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7.6: Resolvendo Equações


Lembre-se (consulte a Seção 1.6) de que uma variável é um símbolo (geralmente uma letra) que representa um valor que varia. Se uma variável em uma equação é substituída por um número e o resultado é uma afirmação verdadeira, então esse número é chamado de solução da equação.

Exemplo 1

É −6 uma solução da equação 2x + 5 = −7?

Solução

Substitua -6 por x na equação.

[ begin {alinhados} 2x + 5 = 7 ~ & textcolor {red} { text {Equação original.}} 2 (-6) +5 = -7 ~ & textcolor {red} { text {Substituir} -6 text {por} x.} -12 + 5 = -7 ~ & textcolor {vermelho} { text {À esquerda, multiplique primeiro.}} -7 = -7 ~ & textcolor {red} { text {À esquerda, adicione.}} end {alinhado} nonumber ]

Como a última afirmação é verdadeira, −6 é uma solução da equação.

Exercício

É −4 uma solução de 8 - 2x = 5?

Responder

Não

Adicionando ou subtraindo a mesma quantidade

Duas equações com o mesmo conjunto de soluções são equivalente. Por exemplo, 2x+5 = −7 e x = −6 têm as mesmas soluções. Portanto, são equações equivalentes. Certas operações algébricas produzem equações equivalentes.

Produzindo Equações Equivalentes

Adicionando a mesma quantidade aos dois lados de uma equação. Se começarmos com a equação

[a = b, nonumber ]

então adicionando c para ambos os lados da equação produz a equação equivalente

[a + c = b + c. não numérico ]

Subtraindo a mesma quantidade de ambos os lados de uma equação. Se começarmos com a equação

[a = b, nonumber ]

então subtraindo c de ambos os lados da equação produz a equação equivalente

[a - c = b - c. não numérico ]

Ou seja, adicionar ou subtrair a mesma quantidade de ambos os lados de uma equação não mudará as soluções da equação.

Exemplo 2

Resolva para x: x + 3= −7.

Solução

Para desfazer o efeito da adição de 3, subtraia 3 de ambos os lados da equação.

[ begin {alinhados} x + 3 = -7 ~ & textcolor {red} { text {Equação original.}} x + 3 - 3 = -7 -3 ~ & textcolor {red} { text {Subtraia 3 de ambos os lados.}} x = -7 + (-3) ~ & begin {array} {l} textcolor {red} { text {Simplifique o lado esquerdo. À direita,}} textcolor {red} { text {expressam subtrações adicionando o oposto.}} End {array} x = -10 end {alinhado} nonumber ]

Para verificar a solução, substitua -10 por x na equação original e simplificar.

[ begin {alinhados} x + 3 = -7 ~ & textcolor {red} { text {Equação original.}} -10 + 3 = -7 ~ & textcolor {red} { text {Substituto } -10 text {for} x.} = 7 = -7 ~ & textcolor {red} { text {Simplifique os dois lados.}} End {alinhado} nonumber ]

Como a última linha da verificação é uma afirmação verdadeira, isso confirma que −10 é uma solução.

Exercício

Resolva para x: x + 9 = -11.

Responder

x = −20

Exemplo 3

Resolva para x: x − 8 = −11.

Solução

Para desfazer o efeito da subtração de 8, adicione 8 a ambos os lados da equação.

[ begin {alinhados} x - 8 = -11 ~ & textcolor {red} { text {Equação original.}} x - 8 + 8 = -11+ 8 ~ & textcolor {red} { text {Adicione 8 a ambos os lados.}} x = -3 ~ & textcolor {red} { text {Simplifique ambas as equações.}} end {alinhado} nonumber ]

Para verificar a solução, substitua −3 por x na equação original e simplificar.

[ begin {alinhados} x - 8 = -11 ~ & textcolor {red} { text {Equação original.}} -3 - 8 = -11 ~ & textcolor {red} { text {Substituto } -3 text {for} x.} -11 = -11 ~ & textcolor {red} { text {Simplifique os dois lados.}} End {alinhado} nonumber ]

Como a última linha da verificação é uma afirmação verdadeira, isso confirma que −3 é uma solução.

Exercício

Resolva para x: x − 2 = −7

Responder

x = −5

Às vezes, é necessário um pouco de simplificação antes de iniciar o processo de solução.

Exemplo 4

Resolva para y: −8+2= y − 11(−4).

Solução

Primeiro, simplifique os dois lados da equação.

[ begin {alinhado} -8 + 2 = y -11 (-4) ~ & textcolor {red} { text {Equação original.}} -6 = y - (- 44) ~ & begin {array} {l} textcolor {red} { text {Simplifique. À esquerda,} -8 + 2 = -6.} textcolor {red} { text {À direita,} 11 (-4) = -44.} End {array} -6 = y + 44 - 44 ~ & textcolor {red} { text {Subtraia 44 de ambos os lados da equação.}} -6 + (-44) = y ~ & textcolor {red} { text {Express subtração como adição. Simplifique à direita.}} -50 = y end {alinhado} nonumber ]

Para verificar a solução, substitua -50 por y na equação original e simplificar.

[ begin {alinhados} -8 + 2 = y -11 (-4) ~ & textcolor {red} { text {Equação original.}} -8 + 2 = -50 -11 (-4) ~ & textcolor {red} { text {Substituir} -50 text {por} y.} -6 = -50 - (- 44) ~ & textcolor {red} { text {Subtração expressa no à direita como adição.}} -6 = -6 ~ & textcolor {red} { text {À direita, adicione:} -50 + 44 = -6.} end {alinhado} nonumber ]

Como a última linha da verificação é uma afirmação verdadeira, isso confirma que −50 é uma solução.

Exercício

Resolva para y: y + 2(−4) = −8+6

Responder

y = 6

Multiplicando ou dividindo pelo mesmo valor

Adicionar e subtrair não é a única maneira de produzir uma equação equivalente.

Produzindo Equações Equivalentes

Multiplicando os dois lados de uma equação pela mesma quantidade. Se começarmos com a equação

[a = b, nonumber ]

então multiplicando ambos os lados da equação por c produz a equação equivalente

[a cdot c = b cdot c, text {ou equivalentemente,} ac = bc, nonumber ]

fornecido c ≠ 0.

Dividindo os dois lados de uma equação pela mesma quantidade. Se começarmos com a equação

[a = b, nonumber ]

então, dividir ambos os lados da equação por c produz a equação equivalente

[ frac {a} {c} = frac {b} {c}, nonumber ]

fornecido c ≠ 0.

Ou seja, multiplicar ou dividir os dois lados de uma equação pelo mesmo valor não mudará as soluções da equação.

Exemplo 5

Resolva para x: −3x = 30.

Solução

Para desfazer o efeito da multiplicação por −3, divida ambos os lados da equação por −3.

[ begin {alinhados} -3x = 30 ~ & textcolor {red} { text {Equação original.}} frac {-3x} {- 3} = frac {30} {- 3} ~ & textcolor {red} { text {Divide ambos os lados por} -3.} x = -10 ~ & begin {array} {l} textcolor {red} { text {À esquerda,} - 3 text {times} x, text {dividido por} -3 text {is} x.} textcolor {red} { text {À direita,} 30 / (- 3) = - 10. } end {array} end {alinhado} nonumber ]

Para verificar a solução, substitua x por −10 na equação original e simplifique.

[ begin {alinhados} -3x = 30 ~ & textcolor {red} { text {Equação original.}} -3 (-10) = 30 ~ & textcolor {red} { text {Substituto} -10 text {for} x.} 30 - 30 ~ & textcolor {red} { text {Simplifique.}} End {alinhado} nonumber ]

Como a última linha da verificação é uma afirmação verdadeira, isso confirma que −10 é uma solução.

Exercício

Resolva para z: −4z = −28

Responder

z = 7

Exemplo 6

Resolva para x: ( frac {x} {- 2} = -20 ).

Solução

Para desfazer o efeito da divisão por −2, multiplique ambos os lados da equação por −2.

[ begin {alinhados} frac {x} {- 2} = -20 ~ & textcolor {red} { text {Equação original.}} -2 left ( frac {x} {- 2 } right) - -2 (-20) ~ & textcolor {red} { text {Multiplique ambos os lados por} -2.} x = 40 ~ & begin {array} {l} textcolor {red } { text {À esquerda,} x text {dividido por} -2, text {multiplicado por} -2,} textcolor {red} { text {o resultado é} x. text {à direita,} -2 (-20) = 40.} end {array} end {alinhado} nonumber ]

Para verificar a solução, substitua 40 por x na equação original e simplifique.

[ begin {alinhados} frac {x} {- 2} = -20 ~ & textcolor {red} { text {Equação original.}} frac {40} {- 2} = -20 ~ & textcolor {red} { text {Substitua 40 por} x.} -20 = -20 ~ & textcolor {red} { text {Simplifique os dois lados.}} end {alinhado} nonumber ]

Como a última linha da verificação é uma afirmação verdadeira, isso confirma que 40 é uma solução.

Combinando Operações

Lembre-se da discussão “Wrap” e “Unwrap” da Seção 1.6. Para embrulhar um presente: (1) colocamos o papel de presente, (2) colocamos a fita adesiva e (3) colocamos o laço decorativo. Para desembrulhar o presente, devemos “desfazer” cada uma dessas etapas na ordem inversa. Portanto, para desembrulhar o presente, nós: (1) tiramos o laço decorativo, (2) tiramos a fita adesiva e (3) tiramos o papel do presente.

Agora, imagine uma máquina que recebe sua entrada, então: (1) multiplica a entrada por 2 e (2) adiciona 3 ao resultado. Esta máquina é ilustrada à esquerda na Figura 2.16.

Para “desembrulhar” o efeito da máquina à esquerda, precisamos de uma máquina que “desfaça” cada uma das etapas da primeira máquina, mas na ordem inversa. A máquina de “desembrulhar” é ilustrada à direita na Figura 2.16. Primeiro, ele subtrairá três de sua entrada e, em seguida, dividirá o resultado por 2. Observe que cada uma dessas operações “desfaz” a operação correspondente da primeira máquina, mas na ordem inversa.

Por exemplo, solte o inteiro 7 na primeira máquina à esquerda na Figura 2.16. Primeiro, dobramos 7 e, em seguida, adicionamos 3 ao resultado. O resultado é 2 (7) + 3 = 17.

Agora, para “desembrulhar” esse resultado, colocamos 17 na segunda máquina. Primeiro subtraímos 3 e depois dividimos por 2. O resultado é (17 - 3) / 2 = 7, a entrada inteira original na primeira máquina.

Agora, considere a equação

[2x + 3 = 7. Não numérico ]

À esquerda, a ordem das operações exige que primeiro multipliquemos x por 2 e, em seguida, adicionemos 3. Para resolver essa equação para x, devemos “desfazer” cada uma dessas operações na ordem inversa. Assim, iremos (1) subtrair três de ambos os lados da equação e, em seguida, (2) dividir ambos os lados da equação resultante por 2.

[ begin {alinhados} 2x + 3 - 3 = 7 - 3 ~ & textcolor {red} { text {Subtraia 3 de ambos os lados.}} 2x = 4 ~ & textcolor {red} { text {Simplifique os dois lados.}} frac {2x} {2} = frac {4} {2} ~ & textcolor {red} { text {Divida os dois lados por 2.}} x = 2 ~ & textcolor {red} { text {Simplifique os dois lados.}} end {alinhado} nonumber ]

Os leitores devem verificar esta solução na equação original.

Exemplo 7

Resolva para x: ( frac {x} {4} - 3 = -7 ).

Solução

À esquerda, a ordem das operações exige que primeiro dividamos x por 4, então subtraia 3. Para resolver esta equação para x, devemos “desfazer” cada uma dessas operações na ordem inversa. Assim, iremos (1) adicionar 3 a ambos os lados da equação e (2) multiplicar ambos os lados da equação resultante por 4.

[ begin {alinhados} frac {x} {4} - 3 = -7 ~ & textcolor {red} { text {Equação original.}} frac {x} {4} - 3 + 3 = -7 + 3 ~ & textcolor {red} { text {Adicione 3 a ambos os lados.}} frac {x} {4} = -4 ~ & textcolor {red} { text {Simplifique ambos lados.}} 4 left ( frac {x} {4} right) = 4 (-4) ~ & textcolor {red} { text {Multiplique ambos os lados por 4.}} x = -16 ~ & textcolor {red} { text {Simplifique os dois lados.}} End {alinhado} nonumber ]

Verificar

Substitua -16 por x na equação original.

