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12.4: Comprimento do Arco e Curvatura


objetivos de aprendizado

  • Determine o comprimento do caminho de uma partícula no espaço usando a função de comprimento de arco.
  • Explique o significado da curvatura de uma curva no espaço e indique sua fórmula.
  • Descreva o significado dos vetores normal e binormal de uma curva no espaço.

Nesta seção, estudamos fórmulas relacionadas a curvas em duas e três dimensões e vemos como elas estão relacionadas a várias propriedades da mesma curva. Por exemplo, suponha que uma função com valor vetorial descreve o movimento de uma partícula no espaço. Gostaríamos de determinar a distância percorrida pela partícula em um determinado intervalo de tempo, que pode ser descrito pelo comprimento do arco do caminho que segue. Ou, suponha que a função de valor vetorial descreve uma estrada que estamos construindo e queremos determinar a curva da curva da estrada em um determinado ponto. Isso é descrito pela curvatura da função naquele ponto. Exploramos cada um desses conceitos nesta seção.

Comprimento do arco para funções vetoriais

Vimos como uma função com valor vetorial descreve uma curva em duas ou três dimensões. Lembre-se de que a fórmula para o comprimento do arco de uma curva definida pelas funções paramétricas (x = x (t), y = y (t), t_1≤t≤t_2 ) é dada por

[s = int ^ {t_2} _ {t_1} sqrt {(x ′ (t)) ^ 2+ (y ′ (t)) ^ 2} dt. enhum número]

De forma semelhante, se definirmos uma curva suave usando uma função de valor vetorial ( vecs r (t) = f (t) , hat { mathbf {i}} + g (t) , hat { mathbf {j}} ), onde (a≤t≤b ), o comprimento do arco é dado pela fórmula

[s = int ^ {b} _ {a} sqrt {(f ′ (t)) ^ 2+ (g ′ (t)) ^ 2} dt. enhum número]

Em três dimensões, se a função de valor vetorial é descrita por ( vecs r (t) = f (t) , hat { mathbf {i}} + g (t) , hat { mathbf { j}} + h (t) , hat { mathbf {k}} ) no mesmo intervalo (a≤t≤b ), o comprimento do arco é dado por

[s = int ^ {b} _ {a} sqrt {(f ′ (t)) ^ 2+ (g ′ (t)) ^ 2+ (h ′ (t)) ^ 2} dt. enhum número]

Teorema: Fórmulas de comprimento de arco para curvas planas e espaciais

Curva plana: Dada uma curva suave (C ) definida pela função ( vecs r (t) = f (t) , hat { mathbf {i}} + g (t) , hat { mathbf {j}} ), onde (t ) está dentro do intervalo ([a, b] ), o comprimento do arco de (C ) sobre o intervalo é

[ begin {align} s & = int ^ {b} _ {a} sqrt {[f ′ (t)] ^ 2+ [g ′ (t)] ^ 2} dt [4pt] & = int ^ {b} _ {a} | vecs r ′ (t) | dt. label {Arc2D} end {align} ]

Curva de espaço: Dada uma curva suave (C ) definida pela função ( vecs r (t) = f (t) , hat { mathbf {i}} + g (t) , hat { mathbf {j}} + h (t) , hat { mathbf {k}} ), onde (t ) está dentro do intervalo ([a, b] ), o comprimento do arco de (C ) ao longo do intervalo é

[ begin {align} s & = int ^ {b} _ {a} sqrt {[f ′ (t)] ^ 2+ [g ′ (t)] ^ 2+ [h ′ (t)] ^ 2} dt [4pt] & = int ^ {b} _ {a} | vecs r ′ (t) | dt. label {Arc3D} end {align} ]

As duas fórmulas são muito semelhantes; eles diferem apenas no fato de que uma curva de espaço tem três funções componentes em vez de duas. Observe que as fórmulas são definidas para curvas suaves: curvas onde a função de valor vetorial ( vecs r (t) ) é diferenciável com uma derivada diferente de zero. A condição de suavidade garante que a curva não tenha cúspides (ou cantos) que possam tornar a fórmula problemática.

Exemplo ( PageIndex {1} ): Encontrando o comprimento do arco

Calcule o comprimento do arco para cada uma das seguintes funções com valor vetorial:

  1. ( vecs r (t) = (3t − 2) , hat { mathbf {i}} + (4t + 5) , hat { mathbf {j}}, quad 1≤t≤5 )
  2. ( vecs r (t) = ⟨t cos t, t sin t, 2t⟩, 0≤t≤2 pi )

Solução

  1. Usando a equação ref {Arc2D}, ( vecs r ′ (t) = 3 , hat { mathbf {i}} + 4 , hat { mathbf {j}} ), então

    [ begin {align *} s & = int ^ {b} _ {a} | vecs r ′ (t) | dt [4pt] & = int ^ {5} _ {1} sqrt {3 ^ 2 + 4 ^ 2} dt [4pt] & = int ^ {5} _ {1} 5 dt = 5t big | ^ {5} _ {1} = 20. end { alinhar*}]

  2. Usando a equação ref {Arc3D}, ( vecs r ′ (t) = ⟨ cos t − t sin t, sin t + t cos t, 2⟩ ),

    [ begin {align *} s & = int ^ {b} _ {a} ∥ vecs r ′ (t) ∥dt [4pt] & = int ^ {2 pi} _ {0} sqrt {( cos t − t sin t) ^ 2 + ( sin t + t cos t) ^ 2 + 2 ^ 2} dt [4pt] & = int ^ {2 pi} _ {0} sqrt {( cos ^ 2 t − 2t sin t cos t + t ^ 2 sin ^ 2 t) + ( sin ^ 2 t + 2t sin t cos t + t ^ 2 cos ^ 2 t) +4} dt [4pt] & = int ^ {2 pi} _ {0} sqrt { cos ^ 2 t + sin ^ 2 t + t ^ 2 ( cos ^ 2 t + sin ^ 2 t) +4} dt [4pt] & = int ^ {2 pi} _ {0} sqrt {t ^ 2 + 5} dt end {alinhar *} ]

    Aqui podemos usar uma fórmula de integração de tabela

    [ int sqrt {u ^ 2 + a ^ 2} du = dfrac {u} {2} sqrt {u ^ 2 + a ^ 2} + dfrac {a ^ 2} {2} ln , left | , u + sqrt {u ^ 2 + a ^ 2} , right | + C, nonumber ]

    então obtemos

    [ begin {align *} int ^ {2 pi} _ {0} sqrt {t ^ 2 + 5} dt ; & = frac {1} {2} bigg (t sqrt {t ^ 2 + 5} +5 ln , left | t + sqrt {t ^ 2 + 5} right | bigg) _0 ^ {2π} [4pt] & = frac {1} {2} bigg (2π sqrt {4π ^ 2 + 5} +5 ln bigg (2π + sqrt {4π ^ 2 + 5} bigg) bigg) - frac {5} {2} ln sqrt {5} [4pt] & ≈25,343 , text {unidades}. end {align *} ]

Exercício ( PageIndex {1} )

Calcule o comprimento do arco da curva parametrizada

[ vecs r (t) = ⟨2t ^ 2 + 1,2t ^ 2−1, t ^ 3⟩, quad 0≤t≤3. enhum número]

Dica

Use a Equação ref {Arc3D}.

Responder

( vecs r ′ (t) = ⟨4t, 4t, 3t ^ 2⟩, ) então (s = frac {1} {27} (113 ^ {3/2} −32 ^ {3/2 }) ≈37,785 ) unidades

Agora retornamos à hélice introduzida anteriormente neste capítulo. Uma função com valor de vetor que descreve uma hélice pode ser escrita na forma

[ vecs r (t) = R cos left ( dfrac {2πNt} {h} right) , hat { mathbf {i}} + R sin left ( dfrac {2πNt} { h} right) , hat { mathbf {j}} + t , hat { mathbf {k}}, 0≤t≤h, nonumber ]

onde (R ) representa o raio da hélice, (h ) representa a altura (distância entre duas voltas consecutivas) e a hélice completa (N ) voltas. Vamos derivar uma fórmula para o comprimento do arco desta hélice usando a Equação ref {Arc3D}. Em primeiro lugar,

[ vecs r ′ (t) = - dfrac {2πNR} {h} sin left ( dfrac {2πNt} {h} right) , hat { mathbf {i}} + dfrac { 2πNR} {h} cos left ( dfrac {2πNt} {h} right) , hat { mathbf {j}} + , hat { mathbf {k}}. enhum número]

Portanto,

[ begin {align *} s & = int_a ^ b ‖ vecs r ′ (t) ‖dt [4pt] & = int_0 ^ h sqrt { bigg (- dfrac {2πNR} {h } sin bigg ( dfrac {2πNt} {h} bigg) bigg) ^ 2 + bigg ( dfrac {2πNR} {h} cos bigg ( dfrac {2πNt} {h} bigg) bigg) ^ 2 + 1 ^ 2} dt [4pt] & = int_0 ^ h sqrt { dfrac {4π ^ 2N ^ 2R ^ 2} {h ^ 2} bigg ( sin ^ 2 bigg ( dfrac {2πNt} {h} bigg) + cos ^ 2 bigg ( dfrac {2πNt} {h} bigg) bigg) +1} dt [4pt] & = int_0 ^ h sqrt { dfrac {4π ^ 2N ^ 2R ^ 2} {h ^ 2} +1} dt [4pt] & = bigg [t sqrt { dfrac {4π ^ 2N ^ 2R ^ 2} {h ^ 2} +1} bigg] ^ h_0 [4pt] & = h sqrt { dfrac {4π ^ 2N ^ 2R ^ 2 + h ^ 2} {h ^ 2}} [4pt] & = sqrt {4π ^ 2N ^ 2R ^ 2 + h ^ 2}. end {alinhar *} ]

Isso fornece uma fórmula para o comprimento de um fio necessário para formar uma hélice com (N ) voltas que tem raio (R ) e altura (h ).

Parametrização de comprimento de arco

Agora temos uma fórmula para o comprimento do arco de uma curva definida por uma função com valor vetorial. Vamos dar um passo adiante e examinar o que função de comprimento de arco é.

Se uma função de valor vetorial representa a posição de uma partícula no espaço em função do tempo, então a função de comprimento de arco mede a distância que aquela partícula viaja em função do tempo. A fórmula para a função de comprimento do arco segue diretamente da fórmula para o comprimento do arco:

[s = int ^ {t} _ {a} sqrt {(f ′ (u)) ^ 2+ (g ′ (u)) ^ 2+ (h ′ (u)) ^ 2} du. label {arclength2} ]

Se a curva estiver em duas dimensões, apenas dois termos aparecerão sob a raiz quadrada dentro da integral. A razão para usar a variável independente você é distinguir entre o tempo e a variável de integração. Como (s (t) ) mede a distância percorrida em função do tempo, (s ′ (t) ) mede a velocidade da partícula em um determinado momento. Como temos uma fórmula para (s (t) ) na Equação ref {arclength2}, podemos diferenciar os dois lados da equação:

[ begin {align *} s ′ (t) & = dfrac {d} {dt} bigg [ int ^ {t} _ {a} sqrt {(f ′ (u)) ^ 2+ ( g ′ (u)) ^ 2+ (h ′ (u)) ^ 2} du bigg] [4pt] & = dfrac {d} {dt} bigg [ int ^ {t} _ {a } ‖ Vecs r ′ (u) ‖du bigg] [4pt] & = | vecs r ′ (t) |. End {align *} ]

Se assumirmos que ( vecs r (t) ) define uma curva suave, então o comprimento do arco está sempre aumentando, então (s ′ (t)> 0 ) para (t> a ). Por último, se ( vecs r (t) ) é uma curva na qual ( | vecs r ′ (t) | = 1 ) para todos (t ), então

[s (t) = int ^ {t} _ {a} ‖ vecs r ′ (u) ‖ , du = int ^ {t} _ {a} 1 , du = t − a, nenhum número]

o que significa que (t ) representa o comprimento do arco, contanto que (a = 0 ).

