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4.6: O Método de Coeficientes Indeterminados I


Nesta seção, consideramos a equação do coeficiente constante

[ label {eq: 5.4.1} ay '' + por '+ cy = e ^ { alpha x} G (x), ]

onde ( alpha ) é uma constante e (G ) é um polinômio.

Do Teorema 5.3.2, a solução geral da Equação ref {eq: 5.4.1} é (y = y_p + c_1y_1 + c_2y_2 ), onde (y_p ) é uma solução particular da Equação ref {eq: 5.4.1} e ( {y_1, y_2 } ) é um conjunto fundamental de soluções da equação complementar

[ay '' + por '+ cy = 0. enhum número ]

Na Seção 5.2, mostramos como encontrar ( {y_1, y_2 } ). Nesta seção, mostraremos como encontrar (y_p ). O procedimento que usaremos é chamado o método de coeficientes indeterminados. Nosso primeiro exemplo é semelhante a Exercícios 5.3.16-5.3.21.

Exemplo ( PageIndex {1} ):

Encontre uma solução particular de

[ label {eq: 5.4.2} y '' - 7y '+ 12y = 4e ^ {2x}. ]

Em seguida, encontre a solução geral.

Solução

Substituir (y_p = Ae ^ {2x} ) por (y ) na Equação ref {eq: 5.4.2} produzirá um múltiplo constante de (Ae ^ {2x} ) no lado esquerdo da Equação ref {eq: 5.4.2}, então pode ser possível escolher (A ) de forma que (y_p ) seja uma solução da Equação ref {eq: 5.4.2}. Vamos tentar; if (y_p = Ae ^ {2x} ) então

[y_p '' - 7y_p '+ 12y_p = 4Ae ^ {2x} -14Ae ^ {2x} + 12Ae ^ {2x} = 2Ae ^ {2x} = 4e ^ {2x} nonumber ]

if (A = 2 ). Portanto (y_p = 2e ^ {2x} ) é uma solução particular da Equação ref {eq: 5.4.2}. Para encontrar a solução geral, notamos que o polinômio característico da equação complementar

[ label {eq: 5.4.3} y '' - 7y '+ 12y = 0 ]

é (p (r) = r ^ 2-7r + 12 = (r-3) (r-4) ), então ( {e ^ {3x}, e ^ {4x} } ) é um conjunto fundamental de soluções da Equação ref {eq: 5.4.3}. Portanto, a solução geral da Equação ref {eq: 5.4.2} é

[y = 2e ^ {2x} + c_1e ^ {3x} + c_2e ^ {4x}. enhum número]

Exemplo ( PageIndex {2} )

Encontre uma solução particular de

[ label {eq: 5.4.4} y '' - 7y '+ 12y = 5e ^ {4x}. ]

Em seguida, encontre a solução geral.

Solução

Fresco de nosso sucesso em encontrar uma solução particular da Equação ref {eq: 5.4.2} - onde escolhemos (y_p = Ae ^ {2x} ) porque o lado direito da Equação ref {eq: 5.4.2} é um múltiplo constante de (e ^ {2x} ) - pode parecer razoável tentar (y_p = Ae ^ {4x} ) como uma solução particular da Equação ref {eq: 5.4.4}. No entanto, isso não funcionará, já que vimos no Exemplo ( PageIndex {1} ) que (e ^ {4x} ) é uma solução da equação complementar Equação ref {eq: 5.4.3}, então substituindo (y_p = Ae ^ {4x} ) no lado esquerdo da Equação ref {eq: 5.4.4}) produz zero à esquerda, não importa como escolhemos (A ). Para descobrir uma forma adequada para (y_p ), usamos a mesma abordagem que usamos na Seção 5.2 para encontrar uma segunda solução de

[ay '' + por '+ cy = 0 não número ]

no caso em que a equação característica tem uma raiz real repetida: procuramos soluções da Equação ref {eq: 5.4.4} na forma (y = ue ^ {4x} ), onde (u ) é uma função a ser determinada. Substituindo

