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2: Apresentando Proporções - Matemática


2: Apresentando Proporções - Matemática

Unidade Ilustrativa de Matemática 6.2, Lição 1: Apresentando Proporções e Linguagem de Proporções

Saiba mais sobre proporções e como descrever a relação entre duas quantidades em palavras. Após tentar as perguntas, clique nos botões para visualizar as respostas e explicações em texto ou vídeo.

Apresentando Ratios And Ratio Language

Vamos descrever duas quantidades ao mesmo tempo.

1.1 - Que tipo e quantos?


  1. Se você classificasse este conjunto por cor (e padrão), quantos grupos você teria?
  2. Se você classificasse este conjunto por área, quantos grupos você teria?
  3. Pense em uma terceira maneira de classificar essas figuras. Quais categorias você usaria? Quantos grupos você teria?
  1. Haveria 4 grupos: branco (sólido), verde (hachuras), amarelo (listras) e azul (pontos).
  2. Haveria 4 grupos: 2 quadrados, 3 quadrados, 4 quadrados e 5 quadrados.
  3. Uma terceira maneira possível de classificar essas figuras seria pelo formato. Existem 7 formas distintas (contando diferentes rotações de uma determinada forma como 1 forma).

1.2 - A coleção do professor

(1) Pense em uma maneira de classificar a coleção do seu professor em duas ou três categorias. Registre suas categorias na linha superior da tabela e os valores na segunda linha.

Nome da Categoria
quantidade de categoria

(2) Escreva pelo menos duas sentenças que descrevam as proporções na coleção. Lembre-se de que existem muitas maneiras de escrever uma proporção como uma frase:

  • A proporção de uma categoria para outra categoria é ________ a ________.
  • A proporção de uma categoria para outra categoria é ________ : ________.
  • Existem _______ de uma categoria para cada _______ de outra categoria.

(3) Faça uma exibição visual de seus itens que mostre claramente uma de suas declarações. Esteja preparado para compartilhar sua exibição com a classe.

UMA Razão é um associação entre duas ou mais quantidades. Podemos usar isso para comparar quantidades de objetos entre categorias.

Nome da Categoria pequeno médio ampla
quantidade de categoria 6 6 3

(2) A proporção de pequeno para ampla clipes é 6: 3.
São 6 clipes médios para cada 3 clipes grandes

(2) O retângulo que você acabou de colorir tem uma área de 24 unidades quadradas.
Desenhe uma forma diferente que não tenha uma área de 24 unidades quadradas, mas que também possa ser sombreada com duas cores na proporção de 2: 1. Sombreie sua nova forma usando duas cores.

(1)

Existem 16 quadrados vermelhos para cada 8 quadrados azuis, que é o mesmo que 2 quadrados vermelhos para cada 1 quadrado azul.

(2)

Existem 8 quadrados vermelhos para cada 4 quadrados azuis, que é o mesmo que 2 quadrados vermelhos para cada 1 quadrado azul.

Resumo da lição 1

Aqui estão algumas maneiras corretas de descrever a coleção:

Existem 2 quadrados para cada 1 círculo.
Existe 1 círculo para cada 2 quadrados.

Termos do glossário

Razão: uma proporção é uma associação entre duas ou mais quantidades.

Problemas de prática

(1) Em uma cesta de frutas há 9 bananas, 4 maçãs e 3 ameixas.

  1. A proporção de bananas para maçãs é ________: ________.
  2. A proporção de ameixas para maçãs é de ________ a ________.
  3. Para cada ________ maçã, há ________ ameixas.
  4. Para cada 3 bananas, há um ________.
  1. A proporção de bananas para maçãs é de 9: 4.
  2. A proporção de ameixas para maçãs é de 3 para 4.
  3. Para cada 4 maçãs, há 3 ameixas.
  4. Para cada 3 bananas, existe uma ameixa.

A proporção dos olhos para as pernas é de 4: 8.

Para cada 1 olho, existem 2 pernas.

(4) Escolha uma unidade de medida apropriada para cada quantidade: cm, cm 2 ou cm 3.

