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8.1.2: Questões Estatísticas - Matemática


Lição

Vamos examinar mais de perto os dados e as perguntas que eles podem ajudar a responder.

Exercício ( PageIndex {1} ): Lápis em um gráfico

  1. Meça seu lápis com a aproximação de ( frac {1} {4} ) - polegada. Em seguida, plote sua medição no gráfico de pontos da classe.
  2. Qual é a diferença entre os comprimentos de lápis mais longos e mais curtos da classe?
  3. Qual é o comprimento de lápis mais comum?
  4. Encontre a diferença de comprimentos entre o comprimento mais comum e o lápis mais curto.

Exercício ( PageIndex {2} ): O que há nos dados?

Dez alunos da sexta série de uma escola responderam a cinco perguntas de pesquisa. Suas respostas para cada pergunta são mostradas aqui.

( begin {array} {lllllllllll} { text {conjunto de dados A}} & {0} & {1} & {1} & {3} & {0} & {0} & {0} & {2 } & {1} & {1} { text {data set B}} & {12} & {12} & {12} & {12} & {12} & {12} & {12} & { 12} & {12} & {12} { text {data set C}} & {6} & {5} & {7} & {6} & {4} & {5} & {3} & {4} & {6} & {8} { text {data set D}} & {6} & {6} & {6} & {6} & {6} & {6} & {6} & {6} & {6} & {6} { text {data set E}} & {3} & {7} & {9} & {9} & {11} & {6} & {4} & {2 } & {16} & {6} & {10} end {array} )

  1. Aqui estão as cinco perguntas da pesquisa. Combine cada pergunta com um conjunto de dados que possa representar as respostas dos alunos. Explique seu raciocínio.
    • Pergunta 1: Jogue uma moeda 10 vezes. Quantas cabeças você conseguiu?
    • Pergunta 2: Quantos livros você leu no ano passado?
    • Pergunta 3: em que série você está?
    • Pergunta 4: Quantos cães e gatos você tem?
    • Pergunta 5: Quantas polegadas tem 1 pé?
  2. Como as perguntas 3 e 5 da pesquisa são diferentes das outras perguntas?

Exercício ( PageIndex {3} ): O que faz uma questão estatística?

Essas três perguntas são exemplos de questões estatísticas:

  • Qual a cor mais comum dos carros do estacionamento da escola?
  • Que porcentagem de alunos da escola tem celular?
  • Que tipo de literatura - ficção ou não ficção - é mais popular entre os alunos da escola?

Essas três perguntas não são exemplos de questões estatísticas:

  • Qual é a cor do carro do diretor?
  • Elena tem celular?
  • Que tipo de literatura - ficção ou não ficção - Diego prefere?
  1. Estude os exemplos e não exemplos. Discuta com seu parceiro:
    1. Como as três questões estatísticas são semelhantes? O que eles têm em comum?
    2. Como as três questões não estatísticas são semelhantes? O que eles têm em comum?
    3. Como você pode encontrar respostas para as questões estatísticas? Que tal respostas a perguntas não estatísticas?
    4. O que torna uma pergunta uma questão estatística?
      Faça uma pausa aqui para uma discussão em classe.
  2. Leia cada pergunta. Pense nos dados que você pode coletar para respondê-la e se espera ver variabilidade nos dados. Preencha cada espaço em branco com “Sim” ou “Não”.
    • Quantas xícaras de água meus colegas bebem por dia?
      • A variabilidade é esperada nos dados? ______
      • A pergunta é estatística? _____
    • Onde na cidade mora nosso professor de matemática?
      • A variabilidade é esperada nos dados? ______
      • A pergunta é estatística? _____
    • Quantos minutos os alunos da minha classe levam para se prepararem para a escola pela manhã?
      • A variabilidade é esperada nos dados? ______
      • A pergunta é estatística? _____
    • Quantos minutos de recreio os alunos da sexta série têm a cada dia?
      • A variabilidade é esperada nos dados? ______
      • A pergunta é estatística? _____
    • Todos os alunos da minha turma sabem em que mês estamos?
      • A variabilidade é esperada nos dados? ______
      • A pergunta é estatística? _____

Exercício ( PageIndex {4} ): Seleção de questões estatísticas

  1. Seu professor dará a você e a seu parceiro um conjunto de cartões com perguntas. Classifique-os em três pilhas: questões estatísticas, questões não estatísticas e incerto.
  2. Compare suas decisões de classificação com outro grupo de alunos. Comece discutindo as duas pilhas que o seu grupo classificou nas pilhas de perguntas estatísticas e perguntas não estatísticas. Em seguida, revise as cartas na pilha de Inseguros. Discuta as perguntas até que ambos os grupos cheguem a um acordo e não tenham mais cartas na pilha de incertezas. Se você tiver dúvidas, pense se a pergunta poderia ser respondida com a coleta de dados e se haveria variabilidade nesses dados.
  3. Registre os nomes das letras das perguntas em cada pilha.
    • Questões estatísticas:
    • Perguntas não estatísticas:

você esta pronto para mais?

Tyler e Han estão discutindo a questão: "Qual aluno da sexta série mora mais longe da escola?"

  • Tyler diz: “Não acho que a questão seja estatística. Há apenas uma pessoa que mora mais longe da escola, então não haveria variabilidade nos dados que coletamos. ”
  • Han diz: “Acho que é uma questão estatística. Para responder à pergunta, não estaríamos realmente perguntando a todos: 'Qual aluno mora mais longe da escola?' Teríamos que perguntar a cada aluno a que distância da escola eles moram, e podemos esperar que suas respostas sejam variadas. ”

Você concorda com algum deles? Explique seu raciocínio.