[ begin {alinhados} frac {x} {4} - 3 = 7 ~ & textcolor {red} { text {Equação original.}} frac {-16} {4} - 3 = - 7 ~ & textcolor {red} { text {Substituir} -16 text {por} x.} -4 -3 = -7 ~ & textcolor {red} { text {Divida primeiro:} -16 / 4 = -4.} -7 = - 7 ~ & textcolor {red} { text {Subtrair:} -4 -3 = -7.} End {alinhado} nonumber ]

Como a última linha da verificação é uma afirmação verdadeira, −16 é uma solução da equação original.

Exercício

Resolva para x:

[ frac {x} {2} + 6 = 4 não numérico ]

Responder

x = -4

Exemplo 8

Resolva para t: 0=8 − 2t.

Solução

À direita, a ordem das operações exige que primeiro multipliquemos t por −2 e, em seguida, adicionemos 8. Para resolver essa equação para t, devemos “desfazer” cada uma dessas operações na ordem inversa. Assim, iremos (1) subtrair 8 de ambos os lados da equação e (2) dividir os dois lados da equação resultante por -2.

[ begin {alinhados} 0 = 8 -2t ~ & textcolor {red} { text {Equação original.}} 0 - 8 = 8 - 2t - 8 ~ & textcolor {red} { text { Subtraia 8 de ambos os lados.}} -8 = -2t ~ & textcolor {red} { text {Simplifique os dois lados.}} frac {-8} {- 2} = frac {-2t } {- 2} ~ & textcolor {red} { text {Divida os dois lados por 2.}} 4 = t ~ & textcolor {red} { text {Simplifique os dois lados.}} End {alinhado } enhum número ]

Verificar

Substitua 4 por t na equação original.

[ begin {alinhados} 0 = 8 - 2t ~ & textcolor {red} { text {Equação original.}} 0 = 8 - 2 (4) ~ & textcolor {red} { text {Substituto 4 para} t.} 0 = 8-8 ~ & textcolor {red} { text {Multiplique primeiro: 2 (4) = 8.}} 0 = 0 ~ & textcolor {red} { texto {Subtrair:} 8-8 = 0.} end {alinhado} não numérico ]

Como a última linha da verificação é uma afirmação verdadeira, 4 é uma solução da equação original.

Exercício

Resolva para r: 0 = 9 + 3r

Responder

r = -3

Exemplo 9

Resolva para p: (- 12 + 3 = -8 + 4 + frac {p} {- 3}. )

Solução

Sempre simplifique quando possível.

[ begin {alinhados} -12 + 3 = -8 + 4 + frac {p} {- 3} ~ & textcolor {red} { text {Equação de Origianl.}} -9 = -4 + frac {p} {- 3} ~ & textcolor {red} { text {Simplifique os dois lados.}} end {alinhado} nonumber ]

À direita, a ordem das operações exige que primeiro dividamos p por −3, então adicione −4. Para resolver esta equação para p, devemos “desfazer” cada uma dessas operações na ordem inversa. Assim, iremos (1) adicionar um 4 positivo a ambos os lados da equação e, em seguida, (2) multiplicar ambos os lados da equação resultante por −3.

[ begin {align} -9 + -4 = -4+ frac {p} {- 3} + 4 ~ & textcolor {red} { text {Adicione 4 a ambos os lados.}} -5 = frac {p} {- 3} ~ & textcolor {red} { text {Simplifique os dois lados.}} -3 (-5) = -3 left ( frac {p} {- 3} right) ~ & textcolor {red} { text {Multiplique ambos os lados por} -3.} 15 = p ~ & textcolor {red} { text {Simplifique os dois lados.}} end {alinhado} enhum número ]

Verificar

Substitua 15 por p na equação original.

[ begin {alinhados} -12 + 3 = = 8 + 4 + frac {p} {- 3} ~ & textcolor {red} { text {Equação original.}} -12 + 3 = - 8 + 4 + frac {15} {- 3} ~ & textcolor {red} { text {Substitua 15 por} p.} -9 = -8 + 4 + (-5) ~ & begin { alinhado} textcolor {red} { text {À esquerda, adicione:} -12 + 3 = -9. text {No}} textcolor {vermelho} { text {direita, divida:} 15 / (- 3) = -5.} end {alinhado} -9 = -4 + (-5 ) ~ & textcolor {red} { text {À direita,} -8 + 4 = -4.} -9 = -9 ~ & textcolor {red} { text {À direita, adicione: } -4 + (-5) = -9.} End {alinhado} nonumber ]

Como a última linha da verificação é uma afirmação verdadeira, 15 é uma solução da equação original.

Exercício

Resolva para q:

[ frac {q} {- 2} -9 = -8 + 3 nonumber ]

Responder

q = −8

Formulários

Vejamos algumas aplicações de equações envolvendo números inteiros. Primeiro, lembramos aos leitores que a solução de um problema de palavras deve incorporar cada uma das etapas a seguir.

Requisitos para soluções de problemas do Word

  1. Configure um Dicionário de Variáveis. Você deve permitir que seus leitores saibam o que cada variável em seu problema representa. Isso pode ser feito de várias maneiras:
    1. Declarações como “Let P representam o perímetro do retângulo. ”
    2. Rotulando valores desconhecidos com variáveis ​​em uma tabela.
    3. Rotulando quantidades desconhecidas em um esboço ou diagrama.
  2. Configure uma equação. Cada solução para um problema de palavras deve incluir uma equação cuidadosamente elaborada que descreva com precisão as restrições na definição do problema.
  3. Resolva a equação. Você sempre deve resolver a equação configurada na etapa anterior.
  4. Responda à pergunta. Esta etapa é facilmente esquecida. Por exemplo, o problema pode perguntar a idade de Jane, mas a solução da sua equação fornece a idade da irmã de Jane, Liz.Certifique-se de responder à pergunta original feita no problema. Sua solução deve ser escrita em uma frase com unidades apropriadas.
  5. Olhe para trás. É importante observar que esta etapa não implica que você deva simplesmente verificar sua solução em sua equação. Afinal, é possível que sua equação modele incorretamente a situação do problema, então você poderia ter uma solução válida para uma equação incorreta. A pergunta importante é: "Sua resposta faz sentido com base nas palavras da definição do problema original."

Exemplo 10

A conta bancária de um aluno está sacada. Depois de fazer sua conta, Allen descobre que está $ 15 a descoberto. Qual era o saldo de sua conta antes de sua retirada? depósito de $ 120, ele descobre que sua conta ainda está a descoberto em $ 75. Qual era o seu saldo antes de fazer o depósito?

Solução

Em nossa solução, abordamos cada etapa do Requisitos para soluções de problemas do Word.

1. Configure um Dicionário de Variável. Nesse caso, o desconhecido é o saldo original na conta do aluno. Deixar B representam este equilíbrio original.

2. Configure uma equação. Um número inteiro positivo representa um saldo saudável, enquanto um número negativo representa uma conta que está a descoberto. Após o depósito do aluno, a conta ainda está descoberta em $ 75. Diremos que este saldo é - $ 75. Desse modo,

[ begin {array} {ccccc} colorbox {cyan} {Saldo original} & text {plus} & colorbox {cyan} {Depósito do aluno} & text {equals} & colorbox {cyan} {Saldo atual } B & + & $ 120 & = & - $ 75 end {array} nonumber ]

3. Resolva a equação. Para “desfazer” a adição, subtraia 120 de ambos os lados da equação.

[ begin {alinhados} B + 120 = -75 ~ & textcolor {red} { text {Equação original.}} B + 120 - 120 = -75 - 120 ~ & textcolor {red} { text {Subtraia 120 de ambos os lados.}} B = -195 ~ & textcolor {red} { text {Simplifique os dois lados.}} end {alinhado} nonumber ]

4. Responda à pergunta. O saldo original estava descoberto em $ 195.

5. Olhe para trás. Se o saldo original estava a descoberto em $ 195, então deixamos - $ 195 representar esse saldo. O aluno faz um depósito de $ 120. Adicione isso ao saldo original para obter - $ 195 + $ 120 = - $ 75, o saldo atual correto.

Exercício

Depois de sacar $ 125 de sua conta, Allen descobre que está $ 15 a descoberto. Qual era o saldo de sua conta antes de sua retirada?

Responder

$110

Exemplo 11

Três mais de duas vezes um certo número é −11. Encontre o número desconhecido.

Solução

Em nossa solução, abordamos cada etapa do Requisitos para soluções de problemas do Word.

1. Configure um Dicionário de Variáveis. Deixe x representar o número desconhecido. 2. Configure uma equação. “Três mais de duas vezes um certo número” torna-se:

[ begin {array} {ccccc} colorbox {cyan} {Three} & text {more than} & colorbox {cyan} {Duas vezes um determinado número} & text {is} & colorbox {cyan} { -11} 3 & + & 2x & = & 11 end {array} nonumber ]

3. Resolva a equação. À esquerda, a ordem das operações exige que primeiro multipliquemos x por 2 e, em seguida, adicionemos 3. Assim, iremos (1) subtrair 3 de ambos os lados da equação e (2) dividir ambos os lados da equação resultante por 2.

[ begin {alinhados} 3 + 2x = -11 ~ & textcolor {red} { text {Equação original.}} 3 + 2x - 3 = -11 - 3 ~ & textcolor {red} { text {Subtraia 3 de ambos os lados.}} 2x = -14 ~ & textcolor {red} { text {Simplifique os dois lados.}} ~ frac {2x} {2} = frac {-14 } {2} ~ & textcolor {red} { text {Divida ambos os lados por 2.}} x = -7 ~ & textcolor {red} { text {Simplifique os dois lados.}} End {alinhado } enhum número ]

4. Responda à pergunta. O número desconhecido é −7.

5. Olhe para trás. A resposta satisfaz as restrições do problema? Três mais de duas vezes −7 é três mais de −14 ou −11. Portanto, a solução está correta.

Exercício ( PageIndex {1} )

Cinco menos do que duas vezes um certo número é −7. Encontre o número desconhecido.

Responder

−1

Exercícios

1. −11 é uma solução de 2x + 3 = −19?

2. −8 é uma solução de 2x + 7 = −9?

3. 6 é uma solução de 3x + 1 = 19?

4. É −6 uma solução de 2x + 7 = −5?

5. 12 é uma solução de 4x + 5 = −8?

6. −8 é uma solução de −3x + 8 = 18?

7. 15 é uma solução de 2x + 6 = −9?

8. 3 é uma solução de −4x + 1 = −20?

9. −15 é uma solução de −3x + 6 = −17?

10. −18 é uma solução de −3x + 9 = −9?

11. −6 é uma solução de −2x + 3 = 15?

12. 7 é uma solução de −3x + 5 = −16?


Nos Exercícios 13-28, resolva a equação fornecida para x.

13. x - 13 = 11

14. x - 6 = 12

15. x - 3 = 6

16. x - 3 = −19

17. x + 10 = 17

18. x + 3 = 9

19. x - 6 = 1

20. x - 10 = 12

21. x - 15 = −12

22. x - 2 = 13

23. x + 11 = −19

24. x + 3 = 17

25. x + 2 = 1

26. x + 2 = −20

27. x + 5 = −5

28. x + 14 = −15


Nos Exercícios 29-44, resolva a equação fornecida para x.

29. −x = −20

30. 5x = −35

31. ( frac {x} {- 7} ) = 10

32. ( frac {x} {- 6} ) = −20

33. ( frac {x} {- 10} ) = 12

34. ( frac {x} {2} ) = 11

35. ( frac {x} {9} ) = −16

36. ( frac {x} {- 3} ) = −7

37. −10x = 20

38. −17x = −85

39. 14x = 84

40. −10x = −40

41. -2x = 28

42. -14x = 42

43. ( frac {x} {- 10} ) = 15

44. ( frac {x} {- 8} ) = −1


Nos Exercícios 45-68, resolva a equação fornecida para x.

