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6.1: Equações em uma variável


6.1: Equações em uma variável

No exemplo acima, as despesas totais de aluguel de um carro de quatro lugares de Mumbai a Pune podem ser encontradas formando uma equação algébrica em uma variável, conforme mostrado abaixo.

Deixe a distância entre Mumbai e Pune ser x km.
Em seguida, as informações disponíveis podem ser representadas em forma de equação como,

(Total Encargos = Reserva Encargos : + : esquerda [Viagem Encargo Por Quilômetro vezes Distância Percorrido direita] )

Portanto, a equação é uma declaração que afirma que as duas expressões algébricas são iguais.
Suponhamos que o total de cobranças seja de $$ 2.000, então

( portanto Rs.2000 = Rs.200 + left [Rs.10 times x : kms right] )
2000 = 200 + 10x

A forma da equação mostrada acima é conhecida como equação linear em uma variável uma vez que tem apenas uma variável, ou seja, x, e os seus maior potência ou grau é um.

  1. O valor da variável que satisfaz a equação dada é chamado de solução da equação.
  2. Resolver uma equação significa encontrar a solução da equação.
  3. Uma equação permanece inalterada se:
    (i) O mesmo número é adicionado em cada lado da equação.
    por exemplo. x - 6 = 8
    ⇒ x - 6 + 6 = 8 + 6 [Adicionando 6 em ambos os lados]
    ⇒ x = 14
    (ii) O mesmo número é subtraído de cada lado da equação.
    por exemplo. x - 6 = 8
    ⇒ x - 6 - 6 = 8 - 6 [Subtraindo 6 em ambos os lados]
    ⇒ x = 2
    (iii) O mesmo número é multiplicado em cada lado da equação.
    por exemplo. x = 3
    ⇒ ( frac<2> vezes 2 = 3 vezes 2 ) [Multiplicando 2 em ambos os lados]
    ⇒ x = 6
    (iv) O mesmo número diferente de zero é dividido em cada lado da equação.
    por exemplo. 5x = 15
    ⇒ ( frac <5x> <5> = frac <15> <5> ) [Dividindo ambos os lados por 5]
    ⇒ x = 3

6.1 Sistemas de Equações Lineares (2 variáveis)

Apresentamos duas abordagens para resolver o sistema de equações lineares de duas variáveis. O primeiro é a substituição. Aqui, resolvemos uma variável em uma equação, digamos y, e então substituímos a expressão equivalente ay na outra equação. Isso deixa uma equação que contém apenas x-es, que pode ser resolvida usando as técnicas que aprendemos no capítulo um. Depois de saber o que é x, podemos usar a primeira equação para resolver o y correspondente.

Aqui está uma planilha de sistemas de equações que você pode fazer usando o método de substituição.

O segundo método é chamado de eliminação. Aqui, multiplicamos uma ou mais das equações por números, de modo que, quando somadas, uma das variáveis ​​desapareça. Isso deixa uma equação com apenas uma variável, como no método anterior.

Aqui está uma planilha para praticar a solução de sistema de equações com duas variáveis ​​por eliminação.


As soluções RS Aggarwal para o capítulo 9 de matemática da classe 6 (equação linear em uma variável) incluem todas as questões com solução e explicação detalhada. Isso vai tirar as dúvidas dos alunos sobre qualquer questão e melhorar as habilidades de aplicação enquanto se preparam para os exames do conselho. As soluções detalhadas e passo a passo o ajudarão a entender melhor os conceitos e a esclarecer suas confusões, se houver. Shaalaa.com tem as soluções CBSE Class 6 Mathematics de uma maneira que ajuda os alunos a compreender os conceitos básicos melhor e mais rápido.

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Os conceitos abordados no capítulo 9 de Matemática da Aula 6: Equação linear em uma variável são Introdução à álgebra, A ideia de uma variável, Uso de variáveis ​​em regras comuns, Expressões com variáveis, A solução de uma equação, Conceito de equação.

Usando as soluções RS Aggarwal Classe 6, os exercícios de equação linear em uma variável por alunos são uma maneira fácil de se preparar para os exames, pois envolvem soluções organizadas em capítulos e páginas. As questões envolvidas no RS Aggarwal Solutions são questões importantes que podem ser feitas no exame final. O máximo de alunos do CBSE Classe 6 prefere RS Aggarwal Textbook Solutions para pontuar mais no exame.


ML Aggarwal Classe 10 Soluções para Matemática ICSE Capítulo 6 Equações quadráticas em teste de capítulo de uma variável

Essas soluções fazem parte das Soluções ML Aggarwal Classe 10 para Matemática ICSE. Aqui, fornecemos ML Aggarwal Class 10 Solutions para ICSE Maths Capítulo 6 Equações quadráticas em teste de capítulo de uma variável

Resolva as seguintes equações (1 a 4) por fatoração:

Questão 1.
(i) x² + 6x & # 8211 16 = 0
(ii) 3x² + 11x + 10 = 0
Solução:
x² + 6x & # 8211 16 = 0
= & gt x² + 8x & # 8211 2x & # 8211 16 = 0
x (x + 8) & # 8211 2 (x + 8) = 0

Questão 2.
(i) 2x² + machado & # 8211 a² = 0
(ii) √3x² + 10x + 7√3 = 0
Solução:
(i) 2x² + machado & # 8211 a² = 0
= & gt 2x² + 2ax & # 8211 ax & # 8211 a² = 0

Questão 3.
(i) x (x + 1) + (x + 2) (x + 3) = 42
(ii) ( frac <6> - frac <2> = frac <1> )
Solução:
(i) x (x + 1) + (x + 2) (x + 3) = 42
2x² + 6x + 6 & # 8211 42 = 0

Questão 4.
(i) ( sqrt = x + 3 )
(ii) ( sqrt <<3x> ^ <2> -2x-1> = 2x-2 )
Solução:
(i) ( sqrt = x + 3 )
Quadrado em ambos os lados
x + 15 = (x + 3) ²


Resolva as seguintes equações (5 a 8) usando a fórmula:

Questão 5.
(i) 2x² & # 8211 3x & # 8211 1 = 0
(ii) (x left (3x + frac <1> <2> right) = 6 )
Solução:
(i) 2x² & # 8211 3x & # 8211 1 = 0
Aqui, a = 2, b = & # 8211 3, c = & # 8211 1

Questão 6.
(i) ( frac <2x + 5> <3x + 4> = frac )
(ii) ( frac <2> - frac <1> = frac <4> - frac <3> )
Solução:
(i) ( frac <2x + 5> <3x + 4> = frac )
(2x + 5) (x + 3) = (x + 1) (3x + 4)


Questão 7.
(i) ( frac <3x-4> <7> + frac <7> <3x-4> = frac <5> <2>, x neq frac <4> <3> )
(ii) ( frac <4> -3 = frac <5> <2x + 3>, x neq 0, - frac <3> <2> )
Solução:
(i) ( frac <3x-4> <7> + frac <7> <3x-4> = frac <5> <2>, x neq frac <4> <3> )
let ( frac <3x-4> <7> ) = y, então


Questão 8.
(i) x² + (4 & # 8211 3a) x & # 8211 12a = 0
(ii) 10ax² & # 8211 6x + 15ax & # 8211 9 = 0, a ≠ 0
Solução:
(i) x² + (4 & # 8211 3a) x & # 8211 12a = 0
Aqui, a = 1, b = 4 & # 8211 3a, c = & # 8211 12a


Questão 9.
Resolva x usando a fórmula quadrática. Escreva sua resposta correta para dois algarismos significativos: (x & # 8211 1) ² & # 8211 3x + 4 = 0. (2014)
Solução:
(x & # 8211 1) ² & # 8211 3x + 4 = 0
x² + 1 & # 8211 2x & # 8211 3x + 4 = 0

Questão 10.
Discuta a natureza das raízes das seguintes equações:
(i) 3x² & # 8211 7x + 8 = 0
(ii) x² & # 8211 ( frac <1> <2> x ) & # 8211 4 = 0
(iii) 5x² & # 8211 6√5x + 9 = 0
(iv) √3x² & # 8211 2x & # 8211 √3 = 0
Solução:
(i) 3x² & # 8211 7x + 8 = 0
Aqui a = 3, b = & # 8211 7, c = 8

Questão 11.
Encontre os valores de k para que a equação quadrática (4 & # 8211 k) x² + 2 (k + 2) x + (8k + 1) = 0 tenha raízes iguais.
Solução:
(4 & # 8211 k) x² + 2 (k + 2) x + (8k + 1) = 0
Aqui a = (4 & # 8211 k), b = 2 (k + 2), c = 8k + 1

ou k & # 8211 3 = 0, então k = 3
k = 0, 3 Resp.

Questão 12.
Encontre os valores de m para que a equação quadrática 3x² & # 8211 5x & # 8211 2m = 0 tenha duas raízes reais distintas.
Solução:
3x² & # 8211 5x & # 8211 2m = 0
Aqui a = 3, b = & # 8211 5, c = & # 8211 2m

Questão 13.
Encontre o (s) valor (es) de k para os quais cada uma das seguintes equações quadráticas tem raízes iguais:
(i) 3kx² = 4 (kx & # 8211 1)
(ii) (k + 4) x² + (k + 1) x + 1 = 0
Além disso, encontre as raízes para esse (s) valor (es) de k em cada caso.
Solução:
(i) 3kx² = 4 (kx & # 8211 1)
= & gt 3kx² = 4kx & # 8211 4
= & gt 3kx² & # 8211 4kx + 4 = 0

Questão 14.
Encontre dois números naturais que diferem por 3 e cujos quadrados têm a soma 117.
Solução:
Deixe o primeiro número natural = x
então o segundo número natural = x + 3
De acordo com a condição:
x² + (x + 3) ² = 117

Questão 15.
Divida 16 em duas partes de forma que o dobro do quadrado da parte maior exceda o quadrado da parte menor em 164.
Solução:
Deixe a parte maior = x
em seguida, parte menor = 16 & # 8211 x
(∵ soma = 16)
De acordo com a condição

Questão 16.
Dois números naturais estão na proporção 3: 4. Encontre os números se a diferença entre seus quadrados for 175.
Solução:
Razão em dois números naturais = 3: 4
Deixe os números serem 3x e 4x
De acordo com a condição,

Questão 17.
Dois quadrados têm lados A cm e (x + 4) cm. A soma de suas áreas é 656 cm2. Expresse isso como uma equação algébrica e resolva para encontrar os lados dos quadrados.
Solução:
Lado do primeiro quadrado = x cm.
e lado do segundo quadrado = (x + 4) cm
Agora, de acordo com a condição,

ou x & # 8211 16 = 0 então x = 16
Lado do primeiro quadrado = 16 cm
e lado do segundo quadrado = 16 + 4 & # 8211 4
= 20 cm Resp.

