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4.3: Funções Quadráticas - Matemática


Habilidades para desenvolver

  • Reconheça as características das parábolas.
  • Entenda como o gráfico de uma parábola está relacionado à sua função quadrática.
  • Determine o valor mínimo ou máximo de uma função quadrática.
  • Resolva problemas envolvendo o valor mínimo ou máximo de uma função quadrática.

Antenas curvas, como as mostradas na Figura ( PageIndex {1} ), são comumente usadas para focalizar microondas e ondas de rádio para transmitir sinais de televisão e telefone, bem como comunicação de satélite e espaçonave. A seção transversal da antena tem a forma de uma parábola, que pode ser descrita por uma função quadrática.

Figura ( PageIndex {1} ): Uma variedade de antenas parabólicas. (crédito: Matthew Colvin de Valle, Flickr)

Nesta seção, investigaremos funções quadráticas, que freqüentemente modelam problemas envolvendo área e movimento de projéteis. Trabalhar com funções quadráticas pode ser menos complexo do que trabalhar com funções de grau superior, portanto, elas fornecem uma boa oportunidade para um estudo detalhado do comportamento da função.

Reconhecendo as características das parábolas

O gráfico de uma função quadrática é uma curva em forma de U chamada parábola. Uma característica importante do gráfico é que ele tem um ponto extremo, chamado de vértice. Se a parábola se abrir, o vértice representa o ponto mais baixo do gráfico, ou o valor minimo da função quadrática. Se a parábola abrir para baixo, o vértice representa o ponto mais alto do gráfico, ou o valor máximo. Em ambos os casos, o vértice é um ponto de viragem no gráfico. O gráfico também é simétrico com uma linha vertical desenhada através do vértice, chamada de eixo de simetria. Esses recursos são ilustrados na Figura ( PageIndex {2} ).

Figura ( PageIndex {2} ): Gráfico de uma parábola mostrando onde estão as interceptações (x ) e (y ), vértice e eixo de simetria.

A interceptação (y ) - é o ponto em que a parábola cruza o eixo (y ). As interceptações (x ) - são os pontos nos quais a parábola cruza o eixo (x ). Se eles existirem, os (x ) - interceptações representam o zeros, ou raízes, da função quadrática, os valores de (x ) em que (y = 0 ).

Exemplo ( PageIndex {1} ): Identificando as características de uma parábola

Determine o vértice, eixo de simetria, zeros e (y ) - interceptação da parábola mostrada na Figura ( PageIndex {3} ).

Figura ( PageIndex {3} ).

Solução

O vértice é o ponto de inflexão do gráfico. Podemos ver que o vértice está em ((3,1) ). Como essa parábola se abre para cima, o eixo de simetria é a linha vertical que cruza a parábola no vértice. Portanto, o eixo de simetria é (x = 3 ). Esta parábola não cruza o eixo (x ) - portanto, não tem zeros. Ele cruza o eixo (y ) em ((0,7) ), então esta é a interceptação (y ).

Compreendendo como os gráficos das parábolas estão relacionados às suas funções quadráticas

O forma geral de uma função quadrática apresenta a função no formulário

[f (x) = ax ^ 2 + bx + c nonumber ]

onde (a ), (b ) e (c ) são números reais e (a neq 0 ). Se (a> 0 ), a parábola se abre para cima. Se (a <0 ), a parábola abre para baixo. Podemos usar a forma geral de uma parábola para encontrar a equação do eixo de simetria.

O eixo de simetria é definido por (x = - frac {b} {2a} ). Se usarmos a fórmula quadrática, (x = frac {−b { pm} sqrt {b ^ 2−4ac}} {2a} ), para resolver (ax ^ 2 + bx + c = 0 ) para os (x ) - interceptos, ou zeros, descobrimos que o valor de (x ) a meio caminho entre eles é sempre (x = - frac {b} {2a} ), a equação para o eixo de simetria.

Figura ( PageIndex {4} ) representa o gráfico da função quadrática escrita em forma geral como (y = x ^ 2 + 4x + 3 ). Nesta forma, (a = 1 ), (b = 4 ) e (c = 3 ). Porque (a> 0 ), a parábola se abre para cima. O eixo de simetria é (x = - frac {4} {2 (1)} = - 2 ). Isso também faz sentido porque podemos ver no gráfico que a linha vertical (x = −2 ) divide o gráfico pela metade. O vértice sempre ocorre ao longo do eixo de simetria. Para uma parábola que se abre para cima, o vértice ocorre no ponto mais baixo do gráfico, neste caso, ((- 2, −1) ). As interceptações (x ) -, aqueles pontos onde a parábola cruza o eixo (x ), ocorrem em ((- 3,0) ) e ((- 1,0) ).

Figura ( PageIndex {4} ): Gráfico de uma parábola mostrando onde os (x ) - interceptos, vértice e eixo de simetria são para a função (y = x ^ 2 + 4x + 3 ).

O forma padrão de uma função quadrática apresenta a função no formulário

[f (x) = a (x − h) ^ 2 + k não numérico ]

onde ((h, k) ) é o vértice. Porque o vértice pode ser visto na forma padrão da função quadrática, esta forma também é conhecida como a forma de vértice de uma função quadrática.

Assim como na forma geral, se (a> 0 ), a parábola se abre para cima e o vértice é mínimo. Se (a <0 ), a parábola se abre para baixo e o vértice é um máximo. Figura ( PageIndex {5} ) representa o gráfico da função quadrática escrita na forma de vértice como (y = -3 (x + 2) ^ 2 + 4 ). Uma vez que (x-h = x + 2 ) neste exemplo, (h = -2 ). Neste formato, (a = -3 ), (h = -2 ) e (k = 4 ). Porque (a <0 ), a parábola abre para baixo. O vértice está em ((- 2, 4) ).

Figura ( PageIndex {5} ): Gráfico de uma parábola mostrando onde estão o vértice e o eixo de simetria da função (y = -3 (x + 2) ^ 2 + 4 ).

A forma de vértice é útil para determinar como o gráfico é transformado a partir do gráfico de (y = x ^ 2 ). Figura ( PageIndex {6} ) é o gráfico desta função básica.

Figura ( PageIndex {6} ): Gráfico de (y = x ^ 2 ).

Se (h> 0 ), o gráfico se desloca para a direita e se (h <0 ), o gráfico se desloca para a esquerda. Na Figura ( PageIndex {5} ), (h <0 ), então o gráfico é deslocado 2 unidades para a esquerda. A magnitude de (a ) indica a extensão do gráfico. Se (| a |> 1 ), o ponto associado a um valor (x ) particular se afasta do eixo (x ) -, então o gráfico parece ficar mais estreito e há um alongamento vertical . Mas se (| a | <1 ), o ponto associado a um valor (x ) particular se desloca para mais perto do eixo (x ). O gráfico parece ficar mais amplo, mas na verdade há uma compressão vertical. Na Figura ( PageIndex {5} ), (| a |> 1 ), então o gráfico se torna mais estreito. Como (a <0 ), o gráfico é refletido no eixo (x ). Se (k> 0 ), o gráfico se desloca para cima, enquanto se (k <0 ), o gráfico se desloca para baixo. Na Figura ( PageIndex {5} ), (k> 0 ), então o gráfico é deslocado 4 unidades para cima.