Resumo

Freqüentemente, coletamos dados para responder a perguntas sobre algo. Os dados que coletamos podem mostrar variabilidade, o que significa que os valores dos dados não são todos iguais.

Alguns conjuntos de dados têm mais variabilidade do que outros. Aqui estão dois conjuntos de figuras.

O conjunto A possui mais figuras com a mesma forma, cor ou tamanho. O conjunto B mostra mais figuras com diferentes formas, cores ou tamanhos, portanto, o conjunto B tem maior variabilidade do que o conjunto A.

Os dados numéricos e categóricos podem mostrar variabilidade. Os conjuntos numéricos podem conter diferentes números e os conjuntos categóricos podem conter diferentes categorias ou tipos.

Quando uma pergunta só pode ser respondida usando dados e esperamos que os dados tenham variabilidade, chamamos isso de questão estatística. Aqui estão alguns exemplos.

  • Quem é o artista musical mais popular da sua escola?
  • Quando os alunos da sua classe costumam jantar?
  • Qual sala de aula em sua escola tem mais livros?

Para responder à pergunta sobre os livros, podemos precisar contar todos os livros em cada sala de aula de uma escola. Os dados que coletamos provavelmente mostrariam variabilidade, porque esperaríamos que cada sala de aula tivesse um número diferente de livros.

Em contraste, a pergunta "Quantos livros há em sua sala de aula?" é não uma questão estatística. Se coletarmos dados para responder à pergunta (por exemplo, pedindo a todos na classe para contar livros), pode-se esperar que os dados mostrem o mesmo valor. Da mesma forma, se perguntarmos a todos os alunos de uma escola onde estudam, essa pergunta não é uma questão estatística porque as respostas serão todas iguais.

Entradas do glossário

Definição: dados categóricos

Um conjunto de dados categóricos possui valores que são palavras em vez de números.

Por exemplo, Han pede a 5 amigos que digam sua cor favorita. Suas respostas são: azul, azul, verde, azul, laranja.

Definição: Dot Plot

Um gráfico de pontos é uma forma de representar dados em uma linha numérica. Cada vez que um valor aparece no conjunto de dados, colocamos outro ponto acima desse número na linha do número.

Por exemplo, neste gráfico de pontos existem três pontos acima do 9. Isso significa que três plantas diferentes tinham uma altura de 9 cm.

Definição: Dados Numéricos

Um conjunto de dados numéricos possui valores que são números.

Por exemplo, Han lista as idades das pessoas em sua família: 7, 10, 12, 36, 40, 67.

Definição: Questão Estatística

Uma questão estatística pode ser respondida coletando dados que possuem variabilidade. Aqui estão alguns exemplos de questões estatísticas:

  • Quem é o artista musical mais popular da sua escola?
  • Quando os alunos da sua classe costumam jantar?
  • Qual sala de aula em sua escola tem mais livros?

Definição: Variabilidade

Variabilidade significa ter valores diferentes.

Por exemplo, o conjunto de dados B tem mais variabilidade do que o conjunto de dados A. O conjunto de dados B tem muitos valores diferentes, enquanto o conjunto de dados A tem mais dos mesmos valores.

Prática

Exercício ( PageIndex {5} )

Os alunos da sexta série foram questionados: "Em que série você está?" Explique porque isso é não uma questão estatística.

Exercício ( PageIndex {6} )

Lin e suas amigas saíram para tomar sorvete depois da escola. As seguintes perguntas surgiram durante a viagem. Selecione tudo as questões que são questões estatísticas.

  1. A que distância estamos da sorveteria?
  2. Qual é o sabor de sorvete mais popular desta semana?
  3. Quanto é que um grupo de 4 pessoas normalmente gasta com sorvete nesta loja?
  4. As crianças geralmente preferem um copo ou uma casquinha?
  5. Quantas coberturas existem para escolher?

Exercício ( PageIndex {7} )

Aqui está uma lista de perguntas sobre os alunos e professores de uma escola. Selecione tudo as questões que são questões estatísticas.

  1. Qual é a escolha de almoço mais popular?
  2. Que escola esses alunos frequentam?
  3. Quantos professores de matemática há na escola?
  4. Qual é a idade comum para os professores da escola?
  5. Cerca de quantas horas de sono os alunos geralmente dormem em uma noite de escola?
  6. Como os alunos geralmente viajam de casa para a escola?

Exercício ( PageIndex {8} )

Aqui está uma lista de questões estatísticas. Que dados você coletaria e analisaria para responder a cada pergunta? Para dados numéricos, inclua a unidade de medida que você usaria.

  1. Qual é a altura típica de atletas femininas em uma equipe no mais recente evento esportivo internacional?
  2. A maioria dos adultos na escola são fãs de futebol?
  3. Quanto tempo os motoristas geralmente precisam esperar em um sinal vermelho em Washington, DC?

Exercício ( PageIndex {9} )

Descreva a escala que você usaria no plano de coordenadas para plotar cada conjunto de pontos. Que valor você atribuiria a cada unidade da grade?

  1. ((1,-6), (-7,-8), (-3,7), (0,9))
  2. ((-20,-30), (-40,10), (20,-10), (5,-20))
  3. (( frac {-1} {3}, - 1), ( frac {2} {3}, - 1 frac {1} {3}), ( frac {-4} {3}, frac {2} {3}), ( frac {1} {6}, 0) )

(Da Unidade 7.3.3)

Exercício ( PageIndex {10} )

A garrafa de água de Noé contém mais de 1 litro de água, mas menos de (1 frac {1} {2} ) quartos. Seja (w ) a quantidade de água na garrafa de Noé, em quartos. Selecione tudo as declarações verdadeiras.

