Artigos

12.5: Equações de Linhas e Planos - Matemática


objetivos de aprendizado

  • Escreva o vetor, paramétrico e simétrico de uma linha através de um determinado ponto em uma determinada direção, e uma linha através de dois pontos fornecidos.
  • Encontre a distância de um ponto a uma determinada linha.
  • Escreva as equações vetoriais e escalares de um plano através de um determinado ponto com uma dada normal.
  • Encontre a distância de um ponto a um determinado plano.
  • Encontre o ângulo entre dois planos.

Agora, estamos familiarizados com a escrita de equações que descrevem uma linha em duas dimensões. Para escrever uma equação para uma linha, devemos conhecer dois pontos na linha, ou devemos saber a direção da linha e pelo menos um ponto através do qual a linha passa. Em duas dimensões, usamos o conceito de inclinação para descrever a orientação, ou direção, de uma linha. Em três dimensões, descrevemos a direção de uma linha usando um vetor paralelo à linha. Nesta seção, examinamos como usar equações para descrever linhas e planos no espaço.

Equações para uma linha no espaço

Vamos primeiro explorar o que significa dois vetores serem paralelos. Lembre-se de que os vetores paralelos devem ter direções iguais ou opostas. Se dois vetores diferentes de zero, ( vecs {u} ) e ( vecs {v} ), são paralelos, afirmamos que deve haver um escalar, (k ), tal que ( vecs {u } = k vecs {v} ). Se ( vecs {u} ) e ( vecs {v} ) têm a mesma direção, basta escolher

[k = dfrac {‖ vecs {u} ‖} {‖ vecs {v} ‖}. ]

Se ( vecs {u} ) e ( vecs {v} ) têm direções opostas, escolha

[k = - dfrac {‖ vecs {u} ‖} {‖ vecs {v} ‖}. ]

Observe que o inverso também é válido. Se ( vecs {u} = k vecs {v} ) para algum escalar (k ), então ( vecs {u} ) e ( vecs {v} ) têm o mesmo direção ((k> 0) ) ou direções opostas ((k <0) ), então ( vecs {u} ) e ( vecs {v} ) são paralelas. Portanto, dois vetores diferentes de zero ( vecs {u} ) e ( vecs {v} ) são paralelos se e somente se ( vecs {u} = k vecs {v} ) para algum escalar (k ). Por convenção, o vetor zero ( vecs {0} ) é considerado paralelo a todos os vetores.

Figura ( PageIndex {1} ): Vetor ( vecs {v} ) é o vetor de direção para ( vecd {PQ} ).

Como em duas dimensões, podemos descrever uma linha no espaço usando um ponto na linha e a direção da linha, ou um vetor paralelo, que chamamos de vetor de direção (Figura ( PageIndex {1} )). Seja (L ) uma linha no espaço passando pelo ponto (P (x_0, y_0, z_0) ). Seja ( vecs {v} = ⟨a, b, c⟩ ) um vetor paralelo a (L ). Então, para qualquer ponto na linha (Q (x, y, z) ), sabemos que ( vecd {PQ} ) é paralelo a ( vecs {v} ). Assim, como acabamos de discutir, há um escalar, (t ), tal que ( vecd {PQ} = t vecs {v} ), que dá

[ begin {align} vecd {PQ} = t vecs {v} nonumber [4pt] ⟨x − x_0, y − y_0, z − z_0⟩ = t⟨a, b, c⟩ nonumber [4pt] ⟨x − x_0, y − y_0, z − z_0⟩ = ⟨ta, tb, tc⟩. label {eq1} end {align} ]

Usando operações vetoriais, podemos reescrever a Equação ref {eq1}

[ begin {align *} ⟨x − x_0, y − y_0, z − z_0⟩ = ⟨ta, tb, tc⟩ [4pt] ⟨x, y, z⟩ − ⟨x_0, y_0, z_0⟩ = t⟨a, b, c⟩ [4pt] underbrace {⟨x, y, z⟩} _ { vecs {r}} = underbrace {⟨x_0, y_0, z_0⟩} _ { vecs {r } _o} + t underbrace {⟨a, b, c⟩} _ { vecs {v}}. end {align *} ]

Configurando ( vecs {r} = ⟨x, y, z⟩ ) e ( vecs {r} _0 = ⟨x_0, y_0, z_0⟩ ), agora temos o equação vetorial de uma linha:

[ vecs {r} = vecs {r} _0 + t vecs {v}. label {vector} ]

Equacionando os componentes, a Equação ref {vetor} mostra que as seguintes equações são simultaneamente verdadeiras: (x − x_0 = ta, y − y_0 = tb, ) e (z − z_0 = tc. ) Se resolvermos cada uma das essas equações para as variáveis ​​componentes (x, y, ) e (z ), obtemos um conjunto de equações em que cada variável é definida em termos do parâmetro (t ) e que, juntos, descrevem o linha. Este conjunto de três equações forma um conjunto de equações paramétricas de uma linha:

[x = x_0 + ta nonumber ]

[y = y_0 + tb nonumber ]

[z = z_0 + tc. nonumber ]

Se resolvermos cada uma das equações para (t ) assumindo que (a, b ) e (c ) são diferentes de zero, obteremos uma descrição diferente da mesma linha:

[ begin {align *} dfrac {x − x_0} {a} = t [4pt] dfrac {y − y_0} {b} = t [4pt] dfrac {z − z_0} { c} = t. end {align *} ]

Como cada expressão é igual a (t ), todas têm o mesmo valor. Podemos defini-los iguais para criar equações simétricas de uma linha:

[ dfrac {x − x_0} {a} = dfrac {y − y_0} {b} = dfrac {z − z_0} {c}. enhum número]

Resumimos os resultados no seguinte teorema.

Teorema: Equações Paramétricas e Simétricas de uma Linha

Uma linha (L ) paralela ao vetor ( vecs {v} = ⟨a, b, c⟩ ) e passando pelo ponto (P (x_0, y_0, z_0) ) pode ser descrita pelo seguinte parâmetro paramétrico equações:

[x = x_0 + ta, y = y_0 + tb, ]

e

[z = z_0 + tc. ]

Se as constantes (a, b, ) e (c ) forem todas diferentes de zero, então (L ) pode ser descrita pela equação simétrica da linha:

[ dfrac {x − x_0} {a} = dfrac {y − y_0} {b} = dfrac {z − z_0} {c}. ]

As equações paramétricas de uma linha não são únicas. Usar um vetor paralelo diferente ou um ponto diferente na linha leva a uma representação diferente e equivalente. Cada conjunto de equações paramétricas leva a um conjunto relacionado de equações simétricas, de modo que a equação simétrica de uma linha também não é única.

Exemplo ( PageIndex {1} ): Equações de uma linha no espaço

Encontre as equações paramétricas e simétricas da linha que passa pelos pontos ((1,4, −2) ) e ((−3,5,0). )

Solução

Primeiro, identifique um vetor paralelo à linha:

[ vecs v = ⟨− 3−1,5−4,0 - (- 2)⟩ = ⟨− 4,1,2⟩. enhum número]

Use qualquer um dos pontos fornecidos na linha para completar as equações paramétricas:

[ begin {align *} x = 1−4t [4pt] y = 4 + t, end {align *} ]

e

[z = −2 + 2t. enhum número]

Resolva cada equação para (t ) para criar a equação simétrica da linha:

[ dfrac {x − 1} {- 4} = y − 4 = dfrac {z + 2} {2}. enhum número]

Exercício ( PageIndex {1} )

Encontre as equações paramétricas e simétricas da linha que passa pelos pontos ((1, −3,2) ) e ((5, −2,8). )

Dica:

Comece encontrando um vetor paralelo à linha.

Responder

Conjunto possível de equações paramétricas: (x = 1 + 4t, y = −3 + t, z = 2 + 6t; ) conjunto relacionado de equações simétricas: [ dfrac {x − 1} {4} = y + 3 = dfrac {z − 2} {6} nonumber ]

Às vezes, não queremos a equação de uma linha inteira, apenas um segmento de linha. Neste caso, limitamos os valores do nosso parâmetro (t ). Por exemplo, sejam (P (x_0, y_0, z_0) ) e (Q (x_1, y_1, z_1) ) pontos em uma linha e sejam ( vecs p = ⟨x_0, y_0, z_0⟩ ) e ( vecs q = ⟨x_1, y_1, z_1⟩ ) são os vetores de posição associados. Além disso, deixe ( vecs r = ⟨x, y, z⟩ ). Queremos encontrar uma equação vetorial para o segmento de linha entre (P ) e (Q ). Usando (P ) como nosso ponto conhecido na linha, e ( vecd {PQ} = ⟨x_1 − x_0, y_1 − y_0, z_1 − z_0⟩ ) como a equação do vetor de direção, Equação ref {vetor} dá

[ vecs {r} = vecs {p} + t ( vecd {PQ}). label {eq10} ]

A equação ref {eq10} pode ser expandida usando propriedades de vetores:

[ begin {align *} vecs {r} = vecs {p} + t ( vecd {PQ}) [4pt] = ⟨x_0, y_0, z_0⟩ + t⟨x_1 − x_0, y_1− y_0, z_1 − z_0⟩ [4pt] = ⟨x_0, y_0, z_0⟩ + t (⟨x_1, y_1, z_1⟩ − ⟨x_0, y_0, z_0⟩) [4pt] = ⟨x_0, y_0, z_0 ⟩ + T⟨x_1, y_1, z_1⟩ − t⟨x_0, y_0, z_0⟩ [4pt] = (1 − t) ⟨x_0, y_0, z_0⟩ + t⟨x_1, y_1, z_1⟩ [4pt ] = (1 − t) vecs {p} + t vecs {q}. end {align *} ]

Assim, a equação vetorial da linha que passa por (P ) e (Q ) é

[ vecs {r} = (1 − t) vecs {p} + t vecs {q}. ]

Lembre-se de que não queríamos a equação de toda a linha, apenas o segmento de linha entre (P ) e (Q ). Observe que quando (t = 0 ), temos (r = p ), e quando (t = 1 ), temos ( vecs r = vecs q ). Portanto, a equação vetorial do segmento de linha entre (P ) e (Q ) é

[ vecs {r} = (1 − t) vecs {p} + t vecs {q}, 0≤t≤1. ]

Voltando à Equação ref {vetor}, também podemos encontrar equações paramétricas para este segmento de linha. Nós temos

[ begin {align *} vecs {r} = vecs {p} + t ( vecd {PQ}) [4pt] ⟨x, y, z⟩ = ⟨x_0, y_0, z_0⟩ + t ⟨X_1 − x_0, y_1 − y_0, z_1 − z_0⟩ [4pt] = ⟨x_0 + t (x_1 − x_0), y_0 + t (y_1 − y_0), z_0 + t (z_1 − z_0)⟩. end {align *} ]

Então, as equações paramétricas são

[ begin {align} x = x_0 + t (x_1 − x_0) nonumber [4pt] y = y_0 + t (y_1 − y_0) nonumber [4pt] z = z_0 + t (z_1 − z_0 ), , 0≤t≤1. nonumber end {align} label {para} ]

Exemplo ( PageIndex {2} ): Equações paramétricas de um segmento de linha

Encontre as equações paramétricas do segmento de reta entre os pontos (P (2,1,4) ) e (Q (3, −1,3). )

Solução

Comece com as equações paramétricas para uma linha (Equações ref {para}) e trabalhe com cada componente separadamente:

[ begin {align *} x = x_0 + t (x_1 − x_0) [4pt] = 2 + t (3−2) [4pt] = 2 + t, end {align *} ]

[ begin {align *} y = y_0 + t (y_1 − y_0) [4pt] = 1 + t (−1−1) [4pt] = 1−2t, end {align *} ]

e

[ begin {align *} z = z_0 + t (z_1 − z_0) [4pt] = 4 + t (3−4) [4pt] = 4 − t. end {align *} ]

Portanto, as equações paramétricas para o segmento de linha são

[ begin {align *} x = 2 + t [4pt] y = 1−2t [4pt] z = 4 − t, , 0≤t≤1. end {align *} ]

Exercício ( PageIndex {2} )

Encontre as equações paramétricas do segmento de reta entre os pontos (P (−1,3,6) ) e (Q (−8,2,4) ).

