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5.3.3: Usando Diagramas para Representar a Multiplicação - Matemática


Lição

Vamos usar diagramas de área para localizar produtos.

Exercício ( PageIndex {1} ): Estime o produto

Para cada um dos produtos a seguir, escolha a melhor estimativa de seu valor. Esteja preparado para explicar seu raciocínio.

  1. ((6.8) cdot (2.3) )
    • (1.40)
    • (14)
    • (140)
  2. (74 cdot (8.1) )
    • (5.6)
    • (56)
    • (560)
  3. (166 cdot (0,09) )
    • (1.66)
    • (16.6)
    • (166)
  4. ((3.4) cdot (1.9) )
    • (6.5)
    • (65)
    • (650)

Exercício ( PageIndex {2} ): Conectando diagramas de área a cálculos com números inteiros

  1. Aqui estão três maneiras de encontrar a área de um retângulo que é (24 ) unidades por (13 ) unidades.

Discuta com seu parceiro:

  1. O que os diagramas têm em comum? Como eles são parecidos?
  2. Como eles são diferentes?
  3. Se você fosse encontrar a área de um retângulo de 37 unidades por 19 unidades, qual das três maneiras de decompor o retângulo você usaria? Por quê?
  1. Você pode estar familiarizado com as diferentes maneiras de escrever cálculos de multiplicação. Aqui estão duas maneiras de calcular 24 vezes 13.

Discuta com seu parceiro:

  1. No Cálculo A, como cada um dos produtos parciais são obtidos? Por exemplo, de onde vem o 12?
  2. No cálculo B, como o 72 e o 240 são obtidos?
  3. Veja os diagramas da primeira pergunta. Qual diagrama corresponde ao Cálculo A? Qual deles corresponde ao Cálculo B?
  4. Como os produtos parciais no Cálculo A e os 72 e 240 no Cálculo B estão relacionados aos números nos diagramas?
  1. Use os dois métodos a seguir para encontrar o produto de 18 e 14 e compare os valores obtidos.
  1. Calcule numericamente.
  1. Aqui está um retângulo de 18 unidades por 14 unidades. Encontre sua área, em unidades quadradas, decompondo-a. Mostre seu raciocínio.
  1. Compare os valores de (18 cdot 14 ) que você obteve usando os dois métodos. Se não forem iguais, verifique seu trabalho.
    • Use o miniaplicativo para verificar suas respostas e explorar seus próprios cenários. Para ajustar os valores, mova os pontos nas extremidades dos segmentos.

Exercício ( PageIndex {3} ): Conectando diagramas de área a cálculos com decimais

  1. Você pode usar diagramas de área para representar produtos decimais. Aqui está um diagrama de área que representa ((2.4) cdot (1.3) ).
  1. Encontre a região que representa ((0,4) cdot (0,3) )? Identifique essa região com sua área de (0,12 ).
  2. Identifique cada uma das outras regiões com suas respectivas áreas.
  3. Encontre o valor de ((2,4) cdot (1,3) ). Mostre seu raciocínio.
  1. Aqui estão duas maneiras de calcular (2,4 ) vezes (1,3 ).

Analise os cálculos e discuta com um parceiro:

  1. No Cálculo A, de onde vêm os 0,12 e outros produtos parciais? No cálculo B, de onde vêm 0,72 e 2,4? Como os outros números em azul são calculados?
  2. Em cada cálculo, por que os números em azul estão alinhados verticalmente do jeito que estão?
  1. Encontre o produto de ((3.1) cdot (1.5) ) desenhando e rotulando um diagrama de área. Mostre seu raciocínio.
  2. Mostre como calcular ((3.1) cdot (1.5) ) usando números sem um diagrama. Esteja preparado para explicar seu raciocínio. Se você estiver travado, use os exemplos de uma pergunta anterior para ajudá-lo.
  3. Use o miniaplicativo para verificar suas respostas e explorar seus próprios cenários. Para ajustar os valores, mova os pontos nas extremidades dos segmentos.

você esta pronto para mais?

Quantos hectares é propriedade da sua escola? Quantas morgens são?

Exercício ( PageIndex {4} ): Usando o Método de Produtos Parciais

  1. Identifique o diagrama de área para representar ((2.5) cdot (1.2) ) e encontrar esse produto.
  1. Decomponha cada número em suas unidades de base dez (uns, décimos, etc.) e escreva-os nas caixas de cada lado do retângulo.
  2. Identifique as regiões A, B, C e D com suas áreas. Mostre seu raciocínio.
  3. Encontre o produto que o diagrama de área representa. Mostre seu raciocínio.
  1. Aqui estão duas maneiras de calcular ((2.5) cdot (1.2) ). Cada número com uma caixa fornece a área de uma ou mais regiões no diagrama de área.
  1. Nas caixas ao lado de cada número, escreva a (s) letra (s) da (s) região (ões) correspondente (s).
  2. No cálculo B, quais dois números estão sendo multiplicados para obter 0,5?
    Quais números estão sendo multiplicados para obter 2,5?

