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17.2: Equações lineares não homogêneas


Agora consideramos as equações de segunda ordem da forma (a ddot y + b dot y + cy = f (t) ), com (a ), (b ) e (c ) constante . Portanto, examinaremos apenas os exemplos em que (c not = 0 ).

Suponha que (y_1 (t) ) e (y_2 (t) ) sejam soluções para (a ddot y + b ponto y + cy = f (t) ), e considere a função (h = y_1-y_2 ). Substituímos esta função no lado esquerdo da equação diferencial e simplificamos:

[a (y_1-y_2) '' + b (y_1-y_2) '+ c (y_1-y_2) = ay_1' '+ by_1' + cy_1 - (ay_2 '' + by_2 '+ cy_2) = f (t) -f (t) = 0. ]

Portanto, (h ) é uma solução para a equação homogênea (a ddot y + b dot y + cy = 0 ). Uma vez que sabemos como encontrar todos esses (h ), então com apenas uma solução particular (y_2 ) podemos expressar todas as soluções possíveis (y_1 ), a saber, (y_1 = h + y_2 ), onde agora (h ) é a solução geral para a equação homogênea. Claro, é exatamente assim que abordamos a equação linear de primeira ordem.

Para fazer uso desta observação, precisamos de um método para encontrar uma única solução (y_2 ). Isso acaba sendo um pouco mais difícil do que o caso de primeira ordem, mas se (f (t) ) é de uma certa forma simples, podemos encontrar uma solução usando o método de coeficientes indeterminados, às vezes mais caprichosamente chamado de método de adivinhação judiciosa.

Exemplo ( PageIndex {1} ):

Resolva a equação diferencial ( ddot y- dot y-6y = 18t ^ 2 + 5 ).

Solução

A solução geral da equação homogênea é (Ae ^ {3t} + Be ^ {- 2t} ). Achamos que uma solução para a equação não homogênea pode se parecer com a própria (f (t) ), ou seja, um quadrático (y = at ^ 2 + bt + c ). Substituindo esta estimativa na equação diferencial, obtemos

[ ddot y- dot y-6y = 2a- (2at + b) -6 (at ^ 2 + bt + c) = -6at ^ 2 + (- 2a-6b) t + (2a-b-6c) . ]

Queremos que seja igual a (18t ^ 2 + 5 ), então precisamos

[ eqalign {-6a & = 18 cr -2a-6b & = 0 cr 2a-b-6c & = 5 cr} ]

Este é um sistema de três equações em três incógnitas e não é difícil de resolver: (a = -3 ), (b = 1 ), (c = -2 ). Assim, a solução geral para a equação diferencial é (Ae ^ {3t} + Be ^ {- 2t} -3t ^ 2 + t-2 ).

Portanto, a "suposição judiciosa '' é uma função com a mesma forma que (f (t) ), mas com coeficientes indeterminados (ou melhor, ainda a serem determinados). Isso funciona sempre que (f (t) ) é um polinomial.

Exemplo ( PageIndex {2} ):

Considere o problema do valor inicial (m ddot y + ky = -mg ), (y (0) = 2 ), ( ponto y (0) = 50 ). O lado esquerdo representa um sistema massa-mola sem amortecimento, ou seja, (b = 0 ). Ao contrário do caso homogêneo, consideramos agora a força devida à gravidade, (- mg ), assumindo que a mola é vertical na superfície da terra, de modo que (g = 980 ). Para ser mais específico, consideremos (m = 1 ) e (k = 100 ). A solução geral para a equação homogênea é (A cos (10t) + B sin (10t) ). Para a solução da equação não homogênea, adivinhamos simplesmente uma constante (y = a ), uma vez que (- mg = -980 ) é uma constante. Então ( ddot y + 100y = 100a ) então (a = -980 / 100 = -9,8 ). A solução geral desejada é então (A cos (10t) + B sin (10t) -9,8 ). Substituindo as condições iniciais, obtemos

[ eqalign {2 & = A-9.8 cr50 & = 10B cr} ]

então (A = 11,8 ) e (B = 5 ) e a solução é (11,8 cos (10t) +5 sin (10t) -9,8 ).

Mais geralmente, este método pode ser usado quando uma função semelhante a (f (t) ) tem derivadas que também são semelhantes a (f (t) ); nos exemplos até agora, uma vez que (f (t) ) era um polinômio, então o eram seus derivados. O método funcionará se (f (t) ) tiver a forma (p (t) e ^ { alpha t} cos ( beta t) + q (t) e ^ { alpha t} sin ( beta t) ), onde (p (t) ) e (q (t) ) são polinômios; quando ( alpha = beta = 0 ) é simplesmente (p (t) ), um polinômio. Na forma mais geral, não é simples descrever a suposição judiciosa apropriada; contentamo-nos com alguns exemplos para ilustrar o processo.

Exemplo ( PageIndex {3} ):

Encontre a solução geral para ( ddot y + 7 dot y + 10y = e ^ {3t} ). A equação característica é (r ^ 2 + 7r + 10 = (r + 5) (r + 2) ), então a solução para a equação homogênea é (Ae ^ {- 5t} + Be ^ {- 2t} ). Para uma solução particular para a equação não homogênea, adivinhamos (Ce ^ {3t} ). Substituindo nós obtemos

[9Ce ^ {3t} + 21Ce ^ {3t} + 10Ce ^ {3t} = e ^ {3t} 40C. ]

Quando (C = 1/40 ) é igual a (f (t) = e ^ {3t} ), então a solução é (Ae ^ {- 5t} + Be ^ {- 2t} + ( 1/40) e ^ {3t} ).

Exemplo ( PageIndex {4} ):

Encontre a solução geral para ( ddot y + 7 dot y + 10y = e ^ {- 2t} ). Seguindo o último exemplo, podemos adivinhar (Ce ^ {- 2t} ), mas como esta é uma solução para a equação homogênea, ela não pode funcionar. Em vez disso, adivinhamos (Cte ^ {- 2t} ). Então

[(-2Ce ^ {- 2t} -2Ce ^ {- 2t} + 4Cte ^ {- 2t}) + 7 (Ce ^ {- 2t} -2Cte ^ {- 2t}) + 10Cte ^ {- 2t} = e ^ {- 2t} (- 3C). ]

Então (C = -1 / 3 ) e a solução é (Ae ^ {- 5t} + Be ^ {- 2t} - (1/3) te ^ {- 2t} ).