Teorema: Função de comprimento de arco

Deixe ( vecs r (t) ) descrever uma curva suave para (t≥a ). Então, a função de comprimento de arco é dada por

[s (t) = int ^ {t} _ {a} ‖ vecs r ′ (u) ‖ , du ]

Além disso,

[ dfrac {ds} {dt} = ‖ vecs r ′ (t) ‖> 0. enhum número]

Se (‖ vecs r ′ (t) ‖ = 1 ) para todos (t≥a ), então o parâmetro (t ) representa o comprimento do arco a partir do ponto inicial em (t = a ) .

Uma aplicação útil deste teorema é encontrar uma parametrização alternativa de uma dada curva, chamada de parametrização do comprimento do arco. Lembre-se de que qualquer função com valor vetorial pode ser reparametrizada por meio de uma mudança de variáveis. Por exemplo, se tivermos uma função ( vecs r (t) = ⟨3 cos t, 3 sin t⟩, 0≤t≤2π ) que parametriza um círculo de raio 3, podemos alterar o parâmetro de (t ) a (4t ), obtendo uma nova parametrização ( vecs r (t) = ⟨3 cos 4t, 3 sin 4t⟩ ). A nova parametrização ainda define um círculo de raio 3, mas agora precisamos apenas usar os valores (0≤t≤π / 2 ) para percorrer o círculo uma vez.

Suponha que encontremos a função de comprimento de arco (s (t) ) e possamos resolver esta função para (t ) como uma função de (s ). Podemos então reparameterizar a função original ( vecs r (t) ) substituindo a expressão por (t ) de volta em ( vecs r (t) ). A função com valor vetorial agora é escrita em termos do parâmetro (s ). Uma vez que a variável (s ) representa o comprimento do arco, chamamos isso de parametrização do comprimento do arco da função original ( vecs r (t) ). Uma vantagem de encontrar a parametrização do comprimento do arco é que a distância percorrida ao longo da curva a partir de (s = 0 ) agora é igual ao parâmetro (s ). A parametrização do comprimento do arco também aparece no contexto da curvatura (que examinaremos mais tarde nesta seção) e integrais de linha.

Exemplo ( PageIndex {2} ): Encontrando uma Parametrização de Comprimento de Arco

Encontre a parametrização do comprimento do arco para cada uma das seguintes curvas:

  1. ( vecs r (t) = 4 cos t , hat { mathbf {i}} + 4 sin t , hat { mathbf {j}}, quad t≥0 )
  2. ( vecs r (t) = ⟨t + 3,2t − 4,2t⟩, quad t≥3 )

Solução

  1. Primeiro encontramos a função de comprimento de arco usando a Equação ref {arclength2}:

    [ begin {align *} s (t) & = int_a ^ t ‖ vecs r ′ (u) ‖ , du [4pt] & = int_0 ^ t ‖⟨ − 4 sin u, 4 cos u⟩‖ , du [4pt] & = int_0 ^ t sqrt {(- 4 sin u) ^ 2 + (4 cos u) ^ 2} , du [4pt] & = int_0 ^ t sqrt {16 sin ^ 2 u + 16 cos ^ 2 u} , du [4pt] & = int_0 ^ t 4 , du = 4t, end {alinhar *} ]

  2. que dá a relação entre o comprimento do arco (s ) e o parâmetro (t ) como (s = 4t; ) então, (t = s / 4 ). Em seguida, substituímos a variável (t ) na função original ( vecs r (t) = 4 cos t , hat { mathbf {i}} + 4 sin t , hat { mathbf {j}} ) com a expressão (s / 4 ) para obter

    [ vecs r (s) = 4 cos left ( frac {s} {4} right) , hat { mathbf {i}} + 4 sin left ( frac {s} { 4} right) , hat { mathbf {j}}. enhum número]

    Esta é a parametrização do comprimento do arco de ( vecs r (t) ). Uma vez que a restrição original em (t ) foi dada por (t≥0 ), a restrição em s torna-se (s / 4≥0 ), ou (s≥0 ).
  3. A função de comprimento de arco é dada pela Equação ref {arclength2}:

    [ begin {align *} s (t) & = int_a ^ t ‖ vecs r ′ (u) ‖ , du [4pt] & = int_3 ^ t ‖⟨1,2,2⟩‖ , du [4pt] & = int_3 ^ t sqrt {1 ^ 2 + 2 ^ 2 + 2 ^ 2} , du [4pt] & = int_3 ^ t 3 , du [ 4pt] & = 3t - 9. end {align *} ]

    Portanto, a relação entre o comprimento do arco (s ) e o parâmetro (t ) é (s = 3t − 9 ), então (t = frac {s} {3} +3 ). Substituindo isso na função original ( vecs r (t) = ⟨t + 3,2t − 4,2t⟩ ) resulta

    [ vecs r (s) = ⟨ left ( frac {s} {3} +3 right) +3, , 2 left ( frac {s} {3} +3 right) −4 , , 2 left ( frac {s} {3} +3 right)⟩ = ⟨ frac {s} {3} +6, frac {2s} {3} +2, frac {2s} {3} + 6⟩. Não numérico ]

    Esta é uma parametrização de comprimento de arco de ( vecs r (t) ). A restrição original no parâmetro (t ) era (t≥3 ), então a restrição em (s ) é ((s / 3) + 3≥3 ), ou (s≥0 ).

Exercício ( PageIndex {2} )

Encontre a função de comprimento de arco para a hélice

[ vecs r (t) = ⟨3 cos t, 3 sin t, 4t⟩, quad t≥0. enhum número]

Então, use a relação entre o comprimento do arco e o parâmetro (t ) para encontrar uma parametrização do comprimento do arco de ( vecs r (t) ).

Dica

Comece encontrando a função de comprimento do arco.

Responder

(s = 5t ) ou (t = s / 5 ). Substituindo isso em ( vecs r (t) = ⟨3 cos t, 3 sin t, 4t⟩ ) dá

[ vecs r (s) = ⟨3 cos left ( frac {s} {5} right), 3 sin left ( frac {s} {5} right), frac {4s } {5}⟩, quad s≥0 nonumber ]

Curvatura

Um tópico importante relacionado ao comprimento do arco é a curvatura. O conceito de curvatura fornece uma maneira de medir a nitidez de uma curva suave. Um círculo tem curvatura constante. Quanto menor for o raio do círculo, maior será a curvatura.

Pense em dirigir em uma estrada. Suponha que a estrada esteja em um arco de um grande círculo. Nesse caso, você mal precisaria girar o volante para permanecer na estrada. Agora suponha que o raio seja menor. Nesse caso, você precisaria fazer uma curva mais brusca para permanecer na estrada. No caso de uma curva diferente de um círculo, muitas vezes é útil primeiro inscrever um círculo na curva em um determinado ponto de modo que seja tangente à curva naquele ponto e "abraça" a curva o mais próximo possível em um vizinhança do ponto (Figura ( PageIndex {1} )). A curvatura do gráfico nesse ponto é então definida para ser igual à curvatura do círculo inscrito.

Definição: curvatura

Seja (C ) uma curva suave no plano ou no espaço dado por ( vecs r (s) ), onde (s ) é o parâmetro do comprimento do arco. A curvatura (κ ) em (s ) é

[κ = bigg { |} dfrac {d vecs {T}} {ds} bigg { |} = ‖ vecs T ′ (s) ‖. ]

Visite este vídeo para obter mais informações sobre a curvatura de uma curva de espaço.

A fórmula na definição da curvatura não é muito útil em termos de cálculo. Em particular, lembre-se de que ( vecs T (t) ) representa o vetor tangente unitário para uma determinada função de valor vetorial ( vecs r (t) ), e a fórmula para ( vecs T (t) ) é

[ vecs T (t) = frac { vecs r ′ (t)} {∥ vecs r ′ (t) ∥}. ]

Para usar a fórmula da curvatura, é necessário primeiro expressar ( vecs r (t) ) em termos do parâmetro de comprimento do arco (s ), depois encontrar o vetor tangente unitário ( vecs T (s ) ) para a função ( vecs r (s) ), então tire a derivada de ( vecs T (s) ) em relação a (s ). Este é um processo tedioso.Felizmente, existem fórmulas equivalentes para curvatura.

Teorema: Fórmulas Alternativas de Curvatura

Se (C ) é uma curva suave dada por ( vecs r (t) ), então a curvatura (κ ) de (C ) em (t ) é dada por

[κ = dfrac {‖ vecs T ′ (t) ‖} {‖ vecs r ′ (t) ‖}. label {EqK2} ]

Se (C ) é uma curva tridimensional, então a curvatura pode ser dada pela fórmula

[κ = dfrac {‖ vecs r ′ (t) × vecs r ′ ′ (t) ‖} {‖ vecs r ′ (t) ‖ ^ 3}. label {EqK3} ]

Se (C ) é o gráfico de uma função (y = f (x) ) e ambos (y ′ ) e (y '' ) existem, então a curvatura (κ ) no ponto ((x, y) ) é dado por

[κ = dfrac {| y '' |} {[1+ (y ′) ^ 2] ^ {3/2}}. label {EqK4} ]

Prova

A primeira fórmula segue diretamente da regra da cadeia:

[ dfrac {d vecs {T}} {dt} = dfrac {d vecs {T}} {ds} dfrac {ds} {dt}, não numérico ]

onde (s ) é o comprimento do arco ao longo da curva (C ). Dividindo ambos os lados por (ds / dt ), e tomando a magnitude de ambos os lados dá

[ bigg { |} dfrac {d vecs {T}} {ds} bigg { |} = left lVert frac { vecs T ′ (t)} { dfrac {ds} { dt}} right rVert. nonumber ]

Uma vez que (ds / dt = ‖ vecs r t (t) ‖ ), isso dá a fórmula para a curvatura (κ ) de uma curva (C ) em termos de qualquer parametrização de (C ) :

[κ = dfrac {‖ vecs T ′ (t) ‖} {‖ vecs r ′ (t) ‖}. nonumber ]

No caso de uma curva tridimensional, começamos com as fórmulas ( vecs T (t) = ( vecs r ′ (t)) / ‖ vecs r ′ (t) ‖ ) e (ds / dt = ‖ vecs r ′ (t) ‖ ). Portanto, ( vecs r ′ (t) = (ds / dt) vecs T (t) ). Podemos tirar a derivada desta função usando a fórmula do produto escalar:

[ vecs r ″ (t) = dfrac {d ^ 2s} {dt ^ 2} vecs T (t) + dfrac {ds} {dt} vecs T ′ (t). nonumber ]

Usando essas duas últimas equações, obtemos

[ begin {align *} vecs r ′ (t) × vecs r ″ (t) & = dfrac {ds} {dt} vecs T (t) × bigg ( dfrac {d ^ 2s} {dt ^ 2} vecs T (t) + dfrac {ds} {dt} vecs T ′ (t) bigg) [4pt] & = dfrac {ds} {dt} dfrac {d ^ 2s} {dt ^ 2} vecs T (t) × vecs T (t) + ( dfrac {ds} {dt}) ^ 2 vecs T (t) × vecs T ′ (t). end {align *} ]

Uma vez que ( vecs T (t) × vecs T (t) = 0 ), isso se reduz a

[ vecs r ′ (t) × vecs r ′ ′ (t) = left ( dfrac {ds} {dt} right) ^ 2 vecs T (t) × vecs T ′ (t). enhum número]

Uma vez que ( vecs T ′ ) é paralelo a ( vecs N ), e ( vecs T ) é ortogonal a ( vecs N ), segue-se que ( vecs T ) e ( vecs T ′ ) são ortogonais. Isso significa que (‖ vecs T × vecs T′‖ = ‖ vecs T‖‖ vecs T′‖ sin (π / 2) = ‖ vecs T′‖ ), então

