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10.3: Aplicações e solução de triângulos retos - Matemática


Ao longo do seu desenvolvimento inicial, a trigonometria foi frequentemente usada como um meio de medição indireta, por ex. determinar grandes distâncias ou comprimentos usando medidas de ângulos e pequenas distâncias conhecidas. Hoje, a trigonometria é amplamente usada na física, astronomia, engenharia, navegação, topografia e vários campos da matemática e outras disciplinas. Nesta seção, veremos algumas das maneiras pelas quais a trigonometria pode ser aplicada. Sua calculadora deve estar no modo de graus para esses exemplos.

Exemplo 1.11

Uma pessoa fica a (150 ) pés de distância de um mastro e mede um ângulo de elevação de (32 ^ circ ) de sua linha de visão horizontal até o topo do mastro. Suponha que os olhos da pessoa estejam a uma distância vertical de 6 pés do solo. Qual é a altura do mastro?

Solução:

A imagem à direita descreve a situação. Vemos que a altura do mastro é (h + 6 ) ft, onde

[ frac {h} {150} ~ = ~ tan ; 32 ^ circ quad Rightarrow quad h ~ = ~ 150 ; tan ; 32 ^ circ
~=~ 150;(0.6249) ~=~ 94 ~.]

Como sabemos que ( tan ; 32 ^ circ = 0,6249 , )? Usando uma calculadora. E como nenhum dos números que recebemos tinha casas decimais, arredondamos a resposta para (h ) para o inteiro mais próximo. Assim, a altura do mastro é (, h + 6 = 94 + 6 = boxed {100 ~ text {ft}} ).

Exemplo 1.12

Uma pessoa em pé (400 ) pés da base de uma montanha mede o ângulo de elevação do solo até o topo da montanha a ser (25 ^ circ ). A pessoa então caminha (500 ) pés reto para trás e mede o ângulo de elevação a ser (20 ^ circ ). Qual é a altura da montanha?


Solução:

Assumiremos que o terreno é plano e não inclinado em relação à base da montanha. Seja (h ) a altura da montanha e seja (x ) a distância da base da montanha ao ponto diretamente abaixo do topo da montanha, como na imagem à direita. Então nós vemos que

[ begin {align}
frac {h} {x + 400} ~ = ~ tan ; 25 ^ circ quad & Rightarrow quad h ~ = ~ (x + 400) ; tan ; 25 ^ circ
~, ~ text {e}
frac {h} {x + 400 + 500} ~ = ~ tan ; 20 ^ circ quad & Rightarrow quad h ~ = ~
(x + 900) ; tan ; 20 ^ circ ~, ~ text {so}
end {align} ]

((x + 400) ; tan ; 25 ^ circ ~ = ~ (x + 900) ; tan ; 20 ^ circ ), uma vez que ambos são iguais a (h ). Use essa equação para resolver para (x ):

[x ; tan ; 25 ^ circ ~ - ~ x ; tan ; 20 ^ circ ~ = ~ 900 ; tan ; 20 ^ circ ~ - ~ 400 ; tan ; 25 ^ circ
quad Rightarrow quad
x ~ = ~ frac {900 ; tan ; 20 ^ circ ~ - ~ 400 ; tan ; 25 ^ circ} { tan ; 25 ^ circ ~ - ~ tan ; 20 ^ circ}
~ = ~ 1378 ~ text {ft} ]

Finalmente, substitua (x ) na primeira fórmula por (h ) para obter a altura da montanha:

[h ~ = ~ (1378 + 400) ; tan ; 25 ^ circ ~ = ~ 1778 ; (0,4663) ~ = ~ in a box {829 ~ text {ft}} ]

Exemplo 1.13

Um dirigível (4280 ) pés acima do solo mede um ângulo de depressão de (24 ^ circ ) de sua linha de visão horizontal até a base de uma casa no solo. Supondo que o terreno seja plano, a que distância do terreno está a casa do dirigível?

Solução:

Seja (x ) a distância ao longo do solo do dirigível até a casa, como na foto à direita. Como o solo e a linha de visão horizontal do dirigível são paralelos, sabemos por geometria elementar que o ângulo de elevação ( theta ) da base da casa ao dirigível é igual ao ângulo de depressão do dirigível ao base da casa, ou seja, ( theta = 24 ^ circ ). Por isso,

[ frac {4280} {x} ~ = ~ tan ; 24 ^ circ quad Rightarrow quad x ~ = ~ frac {4280} { tan ; 24 ^ circ}
~ = ~ boxed {9613 ~ text {ft}} ~. ]

Exemplo 1.14

Um observador no topo de uma montanha a (3 ) milhas acima do nível do mar mede um ângulo de depressão de (2,23 ^ circ ) com o horizonte do oceano. Use para estimar o raio da Terra.

Solução:

Vamos supor que a Terra é uma esfera. Seja (r ) o raio da terra. Seja o ponto (A ) o topo da montanha, e seja (H ) o horizonte do oceano na linha de visão de (A ), como na Figura 1.3.1. Seja (O ) o centro da terra, e seja (B ) um ponto na linha horizontal de visão de (A ) (ou seja, na linha perpendicular a ( overline {OA} )). Seja ( theta ) o ângulo ( angle , AOH ).

Como (A ) está (3 ) milhas acima do nível do mar, temos (OA = r + 3 ). Além disso, (OH = r ). Agora, sincev ( overline {AB} perp overline {OA} ), temos ( angle , OAB = 90 ^ circ ), então vemos que ( angle , OAH = 90 ^ circ - 2,23 ^ circ = 87,77 ^ circ ). Vemos que a linha através de (A ) e (H ) é uma linha tangente à superfície da terra (considerando a superfície como o círculo de raio (r ) através de (H ) como no foto). Portanto, pelo Exercício 14 na Seção 1.1, ( overline {AH} perp overline {OH} ) e, portanto, ( angle , OHA = 90 ^ circ ). Como os ângulos no triângulo ( triângulo , OAH ) somam (180 ^ circ ), temos ( theta = 180 ^ circ - 90 ^ circ - 87,77 ^ circ = 2,23 ^ circ ). Desse modo,

[ cos ; theta ~ = ~ frac {OH} {OA} ~ = ~ frac {r} {r + 3} quad Rightarrow quad frac {r} {r + 3} ~ = ~
cos ; 2,23 ^ circ ~, ]

então resolvendo para (r ) nós obtemos

[ begin {align}
r ~ = ~ (r ~ + ~ 3) ; cos ; 2,23 ^ circ quad & Rightarrow quad
r ~ - ~ r ; cos ; 2,23 ^ circ ~ = ~ 3 ; cos ; 2,23 ^ circ [4pt]
& Rightarrow quad r ~ = ~ frac {3 ; cos ; 2,23 ^ circ} {1 ~ - ~ cos ; 2,23 ^ circ}
& Rightarrow quad boxed {r ~ = ~ 3958.3 ~ text {miles}} ~.
end {align} ]

Nota: Esta resposta está muito próxima do raio real (médio) da Terra de (3956,6 ) milhas.

Exemplo 1.15

Como outra aplicação da trigonometria à astronomia, encontraremos a distância da terra ao sol. Seja (O ) o centro da terra, seja (A ) um ponto no equador, e seja (B ) um objeto (por exemplo, uma estrela) no espaço, como na imagem no certo. Se a Terra estiver posicionada de forma que o ângulo ( angle , OAB = 90 ^ circ ), dizemos que o ângulo ( alpha = angle , OBA ) é o paralaxe equatorial do objeto. Observou-se que a paralaxe equatorial do sol é aproximadamente ( alpha = 0,00244 ^ circ ). Use para estimar a distância do centro da Terra ao sol.

