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3.3.5: Resolvendo Problemas de Taxa


Lição

Vamos usar as taxas unitárias como um profissional.

Exercício ( PageIndex {1} ): Grade de 100

Quanto está sombreado em cada um?

Exercício ( PageIndex {2} ): Classificação de cartas: É um acordo?

Seu professor lhe dará um conjunto de cartões com diferentes ofertas.

  1. Encontre a carta A e converse com seu parceiro para decidir se a oferta da carta A é um bom negócio. Explique ou mostre seu raciocínio.
  2. Em seguida, divida os cartões B – E para que você e seu parceiro tenham dois cada um.
    1. Decida individualmente se suas duas cartas são bons negócios. Explique seu raciocínio.
    2. Para cada uma de suas cartas, explique ao seu parceiro se você acha que é um bom negócio e por quê. Ouça as explicações do seu parceiro sobre os cartões deles. Se você discordar, explique o que pensa.
    3. Revise todas as decisões sobre seus cartões com base no feedback de seu parceiro.
  3. Quando você e seu parceiro estão de acordo sobre as cartas B – E, coloque todas as cartas que você acha que são um bom negócio em uma pilha e todas as cartas que você acha que são um mau negócio em outra pilha. Esteja preparado para explicar seu raciocínio.

você esta pronto para mais?

É hora de fazer seu próprio negócio! Leia as informações no cartão F e decida quanto cobraria se fosse o caixa. Quando seu professor sinalizar, troque cartões com outro grupo e decida se você aceitaria ou não a oferta do outro grupo.

Lembre-se de que você pode oferecer um negócio justo ou injusto, mas o objetivo é definir um preço próximo o suficiente para que o outro grupo não consiga dizer imediatamente se o negócio que você oferece é bom.

Exercício ( PageIndex {3} ): O mais rápido de todos

Animais selvagens de todo o mundo queriam realizar uma competição atlética, mas ninguém os deixava entrar em um avião. Eles decidiram apenas medir o quão longe cada animal poderia correr em um minuto e enviar os resultados para você decidir o vencedor.

Você procura as seguintes informações sobre a conversão de unidades de comprimento:

1 polegada = 2,54 centímetros

animaldistância de sprint
puma1.408 jardas
antílope1 milha
lebre49.632 polegadas
canguru1.073 metros
avestruz1,15 quilômetros
coiote3.773 pés
Tabela ( PageIndex {1} )
  1. Qual animal correu mais longe?
  2. Quais são as classificações de todos os animais?

Resumo

Às vezes, podemos encontrar e usar mais de uma taxa unitária para resolver um problema.

Suponha que uma mercearia esteja em liquidação com queijo ralado. Uma pequena bolsa com capacidade para 8 onças é vendida por US $ 2. Uma grande sacola com 2 quilos é vendida por US $ 16. Como saber qual é o melhor negócio?

Aqui estão duas maneiras diferentes de resolver esse problema:

Compare dólares por quilograma.

  • A sacola grande custa $ 8 por quilograma, porque (16 div 2 = 8 ).
  • O pequeno saco contém ( frac {1} {2} ) libra de queijo, porque existem 16 onças em 1 libra, e (8 div 16 = frac {1} {2} ).
    A pequena bolsa custa $ 4 por libra, porque (2 div frac {1} {2} = 4 ). Isso é cerca de $ 8,80 por quilograma, porque existem cerca de 2,2 libras em 1 quilograma e (4,00 cdot 2,2 = 8,80 ).

O saco grande é um negócio melhor, porque custa menos dinheiro pela mesma quantidade de queijo.

Compare onças por dólar.

  • Com o saquinho, obtemos 4 onças por dólar, porque (8 div 2 = 4 ).
  • O grande saco contém 2.000 gramas de queijo. Existem 1.000 gramas em 1 quilograma e (2 cdot 1.000 = 2.000 ). Isso significa 125 gramas por dólar, porque (2.000 div 16 = 125 ).
    Existem cerca de 28,35 gramas em 1 onça e (125 div 28,35 aproximadamente 4,4 ), então isso é cerca de 4,4 onças por dólar.

O saco grande é um negócio melhor, porque você consegue mais queijo pela mesma quantidade de dinheiro.

Outra forma de resolver o problema seria comparar os preços unitários de cada saca em dólares por onça. Tente!

Entradas do glossário

Definição: Ritmo

Ritmo é uma maneira de descrever a velocidade com que algo está se movendo. O ritmo diz quanto tempo o objeto leva para percorrer uma certa distância.

Por exemplo, Diego caminha a um ritmo de 10 minutos por milha. Elena caminha a um ritmo de 11 minutos por milha. Elena anda mais devagar do que Diego, porque leva mais tempo para percorrer a mesma distância.

Definição: Velocidade

A velocidade é uma maneira de descrever a velocidade com que algo está se movendo. A velocidade informa a distância que o objeto percorre em um determinado período de tempo.

Por exemplo, Tyler anda a uma velocidade de 4 milhas por hora. Priya caminha a uma velocidade de 5 milhas por hora. Priya anda mais rápido do que Tyler, porque ela viaja mais distância no mesmo tempo.

Definição: Preço Unitário

O preço unitário é o custo de um item ou de uma unidade de medida. Por exemplo, se 10 pés de cerca de arame custam $ 150, então o preço unitário é (150 div 10 ), ou $ 15 por pé.

Definição: Taxa de Unidade

Uma taxa unitária é uma taxa por 1.

Por exemplo, 12 pessoas compartilham 2 tortas igualmente. Uma taxa unitária é de 6 pessoas por torta, porque (12 div 2 = 6 ). A outra taxa unitária é ( frac {1} {6} ) de uma torta por pessoa, porque (2 div 12 = frac {1} {6} ).

Prática

Exercício ( PageIndex {4} )

Este pacote de queijo fatiado custa US $ 2,97.

Quanto custaria um pacote com 18 fatias com o mesmo preço por fatia? Explique ou mostre seu raciocínio.

Exercício ( PageIndex {5} )

Uma copiadora pode imprimir 480 cópias a cada 4 minutos. Para cada pergunta, explique ou mostre seu raciocínio.

  1. Quantas cópias ele pode imprimir em 10 minutos?
  2. Um professor imprimiu 720 cópias. Quanto tempo demorou para imprimir?

Exercício ( PageIndex {6} )

Ordene esses objetos do mais pesado para o mais leve.

(Nota: 1 libra = 16 onças, 1 quilograma ( aproximadamente ) 2,2 libras e 1 tonelada = 2.000 libras)

itempeso
ônibus escolar (9 ) toneladas
cavalo (1.100 ) libras
elefante (5.500 ) quilogramas
piano de cauda (15.840 ) onças
Tabela ( PageIndex {2} )

Exercício ( PageIndex {7} )

Andre às vezes corta a grama no fim de semana para ganhar dinheiro extra. Duas semanas atrás, ele cortou a grama de um vizinho por ( frac {1} {2} ) hora e ganhou $ 10. Na semana passada, ele cortou a grama de seu tio por ( frac {3} {2} ) horas e ganhou $ 30. Esta semana, ele cortou a grama de um centro comunitário por 2 horas e ganhou $ 30.

Quais empregos pagam melhor do que outros? Explique seu raciocínio.

(Da Unidade 3.3.1)

Exercício ( PageIndex {8} )

Calcule e expresse sua resposta na forma decimal.

  1. ( frac {1} {2} cdot 17 )
  2. ( frac {3} {4} cdot 200 )
  3. ((0,2) cdot 40 )
  4. ((0,35) cdot 60 )

(Da Unidade 3.1.1)

Exercício ( PageIndex {9} )

Aqui está um polígono.

  1. Decomponha este polígono para que sua área possa ser calculada. Todas as medidas estão em centímetros.
  2. Calcule sua área. Organize o seu trabalho para que possa ser seguido por outros.

(Da Unidade 1.5.1)


Para transformar o inglês em álgebra, ajuda:

  • Leia tudo primeiro
  • Faça um esboço se possível
  • Atribuir letras pelos valores
  • Encontre ou faça exercícios fórmulas

Você também deve escrever o que realmente está sendo pedido, para saber para onde está indo e quando chegou!

soma, total, soma, aumento, mais, combinado, junto, mais, mais que

menos, menos, diferença, menos, diminuído, reduzido

multiplicado, vezes, de, produto, fator

dividido, quociente, por, fora de, proporção, proporção, porcentagem, taxa


Álgebra: problemas de distância

Nessas lições, aprenderemos a resolver problemas de palavras envolvendo distância, taxa (velocidade) e tempo.

O que são problemas de palavra de distância ou problemas de tempo de taxa de distância?

Problemas de distância são problemas de palavras que envolvem a distância que um objeto percorrerá a uma certa taxa média por um determinado período de tempo.

