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Integração: A Função de Área (GeoGebra)



GeoGebra Tutorial 18 - Área sob uma curva e somas de Riemann

Este é o 18º tutorial da Série de tutoriais intermediários do GeoGebra. Se esta é a primeira vez que usa o GeoGebra, sugiro fortemente que você leia a série GeoGebra Essentials.

Neste tutorial, comparamos a área de um plano sob uma curva f(x) = x 2 delimitado pelo x-eixo, o eixo y e a linha x = 1 com a soma das áreas das partições retangulares sob os mesmos limites. Nós usamos o Slider ferramenta para aumentar o número de retângulos e observar como eles se relacionam com a área real.

Figura 1 - Área real e aproximada delimitada pela curva, o eixo x ex = 1

Se você deseja seguir este tutorial passo a passo, você pode abrir a janela do GeoGebra em seu navegador clicando aqui. Você pode ver a saída deste tutorial aqui.


IntegralBetween [& ltFunction & gt, & ltFunction & gt, & ltNumber & gt, & ltNumber & gt]

IntegralBetween [& ltFunction & gt, & ltFunction & gt, & ltVariable & gt, & ltNumber & gt, & ltNumber & gt]

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IntegralBetween [& ltFunction & gt, & ltFunction & gt, & ltVariable & gt, & ltNumber & gt, & ltNumber & gt]

Deixe-me tentar contar os resultados

Você pode clicar em mostrar miniaturas e ver rapidamente, mas nada se compara a tentar você mesmo.

IntegralBetween [& ltFunction & gt, & ltFunction & gt, & ltNumber & gt, & ltNumber & gt]

IntegralBetween [& ltFunction & gt, & ltFunction & gt, & ltVariable & gt, & ltNumber & gt, & ltNumber & gt]

Seu exemplo é direto. Eu entendo.

Integral Entre [tan (x), cot (x), 0, 2]

Mas diz: número indefinido

Estou me perguntando se o gráfico não é limitado (vai para o infinito) essa função funciona?

IntegralEntre [tan (x), cot (x), 0,0001, 1,57079] não é bom o suficiente para você?

As funções tangente e cotangente têm descontinuidades em pi / 2 e 0 / pi respectivamente. Daí a necessidade de seguir os números da magia matemática. Clique nas miniaturas para ver o código e o gráfico.

Obrigado, suas respostas são informativas. Eu sou capaz de integrar o tan (x) -cot (x)

A combinação de dois gráficos tem duas partes. A equação que todos vocês forneceram dá a parte limitada da resposta (como dois triângulos simétricos)

Existe uma maneira de colorir a parte da hipérbole na equação acima de y = 1 para cima?

Eu suponho que a equação integral calcula o gráfico entre dois exatamente igual à integração. Embora os resultados possam ser usados ​​para colorir, acho que pode haver outro comando no geogebra para colorir exatamente uma área que desejo focar. Esta área pode nem sempre coincidir com a integração.


Integração de função descontinuamente

Quero criar um applet para visualizar aos alunos o teorema fundamental do cálculo diferencial e integral. Eu criei uma função contínua e descontínua com aeb como variáveis ​​de integração. Infelizmente, para alguns aeb (por exemplo, a = 2, b = 2,5), há uma solução para a integral neste intervalo. Existe algum erro ou definição errada?

el teorema dado fundamental que si derivo el área bajo f (x) entonces obtengo f (x)

por otro lado el area es una funcion continua

não há contradição que haya primitivas que não sean continuas y por tanto no muestren el area

no escribas las funciones a trozos con if () anidados escribe h (x) = If (0 & # 8804 x & lt 1,5, (x - 2) & sup3 + 2 (x - 2) & sup2, 1,5 & lt x, (x - 2 ) & sup3 + 2 (x - 2) & sup2 - 0,5) entonces integral (h) te dar & aacute una funcion cuya derivada es h (x) pero no ser & aacute el & aacuterea

si quieres mostrar a área escribe las siguientes lineas en la barra de entrada

numericalIntegral1 = NSolveODE (, 0, <0>, 10)

p (x) = Function (Join (<< 0, 10>, y (First (numericalIntegral1, Length (numericalIntegral1)))>))

esta p (x) te mostrar & aacute el & aacuterea y te permitir & aacute hacer c & aacutelculos pero al ser un calculo numérico no te dar & aacute una expresi & oacuten del & aacuterea


Math Insight

O real definição de & lsquointegral & rsquo é como um limite de somas, que pode facilmente ser visto como tendo a ver com área. Um dos problemas originais que as integrais pretendiam abordar era o cálculo da área.

Primeiro, precisamos de mais notação. Suponha que temos uma função $ f $ cuja integral é outra função $ F $: $ int f (x) dx = F (x) + C $ Seja $ a, b $ dois números. Então o integral definida de $ f $ com limites $ a, b $ é $ int_a ^ b f (x) dx = F (b) -F (a) $ O lado esquerdo desta igualdade é apenas notação para a integral definida. O uso da palavra & lsquolimit & rsquo aqui tem pouco a ver com nosso uso anterior da palavra e significa algo mais como & lsquoboundary & rsquo, assim como no inglês comum.