Solução:

Seja (B ) a posição do sol. Queremos encontrar o comprimento de ( overline {OB} ). Usaremos o raio real da Terra, mencionado no final do Exemplo 1.14, para obter (OA = 3956,6 ) milhas. Uma vez que ( angle , OAB = 90 ^ circ ), temos

[ frac {OA} {OB} ~ = ~ sin ; alpha quad Rightarrow quad OB ~ = ~ frac {OA} { sin ; alpha} ~ = ~
frac {3956,6} { sin ; 0,00244 ^ circ} ~ = ~ 92908394 ~, ]

portanto, a distância do centro da Terra ao sol é de aproximadamente ( fbox { (93 ) milhões de milhas} ~. )

Observação: a órbita da Terra em torno do sol é uma elipse, portanto, a distância real ao sol varia.

No exemplo acima, usamos um ângulo muito pequeno ( (0,00244 ^ circ )). Um grau pode ser dividido em unidades menores: a minuto é um sexagésimo de um grau, e um segundo é um sexagésimo de um minuto. O símbolo de um minuto é (') e o símbolo de um segundo é (' '). Por exemplo, (4.5 ^ circ = 4 ^ circ ; 30 '). E (4.505 ^ circ = 4 ^ circ ; 30 '; 18' '):

[4 ^ circ ; 30 '; 18' '~ = ~ 4 ~ + ~ frac {30} {60} ~ + ~ frac {18} {3600} ~ texto {graus} ~ = ~ 4,505 ^ circ ]

No Exemplo 1.15, usamos ( alpha = 0,00244 ^ circ approx 8,8 '' ), que mencionamos apenas porque alguns dispositivos de medição de ângulo usam minutos e segundos.

Exemplo 1.16

Um observador na Terra mede um ângulo de (32 '; 4' ') de uma borda visível do sol até a outra borda (oposta), como na imagem à direita. Use para estimar o raio do sol.


Solução:

Seja o ponto (E ) a terra e seja (S ) o centro do sol. As linhas de visão do observador até as bordas visíveis do sol são linhas tangentes à superfície do sol nos pontos (A ) e (B ). Assim, ( ângulo , EAS = ângulo , EBS = 90 ^ circ ). O raio do sol é igual a (AS ). Claramente (AS = BS ). Portanto, como (EB = EA ) (por quê?), Os triângulos ( triângulo , EAS ) e ( triângulo , EBS ) são semelhantes. Assim, ( ângulo , AES = ângulo , BES = frac {1} {2} ; ângulo , AEB = frac {1} {2} ; (32 '; 4' ' ) = 16 '; 2' '= (16/60) + (2/3600) = 0,26722 ^ circ ).

Agora, (ES ) é a distância do superfície da terra (onde o observador está) para o centro do sol. No Exemplo 1.15 encontramos a distância do Centro da terra ao sol a ser (92.908.394 ) milhas. Visto que tratamos o sol naquele exemplo como um ponto, então temos justificativa para tratar essa distância como a distância entre os centros da Terra e do sol. Portanto, (ES = 92908394 - ~ text {raio da terra} = 92908394 - 3956,6 = 92904437,4 ) milhas. Por isso,

[ sin ; ( angle , AES) ~ = ~ frac {AS} {ES} quad Rightarrow quad AS ~ = ~ ES ; sin ; 0,26722 ^ circ
~ = ~ (92904437.4) ; sin ; 0,26722 ^ circ ~ = ~ boxed {433.293 ~ text {miles}} ~. ]

Nota: Esta resposta está próxima do raio real (médio) do sol de (432.200 ) milhas.

Você deve ter notado que as soluções para os exemplos que mostramos exigiam pelo menos um triângulo retângulo. Em problemas aplicados, nem sempre é óbvio qual triângulo retângulo usar, e é por isso que esses tipos de problemas podem ser difíceis. Freqüentemente, nenhum triângulo retângulo ficará imediatamente evidente, então você terá que criar um. Não há uma estratégia geral para isso, mas lembre-se de que um triângulo retângulo requer um ângulo reto, portanto, procure locais onde possa formar segmentos de reta perpendiculares. Quando o problema contém um círculo, você pode criar ângulos retos usando a perpendicularidade da linha tangente ao círculo em um ponto com a linha que une esse ponto ao centro do círculo. Fizemos exatamente isso nos Exemplos 1.14, 1.15 e 1.16.

Exemplo 1.17

O diagrama da máquina-ferramenta à direita mostra um diagrama simétrico V-block, em que um rolo circular fica em cima de um rolo circular menor. Cada rolo toca ambos os lados inclinados do bloco em V. Encontre o diâmetro (d ) do rolo grande, dadas as informações no diagrama.

Solução:

O diâmetro (d ) do rolo grande é duas vezes o raio (OB ), então precisamos encontrar (OB ). Para fazer isso, mostraremos que ( triangle , OBC ) é um triângulo retângulo, então encontre o ângulo ( angle , BOC ), e então encontre (BC ). O comprimento (OB ) será então simples de determinar.

Como os lados inclinados são tangentes a cada rolo, ( angle , ODA = angle , PEC = 90 ^ circ ). Por simetria, como a linha vertical que passa pelos centros dos rolos forma um ângulo (37 ^ circ ) com cada lado inclinado, temos ( angle , OAD = 37 ^ circ ). Portanto, como ( triangle , ODA ) é um triângulo retângulo, ( angle , DOA ) é o complemento de ( angle , OAD ). Portanto, ( ângulo , DOA = 53 ^ circ ).

Como o segmento de linha horizontal ( overline {BC} ) é tangente a cada rolo, ( angle , OBC = angle , PBC = 90 ^ circ ). Assim, ( triangle , OBC ) é um triângulo retângulo. E como ( angle , ODA = 90 ^ circ ), sabemos que ( triangle , ODC ) ​​é um triângulo retângulo. Agora, (OB = OD ) (uma vez que cada um é igual ao raio do grande rolo), então pelo Teorema de Pitágoras temos (BC = DC ):

[BC ^ 2 ~ = ~ OC ^ 2 ~ - ~ OB ^ 2 ~ = ~ OC ^ 2 ~ - ~ OD ^ 2 ~ = ~ DC ^ 2 quad Rightarrow quad BC ~ = ~ DC ]

Assim, ( triangle , OBC ) e ( triangle , ODC ) ​​são triângulos congruentes (que denotamos por ( triângulo , OBC cong triângulo , ODC )), uma vez que seus lados correspondentes são iguais. Assim, seus ângulos correspondentes são iguais. Então, em particular, ( angle , BOC = angle , DOC ). Sabemos que ( ângulo , DOB = ângulo , DOA = 53 ^ circ ). Desse modo,

[53 ^ circ ~ = ~ ângulo , DOB ~ = ~ ângulo , BOC ~ + ~ ângulo , DOC = ângulo , BOC ~ + ~ ângulo , BOC ~ = ~
2 ; angle , BOC quad Rightarrow quad angle , BOC ~ = ~ 26,5 ^ circ ~. ]

Da mesma forma, uma vez que (BP = EP ) e ( ângulo , PBC = ângulo , PEC = 90 ^ circ ), ( triângulo , BPC ) e ( triângulo , EPC ) são triângulos retângulos congruentes. Portanto, (BC = EC ). Mas sabemos que (BC = DC ), e vemos no diagrama que (EC + DC = 1,38 ). Assim, (BC + BC = 1,38 ) e assim (BC = 0,69 ). Agora temos tudo o que precisamos para encontrar (OB ):

[ frac {BC} {OB} ~ = ~ tan ; angle , BOC quad Rightarrow quad OB ~ = ~ frac {BC} { tan ; angle , BOC} ~ = ~
frac {0,69} { tan ; 26,5 ^ circ} ~ = ~ 1,384 ]

Portanto, o diâmetro do rolo grande é (, d = 2 vezes OB = 2 , (1,384) = boxed {2,768} ) ~.

