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4.4: Formas Indeterminadas e Regra do Hospital - Matemática


objetivos de aprendizado

  • Reconheça quando aplicar a regra de L'Hôpital.
  • Identifique formas indeterminadas produzidas por quocientes, produtos, subtrações e poderes e aplique a regra de L'Hôpital em cada caso.
  • Descreva as taxas de crescimento relativo das funções.

Nesta seção, examinamos uma ferramenta poderosa para avaliar limites. Esta ferramenta, conhecida como Regra de L'Hôpital, usa derivados para calcular limites. Com esta regra, poderemos avaliar muitos limites que ainda não conseguimos determinar. Em vez de confiar em evidências numéricas para conjeturar que existe um limite, seremos capazes de mostrar definitivamente que existe um limite e determinar seu valor exato.

Aplicação da regra de L'Hôpital

A regra de L'Hôpital pode ser usada para avaliar limites envolvendo o quociente de duas funções. Considerar

[ lim_ {x → a} dfrac {f (x)} {g (x)}. ]

Se ( displaystyle lim_ {x → a} f (x) = L_1 ) e ( displaystyle lim_ {x → a} g (x) = L_2 ≠ 0, ) então

[ lim_ {x → a} dfrac {f (x)} {g (x)} = dfrac {L_1} {L_2}. ]

No entanto, o que acontece se ( displaystyle lim_ {x → a} f (x) = 0 ) e ( displaystyle lim_ {x → a} g (x) = 0 )? Chamamos este de um dos formas indeterminadas, do tipo ( dfrac {0} {0} ). Esta é considerada uma forma indeterminada porque não podemos determinar o comportamento exato de ( dfrac {f (x)} {g (x)} ) como (x → a ) sem análise posterior. Vimos exemplos disso no início do texto. Por exemplo, considere

[ lim_ {x → 2} dfrac {x ^ 2−4} {x − 2} não numérico ]

e

[ lim_ {x → 0} dfrac { sin x} {x}. nonumber ]

Para o primeiro desses exemplos, podemos avaliar o limite fatorando o numerador e escrevendo

[ lim_ {x → 2} dfrac {x ^ 2−4} {x − 2} = lim_ {x → 2} dfrac {(x + 2) (x − 2)} {x − 2} = lim_ {x → 2} (x + 2) = 2 + 2 = 4. enhum número]

Para ( displaystyle lim_ {x → 0} dfrac { sin x} {x} ), fomos capazes de mostrar, usando um argumento geométrico, que

[ lim_ {x → 0} dfrac { sin x} {x} = 1. enhum número]

Aqui, usamos uma técnica diferente para avaliar limites como esses. Essa técnica não apenas fornece uma maneira mais fácil de avaliar esses limites, mas também, e mais importante, nos fornece uma maneira de avaliar muitos outros limites que não podíamos calcular anteriormente.

A ideia por trás da regra de L'Hôpital pode ser explicada usando aproximações lineares locais. Considere duas funções diferenciáveis ​​ (f ) e (g ) tais que ( displaystyle lim_ {x → a} f (x) = 0 = lim_ {x → a} g (x) ) e tal que (g ′ (a) ≠ 0 ) Para (x ) próximo a (a ), podemos escrever

[f (x) ≈f (a) + f ′ (a) (x − a) ]

e

[g (x) ≈g (a) + g ′ (a) (x − a). ]

Portanto,

[ dfrac {f (x)} {g (x)} ≈ dfrac {f (a) + f ′ (a) (x − a)} {g (a) + g ′ (a) (x− uma)}.]

Uma vez que (f ) é diferenciável em (a ), então (f ) é contínuo em (a ) e, portanto, ( displaystyle f (a) = lim_ {x → a} f ( x) = 0 ). Da mesma forma, ( displaystyle g (a) = lim_ {x → a} g (x) = 0 ). Se também assumirmos que (f ′ ) e (g ′ ) são contínuos em (x = a ), então ( displaystyle f ′ (a) = lim_ {x → a} f ′ ( x) ) e ( displaystyle g ′ (a) = lim_ {x → a} g ′ (x) ). Usando essas idéias, concluímos que

[ lim_ {x → a} dfrac {f (x)} {g (x)} = lim_ {x → a} dfrac {f ′ (x) (x − a)} {g ′ (x ) (x − a)} = lim_ {x → a} dfrac {f ′ (x)} {g ′ (x)}. ]

Observe que a suposição de que (f ′ ) e (g ′ ) são contínuos em (a ) e (g ′ (a) ≠ 0 ) pode ser afrouxada. Declaramos a regra de L'Hôpital formalmente para a forma indeterminada ( dfrac {0} {0} ). Observe também que a notação ( dfrac {0} {0} ) não significa que estamos realmente dividindo zero por zero. Em vez disso, estamos usando a notação ( dfrac {0} {0} ) para representar um quociente de limites, cada um dos quais é zero.

