deformação. Um polígono regular de n lados ( Figura 9-12 ) é colocado em um campo vetorial em um ponto especificado e, em seguida, deformado de acordo com a deformação local. Os componentes da deformação podem ser mostrados separadamente ou em combinação. A orientação da normal do polígono é arbitrária. No entanto, é conveniente alinhar a normal com o vetor local. Então, a rotação do corpo rígido em torno do vetor é a vorticidade ao longo da corrente, e os efeitos da deformação normal e de cisalhamento estão no plano perpendicular a uma linha de fluxo passando pelo ponto.

O polígono de fluxo oferece outras possibilidades interessantes. O polígono de fluxo pode ser varrido ao longo de uma trajetória, normalmente uma linha de fluxo, para gerar tubos. O raio do tubo r pode ser modificado de acordo com alguma função escalar. Uma aplicação é visualizar o fluxo de fluido. Em fluxo incompressível sem cisalhamento, o raio do tubo pode variar de acordo com a magnitude do vetor de função escalar. Então a equação

representa uma área de fluxo de massa constante. Como resultado, o tubo vai engrossar conforme o fluxo diminui e estreitar conforme a velocidade aumenta. Cada um dos n lados do tubo pode ser colorido com uma função escalar diferente, embora para maior clareza visual, no máximo, uma ou duas funções devam ser usadas.

Figura 9-12. O polígono do fluxo. (a) Vista plana. (b) Alinhado com o vetor. (c) Alinhado ao longo da linha do fluxo. (d) Varredura do polígono para formar o tubo. Consulte OfficeTube.cxx e OfficeTube.py.

Os tubos de fluxo gerados pelo polígono de fluxo e os tubos de fluxo que descrevemos na seção anterior não são os mesmos. O polígono stream não necessariamente se encontra ao longo de uma streamline. Em caso afirmativo, o polígono stream representa as informações em um ponto, enquanto o streamtube é uma aproximação construída a partir de vários streamlines. Além disso, a variação radial nos tubos construídos a partir de varreduras de polígono de fluxo não se relacionam necessariamente ao fluxo de massa, uma vez que o raio em um polígono de fluxo pode ser vinculado a uma variável escalar arbitrária.

Topologia de campo vetorial e para

Os campos vetoriais têm uma estrutura complexa caracterizada por recursos especiais chamados de pontos críticos [Globus91] [Helman91]. Os pontos críticos são locais no campo vetorial onde a magnitude do vetor local vai para zero e a direção do vetor torna-se indefinida. Nestes pontos, o campo vetorial converge ou diverge e / ou ocorre a circulação local em torno do ponto.

Os pontos críticos estão nas células do conjunto de dados, onde os componentes u, vew do campo vetorial passam cada um por zero. Esses pontos são localizados usando um procedimento de pesquisa iterativa, como a técnica de bi-seção. Cada iteração avalia a função de interpolação da célula até que o vetor zero seja encontrado. Uma vez que um ponto crítico é encontrado, seu comportamento local é determinado a partir da matriz de derivadas parciais.

Isso ocorre porque no ponto crítico a velocidade é zero, e o campo vetorial pode ser aproximado por uma expansão de primeira ordem de derivadas parciais [Helman91]

A matriz de derivadas parciais J pode ser escrita em notação vetorial como parcial u parcial v parcial w

e é referido como o Jacobiano. O comportamento do campo vetorial na vizinhança de um ponto crítico é caracterizado pelos autovalores de J. Os autovalores consistem em um componente imaginário e real. O componente imaginário descreve a rotação do campo vetorial em torno do ponto crítico, enquanto a parte real descreve a atração ou repulsão relativa do campo vetorial ao ponto crítico. Em duas dimensões, os pontos críticos são mostrados em Figura 9-13 .

Uma série de técnicas de visualização foram desenvolvidas para construir a topologia de campo vetorial a partir de uma análise de pontos críticos. Essas técnicas fornecem uma compreensão global do campo, incluindo pontos de fixação e desprendimento e vórtices de campo. Usando uma analogia de fluxo de fluido, pontos de fixação e desprendimento ocorrem na superfície de um objeto onde o componente tangencial do campo vetorial vai para zero, e o fluxo é perpendicular à superfície. Assim, as linhas aerodinâmicas começarão ou terminarão nesses pontos. Não há uma definição comum para um vórtice, mas de modo geral, vórtices são regiões de vorticidade relativamente concentrada (por exemplo, rotação de fluxo). O estudo de vórtices é importante porque eles representam áreas de perda de energia ou podem ter um impacto significativo nas condições de fluxo a jusante (por exemplo, vórtices atrás de aeronaves grandes).

Uma técnica de visualização útil cria esqueletos de campo vetorial que dividem o campo vetorial em regiões separadas. Dentro de cada região, o campo vetorial é topologicamente equivalente ao fluxo uniforme. Esses esqueletos são criados localizando pontos críticos e, em seguida, conectando os pontos críticos com linhas aerodinâmicas. Na análise de campo vetorial 3D, essa técnica pode ser aplicada à superfície de objetos para localizar linhas de separação e fixação de fluxo e outras características de fluxo importantes. Além disso, no fluxo 3D geral, as regiões de fluxo uniforme são separadas por superfícies, e a criação de esqueletos de fluxo 3D é um tópico de pesquisa atual.