Responder

[x = −1−7t, y = 3 − t, z = 6−2t, 0≤t≤1 nonumber ]

Distância entre um ponto e uma linha

Já sabemos calcular a distância entre dois pontos no espaço. Agora expandimos esta definição para descrever a distância entre um ponto e uma linha no espaço. Existem vários contextos do mundo real quando é importante ser capaz de calcular essas distâncias. Ao construir uma casa, por exemplo, os construtores devem considerar os requisitos de “recuo”, quando as estruturas ou acessórios devem estar a certa distância da linha da propriedade. As viagens aéreas oferecem outro exemplo. As companhias aéreas estão preocupadas com as distâncias entre as áreas povoadas e as rotas de voo propostas.

Seja (L ) uma linha no plano e seja (M ) qualquer ponto que não esteja na linha. Então, definimos a distância (d ) de (M ) a (L ) como o comprimento do segmento de linha ( overline {MP} ), onde (P ) é um ponto em ( L ) de modo que ( overline {MP} ) seja perpendicular a (L ) (Figura ( PageIndex {2} )).

Quando estamos procurando a distância entre uma linha e um ponto no espaço, Figura ( PageIndex {2} ) ainda se aplica. Ainda definimos a distância como o comprimento do segmento de linha perpendicular que conecta o ponto à linha. No espaço, entretanto, não há uma maneira clara de saber qual ponto na linha cria tal segmento de linha perpendicular, então selecionamos um ponto arbitrário na linha e usamos propriedades de vetores para calcular a distância. Portanto, seja (P ) um ponto arbitrário na linha (L ) e seja ( vecs {v} ) um vetor de direção para (L ) (Figura ( PageIndex {3} )).

Os vetores ( vecd {PM} ) e ( vecs {v} ) formam dois lados de um paralelogramo com área (‖ vecd {PM} × vecs {v} ‖ ). Usando uma fórmula da geometria, a área deste paralelogramo também pode ser calculada como o produto de sua base e altura:

[‖ Vecd {PM} × vecs {v} ‖ = ‖ vecs v‖d. ]

Podemos usar esta fórmula para encontrar uma fórmula geral para a distância entre uma linha no espaço e qualquer ponto que não esteja na linha.

Distância de um ponto a uma linha

Seja (L ) uma linha no espaço passando pelo ponto (P ) com vetor de direção ( vecs {v} ). Se (M ) for qualquer ponto que não esteja em (L ), então a distância de (M ) a (L ) é

[d = dfrac {‖ vecd {PM} × vecs {v} ‖} {‖ vecs {v} ‖}. ]

Exemplo ( PageIndex {3} ): Calculando a distância de um ponto a uma linha

Encontre a distância entre o ponto (M = (1,1,3) ) e a linha ( dfrac {x − 3} {4} = dfrac {y + 1} {2} = z − 3. )

Solução:

A partir das equações simétricas da linha, sabemos que o vetor ( vecs {v} = ⟨4,2,1⟩ ) é um vetor de direção para a linha. Definindo as equações simétricas da linha iguais a zero, vemos que o ponto (P (3, −1,3) ) está na linha. Então,

[ begin {align *} vecd {PM} = ⟨1−3,1 - (- 1), 3−3⟩ [4pt] = ⟨− 2,2,0⟩. end {align *} ]

Para calcular a distância, precisamos encontrar ( vecd {PM} × vecs v: )

[ begin {align *} vecd {PM} × vecs {v} = begin {vmatrix} mathbf { hat i} mathbf { hat j} mathbf { hat k} - 2 2 0 4 2 1 end {vmatrix} [4pt] = (2−0) mathbf { hat i} - (- 2−0) mathbf { hat j} + (- 4−8 ) mathbf { hat k} [4pt] = 2 mathbf { hat i} +2 mathbf { hat j} −12 mathbf { hat k}. end {align *} ]

Portanto, a distância entre o ponto e a linha é (Figura ( PageIndex {4} ))

[ begin {align *} d = dfrac {‖ vecd {PM} × vecs {v} ‖} {‖ vecs {v} ‖} [4pt] = dfrac { sqrt {2 ^ 2 + 2 ^ 2 + 12 ^ 2}} { sqrt {4 ^ 2 + 2 ^ 2 + 1 ^ 2}} [4pt] = dfrac {2 sqrt {38}} { sqrt {21} } [4pt] = dfrac {2 sqrt {798}} {21} , text {unidades} end {alinhar *} ]

Exercício ( PageIndex {3} )

Encontre a distância entre o ponto ((0,3,6) ) e a linha com equações paramétricas (x = 1 − t, y = 1 + 2t, z = 5 + 3t. )

Dica

Encontre um vetor com ponto inicial ((0,3,6) ) e um ponto terminal na linha e, a seguir, encontre um vetor de direção para a linha.

Responder

[ sqrt { dfrac {10} {7}} = dfrac { sqrt {70}} {7} , text {unidades} não número ]

Relações entre Linhas

Dadas duas linhas no plano bidimensional, as linhas são iguais, são paralelas, mas não iguais, ou se cruzam em um único ponto. Em três dimensões, um quarto caso é possível. Se duas linhas no espaço não são paralelas, mas não se cruzam, então as linhas são consideradas linhas enviesadas (Figura ( PageIndex {5} )).

Figura ( PageIndex {5} ): Em três dimensões, é possível que duas linhas não se cruzem, mesmo quando têm direções diferentes.

Para classificar as linhas como paralelas, mas não iguais, iguais, cruzadas ou inclinadas, precisamos saber duas coisas: se os vetores de direção são paralelos e se as linhas compartilham um ponto (Figura ( PageIndex {6} )).

Exemplo ( PageIndex {4} ): Classificando linhas no espaço

Para cada par de linhas, determine se as linhas são iguais, paralelas, mas não iguais, inclinadas ou se cruzam.

uma.

  • (L_1: x = 2s − 1, y = s − 1, z = s − 4 )
  • (L_2: x = t − 3, y = 3t + 8, z = 5−2t )

b.

  • (L_1: x = −y = z )
  • (L_2: dfrac {x − 3} {2} = y = z − 2 )

c.

  • (L_1: x = 6s − 1, y = −2s, z = 3s + 1 )
  • (L_2: dfrac {x − 4} {6} = dfrac {y + 3} {- 2} = dfrac {z − 1} {3} )

Solução

uma. A linha (L_1 ) tem vetor de direção ( vecs v_1 = ⟨2,1,1⟩ ); a linha (L_2 ) tem vetor de direção ( vecs v_2 = ⟨1,3, −2⟩ ).Como os vetores de direção não são vetores paralelos, as linhas se cruzam ou se inclinam. Para determinar se as linhas se cruzam, vemos se há um ponto, ((x, y, z) ), que se encontra em ambas as linhas. Para encontrar este ponto, usamos as equações paramétricas para criar um sistema de igualdades:

[2s − 1 = t − 3; ]

[s − 1 = 3t + 8; ]

[s − 4 = 5−2t. ]

Pela primeira equação, (t = 2s + 2. ) Substituindo na segunda equação resulta

(s − 1 = 3 (2s + 2) +8 )

(s − 1 = 6s + 6 + 8 )

(5s = −15 )

(s = −3. )

A substituição na terceira equação, no entanto, produz uma contradição:

(s − 4 = 5−2 (2s + 2) )

(s − 4 = 5−4s − 4 )

(5s = 5 )

(s = 1. )

Não há um único ponto que satisfaça as equações paramétricas para (L_1 ) e (L_2 ) simultaneamente. Essas linhas não se cruzam, portanto, são tortas (veja a figura a seguir).

b. A linha (L_1 ) tem vetor de direção ( vecs v_1 = ⟨1, −1,1⟩ ) e passa pela origem, ((0,0,0) ). A linha (L_2 ) tem um vetor de direção diferente, ( vecs v_2 = ⟨2,1,1⟩ ), então essas linhas não são paralelas ou iguais. Deixe (r ) representar o parâmetro para a linha (L_1 ) e deixe s representar o parâmetro para (L_2 ):

(x = r ) (x = 2s + 3 )

(y = −r ) (y = s )

(z = r ) (z = s + 2. )

Resolva o sistema de equações para encontrar (r = 1 ) e (s = −1 ). Se precisarmos encontrar o ponto de interseção, podemos substituir esses parâmetros nas equações originais para obter ((1, −1,1) ) (veja a figura a seguir).

c. As linhas (L_1 ) e (L_2 ) têm vetores de direção equivalentes: ( vecs v = ⟨6, −2,3⟩. ) Essas duas linhas são paralelas (veja a figura a seguir).

Exercício ( PageIndex {4} )

Descreva a relação entre as linhas com as seguintes equações paramétricas:

[x = 1−4t, y = 3 + t, z = 8−6t não numérico ]

[x = 2 + 3s, y = 2s, z = −1−3s. enhum número]

Dica

Comece identificando os vetores de direção para cada linha. Um é múltiplo do outro?

Responder

Essas linhas são inclinadas porque seus vetores de direção não são paralelos e não há nenhum ponto ((x, y, z) ) que esteja em ambas as linhas.

Equações para um plano

Sabemos que uma linha é determinada por dois pontos. Em outras palavras, para quaisquer dois pontos distintos, há exatamente uma linha que passa por esses pontos, seja em duas ou três dimensões. Da mesma forma, dados quaisquer três pontos que não estejam todos na mesma linha, existe um plano único que passa por esses pontos. Assim como uma linha é determinada por dois pontos, um plano é determinado por três.

Esta pode ser a maneira mais simples de caracterizar um plano, mas podemos usar outras descrições também. Por exemplo, dadas duas linhas distintas que se cruzam, há exatamente um plano contendo ambas as linhas. Um plano também é determinado por uma linha e qualquer ponto que não se encontre na linha. Essas caracterizações surgem naturalmente da ideia de que um plano é determinado por três pontos. Talvez a caracterização mais surpreendente de um avião seja realmente a mais útil.

Imagine um par de vetores ortogonais que compartilham um ponto inicial. Visualize agarrando um dos vetores e torcendo-o. Conforme você gira, o outro vetor gira e varre um plano. Aqui, descrevemos esse conceito matematicamente. Seja ( vecs {n} = ⟨a, b, c⟩ ) um vetor e (P = (x_0, y_0, z_0) ) um ponto. Então o conjunto de todos os pontos (Q = (x, y, z) ) tal que ( vecd {PQ} ) é ortogonal a ( vecs {n} ) forma um plano (Figura ( PageIndex {7} )). Dizemos que ( vecs {n} ) é um vetor normal, ou perpendicular ao plano. Lembre-se de que o produto escalar dos vetores ortogonais é zero. Este fato gera o equação vetorial de um avião:

[ vecs {n} ⋅ vecd {PQ} = 0. ]

Reescrever esta equação fornece maneiras adicionais de descrever o plano:

[ begin {align *} vecs {n} ⋅ vecd {PQ} = 0 [4pt] ⟨a, b, c⟩⋅⟨x − x_0, y − y_0, z − z_0⟩ = 0 [4pt] a (x − x_0) + b (y − y_0) + c (z − z_0) = 0. end {align *} ]

Definição: equação escalar de um plano

Dado um ponto (P ) e vetor ( vecs n ), o conjunto de todos os pontos (Q ) que satisfazem a equação ( vecs n⋅ vecd {PQ} = 0 ) forma um plano. A equação

[ vecs {n} ⋅ vecd {PQ} = 0 não número ]

é conhecido como o equação vetorial de um avião.

