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10.2: Funções trigonométricas de um ângulo agudo


Considere um triângulo retângulo ( triangle , ABC ), com o ângulo reto em (C ) e com comprimentos (a ), (b ) e (c ), como na figura à direita. Para o ângulo agudo (A ), chame a perna ( overline {BC} ) de seu lado oposto, e chame a perna ( overline {AC} ) de sua lado adjacente. Lembre-se de que a hipotenusa do triângulo é o lado ( overline {AB} ). As proporções dos lados de um triângulo retângulo ocorrem com frequência suficiente em aplicações práticas para justificar seus próprios nomes, então definimos o seis funções trigonométricas de (A ) da seguinte forma:

Tabela 1.2 As seis funções trigonométricas de (A )

Normalmente usaremos os nomes abreviados das funções. Observe na Tabela 1.2 que os pares ( sin A ) e ( csc A ), ( cos A ) e ( sec A ), e ( tan A ) e ( cot A ) são recíprocos:

Exemplo 1.5

Para o triângulo retângulo ( triangle , ABC ) mostrado à direita, encontre os valores de todas as seis funções trigonométricas dos ângulos agudos (A ) e (B ).

Solução:

A hipotenusa de ( triângulo , ABC ) tem comprimento (5 ). Para o ângulo (A ), o lado oposto ( overline {BC} ) tem comprimento (3 ) e o lado adjacente ( overline {AC} ) tem comprimento (4 ). Desse modo:

[ nonumber sin A ~ = ~ dfrac { text {oposto}} { text {hipotenusa}} ~ = ~ dfrac {3} {5} qquad qquad
cos A ~ = ~ dfrac { text {adjacente}} { text {hipotenusa}} ~ = ~ dfrac {4} {5} qquad qquad
tan A ~ = ~ dfrac { text {oposto}} { text {adjacente}} ~ = ~ dfrac {3} {4} ]

[ nonumber csc A ~ = ~ dfrac { text {hipotenusa}} { text {oposto}} ~ = ~ dfrac {5} {3} qquad qquad
sec A ~ = ~ dfrac { text {hipotenusa}} { text {adjacente}} ~ = ~ dfrac {5} {4} qquad qquad
cot A ~ = ~ dfrac { text {adjacente}} { text {oposto}} ~ = ~ dfrac {4} {3} ]

Para o ângulo (B ), o lado oposto ( overline {AC} ) tem comprimento (4 ) e o lado adjacente ( overline {BC} ) tem comprimento (3 ). Desse modo:

[ sin B ~ = ~ dfrac { text {oposto}} { text {hipotenusa}} ~ = ~ dfrac {4} {5} qquad qquad
cos B ~ = ~ dfrac { text {adjacente}} { text {hipotenusa}} ~ = ~ dfrac {3} {5} qquad qquad
tan B ~ = ~ dfrac { text {oposto}} { text {adjacente}} ~ = ~ dfrac {4} {3} ]

[ csc B ~ = ~ dfrac { text {hipotenusa}} { text {oposto}} ~ = ~ dfrac {5} {4} qquad qquad
sec B ~ = ~ dfrac { text {hipotenusa}} { text {adjacente}} ~ = ~ dfrac {5} {3} qquad qquad
cot B ~ = ~ dfrac { text {adjacente}} { text {oposto}} ~ = ~ dfrac {3} {4} ]

Observe no Exemplo 1.5 que não especificamos as unidades para os comprimentos. Isso levanta a possibilidade de que nossas respostas dependessem de um triângulo de um tamanho físico específico.

Por exemplo, suponha que dois alunos diferentes estejam lendo este livro: um nos Estados Unidos e um na Alemanha. O estudante americano pensa que os comprimentos (3 ), (4 ) e (5 ) no Exemplo 1.5 são medidos em polegadas, enquanto o estudante alemão pensa que eles são medidos em centímetros. Como (1 ) in ( approx ) (2,54 ) cm, os alunos estão usando triângulos de tamanhos físicos diferentes (ver Figura 1.2.1 abaixo, não desenhados em escala).


Figura 1.2.1: (△ ABC ∼ △ A ′ B ′ C ′ )

Se o triângulo americano é ( triângulo , ABC ) e o triângulo alemão é ( triângulo , A'B'C '), então vemos na Figura 1.2.1 que ( triângulo , ABC ) é semelhante a ( triangle , A'B'C ') e, portanto, os ângulos correspondentes são iguais e as proporções dos lados correspondentes são iguais. Na verdade, sabemos que proporção comum: os lados de ( triângulo , ABC ) são aproximadamente (2,54 ) vezes mais longos do que os lados correspondentes de ( triângulo , A'B'C '). Então, quando o estudante americano calcula ( sin A ) e o estudante alemão calcula ( sin A '), eles obtêm a mesma resposta:

[ triângulo , ABC ~ sim ~ triângulo , A'B'C ' quad Rightarrow quad
dfrac {BC} {B'C '} ~ = ~ dfrac {AB} {A'B'} quad Rightarrow quad
dfrac {BC} {AB} ~ = ~ dfrac {B'C '} {A'B'} quad Rightarrow quad sin A ~ = ~ sin A ']

Da mesma forma, os outros valores das funções trigonométricas de (A ) e (A ') são os mesmos. Na verdade, nosso argumento era geral o suficiente para funcionar com quaisquer triângulos retângulos semelhantes. Isso nos leva à seguinte conclusão:

Ao calcular as funções trigonométricas de um ângulo agudo (A ), você pode usar algum triângulo retângulo que tem (A ) como um dos ângulos.

Como definimos as funções trigonométricas em termos de proporções dos lados, você pode pensar nas unidades de medida para esses lados como canceladas nessas proporções. Isso significa que os valores das funções trigonométricas são números sem unidade. Então, quando o estudante americano calculou (3/5 ) como o valor de ( sin A ) no Exemplo 1.5, isso é o mesmo que o (3/5 ) que o estudante alemão calculou, apesar das diferenças unidades para os comprimentos dos lados.

Exemplo 1.6

Encontre os valores de todas as seis funções trigonométricas de (45 ^ circ ).

Solução:

Uma vez que podemos usar qualquer triângulo retângulo que tenha (45 ^ circ ) como um dos ângulos, use o mais simples: pegue um quadrado cujos lados são todos (1 ) unidades de comprimento e divida-o ao meio diagonalmente, como na figura à direita. Como as duas pernas do triângulo ( triângulo , ABC ) têm o mesmo comprimento, ( triângulo , ABC ) é um triângulo isósceles, o que significa que os ângulos (A ) e (B ) são iguais. Portanto, como (A + B = 90 ^ circ ), isso significa que devemos ter (A = B = 45 ^ circ ). Pelo teorema de Pitágoras, o comprimento (c ) da hipotenusa é dado por

[c ^ 2 ~ = ~ 1 ^ 2 ~ + ~ 1 ^ 2 ~ = ~ 2 quad Rightarrow quad c ~ = ~ sqrt {2} ~ ]

Assim, usando o ângulo (A ), obtemos:

[ sin ; 45 ^ circ ~ = ~ dfrac { text {oposto}} { text {hipotenusa}} ~ = ~ dfrac {1} { sqrt {2}} quad quad
cos ; 45 ^ circ ~ = ~ dfrac { text {adjacente}} { text {hipotenusa}} ~ = ~ dfrac {1} { sqrt {2}} quad quad
tan ; 45 ^ circ ~ = ~ dfrac { text {oposto}} { text {adjacente}} ~ = ~ dfrac {1} {1} ~ = ~ 1 ]

[ csc ; 45 ^ circ ~ = ~ dfrac { text {hipotenusa}} { text {oposto}} ~ = ~ sqrt {2} quad quad
sec ; 45 ^ circ ~ = ~ dfrac { text {hipotenusa}} { text {adjacente}} ~ = ~ sqrt {2} quad quad
cot ; 45 ^ circ ~ = ~ dfrac { text {adjacente}} { text {oposto}} ~ = ~ dfrac {1} {1} ~ = ~ 1 ]

Observe que teríamos obtido as mesmas respostas se tivéssemos usado qualquer triângulo retângulo semelhante a ( triangle , ABC ). Por exemplo, se multiplicarmos cada lado de ( triangle , ABC ) por ( sqrt {2} ), teríamos um triângulo semelhante com pernas de comprimento ( sqrt {2} ) e hipotenusa de comprimento (2 ). Isso nos daria ( sin 45 ^ circ = frac { sqrt {2}} {2} ), que é igual a ( frac { sqrt {2}} { sqrt {2} cdot sqrt {2}} = frac {1} { sqrt {2}} ) como antes. O mesmo vale para as outras funções.

Exemplo 1.7

Encontre os valores de todas as seis funções trigonométricas de (60 ^ circ ).

Solução:

Uma vez que podemos usar qualquer triângulo retângulo que tenha (60 ^ circ ) como um dos ângulos, usaremos um simples: pegue um triângulo cujos lados têm (2 ) unidades de comprimento e divida-o ao meio por desenhando a bissetriz de um vértice para o lado oposto, como na figura à direita. Uma vez que o triângulo original era um Triângulo Equilátero (ou seja, todos os três lados tinham o mesmo comprimento), seus três ângulos eram todos iguais, ou seja, (60 ^ circ ). Lembre-se da geometria elementar que a bissetriz do ângulo do vértice de um triângulo equilátero para seu lado oposto divide o ângulo do vértice e o lado oposto. Assim como na figura à direita, o triângulo ( triângulo , ABC ) tem ângulo (A = 60 ^ circ ) e ângulo (B = 30 ^ circ ), que força o ângulo (C ) para ser (90 ^ circ ). Assim, ( triângulo , ABC ) é um triângulo retângulo. Vemos que a hipotenusa tem comprimento (c = AB = 2 ) e a perna ( overline {AC} ) tem comprimento (b = AC = 1 ). Pelo Teorema de Pitágoras, o comprimento (a ) da perna ( overline {BC} ) é dado por

[a ^ 2 ~ + ~ b ^ 2 ~ = ~ c ^ 2 quad Rightarrow quad a ^ 2 ~ = ~ 2 ^ 2 ~ - ~ 1 ^ 2 ~ = ~ 3
quad Rightarrow quad a ~ = ~ sqrt {3} ~. ]

Assim, usando o ângulo (A ), obtemos:

[ sin 60 ^ circ ; = ; dfrac { text {oposto}} { text {hipotenusa}} ; = ; dfrac { sqrt {3}} {2} qquad
cos 60 ^ circ ; = ; dfrac { text {adjacente}} { text {hipotenusa}} ; = ; dfrac {1} {2} qquad
tan 60 ^ circ ; = ; dfrac { text {oposto}} { text {adjacente}} ; = ; dfrac { sqrt {3}} {1} , = ,
sqrt {3} ]

[ csc 60 ^ circ ; = ; dfrac { text {hipotenusa}} { text {oposto}} ; = ; dfrac {2} { sqrt {3}} qquad
sec 60 ^ circ ; = ; dfrac { text {hipotenusa}} { text {adjacente}} ; = ; 2 qquad
cot 60 ^ circ ; = ; dfrac { text {adjacente}} { text {oposto}} ; = ;
dfrac {1} { sqrt {3}} ~ quad quad ]

Observe que, como um bônus, obtemos os valores de todas as seis funções trigonométricas de (30 ^ circ ), usando o ângulo (B = 30 ^ circ ) no mesmo triângulo ( triangle , ABC ) acima:

[ sin 30 ^ circ ; = ; dfrac { text {oposto}} { text {hipotenusa}} ; = ; dfrac {1} {2} qquad
cos 30 ^ circ ; = ; dfrac { text {adjacente}} { text {hipotenusa}} ; = ; dfrac { sqrt {3}} {2} qquad
tan 30 ^ circ ; = ; dfrac { text {oposto}} { text {adjacente}} ; = ;
dfrac {1} { sqrt {3}} quad quad ]

[ csc 30 ^ circ ; = ; dfrac { text {hipotenusa}} { text {oposto}} ; = ; 2 qquad
sec 30 ^ circ ; = ; dfrac { text {hipotenusa}} { text {adjacente}} ; = ; dfrac {2} { sqrt {3}} qquad
cot 30 ^ circ ; = ; dfrac { text {adjacente}} { text {oposto}} ; = ;
dfrac { sqrt {3}} {1} ; = ; sqrt {3} ]

Exemplo 1.8

(A ) é um ângulo agudo tal que ( sin A = frac {2} {3} ). Encontre os valores das outras funções trigonométricas de (A ).

Solução:

Em geral, é útil desenhar um triângulo retângulo para resolver problemas desse tipo. A razão é que as funções trigonométricas foram definidas em termos de proporções dos lados de um triângulo retângulo, e você recebe uma dessas funções (o seno, neste caso) já em termos de uma proporção: ( sin ; A = frac {2} {3} ). Uma vez que ( sin ; A ) é definido como ( frac { text {oposto}} { text {hipotenusa}} ), use (2 ) como o comprimento do lado oposto (A ) e use (3 ) como o comprimento da hipotenusa em um triângulo retângulo ( triângulo , ABC ) (veja a figura acima), de modo que ( sin ; A = frac {2} {3} ). O lado adjacente a (A ) tem comprimento desconhecido (b ), mas podemos usar o Teorema de Pitágoras para encontrá-lo:

[2 ^ 2 ~ + ~ b ^ 2 ~ = ~ 3 ^ 2 quad Rightarrow quad b ^ 2 ~ = ~ 9 ~ - ~ 4 ~ = ~ 5 quad Rightarrow quad
b ~ = ~ sqrt {5} ]

Agora sabemos os comprimentos de todos os lados do triângulo ( triangle , ABC ), então temos:

[ cos ; A ; = ; dfrac { text {adjacente}} { text {hipotenusa}} ; = ; dfrac { sqrt {5}} {3} qquad
tan ; A ; = ; dfrac { text {oposto}} { text {adjacente}} ; = ;
dfrac {2} { sqrt {5}} quad quad ]

[ csc ; A ; = ; dfrac { text {hipotenusa}} { text {oposto}} ; = ; dfrac {3} {2} qquad
sec ; A ; = ; dfrac { text {hipotenusa}} { text {adjacente}} ; = ; dfrac {3} { sqrt {5}} qquad
cot ; A ; = ; dfrac { text {adjacente}} { text {oposto}} ; = ; dfrac { sqrt {5}} {2} ]

