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9.5: Equações Lineares


objetivos de aprendizado

  • Escreva uma equação diferencial linear de primeira ordem na forma padrão.
  • Encontre um fator de integração e use-o para resolver uma equação diferencial linear de primeira ordem.
  • Resolver problemas aplicados envolvendo equações diferenciais lineares de primeira ordem.

Anteriormente, estudamos a aplicação de uma equação diferencial de primeira ordem que envolvia a resolução da velocidade de um objeto. Em particular, se uma bola é lançada para cima com uma velocidade inicial de (v_0 ) ft / s, então um problema de valor inicial que descreve a velocidade da bola após (t ) segundos é dado por

[ dfrac {dv} {dt} = - 32 ]

com (v (0) = v_0. )

Este modelo assume que a única força atuando na bola é a gravidade. Agora, aumentamos o problema, permitindo a possibilidade de a resistência do ar agindo na bola.

A resistência do ar sempre atua na direção oposta ao movimento. Portanto, se um objeto está subindo, a resistência do ar atua em uma direção para baixo. Se o objeto está caindo, a resistência do ar atua em uma direção para cima (Figura ( PageIndex {1} )). Não existe uma relação exata entre a velocidade de um objeto e a resistência do ar atuando sobre ele. Para objetos muito pequenos, a resistência do ar é proporcional à velocidade; ou seja, a força devida à resistência do ar é numericamente igual a alguma constante (k ) vezes (v ). Para objetos maiores (por exemplo, do tamanho de uma bola de beisebol), dependendo da forma, a resistência do ar pode ser aproximadamente proporcional ao quadrado da velocidade. Na verdade, a resistência do ar pode ser proporcional a (v ^ {1.5} ), ou (v ^ {0,9} ), ou alguma outra potência de (v ).

Trabalharemos com a aproximação linear para resistência do ar. Se assumirmos (k> 0 ), então a expressão para a força (F_A ) devido à resistência do ar é dada por (FA _ = - kv ). Portanto, a soma das forças que agem sobre o objeto é igual à soma da força gravitacional e da força devida à resistência do ar. Este, por sua vez, é igual à massa do objeto multiplicada por sua aceleração no tempo (t ) (segunda lei de Newton). Isso nos dá a equação diferencial

[m dfrac {dv} {dt} = - kv − mg. ]

Finalmente, impomos uma condição inicial (v (0) = v_0, ) onde (v_0 ) é a velocidade inicial medida em metros por segundo. Isso torna (g = 9,8m / s ^ 2. ) O problema do valor inicial torna-se

[m dfrac {dv} {dt} = - kv − mg ]

com (v (0) = v_0. )

A equação diferencial neste problema de valor inicial é um exemplo de uma equação diferencial linear de primeira ordem. (Lembre-se de que uma equação diferencial é de primeira ordem se a derivada de ordem mais alta que aparece na equação for (1 ).) Nesta seção, estudamos equações lineares de primeira ordem e examinamos um método para encontrar uma solução geral para esses tipos de equações, bem como resolver problemas de valor inicial que os envolvem.

Definição: Equação diferencial linear de primeira ordem

Uma equação diferencial de primeira ordem é linear se pode ser escrito na forma

[a (x) y ′ + b (x) y = c (x), ]

onde (a (x), b (x), ) e (c (x) ) são funções arbitrárias de (x ).

Lembre-se de que a função desconhecida (y ) depende da variável (x ); ou seja, (x ) é a variável independente e (y ) é a variável dependente. Alguns exemplos de equações diferenciais lineares de primeira ordem são

[(3x ^ 2−4) y '+ (x − 3) y = sin x ]

[( sin x) y '- ( cos x) y = cot x ]

[4xy '+ (3 ln x) y = x ^ 3−4x. ]

Exemplos de equações diferenciais não lineares de primeira ordem incluem

[(y ') ^ 4− (y') ^ 3 = (3x − 2) (y + 4) ]

[4y '+ 3y ^ 3 = 4x − 5 ]

[(y ') ^ 2 = sin y + cos x. ]

Essas equações são não lineares por causa de termos como ((y ′) ^ 4, y ^ 3, ) etc. Devido a esses termos, é impossível colocar essas equações na mesma forma que Equação.

Forma padrão

Considere a equação diferencial

[(3x ^ 2−4) y ′ + (x − 3) y = sin x. ]

Nosso principal objetivo nesta seção é derivar um método de solução para equações desta forma. É útil ter o coeficiente de (y ′ ) igual a (1 ). Para que isso aconteça, dividimos ambos os lados por (3x ^ 2−4. )

[y ′ + left ( dfrac {x − 3} {3x ^ 2−4} right) y = dfrac { sin x} {3x ^ 2−4} ]

Isso é chamado de forma padrão da equação diferencial. Vamos usá-lo mais tarde, ao encontrar a solução para uma equação diferencial linear geral de primeira ordem. Voltando à Equação, podemos dividir os dois lados da equação por (a (x) ). Isso leva à equação

[y ′ + dfrac {b (x)} {a (x)} y = dfrac {c (x)} {a (x)}. label {eq5} ]

Agora defina

[p (x) = dfrac {b (x)} {a (x)} ]

e

[q (x) = dfrac {c (x)} {a (x)} ]

Então a Equação ref {eq5} torna-se

[y ′ + p (x) y = q (x). ]

Podemos escrever qualquer equação diferencial linear de primeira ordem nesta forma, e isso é conhecido como a forma padrão para uma equação diferencial linear de primeira ordem.

Exemplo ( PageIndex {1} ): Escrevendo equações lineares de primeira ordem no formato padrão

Coloque cada uma das seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem na forma padrão. Identifique (p (x) ) e (q (x) ) para cada equação.

  1. (y '= 3x − 4y )
  2. ( dfrac {3xy '} {4y − 3} = 2 ) (aqui (x> 0 ))
  3. (y = 3y' − 4x ^ 2 + 5 )

Solução

uma. Adicione (4y ) a ambos os lados:

(y '+ 4y = 3x. )

Nesta equação, (p (x) = 4 ) e | (q (x) = 3x. )

b. Multiplique ambos os lados por (4y − 3 ) e, em seguida, subtraia (8y ) de cada lado:

( dfrac {3xy '} {4y − 3} = 2 )

(3xy '= 2 (4y − 3) )

(3xy '= 8y − 6 )

(3xy' − 8y = −6. )

Finalmente, divida ambos os lados por (3x ) para tornar o coeficiente de (y ') igual a (1 ):

(y '- dfrac {8} {3x} y = - dfrac {2} {3x}. )

Isso é permitido porque na declaração original desse problema, presumimos que (x> 0 ). (Se (x = 0 ), então a equação original se torna (0 = 2 ), o que é claramente uma afirmação falsa.)

Nesta equação, (p (x) = - dfrac {8} {3x} ) e (q (x) = - dfrac {2} {3x} ).

c. Subtraia (y ) de cada lado e adicione (4x ^ 2−5 ):

(3y' − y = 4x ^ 2−5. )

Em seguida, divida os dois lados por (3 ):

(y '- dfrac {1} {3} y = dfrac {4} {3} x ^ 2− dfrac {5} {3} ).

Nesta equação, (p (x) = - dfrac {1} {3} ) e (q (x) = dfrac {4} {3} x ^ 2− dfrac {5} {3} ).

Exercício ( PageIndex {1} )

Coloque a equação ( dfrac {(x + 3) y '} {2x − 3y − 4} = 5 ) na forma padrão e identifique (p (x) ) e (q (x) ).

Dica

Multiplique ambos os lados pelo denominador comum e, em seguida, reúna todos os termos envolvendo (y ) em um lado.

Responder

[y '+ dfrac {15} {x + 3} y = dfrac {10x − 20} {x + 3} ]

[p (x) = dfrac {15} {x + 3} ]

e

[q (x) = dfrac {10x − 20} {x + 3} ]

Fatores Integrantes

Agora desenvolvemos uma técnica de solução para qualquer equação diferencial linear de primeira ordem. Começamos com a forma padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem:

[y '+ p (x) y = q (x). label {Deq1} ]

O primeiro termo do lado esquerdo da Equação é a derivada da função desconhecida e o segundo termo é o produto de uma função conhecida com a função desconhecida. Isso lembra um pouco a regra do poder. Se multiplicarmos a Equação ref {Deq1} por uma função ainda a ser determinada (μ (x) ), então a equação torna-se

[μ (x) y ′ + μ (x) p (x) y = μ (x) q (x). label {Deq2} ]

A equação do lado esquerdo ref {Deq2} pode ser combinada perfeitamente com a regra do produto:

[ dfrac {d} {dx} [f (x) g (x)] = f ′ (x) g (x) + f (x) g ′ (x). ]

A correspondência termo a termo resulta em (y = f (x), g (x) = μ (x) ) e (g ′ (x) = μ (x) p (x) ). Tirar a derivada de (g (x) = μ (x) ) e defini-la igual ao lado direito de (g ′ (x) = μ (x) p (x) ) leva a

[μ ′ (x) = μ (x) p (x). ]

Esta é uma equação diferencial separável de primeira ordem para (μ (x). ) Sabemos (p (x) ) porque ela aparece na equação diferencial que estamos resolvendo. Separando variáveis ​​e integrando rendimentos

[ begin {align} dfrac {μ ′ (x)} {μ (x)} = p (x) [4pt] ∫ dfrac {μ ′ (x)} {μ (x)} dx = ∫p (x) dx [4pt] ln | μ (x) | = ∫p (x) dx + C [4pt] e ^ { ln | μ (x) |} = e ^ {∫p (x) dx + C} [4pt] | μ (x) | = C_1e ^ {∫p (x) dx} [4pt] μ (x) = C_2e ^ {∫p (x) dx}. end {align} ]

Aqui (C_2 ) pode ser uma constante arbitrária (positiva ou negativa). Isso leva a um método geral para resolver uma equação diferencial linear de primeira ordem. Primeiro, multiplicamos ambos os lados da equação pelo fator integrador (μ (x). ) Isso dá

[μ (x) y ′ + μ (x) p (x) y = μ (x) q (x). label {Deq5} ]

O lado esquerdo da Equação ref {Deq5} pode ser reescrito como ( dfrac {d} {dx} (μ (x) y) ).

[ dfrac {d} {dx} (μ (x) y) = μ (x) q (x). label {Deq6} ]

Em seguida, integre ambos os lados da Equação ref {Deq6} em relação a (x ).

[ begin {align} ∫ dfrac {d} {dx} (μ (x) y) dx = ∫μ (x) q (x) dx [4pt] μ (x) y = ∫μ (x ) q (x) dx label {Deq7} end {align} ]

Divida ambos os lados da Equação ref {Deq6} por (μ (x) ):

[y = dfrac {1} {μ (x)} left [∫μ (x) q (x) dx + C right]. enhum número ]

Como (μ (x) ) foi calculado anteriormente, agora terminamos. Uma observação importante sobre a constante de integração (C ): pode parecer que somos inconsistentes no uso da constante de integração. No entanto, a integral envolvendo (p (x) ) é necessária para encontrar um fator de integração para a Equação. Apenas um fator de integração é necessário para resolver a equação; portanto, é seguro atribuir um valor para (C ) para essa integral. Escolhemos (C = 0 ). Ao calcular a integral dentro dos colchetes na Equação, é necessário manter nossas opções em aberto para o valor da constante integradora, porque nosso objetivo é encontrar uma família geral de soluções para a Equação. Esse fator integrador garante exatamente isso.

Estratégia de resolução de problemas: Resolvendo uma equação diferencial linear de primeira ordem

  1. Coloque a equação na forma padrão e identifique (p (x) ) e (q (x) ).
  2. Calcule o fator de integração [μ (x) = e ^ {∫p (x) dx}. ]
  3. Multiplique ambos os lados da equação diferencial por (μ (x) ).
  4. Integre os dois lados da equação obtida na etapa (3 ) e divida os dois lados por (μ (x) ).
  5. Se houver uma condição inicial, determine o valor de (C ).

Exemplo ( PageIndex {2} ): Resolvendo uma equação linear de primeira ordem

Encontre uma solução geral para a equação diferencial (xy '+ 3y = 4x ^ 2−3x. ) Suponha que (x> 0. )

Solução

1. Para colocar esta equação diferencial na forma padrão, divida ambos os lados por (x ):

[y '+ dfrac {3} {x} y = 4x − 3. enhum número]

Portanto (p (x) = dfrac {3} {x} ) e (q (x) = 4x − 3. )

2. O fator de integração é (μ (x) = e ^ {∫ (3 / x)} dx = e ^ {3 ln x} = x ^ 3 ).

3. Multiplicando ambos os lados da equação diferencial por (μ (x) ) nos dá

[ begin {align *} x ^ 3y ′ + x ^ 3 ( dfrac {3} {x}) = x ^ 3 (4x − 3) [4pt] x ^ 3y ′ + 3x ^ 2y = 4x ^ 4−3x ^ 3 [4pt] dfrac {d} {dx} (x ^ 3y) = 4x ^ 4−3x ^ 3. end {align *} ]

4. Integre os dois lados da equação.

[ begin {align *} ∫ dfrac {d} {dx} (x ^ 3y) dx = ∫4x ^ 4−3x ^ 3dx [4pt] x ^ 3y = dfrac {4x ^ 5} {5 } - dfrac {3x ^ 4} {4} + C [4pt] y = dfrac {4x ^ 2} {5} - dfrac {3x} {4} + Cx ^ {- 3}. end {align *} ]

5. Não há valor inicial, então o problema está completo.

Análise

Você deve ter notado a condição que foi imposta à equação diferencial; a saber, (x> 0 ). Para qualquer valor diferente de zero de (C ), a solução geral não é definida em (x = 0 ). Além disso, quando (x <0 ), o fator de integração muda. O fator de integração é dado pela Equação como (f (x) = e ^ {∫p (x) dx} ). Para este (p (x) ), obtemos

[ begin {align *} e ^ {∫p (x) dx} = e ^ {∫ (3 / x) dx} [4pt] = e ^ {3 ln | x |} [4pt ] = | x | ^ 3 end {align *} ]

desde (x <0 ). O comportamento da solução geral muda em (x = 0 ) em grande parte devido ao fato de que (p (x) ) não está definido lá.