Em geral, se (f (t) = e ^ {kt} ) e (k ) é uma das raízes da equação característica, então adivinhamos (Cte ^ {kt} ) em vez de ( Ce ^ {kt} ). Se (k ) é a única raiz da equação característica, então (Cte ^ {kt} ) não funcionará, e devemos adivinhar (Ct ^ 2e ^ {kt} ).

Exemplo ( PageIndex {5} ):

Encontre a solução geral para ( ddot y-6 dot y + 9y = e ^ {3t} ). A equação característica é (r ^ 2-6r + 9 = (r-3) ^ 2 ), então a solução geral para a equação homogênea é (Ae ^ {3t} + Bte ^ {3t} ). Adivinhando (Ct ^ 2e ^ {3t} ) para a solução particular, obtemos

[(9Ct ^ 2e ^ {3t} + 6Cte ^ {3t} + 6Cte ^ {3t} + 2Ce ^ {3t}) - 6 (3Ct ^ 2e ^ {3t} + 2Cte ^ {3t}) + 9Ct ^ 2e ^ {3t} = e ^ {3t} 2C. ]

A solução é, portanto, (Ae ^ {3t} + Bte ^ {3t} + (1/2) t ^ 2e ^ {3t} ).

É comum em vários sistemas físicos encontrar um (f (t) ) da forma (a cos ( omega t) + b sin ( omega t) ).

Exemplo ( PageIndex {6} ):

Encontre a solução geral para ( ddot y + 6 dot y + 25y = cos (4t) ). As raízes da equação característica são (- 3 pm 4i ), então a solução para a equação homogênea é (e ^ {- 3t} (A cos (4t) + B sin (4t)) ) . Para uma solução particular, adivinhamos (C cos (4t) + D sin (4t) ). Substituindo como de costume:

[ eqalign {(-16C cos (4t) & + - 16D sin (4t)) + 6 (-4C sin (4t) + 4D cos (4t)) + 25 (C cos (4t) + D sin (4t)) cr
& = (24D + 9C) cos (4t) + (- 24C + 9D) sin (4t). Cr} ]

Para tornar isso igual a ( cos (4t) ), precisamos

[ eqalign {24D + 9C & = 1 cr 9D-24C & = 0 cr} ]

que dá (C = 1/73 ) e (D = 8/219 ). A solução completa é então

[e ^ {- 3t} (A cos (4t) + B sin (4t)) + (1/73) cos (4t) + (8/219) sin (4t). ]

A função (e ^ {- 3t} (A cos (4t) + B sin (4t)) ) é uma oscilação amortecida como no exemplo 17.5.3, enquanto ((1/73) cos (4t ) + (8/219) sin (4t) ) é uma oscilação não amortecida simples. À medida que (t ) aumenta, a soma (e ^ {- 3t} (A cos (4t) + B sin (4t)) ) se aproxima de zero, então a solução [e ^ {- 3t} ( A cos (4t) + B sin (4t)) + (1/73) cos (4t) + (8/219) sin (4t) [torna-se cada vez mais parecido com a oscilação simples ((1 / 73) cos (4t) + (8/219) sin (4t) ) --- observe que as condições iniciais não importam para este comportamento de longo prazo. A porção amortecida é chamada de parte transitória da solução, e a oscilação simples é chamada de estado estacionário parte da solução. Um exemplo físico é um sistema massa-mola. Se a única força na massa é devida à mola, então o comportamento do sistema é uma oscilação amortecida. Se além disso uma força externa é aplicada à massa, e se a força varia de acordo com uma função da forma (a cos ( omega t) + b sin ( omega t) ), então a longo prazo o comportamento será uma oscilação simples determinada pela parte do estado estacionário da solução geral; a posição inicial da massa não importa.

Tal como acontece com a forma exponencial, uma estimativa simples pode não funcionar.

Exemplo ( PageIndex {4} ):

Encontre a solução geral para ( ddot y + 16y = - sin (4t) ). As raízes da equação característica são ( pm4i ), então a solução para a equação homogênea é (A cos (4t) + B sin (4t) ). Uma vez que ( cos (4t) ) e ( sin (4t) ) são soluções para a equação homogênea, (C cos (4t) + D sin (4t) ) também é, portanto, não pode ser uma solução para a equação não homogênea. Em vez disso, adivinhamos (Ct cos (4t) + Dt sin (4t) ). Em seguida, substituindo:

[ eqalign {(-16Ct cos (4t) & - 16D sin (4t) + 8D cos (4t) -8C sin (4t))) + 16 (Ct cos (4t) + Dt sin (4t)) cr & = 8D cos (4t) -8C sin (4t). Cr} ]

Assim, (C = 1/8 ), (D = 0 ), e a solução é (C cos (4t) + D sin (4t) + (1/8) t cos (4t) ).

Em geral, se (f (t) = a cos ( omega t) + b sin ( omega t) ), e ( pm omega i ) são as raízes da equação característica, então em vez de (C cos ( omega t) + D sin ( omega t) ), adivinhamos (Ct cos ( omega t) + Dt sin ( omega t) ).


Método não homogêneo de coeficientes indeterminados

Um dos principais pontos de interesse dessa estratégia é que ela reduz o problema a um problema matemático polinomial. A matemática baseada em variáveis ​​pode ficar desordenada de vez em quando, no entanto, para a maioria dos problemas, ela não será terrivelmente problemática. Outra coisa decente sobre este sistema é que o arranjo correspondente não será inequivocamente necessário, embora, como veremos, as informações do arranjo recíproco serão necessárias de vez em quando, portanto, em geral, descobriremos isso também. Existem dois inconvenientes neste sistema. Para começar, ele funcionará para uma classe genuinamente pequena de g (t) & # 8217s. A classe de g (t) para a qual a técnica funciona, incorpora uma porcentagem das capacidades mais básicas; no entanto, existem inúmeras capacidades por aí para as quais coeficientes indeterminados simplesmente não funcionam. Em segundo lugar, é em geral útil para declarações matemáticas diferenciais de coeficientes consistentes.

A técnica é verdadeiramente direta. Tudo o que temos a fazer é dar uma olhada em g (t) e fazer uma especulação quanto ao tipo de YP (t) deixando o (s) coeficiente (s) indeterminado (e, portanto, o nome do sistema). Insira a conjectura na declaração matemática diferencial e verifique se podemos enfocar as estimativas dos coeficientes. No caso de podermos focalizar valores para os coeficientes, então especulamos com eficácia, na chance remota de não podermos descobrir qualidades para os coeficientes, então especulamos de forma imprecisa.

vamos pular para o exemplo:

O objetivo aqui é encontrar uma solução específica, no entanto, a primeira coisa que vamos fazer é encontrar a solução complementar para esta equação diferencial. Lembre-se de que a solução complementar vem da resolução,

A equação característica para esta equação diferencial e suas raízes são.