[ label {eq: 5.4.5} y = ue ^ {4x}, quad y '= u'e ^ {4x} + 4ue ^ {4x}, quad text {e} quad y' ' = u''e ^ {4x} + 8u'e ^ {4x} + 16ue ^ {4x} ]

na Equação ref {eq: 5.4.4} e cancelando o fator comum (e ^ {4x} ) resulta

[(u '' + 8u '+ 16u) -7 (u' + 4u) + 12u = 5, não numérico ]

ou

[u '' + u '= 5. enhum número]

Por inspeção, vemos que (u_p = 5x ) é uma solução particular desta equação, então (y_p = 5xe ^ {4x} ) é uma solução particular da Equação ref {eq: 5.4.4}. Portanto

[y = 5xe ^ {4x} + c_1e ^ {3x} + c_2e ^ {4x} nonumber ]

é a solução geral.

Exemplo ( PageIndex {3} )

Encontre uma solução particular de

[ label {eq: 5.4.6} y '' - 8y '+ 16y = 2e ^ {4x}. ]

Solução

Uma vez que o polinômio característico da equação complementar

[ label {eq: 5.4.7} y '' - 8y '+ 16y = 0 ]

é (p (r) = r ^ 2-8r + 16 = (r-4) ^ 2 ), ambos (y_1 = e ^ {4x} ) e (y_2 = xe ^ {4x} ) são soluções da Equação ref {eq: 5.4.7}. Portanto, a Equação ref {eq: 5.4.6}) não tem uma solução da forma (y_p = Ae ^ {4x} ) ou (y_p = Ax ^ {4x} ). Como no Exemplo ( PageIndex {2} ), procuramos soluções da Equação ref {eq: 5.4.6} na forma (y = ue ^ {4x} ), onde (u ) é uma função a ser determinada. Substituir da Equação ref {eq: 5.4.5} na Equação ref {eq: 5.4.6} e cancelar o fator comum (e ^ {4x} ) resulta

[(u '' + 8u '+ 16u) -8 (u' + 4u) + 16u = 2, não numérico ]

ou

[u '' = 2. enhum número]

Integrar duas vezes e tomar as constantes de integração como zero mostra que (u_p = x ^ 2 ) é uma solução particular desta equação, então (y_p = x ^ 2e ^ {4x} ) é uma solução particular da Equação ref {eq: 5.4.4}. Portanto

[y = e ^ {4x} (x ^ 2 + c_1 + c_2x) não numérico ]

é a solução geral.

Os exemplos anteriores ilustram os seguintes fatos relativos à forma de uma solução particular (y_p ) de uma equação de coeficiente constante

[ay '' + por '+ cy = ke ^ { alpha x}, nonumber ]

onde (k ) é uma constante diferente de zero:

  1. Se (e ^ { alpha x} ) não é uma solução da equação complementar [ label {eq: 5.4.8} ay '' + por '+ cy = 0, ] então (y_p = Ae ^ { alpha x} ), onde (A ) é uma constante. (Veja Exemplo ( PageIndex {1} )).
  2. Se (e ^ { alpha x} ) é uma solução da Equação ref {eq: 5.4.8} mas (xe ^ { alpha x} ) não é, então (y_p = Ax ^ { alpha x} ), onde (A ) é uma constante. (Veja Exemplo ( PageIndex {2} ).)
  3. Se ambos (e ^ { alpha x} ) e (xe ^ { alpha x} ) são soluções da Equação ref {eq: 5.4.8}, então (y_p = Ax ^ 2e ^ { alpha x} ), onde (A ) é uma constante. (Veja Exemplo ( PageIndex {3} ).)

Ver Exercício 5.4.30 para as provas desses fatos.

Em todos os três casos, você pode apenas substituir a forma apropriada por (y_p ) e seus derivados diretamente em

[ay_p '' + by_p '+ cy_p = ke ^ { alpha x}, nonumber ]

e resolva para a constante (A ), como fizemos no Exemplo ( PageIndex {1} ). (Ver Exercícios 5.4.31-5.4.33.) No entanto, se a equação for

[ay '' + por '+ cy = k e ^ { alpha x} G (x), nonumber ]

onde (G ) é um polinômio de grau maior que zero, recomendamos que você use a substituição (y = ue ^ { alpha x} ) como fizemos nos Exemplos ( PageIndex {2} ) e ( PageIndex {3} ). A equação para (u ) acabará sendo

