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5: Aplicações de Equações Lineares de Segunda Ordem - Matemática


Neste capítulo, estudamos as aplicações de equações lineares de segunda ordem.

Miniatura: Uma rede série RLC: um resistor, um indutor e um capacitor. Imagem usada com permissão (CC BY-SA 3.0; Spinningspark na Wikipedia)


Aplicações de equações diferenciais de segunda ordem - Equações diferenciais de segunda ordem

Usando equações diferenciais de segunda ordem, podemos analisar um circuito que consiste em uma bateria, um resistor, um indutor e um capacitor em série. Vamos denotar Q (t) Q (t) Q (t) como a carga do capacitor no tempo t t t. A corrente é a taxa de variação de Q Q Q em relação a t t t. Então a corrente do sistema é igual a I = d Q d t I = frac

I = d t

Lei de Kirchhoff e aposs afirma que a soma de todas as quedas de tensão em um sistema deve ser igual à carga fornecida:

De acordo com a Lei de Faraday & aposs, a queda de tensão em um indutor é igual à taxa instantânea de mudança da corrente vezes uma constante de indutância, denotada por L L L (medida em Henry & aposs).

Pela Lei de Ohm & aposs, a queda de tensão em um resistor é igual à resistência (medida em ohms) vezes a corrente:

E a queda de tensão em um capacitor é proporcional à carga elétrica do capacitor vezes uma constante da capacitância (medida em farads).

E vamos denotar a tensão da bateria como algum tipo de função com respeito ao tempo V b a t = E (t) V_= E (t) V b a t = E (t)

Portanto, inserir todas as informações encontradas anteriormente na Lei de Kirchhoff & aposs:

E sabemos que I = d Q d t I = frac

I = d t

d Q. Então a equação se torna,

Que também pode ser escrito como

Que é uma equação diferencial não homogênea de segunda ordem, coeficiente constante.


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A abordagem mais geral para esses problemas é escrever seu sistema como um sistema ODE quadridimensional de primeira ordem: begin x '& amp = xi xi' & amp = - bx - a xi + dy + c eta y '& amp = eta eta' & amp = -dx -c xi -by -a eta end que pode ser escrito em forma de matriz begin mathbf'= A , mathbf fim com begin mathbf = begin x xi y eta end qquad text qquad A = begin 0 & amp 1 & amp 0 & amp 0 -b & amp -a & amp d & amp c 0 & amp 0 & amp 0 & amp 1 -d & amp -c & amp -b & amp -a end. fim Surpreendentemente, os autovalores dessa matriz não são particularmente difíceis de encontrar, assim como os autovetores. A solução geral para o sistema acima é então na forma begin mathbf(t) = c_1 e ^ < lambda_1 t> mathbf_1 + c_2 e ^ < lambda_2 t> mathbf_2 + c_3 e ^ < lambda_3 t> mathbf_3 + c_4 e ^ < lambda_4 t> mathbf_4, end onde $ lambda_ <1,2,3,4> $ são os autovalores da matriz $ A $ e $ mathbf_ <1,2,3,4> $ são os autovetores associados. As constantes $ c_ <1,2,3,4> $ são determinadas pelas condições iniciais.

Quanto à sua pergunta para uma referência da literatura: Não consigo imaginar um livro sobre equações diferenciais não tratando a abordagem acima, então escolha sua favorita.


Soluções em série

O método da série de potências é usado para buscar uma solução de série de potências para certas equações diferenciais.

Objetivos de aprendizado

Identifique as etapas e descreva a aplicação do método da série de potências

Principais vantagens

Pontos chave

  • O método da série de potências requer a construção de uma solução de série de potências [latex] f = sum_^ infty A_kz ^ k [/ latex] para uma equação diferencial linear [latex] f '' +f '+f = 0 [/ latex].
  • O método assume uma série de potências com coeficientes desconhecidos e, em seguida, substitui essa solução na equação diferencial para encontrar uma relação de recorrência para os coeficientes.
  • A equação diferencial de eremita [latex] f '' - 2zf '+ lambda f = 0 lambda = 1 [/ latex] tem a seguinte solução de série de potências: [latex] f = A_0 left (1 + <- 1 over 2> x ^ 2 + <- 1 over 8> x ^ 4 + <- 7 over 240> x ^ 6 + cdots right) + A_1 left (x + <1 over 6> x ^ 3 + < 1 over 24> x ^ 5 + <1 over 112> x ^ 7 + cdots right) [/ latex].