45. −4x - 4 = 16

46. ​​−6x - 14 = 4

47. 4x - 4 = 76

48. −5x - 15 = 45

49. 5x - 14 = −79

50. 15x - 2 = 43

51. −10x - 16 = 24

52. 2x - 7 = −11

53. 9x + 5 = −85

54. 8x + 8 = −16

55. 7x + 15 = −55

56. 2x + 2 = −38

57. −x + 8 = 13

58. −5x + 20 = −50

59. 12x - 15 = −3

60. −19x - 17 = −36

61. 4x - 12 = −56

62. 7x - 16 = 40

63. 19x + 18 = 113

64. −6x + 20 = −64

65. −14x + 12 = −2

66. -9x + 5 = 104

67. 14x + 16 = 44

68. −14x + 10 = −60


69. Dois menos de oito vezes um número desconhecido é -74. Encontre o número desconhecido.

70. Seis menos de três vezes um número desconhecido é 21. Encontre o número desconhecido.

71. Oito mais de duas vezes um número desconhecido é 0. Encontre o número desconhecido.

72. Cinco mais de oito vezes um número desconhecido é −35. Encontre o número desconhecido.

73. O número -6 é 2 a mais do que um número desconhecido. Encontre o número desconhecido.

74. O número −4 é 7 a mais do que um número desconhecido. Encontre o número desconhecido.

75. Três mais de oito vezes um número desconhecido é −29. Encontre o número desconhecido.

76. Quatro mais de nove vezes um número desconhecido é 85. Encontre o número desconhecido.

77. As pontuações de Alan em seus três primeiros exames são 79, 61 e 54. O que Alan deve pontuar em seu próximo exame para chegar à média de 71 em todos os quatro exames?

78. As pontuações de Benny em seus três primeiros exames são 54, 68 e 54. O que Benny deve pontuar em seu próximo exame para obter uma média de 61 em todos os quatro exames?

79. O quociente de dois inteiros é 5. Um dos inteiros é -2. Encontre o outro inteiro.

80. O quociente de dois inteiros é 3. Um dos inteiros é −7. Encontre o outro inteiro.

81. O quociente de dois inteiros é 9. Um dos inteiros é −8. Encontre o outro inteiro.

82. Encontre o outro número inteiro.

83. O número −5 é 8 a mais que um número desconhecido. Encontre o número desconhecido.

84. O número -6 é 8 a mais que um número desconhecido. Encontre o número desconhecido.

85. A conta bancária de um aluno está descoberto. Depois de fazer um depósito de $ 260, ele descobre que sua conta ainda está a descoberto em $ 70. Qual era o seu saldo antes de fazer o depósito?

86. Depois de fazer um depósito de $ 300, ele descobre que sua conta ainda está a descoberto em $ 70. Qual era o seu saldo antes de fazer o depósito?

87. Depois de fazer um depósito de $ 360, ele descobre que sua conta ainda está a descoberto em $ 90. Qual era o seu saldo antes de fazer o depósito?

88. Depois de fazer um depósito de $ 260, ele descobre que sua conta ainda está a descoberto em $ 50. Qual era o seu saldo antes de fazer o depósito?

89. O número −10 é −5 vezes maior que um número desconhecido. Encontre o número desconhecido.

90. O número −3 é −3 vezes maior do que um número desconhecido. Encontre o número desconhecido. 91. O número −15 é −5 vezes maior do que um número desconhecido. Encontre o número desconhecido.

92. O número −16 é 4 vezes maior do que um número desconhecido. Encontre o número desconhecido.

93. Dois a menos de nove vezes um número desconhecido é 7. Encontre o número desconhecido.

94. Quatro menos de duas vezes um número desconhecido é 8. Encontre o número desconhecido.

95. As pontuações de Mark em seus três primeiros exames são 79, 84 e 71. O que Mark deve pontuar em seu próximo exame para ter uma média de 74 em todos os quatro exames?

96. As pontuações de Alan em seus três primeiros exames são 85, 90 e 61. O que Alan deve pontuar em seu próximo exame para chegar à média de 77 em todos os quatro exames?


Respostas

1. sim

3. Sim

5. Não

7. Não

9. Não

11. sim

13. 24

15. 9

17. 7

19. 7

21. 3

23. −30

25. −1

27. −10

29. 20

31. −70

33. −120

35. −144

37. −2

39. 6

41. −14

43. −150

45. −5

47. 20

49. −13

51. −4

53. −10

55. −10

57. −5

59. 1

61. −11

63. 5

65. 1

67. 2

69. −9

71. −4

73. −8

75. −4

77. 90

79. −10

81. −72

83. −13

85. −$330

87. −$450

89. 2

91. 3

93. 1

95. 62


7.6 Resolvendo Equações Radicais - Apresentação PPT em PowerPoint

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RESOLVER EQUAÇÕES

As equações podem ser verdadeiras ou falsas, assim como as frases em palavras podem ser verdadeiras ou falsas. A equação:

será falso se qualquer número, exceto 4, for substituído pela variável. O valor da variável para a qual a equação é verdadeira (4 neste exemplo) é chamado de solução da equação. Podemos determinar se um dado número é ou não uma solução de uma dada equação, substituindo o número no lugar da variável e determinando a verdade ou falsidade do resultado.

Exemplo 1 Determine se o valor 3 é uma solução da equação

Solução Substituímos o valor 3 por x na equação e vemos se o membro do lado esquerdo é igual ao membro do lado direito.

As equações de primeiro grau que consideramos neste capítulo têm no máximo uma solução. As soluções para muitas dessas equações podem ser determinadas por inspeção.

Exemplo 2 Encontre a solução de cada equação por inspeção.

Soluções a. 7 é a solução, pois 7 + 5 = 12.
b. -5 é a solução, pois 4 (-5) = -20.


Chave para livros de álgebra

Key to Algebra oferece uma maneira única e comprovada de apresentar a álgebra aos seus alunos. Novos conceitos são explicados em linguagem simples e os exemplos são fáceis de seguir. Os problemas com palavras relacionam a álgebra com situações familiares, ajudando os alunos a compreender conceitos abstratos. Os alunos desenvolvem a compreensão resolvendo equações e desigualdades de forma intuitiva antes que as soluções formais sejam apresentadas. Os alunos começam seu estudo de álgebra nos Livros 1-4 usando apenas números inteiros. Os livros 5 a 7 apresentam números e expressões racionais. Os livros 8 a 10 estendem a cobertura ao sistema de números reais.


Selina Concise Mathematics Class 10 ICSE Solutions Resolvendo problemas simples (com base em equações quadráticas)

Selina Publishers Concise Mathematics Class 10 Soluções ICSE Capítulo 6 Resolvendo problemas simples (com base em equações quadráticas)

Resolvendo problemas simples (com base em equações quadráticas) Exercício 6A e # 8211 Selina Concise Mathematics Class 10 Soluções ICSE

Questão 1.
O produto de dois inteiros consecutivos é 56. Encontre os inteiros.
Solução:
Sejam os dois inteiros consecutivos x e x + 1.
A partir das informações fornecidas,
x (x + 1) = 56
x 2 + x & # 8211 56 = 0
(x + 8) (x & # 8211 7) = 0
x = -8 ou 7
Assim, os números inteiros necessários são & # 8211 8 e -7 7 e 8.

Questão 2.
A soma dos quadrados de dois números naturais consecutivos é 41. Encontre os números.
Solução:
Sejam os números x e x + 1.
A partir das informações fornecidas,
x 2 + (x + 1) 2 = 41
2x 2 + 2x + 1 & # 8211 41 = 0
x 2 + x & # 8211 20 = 0
(x + 5) (x & # 8211 4) = 0
x = -5, 4
Mas, -5 não é um número natural. Portanto, x = 4.
Portanto, os números são 4 e 5.

Questão 3.
Encontre os dois números naturais que diferem por 5 e a soma de cujos quadrados é 97.
Solução:
Sejam os dois números x e x + 5.
A partir das informações fornecidas,
x 2 + (x + 5) 2 = 97
2x 2 + 10x + 25 & # 8211 97 = 0
2x 2 + 10x & # 8211 72 = 0
x 2 + 5x & # 8211 36 = 0
(x + 9) (x & # 8211 4) = 0
x = -9 ou 4
Uma vez que -9 não é um número natural. Portanto, x = 4.
Assim, os números são 4 e 9.

Questão 4.
A soma de um número e seu recíproco é 4,25. Encontre o número.
Solução:

Questão 5.
Dois números naturais diferem por 3. Encontre os números, se a soma de seus recíprocos for ( frac <7> <10> )
Solução:

Questão 6.
Divida 15 em duas partes de forma que a soma de seus recíprocos seja ( frac <3> <10> )
Solução:

Questão 7.
A soma do quadrado de dois inteiros positivos é 208. Se o quadrado do número maior for 18 vezes o número menor, encontre os números.
Solução:
Sejam os dois números xey, sendo y o número maior. A partir das informações fornecidas,
x 2 + y 2 = 208 & # 8230 .. (i)
y 2 = 18x & # 8230 .. (ii)
De (i), obtemos y 2 = 208 & # 8211 x 2. Colocando isso em (ii), obtemos,
208 & # 8211 x 2 = 18x
⇒ x 2 + 18x & # 8211 208 = 0
⇒ x 2 + 26X & # 8211 8X & # 8211 208 = 0
⇒ x (x + 26) & # 8211 8 (x + 26) = 0
⇒ (x & # 8211 8) (x + 26) = 0
⇒ x não pode ser um número negativo, portanto x = 8
⇒ Colocando x = 8 em (ii), obtemos y 2 = 18 x 8 = 144
⇒ y = 12, uma vez que y é um número inteiro positivo
Portanto, os dois números são 8 e 12.

Questão 8.
A soma dos quadrados de dois números pares positivos consecutivos é 52. Encontre os números.
Solução:
Sejam os números pares positivos consecutivos x e x + 2.
A partir das informações fornecidas,
x 2 + (x + 2) 2 = 52
2x 2 + 4x + 4 = 52
2x 2 + 4x & # 8211 48 = 0
x 2 + 2x & # 8211 24 = 0
(x + 6) (x & # 8211 4) = 0
x = -6, 4
Como os números são positivos, x = 4.
Portanto, os números são 4 e 6.

Questão 9.
Encontre dois números ímpares positivos consecutivos, cuja soma dos quadrados seja 74.
Solução:
Sejam os números ímpares positivos consecutivos x e x + 2.
A partir das informações fornecidas,
x 2 + (x + 2) 2 = 74
2x 2 + 4x + 4 = 74
2x 2 + 4x & # 8211 70 = 0
x 2 + 2x & # 8211 35 = 0
(x + 7) (x & # 8211 5) = 0
x = -7, 5
Como os números são positivos, x = 5.
Portanto, os números são 5 e 7.

Questão 10.
O denominador de uma fração é mais do que duas vezes o numerador. Se a soma da fração e seu recíproco for 2,9 encontre a fração.
Solução:

Questão 11.
Três números positivos estão na proporção 1/2: 1/3: 1/4. Encontre os números se a soma de seus quadrados for 244.
Solução:
Dado, três números positivos estão na proporção 1/2: 1/3: 1/4 = 6: 4: 3
Sejam os números 6x, 4x e 3x.
A partir das informações fornecidas,
(6x) 2 + (4x) 2 + (3x) 2 = 244
36x 2 + 16x 2 + 9x 2 = 244
61x 2 = 244
x 2 = 4
x = ± 2
Como os números são positivos, x = 2.
Assim, os números são 12, 8 e 6.

Questão 12.
Divida 20 em duas partes de forma que três vezes o quadrado de uma parte exceda a outra em 10.
Solução:
Sejam as duas partes x e y.
A partir das informações fornecidas,
x + y = 20 ⇒ y = 20 & # 8211 x
3x 2 = (20 & # 8211 x) + 10
3x 2 = 30 & # 8211 x
3x 2 + x & # 8211 30 = 0
3x 2 & # 8211 9x + 10x & # 8211 30 = 0
3x (x & # 8211 3) + 10 (x & # 8211 3) = 0
(x & # 8211 3) (3x + 10) = 0
x = 3, -10/3
Visto que x não pode ser igual a -10/3, então, x = 3.
Assim, uma parte é 3 e a outra parte é 20 & # 8211 3 = 17.