[ label {eq: 5.4.9} au '' + p '( alpha) u' + p ( alpha) u = G (x), ]

onde (p (r) = ar ^ 2 + br + c ) é o polinômio característico da equação complementar e (p '(r) = 2ar + b ) (Exercício 5.4.30); no entanto, você não deve memorizar isso, pois é fácil derivar a equação para (u ) em qualquer caso particular. Observe, no entanto, que se (e ^ { alpha x} ) é uma solução da equação complementar, então (p ( alpha) = 0 ), então a Equação ref {eq: 5.4.9} se reduz a

[au '' + p '( alpha) u' = G (x), nonumber ]

enquanto se ambos (e ^ { alpha x} ) e (xe ^ { alpha x} ) são soluções da equação complementar, então (p (r) = a (r- alpha) ^ 2 ) e (p '(r) = 2a (r- alpha) ), então (p ( alpha) = p' ( alpha) = 0 ) e Equação ref {eq: 5.4.9} ) se reduz a

[au '' = G (x). enhum número]

Exemplo ( PageIndex {4} )

Encontre uma solução particular de

[ label {eq: 5.4.10} y '' - 3y '+ 2y = e ^ {3x} (- 1 + 2x + x ^ 2). ]

Solução

Substituindo

[y = ue ^ {3x}, quad y '= u'e ^ {3x} + 3ue ^ {3x}, quad text {e} y' '= u''e ^ {3x} + 6u 'e ^ {3x} + 9ue ^ {3x} nonumber ]

na Equação ref {eq: 5.4.10}) e cancelando os rendimentos (e ^ {3x} )

[(u '' + 6u '+ 9u) -3 (u' + 3u) + 2u = -1 + 2x + x ^ 2, não numérico ]

ou

[ label {eq: 5.4.11} u '' + 3u '+ 2u = -1 + 2x + x ^ 2. ]

Como no Exemplo 5.3.2, a fim de adivinhar uma forma para uma solução particular da Equação ref {eq: 5.4.11}), notamos que substituindo um polinômio de segundo grau (u_p = A + Bx + Cx ^ 2 ) para (u ) no lado esquerdo da Equação ref {eq: 5.4.11}) produz outro polinômio de segundo grau com coeficientes que dependem de (A ), (B ) e (C ); portanto,

[ text {if} quad u_p = A + Bx + Cx ^ 2 quad text {then} quad u_p '= B + 2Cx quad text {e} quad u_p' '= 2C. enhum número]

Se (u_p ) é para satisfazer a Equação ref {eq: 5.4.11}), devemos ter

[ começar {alinhado} u_p '' + 3u_p '+ 2u_p & = 2C + 3 (B + 2Cx) +2 (A + Bx + Cx ^ 2) & = (2C + 3B + 2A) + (6C + 2B) x + 2Cx ^ 2 = -1 + 2x + x ^ 2. End {alinhado} não numérico ]

Equacionar coeficientes de potências semelhantes de (x ) nos dois lados da última igualdade resulta

[ begin {array} {rcr} 2C & = 1 phantom {.} 2B + 6C & = 2 phantom {.} 2A + 3B + 2C & = -1. end {array} nonumber ]

Resolver essas equações para (C ), (B ) e (A ) (nessa ordem) resulta em (C = 1/2, B = -1 / 2, A = -1 / 4 ) Portanto

[u_p = - {1 over4} (1 + 2x-2x ^ 2) não numérico ]

é uma solução particular da Equação ref {eq: 5.4.11}, e

[y_p = u_pe ^ {3x} = - {e ^ {3x} over4} (1 + 2x-2x ^ 2) não numérico ]

é uma solução particular da Equação ref {eq: 5.4.10}.