Resumo

Suponha que desejemos calcular o produto de dois números escritos na base dez. Para explicar como, podemos usar o que sabemos sobre números de base dez e áreas de retângulos.

Aqui está um diagrama de um retângulo com comprimentos laterais de 3,4 unidades e 1,2 unidades.

Sua área, em unidades quadradas, é o produto

((3,4) cdot (1,2) )

Para calcular este produto e encontrar a área do retângulo, podemos decompor o comprimento de cada lado em suas unidades de base dez, (3,4 = 3 + 0,4 ) e (1,2 = 1 + 0,2 ), decompondo o retângulo em quatro sub-retângulos menores.

Podemos reescrever o produto e expandi-lo duas vezes:

( begin {alinhado} (3,4) cdot (1,2) & = (3 + 0,4) cdot (1 + 0,2) & = (3 + 0,4) cdot 1+ (3 + 0,4) cdot 0,2 & = 3 cdot 1 + 3 cdot (0,2) + (0,4) cdot 1+ (0,4) cdot (0,2) end {alinhado} )

Na última expressão, cada um dos quatro termos é chamado de produto parcial. Cada produto parcial fornece a área de um sub-retângulo no diagrama. A soma dos quatro produtos parciais dá a área de todo o retângulo.

Podemos mostrar os cálculos horizontais acima como dois cálculos verticais.

O cálculo à esquerda é um exemplo do método de produtos parciais. Mostra os valores de cada produto parcial e a letra do sub-retângulo correspondente. Cada produto parcial dá uma área:

  • A é 0,2 unidade por 0,4 unidade, então sua área é 0,08 unidade quadrada.
  • B é 3 unidades por 0,2 unidade, então sua área é 0,6 unidade quadrada.
  • C é 0,4 unidade por 1 unidade, então sua área é 0,4 unidade quadrada.
  • D é 3 unidades por 1 unidade, então sua área é de 3 unidades quadradas.
  • A soma dos produtos parciais é (0,08 + 0,6 + 0,4 + 3 ), então a área do retângulo é 4,08 unidades quadradas.

O cálculo à direita mostra os valores de dois produtos. Cada valor fornece uma área combinada de dois sub-retângulos:

  • As regiões combinadas de A e B têm uma área de 0,68 unidades quadradas; 0,68 é o valor de ((3 + 0,4) cdot 0,2 ).
  • As regiões combinadas de C e D têm uma área de 3,4 unidades quadradas; 3,4 é o valor de ((3 + 0,4) cdot 1 ).
  • A soma dos valores dos dois produtos é (0,68 + 3,4 ), então a área do retângulo é 4,08 unidades quadradas.

Prática

Exercício ( PageIndex {5} )

Aqui está um retângulo que foi dividido em quatro retângulos menores.

Para cada expressão, escolha o sub-retângulo cuja área, em unidades quadradas, corresponda à expressão.

  1. (3 cdot (0,6) )
  2. ((0,4) cdot 2 )
  3. ((0,4) cdot (0,6) )
  4. (3 cdot 2 )

Exercício ( PageIndex {6} )

Aqui está um diagrama de área que representa ((3.1) cdot (1.4) ).

  1. Encontre as áreas dos sub-retângulos A e B.
  2. Qual é a área do retângulo de 3,1 por 1,4?

Exercício ( PageIndex {7} )

Desenhe um diagrama de área para encontrar ((0,36) cdot (0,53) ). Identifique e organize o seu trabalho para que possa ser seguido por outros.

Exercício ( PageIndex {8} )

Encontre cada produto. Mostre seu raciocínio.

  1. ((2,5) cdot (1,4) )
  2. ((0,64) cdot (0,81) )

Exercício ( PageIndex {9} )

Conclua os cálculos para que cada um mostre a soma correta.

(Da Unidade 5.2.2)

Exercício ( PageIndex {10} )

Diego comprou 12 mini muffins por $ 4,20.

  1. Nesse ritmo, quanto Diego pagaria por 4 mini muffins?
  2. Quantos mini muffins Diego poderia comprar com US $ 3,00? Explique ou mostre seu raciocínio. Se você ficar preso, considere usar a tabela.
número de mini muffinspreço em dólares
(12)(4.20)
Tabela ( PageIndex {1} )

(Da Unidade 2.4.2)


Problemas de multiplicação de palavras

Esta é uma lição completa para a terceira série com ensino e problemas de palavras com o objetivo de ensinar às crianças alguns conceitos básicos sobre problemas de multiplicação de palavras. A ideia básica é que temos grupos do mesmo tamanho, e as crianças precisam apenas reconhecer esses grupos, sejam eles toalhas, fatias de pizza, bolas ou qualquer outra coisa. Os problemas de palavras na aula também envolvem adição e subtração para que os alunos precisem pensar, e não aplicar a operação em questão (multiplicação) sem nem mesmo ler o problema.