Questão 18.
O comprimento de um jardim retangular é 12 m a mais que sua largura. O valor numérico de sua área é igual a 4 vezes o valor numérico de seu perímetro. Encontre as dimensões do jardim.
Solução:
Deixe largura = x m
então comprimento = (x + 12) m
Área = l × b = x (x + 12) m²
e perímetro = 2 (l + b)
= 2 (x + 12 + x) = 2 (2x + 12) m
De acordo com a condição.

Questão 19.
Um agricultor deseja cultivar uma horta retangular de 100 m². Como ele tem consigo apenas 30 m de arame farpado, ele cerca três lados do jardim retangular, permitindo que a parede composta de sua casa funcione como a quarta cerca lateral. Encontre as dimensões de seu jardim.
Solução:
Área do jardim retangular = 100 cm²
Comprimento do arame farpado = 30 m
Deixe o comprimento do lado oposto à parede = x

Questão 20.
A hipotenusa de um triângulo retângulo é 1 m menor que o dobro do lado mais curto. Se o terceiro lado for 1 m a mais que o lado mais curto, encontre os lados do triângulo.
Solução:
Deixe o comprimento do lado mais curto = x m
Comprimento da hipotenusa = 2x & # 8211 1
e terceiro lado = x + 1
Agora, de acordo com a condição,

Questão 21.
Um fio de 112 cm de comprimento é dobrado para formar um triângulo retângulo. Se a hipotenusa tiver 50 cm de comprimento, encontre a área do triângulo.
Solução:
Perímetro de um triângulo retângulo = 112 cm
Hipotenusa = 50 cm
∴ Soma dos outros dois lados = 112 & # 8211 50 = 62 cm
Deixe o comprimento do primeiro lado = x
e comprimento do outro lado = 62 & # 8211 x

Questão 22.
O carro A viaja x km para cada litro de gasolina, enquanto o carro B viaja (x + 5) km para cada litro de gasolina.
(i) Escreva o número de litros de gasolina utilizados pelos automóveis A e B ao percorrerem uma distância de 400 km.
(ii) Se o automóvel A consome mais 4 litros de gasolina do que o automóvel B para percorrer 400 km. escreva uma equação, em A, e resolva-a para determinar a quantidade de litros de gasolina usados ​​pelo carro B para a viagem.
Solução:
Distância percorrida pelo carro A em um litro = x km
e distância percorrida pelo carro B em um litro = (x + 5) km
(i) Consumo do carro A na cobertura de 400 km

Questão 23.
A velocidade de um barco em águas paradas é de 11 km / h. Ele pode ir 12 km rio acima e retornar rio abaixo ao ponto original em 2 horas e 45 minutos. Encontre a velocidade do fluxo
Solução:
Velocidade do barco em águas paradas = 11 km / hr
Deixe a velocidade do fluxo = x km / h.
Distância percorrida = 12 km.
Tempo gasto = 2 horas e 45 minutos.

Questão 24.
Ao vender um artigo por Rs. 21, um comerciante perde tanto por cento quanto o preço de custo do artigo. Encontre o preço de custo.
Solução:
S.R de um artigo = Rs. 21
Deixe o preço de custo = Rs. x
Então perda = x%

Questão 25.
Um homem gastou Rs. 2.800 na compra de várias plantas ao preço de Rs x cada. Por causa do número envolvido, o fornecedor reduziu o preço de cada planta em Rúpia 1. O homem finalmente pagou Rs. 2730 e recebeu mais 10 plantas. Encontre x.
Solução:
Quantia gasta = Rs. 2800
Preço de cada planta = Rs. x
Preço reduzido = Rs. (x & # 8211 1)

Questão 26.
Daqui a quarenta anos, a idade do Sr. Pratap será o que era há 32 anos. Encontre sua idade atual.
Solução:
Seja a idade atual de Partap = x anos
40 anos, portanto, sua idade = x + 40
e há 32 anos, sua idade = x & # 8211 32
De acordo com a condição

Espero que as soluções da classe 10 de ML Aggarwal para ICSE Matemática Capítulo 6 Equações quadráticas em um teste de capítulo de variável sejam úteis para completar seu dever de matemática.

Se você tiver alguma dúvida, por favor, comente abaixo. APlusTopper tenta fornecer aulas de matemática online para você.


OUTRAS SOLUÇÕES DE EQUAÇÕES

Agora sabemos todas as técnicas necessárias para resolver a maioria das equações de primeiro grau. Não há uma ordem específica em que as propriedades devem ser aplicadas. Qualquer um ou mais dos seguintes passos listados na página 102 podem ser apropriados.

  1. Combine termos semelhantes em cada membro de uma equação.
  2. Usando a propriedade de adição ou subtração, escreva a equação com todos os termos que contêm o desconhecido em um membro e todos os termos que não contêm o desconhecido no outro.
  3. Combine termos semelhantes em cada membro.
  4. Use a propriedade de multiplicação para remover frações.
  5. Use a propriedade division para obter um coeficiente de 1 para a variável.

Exemplo 1 Resolva 5x - 7 = 2x - 4x + 14.

Solução Primeiro, combinamos termos semelhantes, 2x - 4x, para render

Em seguida, adicionamos + 2x e +7 para cada membro e combinamos termos semelhantes para obter

5x - 7 + 2x + 7 = -2x + 14 + 2x + 1

Finalmente, dividimos cada membro por 7 para obter

No próximo exemplo, simplificamos acima da barra de fração antes de aplicar as propriedades que estivemos estudando.

Exemplo 2 Resolva

Solução Primeiro, combinamos termos semelhantes, 4x - 2x, para obter

Em seguida, adicionamos -3 para cada membro e simplificamos

Em seguida, multiplicamos cada membro por 3 para obter

Finalmente, dividimos cada membro por 2 para obter


Soluções NCERT para Matemática da Classe 6, Capítulo 9 - Equação linear em uma variável

Soluções NCERT para Class 6 Math Capítulo 9 Linear Equation In One Variable são fornecidas aqui com explicações simples passo a passo. Essas soluções para Equação linear em uma variável são extremamente populares entre os alunos da classe 6 para matemática Equação linear em uma variável. As soluções são úteis para concluir rapidamente seu dever de casa e se preparar para os exames. Todas as perguntas e respostas do livro NCERT da classe 6 de matemática, capítulo 9, são fornecidas aqui para você gratuitamente. Você também vai adorar a experiência sem anúncios nas Soluções NCERT da Meritnation. Todas as soluções NCERT para a classe 6 de matemática são preparadas por especialistas e são 100% precisas.

Página No 139:

Questão 1:

Escreva cada uma das seguintes afirmações como uma equação:
(i) 5 vezes um número é igual a 40.
(ii) Um número aumentado em 8 é igual a 15.
(iii) 25 excede um número em 7.
(iv) Um número excede 5 por 3.
(v) 5 subtraído de três vezes um número é 16.
(vi) Se 12 for subtraído de um número, o resultado será 24.
(vii) Duas vezes um número subtraído de 19 resulta em 11.
(viii) Um número dividido por 8 resulta em 7.
(ix) 3 menos de 4 vezes um número é 17.
(x) 6 vezes um número é 5 a mais que o número.

Responder:

(i) Seja o número necessário x.
Portanto, cinco vezes o número será 5x.
& there4 5x = 40

(ii) Seja o número necessário x.
Portanto, quando é aumentado em 8, obtemos x + 8.
e aí 4 x + 8 = 15

(iii) Seja o número necessário x.
Então, quando 25 excede o número, obtemos 25 - x.
e aí 4 25 - x = 7

(iv) Seja o número necessário x.
Portanto, quando o número excede 5, obtemos x - 5.
e aí 4 x - 5 = 3

(v) Seja o número necessário x.
Portanto, três vezes o número será 3x.
& there4 3x - 5 = 16

(vi) Seja o número necessário x.
Portanto, 12 subtraído do número será x - 12.
e aí 4 x - 12 = 24

(vii) Seja o número necessário x.
Portanto, o dobro do número será 2x.
& lá 4 19 - 2x = 11

(viii) Seja o número necessário x.
Portanto, o número quando dividido por 8 será x 8.
e aí 4 x 8 = 7

(ix) Seja o número necessário x.
Portanto, quatro vezes o número será 4x.
& there4 4x - 3 = 17

(x) Seja o número necessário x.
Portanto, 6 vezes o número será 6x.
& lá 4 6x = x + 5

Página No 140:

Questão 2:

Escreva uma declaração para cada uma das equações, conforme abaixo:
(eu) x & menos 7 = 14
(ii) 2y = 18
(iii) 11 + 3x = 17
(iv) 2x & menos 3 = 13
(v) 12y & menos 30 = 6
(vi) 2 z 3 = 8

Responder:

(i) 7 menos que o número x é igual a 14.
(ii) Duas vezes o número y é igual a 18.
(iii) 11 mais do que três vezes o número x é igual a 17.
(iv) 3 menos do que duas vezes o número x é igual a 13.
(v) 30 menos de 12 vezes o número y é igual a 6.
(vi) Quando duas vezes o número z é dividido por 3, é igual a 8.