Exercício ( PageIndex {2} )

Encontre a solução geral para a equação diferencial ((x − 2) y '+ y = 3x ^ 2 + 2x. ) Suponha que (x> 2 ).

Dica

Use o método descrito na estratégia de solução de problemas para equações diferenciais lineares de primeira ordem.

Responder

(y = dfrac {x ^ 3 + x ^ 2 + C} {x − 2} )

Agora usamos a mesma estratégia para encontrar a solução para um problema de valor inicial.

Exemplo ( PageIndex {3} ): Um problema de valor inicial linear de primeira ordem

Resolva o problema do valor inicial

[y ′ + 3y = 2x − 1, y (0) = 3. enhum número]

Solução

1. Esta equação diferencial já está na forma padrão com (p (x) = 3 ) e (q (x) = 2x − 1 ).

2. O fator de integração é (μ (x) = e ^ {∫3dx} = e ^ {3x} ).

3. Multiplicando ambos os lados da equação diferencial por (μ (x) ) dá

[ begin {align *} e ^ {3x} y ′ + 3e ^ {3x} y = (2x − 1) e ^ {3x} [4pt] dfrac {d} {dx} [ye ^ { 3x}] = (2x − 1) e ^ {3x}. end {align *} ]

Integre os dois lados da equação:

(∫ dfrac {d} {dx} [ye ^ {3x}] dx = ∫ (2x − 1) e ^ {3x} dx )

(ye ^ {3x} = dfrac {e ^ {3x}} {3} (2x − 1) −∫ dfrac {2} {3} e ^ {3x} dx )

(ye ^ {3x} = dfrac {e ^ {3x} (2x − 1)} {3} - dfrac {2e ^ {3x}} {9} + C )

(y = dfrac {2x − 1} {3} - dfrac {2} {9} + Ce ^ {- 3x} )

(y = dfrac {2x} {3} - dfrac {5} {9} + Ce ^ {- 3x} ).

4. Agora substitua (x = 0 ) e (y = 3 ) na solução geral e resolva para (C ):

[ begin {align *} y = dfrac {2} {3} x− dfrac {5} {9} + Ce ^ {- 3x} [4pt] 3 = dfrac {2} {3} (0) - dfrac {5} {9} + Ce ^ {- 3 (0)} [4pt] 3 = - dfrac {5} {9} + C [4pt] C = dfrac { 32} {9}. end {align *} ]

Portanto, a solução para o problema do valor inicial é

[y = dfrac {2} {3} x− dfrac {5} {9} + dfrac {32} {9} e ^ {- 3x}. enhum número]

Exemplo ( PageIndex {4} ):

Resolva o problema do valor inicial [y'− 2y = 4x + 3y (0) = - 2. enhum número]

Solução

[y = −2x − 4 + 2e ^ {2x} ]

Aplicações de equações diferenciais lineares de primeira ordem

Vemos duas aplicações diferentes de equações diferenciais lineares de primeira ordem. O primeiro envolve a resistência do ar no que se refere a objetos que estão subindo ou descendo; o segundo envolve um circuito elétrico. Outras aplicações são numerosas, mas a maioria é resolvida de maneira semelhante.

Queda livre com resistência ao ar

Discutimos a resistência do ar no início desta seção. O próximo exemplo mostra como aplicar este conceito para uma bola em movimento vertical. Outros fatores podem afetar a força da resistência do ar, como o tamanho e a forma do objeto, mas nós os ignoramos aqui.

Exemplo ( PageIndex {5} ): Uma bola com resistência ao ar

Uma bola de raquete é atingida diretamente para cima com uma velocidade inicial de (2 ) m / s. A massa de uma bola de raquetebol é de aproximadamente (0,0427 ) kg. A resistência do ar atua na bola com uma força numericamente igual a (0,5v ), onde (v ) representa a velocidade da bola no tempo (t ).

  1. Encontre a velocidade da bola em função do tempo.
  2. Quanto tempo leva para a bola atingir sua altura máxima?
  3. Se a bola for atingida de uma altura inicial de (1 ) metro, qual a altura que ela alcançará?

Solução

uma. A massa (m = 0,0427kg, k = 0,5, ) e (g = 9,8m / s ^ 2 ). A velocidade inicial é (v_0 = 2 m / s ). Portanto, o problema do valor inicial é

(0,0427 dfrac {dv} {dt} = - 0,5v − 0,0427 (9,8), v_0 = 2. )

Dividindo a equação diferencial por (0,0427 ) resulta

( dfrac {dv} {dt} = - 11,7096v − 9,8, v_0 = 2. )

A equação diferencial é linear. Usando a estratégia de resolução de problemas para equações diferenciais lineares:

Etapa 1. Reescreva a equação diferencial como ( dfrac {dv} {dt} + 11,7096v = −9,8 ). Isso resulta em (p (t) = 11,7096 ) e (q (t) = - 9,8 )

Etapa 2. O fator de integração é (μ (t) = e ^ {∫11,7096dt} = e ^ {11,7096t}. )

Etapa 3. Multiplique a equação diferencial por (μ (t) ):

(e ^ {11,7096t dfrac {dv} {dt}} + 11,7096ve ^ {11,7096t} = - 9,8e ^ {11,7096t} )

( dfrac {d} {dt} [ve ^ {11.7096t}] = - 9.8e ^ {11.7096t}. )

Etapa 4. Integre os dois lados:

(∫ dfrac {d} {dt} [ve ^ {11.7096t}] dt = ∫ − 9,8e ^ {11.7096t} dt )

(ve ^ {11,7096t} = dfrac {−9,8} {11,7096} e ^ {11,7096t} + C )

(v (t) = - 0,8369 + Ce ^ {- 11,7096t}. )

Etapa 5. Resolva para (C ) usando a condição inicial (v_0 = v (0) = 2 ):

(v (t) = - 0,8369 + Ce ^ {- 11,7096t} )

(v (0) = - 0,8369 + Ce ^ {- 11,7096 (0)} )

(2 = −0,8369 + C )

(C = 2,8369. )

Portanto, a solução para o problema do valor inicial é

(v (t) = 2,8369e ^ {- 11,7096t} −0,8369. )

b. A bola atinge sua altura máxima quando a velocidade é igual a zero. A razão é que quando a velocidade é positiva, ela está aumentando e, quando é negativa, ela está caindo.Portanto, quando é zero, não está subindo nem caindo e está em sua altura máxima:

(2,8369e ^ {- 11,7096t} −0,8369 = 0 )

(2,8369e ^ {- 11,7096t} = 0,8369 )

(e ^ {- 11,7096t} = dfrac {0,8369} {2,8369} ≈0,295 )

(lne ^ {- 11,7096t} = ln0,295≈ − 1,221 )

(−11,7096t = −1,221 )

(t≈0,104. )

Portanto, leva aproximadamente (0,104 ) segundo para atingir a altura máxima.

c. Para encontrar a altura da bola em função do tempo, use o fato de que a derivada da posição é a velocidade, ou seja, se (h (t) ) representa a altura no tempo (t ), então (h ′ (T) = v (t) ). Como sabemos (v (t) ) e a altura inicial, podemos formar um problema de valor inicial:

(h ′ (t) = 2,8369e ^ {- 11,7096t} −0,8369, h (0) = 1. )

A integração de ambos os lados da equação diferencial em relação a (t ) dá

(∫h ′ (t) dt = ∫2,8369e ^ {- 11,7096t} −0,8369dt )

(h (t) = - dfrac {2,8369} {11,7096} e ^ {- 11,7096t} −0,8369t + C )

(h (t) = - 0,2423e ^ {- 11,7096t} −0,8369t + C. )

Resolva para (C ) usando a condição inicial:

(h (t) = - 0,2423e ^ {- 11,7096t} −0,8369t + C )

(h (0) = - 0,2423e ^ {- 11,7096 (0)} - 0,8369 (0) + C )

(1 = −0,2423 + C )

(C = 1,2423. )

Portanto

(h (t) = - 0,2423e ^ {- 11,7096t} −0,8369t + 1,2423. )

Depois de (0,104 ) segundo, a altura é dada por

(h (0,2) = - 0,2423e ^ {- 11,7096t} −0,8369t + 1,2423≈1,0836 ) medidor.

Exercício ( PageIndex {3} )

O peso de um centavo é (2,5 ) gramas (United States Mint, “Coin Especificações”, acessado em 9 de abril de 2015, http://www.usmint.gov/about_the_mint...specifications) e o deck de observação superior do Empire State Building está (369 ) metros acima da rua. Como a moeda é um objeto pequeno e relativamente liso, a resistência do ar que atua sobre a moeda é, na verdade, muito pequena. Assumimos que a resistência do ar é numericamente igual a (0,0025v ). Além disso, a moeda cai sem nenhuma velocidade inicial transmitida a ela.

  1. Configure um problema de valor inicial que represente a queda do centavo.
  2. Resolva o problema para (v (t) ).
  3. Qual é a velocidade terminal da moeda (ou seja, calcule o limite da velocidade conforme (t ) se aproxima do infinito)?
Dica

Configure a equação diferencial da mesma forma que no exemplo. Lembre-se de converter de gramas para quilogramas.

Responder

uma. ( dfrac {dv} {dt} = - v − 9,8 ) (v (0) = 0 )

b. (v (t) = 9,8 (e ^ {- t} −1) )

c. ( lim_ {t → ∞} v (t) = lim_ {t → ∞} (9,8 (e ^ {- t} −1)) = - 9,8m / s≈ − 21,922mph )

Circuitos elétricos

Uma fonte de força eletromotriz (por exemplo, uma bateria ou gerador) produz um fluxo de corrente em um circuito fechado e esta corrente produz uma queda de tensão em cada resistor, indutor e capacitor no circuito. A Regra de Loop de Kirchhoff afirma que a soma das quedas de tensão nos resistores, indutores e capacitores é igual à força eletromotriz total em um circuito fechado. Temos os três resultados a seguir:

1. A queda de tensão em um resistor é dada por

(E_R = Ri, )

onde (R ) é uma constante de proporcionalidade chamada de resistência, e (i ) é a corrente.

2. A queda de tensão em um indutor é dada por

(EL = Li ′ ),

onde (L ) é uma constante de proporcionalidade chamada indutância, e (i ) denota novamente a corrente.

3. A queda de tensão em um capacitor é dada por

(E_C = dfrac {1} {C} q ),

onde (C ) é uma constante de proporcionalidade chamada de capacitância, e (q ) é a carga instantânea no capacitor. A relação entre (i ) e (q ) é (i = q ′ ).

Usamos unidades de volts ((V) ) para medir a tensão (E ), amperes ((A) ) para medir a corrente (i ), coulombs ((C) ) para medir a carga (q ), ohms ((Ω) ) para medir a resistência (R ), henrys ((H) ) para medir a indutância (L ) e farads ((F) ) para medir capacitância (C ). Considere o circuito na Figura ( PageIndex {2} ).

Aplicando a Regra de Loop de Kirchhoff a este circuito, deixamos (E ) denotar a força eletromotriz fornecida pelo gerador de tensão. Então

(E_L + E_R + E_C = E ).

Substituindo as expressões para (E_L, E_R, ) e (E_C ) nesta equação, obtemos

(Li ′ + Ri + dfrac {1} {C} q = E. )

Se não houver capacitor no circuito, a equação torna-se

(Li ′ + R_i = E. )

Esta é uma equação diferencial de primeira ordem em (i ). O circuito é conhecido como circuito (LR ).

Em seguida, suponha que não haja indutor no circuito, mas há um capacitor e um resistor, então (L = 0, R ≠ 0, ) e (C ≠ 0. ) Então a Equação pode ser reescrita como

(Rq ′ + dfrac {1} {C} q = E, )

que é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Isso é conhecido como Circuito RC. Em qualquer caso, podemos configurar e resolver um problema de valor inicial.

Circuito elétrico

Um circuito tem em série uma força eletromotriz dada por (E = 50 sin 20tV, ) um resistor de (5Ω ) e um indutor de (0,4H ). Se a corrente inicial for (0 ), encontre a corrente no tempo (t> 0 ).