5
5
5 Cada casa tem cinco
pessoas que vivem nele.
Quantas pessoas
mora nas casas?


Lição 7

Para cada um dos produtos a seguir, escolha a melhor estimativa de seu valor. Esteja preparado para explicar seu raciocínio.

7.2: Conectando diagramas de área a cálculos com números inteiros

Aqui estão três maneiras de encontrar a área de um retângulo de 24 unidades por 13 unidades.

Expandir Imagem

Descrição: & ltp & gtDiagrama 1, retângulo dividido verticalmente e horizontalmente em 4 retângulos. Retângulo superior esquerdo, lado vertical, 10, lado horizontal, 20, área, 200. Retângulo superior direito, lado horizontal, 4, área, 40. Retângulo inferior esquerdo, lado vertical, 3, área 60. Retângulo inferior direito, área, 12 . Diagrama 2, retângulo dividido horizontalmente em 2 retângulos. Retângulo superior, lado vertical, 10, lado horizontal, 24, área, 240. Retângulo inferior, lado vertical 3, área, 72. Diagrama 3, retângulo dividido verticalmente em 2 retângulos. Retângulo esquerdo, lado vertical, 13, lado horizontal, 20, área, 260. Retângulo direito, lado horizontal, 4, área, 52. & lt / p & gt

Discuta com seu parceiro:

  1. O que os diagramas têm em comum? Como eles são parecidos?
  2. Como eles são diferentes?
  3. Se você fosse encontrar a área de um retângulo de 37 unidades por 19 unidades, qual das três maneiras de decompor o retângulo você usaria? Por quê?

Você pode estar familiarizado com as diferentes maneiras de escrever cálculos de multiplicação. Aqui estão duas maneiras de calcular 24 vezes 13.

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Descrição: & ltp & gtDois cálculos verticais de 24 vezes 13. Cálculo A, 7 linhas. Primeira linha: 24. Segunda linha: símbolo de multiplicação, 13. Linha horizontal. Terceira linha: 12. Quarta linha: 60. Quinta linha: 40. Sexta linha: mais 200. Linha horizontal. Sétima linha: 312. Cálculo B, 5 linhas. Primeira linha: 24. Segunda linha: símbolo de multiplicação, 13. Linha horizontal. Terceira linha: 72. Quarta linha: mais 240. Linha horizontal. Quinta linha: 312. & lt / p & gt

Discuta com seu parceiro:

  1. No Cálculo A, como cada um dos produtos parciais são obtidos? Por exemplo, de onde vem o 12?
  2. No cálculo B, como o 72 e o 240 são obtidos?
  3. Veja os diagramas da primeira pergunta. Qual diagrama corresponde ao Cálculo A? Qual deles corresponde ao Cálculo B?

Use os dois métodos a seguir para encontrar o produto de 18 e 14 e compare os valores obtidos.

    Calcule numericamente.

Expandir Imagem

Aqui está um retângulo de 18 unidades por 14 unidades. Encontre sua área, em unidades quadradas, decompondo-a. Mostre seu raciocínio.

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Compare os valores de (18 boldcdot 14 ) que você obteve usando os dois métodos. Se não forem iguais, verifique seu trabalho.

Use o miniaplicativo para verificar suas respostas e explorar seus próprios cenários. Para ajustar os valores, mova os pontos nas extremidades dos segmentos.

7.3: Conectando Diagramas de Área a Cálculos com Decimais

  1. Você pode usar diagramas de área para representar produtos decimais. Aqui está um diagrama de área que representa ((2.4) boldcdot (1.3) ).

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Descrição: & ltp & gtUm retângulo dividido verticalmente e horizontalmente em 4 retângulos. Retângulo superior esquerdo, lado vertical, 1, lado horizontal, 2. Retângulo superior direito, lado vertical, 1, lado horizontal, 0 ponto 4. Retângulo inferior esquerdo, lado vertical, 0 ponto 3, lado horizontal, 2. Retângulo inferior direito, lado vertical, 0 ponto 3, lado horizontal, 0 ponto 4. & lt / p & gt

Encontre a região que representa ((0,4) boldcdot (0,3) )? Identifique essa região com sua área de 0,12.

Identifique cada uma das outras regiões com suas respectivas áreas.

Encontre o valor de ((2.4) boldcdot (1.3) ). Mostre seu raciocínio.

Aqui estão duas maneiras de calcular 2,4 vezes 1,3.