Uma notação semelhante é escrever $ [g (x)] _ a ^ b = g (b) -g (a) $ para qualquer função $ g $. Portanto, também podemos escrever $ int_a ^ b f (x) dx = [F (x)] _ a ^ b $

Todas as outras integrais que fizemos anteriormente seriam chamadas integrais indefinidos uma vez que eles não tinham & lsquolimits & rsquo $ a, b $. Então um definido integral é apenas a diferença de dois valores da função dada por um indeterminado integrante. Ou seja, não há quase nada de novo aqui, exceto a ideia de avaliar a função que obtemos com a integração.

Mas agora nós posso fazer algo novo: computar áreas:

Por exemplo, se uma função $ f $ é positivo em um intervalo $ [a, b] $, então $ int_a ^ bf (x) dx = hbox <área entre o gráfico e $ x $ -axis, entre $ x = a $ e $ x = b $> $ É importante que a função seja positivo, ou o resultado é falso.

Por exemplo, uma vez que $ y = x ^ 2 $ é certamente sempre positivo (ou pelo menos não negativo, o que é realmente suficiente), a área & lsquounder a curva & rsquo (e, implicitamente, acima do eixo $ x $) entre $ x = 0 $ e $ x = 1 $ é apenas $ int_0 ^ 1 x ^ 2 dx = biggl [ biggr] _0 ^ 1 = <1 ^ 3-0 ^ 3 over 3> = <1 over 3> $

De forma geral, a área abaixo de $ y = f (x) $, acima de $ y = g (x) $, e entre $ x = a $ e $ x = b $ é começar hbox & amp = int_a ^ b f (x) -g (x) dx & amp = int _ < textit> ^ < textit> ( texto) dx end É importante que $ f (x) ge g (x) $ ao longo do intervalo $ [a, b] $.

Por exemplo, a área abaixo de $ y = e ^ x $ e acima de $ y = x $ e entre $ x = 0 $ e $ x = 2 $ é $ int_0 ^ 2 e ^ xx dx = biggl [e ^ x- biggr] _0 ^ 2 = (e ^ 2-2) - (e ^ 0-0) = e ^ 2 + 1 $ uma vez que realmente é verdade que $ e ^ x ge x $ no intervalo $ [0, 2] $.

Como uma pessoa pode estar se perguntando, em geral pode não ser tão fácil dizer se o gráfico de uma curva está acima ou abaixo de outra. O procedimento para examinar a situação é o seguinte: dadas duas funções $ f, g $, para encontrar os intervalos onde $ f (x) le g (x) $ e vice-versa:

  • Encontre onde os gráficos se cruzam resolvendo $ f (x) = g (x) $ para $ x $ para encontrar as coordenadas de $ x $ dos pontos de intersecção.
  • Entre quaisquer duas soluções $ x_1, x_2 $ de $ f (x) = g (x) $ (e também à esquerda e à direita das soluções mais à esquerda e mais à direita!), Conecte 1 ponto auxiliar de sua escolha para ver qual função é maior.

Claro, este procedimento funciona por um motivo semelhante que o teste de primeira derivada para mínimos e máximos locais funcionou: assumimos implicitamente que $ f $ e $ g $ são contínuo, então, se o gráfico de um está acima do gráfico do outro, a situação não pode marcha ré sem os gráficos, na verdade cruzando.

Como um exemplo, e como um exemplo de uma certa delicadeza de redação, considere o problema de encontre a área entre $ y = x $ e $ y = x ^ 2 $ com le x le 2 $. Para descobrir onde $ y = x $ e $ y = x ^ 2 $ cruzar, resolva $ x = x ^ 2 $: encontramos as soluções $ x = 0,1 $. No presente problema, não nos importamos com o que está acontecendo à esquerda de $. Conectando o valor $ 1/2 $ como ponto auxiliar entre $ e $ 1 $, obtemos $ <1 over 2> ge (<1 over 2>) ^ 2 $, então vemos que em $ [0,1 ] $ a curva $ y = x $ é a mais alta. À direita de $ 1 $, inserimos o ponto auxiliar $ 2 $, obtendo $ 2 ^ 2 ge 2 $, de modo que a curva $ y = x ^ 2 $ seja mais alta lá.

Portanto, a área entre as duas curvas deve ser dividida em duas partes: $ hbox = int_0 ^ 1 (xx ^ 2) dx + int_1 ^ 2 (x ^ 2-x) dx $ já que nós deve estar sempre integrado no formato $ int _ < textit> ^ < textit> hbox dx $

Em alguns casos, os limites & lsquoside & rsquo são redundantes ou apenas implícita. Por exemplo, a questão pode ser encontre a área entre as curvas $ y = 2-x $ e $ y = x ^ 2 $. O que está implícito aqui é que essas duas curvas encerram uma ou mais finito pedaços de área, sem a necessidade de quaisquer limites & lsquoside & rsquo da forma $ x = a $. Primeiro, precisamos ver onde as duas curvas se cruzam, resolvendo $ 2-x = x ^ 2 $: as soluções são $ x = -2,1 $. Então nós inferir que devemos encontrar a área de $ x = -2 $ a $ x = 1 $, e que as duas curvas fechar-se em torno deste pedaço de área sem qualquer necessidade de assistência das linhas verticais $ x = a $. Precisamos descobrir qual curva é mais alta: inserindo o ponto $ entre $ -2 $ e $ 1 $, vemos que $ y = 2-x $ é mais alto. Assim, a integral desejada é $ hbox = int_ <-2> ^ 1 (2-x) -x ^ 2 dx. $