Solução

Temos um resistor e um indutor no circuito, então usamos a Equação. A queda de tensão no resistor é dada por (E_R = R_i = 5_i ). A queda de tensão no indutor é dada por (E_L = Li ′ = 0,4i ′ ). A força eletromotriz torna-se o lado direito da Equação. Portanto, a equação se torna

[0,4i ′ + 5i = 50 sin 20t. ]

Dividindo ambos os lados por (0,4 ) dá a equação

[i ′ + 12,5i = 125 sin 20t. ]

Como a corrente inicial é 0, esse resultado fornece uma condição inicial de (i (0) = 0. ) Podemos resolver esse problema de valor inicial usando a estratégia de cinco etapas para resolver equações diferenciais de primeira ordem.

Etapa 1. Reescreva a equação diferencial como (i ′ + 12,5i = 125 sin 20t ). Isso resulta em (p (t) = 12,5 ) e (q (t) = 125 sin 20t ).

Etapa 2. O fator de integração é (μ (t) = e ^ {∫12,5dt} = e ^ {12,5t} ).

Etapa 3. Multiplique a equação diferencial por (μ (t) ):

(e ^ {12,5t} i ′ + 12,5e ^ {12,5t} i = 125e ^ {12,5t} sin 20t )

( dfrac {d} {dt} [ie ^ {12,5} t] = 125e ^ {12,5t} sin 20t ).

Etapa 4. Integre os dois lados:

(∫ dfrac {d} {dt} [ie ^ {12,5t}] dt = ∫125e ^ {12,5t} sin 20tdt )

(ou seja, ^ {12,5t} = ( dfrac {250 sin 20t − 400 cos 20t} {89}) e ^ {12,5t} + C )

(i (t) = dfrac {250 sin 20t − 400 cos 20t} {89} + Ce ^ {- 12,5t} ).

Etapa 5. Resolva para (C ) usando a condição inicial (v (0) = 2 ):

(i (t) = dfrac {250 sin 20t − 400 cos 20t} {89} + Ce ^ {- 12,5t} )

(i (0) = dfrac {250sin20 (0) −400cos20 (0)} {89} + Ce ^ {- 12,5 (0)} )

(0 = - dfrac {400} {89} + C )

(C = dfrac {400} {89} ).

Portanto, a solução para o problema do valor inicial é

[i (t) = dfrac {250 sin 20t − 400 cos 20t + 400e ^ {- 12,5t}} {89} = dfrac {250 sin 20t − 400 cos 20t} {89} + dfrac {400e ^ {- 12,5t}} {89}. ]

O primeiro termo pode ser reescrito como uma única função cosseno. Primeiro, multiplique e divida por ( sqrt {250 ^ 2 + 400 ^ 2} = 50 sqrt {89} ):

( dfrac {250 sin 20t − 400 cos 20t} {89} = dfrac {50 sqrt {89}} {89} ( dfrac {250 sin 20t − 400 cos 20t} {50 sqrt {89}}) = - dfrac {50 sqrt {89}} {89} ( dfrac {8 cos 20t} { sqrt {89}} - dfrac {5 sin 20t} { sqrt {89 }}) ).

A seguir, defina (φ ) como um ângulo agudo tal que ( cos φ = dfrac {8} { sqrt {89}} ). Então ( sin φ = dfrac {5} { sqrt {89}} ) e

(- dfrac {50 sqrt {89}} {89} ( dfrac {8 cos 20t} { sqrt {89}} - dfrac {5 sin 20t} { sqrt {89}}) = - dfrac {50 sqrt {89}} {89} ( cos φ cos 20t− sin φ sin 20t) = - dfrac {50 sqrt {89}} {89} cos (20t + φ ). )

Portanto, a solução pode ser escrita como

(i (t) = - dfrac {50 sqrt {89}} {89} cos (20t + φ) + dfrac {400e ^ {- 12,5t}} {89} ).

O segundo termo é chamado de termo de atenuação, porque desaparece rapidamente à medida que (t ) fica maior. O deslocamento de fase é dado por (φ ), e a amplitude da corrente em regime permanente é dada por ( dfrac {50 sqrt {89}} {89} ). O gráfico desta solução aparece na Figura ( PageIndex {3} ):

Exercício ( PageIndex {4} )

Um circuito tem em série uma força eletromotriz dada por (E = 20sin5t ) V, um capacitor com capacitância (0,02F ) e um resistor de (8Ω ). Se a carga inicial for (4C ), encontre a carga no momento (t> 0 ).

Dica

Use a Equação para um circuito (RC ) para configurar um problema de valor inicial.

Responder

Problema de valor inicial:

(8q ′ + dfrac {1} {0,02} q = 20sin5t, q (0) = 4 )

(q (t) = dfrac {10sin5t − 8cos5t + 172e ^ {- 6,25t}} {41} )

Conceitos chave

  • Qualquer equação diferencial linear de primeira ordem pode ser escrita na forma (y '+ p (x) y = q (x) ).
  • Podemos usar uma estratégia de solução de problemas de cinco etapas para resolver uma equação diferencial linear de primeira ordem que pode ou não incluir um valor inicial.
  • As aplicações das equações diferenciais lineares de primeira ordem incluem a determinação do movimento de um objeto que sobe ou desce com resistência do ar e encontra corrente em um circuito elétrico.

Equações Chave

  • forma padrão

(y '+ p (x) y = q (x) )

  • fator integrador

(μ (x) = e ^ {∫p (x) dx} )

Glossário

fator integrador
qualquer função (f (x) ) que é multiplicada em ambos os lados de uma equação diferencial para tornar o lado que envolve a função desconhecida igual à derivada de um produto de duas funções
linear
descrição de uma equação diferencial de primeira ordem que pode ser escrita na forma (a (x) y ′ + b (x) y = c (x) )
forma padrão
a forma de uma equação diferencial linear de primeira ordem obtida escrevendo a equação diferencial na forma (y '+ p (x) y = q (x) )

Contribuintes e atribuições

  • Gilbert Strang (MIT) e Edwin “Jed” Herman (Harvey Mudd) com muitos autores contribuintes. Este conteúdo da OpenStax é licenciado com uma licença CC-BY-SA-NC 4.0. Baixe gratuitamente em http://cnx.org.


9,5. ALGEBRA LINEAR NUMÉRICA

A numérica Java fornece um ponto focal para informações sobre computação numérica em Java.

Álgebra Linear. Aplicações da ciência da computação: wavelets, transformações em computação gráfica, visão computacional, algoritmo PageRank do Google, programação linear, regressão linear, cadeias de Markov. Outras aplicações: otimização linear e não linear, teoria de controle, otimização combinatória, soluções numéricas para EDOs, análise de redes elétricas, otimização de portfólio, mecânica qunatum. O desejo de resolver esses problemas impulsionou o desenvolvimento da tecnologia de computação. BLAS.

Matriz. Em álgebra linear numérica, um matriz é uma mesa retangular de números reais ou complexos. Dada uma matriz A, usamos a notação Aeu j para representar a entrada na i-ésima linha e na j-ésima coluna. Podemos implementar uma matriz em Java usando um array bidimensional. Nós acessamos Aeu j usando A [i] [j]. Começamos a indexação em 0 para obedecer às convenções de indexação Java.

Multiplicação da matriz. O produto de duas matrizes N-por-N A e B é uma matriz C N-por-N definida por

O fragmento de código a seguir calcula C = AB.

Ordem principal da linha vs. ordem principal da coluna. Pode ter um grande impacto no armazenamento em cache e no desempenho. Melhor iterar em uma linha do que em uma coluna em Java. Podemos reorganizar o loop triplo de multiplicação da matriz em qualquer um dos 3! = 6 maneiras de obter a mesma resposta. Cada possibilidade tem diferentes padrões de acesso à memória podem funcionar de maneira muito diferente (2-3 vezes) dependendo da arquitetura da máquina desde então (cache, paginação, etc.). O programa MatrixMultiplication.java realiza a multiplicação da matriz em cada uma das 6 ordens e gera a quantidade de tempo que leva. Algumas arquiteturas têm métodos gaxpy integrados, etc. Bibliotecas de matriz de alto desempenho são cuidadosamente ajustadas à arquitetura da máquina na qual devem ser executadas para aproveitar ao máximo esses efeitos.

Micro-otimizações. É apropriado considerar aqui, já que a multiplicação de matrizes é o gargalo de computação em muitas aplicações. Podemos armazenar em cache explicitamente certas linhas e colunas para tornar o cálculo mais rápido. Armazenamos em cache a linha i de A e a coluna j de B. Como os arrays Java são ordenados por linha, copiamos as entradas na coluna j de B em um array 1D para facilitar acessos futuros. Por que mais rápido? Melhores padrões de acesso à memória. Evita verificação de limites. Número de instruções de atribuição agora proporcional a N ^ 2 em vez de N ^ 3.

Sistemas de equações lineares. Um dos problemas mais fundamentais e importantes da álgebra linear é encontrar uma solução x para a equação Ax = b. Equações de diferença, interpolação, processamento digital de sinais, mínimos quadrados, previsão, modelo de equilíbrio econômico de Leontief, lei da elasticidade de Hooke, análise de tráfego, equilíbrio de temperatura do calor em uma placa, otimização linear e não linear.

Lei de tensão de Kirchoff. Análise de corrente de loop de circuitos elétricos.

Operações de linha. Considere o seguinte sistema de três equações lineares em três incógnitas.

    Troca de linha. Troque quaisquer duas linhas. Por exemplo, podemos trocar a primeira e a segunda linhas acima para produzir o sistema equivalente.

Trocar as linhas i e j em uma matriz 2D é uma operação especialmente eficiente em Java. Precisamos apenas trocar as referências às linhas i e j.

Substituição nas costas. O último sistema de equações acima é particularmente passível de solução. Da última equação (12 x2 = 24) podemos derivar imediatamente x2 = 2. Substituindo x2 = 2 na segunda equação produz x1 + 2 = 4. Agora podemos derivar x1 = 2. Finalmente, podemos substituir x1 e x2 de volta à primeira equação. Isso resulta em 2x0 + 4 (2) - 2 (2) = 2, o que implica x0 = -1. Este procedimento de substituição reversa é simples de expressar em Java.

Eliminação gaussiana. A eliminação gaussiana é um dos algoritmos mais antigos e mais amplamente usados ​​para resolver sistemas lineares de equações. O algoritmo foi explicitamente descrito por Liu Hui em 263 enquanto apresentava soluções para o famoso texto chinês Jiuzhang suanshu (Os nove capítulos sobre a arte matemática), mas provavelmente foi descoberto muito antes. O nome eliminação gaussiana surgiu depois que Gauss o usou para prever a localização de objetos celestes usando seu método recém-descoberto de mínimos quadrados. Aplique operações de linha para transformar o sistema original de equações em um sistema triangular superior. Em seguida, use a substituição reversa.

Os seguintes fantasia o código é uma implementação direta da eliminação gaussiana.

Infelizmente, se um dos elementos pivô A [i] [i] for zero, o código se divide por zero e falha espetacularmente. Existem algumas aplicações importantes onde temos a garantia de nunca encontrar um pivô zero e ficar preso (por exemplo, se a matriz for estritamente diagonalmente dominante ou definida positiva simétrica), mas, em geral, devemos garantir que os pivôs zero nunca ocorram trocando a linha que contém o pivô zero com outra linha abaixo dele. Se essa linha não existir, o sistema não tem solução ou tem infinitas. (Veja os exercícios XYZ e XYZ.)

Pivotamento parcial. Uma estratégia comum de pivô é selecionar a linha que tem o maior (em valor absoluto) elemento de pivô e fazer essa troca antes de cada pivô, independentemente de encontrarmos um pivô zero potencial. O programa GaussianElimination.java implementa a eliminação gaussiana com pivotamento parcial. Esta regra de seleção é conhecida como giro parcial. É amplamente utilizado porque, além de corrigir o problema do pivô zero, melhora drasticamente a estabilidade numérica do algoritmo. Para ver seus efeitos, considere o seguinte sistema de equações, onde a = 10 -17.

Se não girarmos no maior coeficiente, então a eliminação gaussiana produz a solução (x0, x1 = (0,0, 1,0), enquanto a eliminação Gaussiana com pivotamento parcial produz (1,0, 1,0). A resposta exata é (99999999999999997/99999999999999998, 50000000000000000/49999999999999999). A solução com pivotamento parcial produz 16 dígitos decimais de precisão, enquanto a solução sem pivotamento parcial tem 0 dígitos de precisão para x0. Embora este exemplo tenha sido planejado para demonstrar e ampliar o efeito, tal situação surge na prática. Este exemplo é uma situação em que a instância do problema está bem condicionada, mas o algoritmo (sem pivotamento parcial) é instável. Neste exemplo, o problema potencial é resolvido usando a rotação parcial. (Consulte o Exercício XYZ para um exemplo em que o pivotamento parcial falha, embora a intância não seja mal condicionada.) Os analistas numéricos usam a eliminação gaussiana com pivotamento parcial com alta confiança, embora não seja comprovadamente estável. Quando a própria instância do problema está mal condicionada, nenhum algoritmo de ponto flutuante será capaz de resgatá-la.Para detectar esses casos, calculamos o número de condição, que mede o quão mal condicionada é uma matriz. # bits em solução

Pivotamento completo. Escolha o elemento pivô para ser aquele com maior valor absoluto entre as entradas que ainda precisam ser reduzidas em linha. Troque linhas e colunas (em vez de apenas linhas). Mais contabilidade e tempo na busca do pivô, mas melhor estabilidade. No entanto, os cientistas raramente usam o pivotamento completo na prática, porque o pivotamento parcial quase sempre é bem-sucedido.