  1. (w ) pode ser ( frac {3} {4} ).
  2. (w ) pode ser (1 ).
  3. (w> 1 )
  4. (w ) pode ser ( frac {4} {3} ).
  5. (w ) pode ser ( frac {5} {4} ).
  6. (w ) pode ser ( frac {5} {3} ).
  7. (w> 1,5 )

(Da Unidade 7.2.2)

Exercício ( PageIndex {11} )

Ordene esses números do menor para o maior:

(| -17 | qquad | -18 | qquad -18 qquad | 19 | qquad 20 )

(Da Unidade 7.1.7)


Questões estatísticas (6ª série)

Essas lições ajudam os alunos da 6ª série a aprender como reconhecer uma questão estatística como aquela que antecipa a variabilidade nos dados relacionados à questão e a contabiliza nas respostas.

Núcleo Comum: 6.SP.1

Metas de aprendizagem sugeridas

  • Posso reconhecer que os dados variam.
  • Consigo reconhecer uma questão estatística (exemplos versus não exemplos).

6.SP.1 Estatística vs. Questões não estatísticas & lt A tabela a seguir fornece alguns exemplos de questões estatísticas e não estatísticas. Role a página para baixo para mais exemplos e soluções.

Uma questão estatística é uma questão que deve ter respostas diferentes.

Como reconhecer uma questão estatística?

  • Uma pergunta não é uma pergunta estatística se tiver uma resposta exata. Por exemplo, & ldquo Quantos anos você tem? & Rdquo
  • Uma pergunta é uma pergunta estatística se a resposta for uma porcentagem, intervalo ou uma média. Por exemplo, & ldquoQue idade têm os alunos nesta sala & rdquo

Identifique quais perguntas são estatísticas e quais não são.
• Qual é o item de menu favorito dos clientes no restaurante local?
• A que horas a maioria das pessoas almoça?
• O que meu pai comeu no almoço hoje?
• O que os alunos da 7ª série preferem comer no almoço?

Em uma pesquisa sobre o tempo de prática por semana para atletas do ensino médio, 22% praticam 1 hora, 40% praticam 2 horas, 25% praticam 3 horas, 10% praticam 4 horas e 3% praticam mais de 4 horas.
Qual pergunta é a mais provável de ter produzido esses resultados?
• Qual é o tempo médio de prática por semana exigido pelo seu esporte?
• Quanto tempo você passa fazendo o dever de casa durante a semana?
• O tempo de prática é mais longo às segundas do que às terças?
• Qual esporte pratica mais?

Jessica conduziu uma pesquisa usando uma amostra representativa de 50 clientes de três empresas locais de paisagismo da cidade. Ela descobriu que 30% compraram árvores de bordo, 24% compraram dogwoods, 20% compraram carvalhos, 16% compraram pinheiros e 10% escolheram outros tipos de árvores.
Quais afirmações sobre a pesquisa que Jessica conduziu são mais prováveis ​​de serem verdadeiras? Selecione tudo que se aplica.
• Jessica pesquisou apenas os clientes que compraram uma árvore.
• Jessica perguntou aos clientes que tipo de árvore eles compraram.
• Jessica perguntou aos clientes que tipo de plantas eles tinham em seus quintais.
• A amostra consiste em 50 clientes de três empresas locais de paisagismo da cidade.
• A população que Jessica deseja conhecer consiste em qualquer cliente de qualquer empresa de paisagismo.

O que é uma questão estatística?

Definição: uma questão estatística tem respostas que provavelmente irão variar. Normalmente, uma pergunta estatística perguntará sobre uma população de várias pessoas, eventos ou coisas.

Exemplos de questões estatísticas

  • A que horas os alunos desta classe se levantaram esta manhã?
  • Quantos votos o candidato vencedor para os presidentes do corpo discente recebeu em cada um dos últimos 20 anos?
  • Quais foram as altas temperaturas em todas as capitais latino-americanas hoje?

Exemplos de questões não estatísticas

  • A que horas eu acordei esta manhã?
  • Quantos votos o candidato vencedor para o corpo discente recebeu este ano?
  • Qual foi a alta temperatura na Cidade do México hoje?

Questões estatísticas e não estatísticas

Exemplos:
Quais das seguintes são questões estatísticas?

  • Quantos anos têm as pessoas que assistiram a este vídeo em 2013?
  • Os cães correm mais rápido do que os gatos?
  • Os lobos pesam mais do que os cães?
  • Seu cachorro pesa mais do que aquele lobo?
  • Chove mais em Seattle do que em Cingapura?
  • Qual foi a diferença de chuva entre Cingapura e Seattle em 2013?
  • Em geral, vou usar menos gasolina ao dirigir a 55 mph do que a 70 mph?
  • Os professores de inglês recebem menos do que os professores de matemática?
  • O professor de inglês mais bem pago de Harvard recebe mais do que o professor de matemática mais bem pago do MIT?

Questões Estatísticas - Padrão Básico Comum

Os alunos devem saber que variabilidade se refere à disseminação de dados.