A visualização de vórtices é outra área de pesquisa atual. Uma técnica calcula o helicidade densidade

Figura 9-13. Pontos críticos em duas dimensões. A parte real dos valores próprios (R1, R2) da matriz das primeiras derivadas controla a atração ou repulsão do campo vetorial. A parte imaginária dos autovalores (I1, I2) controla a rotação.

Esta é uma função escalar do produto escalar do vetor entre a vorticidade e o vetor local. Grandes valores positivos de H_d resultam em vórtices destros, enquanto grandes valores negativos indicam vórtices canhotos. A densidade de helicidade pode ser convenientemente mostrada usando isosuperfícies, o que dá uma indicação para a localização e estrutura de um vórtice.


Math 535b: geometria diferencial avançada, primavera de 2019

Pessoal docente

Instrutor Sheel Ganatra
Escritório KAP 266D
E-mail sheel (ponto) ganatra (at) usc (ponto) edu (esta é a melhor maneira de entrar em contato comigo)
Horário de expediente Esta semana (25/03-29): segunda-feira às 14h00, quarta-feira às 14h00, sexta-feira das 12h00.

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Descrição do curso e pré-requisitos

  • Geometria Riemanniana (o estudo de variedades com estrutura Riemanniana, ou seja, uma métrica induzida por uma família de produtos internos em espaços tangentes).
  • Geometria K & aumlhler (o estudo de variedades complexas com uma métrica K & aumlhler, que é um tipo especial de métrica (Hermitiana) cuja parte puramente imaginária é fechada).
  • Geometria simplética (o estudo de variedades dimensionais pares reais com uma forma simplética, que é uma forma 2 fechada não degenerada).

Variedades K & aumlhler são em particular variedades complexas que são Riemannianas e simpléticas de uma maneira compatível. Discutiremos exemplos de todos os três tipos de variedades e desenvolveremos um kit de ferramentas básico para estudar a geometria em cada uma dessas configurações. A ênfase do curso será na compreensão rigidez propriedades das duas últimas geometrias: maneiras nas quais sua geometria e topologia (conforme medida por, por exemplo, seus grupos de cohomologia, ou por propriedades de certos mapas ou campos de vetor) são fortemente restritas em comparação com variedades que não possuem essas estruturas.

Um plano de palestras mais detalhado (atualizado continuamente, após cada palestra) será postado abaixo.

Nas últimas duas ou três semanas do curso, a aula será dirigida por alunos: os alunos farão uma série de palestras sobre tópicos avançados em uma ou mais dessas áreas. Uma lista de tópicos potenciais será postada em uma data um pouco mais tarde.

Assumiremos familiaridade básica com a geometria de variedades, no nível do curso de Matemática 535a da USC ou equivalente.

Referências

Alguns tópicos planejados a serem pesquisados ​​incluem:

  • Alguns aspectos da teoria de variedades: feixes de vetores, vizinhanças tubulares, dualidade de Poincaré e teoria de interseção para subvariedades.
  • Conexões e curvatura (em feixes de vetores), e uma introdução à geometria Riemanniana: métricas Riemannianas e suas conexões de Levi-Civita associadas, transporte paralelo, geodésica e o teorema de Gauss-Bonet.
  • Geometria simplética: Formas simpléticas, subvariedades Lagrangianas, campos vetoriais hamplectomorfismos e simplectomorfismos, teorema de Darboux e teorema da vizinhança tubular de Weinstein, teorema de Moser. Construções de variedades simpléticas (via fibrações, explodir e cortar e colar). Estruturas quase complexas compatíveis. A conjectura de Arnold e (se o tempo permitir) uma introdução à homologia de Floer.
  • Variedades complexas e '' variedades quase complexas '' (variedades equipadas com estruturas quase complexas), e sua relação através do teorema de Newlander-Nirenburg.
  • Geometria K & aumlhler: formas K & aumlhler, e a decomposição de Hodge para (a cohomologia de de Rham de) variedades K & aumlhler. Exemplos vindos de espaço projetivo complexo e variedades complexas projetivas suaves. Teorema de incorporação de Kodaira.
  • Raoul Bott e Loring Tu, Formas diferenciais em topologia algébrica (Especificamente o Capítulo 1, que oferece um bom tratamento da cohomologia de De Rham, dualidade de Poincar e eacute usando formas diferenciais, o teorema de Küumlnneth, feixes de vetores,.).
  • John Lee, Variedades Riemannianas: Uma Introdução à Curvatura .
  • Ana Cannas da Silva, Aulas sobre geometria simplética, Disponível.
  • Raymond Wells, Análise diferencial em variedades complexas.
  • Claire Voisin, Teoria de Hodge e geometria algébrica, I.
  • Notas do curso de geometria diferencial do professor Ko Honda: primeiro semestre e segundo semestre.
  • Curso do MIT de 2007 do Professor Denis Auroux, 18.966: Geometria de Manifolds
  • Notas de aula do Professor Ralph Cohen, A topologia dos feixes de fibras (usaremos isso como uma referência suplementar às vezes quando podemos discutir vetores e / ou feixes principais).