  1. área de um retângulo
  2. volume de um prisma
  3. lado de um quadrado
  4. área de um quadrado
  5. volume de um cubo
  1. área de um retângulo: cm 2 (bidimensional)
  2. volume de um prisma: cm 3 (tridimensional)
  3. lado de um quadrado: cm (unidimensional)
  4. área de um quadrado: cm 2
  5. volume de um cubo: cm 3

(5) Encontre o volume e a área de superfície de cada prisma.

c. Compare os volumes dos prismas e suas áreas de superfície. O prisma com o maior volume também possui a maior área de superfície?

uma. Volume = 3 3 cm 3 = 27 cm 3
Área de superfície = 6 (3 2) = 54 cm 2

b. Volume = 5 × 5 × 1 = 25 cm 3
Área de superfície = 2 (5 × 5) + 4 (5) = 70 cm 2

c. Não. O Prisma A tem um volume maior, mas o Prisma B tem uma área de superfície maior.

A, C e D são prismas triangulares.

Lembre-se de que os prismas são poliedros que consistem em duas bases congruentes conectadas por faces retangulares e que os prismas recebem o nome de acordo com a forma de suas bases. B é um prisma pentagonal. E é uma pirâmide retangular.

O currículo de matemática da Open Up Resources pode ser baixado gratuitamente no site da Open Up Resources e também está disponível na Illustrative Mathematics.

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Desenvolvimento e compreensão das proporções

Comece explicando aos alunos que uma proporção expressa a relação entre duas quantidades. As proporções comparam duas medidas do mesmo tipo de coisas (use um exemplo da sala de aula aqui: meninos para meninas, professor para alunos) Dê tempo aos alunos para descobrirem por conta própria. Em seguida, peça aos alunos que expliquem o que essa proporção significa. Estou procurando que digam que para cada 4 meninas na classe, há 5 meninos como exemplo. Peça aos alunos que compartilhem sua proporção e significado com um parceiro. Enquanto os alunos estão compartilhando, fique atento para eles usarem palavras como para cada___ há ___ ou não. Depois que os alunos tiverem tempo para trabalhar com o idioma, comece a discutir as relações de proporção. Eu incluí vários exemplos para estender ainda mais o aprendizado. Cada problema pedirá aos alunos que façam uma declaração sobre o que significa. Por exemplo, se houver 3 tambores para cada aluno na classe da banda, isso significaria que muitos alunos teriam que dividir uma bateria e não ter tanto tempo de tocar.

As proporções podem ser expressas como parte para todo, parte para parte ou todo para parte. Além disso, traga os formatos para as taxas de gravação. (x: y, x / y, xey) O desenvolvimento dessa relação de razão pode ser difícil para os alunos, porque eles ficam confusos com a ordem das quantidades. Mostrar aos alunos quando as quantidades são escritas incorretamente terá significados diferentes. Além disso, pode ser útil se os alunos começarem a rotular as quantidades.

Os alunos usarão suas notas e manipulações para ver as diferentes relações. As notas começarão com um cenário. Eles terão que modelar a proporção (cubos unifix funcionam bem) e decidir se é uma relação parte com o todo, parte com parte ou todo com parte e então escrever a proporção em seus diferentes formatos. (SMP 2)


Unidade 2 do CKMath: Apresentando as proporções

Foco: Trabalhar com proporções estende o conhecimento prévio dos alunos sobre números e operações. Esta unidade baseia-se em habilidades para compreender, representar e resolver problemas aritméticos envolvendo quantidades com as mesmas unidades. Os alunos aprendem que uma proporção é uma associação entre duas quantidades, por exemplo, "1 colher de chá de mistura de bebida para 2 xícaras de água". Os alunos analisam contextos que muitas vezes são representados em termos de proporções, como receitas, misturas de cores de tintas, velocidade constante (uma associação de medidas de tempo com medidas de distância) e preços uniformes (uma associação de valores de itens com preço).