Regra de L'Hôpital (caso 0/0)

Suponha que (f ) e (g ) sejam funções diferenciáveis ​​em um intervalo aberto contendo (a ), exceto possivelmente em (a ). Se ( displaystyle lim_ {x → a} f (x) = 0 ) e ( displaystyle lim_ {x → a} g (x) = 0, ) então

[ lim_ {x → a} dfrac {f (x)} {g (x)} = lim_ {x → a} dfrac {f ′ (x)} {g ′ (x)}, ]

assumindo que o limite da direita existe ou é (∞ ) ou (- ∞ ). Este resultado também é válido se estivermos considerando limites unilaterais, ou se (a = ∞ ) ou (a = −∞. )

Prova

Fornecemos uma prova desse teorema no caso especial em que (f, g, f ′, ) e (g ′ ) são todos contínuos em um intervalo aberto contendo a. Nesse caso, uma vez que ( lim_ {x → a} f (x) = 0 = lim_ {x → a} g (x) ) e (f ) e (g ) são contínuos em (a ), segue-se que (f (a) = 0 = g (a) ). Portanto,

[ begin {align *} lim_ {x → a} dfrac {f (x)} {g (x)} & = lim_ {x → a} dfrac {f (x) −f (a) } {g (x) −g (a)} & & text {Uma vez que} , f (a) = 0 = g (a) [4pt]
& = lim_ {x → a} dfrac { dfrac {f (x) −f (a)} {x − a}} { dfrac {g (x) −g (a)} {x − a} } & & text {Multiplique o numerador e o denominador por} , frac {1} {xa} [4pt]
& = frac { displaystyle lim_ {x → a} dfrac {f (x) −f (a)} {x − a}} { displaystyle lim_ {x → a} dfrac {g (x) −g (a)} {x − a}} & & text {O limite de um quociente é o quociente dos limites.} [4pt]
& = dfrac {f ′ (a)} {g ′ (a)} & & text {Pela definição da derivada} [4pt]
& = frac { displaystyle lim_ {x → a} f ′ (x)} { displaystyle lim_ {x → a} g ′ (x)} & & text {Pela continuidade de} , f ′ , text {e} , g ′ [4pt]
& = lim_ {x → a} dfrac {f ′ (x)} {g ′ (x)}. & & text {O limite de um quociente} end {align *} ]

Observe que a regra de L'Hôpital afirma que podemos calcular o limite de um quociente ( dfrac {f} {g} ) considerando o limite do quociente das derivadas ( dfrac {f ′} {g ′} ) É importante perceber que não estamos calculando a derivada do quociente ( dfrac {f} {g} ).

Exemplo ( PageIndex {1} ): Aplicando a regra de L'Hôpital (caso 0/0)

Avalie cada um dos seguintes limites aplicando a regra de L'Hôpital.

  1. ( displaystyle lim_ {x → 0} dfrac {1− cos x} {x} )
  2. ( displaystyle lim_ {x → 1} dfrac { sin (πx)} { ln x} )
  3. ( displaystyle lim_ {x → ∞} dfrac {e ^ {1 / x} −1} {1 / x} )
  4. ( displaystyle lim_ {x → 0} dfrac { sin x − x} {x ^ 2} )

Solução

a .. Como o numerador (1− cos x → 0 ) e o denominador (x → 0 ), podemos aplicar a regra de L'Hôpital para avaliar este limite. Nós temos

[ lim_ {x → 0} dfrac {1− cos x} {x} = lim_ {x → 0} dfrac { dfrac {d} {dx} big (1− cos x big )} { dfrac {d} {dx} big (x big)} = lim_ {x → 0} dfrac { sin x} {1} = frac { displaystyle lim_ {x → 0} sin x} { displaystyle lim_ {x → 0} 1} = dfrac {0} {1} = 0. enhum número]

b. Como (x → 1, ) o numerador ( sin (πx) → 0 ) e o denominador ( ln (x) → 0. ) Portanto, podemos aplicar a regra de L’Hôpital. Nós obtemos

[ begin {align *} lim_ {x → 1} dfrac { sin (πx)} { ln x} & = lim_ {x → 1} dfrac {π cos (πx)} {1 / x} [4pt] & = lim_ {x → 1} (πx) cos (πx) [4pt] & = (π⋅1) (- 1) = - π. end {align *} ]

c. Como (x → ∞ ), o numerador (e ^ {1 / x} −1 → 0 ) e o denominador ( frac {1} {x} → 0 ). Portanto, podemos aplicar a regra de L'Hôpital. Nós obtemos

[ lim_ {x → ∞} dfrac {e ^ {1 / x} −1} { dfrac {1} {x}} = lim_ {x → ∞} dfrac {e ^ {1 / x} ( tfrac {−1} {x ^ 2})} { left ( frac {−1} {x ^ 2} right)} = lim_ {x → ∞} e ^ {1 / x} = e ^ 0 = 1. enhum número]

d. Como (x → 0, ) tanto o numerador quanto o denominador se aproximam de zero. Nós obtemos

[ lim_ {x → 0} dfrac { sin x − x} {x ^ 2} = lim_ {x → 0} dfrac { cos x − 1} {2x}. nonumber ]

Uma vez que o numerador e o denominador deste novo quociente se aproximam de zero como (x → 0 ), aplicamos a regra de L'Hôpital novamente. Ao fazer isso, vemos que

[ lim_ {x → 0} dfrac { cos x − 1} {2x} = lim_ {x → 0} dfrac {- sin x} {2} = 0. enhum número]

Portanto, concluímos que

[ lim_ {x → 0} dfrac { sin x − x} {x ^ 2} = 0. enhum número]

Exercício ( PageIndex {1} )

Avalie [ lim_ {x → 0} dfrac {x} { tan x}. enhum número]

Dica

( dfrac {d} {dx} big ( tan x big) = sec ^ 2x )

Responder

(1)

Também podemos usar a regra de L'Hôpital para avaliar os limites dos quocientes ( dfrac {f (x)} {g (x)} ) em que (f (x) → ± ∞ ) e (g (x ) → ± ∞ ). Os limites desta forma são classificados como formas indeterminadas do tipo (∞ / ∞ ). Novamente, observe que não estamos realmente dividindo (∞ ) por (∞ ). Como (∞ ) não é um número real, isso é impossível; em vez disso, (∞ / ∞ ). é usado para representar um quociente de limites, cada um dos quais é (∞ ) ou (- ∞ ).