O equação escalar de um plano contendo o ponto (P = (x_0, y_0, z_0) ) com vetor normal ( vec {n} = ⟨a, b, c⟩ ) é

[a (x − x_0) + b (y − y_0) + c (z − z_0) = 0. enhum número]

Esta equação pode ser expressa como (ax + by + cz + d = 0, ) onde (d = −ax_0 − by_0 − cz_0. ) Esta forma da equação é às vezes chamada de forma geral da equação de um plano.

Conforme descrito anteriormente nesta seção, quaisquer três pontos que não estejam todos na mesma linha determinam um plano. Dados três desses pontos, podemos encontrar uma equação para o plano que contém esses pontos.

Exemplo ( PageIndex {5} ): Escrevendo uma equação de um plano dados três pontos no plano

Escreva uma equação para o plano contendo os pontos (P = (1,1, −2), Q = (0,2,1), ) e (R = (- 1, −1,0) ) em formulários padrão e gerais.

Solução

Para escrever uma equação para um plano, devemos encontrar um vetor normal para o plano. Começamos identificando dois vetores no plano:

[ begin {align *} vecd {PQ} = ⟨0−1,2−1,1 - (- 2)⟩ [4pt] = ⟨− 1,1,3⟩ [4pt] vecd {QR} = ⟨− 1−0, −1−2,0−1⟩ [4pt] = ⟨− 1, −3, −1⟩. end {alinhar *} ]

O produto vetorial ( vecd {PQ} × vecd {QR} ) é ortogonal a ambos ( vecd {PQ} ) e ( vecd {QR} ), portanto, é normal ao plano que contém estes dois vetores:

[ begin {align *} vecs n = vecd {PQ} × vecd {QR} [4pt] = begin {vmatrix} mathbf { hat i} mathbf { hat j} mathbf { hat k} - 1 1 3 - 1 −3 −1 end {vmatrix} [4pt] = (- 1 + 9) mathbf { hat i} - (1 + 3) mathbf { hat j} + (3 + 1) mathbf { hat k} [4pt] = 8 mathbf { hat i} −4 mathbf { hat j} +4 mathbf { hat k }. end {align *} ]

Assim, (n = ⟨8, −4,4⟩, ) e podemos escolher qualquer um dos três pontos dados para escrever uma equação do plano:

[ begin {align *} 8 (x − 1) −4 (y − 1) +4 (z + 2) = 0 [4pt] 8x − 4y + 4z + 4 = 0. end {align *} ]

As equações escalares de um plano variam dependendo do vetor normal e do ponto escolhido.

Exemplo ( PageIndex {6} ): Escrevendo uma equação para um plano dado um ponto e uma linha

Encontre uma equação do plano que passa pelo ponto ((1,4,3) ) e contém a linha dada por (x = dfrac {y − 1} {2} = z + 1. )

Solução

As equações simétricas descrevem a linha que passa pelo ponto ((0,1, −1) ) paralelo ao vetor ( vecs v_1 = ⟨1,2,1⟩ ) (veja a figura a seguir). Use este ponto e o ponto dado, ((1,4,3), ) para identificar um segundo vetor paralelo ao plano:

[ vecs v_2 = ⟨1−0,4−1,3 - (- 1)⟩ = ⟨1,3,4⟩. enhum número]

Use o produto vetorial desses vetores para identificar um vetor normal para o plano:

[ begin {align *} vecs n = vecs v_1 × vecs v_2 nonumber [4pt] = begin {vmatrix} mathbf { hat i} mathbf { hat j} mathbf { hat k} 1 2 1 1 3 4 end {vmatrix} nonumber [4pt] = (8−3) mathbf { hat i} - (4−1) mathbf { hat j } + (3−2) mathbf { hat k} [4pt] = 5 mathbf { hat i} −3 mathbf { hat j} + mathbf { hat k}. nonumber end {align *} nonumber ]

As equações escalares para o plano são (5x − 3 (y − 1) + (z + 1) = 0 ) e (5x − 3y + z + 4 = 0. )

Exercício ( PageIndex {6} )

Encontre uma equação do plano contendo as retas (L_1 ) e (L_2 ):

[L_1: x = −y = z nonumber ]

[L_2: dfrac {x − 3} {2} = y = z − 2. enhum número]

Dica

Dica: o produto vetorial dos vetores de direção das linhas fornece um vetor normal para o plano.

Responder

[−2 (x − 1) + (y + 1) +3 (z − 1) = 0 não numérico ]

ou

[−2x + y + 3z = 0 não numérico ]

Agora que podemos escrever uma equação para um plano, podemos usar a equação para encontrar a distância (d ) entre um ponto (P ) e o plano. É definida como a distância mais curta possível de (P ) a um ponto no plano.

Assim como encontramos a distância bidimensional entre um ponto e uma linha calculando o comprimento de um segmento de linha perpendicular à linha, encontramos a distância tridimensional entre um ponto e um plano calculando o comprimento de um segmento de linha perpendicular para o avião. Seja (R ) apostar o ponto no plano de forma que ( vecd {RP} ) seja ortogonal ao plano, e seja (Q ) um ponto arbitrário no plano. Então a projeção do vetor ( vecd {QP} ) no vetor normal descreve o vetor ( vecd {RP} ), como mostrado na Figura.

A distância entre um plano e um ponto

Suponha que um plano com vetor normal ( vecs {n} ) passe pelo ponto (Q ). A distância (d ) do plano a um ponto (P ) fora do plano é dada por

[d = ‖ text {proj} _ vecs {n} , vecd {QP} ‖ = ∣ text {comp} _ vecs {n} , vecd {QP} ∣ = dfrac {∣ vecd {QP} ⋅ vecs {n} ∣} {‖ vecs {n} ‖}. label {distanceplanepoint} ]

Exemplo ( PageIndex {7} ): Distância entre um Ponto e um Plano

Encontre a distância entre o ponto (P = (3,1,2) ) e o plano dado por (x − 2y + z = 5 ) (veja a figura a seguir).

Solução

Os coeficientes da equação do plano fornecem um vetor normal para o plano: ( vecs {n} = ⟨1, −2,1⟩ ). Para encontrar o vetor ( vecd {QP} ), precisamos de um ponto no plano. Qualquer ponto funcionará, então defina (y = z = 0 ) para ver que o ponto (Q = (5,0,0) ) está no plano. Encontre a forma do componente do vetor de (Q ) a (P ):

[ vecd {QP} = ⟨3−5,1−0,2−0⟩ = ⟨− 2,1,2⟩. enhum número ]

Aplique a fórmula da distância da Equação:

[ begin {align *} d = dfrac {∣ vecd {QP} ⋅ vecs n |} {‖ vecs n‖} [4pt] = dfrac {| ⟨− 2,1,2⟩ ⋅⟨1, −2,1⟩ |} { sqrt {1 ^ 2 + (- 2) ^ 2 + 1 ^ 2}} [4pt] = dfrac {| −2−2 + 2 |} { sqrt {6}} [4pt] = dfrac {2} { sqrt {6}} = dfrac { sqrt {6}} {3} , text {unidades}. end {align *} ]

Exercício ( PageIndex {7} )

Encontre a distância entre o ponto (P = (5, −1,0) ) e o plano dado por (4x + 2y − z = 3 ).

Dica

O ponto ((0,0, −3) ) encontra-se no plano.

Responder

[ dfrac {15} { sqrt {21}} = dfrac {5 sqrt {21}} {7} , text {unidades} ]

Planos paralelos e que se cruzam

Discutimos as várias relações possíveis entre duas linhas em duas dimensões e três dimensões. Quando descrevemos a relação entre dois planos no espaço, temos apenas duas possibilidades: os dois planos distintos são paralelos ou se cruzam. Quando dois planos são paralelos, seus vetores normais são paralelos. Quando dois planos se cruzam, a intersecção é uma linha (Figura ( PageIndex {9} )).

Podemos usar as equações dos dois planos para encontrar equações paramétricas para a linha de intersecção.

Exemplo ( PageIndex {8} ): Encontrando a linha de intersecção para dois planos

Encontre equações paramétricas e simétricas para a linha formada pela interseção dos planos dada por (x + y + z = 0 ) e (2x − y + z = 0 ) (veja a figura a seguir).

Solução

Observe que os dois planos têm normais não paralelos, então os planos se cruzam. Além disso, a origem satisfaz cada equação, portanto sabemos que a linha de interseção passa pela origem. Adicione as equações planas para que possamos eliminar uma das variáveis, neste caso, (y ):

(x + y + z = 0 )

(2x − y + z = 0 )

________________

(3x + 2z = 0 ).

Isso nos dá (x = - dfrac {2} {3} z. ) Substituímos esse valor na primeira equação para expressar (y ) em termos de (z ):

[ begin {align *} x + y + z = 0 [4pt] - dfrac {2} {3} z + y + z = 0 [4pt] y + dfrac {1} {3} z = 0 [4pt] y = - dfrac {1} {3} z end {align *}. ]

Agora temos as duas primeiras variáveis, (x ) e (y ), em termos da terceira variável, (z ). Agora definimos (z ) em termos de (t ). Para eliminar a necessidade de frações, escolhemos definir o parâmetro (t ) como (t = - dfrac {1} {3} z ). Então, (z = −3t ). Substituindo a representação paramétrica de z de volta às outras duas equações, vemos que as equações paramétricas para a linha de interseção são (x = 2t, y = t, z = −3t. ) As equações simétricas para a linha são ( dfrac {x} {2} = y = dfrac {z} {- 3} ).

Exercício ( PageIndex {8} )

Encontre equações paramétricas para a linha formada pela interseção dos planos (x + y − z = 3 ) e (3x − y + 3z = 5. )

Dica

Adicione as duas equações e, a seguir, expresse (z ) em termos de (x ). Então, expresse (y ) em termos de (x ).

Responder

[x = t, y = 7−3t, z = 4−2t nonumber ]

Além de encontrar a equação da linha de interseção entre dois planos, podemos precisar encontrar o ângulo formado pela interseção de dois planos. Por exemplo, os construtores que estão construindo uma casa precisam saber o ângulo onde as diferentes seções do telhado se encontram para saber se o telhado terá uma boa aparência e drenará corretamente. Podemos usar vetores normais para calcular o ângulo entre os dois planos. Podemos fazer isso porque o ângulo entre os vetores normais é igual ao ângulo entre os planos. A Figura ( PageIndex {10} ) mostra porque isso é verdade.

Podemos encontrar a medida do ângulo (θ ) entre dois planos que se cruzam, encontrando primeiro o cosseno do ângulo, usando a seguinte equação:

[ cos θ = dfrac {| vecs {n} _1⋅ vecs {n} _2 |} {‖ vecs {n} _1‖‖ vecs {n} _2‖}. ]

Podemos então usar o ângulo para determinar se dois planos são paralelos ou ortogonais ou se eles se cruzam em algum outro ângulo.

Exemplo ( PageIndex {9} ): Encontrando o ângulo entre dois planos

Determine se cada par de planos é paralelo, ortogonal ou nenhum dos dois. Se os planos estão se cruzando, mas não ortogonais, encontre a medida do ângulo entre eles. Dê a resposta em radianos e arredonde para duas casas decimais.