Esta unidade apresenta diagramas discretos e diagramas de linha de número duplo, representações que os alunos usam para apoiar o pensamento sobre proporções equivalentes antes de seu trabalho com tabelas de proporções equivalentes. Ao longo desta unidade, eles discutem suas idéias matemáticas e respondem às idéias de outros. Na próxima unidade, 6ª Série Unidade 3: Taxas e Porcentagens da Unidade, os alunos irão estender o aprendizado desta unidade para entender o termo taxa da unidade e que se duas razões a: b e CD são equivalentes, então as taxas unitárias são iguais.

Número de aulas: 17

Tempo da aula: aproximadamente 45 minutos. Observe que cada lição é projetada para um bloco de instrução e pode ser dividida em segmentos curtos com base no ritmo do professor e nas necessidades do aluno.

Termos de pesquisa adicionais:

diagrama • receita • lote • mistura • verificação (uma resposta) • equivalente • marca de verificação • representação • por • preço unitário • quanto por • taxa • metros por segundo • velocidade constante • tabela • linha • coluna • cálculo • partes • supor • práticas matemáticas


Apresentando a lição

Reserve de cinco a dez minutos para fazer uma pesquisa de classe. Dependendo dos problemas de tempo e gerenciamento que você possa ter com sua classe, você pode fazer as perguntas e registrar as informações você mesmo, ou pode pedir aos alunos que elaborem a pesquisa eles mesmos. Reúna informações como:

  • Número de pessoas com olhos azuis em comparação com olhos castanhos na classe
  • Número de pessoas com cadarços em comparação com prendedores de tecido
  • Número de pessoas com mangas compridas e mangas curtas

Estações

Os alunos estarão rodando por 3 estações durante esta lição. Eles trabalharão nos computadores, independentemente e comigo em pequenos grupos. Os pequenos grupos consistem em aproximadamente 8 alunos. Será necessário ter computador / aluno. Gosto das estações porque me permitem sentar com cada aluno para avaliar a compreensão enquanto trabalho com menos alunos.

Os alunos trabalharão comigo no desenvolvimento da linguagem das proporções. Esta é uma continuação do aprendizado dos dias anteriores. Meu objetivo é dar a eles mais exposição às proporções para que o entendimento se torne mais profundo. Para cada proporção que lhes dou, eles precisarão modelá-la com cubos uni-fix (ou outro manipulador), descrever sua relação, explicar o que significa e estender o aprendizado, gostaria que explicassem de outra forma (proporções equivalentes ) Cada aluno trabalhará no mesmo problema ao mesmo tempo, para que eu possa avaliar facilmente qualquer área de preocupação. Por exemplo, se você pode comprar downloads de 4 músicas I por US $ 8, quero que eles modelem a proporção com manipulativos, então os alunos devem ser capazes de dizer "para cada 4 músicas I que posso comprar, tenho que pagar US $ 8. Então, eu quero eles para olhar para os manipuladores novamente para ver se eles podem modelá-lo de outra maneira. Os alunos devem ver que "para cada download de 1 música I, eles têm que pagar $ 2. Este tipo de aprendizagem apóia práticas matemáticas 2 e 5. A única proporção que pode tropeçar é o de 4 entre 5 dentistas, como o problema do Trident. Este problema não pode ser simplificado, então eles terão que fazer uma proporção equivalente continuando o padrão.

Estação independente: Jogos no recreio: Os alunos trabalharão em um problema ilustrativo da mathematics.org. O problema consiste em olhar para uma proporção e manipulá-la para alterá-la para diferentes cenários. Estou incluindo a versão original do problema. Os alunos precisarão modelar seu pensamento e compreensão com o uso de recursos visuais e explicações. Colete isso dos alunos para comprovar o aprendizado do aluno.

Computadores: usarei o mesmo vídeo do aprendizado do dia anterior. Desta vez, os alunos verão o vídeo e trabalharão de forma independente. Dica de gestão: durante a estação do computador, gosto sempre de ter a tela do computador voltada para mim para acompanhar o que eles estão fazendo.


O que é uma proporção?

Em matemática, uma razão é definida como uma ferramenta usada para comparar o tamanho de duas ou mais quantidades em relação umas às outras. As proporções nos permitem medir e expressar as quantidades, tornando-as mais fáceis de interpretar.