Regra de L'Hôpital (Caso (∞ / ∞ ))

Suponha que (f ) e (g ) sejam funções diferenciáveis ​​em um intervalo aberto contendo (a ), exceto possivelmente em (a ). Suponha que ( displaystyle lim_ {x → a} f (x) = ∞ ) (ou (- ∞ )) e ( displaystyle lim_ {x → a} g (x) = ∞ ) ( ou (- ∞ )). Então,

[ lim_ {x → a} dfrac {f (x)} {g (x)} = lim_ {x → a} dfrac {f ′ (x)} {g ′ (x)} ]

assumindo que o limite da direita existe ou é (∞ ) ou (- ∞ ). Este resultado também é válido se o limite for infinito, se (a = ∞ ) ou (- ∞ ), ou se o limite for unilateral.

Exemplo ( PageIndex {2} ): Aplicando a Regra de L'Hôpital ( (∞ / ∞ )) Caso

Avalie cada um dos seguintes limites aplicando a regra de L'Hôpital.

  1. ( displaystyle lim_ {x → infty} dfrac {3x + 5} {2x + 1} )
  2. ( displaystyle lim_ {x → 0 ^ +} dfrac { ln x} { cot x} )

Solução

uma. Como (3x + 5 ) e (2x + 1 ) são polinômios de primeiro grau com coeficientes iniciais positivos, ( displaystyle lim_ {x → ∞} (3x + 5) = ∞ ) e ( displaystyle lim_ {x → ∞} (2x + 1) = ∞ ). Portanto, aplicamos a regra de L'Hôpital e obtemos

[ lim_ {x → ∞} dfrac {3x + 5} {2x + 1} = lim_ {x → ∞} dfrac {3 + 5 / x} {2x + 1} = lim_ {x → ∞ } dfrac {3} {2} = dfrac {3} {2}. nonumber ]

Observe que este limite também pode ser calculado sem invocar a regra de L'Hôpital. No início do capítulo, mostramos como avaliar esse limite dividindo o numerador e o denominador pela maior potência de x no denominador. Ao fazer isso, vimos que

[ lim_ {x → ∞} dfrac {3x + 5} {2x + 1} = lim_ {x → ∞} dfrac {3 + 5 / x} {2x + 1} = dfrac {3} { 2} enhum número ]

A regra de L'Hôpital nos fornece um meio alternativo de avaliar este tipo de limite.

b. Aqui, ( displaystyle lim_ {x → 0 ^ +} ln x = −∞ ) e ( displaystyle lim_ {x → 0 ^ +} cot x = ∞ ). Portanto, podemos aplicar a regra de L'Hôpital e obter

[ lim_ {x → 0 ^ +} dfrac { ln x} { cot x} = lim_ {x → 0 ^ +} dfrac {1 / x} {- csc ^ 2x} = lim_ {x → 0 ^ +} dfrac {1} {- x csc ^ 2x}. enhum número ]

Agora como (x → 0 ^ +, csc ^ 2x → ∞ ). Portanto, o primeiro termo no denominador está se aproximando de zero e o segundo termo está ficando muito grande. Nesse caso, tudo pode acontecer com o produto. Portanto, não podemos fazer nenhuma conclusão ainda. Para avaliar o limite, usamos a definição de (cscx ) para escrever

[ lim_ {x → 0 ^ +} dfrac {1} {- x csc ^ 2x} = lim_ {x → 0 ^ +} dfrac { sin ^ 2x} {- x}. enhum número ]

Agora ( displaystyle lim_ {x → 0 ^ +} sin ^ 2x = 0 ) e ( displaystyle lim_ {x → 0 ^ +} x = 0 ), então aplicamos a regra de L'Hôpital novamente . Nós achamos

[ lim_ {x → 0 ^ +} dfrac { sin ^ 2x} {- x} = lim_ {x → 0 ^ +} dfrac {2 sin x cos x} {- 1} = dfrac {0} {- 1} = 0. enhum número ]

Concluimos que

[ lim_ {x → 0 ^ +} dfrac { ln x} { cot x} = 0. enhum número ]

Exercício ( PageIndex {2} )

Avalie [ lim_ {x → ∞} dfrac { ln x} {5x}. enhum número]

Dica

( dfrac {d} {dx} big ( ln x big) = dfrac {1} {x} )

Responder

(0)

Conforme mencionado, a regra de L'Hôpital é uma ferramenta extremamente útil para avaliar os limites. É importante lembrar, entretanto, que para aplicar a regra de L'Hôpital a um quociente f (x) g (x), é essencial que o limite de ( dfrac {f (x)} {g (x)} ) ser da forma ( dfrac {0} {0} ) ou (∞ / ∞ ). Considere o seguinte exemplo.

Exemplo ( PageIndex {3} ): Quando a regra de L'Hôpital não se aplica

Considere ( displaystyle lim_ {x → 1} dfrac {x ^ 2 + 5} {3x + 4}. )

Mostre que o limite não pode ser avaliado pela aplicação da regra de L'Hôpital.