Página No 140:

Questão 3:

Verifique por substituição que
(i) a raiz de 3x & menos 5 = 7 é x = 4
(ii) a raiz de 3 + 2x = 9 é x = 3
(iii) a raiz de 5x & menos 8 = 2x & menos 2 é x = 2
(iv) a raiz de 8 e menos 7y = 1 é y = 1
(v) a raiz de z 7 = 8 é z = 56

Responder:

3 x & # 160 - & # 160 5 & # 160 = & # 160 7 S ubstituindo & # 160 x & # 160 = & # 160 4 & # 160 & # 160 in & # 160 o & # 160 fornecido & # 160 equação: L. H. S. & # 8201: & # 160 3 & # 215 4 & # 160 - 5 o r, & # 160 12 & # 160 - & # 160 5 & # 160 = & # 160 7 & # 160 = & # 160 R. H. S. EU . H. S. & # 160 = & # 160 R. H. S. & # 160 H ence, & # 160 & # 160 x & # 160 = & # 160 4 & # 160 & # 160 é & # 160 a & # 160 root & # 160 of & # 160 the & # 160 fornecido & # 160 equação. & # 160

3 & # 160 + & # 160 2 x = & # 160 9 S u b s t i t u t i n g & # 160 x & # 160 = & # 160 3 & # 160 i n & # 160 t h e & # 160 g i v e n & # 160 e q u a t i on: L. H. S. & # 8201: & # 160 3 & # 160 + & # 160 2 & # 215 3 ou & # 160 & # 160 3 & # 160 + & # 160 6 & # 160 = & # 160 9 & # 160 = & # 160 R. H. S. & # 160 L. H. S. & # 160 = & # 160 R. H. S. & # 160 H ence, & # 160 & # 160 x & # 160 = & # 160 3 & # 160 & # 160 é & # 160 a & # 160 root & # 160 of & # 160 the & # 160 fornecido & # 160 equação. & # 160

8 & # 160 - & # 160 7 y & # 160 = & # 160 1 & # 160 S ubstituindo & # 160 y & # 160 = & # 160 1 & # 160 & # 160 in & # 160 o & # 160 fornecido & # 160 equação: L. H. S. & # 8201: & # 160 8 & # 160 - 7 & # 215 1 o r, & # 160 8 & # 160 - & # 160 7 & # 160 = & # 160 1 & # 160 = & # 160 R. H. S. & # 160 L. H. S. & # 160 = & # 160 R. H. S. & # 160 H e n c e, & # 160 y & # 160 = 1 & # 160 & # 160 i s & # 160 t h e & # 160 r o t & # 160 of & # 160 t h e & # 160 g i v e n & # 160 e q u a t i on. & # 160

z 7 & # 160 = & # 160 8 & # 160 S u b s t i t u t i n g & # 160 z & # 160 = & # 160 56 & # 160 i n & # 160 t h e & # 160 g i v e n & # 160 e q u a t i on: L. H. S. & # 8201: & # 160 56 7 & # 160 = & # 160 8 & # 160 = R. H. S. EU . H. S. & # 160 = & # 160 R. H. S. & # 160 H e n c e, & # 160 z & # 160 = 56 & # 160 & # 160 i s & # 160 t h e & # 160 r o t & # 160 of & # 160 t h e & # 160 g i v e n & # 160 e q u a t i on.

Página No 140:

Questão 4:

Resolva cada uma das seguintes equações pelo método de tentativa e erro:
(eu) y + 9 = 13
(ii) x & menos 7 = 10
(iii) 4x = 28
(iv) 3y = 36
(v) 11 + x = 19
(vi) x 3 = 4
(vii) 2x & menos 3 = 9
(viii) 1 2 x & # 160 + & # 160 7 & # 160 = & # 160 11
(ix) 2y + 4 = 3y
(x) z & menos 3 = 2z & menos 5

Responder:

(i) y + 9 = 13
Tentamos vários valores de y até obtermos L.H.S. igual ao R.H.S.

(ii) x & menos 7 = 10
Tentamos vários valores de x até obtermos o L.H.S. igual ao R.H.S.

x L.H.S. R.H.S. É L.H.S. = R.H.S.?
10 10 e menos 7 = 3 10 Não
11 11 e menos 7 = 4 10 Não
12 12 e menos 7 = 5 10 Não
13 13 e menos 7 = 6 10 Não
14 14 e menos 7 = 7 10 Não
15 15 e menos 7 = 8 10 Não
16 16 e menos 7 = 9 10 Não
17 17 e menos 7 = 10 10 sim

(iii) 4x = 28
Tentamos vários valores de x até obtermos o L.H.S. igual ao R.H.S.

x L.H.S. R.H.S. É L.H.S. = R.H.S.?
1 4 × 1 = 4 28 Não
2 4 × 2 = 8 28 Não
3 4 × 3 = 12 28 Não
4 4 × 4 = 16 28 Não
5 4 × 5 = 20 28 Não
6 4 × 6 = 24 28 Não
7 4 × 7 = 28 28 sim

(iv) 3y = 36
Tentamos vários valores de x até obtermos o L.H.S. igual ao R.H.S.

y L.H.S. R.H.S. É L.H.S. = R.H.S.?
6 3 × 6 = 18 36 Não
7 3 × 7 = 21 36 Não
8 3 × 8 = 24 36 Não
9 3 × 9 = 27 36 Não
10 3 × 10 = 30 36 Não
11 3 × 11 = 33 36 Não
12 3 × 12 = 36 36 sim

(v) 11 + x = 19
Tentamos vários valores de x até obtermos o L.H.S. igual ao R.H.S.

x L.H.S. R.H.S. É L.H.S. = R.H.S.?
1 11 + 1 = 12 19 Não
2 11 + 2 = 13 19 Não
3 11 + 3 = 14 19 Não
4 11 + 4 = 15 19 Não
5 11 + 5 = 16 19 Não
6 11 + 6 = 17 19 Não
7 11 + 7 = 18 19 Não
8 11 + 8 = 19 19 sim

(vi) x 3 & # 160 = & # 160 4
Desde R.H.S. é um número natural, então L.H.S. também deve ser um número natural. Portanto, x deve ser um múltiplo de 3.

Tentamos vários valores de x até obtermos o L.H.S. igual ao R.H.S.

x L.H.S. R.H.S. É L.H.S. = R.H.S.?
1 2 & # 215 1 & menos 3 = & menos1 9 Não
2 2 & # 215 2 & menos 3 = 1 9 Não
3 2 & # 215 3 & menos 3 = 3 9 Não
4 2 & # 215 4 & menos 3 = 5 9 Não
5 2 & # 215 5 & menos 3 = 7 9 Não
6 2 & # 215 6 & menos 3 = 9 9 sim

(viii) 1 2 x & # 160 + & # 160 7 & # 160 = & # 160 11
Desde, R.H.S. é um número natural, então L.H.S. deve ser um número natural. Portanto, tentaremos os valores se x, que são múltiplos de & # 39x & # 39

(ix) 2y + 4 = 3y
Tentamos vários valores de y até obtermos L.H.S. igual ao R.H.S.

y L.H.S. R.H.S. É L.H.S. = R.H.S.?
1 2 × 1 + 4 = 6 3 × 1 = 3 Não
2 2 × 2 + 4 = 8 3 × 2 = 6 Não
3 2 × 3 + 4 = 10 3 × 3 = 9 Não
4 2 × 4 + 4 = 12 3 × 4 = 12 sim

(x) z & menos 3 = 2z & menos 5
Tentamos vários valores de z até obtermos o L.H.S. igual ao R.H.S.

Página No 143:

Questão 1:

Resolva cada uma das seguintes equações e verifique a resposta em cada caso:
x
+ 5 = 12

Responder:

Subtraindo 5 de ambos os lados:
& rArr x + 5 & menos 5 = 12 & menos 5
& rArr x = 7
Verificação:
Substituindo x = 7 no L.H.S .:
& rArr 7 + 5 = 12 = R.H.S.
L.H.S. = R.H.S.
Portanto, verificado.

Página No 143:

Questão 2:

Resolva cada uma das seguintes equações e verifique a resposta em cada caso:
x
+ 3 = & menos 2

Responder:

Subtraindo 3 de ambos os lados:
& rArr x + 3 & menos 3 = & menos 2 & menos 3
& rArr x = & menos5

Verificação:
Substituindo x = & menos5 no L.H.S .:
& rArr & minus5 + 3 = & minus2 = R.H.S.
L.H.S. = R.H.S.
Portanto, verificado.

Página No 143:

Questão 3:

Resolva cada uma das seguintes equações e verifique a resposta em cada caso:
x
& menos 7 = 6

Responder:

x e menos 7 = 6
Adicionando 7 em ambos os lados:
& rArr x & menos 7 + 7 = 6 + 7
& rArr x = 13

Verificação:
Substituindo x = 13 no L.H.S .:
& rArr 13 & menos 7 = 6 = R.H.S.
L.H.S. = R.H.S.
Portanto, verificado.

Página No 143:

Questão 4:

Resolva cada uma das seguintes equações e verifique a resposta em cada caso:
x
& menos 2 = & menos 5

Responder:

Adicionando 2 em ambos os lados:
& rArr x & menos 2 + 2 = & menos 5 + 2
& rArr x = & minus3
Verificação:
Substituindo x = & minus3 no L.H.S .:
& rArr & minus3 & minus 2 = & minus5 = R.H.S.
L.H.S. = R.H.S.
Portanto, verificado.

Página No 143:

Questão 5:

Resolva cada uma das seguintes equações e verifique a resposta em cada caso:
3x & menos 5 = 13

Responder:

3x e menos 5 = 13
& rArr 3x & menos 5 + 5 = 13 + 5 [Adicionando 5 em ambos os lados]
& rArr 3x = 18
& rArr 3 x 3 & # 160 = & # 160 18 3 [Dividindo ambos os lados por 3]
& rArr x = 6
Verificação:
Substituindo x = 6 no L.H.S .:
& rArr 3 & # 215 6 & menos 5 = 18 & menos 5 = 13 = R.H.S.
L.H.S. = R.H.S.
Portanto, verificado.

Página No 143:

Questão 6:

Resolva cada uma das seguintes equações e verifique a resposta em cada caso:
4x + 7 = 15

Responder:

4x + 7 = 15
& rArr 4x + 7 & menos 7 = 15 & menos 7 [subtraindo 7 de ambos os lados]
& rArr 4x = 8
& rArr 4 x 4 & # 160 = & # 160 8 4 [Dividindo ambos os lados por 4]
& rArr x = 2
Verificação:
Substituindo x = 2 no L.H.S .:
& rArr 4 & # 215 2 + 7 = 8 + 7 = 15 = R.H.S.
L.H.S. = R.H.S.
Portanto, verificado.

Página No 143:

Questão 7:

Resolva cada uma das seguintes equações e verifique a resposta em cada caso:
x 5 = 12

Responder:

x 5 & # 160 = & # 160 12
& rArr x 5 & # 215 5 & # 160 & # 160 = & # 160 12 & # 215 5 [Multiplicando ambos os lados por 5]
& rArr x = 60
Verificação:
Substituindo x = 60 no L.H.S .:
& rArr 60 5 = 12 = R.H.S.
& rArr L.H.S. = R.H.S.
Portanto, verificado.