Uma razão é um tipo de fração em que o numerador é referido como antecedente e o denominador como consequente. Usamos um símbolo de dois pontos (:) para denotar uma proporção. Por exemplo, 3: 4, 1: 3, 5: 7, 1: 1, etc. são exemplos de proporções.

Vamos dar uma olhada em algumas das propriedades das razões.

  • As proporções representam apenas quantidades da mesma unidade.
  • As proporções são adimensionais.
  • O primeiro item da frase vem primeiro em uma proporção.
  • Razões equivalentes têm frações correspondentes equivalentes.
  • Na proporção como a: b, a é o antecedente eb é o consequente
  • As posições de antecedente e conseqüente em uma proporção não podem ser trocadas.
  • As proporções podem ser usadas para representar várias quantidades. Por exemplo, a: b: c: d ...

Etapa um: introduzir proporções

Demonstre aos alunos o conceito de uso de proporções para comparar objetos. Comece fornecendo objetos para os alunos em uma mesa na frente da sala ou nas carteiras dos alunos para comparar durante a discussão de toda a classe (por exemplo, réguas e lápis, borrachas e marcadores, etc.). Peça aos alunos para contar o número de cada objeto e demonstrar como escrever proporções para comparar as quantidades dos objetos usando os seguintes formatos:

Usando barra (semelhante a uma fração): Réguas / Lápis ou Borrachas / Marcadores

Usando dois pontos: Réguas: Lápis ou Borrachas: Marcadores

Você pode variar os itens nas proporções ou adicionar itens adicionais conforme necessário até que os alunos pareçam estar confiantes nas proporções de escrita com base no número de objetos em relação uns aos outros.

Etapa dois: roteiro de proporção (itens de contagem)

Auxiliando os alunos em classe, compilar uma lista de objetos na sala de aula e fora dela, que eles serão capazes de contar e registrar em proporções. Os objetos podem incluir itens gerais, como livros didáticos, ou categorias específicas de itens, como romances, livros didáticos ou pastas de trabalho. Os itens externos podem incluir mesas e cadeiras, mastros, equipamentos de playground ou itens de paisagismo, como pedras e árvores.

Depois que os alunos tiverem uma lista geral de itens disponíveis, peça aos alunos que escolham 20 itens da lista para contar. Isso incentivará a variedade entre os itens, de modo que haja menos congestionamento em diferentes partes da sala de aula enquanto os alunos estão contando. Você pode pedir aos alunos que trabalhem em equipes para que contem os itens com precisão ou divida o trabalho de contagem, caso se torne tedioso.

Depois que os alunos contarem os itens, eles retornarão a uma área de trabalho designada para começar a usar os números coletados para fazer as proporções.

Etapa três: criação de proporções com as quantidades coletadas e análise da experiência

Usando os números que coletaram em seu tour, os alunos começarão a organizá-los em proporções. Peça aos alunos que agrupem os objetos em pares que façam sentido (como mesas de almoço e cadeiras) para que eles possam pensar sobre por que os números na proporção podem ser maiores ou menores (as mesas podem ser compartilhadas, as cadeiras não).

Instrua os alunos a criarem pelo menos 10 conjuntos de proporções dos 20 objetos que contaram (mais se os alunos precisarem de mais prática ou parecerem estar trabalhando rapidamente). Depois de criar suas proporções, peça aos alunos que analisem sua experiência escrevendo brevemente sobre os seguintes tópicos, usando o verso dos papéis com os números e proporções contados:

Quando é útil saber a proporção das quantidades de objetos (ou pessoas)?

Quais são algumas explicações para as proporções que eles encontraram na sala de aula, como o número de livros e apostilas, ou o número de materiais usados ​​ou menos usados?

Qual é a proporção atual de professor para alunos em sua sala de aula? Por que essas informações seriam úteis para alunos e pais?

De que maneira eles preferem escrever as proporções: assemelhando-se a uma fração ou usando dois pontos? Por quê?