  1. (x + 2y − z = 8 ) e (2x + 4y − 2z = 10 )
  2. (2x − 3y + 2z = 3 ) e (6x + 2y − 3z = 1 )
  3. (x + y + z = 4 ) e (x − 3y + 5z = 1 )

Solução:

  1. Os vetores normais para esses planos são ( vecs {n} _1 = ⟨1,2, −1⟩ ) e ( vecs {n} _2 = ⟨2,4, −2⟩. ) Esses dois vetores são múltiplos escalares um do outro. Os vetores normais são paralelos, então os planos são paralelos.
  2. Os vetores normais para esses planos são ( vecs {n} _1 = ⟨2, −3,2⟩ ) e ( vecs {n} _2 = ⟨6,2, −3⟩ ). Tomando o produto escalar desses vetores, temos [ begin {align *} vecs {n} _1⋅ vecs {n} _2 = ⟨2, −3,2⟩⋅⟨6,2, −3⟩ [4pt] = 2 (6) −3 (2) +2 (−3) = 0. End {align *} ] Os vetores normais são ortogonais, então os planos correspondentes também são ortogonais.
  3. Os vetores normais para esses planos são ( vecs n_1 = ⟨1,1,1⟩ ) e ( vecs n_2 = ⟨1, −3,5⟩ ): [ begin {align *} cos θ = dfrac {| vecs {n} _1⋅ vecs {n} _2 |} {‖ vecs {n} _1‖‖ vecs {n} _2‖} [4pt] = dfrac {| ⟨ 1,1,1⟩⋅⟨1, −3,5⟩ |} { sqrt {1 ^ 2 + 1 ^ 2 + 1 ^ 2} sqrt {1 ^ 2 + (- 3) ^ 2 + 5 ^ 2 }} = dfrac {3} { sqrt {105}} end {align *} ]
    Então ( theta = arccos { frac {3} { sqrt {105}}} approx 1,27 ) rad.
    Assim, o ângulo entre os dois planos é de cerca de (1,27 ) rad, ou aproximadamente (73 ° ).

Exercício ( PageIndex {9} )

Encontre a medida do ângulo entre os planos (x + y − z = 3 ) e (3x − y + 3z = 5. ) Dê a resposta em radianos e arredonde para duas casas decimais.

Dica

Use os coeficientes das variáveis ​​em cada equação para encontrar um vetor normal para cada plano.

Responder

[1,44 , text {rad} nonumber ]

Quando descobrimos que dois planos são paralelos, podemos precisar encontrar a distância entre eles. Para encontrar essa distância, basta selecionar um ponto em um dos planos. A distância deste ponto ao outro plano é a distância entre os planos.

Anteriormente, introduzimos a fórmula para calcular esta distância na Equação ref {distanceplanepoint}:

[d = dfrac { vecd {QP} ⋅ vecs {n}} {‖ vecs {n} ‖}, ]

onde (Q ) é um ponto no plano, (P ) é um ponto fora do plano e ( vec {n} ) é o vetor normal que passa pelo ponto (Q ). Considere a distância do ponto ((x_0, y_0, z_0) ) ao plano (ax + by + cz + k = 0. ) Seja ((x_1, y_1, z_1) ) qualquer ponto no plano . Substituir na fórmula produz

[ begin {align *} d = dfrac {| a (x_0 − x_1) + b (y_0 − y_1) + c (z_0 − z_1) |} { sqrt {a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2}} [4pt] = dfrac {| ax + 0 + by_0 + cz_0 + k |} { sqrt {a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2}}. End {alinhar *} ]

Declaramos esse resultado formalmente no teorema a seguir.

Distância de um ponto a um plano

Seja (P (x_0, y_0, z_0) ) um ponto. A distância de (P ) ao plano (a_x + b_y + c_z + k = 0 ) é dada por

[d = dfrac {| ax_0 + by_0 + cz_0 + k |} { sqrt {a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2}}. ]

Exemplo ( PageIndex {10} ): Encontrando a distância entre planos paralelos

Encontre a distância entre os dois planos paralelos dados por (2x + y − z = 2 ) e (2x + y − z = 8. )

Solução

O ponto ((1,0,0) ) encontra-se no primeiro plano. A distância desejada, então, é

[ begin {align *} d = dfrac {| ax_0 + by_0 + cz_0 + k |} { sqrt {a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2}} [4pt] = dfrac {| 2 (1) +1 (0) + (- 1) (0) + (- 8) |} { sqrt {2 ^ 2 + 1 ^ 2 + (- 1) ^ 2}} [4pt] = dfrac {6} { sqrt {6}} = sqrt {6} , text {unidades} end {alinhar *} ]

Exercício ( PageIndex {10} ):

Encontre a distância entre os planos paralelos (5x − 2y + z = 6 ) e (5x − 2y + z = −3 ).

Dica

Defina (x = y = 0 ) para encontrar um ponto no primeiro plano.

Responder

[ dfrac {9} { sqrt {30}} = dfrac {3 sqrt {30}} {10} , text {unidades} não número ]

Distância entre duas linhas de inclinação

Encontrar a distância de um ponto a uma linha ou de uma linha a um plano parece um procedimento bastante abstrato. Mas, se as linhas representam tubos em uma fábrica de produtos químicos ou tubos em uma refinaria de petróleo ou estradas em uma interseção de rodovias, confirmar que a distância entre elas atende às especificações pode ser importante e difícil de medir. Uma maneira é modelar os dois tubos como linhas, usando as técnicas deste capítulo, e depois calcular a distância entre eles. O cálculo envolve a formação de vetores ao longo das direções das linhas e o uso do produto vetorial e do produto escalar.

As formas simétricas de duas linhas, (L_1 ) e (L_2 ), são

[L_1: dfrac {x − x_1} {a_1} = dfrac {y − y_1} {b_1} = dfrac {z − z_1} {c_1} ]

[L_2: dfrac {x − x_2} {a_2} = dfrac {y − y_2} {b_2} = dfrac {z − z_2} {c_2}. ]

Você deve desenvolver uma fórmula para a distância (d ) entre essas duas linhas, em termos dos valores (a_1, b_1, c_1; a_2, b_2, c_2; x_1, y_1, z_1; ) e (x_2 , y_2, z_2. ) A distância entre duas linhas é geralmente considerada como a distância mínima, então este é o comprimento de um segmento de linha ou o comprimento de um vetor que é perpendicular a ambas as linhas e cruza ambas as linhas.

1. Primeiro, escreva dois vetores, ( vecs {v} _1 ) e ( vecs {v} _2 ), que se encontram ao longo de (L_1 ) e (L_2 ), respectivamente.

2. Encontre o produto vetorial desses dois vetores e chame-o de ( vecs {N} ). Este vetor é perpendicular a ( vecs {v} _1 ) e ( vecs {v} _2 ) e, portanto, é perpendicular a ambas as linhas.

3. Do vetor ( vecs {N} ), forme um vetor unitário ( vecs {n} ) na mesma direção.

4. Use equações simétricas para encontrar um vetor conveniente ( vecs {v} _ {12} ) que se encontra entre quaisquer dois pontos, um em cada linha. Novamente, isso pode ser feito diretamente a partir das equações simétricas.

5. O produto escalar de dois vetores é a magnitude da projeção de um vetor sobre o outro, ou seja, ( vecs A⋅ vecs B = ‖ vecs {A} ‖‖ vecs {B} ‖ cos θ, ) onde (θ ) é o ângulo entre os vetores. Usando o produto escalar, encontre a projeção do vetor ( vecs {v} _ {12} ) encontrada na etapa (4 ) no vetor unitário ( vecs {n} ) encontrada na etapa (3 ) Essa projeção é perpendicular a ambas as linhas e, portanto, seu comprimento deve ser a distância perpendicular d entre elas. Observe que o valor de (d ) pode ser negativo, dependendo da sua escolha de vetor ( vecs {v} _ {12} ) ou da ordem do produto vetorial, então use sinais de valor absoluto ao redor do numerador.

6. Verifique se sua fórmula fornece a distância correta de (| −25 | / sqrt {198} ≈1,78 ) entre as duas linhas a seguir:

[L_1: dfrac {x − 5} {2} = dfrac {y − 3} {4} = dfrac {z − 1} {3} ]

[L_2: dfrac {x − 6} {3} = dfrac {y − 1} {5} = dfrac {z} {7}. ]

7. A sua expressão geral é válida quando as linhas são paralelas? Se não, porque não? (Dica: o que você sabe sobre o valor do produto vetorial de dois vetores paralelos? Onde esse resultado apareceria em sua expressão para (d )?)

8. Demonstre que sua expressão para a distância é zero quando as linhas se cruzam. Lembre-se de que duas linhas se cruzam se não forem paralelas e estiverem no mesmo plano. Portanto, considere a direção de ( vecs {n} ) e ( vecs {v} _ {12} ). Qual é o resultado de seu produto escalar?

9. Considere a seguinte aplicação. Os engenheiros de uma refinaria determinaram que precisam instalar suportes de sustentação entre muitos dos tubos de gás para reduzir as vibrações prejudiciais. Para minimizar o custo, eles planejam instalar essas escoras nos pontos mais próximos entre os tubos inclinados adjacentes. Por terem esquemas detalhados da estrutura, eles são capazes de determinar os comprimentos corretos dos suportes necessários e, portanto, fabricá-los e distribuí-los para as equipes de instalação sem gastar um tempo valioso fazendo medições.

A estrutura retangular da moldura tem as dimensões (4,0 × 15,0 × 10,0 , text {m} ) (altura, largura e profundidade). Um setor tem um tubo entrando no canto inferior da unidade de estrutura padrão e saindo no canto diametralmente oposto (o mais distante no topo); chame isso de (L_1 ). Um segundo tubo entra e sai nos dois cantos inferiores opostos diferentes; chame isso de (L_2 ) (Figura ( PageIndex {12} )).

Escreva os vetores ao longo das linhas que representam esses tubos, encontre o produto vetorial entre eles a partir do qual criar o vetor unitário ( vecs n ), defina um vetor que abrange dois pontos em cada linha e, finalmente, determine a distância mínima entre as linhas. (Considere a origem no canto inferior do primeiro tubo.) Da mesma forma, você também pode desenvolver as equações simétricas para cada linha e substituí-las diretamente em sua fórmula.

Conceitos chave

  • Em três dimensões, a direção de uma linha é descrita por um vetor de direção. A equação vetorial de uma linha com vetor de direção ( vecs v = ⟨a, b, c⟩ ) passando pelo ponto (P = (x_0, y_0, z_0) ) é ( vecs r = vecs r_0 + t vecs v ), onde ( vecs r_0 = ⟨x_0, y_0, z_0⟩ ) é o vetor posição do ponto (P ). Esta equação pode ser reescrita para formar as equações paramétricas da linha: (x = x_0 + ta, y = y_0 + tb ) e (z = z_0 + tc ). A linha também pode ser descrita com as equações simétricas ( dfrac {x − x_0} {a} = dfrac {y − y_0} {b} = dfrac {z − z_0} {c} ).
  • Seja (L ) uma linha no espaço passando pelo ponto (P ) com vetor de direção ( vecs v ). Se (Q ) for qualquer ponto que não esteja em (L ), então a distância de (Q ) a (L ) é (d = dfrac {‖ vecd {PQ} × vecs v ‖} {‖ Vecs v‖}. )
  • Em três dimensões, duas linhas podem ser paralelas, mas não iguais, iguais, se cruzando ou enviesadas.
  • Dado um ponto (P ) e vetor ( vecs n ), o conjunto de todos os pontos (Q ) que satisfaz a equação ( vecs n⋅ vecd {PQ} = 0 ) forma um plano. A equação ( vecs n⋅ vecd {PQ} = 0 ) é conhecida como a equação vetorial de um avião.
  • A equação escalar de um plano contendo o ponto (P = (x_0, y_0, z_0) ) com vetor normal ( vecs n = ⟨a, b, c⟩ ) é (a (x − x_0) + b (y − y_0) + c (z − z_0) = 0 ). Esta equação pode ser expressa como (ax + by + cz + d = 0, ) onde (d = −ax_0 − by_0 − cz_0. ) Esta forma da equação é às vezes chamada de geral forma da equação de um plano.
  • Suponha que um plano com vetor normal (n ) passe pelo ponto (Q ). A distância (D ) do plano ao ponto (P ) fora do plano é dada por

[D = ‖ text {proj} _ vecs {n} vecd {QP} ‖ = ∣ text {comp} _ vecs {n} vec {QP} ∣ = dfrac {∣ vec {QP } ⋅ vecs n∣} {‖ vecs n‖.} ]

  • Os vetores normais de planos paralelos são paralelos. Quando dois planos se cruzam, eles formam uma linha.
  • A medida do ângulo (θ ) entre dois planos que se cruzam pode ser encontrada usando a equação: ( cos θ = dfrac {| vecs {n} _1⋅ vecs n_2 |} {‖ vecs n_1‖ ” vecs n_2 ”} ), onde ( vecs n_1 ) e ( vecs n_2 ) são vetores normais para os planos.
  • A distância (D ) do ponto ((x_0, y_0, z_0) ) ao plano (ax + by + cz + d = 0 ) é dada por

[D = dfrac {| a (x_0 − x_1) + b (y_0 − y_1) + c (z_0 − z_1) |} { sqrt {a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2}} = dfrac {| ax_0 + by_0 + cz_0 + d |} { sqrt {a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2}} ].