Solução

Como os limites do numerador e do denominador não são zero e também não são infinitos, não podemos aplicar a regra de L'Hôpital. Se tentarmos fazer isso, conseguiremos

[ dfrac {d} {dx} (x ^ 2 + 5) = 2x não numérico ]

e

[ dfrac {d} {dx} (3x + 4) = 3. enhum número]

Nesse ponto, concluiríamos erroneamente que

[ lim_ {x → 1} dfrac {x ^ 2 + 5} {3x + 4} = lim_ {x → 1} dfrac {2x} {3} = dfrac {2} {3}. enhum número]

No entanto, uma vez que ( displaystyle lim_ {x → 1} (x ^ 2 + 5) = 6 ) e ( displaystyle lim_ {x → 1} (3x + 4) = 7, ) realmente temos

[ lim_ {x → 1} dfrac {x ^ 2 + 5} {3x + 4} = dfrac {6} {7}. enhum número]

Nos podemos concluir que

[ lim_ {x → 1} dfrac {x ^ 2 + 5} {3x + 4} ≠ lim_ {x → 1} dfrac { dfrac {d} {dx} (x ^ 2 + 5)} { dfrac {d} {dx} (3x + 4).} nonumber ]

Exercício ( PageIndex {3} )

Explique por que não podemos aplicar a regra de L'Hôpital para avaliar ( displaystyle lim_ {x → 0 ^ +} dfrac { cos x} {x} ). Avalie ( displaystyle lim_ {x → 0 ^ +} dfrac { cos x} {x} ) por outros meios.

Dica

Determine os limites do numerador e denominador separadamente.

Responder

( displaystyle lim_ {x → 0 ^ +} cos x = 1. ) Portanto, não podemos aplicar a regra de L'Hôpital. O limite do quociente é (∞. )

Outras formas indeterminadas

A regra de L'Hôpital é muito útil para avaliar limites envolvendo as formas indeterminadas ( dfrac {0} {0} ) e (∞ / ∞ ). No entanto, também podemos usar a regra de L'Hôpital para ajudar a avaliar os limites envolvendo outras formas indeterminadas que surgem ao avaliar os limites. As expressões (0⋅∞, ∞ − ∞, 1 ^ ∞, ∞ ^ 0 ) e (0 ^ 0 ) são todas consideradas formas indeterminadas. Essas expressões não são números reais. Em vez disso, eles representam formas que surgem ao tentar avaliar certos limites. Em seguida, percebemos por que essas formas são indeterminadas e, em seguida, entendemos como usar a regra de L'Hôpital nesses casos. A ideia principal é que devemos reescrever as formas indeterminadas de tal forma que cheguemos à forma indeterminada ( dfrac {0} {0} ) ou (∞ / ∞ ).

Forma Indeterminada do Tipo 0⋅∞

Suponha que queremos avaliar ( displaystyle lim_ {x → a} (f (x) ⋅g (x)) ), onde (f (x) → 0 ) e (g (x) → ∞ ) (ou (- ∞ )) como (x → a ). Como um termo no produto está se aproximando de zero, mas o outro termo está se tornando arbitrariamente grande (em magnitude), tudo pode acontecer com o produto. Usamos a notação (0⋅∞ ) para denotar a forma que surge nesta situação. A expressão (0⋅∞ ) é considerada indeterminada porque não podemos determinar sem uma análise mais aprofundada o comportamento exato do produto (f (x) g (x) ) como (x → ∞ ). Por exemplo, seja (n ) um número inteiro positivo e considere

(f (x) = dfrac {1} {(x ^ n + 1)} ) e (g (x) = 3x ^ 2 ).

Como (x → ∞, f (x) → 0 ) e (g (x) → ∞ ). No entanto, o limite como (x → ∞ ) de (f (x) g (x) = dfrac {3x ^ 2} {(x ^ n + 1)} ) varia, dependendo de (n ) Se (n = 2 ), então ( displaystyle lim_ {x → ∞} f (x) g (x) = 3 ). Se (n = 1 ), então ( displaystyle lim_ {x → ∞} f (x) g (x) = ∞ ). Se (n = 3 ), então ( displaystyle lim_ {x → ∞} f (x) g (x) = 0 ). Aqui, consideramos outro limite envolvendo a forma indeterminada (0⋅∞ ) e mostramos como reescrever a função como um quociente para usar a regra de L'Hôpital.

Exemplo ( PageIndex {4} ): Forma indeterminada do tipo (0⋅∞ )

Avalie ( displaystyle lim_ {x → 0 ^ +} x ln x. )

Solução

Primeiro, reescreva a função (x ln x ) como um quociente para aplicar a regra de L'Hôpital. Se escrevermos

[x ln x = dfrac { ln x} {1 / x} nonumber ]

vemos que ( ln x → −∞ ) como (x → 0 ^ + ) e ( dfrac {1} {x} → ∞ ) como (x → 0 ^ + ). Portanto, podemos aplicar a regra de L'Hôpital e obter

[ lim_ {x → 0 ^ +} dfrac { ln x} {1 / x} = lim_ {x → 0 ^ +} dfrac { dfrac {d} {dx} big ( ln x big)} { dfrac {d} {dx} big (1 / x big)} = lim_ {x → 0 ^ +} dfrac {1 / x ^ 2} {- 1 / x} = lim_ {x → 0 ^ +} (- x) = 0. enhum número ]