[ | vecs r ′ (t) × vecs r ″ (t) | = left ( dfrac {ds} {dt} right) ^ 2 ” vecs T ′ (t) ‖. nonumber ]

Agora resolvemos esta equação para (‖ vecs T ′ (t) ‖ ) e usamos o fato de que (ds / dt = ‖ vecs r ′ (t) ‖ ):

[‖ Vecs T ′ (t) ‖ = dfrac {‖ vecs r ′ (t) × vecs r ″ (t) ‖} {‖ vecs r ′ (t) ‖ ^ 2}. Nonumber ]

Em seguida, dividimos ambos os lados por (‖ vecs r ′ (t) ‖ ). Isto dá

[κ = dfrac {‖ vecs T ′ (t) ‖} {‖ vecs r ′ (t) ‖} = dfrac {‖ vecs r ′ (t) × vecs r ″ (t) ‖} {‖ Vecs r ′ (t) ‖ ^ 3}. Nonumber ]

Isso prova ( ref {EqK3} ). Para provar ( ref {EqK4} ), partimos do pressuposto de que a curva (C ) é definida pela função (y = f (x) ). Então, podemos definir ( vecs r (t) = x , hat { mathbf {i}} + f (x) , hat { mathbf {j}} + 0 , hat { mathbf {k}} ). Usando a fórmula anterior para curvatura:

[ begin {align *} vecs r ′ (t) & = , hat { mathbf {i}} + f ′ (x) , hat { mathbf {j}} [4pt] vecs r ″ (t) & = f ″ (x) , hat { mathbf {j}} [4pt] vecs r ′ (t) × vecs r ″ (t) & = begin { vmatrix} hat { mathbf {i}} & hat { mathbf {j}} & hat { mathbf {k}} 1 & f ′ (x) & 0 0 & f ″ (x ) & 0 end {vmatrix} = f ″ (x) , hat { mathbf {k}}. end {align *} ]

Portanto,

[κ = dfrac {‖ vecs r ′ (t) × vecs r ″ (t) ‖} {‖ vecs r ′ (t) ‖ ^ 3} = dfrac {| f ″ (x) |} {(1+ [f ′ (x)] ^ 2) ^ {3/2}} não numérico ]

Exemplo ( PageIndex {3} ): Encontrando a Curvatura

Encontre a curvatura para cada uma das seguintes curvas no ponto determinado:

  1. ( vecs r (t) = 4 cos t , hat { mathbf {i}} + 4 sin t , hat { mathbf {j}} + 3t , hat { mathbf { k}}, quad t = dfrac {4π} {3} )
  2. ( mathrm {f (x) = sqrt {4x − x ^ 2}, x = 2} )

Solução

  1. Esta função descreve uma hélice.

A curvatura da hélice em (t = (4π) / 3 ) pode ser encontrada usando ( ref {EqK2} ). Primeiro, calcule ( vecs T (t) ):

[ begin {align *} vecs T (t) & = dfrac { vecs r ′ (t)} {‖ vecs r ′ (t) ‖} [4pt] & = dfrac {⟨− 4 sin t, 4 cos t, 3⟩} { sqrt {(- 4 sin t) ^ 2 + (4 cos t) ^ 2 + 3 ^ 2}} [4pt] & = ⟨− dfrac {4} {5} sin t, dfrac {4} {5} cos t, dfrac {3} {5}⟩. end {align *} ]

A seguir, calcule ( vecs T ′ (t): )

[ vecs T ′ (t) = ⟨− dfrac {4} {5} cos t, - dfrac {4} {5} sin t, 0⟩. enhum número]

Por último, aplique ( ref {EqK2} ):

[ begin {align *} κ & = dfrac {‖ vecs T ′ (t) ‖} {‖ vecs r ′ (t) ‖} = dfrac {‖⟨− dfrac {4} {5} cos t, - dfrac {4} {5} sin t, 0⟩‖} {‖⟨ − 4 sin t, 4 cos t, 3⟩‖} [4pt] & = dfrac { sqrt {(- dfrac {4} {5} cos t) ^ 2 + (- dfrac {4} {5} sin t) ^ 2 + 0 ^ 2}} { sqrt {(- 4 sin t) ^ 2 + (4 cos t) ^ 2 + 3 ^ 2}} [4pt] & = dfrac {4/5} {5} = dfrac {4} {25}. end {align *} ]

A curvatura desta hélice é constante em todos os pontos da hélice.

  1. Esta função descreve um semicírculo.

Para encontrar a curvatura deste gráfico, devemos usar ( ref {EqK4} ). Primeiro, calculamos (y ′ ) e (y ″: )

[ begin {align *} y & = sqrt {4x − x ^ 2} = (4x − x ^ 2) ^ {1/2} [4pt] y ′ & = dfrac {1} {2 } (4x − x ^ 2) ^ {- 1/2} (4−2x) = (2 − x) (4x − x ^ 2) ^ {- 1/2} [4pt] y ″ & = - (4x − x ^ 2) ^ {- 1/2} + (2 − x) (- dfrac {1} {2}) (4x − x ^ 2) ^ {- 3/2} (4−2x) [4pt] & = - dfrac {4x − x ^ 2} {(4x − x ^ 2) ^ {3/2}} - dfrac {(2 − x) ^ 2} {(4x − x ^ 2) ^ {3/2}} [4pt] & = dfrac {x ^ 2−4x− (4−4x + x ^ 2)} {(4x − x ^ 2) ^ {3/2}} [4pt] & = - dfrac {4} {(4x − x ^ 2) ^ {3/2}}. end {align *} ]

Em seguida, aplicamos ( ref {EqK4} ):

[ begin {align *} κ & = dfrac {| y '' |} {[1+ (y ′) ^ 2] ^ {3/2}} [4pt] & = dfrac { bigg | - dfrac {4} {(4x − x ^ 2) ^ {3/2}} bigg |} { bigg [1 + ((2 − x) (4x − x ^ 2) ^ {- 1/2 }) ^ 2 bigg] ^ {3/2}} = dfrac { bigg | dfrac {4} {(4x − x ^ 2) ^ {3/2}} bigg |} { bigg [1+ dfrac {(2 − x) ^ 2} {4x − x ^ 2} bigg ] ^ {3/2}} [4pt] & = dfrac { bigg | dfrac {4} {(4x − x ^ 2) ^ {3/2}} bigg |} { bigg [ dfrac {4x − x ^ 2 + x ^ 2−4x + 4} {4x − x ^ 2} bigg] ^ {3/2}} = bigg | dfrac {4} {(4x − x ^ 2) ^ {3/2}} bigg | ⋅ dfrac {(4x − x ^ 2) ^ {3/2}} {8} [4pt] & = dfrac {1} {2}. end {align *} ]

A curvatura deste círculo é igual ao recíproco de seu raio. Há um pequeno problema com o valor absoluto em ( ref {EqK4} ); no entanto, uma análise mais detalhada do cálculo revela que o denominador é positivo para qualquer valor de (x ).

Exercício ( PageIndex {3} )

Encontre a curvatura da curva definida pela função

[y = 3x ^ 2−2x + 4 nonumber ]

no ponto (x = 2 ).

Dica

Use ( ref {EqK4} ).

Responder

(κ ; = frac {6} {101 ^ {3/2}} ≈0,0059 )

Os vetores normais e binormais

Vimos que a derivada ( vecs r ′ (t) ) de uma função de valor vetorial é um vetor tangente à curva definida por ( vecs r (t) ), e o vetor tangente unitário ( vecs T (t) ) pode ser calculado dividindo ( vecs r ′ (t) ) por sua magnitude. Ao estudar o movimento em três dimensões, dois outros vetores são úteis para descrever o movimento de uma partícula ao longo de um caminho no espaço: o vetor normal da unidade principal e o vetor binormal.

Definição: vetores binormais

Seja (C ) um tridimensional suave curva representada por ( vecs r ) ao longo de um intervalo aberto (I ). Se ( vecs T ′ (t) ≠ vecs 0 ), então o vetor normal da unidade principal em (t ) é definido como

[ vecs N (t) = dfrac { vecs T ′ (t)} {‖ vecs T ′ (t) ‖}. label {EqNormal} ]

O vetor binormal em (t ) é definido como

[ vecs B (t) = vecs T (t) × vecs N (t), label {EqBinormal} ]

onde ( vecs T (t) ) é o vetor tangente unitário.

Observe que, por definição, o vetor binormal é ortogonal ao vetor tangente unitário e ao vetor normal. Além disso, ( vecs B (t) ) é sempre um vetor unitário. Isso pode ser mostrado usando a fórmula para a magnitude de um produto vetorial.

[‖ Vecs B (t) ‖ = ‖ vecs T (t) × vecs N (t) ‖ = ‖ vecs T (t) ‖‖ vecs N (t) ‖ sin theta, ]

onde ( theta ) é o ângulo entre ( vecs T (t) ) e ( vecs N (t) ). Como ( vecs N (t) ) é a derivada de um vetor unitário, a propriedade (vii) da derivada de uma função com valor vetorial nos diz que ( vecs T (t) ) e ( vecs N (t) ) são ortogonais entre si, então ( theta = π / 2 ). Além disso, ambos são vetores unitários, então sua magnitude é 1. Portanto, (‖ vecs T (t) ‖‖ vecs N (t) ‖ sin theta = (1) (1) sin (π / 2) = 1 ) e ( vecs B (t) ) é um vetor unitário.

O cálculo do vetor normal unitário principal pode ser difícil porque o vetor tangente unitário envolve um quociente, e esse quociente geralmente tem uma raiz quadrada no denominador. No caso tridimensional, encontrar o produto vetorial do vetor tangente unitário e do vetor normal unitário pode ser ainda mais complicado. Felizmente, temos fórmulas alternativas para encontrar esses dois vetores, e eles são apresentados em Motion in Space.

Exemplo ( PageIndex {4} ): Encontrando o vetor normal da unidade principal e o vetor binormal

Para cada uma das seguintes funções com valor vetorial, encontre o vetor normal da unidade principal. Então, se possível, encontre o vetor binormal.

  1. ( vecs r (t) = 4 cos t , hat { mathbf {i}} - 4 sin t , hat { mathbf {j}} )
  2. ( vecs r (t) = (6t + 2) , hat { mathbf {i}} + 5t ^ 2 , hat { mathbf {j}} - 8t , hat { mathbf { k}} )

Solução

  1. Esta função descreve um círculo.

Para encontrar o vetor normal unitário principal, primeiro devemos encontrar o vetor tangente unitário ( vecs T (t): )

[ begin {align *} vecs T (t) & = dfrac { vecs r ′ (t)} {‖ vecs r ′ (t) ‖} [4pt]
& = dfrac {−4 sin t , hat { mathbf {i}} - 4 cos t , hat { mathbf {j}}} { sqrt {(- 4 sin t) ^ 2 + (- 4 cos t) ^ 2}} [4pt]
& = dfrac {−4 sin t , hat { mathbf {i}} - 4 cos t , hat { mathbf {j}}} { sqrt {16 sin ^ 2 t + 16 cos ^ 2 t}} [4pt]
& = dfrac {−4 sin t , hat { mathbf {i}} - 4 cos t , hat { mathbf {j}}} { sqrt {16 ( sin ^ 2 t + cos ^ 2 t)}} [4pt]
& = dfrac {−4 sin t , hat { mathbf {i}} - 4 cos t , hat { mathbf {j}}} {4} [4pt] & = - sin t , hat { mathbf {i}} - cos t , hat { mathbf {j}}. end {align *} ]

A seguir, usamos ( ref {EqNormal} ):

[ begin {align *} vecs N (t) & = dfrac { vecs T ′ (t)} {‖ vecs T ′ (t) ‖} [4pt] & = dfrac {- cos t , hat { mathbf {i}} + sin t , hat { mathbf {j}}} { sqrt {(- cos t) ^ 2 + ( sin t) ^ 2} } [4pt]
& = dfrac {- cos t , hat { mathbf {i}} + sin t , hat { mathbf {j}}} { sqrt { cos ^ 2 t + sin ^ 2 t }} [4pt]
& = - cos t , hat { mathbf {i}} + sin t , hat { mathbf {j}}. end {align *} ]

Observe que o vetor tangente unitário e o vetor normal unitário principal são ortogonais entre si para todos os valores de (t ):

[ begin {align *} vecs T (t) · vecs N (t) & = ⟨− sin t, - cos t⟩ · ⟨− cos t, sin t⟩ [4pt] & = sin t cos t− cos t sin t [4pt] & = 0. end {align *} ]

Além disso, o vetor normal da unidade principal aponta para o centro do círculo a partir de todos os pontos do círculo. Como ( vecs r (t) ) define uma curva em duas dimensões, não podemos calcular o vetor binormal.