Equações Chave

  • Equação vetorial de uma linha

( vecs r = vecs r_0 + t vecs v )

  • Equações paramétricas de uma linha

(x = x_0 + ta, y = y_0 + tb, ) e (z = z_0 + tc )

  • Equações simétricas de uma linha

( dfrac {x − x_0} {a} = dfrac {y − y_0} {b} = dfrac {z − z_0} {c} )

  • Equação vetorial de um plano

( vecs n⋅ vecd {PQ} = 0 )

  • Equação escalar de um plano

(a (x − x_0) + b (y − y_0) + c (z − z_0) = 0 )

  • Distância entre um plano e um ponto

(d = ‖ text {proj} _ vecs {n} vecd {QP} ‖ = ∣ text {comp} _ vecs {n} vecd {QP} ∣ = dfrac {∣ vecd {QP } ⋅ vecs n∣} {‖ vecs n‖} )

Glossário

vetor de direção
um vetor paralelo a uma linha que é usado para descrever a direção, ou orientação, da linha no espaço
forma geral da equação de um plano
uma equação na forma (ax + by + cz + d = 0, ) onde ( vecs n = ⟨a, b, c⟩ ) é um vetor normal do plano, (P = (x_0, y_0, z_0) ) é um ponto no plano, e (d = −ax_0 − by_0 − cz_0 )
vetor normal
um vetor perpendicular a um plano
equações paramétricas de uma linha
o conjunto de equações (x = x_0 + ta, y = y_0 + tb, ) e (z = z_0 + tc ) descrevendo a linha com vetor de direção (v = ⟨a, b, c⟩ ) passando através do ponto ((x_0, y_0, z_0) )
equação escalar de um plano
a equação (a (x − x_0) + b (y − y_0) + c (z − z_0) = 0 ) usada para descrever um plano contendo o ponto (P = (x_0, y_0, z_0) ) com normal vetor (n = ⟨a, b, c⟩ ) ou sua forma alternativa (ax + by + cz + d = 0 ), onde (d = −ax_0 − by_0 − cz_0 )
linhas enviesadas
duas linhas que não são paralelas, mas não se cruzam
equações simétricas de uma linha
as equações ( dfrac {x − x_0} {a} = dfrac {y − y_0} {b} = dfrac {z − z_0} {c} ) descrevendo a linha com vetor de direção (v = ⟨a , b, c⟩ ) passando pelo ponto ((x_0, y_0, z_0) )
equação vetorial de uma linha
a equação ( vecs r = vecs r_0 + t vecs v ) usada para descrever uma linha com vetor de direção ( vecs v = ⟨a, b, c⟩ ) passando pelo ponto (P = (x_0 , y_0, z_0) ), onde ( vecs r_0 = ⟨x_0, y_0, z_0⟩ ), é o vetor posição do ponto (P )
equação vetorial de um avião
a equação ( vecs n⋅ vecd {PQ} = 0, ) onde (P ) é um dado ponto no plano, (Q ) é qualquer ponto no plano, e ( vecs n ) é um vetor normal do plano

Contribuintes e atribuições

  • Gilbert Strang (MIT) e Edwin “Jed” Herman (Harvey Mudd) com muitos autores contribuintes. Este conteúdo da OpenStax é licenciado com uma licença CC-BY-SA-NC 4.0. Baixe gratuitamente em http://cnx.org.


12.5: Equações de Linhas e Planos - Matemática

Linhas e planos são talvez as curvas e superfícies mais simples no espaço tridimensional. Eles também serão importantes à medida que buscamos compreender curvas e superfícies mais complicadas.

A equação de uma linha em duas dimensões é $ ax + by = c $, é razoável esperar que uma linha em três dimensões seja dada por $ ax + by + cz = d $ razoável, mas errado --- acontece que esta é a equação de um plano.

Um avião não tem uma "direção" óbvia como uma linha. É possível associar um plano a uma direção de uma forma muito útil, entretanto: existem exatamente duas direções perpendiculares a um plano. Qualquer vetor com uma dessas duas direções é chamado normal para o avião. Portanto, embora existam muitos vetores normais para um determinado plano, eles são todos paralelos ou antiparalelos uns aos outros.

Suponha que dois pontos $ ds (v_1, v_2, v_3) $ e $ ds (w_1, w_2, w_3) $ estejam em um plano, então o vetor $ ds langle w_1-v_1, w_2-v_2, w_3-v_3 a faixa $ é paralela ao plano em particular, se este vetor é colocado com sua cauda em $ ds (v_1, v_2, v_3) $ então sua cabeça está em $ ds (w_1, w_2, w_3) $ e está em o avião. Como resultado, qualquer vetor perpendicular ao plano é perpendicular a $ ds langle w_1-v_1, w_2-v_2, w_3-v_3 rangle $. Na verdade, é fácil ver que o plano consiste < em precisamente /> aqueles pontos $ ds (w_1, w_2, w_3) $ para os quais $ ds langle w_1-v_1, w_2-v_2, w_3- v_3 rangle $ é perpendicular a uma normal ao plano, conforme indicado na figura 12.5.1. Invertendo isso, suponha que saibamos que $ langle a, b, c rangle $ é normal para um plano que contém o ponto $ ds (v_1, v_2, v_3) $. Então $ (x, y, z) $ está no plano se e somente se $ langle a, b, c rangle $ é perpendicular a $ ds langle x-v_1, y-v_2, z-v_3 rangle $. Por sua vez, sabemos que isso é verdade precisamente quando $ ds langle a, b, c rangle cdot langle x-v_1, y-v_2, z-v_3 rangle = 0 $. Ou seja, $ (x, y, z) $ está no plano se e somente se $ eqalign < langle a, b, c rangle cdot langle x-v_1, y-v_2, z-v_3 rangle & = 0 cr a (x-v_1) + b (y-v_2) + c (z-v_3) & = 0 cr ax + por + cz-av_1-bv_2-cv_3 & = 0 cr ax + por + cz & = av_1 + bv_2 + cv_3. cr> $ Trabalhando para trás, observe que se $ (x, y, z) $ é um ponto que satisfaz $ ax + by + cz = d $ então $ eqalign $ Ou seja, $ langle a, b, c rangle $ é perpendicular ao vetor com cauda em $ (d / a, 0,0) $ e cabeça em $ (x, y, z) $. Isso significa que os pontos $ (x, y, z) $ que satisfazem a equação $ ax + by + cz = d $ formam um plano perpendicular a $ langle a, b, c rangle $. (Isso não funciona se $ a = 0 $, mas nesse caso podemos usar $ b $ ou $ c $ no papel de $ a $. Ou seja, $ a (x-0) + b (yd / b) + c (z-0) = 0 $ ou $ a (x-0) + b (y-0) + c (zd / c) = 0 $.)

vbox < beginpicture normalgraphs ninepoint setcoordinatesystem units setplotarea x de 0 a 1,1, y de 0 a 1,1 put < hbox < epsfxsize6cm epsfbox>> em 0 0 endpicture>
Figura 12.5.1. fig: plano definido via vetores perp
JA endurl)>

Assim, dado um vetor $ langle a, b, c rangle $ sabemos que todos os planos perpendiculares a este vetor têm a forma $ ax + by + cz = d $, e qualquer superfície desta forma é um plano perpendicular a $ langle a, b, c rangle $.

Exemplo 12.5.1 Encontre uma equação para o plano perpendicular a $ langle 1,2,3 rangle $ e contendo o ponto $ (5,0,7) $.

Usando a derivação acima, o plano é $ 1x + 2y + 3z = 1 cdot5 + 2 cdot0 + 3 cdot7 = 26 $. Alternativamente, sabemos que o plano é $ x + 2y + 3z = d $, e para encontrar $ d $ podemos substituir o ponto conhecido no plano para obter $ 5 + 2 cdot0 + 3 cdot7 = d $, então $ d = 26 $.

Exemplo 12.5.2 Encontre um vetor normal ao plano $ 2x-3y + z = 15 $.

Um exemplo é $ langle 2, -3,1 rangle $. Qualquer vetor paralelo ou antiparalelo a isso também funciona, então por exemplo $ -2 langle 2, -3,1 rangle = langle -4,6, -2 rangle $ também é normal ao plano.

Freqüentemente, precisaremos encontrar uma equação para um plano, dadas certas informações sobre o plano. Embora possa haver maneiras um pouco mais curtas de chegar ao resultado desejado, é sempre possível, e geralmente aconselhável, usar as informações fornecidas para encontrar uma normal para o plano e um ponto no plano e, em seguida, encontrar a equação como acima.

Exemplo 12.5.3 Os planos $ x-z = 1 $ e $ y + 2z = 3 $ se cruzam em uma linha. Encontre um terceiro plano que contenha esta linha e seja perpendicular ao plano $ x + y-2z = 1 $.

Primeiro, notamos que dois planos são perpendiculares se e somente se seus vetores normais são perpendiculares. Assim, buscamos um vetor $ langle a, b, c rangle $ que seja perpendicular a $ langle 1,1, -2 rangle $. Além disso, como o plano desejado deve conter uma certa linha, $ langle a, b, c rangle $ deve ser perpendicular a qualquer vetor paralelo a essa linha. Como $ langle a, b, c rangle $ deve ser perpendicular a dois vetores, podemos encontrá-lo calculando o produto vetorial dos dois. Portanto, precisamos de um vetor paralelo à linha de interseção dos planos dados. Para isso, basta conhecer dois pontos da linha. Para encontrar dois pontos nesta linha, devemos encontrar dois pontos que estão simultaneamente nos dois planos, $ x-z = 1 $ e $ y + 2z = 3 $. Qualquer ponto em ambos os planos irá satisfazer $ x-z = 1 $ e $ y + 2z = 3 $. É fácil encontrar valores para $ x $ e $ z $ que satisfaçam o primeiro, como $ x = 1, z = 0 $ e $ x = 2, z = 1 $.Então podemos encontrar os valores correspondentes para $ y $ usando a segunda equação, a saber $ y = 3 $ e $ y = 1 $, então $ (1,3,0) $ e $ (2,1,1) $ são ambos na linha de interseção porque ambos estão em ambos os planos. Agora $ langle 2-1,1-3,1-0 rangle = langle 1, -2,1 rangle $ é paralelo à linha. Finalmente, podemos escolher $ langle a, b, c rangle = langle 1,1, -2 rangle times langle 1, -2,1 rangle = langle -3, -3, -3 rangle $. Embora esse vetor funcione perfeitamente bem, qualquer vetor paralelo ou antiparalelo a ele também funcionará, então, por exemplo, podemos escolher $ langle 1,1,1 rangle $, que é antiparalelo a ele.

Agora sabemos que $ langle 1,1,1 rangle $ é normal ao plano desejado e $ (2,1,1) $ é um ponto no plano. Portanto, uma equação do plano é $ x + y + z = 4 $. Como uma verificação rápida, uma vez que $ (1,3,0) $ também está na linha, deveria estar no avião já que $ 1 + 3 + 0 = 4 $, vemos que este é realmente o caso.