Concluimos que

[ lim_ {x → 0 ^ +} x ln x = 0. enhum número ]

Exercício ( PageIndex {4} )

Avalie [ lim_ {x → 0} x cot x. enhum número ]

Dica

Escreva (x cot x = dfrac {x cos x} { sin x} )

Responder

(1)

Forma indeterminada do tipo (∞ − ∞ )

Outro tipo de forma indeterminada é (∞ − ∞. ) Considere o seguinte exemplo. Seja (n ) um número inteiro positivo e seja (f (x) = 3x ^ n ) e (g (x) = 3x ^ 2 + 5 ). Como (x → ∞, f (x) → ∞ ) e (g (x) → ∞ ). Estamos interessados ​​em ( displaystyle lim_ {x → ∞} (f (x) −g (x)) ). Dependendo se (f (x) ) cresce mais rápido, (g (x) ) cresce mais rápido, ou eles crescem na mesma taxa, como veremos a seguir, qualquer coisa pode acontecer neste limite. Como (f (x) → ∞ ) e (g (x) → ∞ ), escrevemos (∞ − ∞ ) para denotar a forma desse limite. Tal como acontece com nossas outras formas indeterminadas, (∞ − ∞ ) não tem significado por si só e devemos fazer mais análises para determinar o valor do limite. Por exemplo, suponha que o expoente n na função (f (x) = 3x ^ n ) seja (n = 3 ), então

[ lim_ {x → ∞} (f (x) −g (x)) = lim_ {x → ∞} (3x ^ 3−3x ^ 2−5) = ∞. enhum número]

Por outro lado, se (n = 2, ) então

[ lim_ {x → ∞} (f (x) −g (x)) = lim_ {x → ∞} (3x ^ 2−3x ^ 2−5) = - 5. enhum número]

No entanto, se (n = 1 ), então

[ lim_ {x → ∞} (f (x) −g (x)) = lim_ {x → ∞} (3x − 3x ^ 2−5) = - ∞. enhum número]

Portanto, o limite não pode ser determinado considerando apenas (∞ − ∞ ). A seguir, vemos como reescrever uma expressão envolvendo a forma indeterminada (∞ − ∞ ) como uma fração para aplicar a regra de L'Hôpital.

Exemplo ( PageIndex {5} ): Forma indeterminada do tipo (∞ − ∞ )

Avalie [ lim_ {x → 0 ^ +} left ( dfrac {1} {x ^ 2} - dfrac {1} { tan x} right). enhum número]

Solução

Combinando as frações, podemos escrever a função como um quociente. Como o mínimo denominador comum é (x ^ 2 tan x, ), temos

( dfrac {1} {x ^ 2} - dfrac {1} { tan x} = dfrac {( tan x) −x ^ 2} {x ^ 2 tan x} ).

Como (x → 0 ^ + ), o numerador ( tan x − x ^ 2 → 0 ) e o denominador (x ^ 2 tan x → 0. ) Portanto, podemos aplicar L'Hôpital's regra. Tomando as derivadas do numerador e do denominador, temos

[ lim_ {x → 0 ^ +} dfrac {( tan x) −x ^ 2} {x ^ 2 tan x} = lim_ {x → 0 ^ +} dfrac {( sec ^ 2x ) −2x} {x ^ 2 sec ^ 2x + 2x tan x}. enhum número]

Como (x → 0 ^ + ), ((sec ^ 2x) −2x → 1 ) e (x ^ 2seg ^ 2x + 2x tan x → 0 ). Uma vez que o denominador é positivo quando (x ) se aproxima de zero da direita, concluímos que

[ lim_ {x → 0 ^ +} dfrac {( sec ^ 2x) −2x} {x ^ 2 sec ^ 2x + 2x tan x} = ∞. enhum número]

Portanto,

[ lim_ {x → 0 ^ +} left ( dfrac {1} {x ^ 2} - dfrac {1} { tan x} right) = ∞. enhum número ]

Exercício ( PageIndex {5} )

Avalie ( displaystyle lim_ {x → 0 ^ +} left ( dfrac {1} {x} - dfrac {1} { sin x} right) ).

Dica

Reescreva a diferença de frações como uma única fração.

Responder

0

Outro tipo de forma indeterminada que surge ao avaliar limites envolve expoentes. As expressões (0 ^ 0, ∞ ^ 0 ) e (1 ^ ∞ ) são todas formas indeterminadas. Por si só, essas expressões não têm sentido porque não podemos realmente avaliar essas expressões como avaliaríamos uma expressão envolvendo números reais. Em vez disso, essas expressões representam formas que surgem ao encontrar limites. Agora examinamos como a regra de L'Hôpital pode ser usada para avaliar limites envolvendo essas formas indeterminadas.