A fórmula para problemas de distância é: distância = taxa × tempo ou
d = r × t

Coisas a serem observadas:
Certifique-se de alterar as unidades quando necessário. Por exemplo, se a taxa for dada em milhas por hora e o tempo for dado em minutos, altere as unidades apropriadamente.

Seria útil usar uma tabela para organizar as informações para problemas de distância. Uma tabela ajuda você a pensar em um número de cada vez, em vez de ficar confuso com a pergunta.

Os diagramas a seguir fornecem as etapas para resolver problemas de distância-taxa-tempo. Role para baixo na página para exemplos e soluções.


Mostraremos como resolver problemas de distância por meio dos seguintes exemplos:

  • Viajando com tarifas diferentes
  • Viajando em direções diferentes
  • Dado o tempo total
  • Problemas de vento e corrente

Como resolver problemas de distância: viajando com tarifas diferentes

Exemplo:
Um ônibus viajando a uma velocidade média de 50 quilômetros por hora fez a viagem para a cidade em 6 horas. Se ele tivesse viajado a 45 quilômetros por hora, quantos minutos mais demoraria para fazer a viagem?

Solução:
Etapa 1: configure uma tabela rtd.

Passo 2: Preencha a tabela com as informações fornecidas na pergunta.

Um ônibus viajando a uma velocidade média de 50 quilômetros por hora fez a viagem para a cidade em 6 horas. Se tivesse viajado a 45 quilômetros por hora, quantos minutos mais demoraria para fazer a viagem?

Seja t = tempo para fazer a viagem no Caso 2.

r t d
Caso 1 50 6
Caso 2 45 t

Etapa 3: preencha os valores de d usando a fórmula d = rt

r t d
Caso 1 50 6 50 & vezes 6 = 300
Caso 2 45 t 45t

Etapa 4: como as distâncias percorridas em ambos os casos são as mesmas, obtemos a equação:

Passo 5: Cuidado - pergunta “quantos minutos mais seriam necessários para fazer a viagem”, então precisamos deduzir as 6 horas originais tomadas.

Resposta: O tempo gasto teria sido 40 minutos a mais.

Como resolver problemas de distância: dois objetos viajando na mesma direção

Exemplo:
Este problema de movimento (ou problema de tempo de taxa de distância ou problema de taxa uniforme) envolve viajar na mesma direção, resolvendo para & ldquo quanto tempo & rdquo um objeto em movimento viajando até encontrar o segundo objeto em movimento.

Ele usa d = rt (distância igual a taxa vezes tempo).

O carro 1 parte do ponto A e segue para o ponto B a 60 mph. Quinze minutos depois, o carro 2 sai do mesmo ponto A e se dirige para o ponto B a 75 mph. Quanto tempo até o carro 2 ultrapassar o carro 1?

Como resolver problemas de distância: dois objetos viajando em direções opostas

Exemplo:
Um ônibus e um carro saem do mesmo lugar e viajam em direções opostas. Se o ônibus estiver viajando a 80 km / h e o carro a 55 km / h, em quantas horas eles estarão a 210 milhas de distância?

Solução:
Etapa 1: configure uma tabela rtd.

Passo 2: Preencha a tabela com as informações fornecidas na pergunta.

Se o ônibus estiver viajando a 80 km / h e o carro a 55 km / h, em quantas horas eles estarão a 210 milhas de distância?

Seja t = tempo em que eles estão separados por 210 milhas.

r t d
ônibus 50 t
carro 55 t

Etapa 3: preencha os valores de d usando a fórmula d = rt

r t d
ônibus 50 t 50t
carro 55 t 55t

Etapa 4: como a distância total é 210, obtemos a equação:

Resposta: Eles estarão a 210 milhas de distância em 2 horas.

Objetos viajando em direções opostas, calcule quanto tempo leva para que estejam a uma determinada distância

Este problema de movimento (ou problema de tempo de taxa de distância ou problema de taxa uniforme) envolve um objeto viajando em uma direção e o outro na direção oposta, resolvendo para & ldquo quanto tempo & rdquo (ou a quantidade de tempo) dois objetos em movimento viajando até que estejam a certa distância um do outro .

Exemplo:
Dois aviões partem do mesmo ponto às 8h. O avião 1 se dirige para o leste a 600 mph e o avião 2 vai para o oeste a 450 mph. Quanto tempo eles ficarão 1400 milhas um do outro? A que horas eles estarão a 1400 milhas de distância? Quão longe cada avião viajou?

Como resolver problemas de distância: dado o tempo total

Exemplo:
John dirigiu até a cidade a uma velocidade média de 40 mph. À noite, ele dirigiu de volta a 30 mph. Se ele passou um total de 7 horas viajando, qual é a distância percorrida por John?

Solução:
Etapa 1: configure uma tabela rtd.

Passo 2: Preencha a tabela com as informações fornecidas na pergunta.

John dirigiu até a cidade a uma velocidade média de 40 mph. À noite, ele dirigiu de volta a 30 mph. Se ele passou um total de 7 horas viajando, qual é a distância percorrida por John?

Seja t = tempo para viajar para a cidade.

7 - t = hora de voltar da cidade.

r t d
Caso 1 40 t
Caso 2 30 7 & ndash t

Etapa 3: preencha os valores de d usando a fórmula d = rt

r t d
Caso 1 40 t 40t
Caso 2 30 7 & ndash t 30 (7 & ndash t)

Etapa 4: como as distâncias percorridas em ambos os casos são as mesmas, obtemos a equação:

Etapa 5: a distância percorrida por John até a cidade é

40t = 120
A distância percorrida por João para voltar também é 120
Portanto, a distância total percorrida por John é de 240

Resposta: A distância percorrida por John é de 240 milhas.

Como encontrar a distância total com o tempo total e duas taxas?

Exemplo:
Roy levou 5 horas para completar uma jornada. Nas primeiras 2 horas, ele viajou a uma velocidade média de 65 km / h. Para o resto da viagem, ele viajou a uma velocidade média de 78 km / h. Qual foi a distância total da viagem?

Como resolver problemas de vento e palavras atuais?

Há outro grupo de problemas de distância-tempo que envolve a velocidade da corrente da água ou a velocidade do vento que afeta a velocidade do veículo. O vídeo a seguir mostra um exemplo de tal problema.

Como resolver problemas de Wind Word?

Exemplo:
No vento contrário, o avião voou 2.000 milhas em 5 horas. Com vento de cauda, ​​a viagem de volta demorou 4 horas. Encontre a velocidade do avião no ar parado e a velocidade do vento.

Como saber a velocidade da corrente de um riacho?

Exemplo:
A velocidade de um barco em águas paradas é de 16 km / h. Ele viaja 24 milhas rio acima e 24 milhas rio abaixo em 5 horas. Qual é a velocidade da corrente?

Como resolver problemas do Word atual?

Exemplo:
Viajando rio abaixo, Elmo pode ir 6 km em 45 minutos. Na viagem de volta, leva 1,5 horas. Qual é a velocidade do barco e rsquos em águas paradas e qual é a taxa da corrente?

Experimente a calculadora Mathway gratuita e o solucionador de problemas abaixo para praticar vários tópicos de matemática. Experimente os exemplos fornecidos ou digite seu próprio problema e verifique sua resposta com as explicações passo a passo.

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3.3.5: Resolvendo Problemas de Taxa

Problemas de & quotDistance & quot Word (pagina 1 de 2)

Os problemas de palavras de & quotDistance & quot, frequentemente também chamados de problemas de & quotuniform rate & quot, envolvem algo que se desloca a algum ritmo fixo e constante (& quotuniform & quot) (& quotrate & quot ou & quotpeed & quot), ou então movendo-se a alguma velocidade média. Sempre que você lê um problema que envolve & quothow fast & quot, & quothow far & quot ou & quotfor quanto tempo & quot, você deve pensar na equação da distância, d = rt , Onde d significa distância, r representa a taxa (constante ou média) de velocidade, e t significa tempo.

Aviso: Certifique-se de que as unidades de tempo e distância estejam de acordo com as unidades da taxa. Por exemplo, se eles fornecem uma taxa de pés por segundo, seu tempo deve estar em segundos e sua distância deve estar em pés. Às vezes, eles tentam enganá-lo usando as unidades erradas, e você tem que pegar isso e converter para as unidades corretas.

  • Uma viagem de avião de 555 milhas e 5 horas foi realizada em duas velocidades. Para a primeira parte da viagem, a velocidade média era de 105 mph. Então o vento de cauda aumentou e o restante da viagem foi feito a uma velocidade média de 115 mph. Por quanto tempo o avião voou em cada velocidade?