Exemplo 1.18

UMA mecanismo de manivela deslizante é mostrado na Figura 1.3.2 abaixo. Conforme o pistão se move para baixo, a biela gira a manivela no sentido horário, conforme indicado.

O ponto (A ) é o centro da haste de conexão alfinete de pulso e só se move verticalmente. O ponto (B ) é o centro do pino de manivela e se move ao redor de um círculo de raio (r ) centrado no ponto (O ), que está diretamente abaixo de (A ) e não se move. Conforme a manivela gira, ela faz um ângulo ( theta ) com a linha ( overline {OA} ). O centro de rotação instantâneo da biela em um dado momento é o ponto (C ) onde a linha horizontal através de (A ) cruza a linha estendida através de (O ) e (B ). Na Figura 1.3.2 vemos que ( angle , OAC = 90 ^ circ ), e deixamos (a = AC ), (b = AB ) e (c = BC ) . Nos exercícios, você mostrará que para (0 ^ circ < theta <90 ^ circ ),

[c ~ = ~ frac { sqrt {b ^ 2 ~ - ~ r ^ 2 ; ( sin , theta) ^ 2}} { cos ; theta} ~ qquad text {e } qquad ~
a ~ = ~ r ; sin ; theta ~ + ~ sqrt {b ^ 2 ~ - ~ r ^ 2 ; ( sin , theta) ^ 2} ~ tan ; theta ~. ]

Para alguns problemas pode ser útil lembrar que quando um triângulo retângulo tem uma hipotenusa de comprimento (r ) e um ângulo agudo ( theta ), como na figura abaixo, o lado adjacente terá comprimento (r , cos ; theta ) e o lado oposto terá comprimento (r , sin ; theta ). Você pode pensar nesses comprimentos como os `` componentes '' horizontais e verticais da hipotenusa.

Observe no triângulo retângulo acima que recebemos duas informações: um dos ângulos agudos e o comprimento da hipotenusa. A partir disso, determinamos os comprimentos dos outros dois lados, e o outro ângulo agudo é apenas o complemento do ângulo agudo conhecido. Em geral, um triângulo possui seis partes: três lados e três ângulos. Resolvendo um triângulo significa encontrar as partes desconhecidas com base nas partes conhecidas. No caso de um triângulo retângulo, uma parte é sempre conhecida: um dos ângulos é (90 ^ circ ).

Exemplo 1.19

Resolva o triângulo retângulo na Figura 1.3.3 usando as informações fornecidas:

(uma) (c = 10, , A = 22 ^ ◦ )
Solução: As partes desconhecidas são (a ), (b ) e (B ). Resolvendo rendimentos:

[ begin {align}
a ~ & = ~ c ; sin ; A ~ & = ~ 10 ; sin ; 22 ^ circ ~ & = ~ 3,75
b ~ & = ~ c ; cos ; A ~ & = ~ 10 ; cos ; 22 ^ circ ~ & = ~ 9,27
B ~ & = ~ 90 ^ circ ~ - ~ A ~ & = ~ 90 ^ circ ~ - ~ 22 ^ circ ~ & = ~ 68 ^ circ
end {align} ]

(b) (b = 8, , A = 40 ^ ◦ )
Solução: As partes desconhecidas são (a ), (c ) e (B ). Resolvendo rendimentos:

[ begin {align}
frac {a} {b} ~ & = ~ tan ; A quad & Rightarrow quad a ~ & = ~ b ; tan ; A ~ = ~
8 ; tan ; 40 ^ circ ~ = ~ 6,71 [2mm]
frac {b} {c} ~ & = ~ cos ; A quad & Rightarrow quad c ~ & = ~ frac {b} { cos ; A} ~ = ~
frac {8} { cos ; 40 ^ circ} ~ = ~ 10,44
end {align} ]

(c) (a = 3, , b = 4 )
Solução: As partes desconhecidas são (c ), (A ) e (B ). Pelo Teorema de Pitágoras,

[c ~ = ~ sqrt {a ^ 2 ~ + ~ b ^ 2} ~ = ~ sqrt {3 ^ 2 ~ + ~ 4 ^ 2} ~ = ~ sqrt {25} ~ = ~ 5 ~. ]

Agora, ( tan ; A = frac {a} {b} = frac {3} {4} = 0,75 ). Então, como encontramos (A )? Deve haver uma tecla rotulada ( fbox { ( tan ^ {- 1} )} ) em sua calculadora, que funciona assim: dê a ela um número (x ) e ela lhe dirá o ângulo ( theta ) de modo que ( tan ; theta = x ). No nosso caso, queremos o ângulo (A ) tal que ( tan ; A = 0,75 ):

[ text {Enter:} 0,75 quad text {Pressione:} fbox { ( tan ^ {- 1} )} quad text {Resposta:} 36.86989765 ]

Isso nos diz que (A = 36,87 ^ circ ), aproximadamente. Assim, (B = 90 ^ circ - A = 90 ^ circ - 36,87 ^ circ = 53,13 ^ circ ).

Nota: As chaves ( fbox { ( sin ^ {- 1} )} ) e ( fbox { ( cos ^ {- 1} )} ) funcionam de forma semelhante para seno e cosseno, respectivamente. Essas chaves usam o funções trigonométricas inversas, que discutiremos no Capítulo 5.


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10.3: Aplicações e solução de triângulos retos - Matemática


5/5 Série e Sequências Revisão WS # 1

5/9 Teste em sequências e séries

4 / 28Quiz em séries e sequências aritméticas

5/2 Série geométrica infinita WS

24/4 Seqüências aritméticas e revisão de séries WS # 2

25/04 Estudo para questionário sobre sequências e séries aritméticas

4/8 Resolvendo Equações Trig com calculadora WS # 1

4/9 Resolvendo Equações Trig com calculadora WS # 2

4/11 Questionário sobre a resolução de equações de trigonometria com calculadora

4/1 Resolução de equações de trigonometria WS # 2

4/3 Estudo para questionário sobre resolução de equações de trigonometria
Resolvendo Equações de Trig WS # 4

4/4 Questionário sobre a resolução de equações de trigonometria

20/03 Estudo para Teste
Lembre-se de trazer cartões de anotações para o teste

3/14 Questionário sobre ângulos especiais
Comprimento do Arco e Área do Setor WS # 2

3/6 Estudo para questionário em proporções de trigonometria


3/7 Questionário sobre relações de gatilho
Cartão de índice com ângulos especiais com vencimento na segunda-feira
Radianos e graus WS

2/27 Teste de Direito do Pecado, Custódia e Área

2/12 Lei de Sines WS # 3evens
Estudo para Quiz sobre a Lei de Sines

2 / 3Right Triangles Review WS # 1

2/4 Triângulos retos Revisão WS # 2

2/6 Teste de resolução de triângulos retos

1 / 29Right Triangle Applications WS # 1

1 / 31Right Triangle Applications WS (de 1/30) iguala

23/01 Resolvendo Tirângulos Direito WS # 4
Estudo para questionário sobre como resolver triângulos corretos

1/24 Questionário sobre como resolver triângulos retos

1/10 Trabalho no pacote de revisão para a final

1/8 Equações Racionais WS # 7

20/12 Questionário sobre Expressões Racionais nº 2

12/17 Expressões Racionais WS # 5

12/13 Questionário sobre funções racionais

12/9 Questionário sobre Equações de Base e e Juros Compostos

12/5 Base e e Revisão de Juros Compostos WS # 1

25/11 Estudo para teste em logaritmos

11/21 Revisão do Registro de Conclusão WS # 2

11/14 Resolução de Avaliação de Equações de Exp.
Estudo para questionário sobre resolução de equações exponenciais com registros
Respostas pares: 2) .4409 4) -.04516) -.90918) -3.536210) -.711212) .6033