Etapa cinco (opcional): breve discussão de encerramento

Você pode levar os alunos a uma discussão rápida sobre sua experiência em encontrar e escrever proporções e pedir-lhes que compartilhem algumas respostas aos tópicos que discutiram no exercício de escrita.


Proporção de atividades

Razão é um conceito matemático importante que as crianças precisam entender para entender completamente a relação entre dois números, pessoas, objetos ou unidades do mesmo tipo. O conceito de proporção não pode ser entendido de forma independente sem a ajuda de Ratio. Em palavras muito simples, Ratio ajuda a calcular, para cada quantidade de um objeto, quanto existe de outro. Proporção de atividades são uma forma divertida de entender esse conceito e incorporá-lo ao nosso dia-a-dia com facilidade.

Proporções de basquete

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Razões de lançamento de moeda

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Proporções do corpo humano - 1

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Conteúdo

A proporção de números UMA e B pode ser expresso como: [6]

  • a proporção de UMA para B
  • UMAB
  • UMA é para B (quando seguido por "como C é para D " Veja abaixo)
  • uma fração com UMA como numerador e B como denominador que representa o quociente (ou seja, UMA dividido por B, ou A B < displaystyle < tfrac >>). Isso pode ser expresso como uma fração simples ou decimal, ou como uma porcentagem, etc. [7]

Os dois pontos (:) são freqüentemente usados ​​no lugar do símbolo de proporção, [1] Unicode U + 2236 (∶).

Os números UMA e B às vezes são chamados termos da proporção, com UMA sendo o antecedente e B sendo o conseqüente. [8]

Uma declaração expressando a igualdade de duas proporções UMAB e CD é chamado de proporção, [9] escrito como UMAB = CD ou UMABCD. Esta última forma, quando falada ou escrita na língua inglesa, é frequentemente expressa como

(UMA é para B) Como (C é para D).

UMA, B, C e D são chamados de termos da proporção. UMA e D são chamados de extremos, e B e C são chamados de meios. A igualdade de três ou mais razões, como UMAB = CD = EF, é chamado de proporção contínua. [10]

Razões são às vezes usadas com três ou mais termos, por exemplo, a proporção para os comprimentos de borda de um "dois por quatro" que tem dez polegadas de comprimento é, portanto,

uma boa mistura de concreto (em unidades de volume) às vezes é citada como

Para uma mistura (bastante seca) de 4/1 partes em volume de cimento para água, pode-se dizer que a proporção de cimento para água é 4∶1, que há 4 vezes mais cimento do que água, ou que há um quarto (1/4) da quantidade de água e cimento.

O significado de tal proporção de proporções com mais de dois termos é que a proporção de quaisquer dois termos do lado esquerdo é igual à proporção dos dois termos correspondentes do lado direito.

É possível rastrear a origem da palavra "proporção" para o grego antigo λόγος (logotipos) Os primeiros tradutores traduziram isso para o latim como Razão ("razão" como na palavra "racional"). Uma interpretação mais moderna [ comparado com? ] do significado de Euclides é mais parecido com computação ou cálculo. [12] Os escritores medievais usaram a palavra proporcional ("proporção") para indicar proporção e proporcionalitas ("proporcionalidade") para a igualdade das relações. [13]

Euclides coletou os resultados que aparecem nos Elementos de fontes anteriores. Os pitagóricos desenvolveram uma teoria de razão e proporção aplicada aos números. [14] A concepção pitagórica de número incluía apenas o que hoje seria chamado de números racionais, lançando dúvidas sobre a validade da teoria em geometria onde, como os pitagóricos também descobriram, razões incomensuráveis ​​(correspondendo a números irracionais) existem. A descoberta de uma teoria das proporções que não assume comensurabilidade se deve provavelmente a Eudoxus de Cnidus. A exposição da teoria das proporções que aparece no Livro VII dos Elementos reflete a teoria anterior das razões dos comensuráveis. [15]