Página No 143:

Questão 8:

Resolva cada uma das seguintes equações e verifique a resposta em cada caso:
3 x 5 = 15

Responder:

3 x 5 & # 160 = & # 160 15
& rArr 3 x 5 & # 215 & # 160 5 & # 160 & # 160 = & # 160 15 & # 160 & # 215 & # 160 5 [Multiplicando ambos os lados por 5]
& rArr 3x = 75
& rArr 3 x 3 & # 160 = & # 160 75 3
& rArr x = 25
Verificação:
Substituindo x = 25 no L.H.S .:
& rArr 3 & # 160 & # 215 & # 160 25 5 = 15 = R.H.S.
& rArr L.H.S. = R.H.S.
Portanto, verificado.

Página No 143:

Questão 9:

Resolva cada uma das seguintes equações e verifique a resposta em cada caso:
5x & menos 3 = x + 17

Responder:

5x & menos 3 = x + 17
& rArr 5x & menos x = 17 + 3 [Transpondo x para o L.H.S. e 3 para o R.H.S.]
& rArr 4x = 20
& rArr 4 x 4 & # 160 = & # 160 20 4 [Dividindo ambos os lados por 4]
& rArr x = 5
Verificação:
Substituindo x = 5 em ambos os lados:
L.H.S .: 5 (5) e menos 3
& rArr 25 e menos 3
& rArr 22

R.H.S .: 5 + 17 = 22
& rArr L.H.S. = R.H.S.
Portanto, verificado.

Página No 143:

Questão 10:

Resolva cada uma das seguintes equações e verifique a resposta em cada caso:
2 x - 1 2 = 3

Responder:

2 x - 1 2 & # 160 = & # 160 3
& rArr 2x - 1 2 + 1 2 = 3 + 1 2 [Adicionando 1 2 em ambos os lados]
& rArr 2x = 6 & # 160 + & # 160 1 2
& rArr 2x = 7 2
& rArr 2 x 2 & # 160 = & # 160 7 2 & # 160 & # 215 & # 160 2 [Dividindo ambos os lados por 3]
& rArr x = 7 4
Verificação:
Substituindo x = 7 4 no L.H.S .:
2 7 4 & # 160 - & # 160 1 2 = & # 160 7 2 & # 160 - & # 160 1 2 & # 160 = & # 160 6 2 & # 160 = & # 160 3 & # 160 = & # 160 R. H. S.
L.H.S. = R.H.S.
Portanto, verificado.

Página No 143:

Questão 11:

Resolva cada uma das seguintes equações e verifique a resposta em cada caso:
3(x + 6) = 24

Responder:

3(x + 6) = 24
& rArr 3 & # 215 x & # 160 + & # 160 3 & # 215 6 & # 160 = & # 160 24 [na expansão dos colchetes]
& rArr 3x + 18 = 24
& rArr 3x + 18 - 18 = 24 - 18 [Subtraindo 18 de ambos os lados]
& rArr 3x = 6
& rArr 3 x 3 & # 160 = & # 160 6 3 [Dividindo ambos os lados por 3]
& rArr x = 2
Verificação:
Substituindo x = 2 no L.H.S .:
3 (2 + 6) = 3 & # 215 8 = 24 = R.H.S.
L.H.S. = R.H.S.
Portanto, verificado.

Página No 143:

Questão 12:

Resolva cada uma das seguintes equações e verifique a resposta em cada caso:
6x + 5 = 2x + 17

Responder:

6x + 5 = 2x + 17
& # 8658 6x - 2x = 17 - 5 [Transpondo 2x para o L.H.S. e 5 para o R.H.S.]
& # 8658 4x = 12
& # 8658 4 x 4 = & # 160 12 4 [Dividindo ambos os lados por 4]
& # 8658 x = 3
Verificação:
Substituindo x = 3 em ambos os lados:
L.H.S .: 6 (3) + 5
=18 + 5
=23
R.H.S .: 2 (3) + 17
= 6 + 17
= 23
L.H.S. = R.H.S.
Portanto, verificado.

Página No 143:

Questão 13:

Resolva cada uma das seguintes equações e verifique a resposta em cada caso:
x 4 - 8 = 1

Responder:

x 4 - & # 160 8 & # 160 = & # 160 1
& # 8658 x 4 - & # 160 8 & # 160 + & # 160 8 & # 160 = & # 160 1 & # 160 + & # 160 8 [Adicionando 8 em ambos os lados]
& # 8658 x 4 & # 160 = & # 160 9
& # 8658 x 4 & # 160 & # 215 & # 160 4 & # 160 = & # 160 9 & # 160 & # 215 & # 160 4 [Multiplicando ambos os lados por 4]
ou, x = 36
Verificação:
Substituindo x = 36 no L.H.S .:
ou 36 4 & # 160 - & # 160 8 = 9 & menos 8 = 1 = R.H.S.
L.H.S. = R.H.S.
Portanto, verificado.

Página No 143:

Questão 14:

Resolva cada uma das seguintes equações e verifique a resposta em cada caso:
x 2 = x 3 + 1

Responder:

x 2 & # 160 = & # 160 x 3 & # 160 + & # 160 1
& # 8658 x 2 & # 160 - & # 160 x 3 & # 160 = & # 160 1 [Transpondo x 3 para o L.H.S.]
& # 8658 3 x & # 160 - & # 160 2 x 6 & # 160 = & # 160 1
& # 8658 x 6 & # 160 = & # 160 1
& # 8658 x 6 & # 160 & # 215 & # 160 6 & # 160 = & # 160 1 & # 160 & # 215 & # 160 6 [Multiplicando ambos os lados por 6]
ou, x = 6
Verificação:
Substituindo x = 6 em ambos os lados:
L.H.S .: 6 2 & # 160 = 3
R.H.S .: 6 3 & # 160 + & # 160 1 = 2 + 1 = 3
L.H.S. = R.H.S.
Portanto, verificado.

Página No 143:

Questão 15:

Resolva cada uma das seguintes equações e verifique a resposta em cada caso:
3(x + 2) e menos 2 (x & menos 1) = 7

Responder:

3(x + 2) e menos 2 (x & menos 1) = 7
& # 8658 3 & # 215 x & # 160 + & # 160 3 & # 215 2 & # 160 - & # 160 2 & # 215 x & # 160 - 2 & # 215 (- 1) & # 160 = & # 160 7 [Sobre a expansão dos colchetes]
ou, 3x + 6 - 2x + 2 = 7
ou, x + 8 = 7
ou, x + 8 - 8 = 7 - 8 [subtraindo 8 de ambos os lados]
ou, x = - 1
Verificação:
Substituindo x = - 1 no L.H.S .:
3 (- 1 + 2) & # 160 - 2 (- 1 - 1) ou, & # 160 3 (1) & # 160 - 2 (- 2) ou & # 160 3 & # 160 + & # 160 4 & # 160 = & # 160 7 & # 160 = & # 160 R. H. S.
L.H.S. = R.H.S.
Portanto, verificado.

Página No 143:

Questão 16:

Resolva cada uma das seguintes equações e verifique a resposta em cada caso:

Responder:

5 (x-1) +2 (x + 3) + 6 = 0
& # 8658 5x -5 + 2x +6 +6 = 0 (expandindo dentro dos colchetes)
& # 8658 7x +7 = 0
& # 8658 x +1 = 0 (dividindo por 7)
& # 8658 x = -1

Verificação:
Colocando x = -1 no L.H.S .:
L.H.S .: 5 (-1 -1) + 2 (-1 + 3) + 6
= 5(-2) + 2(2) + 6
= -10 + 4 + 6 = 0 = R.H.S.

Página No 143:

Questão 17:

Resolva cada uma das seguintes equações e verifique a resposta em cada caso:
6 (1 e menos 4x) + 7(2 + 5x) = 53

Responder:

6 (1 e menos 4x) + 7(2 + 5x) = 53
ou, 6 & # 160 & # 215 & # 160 1 & # 160 - & # 160 6 & # 160 & # 215 & # 160 4 x & # 160 + & # 160 7 & # 160 & # 215 & # 160 2 & # 160 + & # 160 7 & # 160 & # 215 & # 160 5 x & # 160 = & # 160 53 [na expansão dos colchetes]
ou, 6 - 24x + 14 + 35x = 53
ou, 11x + 20 = 53
ou, 11x + 20 - 20 = 53 - 20 [Subtraindo 20 de ambos os lados]
ou, 11x = 33
ou, 11 x 11 = & # 160 33 11 [Dividindo ambos os lados por 11]
ou, x = 3
Verificação:
Substituindo x = 3 no L.H.S .:
6 (1 & # 160 - & # 160 4 & # 160 & # 215 & # 160 3) & # 160 + & # 160 7 (2 & # 160 + & # 160 5 & # 160 & # 215 & # 160 3 ) & # 8658 6 (1 & # 160 - & # 160 12) & # 160 + & # 160 7 (2 & # 160 + & # 160 15) & # 8658 6 (- 11) & # 160 + & # 160 7 (17) & # 8658 - 66 & # 160 + & # 160 119 & # 160 & # 160 = & # 160 53 & # 160 = & # 160 R. H. S.

Página No 143:

Questão 18:

Resolva cada uma das seguintes equações e verifique a resposta em cada caso:
16(3x e menos 5) e menos 10 (4x & menos 8) = 40

Responder:

16(3x e menos 5) e menos 10 (4x & menos 8) = 40
ou 16 & # 160 & # 215 & # 160 3 x & # 160 - & # 160 16 & # 160 & # 215 & # 160 5 & # 160 - 10 & # 160 & # 215 & # 160 4 x & # 160 - & # 160 10 & # 160 & # 215 & # 160 (- 8) & # 160 = & # 160 40 [Na expansão dos colchetes]
ou 48x - 80 - 40x + 80 = 40
ou, 8x = 40
ou, 8 x 8 = 40 8 [Dividindo ambos os lados por 8]
ou, x = 5
Verificação:
Substituindo x = 5 no L.H.S .:

Página No 143:

Questão 19:

Resolva cada uma das seguintes equações e verifique a resposta em cada caso:
3(x + 6) + 2(x + 3) = 64

Responder:

3(x + 6) + 2(x + 3) = 64
& # 8658 3 & vezes x + 3 & vezes 6 + 2 & vezes x + 2 & vezes 3 = 64 [na expansão dos colchetes]
& # 8658 3x + 18 + 2x + 6 = 64
& rArr5x + 24 = 64
& rArr5x + 24 - 24 = 64 - 24 [Subtraindo 24 de ambos os lados]
& rArr5x = 40
& rArr 5 x 5 & # 160 = & # 160 40 5 [Dividindo ambos os lados por 5]
& rArrx = 8
Verificação:
Substituindo x = 8 no L.H.S .:
3 (8 & # 160 + & # 160 6) & # 160 + & # 160 2 (8 & # 160 + & # 160 3) 3 (14) & # 160 + & # 160 2 (11) 42 & # 160 + & # 160 22 & # 160 = & # 160 64 & # 160 = & # 160 R. H. S.