Uma vez que a regra de L'Hôpital se aplica a quocientes, usamos a função logaritmo natural e suas propriedades para reduzir um problema de avaliação de um limite envolvendo expoentes para um problema relacionado envolvendo o limite de um quociente Por exemplo, suponha que queremos avaliar ( displaystyle lim_ {x → a} f (x) ^ {g (x)} ) e chegamos à forma indeterminada (∞ ^ 0 ). (As formas indeterminadas (0 ^ 0 ) e (1 ^ ∞ ) podem ser tratadas de forma semelhante.) Procederemos da seguinte maneira. Deixar

[y = f (x) ^ {g (x)}. ]

Então,

[ ln y = ln (f (x) ^ {g (x)}) = g (x) ln (f (x)). ]

Portanto,

[ lim_ {x → a} [ ln (y)] = lim_ {x → a} [g (x) ln (f (x))]. ]

Como ( displaystyle lim_ {x → a} f (x) = ∞, ) sabemos que ( displaystyle lim_ {x → a} ln (f (x)) = ∞ ). Portanto, ( displaystyle lim_ {x → a} g (x) ln (f (x)) ) é da forma indeterminada (0⋅∞ ), e podemos usar as técnicas discutidas anteriormente para reescrever a expressão (g (x) ln (f (x)) ) em uma forma para que possamos aplicar a regra de L'Hôpital. Suponha que ( displaystyle lim_ {x → a} g (x) ln (f (x)) = L ), onde (L ) pode ser (∞ ) ou (- ∞. ) Então

[ lim_ {x → a} [ ln (y)] = L. ]

Uma vez que a função logaritmo natural é contínua, concluímos que

[ ln left ( lim_ {x → a} y right) = L, ]

o que nos dá

[ lim_ {x → a} y = lim_ {x → a} f (x) ^ {g (x)} = e ^ L. ]

Exemplo ( PageIndex {6} ): Forma indeterminada do tipo (∞ ^ 0 )

Avalie [ lim_ {x → ∞} x ^ {1 / x}. enhum número]

Solução

Seja (y = x ^ {1 / x} ). Então,

[ ln (x ^ {1 / x}) = dfrac {1} {x} ln x = dfrac { ln x} {x}. enhum número]

Precisamos avaliar ( displaystyle lim_ {x → ∞} dfrac { ln x} {x} ). Aplicando a regra de L'Hôpital, obtemos

[ lim_ {x → ∞} ln y = lim_ {x → ∞} dfrac { ln x} {x} = lim_ {x → ∞} dfrac {1 / x} {1} = 0 . enhum número]

Portanto, ( displaystyle lim_ {x → ∞} ln y = 0. ) Como a função de logaritmo natural é contínua, concluímos que

[ ln left ( lim_ {x → ∞} y right) = 0, nonumber ]

o que leva a

[ lim_ {x → ∞} y = lim_ {x → ∞} dfrac { ln x} {x} = e ^ 0 = 1. enhum número]

Por isso,

[ lim_ {x → ∞} x ^ {1 / x} = 1. enhum número]

Exercício ( PageIndex {6} )

Avalie [ lim_ {x → ∞} x ^ {1 / ln (x)}. enhum número]

Dica

Seja (y = x ^ {1 / ln (x)} ) e aplique o logaritmo natural a ambos os lados da equação.

Responder

(e )

Exemplo ( PageIndex {7} ): Forma indeterminada do tipo (0 ^ 0 )

Avalie [ lim_ {x → 0 ^ +} x ^ { sin x}. enhum número]

Solução

Deixar

[y = x ^ { sin x}. enhum número]

Portanto,

[ ln y = ln (x ^ { sin x}) = sin x ln x. enhum número]

Agora avaliamos ( displaystyle lim_ {x → 0 ^ +} sin x ln x. ) Desde ( displaystyle lim_ {x → 0 ^ +} sin x = 0 ) e ( displaystyle lim_ {x → 0 ^ +} ln x = −∞ ), temos a forma indeterminada (0⋅∞ ). Para aplicar a regra de L'Hôpital, precisamos reescrever ( sin x ln x ) como uma fração. Poderíamos escrever

[ sin x ln x = dfrac { sin x} {1 / ln x} nonumber ]

ou

[ sin x ln x = dfrac { ln x} {1 / sin x} = dfrac { ln x} { csc x}. enhum número ]

Vamos considerar a primeira opção. Neste caso, aplicando a regra de L'Hôpital, obteríamos

[ lim_ {x → 0 ^ +} sin x ln x = lim_ {x → 0 ^ +} dfrac { sin x} {1 / ln x} = lim_ {x → 0 ^ + } dfrac { cos x} {- 1 / (x ( ln x) ^ 2)} = lim_ {x → 0 ^ +} (- x ( ln x) ^ 2 cos x). nonumber ]

Infelizmente, não temos apenas outra expressão envolvendo a forma indeterminada (0⋅∞, ), mas o novo limite é ainda mais complicado de avaliar do que aquele com o qual começamos. Em vez disso, tentamos a segunda opção. Por escrito

[ sin x ln x = dfrac { ln x} {1 / sin x} = dfrac { ln x} { csc x,} nonumber ]

e aplicando a regra de L'Hôpital, obtemos

[ lim_ {x → 0 ^ +} sin x ln x = lim_ {x → 0 ^ +} dfrac { ln x} { csc x} = lim_ {x → 0 ^ +} dfrac {1 / x} {- csc x cot x} = lim_ {x → 0 ^ +} dfrac {−1} {x csc x cot x}. enhum número]

Usando o fato de que (cscx = dfrac {1} { sin x} ) e ( cot x = dfrac { cos x} { sin x} ), podemos reescrever a expressão à direita - lado lado como

[ lim_ {x → 0 ^ +} dfrac {- sin ^ 2x} {x cos x} = lim_ {x → 0 ^ +} left [ dfrac { sin x} {x} ⋅ (- tan x) right] = left ( lim_ {x → 0 ^ +} dfrac { sin x} {x} right) ⋅ left ( lim_ {x → 0 ^ +} (- tan x) right) = 1⋅0 = 0. enhum número]

Concluímos que ( displaystyle lim_ {x → 0 ^ +} ln y = 0. ) Portanto, ( displaystyle ln left ( lim_ {x → 0 ^ +} y right) = 0 ) e nós temos

[ lim_ {x → 0 ^ +} y = lim_ {x → 0 ^ +} x ^ { sin x} = e ^ 0 = 1. nonumber ]

Por isso,

[ lim_ {x → 0 ^ +} x ^ { sin x} = 1. enhum número]

Exercício ( PageIndex {7} )

Avalie ( displaystyle lim_ {x → 0 ^ +} x ^ x ).