  1. Esta função tem a seguinte aparência:

Para encontrar o vetor normal unitário principal, primeiro encontramos o vetor tangente unitário ( vecs T (t): )

[ begin {align *} vecs T (t) & = dfrac { vecs r ′ (t)} {‖ vecs r ′ (t) ‖} [4pt]
& = dfrac {6 , hat { mathbf {i}} + 10t , hat { mathbf {j}} - 8 , hat { mathbf {k}}} { sqrt {6 ^ 2+ (10t) ^ 2 + (- 8) ^ 2}} [4pt]
& = dfrac {6 , hat { mathbf {i}} + 10t , hat { mathbf {j}} - 8 , hat { mathbf {k}}} { sqrt {36+ 100t ^ 2 + 64}} [4pt]
& = dfrac {6 , hat { mathbf {i}} + 10t , hat { mathbf {j}} - 8 , hat { mathbf {k}}} { sqrt {100 ( t ^ 2 + 1)}} [4pt]
& = dfrac {3 , hat { mathbf {i}} - 5t , hat { mathbf {j}} - 4 , hat { mathbf {k}}} {5 sqrt {t ^ 2 + 1}} [4pt]
& = dfrac {3} {5} (t ^ 2 + 1) ^ {- 1/2} , hat { mathbf {i}} - t (t ^ 2 + 1) ^ {- 1/2 } , hat { mathbf {j}} - dfrac {4} {5} (t ^ 2 + 1) ^ {- 1/2} , hat { mathbf {k}}. end {align *} ]

Em seguida, calculamos ( vecs T ′ (t) ) e (‖ vecs T ′ (t) ‖ ):

[ begin {align *} vecs T ′ (t) & = dfrac {3} {5} (- dfrac {1} {2}) (t ^ 2 + 1) ^ {- 3/2} (2t) , hat { mathbf {i}} - ((t ^ 2 + 1) ^ {- 1/2} −t ( dfrac {1} {2}) (t ^ 2 + 1) ^ {−3/2} (2t)) , hat { mathbf {j}} - dfrac {4} {5} (- dfrac {1} {2}) (t ^ 2 + 1) ^ { -3/2} (2t) , hat { mathbf {k}} [4pt]
& = - dfrac {3t} {5 (t ^ 2 + 1) ^ {3/2}} , hat { mathbf {i}} - dfrac {1} {(t ^ 2 + 1) ^ {3/2}} , hat { mathbf {j}} + dfrac {4t} {5 (t ^ 2 + 1) ^ {3/2}} , hat { mathbf {k}} [4pt] ‖ vecs T ′ (t) ‖ & = sqrt { bigg (- dfrac {3t} {5 (t ^ 2 + 1) ^ {3/2}} bigg) ^ 2 + bigg (- dfrac {1} {(t ^ 2 + 1) ^ {3/2}} bigg) ^ 2 + bigg ( dfrac {4t} {5 (t ^ 2 + 1) ^ {3 / 2}} bigg) ^ 2} [4pt]
& = sqrt { dfrac {9t ^ 2} {25 (t ^ 2 + 1) ^ 3} + dfrac {1} {(t ^ 2 + 1) ^ 3} + dfrac {16t ^ 2} { 25 (t ^ 2 + 1) ^ 3}} [4pt]
& = sqrt { dfrac {25t ^ 2 + 25} {25 (t ^ 2 + 1) ^ 3}} [4pt]
& = sqrt { dfrac {1} {(t ^ 2 + 1) ^ 2}} [4pt]
& = dfrac {1} {t ^ 2 + 1}. end {align *} ]

Portanto, de acordo com ( ref {EqNormal} ):

[ begin {align *} vecs N (t) & = dfrac { vecs T ′ (t)} {‖ vecs T ′ (t) ‖} [4pt]
& = bigg (- dfrac {3t} {5 (t ^ 2 + 1) ^ {3/2}} , hat { mathbf {i}} - dfrac {1} {(t ^ 2 + 1) ^ {3/2}} , hat { mathbf {j}} + dfrac {4t} {5 (t ^ 2 + 1) ^ {3/2}} , hat { mathbf { k}} bigg) (t ^ 2 + 1) [4pt]
& = - dfrac {3t} {5 (t ^ 2 + 1) ^ {1/2}} , hat { mathbf {i}} - dfrac {5} {5 (t ^ 2 + 1) ^ {1/2}} , hat { mathbf {j}} + dfrac {4t} {5 (t ^ 2 + 1) ^ {1/2}} , hat { mathbf {k} } [4pt]
& = - dfrac {3t , hat { mathbf {i}} + 5 , hat { mathbf {j}} - 4t , hat { mathbf {k}}} {5 sqrt { t ^ 2 + 1}}. end {align *} ]

Mais uma vez, o vetor tangente unitário e o vetor normal unitário principal são ortogonais entre si para todos os valores de (t ):

[ begin {align *} vecs T (t) · vecs N (t) & = bigg ( dfrac {3 , hat { mathbf {i}} - 5t , hat { mathbf {j}} - 4 , hat { mathbf {k}}} {5 sqrt {t ^ 2 + 1}} bigg) · bigg (- dfrac {3t , hat { mathbf { i}} + 5 , hat { mathbf {j}} - 4t , hat { mathbf {k}}} {5 sqrt {t ^ 2 + 1}} bigg) [4pt]
& = dfrac {3 (−3t) −5t (−5) −4 (4t)} {25 (t ^ 2 + 1)} [4pt]
& = dfrac {−9t + 25t − 16t} {25 (t ^ 2 + 1)} [4pt]
& = 0. end {align *} ]

Por último, como ( vecs r (t) ) representa uma curva tridimensional, podemos calcular o vetor binormal usando ( ref {EqBinormal} ):

[ begin {align *} vecs B (t) & = ; vecs T (t) × vecs N (t) [4pt]
& = begin {vmatrix} hat { mathbf {i}} & hat { mathbf {j}} & hat { mathbf {k}} dfrac {3} {5 sqrt {t ^ 2 + 1}} & - dfrac {5t} {5 sqrt {t ^ 2 + 1}} & - dfrac {4} {5 sqrt {t ^ 2 + 1}} - dfrac {3t } {5 sqrt {t ^ 2 + 1}} & - dfrac {5} {5 sqrt {t ^ 2 + 1}} & dfrac {4t} {5 sqrt {t ^ 2 + 1}} end {vmatrix} [4pt]
& = bigg ( bigg (- dfrac {5t} {5 sqrt {t ^ 2 + 1}} bigg) bigg ( dfrac {4t} {5 sqrt {t ^ 2 + 1}} bigg) - bigg (- dfrac {4} {5 sqrt {t ^ 2 + 1}} bigg) bigg (- dfrac {5} {5 sqrt {t ^ 2 + 1}} bigg ) bigg) , hat { mathbf {i}}
& - bigg ( bigg ( dfrac {3} {5 sqrt {t ^ 2 + 1}} bigg) bigg ( dfrac {4t} {5 sqrt {t ^ 2 + 1}} bigg ) - bigg (- dfrac {4} {5 sqrt {t ^ 2 + 1}} bigg) bigg (- dfrac {3t} {5 sqrt {t ^ 2 + 1}} bigg) bigg) , hat { mathbf {j}}
& + bigg ( bigg ( dfrac {3} {5 sqrt {t ^ 2 + 1}} bigg) bigg (- dfrac {5} {5 sqrt {t ^ 2 + 1}} bigg) - bigg (- dfrac {5t} {5 sqrt {t ^ 2 + 1}} bigg) bigg (- dfrac {3t} {5 sqrt {t ^ 2 + 1}} bigg ) bigg) , hat { mathbf {k}} [4pt]
& = bigg ( dfrac {−20t ^ 2−20} {25 (t ^ 2 + 1)} bigg) , hat { mathbf {i}} + bigg ( dfrac {−15−15t ^ 2} {25 (t ^ 2 + 1)} bigg) , hat { mathbf {k}} [4pt]
& = −20 bigg ( dfrac {t ^ 2 + 1} {25 (t ^ 2 + 1)} bigg) , hat { mathbf {i}} −15 bigg ( dfrac {t ^ 2 + 1} {25 (t ^ 2 + 1)} bigg) , hat { mathbf {k}} [4pt]
& = - dfrac {4} {5} , hat { mathbf {i}} - dfrac {3} {5} , hat { mathbf {k}}. end {align *} ]

Exercício ( PageIndex {4} )

Encontre o vetor normal unitário para a função de valor vetorial ( vecs r (t) = (t ^ 2−3t) , hat { mathbf {i}} + (4t + 1) , hat { mathbf {j}} ) e avalie-o em (t = 2 ).

Dica

Primeiro, encontre ( vecs T (t) ), então use ( ref {EqNormal} ).

Responder

( vecs N (2) = dfrac { sqrt {2}} {2} (, hat { mathbf {i}} - , hat { mathbf {j}}) )

Para qualquer curva suave em três dimensões que é definida por uma função de valor vetorial, agora temos fórmulas para o vetor tangente unitário ( vecs T ), o vetor normal unitário ( vecs N ) e o vetor binormal ( vecs B ). O vetor normal unitário e o vetor binormal formam um plano perpendicular à curva em qualquer ponto da curva, denominado plano normal. Além disso, esses três vetores formam um quadro de referência no espaço tridimensional chamado de Quadro de referência Frenet (também chamado de TNB quadro) (Figura ( PageIndex {2} )). Por último, o plano determinado pelos vetores ( vecs T ) e ( vecs N ) forma o plano osculante de (C ) em qualquer ponto (P ) da curva.

Suponha que formemos um círculo no plano osculante de (C ) no ponto (P ) da curva. Suponha que o círculo tenha a mesma curvatura que a curva tem no ponto (P ) e deixe o círculo ter o raio (r ). Então, a curvatura do círculo é dada por ( frac {1} {r} ). Chamamos de (r ) o raio de curvatura da curva, e é igual ao recíproco da curvatura. Se este círculo está no lado côncavo da curva e é tangente à curva no ponto (P ), então este círculo é chamado de círculo osculante de (C ) em (P ), conforme mostrado na Figura ( PageIndex {3} ).

Para obter mais informações sobre círculos osculantes, consulte esta demonstração sobre curvatura e torção, este artigo sobre círculos osculantes e esta discussão sobre as fórmulas de Serret.

Para encontrar a equação de um círculo osculante em duas dimensões, precisamos encontrar apenas o centro e o raio do círculo.

Exemplo ( PageIndex {5} ): Encontrando a Equação de um Círculo Osculante

Encontre a equação do círculo osculante da curva definida pela função (y = x ^ 3−3x + 1 ) em (x = 1 ).

Solução

A Figura ( PageIndex {4} ) mostra o gráfico de (y = x ^ 3−3x + 1 ).