Integração no mundo real

Estou trabalhando em um projeto simples para explicar aos alunos a importância da integração da aprendizagem (que é uma técnica importante no Cálculo). A ideia básica é esta, pegue um modelo de algo do mundo real, como um carro por exemplo, e encontre a área representada pelo modelo. Você pode falar sobre a importância de descobrir quanto custará o metal para fazer o carro, ou quanta tinta é necessária para cobrir o carro, etc. & # 8230

Veja como faremos isso na minha aula.

Primeiro, usamos nossa busca de imagens do Google para encontrar um modelo. Eu encontrei alguns ótimos modelos de http://carblueprints.info e decidido em um Ford Window Coupe 1931 como um exemplo. Não está claro para mim a licença dessas imagens, mas considerando que as estou usando exclusivamente para fins educacionais e que não há valor comercial no que estou fazendo, provavelmente não há problema em usá-las aqui.

Assim que obtive uma imagem, cortei-a um pouco e redimensionei-a. Isso foi para tornar mais conveniente incorporar em meu programa gráfico favorito, Geogebra. Você poderia facilmente usar qualquer programa gráfico aqui, ou até mesmo imprimir a imagem e fazer o resto do projeto no papel.

O próximo passo foi abrir o Geogebra e inserir a imagem. Muitos tutoriais sobre como fazer isso e colocar a imagem em segundo plano e, claro, as etapas irão variar dependendo do programa que você usar. Depois de ter a imagem no Geogebra, adicionei pontos ao redor da borda da imagem nas partes críticas do modelo. Basicamente, quero dividir as bordas do modelo em diferentes funções.

Depois de ter o ponto de coordenada, que são as coisas realmente difíceis de encontrar, agora você pode usar todos os tipos de técnicas para encontrar as funções. Por exemplo, para uma classe menos avançada, eles poderiam aproximar a forma dada usando linhas retas. Para uma classe mais avançada, eles poderiam usar linhas, círculos, polinômios, qualquer coisa para encontrar as funções que representam a forma das curvas.

Uma boa opção aqui é usar a ferramenta de regressão em uma calculadora gráfica ou disponível no Excel para encontrar as funções conforme apropriado.

Depois de ter as muitas funções que representam a forma, os alunos terão que encontrar os limites x das funções (o que deve ser fácil se eles registraram os pontos de coordenadas) e, em seguida, integrar cada função sobre os limites apropriados. Uma coisa que pode deixar os alunos paralisados ​​neste estágio é lembrar que se eles realmente quiserem encontrar a área ACIMA da curva, eles precisarão inverter sua função sobre o eixo x ou, mais facilmente, encontrar o valor absoluto de sua negativa responder pela integração dessa função.

Esta atividade também permite todos os tipos de diferenciação (em termos de pedagogia, não de cálculo!). Os alunos com dificuldades podem ser encorajados a escolher modelos mais fáceis para começar. Você também pode apontar que algumas áreas da forma podem ser melhor feitas usando a fórmula da área real em vez da integração ou, potencialmente, esse mesmo tipo de atividade pode ser usado em um nível muito mais baixo de matemática usando apenas a fórmula da área. Esses modelos representam excelentes exemplos de áreas compostas e seu realismo ajudará os alunos a reconhecer a relevância do que estão aprendendo.

Na verdade, não passei por todo o processo de integração em si. Vou usar essa atividade com meus alunos hoje e não quero dar tudo ainda! Espere que eu poste alguns exemplos de seus trabalhos quando eles terminarem.


GeoGebra em ambientes de e-learning: uma integração possível em matemática e além

Este trabalho diz respeito à definição de aplicações, denominadas GIFT (GeoGebra Interactive Formative Test), realizadas com o GeoGebra e integradas a uma plataforma de e-learning, permitindo a implementação de tarefas manipulativas e linguísticas. A natureza inovadora do GIFT consiste em acompanhar as manipulações dos alunos na plataforma e usar essas informações para projetar caminhos de aprendizagem personalizados com precisão. Um desses aplicativos permite a construção de frases e sua avaliação automática. Assim, permite colocar questões abertas cujas respostas podem ser construídas pelo aplicativo, sendo um novo recurso entre as questões fechadas, que possuem limites didáticos bem conhecidos, e as questões abertas, que colocam o problema da avaliação automática. Além disso, pode ser usado para melhorar o uso de registros letrados por meio da manipulação de ladrilhos digitais escolhidos, construídos e disponibilizados de maneira adequada. Por fim, podem ser integrados em tarefas que visam a construção da competência argumentativa dos alunos. Apresentamos os resultados preliminares de uma experimentação do GIFT em um estudo de caso envolvendo alunos de 10 graus do Ensino Médio.