Dica

Seja (y = x ^ x ) e tome o logaritmo natural de ambos os lados da equação.

Responder

1

Taxas de crescimento de funções

Suponha que as funções (f ) e (g ) se aproximem do infinito como (x → ∞ ). Embora os valores de ambas as funções se tornem arbitrariamente grandes conforme os valores de (x ) tornam-se suficientemente grandes, às vezes uma função está crescendo mais rapidamente do que a outra. Por exemplo, (f (x) = x ^ 2 ) e (g (x) = x ^ 3 ) se aproximam do infinito como (x → ∞ ). No entanto, como mostra a Tabela ( PageIndex {1} ), os valores de (x ^ 3 ) estão crescendo muito mais rápido do que os valores de (x ^ 2 ).

Tabela ( PageIndex {1} ): Comparando as taxas de crescimento de (x ^ 2 ) e (x ^ 3 )
(x )10100100010,000
(f (x) = x ^ 2 )10010,0001,000,000100,000,000
(g (x) = x ^ 3 )10001,000,0001,000,000,0001,000,000,000,000

Na verdade,

[ lim_ {x → ∞} dfrac {x ^ 3} {x ^ 2} = lim_ {x → ∞} x = ∞. enhum número]

ou equivalente

[ lim_ {x → ∞x} dfrac {x ^ 2} {x ^ 3} = lim_ {x → ∞} dfrac {1} {x} = 0. enhum número]

Como resultado, dizemos que (x ^ 3 ) está crescendo mais rapidamente do que (x ^ 2 ) como (x → ∞ ). Por outro lado, para (f (x) = x ^ 2 ) e (g (x) = 3x ^ 2 + 4x + 1 ), embora os valores de (g (x) ) sejam sempre maior do que os valores de (f (x) ) para (x> 0 ), cada valor de (g (x) ) é aproximadamente três vezes o valor correspondente de (f (x) ) como (x → ∞ ), conforme mostrado na Tabela ( PageIndex {2} ). Na verdade,

[ lim_ {x → ∞} dfrac {x ^ 2} {3x ^ 2 + 4x + 1} = dfrac {1} {3}. enhum número]

Tabela ( PageIndex {2} ): Comparando as taxas de crescimento de (x ^ 2 ) e (3x ^ 2 + 4x + 1 )
(x )10100100010,000
(f (x) = x ^ 2 )10010,0001,000,000100,000,000
(g (x) = 3x ^ 2 + 4x + 1 )34130,4013,004,001300,040,001

Neste caso, dizemos que (x ^ 2 ) e (3x ^ 2 + 4x + 1 ) estão crescendo na mesma taxa que (x → ∞. )

Mais geralmente, suponha que (f ) e (g ) sejam duas funções que se aproximam do infinito como (x → ∞ ). Dizemos que (g ) cresce mais rapidamente do que (f ) como (x → ∞ ) se

[ lim_ {x → ∞} dfrac {g (x)} {f (x)} = ∞ quad text {ou, equivalentemente,} quad lim_ {x → ∞} dfrac {f (x )} {g (x)} = 0. ]

Por outro lado, se existe uma constante (M ≠ 0 ) tal que

[ lim_ {x → ∞} dfrac {f (x)} {g (x)} = M, ]

dizemos que (f ) e (g ) crescem na mesma taxa que (x → ∞ ).

A seguir, veremos como usar a regra de L'Hôpital para comparar as taxas de crescimento das funções de potência, exponencial e logarítmica.

Exemplo ( PageIndex {8} ): Comparando as taxas de crescimento de ( ln (x) ), (x ^ 2 ) e (e ^ x )

Para cada um dos seguintes pares de funções, use a regra de L’Hôpital para avaliar [ lim_ {x → ∞} dfrac {f (x)} {g (x)}. enhum número]

  1. (f (x) = x ^ 2 ) e (g (x) = e ^ x )
  2. (f (x) = ln (x) ) e (g (x) = x ^ 2 )

Solução

uma. Como ( displaystyle lim_ {x → ∞} x ^ 2 = ∞ ) e ( displaystyle lim_ {x → ∞} e ^ x ), podemos usar a regra de L'Hôpital para avaliar ( displaystyle lim_ {x → ∞} left [ dfrac {x ^ 2} {e ^ x} right] ). Nós obtemos

[ lim_ {x → ∞} frac {x ^ 2} {e ^ x} = lim_ {x → ∞} frac {2x} {e ^ x}. enhum número]

Como ( displaystyle lim_ {x → ∞} 2x = ∞ ) e ( displaystyle lim_ {x → ∞} e ^ x = ∞ ), podemos aplicar a regra de L'Hôpital novamente. Desde