Página No 143:

Questão 20:

Resolva cada uma das seguintes equações e verifique a resposta em cada caso:
3 (2 e menos 5x) e menos 2 (1 e menos 6x) = 1

Responder:

3 (2 e menos 5x) e menos 2 (1 e menos 6x) = 1
ou, 3 & vezes 2 + 3 & vezes (& menos5x) & menos 2 & vezes 1 & menos 2 & vezes (& menos6x) = 1 [na expansão dos colchetes]
ou, 6 e menos 15x e menos 2 + 12x = 1
ou, 4 - 3x = 1
ou, 3 = 3x
ou, x = 1

Verificação:
Substituindo x = 1 no L.H.S .:
3 (2 & # 160 - & # 160 5 & # 160 & # 215 & # 160 1) & # 160 - & # 160 2 (1 & # 160 - & # 160 6 & # 160 & # 215 & # 160 1 ) & # 8658 3 (2 & # 160 - & # 160 5) & # 160 - & # 160 2 (1 - & # 160 6) & # 8658 3 (- 3) & # 160 - 2 (- 5) & # 8658 - 9 & # 160 + & # 160 10 & # 160 = & # 160 1 & # 160 = & # 160 R. H. S.
L.H.S. = R.H.S.
Portanto, verificado.

Página No 143:

Questão 21:

Resolva cada uma das seguintes equações e verifique a resposta em cada caso:
n 4 - 5 = n 6 + 1 2

Responder:

n 4 - 5 & # 160 = & # 160 n 6 & # 160 + & # 160 1 2
ou, n 4 & # 160 - & # 160 n 6 & # 160 = & # 160 1 2 & # 160 + & # 160 5 & # 160 & # 160 & # 160 [Transpondo n / 6 para o L.H.S. e 5 para o R.H.S.]
ou, 3 n - 2 n 12 & # 160 = & # 160 1 + 10 2
ou, n 12 & # 160 = & # 160 11 2
ou, n 12 & # 215 12 & # 160 = & # 160 11 2 & # 215 12 [Dividindo ambos os lados por 12]
ou, n = 66
Verificação:
Substituindo n = 66 em ambos os lados:

L.H.S .:
66 4 - 5 & # 160 = 33 2 & # 160 - & # 160 5 & # 160 & # 160 = 33 & # 160 - & # 160 10 2 & # 160 = 23 2 & # 160 = & # 160 23 2 & # 160 R. H. S. : & # 160 66 6 + 1 2 = & # 160 11 & # 160 + & # 160 1 2 & # 160 = & # 160 22 + 1 2 = & # 160 23 2 & # 160
L.H.S. = R.H.S.
Portanto, verificado.

Página No 143:

Questão 22:

Resolva cada uma das seguintes equações e verifique a resposta em cada caso:
2 m 3 + & # 160 8 = m 2 - 1

Responder:

2 m 3 & # 160 + & # 160 8 & # 160 = & # 160 m 2 - & # 160 1
ou, 2 m 3 & # 160 - & # 160 m 2 & # 160 = & # 160 - 1 & # 160 - 8 [Transpondo m / 2 para o L.H.S. e 8 para o R.H.S.]
o r, & # 160 4 m - 3 m 6 & # 160 = & # 160 - 9 o r, & # 160 m 6 & # 160 = & # 160 - 9
ou, m 6 & # 215 6 & # 160 = & # 160 - 9 & # 215 6 [Multiplicando ambos os lados por 6]
ou, m = - 54
Verificação:
Substituindo x = & menos54 em ambos os lados:

EU . H. S. : & # 160 2 (- 54) 3 & # 160 + & # 160 & # 160 8 & # 160 = & # 160 - 54 2 - 1 = & # 160 - 108 3 & # 160 + & # 160 8 & # 160 = & # 160 - 36 + & # 160 8 & # 160 = & # 160 - 28 & # 160 & # 160 R. H. S. : - 54 2 - 1 & # 160 = & # 160 - 27 & # 160 - & # 160 1 = & # 160 - 28
L.H.S. = R.H.S.
Portanto, verificado.

Página No 143:

Questão 23:

Resolva cada uma das seguintes equações e verifique a resposta em cada caso:
2 x 5 - 3 2 = x 2 + 1

Responder:

2 x 5 & # 160 - 3 2 & # 160 = & # 160 x 2 & # 160 + & # 160 1
ou, 2 x 5 - & # 160 x 2 & # 160 = & # 160 1 + & # 160 3 2 [Transpondo x / 2 para o L.H.S. e 3/2 para R.H.S.]
o r, & # 160 4 x - 5 x 10 = & # 160 2 + 3 2 o r, & # 160 - x 10 & # 160 = & # 160 5 2
o r, & # 160 - x 10 (- 10) & # 160 = 5 2 & # 160 & # 215 (- 10) [Multiplicando ambos os lados por & menos10]
ou, x = & menos 25
Verificação:
Substituindo x = & menos25 em ambos os lados:
EU . H. S. : & # 160 2 (- 25) 5 & # 160 - & # 160 3 2 & # 160 = & # 160 - 50 5 & # 160 - & # 160 3 2 & # 160 & # 160 = & # 160 - 10 & # 160 - & # 160 3 2 & # 160 = & # 160 - 23 2 R. H. S. : & # 160 - 25 2 + & # 160 1 = & # 160 - 25 & # 160 + & # 160 2 2 & # 160 = & # 160 - 23 2
L.H.S. = R.H.S.
Portanto, verificado.

Página No 143:

Questão 24:

Resolva cada uma das seguintes equações e verifique a resposta em cada caso:
x - 3 5 - 2 = 2 x 5

Responder:

x - 3 5 & # 160 - & # 160 2 & # 160 = & # 160 2 x 5 & # 160
ou, x 5 - & # 160 3 5 & # 160 - 2 & # 160 = & # 160 2 x 5
ou, - & # 160 3 5 - & # 160 2 & # 160 = & # 160 2 x 5 - x 5 [Transpondo x / 5 para o R.H.S.]
ou, - 3 - & # 160 10 5 & # 160 = & # 160 x 5
ou - 13 5 & # 160 = & # 160 x 5
ou, - 13 5 (5) & # 160 = x 5 & # 160 & # 215 (5) [Multiplicando ambos os lados por 5]
ou, x = & menos13
Verificação:
Substituindo x = & menos13 em ambos os lados:
EU . H. S. : & # 160 - 13 & # 160 - & # 160 3 5 & # 160 - & # 160 2 & # 160 = - 16 5 & # 160 - & # 160 2 = & # 160 - 16 & # 160 - & # 160 10 5 & # 160 = & # 160 - 26 5 R. H. S. : & # 160 2 & # 215 (- 13) 5 & # 160 & # 160 = & # 160 - 26 5 & # 160 & # 160

Página No 143:

Questão 25:

Resolva cada uma das seguintes equações e verifique a resposta em cada caso:
3 x 10 - 4 = 14

Responder:

3 x 10 & # 160 - & # 160 4 & # 160 = & # 160 14 & # 160
ou, 3 x 10 - & # 160 4 & # 160 & # 160 + & # 160 4 = & # 160 14 & # 160 + & # 160 4 [Adicionando 4 em ambos os lados]
ou, 3 x 10 & # 160 = & # 160 18
ou, 3 x 10 & # 215 10 & # 160 = & # 160 18 & # 215 10 [Multiplicando ambos os lados por 10]
ou 3 x & # 160 = & # 160 180
ou, 3 x 3 & # 160 = & # 160 180 3 [Dividindo ambos os lados por 3]
ou, x = 60
Verificação:
Substituindo x = 60 em ambos os lados:
3 & # 215 60 10 & # 160 - & # 160 4 & # 160 = 180 10 & # 160 - & # 160 4 & # 160 = & # 160 18 & # 160 - & # 160 4 & # 160 = & # 160 14 & # 160 = & # 160 R. H. S.

Página No 143:

Questão 26:

Resolva cada uma das seguintes equações e verifique a resposta em cada caso:
3 4 & # 160 (x & # 160 - & # 160 1) & # 160 = & # 160 x & # 160 - & # 160 3

Responder:

3 4 x - 1 & # 160 = & # 160 x & # 160 - & # 160 3
& # 8658 3 4 & # 215 x & # 160 & # 160 - & # 160 3 4 & # 160 & # 215 & # 160 1 = & # 160 x & # 160 - & # 160 3 & # 160 [Na expansão os colchetes]
& # 8658 3 x 4 - & # 160 3 4 & # 160 & # 160 = & # 160 x & # 160 - & # 160 3
& # 8658 3 x 4 - & # 160 x & # 160 = & # 160 - 3 & # 160 + & # 160 3 4 [Transpondo x para o L.H.S. e - 3 4 para o R.H.S.]
& # 8658 3 x - 4 x 4 = & # 160 & # 160 - 12 + 3 4
& # 8658 - x 4 & # 160 = & # 160 & # 160 - 9 4
& # 8658 - x 4 & # 215 - 4 & # 160 = & # 160 & # 160 - 9 4 & # 215 - 4 [Multiplicando ambos os lados por -4]
ou, x = 9

Verificação:
Substituindo x = 9 em ambos os lados:
EU . H. S. & # 160: & # 160 3 4 9 - 1 & # 160 = & # 160 3 4 (8) & # 160 = & # 160 6 & # 160 & # 160 R. H. S. : & # 160 9 & # 160 - & # 160 3 & # 160 = & # 160 6

Página No 144:

Questão 1:

Se 9 for adicionado a um determinado número, o resultado será 36. Encontre o número.