Esta é uma prévia do conteúdo da assinatura, acesso por meio de sua instituição.


Maneiras de usar o Geogebra em uma sala de aula de matemática

Existem muitos programas de código aberto bons por aí, mas poucos deles têm aplicação direta em uma sala de aula de matemática da maneira Geogebra faz. Geogebra é um pacote de software para criar e manipular objetos geométricos. Também permite representar graficamente funções e manipulá-las de todas as maneiras interessantes. Ele é executado no framework Java, o que significa que se você tiver o Java instalado em seu computador, poderá executar o Geogebra, o que o torna qualquer sistema operacional habilitado para Java. Isso significa que o mesmo programa será executado no Windows, Mac, Linux ou Solaris, embora o instalador seja diferente para cada sistema operacional.

Se você está planejando usar o programa com seus alunos, é bom saber que eles podem instalar o programa gratuitamente e que provavelmente funcionará em seus computadores. A única ressalva é que você precisa se certificar de que os alunos têm a versão correta do Java instalada se eles tiverem problemas, pois às vezes isso pode ser um problema.

Geogebra possui todas as funções padrão do software de geometria. Você pode adicionar linhas, círculos, elipses e todos os outros tipos de funções geométricas ao documento. Você também pode tornar um objeto dependente de outro objeto, o que significa que as alterações no objeto original se propagam para seus objetos dependentes. Em outras palavras, se você desenhar um segmento de linha que depende da localização do ponto A e do ponto B, alterar o ponto A ou o ponto B modifica o segmento de linha.

Existem 2 coisas legais que eu gosto no Geogebra. A primeira é que você pode exportar seu arquivo de trabalho como uma planilha dinâmica em uma página da web, o que significa que você pode facilmente tornar o que está trabalhando pronto para a web. O segundo recurso que uso o tempo todo é a capacidade de exportar meu arquivo atual como uma imagem no formato PNG (e alguns outros). Isso me permite usar o Geogebra para criar gráficos para inclusão em minhas postagens online, algo que meus alunos e eu usamos o Geogebra o tempo todo.

Geogebra também tem um campo de texto de entrada, o que significa que cada comando que você pode usar a interface para entrar, você também pode digitar. Alguns comandos são feitos muito mais facilmente através do campo de texto de entrada, coisas como entrar y = x ^ 2 + 3x que usa a notação da natureza para representar graficamente uma função. Entrando Função [x ^ 2, 0, 2] representa graficamente a função sobre o domínio de 0 a 2 para x. Muito conveniente.

Usar o Geogebra com sua sala de aula é uma maneira acessível de trazer software de geometria de alta qualidade para sua sala de aula a um preço extremamente acessível (é grátis !!). Eu apenas arranhei a superfície do que o Geogebra é capaz de fazer, sugiro que você tente você mesmo. Talvez, quando tiver tempo, eu crie alguns tutoriais sobre como usá-lo.


Integração: A Função de Área (GeoGebra)

1. História do Integral desde o século XVII

O caminho para o desenvolvimento do integral é ramificado, onde descobertas semelhantes foram feitas simultaneamente por pessoas diferentes. A história da técnica que hoje é conhecida como integração começou com as tentativas de encontrar a área sob as curvas. As bases para a descoberta da integral foram lançadas pela primeira vez por Cavalieri, um matemático italiano, por volta de 1635. O trabalho de Cavalieri centrou-se na observação de que uma curva pode ser considerada esboçada por um ponto móvel e uma área a ser esboçada por uma linha móvel.

1.2 Método de Indivisíveis de Cavalieri

Para lidar com a noção geométrica de um ponto móvel, Cavalieri trabalhou com o que chamou de & quotindivisíveis & quot. Ou seja, se um ponto móvel pode ser considerado um esboço de curva, Cavalieri viu a curva como a soma de seus pontos. Por essa noção, cada curva é composta por um número infinito de pontos, ou & quotindivisíveis & quot. Da mesma forma, os & quotindivisíveis & quot que compunham uma área eram um número infinito de linhas. Embora Cavalieri não tenha sido a primeira pessoa a considerar as figuras geométricas em termos do infinitesimal (Kepler o fizera antes dele), ele foi o primeiro a usar tal noção no cálculo de áreas (Hooper 248-250).

Para introduzir o método de Cavalieri, considere encontrar a área de um triângulo. Por muitos anos, sabia-se que a área de um triângulo era & frac12 a área de um retângulo que tem a mesma base e altura.

Na Figura 1.1, o retângulo tem uma base de 6 unidades e uma altura de 5 unidades (A = bh, então a área total é de 30 unidades). A área total das regiões retangulares internas pode ser facilmente calculada pela soma de todos os retângulos internos. Comparando as duas áreas:

Usando a mesma metodologia, a razão para um retângulo maior com um número maior de subdivisões internas é calculada:

A área total das regiões internas é sempre metade da área do retângulo total. Isso pode ser mostrado formalmente usando a forma fechada da soma do numerador:

Utilizando o formulário fechado, pode-se constatar que:

Cavalieri deu agora um passo de grande importância para a formação do cálculo integral. Ele utilizou sua noção de "indivisíveis" para imaginar que havia um número infinito de regiões sombreadas. Ele viu que, à medida que as regiões sombreadas individuais se tornavam pequenas o suficiente para serem simplesmente linhas, os degraus irregulares definiam gradualmente uma linha. À medida que os degraus irregulares se tornavam uma linha, a região sombreada formaria um triângulo. À medida que o número de regiões sombreadas aumenta, a proporção permanece simplesmente pela metade.