Primeiro, vamos calcular a curvatura em (x = 1 ):

[κ = dfrac {| f ″ (x) |} { bigg (1+ [f ′ (x)] ^ 2 bigg) ^ {3/2}} = dfrac {| 6x |} {( 1+ [3x ^ 2−3] ^ 2) ^ {3/2}}. ]

Isso resulta em (κ = 6 ). Portanto, o raio do círculo osculante é dado por (R = frac {1} {κ} = dfrac {1} {6} ). Em seguida, calculamos as coordenadas do centro do círculo. Quando (x = 1 ), a inclinação da reta tangente é zero. Portanto, o centro do círculo osculante está diretamente acima do ponto no gráfico com as coordenadas ((1, −1) ). O centro está localizado em ((1, - frac {5} {6}) ). A fórmula para um círculo com raio (r ) e centro ((h, k) ) é dada por ((x − h) ^ 2 + (y − k) ^ 2 = r ^ 2 ). Portanto, a equação do círculo osculante é ((x − 1) ^ 2 + (y + frac {5} {6}) ^ 2 = frac {1} {36} ). O gráfico e seu círculo osculante aparecem no gráfico a seguir.

Exercício ( PageIndex {5} )

Encontre a equação do círculo osculante da curva definida pela função de valor vetorial (y = 2x ^ 2−4x + 5 ) em (x = 1 ).

Dica

Use ( ref {EqK4} ) para encontrar a curvatura do gráfico, então desenhe um gráfico da função em torno de (x = 1 ) para ajudar a visualizar o círculo em relação ao gráfico.

Responder

(κ = frac {4} {[1+ (4x − 4) ^ 2] ^ {3/2}} )

No ponto (x = 1 ), a curvatura é igual a (4 ). Portanto, o raio do círculo osculante é ( frac {1} {4} ).

Um gráfico desta função aparece a seguir:

O vértice desta parábola está localizado no ponto ((1,3) ). Além disso, o centro do círculo osculante está diretamente acima do vértice. Portanto, as coordenadas do centro são ((1, frac {13} {4}) ). A equação do círculo osculante é

((x − 1) ^ 2 + (y− frac {13} {4}) ^ 2 = frac {1} {16} ).

Conceitos chave

  • A função de comprimento de arco para uma função de valor vetorial é calculada usando a fórmula integral ( displaystyle s (t) = int_a ^ b ‖ vecs r ′ (t) ‖ , dt ). Esta fórmula é válida em duas e três dimensões.
  • A curvatura de uma curva em um ponto em duas ou três dimensões é definida como a curvatura do círculo inscrito naquele ponto. A parametrização do comprimento do arco é utilizada na definição da curvatura.
  • Existem várias fórmulas diferentes para curvatura. A curvatura de um círculo é igual ao recíproco de seu raio.
  • O vetor normal da unidade principal em (t ) é definido como sendo

    [ vecs N (t) = dfrac { vecs T ′ (t)} {‖ vecs T ′ (t) ‖}. enhum número]

  • O vetor binormal em (t ) é definido como ( vecs B (t) = vecs T (t) × vecs N (t) ), onde ( vecs T (t) ) é o vetor tangente unitário.
  • O quadro de referência de Frenet é formado pelo vetor tangente unitário, o vetor normal unitário principal e o vetor binormal.
  • O círculo osculante é tangente a uma curva em um ponto e tem a mesma curvatura que a curva tangente naquele ponto.

Equações Chave

  • Comprimento do arco da curva do espaço
    (s = { displaystyle int _a ^ b} sqrt {[f ′ (t)] ^ 2+ [g ′ (t)] ^ 2+ [h ′ (t)] ^ 2} , dt = { displaystyle int _a ^ b} ‖ vecs r ′ (t) ‖ , dt )
  • Função de comprimento de arco
    (s (t) = { displaystyle int _a ^ t} sqrt {f ′ (u)) ^ 2+ (g ′ (u)) ^ 2+ (h ′ (u)) ^ 2} , du ; ou ; s (t) = { displaystyle int _a ^ t} ‖ vecs r ′ (u) ‖ , du )
  • (κ = frac {‖ vecs T ′ (t) ‖} {‖ vecs r ′ (t) ‖} ; ou ; κ = frac {‖ vecs r ′ (t) × vecs r ″ (T) ‖} {‖ vecs r ′ (t) ‖ ^ 3} ; ou ; κ = frac {| y ″ |} {[1+ (y ′) ^ 2] ^ {3/2 }} )
  • Vetor normal da unidade principal
    ( vecs N (t) = frac { vecs T ′ (t)} {‖ vecs T ′ (t) ‖} )
  • Vetor binormal
    ( vecs B (t) = vecs T (t) × vecs N (t) )

Glossário

função de comprimento de arco
uma função (s (t) ) que descreve o comprimento do arco da curva (C ) como uma função de (t )
parametrização do comprimento do arco
uma reparametrização de uma função de valor vetorial em que o parâmetro é igual ao comprimento do arco
vetor binormal
um vetor unitário ortogonal ao vetor tangente unitário e ao vetor normal unitário
curvatura
a derivada do vetor tangente unitário em relação ao parâmetro de comprimento de arco
Quadro de referência Frenet
(Quadro TNB) um quadro de referência no espaço tridimensional formado pelo vetor tangente unitário, o vetor normal unitário e o vetor binormal
plano normal
um plano que é perpendicular a uma curva em qualquer ponto da curva
círculo osculante
um círculo que é tangente a uma curva (C ) em um ponto (P ) e que compartilha a mesma curvatura
plano osculante
o plano determinado pela tangente unitária e o vetor normal unitário
vetor normal da unidade principal
um vetor ortogonal ao vetor tangente unitário, dado pela fórmula ( frac { vecs T ′ (t)} {‖ vecs T ′ (t) ‖} )
raio de curvatura
o recíproco da curvatura
suave
curvas onde a função de valor vetorial ( vecs r (t) ) é diferenciável com uma derivada diferente de zero

Introdução à matemática da relatividade geral

O matemática da relatividade geral é complexo. Nas teorias de movimento de Newton, o comprimento de um objeto e a taxa na qual o tempo passa permanecem constantes enquanto o objeto acelera, o que significa que muitos problemas na mecânica newtoniana podem ser resolvidos apenas pela álgebra. Na relatividade, no entanto, o comprimento de um objeto e a taxa em que o tempo passa mudam consideravelmente à medida que a velocidade do objeto se aproxima da velocidade da luz, o que significa que mais variáveis ​​e matemática mais complicada são necessárias para calcular o movimento do objeto. Como resultado, a relatividade requer o uso de conceitos como vetores, tensores, pseudotensores e coordenadas curvilíneas.

Para uma introdução baseada no exemplo de partículas seguindo órbitas circulares sobre uma grande massa, tratamentos não relativísticos e relativísticos são dados, respectivamente, em Motivações Newtonianas para Relatividade Geral e Motivação Teórica para Relatividade Geral.


12.4: Comprimento do Arco e Curvatura

Nesta seção, queremos discutir brevemente o curvatura de uma curva suave (lembre-se de que para uma curva suave exigimos ( vec r ' left (t right) ) é contínua e ( vec r' left (t right) ne 0 )) . A curvatura mede a velocidade com que uma curva muda de direção em um determinado ponto.

Existem várias fórmulas para determinar a curvatura de uma curva. A definição formal de curvatura é,

onde ( vec T ) é a unidade tangente e (s ) é o comprimento do arco. Lembre-se de que vimos na seção anterior como reparametrizar uma curva para colocá-la em termos de comprimento do arco.

Em geral, a definição formal da curvatura não é fácil de usar, portanto, existem duas fórmulas alternativas que podemos usar. Aqui estão eles.

Eles também podem não ser particularmente fáceis de lidar, mas pelo menos não precisamos reparametrizar a tangente unitária.

De volta à seção, quando introduzimos o vetor tangente, calculamos os vetores tangente e tangente unitária para esta função. Estes foram,

[começar vec r ' left (t right) & = left langle <1,3 cos t, - 3 sin t> right rangle vec T left (t right) & = left langle < frac <1> << sqrt <10> >>, frac <3> << sqrt <10> >> cos t, - frac <3> << sqrt <10> >> sin t> right rangle end]

A derivada da tangente unitária é,

[ vec T ' left (t right) = left langle <0, - frac <3> << sqrt <10> >> sin t, - frac <3> << sqrt <10> >> cos t> right rangle ]

As magnitudes dos dois vetores são,

Neste caso, a curvatura é constante. Isso significa que a curva está mudando de direção na mesma taxa em todos os pontos ao longo dela. Lembrando que essa curva é uma hélice, esse resultado faz sentido.

Nesse caso, a segunda forma de curvatura provavelmente seria a mais fácil. Aqui estão as primeiras derivadas.

[ vec r ' left (t right) = 2t , vec i + , vec k hspace <0.25in> hspace <0.25in> vec r' ' left (t right) = 2 , vec i ]

Em seguida, precisamos do produto cruzado.

A curvatura em qualquer valor de (t ) é então,

Há um caso especial que podemos examinar aqui também. Suponha que temos uma curva dada por (y = f left (x right) ) e queremos encontrar sua curvatura.

Como vimos quando vimos pela primeira vez as funções vetoriais, podemos escrever isso da seguinte maneira,

[ vec r left (x right) = x , vec i + f left (x right) vec j ]

Se usarmos a segunda fórmula para a curvatura, chegaremos à seguinte fórmula para a curvatura.


Seja r uma curva de espaço parametrizada pelo comprimento do arco s e com o vetor tangente unitário T . Se a curvatura κ de r em um certo ponto não for zero, então o vetor normal principal e o vetor binormal naquele ponto são os vetores unitários

respectivamente, onde o primo denota a derivada do vetor em relação ao parâmetro s. O torção τ mede a velocidade de rotação do vetor binormal no ponto dado. É encontrado a partir da equação

Observação: A derivada do vetor binormal é perpendicular ao binormal e à tangente, portanto, deve ser proporcional ao vetor normal principal. O sinal negativo é simplesmente uma questão de convenção: é um subproduto do desenvolvimento histórico do sujeito.

Relevância geométrica: A torção τ(s) mede a rotação do vetor binormal. Quanto maior a torção, mais rápido o vetor binormal gira em torno do eixo dado pelo vetor tangente (consulte as ilustrações gráficas). Na figura animada, a rotação do vetor binormal é claramente visível nos picos da função de torção.

  • Uma curva plana com curvatura permanente tem torção zero em todos os pontos. Inversamente, se a torção de uma curva regular com curvatura permanente for idêntica a zero, então essa curva pertence a um plano fixo.
  • A curvatura e a torção de uma hélice são constantes. Por outro lado, qualquer curva de espaço cuja curvatura e torção são constantes e diferentes de zero é uma hélice. A torção é positiva para uma hélice destra [1] e negativa para canhota.

Deixar r = r(t) ser a equação paramétrica de uma curva de espaço. Suponha que esta seja uma parametrização regular e que a curvatura da curva não desapareça. Analiticamente, r(t) é uma função três vezes diferenciável de t com valores em R 3 e os vetores

Então, a torção pode ser calculada a partir da seguinte fórmula:

Aqui, os primos denotam as derivadas em relação a t e a cruz denota o produto vetorial. Para r = (x, y, z), a fórmula em componentes é


Quando estou à beira da água e olho para o oceano, a que distância está o horizonte?

Uma das coisas mais engraçadas sobre o oceano é o fato de que sua superfície é curvado. Nossa tendência é pensar que a água forma grandes lâminas planas, mas a superfície de uma grande massa de água não é realmente plana - segue a curvatura da Terra.

Por causa da curvatura de nosso planeta, a distância entre você e o horizonte quando você olha para o oceano depende de sua altura acima da superfície da água. O diagrama a seguir mostra como a distância até o horizonte pode mudar dependendo do altura do observador:

Portanto, a distância até o horizonte depende da altura de seus olhos acima da água. Se seus olhos estão 20 cm acima da água, a distância do horizonte é de cerca de 1,6 km. Uma fórmula aproximada para calcular a distância até o horizonte é:

onde & quotaltura acima da superfície & quot é em pés e & quotdistance to horizon & quot is in miles. Se você tem 1,80 m de altura e está parado na beira da água, então seus olhos estão cerca de 1,5 m acima da superfície. A distância até o horizonte é:

Em métricas, o equivalente é:

onde & quotaltura acima da superfície & quot é em centímetros e & quotdistância ao horizonte & quot é em quilômetros.