A forma do vértice e a forma geral são métodos equivalentes para descrever a mesma função. Se quisermos resolver para (h ) e (k ) em termos de (a, b, |) e (x ), podemos expandir a forma geral e defini-la igual à forma do vértice. Em ambas as formas, (a ) representa o mesmo valor.

[ begin {align *} a (x − h) ^ 2 + k & = ax ^ 2 + bx + c [5pt] ax ^ 2−2ahx + (ah ^ 2 + k) & = ax ^ 2 + bx + c end {align *} ]

Para que os termos lineares sejam iguais, os coeficientes devem ser iguais.

[- 2ah = b text {, então} h = - dfrac {b} {2a}. enhum número]

Isto é o eixo de simetria nós definimos anteriormente.

Definindo os termos constantes iguais, obtemos:

[ begin {align *} ah ^ 2 + k & = c k & = c − ah ^ 2 & = c − a left ( Big ( dfrac {b} {2a} Big) ^ 2 right) & = c− dfrac {b ^ 2} {4a}. end {align *} ]

Na prática, porém, geralmente é mais fácil lembrar que (k ) é o valor de saída da função quando a entrada é (h ), então (f (h) = k ).

Definições: Formas de funções quadráticas

UMA função quadrática é uma função de grau dois. O gráfico de uma função quadrática é um parábola.

  • O Forma geral de uma função quadrática é (f (x) = ax ^ 2 + bx + c ) onde (a ), (b ) e (c ) são números reais e (a neq 0 ).
  • O forma padrão ou vértice Formato de uma função quadrática é (f (x) = a (x − h) ^ 2 + k ).
  • O vértice ((h, k) ) está localizado em [h = - dfrac {b} {2a}, ; k = f (h) = f left ( dfrac {−b} {2a} right ) enhum número]

Escreva uma função quadrática na forma de vértice, depois na forma geral

Dado um gráfico de uma função quadrática, escreva a equação da função de forma geral.

  1. Identifique o deslocamento horizontal da parábola; este valor é (h ). Identifique o deslocamento vertical da parábola; este valor é (k ).
  2. Substitua os valores do deslocamento horizontal e vertical por (h ) e (k ). na função (f (x) = a (x – h) ^ 2 + k ).
  3. Substitua os valores de qualquer ponto, diferente do vértice, no gráfico da parábola por (x ) e (f (x) ).
  4. Resolva o coeficiente, (a ).
  5. Se a parábola abrir, (a> 0 ). Se a parábola abrir para baixo, (a <0 ), pois isso significa que o gráfico foi refletido no eixo (x ).
  6. Expanda e simplifique para escrever de forma geral.

Exemplo ( PageIndex {2} ): Escrevendo a equação de uma função quadrática a partir do gráfico

Escreva uma equação para a função quadrática (g ) na Figura ( PageIndex {7} ) como uma transformação de (f (x) = x ^ 2 ) e, em seguida, expanda a fórmula e simplifique os termos para escreva a equação de forma geral.

Figura ( PageIndex {7} ): Gráfico de uma parábola com seu vértice em ((- 2, -3) ).

Solução

Podemos ver que o gráfico de (g ) é o gráfico de (f (x) = x ^ 2 ) deslocado para a esquerda 2 e para baixo 3, dando uma fórmula na forma (g (x) = a (x + 2) ^ 2–3 ).

Substituindo as coordenadas de um ponto na curva, como ((0, −1) ), podemos resolver o fator de alongamento.

[ begin {align *} −1 & = a (0 + 2) ^ 2 - 3 2 & = 4a a & = frac {1} {2} end {align *} ]

Na forma padrão, o modelo algébrico para este gráfico é (g (x) = dfrac {1} {2} (x + 2) ^ 2 -3 ).

Para escrever isso na forma polinomial geral, podemos expandir a fórmula e simplificar os termos.

[ begin {align *} g (x) & = dfrac {1} {2} (x + 2) ^ 2−3 & = dfrac {1} {2} (x + 2) (x +2) −3 & = dfrac {1} {2} (x ^ 2 + 4x + 4) −3 & = dfrac {1} {2} x ^ 2 + 2x + 2−3 & = dfrac {1} {2} x ^ 2 + 2x − 1 end {align *} ]

Observe que os deslocamentos horizontal e vertical do gráfico básico da função quadrática determinam a localização do vértice da parábola; o vértice não é afetado por alongamentos e compressões.

( PageIndex {1} )

Uma grade de coordenadas foi sobreposta ao caminho quadrático de uma bola de basquete na Figura ( PageIndex {8} ). Encontre uma equação para o caminho da bola. O atirador faz a cesta?

Figura ( PageIndex {8} ): Pare de imagem animada de um menino jogando uma bola de basquete em um aro para mostrar a curva parabólica que ela faz.
(crédito: modificação da obra por Dan Meyer)

Responder

O caminho passa pela origem e tem vértice em ((- 4, 7) ), então (h (x) = - frac {7} {16} (x + 4) ^ 2 + 7 ). Para fazer a tacada, (h (−7,5) ) precisaria ser cerca de 4, mas (h (-7,5) { aproximadamente} 1,64 ), abaixo da cesta; ele não consegue.

Dada uma função quadrática na forma geral, encontre o vértice da parábola.

  1. Identifique (a ), (b ) e (c ).
  2. Encontre (h ), a coordenada (x ) - do vértice, substituindo (a ) e (b ) em (h = - frac {b} {2a} ).
  3. Encontre (k ), a coordenada (y ) - do vértice, avaliando (k = f (h) = f left (- frac {b} {2a} right) ).

Exemplo ( PageIndex {3} ): Encontrando o vértice de uma função quadrática

Encontre o vértice da função quadrática (f (x) = 2x ^ 2–6x + 7 ). Reescreva o quadrático na forma padrão (forma de vértice).

Solução

A coordenada horizontal do vértice estará em

[ begin {align *} h & = - dfrac {b} {2a} [5pt] & = - dfrac {-6} {2 (2)} [5pt] & = dfrac {6 } {4} [5pt] & = dfrac {3} {2}. End {align *} ]

A coordenada vertical do vértice estará em

[ begin {align *} k & = f (h) [5pt] & = f left ( dfrac {3} {2} right) [5pt] & = 2 left ( dfrac { 3} {2} right) ^ 2−6 left ( dfrac {3} {2} right) +7 [5pt] & = dfrac {5} {2}. end {align *} ]

Reescrevendo na forma padrão, o fator de alongamento será o mesmo que o (a ) na quadrática original:

[f (x) = ax ^ 2 + bx + c nonumber f (x) = 2x ^ 2−6x + 7 nonumber ]

Usando os valores (h ) e (k ) do vértice, reescreva como

[f (x) = 2 left (x - dfrac {3} {2} right) ^ 2 + dfrac {5} {2}. enhum número]

Análise

Uma razão pela qual podemos querer identificar o vértice da parábola é que este ponto nos informará qual é o valor máximo ou mínimo da função ((k) ), e onde no domínio ela ocorre ((h) )

( PageIndex {2} )

Dada a equação (g (x) = 13 + x ^ 2−6x ), escreva a equação na forma geral e depois na forma padrão.