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Solução

  1. Não é estatístico. Essa pergunta é respondida contando-se o número de dias do mês de março. Isso produz um único número. Esta pergunta não é respondida com a coleta de dados que variam.
  2. Não é estatístico. Esta pergunta é respondida por um único número. Não é respondido com a coleta de dados que variam.
  3. Estatística. Essa questão seria respondida por meio da coleta de dados, e haveria variabilidade nesses dados.
  4. Estatística. Essa questão seria respondida por meio da coleta de dados, e haveria variabilidade nesses dados.
  5. Não é estatístico. Esta pergunta é respondida por uma única resposta. Não é respondido com a coleta de dados que variam.
  6. Não é estatístico. Esta pergunta seria respondida contando os tijolos. Isso produz um único número. Esta pergunta não foi respondida pela coleta de dados que variam. & Acirc
  7. Não estatístico (há uma temperatura & Acirc).

Solução

    1. Questão estatística
    2. Não é uma questão estatística
    3. Questão estatística
    4. Questão estatística
    5. Questão estatística
    6. Questão estatística

    Cada uma das questões estatísticas seria respondida pela coleta de dados e haveria variabilidade nos dados.

    As perguntas identificadas como não estatísticas não são respondidas com base em dados que variam.

    A pergunta "Qual é o número típico de orifícios para os botões do jarro?" é uma questão estatística. Para responder a essa pergunta, os alunos podem calcular a média ou a mediana (ambas as medidas de centro usadas para descrever um valor típico). Mas, em qualquer caso, eles precisariam coletar dados sobre o número de furos, registrando um valor para cada botão. Como nem todos os botões têm o mesmo número de orifícios, haveria variabilidade nos dados que seriam usados ​​para responder a essa pergunta. Isso é o que torna esta uma questão estatística.

    A pergunta "Quantos botões há no jarro?" é respondida contando os botões. Isso produz um único valor - não é respondido pela coleta de dados que variam. Não é uma questão estatística.

    A pergunta "Qual é o tamanho do maior botão da jarra?" é & Acirc uma questão estatística. O tamanho do botão maior é uma característica da população e essa pergunta seria respondida coletando dados sobre os tamanhos de todos os botões na população. Desta forma, a questão seria respondida de uma forma que levasse em consideração a variabilidade na população. & Acirc

    A pergunta "Se Zeke agarrou um punhado de botões, quais são as chances de todos os botões em sua mão serem redondos?" é uma questão estatística porque está pedindo uma probabilidade que seria estimada fazendo Zeke pegar muitos botões. Para cada punhado agarrado, se todos os botões eram redondos ou não, seria registrado. Isso resultaria em dados categóricos (com valores de "geral" e "não geral"), mas, novamente, haveria variabilidade nesses dados. Esses dados podem então ser usados ​​para estimar a probabilidade de interesse e fornecer uma resposta à pergunta feita.

    Como a primeira questão, as duas últimas questões (v e vi) são questões estatísticas porque seriam respondidas pela coleta de dados que variam. Para responder à pergunta sobre o número típico de furos, dados sobre o número de furos seriam coletados para cada botão do jarro. A pergunta sobre como os botões são distribuídos de acordo com a cor seria respondida registrando-se a cor de cada botão no jar e resumindo esses dados em uma tabela ou gráfico.

    Algumas questões estatísticas possíveis são:

    • Qual é o formato típico dos botões do jarro?
    • Qual é a distribuição dos diâmetros dos botões redondos neste jarro?

    Resumo da lição 2

    Freqüentemente, coletamos dados para responder a perguntas sobre algo. Os dados que coletamos podem mostrar variabilidade, o que significa que os valores dos dados não são todos iguais.

    Alguns conjuntos de dados têm mais variabilidade do que outros. Aqui estão dois conjuntos de figuras.

    O conjunto A possui mais figuras com a mesma forma, cor ou tamanho. O conjunto B mostra mais figuras com diferentes formas, cores ou tamanhos, portanto, o conjunto B tem maior variabilidade do que o conjunto A.

    Os dados numéricos e categóricos podem mostrar variabilidade. Os conjuntos numéricos podem conter diferentes números e os conjuntos categóricos podem conter diferentes categorias ou tipos.

    Quando uma pergunta só pode ser respondida usando dados e esperamos que os dados tenham variabilidade, chamamos isso de questão estatística. Aqui estão alguns exemplos.

    • Quem é o artista musical mais popular da sua escola?
    • Quando os alunos da sua classe costumam jantar?
    • Qual sala de aula em sua escola tem mais livros?

    Para responder à pergunta sobre os livros, podemos precisar contar todos os livros em cada sala de aula de uma escola. Os dados que coletamos provavelmente mostrariam variabilidade, porque esperaríamos que cada sala de aula tivesse um número diferente de livros.

    Em contraste, a pergunta "Quantos livros há em sua sala de aula?" é não uma questão estatística. Se coletarmos dados para responder à pergunta (por exemplo, pedindo a todos na classe para contar livros), pode-se esperar que os dados mostrem o mesmo valor. Da mesma forma, se perguntarmos a todos os alunos de uma escola onde estudam, essa pergunta não é uma questão estatística porque as respostas serão todas iguais.


    Lição 2

    Os alunos da sexta série foram questionados: "Em que série você está?" Explique porque isso é não uma questão estatística.

    Solução

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    Problema 2

    Lin e suas amigas saíram para tomar sorvete depois da escola. As seguintes perguntas surgiram durante a viagem. Selecione tudo as questões que são questões estatísticas.

    A que distância estamos da sorveteria?

    Qual é o sabor de sorvete mais popular desta semana?

    Quanto é que um grupo de 4 pessoas normalmente gasta com sorvete nesta loja?

    As crianças geralmente preferem um copo ou uma casquinha?

    Quantas coberturas existem para escolher?