Termos chave

  • Relação de recorrência: uma equação que define recursivamente uma sequência, cada termo da sequência é definido como uma função dos termos anteriores
  • funções analíticas: uma função que é dada localmente por uma série de potências convergentes

O método da série de potências é usado para buscar uma solução de série de potências para certas equações diferenciais. Em geral, tal solução assume uma série de potências com coeficientes desconhecidos e, em seguida, substitui essa solução na equação diferencial para encontrar uma relação de recorrência para os coeficientes.

Maclaurin Power Series de uma função exponencial: A função exponencial (em azul) e a soma dos primeiros [latex] n + 1 [/ latex] termos de sua série de potências Maclaurin (em vermelho). Usando séries de potências, uma equação diferencial linear de forma geral pode ser resolvida.

Método

Considere a equação diferencial linear de segunda ordem:

Suponha que [latex] a_2 [/ latex] seja diferente de zero para todo [latex] z [/ latex]. Então podemos dividir para obter:

Suponha ainda que [latex] frac[/ latex] e [latex] frac[/ latex] são funções analíticas. O método da série de potência exige a construção de uma solução de série de potência:

Após substituir a forma de série de potências, as relações de recorrência para [latex] A_k [/ latex] são obtidas, que podem ser usadas para reconstruir [latex] f [/ latex].

Exemplo

Vejamos o caso conhecido como equação diferencial de Eremita:

[latex] f '' - 2zf '+ lambda f = 0 quad ( lambda = 1) [/ latex]

Podemos tentar construir uma solução em série:

[latex] displaystyle^ infty A_kz ^ k f '= sum_^ infty kA_kz ^ f '' = sum_^ infty k (k-1) A_kz ^> [/ latex]

substituindo estes na equação diferencial:

[latex] begin & <> sum_^ infty k (k-1) A_kz ^-2z sum_^ infty kA_kz ^+ sum_^ infty A_kz ^ k = 0 & = sum_^ infty k (k-1) A_kz ^- soma_^ infty 2kA_kz ^ k + sum_^ infty A_kz ^ k end[/látex]

fazendo uma mudança na primeira soma:

[latex] begin & = sum_^ infty (k + 2) ((k + 2) -1) A_z ^ <(k + 2) -2> - sum_^ infty 2kA_kz ^ k + sum_^ infty A_kz ^ k & = sum_^ infty (k + 2) (k + 1) A_z ^ k- sum_^ infty 2kA_kz ^ k + sum_^ infty A_kz ^ k & = sum_^ infty left ((k + 2) (k + 1) A_+ (- 2k + 1) A_k direita) z ^ k fim[/látex]

Se esta série for uma solução, todos esses coeficientes devem ser zero, então:

Podemos reorganizar isso para obter uma relação de recorrência para [latex] A_[/látex]:

e todos os coeficientes com índices maiores podem ser obtidos de forma semelhante usando a relação de recorrência. A solução em série é:


5: Aplicações de Equações Lineares de Segunda Ordem - Matemática

Aqui está um conjunto de problemas práticos para o capítulo Equações diferenciais de segunda ordem das notas sobre Equações diferenciais.

  1. Se desejar um documento PDF contendo as soluções, a guia de download acima contém links para PDFs contendo as soluções para o livro completo, capítulo e seção. No momento, não ofereço pdfs para soluções para problemas individuais.
  2. Se desejar ver as soluções na web, vá para a página de definição de problemas, clique no link da solução para qualquer problema e ele o levará à solução para esse problema.

Observe que algumas seções terão mais problemas do que outras e algumas terão mais ou menos uma variedade de problemas. A maioria das seções deve ter uma gama de níveis de dificuldade nos problemas, embora isso varie de seção para seção.

Aqui está uma lista de todas as seções para as quais os problemas práticos foram escritos, bem como uma breve descrição do material coberto nas notas para aquela seção específica.

Conceitos Básicos - Nesta seção, dê uma discussão aprofundada sobre o processo usado para resolver equações diferenciais homogêneas, lineares, de segunda ordem, (ay '' + por '+ cy = 0 ). Derivamos o polinômio característico e discutimos como o Princípio da Superposição é usado para obter a solução geral.

Raízes reais - nesta seção, discutimos a solução para equações diferenciais homogêneas, lineares, de segunda ordem, (ay '' + por '+ c = 0 ), nas quais as raízes do polinômio característico, (ar ^ <2 > + br + c = 0 ), são raízes reais distintas.

Raízes complexas - nesta seção, discutimos a solução para equações diferenciais homogêneas, lineares, de segunda ordem, (ay '' + por '+ c = 0 ), nas quais as raízes do polinômio característico, (ar ^ <2 > + br + c = 0 ), são raízes complexas. Também derivaremos das raízes complexas a solução padrão normalmente usada neste caso, que não envolverá números complexos.