11/5 Correção em # 9. A resposta deve ser -7 / 40000 Logaritmos WS # 6
Estudo para Quiz On Logs

10 / 28Quiz sobre como resolver equações exponenciais

10/25 Resolvendo Equações Exponenciais WS # 3Respostas anexadas para que você possa corrigir WS
Estudo para o Quiz

21/10 Estudo para questionário sobre expoentes

10/10 Questionário sobre Inversos de uma Função

10/9 Estudo para questionário sobre o inverso de uma função

10 / 4Graphing Functions and Inverses WSGraphing Functions and Inverses WS

10/3 Inversão de um WS # 1 de funções

10/1 Estudo para Teste de Funções

9/27 Questionário sobre operações e combinações lineares de funções
Revisão de funções WS # 1 Revisão de funções WS # 1

9 / 26Finalizar planilha de 9 / 25evens
Estudo para questionário sobre operações e combinações lineares de funções

9 / 25Operações e combinação linear WS # 1odds

9/24 Composição de Funções WS # 2

9 / 23Composição de funções WS # 1

9/19 Teste de Polinômios Gráficos, Divisão Sintética e Resolução de Equações Polinomiais

9/13 Questionário sobre a resolução de equações polinomiais

9/12 Equações Polinomiais WS evens
Estudo para teste de resolução de equações polinomiais

9/11 Equações Polinomiais WS oddsResolvendo Equações Polinomiais

9 / 10WS Resolvendo Equações Polinomiais # 3, 4, 5, 7, 8

9/6 Questionário sobre gráficos de funções polinomiais

9 / 5WS Graphs of Polynomial Functionsodds
Estudo para questionário sobre gráficos de polinômios

9/4 Gráficos de notas de classe de conclusão de polinômios

30/08 Teste de habilidades algébricas

8/26 Resolvendo Equações Quadráticas WS

8 / 23Finalizar a planilha de anotações da aula resolvendo as equações quadráticas nº 2, 4, 16, 17, 18, 20


3.4 Resolver aplicações de geometria: triângulos, retângulos e o teorema de Pitágoras

O comprimento de um retângulo é três a menos que a largura. Deixar C representam a largura. Escreva uma expressão para o comprimento do retângulo.
Se você não percebeu esse problema, analise o Exemplo 1.26.

Resolva aplicativos usando propriedades de triângulos

Nesta seção, usaremos algumas fórmulas geométricas comuns. Vamos adaptar nossa estratégia de solução de problemas para que possamos resolver aplicações de geometria. A fórmula geométrica nomeará as variáveis ​​e nos dará a equação a ser resolvida. Além disso, como todos esses aplicativos envolvem algum tipo de formato, a maioria das pessoas acha útil desenhar uma figura e etiquetá-la com as informações fornecidas. Incluiremos isso na primeira etapa da estratégia de solução de problemas para aplicações de geometria.

Como

Resolva aplicativos de geometria.

  1. Passo 1. Ler o problema e certifique-se de que todas as palavras e ideias foram compreendidas. Desenhe a figura e identifique-a com as informações fornecidas.
  2. Passo 2. Identificar o que nós estamos procurando.
  3. Etapa 3. Etiqueta o que procuramos ao escolher uma variável para representá-lo.
  4. Passo 4. Traduzir em uma equação, escrevendo a fórmula ou modelo apropriado para a situação. Substitua nas informações fornecidas.
  5. Etapa 5. Resolver a equação usando boas técnicas de álgebra.
  6. Etapa 6. Verificar a resposta substituindo-a de volta na equação resolvida na etapa 5 e certificando-se de que faz sentido no contexto do problema.
  7. Etapa 7. Responder a pergunta com uma frase completa.

Começaremos os aplicativos de geometria observando as propriedades dos triângulos. Vamos revisar alguns fatos básicos sobre triângulos. Os triângulos têm três lados e três ângulos internos. Normalmente, cada lado é rotulado com uma letra minúscula para corresponder à letra maiúscula do vértice oposto.

O plural da palavra vértice é vértices. Todos os triângulos têm três vértices. Os triângulos são nomeados por seus vértices: O triângulo na Figura 3.4 é chamado de △ A B C. △ A B C.

Os três ângulos de um triângulo estão relacionados de uma maneira especial. A soma de suas medidas é 180 °. 180 °. Observe que lemos m ∠ A m ∠ A como "a medida do ângulo A." Então, em △ A B C △ A B C na Figura 3.4,

Como o perímetro de uma figura é o comprimento de seu limite, o perímetro de △ A B C △ A B C é a soma dos comprimentos de seus três lados.

Para encontrar a área de um triângulo, precisamos saber sua base e altura. A altura é uma linha que conecta a base ao vértice oposto e faz um ângulo de 90 ° 90 ° com a base. Vamos desenhar △ A B C △ A B C novamente, e agora mostrar a altura, h. Veja a Figura 3.5.

Propriedades do triângulo

Medidas de ângulo:

Exemplo 3.34

As medidas dos dois ângulos de um triângulo são 55 e 82 graus. Encontre a medida do terceiro ângulo.

Solução

Etapa 1. Leia o problema. Desenhe a figura e identifique-a com as informações fornecidas.
Etapa 2. Identificar o que você está procurando. a medida do terceiro ângulo em um triângulo
Etapa 3. Nome. Escolha uma variável para representá-la. Seja x = x = a medida do ângulo.
Etapa 4. Traduzir.
Escreva a fórmula apropriada e substitua. m ∠ A + m ∠ B + m ∠ C = 180 m ∠ A + m ∠ B + m ∠ C = 180
Etapa 5. Resolva a equação. 55 + 82 + x = 180 137 + x = 180 x = 43 55 + 82 + x = 180 137 + x = 180 x = 43
Etapa 6. Verifique.

55 + 82 + 43 ≟ 180 180 = 180 ✓ 55 + 82 + 43 ≟ 180 180 = 180 ✓
Etapa 7. Resposta a questão. A medida do terceiro ângulo é de 43 graus.

As medidas dos dois ângulos de um triângulo são 31 e 128 graus. Encontre a medida do terceiro ângulo.

As medidas dos dois ângulos de um triângulo são 49 e 75 graus. Encontre a medida do terceiro ângulo.

Exemplo 3.35

O perímetro de um jardim triangular é de 24 pés. O comprimento dos dois lados é de quatro pés e nove pés. Qual é o comprimento do terceiro lado?

Solução

Etapa 1. Leia o problema. Desenhe a figura e identifique-a com as informações fornecidas.
Etapa 2. Identificar o que você está procurando. comprimento do terceiro lado de um triângulo
Etapa 3. Nome. Escolha uma variável para representá-la. Seja c = c = o terceiro lado.
Etapa 4. Traduzir.
Escreva a fórmula apropriada e substitua.
Substitua nas informações fornecidas.
Etapa 5. Resolva a equação.
Etapa 6. Verifique.

P = a + b + c 24 ≟ 4 + 9 + 11 24 = 24 ✓ P = a + b + c 24 ≟ 4 + 9 + 11 24 = 24 ✓
Etapa 7. Resposta a questão. O terceiro lado tem 3,5 metros de comprimento.

O perímetro de um jardim triangular é de 12 metros. O comprimento dos dois lados é de 18 pés e 22 pés. Qual é o comprimento do terceiro lado?

O comprimento dos dois lados de uma janela triangular é de dois metros e meio. O perímetro é de 18 pés. Qual é o comprimento do terceiro lado?