Questão 13.
Três números naturais consecutivos são tais que o quadrado do número do meio excede em 60 a diferença dos quadrados dos outros dois.
Suponha que o número do meio seja x e forme uma equação quadrática que satisfaça a afirmação acima. Portanto, encontre os três números.
Solução:
Sejam os números x & # 8211 1, x e x + 1.
A partir das informações fornecidas,
x 2 = (x + 1) 2 & # 8211 (x & # 8211 1) 2 + 60
x 2 = x 2 + 1 + 2x & # 8211 x 2 & # 8211 1 + 2x + 60
x 2 = 4x + 60
x 2 & # 8211 4x & # 8211 60 = 0
(x & # 8211 10) (x + 6) = 0
x = 10, -6
Visto que x é um número natural, então x = 10.
Assim, os três números são 9, 10 e 11.

Questão 14.
De três inteiros positivos consecutivos, o número do meio é p. Se três vezes o quadrado do maior for maior que a soma dos quadrados dos outros dois números por 67, calcule o valor de p.
Solução:
Sejam os números p & # 8211 1, p e p + 1.
A partir das informações fornecidas,
3 (p + 1) 2 = (p & # 8211 1) 2 + p 2 + 67
3p 2 + 6p + 3 = p 2 + 1 & # 8211 2p + p 2 + 67
p 2 + 8p & # 8211 65 = 0
(p + 13) (p & # 8211 5) = 0
p = -13, 5
Visto que os números são positivos, p não pode ser igual a -13.
Portanto, p = 5.

Questão 15.
A pode fazer um trabalho em & # 8216x & # 8217 dias e B pode fazer o mesmo trabalho em (x + 16) dias. Se ambos trabalhando juntos puderem fazê-lo em 15 dias, calcule & # 8216x & # 8217.
Solução:

Questão 16.
Um tubo pode encher uma cisterna em menos 3 horas do que o outro. Os dois tubos juntos podem encher a cisterna em 6 horas e 40 minutos. Encontre o tempo que cada tubo levará para encher a cisterna.
Solução:
Deixe um cano encher a cisterna em x horas e o outro em (x & # 8211 3) horas.
Dado que os dois tubos juntos podem encher a cisterna em 6 horas e 40 minutos, ou seja,


Portanto, x = 15.
Assim, um tubo enche a cisterna em 15 horas e o outro enche (x & # 8211 3) = 15 & # 8211 3 = 12 horas.

Questão 17.
Um número positivo é dividido em duas partes, de forma que a soma dos quadrados das duas partes seja 20. O quadrado da parte maior é 8 vezes a parte menor. Tomando x como a parte menor das duas partes, encontre o número.
Solução:

Resolvendo problemas simples (com base em equações quadráticas) Exercício 6B e # 8211 Selina Concise Mathematics Class 10 Soluções ICSE

Questão 1.
Os lados de um triângulo retângulo contendo o ângulo reto são 4x cm e (2x & # 8211 1) cm. Se a área do triângulo é de 30 cm², calcule o comprimento de seus lados.
Solução:

Questão 2.
A hipotenusa de um triângulo retângulo é de 26 cm e a soma dos outros dois lados é de 34 cm. Encontre os comprimentos de seus lados.
Solução:
Hipotenusa = 26 cm
A soma dos outros dois lados é de 34 cm.
Portanto, sejam os outros dois lados x cm e (34 & # 8211 x) cm.
Usando o teorema de Pitágoras,
(26) 2 = x 2 + (34 & # 8211 x) 2
676 = x 2 + x 2 + 1156 & # 8211 68x
2x 2 & # 8211 68x + 480 = 0
x 2 & # 8211 34x + 240 = 0
x 2 & # 8211 10x & # 8211 24x + 240 = 0
x (x & # 8211 10) & # 8211 24 (x & # 8211 10) = 0
(x & # 8211 10) (x & # 8211 24) = 0
x = 10, 24
Quando x = 10, (34 & # 8211 x) = 24
Quando x = 24, (34 & # 8211 x) = 10
Assim, os comprimentos dos três lados do triângulo retângulo são 10 cm, 24 cm e 26 cm.

Questão 3.
Os lados de um triângulo retângulo são (x & # 8211 1) cm, 3x cm e (3x + 1) cm. Encontrar:
(i) o valor de x,
(ii) o comprimento de seus lados,
(iii) sua área.
Solução:
Lado mais longo = hipotenusa = (3x + 1) cm
Os comprimentos dos outros dois lados são (x & # 8211 1) cm e 3x cm.
Usando o teorema de Pitágoras,
(3x + 1) 2 = (x & # 8211 1) 2 + (3x) 2
9x 2 + 1 + 6x = x 2 + 1 & # 8211 2x + 9x 2
x 2 & # 8211 8x = 0
x (x & # 8211 8) = 0
x = 0, 8
Mas, se x = 0, então um lado = 3x = 0, o que não é possível.
Então, x = 8
Assim, os comprimentos dos lados do triângulo são (x & # 8211 1) cm = 7 cm, 3x cm = 24 cm e (3x + 1) cm = 25 cm.
Área do triângulo = ½ × 7 cm × 24 cm = 84 cm²

Questão 4.
A hipotenusa de um triângulo retângulo excede um lado em 1 cm e o outro lado em 18 cm encontra os comprimentos dos lados do triângulo.
Solução:
Seja uma hipotenusa do triângulo x cm.
A partir das informações fornecidas,
Comprimento de um lado = (x & # 8211 1) cm
Comprimento do outro lado = (x & # 8211 18) cm
Usando o teorema de Pitágoras,
x 2 = (x & # 8211 1) 2 + (x & # 8211 18) 2
x 2 = x 2 + 1 & # 8211 2x + x 2 + 324 & # 8211 36x
x 2 & # 8211 38x + 325 = 0
x 2 & # 8211 13x & # 8211 25x + 325 = 0
x (x & # 8211 13) & # 8211 25 (x & # 8211 13) = 0
(x & # 8211 13) (x & # 8211 25) = 0
x = 13, 25
Quando x = 13, x & # 8211 18 = 13 & # 8211 18 = -5, que sendo negativo, não é possível.
Então, x = 25
Assim, os comprimentos dos lados do triângulo são x = 25 cm, (x & # 8211 1) = 24 cm e (x & # 8211 18) = 7 cm.

Questão 5.
A diagonal de um retângulo é 60 m a mais do que seu lado mais curto e o lado maior é 30 m a mais que o lado mais curto. Encontre os lados do retângulo.
Solução:

Deixe o lado mais curto ser x m.
Comprimento do outro lado = (x + 30) m
Comprimento da hipotenusa = (x + 60) m
Usando o teorema de Pitágoras,
(x + 60) 2 = x 2 + (x + 30) 2
x 2 + 3600 + 120x = x 2 + x 2 + 900 + 60x
x 2 & # 8211 60x & # 8211 2700 = 0
x 2 & # 8211 90x + 30x & # 8211 2700 = 0
x (x & # 8211 90) + 30 (x & # 8211 90) = 0
(x & # 8211 90) (x + 30) = 0
x = 90, -30
Mas, x não pode ser negativo. Portanto, x = 90.
Assim, os lados do retângulo são 90 me (90 + 30) m = 120 m.

Questão 6.
O perímetro de um retângulo é de 104 me sua área é de 640 m². Encontre seu comprimento e largura.
Solução:
Sejam o comprimento e a largura do retângulo x me y m.
Perímetro = 2 (x + y) m
∴ 104 = 2 (x + y)
x + y = 52
y = 52 & # 8211 x
Área = 640 m 2
∴ xy = 640
x (52 & # 8211 x) = 640
x 2 & # 8211 52x + 640 = 0
x 2 & # 8211 32x & # 8211 20x + 640 = 0
x (x & # 8211 32) & # 8211 20 (x & # 8211 32) = 0
(x & # 8211 32) (x & # 8211 20) = 0
x = 32, 20
Quando x = 32, y = 52 & # 8211 32 = 20
Quando x = 20, y = 52 & # 8211 20 = 32
Assim, o comprimento e a largura do retângulo são 32 cm e 20 cm.

Questão 7.
Uma trilha de largura uniforme percorre o interior de um campo retangular de 32 m de comprimento e 24 m de largura. Se o caminho ocupar 208 m², encontre a largura do caminho.
Solução:
Seja w a largura da trilha.

Área do caminho = Área do retângulo externo & # 8211 Área do retângulo interno
∴ 208 = (32) (24) & # 8211 (32 & # 8211 2w) (24 & # 8211 2w)
208 = 768 & # 8211 768 + 64w + 48w & # 8211 4w 2
4w 2 & # 8211 112w + 208 = 0
w 2 & # 8211 28w + 52 = 0
w 2 & # 8211 26w & # 8211 2w + 52 = 0
w (w & # 8211 26) & # 8211 2 (w & # 8211 26) = 0
(w & # 8211 26) (w & # 8211 2) = 0
w = 26, 2
Se w = 26, então largura do retângulo interno = (24 & # 8211 52) m = -28 m, o que não é possível.
Portanto, a largura da trilha é de 2 m.

Questão 8.
Dois quadrados têm lados x cm e (x + 4) cm. A soma de sua área é de 656 cm2. Expresse isso como uma equação algébrica em xe resolva a equação para encontrar os lados dos quadrados.
Solução:
Sendo assim, dois quadrados têm lados x cm e (x + 4) cm.
Soma de sua área = 656 cm 2
∴ x 2 + (x + 4) 2 = 656
x 2 + x 2 + 16 + 8x = 656
2x 2 + 8x & # 8211 640 = 0
x 2 + 4x & # 8211 320 = 0
x 2 + 20x & # 8211 16x & # 8211 320 = 0
x (x + 20) & # 8211 16 (x + 20) = 0
(x + 20) (x & # 8211 16) = 0
x = -20, 16
Mas, sendo x lado, não pode ser negativo.
Então, x = 16
Assim, os lados dos dois quadrados têm 16 cm e 20 cm.

Questão 9.
As dimensões de um campo retangular são 50 me 40 m. Um canteiro de flores é preparado dentro deste campo deixando um caminho de cascalho de largura uniforme ao redor do canteiro de flores. O custo total para colocar o canteiro de flores e cascalho no caminho em Rs 30 e Rs 20 por metro quadrado, respectivamente, é de Rs 52.000. Encontre a largura do caminho de cascalho.
Solução:
Deixe a largura do caminho de cascalho ser w m.
Comprimento do campo retangular = 50 m
Largura do campo retangular = 40 m
Sejam o comprimento e a largura do canteiro de flores x me y m, respectivamente.
Portanto, temos:
x + 2w = 50 & # 8230 (1)
y + 2w = 40 & # 8230 (2)
Além disso, área do campo retangular = 50 m 40 m = 2000 m 2
Área do canteiro de flores = xy m 2
Área do caminho de cascalho = Área do campo retangular & # 8211 Área do canteiro de flores = (2000 & # 8211 xy) m 2
Custo de colocação de canteiro de flores + Caminho de cascalho = Área x custo de colocação por m²
52000 = 30 xy + 20 (2000 & # 8211 xy)
52000 = 10xy + 40000
xy = 1200
Usando (1) e (2), temos:
(50 & # 8211 2w) (40 & # 8211 2w) = 1200
2000 & # 8211 180w + 4w 2 = 1200
4w 2 & # 8211 180w + 800 = 0
w 2 & # 8211 45w + 200 = 0
w 2 & # 8211 5w & # 8211 40w + 200 = 0
w (w & # 8211 5) & # 8211 40 (w & # 8211 5) = 0
(w & # 8211 5) (w & # 8211 40) = 0
w = 5, 40
Se w = 40, então x = 50 & # 8211 2w = -30, o que não é possível.
Assim, a largura do caminho de cascalho é de 5 m.