Observe que se tivéssemos usado $ langle -3, -3, -3 rangle $ como o normal, teríamos descoberto a equação $ -3x-3y-3z = -12 $, então poderíamos muito bem ter notado que poderíamos divida ambos os lados por $ -3 $ para obter o equivalente $ x + y + z = 4 $.

Portanto, agora entendemos as equações dos planos, vamos nos voltar para as linhas. Infelizmente, torna-se bastante inconveniente representar uma linha típica com uma única equação; precisamos abordar as linhas de uma maneira diferente.

Ao contrário de um plano, uma linha em três dimensões tem uma direção óbvia, a saber, a direção de qualquer vetor paralelo a ela. Na verdade, uma linha pode ser definida e identificada de maneira única fornecendo um ponto na linha e um vetor paralelo à linha (em uma das duas direções possíveis). Ou seja, a linha consiste exatamente naqueles pontos que podemos alcançar começando no ponto e percorrendo alguma distância na direção do vetor. Vamos ver como podemos traduzir isso para uma linguagem mais matemática.

Suponha que uma linha contenha o ponto $ ds (v_1, v_2, v_3) $ e seja paralela ao vetor $ langle a, b, c rangle $. Se colocarmos o vetor $ ds langle v_1, v_2, v_3 rangle $ com sua cauda na origem e sua cabeça em $ ds (v_1, v_2, v_3) $, e se colocarmos o vetor $ langle a , b, c rangle $ com sua cauda em $ ds (v_1, v_2, v_3) $, então a cabeça de $ langle a, b, c rangle $ está em um ponto da linha. Nós podemos chegar a algum aponte na linha fazendo a mesma coisa, exceto usando $ t langle a, b, c rangle $ no lugar de $ langle a, b, c rangle $, onde $ t $ é algum número real. Por causa da maneira como a adição de vetores funciona, o ponto na cabeça do vetor $ t langle a, b, c rangle $ é o ponto na cabeça do vetor $ ds langle v_1, v_2, v_3 rangle + t langle a, b, c rangle $, a saber $ ds (v_1 + ta, v_2 + tb, v_3 + tc) $ veja a figura 12.5.2.

vbox < beginpicture normalgraphs ninepoint setcoordinatesystem units setplotarea x de -3 a 7, y de 0 a 4,5 arrow [0,35, 1] ​​de 0 0 a 2 3 arrow [0,35, 1] ​​de 2 3 a 7 4 arrow [0,35, 1] ​​de 0 0 a 7 4 put <$ (v_1, v_2, v_3) $> [br] em 2 3 put <$ langle v_1, v_2, v_3 rangle $> [ r] em 1 1,5 put <$ t langle a, b, c rangle $> [br] em 4,5 3,5 put <$ langle v_1, v_2, v_3 rangle + t langle a, b, c rangle $> [tl] em 3,5 2 setdashes plot -3 2 9,5 4,5 / endpicture>
Figura 12.5.2. fig: vetor linha

Em outras palavras, como $ t $ percorre todos os valores reais possíveis, o vetor $ ds langle v_1, v_2, v_3 rangle + t langle a, b, c rangle $ aponta para todos os pontos da linha quando seu cauda é colocada na origem. Outra maneira comum de escrever isso é como um conjunto de equações paramétricas: $ x = v_1 + ta qquad y = v_2 + tb qquad z = v_3 + tc. $ É ocasionalmente útil usar esta forma de linha, mesmo em duas dimensões, uma forma vetorial para uma linha no $ x $ - $ y $ plano é $ ds langle v_1, v_2 rangle + t langle a, b rangle $, que é o mesmo que $ ds langle v_1, v_2,0 rangle + t langle a, b , 0 rangle $.

Exemplo 12.5.4 Encontre uma expressão vetorial para a reta que passa por $ (6,1, -3) $ e $ (2,4,5) $. Para obter um vetor paralelo à linha, subtraímos $ langle 6,1, -3 rangle- langle2,4,5 rangle = langle 4, -3, -8 rangle $. A linha é então dada por $ langle 2,4,5 rangle + t langle 4, -3, -8 rangle $ há, é claro, muitas outras possibilidades, como $ langle 6,1, -3 rangle + t langle 4, -3, -8 rangle $.

Exemplo 12.5.5 Determine se as linhas $ langle 1,1,1 rangle + t langle 1,2, -1 rangle $ e $ langle 3,2,1 rangle + t langle -1, - 5,3 rangle $ são paralelos, se cruzam ou nenhum dos dois.

Em duas dimensões, duas linhas se cruzam ou são paralelas em três dimensões, as linhas que não se cruzam podem não ser paralelas. Nesse caso, como os vetores de direção das linhas não são paralelos ou antiparalelos, sabemos que as linhas não são paralelas. Se eles se cruzarem, deve haver dois valores $ a $ e $ b $ para que $ langle 1,1,1 rangle + a langle 1,2, -1 rangle = langle 3,2,1 rangle + b langle -1, -5,3 rangle $, ou seja, $ eqalign <1 + a & = 3-b cr 1 + 2a & = 2-5b cr 1-a & = 1 + 3b cr> $ Isso dá três equações em duas incógnitas, então pode ou não haver uma solução em geral. Nesse caso, é fácil descobrir que $ a = 3 $ e $ b = -1 $ satisfaz todas as três equações, então as retas se cruzam no ponto $ (4,7, -2) $.

Exemplo 12.5.6 Encontre a distância do ponto $ (1,2,3) $ ao plano $ 2x-y + 3z = 5 $. A distância de um ponto $ P $ a um plano é a distância mais curta de $ P $ a qualquer ponto no plano esta é a distância medida de $ P $ perpendicular ao plano ver figura 12.5.3. Esta distância é a projeção escalar de $ ds overrightarrow < vrule height8pt largura 0pt QP> $ em um vetor normal $ bf n $, onde $ Q $ é qualquer ponto no plano. É fácil encontrar um ponto no avião, digamos $ (1,0,1) $. Assim, a distância é $ < langle 0,2,2 rangle cdot langle 2, -1,3 rangle over | langle 2, -1,3 rangle |> = <4 over sqrt < 14 >>. $

vbox < beginpicture normalgraphs ninepoint setcoordinatesystem units setplotarea x de -2 a 4, y de -3,5 a 4,5 put <$ P $> [b] em 1 4 put <$ bf n $> [ b] em -1,5 2 coloque <$ Q $> [t] em 0 0 multiput <$ bullet $> em 0 0 1 4 / arrow [0,35, 1] ​​de 0 0 a 1 4 arrow [0,35 , 1] de 0 0 a -1,5 2 setdashes setlinear plot -2 0 4 4,5 3,5 0,5 -2,5 -3,5 -2 0 / endpicture>
Figura 12.5.3. fig: apontar para o plano

Exemplo 12.5.7 Encontre a distância do ponto $ (- 1,2,1) $ à linha $ langle 1,1,1 rangle + t langle 2,3, -1 rangle $. Novamente queremos a distância medida perpendicular à linha, conforme indicado na figura 12.5.4. A distância desejada é $ | overrightarrow < vrule height8pt largura 0pt QP> | sin theta = <| overrightarrow < vrule height8pt largura 0pt QP> timesUMA| over |UMA|>, $ onde $ bf A $ é qualquer vetor paralelo à linha. A partir da equação da reta, podemos usar $ Q = (1,1,1) $ e $UMA= langle 2,3, -1 rangle $, então a distância é $ <| langle -2,1,0 rangle times langle2,3, -1 rangle | over sqrt <14>> = <| langle-1, -2, -8 rangle | over sqrt <14>> = < sqrt <69> over sqrt <14>>. $

vbox < beginpicture normalgraphs ninepoint setcoordinatesystem units setplotarea x de -3 a 4, y de -1,5 a 4 put <$ P $> [b] em 2 4 put <$ theta $> [b ] em -0,5 -0,25 put <$ Q $> [t] em -1 -0,5 put <$ bf A $> [t] em 1 0,5 put <$ | overrightarrow < vrule height8pt largura 0pt QP > | sin theta $> [bl] em 2,6 2,8 multiput <$ bullet $> em -1 -0,5 2 4 / arrow [0,35, 1] ​​de -1 -0,5 a 1 0,5 arrow [0,35, 1] de -1 -0,5 a 2 4 setdashes setlinear plot -3 -1,5 4 2 / plot 2 4 3,2 1,6 / endpicture>
Figura 12.5.4. fig: apontar para linha


Linhas, planos e vetores

$ newcommand < vecb> [1] << bf # 1 >> $ Neste tutorial, usaremos métodos vetoriais para representar linhas e planos em três espaços.

Vetor de deslocamento

O vetor de deslocamento $ vecb$ com ponto inicial $ (x_ <1>, y_ <1>, z_ <1>) $ e ponto terminal $ (x_ <2>, y_ <2>, z_ <2>) $ é $ vecb= (x_ <2> -x_ <1>, y_ <2> -y_ <1>, z_ <2> -z_ <1>). $

$ newcommand < vecb> [1] << bf # 1 >> $ Considere o vetor de deslocamento $ vecb$ com ponto inicial $ (x_ <1>, y_ <1>, z_ <1>) $ e ponto terminal $ (x_ <2>, y_ <2>, z_ <2>) $.

Ou seja, se o vetor $ vecb$ foram posicionados com seu ponto inicial na origem, então seu ponto terminal seria em $ (x_ <2> -x_ <1>, y_ <2> -y_ <1>, z_ <2> -z_ <1>) $.

Exemplo

O vetor $ vecb$ com o ponto inicial $ (- 1,4,5) $ e o ponto final $ (4, -3,2) $ é $ vecb = left (4 - (- 1), - 3-4,2-5 right) = (5, -7, -3). $

Equações paramétricas para uma linha no espaço 3

A linha que passa pelo ponto $ (x_ <0>, y_ <0>, z_ <0>) $ e paralela ao vetor diferente de zero $ vecb = (a, b, c) $ tem equações paramétricas begin x & amp = & amp x_ <0> + em y & amp = & amp y_ <0> + bt z & amp = & amp z_ <0> + ct. fim

$ newcommand < vecb> [1] << bf # 1 >> $ Considere a linha que passa pelo ponto $ (x_ <0>, y_ <0>, z_ <0>) $ e paralelo ao diferente de zero vetor $ vecb

(a, b, c) $. Um ponto $ (x, y, z) $ está na linha se e somente se o vetor de deslocamento com ponto inicial $ (x_ <0>, y_ <0>, z_ <0>) $ e ponto final $ (x, y, z) $ é paralelo a $ vecb$. Ou seja, $ (x-x_ <0>, y-y_ <0>, z-z_ <0>) $ deve ser um múltiplo escalar de $ vecb$: $ (x-x_ <0>, y-y_ <0>, z-z_ <0>) = t (a, b, c). $ Componentwise, begin x & # 8211 x_ <0> & amp = & amp em y & # 8211 y_ <0> & amp = & amp bt z & # 8211 z_ <0> & amp = & amp ct. fim Assim, obtemos as equações paramétricas begin x & amp = & amp x_ <0> + em y & amp = & amp y_ <0> + bt z & amp = & amp z_ <0> + ct. fim

Exemplo

A reta que atravessa $ (2, -1,3) $ e paralela ao vetor $ vecb= (3, -7,4) $ tem equações paramétricas begin x & amp = & amp 2 + 3t y & amp = & amp -1-7t z & amp = & amp 3 + 4t. fim Observe que quando $ t = 0 $, estamos no ponto $ (2, -1,3) $. À medida que $ t $ aumenta ou diminui de 0, nos afastamos desse ponto paralelo à direção indicada por $ (3, -7,4) $.