Você deve ter notado as conexões entre o seno e cosseno, secante e cossecante, e tangente e cotangente dos ângulos complementares nos Exemplos 1.5 e 1.7. Generalizar esses exemplos nos dá o seguinte teorema:

Teorema 1.2 Teorema da Cofunção

Se (A ) e (B ) são os ângulos agudos complementares em um triângulo retângulo ( triangle , ABC ), então as seguintes relações se mantêm:

[ sin ; A ~ = ~ cos ; B qquad qquad sec ; A ~ = ~ csc ; B qquad qquad tan ; A ~ = ~ cot ; B ]

[ sin ; B ~ = ~ cos ; A qquad qquad sec ; B ~ = ~ csc ; A qquad qquad tan ; B ~ = ~ cot ; A ]

Dizemos que os pares de funções ( lbrace ; sin, cos ; rbrace ), ( lbrace ; sec, csc ; rbrace ) e ( lbrace ; tan, cot ; rbrace ) são ( textbf {cofunções} ).

Portanto, seno e cosseno são co-funções, secante e cossecante são co-funções, e tangente e cotangente são co-funções. É assim que as funções cosseno, cossecante e cotangente têm o "co '' em seus nomes. O Teorema da Cofunção diz que qualquer função trigonométrica de um ângulo agudo é igual à sua cofunção do ângulo complementar.

Exemplo 1.9

Escreva cada um dos seguintes números como funções trigonométricas de um ângulo menor que (45 ^ circ: textbf {(a)} sin ; 65 ^ circ; textbf {(b)} cos ; 78 ^ circ; textbf {(c)} tan ; 59 ^ circ ).

Solução

( textbf {(a)} ) O complemento de (65 ^ circ ) é (90 ^ circ - 65 ^ circ = 25 ^ circ ) e a cofunção de ( sin ) é ( cos ), então pelo Teorema da Cofunção sabemos que ( sin ; 65 ^ circ = cos ; 25 ^ circ ).

( textbf {(b)} ) O complemento de (78 ^ circ ) é (90 ^ circ - 78 ^ circ = 12 ^ circ ) e a cofunção de ( cos ) é ( sin ), então ( cos ; 78 ^ circ = sin ; 12 ^ circ ).

( textbf {(c)} ) O complemento de (59 ^ circ ) é (90 ^ circ - 59 ^ circ = 31 ^ circ ) e a cofunção de ( tan ) é ( cot ), então ( tan ; 59 ^ circ = cot ; 31 ^ circ ).

Os ângulos (30 ^ circ ), (45 ^ circ ) e (60 ^ circ ) surgem frequentemente nas aplicações. Podemos usar o Teorema de Pitágoras para generalizar os triângulos retângulos nos Exemplos 1.6 e 1.7 e ver o que algum (45-45-90 ) e (30-60-90 ) triângulos retângulos se parecem, como na Figura 1.2.2 acima.

Exemplo 1.10

Encontre o seno, cosseno e tangente de (75 ^ circ ).

Solução

Como (75 ^ circ = 45 ^ circ + 30 ^ circ ), coloque um (30-60-90 ) triângulo retângulo ( triangle , ADB ) com pernas de comprimento ( sqrt {3} ) e (1 ) no topo da hipotenusa de um (45-45-90 ) triângulo retângulo ( triangle , ABC ) cuja hipotenusa tem comprimento ( sqrt {3} ), como na figura à direita. Da Figura 1.2.2 (a) sabemos que o comprimento de cada perna de ( triângulo , ABC ) é o comprimento da hipotenusa dividido por ( sqrt {2} ). Portanto, (AC = BC = frac { sqrt {3}} { sqrt {2}} = sqrt { frac {3} {2}} ). Desenhe ( overline {DE} ) perpendicular a ( overline {AC} ), de modo que ( triângulo , ADE ) seja um triângulo retângulo. Uma vez que ( angle , BAC = 45 ^ circ ) e ( angle , DAB = 30 ^ circ ), vemos que ( angle , DAE = 75 ^ circ ) uma vez que é a soma desses dois ângulos. Portanto, precisamos encontrar o seno, cosseno e tangente de ( angle , DAE ).

Observe que ( angle , ADE = 15 ^ circ ), uma vez que é o complemento de ( angle , DAE ). E ( angle , ADB = 60 ^ circ ), uma vez que é o complemento de ( angle , DAB ). Desenhe ( overline {BF} ) perpendicular a ( overline {DE} ), de forma que ( triângulo , DFB ) seja um triângulo retângulo. Então ( ângulo , BDF = 45 ^ circ ), uma vez que é a diferença de ( ângulo , ADB = 60 ^ circ ) e ( ângulo , ADE = 15 ^ circ ) Além disso, ( angle , DBF = 45 ^ circ ) uma vez que é o complemento de ( angle , BDF ). A hipotenusa ( overline {BD} ) de ( triângulo , DFB ) tem comprimento (1 ) e ( triângulo , DFB ) é uma (45-45-90 ) direita triângulo, então sabemos que (DF = FB = frac {1} { sqrt {2}} ).

Agora, sabemos que ( overline {DE} perp overline {AC} ) e ( overline {BC} perp overline {AC} ), então ( overline {FE} ) e ( overline {BC} ) são paralelos. Da mesma forma, ( overline {FB} ) e ( overline {EC} ) são perpendiculares a ( overline {DE} ) e, portanto, ( overline {FB} ) é paralelo a ( overline {EC} ). Assim, (FBCE ) é um retângulo, já que ( angle , BCE ) é um ângulo reto. Portanto, (EC = FB = frac {1} { sqrt {2}} ) e (FE = BC = sqrt { frac {3} {2}} ). Por isso,

[DE ~ = ~ DF ~ + ~ FE ~ = ~ tfrac {1} { sqrt {2}} ~ + ~ sqrt { tfrac {3} {2}} ~ = ~ tfrac { sqrt { 3} ~ + ~ 1} { sqrt {2}}
quad text {e} quad
AE ~ = ~ AC ~ - ~ EC ~ = ~ sqrt { tfrac {3} {2}} ~ - ~ tfrac {1} { sqrt {2}} ~ = ~ tfrac { sqrt {3} ~ - ~ 1} { sqrt {2}}
~. ~ text {Assim,} ]

[ sin ; 75 ^ circ = tfrac {DE} {AD} = tfrac { frac { sqrt {3} + 1} { sqrt {2}}} {2} =
tfrac { sqrt {6} + sqrt {2}} {4} ~, ~ cos ; 75 ^ circ = tfrac {AE} {AD} =
tfrac { frac { sqrt {3} - 1} { sqrt {2}}} {2} = tfrac { sqrt {6} - sqrt {2}} {4}
~, ~ text {e} ~ tan ; 75 ^ circ =
tfrac {DE} {AE} = tfrac { frac { sqrt {3} + 1} { sqrt {2}}} { frac { sqrt {3} - 1} { sqrt {2}} } =
tfrac { sqrt {6} + sqrt {2}} { sqrt {6} - sqrt {2}} ~. ]

Nota: Tomando recíprocos, obtemos ( csc ; 75 ^ circ = frac {4} { sqrt {6} + sqrt {2}} ), ( sec ; 75 ^ circ = frac {4} { sqrt {6} - sqrt {2}} ), e ( cot ; 75 ^ circ = frac { sqrt {6} - sqrt {2}} { sqrt {6} + sqrt {2}} ).