A solução complementar é então,

A técnica é verdadeiramente direta. Tudo o que temos a fazer é dar uma olhada em g (t) e fazer uma especulação quanto ao tipo de YP (t) deixando o (s) coeficiente (s) indeterminado (e, portanto, o nome do sistema). Insira a conjectura na declaração matemática diferencial e verifique se podemos enfocar as estimativas dos coeficientes. No caso de podermos focalizar valores para os coeficientes, então especulamos com eficácia, na chance remota de não podermos descobrir qualidades para os coeficientes, então especulamos de forma imprecisa.

Agora, que tal continuarmos descobrindo um arranjo específico. Conforme dito no início deste caso, temos que fazer uma suposição quanto ao tipo de resposta específica para este enunciado matemático diferencial. Como g (t) é um exponencial e percebemos que os exponenciais nunca simplesmente aparecem ou desaparecem no processo de separação, parece que um tipo possível de arranjo específico seria.

Agora, tudo o que precisamos fazer é fazer algumas derivadas, conectar isso na equação diferencial e ver se podemos determinar o que UMA precisa ser.

Conectar-se à equação diferencial dá

Portanto, para que nosso palpite seja uma solução, precisaremos escolher UMA de modo que os coeficientes das exponenciais em ambos os lados do sinal de igual são os mesmos. Em outras palavras, precisamos escolher UMA de modo a,

Ok, encontramos um valor para o coeficiente. Isso significa que adivinhamos corretamente. Uma solução particular para a equação diferencial é, então,

Antes de continuar, devemos novamente observar que começamos o arranjo acima, descobrindo o arranjo correspondente. Na verdade, isso não faz parte da técnica para coeficientes indeterminados, por outro lado, como veremos a longo prazo, ter isso sob controle antes de fazermos nossa suposição para o arranjo específico pode nos poupar muito trabalho e / ou enxaqueca . Descobrir primeiro o arranjo correspondente é basicamente uma propensão decente de se ter.

Sabemos que a solução geral será a forma,

Dessa forma, exigimos a resposta geral para a comparação diferencial não homogênea. Tomando o arranjo integral e o arranjo específico que encontramos no caso anterior, obtemos o acompanhamento para um arranjo geral e seus derivados.

Agora, aplique as condições iniciais a eles.

Resolver este sistema dá c1 = 2 e c2 = 1. A solução real é então.

aqui estão alguns links da Khan Academy para ajudar a esclarecer a teoria:


Resolvendo um sistema linear não homogêneo de equações diferenciais de intervalo

Na maioria dos problemas de aplicação, os valores exatos dos parâmetros de entrada são desconhecidos, mas os intervalos em que esses valores se encontram podem ser determinados. Em tais problemas, a dinâmica do sistema é descrita por uma equação diferencial com valor de intervalo. Neste estudo, apresentamos uma nova abordagem para sistemas não homogêneos de equações diferenciais de intervalo. Consideramos equações diferenciais lineares com coeficientes reais, mas com valores iniciais de intervalo e termos de força que são conjuntos de funções reais. Para cada termo de força, assumimos que essas funções reais sejam distribuídas linearmente entre duas funções reais fornecidas. Buscamos soluções não como um vetor de funções com valor de intervalo, como de costume, mas como um conjunto de funções vetoriais reais. Desenvolvemos um método para encontrar a solução e estabelecer um teorema de existência e unicidade. Explicamos nossa abordagem e método de solução por meio de um exemplo ilustrativo. Além disso, demonstramos as vantagens da abordagem proposta sobre a abordagem de inclusão diferencial e a abordagem de diferenciabilidade generalizada.

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17.2: Equações lineares não homogêneas

Agora precisamos abordar os sistemas não homogêneos brevemente. Ambos os métodos que examinamos no capítulo sobre equações diferenciais de segunda ordem também podem ser usados ​​aqui. Como veremos, Coeficientes Indeterminados é quase idêntico quando usado em sistemas, enquanto Variação de Parâmetros precisará ter uma nova fórmula derivada, mas será um pouco mais fácil quando aplicada a sistemas.

Coeficientes Indeterminados

O método de coeficientes indeterminados para sistemas é praticamente idêntico ao caso da equação diferencial de segunda ordem. A única diferença é que os coeficientes precisarão ser vetores agora.

Vamos dar uma rápida olhada em um exemplo.

Já temos a solução complementar, pois resolvemos essa parte na seção de autovalores reais. Isto é,

Adivinhar a forma de uma solução específica funcionará exatamente da mesma maneira que funcionava quando vimos esse método pela primeira vez. Temos um polinômio linear e, portanto, nossa estimativa precisará ser um polinômio linear. A única diferença é que os “coeficientes” precisarão ser vetores em vez de constantes. A solução específica terá a forma,

Então, precisamos diferenciar o palpite

Antes de conectar ao sistema, vamos simplificar um pouco a notação para ajudar em nosso trabalho. Vamos escrever o sistema como,

Isso tornará o trabalho a seguir um pouco mais fácil. Agora, vamos conectar coisas ao sistema.

[começar vec a & = A left ( direita) + t vec g vec a & = tA vec a + A vec b + t vec g vec 0 & = t left ( direita) + esquerda ( right) end]

Agora precisamos definir os coeficientes iguais. Fazer isso dá,

Agora, apenas ( vec a ) é desconhecido na primeira equação, então podemos usar a eliminação Gaussiana para resolver o sistema. Vamos deixar esse trabalho para você verificar.

Agora que sabemos ( vec a ), podemos resolver a segunda equação para ( vec b ).

Então, uma vez que fomos capazes de resolver as duas equações, a solução particular é, então,

A solução geral é então,

Então, como você pode ver, os coeficientes indeterminados são quase os mesmos da primeira vez que vimos. O trabalho de resolução das “constantes” é um pouco mais confuso.

Variação de Parâmetros

Nesse caso, precisaremos derivar uma nova fórmula para variação de parâmetros para sistemas. A derivação desta vez será muito mais simples do que quando vimos a variação de parâmetros pela primeira vez.

Primeiro seja (X (t) ) uma matriz cujo (i ^ < text> ) coluna é o (i ^ < text> ) solução linearmente independente para o sistema,

Agora pode ser mostrado que (X (t) ) será uma solução para a seguinte equação diferencial.

Isso nada mais é do que o sistema original com a matriz no lugar do vetor original.