Para uma revisão da geometria introdutória e topologia de variedades, você pode consultar o livro usado com frequência em Matemática 535a, Fundamentos de manifolds diferenciais e grupos de Lie por Frank Warner. Um livro introdutório alternativo é Introdução aos distribuidores suaves por John Lee. Uma boa referência complementar é a de Guillemin e Pollack Topologia Diferencial, particularmente seu capítulo sobre a teoria da intersecção.

Sistema de classificação

  • Uma palestra ministrada nas últimas semanas do curso, sobre um tópico avançado que se baseia no que é abordado na aula. e
  • Um artigo expositivo final, com pelo menos 5 páginas, sobre um tópico avançado como acima. Isso é permitido, mas não precisa coincidir exatamente com o tópico de sua palestra. Na verdade, mesmo que o assunto seja o mesmo, o artigo deve necessariamente ter mais detalhes e / ou ênfases diferentes do que é falado em aula.

Uma lista de possíveis tópicos para as atribuições acima será fornecida mais tarde no semestre. Você também pode propor um tópico diferente, sujeito à aprovação do instrutor.

Tarefas de casa

Alguns exercícios de lição de casa opcionais (sem nota) serão atribuídos periodicamente ao longo do semestre. Eles serão postados aqui continuamente.

Encontro: Data Atribuição Notas
TBD TBD TBD

Palestras e trabalhos finais dos alunos

Alguns detalhes sobre sua palestra final e trabalho de trabalho estão agora disponíveis aqui.

Plano de Palestra

Os tópicos das palestras por dia serão publicados continuamente abaixo. Os tópicos futuros são provisórios e serão ajustados conforme necessário.


Formato do curso:

O curso consistirá principalmente de aulas teóricas, exercícios de casa e quatro trabalhos de programação. Um exame intermediário e final também será dado. A classificação será baseada da seguinte forma: aproximadamente 30% nos trabalhos de casa / programação, 35% em a meio do semestre e 35% no exame final.

CIS 462/562 ANIMAÇÃO POR COMPUTADOR

Dr. Stephen H. Lane

Horário comercial

Por nomeação, Levine 154

Horário do curso

Aula 1: Introdução . Antecedentes e motivação para o curso. Organização do curso. Demonstrações de animação. Conceitos básicos e terminologia.

Aula 2: Sistemas coordenados. Revisão de álgebra linear, espaços vetoriais e transformações de coordenadas. Coord

Aula 3: Sistemas de Coordenadas Con t. Ângulos e quatérnios de Euler.

Aula 4: Métodos de Interpolação. Ajuste de curva vs suavização. Estrias lineares e cúbicas. Curvas de Bezier. Estrias Catmul-Rom.

Aula 5: Métodos de interpolação - Con t . Bsplines.

Aula 6: Métodos de interpolação - Con t . Bsplines Con t. Superfícies 2D.

Aula 7: Métodos de interpolação - Con t . Interpolação esférica (quatérnions) . Revisão do ambiente de desenvolvimento de software HW # 1.

Aula 8: Cinemática Corporal. Representação de Hierarquia Conjunta. Matrizes de Transformação. Modelos Cinemáticos Avançados. Matrizes Jacobianas.

Aula 9: Cinemática Corporal - Con t . Cadeias cinemáticas. Métodos de construção de matrizes Jacobianas. Abordagens analíticas e numéricas da cinemática inversa.

Aula 10: Animação Corporal . Métodos de quadro-chave. Métodos de captura de movimento. Edição de movimento. Sequenciamento e combinação. Parametrização do comprimento do arco.

Aula 11: Animação Corporal - Con t . Locomoção. Maneira de andar. Ciclos de caminhada e corrida. Demonstrações da ferramenta de animação (MotionBuilder).

Aula 12: Animação Corporal - Con t . Sessão de captura de movimento.

Aula 13: Exame de meio de semestre ( )

Aula 14: Animação de forma. Pele macia, animação facial, alvos de metamorfose e abordagens baseadas nos músculos.

Aula 15: Dinâmica Corporal. Graus de liberdade. Equações de movimento. Representação no espaço de estados. Dinâmica de rotação vs. translacional.

Aula 16: Body Dynamics Con t . Sistemas dinâmicos de segunda ordem (ou seja, massa-mola-amortecedor). Sistemas de partículas.

Aula 17: Body Dynamics Con t. Dinâmica de cadeias cinemáticas (método de Newton Euler)

Aula 18: Simulação. Ciclo de processamento de sentido, controle e ato. Métodos de integração numérica. Modelos de cálculo de mortos . Métodos de detecção de colisão. Realidade virtual e simulação interativa distribuída.