    Solução

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    Problema 3

    Aqui está uma lista de perguntas sobre os alunos e professores de uma escola. Selecione tudo as questões que são questões estatísticas.

    Qual é a escolha de almoço mais popular?

    Que escola esses alunos frequentam?

    Quantos professores de matemática há na escola?

    Qual é a idade comum para os professores da escola?

    Cerca de quantas horas de sono os alunos geralmente dormem em uma noite de escola?

    Como os alunos geralmente viajam de casa para a escola?

    Solução

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    Problema 4

    Aqui está uma lista de questões estatísticas. Que dados você coletaria e analisaria para responder a cada pergunta? Para dados numéricos, inclua a unidade de medida que você usaria.

    1. Qual é a altura típica de atletas femininas em uma equipe no mais recente evento esportivo internacional?
    2. A maioria dos adultos na escola são fãs de futebol?
    3. Quanto tempo os motoristas geralmente precisam esperar em um sinal vermelho em Washington, DC?

    Solução

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    Problema 5

    Descreva a escala que você usaria no plano de coordenadas para plotar cada conjunto de pontos. Que valor você atribuiria a cada unidade da grade?

    1. ((1, text-6) ), (( text-7, text-8) ), (( text-3, 7) ), ((0, 9) )
    2. (( text-20, text-30) ), (( text-40, 10) ), ((20, text-10) ), ((5, text- 20) )
    3. (( frac < ext<->1> <3>, text-1), ( frac <2> <3>, text-1 frac13), ( frac < text <-> 4> <3>, frac23), ( frac16, 0) )

    Expandir Imagem

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    Problema 6

    A garrafa de água de Noé contém mais de 1 litro de água, mas menos de (1 frac <1> <2> ) quartos. Seja (w ) a quantidade de água na garrafa de Noé, em quartos. Selecione tudo as declarações verdadeiras.

    Solução

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    Problema 7

    Ordene esses números do menor para o maior:

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    IM 6–8 Math foi originalmente desenvolvido pela Open Up Resources e de autoria da Illustrative Mathematics®, e possui direitos autorais 2017-2019 da Open Up Resources. É licenciado sob a Licença Internacional Creative Commons Atribuição 4.0 (CC BY 4.0). O Currículo de Matemática 6–8 do NOSSO está disponível em https://openupresources.org/math-curriculum/.

    As adaptações e atualizações do IM 6–8 Math são copyright 2019 da Illustrative Mathematics e estão licenciadas pela Creative Commons Atribuição 4.0 International License (CC BY 4.0).

    As adaptações para adicionar suporte adicional ao aluno do idioma inglês são copyright 2019 da Open Up Resources e estão licenciadas sob a Licença Creative Commons Atribuição 4.0 Internacional (CC BY 4.0).

    O segundo conjunto de avaliações de inglês (marcado como conjunto "B") são copyright 2019 da Open Up Resources e são licenciados sob a Licença Internacional Creative Commons Atribuição 4.0 (CC BY 4.0).

    A tradução para o espanhol das avaliações "B" possui copyright 2020 da Illustrative Mathematics e está licenciada sob a Licença Creative Commons Atribuição 4.0 Internacional (CC BY 4.0).

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    Conteúdo

    Existem exemplos de resultados matematicamente corretos derivados de linhas de raciocínio incorretas. Tal argumento, por mais verdadeira que pareça ser a conclusão, é matematicamente inválido e é comumente conhecido como um uivador. [1] O seguinte é um exemplo de um bugio envolvendo cancelamento anômalo:

    Provas, cálculos ou derivações falsas construídas para produzir um resultado correto, apesar da lógica ou operações incorretas, foram denominadas "erros" por Maxwell. [3] Fora do campo da matemática, o termo uivador tem vários significados, geralmente menos específicos.

    A falácia da divisão por zero tem muitas variantes. O exemplo a seguir usa uma divisão disfarçada por zero para "provar" que 2 = 1, mas pode ser modificado para provar que qualquer número é igual a qualquer outro.

    A falácia está na linha 5: a progressão da linha 4 para a linha 5 envolve a divisão por umab, que é zero, pois uma = b. Como a divisão por zero é indefinida, o argumento é inválido.

    após o qual as antiderivadas podem ser canceladas resultando em 0 = 1. O problema é que as antiderivadas são definidas apenas até uma constante e deslocando-as por 1 ou mesmo qualquer número é permitido. O erro realmente vem à tona quando introduzimos limites de integração arbitrários uma e b.

    Como a diferença entre dois valores de uma função constante desaparece, a mesma integral definida aparece em ambos os lados da equação.

    Muitas funções não possuem um inverso exclusivo. Por exemplo, embora elevar ao quadrado um número forneça um valor único, existem duas raízes quadradas possíveis de um número positivo. A raiz quadrada é multivalorada. Um valor pode ser escolhido por convenção como o valor principal no caso da raiz quadrada, o valor não negativo é o valor principal, mas não há garantia de que a raiz quadrada dada como o valor principal do quadrado de um número será igual ao número original (por exemplo, a raiz quadrada principal do quadrado de −2 é 2). Isso permanece verdadeiro para enésimas raízes.

    Raízes positivas e negativas Editar

    Deve-se ter cuidado ao tirar a raiz quadrada de ambos os lados de uma igualdade. Não fazer isso resulta em uma "prova" de [9] 5 = 4.