Vamos tentar encontrar uma solução específica para

[ vec x '= A vec x + vec g left (t right) ]

Vamos supor que podemos encontrar uma solução para o formulário,

[< vec x_P> = X esquerda (t direita) , vec v esquerda (t direita) ]

onde precisaremos determinar o vetor ( vec v left (t right) ). Para fazer isso, precisaremos conectá-lo ao sistema não homogêneo. Não se esqueça de definir a regra de produto da solução particular ao conectar a suposição ao sistema.

[X ', vec v + X , vec v' = A , X , vec v + vec g ]

Observe que eliminamos a parte ( left (t right) ) das coisas para simplificar um pouco a notação. Agora usando ( eqref) podemos reescrever isso um pouco.

[começarX ', vec v + X , vec v' & = X ', vec v + vec g X , vec v' & = vec g end]

Como formamos (X ) usando soluções linearmente independentes, sabemos que ( det (X) ) deve ser diferente de zero e isso significa que podemos encontrar o inverso de (X ). Portanto, multiplique ambos os lados pelo inverso de (X ).

Agora tudo o que precisamos fazer é integrar os dois lados para obter ( vec v left (t right) ).

[, vec v left (t right) = int <<> vec g , dt >> ]

Como no caso da equação diferencial de segunda ordem, podemos ignorar quaisquer constantes de integração.A solução particular é então,

Vamos trabalhar um exemplo rápido usando isso.

Encontramos a solução complementar para este sistema na seção de autovalores reais. Isto é,

Agora, precisamos encontrar o inverso dessa matriz. Vimos como encontrar inversos de matrizes na segunda seção de revisão de álgebra linear e o processo é o mesmo aqui, embora não tenhamos entradas constantes. Deixaremos os detalhes para você verificar.

Agora faça a multiplicação na integral.

Lembre-se de que para integrar uma matriz ou vetor basta integrar as entradas individuais.

Agora podemos obter a solução específica.

A solução geral é então,

Portanto, parte do trabalho pode ser um pouco confuso, mas no geral não é tão ruim.

Vimos dois métodos de resolução de equações diferenciais não homogêneas aqui e, embora o trabalho possa ser um pouco confuso, eles não são tão ruins. Claro, também mantivemos a parte não homogênea bastante simples aqui. Problemas mais complicados terão uma quantidade significativa de trabalho envolvido.


Resolvendo Sistemas de Equações Lineares

Enquanto Mathematica tem um comando dedicado LinearSolve [A, b] para resolver a equação vetorial Machado = b, resumimos as informações que obtivemos até agora de duas seções anteriores (eliminação de Gauss e eliminação de Gauss-Jordan).

Um sistema linear de m equações em n desconhecidos x1, x2, . , xn é expresso como

Corolário: Se m & lt n, o sistema Machado = 0 tem uma solução diferente de zero.

Exemplo: Resolvendo o sistema de equações 2 × 3

Teorema: Deixar UMA ser uma matriz M & timesn e b feijão m-vetor. A equação do vetor linear Machado = b tem uma solução se e somente se b é ortogonal a cada solução y (então é produto escalar b & sdot y = 0 é zero) da equação homogênea UMA * y = 0, Onde UMA & ast é a matriz n & timesm obtida de UMA por transposição e tomando conjugado complexo. Lembre-se disso UMA * é chamada de matriz adjunta para UMA.

  • (Caso sobredeterminado) Se m & ge n, então o sistema linear Machado = b é consistente para pelo menos um vetor b em & reais m.
  • (Caso Subdeterminado) Se m & le n, então para cada vetor b em & reais no sistema linear Machado = b é inconsistente ou tem infinitas soluções.

Teorema: Um me vezesn sistema linear Machado = b em variáveis x1, x2, . , xn é consistente (ou seja, tem uma solução) para todos b& isin & reals m se e somente se a forma de escalão reduzido de UMA tem m pivôs.

Suponha, portanto, que a forma escalonada de linha reduzida (usamos a forma reduzida em vez da forma escalonada para simplificar porque não importa) B da matriz aumentada tem m pivôs. Então o m-ésima linha de B é da forma


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47 Equações lineares de segunda ordem

Ao trabalhar com equações diferenciais, geralmente o objetivo é encontrar uma solução. Em outras palavras, queremos encontrar uma função (ou funções) que satisfaça a equação diferencial. A técnica que usamos para encontrar essas soluções varia, dependendo da forma da equação diferencial com a qual estamos trabalhando. As equações diferenciais de segunda ordem têm várias características importantes que podem nos ajudar a determinar qual método de solução usar. Nesta seção, examinamos algumas dessas características e a terminologia associada.

Equações Lineares Homogêneas

Considere a equação diferencial de segunda ordem

Notar que y e seus derivados aparecem de uma forma relativamente simples. Eles são multiplicados por funções de x, mas não são elevados a quaisquer poderes próprios, nem são multiplicados juntos. Conforme discutido na Introdução às Equações Diferenciais, as equações de primeira ordem com características semelhantes são consideradas lineares. O mesmo é verdade para equações de segunda ordem. Observe também que todos os termos nesta equação diferencial envolvem y ou um de seus derivados. Não existem termos envolvendo apenas funções de x. Equações como esta, em que cada termo contém y ou um de seus derivados, são chamados de homogêneos.

Nem todas as equações diferenciais são homogêneas. Considere a equação diferencial

O termo do lado direito do sinal de igual não contém y ou qualquer um de seus derivados. Portanto, essa equação diferencial não é homogênea.

Uma equação diferencial de segunda ordem é linear se pode ser escrita na forma

Onde e são funções com valor real e não é identicamente zero. Se - em outras palavras, se para cada valor de x—A equação é considerada uma equação linear homogênea. Se por algum valor de a equação é considerada uma equação linear não homogênea.

Visite este site para estudar mais sobre as equações diferenciais lineares de segunda ordem.

Em equações diferenciais lineares, e seus derivados podem ser elevados apenas à primeira potência e não podem ser multiplicados um pelo outro. Termos envolvendo ou tornar a equação não linear. Funções de e seus derivados, como ou são igualmente proibidos em equações diferenciais lineares.

Observe que as equações nem sempre podem ser fornecidas na forma padrão (a forma mostrada na definição). Pode ser útil reescrevê-los dessa forma para decidir se são lineares ou se uma equação linear é homogênea.

Classifique cada uma das seguintes equações como linear ou não linear. Se a equação for linear, determine posteriormente se ela é homogênea ou não homogênea.