Definições das funções trigonométricasde um ângulo agudo

ANTES DE DEFINIR AS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS, devemos ver como relacionar os ângulos e os lados de um triângulo retângulo.

Um triângulo retângulo é composto de um ângulo reto, o ângulo em C, e dois ângulos agudos, que são ângulos menores que um ângulo reto. É convencional rotular os ângulos agudos com letras gregas. Vamos rotular o ângulo em B com a letra & theta ("THAY-ta"). E vamos rotular o ângulo em A com a letra & phi ("fie").

Quanto aos lados, o lado AB, oposto ao ângulo reto, é chamado de hipotenusa ("hy-POT'n-yoos"). Cada ângulo agudo é formado pela hipotenusa e o lado adjacente ao ângulo. Assim, o ângulo & teta é formado pela hipotenusa e pelo lado BC. Angle & phi é formado pela hipotenusa e pelo lado AC.

Com relação ao ângulo e teta, entretanto, o lado AC é seu lado oposto. Enquanto o lado BC é o lado oposto a & phi.

Quaisquer dois lados do triângulo terão uma relação - um relacionamento - um com o outro. É possível formar seis dessas relações: a relação do lado oposto com a hipotenusa, o lado adjacente com a hipotenusa e assim por diante. Essas seis proporções têm nomes e abreviaturas históricas, com as quais o aluno terá que fazer as pazes. Eles são os seguintes.

seno de & theta = sin & theta = oposto
hipotenusa
cossecante de & theta = csc & theta = hipotenusa
oposto
cosseno de & theta = cos & theta = adjacente
hipotenusa
secante de & theta = sec e theta = hipotenusa
adjacente
tangente de & theta = tan e theta = oposto
adjacente
cotangente de & theta = berço e teta = adjacente
oposto

Observe que cada proporção na coluna da direita é o inverso, ou recíproco, da proporção na coluna da esquerda.

O recíproco de sin & theta é csc & theta e vice-versa.

O recíproco de cos & theta é sec & theta.

E o recíproco de tan & theta é cot & theta.

Além disso, cada proporção é uma função do ângulo agudo. Ou seja, uma quantidade é uma "função" de outra se seu valor depender do valor da outra. A circunferência de um círculo é uma função do raio, porque o tamanho da circunferência depende do tamanho do raio e, quando o raio muda, a circunferência também muda. Como veremos no próximo tópico, o valor de cada razão depende apenas do valor do ângulo agudo. É por isso que dizemos que essas relações são funções do ângulo agudo. Nós as chamamos de funções trigonométricas de um ângulo agudo. Toda a trigonometria é baseada nas definições dessas funções.

Problema 1. Complete o seguinte com "oposto", "adjacente a" ou "hipotenusa".

Para ver a resposta, passe o mouse sobre a área colorida.
Para cobrir a resposta novamente, clique em "Atualizar" ("Atualizar").

a) Em um triângulo retângulo, o lado oposto ao ângulo reto é chamado de

b) CA é chamado de ângulo lado oposto & teta.

c) BC é chamado de lado adjacente ao ângulo & teta.

d) AC é chamado de lado adjacente ao ângulo & phi.

e) BC é chamado de ângulo lado oposto & phi.

Problema 2. Os lados de um triângulo retângulo estão na proporção 3: 4: 5, como mostrado. Nomeie e avalie as seis funções trigonométricas de ângulo e teta.

sin & theta = 4
5
csc & theta = 5
4
cos & theta = 3
5
sec e theta = 5
3
tan e theta = 4
3
berço e teta = 3
4

Problema 3. Os lados de um triângulo retângulo estão na proporção 8: 15: 17, como mostrado. Nomeie e avalie as seis funções trigonométricas de ângulo e phi.

pecado e phi = 15
17
csc & phi = 17
15
cos & phi = 8
17
seg e phi = 17
8
tan e phi = 15
8
cot & phi = 8
15

Observe que os lados deste triângulo satisfazem, como devem, o teorema de Pitágoras:

8 2 + 15 2 = 17 2
64 + 225 = 289

Problema 4. Uma linha reta forma um ângulo & theta com o eixo x. O valor que

de qual função de & theta é igual à sua inclinação?

Teorema 1. A área de um triângulo. A área de um triângulo é igual a metade do seno de qualquer ângulo vezes o produto dos dois lados que formam o ângulo.

Área do triângulo ABC = & frac12 sen A bc = & frac12 cb sen A.

A área de um triângulo é igual a metade da base vezes a altura. No triângulo ABC, seja a base ce a altura h. Então

Portanto, na expressão para a Área, substitua h por b sin A:

Que é o que queríamos provar.

Teorema 2. A proporção das áreas de triângulos semelhantes.

Triângulos semelhantes são uns com os outros como os quadrados desenhados
em seus lados correspondentes.

Quando os triângulos são semelhantes, seja qual for o fator, o lado a muda, os lados bec mudarão pelo mesmo fator. Proporcionalmente,

Portanto, de acordo com o Teorema 1, a área do triângulo à esquerda tem a seguinte proporção para o triângulo à direita:

Mas as áreas dos quadrados nos lados correspondentes têm a mesma proporção.

Portanto, triângulos semelhantes estão entre si como quadrados desenhados em seus lados correspondentes.

Que é o que queríamos provar.

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Funções trigonométricas de um ângulo agudo

Considere um triângulo retângulo △abc, com o ângulo reto em C e com comprimentos uma, b, e c, como na figura à direita. Para o ângulo agudo UMA, chame a perna ( overline) Está lado oposto, e chamar a perna ( overline) Está lado adjacente. A hipotenusa do triângulo é o lado ( overline). As proporções dos lados de um triângulo retângulo ocorrem com frequência suficiente em aplicações práticas para justificar seus próprios nomes, então definimos as seis funções trigonométricas do UMA do seguinte modo:

Tabela 1.2 As seis funções trigonométricas de A

Nome da funçãoAbreviaçãoDefinição
$ text A $$ sin A $$ frac < text> < text> = frac$
$ text A $$ cos A $$ frac < text> < text> = frac$
$ text A $$ tan A $$ frac < text> < text> = frac$
$ text A $$ csc A $$ frac < text> < text> = frac$
$ text A $$ s A $$ frac < text> < text> = frac$
$ text A $$ cot A $$ frac < text> < text> = frac$

Normalmente usaremos os nomes abreviados das funções. Observe na Tabela 1.2 que os pares pecamUMA e cscUMA, cosUMA e segUMAe bronzeadoUMA e berçoUMA são recíprocos:

$ cscA = frac <1>$$ seg A = frac <1>$$ cotA = frac <1>$
$ sinA = frac <1>$$ cos A = frac <1>$$ tanA = frac <1>$

Exemplo 1

Para o triângulo retângulo △abc mostrado à direita, encontre os valores de todas as seis funções trigonométricas dos ângulos agudos UMA e B.