    A falácia está na penúltima linha, onde a raiz quadrada de ambos os lados é obtida: uma 2 = b 2 apenas implica uma = b E se uma e b têm o mesmo sinal, o que não é o caso aqui. Neste caso, isso implica que uma = –b, então a equação deve ser

    Outro exemplo que ilustra o perigo de obter a raiz quadrada de ambos os lados de uma equação envolve a seguinte identidade fundamental [10]

    que vale como consequência do teorema de Pitágoras. Então, tomando uma raiz quadrada,

    Avaliando isso quando x = π, nós entendemos isso

    O erro em cada um desses exemplos reside fundamentalmente no fato de que qualquer equação da forma

    e é essencial verificar qual dessas soluções é relevante para o problema em questão. [11] Na falácia acima, a raiz quadrada que permitiu que a segunda equação fosse deduzida da primeira é válida apenas quando cos x é positivo. Em particular, quando x for definido como π, a segunda equação se tornará inválida.

    Raízes quadradas de números negativos Editar

    Provas inválidas que utilizam poderes e raízes são frequentemente do seguinte tipo:

    Como alternativa, as raízes imaginárias são ofuscadas no seguinte:

    O erro aqui está na última igualdade, onde estamos ignorando as outras raízes quartas de 1, [nota 2] que são -1, eu e -eu (Onde eu é a unidade imaginária). Como elevamos nossa figura ao quadrado e criamos raízes, nem sempre podemos presumir que todas as raízes estarão corretas. Então, as quartas raízes corretas são eu e -eu, que são os números imaginários definidos ao quadrado para -1.

    Editar expoentes complexos

    Quando um número é elevado a uma potência complexa, o resultado não é definido exclusivamente (consulte Falha de potência e identidades logarítmicas). Se esta propriedade não for reconhecida, erros como os seguintes podem ocorrer:

    O erro aqui é que a regra de multiplicar expoentes como ao ir para a terceira linha não se aplica inalterada com expoentes complexos, mesmo que ao colocar ambos os lados na potência eu apenas o valor principal é escolhido. Quando tratados como funções de vários valores, ambos os lados produzem o mesmo conjunto de valores, sendo <e 2 π n | n ∈ ℤ>.

    Muitas falácias matemáticas em geometria surgem do uso de uma igualdade aditiva envolvendo quantidades orientadas (como adicionar vetores ao longo de uma determinada linha ou adicionar ângulos orientados no plano) para uma identidade válida, mas que fixa apenas o valor absoluto de (uma das) essas quantidades . Essa quantidade é então incorporada à equação com a orientação errada, de modo a produzir uma conclusão absurda. Esta orientação errada é geralmente sugerida implicitamente, fornecendo um diagrama impreciso da situação, onde as posições relativas de pontos ou linhas são escolhidas de uma forma que é realmente impossível sob as hipóteses do argumento, mas não obviamente.

    Em geral, tal falácia é fácil de expor traçando uma imagem precisa da situação, na qual algumas posições relativas serão diferentes daquelas no diagrama fornecido. Para evitar tais falácias, um argumento geométrico correto usando adição ou subtração de distâncias ou ângulos deve sempre provar que as quantidades estão sendo incorporadas com sua orientação correta.

    Falácia do triângulo isósceles Editar

    A falácia do triângulo isósceles, de (Maxwell 1959, Capítulo II, § 1), pretende mostrar que todo triângulo é isósceles, o que significa que dois lados do triângulo são congruentes. Essa falácia foi atribuída a Lewis Carroll. [13]

    Dado um triângulo △ ABC, prove que AB = AC:

    1. Desenhe uma linha que divide ∠A.
    2. Desenhe a bissetriz perpendicular do segmento BC, que divide BC em um ponto D.
    3. Deixe essas duas linhas se encontrarem em um ponto O.
    4. Desenhe a linha OR perpendicular a AB, a linha OQ perpendicular a AC.
    5. Desenhe as linhas OB e OC.
    6. Por AAS, △ RAO ≅ △ QAO (∠ORA = ∠OQA = 90 ° ∠RAO = ∠QAO AO = AO (lado comum)).
    7. Por RHS, [nota 3] △ ROB ≅ △ QOC (∠BRO = ∠CQO = 90 ° BO = OC (hipotenusa) RO = OQ (perna)).
    8. Assim, AR = AQ, RB = QC e AB = AR + RB = AQ + QC = AC.

    Como corolário, pode-se mostrar que todos os triângulos são equiláteros, mostrando que AB = BC e AC = BC da mesma forma.

    O erro na prova é a suposição no diagrama de que o ponto O é dentro O triângulo. Na verdade, O sempre está na circunferência do △ ABC (exceto para triângulos isósceles e equiláteros onde AO e OD coincidem). Além disso, pode ser mostrado que, se AB for mais longo do que AC, então R ficará dentro de AB, enquanto Q mentirá lado de fora de AC, e vice-versa (de fato, qualquer diagrama desenhado com instrumentos suficientemente precisos irá verificar os dois fatos acima). Por causa disso, AB ainda é AR + RB, mas AC é na verdade AQ - QC e, portanto, os comprimentos não são necessariamente os mesmos.