Aula 19: Controle de feedback . Openloop vs. controle de loop fechado. Tipos de controladores. Requisitos de projeto. Projeto de lei de controle de feedback.

Aula 20: Controle de feedback - Con t. Rastreamento de trajetória. Evasão de obstáculos. Métodos computados de velocidade e torque computado.

Aula 21: Animação Comportamental. Conceitos básicos. Disposição de camadas e comportamentos de combinação, comportamentos hierárquicos e comportamentos de grupo. Esquemas de arbitragem e coordenação.

Aula 22: Animação baseada em otimização . Restrições de espaço-tempo.

Aula 23: Animação baseada em otimização. Métodos de solução de restrição de espaço-tempo.

Aula 24: Tópicos avançados em animação de personagens. Equilíbrio dinâmico. Controladores dinâmicos de corpo inteiro.


1 resposta 1

Não posso responder à pergunta no seu título - talvez você apenas não Cuidado. -)

Mas vou lhe contar alguns motivos pelos quais o considero interessante e útil.

Primeiro, e talvez o mais profundo, é que você pode ver o grupo de todos os difeomorfismos de uma variedade suave $ M $ como um grupo de Fréchet de dimensão infinita, e sua álgebra de Lie é exatamente $ mathfrak X (M) $ com seu colchete de Lie estrutura (veja este artigo de Richard Hamilton para uma bela exposição desse ponto de vista).

Em segundo lugar, qualquer ação correta suave por um grupo de Lie (de dimensão finita) $ G $ em $ M $ determina um homomorfismo da álgebra de Lie de $ operatorname(G) $ para $ mathfrak X (M) $, enviando $ X in operatorname(G) $ para o campo vetorial $ widehat X in mathfrak X (M) $ definido por $ widehat X_p = left. Frac

right | _ p cdot exp tX. $ Inversamente, dada qualquer subálgebra de Lie de dimensão finita $ mathfrak g subset mathfrak X (M) $ com a propriedade de que todo campo vetorial em $ mathfrak g $ está completo, há uma ação correta e suave da Lie simplesmente conectada grupo $ G $ cuja álgebra de Lie é isomórfica a $ mathfrak g $, e $ mathfrak g $ é a imagem do homomorfismo da álgebra de Lie descrito acima. (Ver pp. 525-530 do meu Introdução ao Smooth Manifolds [ISM].)

Você pode pensar na estrutura da álgebra de Lie de $ mathfrak X (M) $ como obstruindo a comutatividade dos fluxos: Dois fluxos suaves em $ M $ comutam se e somente se seus geradores infinitesimais tiverem colchetes de Lie zero [ISM, Thm 9,44].

Se $ M $ é dotado de uma métrica Riemanniana completa, o conjunto de todos os campos do vetor Killing é uma subálgebra de Lie finito-dimensional de $ mathfrak X (M) $, que é a álgebra de Lie do grupo de isometria completo de $ M $ .

Na presença de uma estrutura simplética, há um mapa de $ C ^ infty (M) $ para $ mathfrak X (M) $ enviando $ f $ para seu campo vetorial hamiltoniano $ X_f $, que fornece um isomorfismo de álgebra de Lie (ou anti-isomorfismo, dependendo de suas convenções) entre $ C ^ infty (M) / < text> $ com sua estrutura de colchetes de Poisson e uma certa subálgebra de Lie $ mathscr H (M) subseteq mathfrak X (M) $, a álgebra de campos vetoriais hamiltonianos. Esta é, por sua vez, uma subálgebra de uma subálgebra de Lie maior $ mathscr S (M) subseteq mathfrak X (M) $, o campos vetoriais simpléticos, e o quociente $ mathscr S (M) / mathscr H (M) $ é naturalmente isomorfo à primeira cohomologia de Rham de $ M $. (Ver, por exemplo, [ISM, Cap. 22].) A estrutura da álgebra de Lie de $ mathscr H (M) $ desempenha um papel central em sistemas dinâmicos, por exemplo, na identificação de sistemas completamente integráveis ​​e no teorema de Noether sobre a relação entre simetrias e quantidades conservadas.


Palavras-chave

Loris Nanni recebeu seu mestrado cum laude em junho de 2002 pela Universidade de Bolonha, e em 26 de abril de 2006 recebeu seu doutorado. Doutor em Engenharia Informática pelo DEIS, Universidade de Bolonha. Seus interesses de pesquisa incluem reconhecimento de padrões, bioinformática e sistemas biométricos (classificação e reconhecimento de impressão digital, verificação de assinatura, reconhecimento facial).

Alessandra Lumini recebeu seu mestrado pela Universidade de Bolonha, Itália, em 26 de março de 1996. Em 1998 ela iniciou seu doutorado. estudou no DEIS, Universidade de Bolonha e em 2001 recebeu seu Ph.D. degree in Computer Engineering for her work on “Image Databases”. Now she is an Associate Researcher at University of Bologna. She is interested in pattern recognition, bioinformatics, Biometric Systems, Multidimensional Data Structures, Digital Image Watermarking and Image Generation.