Solução: A hipotenusa de △abc tem comprimento 5. Para ângulo UMA, o lado oposto ( overline) tem comprimento 3 e o lado adjacente ( overline) tem comprimento 4. Assim:

$ sinA = frac < text> < text> = frac <3> <5> $$ cosA = frac < text> < text> = frac <4> <5> $$ tanA = frac < text> < text> = frac <3> <4> $
$ cscA = frac < text> < text> = frac <5> <3> $$ secA = frac < text> < text> = frac <5> <4> $$ cotA = frac < text> < text> = frac <4> <3> $

Para ângulo B, o lado oposto ( overline) tem comprimento 4 e o lado adjacente ( overline) tem comprimento 3. Assim:

$ sinB = frac < text> < text> = frac <4> <5> $$ cosB = frac < text> < text> = frac <3> <5> $$ tanB = frac < text> < text> = frac <4> <3> $
$ cscB = frac < text> < text> = frac <5> <4> $$ secB = frac < text> < text> = frac <5> <3> $$ cotB = frac < text> < text> = frac <3> <4> $

Observe no Exemplo 1 que não especificamos as unidades para os comprimentos. Isso levanta a possibilidade de que nossas respostas dependessem de um triângulo de um tamanho físico específico. Por exemplo, suponha que dois alunos diferentes estejam lendo este artigo: um nos Estados Unidos e um na Alemanha. O estudante americano pensa que os comprimentos 3, 4 e 5 no Exemplo 1 são medidos em polegadas, enquanto o estudante alemão pensa que eles são medidos em centímetros. Como 1 em ≈ 2,54 cm, os alunos estão usando triângulos de tamanhos físicos diferentes (veja as Figuras 3, 4, 5 abaixo, não desenhados em escala).

Se o triângulo americano for △abc e o triângulo alemão é △ABC', então vemos na Figura 3, 4 e 5 que △abc é semelhante a △ABC'e, portanto, os ângulos correspondentes são iguais e as proporções dos lados correspondentes são iguais. Na verdade, você deve conhecer essa proporção comum: os lados de △abc são aproximadamente 2,54 vezes mais longos do que os lados correspondentes de △ABC'. Então, quando o estudante americano calcula o pecado UMA e o estudante alemão calcula o pecado UMA', eles obtêm a mesma resposta:

$ △ ABC ∼ △ A′B′C ′ ⇒ frac = frac ⇒ frac = frac ⇒ sin A = sin A ′ $

Da mesma forma, os outros valores das funções trigonométricas de UMA e UMA' são os mesmos. Na verdade, nosso argumento era geral o suficiente para funcionar com quaisquer triângulos retângulos semelhantes. Isso nos leva à seguinte conclusão:

Ao calcular as funções trigonométricas de um ângulo agudo UMA, você pode usar algum triângulo retângulo que tem UMA como um dos ângulos.

Como definimos as funções trigonométricas em termos de proporções dos lados, você pode pensar nas unidades de medida para esses lados como canceladas nessas proporções. Isso significa que os valores das funções trigonométricas são números sem unidade. Então, quando o estudante americano calculou 3/5 como o valor do pecado UMA no Exemplo 1, é igual ao 3/5 que o estudante alemão calculou, apesar das unidades diferentes para os comprimentos dos lados.

Encontre os valores de todas as seis funções trigonométricas de 45º.

Solução: Como podemos usar qualquer triângulo retângulo que tenha 45º como um dos ângulos, use o mais simples: pegue um quadrado cujos lados tenham 1 unidade de comprimento e divida-o ao meio diagonalmente, como na figura à direita. Já as duas pernas do triângulo △abc têm o mesmo comprimento, △abc é um triângulo isósceles, o que significa que os ângulos UMA e B são iguais. Então desde UMA +B = 90º, isso significa que devemos ter UMA = B = 45º. Pelo teorema de Pitágoras, o comprimento c da hipotenusa é dada por

Assim, usando o ângulo UMA Nós temos:

$ sin45 ^ circ = frac < text> < text> = frac <1> < sqrt <2>> $$ cos45 ^ circ = frac < text> < text> = frac <1> < sqrt <2>> $$ tan45 ^ circ = frac < text> < text> = frac <1> <1> = 1 $
$ csc45 ^ circ = frac < text> < text> = sqrt <2> $$ sec45 ^ circ = frac < text> < text> = sqrt <2> $$ cot45 ^ circ = frac < text> < text> = frac <1> <1> = 1 $

Observe que teríamos obtido as mesmas respostas se tivéssemos usado qualquer triângulo retângulo semelhante a △abc. Por exemplo, se multiplicarmos cada lado de △abc por ( sqrt <2> ), então teríamos um triângulo semelhante com pernas de comprimento ( sqrt <2> ) e hipotenusa de comprimento 2. Isso nos daria sen 45º = ( frac < sqrt <2>> <2> ), que é igual a ( frac < sqrt <2>> < sqrt <2> • sqrt <2>> ) = ( frac <1> < sqrt <2>> ) como antes. O mesmo vale para as outras funções.

Encontre os valores de todas as seis funções trigonométricas de 60º.

Solução: Como podemos usar qualquer triângulo retângulo que tenha 60º como um dos ângulos, usaremos um simples: pegue um triângulo cujos lados têm 2 unidades de comprimento e divida-o ao meio desenhando a bissetriz de um vértice para o lado oposto , como na figura à direita. Uma vez que o triângulo original era um Triângulo Equilátero (ou seja, todos os três lados tinham o mesmo comprimento), seus três ângulos eram todos iguais, ou seja, 60º. Lembre-se da geometria elementar que a bissetriz do ângulo do vértice de um triângulo equilátero para seu lado oposto divide o ângulo do vértice e o lado oposto. Assim como na figura à direita, o triângulo △abc tem ângulo UMA = 60º e ângulo B = 30º, o que força o ângulo C a ser 90º. Portanto, △abc é um triângulo retângulo. Vemos que a hipotenusa tem comprimento c = AB = 2 e a perna ( overline) tem comprimento b = AC = 1. Pelo Teorema de Pitágoras, o comprimento uma da perna ( overline) É dado por

$ a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 ⇒ a ^ 2 = 2 ^ 2 - 1 ^ 2 = 3 ⇒ a = sqrt <3>. $

Assim, usando o ângulo UMA Nós temos:

$ sin60 ^ circ = frac < text> < text> = frac < sqrt <3>> <2> $$ cos60 ^ circ = frac < text> < text> = frac <1> <2> $$ tan60 ^ circ = frac < text> < text> = frac < sqrt <3>> <1> = sqrt <3> $
$ csc60 ^ circ = frac < text> < text> = frac <2> < sqrt <3>> $$ sec60 ^ circ = frac < text> < text> = 2$$ cot60 ^ circ = frac < text> < text> = frac <1> < sqrt <3>> $

Observe que, como um bônus, obtemos os valores de todas as seis funções trigonométricas de 30º, usando o ângulo B = 30º no mesmo triângulo △abc acima:

$ sin30 ^ circ = frac < text> < text> = frac <1> <2> $$ cos30 ^ circ = frac < text> < text> = frac < sqrt <3>> <2> $$ tan30 ^ circ = frac < text> < text> = frac <1> < sqrt <3>> $
$ csc30 ^ circ = frac < text> < text> = <2>$$ sec30 ^ circ = frac < text> < text> = frac <2> < sqrt <3>> $$ cot30 ^ circ = frac < text> < text> = frac < sqrt <3>> <1> $

UMA é um ângulo agudo tal que o pecado UMA = ( frac <2> <3> ). Encontre os valores das outras funções trigonométricas de UMA.