A eliminação gaussiana também pode ser usada para calcular a classificação, uma vez que as operações de linha não alteram a classificação. Classificação de uma matriz m por n: se você ficar preso ao girar na coluna j, continue na coluna j + 1. Classificação = # linhas diferentes de zero no encerramento.

Métodos iterativos. O erro de arredondamento pode se acumular na eliminação gaussiana. Métodos iterativos (Gauss-Seidel, iteração de Jacobi, sobre relaxação sucessiva) também podem ser usados ​​para refinar soluções para sistemas lineares de equações obtidas via eliminação gaussiana. Também pode resolver do zero - uma grande vantagem se A for esparso. Gauss Seidel: x0 = b, xk + 1 = (I - A) xk + b. Se todas as diagonais das entradas de A são 1 (pode assumir por reescalonamento) e todos os autovalores de (I - A) são menores que 1 em magnitude, então as iterações de Gauss-Seidel convergem para a solução verdadeira.

Matrix ADT. Agora, descrevemos um ADT para matrizes.

O programa Matrix.java implementa as seguintes operações: adicionar, multiplicar, transpor, matriz identidade, rastrear e matriz aleatória. Mais ops: inverso, posto, determinante, autovalores, autovetores, norma, resolver, número de condição, valores singulares.

Bibliotecas Java para álgebra linear numérica. Construir algoritmos eficientes e robustos para problemas algébricos lineares é uma tarefa desafiadora. Felizmente, esses algoritmos foram refinados nas últimas décadas, e bibliotecas maduras estão disponíveis e são fáceis de acessar. JAMA: Um Java Matrix Package é uma biblioteca para operações de matriz, incluindo resolução de Ax = b, cálculo de autovalores, cálculo da decomposição de valor singular, etc. Os algoritmos são iguais aos de EISPACK, LINPACK e MATLAB. Este software foi lançado em domínio público pelo The MathWorks e pelo National Institute of Standards and Technology (NIST). Aqui está a documentação Javadoc. O programa JamaTest.java ilustra como fazer a interface com esta biblioteca. Ele resolve um sistema de 3 equações lineares em 3 incógnitas usando o pacote JAMA.

Autovalores e autovetores. Dada uma matriz quadrada A, o problema dos autovalores é encontrar soluções para Ax = & lambdax. Um escalar & lambda que satisfaça esta equação é chamado de autovalor e o vetor correspondente x é chamado de autovetor. Soluções para o problema de autovalor desempenham um papel importante na infraestrutura computacional em muitas disciplinas científicas e de engenharia. Em 1940, a ponte Tacoma Narrows desabou quatro meses depois de ser construída porque a frequência do vento estava muito próxima da frequência natural da ponte, e isso causou oscilações esmagadoras. A frequência natural da ponte é o menor autovalor no sistema linear que modela a ponte. Os valores próprios também são usados ​​para analisar modos de vibrações de uma corda, soluções para equações diferenciais, modelo de matriz de Leslie de dinâmica populacional, teste de rachaduras ou deformidades em um sólido, sonda de óleo, ruído úmido no compartimento de passageiro do carro, projetar salas de concerto para otimizar qualidade de som, eixos de computação de inércia de um corpo rígido.

Decomposição espectral. Se A for simétrico, então a decomposição dos autovalores é A = V & LambdaV T onde & Lambda é a matriz diagonal dos autovalores e V é a matriz ortogonal dos autovetores. O programa Eigenvalues.java gera uma matriz definida positiva simétrica aleatória e calcula sua decomposição espectral usando a biblioteca Jama EigenvalueDecomposition.

Aqui | x | significa a norma L1 (para distribuições de probabilidade) ou norma L2. Sob condições técnicas gerais, & lambda converge para o autovalor principal e x converge para o autovetor principal.

Distribuição estacionária da cadeia de Markov. Uma cadeia de Markov é. Como um NFA randomizado. Calcule a fração de tempo que a cadeia de Markov gasta em cada estado. A distribuição estacionária satisfaz & pi A = & pi. O vetor & pi é o autovetor (normalizado) correspondente ao autovalor 1. Sob certas condições técnicas (ergódica), a distribuição estacionária é única e é o autovetor principal de AT. Todos os componentes desse autovetor são garantidos como não negativos.

Algoritmo de PageRank do Google. Use os valores próprios para classificar a importância das páginas da web ou classificar os times de futebol de acordo com a força do cronograma. boa discussão.

Valores singulares. O decomposição de valor singular é um conceito fundamental em ciência e engenharia, e um dos problemas mais centrais da álgebra linear numérica. Dada uma matriz A M por N, a decomposição de valor singular é A = U & SigmaV T, onde U é uma matriz M por N com colunas ortogonais, & Sigma é uma matriz diagonal N por N e V é um N matriz ortogonal -by-N. É também conhecido como análise de componentes principais (PCA) em estatísticas e a expansão de Karhunen-Loeve ou Hotelling no reconhecimento de padrões. O SVD é bem definido para qualquer matriz M por N (mesmo se a matriz não tiver linha completa ou classificação de coluna) e é essencialmente único (assumindo que os valores singulares estão em ordem decrescente). É eficientemente computável no tempo O (min ). Possui muitas propriedades surpreendentes e belas, que apenas começaremos a explorar. O SVD tem muitas aplicações: regressão linear múltipla, análise fatorial, computação gráfica, reconhecimento facial, redução de ruído, recuperação de informações, robótica, análise de expressão gênica, tomografia computacional, inversão geofísica (sismologia), compressão de imagem, desfoque de imagem, reconhecimento de rosto, usando matrizes ópticas de sensibilidade linear para analisar a dinâmica de naves espaciais, visualização de bancos de dados químicos e indexação semântica latente (LSI). Também amplamente utilizado em biologia para deconvoluir uma titulação envolvendo uma mistura de três indicadores de pH, em dinâmica de proteínas para analisar o movimento da mioglobina, análise de dados de microarranjos, redes de genes de engenharia reversa.

O programa SVD.java calcula os valores singulares de uma matriz aleatória de 8 por 5. Ele também imprime o número da condição, a classificação numérica e a norma 2.

Processamento de imagem. Compressões com perdas. Uma técnica popular para compactar imagens é a de outros dados por meio da decomposição SVD ou Karhunen-Loeve. Podemos tratar uma imagem M por N de pixels, como três matrizes M por N intensidades vermelha, verde e azul, cada intensidade está entre 0 e 255. Usando o SVD, podemos calcular a "melhor" classificação r aproximação para cada uma das três matrizes. Isso pode ser armazenado usando apenas os valores de r (M + N + 1) em vez de MN. À medida que r fica maior, a qualidade da imagem melhora, mas à custa de mais armazenamento.

Uma das propriedades mais importantes do SVD é que o SVD truncado UMAr = UrSrVr é a melhor classificação r aproximação de A, onde Ur denota as primeiras r colunas de U, Vr denota as primeiras r colunas de V e Sr denota as primeiras r linhas e colunas de S. Aqui, "melhor" significa L_2 norma - Ar minimiza a soma dos quadrados das diferenças entre A e Ar.

O programa KarhunenLoeve.java lê uma imagem e um inteiro r, calcula a melhor aproximação r de cada uma de suas matrizes vermelha, verde e azul e exibe a imagem compactada resultante. A sub-rotina chave calcula a melhor aproximação r rank para a matriz A. O método getMatrix (i1, i2, j1, j2) retorna a submatriz de A limitada pelos índices de linha e coluna especificados.

As imagens abaixo fornecem os resultados da transformada KL na famosa imagem de teste Mandrill para as classificações 2, 5, 10, 25, 50 e 298. A última é a imagem original.

Indexação semântica latente. LSI usado pelo Google para classificar páginas da web, linguistas para classificar documentos, etc. Crie uma matriz onde as linhas indexam termos em um documento e os documentos de indexação de colunas. A entrada da matriz (i, j) é alguma função de quantas vezes o termo i aparece no documento j. A matriz AA ^ T mede as semelhanças do documento. Os vetores próprios correspondem a conceitos linguísticos, por exemplo, esportes podem incluir os termos futebol, hóquei e beisebol. As técnicas LSI podem identificar correlações ocultas entre documentos, mesmo se os documentos não compartilham nenhum termo em comum. Por exemplo, os termos carro e automóvel são agrupados, uma vez que ambos ocorrem frequentemente com os termos pneu, radiador e cilindro.

Centros e autoridades. Método de Kleinberg para encontrar páginas da web relevantes. UMAeu j = 1 se houver um link de i para j, e 0 caso contrário. A matriz A T A conta quantos links i e j têm em comum a matriz AA T conta quantas páginas comuns estão vinculados a i e j. UMA cubo é uma página que aponta para várias páginas autoritativas e autoridade é uma página apontada por vários hubs. O componente principal de A T A (ou equivalentemente a primeira coluna de U no SVD A = USV T) fornece os "hubs principais", o componente principal de AA T (ou equivalentemente a primeira coluna de V) fornece as "autoridades principais".

Análise de dados de expressão gênica. Submeta genes a uma bateria de experimentos e tente agrupar genes com respostas semelhantes. Genes de grupo por resposta de transcrição, ensaios de agrupamento por perfil de expressão.

Matrizes esparsas. Uma matriz N por N é escasso se o número de diferentes de zero for proporcional a N. Matrizes esparsas de dimensão 100.000 surgem na otimização e soluções para equações diferenciais parciais. O motor de busca Google calcula com uma matriz esparsa monstruosa de tamanho N = 4 bilhões. A representação de matriz 2D torna-se inútil nesses contextos. Por exemplo, para calcular um produto matriz-vetor, seria necessário espaço quadrático e tempo. O método de potência para calcular o autovetor principal requer uma rápida multiplicação do vetor de matriz. Descreveremos como fazer o mesmo cálculo em tempo linear. A ideia principal é armazenar explicitamente apenas os valores não nulos da matriz A, enquanto retém informações auxiliares suficientes para calcular com A. Descreveremos um esquema popular de armazenamento de matriz esparsa conhecido como armazenamento de linha compactado. Armazenamos todas as entradas diferentes de zero consecutivamente em uma matriz unidimensional val [] de modo a val [j] armazena o j-ésimo diferente de zero (na ordem da esquerda para a direita e de cima para baixo). Também mantemos duas matrizes auxiliares extras para fornecer acesso às entradas individuais da matriz. Especificamente, mantemos uma matriz inteira col [] de tamanho é tal que col [j] é a coluna em que o j-ésimo diferente de zero aparece. Finalmente, mantenha uma matriz de inteiros fileira de tamanho N + 1 tal que linha [i] é o índice do primeiro diferente de zero da linha i na matriz val. Por convenção linha [N] = s.

Desde cada Duplo consome 8 bytes e cada int consome 4 bytes, o armazenamento geral para CRS é de aproximadamente 12s + 4N. Isso se compara favoravelmente com os 8N 2 bytes necessários para a representação de matriz 2D. Agora, se A é representado usando CRS, então o produto do vetor matriz y = Ax é eficientemente calculado usando o seguinte fragmento de código compacto. O número de operações de ponto flutuante agora é proporcional a (s + N) em vez de N 2.

Calcular y = A T x é um pouco mais complicado, pois a abordagem ingênua envolve percorrer as colunas de A, o que não é conveniente usando o formato CRS. Mudar a ordem dos rendimentos de soma:

Método do gradiente conjugado. Um método de subespaço de Krylov quando A é simétrico positivo definido. [Provavelmente omitir ou sair como um exercício.]

P. Existe alguma razão para calcular explicitamente o inverso de uma matriz?

A. Sim, se for solicitado em um exame. Na prática, quase nunca é necessário. Para resolver Ax = b, você deve usar a eliminação de Gauss em vez de formar A -1 b. Se você precisar resolver Ax = b para muitos valores diferentes de b, use algo chamado decomposição LU. É duas vezes mais rápido e tem melhor precisão numérica e propriedades de estabilidade.