[ lim_ {x → ∞} frac {2x} {e ^ x} = lim_ {x → ∞} frac {2} {e ^ x} = 0, não numérico ]

concluimos que

[ lim_ {x → ∞} dfrac {x ^ 2} {e ^ x} = 0. enhum número]

Portanto, (e ^ x ) cresce mais rapidamente do que (x ^ 2 ) como (x → ∞ ) (Ver Figura ( PageIndex {3} ) e Tabela ( PageIndex {3} ))

Tabela ( PageIndex {3} ): Taxas de crescimento de uma função de potência e uma função exponencial.
(x )5101520
(x ^ 2 )25100225400
(e ^ x )14822,0263,269,017485,165,195

b. Como ( displaystyle lim_ {x → ∞} ln x = ∞ ) e ( displaystyle lim_ {x → ∞} x ^ 2 = ∞ ), podemos usar a regra de L'Hôpital para avaliar ( displaystyle lim_ {x → ∞} dfrac { ln x} {x ^ 2} ). Nós obtemos

[ lim_ {x → ∞} dfrac { ln x} {x ^ 2} = lim_ {x → ∞} dfrac {1 / x} {2x} = lim_ {x → ∞} dfrac { 1} {2x ^ 2} = 0. enhum número]

Assim, (x ^ 2 ) cresce mais rapidamente do que ( ln x ) como (x → ∞ ) (ver Figura ( PageIndex {4} ) e Tabela ( PageIndex {4} )).

Tabela ( PageIndex {4} ): Taxas de crescimento de uma função de potência e uma função logarítmica
(x )10100100010,000
( ln (x) )2.3034.6056.9089.10
(x ^ 2 )10010,0001,000,000100,000,000

Exemplo ( PageIndex {9} ): Comparando as taxas de crescimento de (x ^ {100} ) e (2 ^ x )

Compare as taxas de crescimento de (x ^ {100} ) e (2 ^ x ).

Dica: aplique a regra de L'Hôpital a (x ^ {100} / 2 ^ x )

Solução

A função (2 ^ x ) cresce mais rápido do que (x ^ {100} ).

Usando as mesmas idéias do Exemplo a. não é difícil mostrar que (e ^ x ) cresce mais rapidamente do que (x ^ p ) para qualquer (p> 0 ). Na Figura ( PageIndex {5} ) e Tabela ( PageIndex {5} ), comparamos (e ^ x ) com (x ^ 3 ) e (x ^ 4 ) como (x → ∞ ).

Tabela ( PageIndex {5} ): Uma função exponencial cresce a uma taxa mais rápida do que qualquer função de potência
(x )5101520
(x ^ 3 )125100033758000
(x ^ 4 )62510,00050,625160,000
(e ^ x )14822,0263,326,017485,165,195

Da mesma forma, não é difícil mostrar que (x ^ p ) cresce mais rapidamente do que ( ln x ) para qualquer (p> 0 ). Na Figura ( PageIndex {6} ) e na Tabela, comparamos ( ln x ) com ( sqrt [3] {x} ) e ( sqrt {x} ).

Tabela ( PageIndex {6} ): Uma função logarítmica cresce a uma taxa mais lenta do que qualquer função raiz
(x )10100100010,000
( ln (x) )2.3034.6056.9089.210
( sqrt [3] {x} )2.1544.6421021.544
( sqrt {x} )3.1621031.623100

Conceitos chave

  • A regra de L'Hôpital pode ser usada para avaliar o limite de um quociente quando surge a forma indeterminada ( dfrac {0} {0} ) ou (∞ / ∞ ).
  • A regra de L'Hôpital também pode ser aplicada a outras formas indeterminadas se elas puderem ser reescritas em termos de um limite envolvendo um quociente que possui a forma indeterminada ( dfrac {0} {0} ) ou (∞ / ∞. )
  • A função exponencial (e ^ x ) cresce mais rápido do que qualquer função de potência (x ^ p, p> 0 ).
  • A função logarítmica ( ln x ) cresce mais lentamente do que qualquer função de potência (x ^ p, p> 0 ).

Glossário

formas indeterminadas
Ao avaliar um limite, os formulários ( dfrac {0} {0} ), (∞ / ∞, 0⋅∞, ∞ − ∞, 0 ^ 0, ∞ ^ 0 ) e (1 ^ ∞ ) são considerados indeterminados porque são necessárias análises adicionais para determinar se o limite existe e, em caso afirmativo, qual é o seu valor.
Regra de L'Hôpital
Se (f ) e (g ) são funções diferenciáveis ​​em um intervalo (a ), exceto possivelmente em (a ), e ( displaystyle lim_ {x → a} f (x) = 0 = lim_ {x → a} g (x) ) ou ( displaystyle lim_ {x → a} f (x) ) e ( displaystyle lim_ {x → a} g (x) ) são infinitos, então ( displaystyle lim_ {x → a} dfrac {f (x)} {g (x)} = lim_ {x → a} dfrac {f ′ (x)} {g ′ (x)} ), assumindo que o limite do direito existe ou é (∞ ) ou (- ∞ ).

Contribuintes e atribuições

  • Gilbert Strang (MIT) e Edwin “Jed” Herman (Harvey Mudd) com muitos autores contribuintes. Este conteúdo da OpenStax é licenciado com uma licença CC-BY-SA-NC 4.0. Baixe gratuitamente em http://cnx.org.


Assista o vídeo: LIMITES INDETERMINADOS ALVARO (Outubro 2021).