Solução: Em geral, é útil desenhar um triângulo retângulo para resolver problemas desse tipo. A razão é que as funções trigonométricas foram definidas em termos de proporções dos lados de um triângulo retângulo, e você recebe uma dessas funções (o seno, neste caso) já em termos de uma proporção: sen UMA = ( frac <2> <3> ). Desde o pecado UMA é definido como ( frac ), use 2 como o comprimento do lado oposto UMA e use 3 como o comprimento da hipotenusa em um triângulo retângulo △abc (veja a figura acima), para que o pecado UMA = ( frac <2> <3> ). O lado adjacente para UMA tem comprimento desconhecido b, mas podemos usar o Teorema de Pitágoras para encontrá-lo:

$ 2 ^ 2 + b ^ 2 = 3 ^ 2 ⇒ b ^ 2 = 9 - 4 = 5 ⇒ b = sqrt <5> $

Agora sabemos os comprimentos de todos os lados do triângulo △abc, então nós temos:

$ cosA = frac < text> < text> = frac < sqrt <5>> <3> $$ tanA = frac < text> < text> = frac <2> < sqrt <5>> $

$ cscA = frac < text> < text> = frac <3> <2> $$ secA = frac < text> < text> = frac <3> < sqrt <5>> $$ cotA = frac < text> < text> = frac < sqrt <5>> <2> $

Você deve ter notado as conexões entre o seno e cosseno, secante e cossecante, e tangente e cotangente dos ângulos complementares nos Exemplos 1 e 3. Generalizar esses exemplos nos dá o seguinte teorema:

Teorema de Confunção Se UMA e B são os ângulos agudos complementares em um triângulo retângulo △abc, então as seguintes relações se mantêm:

$ sin A = cos B $$ seg A = csc B $$ tan A = berço B $
$ sin B = cos A $$ seg B = csc A $$ tan B = berço A $

Dizemos que os pares de funções , e são cofunções.

Portanto, seno e cosseno são co-funções, secante e cossecante são co-funções, e tangente e cotangente são co-funções. É assim que as funções cosseno, cossecante e cotangente têm o “co” em seus nomes. O Teorema da Cofunção diz que qualquer função trigonométrica de um ângulo agudo é igual à sua cofunção do ângulo complementar.

Escreva cada um dos seguintes números como funções trigonométricas de um ângulo menor que 45º: (a) sen 65º (b) cos 78º (c) tan 59º.

Solução: (a) O complemento de 65º é 90º −65º = 25º e a cofunção de sin é cos, então pelo Teorema da Cofunção sabemos que sin 65º = cos 25º. (b) O complemento de 78º é 90º −78º = 12º e a cofunção de cos é sen, então cos 78º = sin 12º. (c) O complemento de 59º é 90º -59º = 31º e a cofunção de tan é cot, então tan 59º = cot 31º.

Os ângulos 30º, 45º e 60º surgem frequentemente nas aplicações. Podemos usar o Teorema de Pitágoras para generalizar os triângulos retângulos nos Exemplos 2 e 3 e ver como se parecem quaisquer triângulos retângulos 45-45-90 e 30-60-90, como na Figura 9 e 10 acima.

Exemplo 6

Encontre o seno, cosseno e tangente de 75º.

Solução: Como 75º = 45º + 30º, coloque um triângulo retângulo de 30−60−90 △ADB com pernas de comprimento ( sqrt <3> ) e 1 no topo da hipotenusa de um triângulo retângulo 45−45−90 △abc cuja hipotenusa tem comprimento ( sqrt <3> ), conforme figura à direita. Da Figura 9, sabemos que o comprimento de cada perna de △abc é o comprimento da hipotenusa dividido por ( sqrt <2> ). Então AC = AC = ( frac < sqrt <3>> < sqrt <2>> = sqrt < frac <3> <2>> ). Desenhar ( overline) perpendicular a ( overline), de modo que △ADE é um triângulo retângulo. Desde ( angle )BAC = 45º e ( ângulo )DAB = 30º, vemos que ( ângulo )DAE = 75º, pois é a soma desses dois ângulos. Assim, precisamos encontrar o seno, cosseno e tangente de ( angle )DAE.

Observe que ( angle )ADE = 15º, pois é o complemento de ( ângulo )DAE. E ( angle )ADB = 60º, pois é o complemento de ( ângulo )DAB. Desenhar ( overline) perpendicular a ( overline), de modo que △DFB é um triângulo retângulo. Então ( angle )BDF = 45º, pois é a diferença de ( ângulo )ADB = 60º e ( ângulo )ADE = 15º. Além disso, ( angle )DBF = 45º, pois é o complemento de ( angle )BDF. A hipotenusa ( overline) de △DFB tem comprimento 1 e △DFB é um triângulo retângulo 45−45−90, então sabemos que DF = FB = ( frac <1> < sqrt <2>> ).

Agora, sabemos que ( overline ⊥ overline and overline ⊥ overline), so (overline) and (overline) are parallel. Likewise, (overline) and (overline) are both perpendicular to (overline) and hence (overline) is parallel to (overline). Desse modo, FBCE is a rectangle, since (angle)BCE is a right angle. Então EC = FB = (frac<1>>) and FE = BC = (sqrt< 2>>) . Hence,

Note: Taking reciprocals, we get csc 75º = (frac<4>+ sqrt<2>>), sec 75º = (frac<4>− sqrt<2>>) , and cot 75º = (frac− sqrt<2>>+ sqrt<2>>).


Problems

Problem 1
Given the right triangle below, find
sin A, cos A, tan A, sec A, csc A and cot A.

Solution to Problem 1:
First we need to find the hypotenuse using Pythagora's theorem.
(hypotenuse) 2 = 8 2 + 6 2 = 100
and hypotenuse = 10
We now use the definitions of the six trigonometric ratios given above to find sin A, cos A, tan A, sec A, csc A and cot A.
sin A = side opposite angle A / hypotenuse = 8 / 10 = 4 / 5
cos (A) = side adjacent to angle A / hypotenuse = 6 / 10 = 3 / 5
tan (A) = side opposite angle A / side adjacent to angle A
= 8 / 6 = 4 / 3
sec (A) = hypotenuse / side adjacent to angle A = 10 / 6
= 5 / 3
csc (A) = hypotenuse / side opposite to angle A
= 10 / 8 = 5 / 4
cot (A) = side adjacent to angle A / side opposite angle A
= 6 / 8 = 3 / 4

Problema 2
Find c in the figure below.

Solution to Problem 2:
We are given angle A and the side opposite to it with c the hypotenuse. The sine ratio gives a relationship between the angle, the side opposite to it and the hypotenuse as follows
sin A = opposite / hypotenuse
Angle A and opposite side are known, hence
sin 31 o = 5.12 / c
Solve for c
c = 5.12 / sin 31 o
and use a calculator to obtain
c (approximately) = 9.94

Problema 4
Find the exact values of x and y.