A metodologia de Cavalieri concordou com o resultado de longa data de que a área de um triângulo era metade do produto da base e da altura. Ele também mostrou que sua noção de "indivisíveis" pode ser usada para descrever com sucesso a área abaixo da curva. Ou seja, conforme as áreas dos retângulos se transformam em linhas, sua soma de fato produz a área abaixo da curva (neste caso, uma linha). Cavalieri passou a usar seu método de & quotindivisíveis & quot para encontrar a área sob muitas curvas diferentes. No entanto, ele nunca foi capaz de formular suas técnicas em uma base logicamente consistente que outros aceitassem. Embora as técnicas de Cavalieri funcionassem claramente, não foi até Sir John Wallis da Inglaterra que o limite foi formalmente introduzido em 1656 e a base para o cálculo integral foi solidificada (Hooper 249-253).

Para entender completamente as contribuições de Wallis para o cálculo integral, é necessário primeiro ver como as técnicas teóricas de Cavalieri podem ser aplicadas para encontrar a área abaixo de uma curva mais complicada do que uma linha. Para isso, esta técnica será aplicada para encontrar a área abaixo da parábola.

Cada região retangular tem uma base de 1 unidade ao longo do eixo xe altura de x 2 (obtida a partir da definição da parábola). O número de regiões retangulares será definido como m. Cavalieri novamente tentou expressar a área abaixo da curva como a proporção de uma área que já era conhecida. Ele considerou a área envolvendo todos os retângulos m. Pode ser facilmente visto no diagrama que a base deste retângulo será m + 1 (existem m retângulos, o primeiro começando em & frac12 e o último terminando em m + & frac12). A altura do retângulo envolvente será de m 2, a partir da definição da parábola. A proporção agora pode ser expressa com a seguinte equação:

Lembre-se de que a área de um retângulo é definida pelo produto de sua base e altura. Foi afirmado que o retângulo delimitador tinha uma base de m + 1 e uma altura de m 2, o que explica o denominador. O numerador também é facilmente explicado: cada um dos m retângulos tem uma base de 1 e uma altura de seu valor x ao quadrado. Cavalieri passou a calcular a razão para diferentes valores de m. Ao fazer isso, ele percebeu um padrão e foi capaz de estabelecer uma forma fechada para a proporção das áreas:

Cavalieri então utilizou seu importante princípio de "indivisíveis" para dar outro salto importante no desenvolvimento do cálculo. Ele percebeu que à medida que aumentava o tamanho, o termo tinha menos influência no resultado do resultado. Em termos modernos, ele

Ou seja, à medida que ele permite que o número de retângulos cresça até o infinito, a proporção das áreas ficará mais próxima. Embora Cavalieri não tenha introduzido formalmente a notação para limites, ele utilizou a ideia no cálculo de áreas. Depois de usar o conceito de infinito para descrever as proporções da área, ele foi capaz de derivar uma expressão algébrica para a área abaixo da parábola. Para qualquer distância x ao longo do eixo x, a altura da parábola seria x 2. Portanto, a área do retângulo que envolve as subdivisões retangulares em um ponto x era igual a ou x 3. Pelo resultado anterior, a área abaixo da parábola é igual a 1/3 da área do retângulo delimitador. Em outras palavras:

Com essa técnica, Cavalieri estabeleceu o bloco de construção fundamental para a integração.

1.3 Lei de Wallis para Integração de Polinômios

A contribuição de John Wallis para o cálculo integral foi derivar uma lei algébrica para integração que aliviou a necessidade de passar por tal análise para cada curva. Examinando a relação entre uma função e a função que descreve sua área (doravante referida como a função de área), ele foi capaz de derivar uma lei algébrica para determinar funções de área. Em vez de simplesmente apresentar a relação algébrica (com a qual o leitor está sem dúvida familiarizado se ele estudou uma quantidade mínima de cálculo), faremos uma análise semelhante quanto ao que levou Wallis a derivar sua lei.

Primeiro, considere o gráfico da função y = k ou:

Claramente, pode ser visto no diagrama que a área abaixo da linha em qualquer ponto ao longo do eixo x será kx ou.

A seguir, considere o gráfico da função y = kx:

Em qualquer ponto x ao longo do eixo x, a altura será igual a kx. Como a área forma um triângulo, a área abaixo da curva pode ser expressa como & frac12 a base vezes a altura ou. Como já foi mostrado acima, a área sob uma parábola

y = kx 2, pode ser expresso como. Wallis notou uma relação algébrica entre uma função e sua função de área associada. Ou seja, a função de área de é. Wallis continuou, mostrando que isso não só é verdadeiro quando n é um número natural (que era a extensão do trabalho de Cavalieri), mas também funcionava para expoentes negativos e fracionários. Wallis também mostrou que a área abaixo de um polinômio composto de termos com diferentes expoentes (por exemplo) pode ser calculada usando sua lei em cada um dos termos independentemente (Hooper 255 - 260).