  1. Esta equação não é linear devido ao prazo.
  2. Esta equação é linear. Não há termo envolvendo um poder ou função de e os coeficientes são todas funções de A equação já está escrita na forma padrão, e é igual a zero, então a equação é homogênea.
  3. Esta equação não é linear. Observe que, neste caso, x é a variável dependente e t é a variável independente. O segundo termo envolve o produto de e portanto, a equação não é linear.
  4. Esta equação é linear. Desde a equação não é homogênea.
  5. Esta equação não é linear, devido ao prazo.
  6. Esta equação é linear. Reescrevê-lo na forma padrão dá

Visite este site que discute as equações diferenciais de segunda ordem.

Classifique cada uma das seguintes equações como linear ou não linear. Se a equação for linear, determine posteriormente se ela é homogênea ou não homogênea.

Escreva a equação na forma padrão, se necessário. Verifique os poderes ou funções de e seus derivados.

Mais adiante nesta seção, veremos algumas técnicas para resolver tipos específicos de equações diferenciais. Antes de chegarmos a isso, no entanto, vamos ter uma ideia de como as soluções para equações diferenciais lineares se comportam. Em muitos casos, a resolução de equações diferenciais depende de fazer suposições fundamentadas sobre a aparência da solução. Saber como vários tipos de soluções se comportam será útil.

Considere a equação diferencial linear homogênea

Olhando para esta equação, observe que as funções de coeficiente são polinômios, com potências superiores de associado a derivados de ordem superior de Mostra isso é uma solução para esta equação diferencial.

Deixar Então e Substituindo na equação diferencial, vemos que

Mostra isso é uma solução para a equação diferencial

Calcule as derivadas e substitua-as na equação diferencial.

Embora simplesmente encontrar qualquer solução para uma equação diferencial seja importante, matemáticos e engenheiros muitas vezes querem ir além de encontrar 1 solução para uma equação diferencial para encontrar tudo soluções para uma equação diferencial. Em outras palavras, queremos encontrar uma solução geral. Assim como com as equações diferenciais de primeira ordem, uma solução geral (ou família de soluções) fornece todo o conjunto de soluções para uma equação diferencial. Uma diferença importante entre as equações de primeira e segunda ordem é que, com as equações de segunda ordem, normalmente precisamos encontrar duas soluções diferentes para a equação para encontrar a solução geral. Se encontrarmos duas soluções, então qualquer combinação linear dessas soluções também é uma solução. Declaramos esse fato como o seguinte teorema.

Se e são soluções para uma equação diferencial homogênea linear, então a função

Onde e são constantes, também é uma solução.

A prova desse teorema do princípio da superposição é deixada como um exercício.

Considere a equação diferencial

Dado que e são soluções para esta equação diferencial, mostram que é uma solução.

Desse modo, é uma solução.

Considere a equação diferencial

Dado que e são soluções para esta equação diferencial, mostram que é uma solução.

Diferencie a função e substitua na equação diferencial.

Infelizmente, para encontrar a solução geral para uma equação diferencial de segunda ordem, não é suficiente encontrar duas soluções e combiná-las. Considere a equação diferencial

Ambos e são soluções (marque isso). No entanto, é não a solução geral. Esta expressão não leva em conta todas as soluções da equação diferencial. Em particular, não leva em conta a função que também é uma solução para a equação diferencial.

Acontece que, para encontrar a solução geral para uma equação diferencial de segunda ordem, devemos encontrar duas soluções linearmente independentes. Definimos essa terminologia aqui.

Um conjunto de funções é dito ser linearmente dependente se houver constantes nem todos zero, tal que para todos x ao longo do intervalo de interesse. Um conjunto de funções que não é linearmente dependente é considerado linearmente independente.

Neste capítulo, geralmente testamos conjuntos de apenas duas funções para independência linear, o que nos permite simplificar essa definição. De uma perspectiva prática, vemos que duas funções são linearmente dependentes se uma delas for idêntica a zero ou se forem múltiplos constantes uma da outra.

Primeiro, mostramos que, se as funções atendem às condições fornecidas anteriormente, elas são linearmente dependentes. Se uma das funções for idêntica a zero - digamos, -então escolha e e a condição para dependência linear é satisfeita. Se, por outro lado, nenhum nem é identicamente zero, mas por alguma constante então escolha e e novamente, a condição é satisfeita.

A seguir, mostramos que, se duas funções são linearmente dependentes, ou uma é igual a zero ou são múltiplos constantes uma da outra. Presumir e são linearmente independentes. Então, existem constantes, e não ambos zero, de modo que

para todos x ao longo do intervalo de interesse. Então,

Agora, uma vez que afirmamos que e não podem ser ambos zero, assuma Então, há dois casos: ou Se então

portanto, uma das funções é idêntica a zero. Agora suponha Então,

e vemos que as funções são múltiplos constantes uma da outra.

Duas funções, e são considerados linearmente dependentes se um deles for igual a zero ou se por alguma constante C e para todos x ao longo do intervalo de interesse. Funções que não são linearmente dependentes são consideradas Linearmente independente.

Determine se os seguintes pares de funções são linearmente dependentes ou linearmente independentes.

  1. então as funções são linearmente dependentes.
  2. Não há constante C de tal modo que portanto, as funções são linearmente independentes.
  3. Não há constante C de tal modo que portanto, as funções são linearmente independentes. Não se confunda com o fato de que os expoentes são múltiplos constantes uns dos outros. Com duas funções exponenciais, a menos que os expoentes sejam iguais, as funções são linearmente independentes.
  4. Não há constante C de tal modo que portanto, as funções são linearmente independentes.

Determine se os seguintes pares de funções são linearmente dependentes ou linearmente independentes:

As funções são múltiplos constantes uma da outra?

Se formos capazes de encontrar duas soluções linearmente independentes para uma equação diferencial de segunda ordem, podemos combiná-las para encontrar a solução geral. Este resultado é formalmente declarado no seguinte teorema.

Se e são soluções linearmente independentes para uma equação diferencial homogênea de segunda ordem, então a solução geral é dada por

Onde e são constantes.

Quando dizemos que uma família de funções é a solução geral para uma equação diferencial, queremos dizer que (1) toda expressão dessa forma é uma solução e (2) toda solução para a equação diferencial pode ser escrita dessa forma, o que torna isso teorema extremamente poderoso. Se pudermos encontrar duas soluções linearmente independentes para uma equação diferencial, temos, efetivamente, encontrado tudo soluções para a equação diferencial - uma afirmação bastante notável. A prova desse teorema está além do escopo deste texto.

Se e são soluções para qual é a solução geral?

Observe que e não são múltiplos constantes um do outro, portanto, são linearmente independentes. Então, a solução geral para a equação diferencial é

Se e são soluções para qual é a solução geral?