    Existem várias provas falaciosas por indução em que um dos componentes, caso base ou passo indutivo, está incorreto. Intuitivamente, as provas por indução funcionam argumentando que se uma afirmação é verdadeira em um caso, ela é verdadeira no próximo caso e, portanto, ao aplicá-la repetidamente, pode-se demonstrar que é verdadeira para todos os casos. A "prova" a seguir mostra que todos os cavalos são da mesma cor. [14] [nota 4]

    1. Digamos que qualquer grupo de N cavalos são todos da mesma cor.
    2. Se removermos um cavalo do grupo, temos um grupo de N - 1 cavalo da mesma cor. Se adicionarmos outro cavalo, temos outro grupo de N cavalos. Pela nossa suposição anterior, todos os cavalos são da mesma cor neste novo grupo, uma vez que é um grupo de N cavalos.
    3. Assim, construímos dois grupos de N cavalos todos da mesma cor, com N - 1 cavalo em comum. Como esses dois grupos têm alguns cavalos em comum, os dois grupos devem ser da mesma cor que o outro.
    4. Portanto, combinando todos os cavalos utilizados, temos um grupo de N + 1 cavalo da mesma cor.
    5. Portanto, se houver N cavalos são todos da mesma cor, qualquer N + 1 cavalos são da mesma cor.
    6. Isso é claramente verdade para N = 1 (ou seja, um cavalo é um grupo em que todos os cavalos são da mesma cor). Assim, por indução, N cavalos são da mesma cor para qualquer número inteiro positivo N. ou seja, todos os cavalos são da mesma cor.

    A falácia nesta prova surge na linha 3. Para N = 1, os dois grupos de cavalos têm N - 1 = 0 cavalos em comum e, portanto, não são necessariamente da mesma cor que os outros, portanto, o grupo de N + 1 = 2 cavalos não são necessariamente todos da mesma cor. A implicação "todo N cavalos são da mesma cor, então N + 1 cavalos são da mesma cor "funciona para qualquer N & gt 1, mas não é verdade quando N = 1. O caso básico está correto, mas a etapa de indução tem uma falha fundamental.


    A soma da série geométrica 1 + 1/2 + 1/4 + & # 183 & # 183 & # 183

    Meu nome é Krishna. Agora estou na 12ª série. Quando estava na 11ª série, vi uma pergunta no clube de matemática.

    Na verdade, eu já fiz uma pergunta semelhante a esta abaixo, mas esta é um pouco diferente.

    A questão é,

    Qual é o valor de, 1 + (1/2) + (1/4) + (1/8). ?

    Como você pode encontrar um valor definitivo para uma resposta quando ela continua?

    Obrigada.

    Krishna

    e essa sequência de números (1, 3/2, 7/4, 15/8, ...) está convergindo para um limite. É esse limite que chamamos de "valor" da soma infinita.

    Como encontramos esse valor?

    Se presumirmos que existe e apenas queremos descobrir o que é, vamos chamá-lo de S. Agora

    Essa mesma técnica pode ser usada para encontrar a soma de qualquer "série geométrica", ou seja, uma série onde cada termo é um número r vezes o termo anterior. Se o primeiro termo for um, a série será

    Ao usar essa técnica, presumimos que a soma infinita existe e, em seguida, encontramos o valor. Mas também podemos usá-lo para dizer se a soma existe ou não: se você olhar para a soma finita

    Contanto que | r | & lt 1, o termo r ^ (n +1) irá para zero quando n vai para o infinito, então a soma finita S vai se aproximar de a / (1- r) quando n vai para o infinito. Thus the value of the infinite sum is a / (1- r ), and this also proves that the infinite sum exists, as long as | r | < 1.


    NYS Next Generation Mathematics Learning Standards for Grades 3-8: Post-Test Standards Designations Applicable to Test Administrations Beginning Spring 2023

    Public Comments: The public comment period closed on 1/31/19. The New York State Education Department has reviewed the comments that were received regarding the draft post-test standards designations for Grades 3-8 Next Generation Mathematics assessments. Overall, the comments were very positive. Based on those comments, no changes were made to the draft designations. The draft post-test standards designations below for Grades 3-8 Next Generation Mathematics assessments are now finalized.

    Please note: These post-test standards designations will not be reflected in the Grades 3-8 state assessments until full implementation of the NYS Next Generation Mathematics Learning Standards, which begins in School Year 2022-2023.

    These post-test standards designations are to be used as districts move into the Building Capacity stage of the Next Generation Learning Standards Roadmap and Implementation Timeline. The first goal of this stage is “Support local school district needs to integrate the Next Generation Mathematics Learning Standards into local curriculum.” It will be important for districts to consider the changes that have occurred with the post-test standards designations as they begin examining their current district curricular materials and resources and determining the changes needed to ensure alignment to the NYS Next Generation Mathematics Learning Standards.

    Please note that these post-test standards designations will not be reflected in the Grades 3-8 assessments until full implementation of the NYS Next Generation Mathematics Learning Standards, which begins in School Year 2022-2023.

    In 2015, New York State (NYS) began a process of review and revision of its current mathematics standards adopted in January of 2011. Through numerous phases of public comment, virtual and face-to-face meetings with committees consisting of NYS educators (Special Education, Bilingual Education and English as a New Language teachers), parents, curriculum specialists, school administrators, college professors, and experts in cognitive research, the New York State Next Generation Mathematics Learning Standards (2017) were developed. These revised standards reflect the collaborative efforts and expertise of all constituents involved.

    In order to support implementation of these revised standards, a process began in 2018 to designate which Standards for Mathematical Content from each grade, 3 – 8, will be assessed on that grade’s annual NYS assessment, and therefore must be taught prior to the date of the assessment, and which standards will be taught after the date of the NYS assessment each year. This process included three rounds of face-to-face meetings with committees consisting of NYS educators. Each committee started by independently reviewing the standards and drafting an initial recommendation. They then reviewed the recommendations of the groups that preceded them, discussed the merits of all options, and finished by providing their final recommendation that considered their initial ideas as well as those of previous groups. The final recommendations outlined in the document were informed by all of the ideas and discussions of each of the committees.