Exercícios

  1. Adicione um método frobenius () para Matriz que retorna a norma Frobenius da matriz. O Norma Frobenius é a raiz quadrada da soma dos quadrados de todas as entradas.
  2. Adicione um método normInfinity que retorna o norma infinita da matriz. A norma do infinito (a.k.a., norma da soma das linhas) é a soma máxima obtida pela soma dos valores absolutos dos elementos em cada linha.
  3. Adicione um método vestígio que retorna o vestígio da matriz. O traço é a soma das entradas diagonais.
  4. Adicione um método isSymmetric que retorna verdadeiro se a matriz é simétrico e falso de outra forma. A matriz A é simétrica se for quadrada e Aeu j = Aji para todos os i e j.
  5. Adicione um método isTridiagonal que retorna verdadeiro se a matriz é tridiagonal, e falso de outra forma.
  6. Dado um array N por N uma[][], escreva um fragmento de código para transpor uma no lugar. Ou seja, use no máximo algumas variáveis ​​extras de armazenamento.
  7. Adicione um método plusEquals que pega uma Matriz B como entrada e sobrescreve a matriz de chamada com a soma de si mesma e B.
  8. Suponha que você execute a eliminação gaussiana sem trocar linhas. Mostre que vai falhar em

Área de um triângulo e ccw. As fórmulas para a área de um triângulo são conhecidas há 2.000 anos. A fórmula da escola primária (1/2 base * altura) e a fórmula de Heron requerem a análise de funções trigonométricas ou a obtenção de raízes quadradas. No século 17, Descartes e Fermat usaram a álgebra linear para obter uma nova visão dos problemas geométricos. Por exemplo, o determinante a seguir fornece o dobro da área com sinal do triângulo com os vértices a, b e c.

Teste em círculo. Determine se o ponto d está dentro ou fora do círculo definido pelos três pontos a, b e c no plano. Aplicação: operação primitiva em algoritmos de triangulação de Delaunay. Supondo que a, b, c sejam rotulados no sentido anti-horário ao redor do círculo, o seguinte determinante é positivo se d estiver dentro do círculo, negativo se d estiver fora do círculo e zero se todos os quatro pontos forem cocirculares. Isso generaliza naturalmente para dimensões mais altas, por exemplo, ponto dentro de uma esfera definida por 4 pontos.

Exercícios Criativos

  1. Matrizes complexas. Crie um tipo de dados abstrato para representar matrizes complexas.
  2. Luzes apagadas. Implemente um solucionador para os jogos Lights Out. Resolva um sistema linear de equações (sobre Z_2) para determinar quais luzes acender (se tal solução existir).
  3. Detecção de viabilidade. Não é possível encontrar um pivô diferente de zero e o lado direito atual é diferente de zero.
  4. Certificado de inviabilidade. Se não houver solução para Ax = b, a eliminação gaussiana falhará. Se for assim, então existe um vetor c tal que c T A = 0 e c T b & ne 0. Modifique a eliminação gaussiana de modo que ela produza tal vetor quando Ax = b não tiver soluções.
  5. Matrizes tridiagonais. Implementar um tipo de dados Matriz Tridiagonal que implementa uma matriz tridiagonal usando três matrizes 1-D. Projete um algoritmo que resolva Ax = b quando A é uma matriz tridiagonal quadrada. Seu algoritmo deve ser executado em tempo linear.
  6. Algoritmo de Strassen. N 2,81 algoritmo de divisão e conquista para multiplicação de matrizes. Compare com a eliminação de Gauss.
  7. Matrizes especiais. Criar classes Matriz diagonal, Matriz Tridiagonal usar herança e substituir os métodos para resolver um sistema linear de equações e multiplicação de matrizes.
  8. Cadeias de Markov. As cadeias de Markov são uma ferramenta matemática simples para modelar padrões comportamentais. Amplamente utilizado em muitas áreas científicas, incluindo teoria das filas, estatísticas, modelagem de processos populacionais e previsão de genes. Glass e Hall (1949) distinguiram 7 estados em seu estudo de mobilidade social:
    1. Profissional, alto administrativo
    2. Gerencial
    3. Inspeção, supervisão, alto grau não manual
    4. Baixo grau não manual
    5. Manual especializado
    6. Manual semi-qualificado
    7. Manual não qualificado

    A tabela abaixo apresenta os dados do estudo. A entrada (i, j) é a probabilidade de transição do estado i para j.

    O que acontece quando você tenta inverter uma matriz de Hilbert 100 por 100?

    A tabela a seguir lista as probabilidades de nascimento e sobrevivência para ovelhas fêmeas da Nova Zelândia. A fonte original é: [de G. Caughley, "Parameters for Seasonally Breeding Populations," Ecology 48 (1967) 834-839].

    Aqui está uma matriz 4 por 4 particularmente patológica cujo número de condição é cerca de 10 ^ 65. Isso significa que terá menos de 65 dígitos decimais de precisão, não podemos esperar nenhum dígito significativo de precisão em nossa resposta. [Referência: S.M. Rump. Uma classe de matrizes de ponto flutuante arbitrariamente mal condicionadas. SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications (SIMAX), 12 (4): 645-653, 1991.]

    Última modificação em 30 de abril de 2015.

    Copyright e cópia 2000 & ndash2019 Robert Sedgewick e Kevin Wayne. Todos os direitos reservados.


    9.5 Um exemplo: equações algébricas lineares

    Como nosso programa de exemplo final usando matrizes bidimensionais neste capítulo, desenvolvemos um programa para resolver sistemas de equações lineares simultâneas. Um conjunto de equações algébricas lineares, também chamadas de equações simultâneas, ocorrem em uma variedade de aplicações matemáticas em ciências, engenharia, economia, e ciências sociais. Os exemplos incluem: análise de circuito eletrônico, econometricanálise, análise estrutural, etc. No caso mais geral, o número de equações,, pode ser diferente do número de incógnitas, portanto, pode não ser possível encontrar uma solução única. No entanto, se for igual, há uma boa chance de encontrar uma solução única para as incógnitas.

    Nossa próxima tarefa é resolver um conjunto de equações algébricas lineares, assumindo que o número de equações é igual ao número de incógnitas:

    LINEQNS: Leia os coeficientes e os valores do lado direito de um conjunto de equações lineares para resolver as equações das incógnitas.

    A solução de um conjunto de equações lineares é bastante complexa. Faremos uma primeira revisão do processo de solução e depois desenvolveremos o algoritmo em pequenas partes. À medida que desenvolvemos partes do algoritmo, implementaremos essas funções de partes.O driver apenas lerá os coeficientes, chamará uma função para resolver as equações e chamará uma função para imprimir a solução.

    Vamos começar com um exemplo de um conjunto de três equações simultâneas em três desconhecidos:, e.

    Podemos usar matrizes para representar esse conjunto de equações, uma matriz bidimensional para armazenar os coeficientes, uma matriz unidimensional para armazenar os valores das incógnitas quando resolvidos e outra matriz unidimensional para armazenar os valores do lado direito. Posteriormente, incluiremos os valores laterais à direita como uma coluna adicional na matriz bidimensional de coeficientes. Cada linha da matriz bidimensional armazena os coeficientes de uma das equações. Como o índice da matriz em C começa em 0, assumiremos que as incógnitas são os elementos x [0], x [1] e x [2]. Da mesma forma, os elementos na linha zero são os coeficientes na equação número 0, os elementos na linha um estão a pré-qualificação número um, e assim por diante.

    Em seguida, usando matrizes, um conjunto geral de equações algébricas lineares com incógnitas pode ser expresso como mostrado abaixo: As incógnitas e o lado direito são considerados elementos de matrizes unidimensionais: x [0], x [1] ,, x [m - 1] ey [0], y [1] ,, y [n - 1], respectivamente. Os coeficientes são considerados elementos de uma matriz bidimensional: a [i] [j] para e. Os coeficientes de cada equação correspondem a uma linha da matriz. Para nossa discussão nesta seção, presumimos que é igual. Com essa suposição, é possível encontrar uma solução única para essas equações, a menos que as equações sejam linearmente dependentes, ou seja, algumas equações são combinações lineares de outras.

    Um método comum para resolver tais equações é denominado método de eliminação gaussiana. O método elimina (ou seja, torna zero) todos os coeficientes abaixo da diagonal principal da matriz bidimensional. Ele faz isso adicionando múltiplos de algumas equações a outras de maneira sistemática. A eliminação faz com que a matriz de novos coeficientes tenha uma forma triangular superior, uma vez que os coeficientes triangulares inferiores são todos zero.

    O conjunto equivalente modificado de equações em incógnitas na forma triangular superior tem a aparência mostrada abaixo: As equações triangulares superiores podem ser resolvidas por substituição reversa. A substituição reversa resolve primeiro a última equação que tem apenas um desconhecido, x [n-1]. É facilmente resolvido para este valor --- x [n-1] = y [n-1] / a [n-1] [n -1]. O próximo à última equação pode então ser resolvido - visto que x [n-1] já foi determinado, este valor é substituído na equação, e esta equação tem novamente apenas uma incógnita, x [n-2]. , x [n-2], é resolvido e o processo continua de volta para a próxima equação superior. Em cada estágio, os valores da incógnita resolvida nas equações anteriores são substituídos na nova equação, deixando apenas uma incógnita. Dessa forma, cada equação tem apenas uma incógnita, que é facilmente resolvida.

    Vamos dar um exemplo simples para ver como funciona o processo. Para as equações: Primeiro reduzimos a zero os coeficientes na primeira coluna abaixo da diagonal principal (ou seja, índice de matriz zero). Se a primeira equação for multiplicada por -2 e adicionada à segunda equação, o coeficiente na segunda linha e na primeira coluna será zero:

    Da mesma forma, se a primeira equação for multiplicada por -1 e adicionada à terceira equação, o coeficiente na terceira linha e na primeira coluna será zero: os coeficientes na primeira coluna abaixo da diagonal principal agora são todos zero, então fazemos o mesmo para a segunda coluna. Neste caso, a segunda equação é multiplicada por um multiplicador e adicionada às equações abaixo da segunda, portanto, multiplicar a segunda equação por -2 e adicionar à terceira torna o coeficiente na segunda coluna zero: Agora temos equações equivalentes com um forma triangular superior para os não-zero coeficientes. As equações podem ser resolvidas de trás para frente - a última equação nos dá x [2] = 1.Substituindo o valor de x [2] na próxima à última equação e resolvendo para x [1] nos dá x [1] = 1.Finalmente , substituindo x [2] e x [1] na primeira equação nos dá x [0] = 1.

    A partir da discussão acima, podemos ver que um algoritmo geral envolve duas etapas: modificar os coeficientes das equações para uma forma triangular superior e resolver as equações por substituição reversa.

    Consideremos primeiro o processo de modificação das equações para uma forma triangular superior. Como apenas os coeficientes e os valores do lado direito estão envolvidos nos cálculos que modificam as equações para a forma triangular superior, podemos trabalhar com esses itens armazenados em uma matriz com linhas e colunas (a coluna extra contém os valores do lado direito).

    Suponhamos que o processo já tenha reduzido a zero as primeiras colunas abaixo da diagonal principal, armazenando os novos valores modificados dos elementos nos mesmos elementos da matriz. Agora, é hora de reduzir a coluna inferior a zero (por coluna inferior, queremos dizer a parte da coluna abaixo do maindiagonal). A situação é mostrada a seguir: A coluna representa os valores do lado direito com a [i] [n] igual ay [i]. Multiplicamos a linha por um multiplicador apropriado e adicionamos a cada linha com índice maior que. Supondo que a [k] [k] seja diferente de zero, o multiplicador de linha para adição à linha () é: A linha multiplicada pelo multiplicador acima e adicionada à linha tornará o novo a [i] [k] zero .O seguinte loop reduzirá a zero a coluna inferior:

    No entanto, antes de podermos usar o loop acima para reduzir a coluna inferior a zero, devemos ter certeza de que a [k] [k] é diferente de zero. Se a corrente a [k] [k] for zero, todos precisam fazer é trocar esta linha por qualquer indexedrow superior com um elemento diferente de zero na coluna. Após a troca das duas linhas, o novo a [k] [k] será diferente de zero. O loop acima é então usado para reduzir a coluna inferior a zero. O elemento diferente de zero, a [k] [k] usado no multiplicador, é chamado de pivô.

    Portanto, há duas etapas envolvidas na modificação das equações para a forma triangular superior: para cada linha, encontre um pivô e reduza a coluna inferior correspondente para zero. Se um elemento pivô diferente de zero não for encontrado, então uma ou mais equações são combinações lineares de outras, as equações são chamadas de dependentes lineares e não podem ser resolvidas.

    As Figuras 9.22 e 9.23 mostram o conjunto de funções que convertem as primeiras linhas e colunas de uma matriz em uma forma triangular superior. Estas e outras funções usam um tipo definido pelo usuário, status, com valores possíveis ERROR retornado se houver um erro e OK retornado caso contrário. O status do tipo é definido como segue: Também assumimos um máximo de equações MAX, então a matriz bidimensional deve ter MAXrows e MAX + 1 colunas.Figura 9.21 inclui o arquivo de cabeçalho com as definições e protótipos de função usados ​​no programa.

    Como a precisão é importante nesses cálculos, usamos parâmetros formais do tipo double. As matrizes bidimensionais podem armazenar coeficientes para um máximo de equações MAX (linhas) e têm MAX + 1 colunas para acomodar os valores do lado direito.