12.4: Comprimento do Arco e Curvatura

Processamento Geométrico - Curvatura

Para começar: Clone este repositório e emita

Instalação, Layout e Compilação

Depois de construída, você pode executar a atribuição de dentro da construção / executando em uma determinada malha:

Nesta tarefa, exploramos grandezas de curvatura discretas calculadas em uma superfície. Essas quantidades nos fornecem informações locais sobre uma forma. Além de inspecionar a superfície (a extensão desta atribuição), essas quantidades se tornam os blocos de construção para:

  • definir energias para minimizar durante o alisamento / deformação,
  • identificar pontos salientes e curvas na forma, e
  • fornecer condições / restrições iniciais para remeshing.

A diferença fundamental entre um segmento na linha real e uma curva é a introdução da curvatura. Isso é bastante natural e intuitivo. Quando desenhamos um objeto 1D no plano ou no espaço, temos a liberdade de permitir que esse objeto se curve. Quantificamos esta "curvatura" localmente como curvatura.

A curvatura também é a diferença fundamental entre um pedaço (ou seja, sub-região) do Plano Euclidiano e uma superfície que foi imersa em (ou em outro lugar). Ao contrário das curvas, as superfícies podem dobrar em cada direção em qualquer ponto.

Começamos nossa discussão assumindo uma superfície lisa. Gostaríamos de categorizar os pontos na superfície em termos de como a superfície se dobra ou se curva localmente.

Curvatura das curvas planas

Vamos relembrar brevemente como a curvatura é definida para uma curva plana.

Existem várias definições equivalentes.

Podemos definir a direção tangente em um ponto como o limite da secante formada entre e outro ponto na curva conforme se aproxima:

É sempre possível, e muitas vezes conveniente, assumir sem perda de generalidade que é uma parametrização do comprimento do arco da curva de forma que e portanto o vetor tangente unitário seja simples.

De forma análoga, podemos considerar o limite da circunferência que atravessa e aponta e antes e depois dela na curva:

Este círculo limite é chamado de círculo osculante no ponto da curva. Por construção, a tangente da curva e o círculo combinam em: eles são os dois. O raio do círculo osculante no ponto é proporcional a quão reta é a curva localmente: conforme a curva se torna mais e mais reta, o raio tende para o infinito. Isso implica que o raio é inversamente proporcional à "curvatura" da curva. Portanto, o inverso do raio é denominado curvatura:

O raio é uma medida não negativa de comprimento com unidades metros, então a curvatura é um escalar não negativo com unidades 1 / metro. O raio do círculo osculante também pode ser escrito como um limite do raio circuncírculo:

Conectando nossa parametrização de comprimento de arco, isso revela que a curvatura (inverso do raio) é igual à magnitude da mudança na tangente ou, de forma equivalente, a magnitude da segunda derivada da curva:

Como escolhemos a parametrização do comprimento do arco, a única mudança no vetor tangente é uma mudança no direção (em oposição à magnitude, pois). Isso significa que a mudança - como um vetor em si - é ortogonal para a tangente. Em outras palavras, a mudança nos pontos tangentes ao longo da direção normal:

Se definirmos uma orientação para a nossa curva, podemos atribuir à curvatura um sinal com base no fato de o centro do círculo osculante estar no lado esquerdo ou direito da curva. Como já estabelecido, a tangente do círculo osculante e a curva concordam, de modo que o vetor que aponta em direção ao centro do círculo deve ser perpendicular à tangente: ou seja, nas direções normais positivas ou negativas.

Se a orientação concorda com o aumento do parâmetro do comprimento do arco, então o sinal pode ser determinado comparando o vetor da segunda derivada com a normal unitária. O curvatura sinalizada em um ponto é, portanto, dado por:

Essa definição está perfeitamente de acordo com nossa intuição de uma curva como a trajetória de um ponto em movimento. Imagine a curva formada ao se dirigir ao longo de uma determinada trajetória, onde realmente interpretamos como o tempo.

Enquanto corresponde ao seu vetor de velocidade e corresponde à sua velocidade, a (re-) parametrização do comprimento do arco corresponderia a ter seu amigo traçado novamente seu caminho viajando a uma velocidade perfeitamente uniforme, onde o "tempo" de seus amigos pode ser diferente do seu (pode demorar mais ou menos dependendo se você dirigiu rápido ou devagar).

Curvatura no caminho corresponde a girando e literalmente a quantidade pela qual seu amigo precisa virar o volante da posição "reta": em um curso reto, o volante permanece na posição de ângulo zero e a curvatura é zero, em um curso circular o volante é fixado em um ângulo constante na direção esquerda ou direita correspondendo à curvatura positiva ou negativa constante, respectivamente.

Mudar o volante muda o direção da velocidade do veículo. Para o seu amigo dirigindo em velocidade constante, este é o mudança admissível para a velocidade, portanto, a curvatura corresponde exatamente a e ao ângulo do volante.

Se alguém quiser fazer um gif inspirado no Sega Out Run, mostrando um volante girando ao lado de um pequeno carro traçando uma curva, ficarei muito impressionado.

A curvatura sinalizada integrada em torno de uma curva fechada deve ser um múltiplo inteiro de:

onde é um número inteiro chamado de "número de virada" da curva.

Isso é um pouco surpreendente à primeira vista. No entanto, no analogia do ponto móvel uma curva fechada corresponde a uma trajetória de período (por exemplo, dirigir em torno de uma pista de corrida). Depois de darmos a volta na pista, nossa direção de velocidade (por exemplo, a direção que o veículo está enfrentando) deve apontar na direção original. Isto é, durante o curso, o carro deu uma volta completa uma vez () ou girou tanto no sentido horário quanto no sentido anti-horário (por exemplo, em um curso da figura 8:), ou fez vários loops, etc.

No mundo discreto, se uma curva é representada como uma cadeia linear de segmentos, então é natural associar curvatura a vértices: os segmentos são planos e, portanto, não contêm curvatura.

Um análogo natural para a definição de curvatura como a derivada do vetor tangente (ou seja,) é definir curvatura discreta como a mudança na direção tangente entre segmentos discretos que se encontram em um vértice:

isto é, o assinado ângulo exterior no vértice.

O teorema do número de giro para curvas contínuas encontra um imediato analógico no caso discreto. Para um polígono fechado, os ângulos com sinais discretos devem somar a um múltiplo de para fechar:

Desta forma, nós preservar a estrutura encontrado no caso contínuo em nosso análogo discreto. Esta preservação da estrutura leva a uma compreensão do ângulo externo como uma aproximação ou análogo discreto do integrado localmente curvatura.

Alternativamente, poderíamos literalmente ajustar um círculo à curva discreta com base em amostras locais e curvatura aproximada como o raio inverso do círculo osculante. Esta medida de curvatura (em geral) não obedecerá ao teorema do número de giro, mas (conduzida corretamente) ela convergirá para os valores contínuos pontuais sob refinamento (por exemplo, conforme o comprimento do segmento encolhe).

Exploraremos esses dois conceitos para superfícies também: análogos discretos que preservam estruturas contínuas e discretizações que aproximam quantidades contínuas no limite.

Uma superfície pode ser curvada localmente de várias maneiras. Considere a diferença entre um pedaço de papel plano, uma bola de pingue-pongue esférica e um chip Pringles em forma de sela. O chip Pringles é o mais interessante porque ele se curva "para fora" em uma direção e "para dentro" em outra direção. Nesta seção, aprenderemos a distinguir e classificar os pontos em uma superfície com base em como ela se curva em cada direção.

A maneira mais simples de estender a curvatura que definimos para curvas planas a uma superfície é fatiar a superfície através de um determinado ponto com um plano que é paralelo à normal da superfície.

A intersecção (local) da superfície e do plano traçará uma curva, na qual podemos usar imediatamente a definição de curvatura plana acima.

Existem infinitos planos que passam por um determinado ponto e ficam paralelos a um determinado vetor normal: o plano pode girar em torno da normal por qualquer ângulo. Para cada escolha de, o plano definirá uma curva de interseção e, portanto, para cada ângulo, haverá um curvatura normal:

A curvatura normal requer a escolha de um ângulo, por isso não sacia nosso desejo de reduzir a "curvatura" a um único número em qualquer ponto da superfície. Uma maneira simples de reduzir esse espaço de curvaturas normais é, bem, fazer a média de todas as curvaturas normais possíveis. Isso define a curvatura média:

Curvatura máxima e mínima

Outra maneira óbvia de reduzir o espaço das curvaturas normais a um único número é considerar a curvatura normal máxima ou mínima sobre todas as opções de:

Coletivamente, estes são referidos como as curvaturas principais e, correspondentemente, os ângulos que maximizam e minimizam a curvatura são referidos como as direções da curvatura principal:

O teorema de Euler afirma que a curvatura normal é uma função bastante simples de e as curvaturas principais:

Existem duas consequências imediatas e importantes:

  1. as direções de curvatura principais (e) são ortogonais, e
  2. a curvatura média se reduz à média das curvaturas principais:

Para mais teoria e uma prova do teorema de Euler, recomendo "Elementary Differential Geometry" de Barret O'Neill, Capítulo 5.2.

As curvaturas máxima, mínima e média reduzem a curvatura a um único número, mas ainda não consegue (sozinho) distinguir entre os pontos situados em uma bola de pingue-pongue redonda, uma folha de papel plana, a lata Pringles cilíndrica e um chip Pringles em forma de sela.

O pescoço desse elefante de desenho animado - como um chip Pringles - se curva para dentro em uma direção (positiva) e para fora na outra direção (negativa).

Legenda da figura: curvatura máxima, mínima e gaussiana.

O produtos das curvaturas principais mantém a discordância em sinal que categoriza este comportamento de sela. Este produto é chamado de curvatura gaussiana:

Relação com a área de superfície

Ambas as curvaturas média e gaussiana têm relações significativas com a área de superfície.

Curvatura média como gradiente de área

Vamos considerar um problema aparentemente não relacionado, mas familiar. Suponha que gostaríamos de fluxo uma determinada superfície na direção que reduz sua área de superfície. Ou seja, gostaríamos de mover cada ponto da superfície na direção que minimiza a área da superfície.

A área de superfície de pode ser escrita como uma integral da densidade da unidade:

Existem muitas expressões que. Podemos escolher uma expressão que seja especialmente fácil de trabalhar. Ou seja, a pequena mudança na posição em relação a uma pequena mudança na posição é um vetor unitário.

A norma do gradiente é uma função não linear envolvendo raízes quadradas, mas como a magnitude é um, então a magnitude quadrada também é um (. Isso nos permite escrever a área de superfície como uma função quadrática de posições e familiarmente como a energia de Dirichlet :

Por abuso de notação, podemos dizer que é um funcional (função que recebe uma função como entrada) e mede a área da superfície da superfície definida pela função de embedding. Agora, vamos considerar a derivada funcional de em relação a. Este tipo especial de derivado pode ser escrito como:

onde está um arbitrário função. Ou seja, consideramos o limite de uma pequena perturbação da função de qualquer forma.

Podemos identificar esse limite considerando a derivada da magnitude da perturbação avaliada em zero:

Alimentando nossa definição de energia de Dirichlet, podemos começar a trabalhar com esta derivada:

Supondo que seja fechado (sem limite), a aplicação da identidade de Green nos deixa com:

Isso ainda nos deixa com uma expressão da derivada escrita como uma integral envolvendo essa função arbitrária. Gostaríamos de ter uma expressão mais compacta para avaliar em algum ponto de consulta na superfície.