Questão 10.
Uma área é pavimentada com ladrilhos quadrados de um determinado tamanho e o número necessário é 128. Se os ladrilhos fossem 2 cm menores em cada lado, seriam necessários 200 ladrilhos para pavimentar a mesma área. Encontre o tamanho dos ladrilhos maiores.
Solução:
Deixe o tamanho dos ladrilhos maiores ser x cm.
Área de telhas maiores = x 2 cm 2
O número de ladrilhos maiores necessários para pavimentar uma área é 128.
Portanto, a área precisava ser pavimentada = 128 x 2 cm 2 & # 8230. (1)
Tamanho dos ladrilhos menores = (x & # 8211 2) cm
Área de ladrilhos menores = (x & # 8211 2) 2 cm 2
O número de ladrilhos maiores necessários para pavimentar uma área é 200.
Portanto, a área precisava ser pavimentada = 200 (x & # 8211 2) 2 cm 2 & # 8230. (2)
Portanto, de (1) e (2), temos:
128 x 2 = 200 (x & # 8211 2) 2
128 x 2 = 200x 2 + 800 & # 8211 800x
72x 2 e # 8211 800x + 800 = 0
9x 2 & # 8211 100x + 100 = 0
9x 2 & # 8211 90x & # 8211 10x + 100 = 0
9x (x & # 8211 10) & # 8211 10 (x & # 8211 10) = 0
(x & # 8211 10) (9x & # 8211 10) = 0

Portanto, o tamanho dos ladrilhos maiores é de 10 cm.

Questão 11.
Um fazendeiro tem 70 m de cerca, com a qual ele envolve três lados de um curral retangular de ovelhas, sendo o quarto lado uma parede. Se a área da caneta for de 600 m², encontre o comprimento de seu lado mais curto.
Solução:
Sejam o comprimento e a largura do curral retangular para ovelhas xey, respectivamente.
A partir das informações fornecidas,
x + y + x = 70
2x + y = 70 & # 8230 (1)
Além disso, área = xy = 600
Usando (1), temos:
x (70 & # 8211 2x) = 600
70x & # 8211 2x 2 = 600
2x 2 & # 8211 70x + 600 = 0
x 2 & # 8211 35x + 300 = 0
x 2 & # 8211 15x & # 8211 20x + 300 = 0
x (x & # 8211 15) & # 8211 20 (x & # 8211 15) = 0
(x & # 8211 15) (x & # 8211 20) = 0
x = 15, 20
Se x = 15, então y = 70 & # 8211 2x = 70 & # 8211 30 = 40
Se x = 20, então y = 70 & # 8211 2x = 70 & # 8211 40 = 30
Assim, o comprimento do lado mais curto é de 15 m, enquanto o lado mais longo é de 40 m. O comprimento do lado mais curto é de 20 m, enquanto o lado mais longo é de 30 m.

Questão 12.
Um gramado quadrado é delimitado em três lados por um caminho de 4 m de largura. Se a área do caminho for ( frac <7> <8> ) a do gramado, encontre as dimensões do gramado.
Solução:
Deixe o lado do gramado quadrado ser x m.
Área do gramado quadrado = x 2 m 2
O gramado quadrado é delimitado em três lados por um caminho de 4 m de largura.

Área do retângulo externo = (x + 4) (x + 8) = x 2 + 12x + 32
Área do caminho = x 2 + 12x + 32 & # 8211 x 2 = 12x + 32
A partir das informações fornecidas, temos:

Uma vez que, x não pode ser negativo. Portanto, x = 16 m.
Assim, cada lado do gramado quadrado tem 16 m.

Questão 13.
A área de uma grande sala retangular é de 300 m². Se o comprimento diminuísse em 5 me a largura aumentasse em 5 m, a área permaneceria inalterada. Encontre o comprimento da sala.
Solução:
Sejam o comprimento e a largura originais da sala retangular de x me y m, respectivamente.
Área da sala retangular = xy = 300
⇒ y = ( frac <300> ) & # 8230 .. (1)
Novo comprimento = (x & # 8211 5) m
Nova largura = (y + 5) m
Nova área = (x & # 8211 5) (y + 5) = 300 (fornecido)
Usando (1), temos:

Mas, x não pode ser negativo. Portanto, x = 20.
Assim, o comprimento da sala é de 20 m.

Resolvendo problemas simples (com base em equações quadráticas) Exercício 6C e # 8211 Selina Concise Mathematics Class 10 Soluções ICSE

Questão 1.
A velocidade de um trem comum é de x km por hora e a de um trem expresso é de (x + 25) km por hora.
(i) Encontre o tempo gasto por cada trem para cobrir 300 km.
(ii) Se o trem comum leva 2 horas a mais do que o trem expresso, calcule a velocidade do trem expresso.
Solução:
(i) Velocidade do trem comum = x km / hr
Velocidade do trem expresso = (x + 25) km / hr
Distância = 300 km

(ii) Considerando que o trem comum leva 2 horas a mais do que o trem expresso para cobrir a distância.
Portanto,

Mas a velocidade não pode ser negativa. Portanto, x = 50.
∴ Velocidade do trem expresso = (x + 25) km / hr = 75 km / hr

Questão 2.
Se a velocidade de um carro aumenta em 10 km por hora, leva 18 minutos a menos para percorrer uma distância de 36 km. Encontre a velocidade do carro.
Solução:
Seja a velocidade do carro x km / h.
Distância = 36 km

A partir das informações fornecidas, temos:

Mas a velocidade não pode ser negativa. Portanto, x = 30.
Portanto, a velocidade original do carro é de 30 km / h.

Questão 3.
Se a velocidade de um avião for reduzida em 40 km / h, serão necessários mais 20 minutos para cobrir 1.200 km. Encontre a velocidade do avião.
Solução:
Deixe a velocidade original do avião ser x km / h.

Mas a velocidade não pode ser negativa. Portanto, x = 400.
Assim, a velocidade original do avião é de 400 km / h.

Questão 4.
Um carro percorre uma distância de 400 km a uma determinada velocidade. Se a velocidade fosse 12 km / h a mais, o tempo de viagem teria sido 1 hora e 40 minutos a menos. Encontre a velocidade original do carro.
Solução:
Seja x km / h a velocidade original do carro.
Nós sabemos isso,

É dado que o carro percorre uma distância de 400 km com a velocidade de x km / h.
Assim, o tempo gasto pelo carro para completar 400 km é
t = ( frac <400> )
Agora, a velocidade foi aumentada em 12 km.
∴ Velocidade aumentada = (x + 12) km / h.
Além disso, aumentar a velocidade do carro diminuirá o tempo gasto em 1 hora e 40 minutos.

Questão 5.
Uma garota vai para a casa de sua amiga, que fica a 12 km. Ela cobre metade da distância a uma velocidade de x km / he a distância restante a uma velocidade de (x + 2) km / h. Se ela levar 2 horas e 30 minutos para cobrir toda a distância, encontre & # 8216x & # 8217.
Solução:

Questão 6.
Um carro fez uma corrida de 390 km em & # 8216x & # 8217 horas. Se a velocidade fosse 4 km / hora a mais, a viagem demoraria 2 horas a menos. Encontre & # 8216x & # 8217.
Solução:

Questão 7.
Um trem de mercadorias sai de uma estação às 18h, seguido por um trem expresso que saiu às 20h. e viaja 20 km / hora mais rápido do que o trem de mercadorias. O trem expresso chega a uma estação a 1040 km, 36 minutos antes do trem de mercadorias. Supondo que as velocidades de ambos os trens permaneçam constantes entre as duas estações, calcule suas velocidades.
Solução:
Deixe a velocidade do trem de mercadorias ser x km / h. Portanto, a velocidade do trem expresso será (x + 20) km / h.
Distância = 1040 km

É sabido que o trem expresso chega a uma estação 36 minutos antes do trem de mercadorias. Além disso, o trem expresso sai da estação 2 horas após o trem de mercadorias. Isso significa que o trem expresso chega à estação

antes do trem de mercadorias.

Desde então, a velocidade não pode ser negativa. Portanto, x = 80.
Assim, a velocidade do trem de mercadorias é de 80 km / he a velocidade do trem expresso é de 100 km / h.

Questão 8.
Um homem comprou um artigo por Rs x e vendeu-o por Rs 16. Se sua perda foi de x por cento, encontre o preço de custo do artigo.
Solução:
C.P. do artigo = Rs x
S.P. do artigo = Rs 16
Perda = Rs (x & # 8211 16)
Nós sabemos:

Assim, o preço de custo do artigo é Rs 20 ou Rs 80.

Questão 9.
Um corretor comprou um artigo por Rs x e vendeu-o por 52 Rs, obtendo assim um lucro de (x & # 8211 10) por cento em suas despesas. Calcule o preço de custo.
Solução:
C.P. do artigo = Rs x
S.P. do artigo = Rs 52
Lucro = Rs (52 & # 8211 x)
Nós sabemos:

Desde, C.P. não pode ser negativo. Portanto, x = 40.
Assim, o preço de custo do artigo é Rs 40.

Questão 10.
Com a venda de uma cadeira por Rs 75, Mohan ganhou tanto por cento quanto seu custo. Calcule o custo da cadeira.
Solução:
Deixe o C.P. da cadeira seja Rs x
S.P. da cadeira = Rs 75
Lucro = Rs (75 & # 8211 x)
Nós sabemos:

Mas, C.P. não pode ser negativo. Portanto, x = 50.
Portanto, o custo da cadeira é de Rs 50.

Resolvendo problemas simples (com base em equações quadráticas) Exercício 6D e # 8211 Selina Concise Mathematics Class 10 Soluções ICSE

Questão 1.
A soma S de n números ímpares sucessivos a partir de 3 é dada pela relação n (n + 2). Determine n, se a soma for 168.
Solução:
A partir das informações fornecidas, temos:
n (n + 2) = 168
n² + 2n & # 8211 168 = 0
n² + 14n & # 8211 12n & # 8211 168 = 0
n (n + 14) & # 8211 12 (n + 14) = 0
(n + 14) (n & # 8211 12) = 0
n = -14, 12
Mas, n não pode ser negativo.
Portanto, n = 12.

Questão 2.
Uma pedra é atirada verticalmente para baixo e a fórmula d = 16t² + 4t dá a distância, d metros, que ela cai em t segundos. Quanto tempo leva para cair 420 metros?
Solução:
A partir das informações fornecidas,
16t 2 + 4t = 420
4t 2 + t & # 8211 105 = 0
4t 2 & # 8211 20t + 21t & # 8211 105 = 0
4t (t & # 8211 5) + 21 (t & # 8211 5) = 0
(4t + 21) (t & # 8211 5) = 0
t = -21/4, 5
Mas, o tempo não pode ser negativo.
Portanto, o tempo necessário é de 5 segundos.

Questão 3.
O produto dos dígitos de um número de dois dígitos é 24. Se sua unidade & # 8217s dígito exceder duas vezes seus dez & # 8217s dígito por 2 encontre o número.
Solução:
Deixe os dez & # 8217s e a unidade & # 8217s dígito do número necessário ser xey, respectivamente.
A partir das informações fornecidas,

Questão 4.
O produto dos dígitos de um número de dois dígitos é 24. Se sua unidade & # 8217s dígito exceder duas vezes seus dez & # 8217s dígito por 2 encontre o número.
Solução:
As idades de duas irmãs são 11 anos e 14 anos.
Seja x número de anos, o produto de suas idades seja 304.

Mas, o número de anos não pode ser negativo. Portanto, x = 5.
Portanto, o número necessário de anos é de 5 anos.