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Descrição: & ltp & gtDois cálculos verticais de 2 pontos 4 vezes 1 ponto 3. Cálculo A, 7 linhas. Primeira linha: 2 ponto 4. Segunda linha: símbolo de multiplicação, 1 ponto 3. Linha horizontal. Terceira linha: 0 ponto 1 2. Quarta linha: 0 ponto 6. Quinta linha: 0 ponto 4. Sexta linha: mais 2. Linha horizontal. Sétima linha: 3 ponto 1 2. Cálculo B, 5 linhas. Primeira linha: 2 ponto 4. Segunda linha: símbolo de multiplicação, 1 ponto 3. Linha horizontal. Terceira linha: 0 ponto 7 2. Quarta linha: mais 2 pontos 4. Linha horizontal. Quinta linha: 3 ponto 1 2. & lt / p & gt

Analise os cálculos e discuta com um parceiro:

  1. No Cálculo A, de onde vêm os 0,12 e outros produtos parciais? No cálculo B, de onde vêm 0,72 e 2,4? Como os outros números em azul são calculados?
  2. Em cada cálculo, por que os números em azul estão alinhados verticalmente do jeito que estão?

Encontre o produto de ((3.1) boldcdot (1.5) ) desenhando e rotulando um diagrama de área. Mostre seu raciocínio.

Mostre como calcular ((3.1) boldcdot (1.5) ) usando números sem um diagrama. Esteja preparado para explicar seu raciocínio. Se você estiver travado, use os exemplos de uma pergunta anterior para ajudá-lo.

Use o miniaplicativo para verificar suas respostas e explorar seus próprios cenários. Para ajustar os valores, mova os pontos nas extremidades dos segmentos.

Quantos hectares é propriedade da sua escola? Quantas morgens são?

7.4: Usando o Método de Produtos Parciais

Identifique o diagrama de área para representar ((2.5) boldcdot (1.2) ) e para encontrar esse produto.

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  1. Decomponha cada número em suas unidades de base dez (uns, décimos, etc.) e escreva-os nas caixas de cada lado do retângulo.
  2. Identifique as regiões A, B, C e D com suas áreas. Mostre seu raciocínio.
  3. Encontre o produto que o diagrama de área representa. Mostre seu raciocínio.

Aqui estão duas maneiras de calcular ((2.5) boldcdot (1.2) ). Cada número com uma caixa fornece a área de uma ou mais regiões no diagrama de área.

Expandir Imagem

Descrição: & ltp & gtDois cálculos verticais de 2 pontos 5 vezes 1 ponto 2. Cálculo A, 7 linhas. Primeira linha: 2 ponto 5. Segunda linha: símbolo de multiplicação, 1 ponto 2. Linha horizontal. Terceira linha: 0 ponto 1. Quarta linha: 0 ponto 4. Quinta linha: 0 ponto 5. Sexta linha: mais 2. Linha horizontal. Sétima linha: 3 ponto 0 0. Cálculo B, 5 linhas. Primeira linha: 2 ponto 5. Segunda linha: símbolo de multiplicação, 1 ponto 2. Linha horizontal. Terceira linha: 0 ponto 5. Quarta linha: mais 2 pontos 5. Linha horizontal. Quinta linha: 3 ponto 0 0. & lt / p & gt

Nas caixas ao lado de cada número, escreva a (s) letra (s) da (s) região (ões) correspondente (s).

No cálculo B, quais dois números estão sendo multiplicados para obter 0,5?
Quais números estão sendo multiplicados para obter 2,5?

Resumo

Suponha que desejemos calcular o produto de dois números escritos na base dez. Para explicar como, podemos usar o que sabemos sobre números de base dez e áreas de retângulos.

Aqui está um diagrama de um retângulo com comprimentos laterais de 3,4 unidades e 1,2 unidades.

Expandir Imagem

Sua área, em unidades quadradas, é o produto

Para calcular este produto e encontrar a área do retângulo, podemos decompor o comprimento de cada lado em suas unidades de base dez, (3,4 = 3 + 0,4 ) e (1,2 = 1 + 0,2 ), decompondo o retângulo em quatro sub-retângulos menores.

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Descrição: Diagrama & ltp & gtArea. Um retângulo dividido em 4 retângulos, A, B, C, D. D, lado vertical, 1, lado horizontal, 3. C, lado vertical, 1, lado horizontal, 0 ponto 4. B, lado vertical, 0 ponto 2, lado horizontal, 3. A, lado vertical, 0 ponto 2, lado horizontal, 0 ponto 4. & lt / p & gt

Podemos reescrever o produto e expandi-lo duas vezes:

(começar (3.4) boldcdot (1,2) & amp = (3 + 0,4) boldcdot (1 + 0,2) & amp = (3 + 0,4) boldcdot 1 + (3 + 0,4) boldcdot 0,2 & amp = 3 boldcdot 1+ 3 boldcdot (0,2) + (0,4) boldcdot 1 + (0,4) boldcdot (0,2) end)

Na última expressão, cada um dos quatro termos é chamado de produto parcial. Cada produto parcial fornece a área de um sub-retângulo no diagrama. A soma dos quatro produtos parciais dá a área de todo o retângulo.