Responder:

Seja o número necessário x.
De acordo com a pergunta:
9 + x = 36
ou, x + 9 - 9 = 36 - 9 [subtraindo 9 de ambos os lados]
ou, x = 27
Portanto, o número necessário é 27.

Página No 144:

Questão 2:

Se 11 for subtraído de 4 vezes um número, o resultado será 89. Encontre o número.

Responder:

Seja o número necessário x.
De acordo com a pergunta:
4x - 11 = 89
ou, 4x - 11 +11 = 89 + 11 [Adicionando 11 em ambos os lados]
ou 4x = 100
ou, 4 x 4 & # 160 = & # 160 100 4 [Dividindo ambos os lados por 4]
ou, x = 25
Portanto, o número necessário é 25.

Página No 144:

Questão 3:

Encontre um número que, quando multiplicado por 5, é aumentado por 80.

Responder:

Seja o número necessário x.
De acordo com a pergunta:
ou 5x = x + 80
ou, 5x - x = 80 [Transpondo x para o L.H.S.]
ou 4x = 80
ou, 4 x 4 & # 160 = & # 160 80 4 [Dividindo ambos os lados por 4]
ou, x = 20
Portanto, o número necessário é 20.

Página No 144:

Questão 4:

A soma de três números naturais consecutivos é 114. Encontre os números.

Responder:

Sejam os três números naturais consecutivos x, (x + 1), (x + 2).
De acordo com a pergunta:
x + (x + 1) + (x + 2) = 114
ou, x + x + 1 + x + 2 = 114
ou, 3x + 3 = 114
ou, 3x + 3 - 3 = 114 - 3 [subtraindo 3 de ambos os lados]
ou, 3x = 111
ou, 3 x 3 & # 160 = & # 160 111 3 [Dividindo ambos os lados por 3]
ou, x = 37
Os números obrigatórios são:
x = 37
ou, x + 1 = 37 + 1 = 38
ou, x + 2 = 37 + 2 = 39
Assim, os números necessários são 37, 38 e 39.

Página No 144:

Questão 5:

Quando Raju multiplica um certo número por 17 e adiciona 4 ao produto, ele obtém 225. Encontre esse número.

Responder:

Seja o número necessário x.
Quando Raju multiplica por 17, o número passa a ser 17x.
De acordo com a pergunta:
17x + 4 = 225
ou, 17x + 4 - 4 = 225 - 4 [Subtraindo 4 de ambos os lados]
ou, 17x = 221
ou, 17 x 17 & # 160 = & # 160 221 17 [Dividindo ambos os lados por 17]
ou, x = 13
Portanto, o número necessário é 13.

Página No 144:

Questão 6:

Se um número for triplicado e o resultado for aumentado em 5, obtemos 50. Encontre o número.

Responder:

Seja o número necessário x.
De acordo com a pergunta, o número é triplicado e 5 é adicionado a ele
e aí 4 3x + 5
ou, 3x + 5 = 50
ou, 3x + 5 - 5 = 50 - 5 [subtraindo 5 de ambos os lados]
ou, 3x = 45
ou, 3 x 3 & # 160 = 45 3 [Dividindo ambos os lados por 3]
ou, x = 15
Portanto, o número necessário é 15.

Página No 144:

Questão 7:

Encontre dois números de forma que um deles exceda o outro em 18 e a soma deles seja 92.

Responder:

Seja um dos números x.
& there4 O outro número = (x + 18)
De acordo com a pergunta:
x + (x + 18) = 92
ou, 2x + 18 - 18 = 92 - 18 [Subtraindo 18 de ambos os lados]
ou, 2x = 74
ou, 2 x 2 & # 160 = & # 160 74 2 [Dividindo ambos os lados por 2]
ou, x = 37
Os números obrigatórios são:
x = 37
ou, x + 18 = 37 + 18 = 55

Página No 144:

Questão 8:

Um em cada dois números é três vezes o outro. Se a soma deles for 124, encontre os números.

Responder:

Seja um dos números & # 39x & # 39
& there4 Segundo número = 3x
De acordo com a pergunta:
x + 3x = 124
ou, 4x = 124
ou, 4 x 4 & # 160 = & # 160 124 4 [Dividindo ambos os lados por 4]
ou, x = 31
Assim, o número necessário é x = 31 e 3x = 3 & # 215 31 = 93.

Página No 144:

Questão 9:

Encontre dois números de forma que um deles seja cinco vezes o outro e sua diferença seja 132.

Responder:

Seja um dos números x.
& there4 Segundo número = 5x
De acordo com a pergunta:
5x - x = 132
ou, 4x = 132
ou, 4 x 4 & # 160 = & # 160 132 4 [Dividindo ambos os lados por 4]
ou, x = 33
Assim, os números necessários são x = 33 e 5x = 5 & # 215 33 = 165.

Página No 144:

Questão 10:

A soma de dois números pares consecutivos é 74. Encontre os números.

Responder:

Seja um dos números pares x.
Então, o outro número par consecutivo é (x + 2).
De acordo com a pergunta:
x + (x + 2) = 74
ou, 2x + 2 = 74
ou, 2x + 2 - 2 = 74 - 2 [subtraindo 2 de ambos os lados]
ou, 2x = 72
ou, 2 x 2 & # 160 = & # 160 72 2 [Dividindo ambos os lados por 2]
ou, x = 36
Assim, os números necessários são x = 36 e x + 2 = 38.

Página No 144:

Questão 11:

A soma de três números ímpares consecutivos é 21. Encontre os números.

Responder:

Seja o primeiro número ímpar x.
Então, os próximos números ímpares consecutivos serão (x + 2) e (x + 4).
De acordo com a pergunta:
x + (x + 2) + (x + 4) = 21
ou, 3x + 6 = 21
ou, 3x + 6 - 6 = 21 - 6 [subtraindo 6 de ambos os lados]
ou, 3x = 15
ou, 3 x 3 & # 160 = & # 160 15 3 [Dividindo ambos os lados por 3]
ou, x = 5
& there4 Os números necessários são:
x = 5
x + 2 = 5 + 2 = 7
x + 4 = 5 + 4 = 9

Página No 144:

Questão 12:

Reena é 6 anos mais velha que seu irmão Ajay. Se a soma das idades é 28 anos, quais são as idades atuais?

Responder:

Suponha que a idade atual de Ajay seja de x anos.
Como Reena é 6 anos mais velha que Ajay, a idade atual de Reena será (x + 6) anos.
De acordo com a pergunta:
x + (x + 6) = 28
ou, 2x + 6 = 28
ou, 2x + 6 - 6 = 28 - 6 [subtraindo 6 de ambos os lados]
ou 2x = 22
ou, 2 x 2 & # 160 = & # 160 22 2 [Dividindo ambos os lados por 2]
ou, x = 11
& there4 Idade atual de Ajay = 11 anos
Idade atual de Reena = x +6 = 11 + 6
= 17 anos

Página No 144:

Questão 13:

Deepak tem o dobro da idade de seu irmão Vikas. Se a diferença de suas idades for de 11 anos, encontre suas idades atuais.

Responder:

Que a idade atual dos Vikas seja de x anos.
Como Deepak tem o dobro da idade de Vikas, a idade atual de Deepak será de 2x anos.
De acordo com a pergunta:
2x - x = 11
x = 11
& there4 Idade atual de Vikas = 11 anos
Idade atual de Deepak = 2x = 2 & # 215 11
= 22 anos

Página No 144:

Questão 14:

A Sra. Goel é 27 anos mais velha que sua filha Rekha. Após 8 anos, ela terá o dobro da idade de Rekha. Encontre suas idades atuais.

Responder:

Deixe a idade atual de Rekha ser x anos.
Como a Sra. Goel é 27 anos mais velha que Rekha, a idade atual da Sra. Goel será (x + 27) anos.
Após 8 anos:
Idade de Rekha = (x + 8) anos
Sra. Goel & # 39s idade = (x + 27 + 8)
= (x + 35) anos

De acordo com a pergunta:
(x + 35) = 2 (x + 8)
ou, x + 35 = 2 & # 215 x + 2 & # 215 8 [na expansão dos colchetes]
ou, x + 35 = 2x + 16
ou, 35 - 16 = 2x - x [Transpondo 16 para o L.H.S. e x para o R.H.S.]
ou, x = 19
& there4 Idade atual de Rekha = 19 anos
Idade atual da Sra. Goel = x + 27
= 19 + 27
= 46 anos

Página No 145:

Questão 15:

Um homem tem 4 vezes mais idade que seu filho. Após 16 anos, ele terá apenas o dobro da idade de seu filho. Encontre suas idades atuais.

Responder:

Seja a idade atual do filho x anos.
Como o homem tem 4 vezes mais que seu filho, a idade atual do homem será de (4x) anos.
Após 16 anos:
Idade do filho = (x + 16) anos
Idade do homem = (4x + 16) anos

De acordo com a pergunta:
(4x + 16) = 2 (x + 16)
ou, 4x + 16 = 2 & # 215 x + 2 & # 215 16 [na expansão dos colchetes]
ou 4x + 16 = 2x + 32
ou, 4x - 2x = 32 - 16 [Transpondo 16 para o R.H.S. e 2x para o L.H.S.]
ou 2x = 16
ou, 2 x 2 & # 160 = & # 160 16 2 [Dividindo ambos os lados por 2]
ou, x = 8
& there4 Idade atual do filho = 8 anos
Idade atual do homem = 4x = 4 & # 215 8
= 32 anos

Página No 145:

Questão 16:

Um homem tem três vezes a idade de seu filho. Cinco anos atrás, o homem tinha quatro vezes mais idade que o filho. Encontre suas idades atuais.

Responder:

Seja a idade atual do filho x anos.
Como o homem tem 3 vezes mais idade que seu filho, a idade atual do homem será de (3x) anos.

5 anos atrás:
Idade do filho = (x - 5) anos
Idade do homem = (3x - 5) anos

De acordo com a pergunta:
(3x - 5) = 4 (x - 5)
ou, 3x - 5 = 4 & # 215 x - 4 & # 215 5 [na expansão dos colchetes]
ou, 3x - 5 = 4x - 20
ou, 20 - 5 = 4x - 3x [Transpondo 3x para o R.H.S. e 20 para o L.H.S.]
ou, x = 15
& there4 Idade atual do filho = 15 anos
Idade atual do homem = 3x = 3 & # 215 15
= 45 anos

Página No 145:

Questão 17:

Após 16 anos, Fátima terá três vezes mais idade do que agora. Encontre sua idade atual.