Primeiro, configurarei uma grade: Copyright & copy Elizabeth Stapel 2000-2011 Todos os direitos reservados

Usando & quot d = rt & quot, a primeira linha me dá d = 105t e a segunda linha me dá:

555 & ndash d = 115 (5 & ndash t)

Como as duas distâncias somam 555, vou adicionar as duas expressões de distância e definir sua soma igual ao total fornecido:

555 = 105t + 115 (5 & ndash t)

555 = 105t + 575 e 115t
555 = 575 & ndash 10t
& ndash20 = & ndash10t
2 = t

De acordo com minha grade, & quot t & quot representa o tempo gasto na primeira parte da viagem, então minha resposta é & quotO avião voou por duas horas a 105 mph e três horas a 115 mph. & quot

Você pode adicionar distâncias e tempos, mas você não pode adicionar taxas . Pense nisso: se você dirige a 30 km / h em uma rua e a 40 km / h em outra, isso significa que a média é de 60 km / h?

    Um executivo dirigiu de casa a uma velocidade média de 30 mph até um aeroporto onde um helicóptero estava esperando. O executivo embarcou no helicóptero e voou para os escritórios corporativos a uma velocidade média de 60 mph. A distância total foi de 150 milhas e toda a viagem durou três horas. Encontre a distância do aeroporto aos escritórios corporativos.
      drt
      dirigindod30t
      vôo150 & ndash d603 & ndash t
      total150---3

    A primeira linha me dá a equação d = 30t . Já que a primeira parte de sua viagem contabilizou d milhas da distância total de 150 milhas e t horas do tempo total de 3 horas, fico com 150 & ndash d milhas e 3 & ndash t horas para a segunda parte. A segunda linha me dá a equação:

    150 & ndash d = 60 (3 & ndash t)

    Adicionando as duas expressões de & quotdistância & quot e definindo sua soma igual à distância total fornecida, eu obtenho:

    150 = 30t + 60 (3 & ndash t)

    Resolva para t interpretar o valor declare a resposta final.

      Um carro e um ônibus partiram às 14h. do mesmo ponto, indo na mesma direção. A velocidade média do carro é 30 mph mais lenta do que o dobro da velocidade do ônibus. Em duas horas, o carro estará 20 milhas à frente do ônibus. Encontre a taxa do carro.
        drt
        carrod + 202r & ndash 302
        ônibusdr2
        total---------

      (Acontece que não vou precisar da linha & quottotal & quot desta vez.) A primeira linha me dá:

      d + 20 = 2(2r & ndash 30)

      Isso não ajuda muito. A segunda linha me dá:

      Use a segunda equação para simplificar a primeira equação substituindo & quot 2r & quot in para & quot d & quot e, em seguida, resolva para & quot r & quot. Interprete esse valor no contexto do exercício e dê a resposta final.

        Um trem de passageiros sai do depósito de trem 2 horas depois que um trem de carga deixou o mesmo depósito.O trem de carga está viajando 20 mph mais devagar do que o trem de passageiros. Encontre a taxa de cada trem, se o trem de passageiros ultrapassar o trem de carga em três horas.
          drt
          trem de passageirosdr3
          trem de cargadr & ndash 203 + 2 = 5
          total---------

        (Acontece que não vou precisar da linha & quottotal & quot desta vez.) Por que a distância é apenas & quot d & quot para ambos os trens? Em parte, isso ocorre porque o problema não diz a que distância os trens realmente foram. Mas principalmente porque eles percorreram a mesma distância, no que me diz respeito, porque estou contando apenas a partir do depósito para o lugar onde eles se encontraram. Depois dessa reunião, não me importa o que aconteça. E como consegui esses tempos? Eu sei que o trem de passageiros dirigiu por três horas para alcançar o trem de carga, foi assim que comprei o & quot 3 & quot. Mas observe que o trem de carga teve uma vantagem de duas horas. Isso significa que o trem de carga estava viajando por cinco horas.

          drt
          trem de passageirosd = 3rr3
          trem de cargad = 5(r & ndash 20)r & ndash 203 + 2 = 5
          total---------

        Agora que tenho essas informações, posso tentar encontrar minha equação. Usando o fato de que d = rt , a primeira linha me dá d = 3r (observe a tabela revisada acima). A segunda linha me dá:

        Uma vez que as distâncias são iguais, definirei as equações iguais:

        Resolva para r interpretar o valor dentro do contexto do exercício e dar a resposta final.


        Problemas de proporção de matemática - três proporções de termos

        Nessas lições, aprenderemos como resolver problemas de proporção de palavras que envolvem três termos.

        Problemas de proporção são problemas de palavras que usam proporções para relacionar os diferentes itens na questão.

        Problemas de proporção: proporções de três termos

        Exemplo 1:
        Uma mistura especial de cereais contém arroz, trigo e milho na proporção de 2: 3: 5. Se um saco da mistura contém 3 libras de arroz, quanto milho contém?

        Solução:
        Etapa 1: Atribuir variáveis:
        Seja x = quantidade de milho.
        Escreva os itens na proporção como uma fração.

        Etapa 2: Resolva a equação:
        Multiplicação cruzada

        Resposta: A mistura contém 7,5 libras de milho.

        Exemplo 2:
        A loja de roupas A vende camisetas em apenas três cores: vermelho, azul e verde. As cores estão na proporção de 3 para 4 para 5. Se a loja tiver 20 camisetas azuis, quantas camisetas ela tem no total?

        Solução:
        Etapa 1: Atribuir variáveis:
        Seja x = camisas vermelhas
        y = camisas verdes

        Escreva os itens nas proporções como frações.

        Etapa 2: Resolva a equação:
        Multiplique ambas as equações
        3 × 20 = x × 4
        60 = 4x
        x = 15

        5 × 20 = y × 4
        100 = 4y
        y = 25

        O número total de camisas seria 15 + 25 + 20 = 60

        Resposta: Existem 60 camisas.

        Como resolver problemas de proporção de palavras com três termos?

        Exemplo:
        Um pedaço de corda com 63 polegadas de comprimento é cortado em 3 partes, de modo que os comprimentos das partes da corda estejam na proporção de 5 para 6 para 10. Encontre os comprimentos das 3 partes.

        Como resolver problemas de dois termos e três termos de proporção?

        Uma proporção compara duas coisas que têm as mesmas unidades
        A proporção de uma peça para outra compara uma coisa com outra coisa
        Uma proporção de parte para total (inteiro) compara uma coisa com o número total

        Exemplo:
        Em uma classe de 30 alunos, são 18 meninas e 12 meninos.
        Qual é a proporção de meninos para meninas?
        Qual é a proporção de meninas para meninos?
        Qual é a proporção de meninas em relação ao total?

        Podemos ter uma proporção de três termos de mármores vermelhos, azuis e verdes.

        Experimente a calculadora Mathway gratuita e o solucionador de problemas abaixo para praticar vários tópicos de matemática. Experimente os exemplos fornecidos ou digite seu próprio problema e verifique sua resposta com as explicações passo a passo.

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        Problemas

        Use as seguintes informações para resolver as questões 2 e 3:

        Dada a equação da lei da taxa:

        2. Determine: a) a ordem de reação em relação a A, b) a ordem de reação em relação a B e c) a ordem de reação total para a equação.

        3. Supondo que a reação ocorra em uma etapa elementar, proponha uma equação química usando P como o símbolo para o seu produto.

        Use a tabela de dados abaixo para responder às perguntas 4 e 5:

        Experimentar [SOU [B] M Taxa M Min -1
        1 0.100 0.100 1,0 x 10 -3
        2 0.400 0.100 2,0 X 10 -3
        3 0.100 0.150 2,0 x 10 -3

        4. Use o método diferencial para determinar a ordem da reação em relação a A (x) e B (y). Qual é a ordem total das reações (n)?


        Lição 10: Problemas com palavras de distância

        O que são problemas com palavras de distância?

        Problemas de distância com palavras são um tipo comum de problemas de álgebra. Eles envolvem um cenário no qual você precisa descobrir como velozes, Como as distante, ou como grandes um ou mais objetos viajaram. Estes são freqüentemente chamados de problemas de trem porque um dos tipos mais famosos de problemas de distância envolve descobrir quando dois trens indo em direção um ao outro se cruzam.

        Nesta lição, você aprenderá como resolver problemas de trem e alguns outros tipos comuns de problemas de distância. Mas, primeiro, vamos dar uma olhada em alguns princípios básicos que se aplicam a algum problema de distância.

        O básico dos problemas de distância

        Existem três aspectos básicos para movimento e viagem: distância, avaliar, e Tempo. Para entender a diferença entre eles, pense na última vez que você dirigiu a algum lugar.

        O distância eu mostro distante você viajou. O avaliar eu mostro velozes você viajou. O Tempo eu mostro grandes a viagem demorou.