Podemos mostrar os cálculos horizontais acima como dois cálculos verticais.

Expandir Imagem

Descrição: & ltp & gtDois cálculos verticais de 3 pontos 4 vezes 1 ponto 2. Primeiro cálculo, 7 linhas. Primeira linha: 3 pontos 4. Segunda linha: símbolo de multiplicação, 1 ponto 2. Linha horizontal. Terceira linha: 0 ponto 0 8, A. Quarta linha: 0 ponto 6, B. Quinta linha: 0 ponto 4, C. Sexta linha: mais 3, D. Linha horizontal. Sétima linha: 4 ponto 0 8. Segundo cálculo, 5 linhas. Primeira linha: 3 pontos 4. Segunda linha: símbolo de multiplicação, 1 ponto 2. Linha horizontal. Terceira carreira: 0 ponto 6 8, A mais B. Quarta carreira: mais 3 ponto 4, C mais D. Linha horizontal. Quinta linha: 4 ponto 0 8. & lt / p & gt

O cálculo à esquerda é um exemplo do método de produtos parciais. Mostra os valores de cada produto parcial e a letra do sub-retângulo correspondente. Cada produto parcial dá uma área:

  • A é 0,2 unidade por 0,4 unidade, então sua área é 0,08 unidade quadrada.
  • B tem 3 unidades por 0,2 unidade, então sua área é 0,6 unidade quadrada.
  • C é 0,4 unidade por 1 unidade, então sua área é 0,4 unidade quadrada.
  • D é 3 unidades por 1 unidade, então sua área é de 3 unidades quadradas.
  • A soma dos produtos parciais é (0,08 + 0,6 +0,4+ 3 ), então a área do retângulo é 4,08 unidades quadradas.

O cálculo à direita mostra os valores de dois produtos. Cada valor fornece uma área combinada de dois sub-retângulos:

  • As regiões combinadas de A e B têm uma área de 0,68 unidades quadradas 0,68 é o valor de ((3 + 0,4) boldcdot 0,2 ).
  • As regiões combinadas de C e D têm uma área de 3,4 unidades quadradas 3,4 é o valor de ((3 + 0,4) boldcdot 1 ).
  • A soma dos valores dos dois produtos é (0,68 + 3,4 ), então a área do retângulo é 4,08 unidades quadradas.

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Fatos de multiplicação

De acordo com os padrões do Common Core, as crianças devem aprender a tabela de tempos na terceira série. O ensino, no entanto, precisa de prática na quarta e quinta séries para consolidar seus conhecimentos de multiplicação. Na terceira série, é mais importante que as crianças aprendam estratégias eficientes para descobrir os fatos da multiplicação, e o exercício para aumentar a velocidade deve seguir o trabalho com formas eficientes de computação.

Os fatos mais fáceis de aprender são aqueles para 0, 1 e 10. 0 e 1 são óbvios quando você sabe o que significa multiplicar por 0 ou 1. 10 é fácil porque você pode pensar em 10 como o multiplicando: 4 × 10 significa 4 dezenas que é 40.

Em seguida, as crianças aprendem fatos para 2 × e 5 ×. As melhores estratégias para esses, porém, são bem diferentes.

Para multiplicar por 2, é mais eficiente pensar em 2 como o multiplicador, então 2 × 8 = 8 + 8. Se as crianças conhecem seus fatos de adição de duplas, elas já têm os fatos 2 × memorizados.

Multiplicar por 5, entretanto, é mais eficiente (para a maioria das pessoas) pensar em 5 como o multiplicando. Fazer 8 cincos contando por 5 é mais rápido do que fazer 5 oitos. Multiplicar por 5 também tem muitos padrões interessantes para descobrir (o que acontece quando você multiplica 5 por um número par?)

O resto dos fatos são construídos sobre os fatos 2 × e 5 ×, então.

Para multiplicar por 3: duplique o número e some-o novamente. Por exemplo, 3 × 8 = 2 × 8 + 8 (duplique 8 e adicione 8)

Para multiplicar por 4: duplique duas vezes. Por exemplo: 4 × 8 = 2 × 8 + 2 × 8 = 2 × (2 × 8) (duplique 8 para obter 16 e, em seguida, duplique 16 para obter 32)

Para multiplicar por 6: multiplique por 5 e, em seguida, some o número novamente. Por exemplo 6 × 8 = 5 × 8 + 8

Para multiplicar por 9: multiplique por 10 e, em seguida, subtraia o número. Por exemplo: 9 × 8 = 10 × 8 - 8

Usando a lei comutativa, essas estratégias cobrem tudo na tabuada até dezenas, exceto para 4 (realmente 3) fatos:

Portanto, 7 × 7, 7 × 8 e 8 × 8 são deixados para serem memorizados mecanicamente. Você provavelmente encontrará algumas crianças que têm estratégias para descobrir isso a partir de outras que já conhecem, mas para muitas crianças, essas estratégias são mais bem aprendidas por meio de canções, rimas, piadas idiotas. Coisas assim.