Matteo Ferrara is a researcher at the University of Bologna, Italy.

He received his bachelor׳s degree cum laude in Computer Science from the University of Bologna, (March 2004) and his Master׳s degree cum laude in October 2005. In 2009 he received his Ph.D. in Electronics, Computer Science and Telecommunications Engineering at Dept. of Electronics, Computer Science and Systems (DEIS), University of Bologna for his studies on Biometric Fingerprint Recognition Systems.

He is a member of the Biometric System Laboratory at Computer Science – Cesena.

His research interests include Image Processing, Pattern Recognition and Biometric Systems (Fingerprint Recognition, Fingerprint Template Protection, Performance Evaluation of Biometric Systems, Fingerprint Scanner Quality and Face Recognition).


Notes on class field theory

Reference.

By analogy with local class field theory, we want to prove that for (L/K) a cyclic extension of number fields and (C_K, C_L) the respective idèle class groups of (K) and (L ext<,>)

Our first step is to calculate the Herbrand quotient.

Theorem 7.1.1 .

For (L/K) a cyclic extension of number fields,

Proof .

This will end up reducing to a study of lattices in a real vector space, much as in the proof of Dirichlet's units theorem (Corollary 6.2.11).

From Theorem 7.1.1, we will deduce the so-called “First Inequality”.

Theorem 7.1.2 . First Inequality.

For (L/K) a cyclic extension of number fields,

Proof .

The “Second Inequality” will be the reverse, which will be a bit more subtle (see Theorem 7.2.10).

Subsection 7.1.1 Some basic observations

Definition 7.1.3 .

Let (L/K) be a Galois extension of number fields with Galois group (G ext<.>) (We do not yet need (G) to be cyclic.) For any finite set (S) of places of (K) containing all infinite places, write (I_) to mean the group (I_) where (T) denotes the set of places of (L) lying over some place in (S ext<.>) Similarly, write (gotho_) to mean (gotho_ text <.> )

Note that each (I_) is stable under the action of (G) and that (I_L) is the direct limit of the (I_) over all (S ext<.>) Moreover, by Corollary 6.2.10, for (S) sufficiently large we have

Proposition 7.1.4 .

Let (L/K) be a Galois extension of number fields with Galois group (G ext<.>) For each (i>0 ext<,>)

where (v) runs over places of (K) and (w) denotes a single place of (L) above (v ext<.>) Similarly, for each (i ext<,>)

Proof .

View (I_L) as the direct limit of the (I_) over all finite sets (S) of places of (K) containing all infinite places and all ramified places then (H^i(G,I_L)) is the direct limit of the (H^i(G, I_) ext<.>) The latter is the product of (H^i(G, prod_ L_w^*)) over all (v in S) and (H^i(G, prod_ gotho_^*)) over all (v otin S ext<,>) but the latter is trivial because (v otin S) cannot ramify. By Shapiro's lemma (Lemma 3.2.3), (H^i(G, prod_ L_w^*) = H^i(G_w, L_w^*) ext<,>) so we have what we want. The argument for Tate groups is analogous.

Corollary 7.1.5 .

Let (L/K) be a Galois extension of number fields with Galois group (G ext<.>) Then

Proof .

This follows by combining Proposition 7.1.4, the computation of cohomology of local fields (Lemma 1.2.3 and Proposition 4.2.1), and the equality

Remark 7.1.6 . Sanity check.

The case (i=0) of Proposition 7.1.4 asserts something that is evidently true: an idèle in (I_K) is a norm from (I_L) if and only if each component is a norm.

Remark 7.1.7 .

If (S) contains all infinite places and all ramified places, then

where (U_v) is open in (K_v^* ext<.>) The group on the right is open in (I_K ext<,>) so (Norm_ I_K) is open.

By quotienting down to (C_K ext<,>) we see that (Norm_ C_K) is open. In fact, the snake lemma on the diagram

implies that the quotient (I_K/(K^* imes Norm_ I_L)) is isomorphic to (C_K/Norm_ C_L ext<.>)

Subsection 7.1.2 Cohomology of the units: first steps

Definition 7.1.9 .

Let (L/K) be a cyclic extension of number fields with Galois group (G ext<.>) Apply Corollary 6.2.10 to choose a finite set (S) of places of (K) so that (I_L = I_ L^* ext<.>) From the exact sequence

we have an equality of Herbrand quotients

(Since (G) is abelian, we write (G_v) instead of (G_w ext<.>)) To get (h(C_L) = [L:K] ext<,>) it will thus suffice to establish Lemma 7.1.10 below.

Lemma 7.1.10 .

Let (L/K) be a cyclic extension of number fields. Let (S) be a finite set of places of (K) containing all infinite places. Então

Proof .