A existência de múltiplas teorias parece desnecessariamente complexa, uma vez que as razões são, em grande medida, identificadas com os quocientes e seus valores prospectivos. No entanto, este é um desenvolvimento comparativamente recente, como pode ser visto pelo fato de que os livros de geometria modernos ainda usam terminologia e notação distintas para proporções e quocientes. As razões para isso são duas: primeiro, havia a relutância mencionada anteriormente em aceitar números irracionais como números verdadeiros e, segundo, a falta de um simbolismo amplamente usado para substituir a terminologia já estabelecida de proporções atrasou a aceitação total das frações como alternativa até o século 16. [16]

Definições de Euclides Editar

O Livro V dos Elementos de Euclides tem 18 definições, todas relacionadas a proporções. [17] Além disso, Euclides usa ideias que eram de uso tão comum que ele não incluiu definições para elas. As duas primeiras definições dizem que um papel de uma quantidade é outra quantidade que a "mede" e, inversamente, um múltiplo de uma quantidade é outra quantidade que ele mede. Na terminologia moderna, isso significa que um múltiplo de uma quantidade é aquela quantidade multiplicada por um número inteiro maior que um - e uma parte de uma quantidade (significando parte da alíquota) é uma parte que, quando multiplicada por um número inteiro maior que um, dá o quantidade.

Euclides não define o termo "medida" como usado aqui. No entanto, pode-se inferir que se uma quantidade é tomada como uma unidade de medida, e uma segunda quantidade é dada como um número inteiro dessas unidades, então a primeira quantidade medidas o segundo. Essas definições são repetidas, quase palavra por palavra, como as definições 3 e 5 no livro VII.

A definição 3 descreve o que é uma proporção de uma maneira geral. Não é rigoroso no sentido matemático e alguns o atribuíram aos editores de Euclides, e não ao próprio Euclides. [18] Euclides define uma razão entre duas quantidades do mesmo tipo, então por esta definição as proporções de dois comprimentos ou de duas áreas são definidas, mas não a proporção de um comprimento e uma área. A definição 4 torna isso mais rigoroso. Afirma que existe uma razão de duas grandezas, quando há um múltiplo de cada uma que excede a outra. Na notação moderna, existe uma razão entre as quantidades p e q, se houver números inteiros m e n de tal modo que mp& gtq e nq& gtp. Esta condição é conhecida como propriedade de Arquimedes.

A definição 6 diz que as quantidades que têm a mesma proporção são proporcional ou na proporção. Euclides usa o grego ἀναλόγον (analogon), este tem a mesma raiz que λόγος e está relacionado com a palavra inglesa "analog".

A definição 7 define o que significa uma razão ser menor ou maior que outra e é baseada nas idéias presentes na definição 5. Na notação moderna, diz que determinadas quantidades p, q, r e s, pq& gtrs se houver inteiros positivos m e n de modo a np& gtmq e nrem.

Tal como acontece com a definição 3, a definição 8 é considerada por alguns como uma inserção posterior pelos editores de Euclides. Define três termos p, q e r estar em proporção quando pqqr. Isso é estendido para 4 termos p, q, r e s Como pqqrrs, e assim por diante. As sequências que têm a propriedade de que as proporções de termos consecutivos são iguais são chamadas de progressões geométricas. As definições 9 e 10 aplicam isso, dizendo que se p, q e r estão em proporção então pr é o proporção duplicada do pq e se p, q, r e s estão em proporção então ps é o proporção triplicada do pq.

Em geral, uma comparação das quantidades de uma razão de duas entidades pode ser expressa como uma fração derivada da razão. Por exemplo, em uma proporção de 2∶3, a quantidade, tamanho, volume ou quantidade da primeira entidade é 2 3 < displaystyle < tfrac <2> <3> >> da segunda entidade.

Se houver 2 laranjas e 3 maçãs, a proporção de laranjas para maçãs é 2∶3, e a proporção de laranjas para o número total de frutas é 2∶5. Essas proporções também podem ser expressas em forma de fração: há 2/3 tantas laranjas quanto maçãs e 2/5 dos pedaços de frutas são laranjas. Se o concentrado de suco de laranja deve ser diluído com água na proporção de 1/4, uma parte do concentrado é misturada com quatro partes de água, dando cinco partes no total - a quantidade de concentrado de suco de laranja é 1/4 da quantidade de água, enquanto a quantidade de concentrado de suco de laranja é 1/5 do líquido total. Tanto nas proporções quanto nas frações, é importante deixar claro o que está sendo comparado com o quê, e os iniciantes costumam errar por esse motivo.