        A relação entre essas coisas pode ser descrita por esta fórmula:

        distância = taxa x tempo
        d = rt

        Em outras palavras, o distância você dirigiu é igual ao avaliar em que você dirigiu vezes a quantidade de Tempo você dirigiu. Para obter um exemplo de como isso funcionaria na vida real, imagine que sua última viagem foi assim:

        • Você dirigiu 25 milhas & # x2014 que & aposs o distância.
        • Você dirigiu em média 50 mph & # x2014 que & aposs o avaliar.
        • A viagem demorou 30 minutos, ou 0,5 horas & # x2014 que & aposs o Tempo.

        De acordo com a fórmula, se multiplicarmos o avaliar e Tempo, o produto deve estar à nossa distância.

        E isso é! Dirigimos 50 mph por 0,5 horas & # x2014e 50 e # x22C5 0,5 é igual a 25, que é a nossa distância.

        E se dirigíssemos a 60 mph em vez de 50? Quão longe podemos dirigir em 30 minutos? Poderíamos usar a mesma fórmula para descobrir isso.

        60 & # x22C5 0,5 é 30, então nossa distância seria 30 milhas.

        Resolvendo problemas de distância

        Quando você resolver qualquer problema de distância, terá que fazer o que acabamos de fazer e # x2014usar a fórmula para encontrar distância, avaliar, ou Tempo. Vamos tentar outro problema simples.

        Em seu dia de folga, Lee fez uma viagem ao zoológico. Ele dirigiu a uma velocidade média de 65 mph e levou duas horas e meia para ir de sua casa ao zoológico. A que distância fica o zoológico de sua casa?

        Primeiro, devemos identificar as informações que conhecemos. Lembre-se de que estamos procurando qualquer informação sobre distância, taxa ou tempo. De acordo com o problema:

        • O avaliar é 65 mph.
        • O Tempo é duas horas e meia, ou 2,5 horas.
        • O distância é desconhecido & # x2014it & aposs o que estamos tentando encontrar.

        Você pode imaginar a viagem de Lee e aposs com um diagrama como este:

        Este diagrama é um começo para entender este problema, mas ainda temos que descobrir o que fazer com os números para distância, avaliar, e Tempo. Para acompanhar as informações do problema, devemos montar uma mesa. (Isso pode parecer excessivo agora, mas é um bom hábito até mesmo para problemas simples e pode tornar a solução de problemas complicados muito mais fácil.) Aqui está a aparência de nossa mesa:

        Podemos colocar essas informações em nossa fórmula: distance = rate & # x22C5 time.

        Podemos usar o distance = rate & # x22C5 time fórmula para descobrir a distância que Lee viajou.

        A fórmula d = rt fica assim quando inserimos os números do problema. O desconhecido distância é representado com a variável d.

        Encontrar d, tudo o que precisamos fazer é multiplicar 65 por 2,5. 65 e # x22C5 2,5 é igual a 162,5.

        Temos uma resposta para o nosso problema: d = 162,5. Em outras palavras, a distância que Lee dirigiu de sua casa ao zoológico é de 162,5 milhas.

        Tenha o cuidado de usar o mesmo unidades de medida para taxa e tempo. É possível multiplicar 65 milhas por hora por 2,5 horas porque eles usam a mesma unidade: um hora. No entanto, e se a hora tivesse sido escrita em uma unidade diferente, como em minutos? Nesse caso, você deve converter o tempo em horas para que use a mesma unidade da taxa.

        Resolvendo taxa e tempo

        No problema que acabamos de resolver, calculamos para distância, mas você pode usar o d = rt fórmula para resolver para avaliar e Tempo também. Por exemplo, dê uma olhada neste problema:

        Depois do trabalho, Janae caminhou em seu bairro por meia hora. Ela caminhou um quilômetro e meio no total. Qual era sua velocidade média em milhas por hora?

        Podemos imaginar a caminhada de Janae & aposs como algo assim:

        E podemos configurar as informações do problema que conhecemos assim:

        A tabela está repetindo os fatos que já conhecemos do problema. Janae caminhou uma milha e meia ou 1,5 milhas em meia hora, ou 0,5 hora.

        Como sempre, começamos com nossa fórmula. A seguir, preencheremos a fórmula com as informações de nossa tabela.

        A taxa é representada por r porque ainda não sabemos quão rápido Janae estava andando. Uma vez que estamos resolvendo para r, teremos que resolver sozinhos em um lado da equação.

        Nossa equação exige r ser multiplicado por 0,5, para que possamos obter r sozinho em um lado da equação por divisão ambos os lados por 0,5:
        1.5 / 0.5 = 3 .

        r = 3, então 3 é a resposta para nosso problema. Janae caminhou 3 milhas por hora.

        Nos problemas desta página, resolvemos para distância e avaliar de viagem, mas você também pode usar a equação de viagem para resolver Tempo. Você pode até mesmo usá-lo para resolver certos problemas em que está tentando descobrir a distância, taxa ou tempo de dois ou mais objetos em movimento. Veremos problemas como esse nas próximas páginas.

        Problemas de duas partes e ida e volta

        Você sabe como resolver este problema?

        Bill fez uma viagem para ver um amigo. Seu amigo mora a 225 milhas de distância. Ele dirigiu na cidade a uma média de 30 mph, depois ele dirigiu na interestadual a uma média de 70 mph. A viagem durou três horas e meia no total. A que distância Bill dirigiu na interestadual?

        Este problema é um clássico problema de viagem em duas partes porque ele está pedindo a você para encontrar informações sobre uma parte de uma viagem de duas partes. Este problema pode parecer complicado, mas não se deixe intimidar!

        Você pode resolvê-lo usando as mesmas ferramentas que usamos para resolver os problemas mais simples na primeira página:

        • O equação de viagemd = rt
        • UMA tabela para manter o controle de informações importantes

        Vamos começar com o tabela. Dê uma outra olhada no problema. Desta vez, as informações relacionadas a distância, avaliar, e Tempo foi sublinhado.

        Bill fez uma viagem para ver um amigo. O amigo dele mora 225 milhas longe. Ele dirigiu na cidade a uma média de 30 mph, então ele dirigiu na interestadual em uma média de 70 mph. A viagem demorou três horas e meia total. A que distância Bill dirigiu na interestadual?

        Se você tentou preencher a tabela da maneira que fizemos na última página, você deve ter notado um problema: demais em formação. Por exemplo, o problema contém dois taxas & # x2014 30 mph e 70 mph. Para incluir todas essas informações, vamos & aposs criar uma tabela com uma linha extra. A linha superior de números e variáveis ​​será rotulada na cidade, e a linha inferior será rotulada interestadual.

        distânciaavaliarTempo
        na cidade 30
        interestadual 70

        Pegamos as taxas, mas e quanto ao distância e Tempo? Se você olhar para trás, para o problema, verá que estes são os total números, o que significa que incluem o tempo na cidade e na interestadual. Então o distância total é 225. Isso significa que isso é verdade:

        Distância interestadual + distância na cidade = distância total

        Juntas, a distância interestadual e a distância na cidade são iguais à total distância. Ver?

        Em qualquer caso, estamos tentando descobrir o quão longe Bill dirigiu na interestadual, então vamos & aposs representar este número com d. Se a distância interestadual for d, significa que a distância dentro da cidade é um número igual ao total, 225, quando adicionado para d. Em outras palavras, é igual a 225 - d .

        Podemos preencher nosso gráfico assim:

        distânciaavaliarTempo
        na cidade225 - d30
        interestaduald70

        Podemos usar a mesma técnica para preencher o Tempo coluna. O tempo total é 3,5 horas. Se dissermos que o horário na interestadual é t, então o tempo restante na cidade é igual a 3,5 - t . Podemos preencher o resto do nosso gráfico.

        distânciaavaliarTempo
        na cidade225 - d303,5 - t
        interestaduald70t

        Agora podemos trabalhar para resolver o problema. A principal diferença entre os problemas na primeira página e este problema é que este problema envolve dois equações. Aqui está aquele para viagem na cidade:

        E aqui está aquele para viagem interestadual:

        Se você tentou resolver qualquer um deles sozinho, pode ter achado impossível: uma vez que cada equação contém duas variáveis ​​desconhecidas, elas não podem ser resolvidas por conta própria. Experimente você mesmo. Se você trabalhar qualquer uma das equações por conta própria, não será capaz de encontrar um valor numérico para d. A fim de encontrar o valor de d, também temos que saber o valor de t.

        Podemos encontrar o valor de t em ambos os problemas, combinando-os. Vamos dar uma outra olhada em nossa equação de viagem para viagens interestaduais.

        Embora não saibamos o valor numérico de d, esta equação nos diz que d é igual a 70t.

        Desde 70t e d está igual, podemos substituir d com 70t. Substituindo 70t para d em nossa equação para viagens interestaduais não nos ajudará a encontrar o valor de t& # x2014 tudo o que nos diz é que 70t é igual a si mesmo, o que já conhecíamos.

        Mas e quanto à nossa outra equação, a das viagens pela cidade?

        Quando substituímos o d nessa equação com 70t, a equação de repente fica muito mais fácil de resolver.