Problema 5
If x is an acute angle and tan x = 5, find the exact value of the trigonometric functions sin x and cos x.
Solution to Problem 5:
If tan x = opposite / adjacent = 5 = 5 / 1, then we can say that opposite = 5 and adjacent = 1 and find the hypotenuse using Pythagora's theorem.
(hypotenuse) 2 = adjacent 2 + opposite 2
(hypotenuse) 2 = 1 2 + 5 2
hypotenuse = √ (26)
We now use trigonometric ratios to find
sin x = opposite / hypotenuse = 5 / √ (26)
cos x = adjacent / hypotenuse = 1 / √ (26)


Definições:

The abbreviations stand for sine, cosine, tangent, cotangent, secant and cosecant of A respectively. These functions of angle A are called trigonometrical functions ou trigonometrical ratios.

Trigonometrical functions of any angle: Let A be a given angle with specified initial ray. We introduce rectangular coordinate system in the plane with the vertex of angle A as the origin and the initial ray of angle A as the positive ray of the x-eixo. We choose any point P on the terminal ray of angle A. Let the coordinates of P be (x, y) and its distance from the origin be r, then we define

These quantities are functions of the angle A alone. They do not dependon the choice of the point P and the terminal ray for if we choose a different point P’ (x‘, y‘) on the terminal ray of A at a distance r‘ from the origin, it is clear that x‘ and y‘ will have the same sign as those of x e y respectively and because of similar and , , , , etc. will be equal to , , , respectively (r being always positive).

Also any trigonometrical function of an angle is equal to the same trigonometrical function of any angle , where n is any integer since all these angles will have the same terminal ray.

For example, . After the coordinates system has been introduced, the plane is divided into four quadrants. An angle is said to be in that quadrant in which its terminal ray lies. For positive acute angles this definition gives the same result as in case of a right angled triangles since x e y are both positive for any point in the first quadrant and consequently are the length of base and perpendicular of the angle A.

  1. In 1st quadrant , , , , , are all positive as x, y are positive.
  2. In 2nd quadrant x is negative and y is positive therefore, only and are positive.
  3. In 3rd quadrant both x e y are negative, therefore only and are positive.
  4. In 4th quadrant x is positive and y is negative, therefore only and are positive.

Determining the Value of Trigonometric Functions

1. Determine the values of the six trigonometric functions.

The point ((-3, 4)) is a point on the terminal side of an angle in standard position. Determine the values of the six trigonometric functions of the angle.

Notice that the angle is more than 90 degrees, and that the terminal side of the angle lies in the second quadrant. This will influence the signs of the trigonometric functions.

Figure (PageIndex<4>)

Notice that the value of (r) depends on the coordinates of the given point. You can always find the value of (r) using the Pythagorean Theorem. However, often we look at angles in a circle with radius 1. As you can see, doing this allows us to simplify the definitions of the trig functions.

2. Use the unit circle above to find the value of (cos 90^)

The ordered pair for this angle is (0, 1). The cosine value is the (x) coordinate, .

3. Use the unit circle above to find the value of (cot 180^)

The ordered pair for this angle is (-1, 0). The ratio (dfrac) is (dfrac<&minus1><0>), which is undefined.

Earlier, you were asked if you can actually calculate (sin 150^).

Since you now know that it is possible to apply trigonometric functions to angles greater than (90^), you can calculate the (sin 150^). The easiest way to do this without difficulty is to consider that an angle of (150^) is in the same position as (30^), except it's in the second quadrant. This means that it has the same "(x)" and "(y)" values as (30^), except that the "x" value is negative.

Figure (PageIndex<5>)

to answer the following examples.

Find (cos heta) on the circle above.

We can see from the "(x)" and "(y)" axes that the "(x)" coordinate is (&minusdfrac><2>), the "(y)" coordinate is (dfrac<1><2>), and the hypotenuse has a length of 1. This means that the cosine function is:

Find cot heta on the circle above.

Find csc heta on the circle above.

We know that (mathrm=dfrac<1>=dfrac<1>>< ext < hypotenuse >>>=dfrac< ext < hypotenuse >>< ext < opposite >>). The opposite side to ( heta) in the circle is (dfrac<1><2>) and the hypotenuse is 1. Therefore,


10.2: Trigonometric Functions of an Acute Angle

Evaluating trigonometric functions of "special" angles given in radian measure.

4-2 Trigonometry of Acute Angles - pt 3 (Watch before Day #22 lesson)

"Study Guide" for upcoming assessment

For assessment on Chapters 4.1-4.2:

  • Know the relationship between angle, arc length, and radius
  • Apply that relationship in "word problems" involving racetracks, etc.
  • Convert angle measure between radian and degree
  • Determine the six trigonometric functions for a right triangle, given two side lengths
  • Solve all unknown lengths and angles of a right triangle, given one side length and one angle
  • "Clever algebra" to fund the sum, difference, product, sum of squares, etc. of two unknown numbers. We spent a good deal of "Do Now" time on this one day. In addition to those questions, here are some more "clever algebra" practice questions and solutions.
  • Apply basic right-triangle trigonometry to find the missing lengths of a given shape similar to the following handout you received in class.


Will I Have to Find the Measure of an Angle?

The short answer is: no, you won't be asked to find exact measure of an angle degree using trigonometry. The longer answer is: no, you won't be asked to find the measure of an angle, but it's important to know it's done.

To get the actual degree measure of theta (Θ), you would have to perform an inverse (also called "arc") function. This would transform your equation from, for example:

Although you will never be asked to find the $arctan$, $arcsin$, or $arccos$ of an angle to solve for the actual angle measure degree, it is important for you to understand how these equations are manipulated to get to the right ACT answer.

Because we know that $tan^<−1>(a/b)$ is the arctan, we know that it means we can re-write it as $tan‌Θ=a/b$

We also know that $tan‌Θ=opposite/adjacent$

This means that, for the angle $Θ$, uma is the opposite and b is the adjacent.

We also know that $cos‌Θ=adjacent/hypoteneuse$

Because we already discovered that b is the adjacent, it means that the answer is D, $b/<√(a^2+b^2)>$


Trigonometry Formulas, Basics, Ratios and Functions with Angles

Trigonometry Formulas, Basics, Ratios, this is a branch of mathematics deals with the relationship between angles and sides of triangles with the help of basic trigonometric functions.

What are the Basics for understanding and Learning of Easy Trigonometry?

Trigonometry All Formulas

Measurement of Angles in Trigonometry Formulas

This system is also known as “circular system”.