Raízes repetidas - nesta seção, discutimos a solução para equações diferenciais homogêneas, lineares, de segunda ordem, (ay '' + por '+ c = 0 ), nas quais as raízes do polinômio característico, (ar ^ <2 > + br + c = 0 ), são repetidos, ou seja duplo, raízes. Usaremos a redução de ordem para derivar a segunda solução necessária para obter uma solução geral neste caso.

Redução da ordem - nesta seção, daremos uma breve olhada no tópico da redução da ordem. Esta será uma das poucas vezes neste capítulo que a equação diferencial de coeficiente não constante será examinada.

Conjuntos Fundamentais de Soluções - Nesta seção, daremos uma olhada em algumas das teorias por trás da solução para equações diferenciais de segunda ordem. Definimos conjuntos fundamentais de soluções e discutimos como eles podem ser usados ​​para obter uma solução geral para uma equação diferencial homogênea de segunda ordem. Também definiremos o Wronskian e mostraremos como ele pode ser usado para determinar se um par de soluções é um conjunto fundamental de soluções.

Mais sobre o Wronskian - Nesta seção, examinaremos como o Wronskian, apresentado na seção anterior, pode ser usado para determinar se duas funções são linearmente independentes ou linearmente dependentes. Também forneceremos um método alternativo para encontrar o Wronskian.

Equações diferenciais não homogêneas - Nesta seção, discutiremos os fundamentos da solução de equações diferenciais não homogêneas. Definimos a solução complementar e particular e damos a forma da solução geral para uma equação diferencial não homogênea.

Coeficientes indeterminados - Nesta seção, introduzimos o método dos coeficientes indeterminados para encontrar soluções específicas para equações diferenciais não homogêneas. Trabalhamos com uma grande variedade de exemplos que ilustram as muitas diretrizes para fazer a suposição inicial da forma da solução específica necessária para o método.

Variação de parâmetros - nesta seção, apresentamos o método de variação de parâmetros para encontrar soluções específicas para equações diferenciais não homogêneas. Damos um exame detalhado do método e também derivamos uma fórmula que pode ser usada para encontrar soluções específicas.

Vibrações mecânicas - nesta seção, examinaremos as vibrações mecânicas. Em particular, vamos modelar um objeto conectado a uma mola e movendo-se para cima e para baixo. Também permitimos a introdução de um amortecedor no sistema e que forças externas gerais atuem sobre o objeto. Observe também que, enquanto exemplificamos vibrações mecânicas nesta seção, uma simples mudança de notação (e a mudança correspondente no que as quantidades representam) pode mover isso para quase qualquer outro campo da engenharia.


5: Aplicações de Equações Lineares de Segunda Ordem - Matemática

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A existência de uma solução positiva de equações de diferença é freqüentemente encontrada ao analisar modelos matemáticos que descrevem vários processos. Esta é uma motivação para um estudo intensivo das condições para a existência de soluções positivas de equações discretas ou contínuas. Tal análise está relacionada a uma investigação do caso de todas as soluções estarem oscilando (para investigação relevante em ambas as direções, nos referimos, por exemplo, a [1-15] e às referências nele contidas). Neste artigo, as condições agudas são derivadas para todas as soluções que estão oscilando para uma classe de equações lineares discretas com retardo de segunda ordem.

Consideramos a equação discreta linear atrasada de segunda ordem

onde, é fixo, e. Uma solução de (1.1) é positiva (negativa) em if () para cada. Uma solução de (1.1) está oscilando se não for positiva ou negativa se for arbitrária.

Vamos definir a expressão,, por, onde e,, e em vez de,, escreveremos apenas e.

Em [2] uma equação de diferença linear atrasada de ordem superior é considerada e o seguinte resultado relacionado a (1.1) sobre a existência de uma solução positiva é provado.

Deixe ser suficientemente grande e. Se a função satisfaz

para cada, então existe um número inteiro positivo e uma solução, de (1.1) tal que vale para cada.

Nosso objetivo é responder à questão em aberto se todas as soluções de (1.1) estão oscilando se a desigualdade (1.2) for substituída pela desigualdade oposta

assumindo e é suficientemente grande. Abaixo provamos que se (1.3) é válido e, então todas as soluções de (1.1) são oscilatórias. A prova de nosso resultado principal usará uma consequência de um dos resultados de Domshlak [8, Corolário, página 69].

Deixe e seja números naturais fixos de tal forma que. Seja uma dada sequência de números positivos e um número positivo tal que exista um número que satisfaça


5: Aplicações de Equações Lineares de Segunda Ordem - Matemática

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Assista o vídeo: Generell løsning av førsteordens lineære differensiallikninger 2 (Outubro 2021).