Responder

(g (x) = x ^ 2−6x + 13 ) na forma geral; (g (x) = (x − 3) ^ 2 + 4 ) na forma padrão.

Encontrando o Domínio e o Alcance de uma Função Quadrática

Qualquer número pode ser o valor de entrada de uma função quadrática. Portanto, o domínio de qualquer função quadrática são todos os números reais. Como as parábolas têm um ponto máximo ou mínimo, o alcance é restrito. Uma vez que o vértice de uma parábola será um máximo ou um mínimo, o intervalo consistirá em todos os (y ) - valores maiores ou iguais à (y ) - coordenada no ponto de viragem ou menor ou igual para a coordenada (y ) - no ponto de viragem, dependendo se a parábola abre para cima ou para baixo.

Domínio e alcance de uma função quadrática

O domínio de qualquer função quadrática são todos números reais.

O intervalo de uma função quadrática escrita na forma geral (f (x) = ax ^ 2 + bx + c ) com um valor (a ) positivo é (f (x) geq f left (- frac {b} {2a} right) ), ou ([f (- frac {b} {2a}), ∞) ); o intervalo de uma função quadrática escrita na forma geral com um valor negativo (a ) é (f (x) leq f (- frac {b} {2a}) ), ou ((- ∞, f (- frac {b} {2a})] ).

O intervalo de uma função quadrática escrita na forma de vértice (f (x) = a (x − h) ^ 2 + k ) com um valor (a ) positivo é (f (x) geq k; ) o intervalo de uma função quadrática escrita na forma de vértice com um valor negativo (a ) é (f (x) leq k ).

Dada uma função quadrática, encontre o domínio e o intervalo.

  1. Identifique o domínio de qualquer função quadrática como todos os números reais.
  2. Determine se (a ) é positivo ou negativo. Se (a ) for positivo, a parábola tem um mínimo. Se (a ) for negativo, a parábola tem um máximo.
  3. Determine o valor máximo ou mínimo da parábola, (k ).
  4. Se a parábola tiver um mínimo, o intervalo é dado por (f (x) geq k ), ou ( left [k, infty right) ). Se a parábola tiver um máximo, o intervalo é dado por (f (x) leq k ), ou ( left (- infty, k right] ).

Exemplo ( PageIndex {4} ): Encontrando o domínio e intervalo de uma função quadrática

Encontre o domínio e o intervalo de (f (x) = - 5x ^ 2 + 9x − 1 ).

Solução

Como acontece com qualquer função quadrática, o domínio são todos os números reais.

Como (a ) é negativo, a parábola abre para baixo e tem um valor máximo. Precisamos determinar o valor máximo. Podemos começar encontrando o valor (x ) do vértice.

[ begin {align *} h & = - dfrac {b} {2a} & = - dfrac {9} {2 (-5)} & = dfrac {9} {10} end {alinhar*}]

O valor máximo é dado por (f (h) ).

[ begin {align *} f left ( dfrac {9} {10} right) & = - 5 ( dfrac {9} {10}) ^ 2 + 9 ( dfrac {9} {10} ) -1 & = dfrac {61} {20} end {align *} ]

O intervalo é (f (x) leq frac {61} {20} ), ou ( left (- infty, frac {61} {20} right] ).

( PageIndex {3} )

Encontre o domínio e o intervalo de (f (x) = 2 left (x− frac {4} {7} right) ^ 2 + frac {8} {11} ).

Responder

O domínio é composto por números reais. O intervalo é (f (x) geq frac {8} {11} ), ou ( left [ frac {8} {11}, infty right) ).

Determinando os valores máximo e mínimo das funções quadráticas

A saída da função quadrática no vértice é o valor máximo ou mínimo da função, dependendo da orientação do parábola. Podemos ver os valores máximo e mínimo na Figura ( PageIndex {9} ).

Figura ( PageIndex {9} ): Mínimo e máximo de duas funções quadráticas.

Existem muitos cenários do mundo real que envolvem encontrar o valor máximo ou mínimo de uma função quadrática, como aplicativos que envolvem área e receita.

Exemplo ( PageIndex {5} ): Encontrando o valor máximo de uma função quadrática

Um fazendeiro de quintal quer incluir um espaço retangular para um novo jardim dentro de seu quintal cercado. Ela comprou 24 metros de cerca de arame para envolver três lados e usará uma seção da cerca do quintal como o quarto lado.

  1. Encontre uma fórmula para a área delimitada pela cerca se os lados da cerca perpendicular à cerca existente tiverem comprimento (L ).
  2. Quais dimensões ela deve fazer seu jardim para maximizar a área fechada?

Solução

Vamos usar um diagrama como Figura ( PageIndex {10} ) para registrar as informações fornecidas. Também é útil introduzir uma variável temporária, (W ), para representar a largura do jardim e o comprimento da seção da cerca paralela à cerca do quintal.

Figura ( PageIndex {10} ): Diagrama do jardim e quintal.

uma. Sabemos que temos apenas 80 pés de cerca disponíveis e (L + W + L = 80 ), ou mais simplesmente, (2L + W = 80 ). Isso nos permite representar a largura (W ) em termos de (L ).

[W = 80−2L não numérico ]

Agora estamos prontos para escrever uma equação para a área que a cerca envolve. Sabemos que a área de um retângulo é o comprimento multiplicado pela largura, então

[ begin {align *} A & = LW = L (80−2L) A (L) & = 80L − 2L ^ 2 end {align *} ]

Esta fórmula representa a área da cerca em termos de comprimento variável (L ). A função, escrita de forma geral, é

[A (L) = - 2L ^ 2 + 80L não numérico ].

b. A quadrática tem um coeficiente líder negativo, então o gráfico será aberto para baixo e o vértice será o valor máximo para a área. Ao encontrar o vértice, devemos ter cuidado porque a equação não é escrita na forma polinomial padrão com potências decrescentes. É por isso que reescrevemos a função na forma geral acima. Como (a ) é o coeficiente do termo ao quadrado, (a = −2 ), (b = 80 ) e (c = 0 ).

Para encontrar o vértice:

[ begin {align *} h & = - dfrac {80} {2 (−2)} qquad text {and} & k & = A (20) & = 20 & ; ; ; ; quad & = 80 (20) −2 (20) ^ 2 &&& = 800 end {align *} ]

O valor máximo da função é uma área de 800 pés quadrados, que ocorre quando (L = 20 ) pés. Quando os lados mais curtos têm 6 metros, sobram 12 metros de cerca para o lado mais longo. Para maximizar a área, ela deve cercar o jardim de forma que os dois lados mais curtos tenham comprimento de 6 metros e o lado mais longo paralelo à cerca existente tenha comprimento de 12 metros.

Análise

Este problema também pode ser resolvido com a representação gráfica da função quadrática. Podemos ver onde a área máxima ocorre em um gráfico da função quadrática na Figura ( PageIndex {11} ).

Figura ( PageIndex {11} ): Gráfico da função parabólica (A (L) = - 2L ^ 2 + 80L )

Dado um aplicativo que envolve receita, use uma equação quadrática para encontrar o máximo

  1. Escreva uma equação quadrática para receita.
  2. Encontre o vértice da equação quadrática.
  3. Determine o valor (y ) do vértice.