The relation between Degree and Radian

  • Example: What is the radian value of 60 °?Responder: According to above formula
    60° = 60 x ?/180= ?/3 radian.
  • Example: What is the degree measurement value of 4 ? /2 radian?Responder: According to formula
    4?/2 radian
    = 4?/2 x 180/?
    =360°

Trigonometric Ratios in Trigonometry Formula Tables

Pythagoras theorem = Hypotenuse² = Base² + Perpendicular²

Reciprocal relations of Trigonometric Ratios

Trigonometric Ratios for Specific Angle Values – Trigonometry Formulas

Trigonometric Identities (sin, cos, tan formulas and rules) – Trigonometry Table

3. cosec² A – cot² A = 1 (or) cosec² A = 1+ cot² A (or) cot² A = cosec² A -1

Basic Trigonometric Function Formula and Signs with all formulas of Trigonometry

  • sin (?/2 – θ) = cos θ
    sin (?/2 + θ) = cos θ
  • cos (?/2 – θ) = sin θ
    cos (?/2 + θ) = -sin θ
  • tan (?/2 – θ) = cot θ
    tan (?/2 + θ) = -cot θ
  • cosec (?/2 – θ) = sec θ
    cosec (?/2 + θ) = sec θ
  • sec (?/2 – θ) = cosec θ
    sec (?/2 + θ) = -cosec θ
  • cot (?/2 – θ) = tan θ
    cot (?/2 + θ) = -tan θ
  • sin (? – θ) = sin θ
    sin (? + θ) = -sin θ
  • cos (? – θ) = -cos θ
    cos (? + θ) = -cos θ
  • tan (? – θ) = -tan θ
    tan (? + θ) = tan θ
  • cosec (? – θ) = cosec θ
    cosec (? + θ) = -cosec θ
  • sec (? – θ) = -sec θ
    sec (? + θ) = -sec θ
  • cot (? – θ) = cot θ
    cot (? + θ) = cot θ
  • sin (-x) = – sin x
  • cos (-x) = cos x
  • tan (-x) = -tan x
  • cosec (-x) = -cosec x
  • sec(-x) = sec x
  • cot (-x) = -cot x

Changing of functions as follows for (90+θ) and (270+θ)
sin θ ↔ cos θ
tan θ ↔ cot θ
cosec θ ↔ sec θ
and functions not changed for (180+θ) and (360+θ ).

Trigonometric Ratios of Combined Angles – Basic Trigonometry Formulas

Important sin and cos Rules – Trigonometry Formula Tables

Important sin, cos and tan values – Trigonometry Table

  • If sin x = 0 (or) tan x =0, then x = n?
  • if cos x = 0 (or) cot x = 0, then x = (2n+1)?/2
  • sin 22½ ° = √2 -√2/2
  • tan 22½ ° = (whole√2 +√2)/2
  • tan 22½° = √2 -1
  • cot 22½° = √2 +1
  • sin 18° = cos 72° = √5 -1 /4
  • cos 18° = sin 72° = (whole√10+2√5)/4
  • sin 36° = cos 54°= (whole√10-2√5)/4
  • cos 36° = sin 54°= √5+1 /4

Frequently asked sin, cos and tan values in Exams – Trigonometry Formulas

  • tan 1°. tan 2°………..tan 89° = 1
  • cot 1°. cot 2°………..cot 89° =1
  • cos 1°. cos 2°. cos 3°….cos 90° =0
  • cos 1°. cos 2°. cos 3°….(above cos 90°)… =0
  • sin 1°. sin 2°. sin 3°…..sin 180° = 0
  • sin 1°. sin 2°. sin 3°…..(above sin 180°) = 0
  • sin A/cos B = 1, when A+B = 90°
  • tan A tan B = 1 = cot A.cot B, when A+B = 90°

Maximum and Minimum values of Trigonometric Angles – Trigonometry Formulas

  • -1 ≤ sin θ (or) cosθ ≤ 1
  • -∞ ≤ tan θ (or) cot θ ≤ 1
  • sec θ or cosec θ ≥ 1
  • sec θ or cosec θ ≤ -1

Maximum and Minimum values of Trigonometric Expressions- Trigonometry Formulas

Trigonometric Formulae – Height and Distance concepts

1. Line of sight,




Concept 2:
If the angles of depression of two ships from the top of a lighthouse are ɑ° and ?°. If the ships are “d” m apart then find the height of the lighthouse. Here formula for height
altura = bronzeadoɑ. bronzeado? x distance
bronzeadoɑ + tan?





Concept 3:
From the top of cliff with height (h), the angle of depression of the top and bottom of a tower observed to be θ1 and θ2 respectively, the height of the tower(m)

Height (h)= m cot θ1/cot θ2-cot θ1
Distance (x) = m /tan θ1 – tan θ2


10.2: Trigonometric Functions of an Acute Angle

RIGHT ANGLES: angles that measure 90-degrees. A right angle is often shown with a small square drawn in the corner of the angle.

Now, we are going to look at the other three basic Trigonometric Functions:

cosecant (csc) secant(sec) cotangent(cot)

csc θ = hypotenuse

cot θ = adjacent

- Notice that the sin, cos, and tan are reciprocals of the csc , sec, and cot respectively.

Therefore, the following are true:

csc θ = _ 1__ s θ = 1__ _ cot θ = 1 ___

pecado θ cos θ bronzeado θ

OTHER IMPORTANT INFORMATION:

  1. The sum of the angles of any triangle is 180-degrees.
  1. The sum of the two acute angles of the right triangle is 90-degrees.
  1. A triangle without a right angle (an ‘oblique triangle’) can be worked with by first creating two right triangles. Working from the known values, the two triangles can be solved and results combined to give the desired angles and sides of the oblique triangle.
  2. The Trigonometric Functions are: , another way of remembering this information is as follows: .

If sin θ = 4­_ or 0.8 , then find the other five trig. function values.

- we can use the Pythagorean Thm. to find the missing leg. The opposite leg must be 4 and the hypotenuse is 5 so,

(adj.leg) 2 + 4 2 = 5 2 and adj. leg = 3

- cos θ = 3 _ tan θ = 4_ csc θ = 5_ sec θ = 5_ cot θ = 3_

or 0.6 or 1.3333 or 1.25 or 1.6667 or 0.75

- Inverses of the basic trig. functions are used when you know the value of the trig. function but you would like to know the measure of the angle that goes with it. (symbol for inverse is -1 )

sin -1 (½) = 30° because the sin 30° = ½

Solving a Right Triangle if you know the measures of any two sides of a right triangle or the measure of any one side and one of the acute angles, you can find all the missing measures. This is called solving the right triangle.

If a = 10 “ and Angle B = 35°, then solve the right triangle.

Step 1 tan 35° = b_ , 0.7002 = b_ , b = 7.0”

Step 2 90° - 35° = 55° , Angle A = 55°

Step 3 cos 35° = 10_ , 0.8192 = 10_ , c = 12.2”

or 10 2 + 7.0 2 = c 2 , √ 149 = c , c = 12.2”

Angle A = 55° Angle B = 35° Angle C = 90°

If b = 6 cm and c = 13 cm , then solve the right triangle.

Step 1 a 2 + 6 2 = 13 2 , a 2 + 36 = 169 , a = √133 , a = 11.5 cm

Step 2 sin -1 6_ = Angle B , Angle B = 27.5°

Step 3 90° - 27.5° = 62.5° , Angle A = 62.5°

a = 11.5 cm b = 6 cm c = 13 cm

Angle A = 62.5° Angle B = 27.5° Angle C = 90°

Observação: There is usually more than one way to solve a right triangle. You may want to go back and redo the two examples using different steps. The answers should stay the same.


Assista o vídeo: RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO (Outubro 2021).