Uma vez que isso deve ser verdadeiro para qualquer escolha de função de perturbação, podemos escolher ser uma função que está em toda parte no domínio, exceto na região próxima, onde faz um pequeno "salto" no máximo em. Uma vez que essa saliência pode ser arbitrariamente fina, podemos argumentar que pode ser fatorada a partir da integral acima (se em todos os lugares, exceto arbitrariamente perto de, então a integral apenas avalia em em):

Isso nos revela que o Laplaciano da função de incorporação indica a direção e a quantidade que a superfície deve se mover para diminuir a área da superfície.

O Laplaciano de uma função na superfície não depende da escolha de parametrização. É definido como a divergência do gradiente da função ou equivalentemente o traço de Hessian:

Se escolhermos generosamente e variarmos nas direções principais e acima. Neste caso, o Laplaciano da função posição reduz à soma das curvaturas principais vezes o normal (lembre-se da definição de curvatura normal):

onde é chamado de curvatura média normal vetor. Mostramos que a normal da curvatura média é igual a metade do Laplaciano da função de incorporação, que por sua vez é o gradiente da área de superfície.

Curvatura Gaussiana como distorção de área

Como o produto das curvaturas principais, a curvatura gaussiana mede zero sempre que uma (ou ambas) das curvaturas principais são zero. Intuitivamente, isso acontece apenas para superfícies que se curvam ou dobram em uma direção. Imagine enrolar uma folha de papel. Superfícies com curvatura gaussiana zero são chamadas superfícies desenvolvíveis porque o pode ser achatado (desenvolvido) no plano plano (da mesma forma que você pode desenrolar o pedaço de papel) sem alongamento ou cisalhamento. Como corolário, superfícies com curvatura Gaussiana diferente de zero não pode ser achatado ao plano sem esticar alguma parte.

Localmente, a curvatura gaussiana mede o quão longe de ser desenvolvível a superfície está: quanto a área local precisaria se esticar para se tornar plana.

Primeiro, apresentamos o mapa de Gauss, um mapa contínuo de todos os pontos da superfície até a esfera unitária de modo que, a unidade normal em.

Considere um pequeno remendo em uma superfície curva. A curvatura gaussiana pode ser definida de forma equivalente como o limite da razão entre a área da área varrido pela unidade normal no mapa de Gauss e a área do patch de superfície:

Vamos considerar diferentes tipos de regiões:

  • plano: porque o mapa de Gauss é um ponto,
  • cilíndrico: porque o mapa de Gauss é uma curva,
  • esférico: porque o mapa de Gauss manterá a área de varredura positiva, e
  • em forma de sela: porque a área no mapa de Gauss manterá opostamente área orientada (ou seja, do caso esférico).

Semelhante ao teorema do número de giro para curvas, existe um teorema análogo para superfícies afirmando que a curvatura gaussiana total deve ser um múltiplo inteiro de:

onde está a característica de Euler das superfícies (um topológico invariante da superfície revelando quantos orifícios a superfície tem).

Em total contraste com a curvatura média, este teorema nos diz que não podemos adicionar a curvatura gaussiana a uma superfície sem:

Uma vez que alterar a topologia da superfície exigiria uma deformação descontínua, adicionar e remover a curvatura gaussiana também deve equilibrar para deformações suaves. Isso explica simultaneamente por que um pano deve ter rugas ao ser colocado sobre uma mesa e por que uma bola de basquete murcha não fica esticada no chão.

Existe ainda outra maneira de chegar às curvaturas principal, média e gaussiana. Considere um ponto em uma superfície com vetor normal unitário. Se escolhermos um vetor tangente unitário (ou seja, para que), então podemos perguntar como a normal muda conforme nos movemos na direção ao longo da superfície:

nós chamamos o operador de forma no ponto . Assim como na definição de normal de curvatura, a normal de curvatura deve apontar na direção normal, o operador de forma toma como entrada um vetor tangente e produz outro vetor tangente (ou seja, a mudança na normal unitária deve ser tangencial à superfície não mudança pode ocorrer na própria direção normal).

Localmente, o espaço vetorial tangente é bidimensional estendido por vetores de base, de modo que podemos pensar no operador de forma como um mapeamento de para. Como um operador diferencial, o operador de forma é um operador linear. Isso significa que podemos representar sua ação em um vetor tangente como uma matriz:

Dadas e são as direções de curvatura principais (como vetores tangentes 2D unitários), podemos girar nosso quadro de coordenadas para alinhar e com as direções de curvatura principais. O operador de forma assume uma forma muito especial:

Considere por que os termos fora da diagonal são zero. Pense sobre o extremalidade das curvaturas principais.

Na verdade, conduzimos uma decomposição própria no operador de forma. Lendo essa progressão para trás, a decomposição própria do operador de forma expressa em qualquer base revelará:

  1. as curvaturas principais como os valores próprios, e
  2. as direções de curvatura principais como os vetores próprios.

Curvaturas discretas em superfícies

Curvatura média discreta normal via Laplace discreta

Agora estamos muito familiarizados com o Laplaciano discreto para malhas triangulares:

onde estão as matrizes de massa e cotangente, respectivamente.

Quando aplicado às posições dos vértices, este operador fornece uma aproximação pontual (ou melhor, média integral) da curvatura média normal:

Retirar a magnitude das linhas da matriz resultante daria o não assinado curvatura média. Para ter certeza de que o sinal é preservado, podemos verificar se cada linha em concorda ou discorda com as normais por vértice consistentemente orientadas em.

Esta conexão entre o operador de Laplace e a curvatura média normal fornece compreensão adicional para seu uso como um operador de suavização geométrica (consulte "Computing Discrete Minimal Surfaces and their Conjugates" [Pinkall e Polthier 1993]).

Curvatura Gaussiana discreta via defeito de ângulo

Em uma superfície discreta representada como uma malha triangular, a curvatura certamente não pode viver nas faces planas. Além disso, a curvatura gaussiana não pode viver ao longo das bordas porque sempre podemos desenvolve os triângulos em cada lado de uma borda do plano sem esticá-los. Na verdade, podemos desenvolver qualquer cadeia arbitrariamente longa de faces conectadas por arestas, desde que não forme um loop ou contenha todas as faces incidentes em um vértice. Isso sugere que a curvatura Gaussiana discreta (como curvatura para curvas) deve residir em vértices.

Usando a definição da curvatura gaussiana em termos da área no mapa de Gauss, faces planas correspondem a pontos no mapa de Gauss (não contribuindo com nada), as arestas correspondem a curvas sem área (traçadas por seus ângulos diédricos), mas os vértices correspondem a polígonos esféricos conectando os pontos normais da face. A área subtendida no mapa de Gauss é chamada de ângulo sólido. Convenientemente, esta área é simplesmente o defeito angular dos ângulos internos incidentes no -ésimo vértice contribuído por cada -ésima face incidente:

Assim, nosso análogo discreto de localmente integrado A curvatura gaussiana é dada como o defeito do ângulo no -ésimo vértice. A média integral local (ou pontualmente) a curvatura gaussiana discreta é o defeito do ângulo dividido pela área local associada ao -ésimo vértice:

Para fechar o mapa de Gauss, as superfícies poliédricas fechadas (ou seja, malhas) também obedecerão ao Gauss-Bonnet acima:

Podemos conectar isso à fórmula de Euler para poliedros em nossa primeira tarefa:

onde estão o número de vértices, arestas e faces respectivamente.

Aproximação e decomposição própria do operador de forma

Alternativamente, podemos aproximar todas as curvaturas de uma superfície ajustando localmente uma superfície analítica e lendo fora de seus valores de curvatura. Como os planos não têm curvatura, o tipo mais simples de superfície analítica que fornecerá um valor de curvatura não trivial é uma superfície quadrática.

Assim, o algoritmo procede da seguinte maneira. Para cada vértice da malha dada,

  1. reunir uma amostra de pontos nas proximidades. Para simplificar, vamos apenas pegar todos os outros vértices que compartilham uma aresta com ou compartilham uma aresta com um vértice que compartilha uma aresta com (ou seja, o "dois anéis" de). Para a maioria das malhas sensatas, isso fornecerá pontos suficientes. Reúna as posições desses pontos relativo para (ou seja,) em uma matriz.
  2. A seguir, vamos definir uma superfície quadrática como um campo de altura acima de algum plano bidimensional que passa. Idealmente, o plano é ortogonal ao normal em. Para encontrar tal plano, calcule a análise de componente principal de (ou seja, conduza a decomposição própria). Sejam os coeficientes para as duas direções principais (chame-as de direções - e -) correspondentes a cada ponto em, e seja a "altura" de cada ponto na direção menos principal (chame-a de - direção).
  3. Uma função quadrática como uma superfície de campo de altura passando pela origem é dada por:

Temos conjuntos de valores e valores. Trate isso como um problema de ajuste de mínimos quadrados e resolva para os 5 coeficientes desconhecidos. (igl :: pinv é bom para resolver isso de forma robusta).

  1. Cada elemento do operador de forma para o gráfico de uma função quadrática sobre o plano tem uma expressão de forma fechada. Você precisa derivá-los manualmente. Estou brincando. O operador de forma pode ser construído como o produto de duas matrizes:

conhecido como a segunda e a primeira forma fundamental, respectivamente. As entradas dessas matrizes categorizam o alongamento e a curvatura em cada direção:

Consulte a Tabela 1 de "Estimativa de quantidades diferenciais usando ajuste polinomial de jatos osculantes" [Cazals & amp Pouget 2003] para verificar se há erros de digitação :-).

A decomposição própria de revela as curvaturas principais e e as direcções principais da tangente (com base no PCA).

Levante as direções tangentes principais de volta às coordenadas mundiais.

Baixe o livro de Barret O'Neill. Este é o meu livro preferido de geometria diferencial. A seção sobre curvatura e o operador de forma deve ajudar a resolver questões e preencher as provas ausentes acima.

  • igl :: gaussian_curvature
  • igl :: internal_angles (ou qualquer uma das outras sobrecargas)
  • igl :: principal_curvatures
  • igl :: adjacency_matrix.h
  • igl :: cotmatrix
  • igl :: invert_diag
  • igl :: massmatrix
  • igl :: per_vertex_normals
  • igl :: pinv
  • igl :: slice
  • igl :: sort
  • igl :: squared_edge_lengths

Calcule a curvatura média discreta em cada vértice de uma malha (V, F) tomando a magnitude sinalizada da curvatura média normal como um pontualmente (ou média integral) quantidade.

Dado (ao quadrado) o comprimento das arestas de uma malha triangular, l_sqr calcula os ângulos internos em cada canto (também conhecido como cunha) da malha.

Calcule o defeito do ângulo discreto em cada vértice de uma malha de triângulo (V, F), ou seja, o integrado localmente curvatura gaussiana discreta.

Aproxime os valores da curvatura principal e as direções localmente, considerando a vizinhança de dois anéis de cada vértice na malha (V, F).


Problemas de continuidade

Conforme mencionado na discussão de B-rep, as arestas e faces de um sólido podem ser segmentos de curva e retalhos de superfície em vez de segmentos de linha e polígonos. No entanto, isso pode criar alguns problemas. Na figura mostrada abaixo, temos três manchas curvilíneas de um B-rep unindo-se. Dois segmentos de curva limite são mostrados em amarelo e branco encontrando-se em um vértice X. Sejam essas duas curvas descritas como f (u) e g (v), onde uev são valores nos intervalos [a, b] e [m, n], respectivamente. O problema é: como podemos ter certeza de que essas curvas se juntam de uma forma "suave".