Verifique primeiro a independência linear.

Equações de segunda ordem com coeficientes constantes

Agora que temos uma melhor noção das equações diferenciais lineares, vamos nos concentrar na solução de equações de segunda ordem do formulário

Onde e são constantes.

Como todos os coeficientes são constantes, as soluções provavelmente serão funções com derivadas que são múltiplos constantes de si mesmas. Precisamos de todos os termos para cancelar, e se tomar uma derivada introduz um termo que não é um múltiplo constante da função original, é difícil ver como esse termo se cancela. Funções exponenciais têm derivadas que são múltiplos constantes da função original, então vamos ver o que acontece quando tentamos uma solução da forma Onde (a letra grega minúscula lambda) é alguma constante.

Se então e Substituindo essas expressões em (Figura), obtemos

Desde nunca é zero, esta expressão pode ser igual a zero para todos x somente se

Chamamos isso de equação característica da equação diferencial.

A equação característica da equação diferencial é

A equação característica é muito importante para encontrar soluções para equações diferenciais desta forma. Podemos resolver a equação característica fatorando ou usando a fórmula quadrática

Isso dá três casos. A equação característica tem (1) raízes reais distintas (2) uma única raiz real repetida ou (3) raízes conjugadas complexas. Consideramos cada um desses casos separadamente.

Raízes reais distintas

Se a equação característica tem raízes reais distintas e então e são soluções linearmente independentes para (Figura), e a solução geral é dada por

Onde e são constantes.

Por exemplo, a equação diferencial tem a equação característica associada Isso influencia em que tem raízes e Portanto, a solução geral para esta equação diferencial é

Raiz real repetida única

As coisas são um pouco mais complicadas se a equação característica tiver uma raiz real repetida, Neste caso, nós sabemos é uma solução para (Figura), mas é apenas uma solução e precisamos de duas soluções linearmente independentes para determinar a solução geral. Podemos ser tentados a tentar uma função da forma Onde k é alguma constante, mas não seria linearmente independente de Portanto, vamos tentar como a segunda solução. Primeiro, observe que pela fórmula quadrática,

Mas, é uma raiz repetida, então e Portanto, se temos

Substituindo essas expressões em (Figura), vemos que

Isto mostra que é uma solução para (Figura). Desde e são linearmente independentes, quando a equação característica tem uma raiz repetida a solução geral para (Figura) é dada por

Onde e são constantes.

Por exemplo, a equação diferencial tem a equação característica associada Isso influencia em que tem uma raiz repetida Portanto, a solução geral para esta equação diferencial é

Raízes Conjugadas Complexas

O terceiro caso que devemos considerar é quando Nesse caso, quando aplicamos a fórmula quadrática, estamos obtendo a raiz quadrada de um número negativo. Devemos usar o número imaginário para encontrar as raízes, que tomam a forma e O número complexo é chamado de conjugado do Assim, vemos que quando as raízes de nossa equação característica são sempre conjugados complexos.

Isso cria um pequeno problema para nós. Se seguirmos o mesmo processo que usamos para raízes reais distintas - usando as raízes da equação característica como os coeficientes nos expoentes das funções exponenciais - obtemos as funções e como nossas soluções. No entanto, existem problemas com essa abordagem. Primeiro, essas funções assumem valores complexos (imaginários), e uma discussão completa de tais funções está além do escopo deste texto. Em segundo lugar, mesmo que estivéssemos confortáveis ​​com funções de valor complexo, neste curso não abordamos a ideia de uma derivada para tais funções. Então, se possível, gostaríamos de encontrar dois linearmente independentes valor real soluções para a equação diferencial. Para fins deste desenvolvimento, vamos manipular e diferenciar as funções e como se fossem funções de valor real. Para essas funções específicas, essa abordagem é válida matematicamente, mas esteja ciente de que há outras instâncias em que as funções de valor complexo não seguem as mesmas regras que as funções de valor real. Aqueles de vocês interessados ​​em uma discussão mais aprofundada das funções de valor complexo devem consultar um texto de análise complexo.

Baseado nas raízes da equação característica, as funções e são soluções linearmente independentes para a equação diferencial. e a solução geral é dada por

Usando algumas escolhas inteligentes para e e um pouco de manipulação algébrica, podemos encontrar duas soluções de valor real linearmente independentes para (Figura) e expressar nossa solução geral nesses termos.

Encontramos funções exponenciais com expoentes complexos anteriormente. Uma das principais ferramentas que usamos para expressar essas funções exponenciais em termos de senos e cossenos foi a fórmula de Euler, que nos diz que

para todos os números reais

Voltando à solução geral, temos

Aplicando a fórmula de Euler junto com as identidades e Nós temos

Agora, se escolhermos o segundo termo é zero e obtemos

como uma solução de valor real para (Figura). Da mesma forma, se escolhermos e o primeiro termo é zero e obtemos

como uma segunda solução de valor real linearmente independente para (Figura).

Com base nisso, vemos que se a equação característica tem raízes conjugadas complexas então a solução geral para (Figura) é dada por

Onde e são constantes.

Por exemplo, a equação diferencial tem a equação característica associada Pela fórmula quadrática, as raízes da equação característica são Portanto, a solução geral para esta equação diferencial é

Resumo dos Resultados

Podemos resolver equações diferenciais homogêneas lineares de segunda ordem com coeficientes constantes, encontrando as raízes da equação característica associada. A forma da solução geral varia, dependendo se a equação característica tem raízes reais distintas, uma única raiz real repetida ou raízes conjugadas complexas. Os três casos estão resumidos em (Figura).

Resumo dos Casos de Equação Característica
Raízes da equação característica Solução Geral para a Equação Diferencial
Raízes reais distintas, e Uma raiz real repetida, Raízes conjugadas complexas

  1. Escreva a equação diferencial no formulário
  2. Encontre a equação característica correspondente
  3. Fatorar a equação característica ou usar a fórmula quadrática para encontrar as raízes.
  4. Determine a forma da solução geral com base no fato de a equação característica ter raízes reais distintas, uma única raiz real repetida ou raízes conjugadas complexas.

Encontre a solução geral para as seguintes equações diferenciais. Dê suas respostas como funções de x.

Observe que todas essas equações já são fornecidas na forma padrão (etapa 1).

    A equação característica é (passo 2). Isso influencia em então as raízes da equação característica são e (etapa 3). Então, a solução geral para a equação diferencial é

Encontre a solução geral para as seguintes equações diferenciais:

Encontre as raízes da equação característica.