Exemplo 3.36

A área de uma janela triangular de uma igreja é de 90 metros quadrados. A base da janela tem 15 metros. Qual é a altura da janela?

Solução

Etapa 1. Leia o problema. Desenhe a figura e identifique-a com as informações fornecidas.
Área = 90 m 2 = 90 m 2
Etapa 2. Identificar o que você está procurando. altura de um triângulo
Etapa 3. Nome. Escolha uma variável para representá-la. Seja h = h = a altura.
Etapa 4. Traduzir.
Escreva a fórmula apropriada.
Substitua nas informações fornecidas.
Etapa 5. Resolva a equação.
Etapa 6. Verifique.

A = 1 2 b h 90 ≟ 1 2 ⋅ 15 ⋅ 12 90 = 90 ✓ A = 1 2 b h 90 ≟ 1 2 ⋅ 15 ⋅ 12 90 = 90 ✓
Etapa 7. Resposta a questão. A altura do triângulo é de 12 metros.

A área de uma pintura triangular é de 126 polegadas quadradas. A base tem 18 polegadas. Qual é a altura?

Uma porta de tenda triangular tem uma área de 15 pés quadrados. A altura é de um metro e meio. Qual é a base?

As propriedades do triângulo que usamos até agora se aplicam a todos os triângulos. Agora veremos um tipo específico de triângulo - um triângulo retângulo. Um triângulo retângulo tem um ângulo de 90 ° 90 °, que geralmente marcamos com um pequeno quadrado no canto.

Triângulo Direito

Exemplo 3.37

Um ângulo de um triângulo retângulo mede 28 °. 28 °. Qual é a medida do terceiro ângulo?

Solução

Etapa 1. Leia o problema. Desenhe a figura e identifique-a com as informações fornecidas.
Etapa 2. Identificar o que você está procurando. a medida de um ângulo
Etapa 3. Nome. Escolha uma variável para representá-la. Seja x = x = a medida de um ângulo.
Etapa 4. Traduzir. m ∠ A + m ∠ B + m ∠ C = 180 m ∠ A + m ∠ B + m ∠ C = 180
Escreva a fórmula apropriada e substitua. x + 90 + 28 = 180 x + 90 + 28 = 180
Etapa 5. Resolva a equação. x + 118 = 180 x = 62 x + 118 = 180 x = 62
Etapa 6. Verifique.

180 ≟ 90 + 28 + 62 180 = 180 ✓ 180 ≟ 90 + 28 + 62 180 = 180 ✓
Etapa 7. Resposta a questão. A medida do terceiro ângulo é 62 °.

Nos exemplos que vimos até agora, poderíamos desenhar uma figura e rotulá-la diretamente após ler o problema. No próximo exemplo, teremos que definir um ângulo em termos de outro. Vamos esperar para desenhar a figura até escrevermos expressões para todos os ângulos que procuramos.

Exemplo 3.38

A medida de um ângulo de um triângulo retângulo é 20 graus a mais do que a medida do menor ângulo. Encontre as medidas de todos os três ângulos.

Solução

Etapa 1. Leia o problema.
Etapa 2. Identificar o que você está procurando. as medidas de todos os três ângulos
Etapa 3. Nome. Escolha uma variável para representá-la. Seja a = 1 º a = 1 º ângulo.
a + 20 = 2º a + 20 = 2º ângulo
90 = 3º 90 = 3º ângulo (o ângulo reto)
Desenhe a figura e identifique-a com as informações fornecidas
Etapa 4. Traduzir
Escreva a fórmula apropriada.
Substitua na fórmula.
Etapa 5. Resolva a equação.




55
90 terceiro ângulo
Etapa 6. Verifique.

35 + 55 + 90 ≟ 180 180 = 180 ✓ 35 + 55 + 90 ≟ 180 180 = 180 ✓
Etapa 7. Resposta a questão. Os três ângulos medem 35 °, 55 ° e 90 °.

A medida de um ângulo de um triângulo retângulo é 50 ° a mais do que a medida do menor ângulo. Encontre as medidas de todos os três ângulos.

A medida de um ângulo de um triângulo retângulo é 30 ° a mais do que a medida do menor ângulo. Encontre as medidas de todos os três ângulos.

Use o Teorema de Pitágoras

Aprendemos como as medidas dos ângulos de um triângulo se relacionam entre si. Agora, aprenderemos como os comprimentos dos lados se relacionam entre si. Uma propriedade importante que descreve a relação entre os comprimentos dos três lados de um triângulo retângulo é chamada de Teorema de Pitágoras. Este teorema é usado em todo o mundo desde os tempos antigos. Tem o nome do filósofo e matemático grego Pitágoras, que viveu por volta de 500 AC.

O teorema de Pitágoras mostra como os comprimentos dos três lados de um triângulo retângulo se relacionam entre si. Afirma que, em qualquer triângulo retângulo, a soma dos quadrados dos comprimentos das duas pernas é igual ao quadrado do comprimento da hipotenusa. Em símbolos dizemos: em qualquer triângulo retângulo, a 2 + b 2 = c 2, a 2 + b 2 = c 2, onde a e b a e b são os comprimentos das pernas ec c é o comprimento da hipotenusa.

Escrever a fórmula em cada exercício e dizê-la em voz alta enquanto a escreve pode ajudá-lo a se lembrar do Teorema de Pitágoras.

O Teorema de Pitágoras

Em qualquer triângulo retângulo, a 2 + b 2 = c 2. a 2 + b 2 = c 2.

Onde uma e b são os comprimentos das pernas, c é o comprimento da hipotenusa.

Para resolver exercícios que usam o Teorema de Pitágoras, precisaremos encontrar raízes quadradas. Usamos a notação m m e a definição:

Por exemplo, descobrimos que 25 25 é 5 porque 25 = 5 2. 25 = 5 2.

Como o teorema de Pitágoras contém variáveis ​​ao quadrado, para resolver o comprimento de um lado em um triângulo retângulo, teremos que usar raízes quadradas.

Exemplo 3.39

Use o teorema de Pitágoras para encontrar o comprimento da hipotenusa mostrado abaixo.

Solução

Etapa 1. Leia o problema.
Etapa 2. Identificar o que você está procurando. o comprimento da hipotenusa do triângulo
Etapa 3. Nome. Escolha uma variável para representá-la.
Lado da etiqueta c na figura.
Deixar c = o comprimento da hipotenusa.

Etapa 4. Traduzir.
Escreva a fórmula apropriada. a 2 + b 2 = c 2 a 2 + b 2 = c 2
Substituto. 3 2 + 4 2 = c 2 3 2 + 4 2 = c 2
Etapa 5. Resolva a equação. 9 + 16 = c 2 9 + 16 = c 2
Simplificar. 25 = c 2 25 = c 2
Use a definição de raiz quadrada. 25 = c 25 = c
Simplificar. 5 = c 5 = c
Etapa 6. Verifique.

Etapa 7. Resposta a questão. O comprimento da hipotenusa é 5.

Use o teorema de Pitágoras para encontrar o comprimento da hipotenusa no triângulo mostrado abaixo.

Use o teorema de Pitágoras para encontrar o comprimento da hipotenusa no triângulo mostrado abaixo.

Exemplo 3.40

Use o teorema de Pitágoras para encontrar o comprimento da perna mostrada abaixo.

Solução

Etapa 1. Leia o problema.
Etapa 2. Identificar o que você está procurando. o comprimento da perna do triângulo
Etapa 3. Nome. Escolha uma variável para representá-la. Deixar b = a perna do triângulo.
Lado da etiqueta b.
Etapa 4. Traduzir
Escreva a fórmula apropriada. a 2 + b 2 = c 2 a 2 + b 2 = c 2
Substituto. 5 2 + b 2 = 13 2 5 2 + b 2 = 13 2
Etapa 5. Resolva a equação. 25 + b 2 = 169 25 + b 2 = 169
Isole o termo variável. b 2 = 144 b 2 = 144
Use a definição de raiz quadrada. b 2 = 144 b 2 = 144
Simplificar. b = 12 b = 12
Etapa 6. Verifique.