Mais sobre 5's e 7's

As tabelas de 5 vezes têm alguns padrões interessantes que ajudam na memorização. O mais fácil de encontrar é o padrão com multiplicação por um número par:

O dígito das dezenas é metade do número sendo multiplicado por 5. A matemática por trás do padrão tem a ver com 5: 5 é metade de 10 então.

5 × 2 = 10
5 × 4 = 5 × (2 × 2) = (5 × 2) × 2 = 20
5 × 6 = 5 × (2 × 3) = (5 × 2) × 3 = 30
5 × 8 = 5 × (2 × 4) = (5 × 2) × 4 = 40

Os problemas de 7 vezes podem ser decompostos usando 5's da mesma forma que 6's, usando 7 = 5 + 2 e a lei distributiva. Por exemplo:

7 × 6 = (5 + 2) × 6 = 5 × 6 + 2 × 6 = 30 + 12 = 42
Pense: 7 conjuntos de 6 são 5 conjuntos de 6 e mais 2 conjuntos de 6.

Mais sobre 9's:

Os padrões de 9 vezes vêm de saber que 9 é menos que 10.

9 × 2 = 18
9 × 3 = 27
9 × 4 = 36
9 × 5 = 45
9 × 6 = 54
9 × 7 = 63
9 × 8 = 72
9 × 9 = 81

Você deve notar que o dígito das dezenas é um a menos do que o número que você multiplica por 10. Você também pode notar que os dígitos das dezenas e unidades somam 9. Você pode usar isso para descobrir todos os fatos de multiplicação dos nove.

Por exemplo: 9 × 7 terá um dígito de dezena menor que 7 (6) e os dois dígitos somarão 9 (6 + _ = 9 então _ = 3). Isso dá a você 63.

Agora, isso funciona porque 9 = 10-1

9 × 7 = (10 - 1) × 7 = 10 × 7 - 1 × 7 = 70 - 7 = 63

Se eu subtrair um número de 1 dígito de 70, terei 6_ (sessenta e alguma coisa). Se eu subtrair 10-7 = 3, terei 3 + 7 = 10. 6 é um menos que 10, então 3 + 6 = 9.


Problemas de comparação: usando diagramas de fita para representar o pensamento matemático

Como professores, devemos sempre nos esforçar para ajudar nossos alunos a entender que as habilidades que ensinamos são para SEMPRE. não apenas para preencher uma página de matemática ou planilha. Uma habilidade que realmente queremos ter certeza de que nossos alunos entendam é a necessidade de ler criticamente os problemas matemáticos para descobrir o que está sendo perguntado, quais informações são fornecidas e para fazer um plano para resolvê-los. Freqüentemente, pensamos por nossos alunos. Basta olhar para quantos de nossos livros de matemática são organizados.

Uma lição intitulada "Resolvendo histórias de adição" não deixa muito espaço para o pensamento dos alunos, deixa? Fornecer aos alunos uma variedade de problemas em constante espiral força-os a pensar por si mesmos, aprender a procurar informações-chave nos problemas e tomar decisões de solução de acordo.

Uma ideia? Use marcadores para encontrar informações importantes. Sublinhe a pergunta. Algo que NÃO recomendo? Procurando por palavras-chave como "menos" ou "total". Essas palavras podem parecer uma solução rápida para os alunos. mas podem levá-los ao caminho errado. Como? Que tal esse problema.

"Larry tem 14 cards de beisebol. Isso é 25 a menos que sua irmã Becca. Quantos cards Becca tem?" Ao ensinar "menos" como um sinal para subtrair, um aluno certamente não pensará corretamente neste problema!


Operações e pensamento algébrico - 3ª série

Anotações do professor
Desenhos e equações nos ajudam a resolver problemas de palavras em situações que envolvem grupos, matrizes e quantidades de medidas iguais.
Compreender o contexto e as ações de um problema de história nos ajuda a interpretar e representar equações matemáticas.

Metas de Conhecimento do Aluno

Lições
Envolva o Módulo 1 de NY B-4 - Entenda o significado do desconhecido como o tamanho do grupo na divisão.
Envolva o Módulo 1 de NY B-5 - Entenda o significado do desconhecido como o número de grupos em divisão.
Engage NY Module 1 B-6 - Interprete o desconhecido na divisão usando o modelo de matriz.
Aprenda a lição Zillion - Relacione a multiplicação e a divisão ao modelo de matriz usando grupos iguais.