    A função uptriangle () transforma os coeficientes das equações em uma forma triangular superior. Para cada k de 0 a n-1, chama findpivot () para encontrar o pivô na coluna. Se nenhum pivô for encontrado, findpivot () retornará um ERROR (findpivot () é chamado até mesmo para a coluna, embora não haja uma coluna inferior para testar se [n-1] [n-1] é zero). Se findpivot () retornar OK, então uptriangle () chama process_col () para reduzir a coluna inferior para zero. Incluímos instruções de depuração em process_col () para ajudar a rastrear o processo. A função pr2adbl () imprime o array bidimensional - logo escreveremos esta função.

    A função findpivot () chama a função findnonzero () para encontrar um pivô diferente de zero na coluna k se a [k] [k] for zero. Se um pivô for encontrado, ele troca as linhas apropriadas e retorna OK. Caso contrário, ele retorna ERROR.A função findnonzero () apenas verifica a coluna k em busca de um elemento diferente de zero. Ela retorna a linha na qual encontra um elemento diferente de zero ou retorna -1 se nenhum elemento for encontrado. As linhas da matriz são trocadas pela função swaprows () que também inclui uma instrução de depuração para imprimir os índices de linha das linhas que estão sendo trocadas.

    Quando uptriangle () retorna com o status OK, o array estará na forma triangular superior. A próxima etapa na resolução das equações é empregar a substituição reversa para encontrar os valores das incógnitas. Agora examinamos o processo de substituição anterior. Como vimos anteriormente, devemos resolver as equações de trás para frente, começando no índice e prosseguindo para o índice 0. A equação na forma triangular superior tem a seguinte aparência: Lembre-se, em nossa representação, o lado direito é a coluna do array bidimensional. Para cada índice, devemos somar todas as contribuições daqueles desconhecidos já resolvidos, ou seja, aqueles x [i] com índice maior que. Esta é a seguinte soma: Subtraímos então esta soma do lado direito, a [i] [n], e dividimos o resultado por a [i] [i] para determinar a solução para x [i]. O algoritmo é mostrado abaixo:

    Podemos agora escrever a função gauss () que resolve um conjunto de equações pelo método de eliminação gaussiana que primeiro chama o triângulo superior () para converter os coeficientes na forma triangular superior. Se for bem-sucedido, a substituição reversa é realizada para encontrar as soluções. Como com outras funções, gauss () retorna OK se for bem-sucedido e ERROR caso contrário. O código é mostrado na Figura 9.24.

    O código é direto. Ele incorpora o algoritmo de substituição posterior após a chamada de função para uptriangle (). Se a chamada de função retornar ERROR, as equações não poderão ser resolvidas e gauss () retornará ERROR. Caso contrário, gauss () prossegue com a substituição e armazena o resultado na matriz x []. Como todo a [i] [i] deve ser benon-zero neste ponto, não precisamos realmente testar se a [i] [i ] é zero antes de usá-lo como um divisor, entretanto, fazemos isso como uma precaução adicional.

    Estamos quase prontos para usar a função gauss () em um programa. Antes de podermos fazer isso, entretanto, precisamos de algumas funções utilitárias para ler e imprimir dados. Aqui estão as descrições dessas funções: getcoeffs (): lê os coeficientes e os valores do lado direito em uma matriz e retorna o número de equações. pr2adbl (): imprime um array com linhas e colunas. pr1adbl (): imprime uma matriz de solução.

    Todas essas funções usam dados do tipo double. O código é mostrado na Figura 9.25.

    Finalmente, estamos prontos para escrever um driver de programa, conforme mostrado na Figura 9.26. O driver primeiro lê os coeficientes e os valores do lado direito para um conjunto de equações e, em seguida, chama gauss () para resolver as equações. Durante a fase de depuração, os dados originais e a versão triangular superior transformada são impressos. Finalmente, se as equações forem resolvidas com sucesso, a solução é impressa. Caso contrário, uma mensagem de erro será impressa.

    Durante a depuração, a macro DEBUG é definida em gauss.h para que possamos rastrear o processo. O programa é executado enquanto houver equações a serem resolvidas. Em cada caso, ele obtém coeficientes usando getcoeffs () e os resolve usando gauss (). Durante a depuração, o programa usa pr2adbl () para imprimir o array original e o array após a transformação de gauss. Se a solução for possível, o programa imprime a matriz de solução usando pr1adbl (). Aqui estão vários exemplos de soluções de equação:

    Os dois primeiros conjuntos de equações podem ser resolvidos; o último conjunto não é porque a segunda equação no último conjunto é um múltiplo da primeira equação. Portanto, essas equações são linearmente dependentes e não podem ser resolvidas de forma única. Nesse caso, depois que a coluna inferior for reduzida a zero, a [1] [1] será zero. O Apivot é encontrado na linha 2, as linhas 1 e 2 são trocadas e a coluna 1 inferior é reduzida a zero. No entanto, a [2] [2] agora é zero e não há uma maneira única de resolver essas equações.

    Se os coeficientes forem tais que as equações sejam quase, mas não quase totalmente dependentes, a solução pode ser bastante imprecisa. Uma melhoria na precisão pode ser obtida usando um elemento com o maior valor absoluto como o pivô. A implementação de uma versão aprimorada do método é deixada como um exercício.


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    Equações lineares em duas variáveis

    Sol. Deixe o custo de um caderno e uma caneta ser x e y respectivamente.

    Custo do caderno = 2 × Custo da caneta

    P2. Expresse as seguintes equações lineares na forma machado + de + c = 0 e indicam os valores de uma, b, c em cada caso :

    (iii) - 2x + 3 y = 6

    (vi) 3x + 2 = 0

    (vii) y − 2 = 0

    Comparando esta equação com machado + por + c = 0,

    Comparando esta equação com machado + por + c = 0,

    Comparando esta equação com machado + por + c = 0,

    Comparando esta equação com machado + por + c = 0,

    Comparando esta equação com machado + por + c = 0,

    Comparando esta equação com machado + por + c = 0,

    Comparando esta equação com machado + por + c = 0,

    Comparando esta equação com machado + por + c = 0,

    P1. Qual das opções a seguir é verdadeira e por quê?

    y = 3x + 5 tem

    (i) uma solução única,

    (ii) apenas duas soluções,

    (iii) infinitas soluções

    Sol. y = 3x + 5 é uma equação linear em duas variáveis ​​e possui infinitas soluções possíveis. Como para todo valor de x, haverá um valor de y satisfazendo a equação acima e vice-versa.

    Portanto, a resposta correta é (iii).

    P2. Escreva quatro soluções para cada uma das seguintes equações:

    Sol. (i) 2x + y = 7

    Portanto, (0, 7) é uma solução desta equação.

    Portanto, (1, 5) é uma solução desta equação.

    Portanto, (−1, 9) é uma solução desta equação.

    Portanto, (2, 3) é uma solução desta equação.

    Portanto, (0, 9) é uma solução desta equação.

    Portanto, (1, 9 - π) é uma solução desta equação.

    Portanto, (2, 9 −2π) é uma solução desta equação.

    ⇒ (−1, 9 + π) é uma solução desta equação.

    Portanto, (0, 0) é uma solução desta equação.

    Portanto, (4, 1) é uma solução desta equação.

    Portanto, (−4, −1) é uma solução desta equação.

    P3. Verifique quais das seguintes são soluções da equação x − 2y = 4 e quais não são:

    Sol. (i) (0, 2)

    Colocando x = 0 e y = 2 no L.H.S da equação dada,

    Portanto, (0, 2) não é uma solução para esta equação.

    Colocando x = 2 e y = 0 no L.H.S da equação dada,

    Portanto, (2, 0) não é uma solução para esta equação.

    Colocando x = 4 e y = 0 no L.H.S da equação dada,

    Portanto, (4, 0) é uma solução desta equação.

    no L.H.S da equação dada,

    x & # 8211 2 y = 2 & # 8211 2 4 2 = 2 & # 8211 8 2 = & # 8211 7 2 & # 8800 4

    não é uma solução para esta equação.

    Colocando x = 1 e y = 1 no L.H.S da equação dada,

    x − 2y = 1 − 2(1) = 1 − 2 = − 1 ≠ 4

    Portanto, (1, 1) não é uma solução para esta equação.

    P4. Encontre o valor de k, E se x = 2, y = 1 é uma solução da equação 2x + 3y = k.

    Sol. Colocando x = 2 e y = 1 na equação dada,

    Portanto, o valor de k é 7.

    P1. Desenhe o gráfico de cada uma das seguintes equações lineares em duas variáveis:

    Sol. (eu)

    Pode-se observar que x = 0, y = 4 e x = 4, y = 0 são soluções da equação acima. Portanto, a tabela de solução é a seguinte.

    O gráfico desta equação é construído da seguinte maneira.

    Pode-se observar que x = 4, y = 2 e x = 2, y = 0 são soluções da equação acima. Portanto, a tabela de solução é a seguinte.

    O gráfico da equação acima é construído da seguinte maneira.

    Pode-se observar que x = −1, y = −3 e x = 1, y = 3 são soluções da equação acima. Portanto, a tabela de solução é a seguinte.

    O gráfico da equação acima é construído da seguinte maneira.

    Pode-se observar que x = 0, y = 3 e x = 1, y = 1 são soluções da equação acima. Portanto, a tabela de solução é a seguinte.

    O gráfico desta equação é construído da seguinte maneira.

    P2. Forneça as equações de duas retas passando por (2, 14). Quantas linhas mais existem e por quê?

    Sol. Pode-se observar que o ponto (2, 14) satisfaz a equação 7xy = 0 e

    Portanto, 7xy = 0 e xy + 12 = 0 são duas linhas que passam pelo ponto (2, 14).

    Como é sabido que por um ponto podem passar infinitas linhas, portanto, existem infinitas linhas desse tipo passando por determinado ponto.

    P3. Se o ponto (3, 4) está no gráfico da equação 3y = machado + 7, encontre o valor de uma.

    Sol. Colocando x = 3 e y = 4 na equação dada,

    P4. A tarifa de táxi em uma cidade é a seguinte: para o primeiro quilômetro, a tarifa é de Rs 8 e para a distância subsequente é de Rs 5 por km. Tomando a distância percorrida como x km e tarifa total em Rs y, escreva uma equação linear para essa informação e desenhe seu gráfico.

    Sol. Distância total percorrida = x km

    Tarifa para 1º quilômetro = Rs 8

    Tarifa para o resto da distância = Rs (x − 1) 5

    Pode-se observar que o ponto (0, 3) e

    satisfaz a equação acima. Portanto, essas são as soluções desta equação.

    O gráfico desta equação é construído da seguinte maneira.

    Aqui, pode ser visto que a variável x e y representam a distância percorrida e a tarifa paga por essa distância, respectivamente, e essas quantidades não podem ser negativas. Portanto, apenas os valores de x ey que se encontram no 1º quadrante serão considerados.

    P5. Das opções fornecidas abaixo, escolha a equação cujos gráficos são fornecidos nas figuras fornecidas.

    Para a primeira figura Para a segunda figura
    (eu) y = x (eu) y = x +2
    (ii) x + y = 0 (ii) y = x − 2
    (iii) y = 2x (iii) y = − x + 2
    (4) 2 + 3y = 7x (4) x + 2y = 6


    Os pontos na linha dada são (−1, 1), (0, 0) e (1, −1).

    Pode-se observar que as coordenadas dos pontos do gráfico satisfazem a equação x + y = 0. Portanto, x + y = 0 é a equação correspondente ao gráfico mostrado na primeira figura.

    Portanto, (ii) é a resposta correta.

    Os pontos na linha dada são (−1, 3), (0, 2) e (2, 0). Pode-se observar que as coordenadas dos pontos do gráfico satisfazem a equação y = − x + 2.

    Portanto, y = − x + 2 é a equação correspondente ao gráfico mostrado na segunda figura.

    Portanto, (iii) é a resposta correta.

    P6. Se o trabalho realizado por um corpo na aplicação de uma força constante é diretamente proporcional à distância percorrida pelo corpo, expresse isso na forma de uma equação em duas variáveis ​​e desenhe o gráfico da mesma tomando a força constante como 5 unidades . Leia também no gráfico o trabalho realizado quando a distância percorrida pelo corpo é

    Sol. Que a distância percorrida e o trabalho realizado pelo corpo seja x e y respectivamente.

    Trabalho realizado ∝ distância percorrida

    Se a força constante for 5 unidades, o trabalho realizado y = 5x

    Pode-se observar que os pontos (1, 5) e (−1, −5) satisfazem a equação acima. Portanto, essas são as soluções desta equação. O gráfico desta equação é construído da seguinte maneira.


    (i) A partir dos gráficos, pode-se observar que o valor de y correspondendo a x = 2 é 10. Isso implica que o trabalho realizado pelo corpo é de 10 unidades quando a distância percorrida por ele é de 2 unidades.

    (ii) A partir dos gráficos, pode-se observar que o valor de y correspondendo a x = 0 é 0. Isso implica que o trabalho realizado pelo corpo é 0 unidade quando a distância percorrida por ele é 0 unidade.

    P7. Yamini e Fatima, dois alunos da Classe IX de uma escola, juntos contribuíram com Rs 100 para o fundo de ajuda do primeiro-ministro para ajudar as vítimas do terremoto. Escreva uma equação linear que satisfaça esses dados. (Você pode receber suas contribuições como Rs x e Rs y.) Desenhe o gráfico do mesmo.