Responder:

Seja a idade atual de Fátima x anos.

Após 16 anos:
Idade de Fátima = (x + 16) anos

De acordo com a pergunta:
x + 16 = 3 (x)
ou, 16 = 3x - x [Transpondo x para o R.H.S.]
ou, 16 = 2x
ou, 2 x 2 & # 160 = & # 160 16 2 [Dividindo ambos os lados por 2]
ou, x = 8
& there4 Idade atual de Fátima = 8 anos

Página No 145:

Questão 18:

Após 32 anos, Rahim terá 5 vezes mais idade do que 8 anos atrás. Quantos anos Rahim tem hoje?

Responder:

Seja a idade atual de Rahim x anos.
Após 32 anos:
Idade de Rahim = (x + 32) anos
8 anos atrás:
Idade de Rahim = (x - 8) anos
De acordo com a pergunta:
x + 32 = 5 (x - 8)
ou, x + 32 = 5x - 5 & # 215 8
ou, x + 32 = 5x - 40
ou, 40 + 32 = 5x - x [Transposição & # 39x & # 39 para o R.H.S. e 40 para o L.H.S.]
ou 72 = 4x
ou, 4 x 4 & # 160 = & # 160 72 4 [Dividindo ambos os lados por 4]
ou, x = 18
Assim, a idade atual de Rahim é 18 anos.

Página No 145:

Questão 19:

Uma sacola contém moedas de 25 paisa e 50 paisa, cujo valor total é Rs 30. Se o número de moedas de 25 paisa for quatro vezes maior do que as moedas de 50 paisa, encontre o número de cada tipo de moeda.

Responder:

Seja o número de 50 moedas de paisa x.
Então, o número de moedas de 25 paisa será 4x.
De acordo com a pergunta:
0,50 (x) + 0,25 (4x) = 30
ou 0,5x + x = 30
ou 1,5x = 30
ou 1. 5 x 1. 5 & ​​# 160 = & # 160 30 1. 5 [Dividindo ambos os lados por 1,5]
ou, x = 20
Assim, o número de 50 moedas paisa é 20.
Número de 25 moedas paisa = 4x = 4 & # 215 20 = 80

Página No 145:

Questão 20:

Cinco vezes o preço de uma caneta é Rs 17 mais do que três vezes seu preço. Encontre o preço da caneta.

Responder:

Deixe o preço de uma caneta ser Rs x.
De acordo com a pergunta:
5x = 3x + 17
ou, 5x - 3x = 17 [Transpondo 3x para o L.H.S.]
ou 2x = 17
ou, 2 x 2 & # 160 = & # 160 17 2 [Dividindo ambos os lados por 2]
ou, x = 8,50
& there4 Preço de uma caneta = Rs 8,50

Página No 145:

Questão 21:

O número de meninos em uma escola é 334 a mais do que o número de meninas. Se a força total da escola é 572, encontre o número de meninas na escola.

Responder:

Deixe o número de meninas na escola ser x.
Então, o número de meninos na escola será (x + 334).
Força total da escola = 572

e aí 4 x + (x + 334) = 572
ou 2x + 334 = 572
ou 2x + 334 - 334 = 572 - 334
ou, 2x = 238
ou, 2 x 2 & # 160 = & # 160 238 2 [Dividindo ambos os lados por 2]
ou, x = 119
& there4 Número de meninas na escola = 119

Página No 145:

Questão 22:

O comprimento de um parque retangular é três vezes maior. Se o perímetro do parque for de 168 metros, calcule suas dimensões.

Responder:

Deixe a largura do parque ser de x metros.
Então, a extensão do parque será de 3x metros.
Perímetro do parque = 2 (Comprimento + Largura) = 2 (3x + x ) m
Perímetro dado = 168 m

e aí 4 2 (3x + x) = 168
ou, 2 (4x) = 168
ou, 8x = 168 [na expansão dos colchetes]
ou, 8 x 8 & # 160 = & # 160 168 8 [Dividindo ambos os lados por 8]
ou, x = 21 m
& there4 Largura do parque = x = 21 m
Comprimento do parque = 3x = 3 × 21 = 63 m

Página No 145:

Questão 23:

O comprimento de um salão retangular é 5 metros a mais que sua largura. Se o perímetro do corredor é de 74 metros, encontre seu comprimento e largura.

Responder:

Permita que a largura do corredor seja de x metros.
Então, o comprimento do corredor será (x + 5) metros.
Perímetro do corredor = 2 (Comprimento + Largura) = 2 ( x + 5 + x) metros
Dado o perímetro do corredor retangular = 74 metros

e lá 4 2(x + 5 + x) = 74
ou, 2 (2x + 5 ) = 74
ou, 2 & times2x + 2 & times5 = 74 [na expansão dos colchetes]
ou 4x + 10 = 74
ou 4x + 10 - 10 = 74 - 10 [Subtraindo 10 de ambos os lados]
ou 4x = 64
ou, 4 x 4 & # 160 = & # 160 64 4 [Dividindo ambos os lados por 4]
ou, x = 16 metros
& there4 Largura do parque = x
= 16 metros
Comprimento do parque = x + 5 = 16 + 5
= 21 metros

Página No 145:

Questão 24:

Um fio de 86 cm de comprimento é dobrado na forma de um retângulo, de modo que seu comprimento é 7 cm a mais que sua largura. Encontre o comprimento e a largura do retângulo assim formado.

Responder:

Deixe a largura do retângulo ser x cm.
Então, o comprimento do retângulo será (x + 7) cm.
Perímetro do retângulo = 2 (Comprimento + Largura) = 2 (x + 7 + x) cm
Dado o perímetro do retângulo = Comprimento do fio = 86 cm

e aí 4 2 (x + 7 + x) = 86
ou, 2 (2x + 7) = 86
ou, 2 & times2x + 2 & times 7 = 86 [na expansão dos colchetes]
ou, 4x + 14 = 86
ou, 4x + 14 - 14 = 86 - 14 [Subtraindo 14 de ambos os lados]
ou 4x = 72
ou, 4 x 4 & # 160 = & # 160 72 4 [Dividindo por 4 em ambos os lados]
ou, x = 18 metros
Largura do corredor = x
= 18 metros
Comprimento do corredor = x + 7
= 18 + 7
= 25 metros

Página No 146:

Questão 1:

Um homem ganha Rs 25 por hora. Quanto ele ganha em x horas?

Responder:

Ganho do homem por hora = Rs 25

Ganhar do homem em x horas = Rs (25 & # 215 x)
= Rs 25x

Página No 146:

Questão 2:

O custo de 1 caneta é Rs 16 e o ​​custo de 1 lápis é Rs 5. Qual é o custo total de x canetas e y lápis.

Responder:

Custo de 1 caneta = Rs 16
& there4 Custo de & # 39x& # 39 canetas = Rs 16 & # 215 x
= Rs 16x
Da mesma forma, custo de 1 lápis = Rs 5
& there4 Custo de & # 39y & # 39 lápis = 5 Rs & # 215 y
= Rs 5y
& there4 Custo total de x canetas e y lápis = Rs (16x + 5y)

Página No 146:

Questão 3:

Lalit ganha Rs x por dia e gasta Rs y por dia. Quanto ele economiza em 30 dias?

Responder:

Ganho de Lalit por dia = Rs x
& there4 Lalit & # 39s ganhando em 30 dias = Rs 30 & # 215 x
= Rs 30x

Da mesma forma, despesas de Lalit por dia = Rs y
& there4 Lalit & # 39s gasto em 30 dias = Rs 30 & # 215 a
= Rs 30y
& there4 Em 30 dias, Lalit economiza = (Total de ganhos - Total de despesas)
= Rs (30x - 30y)
= Rs 30 (x - y)

Página No 146:

Questão 4:

Três vezes um número adicionado a 8 dá 20. Encontre o número.

Responder:

Seja o número necessário x.
Três vezes esse número é 3x.
Ao adicionar 8, o número torna-se 3x + 8.
3x + 8 = 20
ou, 3x + 8 - 8 = 20 - 8 [subtraindo 8 de ambos os lados]
ou, 3x = 12
ou, 3 x 3 & # 160 = & # 160 12 3 [Dividindo ambos os lados por 3]
ou, x = 4
& there4 Número necessário = 4

Página No 146:

Questão 5:

Se x = 1, y = 2 e z = 3, encontre o valor de x 2 + y 2 + 2xyz.

Responder:

Substituindo x = 1, y = 2 e z = 3 na equação dada (x 2 + y 2 + 2xyz):

Página No 146:

Questão 6:

Responder:

4x + 9 = 17
ou, 4x + 9 - 9 = 17 - 9 [subtraindo 9 de ambos os lados]
ou, 4x = 8
ou, 4 x 4 & # 160 = & # 160 8 4 [Dividindo ambos os lados com 4]
ou, x = 2

Página No 146:

Questão 7:

Responder:

3(x + 2) e menos 2 (x & menos 1) = 7.
ou, 3 & # 160 & # 215 & # 160 x & # 160 + & # 160 3 & # 160 & # 215 & # 160 2 & # 160 - & # 160 2 & # 160 & # 215 & # 160 x & # 160 - & # 160 2 & # 160 & # 215 & # 160 (- 1) & # 160 = & # 160 7 [Na expansão dos colchetes]
ou, 3x + 6 e menos 2x + 2 = 7
ou, x + 8 = 7
ou, x + 8 e menos 8 = 7 e menos 8 [subtraindo 8 de ambos os lados]
ou, x = & menos1

Página No 146:

Questão 8:

Responder:

2 x 5 & # 160 - x 2 & # 160 = & # 160 5 2
ou, 4 x & # 160 - & # 160 5 x 10 & # 160 = & # 160 5 2 [Tomando o L.C.M. como 10]
ou - x 10 & # 160 = & # 160 5 2
ou, - x 10 & # 215 - 10 & # 160 = & # 160 5 2 & # 215 - 10 [Multiplicando ambos os lados por (& menos10)]
ou, x = & menos 25

Página No 146:

Questão 9:

A soma de três números naturais consecutivos é 51. Encontre os números.