Aulas de vídeo para alunos
Learn Zillion - Interpretando quocientes de números inteiros de números inteiros
Nerd virtual - interpretar quocientes de números inteiros de números inteiros
Study Jams - Relacionar multiplicação e divisão


Diagramas práticos de tira com problemas de multiplicação em várias etapas

Este recurso é projetado para dar aos alunos prática prática de construção de diagramas de tiras para problemas de palavras em várias etapas. Os diagramas de tira são uma ótima ferramenta para estimular o pensamento dos alunos durante a resolução de problemas. Este recurso funciona muito bem para estações de matemática guiadas, aulas em pequenos grupos e aulas de reforço!

Quais são os & # 8217s incluídos?
✅Instruções detalhadas
✅Instruções do aluno que podem ser usadas em uma estação de matemática
✅32 Cartões de tarefas para solução de problemas em várias etapas
✅ Diagrama de Strip & # 8220 Blocos de Construção & # 8217
✅3 Tipos de folhas de registro do aluno para diferenciar

Este conjunto dá aos alunos o blocos de construção tangíveis eles precisam aprender a criar diagramas de faixa. Existem 4 conjuntos de cartões de tarefas, com 8 cartões em cada conjunto incluído neste recurso, perfazendo um total de 32 cartões de tarefas. Cada conjunto ajuda os alunos a aprender como fazer diagramas de tiras para um tipo de problema diferente.

Cartões de tarefas da loja de esportes& # 8211 Grupos iguais: multiplique e, em seguida, adicione
Cartões de tarefas espião para crianças - Grupos iguais: multiplicar e depois subtrair
Maratona de compras Grupos iguais: multiplique e, em seguida, adicione ou subtraia
Mostre-me o dinheiro- Comparação multiplicativa: multiplique e, em seguida, adicione

Alinhamento TEKS❤
Padrões de prontidão
3,4 (K) resolver problemas de uma e duas etapas envolvendo multiplicação e divisão em 100 usando estratégias baseadas em modelos pictóricos de objetos, incluindo matrizes, modelos de área e propriedades de operações de grupos iguais ou recuperação de fatos
3,5 (B) representar e resolver problemas de multiplicação e divisão de uma e duas etapas dentro de 100 usando matrizes, diagramas de faixa e equações

Padrões de Apoio

3,4 (B) arredondar para o 10 ou 100 mais próximo ou usar números compatíveis para estimar soluções para problemas de adição e subtração
3,4 (F) recorde fatos para multiplicar até 10 por 10 com automaticidade e recorde os fatos de divisão correspondentes


Sobre a Avaliação de Multiplicação

A avaliação de multiplicação o ajudará a identificar lacunas na compreensão da multiplicação conceitual de seus alunos.

Ao encontrar e abordar essas lacunas, podemos ajudar melhor nossos alunos a resolver problemas de multiplicação e fatos que eles não memorizaram por meio de estratégias de multiplicação e usando fatos conhecidos. Muitas vezes os alunos não conseguem entender as estratégias de multiplicação que ensinamos (adicionar um grupo, retirar um grupo, etc.) porque eles não têm um entendimento sólido do que é multiplicação.

Aqui estão as habilidades de multiplicação conceitual incluídas na avaliação (Cada habilidade de multiplicação conceitual é avaliada de duas maneiras.):

  • Matrizes
  • Grupos iguais
  • Adição Repetida
  • Compreender contextos / situações de multiplicação

Eu recomendo dar isso a qualquer aluno da 4ª ou 5ª série que tem dificuldade com seus fatos de multiplicação ou alunos da 3ª série que lutam com a multiplicação após uma instrução forte.


Modelos e estratégias de multiplicação e divisão

Para construir meu último blog sobre adição e subtração, gostaria de examinar diferentes estratégias e modelos usados ​​na multiplicação e divisão. É muito importante que os alunos entendam o que estão fazendo - e não apenas memorizem etapas e procedimentos. Eles precisam ser capazes de analisar e pensar criticamente sobre os números e como eles se relacionam. Os algoritmos tradicionais de multiplicação e divisão são importantes e todo aluno precisa saber como usá-los, mas não antes de solidificar seu entendimento. Começar com um conceito concreto, passar para o pictórico e finalmente terminar com o abstrato ajudará os alunos a desenvolver o domínio total.

Abaixo estão alguns modelos que os alunos estão usando para ajudá-los a compreender a relação entre multiplicação e divisão. Esperançosamente, ver esses modelos e entender como usá-los irá ajudá-lo quando você vir seu filho usando-os.