Considere a "extremidade direita" da curva f (b) e a "extremidade esquerda" da curva g (m). Se f (b) e g (m) forem iguais como mostrado na figura acima, diremos que as curvas f () e g () são C 0 contínuas em f (b) = g (m). Se, para todo i k, as i-ésimas derivadas em f (b) e g (m) forem iguais, diremos que as curvas são C k contínuas no ponto f (b) = g (m). Intuitivamente, duas curvas são C 0 contínuas no ponto de junção se pudermos ir de uma curva para a outra sem cruzar uma lacuna porque essas duas curvas se conectam uma à outra. Duas curvas são C 1 contínuas no ponto de junção se a velocidade (isto é, a primeira derivada) não muda ao cruzar uma curva para a outra. Da mesma forma, duas curvas são C 2 contínuas no ponto de junção se, além da velocidade, a aceleração (isto é, a segunda derivada) também for a mesma ao cruzar uma curva para a outra. Portanto, C 1 contínuo é "mais suave" do que C 0 contínuo no ponto de união, C 2 contínuo é "mais suave" do que C 1 contínuo no ponto de união e assim por diante. Além disso, se as curvaturas das curvas no ponto de junção são iguais, diremos que são curvaturas contínuas no ponto de junção. Intuitivamente, duas curvas são curvaturas contínuas se a taxa de viragem for a mesma no ponto de junção, entretanto, as segundas derivadas podem não ser as mesmas no ponto de junção. Em outras palavras, curvatura contínua não garante C 2 contínua, mas C 2 contínua implica curvatura contínua. (Por que?)

É claro a partir da definição que se dois segmentos de curva são C k contínuos em f (b) = g (m), eles também são C i contínuos para todo i menor ou igual a k. Por outro lado, se as derivadas k-ésimas de dois segmentos de curva em seus pontos de junção não forem iguais, elas não podem ser C i contínuas para qualquer i maior ou igual a k.

Vamos dar uma olhada em um exemplo simples. A seguinte curva consiste em duas parábolas:

A seguir estão as informações necessárias para esta verificação:

Vamos calcular suas curvaturas:

Problemas com representações paramétricas

Conforme u (resp., V) muda de 0 para 1, f (u) (resp., G (v)) vai de A para B (resp., B para C). Os segmentos de reta f (u) e g (v) são obviamente C 0 contínuos no ponto de junção B. É C 1 contínuo?

É estranho? Sim, de fato, trata-se de um problema de parametrização. Se substituirmos os vetores de direção B - A e C - B por vetores de comprimento unitário e mudarmos o domínio dos parâmetros uev, este problema desaparecerá. Ou seja, as equações acima são alteradas para o seguinte:

Vejamos outro exemplo, onde PI é para 3,1415926 e uev estão na faixa de [0,1].

À medida que u se move de 0 para 1, f (u) traça a parte esquerda do semicírculo. Da mesma forma, à medida que v se move de 0 para 1, g (u) traça a parte direita do semicírculo. Esses dois têm um ponto de união, mostrado em vermelho, em (0,1,0) = f (1) = g (0). Temos o seguinte:

f '(u) = (PI u sin (u 2 PI / 2), PI u cos (u 2 PI / 2), 0)
f '' (u) = (PI 2 u 2 cos (u 2 PI / 2), -PI 2 u 2 sin (u 2 PI / 2), 0)
f '(u) & vezes f' '(u) = (0, 0, -PI 3 u 3)
| f '(u) | = PI u
| f '(u) & vezes f' '(u) | = PI 3 u 3
k (u) = 1

g '(v) = (PI v cos (v 2 PI / 2), -PI v sin (v 2 PI / 2), 0)
g '' (v) = (-PI 2 v 2 cos (v 2 PI / 2), -PI 2 v 2 cos (v 2 PI / 2), 0)
g '(v) & vezes g' '(v) = (0, 0, -PI 3 u 3)
| g '(v) | = PI v
| g '(v) & vezes g' '(v) | = PI 3 v 3
k (v) = 1

Vamos reparametrizar essas curvas (ou seja, alterar suas equações paramétricas sem alterar suas formas). Seja u 2 = p em f (u) e seja v 2 = q em g (v). As novas equações são:

f '(p) = ((PI / 2) sin (p PI / 2), (PI / 2) cos (p PI / 2), 0)
f '' (p) = ((PI / 2) 2 cos (p PI / 2), - (PI / 2) 2 sen (p PI / 2), 0)

g '(q) = ((PI / 2) cos (q PI / 2), - (PI / 2) sin (q PI / 2), 0)
g '' (q) = (- (PI / 2) 2 sin (q PI / 2), - (PI / 2) 2 cos (q PI / 2), 0)

f '(p) & vezes f' '(p) = g' (q) & vezes g '' (q) = (0, 0, - (PI / 2) 3)
| f '(p) & vezes f' '(p) | = | g '(q) & vezes g' '(q) | = (PI / 2) 3
| f '(p) | = | g '(q) | = PI / 2
k (p) = k (q) = 1

Parametrização do comprimento do arco

Deixe um segmento de curva ter comprimento s. Pode-se parametrizar essa curva de forma que f (u) seja o ponto com uma distância u do ponto inicial f (0), onde u está na faixa de 0 e s. Com essa parametrização do comprimento do arco, conforme u se move de 0 para s, f (u) se move na curva de f (0) para f (s) na mesma velocidade. Portanto, o vetor tangente que mede a velocidade é de comprimento unitário. Além disso, muitas fórmulas mostradas nesta página e nas páginas anteriores podem ser simplificadas.

Por que não usamos a parametrização do comprimento do arco para simplificar nosso cálculo? A resposta é bem simples. Embora a parametrização do comprimento do arco seja simples e elegante em teoria, é tediosa em computação e impraticável. Pode-se projetar facilmente uma curva em alguma parametrização útil, mas reparametrizá-la com o comprimento do arco às vezes é extremamente difícil. Ou seja, encontrar o comprimento do arco não é tarefa fácil, pois requer a integração de uma função que envolve o uso de raiz quadrada.

Portanto, embora a parametrização do comprimento do arco não possa causar problemas, não usaremos a parametrização do comprimento do arco.

Continuidade Geométrica

G. Neilson encontrou uma fórmula muito simples para a continuidade G 2 como segue:

Vamos usar um exemplo para ilustrar o resultado de Nielson. Considere os seguintes dois segmentos de parábola com ponto de união em (0, 1, 0):

A seguir estão os cálculos essenciais:

f '(u) = (2 u, 2 - 2 u, 0)
f '' (u) = (2, -2, 0)
f '(u) & vezes f' '(u) = (0, 0, -4)
| f '(u) | = 2 SQRT (1 - 2 u + 2 u 2)
| f '(u) & vezes f' '(u) | = 4
k (u) = 1 / (2 (1 - 2 u + 2 u 2) 1,5)

g '(v) = (2 - 2 v, -2 v, 0)
g '' (v) = (-2, -2, 0)
g '(v) & vezes g' '(v) = (0, 0, -4)
| g '(v) | = 2 SQRT (1 - 2 v + 2 v 2)
| g '(v) & vezes g' '(v) | = 4
k (v) = 1 / (2 (1 - 2 v + 2 v 2) 1,5)

Vamos verificar o G 2. Como as curvas são C 1, verificar G 2 é significativo. Uma vez que f '' (1) - g '' (0) = (4, 0, 0) é paralelo ao vetor tangente (2, 0, 0) no ponto de junção, esses dois segmentos de curva são G 2 contínuos no ponto de união (0, 1, 0).

Pela definição de G k, você poderia encontrar duas parametrizações, não necessariamente do tipo comprimento de arco, de forma que os segmentos reparametrizados são de C 2.


12.4: Comprimento do Arco e Curvatura

Nesta seção, vamos reformular uma fórmula antiga em termos de funções vetoriais. Queremos determinar o comprimento de uma função vetorial,

no intervalo (a le t le b ).

Na verdade, já sabemos como fazer isso. Lembre-se de que podemos escrever a função vetorial na forma paramétrica,

[x = f left (t right) hspace <0,25in> y = g left (t right) hspace <0,25in> z = h left (t right) ]

Além disso, lembre-se de que, com curvas paramétricas bidimensionais, o comprimento do arco é dado por,

Há uma extensão natural disso para três dimensões. Portanto, o comprimento da curva ( vec r left (t right) ) no intervalo (a le t le b ) é,

Há uma boa simplificação que podemos fazer para isso. Observe que o integrando (a função que estamos integrando) nada mais é do que a magnitude do vetor tangente,

Portanto, o comprimento do arco pode ser escrito como,

Precisamos primeiro do vetor tangente e sua magnitude.

[começar vec r ' left (t right) & = left langle <2,6 cos left (<2t> right), - 6 sin left (<2t> right)> right rangle left | < vec r ' left (t right)> right | & = sqrt <4 + 36 << cos> ^ 2> left (<2t> right) + 36 << sin> ^ 2> left (<2t> right)> = sqrt <4 + 36> = 2 sqrt <10> end]

Precisamos dar uma olhada rápida em outro conceito aqui. Nós definimos o função de comprimento de arco Como,

Antes de examinarmos por que isso pode ser importante, vamos dar um exemplo rápido.

Pelo exemplo anterior, sabemos que,

A função do comprimento do arco é, então,

Ok, por que faríamos isso? Bem, vamos pegar o resultado do exemplo acima e resolvê-lo para (t ).

Agora, pegando isso e conectando-o à função vetorial original e podemos reparametrizar a função na forma, ( vec r left ( certo)). Para nossa função, isso é,

Então, por que queremos fazer isso? Bem, com a reparametrização, agora podemos dizer onde estamos na curva depois de percorrer uma distância de (s ) ao longo da curva. Observe também que começaremos a medição da distância de onde estamos em (t = 0 ).

Para determinar isso, precisamos da reparametrização, que temos de cima.

Então, para determinar onde estamos, tudo o que precisamos fazer é conectar (s = frac << pi sqrt <10>>> <3> ) e obteremos nossa localização.

Então, depois de percorrer uma distância de ( frac << pi sqrt <10>>> <3> ) ao longo da curva, estamos no ponto ( left (< frac < pi> <3> , frac << 3 sqrt 3 >> <2>, frac <3> <2>> right) ).


Curvatura e raio de curvatura

Considere uma curva plana definida pela equação (y = f left (x right). ) Suponha que a linha tangente seja desenhada para a curva em um ponto (M left ( direita). ) A tangente forma um ângulo ( alpha ) com o eixo horizontal (Figura (1 text <).> )

No deslocamento ( Delta s ) ao longo do arco da curva, o ponto (M ) se move para o ponto (. ) A posição da reta tangente também muda: o ângulo de inclinação da tangente para o positivo (x- text) no ponto () será ( alpha + Delta alpha. ) Assim, conforme o ponto se move pela distância ( Delta s, ) a tangente gira pelo ângulo ( Delta alpha. ) (O o ângulo ( alpha ) deve aumentar ao girar no sentido anti-horário.)

O valor absoluto da relação ( large frac << Delta alpha >> << Delta s >> tamanho normal ) é chamado de curvatura média do arco (M. ) No limite como ( Delta s a 0, ) obtemos a curvatura da curva no ponto (M: )

Desta definição, segue-se que a curvatura em um ponto de uma curva caracteriza a velocidade de rotação da tangente da curva neste ponto.

Para uma curva plana dada pela equação (y = f left (x right), ) a curvatura em um ponto (M left ( right) ) é expresso em termos da primeira e segunda derivadas da função (f left (x right) ) pela fórmula

Se uma curva é definida na forma paramétrica pelas equações (x = x left (t right), ) (y = y left (t right), ) então sua curvatura em qualquer ponto (M deixou( right) ) é dado por

Se uma curva é dada pela equação polar (r = r left ( theta right), ) a curvatura é calculada pela fórmula

O raio de curvatura de uma curva em um ponto (M left ( right) ) é chamado de inverso da curvatura (K ) da curva neste ponto:

Portanto, para curvas planas dadas pela equação explícita (y = f left (x right), ) o raio de curvatura em um ponto (M left ( right) ) é dado pela seguinte expressão:


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