Subsection 7.1.3 Cohomology of the units: a computation with (S)-units

At this point, we have reduced the computation of the Herbrand quotient (h(I_L) ext<,>) and by extension the First Inequality, to the computation of (h(gotho_^*)) for a suitable set (S) of places of (K ext<.>) We treat this point next, using similar ideas to the proof of Dirichlet's units theorem (Corollary 6.2.11).

Definition 7.1.11 .

Let (L/K) be a cyclic extension of number fields with Galois group (G ext<.>) Let (S) be a finite set of places of (K) containing all infinite places, and let (T) be the set of places of (L) lying above places of (S ext<.>) Let (V) be the real vector space consisting of one copy of (RR) for each place in (T ext<.>) Define the map (gotho_^* o V) by

with normalizations as in Definition 6.1.10. By the product formula (Proposition 6.1.11) and Dirichlet's units theorem (Corollary 6.2.11), the kernel of this map consists of roots of unity, and the image (M) is a lattice in the trace-zero hyperplane (H) of (V ext<.>) Since (G) acts compatibly on (gotho_^*) and (V) (the latter by permuting the factors), it also acts on (M ext<.>)

Remark 7.1.12 . Caveat.

At this point, we deviate from [37] due to an error therein. Namely, Lemma VI.3.4 is only proved assuming that (G) acts transitively on the coordinates of (V ext<,>) but in Definition 7.1.11 this is not the case: (G) permutes the places above any given place (v) of (K) but those are separate orbits. So we'll follow [36] instead.

Definition 7.1.13 .

Continuing from Definition 7.1.11, we can write down two natural lattices in (V ext<.>) One of them is the lattice generated by (M) together with the all-ones vector, on which (G) acts trivially. As a (G)-module, the Herbrand quotient of that lattice is (h(M) h(Z) = [L:K] h(M) ext<.>) The other is the lattice (M') in which, in the given coordinate system, each element has integral coordinates. To compute its Herbrand quotient, notice that the projection of this lattice onto the coordinates corresponding to the places (w in T) above some (v in S) form a copy of (Ind^G_ Z ext<.>) Thus

To sum up, the calculations from Definition 7.1.11 and Definition 7.1.13 reduce Lemma 7.1.10 to the following statement (Lemma 7.1.14).

Subsection 7.1.4 Herbrand quotients of real lattices

We conclude the proof of the First Inequality with the following statement.

Lemma 7.1.14 .

Let (V) be a real vector space on which a finite cyclic group (G) acts linearly, and let (L_1) and (L_2) be (G)-stable lattices in (V) for which at least one of (h(L_1)) and (h(L_2)) is defined. Then (h(L_1) = h(L_2)) (and both are defined).

Proof .

Note that (L_1 otimes_ <Z>QQ) and (L_2 otimes_ <Z>QQ) are (QQ[G])-modules which become isomorphic to (V ext<,>) and hence to each other, after tensoring over (QQ) with (RR ext<.>) By Lemma 7.1.15, this implies that (L_1 otimes_ <Z>QQ) and (L_2 otimes_ <Z>QQ) are isomorphic as (QQ[G])-modules.

From this isomorphism, we see that as a (Z[G])-module, (L_1) is isomorphic to some sublattice of (L_2 ext<.>) Since a lattice has the same Herbrand quotient as any sublattice (the quotient is finite, so its Herbrand quotient is 1), that means (h(L_1) = h(L_2) ext<.>)

Lemma 7.1.15 .

Let (F/E) be an extension of infinite fields. Let (G) be a finite group. Let (V_1) and (V_2) be two right (E[G])-modules which are finite-dimensional as (E)-vector spaces. If (V_1 otimes_E F) and (V_2 otimes_E F) are isomorphic as (F[G])-modules, then (V_1) and (V_2) are isomorphic.

Proof .

By hypothesis, the (F)-vector space

on which (G) acts by the formula (T^g(x) = T(x^>)^g ext<,>) contains an invariant vector which, as a linear transformation, is invertible. Now (W_F) can also be written as

The fact that (W_F) has an invariant vector says that a certain set of linear equations has a nonzero solution over (F ext<,>) namely the equations that express the fact that the action of (G) leaves the vector invariant. But those equations have coefficients in (E ext<,>) so

in particular, the space of invariant vectors in (W) is also nonzero.

It remains to check that some element of (W^G) corresponds to a map (V_1 o V_2) which is actually an isomorphism for this, we argue as in Exercise 1.2.5.3. Fix an isomorphism of vector spaces between (V_2 otimes_ F) and (V_1 otimes_ F) (which need not respect the (G)-action). By composing each element of (W) with this isomorphism and taking the determinant, we get a well-defined polynomial function on (W ext<,>) which we can restrict to (W^G ext<.>) By hypothesis, this function is not identically zero on (W_F^G ext<,>) so (because (E) is infinite) it cannot be identically zero on (W^G) either.

Subsection 7.1.5 Splitting of primes

As a consequence of the First Inequality, we record the following fact which was previously stated as a consequence of the Chebotarëv density theorem (Theorem 2.4.11), but which will be needed logically earlier in the arguments. (See [37], Corollary VI.3.8 for more details.)