        Nossa nova equação pode parecer mais complicada, mas na verdade é algo que podemos resolver. Isso ocorre porque ele tem apenas uma variável: t. Assim que encontrarmos t, podemos usá-lo para calcular o valor de d& # x2014 e encontre a resposta para o nosso problema.

        Para simplificar esta equação e encontrar o valor de t, teremos que obter o t sozinho em um lado do sinal de igual. Nós também teremos que simplificar o lado direito, tanto quanto possível.

        Vamos começar com o lado direito: 30 vezes (3.5 - t) é 105 - 30t .

        Em seguida, vamos cancelar o 225 ao lado de 70t. Para fazer isso, devemos subtrair 225 de ambos os lados. No lado direito, significa subtrair 225 de 105. 105 - 225 é -120.

        Nosso próximo passo é grupo como termos & # x2014 lembre-se, nosso objetivo final é ter t no deixou lado do sinal de igual e um número no certo. Vamos cancelar o -30t no lado direito por adicionando 30t para ambos os lados. No lado direito, vamos adicioná-lo a -70t . -70t + 30t é -40t .

        Finalmente, para obter t por conta própria, dividiremos cada lado por seu coeficiente: -40. -120 / - 40 é 3.

        Então t é igual a 3. Em outras palavras, o Tempo Bill viajou na interestadual é igual a 3 horas. Lembre-se de que, em última análise, estamos tentando encontrar o distanciae Bill viajou na interestadual. Vamos dar uma olhada no interestadual linha de nosso gráfico novamente e ver se temos informações suficientes para descobrir.

        distânciaavaliarTempo
        interestaduald703

        Parece que sim. Agora que estamos perdendo apenas uma variável, devemos ser capazes de encontrar seu valor rapidamente.

        Para encontrar a distância, devemos usar a fórmula de viagem distance = rate & # x22C5 time.

        Agora sabemos que Bill viajou na interestadual por 3 horas em 70 mph, para que possamos preencher essas informações.

        Finalmente, terminamos de simplificar o lado direito da equação. 3 e # x22C5 70 é 210.

        Então d = 210. Temos a resposta para o nosso problema! A distância é 210. Em outras palavras, Bill dirigiu 210 milhas na interestadual.

        Resolvendo um problema de ida e volta

        Pode ter parecido que demorou muito para resolver o primeiro problema. Quanto mais prática você conseguir com esses problemas, mais rápido eles desaparecerão. Vamos tentar um problema semelhante. Este é chamado de problema de ida e volta porque descreve uma viagem de ida e volta & # x2014a viagem que inclui uma viagem de volta. Mesmo que a viagem descrita neste problema seja um pouco diferente daquela em nosso primeiro problema, você deve ser capaz de resolvê-la da mesma maneira. Vamos dar uma olhada:

        Eva dirigiu para o trabalho a uma velocidade média de 36 mph. No caminho para casa, ela atingiu o tráfego e dirigiu apenas a uma média de 27 mph. Seu tempo total no carro foi de 1 hora e 45 minutos, ou 1,75 horas. A que distância Eva mora do trabalho?

        Se você está tendo problemas para entender este problema, você pode querer visualizar o deslocamento de Eva para o trabalho assim:

        Como sempre, vamos começar preenchendo uma tabela com as informações importantes. Faremos uma discussão com informações sobre a viagem dela trabalhar e do trabalho.

        1.75 - t para descrever a viagem do trabalho. (Lembre o total o tempo de viagem é 1,75 horasentão o tempo para trabalhar e a partir de trabalho deve ser igual a 1,75.)

        De nossa tabela, podemos escrever duas equações:

        • A viagem trabalhar pode ser representado como d = 36t .
        • A viagem do trabalho pode ser representado como d = 27 (1.75 - t) .

        Em ambas as equações, d representa a distância total. No diagrama, você pode ver que essas duas equações são igual uns para os outros & # x2014afinal, Eva dirige o mesma distância de e para o trabalho.

        Assim como no último problema que resolvemos, podemos resolver este por combinando as duas equações.

        Vamos começar com nossa equação para a viagem do trabalho.

        Em seguida, substituiremos no valor de d de nosso trabalhar equação, d = 36t. Já que o valor de d é 36t , podemos substituir qualquer ocorrência de d com 36t .

        Agora, vamos simplificar o lado direito. 27 e # x22C5 (1,75 - t) é 47,25.

        Em seguida, vamos cancelar -27t de adicionando 27t para ambos os lados da equação. 36t + 27t é 63t .

        Finalmente, podemos obter t por conta própria, dividindo os dois lados por seu coeficiente: 63. 47.25 / 63 é 0,75.

        t é igual a 0,75. Em outras palavras, o Tempo Demorou Eva para dirigir para o trabalho é 0,75 horas. Agora que sabemos o valor de t, seremos capazes de encontrar o distância para o trabalho de Eva & aposs.

        Se você adivinhou que íamos usar o equação de viagem novamente, você estava certo. Agora sabemos o valor de duas das três variáveis, o que significa que sabemos o suficiente para resolver nosso problema.

        Primeiro, vamos preencher os valores que conhecemos. Trabalharemos com os números da viagem trabalhar. Nós já conhecíamos o avaliar: 36. E acabamos de aprender o Tempo: .75 .

        Agora, tudo o que precisamos fazer é simplificar a equação: 36 e # x22C5 .75 = 27 .

        d é igual a 27. Em outras palavras, o distância para o trabalho de Eva & aposs é 27 milhas. Nosso problema está resolvido.

        Problemas de interseção de distância

        Um problema de distância que se cruza é aquele em que duas coisas estão se movendo em direção a uns aos outros. Aqui está um problema típico:

        Pawnee e Springfield estão a 420 milhas de distância. Um trem sai de Pawnee indo para Springfield ao mesmo tempo que um trem sai de Springfield indo para Pawnee. Um trem está se movendo a uma velocidade de 72 km / h e o outro está se movendo a 60 km / h. Quanto tempo eles vão viajar antes de se encontrarem?

        Este problema está pedindo que você calcule quanto tempo levará esses dois trens se movendo um em direção ao outro para se cruzarem. Isso pode parecer confuso no início. Embora seja uma situação do mundo real, pode ser difícil imaginar a distância e o movimento de maneira abstrata. Este diagrama pode ajudá-lo a ter uma noção de como é essa situação:

        Se você ainda estiver confuso, não se preocupe! Você pode resolver esse problema da mesma forma que resolveu os problemas de duas partes da última página. Você só precisa de um gráfico e a fórmula de viagem.

        Pawnee e Springfield são 420 milhas separado. Um trem sai de Pawnee em direção a Springfield ao mesmo tempo que um trem sai de Springfield em direção a Pawnee. Um trem está se movendo a uma velocidade de 45 mph, e o outro está se movendo 60 mph. Quanto tempo eles vão viajar antes de se encontrarem?

        Vamos começar preenchendo nosso gráfico. Aqui está o problema novamente, desta vez com as informações importantes sublinhadas. Podemos começar preenchendo as informações mais óbvias: avaliar. O problema nos dá a velocidade de cada trem. Nós os rotularemos Trem rápido e trem lento. O trem rápido vai 60 mph. O trem lento vai apenas 45 mph.

        Também podemos colocar essas informações em uma tabela:

        distânciaavaliarTempo
        Trem rápido 60
        trem lento 45

        Ainda não sabemos a distância que cada trem percorre para encontrar o outro & # x2014; apenas sabemos o total distância. Para atender, os trens cobrirão uma distância combinada igual para a distância total. Como você pode ver neste diagrama, isso é verdade independentemente da distância que cada trem percorre.

        Isso significa que & # x2014, assim como da última vez & # x2014, representamos a distância de um com d e a distância do outro com o total menos d. Portanto, a distância para o trem rápido será d , e a distância para o trem lento será de 420 - d .

        distânciaavaliarTempo
        Trem rápidod60
        trem lento420 - d45

        Porque estamos procurando o Tempo ambos os trens viajam antes de se encontrarem, o tempo será o mesmo para os dois trens. Podemos representá-lo com t.

        distânciaavaliarTempo
        Trem rápidod60t
        trem lento420 - d45t

        A mesa nos dá dois equações: d = 60t e 420 - d = 45t . Assim como fizemos com o duas partes problemas, podemos combinar essas duas equações.

        A equação para o velozes O trem não pode ser resolvido por conta própria, mas nos diz que d é igual a 60t .

        A outra equação, que descreve o lento treinar, também pode ser resolvido sozinho. No entanto, podemos substituir o d com seu valor da primeira equação.

        Porque sabemos disso d é igual a 60t , podemos substituir o d nesta equação com 60t. Agora temos uma equação que podemos resolver.

        Para resolver esta equação, precisamos obter t e seus coeficientes de um lado do sinal de igual e quaisquer outros números do outro. Podemos começar cancelando o -60t à esquerda por adicionando 60t para ambos os lados. 45t + 60t é 105t .