Questão 5.
Um ano atrás, um homem tinha 8 vezes mais idade que seu filho. Agora, sua idade é igual ao quadrado da idade de seu filho. Encontre suas idades atuais.
Solução:
Seja a idade atual do filho x anos.
∴ Idade atual do homem = x 2 anos
Um ano atrás,
Idade do filho & # 8217s = (x & # 8211 1) anos
Homem & # 8217s idade = (x 2 & # 8211 1) anos
É sabido que um ano atrás um homem tinha 8 vezes mais idade que seu filho.
∴ (x 2 & # 8211 1) = 8 (x & # 8211 1)
x 2 & # 8211 8x & # 8211 1 + 8 = 0
x 2 & # 8211 8x + 7 = 0
(x & # 8211 7) (x & # 8211 1) = 0
x = 7, 1
Se x = 1, então x 2 = 1, o que não é possível porque a idade do pai & # 8217s não pode ser igual à idade do filho & # 8217s.
Portanto, x = 7.
Idade atual do filho = x anos = 7 anos
Idade atual do homem = x 2 anos = 49 anos

Questão 6.
A idade do pai é o dobro da idade do filho. Daqui a oito anos, a idade do pai será 4 anos mais do que três vezes a idade do filho. Encontre suas idades atuais.
Solução:
Seja a idade atual do filho x anos.
Idade atual do pai = 2x 2 anos
Daqui a oito anos,
Idade do filho & # 8217s = (x + 8) anos
Idade do pai & # 8217s = (2x 2 + 8) anos
Presume-se que daqui a oito anos a idade do pai será 4 anos a mais do que três vezes a idade do filho.
2x 2 + 8 = 3 (x + 8) +4
2x 2 + 8 = 3x + 24 +4
2x 2 & # 8211 3x & # 8211 20 = 0
2x 2 & # 8211 8x + 5x & # 8211 20 = 0
2x (x & # 8211 4) + 5 (x & # 8211 4) = 0
(x & # 8211 4) (2x + 5) = 0
x = 4, -5/2
Porém, a idade não pode ser negativa, portanto, x = 4.
Idade atual do filho = 4 anos
Idade atual do pai = 2 (4) 2 anos = 32 anos

Questão 7.
A velocidade de um barco em águas paradas é de 15 km / h. Ele pode ir 30 km a montante e retornar a jusante ao ponto original em 4 horas e 30 minutos. Encontre a velocidade do fluxo.
Solução:
Deixe a velocidade do fluxo ser x km / h.
∴ Velocidade do barco a jusante = (15 + x) km / hr
Velocidade do barco rio acima = (15 & # 8211 x) km / hr

Mas, x não pode ser negativo, então, x = 5.
Assim, a velocidade do riacho é de 5 km / h.

Questão 8.
O Sr. Mehra envia seu servo ao mercado para comprar laranjas no valor de Rs 15. O servo tendo comido três laranjas no caminho. O Sr. Mehra paga Rs 25 paise por laranja a mais do que o preço de mercado.
Tomando x como o número de laranjas que o Sr. Mehra recebe, forme uma equação quadrática em x. Portanto, encontre o valor de x.
Solução:

Questão 9.
Rs 250 são divididos igualmente entre um certo número de crianças. Se houvesse 25 crianças a mais, cada uma teria recebido 50 paise a menos. Encontre o número de filhos.
Solução:
Deixe o número de filhos ser x.
É dado que 250 Rs é dividido entre x alunos.

Já que o número de alunos não pode ser negativo, então, x = 100.
Portanto, o número de alunos é 100.

Questão 10.
Um empregador descobre que se ele aumentar o salário semanal de cada trabalhador em Rs 5 e empregar cinco trabalhadores a menos, ele aumenta sua folha de pagamento semanal de Rs 3.150 para Rs 3.250. Tomando o salário semanal original de cada trabalhador como Rs x, obtenha uma equação em x e, em seguida, resolva para encontrar os salários semanais de cada trabalhador.
Solução:
Salário semanal original de cada trabalhador = Rs x
Folha de salário semanal original do empregador = Rs 3150

Uma vez que o salário não pode ser negativo, x = 45.
Assim, o salário semanal original de cada trabalhador é Rs 45.

Questão 11.
Um comerciante comprou vários artigos por Rs 1.200. Dez foram danificados e ele vendeu cada um dos artigos restantes por Rs 2 a mais do que pagou por eles, obtendo um lucro de Rs 60 em toda a transação.
Tomando o número de artigos que comprou como x, forme uma equação em xe resolva.
Solução:
Número de artigos comprados pelo comerciante = x
É dado que o comerciante comprou os artigos por Rs 1200.

O número de artigos não pode ser negativo. Portanto, x = 100.

Questão 12.
O preço de custo total de um certo número de artigos idênticos é Rs 4800. Com a venda dos artigos por Rs 100 cada, um lucro igual ao preço de custo de 15 artigos é obtido. Encontre o número de artigos comprados.
Solução:
Seja x o número de artigos comprados.
Preço de custo total de x artigos = Rs 4800
Preço de custo de um artigo = Rs ( frac <4800> )
Preço de venda de cada artigo = Rs 100
Preço de venda de x artigos = Rs 100x
Dado, Lucro = C.P. de 15 artigos
∴ 100x & # 8211 4800 = 15 × ( frac <4800> )
100x 2 & # 8211 4800x = 15 4800
x 2 & # 8211 48x & # 8211 720 = 0
x 2 & # 8211 60x + 12x & # 8211 720 = 0
x (x & # 8211 60) + 12 (x & # 8211 60) = 0
(x & # 8211 60) (x + 12) = 0
x = 60, -12
Desde então, o número de artigos não pode ser negativo. Portanto, x = 60.
Assim, o número de artigos comprados é de 60.

Resolvendo problemas simples (com base em equações quadráticas) Exercício 6E e # 8211 Selina Concise Mathematics Class 10 Soluções ICSE

Questão 1.
A distância rodoviária entre as duas cidades A e B é de 216 km e por via férrea é de 208 km. Um carro viaja a uma velocidade de x km / heo trem viaja a uma velocidade 16 km / h mais rápida do que o carro. Calcular:
(i) o tempo gasto pelo carro para chegar à cidade B de A, em termos de x
(ii) o tempo gasto pelo trem para chegar à cidade B de A, em termos de x.
(iii) Se o trem leva 2 horas a menos que o carro, para chegar à cidade B, obtenha uma equação em xe resolva.
(iv) Portanto, encontre a velocidade do trem.
Solução:

Questão 2.
Um comerciante compra x artigos por um custo total de Rs 600.
(i) Escreva o custo de um artigo em termos de x.
Se o custo por artigo fosse Rs 5 a mais, o número de artigos que podem ser comprados por Rs 600 seria quatro a menos.
(ii) Escreva a equação em x para a situação acima e resolva para x.
Solução:

Questão 3.
A conta do hotel para um número de pessoas por pernoite é de Rs 4800. Se houvesse mais 4 pessoas, a conta que cada pessoa teve que pagar teria reduzido em Rs 200. Encontre o número de pessoas que pernoitam.
Solução:

Questão 4.
Um avião Aero viajou uma distância de 400 km a uma velocidade média de x km / h. Na viagem de volta, a velocidade foi aumentada em 40 km / h. Escreva uma expressão para o tempo gasto para:
(i) a jornada para a frente
(ii) a viagem de volta.
Se a viagem de volta levou 30 minutos a menos que a viagem de ida, escreva uma equação em x e encontre seu valor.
Solução:

Questão 5.
Rs 6500 foram divididos igualmente entre um certo número de pessoas. Se houvesse mais 15 pessoas, cada uma teria recebido Rs 30 a menos. Encontre o número original de pessoas.
Solução:

Questão 6.
Um avião partiu 30 minutos depois do horário programado e, para chegar ao seu destino a 1.500 km de distância, deve aumentar sua velocidade em 250 km / h em relação à sua velocidade normal. Encontre sua velocidade normal.
Solução:

Questão 7.
Dois trens saem de uma estação ferroviária ao mesmo tempo. O primeiro trem viaja para oeste e o segundo trem para norte. O primeiro trem viaja 5 km / h mais rápido do que o segundo trem. Se após 2 horas eles estiverem separados por 50 km, encontre a velocidade de cada trem.
Solução:

Questão 8.
A soma S dos primeiros n números naturais pares é dada pela relação S = n (n + 1). Encontre n, se a soma for 420.
Solução:
S = n (n + 1)
Dado, S = 420
n (n + 1) = 420
n 2 + n & # 8211 420 = 0
n 2 + 21n & # 8211 20n & # 8211 420 = 0
n (n + 21) & # 8211 20 (n + 21) = 0
(n + 21) (n & # 8211 20) = 0
n = -21, 20
Uma vez que, n não pode ser negativo.
Portanto, n = 20.

Questão 9.
A soma das idades de um pai e de seu filho é de 45 anos. Cinco anos atrás, o produto de suas idades (em anos) era 124. Determine suas idades atuais.
Solução:
Sejam as idades atuais do pai e do filho x anos e (45 e # 8211 x) anos, respectivamente.
Cinco anos atrás,
Idade do pai & # 8217s = (x & # 8211 5) anos
Idade do filho & # 8217s = (45 & # 8211 x & # 8211 5) anos = (40 & # 8211 x) anos
A partir das informações fornecidas, temos:
(x & # 8211 5) (40 & # 8211 x) = 124
40x & # 8211 x 2 & # 8211 200 + 5x = 124
x 2 & # 8211 45x +324 = 0
x 2 & # 8211 36x & # 8211 9x +324 = 0
x (x & # 8211 36) & # 8211 9 (x & # 8211 36) = 0
(x & # 8211 36) (x & # 8211 9) = 0
x = 36, 9
Se x = 9,
Idade do pai & # 8217s = 9 anos, idade do filho & # 8217s = (45 & # 8211 x) = 36 anos
Isso não é possível.
Portanto, x = 36
Idade do pai & # 8217s = 36 anos
Idade do filho & # 8217s = (45 & # 8211 36) anos = 9 anos

Questão 10.
Em um auditório, os assentos foram dispostos em linhas e colunas. O número de filas era igual ao número de assentos em cada fila. Quando o número de fileiras dobrou e o número de assentos em cada fileira foi reduzido em 10, o número total de assentos aumentou em 300. Encontre:
(i) o número de linhas no arranjo original.
(ii) o número de assentos no auditório após a reorganização.
Solução:
Seja o número de linhas no arranjo original x.
Então, o número de assentos em cada fileira no arranjo original = x
Número total de assentos = x × x = x²
A partir das informações fornecidas,
2x (x & # 8211 10) = x 2 + 300
2x 2 & # 8211 20x = x 2 + 300
x 2 & # 8211 20x & # 8211 300 = 0
(x & # 8211 30) (x + 10) = 0
x = 30, -10
Desde então, o número de filas ou assentos não pode ser negativo. Portanto, x = 30.
(i) O número de linhas no arranjo original = x = 30
(ii) O número de assentos após reorganização = x 2 + 300 = 900 + 300 = 1200

Questão 11.
Mohan leva menos 16 dias do que Manoj para fazer um trabalho. Se ambos trabalhando juntos podem fazer isso em 15 dias, em quantos dias Mohan sozinho completará o trabalho?
Solução:

Questão 12.
Dois anos atrás, a idade de um homem com a idade de 8217s era três vezes o quadrado da idade de seu filho. Em três anos, sua idade será quatro vezes maior que a do filho. Encontre suas idades atuais.
Solução:
Deixe a idade do filho de 2 anos atrás ser x anos.
Então, pai & # 8217s idade 2 anos atrás = 3x 2 anos
Idade atual do filho = (x + 2) anos
Idade atual do pai = (3x 2 + 2) anos
Daqui a 3 anos:
Idade do filho & # 8217s = (x + 2 + 3) anos = (x + 5) anos
Idade do pai & # 8217s = (3x 2 + 2 + 3) anos = (3x 2 + 5) anos
A partir das informações fornecidas,
3x 2 + 5 = 4 (x + 5)
3x 2 & # 8211 4x & # 8211 15 = 0
3x 2 & # 8211 9x + 5x & # 8211 15 = 0
3x (x & # 8211 3) + 5 (x & # 8211 3) = 0
(x & # 8211 3) (3x + 5) = 0
x = 3,
Desde então, a idade não pode ser negativa. Portanto, x = 3.
Idade atual do filho = (x + 2) anos = 5 anos
Idade atual do pai = (3x 2 + 2) anos = 29 anos

Questão 13.
Em uma certa fração positiva, o denominador é maior do que o numerador em 3. Se 1 for subtraído do numerador e do denominador, a fração é reduzida em. Encontre a fração.
Solução:

Questão 14.
Em um número de dois dígitos, o dígito dez & # 8217s é maior. O produto dos dígitos é 27 e a diferença entre dois dígitos é 6. Encontre o número.
Solução:
Dado, a diferença entre dois dígitos é 6 e o ​​dígito dez & # 8217s é maior do que o dígito da unidade & # 8217s.
Portanto, deixe a unidade & # 8217s dígito ser xe dez & # 8217s dígito seja (x + 6).
A partir da condição fornecida, temos:
x (x + 6) = 27
x² + 6x & # 8211 27 = 0
x² + 9x & # 8211 3x & # 8211 27 = 0
x (x + 9) & # 8211 3 (x + 9) = 0
(x + 9) (x & # 8211 3) = 0
x = -9, 3
Desde então, os dígitos de um número não podem ser negativos. Portanto, x = 3.
Dígito da unidade & # 8217s = 3
Dez & # 8217s dígitos = 9
Portanto, o número é 93.