Etapa 7. Resposta a questão. O comprimento da perna é 12.

Use o teorema de Pitágoras para encontrar o comprimento da perna no triângulo mostrado abaixo.

Use o teorema de Pitágoras para encontrar o comprimento da perna no triângulo mostrado abaixo.

Exemplo 3.41

Kelvin está construindo um gazebo e quer proteger cada canto, colocando um pedaço de madeira de 10 "10" na diagonal, conforme mostrado acima.

Se ele prender a madeira de modo que as pontas da braçadeira fiquem na mesma distância do canto, qual é o comprimento das pernas do triângulo retângulo formado? Aproximadamente ao décimo de polegada mais próximo.

Solução

Etapa 1. Leia o problema.
Etapa 2. Identificar o que nós estamos procurando. a distância do canto que o suporte deve ser colocado
Etapa 3. Nome. Escolha uma variável para representá-la. Seja x = x = a distância do canto.
Etapa 4. Traduzir
Escreva a fórmula apropriada e substitua.
a 2 + b 2 = c 2 x 2 + x 2 = 10 2 a 2 + b 2 = c 2 x 2 + x 2 = 10 2
Etapa 5. Resolva a equação.
Isole a variável.
Use a definição de raiz quadrada.
Simplificar. Aproximado ao décimo mais próximo.
2 x 2 = 100 x 2 = 50 x = 50 x ≈ 7,1 2 x 2 = 100 x 2 = 50 x = 50 x ≈ 7,1
Etapa 6. Verifique.
a 2 + b 2 = c 2 (7,1) 2 + (7,1) 2 ≈ 10 2 Sim. a 2 + b 2 = c 2 (7,1) 2 + (7,1) 2 ≈ 10 2 Sim.
Etapa 7. Resposta a questão. Kelvin deve prender cada pedaço de madeira a aproximadamente 7,1 "do canto.

John coloca a base de uma escada de quatro metros e meio a cinco metros da parede de sua casa, conforme mostrado abaixo. A que altura da parede chega a escada?

Randy deseja prender uma corda de luzes de 5 metros no topo do mastro de 5 metros de seu veleiro, conforme mostrado abaixo. A que distância da base do mastro ele deve prender a ponta do fio de luz?

Resolva aplicativos usando propriedades retangulares

E a área de um retângulo? Imagine um tapete retangular de 60 centímetros de comprimento por 90 centímetros de largura. Sua área é de 6 pés quadrados. Existem seis quadrados na figura.

A área é o comprimento vezes a largura.

A fórmula para a área de um retângulo é A = L W. A = L W.

Propriedades dos retângulos

Os retângulos têm quatro lados e quatro ângulos retos (90 °) (90 °).

Os comprimentos dos lados opostos são iguais.

O perímetro de um retângulo é a soma do dobro do comprimento e do dobro da largura.

A área de um retângulo é o produto do comprimento pela largura.

Exemplo 3.42

O comprimento de um retângulo é de 32 metros e a largura de 20 metros. Qual é o perímetro?

Solução

Etapa 1. Leia o problema.
Desenhe a figura e identifique-a com as informações fornecidas.
Etapa 2. Identificar o que você está procurando. o perímetro de um retângulo
Etapa 3. Nome. Escolha uma variável para representá-la. Deixar P = o perímetro.
Etapa 4. Traduzir.
Escreva a fórmula apropriada.
Substituto.
Etapa 5. Resolva a equação.
Etapa 6. Verifique.

P ≟ 104 20 + 32 + 20 + 32 ≟ 104 104 = 104 ✓ P ≟ 104 20 + 32 + 20 + 32 ≟ 104 104 = 104 ✓
Etapa 7. Resposta a questão. O perímetro do retângulo é de 104 metros.

O comprimento de um retângulo é de 120 metros e a largura de 50 metros. Qual é o perímetro?

O comprimento de um retângulo é de 62 pés e a largura é de 48 pés. Qual é o perímetro?

Exemplo 3.43

A área de uma sala retangular é de 168 pés quadrados. O comprimento é de 14 pés. Qual é a largura?

Solução

Etapa 1. Leia o problema.
Desenhe a figura e identifique-a com as informações fornecidas.
Etapa 2. Identificar o que você está procurando. a largura de uma sala retangular
Etapa 3. Nome. Escolha uma variável para representá-la. Deixar C = a largura.
Etapa 4. Traduzir.
Escreva a fórmula apropriada. A = L W A = L W
Substituto. 168 = 14 W 168 = 14 W
Etapa 5. Resolva a equação. 168 14 = 14 W 14 168 14 = 14 W 14
12 = W 12 = W
Etapa 6. Verifique.


A = L W 168 ≟ 14 ⋅ 12 168 = 168 ✓ A = L W 168 ≟ 14 ⋅ 12 168 = 168 ✓
Etapa 7. Resposta a questão. A largura da sala é de 3,6 metros.

A área de um retângulo é 598 pés quadrados. O comprimento é de 23 pés. Qual é a largura?

A largura de um retângulo é de 21 metros. A área é de 609 metros quadrados. Qual é o comprimento?

Exemplo 3.44

Encontre o comprimento de um retângulo com perímetro de 50 polegadas e largura de 10 polegadas.

Solução

Etapa 1. Leia o problema.
Desenhe a figura e identifique-a com as informações fornecidas.

Etapa 2. Identificar o que você está procurando. o comprimento do retângulo
Etapa 3. Nome. Escolha uma variável para representá-la. Deixar eu = o comprimento.
Etapa 4. Traduzir.
Escreva a fórmula apropriada.
Substituto.
Etapa 5. Resolva a equação.





Etapa 6. Verifique.

P = 50 15 + 10 + 15 + 10 ≟ 50 50 = 50 ✓ P = 50 15 + 10 + 15 + 10 ≟ 50 50 = 50 ✓
Etapa 7. Resposta a questão. O comprimento é de 15 polegadas.

Encontre o comprimento de um retângulo com: perímetro 80 e largura 25.

Encontre o comprimento de um retângulo com: perímetro 30 e largura 6.

We have solved problems where either the length or width was given, along with the perimeter or area now we will learn how to solve problems in which the width is defined in terms of the length. We will wait to draw the figure until we write an expression for the width so that we can label one side with that expression.

Example 3.45

The width of a rectangle is two feet less than the length. The perimeter is 52 feet. Encontre o comprimento e a largura.

Solução

Etapa 1. Leia o problema.
Etapa 2. Identificar what you are looking for. the length and width of a rectangle
Step 3. Name. Escolha uma variável para representá-la.
Since the width is defined in terms of the length, we let L = length. The width is two feet less than the length, so we let eu − 2 = width.

P = 52 P = 52 ft
Etapa 4. Traduzir.
Escreva a fórmula apropriada. The formula for the perimeter of a rectangle relates all the information. P = 2 L + 2 W P = 2 L + 2 W
Substitua nas informações fornecidas. 52 = 2 L + 2 ( L − 2 ) 52 = 2 L + 2 ( L − 2 )
Etapa 5. Resolva the equation. 52 = 2 L + 2 L − 4 52 = 2 L + 2 L − 4
Combine like terms. 52 = 4 L − 4 52 = 4 L − 4
Add 4 to each side. 56 = 4 L 56 = 4 L
Divide by 4. 56 4 = 4 L 4 56 4 = 4 L 4
14 = L 14 = L
The length is 14 feet.
Now we need to find the width. The width is L − 2 L − 2 .