Se você conhece dois pontos $ p_ <1> = (x_ <1>, y_ <1>, z_ <1>) $ e $ p_ <2> = (x_ <2>, y_ <2>, z_ <2> ) $ que uma linha passa, você pode encontrar uma parametrização para o lilne. Primeiro, encontre o vetor de deslocamento $ vecb= (x_ <2> -x_ <1>, y_ <2> -y_ <1>, z_ <2> -z_ <1>) $. em seguida, escreva as equações paramétricas para a linha através de $ p_ <1> $ ou $ p_ <2> $ e paralelas a $ vecb$.

Equação de um plano no espaço 3

A equação do plano contendo o ponto $ (x_ <0>, y_ <0>, z_ <0>) $ com vetor normal $ vecb = (a, b, c) $ é $ a (x-x_ <0>) + b (y-y_ <0>) + c (z-z_ <0>) = 0. $

$ newcommand < vecb> [1] << bf # 1 >> $ Considere o plano que contém o ponto $ (x_ <0>, y_ <0>, z_ <0>) $ com o vetor normal $ vecb = (a, b, c) $. Um ponto $ (x, y, z) $ está no plano se e somente se o vetor de deslocamento com ponto inicial $ (x_ <0>, y_ <0>, z_ <0>) $ e ponto final $ (x, y, z) $ é perpendicular a $ vecb$. Isso é,

Lembre-se de que os vetores $ vecb$ e $ vecb$ são perpendiculares se e somente se $ vecb cdot vecb = 0.$

Assim, o gráfico da equação $ ax + by + cz = d $ é um plano com vetor normal $ (a, b, c) $.

Exemplo

A equação do plano contendo $ (2,4, -1) $ e normal ao vetor $ vecb = (3,5, -2) $ é $ 3 (x-2) +5 (y-4) -2 (z - (- 1)) = 0. $ Simplificando, $ 3x + 5y-2z = 28. $ Com um pouco de trabalho extra, podemos usar este procedimento para encontrar a equação do plano definido por quaisquer três pontos. Primeiro, calcule os vetores de deslocamento $ vecb$ e $ vecb$ entre dois pares desses pontos. Então $ vecb = vecb times vecb$ em normal para o avião. Agora, use um dos pontos e o vetor $ vecb = vecb times vecb$ para obter a equação do plano.

Conceitos chave

O vetor de deslocamento $ vecb$ com ponto inicial $ (x_ <1>, y_ <1>, z_ <1>) $ e ponto terminal $ (x_ <2>, y_ <2>, z_ <2>) $ é $ vecb= (x_ <2> -x_ <1>, y_ <2> -y_ <1>, z_ <2> -z_ <1>) $.

A reta que atravessa o ponto $ (x_ <0>, y_ <0>, z_ <0>) $ e paralela ao vetor diferente de zero $ vecb = (a, b, c) $ tem equações paramétricas begin x & amp = & amp x_ <0> + em y & amp = & amp y_ <0> + bt z & amp = & amp z_ <0> + ct. fim

A equação do plano contendo o ponto $ (x_ <0>, y_ <0>, z_ <0>) $ com vetor normal $ vecb = (a, b, c) $ é $ a (x-x_ <0>) + b (y-y_ <0>) + c (z-z_ <0>) = 0. $


Um plano no espaço de coordenadas 3D é determinado por um ponto e um vetor perpendicular ao plano. Seja P 0 = (x 0, y 0, z 0) P_ <0> = (x_ <0>, y_ <0>, z_ <0>) P 0 = (x 0, y 0, z 0 ) Seja o ponto dado, e n → overrightarrow n

= (x - x 0, y - y 0, z - z 0) ⋅ (a, b, c) = a (x - x 0) + b (y - y 0) + c (z - z 0) = 0.

Também podemos escrever a equação acima do plano como

Outra maneira de pensar na equação do plano é como um paralelepípedo achatado. Um paralelepípedo achatado, feito de três vetores a ⃗ = ⟨x 1, y 1, z 1⟩, b ⃗ = ⟨x 2, y 2, z 2⟩, c ⃗ = ⟨x 3, y 3, z 3⟩ vec = left langle x_ <1>, y_ <1>, z_1 right rangle, vec = left langle x_2, y_2, z_2 right rangle, vec = left langle x_3, y_3, z_3 right rangle a

= ⟨X 3, y 3, z 3⟩, tem volume 0. Podemos usar o produto triplo escalar para calcular este volume:

) fornece o vetor que é normal ao plano.

Digamos que os pontos finais de (b ⃗ × c ⃗) big ( vec times vecgrande B


12.5: Equações de Linhas e Planos - Matemática

Todos nós conhecemos a equação muito popular da linha reta Y = m. X + Cqual uma linha reta em um plano. Mas aqui vamos discutir a equação de uma linha reta no espaço tridimensional. UMA Em linha reta A linha é caracterizada de forma única se passar por dois pontos únicos ou se passar por um ponto único em uma direção definida. Na geometria tridimensional, as linhas (linhas retas) são geralmente representadas nas duas formas, forma cartesiana e forma vetorial. Aqui, vamos discutir a forma de dois pontos de uma linha reta em 3 dimensões usando a forma cartesiana e também a forma vetorial.

Equação de uma linha reta na forma cartesiana

Para escrever a equação de uma linha reta na forma cartesiana, exigimos as coordenadas de um mínimo de dois pontos através dos quais a linha reta passa. Vamos dizer (x1, y1, z1) e (x2, y2, z2) são as coordenadas de posição dos dois pontos fixos no espaço tridimensional através do qual a linha passa.

  • Passo 1: Encontre o DR & # 8217s (relações de direção) tomando a diferença das coordenadas de posição correspondentes dos dois pontos dados. eu = (x2 & # 8211 x1), m = (y2 & # 8211 y1), n = (z2 & # 8211 z1) Aqui l, m, n são os DR & # 8217s.
  • Passo 2: Escolha um dos dois pontos dados, digamos, nós escolhemos (x1, y1, z1).
  • Etapa 3: Escreva a equação necessária da linha reta passando pelos pontos (x1, y1, z1) e (x2, y2, z2) L: (x & # 8211 x1) / l = (y & # 8211 y1) / m = (z & # 8211 z1) / n

Onde (x, y, z) são as coordenadas de posição de qualquer ponto variável situado na linha reta.

Exemplo 1: Se uma linha reta está passando por dois pontos fixos no tridimensional cujas coordenadas de posição são P (2, 3, 5) e Q (4, 6, 12), então sua equação cartesiana usando a forma de dois pontos É dado por

l = (4 & # 8211 2), m = (6 & # 8211 3), n = (12 & # 8211 5)

l = 2, m = 3, n = 7

Escolhendo o ponto P (2, 3, 5)

A equação necessária da linha

L: (x & # 8211 2) / 2 = (y & # 8211 3) / 3 = (z & # 8211 5) / 7

Exemplo 2: Se uma linha reta está passando pelos dois pontos fixos no tridimensional cujas coordenadas de posição são A (2, -1, 3) e B (4, 2, 1), então sua equação cartesiana usando os dois pontos forma é dada por

l = (4 & # 8211 2), m = (2 & # 8211 (-1)), n = (1 & # 8211 3)

l = 2, m = 3, n = -2

Escolhendo o ponto A (2, -1, 3)

A equação necessária da linha

L: (x & # 8211 2) / 2 = (y + 1) / 3 = (z & # 8211 3) / -2 ou

L: (x & # 8211 2) / 2 = (y + 1) / 3 = (3 & # 8211 z) / 2

Exemplo 3: Se uma linha reta está passando pelos dois pontos fixos no tridimensional cujas coordenadas de posição são X (2, 3, 4) e Y (5, 3, 10), então sua equação cartesiana usando a forma de dois pontos é dada por

l = (5 & # 8211 2), m = (3 & # 8211 3), n = (10 & # 8211 4)

l = 3, m = 0, n = 6

Escolhendo o ponto X (2, 3, 4)

A equação necessária da linha

L: (x & # 8211 2) / 3 = (y & # 8211 3) / 0 = (z & # 8211 4) / 6 ou

L: (x & # 8211 2) / 1 = (y & # 8211 3) / 0 = (z & # 8211 4) / 2

Equação de uma linha reta em Forma Vetorial

Para escrever a equação de uma linha reta na forma vetorial, exigimos os vetores de posição de um mínimo de dois pontos através dos quais a linha reta passa. Digamos que e são os vetores de posição dos dois pontos fixos no espaço tridimensional através do qual a linha passa.

  • Passo 1: Encontre um vetor paralelo à linha reta subtraindo os vetores de posição correspondentes dos dois pontos dados. = () Aqui é o vetor paralelo à linha reta.
  • Passo 2: Escolha o vetor de posição de qualquer um dos dois pontos dados, digamos que escolhemos .
  • Etapa 3: Escreva a equação necessária da linha reta passando pelos pontos cujos vetores de posição são e . EU : = + t. ou = + t. ()

Onde é o vetor de posição de qualquer ponto variável situado na linha reta e t é o parâmetro cujo valor é usado para localizar qualquer ponto na linha de forma exclusiva.

Exemplo 1: Se uma linha reta está passando pelos dois pontos fixos no tridimensional cujos vetores de posição são (2 i + 3 j + 5 k) e (4 i + 6 j + 12 k), então sua equação vetorial usando os dois pontos forma é dada por

= (4 eu + 6 j + 12 k) – (2 eu + 3 j + 5 k)



= (2 eu + 3 j + 7 k) Aqui é um vetor paralelo à linha reta

Escolhendo o vetor posição (2 eu + 3 j + 5 k)

A equação necessária da linha reta

EU : = (2 eu + 3 j + 5 k) + t . (2 eu + 3 j + 7 k)

Exemplo 2: Se uma linha reta está passando pelos dois pontos fixos no espaço tridimensional cujas coordenadas de posição são (3, 4, -7) e (1, -1, 6), então sua equação vetorial usando os dois pontos forma é dada por

Os vetores de posição dos pontos dados serão (3 i + 4 j & # 8211 7 k) e (i & # 8211 j + 6 k)

= (3 i + 4 j & # 8211 7 k) & # 8211 (i & # 8211 j + 6 k)

= (2 i + 5 j & # 8211 13 k) Aqui é um vetor paralelo à linha reta

Escolhendo o vetor de posição (i & # 8211 j + 6 k)



A equação necessária da linha reta

EU : = (i & # 8211 j + 6 k) + t . (2 i + 5 j & # 8211 13 k)

Exemplo 3: Se uma linha reta está passando por dois pontos fixos no tridimensional cujos vetores de posição são (5 i + 3 j + 7 k) e (2 i + j & # 8211 3 k), então sua equação vetorial usando os dois forma de ponto é dada por

= (5 i + 3 j + 7 k) & # 8211 (2 i + j & # 8211 3 k)

= (3 i + 2 j + 10 k) Aqui é um vetor paralelo à linha reta

Escolhendo o vetor de posição (2 i + j & # 8211 3 k)

A equação necessária da linha reta

EU : = (2 i + j & # 8211 3 k) + t . (2 i + 3 j + 7 k)


Exercícios 14.5

Ex 14.5.1 Encontre uma equação do plano contendo $ (6,2,1) $ e perpendicular a $ langle 1,1,1 rangle $. (responder)

Ex 14.5.2 Encontre uma equação do plano contendo $ (- 1,2, -3) $ e perpendicular a $ langle 4,5, -1 rangle $. (responder)

Ex 14.5.3 Encontre uma equação do plano contendo $ (1,2, -3) $, $ (0,1, -2) $ e $ (1,2, -2) $. (responder)

Ex 14.5.4 Encontre uma equação do plano contendo $ (1,0,0) $, $ (4,2,0) $ e $ (3,2,1) $. (responder)

Ex 14.5.5 Encontre uma equação do plano contendo $ (1,0,0) $ e a reta $ langle 1,0,2 rangle + t langle 3,2,1 rangle $. (responder)

Ex 14.5.6 Encontre uma equação do plano contendo a linha de interseção de $ x + y + z = 1 $ e $ x-y + 2z = 2 $, e perpendicular ao plano $ x $ - $ y $. (responder)

Ex 14.5.7 Encontre uma equação da reta até $ (1,0,3) $ e $ (1,2,4) $. (responder)

Ex 14.5.8 Encontre uma equação da reta que passa por $ (1,0,3) $ e perpendicular ao plano $ x + 2y-z = 1 $. (responder)

Ex 14.5.9 Encontre uma equação da reta que passa pela origem e perpendicular ao plano $ x + y-z = 2 $. (responder)

Ex 14.5.10 Encontre $ a $ e $ c $ de forma que $ (a, 1, c) $ esteja na linha de $ (0,2,3) $ e $ (2,7,5) $. (responder)

Ex 14.5.11 Explique como descobrir a solução no exemplo 14.5.5.