Exemplo ( PageIndex {6} ): Encontrando a receita máxima

O preço unitário de um item afeta sua oferta e demanda. Ou seja, se o preço unitário subir, a demanda pelo item geralmente diminuirá. Por exemplo, um jornal local tem atualmente 84.000 assinantes a uma tarifa trimestral de $ 30. A pesquisa de mercado sugeriu que se os proprietários aumentassem o preço para US $ 32, eles perderiam 5.000 assinantes. Supondo que as assinaturas estejam linearmente relacionadas ao preço, qual preço o jornal deveria cobrar por uma assinatura trimestral para maximizar sua receita?

Solução

A receita é a quantidade de dinheiro que uma empresa traz. Neste caso, a receita pode ser encontrada multiplicando o preço por assinatura vezes o número de assinantes, ou quantidade. Podemos introduzir variáveis, (p ) para preço por assinatura e (Q ) para quantidade, nos dando a equação ( text {Receita} = pQ ).

Como o número de assinantes muda com o preço, precisamos encontrar uma relação entre as variáveis. Sabemos que atualmente (p = 30 ) e (Q = 84.000 ). Também sabemos que se o preço subir para $ 32, o jornal perderá 5.000 assinantes, dando um segundo par de valores, (p = 32 ) e (Q = 79 mbox {,} 000 ). A partir disso, podemos encontrar uma equação linear relacionando as duas quantidades. A inclinação será

[ begin {align *} m & = dfrac {79.000−84.000} {32−30} & = - dfrac {5.000} {2} & = - 2.500 end {align *} ]

Isso nos diz que o jornal perderá 2.500 assinantes para cada dólar que aumentar o preço. Podemos então resolver para a interceptação (y ).

[ begin {align *} Q & = - 2500p + b & text {Substitua no ponto $ Q = 84.000 $ e $ p = 30 $} 84.000 & = - 2500 (30) + b & text { Resolva para $ b $} b & = 159.000 end {align *} ]

Isso nos dá a equação linear (Q = −2.500p + 159.000 ) relacionando custo e assinantes. Agora voltamos à nossa equação de receita.

[ begin {align *} text {Receita} & = pQ text {Receita} & = p (−2.500p + 159.000) text {Receita} & = - 2.500p ^ 2 + 159.000p end {align *} ]

Temos uma função quadrática para receita em função da cobrança de assinatura. Para encontrar o preço que maximizará a receita do jornal, podemos encontrar o vértice.

[ begin {align *} h & = - dfrac {159.000} {2 (−2.500)} & = 31.8 end {align *} ]

O modelo nos diz que a receita máxima ocorrerá se o jornal cobrar $ 31,80 pela assinatura. Para descobrir qual é a receita máxima, avaliamos a função de receita.

[ begin {align *} text {receita máxima} & = - 2.500 (31,8) ^ 2 + 159.000 (31,8) & = 2.528.100 end {align *} ]

Análise

Isso também pode ser resolvido representando graficamente a quadrática como na Figura ( PageIndex {12} ). Podemos ver a receita máxima em um gráfico da função quadrática.

Figura ( PageIndex {12} ): Gráfico da função parabólica

Encontrando as interceptações (x ) - e (y ) - de uma função quadrática

Como uma ferramenta para nos ajudar a representar graficamente as parábolas, precisamos encontrar interceptos de equações quadráticas. Lembre-se de que encontramos a interceptação (y ) - de um quadrático avaliando a função em uma entrada de zero, e encontramos as interceptações x em locais onde a saída é zero. Observe na Figura ( PageIndex {13} ) que o número de (x ) - interceptações pode variar dependendo da localização do gráfico.

Figura ( PageIndex {13} ): Número de interceptações x de uma parábola.

Dada uma função quadrática (f (x) ), encontre as interceptações (y ) - e (x ) -

  1. Avalie (f (0) ) para encontrar a interceptação (y ).
  2. Resolva a equação quadrática (f (x) = 0 ) para encontrar as interceptações (x ).

Exemplo ( PageIndex {7} ): Encontrando as interceptações (y ) - e (x ) - de uma parábola

Encontre as interceptações (y ) - e (x ) - da quadrática (f (x) = 3x ^ 2 + 5x − 2 ).

Solução

Encontramos a interceptação (y ) - avaliando (f (0) ).

[ begin {align *} f (0) & = 3 (0) ^ 2 + 5 (0) −2 & = - 2 end {align *} ]

A interceptação (y ) - está em ((0, −2) ).

Para as interceptações (x ) -, encontramos todas as soluções de (f (x) = 0 ).

[0 = 3x ^ 2 + 5x − 2 nonumber ]

Nesse caso, o quadrático pode ser fatorado, fornecendo o método mais simples de solução.

[0 = (3x − 1) (x + 2) não numérico ]

[ begin {align *} 0 & = 3x − 1 & 0 & = x + 2 x & = frac {1} {3} & text {ou} ; ; ; ; ; ; ; ; x & = - 2 end {align *} ]

As interceptações (x ) - estão em (( frac {1} {3}, 0) ) e ((- 2,0) ).

Análise

Representando graficamente a função, podemos confirmar que o gráfico cruza o eixo (y ) - em ((0, −2) ). Também podemos confirmar que o gráfico cruza o eixo (x ) em ( Big ( frac {1} {3}, 0 Big) ) e ((- 2,0) ). Veja a Figura ( PageIndex {14} ).

Figura ( PageIndex {14} ): Gráfico de uma parábola.

Reescrevendo quadráticas na forma de vértice

No Exemplo ( PageIndex {7} ), a equação quadrática foi facilmente resolvida por fatoração. No entanto, existem muitas quadráticas que não podem ser fatoradas usando números racionais. Outro método para resolver equações quadráticas é reescrever primeiro a quadrática na forma de vértice. Este método também é conhecido como resolução por Completando o quadrado.

Dada uma função quadrática, encontre as interceptações (x ) - reescrevendo na forma de vértice.

  1. Substitua (a ) e (b ) em (h = - frac {b} {2a} ).
  2. Substitua (x = h ) na forma geral da função quadrática para encontrar (k ).
  3. Reescreva a quadrática na forma de vértice usando (h ) e (k ).
  4. Resolva quando a saída da função será zero para encontrar as interceptações (x ).

Exemplo ( PageIndex {8} ): Encontrando o (x ) - Interceptações de uma parábola

Encontre as interceptações (x ) - da função quadrática (f (x) = 2x ^ 2 + 4x − 4 ).

Solução

Precisamos resolver para quando a saída será zero:

[0 = 2x ^ 2 + 4x − 4. enhum número]

Como a quadrática não é facilmente fatorável neste caso, resolvemos as interceptações reescrevendo primeiro a quadrática na forma de vértice.

[f (x) = a (x − h) ^ 2 + k não numérico ]

Sabemos que (a = 2 ). Então resolvemos para (h ) e (k ).

[ begin {align *} h & = - dfrac {b} {2a} & k & = f (−1) & = - dfrac {4} {2 (2)} & & = 2 (−1 ) ^ 2 + 4 (−1) −4 & = - 1 & & = - 6 end {align *} ]

Agora podemos reescrever na forma de vértice.