Matrizes: Esses são um dos primeiros modelos usados ​​para ajudar a entender o conceito de multiplicação e divisão. Eles ajudam os alunos a ver a conexão entre as duas operações, e os alunos podem ver visualmente o conceito de “agrupamento” ou “compartilhamento”. Matrizes são uma ótima maneira de ajudar os alunos a memorizar seus fatos de multiplicação e divisão, em vez de apenas usar cartões de memória flash.

Modelos de área: O modelo de área está intimamente relacionado ao cálculo usado ao calcular com o algoritmo padrão. A diferença é a representação visual e a conexão com o Sistema Base 10, e a compreensão do valor local. Os alunos podem ver visualmente o tamanho real de cada cálculo e aprender a interpretar os produtos parciais.

Modelos de barra: Os modelos de barras baseiam-se no conceito de grupos iguais e conjuntos parte-parte-todos. Este modelo ajuda os alunos a se afastarem da fase concreta e começa a ajudá-los a compreender a fase pictórica. Modelos de barras são uma ótima maneira de ajudar os alunos a mostrar seu raciocínio ao resolver problemas, especialmente ao resolver problemas de duas etapas.

Número de linhas: As linhas numéricas permitem que os alunos comecem a compreender o estágio abstrato de multiplicação e divisão. Os alunos começam a conectar a contagem de saltos e múltiplos de um número para encontrar o produto de um fator. Eles podem “pular” para frente ou para trás para representar a operação inversa. As linhas numéricas são ótimos modelos para ajudar os alunos a mostrar seu pensamento e explicar seu raciocínio.


Escrevendo equações para representar situações - Exemplos

Sarah usou um cartão-presente para comprar $ 47 em comida. Ela tem $ 18 restantes em seu cartão presente e # xa0. Escreva uma equação para representar esta situação.

Escreva uma equação de palavra com base na situação.

Reescreva a equação usando uma variável para a quantidade desconhecida e os valores dados para as quantidades conhecidas.

Seja x o valor do cartão.

Portanto, a equação "x - 47 & # xa0 = & # xa018" representa a situação dada. & # Xa0

A soma de um número f e 9 é & # xa0 igual a 38. Escreva uma equação para representar esta situação. & # Xa0

Em matemática, "soma" significa que temos que adicionar. & # Xa0

A partir da informação "A soma de um número f e 9", temos

Como a soma de um número f e 9 é igual a 38, temos

Portanto, a equação "f + 9 & # xa0 = & # xa038" representa a situação dada. & # xa0 & # xa0

Kim alugou patins por h horas. & # Xa0 A taxa de aluguel era de $ 2 por & # xa0 hora. Ela pagou um total de $ 8. & # Xa0 & # xa0 Escreva uma equação para representar esta situação. & # Xa0

Para cada hora que Kim alugou patins, ela tem que pagar $ 2.

Como ela alugou patins por "h" horas, o dinheiro total pago é o produto de "h" e $ 2. & # Xa0

Mas é dado que ela pagou um total de $ 8. & # Xa0

Portanto, a equação "2h & # xa0 = & # xa08" representa a situação dada. & # Xa0

O denominador de uma fração excede o numerador em 5. Se 3 for adicionado a ambos, a fração torna-se 3/4. Escreva uma equação para representar esta situação. & # xa0

Primeiro atribua variável para quantidade desconhecida

A relação entre o numerador e o denominador é

"O denominador de uma fração excede o numerador em 5"

A partir da informação, "Se 3 for adicionado a ambos, a fração torna-se 3/4", temos

Portanto, a equação "(x + 3) / (x + 8) & # xa0 = & # xa03 / 4" representa a situação dada. & # Xa0

John recebe US $ 8 a mais do que o número de sacos de amendoim que vende & # xa0 no estádio de beisebol. A tabela abaixo mostra a relação entre & # xa0 o dinheiro que John ganha e o número de sacos de amendoins que John vende. & # Xa0 Identifique as variáveis ​​independentes e dependentes e escreva uma equação & # xa0 para representar & # xa0 essa situação. & # xa0

O número de sacolas é a variável independente & # xa0, e o dinheiro que John ganha é a variável dependente & # xa0.

Since "x" stands for number of bags and it is given that he earns $8 more than number of bags (x), the money earned by John is 

Since "y" stands for money earned by John, we have

Hence, the equation "y = x + 8" represents the given situation. 

A taxi charges a flat rate of $3, plus an additional $1.50 per mile.  Write an equation to represent this situation.    

Let "x" be the number of miles and "y" be the total fare for "x" number of miles. 

Since taxi, charges $1.50 per mile, fare for "x" number of miles is

Taxi charges a flat rate of $3. Then the total fare is 

Since  "y" stands for total fare for "x" number of miles, we have 

Hence, the equation "y = 1.5x + 3" represents the given situation. 

After having gone through the stuff given above, we hope that the students would have understood "Writing equations to represent situations". 

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Assista o vídeo: multiplicação e combinatória (Outubro 2021).