Responder:

Sejam os três números naturais consecutivos x, (x + 1) e (x + 2).

e aí 4 x + (x + 1) + (x + 2) = 51
3x + 3 = 51
3x + 3 - 3 = 51 - 3 [Subtraindo 3 de ambos os lados]
3x = 48
3 x 3 & # 160 = & # 160 48 3 [Dividindo ambos os lados por 3]
x = 16
Assim, os três números naturais são x = 16, x + 1 = 17 e x + 2 = 18.

Página No 146:

Questão 10:

Após 16 anos, Seema terá três vezes mais idade do que agora. Encontre sua idade atual.

Responder:

Deixe a idade atual de Seema ser x anos.
Após 16 anos:
Seema & # 39s idade = x + 16


Condições de limite de Dirichlet

Considere o problema começar & amp u_t = ku_& amp & amp 0 & lt x & lt l, t & gt0, label [3pt] & amp u | _= u | _= 0. Rótulo [3pt] & amp u | _= g (x). etiqueta fim Vamos considerar um solução simples $ u (x, t) = X (x) T (t) $ então separando as variáveis ​​chegamos a $ frac= k frac$ que implica $ X & # 39 & # 39 + lambda X = 0 $ e begin T & # 39 = -k lambda T label fim (explique, como). Também obtemos as condições de contorno $ X (0) = X (l) = 0 $ (explique como).

Portanto, temos autovalores $ lambda_n = ( frac < pi n>) ^ 2 $ e funções próprias $ X_n = sin ( frac < pi n x>) $ ($ n = 1,2, ldots $) e equação ( ref) por $ T $, que resulta em begin T_n = A_ne ^ <-k lambda_n t> label fim e, portanto, uma solução simples é begin u_n = A_ne ^ <- k lambda_n t> sin ( frac < pi n x>) etiqueta fim e procuramos uma solução geral na forma begin u = sum_^ infty A_ne ^ <- k lambda_n t> sin ( frac < pi n x>) etiqueta fim Novamente, levando em consideração a condição inicial ( ref) vemos que começar soma_^ infty A_n sin ( frac < pi n x>) = g (x). etiqueta fim e portanto começar A_n = frac <2> int_0 ^ l g (x) sin ( frac < pi n x>) , dx. etiqueta fim

Corolários

  1. Fórmula ( ref) mostra que o problema está realmente mal colocado para $ t & lt0 $.
  2. Fórmula ( ref) mostra que como $ t to + infty $ begin u = O (e ^ <- k lambda_1 t>) rótulo fim
  3. Além disso, temos como $ t to + infty $ begin u = A_1 e ^ <- k lambda_1t> X_1 (x) e ^ <- k lambda_1 t> + O (e ^ <- k lambda_2 t>). etiqueta fim

Considere agora o problema não homogêneo com a expressão à direita e as condições de contorno independentes de $ t $: begin & amp u_t = ku_+ f (x), & amp & amp t & gt0, 0 & lt x & lt l, label [3pt] & amp u | _= phi, qquad u | _= psi, rótulo [3pt] & amp u | _= g (x). rótulo fim Vamos descartar a condição inicial e encontrar um solução estacionária $ u = v (x) $: begin & amp v & # 39 & # 39 = - frac <1>f (x), & amp & amp 0 & lt x & lt l, label [3pt] & amp v (0) = phi, qquad v (l) = psi. Label fim Então ( ref) implica begin v (x) = - frac <1> int_0 ^ x int_0 ^ f (x & # 39 & # 39) , dx & # 39 & # 39dx & # 39 + A + Bx = int_0 ^ x (x-x & # 39) f (x & # 39) , dx & # 39 + A + Bx end onde usamos a fórmula de $ n $ -ésima integral (você deve conhecê-la do Cálculo I) begin I_n (x) = frac <1> <(n-1)!> Int_a ^ x (x-x & # 39) ^f (x & # 39) , dx & # 39 qquad n = 1,2, ldots end para $ I_n: = int_a ^ x I_(x & # 39) , dx & # 39 $, $ I_0 (x): = f (x) $.

Então, satisfazendo b.c. $ A = phi $ e $ B = frac <1>( psi- phi + frac <1> int_0 ^ l (l-x & # 39) f (x & # 39) , dx & # 39) $ e begin v (x) = int_0 ^ x G (x, x & # 39) f (x & # 39) , dx & # 39 + phi (1- frac) + psi frac etiqueta fim com Função verde & # 39s começar G (x, x & # 39) = frac <1> left < begin& amp x & # 39 (1- frac) & amp & amp 0 & lt x & # 39 & lt x, [3pt] & amp x (1- frac) & amp & amp x & lt x & # 39 & lt l. fimcerto. etiqueta fim Voltando ao problema original, notamos que $ u-v $ satisfaz ( ref) - ( ref) com $ g (x) $ substituído por $ g (x) -v (x) $ e, portanto, $ u-v = O (e ^ <- k lambda_1t>) $. Então comece u = v + O (e ^ <- k lambda_1t>). etiqueta fim Em outras palavras, a solução se estabiliza na solução estacionária. Para uma análise mais detalhada do BVP para EDOs, consulte a Seção 6.A.

Outras condições de limite

Abordagem semelhante funciona nos casos de condições de contorno que consideramos antes:

uma. Dirichlet em uma extremidade e Neumann na outra extremidade $ u | _= u_x | _= 0 $ b. Neumann em ambas as extremidades $ u_x | _= u_x | _= 0 $ c. Periódico $ u | _= u | _$, $ u_x | _= u_x | _$ d. Dirichlet em uma extremidade e Robin na outra $ u | _= (u_x + beta u) | _= 0 $ e. Robin em ambas as extremidades $ (u_x- alpha u) | _= (u_x + beta u) | _=0$

mas em (4), (5) não podemos encontrar os autovalores explicitamente.

Corolários

Todos os corolários permanecem válidos enquanto $ lambda_1 & gt0 $ que acontece nos casos (a), (d) com $ beta ge 0 $, (e) com $ alpha ge 0, beta ge 0 $ exceto $ alpha = beta = 0 $.


Equações Variáveis

Espero que você tenha uma boa experiência com este site e recomendo para seus amigos também.

Uma equação é uma frase matemática, diz que duas coisas são iguais uma à outra.

Um dos conceitos matemáticos mais importantes é resolver equações como x + 3 = 5.

Isso é chamado de equação variável.

Nesta equação, x é uma variável.

O objetivo ao resolver equações é descobrir o que a variável é igual.

Em outras palavras, qual número você pode colocar no lugar da variável que tornará a afirmação verdadeira?

Para fazer isso, faça a operação oposta para cada lado.

Isso significa que se um número for adicionado, você deve subtrair (e vice-versa). Se um número for multiplicado, você deve dividir (e vice-versa).

Vejamos alguns exemplos para ver como fazer isso.

Esta equação diz que 9 mais alguma coisa (n) é igual a 10.

Para descobrir, devemos obter n por si só.

O que está do mesmo lado do n?

Uma vez que está sendo adicionado, devemos fazer o oposto - subtração.

Devemos subtrair 9 de ambos os lados da equação.

n = 1 [À esquerda, obtemos apenas n, uma vez que 9 - 9 = 0. À direita, 10 - 9 = 1]

Sabemos que isso está certo porque torna a equação verdadeira. 9 + 1 = 10.

Esta equação diz que 4 vezes algo (n) é igual a 32.

Visto que 4 está sendo multiplicado, devemos dividir ambos os lados por 4.

1 x n = 8 [À esquerda, 4 & dividir 4 = 1 e 1 x n = n. À direita, 32 & dividir 4 = 8.]

Sabemos que isso está certo porque 4 x 8 = 32.

Essa equação tem duas coisas que precisam ser movidas - o 2 e o 4.

Você deve sempre mover o número que está sendo adicionado ou subtraído primeiro.

2x + 4 - 4 = 10 - 4 [À esquerda, 4 - 4 = 0 e 2x ainda está lá. À direita, 10 - 4 = 6]

Podemos verificar nossa resposta colocando 3 de volta na equação original no lugar de x.

Isso é verdade, então sabemos que estamos certos.

No último problema, aprendemos que você deve mover o número que está sendo adicionado ou subtraído antes do número que está sendo multiplicado ou dividido.

Mas esse problema é uma exceção a essa regra porque algo está diferente.

Você vê o que é?

É por causa do parêntese.

Os parênteses são símbolos de agrupamento que nos alertam de que o que está dentro está sendo agrupado.

Normalmente, isso significaria que devemos adicionar x + 6 primeiro, mas como não sabemos o que é x, não podemos fazer isso. Em vez disso, estamos tentando obter x por si só.

E como x + 6 é um grupo, temos que mover o 2 primeiro.

Uma vez que o 2 está sendo multiplicado

Lembre-se: um número ao lado do parêntese sem nada no meio significa multiplicação.

Devemos dividir os dois lados por 2.

2 (x + 6) = 20 [À esquerda, 2 & dividir 2 = 1 e apenas x + 6 à esquerda]

Os parênteses não são mais necessários, pois x + 6 é a única coisa desse lado da equação.

Agora podemos mover 6 subtraindo 6 de ambos os lados.

Podemos verificar se isso é verdade colocando 4 de volta para x.

Lembre-se de fazer o que está entre parênteses primeiro.

Joe praticou piano pela mesma quantidade de tempo todos os dias na semana passada. Ele praticou por 70 minutos no total. Quanto ele pratica por dia?

Para resolver isso, podemos primeiro escrever uma equação. Não sabemos quanto tempo ele praticou a cada dia, então isso terá que ser uma variável.

Vamos usar & # 39t & # 39 por tempo.

Sabemos que ele praticou por 7 dias (porque são 7 dias na semana).

Então, 7 vezes t (a quantidade que ele praticou a cada dia) deve ser igual a 70 minutos.

Agora podemos resolver essa equação.

7 vezes o número é igual a 70?

Então, Joe praticou 10 minutos por dia.

Alexandra comprou mais 3 doces esta semana do que na semana passada. Esta semana ela comprou 8 peças. Quantos ela comprou na semana passada?

Para escrever uma equação, precisamos descobrir o que estamos procurando. Queremos descobrir como

muitas peças que ela comprou na semana passada. Não sabemos disso, então será nossa variável.

Vamos usar & # 39c & # 39 para doces.

Alexandra comprou mais 3 doces esta semana do que na semana passada. Portanto, a soma de & # 39c & # 39 e 3 deve ser 8.


Assista o vídeo: AO VIVO Me Salva! Resumão de Equações Diferenciais! (Outubro 2021).