A largura é de 12 pés.
Step 6. Check.
Since 14 + 12 + 14 + 12 = 52 14 + 12 + 14 + 12 = 52 , this works!

Etapa 7. Resposta the question. The length is 14 feet and the width is 12 feet.

The width of a rectangle is seven meters less than the length. The perimeter is 58 meters. Encontre o comprimento e a largura.

The length of a rectangle is eight feet more than the width. The perimeter is 60 feet. Encontre o comprimento e a largura.

Example 3.46

The length of a rectangle is four centimeters more than twice the width. The perimeter is 32 centimeters. Encontre o comprimento e a largura.

Solução

Etapa 1. Leia o problema.
Etapa 2. Identificar what you are looking for. the length and the width
Step 3. Name. Choose a variable to represent the width.
The length is four more than twice the width.


Etapa 4. Traduzir
Escreva a fórmula apropriada.
Substitua nas informações fornecidas.
Etapa 5. Resolva the equation.






12
The length is 12 cm.
Step 6. Check.


P = 2 L + 2 W 32 ≟ 2 ⋅ 12 + 2 ⋅ 4 32 = 32 ✓ P = 2 L + 2 W 32 ≟ 2 ⋅ 12 + 2 ⋅ 4 32 = 32 ✓
Etapa 7. Resposta the question. The length is 12 cm and the width is 4 cm.

The length of a rectangle is eight more than twice the width. The perimeter is 64. Find the length and width.

The width of a rectangle is six less than twice the length. The perimeter is 18. Find the length and width.

Example 3.47

The perimeter of a rectangular swimming pool is 150 feet. The length is 15 feet more than the width. Encontre o comprimento e a largura.


Similar Triangles Applications


Image Source: http://www.howitworksdaily.com

A powerful Zoom lens for a 35mm camera can be very expensive, because it actually contains a number of highly precise glass lenses, which need to be moved by a tiny motor into very exact positions as the camera auto focuses.

The Geometry and Mathematics of these lenses is very involved, and they cannot be simply mass produced and tested by computer robots.

Lots of effort required to manufacture these lenses results in their very high price tags.

Here is a diagram showing how the zoom lens internal arrangement changes as we zoom from 18mmm wide angle to 200mm fully zoomed in:


Image Source: http://www.canon.com


Image Copyright 2013 by Passy’s World of Mathematics

Shown above are some band photographs taken by Passy with a special low light camera.

Unfortunately this camera does not have a zoom lens, and so you need to be right up close to the stage to take good pictures.

A special low light aperture 1.4 zoom lens for taking band photographs has a price tag a bit out of Passy’s current reach.

The light rays passing through a camera lens involves some similar triangles mathematics.

We will do some of this mathematics in the “Bow Tie” examples later in this lesson.

Similar Triangles can also be used to measure the heights of very tall objects such as trees, buildings, and mobile phone towers.

Measuring heights of tall objects is also covered in this lesson.

It is very important that you have done our basic lesson on Similar Triangles before doing the lesson which follows on here.

If you need to go back and look at Basic Similar Triangles, then click the link below:


Image Copyright 2013 by Passy’s World of Mathematics

In the above setup for a camera lens, we have a “Bow Tie” shaped pair of Similar Triangles.

Note that when light passes through a camera lens the original image ends up upside down or “inverted”.

This is why cameras have a mirror inside them to put the image right way up so we can view it while taking the photo.

It is very important that this mirror is kept spotlessly clean when changing lenses on a 35mmm camera, and we must be careful never to touch it with our fingers.

The diagram below shows the triangles from our camera lens diagram, with some measured values labelled onto it.

We have used two of the the measurements to work out the “Scale Factor”.

Once we have the S.F. we can then easily work out our missing value.


Image Copyright 2013 by Passy’s World of Mathematics

We do not have to use the Scale Factor method to work out this question.

Instead, we can use the Ratios Cross Multiplying Method, as shown in “Example 1B” below.

It is up to you as to which method you want to use. Both methods give the same correct answer.

In this example we first locate our two pairs of matching sides on the given diagram below.

We then set them up as matching ratios, and use the ratios cross multiplying method to get our answer.


Image Copyright 2013 by Passy’s World of Mathematics

Here is another example where we are working with “Bow Tie” Similar Triangles.


Image Copyright 2013 by Passy’s World of Mathematics

In the above example we have used the Scale Factor Method.

This question can also be worked out using cross multiplied ratios, if you prefer to use that method instead.

Video About Bow Tie Questions

The following video shows how to do some example Bow Tie and Ladder Triangle questions.

Using Triangles to Find Height

Similar Triangles can also be used to work out the Heghts of tall objects such as trees, buildings, and towers which are too hard for us to climb and measure with a measuring tape.


Image Copyright 2013 by Passy’s World of Mathematics

Because the sun is shining from a very long way away, it shines down at the same angle on both objects (the person and the tree).

Shadows are formed for both of these objects, because the sun is shining on them at an angle.
Eg. The 2m tall lady makes a 12m long shadow, and the palm tree makes an 84m long shadow.

This results in a pair of similar triangles being formed.

By comparing the lengths of the two shadows, against the two heights, using similar triangles, we can work out the unknown height of the tree.

In the following two examples we show how these types of height questions are drawn as a triangle inside a triangle.

We then use the Scale Factor Method to get our answer for “Example 1A”.

After this, we do the same question using the Cross Multiplying Ratios Method in “Example 1B”.

Finding Height – Example 1A


Image Copyright 2013 by Passy’s World of Mathematics


Image Copyright 2013 by Passy’s World of Mathematics

Finding Height – Example 1B


Image Copyright 2013 by Passy’s World of Mathematics

Finding Height – Example 2

Here is another example of finding height from the shadows, but this time we have a Mobile Phone Tower, and a shorter person with a smaller shadow.


Image Copyright 2013 by Passy’s World of Mathematics


Image Copyright 2013 by Passy’s World of Mathematics

In the above example we have used the Scale Factor Method.

This question can also be worked out using cross multiplied ratios, if you prefer to use that method instead.

Videos About Finding Height

Three and a a half minute video about using shadows to find the height of a tree:

Ten minute video showing a guy actually finding the height of a wall using shadows:

Video showing some algebra x and y problems:

Finding Height Using a Mirror

We can also find the height of a tall object by using line of sight and a mirror, rather than measuring shadows.

This gives a “Bow Tie” type question that we need to solve.

The video at the following link shows an example fo how to do this.

Similar Triangles are very useful for indirectly determining the sizes of items which are difficult to measure by hand.

Typical examples include building heights, tree heights, and tower heights.

Similar Triangles can also be used to measure how wide a river or lake is.


Image Copyright 2013 by Passy’s World of Mathematics

Now the instructors could toss a coin to see who ties a rope to themselves, and then swims across the freezing cold water to work out how wide the river is.

However, the following method shown here is much easier, and nobody has to get wet!

It involves each person moving further along the river and measuring exactly how far they have moved from their starting points at A and B.

This is shown in the following diagram:


Image Copyright 2013 by Passy’s World of Mathematics

We can draw in the line of sight from the lady at “E” to the guy on the other side of the river at “C”, which then produces a pair of Similar Triangles.

We can solve these “bow tie” triangles and work out the width of the river as shown below.


Image Copyright 2013 by Passy’s World of Mathematics

(Note that some clipart images from the web were used for the above River Diagrams, and Passy’s World is not claiming any ownership of these cliparts, but only of the mathematical components contained in these examples.)

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Right Triangle Calculator and Solver

Five easy to use calculators to solve right triangle problems depending on which information you are given. The figure shown below will be used for sides and angle notations.