Problemas de valor inicial e problemas de valor limite

Até agora, temos encontrado soluções gerais para equações diferenciais. Entretanto, as equações diferenciais são freqüentemente usadas para descrever sistemas físicos, e a pessoa que estuda esse sistema físico geralmente sabe algo sobre o estado desse sistema em um ou mais pontos no tempo. Por exemplo, se uma equação diferencial de coeficiente constante está representando o quanto um amortecedor de motocicleta é comprimido, podemos saber que o motociclista está sentado imóvel em sua motocicleta no início de uma corrida, tempo Isso significa que o sistema está em equilíbrio, então e a compressão do amortecedor não muda, então Com essas duas condições iniciais e a solução geral para a equação diferencial, podemos encontrar o específico solução para a equação diferencial que satisfaça ambas as condições iniciais. Este processo é conhecido como resolvendo um problema de valor inicial. (Lembre-se de que discutimos problemas de valor inicial em Introdução às equações diferenciais.) Observe que as equações de segunda ordem têm duas constantes arbitrárias na solução geral e, portanto, exigimos duas condições iniciais para encontrar a solução para o problema de valor inicial.

Às vezes, conhecemos a condição do sistema em dois momentos diferentes. Por exemplo, podemos saber e Essas condições são chamadas de condições de contorno, e encontrar a solução para a equação diferencial que satisfaça as condições de contorno é chamado de resolução de um problema de valor de contorno.

Matemáticos, cientistas e engenheiros estão interessados ​​em compreender as condições sob as quais um problema de valor inicial ou um problema de valor limite tem uma solução única. Embora um tratamento completo deste tópico esteja além do escopo deste texto, é útil saber que, dentro do contexto de coeficientes constantes, equações de segunda ordem, problemas de valor inicial têm garantia de ter uma solução única, desde que dois as condições iniciais são fornecidas. Problemas de valor limite, no entanto, não são tão bem comportados. Mesmo quando duas condições de contorno são conhecidas, podemos encontrar problemas de valor de contorno com soluções únicas, muitas soluções ou nenhuma solução.

Resolva o seguinte problema de valor inicial:

Já resolvemos essa equação diferencial na (Figura) a. e descobri que a solução geral é

Quando temos e Aplicando as condições iniciais, temos

Então Substituindo esta expressão na segunda equação, vemos que

Então, e a solução para o problema do valor inicial é

Resolva o problema do valor inicial

Use as condições iniciais para determinar os valores para e

Resolva o seguinte problema de valor inicial e represente graficamente a solução:

Já resolvemos essa equação diferencial na (Figura) b. e descobri que a solução geral é

Quando temos e Aplicando as condições iniciais, obtemos

Portanto, e a solução para o problema do valor inicial é mostrada no gráfico a seguir.

Resolva o seguinte problema de valor inicial e represente graficamente a solução:


Use as condições iniciais para determinar os valores para e

O seguinte problema de valor inicial modela a posição de um objeto com massa anexada a uma mola. Os sistemas de massa da mola são examinados em detalhes em Aplicativos. A solução para a equação diferencial fornece a posição da massa em relação a uma posição neutra (equilíbrio) (em metros) em qualquer momento. (Observe que para sistemas de massa de mola deste tipo, é comum definir a direção descendente como positiva.)

Resolva o problema do valor inicial e represente graficamente a solução. Qual é a posição da massa no momento seg? Quão rápido a massa está se movendo no tempo seg? Em que direção?

Em (Figura) c. descobrimos que a solução geral para esta equação diferencial é

Quando temos e Aplicando as condições iniciais, obtemos

Desse modo, e a solução para o problema do valor inicial é

Esta solução é representada no gráfico a seguir. No tempo a massa está na posição m abaixo do equilíbrio.

Para calcular a velocidade no tempo precisamos encontrar a derivada. Nós temos assim

Então No tempo a massa está se movendo para cima a 0,3679 m / s.

Suponha que o seguinte problema de valor inicial modele a posição (em pés) de uma massa em um sistema de massa-mola em um determinado momento. Resolva o problema do valor inicial e represente graficamente a solução. Qual é a posição da massa no momento seg? Quão rápido está se movendo no tempo seg? Em que direção?



No tempo A massa está 0,0367 pés abaixo do equilíbrio. No tempo A massa está se movendo para baixo a uma velocidade de 0,1490 pés / seg.

Use as condições iniciais para determinar os valores para e

Em (Figura) f. nós resolvemos a equação diferencial e descobri que a solução geral é Se possível, resolva o problema do valor limite se as condições de limite forem as seguintes:

  1. Aplicando a primeira condição de contorno dada aqui, obtemos Portanto, a solução está na forma Quando aplicamos a segunda condição de contorno, porém, obtemos para todos os valores de As condições de contorno não são suficientes para determinar um valor para portanto, esse problema de valor limite tem infinitas soluções. Desse modo, é uma solução para qualquer valor de
  2. Aplicando a primeira condição de contorno dada aqui, obtemos A aplicação da segunda condição de contorno dá assim Nesse caso, temos uma solução única:
  3. Aplicando a primeira condição de contorno dada aqui, obtemos No entanto, a aplicação da segunda condição de contorno dá assim Não podemos ter portanto, este problema de valor limite não tem solução.

Conceitos chave

  • As equações diferenciais de segunda ordem podem ser classificadas como lineares ou não lineares, homogêneas ou não homogêneas.
  • Para encontrar uma solução geral para uma equação diferencial homogênea de segunda ordem, devemos encontrar duas soluções linearmente independentes. Se e são soluções linearmente independentes para uma equação diferencial homogênea de segunda ordem, então a solução geral é dada por

Equações Chave

  • Equação diferencial linear de segunda ordem
  • Equação de segunda ordem com coeficientes constantes

Classifique cada uma das seguintes equações como linear ou não linear. Se a equação for linear, determine se ela é homogênea ou não homogênea.

Para cada um dos problemas a seguir, verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. Use um utilitário gráfico para representar graficamente as soluções específicas para vários valores de c1 e c2. O que as soluções têm em comum?

[T]

[T]

[T]

[T]

Encontre a solução geral para a equação diferencial linear.

Resolva o problema do valor inicial.

Resolva o problema do valor limite, se possível.

Encontre uma equação diferencial com uma solução geral que seja

Encontre uma equação diferencial com uma solução geral que seja

Para cada uma das seguintes equações diferenciais:

  1. Resolva o problema do valor inicial.
  2. [T] Use um utilitário gráfico para representar graficamente a solução particular.

uma.
b.

uma.
b.