[f (x) = 2 (x + 1) ^ 2−6 nonumber ]

Estamos prontos para resolver quando a saída será zero.

[ begin {align *} 0 & = 2 (x + 1) ^ 2−6 6 & = 2 (x + 1) ^ 2 3 & = (x + 1) ^ 2 x + 1 & = { pm} sqrt {3} x & = - 1 { pm} sqrt {3} approx 0,73 mbox {ou} -2.73 end {align *} ]

O gráfico tem (x ) - intercepta em ((- 1− sqrt {3}, 0) ) e (- 1+ sqrt {3}, 0) ). Observe que os valores (x ) - são números irracionais.

Análise

Podemos verificar nosso trabalho traçando a função dada em um utilitário gráfico e observando uma aproximação das interceptações (x ). Veja a Figura ( PageIndex {15} ).

Figura ( PageIndex {15} ): Gráfico de uma parábola que possui as seguintes interceptações x: ((- 2,73, 0) ) e ((0,73, 0) ).

( PageIndex {4} )

Em ( PageIndex {2} ), encontramos o vértice e a forma geral da função (g (x) = 13 + x ^ 2−6x ). Agora encontre as interceptações (y ) - e (x ) - (se houver).

Responder

(y ) - intercepta em ((0, 13) ), não (x ) - intercepta

Exemplo ( PageIndex {9} ): Resolvendo uma equação quadrática com a fórmula quadrática

Encontre os zeros de (f (x) = x ^ 2 + x +2 ). Definimos (f (x) = 0 ) e resolvemos: (x ^ 2 + x + 2 = 0 ).

Solução

Vamos começar escrevendo a fórmula quadrática: (x = frac {−b { pm} sqrt {b ^ 2−4ac}} {2a} ).

Ao aplicar a fórmula quadrática, identificamos os coeficientes (a ), (b ) e (c ). Para a equação (x ^ 2 + x + 2 = 0 ), temos (a = 1 ), (b = 1 ) e (c = 2 ). Substituindo esses valores na fórmula, temos:

[ begin {align *} x & = dfrac {−b { pm} sqrt {b ^ 2−4ac}} {2a} & = dfrac {−1 { pm} sqrt {1 ^ 2−4⋅1⋅ (2)}} {2⋅1} & = dfrac {−1 { pm} sqrt {1−8}} {2} & = dfrac {−1 { pm} sqrt {−7}} {2} & = dfrac {−1 { pm} i sqrt {7}} {2} end {alinhar *} ]

As soluções para a equação são (x = frac {−1 + i sqrt {7}} {2} ) e (x = frac {−1-i sqrt {7}} {2} ) ou (x = - frac {1} {2} + frac {i sqrt {7}} {2} ) e (x = frac {-1} {2} - frac {i sqrt {7}} {2} ). Como não há soluções com valor real para a equação, não há zeros reais. O gráfico desta parábola não cruzará o eixo (x ).

Exemplo ( PageIndex {10} ): Aplicando o vértice e as interceptações x de uma parábola

Uma bola é lançada para cima do topo de um edifício de 12 metros de altura a uma velocidade de 24 metros por segundo. A altura da bola acima do solo pode ser modelada pela equação (H (t) = - 16t ^ 2 + 80t + 40 ).

Quando a bola atinge a altura máxima?
Qual é a altura máxima da bola?
Quando a bola atinge o solo?

A bola atinge a altura máxima no vértice da parábola.
[ begin {align *} h & = - dfrac {80} {2 (−16)} & = dfrac {80} {32} & = dfrac {5} {2} & = 2,5 end {align *} ]

A bola atinge uma altura máxima após 2,5 segundos.

Para encontrar a altura máxima, encontre a coordenada (y ) - do vértice da parábola.
[ begin {align *} k & = H (- dfrac {b} {2a}) & = H (2,5) & = - 16 (2,5) ^ 2 + 80 (2,5) +40 & = 140 end {align *} ]

A bola atinge uma altura máxima de 140 pés.

Para saber quando a bola atinge o solo, precisamos determinar quando a altura é zero, (H (t) = 0 ).

Usamos a fórmula quadrática.

[ begin {align *} t & = dfrac {−80 ± sqrt {80 ^ 2−4 (−16) (40)}} {2 (−16)} & = dfrac {−80 ± sqrt {8960}} {- 32} end {align *} ]

Como a raiz quadrada não simplifica bem, podemos usar uma calculadora para aproximar os valores das soluções.

[t = dfrac {−80- sqrt {8960}} {- 32} ≈5.458 text {ou} t = dfrac {−80+ sqrt {8960}} {- 32} ≈ − 0,458 ]

A segunda resposta está fora do domínio razoável de nosso modelo, então concluímos que a bola atingirá o solo após cerca de 5,458 segundos. Veja a Figura ( PageIndex {16} ).

Figura ( PageIndex {16} )

( PageIndex {5} )

Uma rocha é lançada para cima do topo de um penhasco de 31 metros de altura com vista para o oceano a uma velocidade de 96 metros por segundo. A altura da rocha acima do oceano pode ser modelada pela equação (H (t) = - 16t ^ 2 + 96t + 112 ).

  1. Quando a rocha atinge a altura máxima?
  2. Qual é a altura máxima da rocha?
  3. Quando a rocha atinge o oceano?
Responder

uma. 3 segundos
b. 256 pés
c. 7 segundos

Equações-chave

  • forma geral de uma função quadrática: (f (x) = ax ^ 2 + bx + c )
  • a fórmula quadrática: (x = dfrac {−b { pm} sqrt {b ^ 2−4ac}} {2a} )
  • forma padrão, ou vértice, de uma função quadrática: (f (x) = a (x − h) ^ 2 + k )

Conceitos chave

  • Uma função polinomial de grau dois é chamada de função quadrática.
  • O gráfico de uma função quadrática é uma parábola. Uma parábola é uma curva em forma de U que pode abrir para cima ou para baixo.
  • O eixo de simetria é a linha vertical que passa pelo vértice. Os zeros, ou (x ) - interceptos, são os pontos nos quais a parábola cruza o eixo (x ). A interceptação (y ) - é o ponto em que a parábola cruza o eixo (y ).
  • As funções quadráticas são freqüentemente escritas de forma geral. A forma padrão ou de vértice é útil para identificar facilmente o vértice de uma parábola. Qualquer uma das formas pode ser escrita a partir de um gráfico.
  • O vértice pode ser encontrado na forma geral ou na forma padrão de uma função quadrática.
  • O domínio de uma função quadrática são todos os números reais. O intervalo varia com a função.
  • O valor mínimo ou máximo de uma função quadrática é dado pelo valor (y ) do vértice.
  • O valor mínimo ou máximo de uma função quadrática pode ser usado para determinar o intervalo da função e para resolver muitos tipos de problemas do mundo real, incluindo problemas envolvendo área e receita.
  • Algumas equações quadráticas devem ser resolvidas usando a fórmula quadrática ou completando o quadrado.
  • O vértice e as interceptações podem ser identificados e interpretados para resolver problemas do mundo real.