As frações também podem ser inferidas de proporções com mais de duas entidades, no entanto, uma proporção com mais de duas entidades não pode ser completamente convertida em uma única fração, porque uma fração pode comparar apenas duas quantidades. Uma fração separada pode ser usada para comparar as quantidades de quaisquer duas entidades abrangidas pela proporção: por exemplo, a partir de uma proporção de 2∶3∶7, podemos inferir que a quantidade da segunda entidade é 3 7 < displaystyle < tfrac <3> <7> >> aquele da terceira entidade.

Se multiplicarmos todas as quantidades envolvidas em uma razão pelo mesmo número, a razão permanece válida. Por exemplo, uma proporção de 3∶2 é igual a 12∶8. É comum reduzir os termos ao mínimo denominador comum ou expressá-los em partes por cem (por cento).

Se uma mistura contém as substâncias A, B, C e D na proporção 5∶9∶4∶2, então há 5 partes de A para cada 9 partes de B, 4 partes de C e 2 partes de D. Como 5 + 9 + 4 + 2 = 20, a mistura total contém 5/20 de A (5 partes de 20), 9/20 de B, 4/20 de C e 2/20 de D. Se dividirmos todos os números pelo totalize e multiplique por 100, convertemos em porcentagens: 25% A, 45% B, 20% C e 10% D (equivalente a escrever a proporção como 25∶45∶20∶10).

Se as duas ou mais quantidades de proporção englobam todas as quantidades em uma situação particular, diz-se que "o todo" contém a soma das partes: por exemplo, uma cesta de frutas contendo duas maçãs e três laranjas e nenhuma outra fruta é feita acima de duas partes de maçãs e três partes de laranjas. Neste caso, 2 5 < displaystyle < tfrac <2> <5> >>, ou 40% do todo são maçãs e 3 5 < displaystyle < tfrac <3> <5> >>, ou 60% do todo são laranjas. Essa comparação de uma quantidade específica com "o todo" é chamada de proporção.

Se a razão consistir em apenas dois valores, ela pode ser representada como uma fração, em particular como uma fração decimal. Por exemplo, as televisões mais antigas têm um 4∶3 proporção da tela, o que significa que a largura é 4/3 da altura (isso também pode ser expresso como 1,33∶1 ou apenas 1,33 arredondado para duas casas decimais). As TVs widescreen mais recentes têm uma proporção de 16 × 9, ou 1,78 arredondado para duas casas decimais. Um dos formatos de filme widescreen populares é 2,35 × 1 ou simplesmente 2,35. Representar proporções como frações decimais simplifica sua comparação. Ao comparar 1,33, 1,78 e 2,35, é óbvio qual formato oferece uma imagem mais ampla. Tal comparação só funciona quando os valores comparados são consistentes, como sempre expressando largura em relação à altura.

As proporções podem ser reduzidas (assim como as frações) dividindo cada quantidade pelos fatores comuns de todas as quantidades. Quanto às frações, a forma mais simples é considerada aquela em que os números da razão são os menores inteiros possíveis.

Assim, a razão 40∶60 é equivalente em significado à razão 2∶3, sendo esta última obtida da primeira dividindo ambas as quantidades por 20. Matematicamente, escrevemos 40∶60 = 2∶3, ou equivalentemente 40∶60∷ 2∶3. O equivalente verbal é "40 é para 60 como 2 está para 3."

Uma proporção que tem números inteiros para ambas as quantidades e que não pode ser mais reduzida (usando números inteiros) é considerada na forma mais simples ou nos termos mais baixos.

Às vezes é útil escrever uma proporção na forma 1∶x ou x∶1, onde x não é necessariamente um número inteiro, para permitir comparações de diferentes proporções. Por exemplo, a proporção 4∶5 pode ser escrita como 1∶1,25 (dividindo ambos os lados por 4). Alternativamente, pode ser escrita como 0,8∶1 (dividindo ambos os lados por 5).