(Princípio da superposição) Prove que se e são soluções para uma equação diferencial homogênea linear, então a função Onde e são constantes, também é uma solução.

Prove que se a, b, e c são constantes positivas, então todas as soluções para a equação diferencial linear de segunda ordem aproximar-se de zero como (Dica: Considere três casos: duas raízes distintas, raízes reais repetidas e raízes conjugadas complexas.)

Glossário

condições de contorno as condições que fornecem o estado de um sistema em momentos diferentes, como a posição de um sistema de massa de mola em dois tempos diferentes problema de valor de contorno uma equação diferencial com condições de contorno associadas equação característica a equação para a equação diferencial equação linear homogênea uma equação diferencial de segunda ordem que pode ser escrita na forma mas para cada valor de equação linear não homogênea uma equação diferencial de segunda ordem que pode ser escrita na forma mas por algum valor de linearmente dependente de um conjunto de funções para o qual existem constantes nem todos zero, tal que para todos x no intervalo de interesse linearmente independente de um conjunto de funções para o qual não há constantes de tal modo que para todos x no intervalo de interesse

1 resposta 1

Porque $ sin (x) $ e $ cos (x) $ resolvem a equação homogênea, você não tenta soluções $ y_p (x) = A cos (x) + B sin (x) $ quando o direito lado da mão é um múltiplo de $ sin (x) $ ou $ cos (x) $.

Em vez disso, você conta a multiplicidade $ m $ da raiz $ i $ do polinômio característico $ r (r + i) ^ 2 (ri) ^ 2 $, neste caso $ 2 $, e usa $ y_p (x) = Ax ^ m cos (x) + Bx ^ m sin (x) = Ax ^ 2 cos (x) + Bx ^ 2 sin (x) $ Os cálculos podem ser irritantes, mas você eventualmente será capaz de resolver para $ A $ e $ B $.

Outra coisa que você pode fazer é tentar $ y_p (x) = Ax ^ 2e ^$ e resolva para $ A $. A parte real disso dará a solução particular para $ cos (x) $ no lado direito, e a parte imaginária dará a solução particular para $ sin (x) $. Os cálculos provavelmente serão muito mais fáceis. Observe que $ A $ será um número complexo desta vez.


Equação diferencial não homogênea de 2ª ordem

Ninguém pode ajudá-lo a descobrir o que você está fazendo de errado, a menos que você nos mostre o que realmente tentou.

De qualquer forma, como alternativa ao método dos coeficientes indeterminados, você pode tentar o método da variação dos parâmetros. Veja, por exemplo,
http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/DE/VariationofParameters.aspx

Encontrar uma solução particular com coeficiente indeterminado:

Anexos

Ninguém pode ajudá-lo a descobrir o que você está fazendo de errado, a menos que nos mostre o que realmente tentou.

De qualquer forma, como alternativa ao método dos coeficientes indeterminados, você pode tentar o método da variação dos parâmetros. Veja, por exemplo,
http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/DE/VariationofParameters.aspx

Justo.
Começando com minha forma assumida de uma equação particular:
y = e ^ (- 2t) * (At + B)
y '= - 2e ^ (- 2t) (At + B) + A * e ^ (- 2t)
y '' = 4e ^ (- 2t) (At + B) -4Ae ^ (- 2t)

Conectando tudo isso de volta à equação diferencial original:
e ^ (- 2t) * (4At + 4B-4A-8At-8B + 4A + 4At + 4B) = e ^ (- 2t) * t
4At + 4B-4A-8At-8B + 4A + 4At + 4B = t + 0
O problema é que não posso igualar termos semelhantes porque tudo se cancela, algo que me disseram que nunca deveria acontecer se o lado direito de uma equação não homogênea de coeficiente constante de segunda ordem estiver na forma aqui. O que deu errado? Estou cometendo um erro aritmético ou uma de minhas suposições está errada?

PS: Eu achei a resposta correta usando variação de parâmetros, o que me frustra é que eu não deveria ter que usar neste caso e eu não entendo porque eu aparentemente preciso.


17.2: Equações lineares não homogêneas

O Mundo das Equações Matemáticas

A. D. Polyanin e A. V. Manzhirov, Manual de matemática para engenheiros e cientistas, Chapman & amp Hall / CRC Press, 2006

17. Equações de diferença e outras equações funcionais

  • 17,1. Equações de diferença de argumento inteiro
    • 17.1.1. Equações de diferença linear de primeira ordem do argumento inteiro
    • 17.1.2. Equações de diferença não lineares de primeira ordem do argumento inteiro
    • 17.1.3. Equações de diferença linear de segunda ordem com coeficientes constantes
    • 17.1.4. Equações de diferença linear de segunda ordem com coeficientes variáveis
    • 17.1.5. Equações de diferença linear de ordem arbitrária com coeficientes constantes
    • 17.1.6. Equações de diferença linear de ordem arbitrária com coeficientes variáveis
    • 17.1.7. Equações de diferença não lineares de ordem arbitrária
    • 17.2.1. Equações de diferença linear de primeira ordem
    • 17.2.2. Equações de diferença linear de segunda ordem com diferenças inteiras
    • 17.2.3. Linear m Equações de diferença de ordem com diferenças inteiras
    • 17.2.4. Linear m Equações de diferença de ordem com diferenças arbitrárias
    • 17.3.1. Iterações de funções e suas propriedades
    • 17.3.2. Equações funcionais homogêneas lineares
    • 17.3.3. Equações funcionais lineares não homogêneas
    • 17.3.4. Equações funcionais lineares redutíveis para equações de diferença linear com coeficientes constantes
    • 17.4.1. Equações de diferença não lineares com uma única variável
    • 17.4.2. Equações Funcionais Recíprocas (Cíclicas)
    • 17.4.3. Equações funcionais não lineares redutíveis a equações de diferença
    • 17.4.4. Solução Power Series de Equações Funcionais Não Lineares
    • 17.5.1. Método de diferenciação em um parâmetro
    • 17.5.2. Método de diferenciação em variáveis ​​independentes
    • 17.5.3. Método de substituição de valores particulares de argumentos independentes
    • 17.5.4. Método de eliminação de argumentos por funções de teste
    • 17.5.5. Equações funcionais bilineares e equações funcionais não lineares redutíveis a equações bilineares

    O site EqWorld apresenta informações abrangentes sobre soluções para várias classes de equações diferenciais ordinárias, equações diferenciais parciais, equações integrais, equações funcionais e outras equações matemáticas.


    Assista o vídeo: EDO de 2ª ordem não homogênea. Método dos Coeficientes a Determinar. 01 (Outubro 2021).