Glossário

eixo de simetria
uma linha vertical desenhada através do vértice de uma parábola em torno da qual a parábola é simétrica; definido por (x = - frac {b} {2a} )

forma geral de uma função quadrática
a função que descreve uma parábola, escrita na forma (f (x) = ax ^ 2 + bx + c ), onde (a, b, ) e (c ) são números reais e (a ≠ 0 )

forma padrão de uma função quadrática
a função que descreve uma parábola, escrita na forma (f (x) = a (x − h) ^ 2 + k ), onde ((h, k) ) é o vértice

vértice
o ponto em que uma parábola muda de direção, correspondendo ao valor mínimo ou máximo da função quadrática

forma de vértice de uma função quadrática
outro nome para a forma padrão de uma função quadrática

zeros
em uma determinada função, os valores de (x ) em que (y = 0 ), também chamados de raízes


4.3: Funções Quadráticas - Matemática

Antes de prosseguir com esta seção, devemos observar que o tópico de resolução de equações quadráticas será abordado em duas seções. Isso é feito para o benefício de quem visualiza o material na web. Este é um tópico longo e para manter o tempo de carregamento da página em um mínimo, o material foi dividido em duas seções.

Então, agora vamos resolver equações quadráticas. Primeiro, o forma padrão de uma equação quadrática é

O único requisito aqui é que tenhamos um () na equação. Garantimos que este termo estará presente na equação exigindo (a ne 0 ). Observe, entretanto, que está tudo bem se (b ) e / ou (c ) forem zero.

Existem muitas maneiras de resolver equações quadráticas. Veremos quatro deles ao longo das próximas duas seções. Os dois primeiros métodos nem sempre funcionam, mas provavelmente são um pouco mais simples de usar quando funcionam. Esta seção cobrirá esses dois métodos. Os dois últimos métodos sempre funcionarão, mas geralmente requerem um pouco mais de trabalho ou atenção para serem corrigidos. Abordaremos esses métodos na próxima seção.

Resolvendo por fatoração

Como o título sugere, estaremos resolvendo equações quadráticas aqui, fatorando-as. Para fazer isso, precisaremos do seguinte fato.

Este fato é chamado de propriedade de fator zero ou princípio do fator zero. Tudo o que o fato diz é que se um produto de dois termos é zero, então pelo menos um dos termos tinha que ser zero para começar.

Observe que este fato SÓ funcionará se o produto for igual a zero. Considere o seguinte produto.

Nesse caso, não há razão para acreditar que (a ) ou (b ) será 6. Poderíamos ter (a = 2 ) e (b = 3 ) por exemplo. Portanto, não abuse deste fato!

Para resolver uma equação quadrática por fatoração, primeiro devemos mover todos os termos para um lado da equação. Fazer isso serve a dois propósitos. Primeiro, ele coloca as quadráticas em uma forma que pode ser fatorada. Secondly, and probably more importantly, in order to use the zero factor property we MUST have a zero on one side of the equation. If we don’t have a zero on one side of the equation we won’t be able to use the zero factor property.

Let’s take a look at a couple of examples. Note that it is assumed that you can do the factoring at this point and so we won’t be giving any details on the factoring. If you need a review of factoring you should go back and take a look at the Factoring section of the previous chapter.

  1. ( - x = 12)
  2. ( + 40 = - 14x)
  3. ( + 12y + 36 = 0)
  4. (4 - 1 = 0)
  5. (3 = 2x + 8)
  6. (10 + 19z + 6 = 0)
  7. (5 = 2x)

Now, as noted earlier, we won’t be putting any detail into the factoring process, so make sure that you can do the factoring here.

First, get everything on side of the equation and then factor.

Now at this point we’ve got a product of two terms that is equal to zero. This means that at least one of the following must be true.

Note that each of these is a linear equation that is easy enough to solve. What this tell us is that we have two solutions to the equation, (x = 4) and (x = - 3). As with linear equations we can always check our solutions by plugging the solution back into the equation. We will check (x = - 3) and leave the other to you to check.

[começar ight)^2> - left( < - 3> ight) & mathop = limits^? 12 9 + 3 & mathop = limits^? 12 12 & = 12,,,,>end]

So, this was in fact a solution.

As with the first one we first get everything on side of the equal sign and then factor.

Now, we once again have a product of two terms that equals zero so we know that one or both of them have to be zero. So, technically we need to set each one equal to zero and solve. However, this is usually easy enough to do in our heads and so from now on we will be doing this solving in our head.

The solutions to this equation are,

To save space we won’t be checking any more of the solutions here, but you should do so to make sure we didn’t make any mistakes.

In this case we already have zero on one side and so we don’t need to do any manipulation to the equation all that we need to do is factor. Also, don’t get excited about the fact that we now have (y)’s in the equation. We won’t always be dealing with (x)’s so don’t expect to always see them.

So, let’s factor this equation.

In this case we’ve got a perfect square. We broke up the square to denote that we really do have an application of the zero factor property. However, we usually don’t do that. We usually will go straight to the answer from the squared part.

The solution to the equation in this case is,

We only have a single value here as opposed to the two solutions we’ve been getting to this point. We will often call this solution a double root or say that it has multiplicity of 2 because it came from a term that was squared.

As always let’s first factor the equation.

Now apply the zero factor property. The zero factor property tells us that,

Again, we will typically solve these in our head, but we needed to do at least one in complete detail. So, we have two solutions to the equation.

Now that we’ve done quite a few of these, we won’t be putting in as much detail for the next two problems. Here is the work for this equation.

Again, factor and use the zero factor property for this one.

This one always seems to cause trouble for students even though it’s really not too bad.

First off. DO NOT CANCEL AN (x) FROM BOTH SIDES. Do you get the idea that might be bad? Isto é. If you cancel an (x) from both sides, you WILL miss a solution so don’t do it. Remember we are solving by factoring here so let’s first get everything on one side of the equal sign.

Now, notice that all we can do for factoring is to factor an (x) out of everything. Doing this gives,

From the first factor we get that (x = 0) and from the second we get that (x = frac<2><5>). These are the two solutions to this equation. Note that if we’d canceled an (x) in the first step we would NOT have gotten (x = 0) as an answer!

Let’s work another type of problem here. We saw some of these back in the Solving Linear Equations section and since they can also occur with quadratic equations we should go ahead and work on to make sure that we can do them here as well.

Okay, just like with the linear equations the first thing that we’re going to need to do here is to clear the denominators out by multiplying by the LCD. Recall that we will also need to note value(s) of (x) that will give division by zero so that we can make sure that these aren’t included in the solution.

The LCD for this problem is (left( ight)left( <2x - 4> ight)) and we will need to avoid (x = - 1) and (x = 2) to make sure we don’t get division by zero. Here is the work for this equation.

[começarleft( ight)left( <2x - 4> ight)left( <>> ight) & = left( ight)left( <2x - 4> ight)left( <1 - frac<5><<2x - 4>>> ight) 2x - 4 & = left( ight)left( <2x - 4> ight) - 5left( ight) 2x - 4 & = 2 - 2x - 4 - 5x - 5 0 & = 2 - 9x - 5 0 & = left( <2x + 1> ight)left( ight)end]

So, it looks like the two solutions to this equation are,

Notice as well that neither of these are the values of (x) that we needed to avoid and so both are solutions.

In this case the LCD is (x - 1) and we will need to avoid (x = 1) so we don’t get division by zero. Here is the work for this problem.