Corollary 7.1.16 .

For any nontrivial extension (L/K) of number fields, there are infinitely many primes of (K) which do not split completely in (L ext<.>)

Proof .

Suppose first that (L/K) is cyclic. Suppose that all but finitely many primes split completely we can then take a finite set (S) of places which contains all of them as well as all of the infinite places and all of the ramified places. For each (v in S ext<,>) the group (U_v = Norm_ L_w^*) is open of finite index in (K_v^* ext<.>) For any (alpha in I_K ext<,>) using the approximation theorem (Proposition 6.1.17) we can then find (eta in K^*) such that ((alpha/eta)_v in U_v) for all (v in S ext<.>) For each place (v otin S ext<,>) we have (L_w = K_v ext<,>) so (alpha/eta in Norm_ I_L ext<.>) We deduce that the class of (alpha) in (C_L) is a norm that is, (C_K = Norm_ C_L ext<,>) whereas Theorem 7.1.2 asserts that (H^0_T(Gal(L/K), C_L) geq [L:K] ext<,>) contradiction.

In the general case, let (M) be the Galois closure of (L/K ext<>) then a prime of (K) splits completely in (L) if and only if it splits completely in (M ext<.>) Since (Gal(M/K)) is a nontrivial finite group, it contains a cyclic subgroup let (N) be the fixed field of this subgroup. By the previous paragraph, there are infinitely many prime ideals of (N) which do not split completely in (M ext<,>) proving the original result.

Exercises 7.1.6 Exercises

Let (K) be a number field. Let (L_1, dots, L_r) be cyclic extensions of (K) of the same prime degree (p) such that (L_i cap L_j = K) for (i eq j ext<.>) Using the First Inequality (Theorem 7.1.2), prove that there are infinitely many primes of (K) which split completely in (L_2, dots, L_r) but not in (L_1 ext<.>)


Microvortex generators in high-speed flow

Frank K. Lu Qin Li Chaoqun Liu , in Progress in Aerospace Sciences , 2012

3.1 Transonic Mach numbers (normal shock)

Vane [12,46] and ramp [12,17] MVGs, and contoured bumps [74,75] were studied. The incoming flow for most of these studies was slightly supersonic, being in the range of Mach 1.3–1.5, that allowed a normal or nearly normal shock to stably impinge a turbulent boundary layer which serves as the transonic criterion. A subsonic diffuser follows downstream of the interaction, its location being varied per the different investigations. In this sense, these studies were primarily interested in examining transonic diffuser-type flows. The exception is the study by König et al. [75] where an incoming flow at a high subsonic Mach number of 0.79 passes over an airfoil to produce a local supersonic pocket. Note that the vane configuration of Ref. [12] is similar to the third figure in the right of Fig. 1 (b), with the apex pointing downstream. In Ref. [46] , the vanes have their apex pointed upstream. Except for the contoured bump, the MVGs were placed ahead of the shock impingement location. In the case of the contoured bump, the shock impinged on the bump.

The presence of the MVG array appears to create a “global distortion” of the separated flowfield, as revealed by surface flow visualization [12,46] . Except for a region near the center of the interaction, the surface streamlines turn inward in the outboard regions. The distortions appear to be more serious in [46] perhaps because of its unusual MVG configuration. These global distortions are likely due to so-called corner effects as discussed above [61–64] and which has recently been revisited [76] . Unfortunately, these distortions complicate the understanding of how an MVG array affects transonic SBLI.

Bur et al. [46] concluded that the spanwise spacing of MVGs and their distance ahead of the shock impingement location play important roles in affecting separated SBLI. A close spacing allows the vortices to merge to reduce separation while sufficient distance must be provided to allow entrainment of the high-momentum freestream fluid see also [11] where optimal geometries were proposed. In terms of potential benefits, Holden and Babinsky [12] suggested that the vane-type MVG causes a lower wave drag rise while Bur et al. suggested that the MVG height should be less than the sonic line of the incoming boundary layer. Holden and Babinsky observed that vortices from vane-type MVGs do not lift off as fast as ramp-type MVGs and are more effective in energizing the boundary layer. These investigators also observed that the MVGs successfully eliminated shock-induced separation.

The study of Bur et al. elicits a further comment vis-à-vis Mehta's [26] study with an axisymmetric transonic bump. The latter study utilizes a single, conventional vortex generator, as shown schematically in Fig. 25 (a). Mehta's surface flow visualization shows a spiral similar to the spiral array of Bur et al., Fig. 24 (b). As was observed by Lin [8] in subsonic flows, qualitatively, the effect of microvortex generators on mitigating separation is the same as conventional ones, even in SBLIs.

Fig. 24 . Surface flow visualization from Bur et al. (flow from right to left) [46] . (a) No vane showing a nominally two-dimensional separated SBLI. (b) With sub-boundary layer co-rotating vane array showing a highly distorted surface flow pattern.

Fig. 25 . Mehta's study of a single conventional vortex generator upstream of an axisymmetric transonic bump [26] . (a) Schematic of test configuration. (b) Surface flow visualization at M ∞ = 0.862 .