1.4 A Abordagem de Fermat para a Integração

Um dos primeiros usos principais das séries infinitas no desenvolvimento do cálculo veio do método de integração de Pierre De Fermat. Embora os métodos anteriores de integração tivessem usado a noção de linhas infinitas que descrevem uma área, Fermat foi o primeiro a usar séries infinitas em sua metodologia. O primeiro passo em seu método envolveu uma maneira única de descrever os retângulos infinitos que constituem a área sob uma curva.

Fermat percebeu que, ao dividir a área abaixo de uma curva em retângulos sucessivamente menores à medida que x se aproximava de zero, um número infinito de tais retângulos descreveria a área com precisão. Sua metodologia foi escolher um valor 0 & lt e & lt 1, de modo que um retângulo fosse formado abaixo da curva em cada potência de e vezes x (ver Figura 1.5, NOTA: e foi simplesmente a escolha de Fermat para nomes de variáveis, não e = 2.71828 ). Fermat então calculou cada área individualmente:

A primeira equação representa a área do maior retângulo, a segunda equação o próximo retângulo à esquerda e assim por diante. As áreas são encontradas simplesmente multiplicando a base pela altura. A base é conhecida pela potência de e e a altura avaliando no valor x fornecido. As simplificações de cada expressão de área são fornecidas de uma forma que será útil ao tentar encontrar a soma infinita. O próximo passo de Fermat foi calcular a soma infinita desses retângulos conforme a potência de e se aproximava do infinito.

Ao determinar a soma de cada série finita crescente, ele foi capaz de desenvolver uma expressão para a soma infinita.

Para encontrar uma forma fechada para a expressão

. observe que a soma é uma série geométrica da forma:

Se 0 & lt x & lt 1, a soma é (isso pode ser mostrado como verdadeiro dividindo longamente (1-x) em 1). Portanto, substituindo x e inserindo na equação geral, a área pode ser expressa como:

Fermat agora desejava expressar a área inteiramente em termos de x, e para fazê-lo substituir, que por simplificação e fatoração (1-E):

Fermat agora deu um passo que com o benefício do conhecimento atual é explicável, mas na época não era devidamente justificado. Ou seja, Fermat disse deixe E = 1 e desde e porque então e também deve ser igual a 1. Substituindo 1 por E na expressão de área acima:

Embora essa metodologia tenha produzido o resultado apropriado para a área abaixo da curva, a justificativa de Fermat de deixar E = 1 não foi formulada adequadamente. O que ele realmente estava fazendo era calcular o limite quando E se aproxima de 1 e quando E se aproxima de 1, e também o fará. Conforme e se aproxima de 1, então e elevado a qualquer potência também se aproxima de 1, e a soma infinita das áreas abaixo da curva foi determinada. A noção de um limite foi sugerida no trabalho de Fermat, mas não foi formalmente definida até mais tarde (Boyer 162 - 169).

O trabalho de Wallis e Fermat lançou as bases para o conceito moderno do integral. No entanto, o que Fermat e Wallis falharam em reconhecer foi a relação entre o diferencial e o integral. Essa ideia seria desenvolvida simultaneamente por dois homens: Newton e Leibniz. Mais tarde, isso seria conhecido como Teorema Fundamental do Cálculo e, como o nome indica, é uma descoberta marcante na história do Cálculo. No entanto, antes de prosseguir com a descrição deste importante teorema, é primeiro necessário examinar o desenvolvimento do diferencial.


Cálculo Ativo

Perguntas motivadoras

Como podemos usar integrais definidas para medir a área entre duas curvas?

Como decidimos se integrar em relação a (x ) ou em relação a (y ) quando tentamos encontrar a área de uma região?

Como uma integral definida pode ser usada para medir o comprimento de uma curva?

No início de nosso trabalho com a integral definida, aprendemos que para um objeto se movendo ao longo de um eixo, a área sob uma função de velocidade não negativa (v ) entre (a ) e (b ) nos diz que distância que o objeto percorreu naquele intervalo de tempo, e essa área é dada precisamente pela integral definida ( int_a ^ bv (t) , dt text <.> ) Em geral, para qualquer função não negativa (f ) em um intervalo ([a, b] text <,> ) ( int_a ^ bf (x) , dx ) mede a área limitada pela curva e o eixo (x ) - entre ( x = a ) e (x = b text <.> )

A seguir, exploraremos como integrais definidas podem ser usadas para representar outras propriedades fisicamente importantes. Na atividade de visualização 6.1.1, investigamos como uma única integral definida pode ser usada para representar a área entre duas curvas.

Atividade de visualização 6.1.1.

Considere as funções fornecidas por (f (x) = 5- (x-1) ^ 2 ) e (g (x) = 4-x text <.> )

Use a álgebra para encontrar os pontos onde os gráficos de (f ) e (g ) se cruzam.

Esboce um gráfico preciso de (f ) e (g ) nos eixos fornecidos, rotulando as curvas por nome e os pontos de interseção com pares ordenados.