Ex 14.5.12 Determine se as linhas $ langle 1,3, -1 rangle + t langle 1,1,0 rangle $ e $ langle 0,0,0 rangle + t langle 1,4,5 rangle $ são paralelos, se cruzam ou nenhum. (responder)

Ex 14.5.13 Determine se as linhas $ langle 1,0,2 rangle + t langle -1, -1,2 rangle $ e $ langle 4,4,2 rangle + t langle 2,2, -4 rangle $ são paralelos, se cruzam ou nenhum dos dois. (responder)

Ex 14.5.14 Determine se as linhas $ langle 1,2, -1 rangle + t langle 1,2,3 rangle $ e $ langle 1,0,1 rangle + t langle 2 / 3,2,4 / 3 rangle $ são paralelos, se cruzam ou nenhum. (responder)

Ex 14.5.15 Determine se as linhas $ langle 1,1,2 rangle + t langle 1,2, -3 rangle $ e $ langle 2,3, -1 rangle + t langle 2,4, -6 rangle $ são paralelos, se cruzam ou nenhum. (responder)

Ex 14.5.16 Encontre um vetor normal unitário para cada um dos planos de coordenadas.

Ex 14.5.17 Mostre que $ langle 2,1,3 rangle + t langle 1,1,2 rangle $ e $ langle 3, 2, 5 rangle + s langle 2, 2, 4 rangle $ são iguais linha.

Ex 14.5.18 Dê uma descrição em prosa para cada um dos seguintes processos:

uma. Dados dois pontos distintos, encontre a linha que os atravessa.

b. Dados três pontos (nem todos na mesma linha), encontre o plano que passa por eles. Por que precisamos da advertência de que nem todos os pontos estão na mesma linha?

c. Dado uma linha e um ponto fora da linha, encontre o plano que contém os dois.

d. Dado um plano e um ponto fora do plano, encontre a linha que é perpendicular ao plano através do ponto fornecido.

Ex 14.5.19 Encontre a distância de $ (2,2,2) $ a $ x + y + z = -1 $. (responder)

Ex 14.5.20 Encontre a distância de $ (2, -1, -1) $ a $ 2x-3y + z = 2 $. (responder)

Ex 14.5.21 Encontre a distância de $ (2, -1,1) $ a $ langle 2,2,0 rangle + t langle 1,2,3 rangle $. (responder)

Ex 14.5.22 Encontre a distância de $ (1,0,1) $ a $ langle 3,2,1 rangle + t langle 2, -1, -2 rangle $. (responder)

Ex 14.5.23 Encontre o cosseno do ângulo entre os planos $ x + y + z = 2 $ e $ x + 2y + 3z = 8 $. (responder)

Ex 14.5.24 Encontre o cosseno do ângulo entre os planos $ x-y + 2z = 2 $ e $ 3x-2y + z = 5 $. (responder)


12.5: Equações de Linhas e Planos - Matemática

2. Dê a equação da reta que passa pelo ponto ( left (<- 7,2,4> right) ) e paralela à reta dada por (x = 5 - 8t ), (y = 6 + t ), (z = - 12t ) na forma vetorial, paramétrica e simétrica.

Mostrar todas as etapas Ocultar todas as etapas

Ok, independentemente da forma da equação, sabemos que precisamos de um ponto na linha e um vetor que seja paralelo à linha.

Recebemos um ponto na linha, então não precisamos nos preocupar com isso por causa desse problema.

O vetor paralelo também é muito simples de se obter, pois nos disseram que a nova linha deve ser paralela à linha fornecida. Também sabemos que os coeficientes dos (t ) 's na equação da linha formam um vetor paralelo à linha.

[ vec v = left langle <- 8,1, - 12> right rangle ]

é um vetor paralelo à linha fornecida.

Agora, se ( vec v ) é paralelo à linha dada e a nova linha deve ser paralela à linha dada, então ( vec v ) também deve ser paralelo à nova linha.

A forma vetorial da linha é,

[ require bbox [2pt, border: 1px sólido preto] << vec r left (t right) = left langle <- 7,2,4> right rangle + t left langle <- 8, 1, - 12> right rangle = left langle <- 7 - 8t, 2 + t, 4 - 12t> right rangle >> ] Mostrar etapa 3

A forma paramétrica da linha é,

[ require bbox [2pt, border: 1px sólido preto] <y = 2 + t hspace <0.5in> z = 4 - 12t >> ] Mostrar Etapa 4

Para obter a forma simétrica, tudo o que precisamos fazer é resolver cada uma das equações paramétricas para (t ) e, em seguida, defini-las todas iguais umas às outras. Fazer isso dá,


12.5: Equações de Linhas e Planos - Matemática

8. Encontre a linha de interseção do plano dada por (3x + 6y - 5z = - 3 ) e o plano dado por (- 2x + 7y - z = 24 ).

Mostrar todas as etapas Ocultar todas as etapas

Ok, sabemos que precisamos de um ponto e vetor paralelo à linha para escrever a equação da linha. Neste caso, nenhum dos dois foi dado a nós.

Primeiro, vamos notar que qualquer ponto na linha de interseção também deve estar em ambos os planos e é realmente muito simples encontrar tal ponto. Qualquer que seja a nossa linha de interseção, ela deve interceptar pelo menos um dos planos de coordenadas. Não precisa cruzar todos os três planos de coordenadas, mas terá que cruzar pelo menos um.

Então, vamos ver se ele cruza o plano (xy ). Porque o ponto na linha de interseção também deve estar em ambos os planos, vamos definir (z = 0 ) (então estaremos no plano (xy ) -!) Em ambas as equações de nossos planos.

[começar3x + 6y & = - 3 - 2x + 7y & = 24 end] Mostrar Etapa 2

Este é um sistema simples de resolver, então deixaremos para você verificar se a solução é,

O fato de termos sido capazes de encontrar uma solução para o sistema na Etapa 1 significa que a linha de interseção de fato intercepta o plano (xy ) - e o faz no ponto ( left (<- 5, 2,0> right) ). Este também é um ponto na linha de intersecção.

Observe que se o sistema da Etapa 1 não tivesse uma solução, a linha de interseção não teria interceptado o plano (xy ) - e precisaríamos tentar um dos planos de coordenadas restantes.

Ok, agora precisamos de um vetor que seja paralelo à linha de interseção. Isso pode ser um pouco difícil de visualizar, mas se você pensar sobre isso, a linha de intersecção teria que ser ortogonal a ambos os vetores normais dos dois planos. Isso, por sua vez, significa que qualquer vetor ortogonal aos dois vetores normais deve ser paralelo à linha de interseção.

Bem o suficiente, sabemos que o produto vetorial de quaisquer dois vetores será ortogonal a cada um dos dois vetores. Então, aqui estão os dois vetores normais para nossos planos e seu produto vetorial.

Observe que usamos o “truque” discutido nas notas para calcular o produto vetorial aqui.

Portanto, agora temos informações suficientes para escrever a equação da linha de intersecção dos dois planos. A equação é,

[ require bbox [2pt, border: 1px sólido preto] << vec r left (t right) = left langle <- 5,2,0> right rangle + t left langle <29,13 , 33> right rangle = left langle <- 5 + 29t, 2 + 13t, 33t> right rangle >> ]


Leituras Relacionadas

Este é um dos mais de 2.400 cursos do OCW. Explore os materiais para este curso nas páginas com links à esquerda.

MIT OpenCourseWare é uma publicação gratuita e aberta de material de milhares de cursos do MIT, cobrindo todo o currículo do MIT.

Sem inscrição ou registro. Navegue livremente e use materiais OCW em seu próprio ritmo. Não há inscrição nem datas de início ou término.

O conhecimento é a sua recompensa. Use o OCW para orientar sua própria aprendizagem ao longo da vida ou para ensinar outras pessoas. Não oferecemos crédito ou certificação para usar OCW.

Feito para compartilhar. Baixe os arquivos para mais tarde. Envie para amigos e colegas. Modifique, remixe e reutilize (lembre-se de citar o OCW como a fonte).

Sobre o MIT OpenCourseWare

MIT OpenCourseWare é uma publicação online de materiais de mais de 2.500 cursos do MIT, compartilhando conhecimento gratuitamente com alunos e educadores em todo o mundo. Saiba mais & raquo

& copy 2001 & ndash2018
Instituto de Tecnologia de Massachusetts

O uso do site e dos materiais do MIT OpenCourseWare está sujeito à nossa Licença Creative Commons e outros termos de uso.


Encontrar a equação do plano usando a equação paramétrica

Seja $ P (4, -2,6) $ e linha $ AB $: $ X_ ell = A + t , (BA) = (3,0,5) + t , (- 2,1,2 ) $, então a equação do plano será $ n cdot (XA) = 0 $ onde $ n = [(PA) times (BA)] $ e $ X = (x, y, z) $ um ponto arbitrário em o avião.
Como o produto misto corresponde ao determinante, temos $ left | começar x-3 & ampy & ampz-5 4-3 & amp-2-0 & amp6-5 -2 & amp1 & amp2 end right | = 0 $ $ -5 x - 4 y - 3 z + 30 = 0 $ Podemos testar agora que $ P $ e toda a linha $ AB $ estão no plano: WA resulta para o ponto e a linha, embora não é necessário.

Recebemos um ponto no plano $ (4, -2,6) $. Dois outros pontos podem ser obtidos tomando o parâmetro $ t = 0 $ e $ t = 1 $ na linha: $ (3,0,5) $ e $ (1,1,7) $. Três pontos não colineares determinam um plano. Uma maneira de descobrir é pegar o produto vetorial de dois vetores de diferença: $ (1, -1,1) times (3, -3, -1) = (5,4,3) $ é um vetor normal para o avião. Você pode continuar daqui?

A equação genérica de um plano é $ pi: ax + by + cz + d = 0 $. Este plano genérico $ pi $ é paralelo ao plano $ W_ < pi>: ax + by + cz = 0 $.

Você pode escrever $ W _ < pi> $ como $ Span <(1, -2, 1), (-2, 1, 2) > $, onde $ (1, -2, 1) $ é o vetor $ vec$, onde $ P (4, -2, 6) $ é o ponto dado e $ Q (3, 0, 5) $ é um ponto na linha dada (obtido tomando $ t = 0 $), e $ ( -2,1,2) $ é a direção da linha.

$ begin x = t - 2s y = -2t + s z = t + 2s end $

após alguns passos, você encontrará a equação cartesiana $ 5x + 4y + 3z = 0 $, que corresponde a $ ax + por + cz = 0 $. Para encontrar $ d $ resolvemos $ 5x + 4y + 3z + d = 0 $ substituindo por $ x $, $ y $ e $ z $ as coordenadas de $ P $. Desta forma, você pode encontrar a equação $ 5x + 4y + 3z -30 = 0 $ do plano $ pi $, paralelo a $ W _ < pi> $ e contendo o ponto $ P $.