        Agora só precisamos nos livrar do coeficiente ao lado de t. Podemos fazer isso dividindo os dois lados por 105. 420 / 105 é 4.

        t = 4. Em outras palavras, o Tempo leva os trens para atender é 4 horas. Nosso problema está resolvido!

        Se você quiser ter certeza de sua resposta, você pode Verifica usando a equação da distância com t igual a 4. Para nosso trem rápido, a equação seria d = 60 & # x22C5 4. 60 e # x22C5 4 é 240, então a distância do nosso velozes o trem viajado seria 240 milhas. Para nosso trem lento, a equação seria d = 45 & # x22C5 4. 45 e # x22C5 4 é 180, então a distância percorrida pelo lento trem é 180 milhas.

        Lembre-se de como dissemos que a distância da viagem do trem lento e rápido deve ser igual à total distância? 240 milhas + 180 milhas é igual a 420 milhas, que é a distância total do nosso problema. Nossa resposta está correta.

        Problema prático 1

        Aqui está outro problema de distância de intersecção. É semelhante ao que acabamos de resolver. Veja se consegue resolver sozinho. Quando terminar, role para baixo para ver a resposta e uma explicação.

        Jon e Dani moram a 270 milhas de distância. Um dia, eles decidiram dirigir um ao outro e sair onde quer que se encontrassem. Jon dirigiu em média 65 mph e Dani dirigiu em média 70 mph. Quanto tempo eles dirigiram antes de se encontrarem?

        Problema 1 resposta

        Jon e Dani moram a 270 milhas de distância. Um dia, eles decidiram dirigir um ao outro e sair onde quer que se encontrassem. Jon dirigiu em média 65 mph e Dani dirigiu 70 mph. Quanto tempo eles dirigiram antes de se encontrarem?

        Responder: 2 horas.

        Vamos resolver este problema como resolvemos os outros. Primeiro, tente fazer o gráfico. Deve ser assim:

        distânciaavaliarTempo
        Jond65t
        Dani270 - d70t

        Veja como preenchemos o gráfico:

        • Distância: Juntos, Dani e Jon terão coberto o distância total entre eles no momento em que se encontram. Isso é 270. A distância de Jon & aposs é representada por d , então a distância de Dani é 270 - d .
        • Avaliar: O problema nos diz as velocidades de Dani e Jon & apos. Dani dirige 65 mphe Jon dirige 70 mph.
        • Tempo: Como Jon e Dani dirigem a mesma quantidade de tempo antes de se encontrarem, os tempos de viagem são representados por t.

        Agora temos duas equações. A equação para a viagem de Jon & aposs é d = 65t . A equação para a viagem de Dani & aposs é 270 - d = 70t . Para resolver este problema, precisamos combinar eles.

        A equação para Jon nos diz que d é igual a 65t . Isso significa que podemos combinar as duas equações, substituindo o d na equação de Dani & aposs com 65t .

        Vamos começar t de um lado da equação e um número do outro. O primeiro passo para fazer isso é se livrar de -65t no lado esquerdo. Vamos cancelar até adicionando 65t para ambos os lados: 70t + 65t é 135t.

        Tudo o que resta a fazer é se livrar do 135 ao lado do t. Podemos fazer isso dividindo os dois lados por 135: 270 / 135 é 2.

        É isso. t é igual a 2. Temos a resposta para o nosso problema: Dani e Jon dirigiram 2 horas antes de eles se conhecerem.

        Problemas de distância de ultrapassagem

        O tipo final de problema de distância que discutiremos nesta lição é um problema em que um objeto em movimento ultrapassa& # x2014or passes& # x2014another. Aqui está um problema típico de ultrapassagem:

        A família Hill e a família Platter estão fazendo uma viagem. Os Hills saíram 3 horas antes dos Platters, mas os Platters dirigem em média 15 mph mais rápido. Se a família Platter leva 13 horas para alcançar a família Hill, quão rápido os Hills estão dirigindo?

        Você pode imaginar o momento em que a família Platter partiu para a viagem um pouco assim:

        O problema nos diz que a família Platter alcançará a família Hill em 13 horas e nos pede para usarmos essas informações para encontrar a família Hill avaliar. Como alguns dos outros problemas que resolvemos nesta lição, pode não parecer que temos informações suficientes para resolver esse problema & # x2014, mas temos. Vamos começar a fazer nosso gráfico. O distância pode ser d para os Hills e os Platters & # x2014 quando os Platters alcançam os Hills, as duas famílias terão dirigido exatamente a mesma distância.

        distânciaavaliarTempo
        as colinasd
        os pratosd

        Preenchendo o avaliar e Tempo exigirá um pouco mais de reflexão. Não sabemos a taxa para nenhuma família & # x2014 lembre-se, isso é o que estamos tentando descobrir. No entanto, sabemos que os Platters dirigiam a 15 mph mais rápido do que as colinas. Isso significa que se a taxa da família Hill & aposs for r , a taxa da família Platter seria r + 15 .

        distânciaavaliarTempo
        as colinasdr
        os pratosdr + 15

        Agora tudo o que resta é o tempo. Nós sabemos que levou os pratos 13 horas para alcançar as Colinas. No entanto, lembre-se que os Hills deixaram 3 horas antes dos Platters & # x2014, o que significa que quando os Platters os alcançaram, eles estavam dirigindo Mais 3 horas do que os pratos. 13 + 3 tem 16 anos, então sabemos que Hills andou dirigindo 16 horas quando os Platters os alcançaram.

        distânciaavaliarTempo
        as colinasdr16
        os pratosdr + 1513

        Nosso gráfico nos dá duas equações. A viagem da família Hill pode ser descrita por d = r & # x22C5 16. A equação para a viagem da família Platter é d = (r + 15) & # x22C5 13. Assim como com nossos outros problemas, podemos combinar essas equações, substituindo uma variável em uma delas.

        A equação da família Hill já tem o valor de d igual a r & # x22C5 16. Portanto, substituiremos o d na equação de Platter com r & # x22C5 16. Dessa forma, será uma equação que poderemos resolver.

        Primeiro, vamos simplificar o lado direito: r & # x22C5 16 é 16r .

        Em seguida, vamos simplificar o lado direito e multiplicar (r + 15) por 13.

        Podemos obter os dois r e seus coeficientes no lado esquerdo por subtraindo 13r de 16r : 16r - 13r é 3r .

        Agora tudo o que resta a fazer é se livrar do 3 ao lado do r. Para fazer isso, devemos dividir ambos os lados por 3: 195 / 3 é 65.

        Portanto, esta é a nossa resposta: r = 65. A família Hill dirigiu em média 65 mph.

        Você pode resolver qualquer problema de ultrapassagem da mesma maneira que resolvemos este. Apenas lembre-se de prestar atenção especial ao configurar seu gráfico. Assim como a família Hill fez neste problema, a pessoa ou veículo que começou a se mover primeiro sempre terá um maior tempo de viagem.

        Problema prático 2

        Tente resolver este problema. É semelhante ao problema que acabamos de resolver. Quando terminar, role para baixo para ver a resposta e uma explicação.

        Um trem em movimento a 60 mph sai da estação ao meio-dia. Uma hora depois, um trem movendo-se a 80 mph sai indo na mesma direção em uma linha paralela. A que horas o segundo trem alcança o primeiro?

        Problema 2 resposta

        Um trem em movimento a 60 mph sai da estação ao meio-dia. Uma hora depois, um trem movendo-se a 80 mph sai indo na mesma direção em uma linha paralela. A que horas o segundo trem alcança o primeiro?

        Responder: 4 da tarde.

        Para resolver este problema, comece fazendo um gráfico. Aqui está como deve ser:

        distânciaavaliarTempo
        Trem rápidod80t
        trem lentod60t + 1

        Aqui está uma explicação do gráfico:

        • Distância: Ambos os trens terão percorrido a mesma distância no momento em que o trem rápido alcança o lento, então a distância para ambos é d .
        • Avaliar: O problema nos diz o quão rápido cada trem estava indo. O trem rápido tem uma taxa de 80 mph, e o trem lento tem uma taxa de 60 mph.
        • Tempo: Nós iremos usar t para representar o tempo de viagem do trem rápido antes de alcançá-lo. Como o trem lento partiu uma hora antes do rápido, ele terá viajado uma hora a mais quando o trem rápido o alcançar. It & aposs t + 1 .

        Agora temos duas equações. A equação para o trem rápido é d = 80t . A equação para o trem lento é d = 60 (t + 1). Para resolver este problema, precisamos combinar as equações.

        A equação do trem rápido diz d é igual a 80t . Isso significa que podemos combinar as duas equações, substituindo o d na equação slow train & aposs com 80t .