Encontre e avalie exatamente uma expressão integral que representa a área entre (y = f (x) ) e o eixo (x ) no intervalo entre os pontos de interseção de (f ) e (g text <.> )

Encontre e avalie exatamente uma expressão integral que representa a área entre (y = g (x) ) e o eixo (x ) no intervalo entre os pontos de interseção de (f ) e (g text <.> )

Qual é a área exata entre (f ) e (g ) entre seus pontos de interseção? Por quê?

Subseção 6.1.1 A Área Entre Duas Curvas

Na atividade de visualização 6.1.1, vimos uma maneira natural de pensar sobre a área entre duas curvas: é a área abaixo da curva superior menos a área abaixo da curva inferior.

Exemplo 6.1.2.

Encontre a área limitada entre os gráficos de (f (x) = (x-1) ^ 2 + 1 ) e (g (x) = x + 2 text <.> )

Na Figura 6.1.3, vemos que os gráficos se cruzam em (0,2) ) e (3,5) text <.> ) Podemos encontrar esses pontos de intersecção algebricamente resolvendo o sistema de equações dado por (y = x + 2 ) e (y = (x-1) ^ 2 + 1 text <:> ) substituindo (x + 2 ) por (y ) na segunda equação produz (x + 2 = (x-1) ^ 2 + 1 text <,> ) então (x + 2 = x ^ 2 - 2x + 1 + 1 text <,> ) e assim

do que se segue que (x = 0 ) ou (x = 3 text <.> ) Usando (y = x + 2 text <,> ) encontramos o correspondente (y ) - valores dos pontos de intersecção.

No intervalo ([0,3] text <,> ) a área abaixo de (g ) é

enquanto a área sob (f ) no mesmo intervalo é

Assim, a área entre as curvas é

Também podemos pensar na área da seguinte maneira: se fatiarmos a região entre duas curvas em retângulos verticais finos (no mesmo espírito que originalmente fatiamos a região entre uma única curva e o eixo (x ) na Seção 4.2 ), vemos (como mostrado na Figura 6.1.4) que a altura de um retângulo típico é dada pela diferença entre as duas funções, (g (x) - f (x) text <,> ) e seus largura é ( Delta x text <.> ) Portanto, a área do retângulo é

A área entre as duas curvas em ([0,3] ) é, portanto, aproximada pela soma de Riemann

e como deixamos (n a infty text <,> ) segue-se que a área é dada pela única integral definida

Em muitas aplicações da integral definida, acharemos útil pensar em uma “fatia representativa” e usar a integral definida para adicionar essas fatias. Aqui, a integral soma as áreas de retângulos finos.

Finally, it doesn't matter whether we think of the area between two curves as the difference between the area bounded by the individual curves (as in (6.1.1)) or as the limit of a Riemann sum of the areas of thin rectangles between the curves (as in (6.1.2)). These two results are the same, since the difference of two integrals is the integral of the difference:

Our work so far in this section illustrates the following general principle.

If two curves (y = g(x)) and (y = f(x)) intersect at ((a,g(a))) and ((b,g(b)) ext<,>) and for all (x) such that (a le x le b ext<,>) (g(x) ge f(x) ext<,>) then the area between the curves is (A = int_a^b (g(x) - f(x)) , dx ext<.>)

Activity 6.1.2 .

In each of the following problems, our goal is to determine the area of the region described. For each region, (i) determine the intersection points of the curves, (ii) sketch the region whose area is being found, (iii) draw and label a representative slice, and (iv) state the area of the representative slice. Then, state a definite integral whose value is the exact area of the region, and evaluate the integral to find the numeric value of the region's area.

The finite region bounded by (y = sqrt) and (y = frac<1><4>x ext<.>)

The finite region bounded by (y = 12-2x^2) and (y = x^2 - 8 ext<.>)

The area bounded by the (y)-axis, (f(x) = cos(x) ext<,>) and (g(x) = sin(x) ext<,>) where we consider the region formed by the first positive value of (x) for which (f) and (g) intersect.

The finite regions between the curves (y = x^3-x) and (y = x^2 ext<.>)

Subsection 6.1.2 Finding Area with Horizontal Slices

At times, the shape of a region may dictate that we use horizontal rectangular slices, instead of vertical ones.

Example 6.1.5 .

Find the area of the region bounded by the parabola (x = y^2 - 1) and the line (y = x-1 ext<,>) shown at left in Figure 6.1.6.

By solving the second equation for (x) and writing (x = y + 1 ext<,>) we find that (y+1 = y^2 - 1 ext<.>) Hence the curves intersect where (y^2 - y - 2 = 0 ext<.>) Thus, we find (y = -1) or (y = 2 ext<,>) so the intersection points of the two curves are ((0,-1)) and ((3,2) ext<.>)

If we attempt to use vertical rectangles to slice up the area (as in the center graph of Figure 6.1.6), we see that from (x = -1) to (x = 0) the curves that bound the top and bottom of the rectangle are one and the same. This suggests, as shown in the rightmost graph in the figure, that we try using horizontal rectangles.