Formulas Used in the Different Calculators

The Pythagorean theorem used in the above triangle gives

The trigonometric ratios used to find angles A and B are given by

sin(A) = a / h , A = arctan(a / h)

sin(B) = b / h , B = arctan(b / h)

The area and perimeter of the right triangle are given by

Calculator 1 - You know one side and the hypotenuse

How to use the calculators

Enter the side and the hypotenuse as positive real numbers and press "calculate".

Calculator 2 - You know the two sides of the right triangle

How to use the calculators

Enter the two sides as positive real numbers and press "calculate".

Calculator 3 - You know one side and the angle opposite to it

How to use the calculators

Enter the side and the opposite angle as positive real numbers and press "calculate".

Calculator 4 - You know the hypotenuse and one angle

How to use the calculators

Enter the hypotenuse and the angle as positive real numbers and press "calculate".

Calculator 5 - You know the perimeter and area of a right triangle

How to use the calculators
You might have to review area and perimeter of right triangles in order to understand the formulas used in this calculator.
Enter the perimeter and the area as positive real numbers and press "calculate".

More References and Links


Angles of Elevation and Depression

In surveying, the angle of elevation is the angle from the horizontal looking up to some object:

O angle of depression is the angle from the horizontal looking down to some object:

Exemplo 3

The angle of elevation of an aeroplane is `23°`. If the aeroplane's altitude is `2500 "m"`, how far away is it?

Let the distance be x. Then `sin 23^"o"=2500/x`

Example 4

You can walk across the Sydney Harbour Bridge and take a photo of the Opera House from about the same height as top of the highest sail.

This photo was taken from a point about `500 "m"` horizontally from the Opera House and we observe the waterline below the highest sail as having an angle of depression of `8°`. How high above sea level is the highest sail of the Opera House?


Free Math Printable Worksheets with Answer Keys and Activities

Feel free to download and enjoy these free worksheets on functions and relations. Each one has model problems worked out step by step, practice problems, as well as challenge questions at the sheets end. Plus each one comes with an answer key.

Arithmetic

Algebra I

  • Circle
  • Simplify Rational Exponents (Algebra 2)
  • Solve Equations with Rational Exponents (Algebra 2)
  • Solve Equations with variables in Exponents (Algebra 2)
  • Exponential Growth (no answer key on this one, sorry)
  • Compound Interest Worksheet #1 (No logs)
  • Compound Interest Worksheet (Logarithms required)
  • Factor Trinomials Worksheet
  • Fator por agrupamento
  • Domain and Range (Algebra 1)
  • Functions vs Relations (Distinguish function from relation, state domain etc..) (Algebra 2)
  • Evaluating Functions (Algebra 2)
  • 1 to 1 Functions (Algebra 2)
  • Composition of Functions (Algebra 2)
  • Inverse Functions Worksheet (Algebra 2)
  • Operations with Functions (Algebra 2)
  • Functions Review Worksheet (Algebra 2)
  • Solve Quadratic Equations by Factoring
  • Quadratic Formula Worksheets (3 different sheets)
  • Quadratic Formula Worksheet (Real solutions)
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  • Quadratic Formula (Both real and complex solutions)
  • Discriminant and Nature of the Roots
  • Solve Quadratic Equations by Completing the Square
  • Sum and Product of Roots
  • Radical Equations
  • Mixed Problems on Writing Equations of Lines
  • Slope Intercept Form Worksheet
  • Standard Form Worksheet
  • Write Equation of Line from the Slope and 1 Point
  • Write Equation of Line From Two Points
  • Equation of Line Parallel to Another Line and Through a Point
  • Equation of Line Perpendicular to Another Line and Through a Point
  • Perpendicular Bisector of Segment
  • Write Equation of Line Mixed Review
  • Solve Systems of Equations Graphically
  • Solve Systems of Equations by Elimination
  • Solve by Substitution
  • Solve Systems of Equations (Mixed Review)
  • Activity on Systems of Equations (Create an advertisement for your favorite method to Solve Systems of Equations)
  • Real World Connections (Compare cell phone plans)

Trigonomnetry

  • Law of Sines and Cosines Worksheets
    • Law of Sines and Cosines Worksheet (This sheet is a summative worksheet that focuses on deciding when to use the law of sines or cosines as well as on using both formulas to solve for a single triangle's side or angle)
      • Law of Sines
      • Ambiguous Case of the Law of Sines
      • Law of Cosines

      Geometria

      Meaning of Worksheet Icons

      This icon means that the activity is exploratory.
      worksheet involves group work .
      worksheet involves real world applications of concepts.
      worksheet includes a drill-like component.
      worksheet based on using the Geometer's Sketchpad.

      • A ngles
          • Activity-Explore by Measuring the Relationship of Vertical Angles
          • Vertical Angles Worksheet
          • Adding and Subtracting Integers
          • Graphic Organizer: Formulas & Theorems of A Circle
          • Chord of A Circle: theorems involving parallel chords, congruent chords & chords equidistant from the center of circle
          • Inscribed and Central Angles
          • Arcs and Angles Formed by Intersecting Chords
          • Tangent, Secant, Arcs and Angles of a Circle
          • Parallel Chords, Congruent Chords and the Center of a Circle
          • Relationship Between Tangent, Secant Side Lengths
          • Arcs and Angles Formed by the Intersection of a Tangent and a Chord
          • Mixed Review on Formulas of Geometry of the Circle (Large problems involving many Circle Formulas)
          • E llipse
            • Equation and Graph of Ellipse Worksheet
            • Focus of Ellipse (Find foci based on graph and equation) (Also includes NYS Math B Regents questions at end)
            • Exponents Worksheet (Focuses on two rules of exponents)
            • Exponential Growth (Exploratory activity as well as drill like questions)
            • Exponential Population Growth (Drill like questions, as well as student centered activity, NYS Math B Regents questions, and how to perform exponential regressions)
            • One Variable Equations and Proportions
            • Relation and Functions in Math Worksheet
            • 1 to 1 Functions Worksheet
            • Distance vs Time Graphs
            • Find the Slope of a Line Worksheet
            • Linear Equations - Real World Application Activity
            • Ordered Pair Notation
            • P arallelograms
              • Compare and Contrast Types of Parallelograms (Rectangles, Rhombus, Square in a table. Microsoft Word format. Worksheet Goes Hand in Hand with This Web Page)
              • Classify Quadrilateral as Parallelogram (A classic activity: have the students construct a Quadrilateral and its midpoints, then create an inscribed Quadrilateral. Then ask the students to measure the Angles, sides etc.. of inscribed shape and use the measurements to classify the shape (Parallelogram).
              • Interior Angles of Polygon Worksheet
              • Exterior Angles of a Polygon
              • Side Angle Side and Angle Side Angle Worksheet This worksheet includes model problems and an activity. Also, the answers to most of the proofs can be found in a free, online PowerPoint demonstration.
              • Side Side Side Worksheet and Activity
              • Angle Side Angle Worksheet and Activity
              • Relation and Functions in Math Worksheet
              • 1 to 1 Function
              • SOHCAHTOA Worksheet
              • SAS Formula to Find Area of Triangle
              • Properties of Triangles
              • Area of a Triangle Worksheet
              • Angle Angle Side Postulate (AAS)
              • Side Side Side Postulate Worksheet(SSS)
              • Angle Side Angle Postulate Worksheet (ASA)
              • Hypotenuse Leg Worksheet(Hypotenuse Leg)
              • Activity-Relationship of Angles in a Trapezoid
              • Compositions of Reflections. Reflections Over Intersecting Lines as Rotations

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              Assista o vídeo: Oblicz obwód trójkąta prostokątnego. Połowa trójkąta równobocznego. Trójkąt o kątach 30, 60, 90. (Outubro 2021).