Exemplo ( PageIndex {5} )

Encontre uma solução particular de

[ label {eq: 5.4.12} y '' - 4y '+ 3y = e ^ {3x} (6 + 8x + 12x ^ 2). ]

Solução

Substituindo

[y = ue ^ {3x}, quad y '= u'e ^ {3x} + 3ue ^ {3x}, quad text {e} y' '= u''e ^ {3x} + 6u 'e ^ {3x} + 9ue ^ {3x} nonumber ]

na Equação ref {eq: 5.4.12}) e ​​cancelando os rendimentos (e ^ {3x} )

[(u '' + 6u '+ 9u) -4 (u' + 3u) + 3u = 6 + 8x + 12x ^ 2, não numérico ]

ou

[ label {eq: 5.4.13} u '' + 2u '= 6 + 8x + 12x ^ 2. ]

Não há termo (u ) nesta equação, uma vez que (e ^ {3x} ) é uma solução da equação complementar para a Equação ref {eq: 5.4.12}). (Ver Exercício 5.4.30.) Portanto, a Equação ref {eq: 5.4.13}) não tem uma solução particular da forma (u_p = A + Bx + Cx ^ 2 ) que usamos com sucesso no Exemplo ( PageIndex {4} ), uma vez que com esta escolha de (u_p ),

[u_p '' + 2u_p '= 2C + (B + 2Cx) não numérico ]

não pode conter o último termo ( (12x ^ 2 )) no lado direito da Equação ref {eq: 5.4.13}). Em vez disso, vamos tentar (u_p = Ax + Bx ^ 2 + Cx ^ 3 ) com base em que

[u_p '= A + 2Bx + 3Cx ^ 2 quad text {e} quad u_p' '= 2B + 6Cx não numérico ]

juntos contêm todas as potências de (x ) que aparecem no lado direito da Equação ref {eq: 5.4.13}).

Substituir essas expressões no lugar de (u ') e (u' ') na Equação ref {eq: 5.4.13}) resulta

[(2B + 6Cx) +2 (A + 2Bx + 3Cx ^ 2) = (2B + 2A) + (6C + 4B) x + 6Cx ^ 2 = 6 + 8x + 12x ^ 2. enhum número]

Comparando coeficientes de potências semelhantes de (x ) nos dois lados da última igualdade mostra que (u_p ) satisfaz a Equação ref {eq: 5.4.13}) se

[ begin {array} {rcr} 6C & = 12 phantom {.} 4B + 6C & = 8 phantom {.} 2A + 2B phantom {+ 6u_2} & = 6. end {array} nonumber ]

Resolver essas equações sucessivamente resulta em (C = 2 ), (B = -1 ) e (A = 4 ). Portanto

[u_p = x (4-x + 2x ^ 2) nonumber ]

é uma solução particular da Equação ref {eq: 5.4.13}), e

[y_p = u_pe ^ {3x} = xe ^ {3x} (4-x + 2x ^ 2) nonumber ]

é uma solução particular da Equação ref {eq: 5.4.12}).

Exemplo ( PageIndex {6} )

Encontre uma solução particular de

[ label {eq: 5.4.14} 4y '' + 4y '+ y = e ^ {- x / 2} (- 8 + 48x + 144x ^ 2). ]

Solução

Substituindo

[y = ue ^ {- x / 2}, quad y '= u'e ^ {- x / 2} - {1 over2} ue ^ {- x / 2}, quad text {e} quad y '' = u''e ^ {- x / 2} -u'e ^ {- x / 2} + {1 over4} ue ^ {- x / 2} nonumber ]

na Equação ref {eq: 5.4.14}) e cancelando os rendimentos (e ^ {- x / 2} )

[4 left (u '' - u '+ {u over4} right) +4 left (u' - {u over2} right) + u = 4u '' = - 8 + 48x + 144x ^ 2, nonumber ]

ou

[ label {eq: 5.4.15} u '' = - 2 + 12x + 36x ^ 2, ]

que não contém (u ) ou (u ') porque (e ^ {- x / 2} ) e (xe ^ {- x / 2} ) são ambas soluções da equação complementar. (Ver Exercício 5.4.30.) Para obter uma solução particular da Equação ref {eq: 5.4.15}) integramos duas vezes, tomando as constantes de integração como sendo zero; portanto,

[u_p '= - 2x + 6x ^ 2 + 12x ^ 3 quad text {e} quad u_p = -x ^ 2 + 2x ^ 3 + 3x ^ 4 = x ^ 2 (-1 + 2x + 3x ^ 2). Nonumber ]

Portanto

[y_p = u_pe ^ {- x / 2} = x ^ 2e ^ {- x / 2} (- 1 + 2x + 3x ^ 2) nonumber ]

é uma solução particular da Equação ref {eq: 5.4.14}).