Onde o contexto torna o significado claro, uma proporção nesta forma é às vezes escrita sem o 1 e o símbolo de proporção (∶), embora, matematicamente, isso a torne um fator ou multiplicador.

Razões também podem ser estabelecidas entre quantidades incomensuráveis ​​(quantidades cuja razão, como valor de uma fração, chega a um número irracional). O primeiro exemplo descoberto, encontrado pelos pitagóricos, é a razão entre o comprimento da diagonal d e o comprimento de um lado s de um quadrado, que é a raiz quadrada de 2, formalmente a: d = 1: 2. < displaystyle a: d = 1: < sqrt <2>>.> Outro exemplo é a razão entre a circunferência de um círculo e seu diâmetro, que é chamada de π, e não é apenas um número algebraicamente irracional, mas um irracional transcendental.

Também é bem conhecida a proporção áurea de dois (principalmente) comprimentos a e b, que é definida pela proporção

que tem a solução positiva e irracional x = a b = 1 + 5 2. < displaystyle x = < tfrac > = < tfrac <1 + < sqrt <5>>> <2>>.> Portanto, pelo menos um dos uma e b tem que ser irracional para eles estarem na proporção áurea. Um exemplo de ocorrência da proporção áurea em matemática é como o valor limite da proporção de dois números de Fibonacci consecutivos: embora todas essas proporções sejam proporções de dois inteiros e, portanto, sejam racionais, o limite da sequência dessas proporções racionais é a proporção áurea irracional.

Da mesma forma, a proporção de prata de a e b é definida pela proporção

Chances (como no jogo) são expressos como uma proporção. Por exemplo, a probabilidade de "7 a 3 contra" (7 × 3) significa que há sete chances de o evento não acontecer a cada três chances de que aconteça. A probabilidade de sucesso é de 30%. Em cada dez tentativas, espera-se que haja três vitórias e sete derrotas.

As razões podem ser sem unidade, como no caso de relacionar quantidades em unidades da mesma dimensão, mesmo que suas unidades de medida sejam inicialmente diferentes. Por exemplo, a proporção de 1 minuto ∶ 40 segundos pode ser reduzida alterando o primeiro valor para 60 segundos, de forma que a proporção se torne 60 segundos ∶ 40 segundos. Uma vez que as unidades são iguais, elas podem ser omitidas e a proporção pode ser reduzida para 3∶2.

Por outro lado, existem razões adimensionais, também conhecidas como taxas. [21] [22] Em química, as razões de concentração de massa são geralmente expressas como frações de peso / volume. Por exemplo, uma concentração de 3% p / v geralmente significa 3 g de substância em cada 100 mL de solução. Isso não pode ser convertido em uma razão adimensional, como em peso / peso ou frações de volume / volume.

As localizações dos pontos relativos a um triângulo com vértices UMA, B, e C e lados AB, AC, e CA são frequentemente expressos na forma de razão estendida como coordenadas triangulares.

Em coordenadas baricêntricas, um ponto com coordenadas α, β, γ é o ponto sobre o qual uma folha de metal sem peso na forma e tamanho do triângulo se equilibraria exatamente se pesos fossem colocados nos vértices, com a proporção dos pesos em UMA e B sendo αβ, a proporção dos pesos em B e C sendo βγe, portanto, a proporção de pesos em UMA e C sendo αγ.

Em coordenadas trilineares, um ponto com coordenadas x :y :z tem distâncias perpendiculares ao lado AC (em frente ao vértice UMA) e lado CA (em frente ao vértice B) na proporção xy, distâncias para o lado CA e lado AB (atravessar de C) na proporção yze, portanto, distâncias para os lados AC e AB na proporção xz.

Uma vez que todas as informações são expressas em termos de proporções (os números individuais denotados por α, β, γ, x, y, e z não têm significado por si só), uma análise de triângulo usando coordenadas baricêntricas ou trilineares se aplica independentemente do tamanho do triângulo.


Assista o vídeo: Razões e Proporções - PROPORÇÕES (Outubro 2021).