    Throughout the process, there were three main principles that guided the thinking of each committee and the final recommendations two of which have to do with maintaining connections among standards, to every extent practicable. It is important to note that, at every grade level, all other standards were considered for possible designation as post-test, but were not ultimately moved because of these three guiding principles.


    Question: Problems 1. The measured data on the thickness of a meta.

    Problems
    1. The measured data on the thickness of a metal layer from a vapor deposition study in Å in an instrument is: 48530, 48980, 50210, 49860, 48650, 49560, 49270, 48850, 49320, 48680.
    The instrument has a range of 100,000 with a full-scale accuracy of 1.5%.
    uma. Present the descriptive statistics for this data
    b. Calculate the systematic uncertainty, random uncertainty, total uncertainty, random uncertainly of the mean, and total uncertainty of the mean from the instrument.

    2. The inside diameters of bearings used in an aircraft landing gear assembly are known to have a standard deviation of σ = 0.002 cm. A random sample of 15 bearings has an average inside diameter of 8.2535 cm.
    uma. Test the hypothesis that the mean inside bearing diameter is 8.25 cm. Use a two-sided alternative and α = 0.05.
    b. Find the P-value for this test.
    c. Construct a 95% two-sided confidence interval on the mean bearing diameter
    d. Repeat (a,b,c) above for α = 0.1. Compare with results for α = 0.05.
    e. Repeat (a,b,c) above for α = 0.01. Compare with results for α = 0.05.

    3. A machine is used to fill containers with a liquid product. Fill volume can be assumed to be normally distributed. A random sample of ten containers is selected, and the net contents (oz) are as follows: 12.03, 12.01, 12.04, 12.02, 12.05, 11.98, 11.96, 12.02, 12.05, 11.99.
    uma. Suppose that the manufacturer wants to be sure that the mean net contents exceeds 12 oz. What conclusions can be drawn from the data. Use a = 0.01.
    b. Construct a 95% two-sided confidence interval on the mean fill volume.
    c. Does the assumption of normality seem appropriate for the fill volume data?
    d. Repeat (a,b,c) above for a = 0.05. Compare with results for a = 0.01.

    4. Two machines are used for filling glass bottles with a soft-drink beverage. The filling processes have known standard deviations s1 = 0.010 L, and s2 = 0.015 L, respectively. A random sample of n1 = 25 bottles from machine 1 and n2 = 20 bottles from machine 2, results in average net contents of x1= 2.04 L, and x2 = 2.07 L.
    uma. Test the hypothesis that both machines fill to the same net contents, using a = 0.05. What are your conclusions?
    b. Find the P-value for this test.
    c. Construct a 95% two-sided confidence interval on the mean fill volume.

    5. Two quality control technicians measured the surface finish of a metal part, and the data is tabulated. Assume that the measurements are
    normally distributed.
    uma. Test the hypothesis that the mean surface finish measurements made by the two technicians are equal. Use a = 0.05, and assume equal variances
    b. Assuming that the variances are equal, construct a 95% confidence interval on the mean difference in surface-finish measurements.
    Problem 5
    T1 T2
    1.45 1.54
    1.37 1.41
    1.21 1.56
    1.54 1.37
    1.48 1.20
    1.29 1.31
    1.34 1.27
    1.35

    6. Two different hardening processes – (1) saltwater quenching and (2) oil quenching – are used on samples of a particular type of metal alloy. The results are tabulated. Assume that hardness is normally distributed.
    uma. Test the hypothesis that the mean hardness for the saltwater quenching process equals the mean hardness for the oil quenching process. Use a = 0.05, and assume equal variances.
    b. Assuming that the variances are equal, construct a 95% confidence interval on the mean difference in mean hardness
    c. Does the assumption of normality seem appropriate for this data?

    Problem 6
    Saltwater Oil
    145 152
    150 150
    153 147
    148 155
    141 140
    156 146
    146 158
    154 152
    139 151
    148 143

    7. The results of an experiment to investigate the low-pressure vapor deposition of polysilicon. The reactor has several wafer positions,
    and four of these positions are selected at random. The response variable is film thickness uniformity. Three replicates of the experiment were run, and data is presented.
    uma. Is there a difference in the wafer positions? Use the analysis of variance, and a = 0.05?
    b. Estimate the variability due to wafer positions.
    c. Estimate the random error component
    d. Analyze the results from this experiment and comment on model adequacy.
    Problem 7
    Position Uniformity
    1 2.76 5.67 4.49
    2 1.43 1.70 2.19
    3 2.34 1.97 1.47
    4 0.94 1.36 1.65

    8. An experiment to determine the effect of C2F6 flow rate on etch uniformity on Si wafer is presented in a table. Three flow rates are tested, and the resulting uniformity (in %) is observed for six test units at each flow rate.
    uma. Does C2F6 flow rate affect etch uniformity? Use the analysis of variance, and a = 0.05?
    b. Construct a box plot of the etch uniformity data. Use this plot, together with ANOVA results, to determine which gas flow rate would be best in terms of etch uniformity (a small % is best).
    c. Plot the residuals vs. predicted C2F6 flow. Interpret this plot.
    d. Does the normality assumption seem reasonable in the problem?
    Problem 8
    Observations
    Flow 1 2 3 4 5 6
    125 2.7 2.6 4.6 3.2 3.0 3.8
    160 4.6 4.9 5.0 4.2 3.6 4.2
    200 4.6 2.9 3.4 3.5 4.1 5.1


    Assista o vídeo: Czym jest wnioskowanie statystyczne? Statystyka w 5 minut (Outubro 2021).