Questão 15.
Algumas crianças em idade escolar fizeram uma excursão de ônibus a um local de piquenique a uma distância de 300 km. No retorno, estava chovendo e o ônibus teve que reduzir sua velocidade em 5 km / he demorou duas horas a mais para retornar. Encontre o tempo necessário para retornar.
Solução:

Questão 16.
Rs.480 é dividido igualmente entre & # 8216x & # 8217 filhos. Se o número de filhos fosse 20 a mais, cada um teria Rs.12 a menos. Encontre & # 8216x & # 8217.
Solução:

Questão 17.
Um ônibus percorre uma distância de 240 km a uma velocidade uniforme. Devido à chuva forte, sua velocidade é reduzida em 10 km / he, como tal, leva duas horas a mais para cobrir a distância total. Supondo que a velocidade uniforme seja & # 8216x & # 8217 km / h, forme uma equação e resolva para avaliar & # 8216x & # 8217.

Solução:

Questão 18.
A soma das idades de Vivek e seu irmão mais novo Amit é de 47 anos. O produto de suas idades em anos é 550. Encontre suas idades.
Solução:
Dado que a soma das idades de Vivek e seu irmão mais novo Amit é de 47 anos.
Seja a idade de Vivek = x
⇒ a idade de Amit = 47 & # 8211 x
O produto de suas idades em anos é 550…. dado
⇒ x (47 & # 8211 x) = 550
⇒ 47x & # 8211 x 2 = 550
⇒ x 2 & # 8211 47x + 550 = 0
⇒ x 2 & # 8211 25x & # 8211 22x + 550 = 0
⇒ x (x & # 8211 25) & # 8211 22 (x & # 8211 25) = 0
⇒ (x & # 8211 25) (x & # 8211 22) = 0
⇒ x = 25 ou x = 22
Visto que Vivek é um irmão mais velho.
∴ x = 25 anos = idade de Vivek e
idade de Amit = 47 & # 8211 25 = 22 anos

Mais recursos para soluções ICSE Selina Concise Classe 10


7.6 Expressões, equações e desigualdades

Nesta unidade, os alunos resolvem as equações das formas (px + q = r ) e (p (x + q) = r ) onde (p ), (q ) e (r ) são números racionais. Eles desenham, interpretam e escrevem equações em uma variável para "diagramas de gancho" equilibrados e escrevem expressões para sequências de instruções, por exemplo, "quebra-cabeças numéricos". Eles usam diagramas de fita junto com equações para representar situações com uma quantidade desconhecida. Eles aprendem métodos algébricos para resolver equações. Os alunos resolvem desigualdades lineares em uma variável e representam suas soluções na reta numérica. Eles entendem e usam os termos “menor ou igual a” e “maior ou igual a” e os símbolos correspondentes. Eles geram expressões que são equivalentes a uma determinada expressão numérica ou linear. Os alunos formulam e resolvem equações lineares e desigualdades que representam situações do mundo real.

Lições

Situações representativas da forma $ px + q = r $ e $ p (x + q) = r $

Resolvendo equações da forma $ px + q = r $ e $ p (x + q) = r $ e problemas que levam a essas equações

Desigualdades

Escrevendo Expressões Equivalentes

Vamos colocar isso para funcionar

IM 6–8 Math foi originalmente desenvolvido pela Open Up Resources e de autoria da Illustrative Mathematics®, e possui direitos autorais 2017-2019 da Open Up Resources. É licenciado sob a Licença Internacional Creative Commons Atribuição 4.0 (CC BY 4.0). O Currículo de Matemática 6–8 do NOSSO está disponível em https://openupresources.org/math-curriculum/.

As adaptações e atualizações do IM 6–8 Math são copyright 2019 da Illustrative Mathematics e são licenciadas pela Creative Commons Atribuição 4.0 International License (CC BY 4.0).

As adaptações para adicionar suporte adicional ao aluno do idioma inglês são copyright 2019 da Open Up Resources e estão licenciadas sob a Licença Creative Commons Atribuição 4.0 Internacional (CC BY 4.0).

O segundo conjunto de avaliações de inglês (marcado como conjunto "B") é protegido por direitos autorais 2019 da Open Up Resources e está licenciado sob a Licença Internacional Creative Commons Atribuição 4.0 (CC BY 4.0).

A tradução para o espanhol das avaliações "B" possui copyright 2020 da Illustrative Mathematics e está licenciada pela Creative Commons Atribuição 4.0 International License (CC BY 4.0).

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Equações literais e equações envolvendo frações algébricas

Algumas equações, chamadas equações literais, envolvem mais de um número literal. Podemos resolver para um dos literais, chamado de variável, em termos dos outros literais, atribuindo valores para esses literais. obtemos valores correspondentes para a variável.

Para encontrar o conjunto de solução de uma equação literal, forme uma equação equivalente com todos os termos que têm a variável como fator de um lado da equação e os termos que não têm a variável como fator do outro lado. Fatore a variável a partir dos termos que têm a variável como fator e, a seguir, divida os dois lados da equação pelo coeficiente da variável.

Simplifique a resposta e verifique substituindo o valor obtido pela variável na equação original.

EXEMPLO Resolva a seguinte equação para x: 2y-3x = 8.

Portanto, o conjunto de solução é <(2y-8) / 3>.

A verificação é deixada como um exercício.

EXEMPLO Resolva a seguinte equação para x:

Se a + 2 & ne 0, que é a & ne -2, podemos dividir ambos os lados da equação por (a + 2) para obter

Portanto, o conjunto de soluções é

Nota Quando a = -2, temos uma declaração falsa,

EXEMPLO Resolva a seguinte equação para x: 3ax + 4 = 2x + 6a.

Se (3a-2) & ne 0, que é a & ne 2/3, podemos dividir ambos os lados da equação por (3a-2) para obter

Portanto, o conjunto de soluções é

Nota Para qualquer valor para a & ne 2/3, o valor de x é 2. Quando a = 2/3, a equação se torna uma identidade, ou seja, uma afirmação que é verdadeira para todos os valores de x.

Vamos ver como nosso solucionador matemático passo a passo resolve este e outros problemas semelhantes. Clique no botão "Solve Similar" para ver mais exemplos.

EXEMPLO Resolva a seguinte equação para x e verifique:

Se (a-4) & ne 0, ou seja, a & ne 4, podemos dividir ambos os lados da equação por (a-4) para obter

Para verificar, substitua a + 2 por x na equação original.

As fórmulas são regras expressas em símbolos ou números literais. Eles são amplamente usados ​​em muitos campos de estudo. As fórmulas podem ser consideradas tipos especiais de equações literais. Muitos problemas requerem a solução de uma fórmula para uma das letras envolvidas.

& emsp & emsp & emsp & emsp

& emsp & emsp & emsp & emsp

7.7 Equações que envolvem frações algébricas

Quando uma equação envolve frações, ela pode ser colocada de uma forma mais simples quando ambos os lados da equação são multiplicados pelo LCD de todas as frações da equação.

Quando uma equação é multiplicada pelo LCD (que é um polinômio na variável). a equação resultante pode não ser equivalente à equação original. A equação & lsquomulling pode ter um conjunto de soluções com elementos que não satisfazem a equação original. Em todos esses casos, os elementos no conjunto de solução devem ser verificados na equação original.

Os valores da variável que não satisfazem a equação original são chamados de raízes estranhas.

EXEMPLO Resolva a equação 3 / (4x) -1 / (3x ^ 2) = 5 / (6x)

Solução Multiplique ambos os lados da equação por 12x ^ 2.

EXEMPLO Resolva a equação (2x) / (3x-4) -2 = 0

Solução Multiplique ambos os lados da equação por (3x-4).

A verificação é deixada como um exercício

EXEMPLO Resolva a seguinte equação e verifique:

Solução (x-3) / (x-4) - x / (2x + 3) = x ^ 2 / (2x ^ 2-5x-12)

Multiplicando ambos os lados da equação por (x-4) (2x + 3) obtemos

Para verificar, substitua 9 por x na equação original.

Vamos ver como nosso solucionador de matemática passo a passo resolve este e outros problemas semelhantes. Clique no botão "Solve Similar" para ver mais exemplos.

EXEMPLO Resolva a seguinte equação

Solução (3x) / (6x ^ 2-7x-3) - (x-2) / (2x ^ 2-5x + 3) = 3 / (3x ^ 2-2x-1)

Multiplicando ambos os lados da equação por (2x-3) (3x + 1) (x-1), obtemos

A verificação é deixada como um exercício.

Vamos ver como nosso solucionador matemático resolve este e outros problemas semelhantes. Clique no botão "Solve Similar" para ver mais exemplos.

EXEMPLO Resolva a seguinte equação e verifique:

Solução (x-3) / (3x-4) - (2x-5) / (6x-1) = (x-13) / (18x ^ 2-27x + 4)

Multiplicando ambos os lados da equação por (6x-1) (3x-4), obtemos

Substituindo 4/3 por x na equação original, descobrimos que o denominador da primeira fração torna-se zero. Uma vez que a divisão por zero não é definida, o conjunto de solução da equação é & Phi


Métodos para resolver sistemas de equações algebricamente

Existem essencialmente três métodos diferentes para resolver sistemas de equações algebricamente. Eles são listados e descritos resumidamente a seguir.

O método de representação gráfica: Quando há uma variável resolvida em ambas as equações, é fácil usar uma calculadora gráfica. Nesse caso, a calculadora pode ser usada para representar graficamente as duas equações. A intersecção das duas linhas representará a solução para o sistema de equações.

O Método de Substituição: Existem dois tipos diferentes de sistemas de equações em que a substituição é o método mais fácil.

Tipo 1: Uma variável está sozinha ou isolada em uma das equações. O sistema é resolvido substituindo a equação pelo termo isolado na outra equação:

Tipo 2: Uma variável pode ser facilmente isolada. Os sistemas são resolvidos resolvendo uma variável em uma das equações e, em seguida, substituindo essa equação na segunda equação. Resolva para uma na segunda equação, substitua a segunda equação pela primeira.

O Método de Eliminação: Ambas as equações estão no formato padrão: Ax + By = C. O sistema de equações é resolvido eliminando uma variável e resolvendo a variável restante. Adicione as duas equações para eliminar o y, então resolva para x.

Qualquer um dos outros métodos pode ser usado para verificar sua resposta, ou você pode inserir os valores xey para garantir que ambas as equações forneçam afirmações verdadeiras.


Resolvendo Equações

As discussões e atividades a seguir destinam-se a ajudar os alunos a compreender os conceitos por trás e os métodos de resolução de equações. Esta lição é melhor implementada com alunos que trabalham em grupos de 2-4.