Holden and Babinsky [12] examined the effect of MVGs on a normal SBLI at Mach 1.5. While this study was at a Mach number higher than that of Bur et al., this interaction possesses characteristics of transonic flow with its mixed character. These authors suggested that MVGs placed ahead of a separated SBLI may cause an increase in wave drag although they appeared to eliminate separation, with an overall benefit.

Titchener and Babinsky [73] extended the above study with particular attention paid on the effect of the tunnel span. Without MVGs, a separated interaction occurs when the shock impinged the boundary layer close to the diffuser. The separated interaction also gives rise to corner separations, namely, interactions with the tunnel sidewall boundary layers. The MVGs reduce the extent of the separation from the centerline with a resulting increase in total pressure recovery. However, the MVGs tend to enlarge and elongate the corner separation structures, as was also observed by Bur et al. [46] . In certain situations, the presence of the MVG array creates an asymmetrical flow. Reasons for this are still unknown. Finally, the authors concluded that the benefits of MVGs may be lost due to an increase in the size and severity of corner separations. In view of this, one can conclude that further detailed understanding of corner effects is necessary for MVGs to be applied in transonic inlets.

Herges et al. [17] deployed a comprehensive array of diagnostics and offered somewhat modest conclusions. They found that MVGs improve the health of the boundary and could help resist separation in SBLIs. They suggested that MVGs be used to augment or replace bleed for future supersonic inlets.

Ogawa et al. [74] were interested in the effects of a contoured bump on the performance of an airfoil at Mach 1.3, pertaining to reducing drag and buffeting arising from SBLI. The contoured hump is different from the usual MVG element but its height is still less than the boundary-layer thickness and thus falls into the MVG category. The study placed the hump under the shock. By doing so, the intention is to reduce wave drag and not necessarily to exploit the vortices produced downstream to mitigate SBLI effects. These investigators examined six bump configurations. Without the bumps, a near normal shock impinge the boundary layer. The bumps induce a lambda-foot shock configuration to produce a weaker SBLI. With the associated numerical simulations, a side-by-side pair of narrow rounded bumps was found to achieve the best performance by wave drag reduction through modifying the wave pattern with little viscous penalty.

Another joint experimental–computational study on the possibility of sub-boundary-layer protuberances for mitigating the effects of SBLI over transonic airfoils was reported by König et al. [75] . With an incoming freestream Mach number of 0.79, a mixed flow regime occurs over the airfoil to produce a normal shock impinging the boundary layer. Great effort was placed in designing the control bumps distributed spanwise across the airfoil. Despite the use of fences and adaptive walls, some wall interference effects were noted. Through numerical simulations, the interference was found to arise from shock waves originating from the junction of the airfoil's leading edge and the tunnel sidewalls. Detailed comparisons between experiment and computation suggest that there is a decrease in drag. However, the occurrence of drag reduction for the experiment starts at an angle of attack of α ≈ 2 ° whereas the computations show a drag reduction at a lower value of α ≈ 1.3 ° .

New compound MVGs known as split-ramps and ramped-vanes were studied experimentally by Rybalko et al. [22] and numerically by Lee et al. [23] , with multiple and single protuberances respectively. Rybalko et al. observed that flow separation was eliminated in the vicinity of the center but increased sidewall interference was observed compared to the simple vane or ramp geometries. The sidewall interference was labeled as “corner vortices” although these may actually be open separation which features strong vortices [60] . These results are consistent with other transonic investigations [12,46,73] although such interference was not reported nor observed in [17] . Lee et al. found that a “ramped-vane” configuration produces the most effective flow entrainment far downstream, reducing the total separation area but with spanwise distortions.


3 respostas 3

The reason it is only a suggestion is that you could quite easily write a print function that ignored the options value. The built-in printing and formatting functions do use the options value as a default.

As to the second question, since R uses finite precision arithmetic, your answers aren't accurate beyond 15 or 16 decimal places, so in general, more aren't required. The gmp and rcdd packages deal with multiple precision arithmetic (via an interace to the gmp library), but this is mostly related to big integers rather than more decimal places for your doubles.

Mathematica or Maple will allow you to give as many decimal places as your heart desires.

EDIT:
It might be useful to think about the difference between decimal places and significant figures. If you are doing statistical tests that rely on differences beyond the 15th significant figure, then your analysis is almost certainly junk.

On the other hand, if you are just dealing with very small numbers, that is less of a problem, since R can handle number as small as .Machine$double.xmin (usually 2e-308).

Compare these two analyses.

In the first case, differences between numbers only occur after many significant figures, so the data are "nearly constant". In the second case, Although the size of the differences between numbers are the same, compared to the magnitude of the numbers themselves they are large.

As mentioned by e3bo, you can use multiple-precision floating point numbers using the Rmpfr package.

These are slower and more memory intensive to use than regular (double precision) numeric vectors, but can be useful if you have a poorly conditioned problem or unstable algorithm.