    Sol. Que a quantia que Yamini e Fátima contribuíram seja x e y respectivamente para o Fundo de Ajuda do Primeiro Ministro.

    Quantia contribuída por Yamini + Quantia contribuída por Fátima = 100

    Pode-se observar que (100, 0) e (0, 100) satisfazem a equação acima. Portanto, essas são as soluções da equação acima. O gráfico é construído da seguinte maneira.

    Aqui, pode ser visto que a variável x e y estão representando o valor contribuído por Yamini e Fátima respectivamente e essas quantidades não podem ser negativas. Portanto, apenas os valores de x e y que se encontram no 1º quadrante serão considerados.

    P8. Em países como EUA e Canadá, a temperatura é medida em Fahrenheit, enquanto em países como a Índia, é medida em Celsius. Aqui está uma equação linear que converte Fahrenheit em Celsius:

    (i) Desenhe o gráfico da equação linear acima usando Celsius para x-eixo e Fahrenheit para y-eixo.

    (ii) Se a temperatura for 30 ° C, qual é a temperatura em Fahrenheit?

    (iii) Se a temperatura é de 95 ° F, qual é a temperatura em Celsius?

    (iv) Se a temperatura é 0 ° C, qual é a temperatura em Fahrenheit e se a temperatura é 0 ° F, qual é a temperatura em Celsius?

    (v) Existe uma temperatura que é numericamente a mesma em Fahrenheit e Celsius? Se sim, encontre.

    Pode-se observar que os pontos (0, 32) e (−40, −40) satisfazem a equação dada. Portanto, esses pontos são as soluções desta equação.

    O gráfico da equação acima é construído da seguinte maneira.


    ii) Temperatura = 30 ° C

    F = 9 5 C + 32 F = 9 5 30 + 32 = 54 + 32 = 86

    Portanto, a temperatura em Fahrenheit é 86 ° F.

    F & # 160 = & # 160 9 5 C + 32 95 = 9 5 C + 32 63 = 9 5 C & # 160 = 35

    Portanto, a temperatura em Celsius é de 35 ° C.

    Portanto, se C = 0 ° C, então F = 32 ° F

    0 = 9 5 C + 32 9 5 C = & # 8211 32 C = & # 8211 160 9 & # 8211 17. 77

    Portanto, se F = 0 ° F, então C = −17,8 ° C

    F = 9 5 F + 32 9 5 & # 8211 1 F + 32 = 0 4 5 F = & # 8211 32

    Sim, há uma temperatura, −40 °, que é numericamente a mesma em graus Fahrenheit e Celsius

    P1. Dê a representação geométrica de y = 3 como uma equação

    (I) em uma variável

    (II) em duas variáveis

    Sol. Em uma variável, y = 3 representa um ponto conforme mostrado na figura a seguir.

    Em duas variáveis, y = 3 representa uma linha reta passando pelo ponto (0, 3) e paralela a x-eixo. É uma coleção de todos os pontos do plano, tendo seus y-coordenar como 3.

    P2. Dê as representações geométricas de 2x + 9 = 0 como uma equação

    (1) em uma variável

    (2) em duas variáveis

    (1) Em uma variável, 2x + 9 = 0 representa um ponto

    conforme mostrado na figura a seguir.

    (2) Em duas variáveis, 2x + 9 = 0 representa uma linha reta passando pelo ponto
    (−4,5, 0) e paralelo a y-eixo. É uma coleção de todos os pontos do plano, tendo seus x-coordenar como 4.5.


    Aplicações Práticas de Equações Lineares

    As equações lineares surgem em muitas situações práticas. Por exemplo, considere as duas escalas de temperatura amplamente utilizadas: Celsius e Fahrenheit. Para converter da escala Fahrenheit para a escala Celsius, a seguinte relação é usada:

    Observe cuidadosamente que esta é uma equação linear nas duas variáveis F e C. Deixe-nos traçar o gráfico para esta equação linear usando duas soluções particulares:

    O gráfico é traçado abaixo:

    Usando este gráfico, podemos converter facilmente de Celsius para Fahrenheit e vice-versa. Por exemplo, notamos que (P left (<30,86> right) ) encontra-se no gráfico, o que significa que quando (C = 30 ), então (F = 86 ), isto é , (<30 ^ 0> C ) é (<86 ^ 0> F ). Da mesma forma, vemos que (Q left (<35,95> right) ) está no gráfico, ou seja, (<35 ^ 0> C ) é (<95 ^ 0> F ) .

    Também notamos que a linha cruza o y-eixo em aproximadamente ( left (<- 17.7,0> right) ), o que significa que (<0 ^ 0> F ) é aproximadamente (- <17.7 ^ 0> C ).

    Existe uma temperatura cujo valor numérico é o mesmo nas duas escalas? Para determinar essa temperatura, precisamos determinar um ponto na linha cujas coordenadas são iguais, ou seja, um ponto para o qual

    Para fazer isso, desenhamos a linha (y = x ) no gráfico Celsius-Fahrenheit. Onde quer que a linha (y = x ) cruze a linha Celsius-Fahrenheit, o ponto obtido terá o mesmo x e y coordenadas (você pode ver por quê?):

    Vemos que o ponto de interseção é ( left (<- 40, - 40> right) ). Portanto, (- <40 ^ 0> C ) quando convertido para a escala Fahrenheit é (- <40 ^ 0> F ). Esta temperatura possui o mesmo valor numérico em ambas as escalas.

    Exemplo 1: Em uma determinada cidade, existem dois tipos de táxis disponíveis: preto e amarelo. Os táxis negros cobram uma entrada de Rs. 20 e uma tarifa por km de Rs. 4. Os táxis amarelos cobram um adiantamento de Rs. 10 e tarifa por km de Rs. 5

    I. Use (f ) para denotar a tarifa total (em rúpias) e (d ) para denotar a distância percorrida (em km). Construa equações lineares relacionadas (f ) e (d ) para os táxis pretos e amarelos.

    II. Desenhe gráficos para essas equações.

    III. Em que condições um táxi preto é mais barato do que um táxi amarelo?

    I. Para o táxi preto, temos (f = 20 + 4d ), enquanto para o táxi amarelo, temos (f = 10 + 5d ).

    II. As duas equações lineares são plotadas nos mesmos eixos abaixo (a escala para o eixo vertical é diferente do eixo horizontal):

    Observe que as duas linhas se cruzam no ponto ( left (<10,60> right) ), ou seja, em (d = 10, , f = 60 ).

    III. Para distâncias inferiores a 10 km, a linha do táxi preto fica acima do táxi amarelo (ou seja, as tarifas do táxi preto serão mais altas). Quando (d = 10 ) km, as tarifas para os dois táxis serão as mesmas (Rs. 60). Quando (d & gt 10 ) km, a linha do táxi preto fica abaixo da linha do táxi amarelo. Assim, para distâncias superiores a 10 km, um táxi preto será mais barato.


    Expandindo além do conjunto de base orbital 1s

    Esta imagem de ligação em H2 + na seção anterior é muito simples, mas fornece resultados razoáveis ​​quando comparados a um cálculo exato. A distância da ligação de equilíbrio é 134 pm em comparação com 106 pm (exata) e uma energia de dissociação é 1,8 eV em comparação com 2,8 eV (exata). Para descrever melhor a ligação química, precisamos levar em consideração o aumento na densidade do elétron entre os dois núcleos. Os orbitais 1s por si só não são particularmente bons para esse propósito porque são esfericamente simétricos e não mostram preferência pelo espaço entre os núcleos atômicos. O uso de orbitais atômicos adicionais pode corrigir esta situação e fornecer parâmetros adicionais, que podem ser otimizados pelo método variacional linear, para dar uma função melhor com uma energia menor e uma descrição mais precisa da densidade de carga.

    A energia do orbital molecular não normalizado pode ser calculada a partir da integral do valor esperado do hamiltoniano,

    Esta é a energia variacional usando (| psi _ rangle ) como a função de onda de trilha. Depois de substituir a expansão LCAO por (| psi _ rangle ) (Equação ref <9.5.12>) na expressão de energia da Equação ref <9.5.13> resulta em:

    onde (H_) é o elemento da matriz hamiltoniana.

    [H_ = langle phi_i | chapéu _ | phi_j rangle ]

    Seguindo o teorema variacional, para determinar os coeficientes da expansão LCAO (c_i ), precisamos minimizar (E_J )

    para todos (k ). Isso requer a resolução de (N ) equações lineares para serem verdadeiras (onde (N ) é o número de orbitais atômicos na base)

    Essas equações são o equações seculares e foram discutidos anteriormente no contexto da aproximação do método variacional linear. Para a expansão do conjunto de duas bases ( (N )) na Figura ( PageIndex <1> ), estes são

    onde (c_1 ) e (c_2 ) são os coeficientes na combinação linear dos orbitais atômicos usados ​​para construir o orbital molecular. Escrever este conjunto de equações lineares homogêneas em forma de matriz dá

    Resolver essas equações seculares com N orbitais atômicos diferentes na expansão (Equação ( ref <9.5.12> )) requer encontrar as N raízes de um polinômio de ordem N.

    Cada orbital molecular ( (| psi_J rangle )) deste tratamento tem uma energia (E_J ) que é dada por um conjunto diferente de coeficientes, (<>> ) onde (i ) executa sobre todas as funções (N ) na base (ou seja, o número dos orbitais atômicos na aproximação LCAO da Equação ( ref <9.5.12> )), e (J ) corre sobre orbitais moleculares. Resolva o conjunto de equações lineares usando aquele (E_J ) específico para determinar (c_) valores.

    Etapas para resolver as equações seculares

    1. Selecione um conjunto de funções básicas N
    2. Determine todos os valores N (N & ndash1) / 2 de ambos (H_) e (S_)
    3. Forme o determinante secular, determine N raízes (E_j ) da equação secular
    4. Para cada (E_J ) resolva o conjunto de equações lineares para determinar os coeficientes do conjunto de base (c_) para o j-ésimo orbital molecular

    Para obter mais informações sobre como resolver as equações seculares, clique aqui.

    Quanto maior o número de orbitais atômicos (N ) que se combinam para gerar os orbitais moleculares (Equação ( ref <9.5.12> )), mais precisa é a aproximação LCAO. Isso é esperado com base em nossas discussões sobre os exemplos de métodos variacionais. Portanto, os orbitais moleculares ( psi _ + ) e ( psi _- ) para (H_2 ^ + ) são melhor expressos com funções de onda hidrogenicas de alta energia

    [| psi_J rangle = c_ 1s_A + c_ 1s_B + c_ 2s_A + c_ 2s_B + c_ 2p_ + c_ 2p_ label <9.5.24> ]

    As razões pelas quais apenas os orbitais atômicos (p_z ) estão incluídos nesta expansão são discutidas posteriormente.


    9.5: Equações Lineares

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    (1.5.4) & # 8211 Reorganizar fórmulas para isolar variáveis ​​específicas

    Às vezes, é mais fácil isolar a variável que você está resolvendo ao usar uma fórmula. Isso é especialmente útil se você tiver que executar o mesmo cálculo repetidamente ou se o computador for executado repetidamente. Nos próximos exemplos, usaremos propriedades algébricas para isolar uma variável em uma fórmula.

    Exemplo

    Isole o termo que contém a variável, C, da fórmula para o perímetro de um retângulo:

    Primeiro, isole o termo com C subtraindo 2eu de ambos os lados da equação.

    Em seguida, limpe o coeficiente de C dividindo ambos os lados da equação por 2.

    Você pode reescrever a equação para que a variável isolada fique no lado esquerdo.

    Exemplo

    Use as propriedades de multiplicação e divisão de igualdade para isolar a variável b dado [latex] A = frac <1> <2> bh [/ latex]

    Escreva a equação com a variável desejada no lado esquerdo por uma questão de convenção:

    Use as propriedades de multiplicação e divisão de igualdade para isolar a variável h dado [latex] A = frac <1> <2> bh [/ latex]

    Escreva a equação com a variável desejada no lado esquerdo por uma questão de convenção:


    Lane ORCCA (2020–2021): Recursos abertos para álgebra do Community College

    Aprendemos como resolver equações de uma etapa na Seção 2.5. Nesta seção, aprenderemos como resolver equações de várias etapas.

    Subseção 3.1.1 Resolvendo Equações de Duas Etapas

    Exemplo 3.1.1.

    Um tanque de água pode conter (140 ) galões de água, mas tem apenas (5 ) galões de água. Uma torneira foi aberta, despejando (15 ) galões de água no tanque a cada minuto. Depois de quantos minutos o tanque estará cheio? Vamos encontrar um padrão primeiro.