Objetivos

  • entenda que existem várias maneiras de resolver uma equação e obter o mesmo resultado
  • apreciar as diferentes maneiras de resolver equações lineares de variável única
  • ser capaz de classificar processos como inversos aditivos e multiplicativos

Normas abordadas:

  • Funções e Relacionamentos
    • O aluno demonstra compreensão conceitual de funções, padrões ou sequências, incluindo aqueles representados em situações do mundo real.
    • O aluno demonstra pensamento algébrico.
    • Funções e Relacionamentos
      • O aluno demonstra compreensão conceitual de funções, padrões ou sequências, incluindo aqueles representados em situações do mundo real.
      • O aluno demonstra pensamento algébrico.
      • Álgebra e Funções
        • 1.0 Os alunos escrevem expressões verbais e sentenças como expressões e equações algébricas, avaliam expressões algébricas, resolvem equações lineares simples, representam graficamente e interpretam seus resultados
        • 1.0 Os alunos tomam decisões sobre como abordar os problemas
        • 2.0 Os alunos usam estratégias, habilidades e conceitos para encontrar soluções
        • Álgebra e Funções
          • 1.0 Os alunos expressam relações quantitativas usando terminologia algébrica, expressões, equações, desigualdades e gráficos
          • 4.0 Os alunos resolvem equações lineares simples e desigualdades sobre os números racionais
          • 1.0 Os alunos tomam decisões sobre como abordar os problemas
          • 2.0 Os alunos usam estratégias, habilidades e conceitos para encontrar soluções
          • Álgebra I
            • 2.0 Os alunos entendem e usam essas operações como obter o oposto, encontrar o recíproco, criar uma raiz e aumentar para uma potência fracionária. Eles entendem e usam as regras dos expoentes.
            • 4.0 Os alunos simplificam as expressões antes de resolver equações lineares e desigualdades em uma variável, como 3 (2x-5) + 4 (x-2) = 12.
            • 5.0 Os alunos resolvem problemas de várias etapas, incluindo problemas de palavras, envolvendo equações lineares e desigualdades lineares em uma variável e fornecem justificativa para cada etapa.
            • Aritmética com polinômios e expressões racionais
              • Realizar operações aritméticas em polinômios
              • Use identidades polinomiais para resolver problemas
              • Compreenda a resolução de equações como um processo de raciocínio e explique o raciocínio
              • Resolva equações e desigualdades em uma variável
              • Expressões e Equações
                • Use propriedades de operações para gerar expressões equivalentes.
                • Resolva problemas matemáticos e da vida real usando expressões e equações numéricas e algébricas.
                • Expressões e Equações
                  • Aplicar e estender conhecimentos anteriores de aritmética para expressões algébricas.
                  • Raciocine e resolva equações e desigualdades de uma variável.
                  • Álgebra
                    • Compreenda padrões, relações e funções
                    • Compreenda os significados das operações e como elas se relacionam entre si
                    • Álgebra
                      • Compreenda padrões, relações e funções
                      • Compreenda os significados das operações e como elas se relacionam umas com as outras
                      • Álgebra
                        • Meta de competência 4: O aluno usará relações e funções para resolver problemas.
                        • Número e operações, medição, geometria, análise de dados e probabilidade, álgebra
                          • META DE COMPETÊNCIA 5: O aluno demonstrará uma compreensão das relações lineares e dos conceitos algébricos fundamentais.
                          • Número e operações, medição, geometria, análise de dados e probabilidade, álgebra
                            • META DE COMPETÊNCIA 5: O aluno compreenderá e usará relações e funções lineares.
                            • Álgebra
                              • META DE COMPETÊNCIA 4: O aluno compreenderá e usará relações e funções lineares.
                              • Álgebra
                                • O aluno demonstrará através dos processos matemáticos uma compreensão das relações proporcionais.
                                • Álgebra
                                  • O aluno demonstrará através dos processos matemáticos uma compreensão das equações, desigualdades e funções lineares.
                                  • Álgebra Elementar
                                    • Padrão EA-4: O aluno demonstrará através dos processos matemáticos uma compreensão dos procedimentos para escrever e resolver equações lineares e desigualdades.
                                    • Álgebra
                                      • O aluno compreenderá e generalizará os padrões à medida que eles representam e analisam as relações e mudanças quantitativas em uma variedade de contextos e problemas usando gráficos, tabelas e equações.
                                      • O aluno desenvolverá número e senso de operação necessários para representar números e relações numéricas verbalmente, simbolicamente e graficamente e para calcular fluentemente e fazer estimativas razoáveis ​​na resolução de problemas.
                                      • Álgebra
                                        • Os alunos irão descrever, estender, analisar e criar uma ampla variedade de padrões e funções usando materiais apropriados e representações na resolução de problemas do mundo real.
                                        • Os alunos irão reconhecer, representar, modelar e aplicar números reais e operações verbalmente, fisicamente, simbolicamente e graficamente.
                                        • Fundação para Funções
                                          • 4. O aluno compreende a importância das competências necessárias à manipulação de símbolos para a resolução de problemas e utiliza as competências algébricas necessárias para simplificar expressões algébricas e resolver equações e desigualdades em situações problemáticas.
                                          • 7. O aluno formula equações e desigualdades com base em funções lineares, usa uma variedade de métodos para as resolver e analisa as soluções em termos da situação.
                                          • Padrões, funções e álgebra
                                            • 6.23b O aluno resolverá equações lineares de uma etapa em uma variável, envolvendo coeficientes de número inteiro e soluções racionais positivas
                                            • Número e sentido numérico
                                              • 7.3 O aluno irá identificar e aplicar as seguintes propriedades de operações com números reais: as propriedades comutativas e associativas para adição e multiplicação a propriedade distributiva as propriedades de identidade aditiva e multiplicativa as propriedades aditivas e multiplicativas inversas e a propriedade multiplicativa de zero.
                                              • 7.22a O aluno resolverá equações lineares de uma etapa e desigualdades em uma variável com estratégias envolvendo operações inversas e inteiros, usando materiais concretos, representações pictóricas e papel e lápis
                                              • Padrões, funções e álgebra
                                                • 8.15 O aluno resolverá equações e desigualdades de duas etapas em uma variável, usando materiais concretos, representações pictóricas e papel e lápis.
                                                • Álgebra I
                                                  • A.01 O aluno resolverá equações lineares de várias etapas e desigualdades em uma variável, resolverá equações literais (fórmulas) para uma determinada variável e aplicará essas habilidades para resolver problemas práticos. Calculadoras gráficas serão usadas para confirmar soluções algébricas.
                                                  • A.03 O aluno justificará as etapas usadas na simplificação de expressões e na solução de equações e inequações. As justificativas incluirão o uso de representações pictóricas de objetos concretos e as propriedades de números reais, igualdade e desigualdade.

                                                  Livros didáticos alinhados:

                                                  Pré-requisitos do aluno

                                                  • Aritmética: Os alunos devem ser capazes de:
                                                    • somar, subtrair, multiplicar e dividir
                                                    • entender o conceito de variáveis
                                                    • manipular variáveis ​​e constantes separadamente

                                                    Preparação de Professores

                                                    Termos chave

                                                    AdiçãoA operação, ou processo, de calcular a soma de dois números ou quantidades
                                                    inverso aditivoO número que quando adicionado ao número original resultará em uma soma de zero
                                                    algoritmoProcedimento passo a passo pelo qual uma operação pode ser realizada
                                                    constantesEm matemática, as coisas que não mudam são chamadas de constantes. As coisas que mudam são chamadas de variáveis.
                                                    multiplicaçãoA operação pela qual o produto de duas quantidades é calculado. Multiplicar um número b por c é somar b a ele mesmo c vezes
                                                    multiplicativo inversoO número que, quando multiplicado pelo número original, resultará em um produto de um
                                                    variáveisEm matemática, as coisas que podem mudar são chamadas de variáveis. As coisas que não mudam são chamadas de constantes.

                                                    Esboço da Aula

                                                    Lembre aos alunos o que foi aprendido nas lições anteriores que será pertinente a esta lição e / ou faça-os começar a pensar sobre as palavras e ideias desta lição:

                                                    • Alguém sabe o que é inverso aditivo é?
                                                      • Qual é a palavra raiz em "aditivo"?
                                                      • Portanto, se estamos adicionando algo, o que pode significar pegar o "inverso"?
                                                      • Com base nisso, o que você acha de um inverso aditivo é?
                                                      • Qual é a palavra raiz em "multiplicativo"?
                                                      • Uma vez que já sabemos o que é um inverso, alguém pode adivinhar o que é um multiplicativo inverso pode ser?
                                                      • Hoje, vamos encontrar maneiras diferentes de resolver equações com uma única variável. Estaremos trabalhando em computadores durante parte desta lição, mas por favor, não ligue seus computadores até que eu diga para você fazer isso.
                                                      • Quanto dinheiro Bernard tem se tiver $ 5 a mais do que Andrew e Andrew tiver $ 10?
                                                      • Quanto dinheiro Cole tem se tiver o dobro de Bernard?
                                                      • Quanto dinheiro Dave, Ellen e Fitzgerald têm se você souber o seguinte:
                                                        • Dave tem $ 2 mais do que o dobro de Ellen
                                                        • Ellen tem US $ 8 menos da metade de Fitzgerald
                                                        • Fitzgerald tem US $ 20 a menos que Cole
                                                        • O que significa resolver uma equação?
                                                        • Qual deve ser a aparência de uma equação simplificada? Onde estão as variáveis ​​e onde estão as constantes?
                                                        • Como podemos mover variáveis ​​ou constantes de um lado da equação para o outro?
                                                        • O que podemos fazer se tivermos algo como "2x" ou "10x" e quisermos apenas "x"?

                                                        Navegue até Equation Solver e escolha uma equação para resolver. Para obter melhores resultados, escolha uma equação relativamente difícil para garantir que haja várias maneiras de resolvê-la.

                                                        • Peça aos alunos para guiá-lo, passo a passo, para resolver a equação.
                                                          • Certifique-se de que os alunos entendam como designar seus passos como inverso aditivo ou inverso multiplicativo.
                                                          • Saliente o fato de que o Equation Solver sempre faz a mesma coisa com os dois lados da equação - isso é importante para os alunos se lembrarem ao resolver equações sem ajuda computadorizada.
                                                          • Observação: mesmo que os alunos sugiram algoritmos que às vezes não funcionam, eles ainda podem experimentá-los para ver por que e como seus algoritmos não funcionam.
                                                          • Ao fazer isso, peça aos alunos que completem a planilha, anotando o número de etapas necessárias para resolver cada equação em comparação com o número mínimo de etapas recomendado.
                                                          • Dependendo do tamanho e do número de grupos, faça com que cada grupo resolva algumas equações com cada algoritmo ou faça com que cada grupo resolva equações usando apenas um algoritmo e depois compare entre os grupos.
                                                          • Qual algoritmo resolveu as equações com o menor número de etapas para problemas de nível 1? Nível 2? Nível 3? No geral?
                                                          • Todos os algoritmos ajudaram você a chegar à solução correta ou alguns falharam em resolver a equação?
                                                          • Algum dos algoritmos foi particularmente fácil de usar e lembrar?
                                                          • Equívocos comuns sobre se é importante colocar variáveis ​​no lado esquerdo x direito da equação
                                                          • Multiplicando ou adicionando primeiro
                                                          • Como multiplicar uma fração por meio do uso de recíprocos

                                                          Contorno Alternativo

                                                          • Os alunos com menos experiência em resolver equações podem se beneficiar de um algoritmo apresentado pelo professor para resolver equações como base para seus próprios algoritmos
                                                          • Para combinar esta lição com estatísticas, faça com que cada grupo calcule o número de etapas que executou em comparação com o número ideal de etapas, a fim de comparar numericamente a eficácia de vários algoritmos

                                                          Acompanhamento sugerido

                                                          Para reforçar e praticar a resolução de equações, peça aos alunos que participem do Questionário de Álgebra ou do Álgebra Quatro.


                                                          Uma primeira lição de álgebra: Resolvendo Equações

                                                          Uma das primeiras lições ensinadas em Álgebra é Resolvendo Equações. Esta é a base da Álgebra e muitas outras lições ministradas em Álgebra contarão com o conhecimento dessa habilidade. Seu primeiro parágrafo.

                                                          Então, o que é uma equação?

                                                          Uma equação é uma declaração matemática que mostra que duas quantidades são iguais.

                                                          Por exemplo, 6 + 3 = 9. Esta é uma equação que mostra que a expressão 6 + 3 é igual à quantidade 9.

                                                          No entanto, em Álgebra, um dos termos é normalmente desconhecido e uma variável (letra) é usada em seu lugar. Por exemplo, x + 3 = 9 é uma equação de álgebra. Devemos resolver esta equação para determinar o valor de x.

                                                          Vou te ensinar como resolver muitos tipos de equações. Começaremos com a equação álgebra básica, que envolve apenas uma etapa para ser resolvida. A partir daí, passaremos para as equações de duas etapas. Vou até te ensinar como resolver equações que contêm frações. Eles parecem assustadores, mas eles realmente não são tão ruins.

                                                          Em seguida, passaremos para as equações com variáveis ​​em ambos os lados e escreveremos equações com base em problemas de palavras. Nós cobriremos tudo - então coloque seu limite de raciocínio e prepare-se para resolver as equações.

                                                          Clique na lição específica para a qual você pode precisar de ajuda ou acompanhe para concluir a unidade inteira. Boa sorte!


                                                          Assista o vídeo: Rozwiązywanie równań - Matematyka Szkoła Podstawowa i Gimnazjum (Outubro 2021).