Note that the width of a horizontal rectangle depends on (y ext<.>) Between (y = -1) and (y = 2 ext<,>) the right end of a representative rectangle is determined by the line (x = y+1 ext<,>) and the left end is determined by the parabola, (x = y^2-1 ext<.>) The thickness of the rectangle is (Delta y ext<.>)

Therefore, the area of the rectangle is

and the area between the two curves on the (y)-interval ([-1,2]) is approximated by the Riemann sum

Taking the limit of the Riemann sum, it follows that the area of the region is

We emphasize that we are integrating with respect to (y ext<>) this is because we chose to use horizontal rectangles whose widths depend on (y) and whose thickness is denoted (Delta y ext<.>) It is a straightforward exercise to evaluate the integral in Equation (6.1.3) and find that (A = frac<9><2> ext<.>)

Just as with the use of vertical rectangles of thickness (Delta x ext<,>) we have a general principle for finding the area between two curves, which we state as follows.

If two curves (x = g(y)) and (x = f(y)) intersect at ((g(c),c)) and ((g(d),d) ext<,>) and for all (y) such that (c le y le d ext<,>) (g(y) ge f(y) ext<,>) then the area between the curves is

Activity 6.1.3 .

In each of the following problems, our goal is to determine the area of the region described. For each region, (i) determine the intersection points of the curves, (ii) sketch the region whose area is being found, (iii) draw and label a representative slice, and (iv) state the area of the representative slice. Then, state a definite integral whose value is the exact area of the region, and evaluate the integral to find the numeric value of the region's area. Note well: At the step where you draw a representative slice, you need to make a choice about whether to slice vertically or horizontally.

The finite region bounded by (x=y^2) and (x=6-2y^2 ext<.>)

The finite region bounded by (x=1-y^2) and (x = 2-2y^2 ext<.>)

The area bounded by the (x)-axis, (y=x^2 ext<,>) and (y=2-x ext<.>)

The finite regions between the curves (x=y^2-2y) and (y=x ext<.>)

Subsection 6.1.3 Finding the length of a curve

We can also use the definite integral to find the length of a portion of a curve. We use the same fundamental principle: we slice the curve up into small pieces whose lengths we can easily approximate. Specifically, we subdivide the curve into small approximating line segments, as shown at left in Figure 6.1.7.

We estimate the length (L_ < ext>) of each portion of the curve on a small interval of length (Delta x ext<.>) We use the right triangle with legs parallel to the coordinate axes and hypotenuse connecting the endpoints of the slice, as seen at right in Figure 6.1.7. The length, (h ext<,>) of the hypotenuse approximates the length, (L_ < ext> ext<,>) of the curve between the two selected points. Desse modo,

Next we use algebra to rearrange the expression for the length of the hypotenuse into a form that we can integrate. By removing a factor of ((Delta x)^2 ext<,>) we find

Then, as (n o infty) and (Delta x o 0 ext<,>) we have that (frac o frac = f'(x) ext<.>) Thus, we can say that

Taking a Riemann sum of all of these slices and letting (n o infty ext<,>) we arrive at the following fact.

Given a differentiable function (f) on an interval ([a,b] ext<,>) the total arc length, (L ext<,>) along the curve (y = f(x)) from (x = a) to (x = b) is given by

Activity 6.1.4 .

Each of the following questions somehow involves the arc length along a curve.

Use the definition and appropriate computational technology to determine the arc length along (y = x^2) from (x = -1) to (x = 1 ext<.>)

Find the arc length of (y = sqrt<4-x^2>) on the interval (-2 le x le 2 ext<.>) Find this value in two different ways: (a) by using a definite integral, and (b) by using a familiar property of the curve.

Determine the arc length of (y = xe^<3x>) on the interval ([0,1] ext<.>)

Will the integrals that arise calculating arc length typically be ones that we can evaluate exactly using the First FTC, or ones that we need to approximate? Why?

A moving particle is traveling along the curve given by (y = f(x) = 0.1x^2 + 1 ext<,>) and does so at a constant rate of 7 cm/sec, where both (x) and (y) are measured in cm (that is, the curve (y = f(x)) is the path along which the object actually travels the curve is not a “position function”). Find the position of the particle when (t = 4) sec, assuming that when (t = 0 ext<,>) the particle's location is ((0,f(0)) ext<.>)

Subsection 6.1.4 Summary

To find the area between two curves, we think about slicing the region into thin rectangles. If, for instance, the area of a typical rectangle on the interval (x = a) to (x = b) is given by (A_ < ext> = (g(x) - f(x)) Delta x ext<,>) then the exact area of the region is given by the definite integral

The shape of the region usually dictates whether we should use vertical rectangles of thickness (Delta x) or horizontal rectangles of thickness (Delta y ext<.>) We want the height of the rectangle given by the difference between two curves: if those curves are best thought of as functions of (y ext<,>) we use horizontal rectangles, whereas if those curves are best viewed as functions of (x ext<,>) we use vertical rectangles.

The arc length, (L ext<,>) along the curve (y = f(x)) from (x = a) to (x = b) is given by


Assista o vídeo: cálculo de áreas de curvas funções pelo geogebra (Outubro 2021).