[começarleft( ight)left( <>> ight) & = left( ><>> ight)left( ight) left( ight)left( ight) + 3 & = 4 - x + 2x - 3 + 3 & = 4 - x + 3x - 4 & = 0 left( ight)left( ight) & = 0end]

So, the quadratic that we factored and solved has two solutions, (x = 1) and (x = - 4). However, when we found the LCD we also saw that we needed to avoid (x = 1) so we didn’t get division by zero. Therefore, this equation has a single solution,

Before proceeding to the next topic we should address that this idea of factoring can be used to solve equations with degree larger than two as well. Considere o seguinte exemplo.

The first thing to do is factor this equation as much as possible. In this case that means factoring out the greatest common factor first. Here is the factored form of this equation.

[começar5xleft( <- x - 2> ight) & = 0 5xleft( ight)left( ight) & = 0end]

Now, the zero factor property will still hold here. In this case we have a product of three terms that is zero. The only way this product can be zero is if one of the terms is zero. This means that,

[começar5x & = 0hspace <0.25in>Rightarrow & x & = 0 x - 2 & = 0hspace <0.25in>Rightarrow & x & = 2 x + 1 & = 0hspace <0.25in>Rightarrow & x & = - 1end]

So, we have three solutions to this equation.

So, provided we can factor a polynomial we can always use this as a solution technique. The problem is, of course, that it is sometimes not easy to do the factoring.

Square Root Property

The second method of solving quadratics we’ll be looking at uses the square root property,

There is a (potentially) new symbol here that we should define first in case you haven’t seen it yet. The symbol “( pm )” is read as : “plus or minus” and that is exactly what it tells us. This symbol is shorthand that tells us that we really have two numbers here. One is (p = sqrt d ) and the other is (p = - sqrt d ). Get used to this notation as it will be used frequently in the next couple of sections as we discuss the remaining solution techniques. It will also arise in other sections of this chapter and even in other chapters.

This is a fairly simple property to use, however it can only be used on a small portion of the equations that we’re ever likely to encounter. Let’s see some examples of this property.

There really isn’t all that much to these problems. In order to use the square root property all that we need to do is get the squared quantity on the left side by itself with a coefficient of 1 and the number on the other side. Once this is done we can use the square root property.

This is a fairly simple problem so here is the work for this equation.

So, there are two solutions to this equation, (x = pm 10). Remember this means that there are really two solutions here, (x = - 10) and (x = 10).

Okay, the main difference between this one and the previous one is the 25 in front of the squared term. The square root property wants a coefficient of one there. That’s easy enough to deal with however we’ll just divide both sides by 25. Here is the work for this equation.

In this case the solutions are a little messy, but many of these will do so don’t worry about that. Also note that since we knew what the square root of 25 was we went ahead and split the square root of the fraction up as shown. Again, remember that there are really two solutions here, one positive and one negative.

This one is nearly identical to the previous part with one difference that we’ll see at the end of the example. Here is the work for this equation.

So, there are two solutions to this equation : (z = pm frac<7><2>i). Notice as well that they are complex solutions. This will happen with the solution to many quadratic equations so make sure that you can deal with them.

This one looks different from the previous parts, however it works the same way. The square root property can be used anytime we have something squared equals a number. That is what we have here. The main difference of course is that the something that is squared isn’t a single variable it is something else. So, here is the application of the square root property for this equation.

Now, we just need to solve for (t) and despite the “plus or minus” in the equation it works the same way we would solve any linear equation. We will add 9 to both sides and then divide by a 2.

Note that we multiplied the fraction through the parenthesis for the final answer. We will usually do this in these problems. Also, do NOT convert these to decimals unless you are asked to. This is the standard form for these answers. With that being said we should convert them to decimals just to make sure that you can. Here are the decimal values of the two solutions.

In this final part we’ll not put much in the way of details into the work.

[começar ight)^2> & = - 81 3x + 10 & = pm ,9,i 3x & = - 10 pm ,9,i x & = - frac<<10>> <3>pm 3,iend]

So we got two complex solutions again and notice as well that with both of the previous part we put the “plus or minus” part last. This is usually the way these are written.

As mentioned at the start of this section we are going to break this topic up into two sections for the benefit of those viewing this on the web. The next two methods of solving quadratic equations, completing the square and quadratic formula, are given in the next section.


-- Quadratics - PureMaths 1 - RP AS & A Level Mathematics

Welcome to this short ‘insights video’ where learners can better understand how to solve quadratic equations using the ‘completing the square’ technique. This technique can solve ‘perfect square’ quadratic equations like this.

. where the coefficient of the squared term is ‘one’. However, equations do not always appear in this form, for example in the following equation the squared term coefficient is two.

but, the equation can be rearranged like this…

. So, leaving the rest of the equation alone, learners can use the ‘completing the square’ technique to solve the ‘x squared plus two x’ part within the brackets first. An important mistake learners often make is to correctly solve this, but then, forget to replace this back into the original quadratic equation to score full marks.

Simple geometry can help students visualise how the completing the square technique works.

. If our ‘general formula’ is to solve x squared plus b times x. Learners can think of this equation as two rectangles and we need to find out the area!

The first rectangle is x wide by x height. It’s area represents the x2 part of the equation, and is a square. The second rectangle is b long and x wide. It’s area represents the b times x part of the equation. Now the learners could rearrange these shapes like this…

And if we were to ‘complete the square’ it would look like this…

So, the total area is easy to work out. It’s x plus b over two all squared. But we don't want the blue square - it’s not part of our equation. So we have to subtract b over two, times b over two. Which is b squared over four. So, the answer to the general solution becomes.

Then learners can replace this general solution back in their original equation within the brackets. And because it only contains one x function now the original quadratic equation is easy to rearrange.

I hope this short insights video has been useful to you to help explain to your learners the types of equations ‘completing the square’ solves and a very visual way to explain how to use the ‘completing the square’ method.


5.1 Quadratic Functions

Curved antennas, such as the ones shown in Figure 1, are commonly used to focus microwaves and radio waves to transmit television and telephone signals, as well as satellite and spacecraft communication. The cross-section of the antenna is in the shape of a parabola, which can be described by a quadratic function.

In this section, we will investigate quadratic functions, which frequently model problems involving area and projectile motion. Working with quadratic functions can be less complex than working with higher degree functions, so they provide a good opportunity for a detailed study of function behavior.

Recognizing Characteristics of Parabolas

The graph of a quadratic function is a U-shaped curve called a parabola . One important feature of the graph is that it has an extreme point, called the vertex . If the parabola opens up, the vertex represents the lowest point on the graph, or the minimum value of the quadratic function. If the parabola opens down, the vertex represents the highest point on the graph, or the maximum value . In either case, the vertex is a turning point on the graph. The graph is also symmetric with a vertical line drawn through the vertex, called the axis of symmetry . These features are illustrated in Figure 2.

O y-intercept is the point at which the parabola crosses the y-eixo. O x-intercepts are the points at which the parabola crosses the x-eixo. If they exist, the x-intercepts represent the zeros , or roots , of the quadratic function, the values of x x at which y = 0. y = 0.