Resumo

Os exemplos anteriores ilustram os seguintes fatos relativos a soluções particulares de uma equação de coeficiente constante da forma

[ay '' + por '+ cy = e ^ { alpha x} G (x), nonumber ]

onde (G ) é um polinômio (ver Exercício 5.4.30):

  1. Se (e ^ { alpha x} ) não é uma solução da equação complementar [ label {eq: 5.4.16} ay '' + por '+ cy = 0, ] então (y_p = e ^ { alpha x} Q (x) ), onde (Q ) é um polinômio do mesmo grau que (G ). (Veja Exemplo ( PageIndex {4} )).
  2. Se (e ^ { alpha x} ) é uma solução da Equação ref {eq: 5.4.16} mas (xe ^ { alpha x} ) não é, então (y_p = xe ^ { alfa x} Q (x) ), onde (Q ) é um polinômio do mesmo grau que (G ). (Veja Exemplo ( PageIndex {5} ).)
  3. Se ambos (e ^ { alpha x} ) e (xe ^ { alpha x} ) são soluções da Equação ref {eq: 5.4.16}, então (y_p = x ^ 2e ^ { alfa x} Q (x) ), onde (Q ) é um polinômio do mesmo grau que (G ). (Veja Exemplo ( PageIndex {6} ).)

Em todos os três casos, você pode apenas substituir a forma apropriada por (y_p ) e seus derivados diretamente em

[ay_p '' + by_p '+ cy_p = e ^ { alpha x} G (x), nonumber ]

e resolva para os coeficientes do polinômio (Q ). No entanto, se você tentar fazer isso, verá que os cálculos são mais tediosos do que aqueles que você encontra ao fazer a substituição (y = ue ^ { alpha x} ) e encontrar uma solução particular da equação resultante para (u ). (Ver Exercícios 5.4.34-5.4.36.) No caso (a) a equação para (u ) será da forma

[au '' + p '( alpha) u' + p ( alpha) u = G (x), nonumber ]

com uma solução particular da forma (u_p = Q (x) ), um polinômio do mesmo grau que (G ), cujos coeficientes podem ser encontrados pelo método usado no Exemplo ( PageIndex {4} ) No caso (b) a equação para (u ) será da forma

[au '' + p '( alpha) u' = G (x) nonumber ]

(nenhum termo (u ) à esquerda), com uma solução particular da forma (u_p = xQ (x) ), onde (Q ) é um polinômio do mesmo grau que (G ) cujos coeficientes podem ser encontrados pelo método usado em Exemplo ( PageIndex {5} ). No caso (c), a equação para (u ) será da forma

[au '' = G (x) nonumber ]

com uma solução particular da forma (u_p = x ^ 2Q (x) ) que pode ser obtida integrando (G (x) / a ) duas vezes e tomando as constantes de integração como sendo zero, como no Exemplo ( PageIndex {6} ).

Usando o Princípio da Superposição

O próximo exemplo mostra como combinar o método dos coeficientes indeterminados e o Teorema 5.3.3, o princípio da superposição.

Exemplo ( PageIndex {7} )

Encontre uma solução particular de

[ label {eq: 5.4.17} y '' - 7y '+ 12y = 4e ^ {2x} + 5e ^ {4x}. ]

Solução

No Exemplo ( PageIndex {1} ) descobrimos que (y_ {p_1} = 2e ^ {2x} ) é uma solução particular de

[y '' - 7y '+ 12y = 4e ^ {2x}, não numérico ]

e no Exemplo ( PageIndex {2} ) descobrimos que (y_ {p_2} = 5xe ^ {4x} ) é uma solução particular de

[y '' - 7y '+ 12y = 5e ^ {4x}. enhum número]

Portanto, o princípio de sobreposição implica que (y_p = 2e ^ {2x} + 5xe ^ {4x} ) é uma solução particular da Equação ref {eq: 5.4.17}).


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