        Primeiro, vamos simplificar o lado direito da equação: 60 e # x22C5 (t + 1) é 60t + 60 .

        Para resolver a equação, temos que obter t de um lado do sinal de igual e um número do outro. Podemos nos livrar de 60t no lado direito por subtraindo 60t de ambos os lados: 80t - 60t é 20t .

        Finalmente, podemos nos livrar dos 20 próximos a t dividindo ambos os lados por 20. 60 dividido por 20 é 3.

        Então t é igual a 3. O trem rápido viajou por 3 horas. No entanto, não é a resposta para o nosso problema. Vamos examinar o problema original novamente. Preste atenção na última frase, que é a pergunta que estamos tentando responder.

        Um trem em movimento a 60 mph sai da estação ao meio-dia. Uma hora depois, um trem movendo-se a 80 km / h parte rumo à mesma direção em uma linha paralela. A que horas o segundo trem alcança o primeiro?

        Nosso problema não pergunta como grandes qualquer um dos trens viajou. Pede que horas o segundo trem alcança o primeiro.


        Problemas de taxa, distância e tempo com soluções

        Distância = tempo taxa
        é usado para resolver problemas de movimento uniforme. Soluções detalhadas para os problemas e explicações são fornecidas.

        Problema 1
        Dois carros partiram do mesmo ponto, às 5h, viajando em direções opostas a 40 e 50 mph, respectivamente. A que horas eles estarão a 450 milhas de distância?
        Solução para o problema 1:
        Após t horas, as distâncias D1 e D2, em milhas por hora, percorridas pelos dois carros são dadas por
        D1 = 40 t e D2 = 50 t
        Após t horas, a distância D que separa os dois carros é dada por
        D = D1 + D2 = 40 t + 50 t = 90 t
        A distância D será igual a 450 milhas quando
        D = 90 t = 450 milhas
        Para encontrar o tempo t para D ser 450 milhas, resolva a equação acima para t para obter
        t = 5 horas.
        5h + 5 horas = 10h

        Problema 2
        Às 9h, um carro (A) iniciou uma jornada de um ponto, viajando a 40 mph. Às 10h, outro carro (B) começou a viajar do mesmo ponto a 60 mph na mesma direção do carro (A). A que horas o carro B ultrapassará o carro A?
        Solução para o problema 2:
        Após t horas, as distâncias D1 percorridas pelo carro A são dadas por
        D1 = 40 t
        O vagão B parte às 10h e, portanto, terá passado uma hora a menos do que o vagão A ao passar. Após (t - 1) horas, a distância D2 percorrida pelo carro B é dada por
        D2 = 60 (t-1)
        Quando o carro B passa pelo carro A, eles estão à mesma distância do ponto de partida e, portanto, D1 = D2, o que dá
        40 t = 60 (t-1)
        Resolva a equação acima para t para encontrar
        t = 3 horas
        O carro B passa o carro A em
        9 + 3 = 12h

        Problema 3
        Dois trens, viajando um em direção ao outro, saíram de duas estações distantes entre si a 900 milhas, às 16h. Se a velocidade do primeiro trem é 72 mph e a do segundo trem é 125 km / h, a que horas eles passarão um pelo outro?

        Problema 4
        John saiu de casa e dirigiu a uma velocidade de 45 mph por 2 horas. Ele parou para almoçar e depois dirigiu por mais 3 horas a uma velocidade de 55 mph para chegar ao seu destino. Quantas milhas John dirigiu?
        Solução para o problema 4:
        A distância total D percorrida por John é dada por
        D = 45 2 + 3 55 = 255 milhas.

        Problema 5
        Linda saiu de casa e dirigiu por 2 horas. Ela parou para almoçar e depois dirigiu por mais 3 horas a uma taxa que é 10 mph maior do que a taxa antes de almoçar. Se a distância total que Linda viajou foi de 230 milhas, qual era a taxa antes do almoço?

        Solução para o problema 5:
        Se x for a taxa pela qual Linda dirigiu antes do almoço, a taxa após o almoço será igual a x + 10. A distância total percorrida por D por Linda é dada por
        D = 2 x + 3 (x + 10)
        e é igual a 230 milhas. Por isso
        2 x + 3 (x + 10) = 230
        Resolva para x para obter
        x = 40 milhas / hora.

        Problema 6
        Dois carros partiram, às 8h, do mesmo ponto, um viajando para o leste a 80 km / h e outro para o sul a 60 km / h. A que horas eles estarão a 300 milhas um do outro?
        Solução para o problema 6:
        Um diagrama é mostrado abaixo para ajudá-lo a entender o problema.

        .
        Os dois carros estão viajando em direções que estão em ângulo reto. Sejam xey as distâncias percorridas pelos dois carros em t horas. Por isso
        x = 50 t e y = 60 t
        Como as duas direções estão em ângulo reto, o teorema de Pythagora pode ser usado para encontrar a distância D entre os dois carros da seguinte maneira:
        D = sqrt (x 2 + y 2)
        Agora encontramos o tempo em que D = 300 milhas resolvendo
        sqrt (x 2 + y 2) = 300
        Quadrado ambos os lados e substitua xey por 50 t e 60 t respectivamente para obter a equação
        (50 t) 2 + (60 t) 2 = 300 2
        Resolva as equações acima para obter
        t = 3,84 horas (arredondado para duas casas decimais) ou 3 horas e 51 minutos (para o minuto mais próximo)
        Os dois carros estarão a 300 milhas um do outro em
        8 + 3h 51 '= 11h51.

        Problema 7
        De carro, John viajou da cidade A para a cidade B em 3 horas. A uma taxa de 20 mph maior do que a de John, Peter viajou a mesma distância em 2 horas. Encontre a distância entre as duas cidades.
        Solução para o problema 7:
        Seja x a taxa de John ao viajar entre as duas cidades. A taxa de Pedro será x + 10. Usamos a fórmula taxa-tempo-distância para escrever a distância D percorrida por João e Pedro (mesma distância D)
        D = 3 x e D = 2 (x + 20)
        A primeira equação pode ser resolvida para x para dar
        x = D / 3
        Substitua x por D / 3 na segunda equação
        D = 2 (D / 3 +20)
        Resolva para D para obter D = 120 milhas

        Problema 8
        Gary começou a dirigir às 9h da cidade A em direção à cidade B a uma velocidade de 50 mph. A uma taxa de 15 mph maior que a de Gary, Thomas começou a dirigir ao mesmo tempo que John da cidade B em direção à cidade A. Se Gary e Thomas se cruzassem às 11 da manhã, qual é a distância entre as duas cidades?
        Solução para o problema 8:
        Seja D a distância entre as duas cidades. Quando Gary e Thomas se cruzam, eles cobriram toda a distância entre as duas cidades. Por isso
        D1 = 2 * 50 = 100 milhas, distância percorrida por Gary
        D1 = 2 * (50 + 15) = 130 milhas, distância percorrida por Gary
        A distância D entre as duas cidades é dada por
        D = 100 milhas + 130 milhas = 230 milhas

        Problema 9
        Dois carros partiram ao mesmo tempo, do mesmo ponto, circulando na mesma estrada. A taxa do primeiro carro é de 50 mph e a do segundo carro é de 60 mph. Quanto tempo levará para a distância entre os dois carros ser de 30 milhas?
        Solução para o problema 9:
        Sejam D1 e D2 as distâncias percorridas pelos dois carros em t horas
        D1 = 50 t e D2 = 60 t
        O segundo tem uma velocidade maior e, portanto, a distância d entre os dois carros é dada por
        d = 60 t - 50 t = 10 t
        Para d ser 30 milhas, precisamos ter
        30 milhas = 10 t
        Resolva a equação acima para t para obter
        t = 3 horas.