    Tabela 3.1.2. Quantidade de água no tanque
    Minutos desde Tap Quantidade de água em
    Foi ligado o tanque (em galões)
    (0) (5)
    (1) (15 cdot1 + 5 = 20 )
    (2) (15 cdot2 + 5 = 35 )
    (3) (15 cdot3 + 5 = 50 )
    (4) (15 cdot4 + 5 = 65 )
    ( vdots ) ( vdots )
    (m ) (15m + 5 )

    Podemos ver que após (m ) minutos, o tanque tem (15m + 5 ) galões de água. Isso faz sentido, pois a torneira despeja (15m ) galões de água no tanque em (m ) minutos e tinha (5 ) galões para começar. Para saber quando o tanque estará cheio (com (140 ) galões de água), podemos escrever a equação

    Primeiro, precisamos isolar o termo variável, (15m text <,> ) na equação. Em outras palavras, precisamos remover (5 ) do lado esquerdo do sinal de igual. Podemos fazer isso subtraindo (5 ) de ambos os lados da equação. Uma vez que o termo variável é isolado, podemos eliminar o coeficiente e resolver para (m text <.> ) O processo completo é:

    Em seguida, precisamos substituir (m ) por (9 ) na equação (15m + 5 = 140 ) para verificar a solução:

    A solução (9 ) é verificada. Em resumo, o tanque estará cheio após (9 ) minutos.

    Ao resolver a equação de duas etapas no Exemplo 3.1.1, primeiro isolamos a expressão variável (15m ) e, em seguida, eliminamos o coeficiente de (15 ) dividindo cada lado da equação por (15 text <. > ) Essas duas etapas estarão no centro de nossa abordagem para resolver equações lineares. Para equações mais complicadas, podemos precisar simplificar algumas das expressões primeiro. Abaixo está uma abordagem geral para resolver equações lineares que usaremos à medida que resolvermos equações cada vez mais complicadas.

    Lista 3.1.3. Etapas para resolver equações lineares

    Simplifique as expressões em cada lado da equação distribuindo e combinando termos semelhantes.

    Use adição ou subtração para separar os termos variáveis ​​e os termos constantes (números) para que fiquem em lados diferentes da equação.

    Use multiplicação ou divisão para eliminar o coeficiente do termo variável.

    Verifique a solução. Substitua os valores na equação original e use a ordem das operações para simplificar os dois lados. É importante usar apenas a ordem das operações, em vez de propriedades como a lei distributiva. Caso contrário, você pode repetir os mesmos erros aritméticos cometidos durante a solução e não conseguir encontrar uma solução incorreta.

    Declare o conjunto de soluções ou (no caso de um problema de aplicação) resuma o resultado em uma frase completa usando unidades apropriadas.

    Vejamos mais alguns exemplos.

    Exemplo 3.1.4.

    Resolva para (y ) na equação (7-3y = -8 text <.> )

    Para resolver, primeiro separaremos os termos variáveis ​​e os termos constantes em diferentes lados da equação. Em seguida, eliminaremos o coeficiente do termo variável.

    Verificando a solução (y = 5 text <:> )

    Portanto, a solução para a equação (7-3y = -8 ) é (5 ) e o conjunto de solução é ( <5 > text <.> )

    Subseção 3.1.2 Resolvendo Equações Lineares de Várias Etapas

    Exemplo 3.1.5.

    Ahmed economizou ( $ 2 <,> 500,00 ) em sua conta poupança e vai começar a economizar ( $ 550,00 ) por mês. Julia economizou ( $ 4 <,> 600,00 ) em sua conta poupança e vai começar a economizar ( $ 250,00 ) por mês.Se essa situação continuar, quantos meses depois Ahmed alcançaria Julia economizando?

    Ahmed economiza ( $ 550,00 ) por mês, então ele pode economizar (550m ) dólares em (m ) meses. Com os ( $ 2 <,> 500,00 ) com os quais ele começou, depois de (m ) meses, ele tem (550m + 2500 ) dólares. Da mesma forma, depois de (m ) meses, Julia tem (250m + 4600 ) dólares. Para saber quando essas duas contas terão a mesma quantia de dinheiro, escrevemos a equação

    Verificando a solução (7 text <:> )

    Em resumo, Ahmed alcançará as economias de Julia em (7 ) meses.

    Exemplo 3.1.6.

    Resolva para (x ) em (5-2x = 5x-9 text <.> )

    Verificando a solução (2 text <:> )

    Portanto, a solução é (2 ) e o conjunto de soluções é ( <2 > text <.> )

    Observação 3.1.7.

    No Exemplo 3.1.6, poderíamos ter movido os termos variáveis ​​para o lado direito do sinal de igual e os termos numéricos para o lado esquerdo. Optamos por não fazê-lo. Não há razão para nós não poderia moveram os termos variáveis ​​para o lado direito. Vamos comparar:

    Por último, poderíamos salvar uma etapa movendo os termos variáveis ​​e os termos numéricos em uma etapa:

    Este livro irá mover termos variáveis ​​e termos numéricos separadamente ao longo deste capítulo. Verifique com seu instrutor as expectativas dele.

    Ponto de verificação 3.1.8.

    O próximo exemplo requer a combinação de termos semelhantes.

    Exemplo 3.1.9.

    Resolva para (n ) em (n-9 + 3n = n-3n texto <.> )

    Para começar a resolver essa equação, precisaremos combinar termos semelhantes. Depois disso, podemos colocar todos os termos contendo (n ) em um lado da equação e terminar de resolver para (n text <.> )

    Verificando a solução ( frac <3> <2> text <:> )

    A solução para a equação (n-9 + 3n = n-3n ) é ( frac <3> <2> ) e o conjunto de solução é ( left < frac <3> <2> right > text <.> )

    Ponto de verificação 3.1.10.
    Exemplo 3.1.11.

    Azul está projetando um jardim retangular e eles têm (40 ) metros de madeira para a borda. O comprimento do jardim deve ser (4 ) metros menor que três vezes a largura e seu perímetro deve ser (40 ) metros. Encontre o comprimento e a largura do jardim.

    Lembrete: a fórmula do perímetro de um retângulo é (P = 2 (L + W) text <,> ) onde (P ) significa perímetro, (L ) significa comprimento e (W ) significa para largura.

    Deixe a largura do jardim da Azul ser de (W ) metros. Podemos então representar o comprimento como (3W-4 ) metros, uma vez que nos dizem que é (4 ) metros menos do que três vezes a largura. É dado que o perímetro é de (40 ) metros. Substituindo esses valores na fórmula, temos:

    O próximo passo para resolver esta equação é remover os parênteses por distribuição.

    Verificando a solução (W = 6 text <:> )

    Para determinar o comprimento, lembre-se de que ele foi representado por (3W-4 text <,> ) que é:

    Assim, a largura do jardim da Azul é de (6 ) metros e o comprimento é de (14 ) metros.

    Ponto de verificação 3.1.12.

    Devemos ter cuidado ao distribuir um sinal negativo entre parênteses, como no próximo exemplo.

    Exemplo 3.1.13.

    Resolva para (a ) em (4- (3-a) = - 2-2 (2a + 1) text <.> )

    Para resolver esta equação, vamos simplificar cada lado da equação, manipulá-lo de forma que todos os termos variáveis ​​estejam de um lado e todos os termos constantes do outro, e então resolveremos para (a text <:> )

    Verificando a solução (- 1 text <:> )

    Portanto, a solução para a equação é (- 1 ) e o conjunto de soluções é ( <- 1 > text <.> )

    Subseção 3.1.3 Diferenciando Expressões Simplificando, Avaliando Expressões e Resolvendo Equações

    Vejamos os seguintes exemplos semelhantes, mas diferentes.

    Exemplo 3.1.14.

    Simplifique a expressão (10-3 (x + 2) text <.> )

    Um resultado equivalente é (4-3x text <.> ) Observe que nosso resultado final é um expressão.

    Exemplo 3.1.15.

    Avalie a expressão (10-3 (x + 2) ) quando (x = 2 ) e quando (x = 3 text <.> )

    Substituiremos (x = 2 ) na expressão:

    Da mesma forma, substituiremos (x = 3 ) na expressão:

    Observe que os resultados finais aqui são valores da expressão original.

    Exemplo 3.1.16.

    Resolva a equação (10-3 (x + 2) = x-16 text <.> )

    Verificando a solução (x = 5 text <:> )

    Verificamos que (x = 5 ) é uma solução da equação (10-3 (x + 2) = x-16 text <.> )

    Observe que os resultados finais aqui são soluções às equações.

    Uma expressão como (10-3 (x + 2) ) pode ser simplificada para (- 3x + 4 ) (como no Exemplo 3.1.14), mas não podemos resolver para (x ) em uma expressão.

    Como (x ) assume valores diferentes, uma expressão possui valores diferentes. No Exemplo 3.1.15, quando (x = 2 text <,> ) (10-3 (x + 2) = - 2 text <> ) mas quando (x = 3 text <,> ) (10-3 (x + 2) = - 5 texto <.> )

    Uma equação conecta duas expressões com um sinal de igual. No Exemplo 3.1.16, (10-3 (x + 2) = x-16 ) tem a expressão (10-3 (x + 2) ) no lado esquerdo do sinal de igual e a expressão ( x-16 ) no lado direito.

    Quando resolvemos a equação (10-3 (x + 2) = x-16 text <,> ) estamos procurando um número que faz com que essas duas expressões tenham o mesmo valor. No Exemplo 3.1.16, descobrimos que a solução é (x = 5 text <,> ) o que torna (10-3 (x + 2) = - 11 ) e (x-16 = - 11 text <,> ) conforme mostrado na seção de verificação.


    Resolvendo equações lineares: Seção 2

    Se termos iguais aparecem em ambos os lados de uma equação,
    então podemos "cancelá-los".

    d aparece em ambos os lados. Portanto, podemos cancelá-los.

    Teoricamente, podemos dizer que subtraímos d de ambos os lados.

    Para ver a resposta, passe o mouse da esquerda para a direita
    sobre a área colorida.
    Para cobrir a resposta novamente, clique em "Atualizar" ("Atualizar").
    Resolva o problema sozinho primeiro!

    Cancele os b's, mas não os a's. À esquerda está & menos a, mas à direita está + a. Eles não são iguais.

    O desconhecido em ambos os lados

    4 x e menos 3 = 2 x e menos 11.
    1. Transponha os x para a esquerda e os números para a direita:
    4 x e menos 2 x = & menos11 + 3.
    2. Colete os termos semelhantes e resolva:
    2 x = & menos8
    x = & menos4.

    Este é outro exemplo de álgebra com os olhos. Na primeira linha, você deve ver que 2 x vai para a esquerda como & menos2 x, e que & minus3 vai para a direita como +3.

    Como regra geral para resolver qualquer equação linear, podemos agora afirmar o seguinte:

    Transponha todos os termos que envolvem o desconhecido para a esquerda e adicione-os
    transpor os termos restantes para a direita
    faça 1 o coeficiente final da incógnita, dividindo ou multiplicando.

    1 25 x e menos 6 = x
    1 25 x e menos x = 6
    (1, 25 e menos 1) x = 6 Sobre a combinação de termos semelhantes
    à esquerda.
    . 25 x = 6
    x = 24. Sobre a multiplicação de ambos os lados
    por 4.

    Problema 23. Remova os parênteses, adicione termos semelhantes e resolva para x:

    (8 x e menos 2) + (3 e menos 5 x) = (2 x e menos 1) e menos (x e menos 3)
    8 x e menos 2 + 3 e menos 5 x = 2 x e menos 1 e menos x + 3
    sobre a remoção dos parênteses
    3 x + 1 = x + 2
    3 x e menos x = 2 e menos 1
    2 x = 1
    x = 1
    2

    Equações fracionárias simples

    Como 2 se divide à esquerda, ele se multiplicará à direita:

    Solução Na forma padrão de uma equação fracionária simples, x está no numerador. Mas podemos facilmente tornar essa forma padrão assumindo a recíproca de ambos os lados.

    Pois se dois números são iguais, então seus recíprocos são iguais.

    Exemplo 7. Coeficiente fracional.

    Como 4 se divide à esquerda, ele se multiplicará à direita:

    E como 3 se multiplica à esquerda, ele se divide à direita:

    Em outras palavras, vai para o outro lado como seu recíproco,.

    Os coeficientes vão para o outro lado como seus recíprocos.

    Problema 27. 2 x
    3
    = uma
    x = 3 a
    2
    Problema 28. 5
    8
    x = a e menos b
    x = 8
    5
    (a e menos b)
    Problema 29. 4
    5
    x + 6 = 14
    4
    5
    x = 14 e menos 6 = 8
    x = 5
    4
    & middot 8 = 10.
    Problema 30. UMA = & frac12 x B
    Lados da troca:
    & frac12 x B = UMA
    x = 2A
    B

    Problema 31. A temperatura Celsius C está relacionada à temperatura Fahrenheit F por esta fórmula,

    F = 9
    5
    C + 32
    a) Qual é a temperatura Fahrenheit quando a temperatura Celsius quando a temperatura Fahrenheit é 10 & deg?
    F = 9
    5
    & middot 10 + 32
    = 18 + 32
    = 50 e deg.

    b) Resolva a fórmula para C.

    9
    5
    C + 32 = F
    9
    5
    C = F & menos 32
    C = 5
    9
    (F e menos 32).
    c) Qual é a temperatura Celsius quando a temperatura Fahrenheit quando a temperatura Fahrenheit é 68 & deg?

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    Assista o vídeo: Exercício 30 Seção (Outubro 2021).