Exemplo 1

Identifying the Characteristics of a Parabola

Determine the vertex, axis of symmetry, zeros, and y - y - intercept of the parabola shown in Figure 3.


The following illustration shows all of the differences we're referring to in these equations, for the quadratic sequence: (6,11,18,27,38,51 dots )


Looking at this, and the Fórmula we saw above, each of the equações is: [egin 2a = 2 3a + b = 5 a+b+c = 6 end] We can see that the values that we use, the ones we've boxed in the illustration, are always the first on each row.

Using each of these equations, in the order they're stated here, we can find each of the three coefficients (a), (b) and (c).

This is best explained in the following tutorial, watch it now.

Tutorial: Formula for the (n^>) term

In the following tutorial we learn the method for finding the formula for the n-th term of a quadratic sequence.


Converting from standard form to vertex form

Converting a quadratic equation from standard form to vertex form involves a technique called completing the square. Refer to the completing the square for a detailed explanation. Generally, it involves moving the constant to the other side of the equation and finding a constant that allows us to write the right hand side of the equation in a form resembling vertex form, applying that constant to the left side of the equation, then shifting the constant on the left side back to the right side.

Convert y = 3x 2 + 9x + 4 to vertex form:

This is our equation in vertex form, which tells us that the vertex is at (, ), and also that our parabola opens upwards, since a (3 in this case) is positive.

To convert from vertex form to standard form, we simply expand vertex form. We can confirm that our above equation in vertex form is the same as the original equation in standard form by expanding it:

Expanding our equation in vertex form yields the same equation we started with in standard form, so we've confirmed that our conversion to vertex form was correct.


Chapter 6 Quadratic Functions

The models we have explored so far, namely, linear, exponential, and logarithmic are functions, that is, always increasing or always decreasing on their domains. (Remember that we used power functions as models in the first quadrant only.) In this chapter, we investigate problems where the output variable may change from increasing to decreasing, or vice versa. The simplest sort of function that models this behavior is a quadratic function, one that involves the square of the variable.

Around 1600, Galileo began to study the motion of falling objects. He used a ball rolling down an inclined plane or ramp to slow down the motion.

Galileo had no accurate way to measure time clocks had not been invented yet. So he used water running into a jar to mark equal time intervals. After many trials, Galileo found that the ball traveled (1) unit of distance down the plane in the first time interval, (3) units in the second time interval, (5) units in the third time interval, and so on, as shown in the figure, with the distances increasing through odd units of distance as time went on.

As you can see in Table278, the total distance traveled by the ball is proportional to the square of the time elapsed, (s = kt^2 ext<.>) Galileo found that this relationship held no matter how steep he made the ramp. Plotting the height of the ball as a function of time, we obtain a portion of the graph of a quadratic function.

Investigation 4 Height of a Baseball

Suppose a baseball player pops up, that is, hits the baseball straight up into the air. The height, (h ext<,>) of the baseball (t) seconds after it leaves the bat can be calculated using a formula from physics. This formula takes into account the initial speed of the ball ((64) feet per second) and its height when it was hit ((4) feet). The formula for the height of the ball (in feet) is

Evaluate the formula to complete the table of values for the height of the baseball.

Graph the height of the baseball as a function of time. Plot data points from your table, then connect the points with a smooth curve.

What are the coordinates of the highest point on the graph? When does the baseball reach its maximum height, and what is that height?

Use the formula to find the height of the baseball after (dfrac<1><2>) second.

Check that your answer to part (4) corresponds to a point on your graph. Approximate from your graph another time at which the baseball is at the same height as your answer to part (4).

Use your graph to find two times when the baseball is at a height of (64) feet.

Use your graph to approximate two times when the baseball is at a height of (20) feet. Then use the formula to find the actual heights at those times.

Suppose the catcher catches the baseball at a height of (4) feet, before it strikes the ground. At what time was the ball caught?

Use your calculator to make a table of values for the equation (h = -16t^2 + 64t + 4) with TblStart = (0) and (Delta)Tbl (= 0.5 ext<.>)

Use your calculator to graph the equation for the height of the ball, with window settings egin exto amp = 0, ampamp ext = 4.5, ampamp ext = 5 ext amp = 0, ampamp ext = 70, ampamp ext = 5 end

Use o cruzar command to verify your answer part (7): Estimate two times when the baseball is at a height of (20) feet.

Use o cruzar command to verify your answer to part (8): At what time was the ball caught if it was caught at a height of (4) feet?


Solução

When you graph these four equations, only two different parabolas are shown. This is because the first three equations are equivalent, and so all produce the same graph. We can see the equivalence as follows:

If we multiply the factors given in the first equation, we’ll get the second equation:

Similarly, if we multiply out the perfect square and combine like terms in the third equation, we also get the second one:

The fourth function produces a different graph. We can see that the difference between it and $y_2$ is just 4, so that graph is 4 units below the other one.

The vertex is $(1, ­-4)$ which is most visible in $y_3$ since the vertex occurs at the point where the squared portion is zero.

The $y$-­intercept is $(0, ­-3)$, which is visible as the constant in $y_2$ since the other terms are 0 when you plug in $x = 0­$.

The $x$-­intercepts are $(3,0)$ and $(-­1, 0)$, which are most visible in $y_1$ since you can find the roots of the polynomial using the zero­factor property and thus the intercepts correspond to the zeros of each factor.

Note: each of these problems has many possible answers. We’re including three possible answers for each one, to demonstrate the type of variability you might expect to see in a class. Asking students for three possible answers is a great extension for students - it gets them thinking about the effects of the different parts of the equation.

The following have a vertex at $(­-2,-­5)$ : $ egin y &= (x + 2)^2 - 5 y &= ­-(x + 2)^2 - 5 y &= 3(x + 2)^2 - 5 end $

The following have a $y$-­intercept of $(0,-­6)$ : $ egin y &= x^2 - 6 y &= x^2 + 13x - 6 y& = 2x^2 - 6 end $

The following have $x$-­intercepts of $(3,0)$ and $(5,0)$: $ egin y &= (x - 3)(x - 5) y &= 2(x - 3)(x - 5) y &= -­7(x - 3)(x - 5) end $

The following have $x$-intercepts at the origin and $(-­4,0)$: $ egin y &= x(x + 4) y &= 12x(x + 4) y &= ­-x(x + 4) end $

The following go through the points $(-­4,2)$ and $(1, 2)$: $ egin y &= (x + 4)(x - 1) + 2 y &= 2(x + 4)(x - 1) + 2 y &= ­ - frac12 (x + 4)(x - 1) + 2 end $ (Note: students will likely need to experiment quite a bit to find an equation that satisfies these constraints.)


O parabola defined by: [y = x^2+2x-3] has (y)-intercept at: [egin0,-3end] Where (-3) is the only term without an (x) in the parabola's equation.

This can be seen on this parabola's graph:

We can see that (y=x^2+2x-3) cuts the (y)-axis at the point (egin0,-3 end).

This can be confirmed algebraically we can find the (y)-intercept using the fact that when the curve cuts the (y)-axis: (x=0), so replacing (x) by (0) in the parabola's equation leads to: [y = 0^2+2 imes 0-3 = -3] So the (y)-intercept is (egin0,-3 end).


D - y intercepts of the graph of a quadratic function

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