        Problema 10
        Dois trens partiram às 22h, no mesmo ponto. O primeiro trem viajou para o norte a uma taxa de 80 mph e o segundo trem viajou para o sul a uma taxa de 160 mph. A que horas eles estavam a 450 milhas de distância?
        Solução para o problema 10:
        Sejam D1 e D2 as distâncias percorridas pelos dois trens em t horas.
        D1 = 80 t e D2 = 100 t
        Uma vez que os dois trens estão viajando em direções opostas, a distância total D entre os dois trens é dada por
        D = D1 + D2 = 180 t
        Para que essa distância seja de 450 milhas, precisamos ter
        180 t = 450
        Resolva t para obter
        t = 2 horas e 30 minutos.
        22h + 14h30 = 12h30

        Problema 11
        Dois trens partiram do mesmo ponto. Às 8h00, o primeiro trem viajou para o leste a uma velocidade de 80 mph. Às 9h, o segundo trem viajou para o oeste a uma velocidade de 160 km / h. Em que horas eles estavam a 530 milhas de distância?
        Solução para o problema 11:
        Quando o primeiro trem tiver viajado por t horas, o segundo trem terá viajado (t - 1) horas desde que partiu 1 hora atrasado. Portanto, se D1 e D2 são as distâncias percorridas pelos dois trens, então
        D1 = 80 t e D2 = 100 (t - 1)
        Uma vez que os trens estão viajando na direção oposta, a distância total D entre os dois trens é dada por
        D = D1 + D2 = 180 t - 100
        Para D ser 530 milhas, precisamos ter
        180 t - 100 = 530
        Resolva para t
        t = 3 horas e 30 minutos.
        8h + 3h30 = 11h30


        Gerador de planilha de problemas de velocidade, tempo e distância

        Álgebra do Mundo Real por Edward Zaccaro

        A álgebra é freqüentemente ensinada de forma abstrata, com pouca ou nenhuma ênfase no que é álgebra ou como ela pode ser usada para resolver problemas reais. Assim como o inglês pode ser traduzido para outras línguas, os problemas com palavras podem ser "traduzidos" para a linguagem matemática da álgebra e facilmente resolvidos. Álgebra do mundo real explica esse processo em um formato fácil de entender usando caricaturas e desenhos. Isso torna a autoaprendizagem fácil tanto para o aluno quanto para qualquer professor que nunca entendeu bem a álgebra. Inclui capítulos sobre álgebra e dinheiro, álgebra e geometria, álgebra e física, álgebra e alavancas e muito mais. Projetado para crianças da 4ª à 9ª série com maior habilidade e interesse em matemática, mas também pode ser usado por alunos mais velhos e adultos. Contém 22 capítulos com instruções e problemas em três níveis de dificuldade.


        Lição COMO Resolver Problemas de Taxa de Trabalho (pintura, enchimento de piscina, etc)

        Muitas vezes, os alunos não sabem como começar a lidar com esses problemas. Na verdade, eles são bastante simples, uma vez que você sabe como configurar a equação ou sistema de equações apropriado. Vou lhe dar agora a fórmula mais importante que o ajudará a resolver esses problemas.

        Fórmula Básica

        Vamos supor que temos dois trabalhadores (tubos, máquinas, etc): A e B.
        O trabalhador A pode terminar um trabalho em X horas quando trabalha sozinho.
        O trabalhador B pode terminar um trabalho em Y horas quando trabalha sozinho
        O número de horas que eles precisam para concluir o trabalho
        quando eles são ambos trabalhando ao mesmo tempo É dado por

        Depois que você estiver "armado" com essa fórmula, resolver esses problemas será muito fácil. Veremos alguns exemplos abaixo, mas primeiro, deixe-me mostrar de onde vem essa fórmula.

        De onde vem a fórmula?

        Começamos o problema com as seguintes suposições. Existem dois trabalhadores (tubos, máquinas, etc.), A e B. O trabalhador A pode terminar um trabalho em X horas quando trabalha sozinho. O trabalhador B pode terminar o mesmo trabalho em Y horas quando trabalha sozinho.

        Agora, considere o seguinte: se A pode terminar o trabalho em X horas, então qual é o seu taxa de trabalho por hora? Ou seja, quantos trabalhos ele pode concluir em uma hora? Claramente, se ele leva X horas para concluir um trabalho, ele pode concluir trabalhos por hora. Por exemplo, se ele precisa de 10 horas para terminar um trabalho, ele pode completar 1/10 (um décimo) do trabalho em 1 hora. Se ele precisar de 30 minutos (0,50 horas), poderá concluir 1 / 0,50 = 2 tarefas em uma hora. O mesmo raciocínio se aplica ao trabalhador B.

        O que acontece se eles estiverem trabalhando juntos? Neste caso, temos que adicionar seus taxa de trabalho. Muitas pessoas cometem o erro de presumir que se A leva X horas e B leva Y horas, então ambos levam X + Y horas. Isso é claramente errado, pois implicaria que eles precisam de mais tempo quando trabalham juntos do que quando trabalham sozinhos. Portanto, precisamos somar sua taxa de trabalho. Se A concluir trabalhos por hora e B concluir trabalhos por hora, então, ao trabalharem juntos, eles poderão concluir trabalhos por hora.
        Finalmente, dado que eles podem concluir trabalhos por hora, então quantas horas eles levam para concluir um trabalho? Isso é simplesmente o inverso da fórmula acima. Assim, eles podem concluir 1 trabalho em horas.

        O que significa que um trabalhador trabalha N vezes mais rápido do que outro?

        Também há alguma confusão quando o problema afirma, por exemplo, "O Trabalhador B é duas vezes (N = 2 vezes) mais rápido que o Trabalhador A". Observe que se alguém trabalha duas vezes mais rápido que outra pessoa, ele precisa metade o tempo para terminar o trabalho, se ele trabalhar 4 vezes mais rápido, precisará de 1/4 do tempo para terminar o trabalho e assim por diante. Portanto, se X é o número de horas que o trabalhador A precisa para terminar um trabalho e Y é o número de horas que o trabalhador B precisa para terminar um trabalho, então a declaração "O trabalhador A trabalha N vezes mais rápido do que o trabalhador B" é "traduzida" Como . Por exemplo, se ele trabalha duas vezes mais rápido que B, então

        Problemas de amostra

        Vamos resolver os 3 problemas que comecei usando o que aprendemos aqui.
        1. O trabalhador A pode terminar um trabalho em 3 horas. Ao trabalhar ao mesmo tempo que o Trabalhador B, eles podem terminar o trabalho em 2 horas. Quanto tempo leva para o Trabalhador B terminar o trabalho se ele trabalhar sozinho?

        Sempre comece definindo as variáveis. Vamos chamar X para o número de horas que o trabalhador A precisa para terminar o trabalho e Y para o número de horas que o trabalhador B precisa para terminar o trabalho. Já sabemos que X = 3. Também sabemos que quando trabalham ao mesmo tempo, precisam de 2 horas. Então, usando a fórmula que dei a você antes:


        Concluímos que B precisa de 6 horas para concluir o trabalho quando trabalha sozinho.


        2. Os pintores A e B podem pintar uma parede em 10 horas, trabalhando ao mesmo tempo. O Pintor B funciona duas vezes mais rápido que A. Quanto tempo cada um levaria para pintá-lo se trabalhassem sozinhos?

        Vamos chamar de X para o número de horas que o pintor A precisa para terminar o trabalho e Y para o número de horas que o pintor B precisa para terminar o trabalho. Sabemos que “os pintores A e B conseguem pintar uma parede em 10 horas quando trabalham ao mesmo tempo”. Usando a fórmula que dei acima, isso significa que temos a equação:

        Também sabemos que "Painter B trabalha duas vezes mais rápido que A". Portanto, a outra equação é:

        [lembre-se, o fato de ele trabalhar duas vezes mais rápido implica que ele precisa da metade do tempo para fazer o mesmo trabalho]
        Portanto, temos o sistema de equações:

        Reorganizando a 1ª equação:

        Substituindo a 2ª equação nesta:


        Portanto, o pintor A precisaria de 30 horas para terminar a parede se trabalhasse sozinho. Como o pintor B é duas vezes mais rápido, ele precisaria de 15 horas se trabalhasse sozinho.


        3. Uma piscina de 10.000 litros é preenchida por dois tubos: A e B. O tubo A fornece 1.000 litros por hora. Quando os tubos A e B estão ligados, eles podem encher a piscina em 4 horas. Quantos litros por hora o tubo B pode fornecer?

        Observe que há uma diferença importante entre a formulação desse problema e os outros dois. Nesse caso, recebemos a taxa de trabalho do tubo A, em vez do tempo necessário para concluir uma atividade. Agora vou dar uma solução que define as variáveis ​​de maneira um pouco diferente, mas usa o mesmo princípio.
        Vamos chamar de X para o número de litros por hora que o tubo A fornece e Y para o número de litros por hora que o tubo B fornece. Observe a diferença com os problemas 1 e 2: estou definindo as variáveis ​​como taxas de trabalho em vez de "tempo para terminar um trabalho".
        Quando os dois tubos estão funcionando, eles podem entregar litros por hora. Observe que somamos as taxas de trabalho, assim como fizemos nos problemas anteriores. Devemos agora usar a informação que diz que "Quando os tubos A e B estão ligados, eles podem encher esta piscina em 4 horas". Como a piscina tem 10.000 litros, o fato de poderem enchê-la em 4 horas implica que, quando ambos estão ligados, podem entregar 10.000 litros a cada 4 horas ou 10.000 / 4 = 2.500 litros por hora. Então, obtemos a equação:

        Uma vez que já sabemos que X = 1000, então concluímos que o tubo B pode fornecer 1.500 litros por hora.


        Como você já deve ter adivinhado, se já teve problemas com esse tipo de problema, a principal dificuldade deles é definir corretamente as variáveis ​​e entender como as taxas de trabalho são adicionadas. Espero que esta lição tenha ajudado você a compreender melhor esses problemas.


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